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COMPARACIÓN DEL CONTROLADOR ROBUSTO Hinf CON EL CONTROLADOR
H2LQG PARA AUTOPILOTO
Dr M. H. Alanbari (*), Dr. Jose Guillermo Filippone (*) y Dr Agustín J. Avello (** )
(*) Dpto de Electromecánica y Materiales de la
Universidad Europea de Madrid, villaviciosa de Odón,
28670 Madrid-E-mail: [email protected]
(**) Dpto. de Automática Ingeniería Electrónica e
Informática Industrial (DISAM) de la Universidad
Politécnica de Madrid, E.T.S. Ingenieros Industriales,
José Gutiérrez Abascal, 2 - 28006 Madrid. E-mail:
ABSTRACTA: Se realiza una verificación
experimental del controlador robusto Hinf diseñado
en (M. H. Alanbari y Agustín J. Avello 2003 y
2005), y se lo compara con un controlador diseñado
con la técnica de regulación óptimo H2LQR
aplicado al modelo nominal del autopiloto.
KEYWORDS: Control de proceso
1. INTRODUCCIÓN
Se plantea el diseño del controlador para el eje de
cabeceo del avión experimental utilizando las
técnicas de control óptimo en H2lqr y Hinf
El modelo de fase no mínima general según (M. G.
Safonov, Laub A. and Hartmann G..1981) del avión
ha sido linealizado para una altura de vuelo de 25.000
pies y una velocidad de Mach 0.9, que es inestable
con dos polos en el semiplano derecho.
2. EL MODELO MATEMATICO DEL AUTOPILOTO
Las matrices de la realización en variables de estado
del modelo lineal obtenido son las siguientes:
-0,23 9,26e -5
0,012 0 0 0
-36,62 -1,9 11,72 0 0 0
-18,9 0,983 -2,632 1 0 0
-32,09 -7, 26e -4
8,76e -4
0 0 0
3,251 -0,171 -31,6 0 -30 0
-0,763 4,97e -1
22,4 0 0 -30
0 0 0 0 30 0
0 0 0 0 0 30
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
Las dos entradas de control son los ángulos
(diferenciales) de las superficies del elevador δe y el
canard δc.Como salidas se miden el ángulo de ataque
θ1 y el cabeceo θ2, que además son dos de los estados
del sistema. Los otros cuatro estados son: la velocidad
longitudinal (diferencial) δV, velocidad angular de
cabeceo q y dos modos más que se agregan para
representar la dinámica de los actuadores. Todas estas
variables pueden verse en la figura1.
Figura 1: Superficies de vuelo y geometría vertical.
Figura 2: se representa los valores singulares del
diagrama de Bode de la planta en lazo abierto, donde
se indica que las dos canales no tienen la misma
velocidad de respuesta.
Figura 2: El diagrama de bode de la planta
3. OBJETIVOS DEL DISEÑO
El objetivo del control es desacoplar la trayectoria de
vuelo de la actitud del vehículo. Esto se logra a través
del uso de múltiples superficies de control de actitud.
En términos del lazo de control, se desea que cada
canal tenga aproximadamente la misma velocidad de
respuesta. Debido a incertidumbres en el modelo de
altas frecuencias, la frecuencia de corte debe estar
limitada. Las perturbaciones al modelo son
producidas por vientos verticales que pueden ser
modelados como ruido 'coloreado' de primer orden.
Se desea minimizar su efecto tanto como sea posible,
reduciendo los valores singulares de la matriz de
sensibilidad S(s). Además dado que estos modos son
de precisión, se deben seguir comandos de tipo
escaón con errpr nulo en estado estacionario.
Concretamente esto puede ser especificado como
sigue:
AT
=
BT =
4. PROCEDIMIENTO DEL DISEÑO
El procedimiento del diseño depende básicamente de
los siguientes.
4.1 Estabilidad robusta
Para la estabilidad robusta, la sensibilidad
complementaria T(s) debe tener una atenuación de 20
db a 100 rad/seg. con una pendiente de -20 db por
década. El peso asociado a esta especificación según
las reglas mencionada en [1] es:
1000
)1(* +ss 0
0 1000
0,5) s (*)1(* ++ τss
donde τ=0.5mseg se ha seleccionado de tal forma que
ambos canales son penalizados igualmente hasta 1/τ. .
4.2 Prestación robusta
Para la prestación nominal, hay que minimizar la
matriz de sensibilidad S(s) tanto como se pueda. El
peso asociado inicial según las reglas que se han
mencionado antes es
)01,0(
)1005,0(*2
+
+
s
s 0
0 )01,0(
)1005,0(*2
+
+
s
s
Comenzando con Gam = 1 e incrementando tanto
como sea posible
Los pesos W1(s) y W3(s) penalizan las señales de
error e(t) y de salida y(t) dentro del lazo como se
observa en la figura 3.
Figura 3: Valores singulares de las funciones de peso
de diseño.
4.3 Sensibilidad mixta
El diseño consiste en hallar un controlador que
estabilice el sistema y que minimice la norma de la
siguiente matriz::
Tzw (s) =
min ║ W1(S, Gam)*S(s) ║
F(s) estabilizantez ║ W3(s) * T(s) ║inf
que involucra ambas especificaciones. La
minimización de esta combinación 'pesada' de las
matrices de sensibilidad S(s) y sensibilidad
complementaria T(s) se denomina problema de
sensibilidad mixta. Por lo tanto un buen compromiso
para asegurar ambos objetivos de conseguir la
performance nominal y estabilidad robusta es el de
establecer el valor de la norma de la ecuación anterior
por debajo de 1. Para obtener la mejor prestación
posible del sistema, se busca en forma iterativa el
máximo valor de Gam que cumpla con los requisitos
de prestación nominal y estabilidad robusta, pero
ahora, utilizando las técnicas de control óptimo en
H2lqg y Hinf, es decir optimizar la siguiente función:
║ Tzw (s) ║α α = 2 , inf. Con la síntesis H2lqg se usa
como primer intento para obtener un conocimiento
inicial sobre el nivel de prestación del límite del
diseño (Gam =1 → 8,4), posteriormente se usa la
síntesis de Hinf basados en los resultados de la
primera etapa, para realizar el trabajo del diseño final
(Gam =6,8).
5. RESULTADOS
1. El controlador F(s) diseñado en Hinf es de orden
(8), por causa de que T12(s) y T21(s) tienen zeros en
el semiplano derecho.
2. Los gráficos de los valores singulares de las
funciones de pesos del diseño 1/W1(s) y 1/W3(s)
además de la función de costo Tzw, la función de
sensibilidad S(s) con 1/W1(s) y la función de
sensibilidad complementaria T(s) con 1/W3(s)
pueden verse en las figuras (4, 5 y 6), donde el valor
de Gam se incrementa desde Gam =1 hasta un valor
especificado en la figura y según el controlador.
W3(s) =
W1(s) =
* Gam
Figura 4: Costos σ [ Tzw (jw)] para óptimos en H2 y
Hinf
Figura 5: Costos σ [ S (jw)] para óptimos en H2 y
Hinf
Figura 6: Costos σ [ T (jw)] para óptimos en H2 y
Hinf
6. CONCLUSIONS
1-Este procedimiento incorpora casi en forma directa
las especificaciones al planteo del problema, a
diferencia de los métodos de diseño usando
LQG\LTR .
2- La estabilidad robusta es menor en los
controladores diseñados en H2lqg que Hinf, ya que el
controlador diseñado en Hinf es más eficaz para
establecer la familia del modelo nominal que el
diseño en H2lqg.
3- Gam- iteración en H2lqg es mayor que en Hinf. Es
aconsejable la práctica usar el conjunto de síntesis en
H2lqg y Hinf , la síntesis en H2lqg se usa como
primer intento para obtener un conocimiento sobre el
límite de prestaciones del diseño actual, y
posteriormente se usa la síntesis en Hinf basados en
los resultados de la primera etapa.
4- Se ha resulto hasta el momento de manera
eficiente el problema de estabilidad robusta. Sin
embargo queda aún el último paso por solucionar que
es el de prestación robusta. Para este caso no basta
con resolver el problema ni con ║ Tzw (s) ║α α = 2
, inf. La metodología que resulve este problema es el
de síntesis –µ.
REFERENCES
M. G. Safonov, Laub A. and Hartmann G..1981.
Feedback properties of Multivariable systems: The
role and use of the return difference matrix. IEEE
Transaction on automatic control, Vol. 26, No. 1, pp
47 – 65.
M. H. Alanbari y Agustín J. Avello 2003. Selección
de Pesos de Prestación y Estabilidad para Control
Robusto. Las Jornadas de Automática, Universidad
de León .
M. H. Alanbari y Agustín J. Avello 2005. Diseño
del controlador robusto para un sistema monovariable
Las Jornadas de Automática XXVI, Universidad de
Alicante .
