Colégio Estadual Figueira - Matemática

Colégio Estadual Figueira - Matemática

Professor: Sulimar Gomes

quinta-feira, 20 de abril de 2023

Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”,

No nosso estudo em questão a definição de probabilidade está relacionada a chance de ocorrer determinado evento.


No sentido corrente do termo, dizemos : "É provável que amanhã eu vá ao cinema" ou "Tenho pouca probabilidade de ganhar a Mega sena".

Em ambos os casos estamos fazendo previsões futuras sobre acontecimentos que, na realidade, não podemos prever.

O que sabemos são, apenas, todas as hipóteses possíveis para esses acontecimentos, isto é sabemos que podemos ou não ir ao cinema, que podemos acertar todos os números da Mega Sena, acertar somente algum número ou não acertar nenhum, mas não temos nenhuma garantia sobre o que vai acontecer.

Estas situações (experiências) dizemos que são aleatórias.


Todo o processo de realizar observações e obter dados é denominado experimento.

Experimentos Determinísticos: são aqueles cujos resultados podem ser determinados antes de sua realização.

Por exemplo: quanto tempo levará um carro para percorrer um trajeto de 200 km numa velocidade média de 100 km/h?

Não é necessário executar o experimento para determinar a resposta: 2 horas.


Experimentos Estocásticos ou Aleatórios: Em quase todas as observações, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso.

Assim, da afirmação “é provável que o meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar:

a. que, apesar do favoritismo, ele perca;

b. que, como pensamos, ele ganhe;

c. que empate.


Experimento Aleatório : É todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados possíveis.

Exemplos: a)Lançamento de uma moeda;b)Lançamento de um dado;c)Loteria de números;d)Extração de uma carta de baralho.


Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos ao resultados possíveis desse experimento.Notação: E

Exemplos: a)No lançamento de uma moeda, temos E = {cara, coroa}b)Lançamento de um dado (perfeito), temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}


Evento é todo subconjunto de um espaço amostral E de um experimento aleatório.

Exemplos: No lançamento de um dado, observando o número da face superior, podemos descrever alguns eventos:a)A: obtenção de número par => A = {2, 4, 6}b)B: obtenção de número menor que 3 => B = {1, 2}c)C: obtenção de número maior que 5 => C = {6} (evento simples)d)D: obtenção do número 0 => D = Ǿ {evento impossível}e)E; obtenção de número menor que 7 => {1, 2, 3, 4, 5, 6)(evento certo)

Todo subconjunto unitário de E é denominado evento simples ou elementar.Chamamos E de evento certo e Ǿ de evento impossível.


Admitiremos daqui pra frente que as chances de eventos simples num espaço amostral E (não vazio e finito) sejam iguais e chamaremos E de espaço de eventos equiprováveis.

Quando se lança um dado, há seis resultados possíveis, ou seja, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Sendo um dado um cubo perfeito, não há razão para que um dos números saia mais facilmente que outro, todos têm a mesma probabilidade de sair na face superior.


No lançamento de um dado, se Ana apostar que sairá 5 e André disser que vai sair 4, nenhum deles estará em vantagem, ambos terão 1 chance em 6 de acertar.

Dizemos, então, que a probabilidade de cada um deles acertar é de:

1 em 6 ou ou 0,167 ou 16,7%6

1

Seja um evento A de espaço amostral finito E (não vazio). A probabilidade de ocorrer o evento A é a razão entre o número de elementos de A e o número de elementos de E.Indicando por:n(A) o número de elementos de A,n(E) o números de elementos de E eP(A) a probabilidade de ocorrer A )(

)()(:

En

AnAPtemos


Como consequência imediata da definição, temos:

0 ≤ P(A) ≤ 1 0% ≤ P(A) ≤ 100% ou

Nos casos extremos:

Probabilidade 0 – o evento nunca ocorre nesse experimento: é um acontecimento impossível;

Probabilidade 1 – o evento sempre ocorre sempre nesse experimento: é um evento certo.


Exemplos:a) Jogando um dado e observando a face de cima, temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Temos que: n(E) = 6 e a probabilidade dos seguintes eventos:

1) Obtenção de face de número par => A = {2, 4, 6}

2) Obtenção de face de número menor que 5 => B = {1, 2, 3, 4}

%505,02

1

6

3)(

)(

)()(: AP

En

AnAPtemos

%6767,03

2

6

4)(

)(

)()(: BP

En

BnBPtemos


Exemplos:b) Jogando dois dados, simultaneamente, temos o espaço amostral:

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Com n(E) = 36 e a probabilidade do seguinte evento:1. Obtenção de soma 5 => A = {(4,1), (3,2), (2,3), (1,4)}, n(A) = 4

%1111,09

1

36

4)(

)(

)()(: AP

En

AnAPtemos


1) Joga-se um dado honesto de seis faces e lê-se o número da face voltada para cima. Calcular probabilidade de se obter:

a) O número 5.



b) Um número ímpar.



c) Um número menor que 8.



d) Um número maior que 6.


2) Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é:


3) Jogamos dois dados. A probabilidade de obtermos pontos iguais nos dois é: a) 1/3 b) 5/36 c) 1/36 d) 1/6 e) 7/36


65

61

1q

61


361

61

.61

P2xP1


P2P1P2ouP1


31

62

61

61

P2P1P2ouP1


4) Qual a probabilidade de um casal ter 3 filhos e todos eles serem meninos?

1 º FILHO 2º FILHO 3º FILHO FINAL

MMM

MMF

MFM

MFF

FMM

FMF

FFM

FFF


5) Qual a probabilidade de um casal ter 3 filhos todos do mesmo sexo?

1 º FILHO 2º FILHO 3º FILHO FINAL

MMM

MMF

MFM

MFF

FMM

FMF

FFM

FFF


6) Em uma prova de múltipla escolha com 5 alternativas por questão, qual a probabilidade de um aluno acertar uma questão se ele “chuta” a resposta?

Espaço amostral E = {a, b, c, d, e}

Como só temos uma resposta certa a probabilidade é:

%200,251

P(A)


Em uma prova de múltipla escolha com 5 alternativas por questão, qual a probabilidade de um aluno acertar duas questão se ele “chuta” a resposta?

Espaço amostral

Como só temos uma possibilidade de acerto e 25 possibilidades diferentes,a probabilidade de acertar é:

POSSIBILIDADES DE GABARITO

AA BA CA DA EA

AB BB CB DB EB

AC BC CC DC EC

AD BD CD DD ED

AE BE CE DE EE

%0,04251

4P(A)


7) Em uma prova de múltipla escolha com 6 questões e 5 alternativas por questão, qual a probabilidade de um aluno acertar todas as questões se ele “chuta” as respostas?

Total de possibilidades = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 15 625

Como só temos uma possibilidade de acerto e 15 625 possibilidadesdiferentes, a probabilidade de acertar é:

%0,00640,00006415625

1P(A)


8) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de:a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair umabola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).

Total de bolas = 7Vermelhas = 5Brancas = 2

7

5s vermelhabolaair

6

2s brancabolaair

%8,23238,048

10

6

2.

7

5s brancabolasairdepoisevermelhabolaair


8) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de:b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.

Total de bolas = 7Vermelhas = 5Brancas = 2

7

5s vermelhabolaair

7

2s brancabolaair

%4,20204,049

10

7

2.

7

5s brancabolasairdepoisevermelhabolaair


9) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.

505 = defeituoso parafuso 1º do Retirada



:sdefeituoso parafusos 3 dos Retirada

%051,000051,0117600

60483.

494.

505




3

1:éAVcartãooetirarrdeadeprobabilidA

2

1)(: vPvermelhafaceavejajuizoquequeremoscartãoesteretiradovezUma

%6,16166,06

1

2

1.

3

1

:é situações duas essas ocorrerem de adeprobabilid a Logo



48


Futebol

204

Vôlei

x

252

252 + x + 204 + 48 = 600

x = 600 – 504

Gostam dos dois esportes: x = 96

Gosta de vôlei: 252 + x = 252 + 96 = 348 %5858,0600

348)( vP



15) Uma caixa branca contém 5 bolas verdes e 3 azuis, e uma caixa preta contém 3 bolas verdes e 2 azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, 2 dados são atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola verde?


16) Em reportagem divulgada recentemente, realizada entre mulheres executivas brasileiras, constatou-se o fato de 90% dessas mulheres se sentirem realizadas com o trabalho que desenvolvem e de 20% delas almejarem a direção da empresa em que trabalham.

Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas executivas, determine a probabilidade de essa mulher não se sentir realizada no trabalho ou não querer assumir a direção da empresa em que trabalha.


17) Uma pesquisa realizada em um hospital indicou que a probabilidade de um paciente morrer no prazo de um mês, após determinada operação de câncer, é igual a 20%.

Se três pacientes são submetidos a essa operação, calcule a probabilidade de, nesse prazo:

a) todos sobreviverem;

b) apenas dois sobreviverem.


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