Como classificar os máximos e mínimos

Capítulo 3 - Aplicações das Derivadas

Definição - Extremos Absolutos

Seja f uma função de domínio D. Então f(c) é:

(a) o máximo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) paraqualquer que seja x em D.

(b) o mínimo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) paraqualquer que seja x em D.

Exemplo 3 - Encontrando Extremos Absolutos

Função Domínio D Extremos Absolutos em D

(a) 2y x ( , ) Ausência de máximo absoluto.Mínimo absoluto 0 quando x = 0.

(b) 2y x [0, 2] Máximo absoluto 4 quando x = 2.Mínimo absoluto 0 quando x = 0.

(c) 2y x (0, 2] Máximo absoluto 4 quando x = 2.Ausência de mínimo absoluto.

(d) 2y x (0, 2) Ausência de extremos absolutos.

Teorema 1 - O Teorema de Valor Extremo para Funções Contínuas

Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então fassume tanto um valor máximo M como um valor mínimo m em I. Ou seja, há números x1 e x2 em I tais que f (x1) = m e f (x2) = M em f(x) M para qualquer outro valor de x em I. (Figura abaixo)

Definição - Extremos Locais

Seja c um ponto interior do domínio da função f. Então f (c) será

(a) um valor máximo local em c se e somente se f (x) f (c) para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.

(b) um valor mínimo local em c se e somente se f (x) f (c) para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.

Teorema 2 - Extremos Locais

Se uma função f possui valores máximo ou mínimo locais em umponto c interior de seu domínio e se f’ existe em c, então

f’ (c) = 0.

Definição - Ponto Crítico

Um ponto de uma função f onde f’ = 0 ou f’ não existe é umponto crítico de f.

Exemplo 5 - Encontrando os Extremos Absolutos em um Intervalo Fechado

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f (x) = 10x(2 - ln x) no intervalo [1, e2].

Solução: A figura 3.6 (próximo slide) sugere que f tem seu valormáximo absoluto próximo de x = 3 e que, quando x = e2, seu valor mínimo absoluto é 0.

Os valores extremos de f (x) = 10x(2 - ln x) ocorrem quando x = ee x = e2.

Calculamos a função nos pontos críticos e nas extremidades e, dentre os valores obtidos, tomamos o maior e o menor. A primeira derivada é

1'( ) 10(2 ln ) 10 10(1 ln ).f x x x x

x

O único ponto crítico no domínio [1, e2] é o ponto x = e, onde ln x = 1. Os valores de f nesse único ponto crítico e nas extremidadessão

Valor no ponto crítico:Valores nas extremidades:

( ) 10f e e(1) 10(2 ln1) 20f

2 2( ) 10 (2 2ln ) 0f e e e

A partir dessa lista podemos ver que o máximo absoluto dessa função 10e 2,72. Que ocorre no ponto crítico interior x = e. O mínimo absoluto é 0 e ocorre na extremidade direita, quando x = e2.

Como Determinar os Extremos Absolutos de uma Função Contínua f em um Intervalo Fechado

Passo 1: Calcule f em todos os pontos críticos e extremidades.

Passo 2: Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos.

Exemplo 6 - Determinando Extremos

Determine os valores extremos de2

1( )

4f x

x

Solução: A função f possui um mínimo absoluto de aproximadamente0,5 quando x = 0. Também parece haver haver dois máximos locaisquando x = -2 e x = 2. No entanto, nesses pontos a função não estádefinida e não parece haver nenhum outro valor máximo.

A função f está definida apenas para 4 - x2 > 0, portanto seu domínioé o intervalo aberto (-2, 2). O domínio não tem extremidades, logo todos os extremos da função deverá ocorrer em pontos críticos. Rescrevemos a fórmula de f para determinar f’.

2 1 2

2

1( ) (4 )

4f x x

x

Assim,2 3 2

2 3 2

1'( ) (4 ) ( 2 )

2 (4 )

xf x x x

x

O único ponto crítico no domínio (-2, 2) é x = 0. Portanto, o valor

2

1 1(0)

24 0f

É a única possibilidade de valor extremo.

Para determinar se 1/2 é um valor extremo de f, examinamos a fórmula

2

1( )

4f x

x

À medida que x se afasta de 0 para ambos os lados, os valores de faumentam e o gráfico sobe. Temos um valor mínimo quando x = 0, e o mínimo é absoluto. A função não possui máximos, nem locais nem absolutos. Isso nãovai contra o Teorema 1 (Teorema do Valor Extremo), pois aqui f édefinida em um intervalo aberto. Para que haja pontos extremos, oTeorema 1 exige um intervalo fechado.

Exemplo 7 - Pontos Críticos não Precisam Gerar Valores Extremos

Embora os extremos de uma função possam ocorrer apenas empontos críticos e extremidades, nem todo ponto crítico ou extremidadeindica a presença de um valor extremo.

Pontos críticos sem valores extremos:

(a) y’= 3x2 é 0 quando x = 0, mas y = x3 não possui nenhum extremonesse ponto.

(b) y’= (1/3)x -2/3 não é definida quando x = 0, mas y = x1/3 não possui nenhum extremo nesse ponto.

Teorema 3 - O Teorema de Rolle

Suponha que y = f(x) seja contínua em todos os pontos de [a, b] ederivável em todos os pontos de (a, b). Se

( ) ( ) 0f a f b Então há pelo menos um número c em (a, b) onde f’(c) = 0.

O Teorema de Rolle diz queuma curva derivável tem aomenos uma tangente horizontal entre dois pontosquaisquer onde a curva cruzao eixo x. Essa curva tem três.

Teorema 4 - O Teorema do Valor Médio

Suponha que y = f(x) seja contínua em um intervalo fechado [a, b] ederivável no intervalo aberto (a, b). Então há pelo menos um ponto cem (a, b) em que

( ) ( )'( )

f b f af c

b a

Geometricamente,o Teorema do ValorMédio diz que, emalgum lugar entre A e B, a curva apresentapelo menos uma tangente paralela àcorda AB.

Corolário 1 - Funções com Derivadas Nulas são Funções Constantes

Se f ’(x) = 0 em todos os pontos de um intervalo I, então f (x) = Cpara qualquer x em I, onde C é uma constante.

Definições - Função Crescente, Função Decrescente

Seja f uma função definida em um intervalo I. Então,

1. f é crescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I,

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

2. f é decrescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I,

1 2 2 1( ) ( )x x f x f x

Corolário 3 - Teste da Primeira Derivada para Crescimento eDecrescimento

Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b).

Se f ’> 0 em todos os pontos de (a, b), então f é crescente em [a, b].

Se f ’< 0 em todos os pontos de (a, b), então f é decrescente em [a, b].

O Teste da Primeira Derivada para Extremos Locais

1. Se f ’ é negativa à esquerda de c e positiva à direita de c, então fpossui um mínimo local em c.

2. Se f ’ é positiva à esquerda de c e negativa à direita de c, então fpossui um máximo local em c.

3. Se f ’ possui o mesmo sinal em ambos os lados de c, então c não éum extremo local de f.

O gráfico de f (x) = x3 é côncavo para baixo em e côncavo para cima em

( , 0) (0, ).

Definição - Concavidade

O gráfico de uma função derivável y = f (x) é

(a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, se y’ é crescente em I.

(b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se y’ é decrescente em I.

Exemplo 3 - Aplicando o Teste de Concavidade

A curva y = x2 é côncava para cima em qualquer intervalo, pois sua segunda derivada y’’ = 2 é sempre positiva.

Definição - Ponto de Inflexão

Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangentee onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão.

Teorema 5 - O Teste da Segunda Derivada para Extremos Locais

1. Se f ’ (c) = 0 e f ’’(c) < 0, então f possui um máximo localquando x = c.

2. Se f ’(c) = 0 e f ’’(c) > 0, então f possui um mínimo localquando x = c.

Exemplo 9 - Usando o Teste da Segunda Derivada

Determine os extremos de f (x) = x3 - 12x - 5.

Solução: Temos que

2 2'( ) 3 12 3( 4)

''( ) 6

f x x x

f x x

Testando os pontos críticos (não há extremidades), temos que2x

''( 2) 12 0f f possui um máximo local quando x = -2

e''(2) 12 0f f possui um mínimo local quando x = 2.

Estratégias para Resolver Problemas de Máximo e Mínimo

Passo 1. Compreendendo o ProblemaLeia o problema atentamente. Identifique as informaçõesnecessárias para resolvê-lo. O que é desconhecido?O que é dado? O que é pedido?

Passo 2. Desenvolva um Modelo Matemático para o ProblemaDesenhe figuras e indique as partes que são importantespara o problema. Introduza uma variável para representara quantidade a ser maximizada ou minimizada.Utilizando essa variável, escreva uma função cujo valorextremo forneça a informação pedida.

Passo 3. Determine o Domínio da FunçãoDetermine quais valores da variável têm sentido noproblema. Se possível, esboce o gráfico da função.

Passo 4. Identifique os Pontos Críticos e as ExtremidadesDetermine onde a derivada é zero ou não existe. Utilizeaquilo que você sabe sobre a forma do gráfico de umafunção e sobre a física do problema. Use a primeira e asegunda derivada para identificar e classificar pontoscríticos (onde f ’ = 0 ou não existe).

Passo 5. Resolva o Modelo MatemáticoSe não estiver seguro sobre o resultado, utilize outrométodo para embasar ou confirmar sua solução.

Passo 6. Interprete a soluçãoTraduza seu resultado matemático de volta para a linguagem original do problema e decida se o resultadotem sentido ou não.

Exemplo 3 - Inscrevendo Retângulos

Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio 2.Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais são suas

dimensões?

Solução:

ModeloSejam as coordenadas do vértice do retângulo obtidas colocando-se o retângulo e a semicircunferência no plano cartesiano.O comprimento, a altura e a área do retângulo podem ser expressosem termos da posição x, no canto inferior direito da figura.

2( , 4 )x x

24 xAltura: Comprimento: 2x 22 4x x Área:

Observe que o valor x deve estar no intervalo , onde estáo vértice escolhido para o retângulo. Agora nosso objetivo matemático é determinar o valor máximoabsoluto da função contínua

0 2x

2( ) 2 4A x x x

no domínio [0, 2].

Identificando os Pontos Críticos e as Extremidades

A derivada

22

2

22 4

4

dA xx

dx x

Não é definida quando x = 2 e é igual a zero quando

22

2

22 4 0

4

xx

x

2 22 2(4 ) 0x x

28 4 0x 2 2x

2x

Multiplique ambos os ladospor 24 x

Das duas raízes, e , apenas a primeira está no domíniode A e faz parte da lista de pontos críticos.

2x 2x

Os valores de A nas extremidades e no único ponto crítico são

Valor no ponto crítico: ( 2) 2 2 4 2 4A

Valores nas extremidades: (0) 0, (2) 0.A A

Interpretação

A área máxima que o retângulo pode ter é 4 quando este tem unidades de altura e unidades decomprimento.

24 2x 2 2 2x