Col.mat Vol3

7/29/2019 Col.mat Vol3

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COLEO EXPLORANDO O ENSINO

VOLUME 3

MATEMTICA

ENSINO MDIO


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COLEO EXPLORANDO O ENSINO

Vol. 1 Matemtica (Publicado em 2004)Vol. 2 Matemtica (Publicado em 2004)Vol. 3 Matemtica: ensino mdioBiologia, Fsica e Qumica (em elaborao)

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)Centro de Informao e Biblioteca em Educao (CIBEC)

Matemtica : ensino mdio / organizao Suely Druck; seleo de textos AnaCatarina P. Hellmeister, Cludia Monteiro Peixoto. Braslia: Ministrio daEducao, Secretaria de Educao Bsica, 2004.

246 p.: il. (Coleo Explorando o ensino, volume 3)

ISBN 85-98171-15-8

1. Educao matemtica. 2. Matemtica Ensino Mdio. I. Druck, Suely.II. Hellmeister, Ana Catarina P. III. Peixoto, Cludia Monteiro. IV. Brasil.Secretaria de Educao Bsica.

CDU: 51:373.5


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MINISTRIO DA EDUCAO

SECRETARIA DE EDUCAO BSICA

MATEMTICA

ENSINO MDIO

BRASLIA

2004


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SECRETRIO DE EDUCAO BSICAFrancisco das Chagas Fernandes

SECRETRIO DE EDUCAOTECNOLGICAAntnio Ibaez Ruiz

DIRETORA DO DEPARTAMENTO DEPOLTICAS DO ENSINO MDIOLucia Helena Lodi

Tiragem 69 mil exemplares

MINISTRIO DA EDUCAOSECRETARIA DE EDUCAO BSICA

Esplanada dos Ministrios, Bloco L, sala 500CEP: 70.047 900 Braslia DFTel. (61) 2104-8177 / 2104-8010

http://www.mec.gov.br

ORGANIZAOSuely Druck

SELEO DE TEXTOS

Ana Catarina P. HellmeisterCludia Monteiro Peixoto

EQUIPE TCNICA SEB/MECMaria Marismene GonzagaPedro Tomaz de Oliveira Neto

REVISOSilvana Cunha de Vasconcelos CastroSuely Fernandes Bechara

PROJETO GRFICOMrcio Alexandre de CastroSilvana Cunha de Vasconcelos Castro

CAPADaniel Tavares


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ASecretaria de Educao BsicaSEB do Minist-rio da Educao apresenta aos professores do ensinomdio o terceiro volume da Coleo Explorando oEnsino, iniciada com os volumes 1 e 2, j publicados.

Essa coleo tem o objetivo de apoiar o trabalho doprofessor em sala de aula, oferecendo um rico materialdidtico-pedaggico, referente s disciplinas deMatemtica, Biologia, Fsica e Qumica.

Sabemos que a Matemtica est presente na vidacotidiana de todo cidado, por vezes de formaexplcita e por vezes de forma sutil. No momento

em que abrimos os olhos pela manh e olhamos a

hora no despertador, estamos lendo na lingua-gem matemtica, exercitando nossa abstrao eutilizando conhecimentos matemticos que a hu-

manidade levou sculos para construir. quaseimpossvel abrir uma pgina de jornal cuja com-

preenso no requeira um certo conhecimentomatemtico e um domnio mnimo da linguagemque lhe prpria: porcentagens, grficos ou tabe-las so necessrios na descrio e na anlise devrios assuntos. Na sociedade atual, a Matemti-ca cada vez mais solicitada para descrever, mo-delar e resolver problemas nas diversas reas daatividade humana. Um mdico que interpreta umeletrocardiograma est utilizando um modelo ma-temtico ao dar um diagnstico, efetua um racio-cnio matemtico e emprega conhecimentos deestatstica. Um pedreiro utiliza um mtodo prtico

para construir ngulos retos que j era empregadopelos egpcios napoca dos faras. Uma costureira,ao cortar uma pea, criar um modelo, pratica sua

APRESENTAO


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APRESENTAO

viso espacial e resolve problemas de geometria. Apesar de a

Matemtica permear praticamente todas as reas do conhecimento,

nem sempre fcil mostrar ao estudante aplicaes interessantes e

realistas dos temas a serem tratados ou motiv-los com problemas

contextualizados. Para isso, importante compartilhar experincias e

essencial que o professor tenha acesso a textos de leitura agradvel que ampliem

seus horizontes e aprofundem seus conhecimentos.

Inserir o contedo matemtico num contexto mais amplo, provocando a

curiosidade do aluno ajuda a criar a base para um aprendizado slido que s

ser alcanado por meio de uma real compreenso dos processos envolvidos

na construo do conhecimento. No se trata, claro, de repetir um caminhoque a humanidade levou sculos para percorrer. No entanto, preciso incentivar

o aluno a formular novos problemas e a tentar resolver questes do seu jeito.

O espao para a tentativa e erro importante para desenvolver alguma

familiaridade com o raciocnio matemtico e o uso adequado da linguagem. Da

mesma forma que possvel ler um texto, palavra aps palavra, sem compreender

seu contedo, tambm possvel aprender algumas regrinhas e utilizar a

Matemtica de forma automtica.

Com o objetivo de ajudar o professor nas vrias reas da Matemtica, selecio-

namos alguns artigos da Revista do Professor de Matemtica (RPM) e os adap-

tamos para este volume. A RPM uma publicao da Sociedade Brasileira de

Matemtica (SBM), com apoio da Universidade de So Paulo.

O material aqui apresentado sugere a abordagem contextualizada, o uso de

material concreto e apresenta uma variedade de situaes cotidianas em que a

Matemtica se faz presente. Ao mesmo tempo, explora, em cada caso, o con-

tedo de forma rigorosa e sistemtica, levanta problemas e indica solues e,nesse processo, expe os meandros do raciocnio matemtico. Os textos esco-

lhidos esto distribudos por reas dos assuntos abordados no ensino mdio,

fornecendo exemplos de modelagem matemtica, possibilitando que o profes-

sor amplie sua viso e insira os contedos num contexto amplo e interdisciplinar.

Este terceiro volume publicado pelas Secretaria de Educao Bsica e Secre-

taria de Educao Profissional e Tecnolgica, que agradecem a participao da

comunidade matemtica, por meio da SBM Sociedade Brasileira de

Matemtica .


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Neste volume apresentamos artigos cuja leitura leva a aprofundar o

conhecimento do professor que podem ser utilizados em sala de aula,

quer por meio de atividades elaboradas pelo professor, quer como incentivo

a reflexes sobre os temas abordados.

H artigos nos quais situaes do cotidiano so resolvidas matematica-

mente, tais como: Quanto perco com a inflao, Trigonometria na ofi-

cina mecnica, A preciso do furo cilndrico, A capacidade do

graneleiro, Por que as antenas so parablicas?, A hiprbole e os

telescpios. Esses artigos fornecem exemplos para motivar e valorizar oestudo de diversos contedos programticos do ensino mdio.

A Contagem, a Probabilidade e a Estatstica so abordadas de forma a

incentivar a curiosidade, a motivar seu estudo e at a propor atividades

para uma feira de cincias em artigos como: O jogo dos discos, Probabi-

lidade geomtrica e o problema do macarro, O jogo de pquer e o

clculo de probabilidades.

Algumas crnicas, entre as quais,Professor de Matemtica cria confu-so em campeonato de futebol, As mdias nunca explicadas, Pro-

las, alm de proporcionarem leitura agradvel, colocam problemas que

so resolvidos matematicamente.

Tambm a histria da Matemtica abordada em artigos como A solu-

o de Tartaglia para a equao do terceiro grau,vinculando a Mate-

mtica histria do desenvolvimento do conhecimento humano.

H tambm artigos que abordam temas de cultura geral, que explicamprocedimentos ou contedos matemticos, exploram novas perspectivas,

proporcionando outras interpretaes. De um modo geral, os textos des-

te volume possibilitam ao professor diversificar a abordagem e a apresen-

tao de contedos programticos do ensino mdio, tornando suas aulas

mais motivadoras, contribuindo para a melhoria do aprendizado de seus

alunos.

Os captulos Curiosidades e Problemas, que apresenta questes resolvi-

das, tratam temas interessantes e estimulantes.

Introduo


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Captulo 1 lgebraProfessor de Matemtica cria confuso em campeonato de futebol

MANOEL HENRIQUE CAMPOS BOTELHO ..................................................................... 13Quanto perco com a inflao?

MANOEL HENRIQUE CAMPOS BOTELHO ..................................................................... 18Vale para 1, 2, 3, .... Vale sempre?

RENATE WATANABE ................................................................................................ 20Prolas

PAULO FERREIRA LEITE ............................................................................................ 24O nmero e, por qu?

ELON LAGES LIMA ................................................................................................. 28As dzimas peridicas e a calculadora

JOS PAULO Q. CARNEIRO .................................................................................... 31 possvel construir um tringulo cujos lados estejam em PG de razo q?

PAULO A. DA MATA MACHADO ................................................................................ 36

A soluo de Tartaglia para a equao do terceiro grauCSAR POLCINO MILIES .......................................................................................... 38

O produto de matrizesCLUDIO POSSANI ................................................................................................. 46

Sobre o ensino de sistemas linearesELON LAGES LIMA ................................................................................................. 51

Uma experincia sobre ensino de sistemas linearesMARIA CRISTINA C. FERREIRAE MARIA LAURA M. GOMES ............................................... 55

Captulo 2 FunesUso de polinmios para surpreender

CATHERINE HERR MULLIGAN .................................................................................... 65Codificando e decifrando mensagens

ANTONIOCARLOS TAMAROZZI ................................................................................... 69Trigonometria na oficina mecnica

PEDRO FIRMINODA SILVA ........................................................................................ 73Logaritmos

GERALDO VILA, RENATO FRAENKEL E ANTONIO C. G. MARTINS .................................... 75

A interpretao grfica e o ensino de funesKATIA CRISTINA S. SMOLE, MARLIA R. CENTURINE MARIA IGNEZDE S. V. DINIZ............... 84

Funes e grficos num problema de freagemGERALDO VILA .................................................................................................... 90

Ensinando trigonometria por meio da imagemABDALA GANNAM .................................................................................................. 96

Seno de 30 um meio?RENATE WATANABE ................................................................................................ 99

Captulo 3 Geometria

Por que os nomes elipse, parbola e hiprbole?GENI SHULZDA SILVA ........................................................................................... 107

Por que as antenas so parablicas?EDUARDO WAGNER .............................................................................................. 109

Sumrio


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A hiprbole e os telescpiosGERALDO VILA ................................................................................................... 114

A mgica do cuboGILDO A. MONTENEGRO ...................................................................................... 119

Semelhana, pizzas e chopesEDUARDO WAGNER .............................................................................................. 121

A preciso do furo cilndricoLUIZ MRCIO IMENES ............................................................................................ 126A capacidade do graneleiro

ANTONIO ACRA FREIRAE GERALDO GARCIA DUARTE JR ................................................ 128Fulerenos e futebol: aplicaes da frmula de Euler

LUIS FERNANDO MELLO ......................................................................................... 132Como cortar o pano para revestir o cesto?

LUIZ MRCIO IMENES ............................................................................................ 136Uma construo geomtrica e a PG

ELON LAGES LIMA ................................................................................................ 138

Corte e costuraERNESTO ROSA NETO ........................................................................................... 140Elipse, sorrisos e sussuros

RENATO J. C. VALLADARES ..................................................................................... 142

Captulo 4 Contagem, Probabilidade e Estatstica

O problema dos discosROBERTO RIBEIRO PATERLINI ................................................................................... 147

Intuio e probabilidadeRAUL F. W. AGOSTINO .......................................................................................... 154

Mdia e mdia das mdiasADILSON SIMONISE CLUDIO POSSANI ...................................................................... 156Nmero de regies: um problema de contagem

ANTONIO C. PATROCNIO ..................................................................................... 161Probabilidade geomtrica e o problema do macarro

EDUARDO WAGNER .............................................................................................. 166O jogo de pquer e o clculo de probabilidades

FLVIO WAGNER RODRIGUES ................................................................................ 171Eventos independentes

FLVIO WAGNER RODRIGUES .................................................................................. 179

Captulo 5 Curiosidades ....................................................................... 187

Captulo 6 Problemas..........................................................................213


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Captulo 1

lgebra


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Adaptado do artigo de

Manoel Henrique C. Botelho

Professor de Matemtica

cria confuso emcampeonato de futebol

Numa prspera cidade do interior de So

Paulo, o prefeito, querendo justificar anecessidade de uma Secretaria de Esportes(dizia-se para poder nomear um primo de suaesposa), decidiu implantar um campeonatode futebol.

Como no tivesse infra-estruturaadministrativa para organizar o torneio,

solicitou ao colgio estadual da cidade queorganizasse o evento, j que o colgio tinhadois professores de Educao Fsica.Ambos os professores aceitaram aincumbncia, desde que os demaismembros do corpo docente participassem.O fato que algo de contagiante aconteceu,

e todos os professores se empolgaram como torneio.

A professora de Msica adaptou umvelho hino para o hino do torneio. A

professora de Filosofia criou o cdigo detica do competidor e, como o professorde Matemtica tambm queria colaborar,

pediu-se para fazer o regulamento daescolha do vencedor.


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Alm de estabelecer os critrios gerais de classificao edesclassificao, era necessrio tambm estabelecer o critrio dedesempate, em caso de dois times ficarem no final da disputa com omesmo nmero de pontos ganhos. Era preciso, neste caso, um critrio

de deciso. Decidir por saldo de gols era perigoso, pois poderia haveruma peruada la argentina. Decidir por pnaltis era complicado,

pela prpria complexidade da cobrana, em face da famosamovimentao do goleiro antes de cobrar a falta ou da famosa

paradinha criada pelo Rei Pel, que s chuta depois que o goleiro sedesloca para um lado. Como esses critrios so sempre passveis deinterpretao, e como tribunal de futebol de vrzea costuma ser otapa, decidiu-se adotar um critrio muito usado em campeonatosestaduais e nacionais de futebol profissional: se, no final docampeonato, dois times estiverem com o mesmo nmero de pontosganhos, o campeo ser o time com maior nmero de vitrias. O

professor de Matemtica ouviu as recomendaes, fez a minuta doregulamento e apresentou-o Comisso Organizadora. Esta, por faltade tempo (eterna desculpa de ns brasileiros), aprovou tudo sem ler,em confiana!

O Campeonato comeou e, no seu desenrolar, dois times se destacaram:o Heris do Minho (que dizem, mas nunca foi provado era financiado

por um portugus, dono da maior padaria do lugar), e o Flor da Mocidade,que representava um bairro pobre do arrabalde da cidade. Com o evoluirdos jogos, o Flor da Mocidade passou frente, e s faltava um jogo nodomingo. Para seu nico rival, o Heris do Minho, tambm s restava um

jogo no sbado. Se o Flor da Mocidade vencesse no domingo, seria o

campeo pelo maior nmero de vitrias, mesmo que o Heris do Minhovencesse no sbado.

E foi o que deu. No sbado, o Heris do Minho venceu. O estdioencheu, no domingo, para ver a ltima partida.Se o Flor da Mocidade empatasse ou

perdesse, adeus ttulo. Mas, se vencesse, entoseria campeo por ter uma vitria a mais que

o Heris do Minho. No esperado domingono deu outra. No fim do primeiro tempo o


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Flor da Mocidade j vencia por trs a zero o pobre time bis Paulista. Foia que o Presidente da Comisso leu o regulamento pela primeira vez.

No se sabe se por engano datilogrfco ou erro do professor deMatemtica, o fato que o regulamento dizia, claramente:

se dois times terminarem o campeonato com o mesmo nmero depontos ganhos, ser campeo o que tiver o maior nmero dederrotas.

Era isso o que estava escrito, em total desacordo com o combinado.No intervalo do jogo, o Presidente da Comisso ps a boca notrombone e em cinco minutos todo o estdio, em efervescncia, discutiao acontecido e o que iria acontecer em face de to estranho e

heterodoxo regulamento, que, alis, no obedecia ao combinado.

Resumidamente, assim estavam os nimos na arena, digo, noestdio:

desespero no pessoal do Flor da Mocidade, pois mudara a regrado campeonato que, na verso tradicional, lhe garantiria o ttulo;

alegria no pessoal dos Heris do Minho, que via uma chance de

ser campeo ou de, no mnimo, melar o campeonato.

Para resolver esse imbrglio matemtico, foi chamado o responsvel(ou seria irresponsvel?), o professor de Matemtica, que felizmentemorava perto do estdio.

O professor de Matemtica, com uma comisso de alunos, foi at oestdio, que fervia. Metade da torcida queria brigar, qualquer que fosse oresultado. Somente algumas pessoas cuidavam da anlise da questo sem

partidarismo. Enquanto o professor de Matemtica no chegava, aprofessora de Filosofia, que pelo mestre de lgebra no tinha simpatia,deu sua contribuio, jogando gasolina na fogueira ao declarar:

a primeira vez na histria da humanidade que se declara vencedorquem mais perde. Na Grcia antiga, o perdedor era quase humilhado, eem Roma ns sabemos o que eles faziam aos gladiadores que perdiam.

No quero atacar o mestre de Matemtica, mas ele criou um regulamento

que , no mnimo, anti-histrico.


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Nessa hora chega, sereno, o professor de Matemtica, que s aceitadiscutir o assunto numa sala, diante de um quadro-negro. No seu sagradohbitat o mestre fez o quadro de resultados:

jogos empates vitrias pontos derrotasFlor da Mocidade 14 4 7 18 3

Heris 14 6 6 18 2

O professor de Matemtica explicou:

Quando dois times jogam o mesmo nmero de jogos e resultam

com o mesmo nmero de pontos ganhos, obrigatoriamente, e sempre,o time que tiver o maior nmero de vitrias ter o maior nmero dederrotas e reciprocamente.

Uma pessoa da Comisso Diretora que estava com o jornal dodia e que dava a classificao dos times profissionais no CampeonatoBrasileiro notou que o fato realmente acontecia. Ou seja, colocar noregulamento a escolha entre dois times com o mesmo nmero de jogose o mesmo nmero de pontos ganhos, pelo critrio de maior nmerode vitrias ou de maior nmero de derrotas, d no mesmo.

Todos, ou os que puderam entender, concordaram e o Flor daMocidade foi consagrado campeo, embora alguns, ou por nohaverem entendido, ou por m-f, dissessem que fora resultado detapeto (resultado jurdico obtido fora do campo).

Passados uns meses, o professor de Histria perguntou ao professor

de Matemtica como ele percebera esse fato, correto, mas curioso, deque o campeo o que mais perde, se comparado com o concorrentecom o mesmo nmero de pontos ganhos. E ouviu a seguinte histria,contada em sigilo:

A linda filha do professor de Matemtica, que estudava em umauniversidade distante, chegou das frias com o corao partido e dividida.Estava perdidamente apaixonada por dois rapazes maravilhosos.


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Um deles, Pedro, era jovem e de famlia de classe mdia em decadncia(o coitado era tambm filho de professor) e o outro, Arthur, de rica etradicional famlia pecuarista. A jovem estava dividida quanto a escolherentre um e outro, quando seu pai a orientou:

Minha filha, para uma pessoa jovem como voc, relacionar-se compessoa desquitada e talvez at com um filho, sempre um problema.

A menina, aturdida, perguntou ao pai como soube de tudo isso, seela s conhecera Arthur h quinze dias e na cidade da sua universidade,distante, muito distante da cidade onde morava seu pai. Que seu pai eramatemtico e fazia raciocnios incrveis, quase dignos de bruxo (opiniodela), ela sabia, mas a Matemtica permitiria descobrir problemas

amorosos?

O pai respondeu com a simplicidade dos matemticos:

Usei o Princpio de Roberval, ou, comodizem os fsicos, a Balana de Roberval,aquela de dois pratos iguais. Se voc estapaixonada igualmente por duas excelentes

pessoas, ento os pratos da balana estoequilibrados. Se eles esto equilibrados esurge essa brutal diferena em favor deArthur, que o fato de ele ser rico, e isso uma indiscutvel vantagem, ento Arthur deve ter, para no desequilibrar a

balana, uma grande desvantagem. Como voc disse que ele uma boapessoa, com boa probabilidade a nica desvantagem que ele deve ter ser desquitado, situao essa no ideal, pelo menos na opinio dos pais

de uma moa solteira e to jovem.A filha do matemtico ficou extasiada com a lgica dedutiva do

pai. Anos depois o pai usou essa lgica no regulamento do campeonato.Se dois times empatam, o que tiver maior nmero de vitrias deve,obrigatoriamente, ter o maior nmero de derrotas.

Lgico, no?


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Souzinha, apesar de viver em um pas que hmais de quarenta anos tem inflao, ainda no

conseguiu entend-la.

Certo dia, falou-me:

A inflao nos anos subseqentes ao ltimoaumento (melhor seria dizer reajuste) de salriofoi de 8% e 7%. J perdi com isso

8% + 7% = 15% do meu salrio.

Corrigi:No 15%, outro valor.

Souzinha respondeu:

J sei, j sei.O clculo exato

1,08 1,07 = 1,1556, ou seja, 15,5%.

Continua errado, insisti.

Souzinha bateu o p e saiu murmurandobaixinho, mas suficientemente alto para queeu pudesse ouvir:

O Botelho no tem jeito, est semprearrumando coisinhas para discutir.

Afinal, quem est certo, Souzinha ou eu?


Manoel Henrique Campos Botelho

Quanto perco com

a inflao?


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Resposta

claro que sou eu que estou certo e Souzinha est errado.Admitamos que Souzinha ganhasse 1000 reais e usasse essa

quantia para comprar unicamente produtos de valor unitrio10 reais. Logo, ele compraria, inicialmente, um total de 100produtos. Se a inflao foi de 8% no primeiro ano e de 7% no anoseguinte, o produto padro que custava 10 passar a custar 10 1,08 1,07 = 11,556.

Custando o objeto padro 11,556 reais, e Souzinha continuando a

ganhar 1000 reais, ele poder comprar Logo, a reduo

da capacidade de compra ter sido de

Certo, Souzinha?

Assim, mesmo quando a inflao acumulada for de 100%, o nossosalrio no some, mas nosso poder de compra cai 50%.


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Neste artigo vamos fazer, inicialmente,

algumas afirmaes sobre nmeros naturaisque so verdadeiras para os nmeros 1, 2, 3e muitos outros e vamos tentar responder

pergunta: elas so verdadeiras sempre?

O objetivo do artigo enriquecer o estoquede fatos e problemas interessantes que

professores colecionam para usar em

momentos oportunos nas aulas que ministram.

Verdadeiro ou falso?

Vamos verificar se as afirmaes a seguirso verdadeiras ou falsas.

1. n N, n < 100.

2. n N, n2 + n +41 um nmero primo.

3. n N*, 991n2 +1 no um quadradoperfeito.

4. n N*, a soma dos n primeiros nmerosmpares n2.

5. nIN*, 2n + 2 a soma de dois nmerosprimos.

Adaptado do art igo de

Renate Watanabe

Vale para 1, 2, 3, ... .

Vale sempre?


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Vejamos:

1. n < 100 uma sentena verdadeira para n = 1, n = 2, n =3 eoutros, mas torna-se falsa para qualquer nmero natural maior do que

99.Portanto, nIN, n < 100 uma sentena falsa.

2. n2 + n +41 um nmero primo uma sentena verdadeira paran =1, n =2, n = 3 e outros. De fato, ela verdadeira para todosos nmeros naturais menores do que 40.

Porm o nmero 402 + 40 + 41 = 40 . (40 + 1) + 41 = 412.

412

no primo, mostrando que a sentena n N, n2+ n +41 um nmero primo uma

falsa.

3. 991n2 + 1 no um quadrado perfeito, umasentena verdadeira para n = 1, n = 2, n = 3 e,mesmo aps muitas e muitas tentativas, no se achaum nmero que a torne falsa.

Pudera! O primeiro nmero natural n,para o qual991n2 + 1 um quadrado perfeito um nmero de29 algarismos:

12 055 735 790 331 359 447 442 538 767

e, portanto, a sentena

n N*, 991n2 + 1 no um quadrado perfeito, falsa.

4. A soma dos n primeiros nmeros mpares n2 uma sentenaverdadeira para n = 1, n = 2, n = 3 e, como no caso anterior, apsmuitas e muitas tentativas, no se acha um nmero natural que a tornefalsa. Neste caso, tal nmero no existe, pois, como veremos adiante,esta sentena verdadeira sempre.

5. 2n + 2 a soma de dois nmeros primos uma sentena verdadeirapara n = 1, n =2, n = 3 e, como nos dois exemplos anteriores, aps

muitas e muitas tentativas, no se encontra um nmero natural que a


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torne falsa. Mas agora temos uma situao nova: ningum, at hoje,encontrou um nmero que tornasse a sentena falsa e ningum, at hoje,sabe demonstrar que a sentena verdadeira sempre.

A sentena a famosa conjetura de Goldbach, feita em 1742, em umacarta dirigida a Euler: Todo inteiro par, maior do que 2, a soma de doisnmeros primos. No se sabe, at hoje, se esta sentena verdadeira oufalsa.

Em suma, dada uma afirmao sobre nmeros naturais, se encontrarmosum contra-exemplo, saberemos que a afirmao no sempre verdadeira.E se no acharmos um contra-exemplo? Neste caso, suspeitando que aafirmao seja verdadeira sempre, uma possibilidade tentar demonstr-

la, recorrendo ao princpio da induo.

Princpio da induo finita

Seja S um conjunto de nmeros naturais, com as seguintespropriedades:

1. 0 S

2. se k um natural e k

S, ento k+ 1

S.Nestas condies, S= N.

Vamos ver como esse princpio nos permite demonstrar que a sentena4 verdadeira.

n N*, a soma dos n primeiros nmeros mpares n2.

Demonstrao

Seja So conjunto dos nmeros naturais n para os quais a soma dos nprimeiros nmeros mpares n2.

1. 1 S, pois a soma do 1 primeiro nmero mpar 1 = 12.

2. Vamos supor que kS, isto , que a soma dos kprimeiros nmerosmpares seja k2.

Vamos provar que k +1S, isto , que a soma dos k+ 1 primeiros

nmeros mpares (k+ 1)2.


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Estamos supondo que

1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) = k2

e queremos provar que

1 + 3 + 5 + ... + (2k +1) = (k+ 1)2.

Basta observar que

1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) + (2k+ 1) = k2 + (2k+ 1) = (k+ 1)2.

O princpio da induo nos garante, agora, que S= N*, ou seja, aafirmao a soma dos n primeiros mpares n2 verdadeira para todosos nmeros naturais maiores do que zero.

No ensino mdio o professor encontra muitas outras oportunidadespara fazer demonstraes por induo, se assim o desejar. Um aspectoimportante que os exemplos apresentados permitem ao professor mostraraos alunos que fatos matemticos podem ser verdadeiros para muitosexemplos e no serem verdadeiros sempre.

A nica maneira de concluir a veracidade fazer uma demonstraogeral, que seja vlida para qualquer caso, independentemente de exemplos.


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Muitas histrias testemunham a extraordinriaprecocidade do matemtico Gauss. Uma dasfavoritas refere-se a um episdio ocorridoquando ele tinha dez anos de idade e

freqentava o terceiro ano do ensino fundamentalde uma escola onde medo e humilhao eram os

principais ingredientes pedaggicos.

Na aula de Aritmtica o professor pediu aosalunos que calculassem o valor da soma.

S= 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100.

Uma excelente questo, sem dvida, paraaliviar o mestre de suas funes pelo resto daaula e manter bem alto o ideal pedaggico daescola.

Imediatamente aps o problema ter sidoproposto, Gauss escreveu o nmero 5050 emsua pequena lousa e a depositou, como era

costume na poca, sobre a mesa do professor.Durante o resto da aula, enquanto seus colegastrabalhavam, o pequeno Gauss foi, por diversasvezes, contemplado com o sarcstico olhar deseu mestre.

Ao fazer a correo, o estupefato Bttnerera esse o nome do professorconstatou que anica resposta correta era a de Gauss, que deu aseguinte justificativa para seu clculo: a soma de


Paulo Ferreira Leite

Prolas


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1 com 100, de 2 com 99, de 3 com 98, de 4 com 97, e assim por diante, sempre o mesmo nmero 101. Ora, na soma desejada,

este nmero aparece 50 vezes.

Portanto, o resultado desejado 101 50 = 5050.

E esta multiplicao Gauss pde fazer em poucos segundos.Foi uma dura lio, mas o severo Bttner soube redimir-se,

presenteando Gauss com o melhor livro de Aritmtica que possua emudando totalmente sua atitude para com ele.

A observao feita por Gauss, de que constante a soma dos termoseqidistantes dos extremos na seqncia dos nmeros de 1 a 100,continua vlida para qualquer progresso aritmtica e pode ser utilizada

para deduzir a frmula da soma dos termos de uma PA.

Progresso Aritmtica PA

Seja (a1, a

3, a

3,..., a

n-1, a

n) uma PA de razo r:

Como a1

+ an

= a2+ a

n-1= a

3+ a

n-2= ... = a

n+ a

1,

Chamando Sn

= a1

+ a2

+ ... + an-1

+ an

tem-se

.


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Ciclotomia

Ciclotomia = diviso da circunferncia em partes iguais (diviso feita comrgua e compasso).Os gemetras gregos da Antiguidade, ~ 300 a.C., sabiam dividir acircunferncia em npartes iguais para n de uma das seguintes formas:

2k, 2k.3, 2k.5, 2k.15.Gauss, no seu livro DISQUISITIONES ARITHMETICAE, em 1801,

provou o seguinte resultado:

A diviso da circunferncia em partes iguais possvel se e somentese n de uma das formas:

1) n = 2k

2) n = 2k.p1.p2. ... . pl.

onde p1,p

2, ...,p

lso primos distintos, da forma .

Estes nmeros so chamados nmeros de Fermat, em homenagem aFermat, Pierre de (1601-1665) matemtico francs, que supunha quetodos os nmeros dessa forma fossem primos.

Com efeito, F0

= 3, F1

= 5, F2

= 17, F3

= 257 e F4

= 65537 so primos,mas Euler, em 1732, mostrou que F

5= 641 x 6700417 e, portanto,

composto. Sabe-se hoje que muitos outros nmeros de Fermat socompostos.

recebia poucas pessoas. Era perfeccionista, metdico e circunspeto, umperfeito contra-exemplo para o tradicional esteretipo do gnio matemtico.Um dos poucos amigos que costumava receber era Georg Ribbentrop,um convicto e excntrico solteiro, professor de direito em Gttingen.

Conta-se que numa noite em que Ribbentrop jantava no observatriocaiu forte tempestade e, prevendo as dificuldades que o amigo teria emregressar, Gauss insistiu para que ele ficasse para dormir. Num momentode descuido o hspede desapareceu misteriosamente. Algum tempo depois

bateram porta e Gauss, atnito, recebeu de volta o amigo, ensopadodos ps a cabea, mas trazendo seu pijama.


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A noo de logaritmo quase sempre nos apresentada, pela primeira vez, do seguintemodo: o logaritmo de um nmeroy na basea o expoente xtal que ax = y.

Segue-se a observao: os nmeros maisfreqentemente usados como base de umsistema de logaritmos so 10, e o nmero

e= 2,71828182...;

o que nos deixa intrigados.

De sada, uma pergunta ingnua: estaregularidade na seqncia dos algarismosdecimais desse nmero epersiste? No. Apenasuma coincidncia no comeo. Um valor mais

preciso seria e= 2,718281828459...

No se trata de uma frao decimalperidica. O nmero e irracional, isto , nopode ser obtido como quociente e= p/qdedois inteiros. Mais ainda: um irracionaltranscendente. Isto significa que no existeum polinmio P(x) com coeficiente inteiros,que se anule para x= e, ou seja, que tenha e

como raiz.


Elon Lages Lima

O nmero e,

por qu?


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Por que ento a escolha de um nmero to estranho como base delogaritmos? O que faz esse nmero to importante?

Talvez a resposta mais concisa seja que o nmero e importanteporque inevitvel. Surge espontaneamente em vrias questes bsicas.

Uma das razes pelas quais a Matemtica til s Cincias em geralest no Clculo (Diferencial e Integral), que estuda a variao dasgrandezas. Um tipo de variao dos mais simples e comumente encontrados aquele em que o crescimento (ou decrescimento) da grandeza em cadainstante proporcional ao valor da grandeza naquele instante. Este tipode variao ocorre, por exemplo, em questes de juros, crescimento

populacional (de pessoas ou bactrias), desintegrao radioativa, etc.

Em todos os fenmenos dessa natureza, o nmero e aparece de modonatural e insubstituvel. Vejamos um exemplo simples.

Suponhamos que eu empreste a algum a quantia de 1real a juros de100% ao ano. No final do ano, essa pessoa viria pagar-me e traria 2reais: 1 que tomara emprestado e 1 dos juros. Isto seria justo? No. O

justo seria que eu recebesse ereais. Vejamos por que. H um entendimentotcito nessas transaes, de que os juros so proporcionais ao capital

emprestado e ao tempo decorrido entre o emprstimo e o pagamento.Assim, se meu cliente viesse me pagar seis meses depois do emprstimo,

eu receberia apenas reais. Mas isto quer dizer que, naquela ocasio,

ele estava com real meu e ficou com esse dinheiro mais seis meses,

taxa de 100% ao ano; logo deveria pagar-me

reais no fim do ano.

Isto me daria 2,25 reais, mas, mesmo assim, eu no acharia justo.


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Eu poderia dividir o ano num nmero arbitrrio n, de partes iguais.

Transcorrido o primeiro perodo de , meu capital emprestado

estaria valendo reais. No fim do segundo perodo de , eu

estaria reais, e assim por diante. No fim do ano eu deveria

receber reais. Mas, como posso fazer esse raciocnio para todo

n, segue-se que o justo e exato valor que eu deveria receber pelo meureal emprestado seria

,

que aprendemos nos cursos de Clculo ser igual ao nmero e. Um outro

exemplo no qual o nmero eaparece.


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Jos Paulo Q. Carneiro

As dzimas peridicas

e a calculadora

Em um concurso destinado principalmente aprofessores de Matemtica, figurava a seguintequesto:

Os nmeros racionais a e b so,representados, no sistema decimal, pelasdzimas peridicas:

e

Encontre, justificando, uma representaodecimal de ab.

Como a e b so racionais, temos que adiferena ab, tambm racional e, portanto,sua representao decimal peridica. Apesarde na prova ter sido permitido o uso dacalculadora, o perodo jamais seria descoberto

com a certeza exigida pelo justifique. Almdisso, o perodo poderia ser maior do que onmero de dgitos que a calculadora pudesseexibir no visor.

Um primeiro expediente que poderiaocorrer seria fazer a subtrao por meio doesquema usado habitualmente para decimais

finitos. Isso funcionaria bem em casos maissimples.


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Como se repetiu o resto 1040, a partir da, os algarismos 7, 0, 0, 3,

3, 6 se repetiriam. Logo,

Vamos agora fazer alguns comentrios:

1.Algumas pessoas envolvidas no processo deaprendizagem da Matemtica (alunos,

professores, pais, etc.) expressam s vezes acrena de que, com o advento da calculadora,nunca mais haver ocasio de usar o algoritmotradicional da diviso. Alguns at usam issocomo um argumento para proibir o uso da

calculadora em certas fases iniciais daaprendizagem: necessrio primeiro que oaluno aprenda o algoritmo tradicional, e sdepois lhe ser permitido usar a calculadora;seno, ele no ter motivao para aprendertal algoritmo.

Na realidade, o exemplo aqui tratado mostra que ns, professores,temos que exercer nossa criatividade para criar problemas desafiadores,

que coloquem em xeque at mesmo a calculadora, deixando claras assuas limitaes, em vez de proibir o seu uso, o que uma atitudeantiptica, repressora, e totalmente contrria ao que um aluno esperade um professor de Matemtica. De fato, para um leigo, ou um inicianteem Matemtica, nada mais matemtico do que uma calculadora, eele espera que um professor v inici-lo ou ajud-lo com essaferramenta, e no proibi-lo de us-la.


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2. Existiria um outro mtodo para encontrar uma representao decimal

de 208

297(ou de 1292

1485

, mas j vimos que basta o primeiro), que no

fosse o algoritmo tradicional da diviso? A resposta sim.

Basta tomar as sucessivas potncias de 10, a saber: 10, 100, etc., atque encontremos uma que deixe resto l, quando dividida por 297.

No difcil fazer isso, experimentando com a calculadora:

103 = 3 297 + 109 104 = 33 297 + 199 105 = 336 297 + 208

106 = 3367 297 +1.

A partir da, obtm-se: e portanto,

em que a ltima passagem vem da propriedade das progresses

geomtricas infinitas:

Observe que o perodo da dzima tem comprimento 6, que o expoenteda menor potncia de 10 que deixa resto 1, quando dividida por 297.

Consideraes finais

Observemos que toda frao decimal finita como 0,125, por exemplo, gerada por uma frao cujo denominador uma potncia de 10:

Por outro lado, uma frao cujo denominador no tem outros fatores

11

11 1

2+ + + =

<


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primos alm do 2 e do 5 (poderia ser um deles apenas) sempre pode serexpressa por uma frao cujo denominador uma potncia de 10 e,

portanto, tem uma representao decimal finita. Por exemplo,

Esse raciocnio permite concluir que uma frao a/b, na formairredutvel, tem representao decimal infinita se, e somente se,b = b

0 2m 5n, com b

0> 1, m, n > 0 e mdc(b

0,10) = 1.

Isso posto, podem-se provar os seguintes resultados:

(a) a representao decimal de a/b peridica e pode apresentar ou nopr-perodo de tamanho r= max{m , n} algarismos (por exemplo,0,356212121... tem pr-perodo de trs algarismos, 3, 5 e 6);

(b) se m > 0 ou n > 0, ento h um pr-perodo formado der= max{m , n} algarismos;

(c)o perodo formado de h algarismos, sendo h o menor inteiro positivotal que 10h1 mltiplo de b

0(uma generalizao da propriedade

conhecida como teorema de Euler[1760] garante a existncia de h).Por exemplo:

5/21 no tem pr-perodo, pois 21= 3 7 (notar a ausncia de 2e 5) e o perodo formado de 6 algarismos, uma vez que

102 1 = 99, 1031 = 999, 1041 = 9999 e 105 1 = 99999no so mltiplos de 21, mas

1061 = 999999 = 21 47619.

De fato,

5 21 0 238095238095 0 238095/ , , .= =K

9/140 tem pr-perodo formado de 2 algarismos (observar que140 = 22 5 7 e que max {2, 1} = 2) e perodo formado de 6algarismos, pois 6 o menor expoente tal que 1061 mltiplode 7. De fato,

9 140 0 0642857428571 0 06428571/ , , .= =K


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Paulo A. da Mata Machado

Aresposta : depende da razo, q, da progresso.Se, por exemplo, , temos o tringuloeqiltero. Se , temos os tringulos dengulos internos 87,22, 53,04 e 39,74. Se,

porm, , no h soluo.

Como se chega a essa concluso? Muitosimples. Podemos, colocando os lados dotringulo em ordem crescente e considerandoum tringulo semelhante, admitir que a soluoseja um tringulo de lados 1, q e , sendo

. Em um tringulo, um lado menor que asoma dos outros dois, portanto, .

As razes da equao q2 q 1 = 0 so

, logo q2q1 < 0 para

< q< .

Como estamos considerando apenas as razes

maiores ou iguais a 1, temos . (1)

possvel construir um

tringulo cujos ladosestejam em PG derazo q?


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Determinado o intervalo de variao de q, vamos determinar quaisso os ngulos internos do tringulo, usando a lei dos cossenos,

,

sendo o ngulo interno formado pelo maior e pelo menor lado do

tringulo. Rearranjando a equao, obtemos: (2)

Dado q, podemos determinar qual ser o ngulo entre o menor e omaior lado do tringulo pela equao (2). Esse ngulo tem tambm umalimitao de valores. Para determinarmos qual essa limitao, vamos

reescrever a equao da seguinte forma:q4(2cos + 1)q2 + 1 = 0.

Temos uma equao bi-quadrada que somente ter soluo se

, ou

equivalentemente, . Como trata-se de um ngulo de tringulo, no pode ser maior que 90 e, portanto, 60o.

H um caso particular que ainda no foi discutido. Quais so os ngulosinternos de um tringulo retngulo cujos lados estejam em progressogeomtrica, e qual a razo dessa progresso?

Para tringulo retngulo, podemos usar o teorema de Pitgoras:

q4 = q2 +1 ou q4q21 = 0, cuja soluo, no intervalo obtido em (1),

Aplicando o valor de qna equao (2), obtm-se

, ou = 51,83.

Consequentemente, os ngulos internos do tringulo retngulo que temos lados em progresso geomtrica so: 90, 51,83 e 38,17.


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Introduo

A histria da resoluo da equao de terceirograu muito pitoresca, plena de lancesdramticos, paixes e disputas pela fama e afortuna que seu achado poderia trazer a seusautores.

Uma das personagens dessa histria Niccol Fontana (1500-1557 aproxima-damente). Em 1512 os franceses saquearamBrescia, sua cidade natal, sua me buscou refgio

para o filho na igreja, mas os soldados tambminvadiram o santurio, e a criana foi ferida norosto. O ferimento lhe causou uma gagueira

permanente, que lhe valeu o apelido deTartaglia(gago, em italiano), pelo qual se tornouconhecido. Ele no foi o primeiro a obter omtodo de resoluo das equaes do terceirograu. Scipione del Ferro (1465-1562 aproxi-madamente)que foi professor na Universidadede Bolonha e cuja biografia pouco conhecidafoi o verdadeiro descobridor. Antes de morrer,


Csar Polcino Milies

A soluo de Tartaglia

para a equao doterceiro grau

Niccol Fontana

(Tartaglia)


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del Ferro ensinou seu mtodo a dois discpulos,Annibale delia Naveseu futuro genro e sucessor na ctedra em Bolonha e Antnio MariaFior(ou Floridus, em latim).

Em 1535 houve uma disputa matemtica entre Fior e Tartaglia. Taisconfrontos intelectuais eram freqentes na poca e, muitas vezes, a

permanncia de um matemtico numa ctedra dependia de seu bomdesempenho nesses encontros. Cada um dos adversrios props ao outrotrinta problemas, e foi combinado que o perdedor deveria pagar trinta

banquetes ao ganhador. Tartaglia preparou questes variadas, mas todosos problemas propostos por Fior implicavam equaes do tipo

x3 + ax= b.

Precisamente na noite de 12 para 13 de fevereiro, Tartaglia conseguiudescobrir o mtodo de resoluo de tais equaes e, na hora do confronto,verificou-se que Tartaglia tinha resolvido todas as questes propostas porFior, enquanto este no tinha conseguido resolver a maioria das questessubmetidas por Tartaglia. Declarado vencedor, Tartaglia voluntariamenterenunciou aos trinta banquetes.

A notcia do triunfo de Tartaglia logo se espalhou e chegou aos ouvidosde Girolamo Cardano(1501-1576), que, na poca, ocupava uma cadeirade medicina na Universidade de Pavia e era membro do Colgio Mdicode Milo. De todos as personagens da nossa histria, talvez seja Cardanoo mais enigmtico, aquele cuja vida foi mais pitoresca e, certamente, queteve uma formao mais universal.

Para termos uma idia de quo extenso e profundo era seuconhecimento, citamos a seguir os comentrios de Gabriel Naud

(1600-1653), que publicou a autobiografia de Cardano pela primeiravez em 1643:

No somente eraele inquestionavelmente um mdico notvel,como foi tambm provavelmente o primeiro e nico homem a sedistinguir em todas as cincias ao mesmo tempo. uma dasilustraes da Natureza daquilo que um homem capaz de atingir.Nada de significativo lhe era desconhecido em filosofia,

medicina, astronomia, matemtica, histria, metafsica ou as


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cincias sociais, ou em outras reas mais remotas doconhecimento. Ele tambm errava, claro, isso apenas humano; maravilhoso, porm, quo raramente ele errava.

Por outro lado, Naud bem mais crtico quanto vida pessoal ecaractersticas de personalidade de Cardano, distorcendo-as at o

patolgico. Foram essas opinies de Naud, amplamente divulgadasno prefcio das obras de Cardano, que deramorigem viso distorcida que as futuras geraestiveram sobre seu carter.

Na poca da descoberta de Tartaglia, Cardanogozava de boa posio em Milo e o convidou a

sua casa, com o pretexto de apresent-lo aocomandante militar da cidade, uma vez queTartaglia tinha feito tambm algumas descobertassobre tiro e fortificaes e esperava obter dissoalgum benefcio. Uma vez l, com muita insistnciaCardano conseguiu que lhe fosse revelado osegredo da resoluo das equaes do terceirograu.

Tartaglia consentiu em lhe ensinar a regra deresoluo (embora no lhe ensinasse a

demonstrao da mesma), sob forma de versos, em troca do juramentosolene de que Cardano jamais publicaria esse segredo.

Conhecendo um mtodo de resoluo, Cardano procurou e achouuma demonstrao que o justificasse. Mais ainda, ele estimulou seusecretrio e discpulo Ludovico (Luigi) Ferrari(1522-1565) a trabalhar

com a equao de quarto grau e este achou o correspondente mtodode resoluo com a devida demonstrao.

De posse de ambas as solues, Cardano deve ter se sentido fortementetentado a public-las. Em 1544, mestre e discpulo realizaram uma viagema Florena e, no caminho, fizeram uma visita a Annibale delia Nave, emBologna. De acordo com um relato de Ferrari, este lhes mostrou ummanuscrito de del Ferro, que continha a famosa regra de Tartaglia,

manuscrito este que ainda se conserva. Aparentemente, ao saber que a

Girolano Cardano


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frmula de Tartaglia existia j desde trinta anos antes, Cardano se sentiudesobrigado de cumprir seu juramento e publicou, em 1545, em

Nuremberg, uma obra intituladaArs Magna,que o tornou verdadeiramentefamoso em todo o continente. Nas palavras de C. Boyer, ele

provavelmente era o matemtico mais competente da Europa. Nessaobra aparecem, pela primeira vez, as regras de resoluo das equaesdo terceiro e quarto graus. A seu favor, podemos dizer que Cardano noesquece de fazer as devidas atribuies de mrito aos respectivosdescobridores.

A seguir, faremos uma anlise do mtodo que Tartaglia confiou aCardano.

Os versos de Tartaglia

Como dissemos acima, Tartaglia comunicou a Cardano o segredoda sua descoberta, por meio de versos. Tal idia no to estranha quanto

pode parecer a princpio; devemos lembrar que, na poca, os autores nodispunham ainda de uma notao adequada para tratar as equaes emsua generalidade e no podiam, portanto, expressar seus mtodosresumidamente mediante frmulas, como fazemos hoje em dia.

A seguir, reproduzimos uma traduo para o portugus dos versostranscritos na pgina 120, da edio de 1554, dos Quesiti:

1. Quando o cubo com a coisa em apreo

Se igualam a qualquer nmero discreto,

Acha dois outros diferentes nisso

2. Depois ters isto por consenso

Que seu produto seja sempre igualAo cubo do tero da coisa certo

3. Depois, o resduo geralDas razes cbicas subtradasSer tua coisa principal.

4. Na segunda destas operaes,

Quando o cubo estiver sozinhoObservars estas outras redues


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5. Do nmero fars dois, de tal formaQue um e outro produzam exatamenteO cubo da tera parte da coisa.

6. Depois, por um preceito comumToma o lado dos cubos juntosE tal soma ser teu conceito

7. Depois, a terceira destas nossas contasSe resolve como a segunda, se observas bemQue suas naturezas so quase idnticas

8. Isto eu achei, e no com passo tardo,

No mil quinhentos e trinta e quatroCom fundamentos bem firmes e rigorososNa cidade cingida pelo mar.

Analisaremos, a seguir, esses versos numa linguagem acessvel ao leitorcontemporneo. Antes de tudo, conveniente lembrar que Tartaglia (assimcomo depois, faria tambm Cardano) no utiliza coeficientes negativosem suas equaes. Ento, em vez de uma equao geral do terceiro grau,

ele deve considerar trs casos possveis:x3 + ax = b,x3 = ax + b,x3 + b = ax .

Tartaglia chama cada um desses casos de operaese afirma queir considerar, de incio, equaes do primeiro tipo: cubo e coisaiguala nmero. No quarto verso comea a considerar o segundo

tipo quando o cubo estiver sozinhoe, no stimo, faz referncia aoterceiro caso.

Vejamos agora como se prope a resolver o primeiro caso, nostrs versos iniciais, para depois justificar seu mtodo, de uma formasimples.

O nmerose refere ao termo independente, que denotamos aqui porb. Quando diz acha dois outros diferentes nisso, est sugerindo tomar


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Pondo em evidncia o produto uv, temos:

(u v)3 =3uv(vu) +(u3v3),

isto , (uv)3+ 3uv(uv) = u3v3.

Se podemos escolher, de alguma forma, u e v de modo queverifiquem:

uv = a/3,

u3v3= b,

a relao acima se transformar em:

(uv)3 + a(uv) = b,

o que significa que x = uv ser uma soluo da equao dada.

Em outras palavras, se conseguirmos acharue v, que sejam soluesdo sistema acima, tomando x = uv, obter-se- uma soluo daequao proposta. Resta-nos ento o problema de resolver o sistema emue v. Para isso, observemos que, elevando ao cubo a primeira equao,ele se transforma em:

u3

v3

= (a/3)3

,u3v3 = b.

Finalmente, fazendo u3 = U e v3 = V, temos:

UV =(a/3)3 ,

UV = b.

Isso muito fcil de resolver; Ue V so as razes da equaodo

segundo grau:

x2 bx+ (a/3)3 = 0,

que so dadas por:


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Podemos tomar uma dessas razes como sendo Ue a outra como V,

logo, temos Portanto, obtemos precisamente a

soluo enunciada por Tartaglia:

Mais explicitamente, substituindoUeVpelos seus respectivos valores,resulta a conhecida frmula que, nos textos, chamada de frmula deCardanoou de Tartaglia:

Uma observao final: a equao geral do terceiro grau, que podemosescrever na forma:

x3 + a1x2+ a

2x+ a

3= 0 ,

pode-se reduzir ao caso acima, mediante a mudana de varivelx=y(a

1/3). Alis, essa reduo era conhecida por Tartaglia, mas no

por Fior, e foi justamente esse fato que determinou a vitria do primeiro.Isso significa que, na verdade, Tartaglia conhecia um mtodo geral pararesolverqualquerequao do terceiro grau.


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Nessa matriz aij

a quantidade de matria-prima Mj utilizada na

produo do produto Pi(por exemplo, utiliza-se uma quantidade a

12de

essncia M2para produzir o sabonete P

1).

Vamos representar numa matriz de custos, C, o preo de cadamatria-prima em duas condies diferentes de compra, C

1e C

2: preo

vista e preo a prazo.

Nessa matriz, o elemento bij

o preo da matria-prima Micomprada

nas condies Cj (por exemplo, o preo da essncia M

2, comprada a

vista b21).

Isso significa que:

o custo de produzirP1, comprando M

1e M

2 vista, igual a

a11

b11

+ a12

b21

;

o custo de produzirP2, comprando M

1e M

2a prazo igual a

a21b12+ a22b22 ,

ou seja, se observarmos o produto das matrizes Q e C

e se denotarmos

Q C= ,

vemos que cij

indica o custo de produzir o produto Picomprando as

matrias-primas na condio Cj.


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As matrizes j aparecem mais tarde! At ento nose falava em determinante de uma matriz, mas emdeterminante do sistema de equaes. O conceitode matriz aparece em 1858, num trabalho de Cayley

sobre transformaes do plano, e a operaomatricial envolvida justamente o produto. Cayleyconsiderava transformaes (lineares) do plano R2

em si prprio do tipo

T(x; y) =(ax + by; cx + dy).

Se no quisermos pensar em transformaes,podemos considerar mudanas de variveis:

Suponhamos duas mudanas de variveis:

Como podemos expressar r e s em termos de x e y?

Substituindo as expresses de T1em T

2obtemos:

Cayley chamou de matriz de T1 a tabela e observou que

para obtermos a matriz que fornece re sem termos de xey,bastavacolocar as matrizes de T

2e T

1lado a lado e multiplic-las da maneira

como fazemos at hoje:

Arthur Cayley


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Em linguagem de transformaes, a matriz da direita a matriz datransformao composta T

2oT

1 . Lembrando que a composio de

duas funes no comutativa, isto , em geral fog go f,vemoscomo natural que o produto matricial no comute.

As operaes de adio matricial e multiplicao por escalar vieramdepois do produto! A segunda metade do sculo XIX foi um perodomuito rico para o desenvolvimento da lgebra, e a idia de se estudaremestruturas algbricas abstratas ganhava fora nessa poca. O prprioCayley (alm de B. Peierce e C. S. Peierce), considerando essasoperaes e o produto matricial, criou o que hoje chamamos delgebra das Matrizes, que fornece um dos primeiros exemplos de

estrutura algbrica com uma operao no comutativa.

Para finalizar, duas observaes: em primeiro lugar, gostaria dedestacar a importncia de se entender o contexto em que as idias e asteorias matemticas so desenvolvidas. O produto matricial, que

primeira vista um tanto artificial, fica natural quando percebemosqual o seu significado geomtrico e qual foi a motivao de quem ocriou. Acredito que, sempre que estudamos ou ensinamos um

determinado tpico, deveramos ter essa preocupao em mente.Em segundo lugar, a Teoria das Matrizes um timo exemplo de

como uma teoria cientfica vai adquirindo importncia e tendoaplicaes que transcendem o objetivo inicial com que foi criada. muito difcil julgar o valor de uma idia no momento em que ela nasce.O tempo o grande juiz, que decide quais descobertas cientficas so,de fato, relevantes.


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Os sistemas lineares obedecem ao princpio geral (e um tanto vago) deque para determinar 3 nmeros so necessrias 3 informaes distintassobre esses nmeros.

O sistema indeterminado quando uma (ou duas) dessas informaes (ou so) conseqncia(s) das demais. Por exemplo, se nos propusermosa determinarx, ye zsabendo que

2x4y +6z =8,x2y+ 3z= 4 e3x6y+ 9z= 12,

teremos a um sistema indeterminado, pois na realidade nos dada apenas

uma informao sobre esses nmeros, a saber, que x

2y +3z =4. Asoutras duas afirmaes resultam desta.

A indeterminao significa que o problema expresso pelo sistema(S)possui infinitas solues, cabendo-nos em cada caso escolher aque melhor se adapta s nossas convenincias.

J o sistema impossvel ocorre quando as informaes que nos sofornecidas para calcularx, ye zso incompatveis. Por exemplo, se uma

das equaes do sistema x2y+ 3z= 4,

outra equao no pode ter a forma

2x4 y+ 6z= 7.

pois, multiplicando a primeira por 2 e subtraindo a segunda, chegaramosao absurdo 0 = 1.

O sistema (S) pode ser encarado sob diversos pontos de vista. Essavariedade de interpretaes enriquece a gama de aplicaes que tem seuestudo e, por outro lado, permite a utilizao de diferentes instrumentos

para resolv-lo. A interpretao geomtrica que apresentamos a seguirtm nvel elementar e esto ao alcance do aluno do ensino mdio.

Interpretao geomtrica

Cada soluo (x, y, z)do sistema (S) pode ser olhada como um pontoPdo espao tridimensional, dado por suas coordenadas cartesianas:


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P= (x, y, z). Sob este ponto de vista, cada uma das equaes do sistema a equao de um plano nesse espao, e as solues do sistema so os

pontos comuns a esses planos. Mais precisamente, se 1,

2e

3so os

planos definidos pelas trs equaes de (S), ento as solues de (S) so

os pontos P =(x, y, z)que pertencem interseo 123 dessesplanos.

Assim, por exemplo, se pelo menos dois desses planos so paralelos,ou se dois deles intersectam o terceiro segundo retas paralelas, ainterseo

1

2

3vazia e o sistema impossvel.

Noutro exemplo, podemos ter uma reta rformando uma espcie deeixo, contido simultaneamente nos trs planos.

Ento1

2

3= r e o sistema indeterminado: suas solues

so os infinitos pontos de r. O sistema determinado quando os trsplanos se encontram num s ponto, como duas paredes adjacentes e oteto.

H ao todo 8 posies relativas possveis para os planos 1,

2e

3.

Quatro dessas posies correspondem aos sistemas impossveis; nasoutras quatro, o sistema tem soluo. importante observar que se

pode concluir em qual das 8 posies se encontram os planos de (S)examinando os coeficientes a

i, b

i, c

ie d

i que nele aparecem. O leitor

interessado poder verificar essa afirmao em textos de lgebra Linear.


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(1) Interpretao geomtrica dos sistemas lineares 3 3

Segundo os professores, no de fato usual interpretargeometricamente os sistemas lineares 3 3, embora essa interpretaoseja, em geral, realizada para sistemas lineares de duas equaes e

duas incgnitas, quando se faz seu estudo na 7a srie do ensino funda-mental. Nesse caso, cada equao do sistema

a1x+ b

1y= c

1

a2x+ b

2y= c

2

representa uma reta, e as posies relativas de duas retas no plano so:

(a) retas concorrentes;(b) retas paralelas;(c) retas coincidentes.

Nos casos (a), (b) e (c), o sistema possui soluo nica, no possuisoluo ou possui infinitas solues, respectivamente.

J para sistemas lineares 3 3 da forma

a1x+ b

1y+ c

1z= d

1(1)

a2x+ b

2y+ c

2z= d

2(2)

a3x+ b

3y+ c

3z= d

3(3)

as equaes (1), (2), (3) representam planos 1,

2e

3no espao tridi-

mensional.

Entretanto, as possibilidades para as posies dos trs planos so oito.Quatro delas correspondem a sistemas impossveis (nenhuma soluo),trs, a sistemas indeterminados(*) (infinitas solues), e uma, a sistemas

que tm uma nica soluo.Os depoimentos abaixo mostram que essa abordagem geomtrica torna

o assunto mais interessante e d maior segurana para quem o ensina.

(*)NotaEmbora esse seja o nome usual, na verdade o conjunto-soluo desses sistemasest completamente determinado, apesar de ter infinitos elementos.


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Exemplo 3

O sistema x + y + z = 0 (1)x+ y + z = 1 (2)x + y + z = 2 (3)

claramente no possui soluo.A situao geomtrica corresponde ao caso em que os trs planos

1,

2e

3so paralelos, j que no existe um terno ordenado real

(x,y, z) que satisfaa simultaneamente quaisquer duas dessas equaes.

1

// 2

// 3

Exemplo 4

O sistema2x3y+ 2z= 2 (1)3x2y+ 4z= 2 (2)4x y + 6z= 3 (3)

tambm no possui soluo.

Uma maneira simples de verificarmos esse fato , por exemplo,somar as equaes (1) e (3) e comparar o resultado com a equao (2).

Considerando agora os sistemas formados por (1) e (2), (1) e (3) epor (2) e (3), podemos concluir que

1

2 uma reta r,

1

3

uma reta se 2

3 uma reta t.

Verifiquemos que r, se tso paralelas.

Os pontos de rsatisfazem (1) e (2), logo no satisfazem (3), pois o

sistema impossvel. Portanto, temos rparalela a3. Como sest contida


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e transmite a seqncia 64 23 84 31 97 39 3 1 86 34 39 13. Para ler a

mensagem recebida, Ivo, da mesma forma, restaura a forma matricial AM,

e em seguida, com sua chave A1, pode recuperar M atravs da

identidade matricial,

Como j frisamos, os mtodos tratados neste trabalho tem apenas

carter instrutivo. Na prtica atual tais processos so pouco utilizados

pela inconvenincia de exigirem trocas prvias de chaves entre os usurios.

Portanto, so inviveis na descrio de transaes eletrnicas nas quais

um nico receptor recebe dados de milhares de emissores, como ocorreem vendas pela Internet, transaes bancrias e outras. Mesmo nesses

casos mais complexos, a Matemtica resolveu a trama, e desta vez, quem

diria, o ramo da Teoria dos Nmeros.


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Captulo 2

FFFFFunesunesunesunesunes


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Alguns dos fatos envolvem truques para clculo mental rpido, quepodem ser explicados, usando uma representao polinomial simples.

Nesta poca de calculadoras, esses fenmenos so introduzidos, noporque so rpidos, mas porque funcionam; os alunos so desafiados aprovarpor quefuncionam!

Fato Surpreendente 1

Se dois nmeros de dois algarismos tm iguais os

algarismos das dezenas, e se os algarismos das unidades

somam 10, pode-se calcular seu produtoinstantaneamente.

Se os alunos me testam, com 77 73, por exemplo,respondo instantaneamente 5621. Aps mais um ou doisexemplos, revelo meu truque: multiplica-se o algarismo dasdezenas, 7, pelo seu sucessor, 8, achando 56, cujos algarismossero, nessa ordem, os algarismos dos milhares e das centenasda resposta. Acrescenta-se direita de 56 o produto dosalgarismos das unidades, 7 3 ou 21, obtendo-se 5621.

Podemos aumentar a confiana no processo, aplicando-o a vrios outros casos, mas muitos exemplos no constituemuma demonstrao. Porm, se usarmos binmios pararepresentar os nmeros a serem multiplicados, podemos dar

uma demonstrao que independe dos exemplos escolhidos.

Represente por a o algarismo das dezenas dos dois nmerosconsiderados e porbo algarismo das unidades do primeiro nmero. Ento

o algarismo das unidades do segundo nmero ser 10 b.

Logo, 10a+ b oprimeiro nmero e 10a+ (10 b), o segundonmero. Seu produto :

(10a+ b) (10a+ 10 b) =...=100a(a+ l) + b(10 b).

Fato Surpreedente 2

Se voc somar1 ao produto de quatro inteiros consecutivos, oresultado sempre ser um quadrado perfeito.


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O grande desafio de um processo criptogrfico, portanto, est emocultar eficientemente os mecanismos (chaves) para a inverso de f, demodo que estranhos no possam faz-lo.

Emissor Receptor

Descreveremos aqui dois exemplos elementares de processoscriptogrficos, sendo o primeiro acessvel inclusive para alunos do ensinofundamental. Acreditamos que possam constituir material til paraexerccios, como tambm para atividades e jogos de codificao. O

professor pode dispor deles para fixao de contedos matemticosassociados, como por exemplos: funes e matrizes.

Inicialmente, relacionamos nmeros ao alfabeto (o smbolo # representaum espao em branco) que vamos utilizar nos modelos. Assim:

# A B ... J K L ... V W X Y Z

0 1 2 ... 10 11 12 ... 22 23 24 25 26

Portanto, cifrar uma mensagem recai no problema de permutar nmerospor meio de uma regra f. Pode-se fazer isso, de formamuito prtica, por exemplo, atravs das funes afinsf(x) = ax+ b, com a, b inteiros, a 0, definidas noconjunto {0, 1,..., 26}.

Suponhamos que Ana e Ivo desejem trocar mensagens

sigilosas utilizando o alfabeto escolhido. O primeiro passoa tomarem definirem a funo cifradora, digamosf(x) = 2x3.

Assim, por exemplo, mensagem

R E V I S T A R P MR E V I S T A R P MR E V I S T A R P MR E V I S T A R P MR E V I S T A R P M

Ana associa a seqncia numrica

18 5 22 9 19 20 1 0 18 16 13

Mensagem original Mensagem codificada Mensagem original


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mas transmite a Ivo a seqncia numrica obtida pelas imagens de f, isto,

33 7 41 15 35 37 1 3 33 29 23.

Ao receb-la, Ivo, calculando a imagem da funo inversa de

nessa seqncia e utilizando a correspondncia alfabeto-

numrica, obtm a mensagem original, pois:

f R f M =+

= = =+

= =1 133

33 3

218 23

23 3

213( ) , , ( ) .K .

Depois de os alunos dominarem o processo, seria oportuno que oprofessor propusesse situaes em que um intruso tente decifrar mensagensapoderando-se das seqncias numricas codificadas. Como estamosutilizando funes afins, para tanto suficiente apenas duas associaescorretas entre nmeros das seqncias original e codificada. Admitindoconhecidas essas associaes, um exerccio interessante para os alunosdeterminarem f.

O segundo mtodo criptogrfico que apresentaremos utiliza matrizesinvertveis como chaves, o que dificulta um pouco mais sua violao.

Suponhamos que Ana e Ivo combinem previamente utilizar a matriz

e sua inversa como chaves. Para transmitir

a mesma mensagem acima, Ana inicialmente monta uma matriz mensagem

Mdispondo a seqncia numrica associada em colunas e completa aposio restante com 0, ou seja, obtm

Em seguida, codifica-a calculando,


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Este problema foi-me apresentado por umtorneiro mecnico, que desejava fazer 6furos na base de uma pea de formacilndrica. A pea ficaria como indicado nafigura ao lado.

O dimetro da base media 120 mm eos furos deveriam distribuir-se igualmentesobre uma circunferncia imaginria dedimetro 100 mm.

O problema pode ser resolvido

graficamente com simplicidade, usando-seum compasso. Entretanto, o torneirodispunha apenas de um outro instrumentoque ele chamou de altmetro. Vouapresent-lo esquematicamente. Oaltmetro constitudo por uma barramilimetrada fixada pea uma rgua quedesliza perpendicularmene barra.

Adaptado do artigo dePedro Firmino da Silva

Trigonometria na

oficina mecnica


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Para resolver o problema, primeiro desenhamos, com a rgua mvel,um dimetro da base. Sobre ele marcamos os centros dos dois primeirosfuros, que ficaro afastados de 100 mm.

Imaginemos o problema resolvido. Seja ra reta que contm o dimetro.

Com a diviso da circunferncia em 6 partes iguais, obtemos nguloscentrais de 60. As retas se t so paralelas reta r, e suas distnciasa ela so iguais a d= 50 sen60o 43mm.

Desse modo, com a rgua mvel, desenhamosas retas se t, sobre asquais estaro os outros quatro furos.

A rgua mvel, sempreperpendicular barra fixa, executaum movimento de translao. Comono possvel transladar a barra (que fixa), giramos o altmetro de 90,colocando a barra sobre o dimetrodesenhado.

Outra vez, imaginemos oproblema resolvido. A distncia edada por:

e=50 sen30 = 25 mm.

Assim, deslocando a rgua mvel, marcamos os centros dos outrosquatro furos.


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fcil (associo essa procura s biografias de grandes astrnomos e fsicosque passaram vidas inteiras fazendo clculos para obterem seus resultados)utilizando os logaritmos:

Se n mpar da forma n = 2k+ 1, ento o n-simo quadrado tem

cm de lado e queremos n de modo que cm,logo

ou

o que implica

de onde obtemos n aproximadamente igual a 60,6.

A regra dos 70


Antonio Carlos Gilli Martins

Dias atrs presenciei uma conversa, na qual um cliente perguntava ao

gerente de um banco, quanto tempo levaria para duplicar uma quantia aser aplicada a uma taxa de i% ao ms. O gerente respondeu que essetempo d obtido, de forma aproximada, pord= 70/ianos. Por exemplo,se a taxa de juros de 14% ao ano, o tempo de duplicao deaproximadamente 70/14 = 5 anos. J a uma taxa de 6% ao ano, o tempode duplicao de aproximadamente 70/6 11,7 anos.

Eu, muito curioso, pedi ao gerente uma explicao para o clculo, eele me disse que era uma regra usada em finanas, conhecida como aregra dos 70. O porqu do 70 ele no sabia, mas dava certo.

log log ( ),2 8 10

1

2 8n

=


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Regra dos 70

Para calcular o tempo aproximado de duplicao de um

investimento, divida 70 pela taxa percentual anual de juros.

Vamos justificar o clculo do gerente. Para isso, usaremos a funologaritmo natural de x, x >0, denotada por ln(x), que pode ser definidacomo sendo a funo inversa da exponencial ex.

Logo, o logaritmo naturalde x a potncia de e necessria parase obter x, isto ,

y= ln(x)x= ey.

Precisamos de uma forma prtica para calcular o valor numrico dologaritmo, mesmo que aproximado. Podemos usar a expresso a seguirque pode ser encontrada em textos de Clculo Diferencial e Integral:

Tal expresso, conhecida como a srie de Taylor da funo ln(1 + x),permite a aproximao ln(1 + x) x para valores de xpositivos e

prximos de 0.

Podemos tambm perceber essa aproximao graficamente:

Os grficos das funes y= ln(x), y= ln(1 + x) e y= x, fornecemuma justificativa grfica para a aproximao ln(1 + x) x.

Voltemos regra dos 70.


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Vamos discutir um pouco sobre o ensino defunes, tendo em vista que este tpico seapresenta tardiamente nos currculos deMatemtica. Assim, o estudante s tem acesso representao grfica no final do ensinofundamental, encontrando grande dificuldade nainterpretao de grficos.

No entanto, este instrumento rico empossibilidades de abordagens e colocaespode ser explorado j nas primeiras sries doensino fundamental, com o objetivo defamiliarizar o aluno com a interpretao de

grficos e o conceito de funo.

Na verdade, qual o conceito de funoque esperamos passar aos nossos alunos?

Funo uma lei ou associao entre doisconjuntos, que a cada elemento do primeiroconjunto associa um nico elemento do outro.Intuitivamente, uma funo uma espcie demquina na qual colocamos um certo dado (o

Adaptado do artigo deKatia Cristina Stocco Smole

Marlia Ramos CenturinMaria Ignez de S. Vieira Diniz

A interpretao

grfica e o ensinode funes


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Nesta atividade, ao contrrio das anteriores, passa a ser convenienteuma ordenao nos dois eixospara que possamos visualizar o

comportamento das funes. Uma outra coisa interessante que, por serNo conjunto utilizado, a representao feita apenas por pontos, masestes podem ser unidos para ajudar a visualizar o crescimento das funes.Observe que, propositalmente, foram usadas escalas diferentes nos doiseixos.

Atividade 5

Determinar os grficos das leisque a cada nmero natural nassociam mdc(2, n), ou mdc(5, n),explorando o conceito de funo

peridica.

Atividade 6

Feito o estudo de rea e permetro do quadrado, podemos proporque, com base no quadradode lado 1 unidade, o alunoconstrua a tabela ao lado.


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H situaes concretas das quais o professorpode extrair, de maneira espontnea e natural,conceitos importantes e muito teis como os devarivele funo. Ilustraremos isso com umexemplo concreto bem simples e que, quandoexaminado do ponto de vista da variabilidadedas grandezas envolvidas, d margem a

concluses interessantes e relevantes nasaplicaes.

Um problema de freagem

Comecemos com a formulao de umaquesto simples:

Um automvel, a 30 km/h, freado e pra

depois de percorrer mais 8 metros. Se freadoa 60 km/h, quantos metros percorrer at

parar?

Se proposto dessa maneira, o aluno poderpensar que as grandezas a envolvidas velocidade V e a distncia Dpercorrida at

parar so diretamente proporcionais e achar

que a resposta 16 m. Mas isto falso. O certo que a distncia proporcional ao quadrado

Adaptado do artigo deGeraldo vila

Funes e grficos

num problemade freagem


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da velocidade, pelo menos dentro de certos limites de velocidade, e issoprecisa ser dito explicitamente no enunciado do problema. Essa lei significaque se D

1e D

2so as distncias correspondentes, respectivamente, s

velocidades V1e V

2, ento

. (1)

Com os dados concretos do nosso problema, se tomarmosV

1= 30 km/h, ento D

1= 8 m; e se pusermos V

2= 60 km/h, teremos a

equao

para determinar a distncia D2, correspondente velocidade de freagem

V2= 60 km/h. Resolvendo a equao, obtemos

metros.

(Observe que no h necessidade de reduzir as velocidades de km/h am/h ou m/s; o importante que elas sejam todas expressas na mesmaunidade. A distncia procurada, evidentemente, vir expressa em metros,como a outra distncia dada.)

Vale a pena reparar no aumento da distncia de freagem, que passoude 8 para 32 metros quadriplicouquando a velocidade foi de 30

para 60 km/h duplicou. Mas, desse clculo isolado, no podemos

concluir que ser sempre assim. Se quisermos saber o que ocorre comoutras velocidades, podemos fazer novos clculos, usando o mesmoraciocnio e, at um exerccio interessante, calcular as distncias defreagem correspondentes a vrias velocidades, como 40, 60, 80, 100,120 km/h.

Mais do que isso, podemos construir uma tabela numrica develocidades e distncias correspondentes e uma representao grfica,

marcando as velocidades num eixo horizontal e as distncias num eixo


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vertical. Isso permitir compreender melhor o que est acontecendo coma distncia de freagem, medida que a velocidade aumenta.

O procedimento que propomosde repetir clculo aps clculo, comdiferentes valores da velocidade um passo no sentido de variar avelocidade Ve observar os valores correspondentes da distncia defreagem D. Melhor que todos os clculos, porm, contemplar, em sua

plenitude, a relao de dependncia dessas duas grandezas Ve D,poiss assim estaremos permitindo que Vassuma qualquer valornumrico(positivo) e, em conseqncia, s assim poderemos examinar a maneiracomo D varia em funo de V. Para isso, devemos notar que a

proporcionalidade (1) significa o mesmo que a equao

D= kV2. (2)

Sejam V= V0= 30km/h e D = D

0=8 m . Observemos agora o que

acontece quando multiplicamos V0por um nmero qualquerc. Obtemos

um valor correspondente D tal que, segundo a equao (2),

Mas kV0

2 = D0

, de sorte que D = c2D0

. Vemos assim quemultiplicando-se V

0por c, D

0dever ser multiplicado por c2. Por

exemplo, se multiplicarmos V0por 2, 3, 4, 5, etc, D

0ser multiplicado

por 4, 9, 16, 25, etc, respectivamente. Indicamos isso no quadro seguinte:

V V0

2V0

3V0

4V0

5V0

D D0 4D0 9D0 16D0 25D0

Vamos fazer um grfico, marcando os valores de Vnum eixo horizontale os correspondentes valores de Dnum eixo vertical. A curva assim obtidadeve-se dizer aos alunos umaparbola. Com V

0= 30 km/h e

D0= 8 metros, o quadro de valores acima passa a ser o seguinte:

V 30 60 90 120 150

D 8 32 72 128 200


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O leitor deve observar atentamente o grfico e os quadros para bementender o efeito da velocidade de um automvel na distncia em que eleainda percorre at parar, desde o momento em que o motorista utiliza osfreios.

Quando a velocidade duplica, triplica, quadruplica etc., a distncia defreagem fica multiplicada por 4, 9, 16, etc., o que mostra o perigo dasaltas velocidades.

evidente, da discusso anterior, que a equao D = kV2nos d umaviso muito mais ampla e clara de como as variveis Ve Destorelacionadas do que quaisquer clculos numricos isolados. E isso,

justamente, porque estamos contemplando, nessa equao, a relao deinterdependncia funcional das variveis Ve D,j que agora Vpodeassumir qualquer valor positivo, sendo assim uma varivel independente;e D assume tambm todos os valores positivos, como varivel

dependente,pois cada um de seus valores determinado por algum valorde V.

A regra do guarda rodovirio e um teste da

revista Quatro Rodas

Um professor de Campinas, SP, contou-nosque j exerceu a profisso de guarda rodovirio

antes de se tornar professor de Matemtica. E,segundo nos explicou, o guarda rodovirio tem uma


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A revista Quatro Rodascostuma publicar tabelas dos testes que realizacom diferentes veculos. Uma dessas tabelas, referente ao Fiat Uno, quandode seu lanamento, a seguinte:

V 40 60 80 100 120

D 8,2 18,1 31,8 50,3 71,4

Isso equivale, praticamente, a tomark =1/200 na equao (2), poisento obtemos a seguinte tabela, muito prxima da anterior.

V 40 60 80 100 120D 8 18 32 50 72

O leitor deve observar que com odobro do valor usado para construiresta ltima tabela (pois 1/100 = duasvezes 1/200), o guarda rodovirioobtm valores duplicados dasdistncias correspondentes ao FiatUno. Um exagero?

Talvez no, se levarmos em contaque ele est preocupado comsegurana, imaginando um motorista que, subitamente, sem estar

preparado para uma freagem encontra-se numa situao de ter de parar

rapidamente o carro.Neste caso, preciso levar em conta outros fatores, como o tempo

decorrido entre o instante em que ele primeiro percebe a necessidade dafreagem e o momento em que comea a pressionar o pedal do freio. Eser que ele pressionar o freio tanto quanto o motorista de uma pista de

provas?


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Um comeo sobre funes

Exemplos como este que discutimos aqui servem para mostrar que oestudo das funes, na sua fase mais elementar, poderia iniciar-se, e comgrande vantagem, na sexta srie, logo aps o (ou simultaneamente ao)estudo das equaes. De fato, ao estudar equaes a duas incgnitas, da maior convenincia ensinar sua representao grfica.

Comeando com exemplos simples, como xy =0 ou y = x;

xy +1 =0 ou y = x +1; y =2x; y =3x/2, y =2x +1, etc,

o aluno pode ser levado, por um processo gradual de aprendizado, a

descobrir, por si prprio, que toda equao do primeiro grau a duasincgnitas tem por representao grfica uma linha reta.

A equao escrita na forma y= mx+ n sugere, naturalmente, a idiade variarxarbitrariamente e procurar os valores correspondentes dey.Ora, nisso esto contidas as noes de varivel independentee variveldependentenuma relao funcional.


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Sabemos que, ao lidar com a Trigonometria nocrculo, devemos ter em mente uma srie deelementos que se relacionam concomitantemente

(crculo orientado, origem e extremidade de arcos,eixos cartesianos, ordenadas, abscissas etc.). Noseria a relao entre numerosos elementos uma dascausas da dificuldade que os alunos sentem aoestudar Trigonometria? A utilizao de um dispositivoque fixasse algumas variveis, enquanto a atenose direcionasse para uma ou duas outras, no

poderia resultar em um melhor entendimento daquesto?

Foi tentando verificar a validade desta conjeturaque elaborei uma transparncia que, adequadamenteapresentada por meio de um retroprojetor, vemtrazendo resultados satisfatrios.

Descrio do material

1. Transparncia T1

Faa o desenho da Figura 1 numa folha de papelvegetal, tamanho ofcio, usando de preferncia letrase nmeros adesivos e tinta nanquim. Dimenses: raio5 cm; letras, 4,2 mm; nmeros, 2,5 mm. Faa umacpia do desenho e mande reproduzi-lo numa folhade acetato especial, o que pode ser feito em lojas

copiadoras.

Adaptado do artigo deAbdala Gannam

Ensinando Trigonometria

por meio da imagem


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2. Transparncia T2

Numa folha de acetato comum, tamanho ofcio, desenhe uma

circunferncia de raio de 10 cm, marque um ponto a 5 cm do centro e

ligue o centro com esse ponto (Figura 2). No coloque as letras no desenho.

Recorte o crculo.

3. Transparncia T3

Numa folha de acetato, de preferncia bem rgida, faa o furo indicadona Figura 3. Os nmeros indicam a posio do furo P. No coloque os

nmeros nem as setas no desenho. Trace um segmento de 5 cm, com

origem no furo em qualquer direo.

Figura 3

Figura 1

Transparncia T1

Crculo trigonomtrico de raio igual a 5 cm,

dividido em 36 partes graduadas de 10 em

10 graus. Eixos graduados para senos e

cossenos dos arcos correspondentes.

Figura 2

Transparncia T2

Circunferncia de raio de 10 cm.

Transparncia secundria (T3),

mostrandoo espao entre o furo e

as bordas, em centmetros.


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4. Moldura de carto

Figura 4

Com fita adesiva, pregue no verso da moldura de carto a transparncia

T1, centralizando o crculo. Coloque a transparncia T

2sobre a moldura

j com a transparncia T1

e, com um alfinete, fixe os centros das

circunferncias, de modo que elas possam girar em torno do alfinete. Emseguida, coloqueT

3sobre o conjunto T

1, T

2(Figura 5) e com outro alfinete

fixe-a na transparnciaT2, de modo que as transparncias possam girar

facilmente.

Corte os alfinetes rentes s transparncias, rebitando-os a seguir.

Deslocando a transparncia T3, mantendo fixa a moldura, um ponto se

deslocar sobre a circunferncia, levando consigo a sua projeo sobre

um dos eixos, onde aparecero os valores dos cossenos ou dos senos

(Figura 6).

A transparncia, projetada por meio de um retroprojetor, fornecer

uma imagem ntida e dinmica.

Moldura de papel carto,

dimenses em centmetros.


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Acontecem fatos estranhos quando se ensinaTrigonometria:

Observe as tabelas abaixo, contendo alguns

valores de duas funes fe g.

x f(x) x g(x)

0,1 0,00174 0,1 0,099

0,2 0,00349 0,2 0,198

0,3 0,00524 0,3 0,295

0,5 0,00873 0,5 0,479

1,0 0.01745 1,0 0,841

As duas funes no so iguais; no entanto,

em nossas aulas, chamamos ambas deseno.

Sempre medimos ngulos e arcos emgraus.

Por que, de repente, no ensino mdio,

resolvemos medir arcos emradianos?...e,

fora da trigonometria, continuamos usando

graus?


Renate Watanabe

Seno de 30

um meio?


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100

Se numa calculadora apertarmos os botes , seno, = e, depois,

l 80, seno, = , os dois resultados no deveriam ser zero? Pois

no so.

Quanto vale seno l?

Este artigo vai tentar esclarecer essas questes. Falaremos apenas do

seno, mas o que for dito se estende s demais funes trigonomtricas.

Trigonometria no ensino mdio

A transio das razes trigonomtricas no tringulo retngulo para

funes peridicas de domnio R, de aplicaes mais amplas, comeou

com Vite, no sculoXVI, eculminou nos trabalhos de Euler, no sculoXVIII.

Fazemos essa transio no ensino mdio, quando apresentamos as

funes circulares. Com pequenas variaes na linguagem, procedemos

da seguinte maneira para ampliar a funoSeno.

No plano cartesiano, considera-se a circunferncia de centro na origem

e raio unitrio.

Dado um nmero xentre 0 e 360, associa-se a esse

nmero um ponto Pda circunferncia tal quea medida

em graus do arco orientado que comea em A =(l , 0)

e termina em Pseja x. (Arco orientado e x >0

significa que o percurso de A at Pdeve ser feito no

sentido anti-horrio.)

Seno x= ordenada de P.

Se xfor negativo, ou maior do que 360, ento Seno x =Seno r, onde

x =360q+ r, com qZe 0 r


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O estudo de fenmenos fsicos quase sempre requer o uso de equaes

diferenciais, isto , de derivadas. Acontece que a derivada da funo Seno

igual a Cosseno.

Eis porque:

x senox (Senox)/x

1,0 0,0174524 0,017452

0,5 0,0087265 0,017453

0,3 0,0052360 0,017453

0,2 0,0034907 0,017453

0,1 0,0017453 0,017453

A tabela ao lado mostra que os valores de (Seno x)/x, para xprximo

de 0, ficam prximos de 0,01745. Pode-se demonstrar que:

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Col.mat Vol3