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CP-1
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
COMPENSAÇÃO
CP1- Dada a FT em malha aberta G(s) = 10
s(s+2)(s+8) de um sistema com realimentação
negativa unitária, compense esse sistema, utilizando métodos de lugar de raízes, de
forma que:
a) o sistema realimentado tenha uma sobreelongação máxima de 16% e um tempo de
estabelecimento de 4 seg.b) a constante de erro de velocidade seja Kv = 80 s-1.
c) dimensione os compensadores calculados utilizando as seguintes montagens:
CP2- Um registador de pena, cujo diagrama de blocos se mostra, apresenta a resposta ao
degrau unitário indicada, a qual se considera insatisfatória. Procure melhorá-la através
de uma variação de ganho ou compensação adequada, de modo a que o overshoot
percentual não exceda 5% e o tempo de estabilização seja inferior a 0.1seg.
CP-2
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
CP3- Na figura está representado um esquema simplificado de um sistema de comando de
um míssil.
a) Discutir a viabilidade do comando deste míssil sem realimentação de velocidade.
b) Projectar um compensador que permita aumentar pelo menos 10 vezes a constante de
erro de posição. Calcular o novo valor do parâmetro k de modo a manter o factor de
amortecimento inalterado.
CP4- Considere o sistema de realimentação unitária G(s) = s+2.5s+a
Ks(s+1) .
Determine a e K de modo que -1.6±j4 sejam pólos do sistema.
CP5- Considere o seguinte sistema de posicionamento de uma antena:
Pretende-se que este sistema tenha um tempo de estabilização não superior a 4 seg e
um overshoot inferior a 16%.
a) Verifique se pode satisfazer as especificações variando apenas o ganho k, k>0.
b) Dimensione um compensador da forma A
dT
sT
s
1
1
+
+
CP-3
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
CP6- Determinar os valores de K, T1 e T2 do sistema da figura, de modo a que os pólos
dominantes em malha fechada tenham ξ = 0.5 (coeficiente de amortecimento) ewn = 3rad/s (frequência natural).
CP7- Dado o sistema da figura 1 dimensione um compensador, pelo método do Lugar
Geométrico de Raízes, de forma a que o sistema apresente um par de polos em malha
fechada em s=-3±j3.
CP8- Dado o seguinte servo-mecanismo de posição:
a) Obtenha a função de transferência e o diagrama de blocos do sistema apresentado.
Suponha que o controlador é um simples amplificador ideal com resistência de entrada
infinita e de saída nula.b) Faça uma análise qualitativa do efeito da indutância do motor La na dinâmica do
sistema.
s(s+4)
20
-
er m yGc(s)
CP-4
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
c) Quais são as variações do desempenho do sistema (com La=0) em termos de
sobrelongação e tempo de estabelecimento com a variação do ganho do amplificador?
Qual será então o ganho a seleccionar supondo que não são desejadas sobrelongações?
d) Qual o erro em regime permanente da resposta ao degrau. Atingirá um sistema real
esse valor? Justifique a resposta.e) Com La=0, qual seria a função de transferência ideal para o bloco Gc(s) de modo a o
sistema melhorar as suas características transitórias e também o seu erro em regime
permanente? Discuta a viabilidade dessa funçâo de transferência em sistemas reais.
(Sugestão: esboce o lugar de raízes do sistema compensado)
CP9- Um sistema de segunda ordem com realimentação unitária e com um pólo na origem na
função de transferência em malha aberta, apresenta a seguinte resposta ao degrau
unitário:
a) Identifique a função de tranferência em malha fechada e em malha aberta e
dimensione o compensador de modo a melhorar as características transitórias do
sistema, supondo que o ganho em malha aberta possa atingir o dobro do seu valor
inicial mas que, prevendo-se uma variação de 20%, não apresente oscilações.
b) Supondo que o sistema é o servomecanismo de posição de CP8 e que tem uma zona
morta no motor e ainda que a alimentação do mesmo é limitada, diga qualitativamente
quais os efeitos destas duas não lineariedades na resposta do sistema a degraus de
pequena e grande amplitude.
Sugere-se que simulem em computador (no programa Tutsim por exemplo) a situação
descrita e ainda a mesma situação mas com o sistema não compensado.
CP10- Considere G(s) = 10
s(s+1) , cuja margem de fase é muito pequena. Pretende-se aumentar
a margem de fase para 50�.
a) Calcule a margem de fase da planta.
b) Calcule o compensador avanço que aumente a margem de fase para 50�.
CP-5
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
c) Calcule a largura de banda do sistema antes e depois da compensação.
d) Uma simples redução de ganho não teria permitido aumentar também a M.F.? Haverá
então alguma vantagem em usar a compensação?
CP11- Compense a planta 10
s(s+2)(s+8) de modo que M.F.=50� e ωc = 4rad/s.
CP12- O sistema representado é instável
a) Dimensione um compensador atraso por forma a estabilizar o sistema e a não alterar a
constante de erro de velocidade.
b) Uma vez que o sistema podia ser estabilizado com uma simples redução de ganho,
qual será então a vantagem do procedimento anterior? Como interpreta essas
vantagens no domínio das frequências?
CP13- Seja o sistema realimentado, onde d representa uma perturbação de baixa frequência.
a) A fim de insensibilizar a acção seguidora do sistema à perturbação d, será desejável
um ganho elevado nessa gama de frequências? Justifique a sua resposta.
b) Quando é necessário aumentar o ganho às baixas frequências como poderíamos
consegui-lo? Que inconvenientes podem resultar desse procedimento?
CP14- Considere um sistema com realimentação unitária e G(s)= 10
s(s+1) .
a) Melhore a constante de erro de velocidade 5.37 vezes, com recurso a um compensador
atraso da forma
Gc(s) =
ats
ts
a
A1
1
+
+.
b) Faça um esboço dos traçados de Bode, módulo e fase, do compensador atraso obtido.
CP-6
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
c) Como pode utilizar o compensador atraso na melhoria da margem de fase de um
sistema realimentado sem alterar as constantes de erro?
d) O procedimento de c) tornará o sistema mais rápido ou mais lento? Justifique.
CP15- Considere o sistema definido pela FT T(s) = 3s+4
s3+3s2+2.75s+0.75 .
a) Através de uma realização no espaço dos estados determine a realimentação de estado
adequada de modo a que os polos do sistema passem a ser -2,-3 e -4.
b) Desenhe o respectivo diagrama de blocos.
CP16- Considere o sistema representado pela sua FTC(s)R(s) =
10s3+6s2+11s+6
Determine uma realimentação de estado de modo que o pólo real seja em módulo 10
vezes a parte real dos outros, a sobreelongação 15% e o tempo de estabelecimento a
2% de 2 seg.
CP17- A compensação no espaço de estados requer o conhecimento do vector de estado.
Sucede contudo que este nem sempre é acessível a partir das observações. Notar que
as únicas variáveis acessíveis no sistema são os vectores u e y. As variáveis de estado
podem inclusivamente não ter qualquer significado físico mas apenas significado
matemático.
com A=
-3 1
0 -1 B =
0
1 C = [ ]1 0
a) Mostre quais as condições em que o sistema acima pode ter o seu estado conhecido, ouseja, em que lim
t->� [xe(t)-x(t)]=0, qualquer que seja x(0).
b) Calcule um observador de estado para o sistema.
c) Discuta a escolha dos valores próprios de A-TC com base na comparação da dinâmica
do sistema e do observador.
CP-7
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
d) Esboce o erro para e(0) =
1
2 = xe(0)-x(0)
CP18- Utilização combinada da compensação por realimentação de estado e do observador de
estado
a) Mostrar que
e
x
·
º
·
=
−
+
e
x
TCA
BKBKA
º
:0
ººº
:
e = xe - x
b) Que conclusões se podem daqui tirar?
CP19- Calcule as funções de transferência : Y(s)V(s) ,
Y(s)N(s) , para o compensador por
realimentação de estado combinado com a estimação. Realce os cancelamentos sempre
que existirem.
Lema: [ I + M(sI-P)-1N]-1 = I - M(sI-P+NM)-1N
CP20- Considere uma representação controlável e observável, de dimensão n da forma:
x· =Ax+buy=cx x ∈ Rn
a) Quando se compensa este sistema através de uma realimentação de estado, combinada
com um estimador de ordem n, obtém-se um sistema com dimensão 2n. Este sistema
assim obtido será controlável? Observável? Justifique a sua resposta.
b) Sabendo que: A =
0 1 0
0 0 1
-6 -11 -6
B =
0
0
1
C = [ ]1 0 0
CP-8
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
Compense o sistema, por realimentação de estado, de modo a duplicar o módulo dos
valores próprios. Justifique a escolha que fizer para os pólos do observador de estado e
desenhe um diagrama de blocos do sistema resultante.
CP21- Dada a planta descrita pela função de transferência )5)(1(
3++
+ss
s :
a) Dimensione um controlador de tal modo que os pólos do sistema realimentado
(compensado) sejam -2 e -5 e faça um esquema do sistema de controlo proposto.
b) Constate que o sistema compensado tem de facto os pólos pretendidos.
CP22 - Um dos métodos usados na compensação de sistemas com atrasos puros de transporteé o chamado predictor de Smith.
a) Dado um processo com função de transferência Gp(s) = 2
7.18
)6.81(
57.0
s
e s
+
−
calcule os parâmetros
Kc e Ti do controlador de Smith do tipo Kc( 1 + isT
1 ) de modo a que a parte racional da
função de transferência do sistema compensado tenha um par de pólos complexosconjugados com ξ = 0.5.
b) Desenhe o diagrama de blocos do sistema compensado na alínea aanterior. c) O predictor de Smith é aplicável a plantas instáveis? justifique.
CP23 -Seja o sistema:
com Gp(s) = 500 s2 ; Gc(s) = ,
)(
( )
c
cc
ps
zsK
++
, Kc ≥ 0
a) Calcule a fase de Gc(pd) por forma a que pd = -5 + j12 seja um pólo possível em malha
fechada.
b) Calcule Kc , zc e pc por forma a que pd seja pólo dominante da malha fechada.
c) Em que critério se baseou para escolher o pólo ou (e) o zero do compensador da alínea
anterior?
CP-9
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
d) Compare justificadamente o desempenho, em regime permanente, do sistema realimentado
com
Gc(s) = 1 e com Gc(s) igual ao calculado na alinea b), supondo r(t):
d.1 - a rampa unitária.
d.2 - a parábola unitária.
CP24 - Considere o sistema
a) Supondo Gc=1, determine a margem de ganho e a margem de fase. Justifique a suaresposta
b) Dimensione justificadamente um compensador da forma Gc=Kcs+zc
s+pc , Kc≥0, tal que o
sistema compensado apresente uma margem de fase de 35°, com uma frequência detravessia de ganho ωc=15 rad/s.
c) Compare o desempenho, em regime permanente, do sistema realimentado com Gc=1 e Gc
igual ao calculado na alÌ nea b), supondo r(t):c.1) a rampa unitáriac.2) a parábola unitária
CP25 - Considere o seguinte sistema realimentado.
2
1)(
ssGp =K
)(sGc
R Y
Figura 5
a) Considere K = 1. Dimensione o compensador Gc(s) de modo a que o sistema apresente umpar de pólos complexos caracterizados por ζ = 0,5 e ωn = 1.b) Determine o valor de K e um novo Gc(s) de modo a que o sistema apresente um erro nuloem regime permanente para entradas em degrau em R, mantendo os pólos determinados naalínea anterior.
Gc500s2
R Y+
-
CP-10
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
CP26 - Na figura 1 estão representados os traçados de Bode em anel aberto de um sistema decontrolo, com realimentação unitária negativa após (A) e antes (B) da compensação.
a) De que tipo de compensação se trata? Porquê?b) Determine a margem de ganho e fase antes e após a compensação.c) Relacione as constantes de erro de velocidade e de posição antes e após a compensação.
d) Sabendo que o compensador tem a função de transferência kc s + zcs + pc
, calcule
justificadamente kc, zce pc.e) O desempenho do sistema melhorou após a compensação? Porquê?
Figura 1
CP27 - Considere o sistema da figura 2 onde Gp(s) = 1s2 .
)(sGc )(sG p
R(s) Y(s)
Figura 2
CP-11
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
a) Supondo Gc(s) = 1, calcule os pólos de Y(s)R(s) .
b) Considere agora Gc(s) = kc s - zcs - pc
. Determine então kc, zce pc de modo a que o sistema
realimentado apresente um par de pólos dominantes à mesma distância da origem que opar de pólos sa alínea a) e com ξ = 0,45.
c) Justifique o modo como escolheu zc na alínea anterior.d) Qual a margem de ganho e a margem de fase do sistema na alínea a)? Porquê?
CP28 - Considere o sistema realimentado da figura 1, com Gc(s) = 1. Tendo em consideraçãoos traçados de Bode para Gp(s) representados nas figuras 2.1 e 2.2:
a) Calcule justificadamente a Margem de Ganho e a Margem de Fase.b) Analise a estabilidade do sistema realimentado.c) Diga quantos zeros e quantos pólos tem Gp(s) e forneça uma estimativa dos mesmos.Justifique a resposta.
)(sGc )(sG p
Figura 1
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-90
-180
-360
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2-80
0
80
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
Figura 2.1
CP-12
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
CP29 - Considere novamente o sistema realimentado da figura 1 do exercício anterior com o
mesmo Gp(s) e com c
ccc ps
zsKsG
−−
=)(
)( . Os traçados de Bode para Gc(s)Gp(s) estão
representados na figura 3. Para efeito de comparação também se repetem nessa figura ostraçados de Gp(s).
a) Analise a estabilidade do sistema realimentado.b) Que tipo de compensador é Gc(s) ? Justifique.d) Forneça uma estimativa de Kc, zc e pc; justifique a sua resposta.
Nota: 2loglog =c
c
z
p.
e) Seria possível melhorar o desempenho do sistema realimentado recorrento a outro tipo decompensador ? Em que se traduziria essa melhoria ? Justifique.
10
0
10
1
2
1
0
-1
-2
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10
0
10
1
-150
-180
-210
-240
-270
-300
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Figura 2.2
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2-80
0
80
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-90
-180
-360
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Figura 3
CP-13
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
CP30 - Considere o sistema realimentado da figura 1, com Gc(s) = 1 e T = 0. Os respectivostraçados de Bode nestas condições estão representados nas figuras 2.1 e 2.2.
a) Determine a Margem de Fase e a Margem de Ganho (em decibeis).b) Determine as constantes de erro de velocidade e de posição.c) c.1) Quantos pólos e quantos zeros terá Gp(s) ? Justifique.
c.2) Calcule-os. Justifique o seu procedimento.e) Nas condições do problema, calcule o conjunto dos valores de T, T > 0, para os quais o
sistema da figura 1 é estável. Justifique a sua resposta.
)(sGc )(sG p
Figura 1
10
-1
10
0
10
1
10
2-70
0
50
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10
-1
10
0
10
1
10
2
-90
-180
-360
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Figura 2.1
CP31 - Considere novamente o sistema realimentado da figura 1 do exercício anterior com o
mesmo Gp(s), c
ccc ps
zsKsG
−−
=)(
)( e T = 0. Os traçados de Bode para Gc(s)Gp(s) estão
representados na figura 3, assim como o de Gp(s).
a) Que tipo de compensador é Gc(s) ? Justifique.b) Determine Kc, e zc/pc.c) Será possível melhorar o desempenho do sistema realimentado recorrendo a outro tipo decompensador ? Em que se traduzirá então essa melhoria ? Justifique.
CP-14
Teoria dos Sistemas FEUP/DEEC
10
0
10
1
10
2-10
-5
0
5
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10
0
10
1
10
2
-150-180-210-240
-270-300-330-360
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Figura 2.2
10
-1
10
0
10
1
10
2-70
0
50
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10
-1
10
0
10
1
10
2
-90
-180
-360
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Figura 3
