CLCULO NUMRICONOTAS DE AULAPROF. EDSON MENDESUNINOVE 20091SISTEMAS LINEARESUm sistemalinearformadoporumconjuntodemequaeslineares, equaesestasquese caracterizam por apresentarem todas as incgnitas com potncia de grau um. Exemplos :a )' +2 56 3 2y xy xb )' + + 0 11 20 2 6y xy x c ) { 9 3 2 + + w z y x d )' + + +1 11 59y xz y xFormao Geral de Matrizes:111111]1

mn m m mmmna a a aa a a aa a a aa a a aA...... ... ... ... ............3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 11Matriz dada pela frmula de formao:Exemplo: A matriz A3x3 dada pela frmula j i aij+ 23 1 1 . 211 + a4 2 1 . 212 + a5 3 1 . 213 + a5 1 2 . 221 + a6 2 2 . 222 + a7 3 2 . 223 + a7 1 3 . 231 + a8 2 3 . 232 + a9 3 3 . 233 + aLogo:111]1

9 8 77 6 55 4 3ADeterminantesO determinante um nmero real associado s matrizes quadradas.Determinante de matriz 1x1O determinante o prprio elemento da matrizExemplo:A = |2|detA = 22B=|-5| detB=-5Determinante de matriz 2x2Dada a matriz 1]1

22 2112 11a aa aA, detA = a11.a22 a12.a21.Exemplo: 1]1

4 23 1A, detA =-10Determinante de Matriz 3x3Utiliza-se a Regra de Sarrus.1 32 - 23 1 0 1 33 2 21 3 1detA = 16Determinante de Matriz 4x4 : Teorema de Laplace + nijj iijM a A1, 1. ) 1 .( detOnde M-1,-j, refere-se a matriz 3x3 suprimindo-se a linha i e a coluna j.Exemplo:1111]1

3 2 1 21 2 3 12 1 3 42 0 1 2ASe fixarmos a coluna j=3:1 3 12 3 42 1 2. ) 1 .( 23 1 22 3 42 1 2. ) 1 .( 23 1 21 3 12 1 2. ) 1 .( 13 1 21 3 12 3 4. ) 1 .( 0 det3 4 3 3 3 2 3 1 + + + + + + +A23 84 68 7 0 42 * ) 2 ( 34 * 2 7 * ) 1 ( 39 * 0 det + + + + AMATRIZES ASSOCIADASNo sistema' +2 y 5 x 21 y 3 x 4 temos...3

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5 23 4Matriz incompleta

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2 5 21 3 4 Matriz completaREPRESENTAO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEARO sistema' + 5 33 2y xy x pode ser escrito na forma matricial:

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53.3 11 2yx, onde :

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3 11 2 a matriz incompleta ( ou dos coeficientes).

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yx a matriz das incgnitas.

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53 a matriz dos termos independentes.SOLUO DE UM SISTEMA LINEAR A soluo de um sistema linear a seqncia ordenada ( n-upla ) que soluo de cada uma das equaes do sistema. Exemplos : No sistema ' +13y xy x , temos o par ordenado ( 2, 1 ) como soluo do sistema, pois ele soluo das duas equaes do sistema. No sistema ' + 0 22z yz y x, temos a terna ordenada( 0, 2, 4 ) como soluo do sistema, pois ele soluo das duas equaes do sistema. 4CLASSIFICAO DE UM SISTEMA LINEAR Um sistema linear classificado de acordo com seu nmero de solues...Exemplos :a )O sistema ' + 3 y x 35 y x S.P.D, pois o par ordenado ( 1, 6 ) sua NICA soluo.b )O sistema ' + + 2 z y x10 z 5 y 5 x 5 S.P.I, pois apresenta INFINITAS solues, entre elas, podemos citar : ( 1, 1, 2 ); ( 0, 2, 4 ); ( 1, 0, 1 ).c )O sistema ' 3 y x5 y x S.I, pois NO apresenta soluo.5SISTEMA LINEARPOSSVELIMPOSSVELDETERMINADOINDETERMINADOPossui soluoSoluo nica InfinitassoluesNo possui soluoEXERCCIOS :1 ) Verifique se ( 2, -1 ) soluo do sistema linear' + 15 2y xy x .2 )Idem para( 1, 1, 1 ) no sistema ' + + 2 z 32y2x1 z x 20 y x .3 )Idem para( 0, -2, 5 ) no sistema ' + + + 747 3z yz y xz y x .4 )Considere o sistema {x-y=1.a ) Apresente algumas solues do sistema.b ) Classifique o sistema.5 )Construa a matriz incompleta e a matriz completa de :a ) ' + +132 4 3212 1xxx xb ) ' + +6 415 2 3y xy xy x6 )Escreva o sistema associado s equaes matriciais :a )

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30.1 31 2yx 6b)

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1228zyx.4 0 02 1 05 3 1 c )

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38.1 0 11 2 4zyxREGRA DE CRAMER Existem alguns mtodos para classificarmos e/ou resolvermos um sistema linear. Vamos recordar a Regra (ou mtodo )de Cramer. Tal regra consiste em separar o sistema em matrizes e calcular seus determinantes. Ento, a partir de divises entre estes determinantes, encontramos a soluo do sistema. Vamos a um exemplo prtico...Resolva o sistema ' +4 43 3 25 2z y xz y xz y x , usando Cramer.Resoluo :Calculando o determinante principal D ... D = 1 1 43 2 11 2 1D = -36 0,portanto S.P.D.Calculando os determinantes das incgnitas ... Dx = 1 1 43 2 31 2 5Dx = -46.7 Dy = 1 4 43 3 11 5 1Dy = -58. Dz = 4 1 43 2 15 2 1Dz = 18.Logox =3646DDxx = 1823y =3658DDyy = 1829z =3618DDzz = 21Portanto ...S = { (21,1829,1823 ) }Exerccios :1 )Resolva os sistemas lineares, usando Cramer :a )' +2 y x6 y x b )' + + 3 z y x 23 z 2 y 2 x0 z y x c )' + + 1 z 2 x3 z y1 y 2 xS = { ( 4, 2 ) } S = { ( 1, 3, 2 ) } S = { ( 3, 1, 2 ) }DISCUTINDO UM SISTEMA LINEAR

Por Cramer, quando'' I . SouI . P . S0 DD . P . S 0 D. Na primeira parte do nosso curso, no vamos estudar os modos de determinar se um sistema S.P.I ou S.I, logo, ao classificarmos um sistema linear com D = 0, basta deixar indicado comS.P.I ou S.I.8Exemplos :1 ) discuta o sistema ' + +2 my x 23 y x em funo de m :Resoluo :D = m 21 1 D = m 2.Logo ... S.P.D D 0 m 2 0 m2.

;I . SOUI . P . S D = 0 m 2 = 0 m = 2.2 )Idem para' + + + + 9 z 5 y mx6 z 3 y x 21 z y xComparao entre o nmero de operaes efetuadas (somas e multiplicaes) num sistema linear pela regra deCrammermuito maiorqueo nmero de operaes efetuadas quando se cancela umavariveldo sistema. Veja no exemplo:' + +28y xy x S={(3,5)}.So 11 operaes pelo mtodo de Crammer e somente 5 operaes por triangularizao.TRIANGULARIZAO DE GAUSSA idia do Mtodo de Triangularizao de Gauss construir um sistema triangular equivalente ao sistema original, isto , que tenha a mesma soluo.Triangularizar umsistemaconsisteemefetuar operaes bsicascomsuaslinhas, tais como, multiplic-las por uma constante diferente de zero, trocar a ordem das linhas, som-las e/ou subtra-las entre si.Exemplo :9 Seja o sistema ' +5 y x 23 y 6 x 5 ' +) 6 .( 5 y x 23 y 6 x 5 ' +30 y 6 x 123 y 6 x 5...somando menbro-a-membro de cada equao, temos (5x + 12x) + (6y 6y) = 3 + 30 17x= 33 .Chegamos pois ao sistema equivalente ' +33 x 173 y 6 x 5 1733x Logo 3 y 617335 +

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61.17114y

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1719y, portanto ;'

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1719,1733S.OBS:Fazendo um tratamento matricial,triangularizarum sistema zerar os elementos abaixo da diagonal principal da matriz dos coeficientes.DISPOSITIVO PRTICO DE GAUSS(D.P.G)VamosusaroDispositivoPrticodeGauss, quenadamaisdoqueum algoritmoquenos auxilia na resoluo de grande parte dos sistemas lineares. Tal algoritmo consiste em dividir o sistema em matrizes quadradas de ordem 2 e resolver seus determinantes de modo a se obter um sistema equivalente triangularizado. Tomemos um exemplo prtico para ilustrar o tema ...Seja o sistema linear ' + + +1 z y x2 z y 3 x 44 z y 3 x 2 , representaremos o sistema com o uso do D.P.G da seguinte maneira :Equao x y z Termo indep.E12 3 -1 4 E24 -3 1 2E31 -1 1 1E2// -18 6 -12E3// -5 3 -2E3// // -24 -24Algoritmo de construo da tabela ...1 ) As equaesE1,E2eE3so compostas peloscoeficientes das incgnitasde cada equao respectivamente, bem como seus termos independentes.102 ) Clculo da equao E2 ... Tomamos os coeficientes referentes a x emE1 e E2 bem como os coeficientes referentesayem E1eE2ecalculamosodeterminante3 43 2=-18, analogamente, tomamos os coeficientes referentes a x emE1 e E2 bem como os coeficientes referentes a z emE1 e E2 e calculamos o determinante 1 41 2 = 6 e finalmente tomamos os coeficientes referentes a x emE1 e E2 bem como os termos independentesemE1 e E2 e calculamos o determinante 2 44 2= -12.3 )Clculo da equao E3 ... Tomamos os coeficientes referentes a x emE1 e E3 bem como os coeficientes referentes a y emE1 e E3 e calculamos o determinante 1 13 2= -5, analogamente, tomamos oscoeficientesreferentesax em E1eE3bem como os coeficientes referentes a z em E1eE3e calculamos o determinante 1 11 2 = 3 e finalmente tomamos os coeficientes referentes a x emE1 e E3 bem como os termos independentesemE1 e E3 e calculamos o determinante 1 14 2= -2.4 )Clculo da equao E3 ... Tomamos os coeficientes referentes a y emE2 e E3 bem como os coeficientes referentes a z em E2 e E3 e calculamos o determinante 3 56 18= -24, analogamente, tomamos os coeficientes referentes a y emE2 e E3 bem como os termos independentes emE2 e E3 e calculamos o determinante 2 512 18 = -24.5 ) Temos portanto o sistema equivalente formado pelas equaes E1, E2 e E3 ()...' + +24 z 2412 z 6 y 184 z y 3 x 2Resolvendo o sistema a partir da terceira equao temos: z = 1, y = 1 e x = 1 .Logo( ) { } 1 , 1 , 1 S .Exerccios :1 ) Resolva o sistema utilizando o dispositivo prtico de Gauss.' + + +1 z 3 y 2 x 76 z y 4 x 211 z y 4 x 3( ) { } 4 , 3 , 1 S 2 ) Resolva o sistema utilizando o dispositivo prtico de Gauss.11' + + + 2 z 2 y x3 z y 2 x 47 z y x 2

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11 ,352,320S3 ) Resolva o sistema utilizando o dispositivo prtico de Gauss.' + + + + + + + +4 w 3 z 2 y 2 x 43 w 2 z 2 y 4 x 32 w z 2 y 3 x3 w 2 z 4 y 3 x 2( ) { } 86 , 4 ; 86 , 24 ; 15 , 24 ; 88 , 19 S

Problemas com Sistemas Lineares1) Module um sistema linear para a situao abaixo e resolva-o pelo mtodo de Crammer.Qual o preo de cada flor, observando o preo dos buqus abaixo?2) Module um sistema linear para a situao abaixo e resolva-o pelo mtodo de Crammer.Qual a massa atmica dos elementos qumicos Hidrognio, Fsforo e Oxignio, sabendo as massas das seguintes substncias: ?H3PO4cido Fosfrico (Massa 99 uma) H3PO3 cido Fosforoso (massa 83 uma)H3PO2cido Fosfrico (Massa 67 uma)3) No laboratrio , pesquisas com partculas subatmicas chamadas psitron(), metron () e deltron () mostraram que podem ficar estveis somente em 5 disposies diferentes. O sistema abaixo mostra essas 5 disposies e a massa dos elementos formados. Qual a massa de cada partcula?' + + + + + + + + + + 64 5 3 4102 9 6 241 2 4 350 3 5 297 8 3 74) Na produo de determinado aparelho de reproduo de udio deve ser utilizado, entre outros componentes eletrnicos, 5 resistores do tipo A e 8 resistores do tipo B para que a associao em srie fornea uma resistncia geral de 97 . Na falta de resistores do tipo A, fizeram a associao com 3 resistores do tipo B e 10 resistores do tipo C para atingir a mesma resistividade. Quando j havia disponibilidade de resistores do tipo A e tambmdotipoC, foramutilizados7resistoresdotipoAe8resistoresdotipoC, 12 R$ 38,00 R$ 39,00 R$ 51,00obtendo o mesmo valor de resistncia. Qualo valor de cada resistor de cada tipo? Resolva pelo dispositivo prtico de Gauss/Seidel, com preciso de uma casa decimal.5) Numa linha de produo de aparelhos eletrnicos h trs vezes mais potencimetros (P) do que transistores (T). Esses componentes devem ser distribudos aos aparelhos (A) fabricados nesta linha. Secadaaparelho(A) receber 5transistores(T) e8potencimetros(P), restaro21 potencimetros (P) e os transistores (T) sero todos utilizados. Quantos componentes (T e P) e aparelhos(A) haviamnabanca?Sistematizeoproblemaemformadeumsistemalinear e resolva-o pelo mtodo de CrammerErrosErros Absolutos e Erros RelativosErro AbsolutoSendo o nmero x e sua aproximao x, o erro absoluto entre eles dado por: x x ea .Seja por exemplo a aproximao do nmero . Sabe-se que( ) 15 , 3 ; 14 , 3 .Oerroabsolutoentreestesdoisvaloresexpressopor:01 , 0 14 , 3 15 , 3 ae. Dizemosqueoerro absoluto entre esses dois nmeros no mximo igual a 0,01 pois no conhecemos exatamente qual o valor do .No entanto, se calcularmos o erro entre os nmeros25 , 2345 xe 26 , 2345 x teremos 01 , 0 25 , 2345 26 , 2345 ae. Oseja, oerroabsolutoestnamesmafaixadegrandeza, pormos nmeros dados no esto na mesma ordem de grandeza. Para descrever a preciso dos erros envolvidos, necessrio envolver a grandeza dos valores associados. Neste caso calcula-se o erro relativo.Erro Relativo:Sendo o nmero x e sua aproximao x, o erro relativo entre eles dado por xeear.No caso dos nmeros utilizados nos exemplos acima teremos:a) 310 2 , 315 , 314 , 3 15 , 3 x erb) 610 3 , 425 , 234525 , 2345 26 , 2345 x er13Assim, o nmero mostrado no segundo caso tem sua representao de aproximao dada com maior preciso que o nmero mostrado no primeiro caso.Exerccio: Calcule os erros absoluto e relativo entre os nmeros :67 , 35 x e84 , 35 x1260 y e1540 yQual desse nmeros apresentado com melhor aproximao?Erros ComputacionaisGrandepartedasvezes oserros soobtidosquandooperadospor sistemas computacionaiscomoos processadores numricos dos computadores. Para calcularmos os erros associados s operaes e armazenamento dos nmeros nos sistemas computacionais, vamos analisar como os nmeros so introduzidos e armazenados nas memrias das mquinas.Uma operao de armazenamento na memria do computador se d no sistema binrio, isto , com os algarismos 0 e 1. Conforme o espao de alocao de um nmero na memria, parte de sua representao decimal ou parte de sua representao binria pode ser perdida no truncamento desses valores.Para calcularmos os erros de truncamento nessas operaes, vamos ver como transformar nmeros de base decimal para a base binria e vice-versa.Base decimal para binria: Aparte inteira do nmero divide-se por dois, emseguida divide-se o quociente por dois, assim sucessivamente at que o quociente seja nulo. Toma-se todos os restos da diviso na ordem inversa daquele que se efetuou os clculos.A parte decimal multiplica-se por 2 at que a nova parte decimal seja nula. Toma-se as partes inteiras dos resultados.Exemplo: (5,25)105 21 2 20 1 21 0Logo, (5,25)10 = (101,01)2Base Binria para a base decimal.Pelosistemaposicionaldenumerao, multiplica-secadaalgarismodabasebinriapor2elevadoao expoente relativo sua posio no nmero. Somam-se todos os resultados.Exemplo: (101,01)21x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2 = 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 = 5,25Logo: (101,01)2 = (5,25)10Erros de aproximao:140,25x2=0,500,50x2=1,00As aproximaes serofeitas procurandocometer omenor erropossvel. Assimumnmeroser arredondado para n casas decimais, quando necessrio, somando-se o algarismo 5 na casa decimal da (n+1) posioetruncando-seonmeroaps esteprocesso, comncasas decimais. Ovalor obtidoestar arredondado.Exemplo: Arredondamento com 3 casas decimais dos nmeros abaixo:4 , 2 6 1 4 3 1 3 , 2 1 3 5+ 5 + 5= 4 , 2 6 1 9 3 =1 3 , 2 1 4 0MTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDELIntroduo :Todo sistema apresentado da forma Ax = b pode ser reescrito, seguindo o algoritmo de Gauss-Seidel,na forma equivalente x = Bx + d.A partir da forma equivalente acima, podemos construir uma seqncia de vetores de x0 at xn da seguinte forma :x0 (Vetor arbitrrio)x1 = Bx0 + d (Primeira iterao)x2 = Bx1 + d (Segunda iterao)x3 = Bx2 + d (Terceira iterao)...xn = Bxn-1 + d (n-sima iterao)Caso esta seqncia apresente convergncia, ou seja, sennx lim x , ela aceita o clculo ( ) d Bx d x lim B d Bx lim x lim x1 nx1 nxnx+ + + , demonstrando ser x soluo do sistema.Emlinhasgerais, paradeterminarmos a soluode umsistema,iteramosk vezese verificamosse existe umaconvergnciados resultados obtidos, tal convergncia xk ser considerada umvalor aproximado da soluo x. A diferena x - xk ser chamada de erro de truncamento.2 , 4 2 6 8 252 , 4 2 7 3 215Algoritmo iterativo de Gauss-Seidel:Seja o sistema Ax = b de terceira ordem temos :' + + + + + +3 33 32 312 23 22 211 13 12 11b z a y a x ab z a y a x ab z a y a x aVamos agora dividir a resoluo deste sistema em trs passos bsicos ...1 PassoDividir todos os termos da primeira equao por a11 , dvidir todos os termos da segunda equao por a22 e assim por diante.Logo temos : ' + + + + + +333333333323331222222322222221111111311121111abzaayaaxaaabzaayaaxaaabzaayaaxaa

' + + + + + +333333233312222223222111111131112abz yaaxaaabzaay xaaabzaayaax .2 PassoIsolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos :'+ + + + + 333333233312222223222111111131112abz 0 yaaxaazabzaay 0 xaayabzaayaax 0 x .3 PassoAtribumos valores arbitrrios para x, y e z os quais sero identificados como x(0), y(0) e z(0), tais valores, so chamados de valores iniciais e em linhas gerais sero usados os termos independentes de cada linha do sistema, logo temos :333 ) 0 (222 ) 0 (111 ) 0 (abz ,aby ,abx . Cada grupo de novos valores de x, y e z que sero encontrados, tero como base os ltimos valoresanteriormente encontrados iterando-se cada linha do sistema acima, da temos :16'+ + + + + 333 ) 0 ( ) 1 (3332 ) 1 (3331 ) 1 (222 ) 0 (2223 ) 0 ( ) 1 (2221 ) 1 (111 ) 0 (1113 ) 0 (1112 ) 0 ( ) 1 (abz 0 yaaxaazabzaay 0 xaayabzaayaax 0 x'+ + + + + 333 ) 1 ( ) 2 (3332 ) 2 (3331 ) 2 (222 ) 1 (2223 ) 1 ( ) 2 (2221 ) 2 (111 ) 1 (1113 ) 1 (1112 ) 1 ( ) 2 (abz 0 yaaxaazabzaay 0 xaayabzaayaax 0 x...'+ + + + + + + ++ ++333 ) n ( ) 1 n (3332 ) 1 n (3331 ) 1 n (222 ) n (2223 ) n ( ) 1 n (2221 ) 1 n (111 ) n (1113 ) n (1112 ) n ( ) 1 n (abz 0 yaaxaazabzaay 0 xaayabzaayaax 0 x.Tais iteraes sero efetuadas at que seja encontrada a convergncia total, ou seja, os valores de x, y e z duas iteraes imediatamenteseguidas devem ser exatamente iguais um a um , dax(n)= x(n+1),y(n)= y(n+1)ez(n) = z(n+1).Vamos agora, ilustrar esta teoria com alguns exemplos prticos...Exemplo 1 Encontreasoluodosistemaabaixo, pelomtodoiterativodeGauss-Seidel, utilizandoumacasa decimal depois da vrgula.' + + + + 18 z 15 y x 28 z y 8 x9 z y 2 x 10Resoluo:1 PassoTemos a11 = 10, a22 = 8 e a33 = 15.17Da : ' + + + + 1518z1515y151x15288z81y88x81109z101y102x1010

' + + + + 2 , 1 z y 1 , 0 x 1 , 00 , 1 z 1 , 0 y x 1 , 09 , 0 z 1 , 0 y 2 , 0 x.2 PassoIsolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos :'+ + + + + + + 2 , 1 z 0 y 1 , 0 x 1 , 0 z0 , 1 z 1 , 0 y 0 x 1 , 0 y9 , 0 z 1 , 0 y 2 , 0 x 0 x .3 PassoValores iniciais '2 , 1 z0 , 1 y9 , 0 x) 0 () 0 () 0 (. 1 Iterao( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' + + + + + + + 0 , 1 z 2 , 1 2 , 1 0 0 , 1 1 , 0 0 , 1 1 , 0 z0 , 1 y 0 , 1 2 , 1 1 , 0 0 , 1 0 0 , 1 1 , 0 y0 , 1 x 9 , 0 2 , 1 1 , 0 0 , 1 2 , 0 ) 9 , 0 ( 0 x) 1 ( ) 1 () 1 ( ) 1 () 1 ( ) 1 ( .2 Iterao( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' + + + + + + + 0 , 1 z 2 , 1 0 , 1 0 0 , 1 1 , 0 0 , 1 1 , 0 z0 , 1 y 0 , 1 0 , 1 1 , 0 0 , 1 0 0 , 1 1 , 0 y0 , 1 x 9 , 0 0 , 1 1 , 0 0 , 1 2 , 0 ) 0 , 1 ( 0 x) 2 ( ) 2 () 2 ( ) 2 () 2 ( ) 2 ( .Como temos x(2) = x(1), y(2) = y(1)ez(2) = z(1), respectivamente, dizemos que houve convergncia e que portanto as solues aproximadas do sistema so: ' 0 , 1 z z z0 , 1 y y y0 , 1 x x x) 2 ( ) 1 () 2 ( ) 1 () 2 ( ) 1 (.18

Exemplo 2Encontreasoluodosistemaabaixo, pelomtodoiterativodeGauss-Seidel,utilizandoduascasa decimal depois da vrgula.' + + + + + 6 z 9 y 3 x 25 z y 10 x4 z y 2 x 7Resoluo:1 PassoTemos a11 = 7, a22 = 10 e a33 = 9.Da : ' + + + + 96z99y93x92105z101y1010x10174z71y72x77

' + + + + 67 , 0 z y 33 , 0 x 22 , 050 , 0 z 10 , 0 y x 10 , 0057 z 14 , 0 y 29 , 0 x.2 PassoIsolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos :'+ + + + + + 67 , 0 z 0 y 33 , 0 x 22 , 0 z50 , 0 z 10 , 0 y 0 x 10 , 0 y57 , 0 z 14 , 0 y 29 , 0 x 0 x .3 PassoValores iniciais '67 , 0 z50 , 0 y57 , 0 x) 0 () 0 () 0 (. 19Portanto S = { ( 1,0 ; 1,0 ; 1,0 ) }1 Iterao( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' + + + + + + 41 , 0 z 67 , 0 67 , 0 0 37 , 0 33 , 0 62 , 0 22 , 0 z37 , 0 y 50 , 0 67 , 0 10 , 0 50 , 0 0 62 , 0 10 , 0 y62 , 0 x 57 , 0 67 , 0 14 , 0 50 , 0 29 , 0 ) 57 , 0 ( 0 x) 1 ( ) 1 () 1 ( ) 1 () 1 ( ) 1 (.2 Iterao( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' + + + + + + 40 , 0 z 67 , 0 41 , 0 0 40 , 0 33 , 0 62 , 0 22 , 0 z40 , 0 y 50 , 0 41 , 0 10 , 0 37 , 0 0 62 , 0 10 , 0 y62 , 0 x 57 , 0 41 , 0 14 , 0 37 , 0 29 , 0 ) 62 , 0 ( 0 x) 1 ( ) 2 () 2 ( ) 2 () 2 ( ) 2 ( .3 Iterao( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' + + + + + + 40 , 0 z 67 , 0 40 , 0 0 40 , 0 33 , 0 63 , 0 22 , 0 z40 , 0 y 50 , 0 40 , 0 10 , 0 40 , 0 0 63 , 0 10 , 0 y63 , 0 x 57 , 0 40 , 0 14 , 0 40 , 0 29 , 0 ) 62 , 0 ( 0 x) 3 ( ) 3 () 3 ( ) 3 () 3 ( ) 3 ( .4 Iterao( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' + + + + + + 40 , 0 z 67 , 0 40 , 0 0 40 , 0 33 , 0 63 , 0 22 , 0 z40 , 0 y 50 , 0 40 , 0 10 , 0 40 , 0 0 63 , 0 10 , 0 y63 , 0 x 57 , 0 40 , 0 14 , 0 40 , 0 29 , 0 ) 63 , 0 ( 0 x) 4 ( ) 4 () 4 ( ) 4 () 4 ( ) 4 ( .Como temos x(4) = x(3),y(4) = y(3)ez(4) = z(3), respectivamente, dizemos que houve convergncia eque portanto as solues aproximadas do sistema so: ' 40 , 0 z z z40 , 0 y y y63 , 0 x x x) 4 ( ) 3 () 4 ( ) 3 () 4 ( ) 3 (.DISPOSITIVO PRTICO DE GAUSS-SEIDELOs clculos que acabamos de realizar podem ser simplificados usando-se uma tabela que discrimina os elementos do sistema, de forma a otimizar os clculos. Tal tabela conhecida pelo nome de DISPOSITIVO PRTICO DE GAUSS-SEIDEL.Vamos detalhar passo a passo a sua construousando para isso o exemplo 1 ...... Encontre a soluo do sistema abaixo, pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel, utilizando uma casa decimal depois da vrgula.' + + + + 18 z 15 y x 28 z y 8 x9 z y 2 x 101 PassoTemos a11 = 10, a22 = 8 e a33 = 15.Da :20Portanto S = { ( 0,63 ; 0,40; 0,40 ) } ' + + + + 1518z1515y151x15288z81y88x81109z101y102x1010

' + + + + 2 , 1 z y 1 , 0 x 1 , 00 , 1 z 1 , 0 y x 1 , 09 , 0 z 1 , 0 y 2 , 0 x.2 PassoIsolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos :'+ + + + + + + 2 , 1 z 0 y 1 , 0 x 1 , 0 z0 , 1 z 1 , 0 y 0 x 1 , 0 y9 , 0 z 1 , 0 y 2 , 0 x 0 x .3 PassoValores iniciais '2 , 1 z0 , 1 y9 , 0 x) 0 () 0 () 0 (. Note que at aqui nada mudou em relao resoluo sem o D.P.G-S. Vamos agora a construo do dispositivo propriamente dito...Tabela ...Usando o resultado do 2 Passotemos :A prxima linha ( Iterao 0 ) ser preenchida pelos valores iniciais, ou seja, os termos independentes do 3 Passo...Linha x y z Termo indep. ( T.I )L10 0,2 -0,1 0,9L2-0,1 0 0,1 1,0L3-0,1 -0,1 0 1,2Linha x y z Termo indep. (T.I )L10 0,2 -0,1 0,9L2-0,1 0 0,1 1,0L3-0,1 -0,1 0 1,2Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 021Iteraes ...A prxima linha ( Iterao 1 ) ser preenchida da seguinte forma: O elemento x(1) resultado da soma de cada elemento da linha L1 multiplicado pelo ltimo elemento de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L1, ou seja : x(1) = 0.0,9 + 0,2.1,0 0,1.1,2 + 0,9 = 1,0O elemento y(1) resultado da soma de cada elemento da linha L2 multiplicado pelo ltimo elemento de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L2, ou seja : y(1) = -0,1.1,0 + 0.1,0 + 0,1.1,2 + 1,0 = 1,0.O elemento z(1) resultado da soma de cada elemento da linha L3 multiplicado pelo ltimo elemento de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L3, ou seja : Linha x y z Termo indep. (T.I )L10 0,2 -0,1 0,9L2-0,1 0 0,1 1,0L3-0,1 -0,1 0 1,2Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1Linha x y z Termo indep. (T.I )L10 0,2 -0,1 0,9L2-0,1 0 0,1 1,0L3-0,1 -0,1 0 1,2Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1,0 122Iteraes ...Iteraes ...z(1) = -0,1.1,0 0,1.1,0 + 0.1,2 + 1,2 = 1,0.A prxima linha ( Iterao 2 ) ser preenchida da seguinte forma: O elemento x(2) resultado da soma de cada elemento da linha L1 multiplicado pelo ltimo elemento de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L1, ou seja : x(2) = 0.1,0 + 0,2.1,0 0,1.1,0 + 0,9 = 1,0O elemento y(2) resultado da soma de cada elemento da linha L2 multiplicado pelo ltimo elemento de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L2, ou seja : y(2) = -0,1.1,0 + 0.1,0 + 0,1.1,0 + 1,0 = 1,0.O elemento z(2) resultado da soma de cada elemento da linha L3 multiplicado pelo ltimo elemento de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L3, ou seja : Linha x y z Termo indep. (T.I )L10 0,2 -0,1 0,9L2-0,1 0 0,1 1,0L3-0,1 -0,1 0 1,2Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1,0 1,0 1Linha x y z Termo indep. (T.I )L10 0,2 -0,1 0,9L2-0,1 0 0,1 1,0L3-0,1 -0,1 0 1,2Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1,0 1,0 11,0 2Linha x y z Termo indep. (T.I )L10 0,2 -0,1 0,9L2-0,1 0 0,1 1,0L3-0,1 -0,1 0 1,2Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1,0 1,0 11,0 1,0 223Iteraes ...Iteraes ...Iteraes ...z(2) = -0,1.1,0 0,1.1,0 + 0.1,0 + 1,2 = 1,0.Como temos x(2) = x(1), y(2) = y(1)ez(2) = z(1), respectivamente, dizemos que houve convergncia e que portanto as solues aproximadas do sistema so: ' 0 , 1 z z z0 , 1 y y y0 , 1 x x x) 2 ( ) 1 () 2 ( ) 1 () 2 ( ) 1 (.

Exerccios :Resolva os sistemas abaixo, pelo M.I.G-S, utilizando o D.P.G-S, usando, durante os clculos,DUAS CASAS decimais aps a vrgula.1 )' + + +2 z 5 y x3 z 4 y 10 x2 z y 3 x 10 S = { ( 0,29;-0,44;-0,43 ) }2 )' + + + + 12 z 7 y 3 x 24 z y 4 x5 z 2 y 2 x 5S ={ ( 1,00;1,00;0,99 ) }3 )' + + + + + + + +0 w 5 z y x1 w 2 z 15 y 3 x 22 w z y 8 x1 w 4 z 3 y 2 x 10S ={ ( 0,21;-0,20;0,10;-0,10 ) }Linha x y z Termo indep. (T.I )L10 0,2 -0,1 0,9L2-0,1 0 0,1 1,0L3-0,1 -0,1 0 1,2Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1,0 1,0 11,0 1,0 1,0 224Iteraes ...Portanto S = { ( 1,0 ; 1,0 ; 1,0 ) }CONVERGNCIANosexemplos e exerccios vistos at agora, todos apresentaram CONVERGNCIA. Todavia, alguns sistemas lineares no apresentam tal caracterstica. Quando tal fato ocorre, o mtodo iterativo de Gauss-Seidel no resolve tais sistemas.Veja o exemplo abaixo, num sistema que S.P.D.' + + + +10 z 10 y x13 z y 10 x 27 z 2 y 10 x .Resolvendo o sistema por G-S temos:'+ + + + + + + 0 , 1 z 0 y 1 , 0 x 1 , 0 z3 , 1 z 1 , 0 y 0 x 2 , 0 y0 , 7 z 0 , 2 y 0 , 10 x 0 x.Da ...25Aseqnciadevetores CONVERGENTE,poisa matrizAsatisfazoCritrio da soma por linhas.Aseqnciadevetores PODERouNOser convergente,poisamatrizA NOsatisfazoCritrioda soma por linhas.

Valores iniciais '0 , 1 z3 , 1 y0 , 7 x) 0 () 0 () 0 (. 1 Iterao' 6 , 1 z2 , 2 y0 , 4 x) 1 () 1 () 1 (. 2 Iterao' 6 , 2 z8 , 3 y8 , 11 x) 2 () 2 () 2 (.3 Iterao' 3 , 4 z8 , 6 y0 , 26 x) 3 () 3 () 3 ( .4 Iterao' 4 , 7 z1 , 12 y0 , 51 x) 4 () 4 () 4 (.5 Iterao' 1 , 13 z9 , 21 y4 , 99 x) 5 () 5 () 5 (.Nota-se claramente que o sistema estudado NO APRESENTA CONVERGNCIA. Da, no podemos usar o Mtodo iterativo de Gauss-Seidel. Ento,sempre queformosresolverum sistema peloM.I.G-S, devemos antes verificar se omesmo CONVERGENTE. Umdos mtodos mais conhecidos ochamadoCRITRIODASOMAPOR LINHAS.CRITRIO DA SOMA POR LINHASSeja, por exemplo, A a matriz dos coeficientes de um sistema linear de 3 ordem dada por:111]1

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aATemos :111311121aaaaS + 222322212aaaaS + 333233313aaaaS + As barras ao lado das fraes representam MDULOS.26Aseqnciadevetores CONVERGENTE,poisa matrizAsatisfazoCritrio da soma por linhas.Aseqnciadevetores PODERouNOser convergente,poisamatrizA NOsatisfazoCritrioda soma por linhas.Aseqnciadevetores PODERouNOser convergente,poisamatrizA NOsatisfazoCritrioda soma por linhas.Se S1 < 1, S2 < 1 e S3 < 1, ento as seqncias ') n ( ) 1 n ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 () n ( ) 1 n ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 () n ( ) 1 n ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 (z , z ,..., z , z , zy , y ,..., y , y , yx , x ,..., x , x , x so CONVERGENTES. Exemplos :Verifique as convergncias das seqncias de vetores dos sistemas:a ) ' + + + +15 z 9 y 5 x 39 z 7 y 10 x 27 z 2 y x 5Resoluo :111]1

9 5 37 10 22 1 5A, logo'9 a10 a5 a332211Temos :0 , 1 6 , 0 S5352515251S1 1< + +

0 , 1 9 , 0 S109107102107102S2 2< + + 0 , 1 9 , 0 S9895939593S3 3< + +

b ) ' + + +12 z 11 y 4 x 510 z y 10 x 24 z 2 y x 3Resoluo :111]1

11 4 51 10 22 1 3A, logo' 11 a10 a3 a332211Como todos os valores so em MDULO, no usaremos tal notao e escreveremos todos os valores como sendo POSITIVOS ...Temos :27Aseqnciadevetores CONVERGENTE,poisa matrizAsatisfazoCritrio da soma por linhas.Aseqnciadevetores PODERouNOser convergente,poisamatrizA NOsatisfazoCritrioda soma por linhas.Aseqnciadevetores PODERouNOser convergente,poisamatrizA NOsatisfazoCritrioda soma por linhas.Aseqnciadevetores CONVERGENTE,poisa matrizAsatisfazoCritrio da soma por linhas.O critrio de soma por linhas s vale para dizer se o sistema convergente. Se no for satisfeito, nada podemos concluir !!!0 , 1 0 , 1 S333231S1 1 +

c ) ' + + + 19 z 4 y 10 x 22 z 3 y x131 z 2 y x 5Resoluo :111]1

4 10 23 1 12 1 5A, logo'4 a1 a5 a332211Temos :0 , 1 6 , 0 S5352 1S1 1< + 0 , 1 0 , 4 S1413 1S2 2> + d)Usandoosistemadoexemplo(c), permuteaslinhas2e3eestudeaconvergnciadosistema equivalente.Resoluo :Sistema equivalente' + + + 2 z 3 y x19 z 4 y 10 x 2131 z 2 y x 5 ;28Aseqnciadevetores PODERouNOser convergente,poisamatrizA NOsatisfazoCritrioda soma por linhas.Aseqnciadevetores CONVERGENTE,poisa matrizAsatisfazoCritrio da soma por linhas.Aseqnciadevetores CONVERGENTE,poisa matrizAsatisfazoCritrio da soma por linhas.111]1

3 1 14 10 22 1 5A, logo' 3 a10 a5 a332211Temos :0 , 1 6 , 0 S5352 1S1 1< +

0 , 1 6 , 0 S106104 2S2 2< + 0 , 1 7 , 0 S3231 1S3 3< +

Obs.: Ao permutarmos as equaes de um sistema linear, as solues NO SE ALTERAM, por isso, sempre antes de estudarmos a CONVERGNCIA pelo C.S.P.L interessante reescrevermos o sistema de forma que os coeficientes de MAIOR PESO de cada varivel fiquem na DIAGONAL PRINCIPALda matriz. Exemplo :e )' + + + + + + +15 w z y 6 x 219 w 4 z 3 y 10 x 2017 w z 9 y 5 x 220 w 9 z 3 y 2 xResoluo :29Aseqnciadevetores CONVERGENTE,poisa matrizAsatisfazoCritrio da soma por linhas.Aseqnciadevetores CONVERGENTE,poisa matrizAsatisfazoCritrio da soma por linhas.Sistema equivalente' + + + + + + + 20 w 9 z 3 y 2 x17 w z 9 y 5 x 215 w z y 6 x 219 w 4 z 3 y 10 x 20 ;1111]1

9 3 2 11 9 5 21 1 6 24 3 10 20A, logo'9 a9 a6 a20 a44332211Temos :0 , 1 9 , 0 S2017204 3 10S1 1< + +

0 , 1 7 , 0 S6461 1 2S2 2< + + 0 , 1 9 , 0 S9891 5 2S1 3< + +

0 , 1 7 , 0 S9693 2 1S4 41< + +Exerccios :Verifique se o sistema abaixo pode ser resolvido pelo processo iterativo que gera seqncia de vetores, considerando, caso necessrio, a permutao das equaes.1 )' + + + +15 z 3 y 2 x 1020 z 15 y 5 x 1019 z 4 y 15 x 2 Resp.: Nada podemos concluir sobre a convergncia 2 )' + + +15 z 4 y 5 x 1025 z y 15 x 1010 z 9 y 5 x 2Resp.: Convergente 30Aseqnciadevetores CONVERGENTE,poisa matrizAsatisfazoCritrio da soma por linhas.3 )' + +15 z 10 y 27 z y x 59 z 7 x 5Resp.: Nada podemos concluir sobre a convergncia4 ) A matriz abaixo a matriz completa associada a um sistema linear...a )111]1

13 9 4 a20 7 10 210 a 1 5] [ 4 , 4 a S b )

,_

13 9 4 320 7 a 210 3 1 5 ] [ ] [ + , 9 9 , a S c )

,_

13 9 4 a20 7 a 210 a 1 5 SPara que valores de a o sistema correspondente, SEM PERMUTAO DE EQUAES, pode ser resolvido por um processo iterativo? MTODO DE NEWTON PARA SISTEMAS TRANSCEDENTESTomemos o sistema '0 ) y , x ( G0 ) y , x ( F, ele pode ser reescrito na forma ') y , x ( G y) y , x ( F x____ , onde a soluo a ser determinada ) y , x ( u__ __.Considerando que0xG.yFyG.xF) y , x ( D esteja em uma vizinhana de) y , x ( u__ __, utilizaremos o Mtodo deNewton para encontrar a soluo deste sistema. Tal mtodo consiste emum algoritmo que chega a tal soluo de forma iterativa.Num primeiro momento, escolhe-se x0e y0como valores iniciais da soluo do sistema. A partir da usamos as frmulas iterativas abaixo para obteno das seqncias ...31

,_

+xG.yFyG.xF) y , x ( G .yFyG. ) y , x ( Fx xr 1 r ( 1 )

,_

+xG.yFyG.xFxG). y , x ( F ) y , x ( G .xFy yr 1 rO ndice r indica que o clculo feito para xr e yr .Se as seqncias forem CONVERGENTES, ento elas convergem para a SOLUO do sistema.Exemplo :Encontre, usando o mtodo de Newton para sistemas transcendentes, a soluo do sistema ' + +0 1 x y0 1 y x22.Resoluo :Temos F(x, y ) = x2+ y 1 e G(x, y ) = y2+ x 1, logo encontramos as derivadas parciais de primeira ordem so:1yFx 2xF

y 2yG1xGUtilizando as frmulas ( 1 ), temos :yGxGyFxFyG) y , x ( GyF) y , x ( Fx xr 1 r +eyGxGyFxF) y , x ( GxG) y , x ( FxFy yr 1 r +Considerando '1 y1 x00e utilizando as frmulas acima, obtemos :32'67 , 0 y67 , 0 x11 '62 , 0 y62 , 0 x22 '62 , 0 y62 , 0 x33 Como temos ' 62 , 0 y y62 , 0 x x3 23 2ento a soluo do sistema S = { ( 0,62 ; 0,62 )}.Exerccios : Encontre, usando o mtodo de Newton para sistemas transcendentes, a soluo dos sistemas : a ) ' + +0 2 y x0 1 y x comx0 = -1 ey0 = 2 S ={ ( -0,70;1,70 ) }b ) ' + +0 1 x y ln0 1 y x ln comx0 = 1 ey0 = 1S ={ ( 1,00;1,00 ) }

c ) ' +0 x y ln0 1 y x ln comx0 = 0,50 ey0 = 1,69 S ={ ( 0,51;1,67 ) }MTODO DE NEWTON RAPHSONO mtodo de Newton-Raphson um dos mais utilizados quando a finalidade calcular as razes de uma equao. Tomemos f(x) = 0 uma equao, temos x = F(x) uma transformao de f(x) = 0. Tal transformao pode ser representada pela seqncia :x1 = F(x0)x2 = F(x1)x3 = F(x2)...xn+1 = F(xn)Se tal seqncia for convergente, temos lim xn = r, seja F(x) contnua, temos:33r = lim xn+1 =lim F(xn) = F(lim xn) = F(r)onde r raiz de x = F(x), logo f(x) = 0.O mtodo de Newton-Raphsonnos leva a transformarf(x) = 0 em uma equao conveniente onde a nica dependncia para que seja convergente a escolha do x0, da temos ) x ( ' f) x ( fx ) x ( F , donde obtm-se a frmulaAPLICANDO A FRMULA . . .1 )Resolvendo a equao x2 5 = 0, com preciso de 2 casas decimais.Resoluo : t 5 x 5 x 0 5 x2 2Uma das razes x] 2, 3 [ , pois5 maior que 2 e menor que 3.' x 2 ) x ( ' f5 x ) x ( f2 temos . 25 , 2 x4941 84124) 1 (245 42) 2 ( 25 ) 2 (2) 2 ( ' f) 2 ( f2) x ( ' f) x ( fx x12000 1 + +

. 24 , 2 x ...) 25 , 2 ( 25 ) 25 , 2 (25 , 2) 25 , 2 ( ' f) 25 , 2 ( f25 , 2) x ( ' f) x ( fx x22111 2 . 24 , 2 x ...) 24 , 2 ( 25 ) 24 , 2 (24 , 2) 24 , 2 ( ' f) 24 , 2 ( f24 , 2) x ( ' f) x ( fx x32222 3

Como x3 = x2 temos. 34) x ( ' f) x ( fx xnnn 1 n +Frmula de Newton-Rapson) x ( ' f) x ( fx xnnn 1 n +Para x0 = 2 . . .Resp. : x2,242 )Idem para 2x 2 1x ln ; [ 00 , 1 ; 50 , 0 ] x com preciso de 2 casas decimais.Resoluo : 0 2 x 4 x ln x 4 2 x ln ) x 2 1 ( 2 x ln 2x 2 1x ln + Logo ...'+ + + x1 x 44x1) x ( ' f2 x 4 x ln ) x ( f temos . 62 , 0 x ...50 , 01 ) 50 , 0 ( 42 ) 50 , 0 ( 4 ) 50 , 0 ln(50 , 0) 50 , 0 ( ' f) 50 , 0 ( f50 , 0) x ( ' f) x ( fx x1000 1 + +

. 62 , 0 x ...62 , 01 ) 62 , 0 ( 42 ) 62 , 0 ( 4 ) 62 , 0 ln(62 , 0) 62 , 0 ( ' f) 62 , 0 ( f62 , 0) x ( ' f) x ( fx x2111 2 + + Como x2 = x1 temos. ====================================================================== Exerccios :1 ) Idem para 2x3 + ln x - 5 = 0, sabendo-se que x ] 1,00 ; 2,00 [. Use 2 casas decimais de preciso.

33 , 1 x : . sp Re Observao para os execcios 2 e 3: Na maioria das vezes, indicamos um erro de preciso (E) que o fator de comparao da nossa resposta. Para verificarmos se o valor de x calculado est dentro desta margem de erro, basta efetuarmos E = | xn+1 xn | e compararmoso resultado com o erro Esolicitado no exerccio, caso ele no se enquadre, devemos continuar as iteraes at o seu enquadramento. Desta forma, ns no precisamos comparar o resultado de x encontrado, com o resultado de x anterior e assim a resposta ser 2x xxn 1 n++. Vamos ver se voc entendeu ...2 ) Idem para x3 + x 3 = 0com erro de preciso E 0,005, sabendo-se que x] 1, 2 [. 35) x ( ' f) x ( fx xnnn 1 n +Para x0 = 0,50 . . .Resp. : x0,62 Use 2 casas decimais de preciso SOMENTE NA RESPOSTA FINAL. 21 , 1 x : . sp Re 3 ) Idem para ln x + x = 0com erro de preciso E 0,005, sabendo-se que x] 0, 1 [. Use 2 casas decimais de preciso SOMENTE NA RESPOSTA FINAL.57 , 0 x : . sp Re MTODO DE NEWTON-RAPHSON-SEPARAO DE RAZES Vamos aprender agora, um mtodo que nos permite localizar o intervalo aonde se encontram as razes deumaequao. Tal mtodonosauxiliarparaqueefetuemosaescolhadox0deformaatentarmos minimizar o nmero de iteraes. O mtodo consiste em uma srie de procedimentos que indicaremos a seguir ...1 )Verificar a condio de existncia principal das funes envolvidas na equao.2 )Considerando que a funo principal f(x) estudada no exerccio seja definida nos intervalos] [ ] [ + ; a e a ;, calcular :36 ) x ( f lim) x ( f lim) x ( f lim) x ( f limxa xa xx + + +3 )Determine x , tal que f (x) = 0. 4 )Localizar, por qualquer mtodo, os pontos de mximo e mnimo relativos da funo. Sugerimos aqui, usar o mtodo da segunda derivada por ser mais rpido do que a tabela de intervalos estudada em CDI II, apesar desta sermaisconfivel,poisnoapresentainconsistnciaquandof (x) = 0.5 )Determine x , tal que f (x) = 0.6 )Localizar os pontos de inflexo da funo.7 ) Testar valores de x na funo f(x) com a finalidade de definir os intervalos aonde a mesma muda de sinal eassimpodermosaplicar omtododeNewton-Raphson, elocalizarmosasrazesdaequao estudada.8 ) Esboar o grfico da funo f(x).Vamos agora apresentar um exemplo para que possamos aplicar esta metodologia ... Determine as razes da equao0 2x1x ln + e esboce o grfico das funo f(x)correspondente, utilizando para tal, o mtodo de separao de razes.Resoluo : 1 )] [ + '>; 0 x : E . C0 x0 x: E . C, ou simplesmente, x > 0.2 )Efetuando o m.m.c em f(x) , temos : xx 2 1 x ln x) x ( f + , da ...37

. 2x1x ln limxx 2 1 x ln xlim ) x ( f lim. ) x ( f limx10 x 20 x ln xxx 2 1 x ln xlim ) x ( f limx x x0 x 0 x 0 x+

,_

+ + + '+ + + + + + + +3 )1 x 0 1 x 0x1 x) x ( ' fx1x1) x ( ' f 2x1x ln ) x ( ' f2 2'

,_

+ ( Valor crtico ).4 ) Logo, aplicando x = 1 em2x1x ln ) x ( f + , temos 1 y 2) 1 (1) 1 ln( ) 1 ( f y + , daobtemos o ponto P ( 1, -1 ).Fazendo o teste da segunda derivadatemos,x2 x) x ( ' ' f ...x1 x) x ( ' ' f'2+

,_

.Logo, aplicado em x = 1 em x2 x) x ( ' ' f+ , temos > + 0 1) 1 (2 ) 1 () 1 ( ' ' f ( Mnimo relativo ).Da temos, P ( 1, -1 ) Ponto de mnimo relativo.5 ) . 2 x 0 2 x 0x2 x) x ( ' ' f ...x1 x) x ( ' ' f'2 + +

,_

( Valor crtico de inflexo ).6)Logo, aplicandox=2em2x1x ln ) x ( f + , temos81 , 0 y 2) 2 (1) 2 ln( ) 2 ( f y + , da obtemos o ponto Q ( 2; -0,81 ) Ponto de inflexo.7 ) Como + +) x ( f lim0 x temos f(x) > 0.

. 0 ) 1 ( f 1 2) 1 (1) 1 ln( ) 1 ( f y < + Logo f(x) possui uma raiz] [ 1 ; 0 xr .38

] [ . 7 6; x raiz outra possui f(x) Logo . 0 09 , 0 ) 7 ( f 2) 7 (1) 7 ln( ) 7 ( f y0 04 , 0 ) 6 ( f 2) 6 (1) 6 ln( ) 6 ( f y. 0 19 , 0 ) 5 ( f 2) 5 (1) 5 ln( ) 5 ( f y. 0 36 , 0 ) 4 ( f 2) 4 (1) 4 ln( ) 4 ( f y. 0 57 , 0 ) 3 ( f 2) 3 (1) 3 ln( ) 3 ( f y. 0 81 , 0 ) 2 ( f 2) 2 (1) 2 ln( ) 2 ( f yr > + < + < + < + < + < +

Agora utilize o M.N.R para, finalmente encontrar as razes da equao0 2x1x ln + e depois, esboce o grfico da funo correspondente2x1x ln ) x ( f + .Exerccio :Determineasrazesdaequaox7-x5+3=0eesboceogrficodasfunof(x)correspondente, utilizando para tal, o mtodo de separao de razes.Livro para consulta:Clculo Numrico: Aspectos Tericos e ComputacionaisMrcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lcia da Rocha LopesEditora MacGraw-Hill, 198839