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Compensadores: projeto no domınio da
frequencia
• Relembrando o conteudo das aulas anteriores: o Compensador (tambemconhecido como Controlador) tem o objetivo de“compensar”caracterısticas“ruins”do sistema original.
• Usualmente empregamos Compensadores (Controladores) em malha fechadacom o sistema original.
• Empregamos tecnicas apropriadas de modo que o Compensador altere aconfiguracao do sistema de modo a satisfazer especificacoes de projeto.
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B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil
Sistema em malha fechada
R(s) Y (s)
Controlador Planta
+−
Gc(s) G(s)
Desenvolveremos a seguir um Compensador chamado de Avanco-Atraso,usando tecnicas do domınio da frequencia.
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• Margem de Ganho (dB): e a quantidade obtida na frequencia de cruzamentodo angulo de fase igual a −180o.
• Margem de fase φpm: e a quantidade do angulo correspondente a 0 dB.
• Em sistemas de 2a. ordem podemos usar a formula ξ = 0.01φpm (quando
0 < ξ < 0.707). Isso significa que a margem de fase altera significativamenteo Maximo Overshoot do sistema. Entao projetamos φpm para ter um bomdesempenho do Maximo Overshoot.
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Compensador Avanco
A sua funcao de transferencia e dada por
Gc(s) =K (s + z)
s + p
E Compensador Avanco quando |z | < |p|. Isso implica que (em sistema estavel)o polo esta localizado a esquerda do zero no Grafico Plano s.
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Compensador Avanco
Faca p = 1/τ e z = 1/(ατ) . Entao a sua funcao de transferencia e dadapor
Gc(s) =(1 + ατs)
α(1 + τs)
A frequencia onde ocorre a fase maxima do avanco ocorre no meio entre asfrequencias do polo e zero, ou seja,
ωm =√zp =
1
τ√α
O valor do angulo de avanco maximo e
sin φm =α− 1
α+ 1
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Compensador Avanco
O diagrama de Bode do Compensador Avanco e dado por
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Homework – Compensador Avanco
Mostre para o circuito abaixo que Gc(s) = V2(s)/V1(s) quando
τ =R1R2C
R1 + R2
α =R1 + R2
R2
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Exemplo
Determine valores para R1, R2 e C no circuito acima de modo que o maximo
angulo de fase seja maior que 50o e que a sua frequencia correspondenteseja inferior a 100 rad/seg.
Solucao:α− 1
α+ 1= sin φm ≥ sin 50o = 0.766 ⇒ α ≥ 7.547
Adotamos α = 8 . Note que
100 ≥ ωm =1
τ√8
⇒ τ ≥ 0.0035 Adotamos τ = 0.004025 .
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Escolha R1 = 14kΩ, R2 = 2kΩ, C = 0.0023mF , para obter
τ =14× 2× 0.0023
14 + 2= 0.004025 α =
R1 + R2
R2
=14 + 2
2= 8
Podemos entao concluir que R1 = 14kΩ, R2 = 2kΩ, C = 0.0023mF
garantem que as especificacoes do projeto.
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Projeto: Compensador Avanco via Diagrama de Bode
1 Faca a constante de erro (erro estacionario) estar no valor desejado noprojeto.
2 Avalie o Diagrama de Bode do sistema (sem o uso de Compensador).Obtenha a margem de fase φpm.
3 Determine a quantidade adicional de avanco de fase φm necessario paraque o sistema de controle resultante atenda a especificacao de projeto.Tome esse valor e adione entre +1o a +10o graus (para gerar uma“folga”).
4 Faca φm = φm+“folga”(graus). Determine α a partir da equacao
sin φm =α− 1
α+ 1
5 Calcule 10 logα e determine a frequencia onde a curva de magnitudenao-compensada e igual a −10 logα dB. Isso decorre do fato de que oCompensador prove um ganho de 10 logα em ωm, entao essa frequenciaωm e a nova frequencia de crossover 0 dB e ωm, simultaneamente.
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Projeto: Compensador Avanco via Diagrama de Bode
6 Calcule p = ωm
√α e z = p/α.
7 Desenhe o Diagrama de Bode resultante do sistema (acoplando oCompensador) e veja se a margem de fase resultante satisfaz aespecificacao de projeto. Em caso negativo refaca os passos anterioresadotanto outros valores (altere φm).
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Projeto: Compensador Avanco via Diagrama de Bode
R(s) Y (s)Controlador Planta
+−
Gc(s) G(s) = 10
s2
Exemplo
Considere o sistema acima. Determine um Compensador Avanco de Fase demodo que as especificacoes sejam atendidas:(a) Tempo de assentamento menor ou igual a 4 seg.(b) Maximo overshoot menor ou igual a 21%.
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Solucao.Para o tempo de assentamento ser inferior a 4 s, tem-se:
ts =4
ξωn
≤ 4 ⇒ ξωn ≥ 1,
Para um Maximo overshoot menor ou igual a 21%, faca MO = 21/100 ecalcule:
ξ =− ln(MO)
√
π2 + ln2(MO)= 0.45
Maximo overshoot menor que 21% implica que 0.45 < ξ < 1. Vamos adotar
ξ = 0.45 . E assim podemos fixar ωnξ = 1, logo ωn = 2.22
Estamos lidando com G(s) de segunda ordem, por isso podemos aproximar amargem de fase desejavel para o sistema, que seja aproximada por
φpm =ξ
0.01= 45o .
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A margem de fase do sistema nao-compensado e 0o porque um integradorduplo na origem resulta em fase atrasada em −180o para todas as frequenciaspossıveis. Entao devemos adicionar um angulo de Avanco de +45o nafrequencia de crossover (0-dB).Faca φm = 45o + 1o = 46o . Determine α a partir da equacao
sin 46o =α− 1
α+ 1⇒ α = 6.
Note agora que 10 log(α) = 7.78 dB. Voltamos a visualizar o Diagrama deBode nao-compensado e marcamos a frequencia em que ocorre −7.78 dB;esse valor ocorre no Diagrama em ω = 4.95 rad/seg. Faca ωm = ω = 4.95 ecalcule o polo-zero usando a formula
p = ωm
√α = 12 z = p/α = 2.
A funcao de transferencia do Compensador Avanco e
Gc(s) =(1 + ατs)
α(1 + τs)=
1
6
(
1 + s/2
1 + s/12
)
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Projeto 2: Compensador Avanco via Diagrama de Bode
R(s) Y (s)Controlador Planta
+−
Gc(s) G(s)
Exemplo
Considere um sistema de controle com funcao de transferencia de malhaaberta dada por
G(s) =40
s(s + 2)
Deseja-se implementar um compensador avanco tal que:(a) o erro estacionario devido a entrada rampa-unitaria seja menor ou igual a0.25;(b) a margem de fase resultante seja superior a 50.
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Solucao:
• Relembre que o controlador avanco possui formato
Gc(s) =(1 + ατs)
α(1 + τs)
Erro a entrada rampa-unitaria exige calculo de Kv , que e dado por
Kv = lims→0
sGc(s)G(s) = lims→0
s
(
(1 + ατs)
α(1 + τs)
)
40
s(s + 2)=
20
α
Da formula do erro estacionario obtemos
0.25 ≥ R
Kv
=120
α
=α
20⇒ α ≤ 5.
Portanto devemos escolher α ≤ 5 para satisfazer item (a).
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10−1
100
101
102
−90
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
−50
−40
0
10
Mag
nitu
de (
dB)
30
20
40
50
−10
−20
−30
−180
−150
−120
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• Para satisfazer item (b) devemos analisar o Diagrama de Bode. A margemde fase do sistema nao-compensado e igual a +17, logo para satisfazer aespecificacao de margem de fase de +50 precisa-se produzir um adicionala margem de fase no valor φm = 33. Considere folga de +5. Distotemos que φm = φm + 5 = 38. Podemos agora escrever
sin φm =α− 1
α+ 1⇒ α = 4.12
Adotamos α = 4.12 e esse valor ja satisfaz item (a).
• Note agora que 10 log(α) = 6.15 dB. Voltamos a visualizar o Diagrama deBode nao-compensado e marcamos a frequencia em que ocorre −6.15 dB;esse valor ocorre no Diagrama em ω = 9 rad/seg. Faca ωm = ω = 9 ecalcule o polo-zero usando a formula
p = ωm
√α = 18.26 z = p/α = 4.43
• Lembrando que z = 1/(ατ) e p = 1/τ , temos que o controlador e
Gc(s) =(1 + ατs)
α(1 + τs)=
(1 + s/4.43)
4.12(1 + s/18.26)
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Bode Diagram
Frequency (rad/s)
−100
0
Mag
nitu
de (
dB)
10−1
100
101
102
103
Pha
se (
deg)
−90
−50
50
−180
−135
φpm
Diagrama de Bode para sistema compensado. Note que a Margem de Fasecompensada e superior a 50o .
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HomeworkRepita o exercıcio anterior para uma funcao de transferencia de malha abertadada por
G(s) =20
(s + 1)(s + 2)
Implemente um compensador tal que, obrigatoriamente, satisfaca:(a) o erro estacionario devido a entrada degrau-unitario seja menor ou igual a0.8;(b) a margem de fase seja superior a 60.
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Compensador Atraso
A sua funcao de transferencia e dada por
Gc(s) =K (s + z)
s + p
E Compensador Atraso quando |z | > |p|. Isso implica que (em sistema estavel)o polo esta localizado a direita do zero no Grafico Plano s.
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Compensador Atraso
Faca p = 1/(ατ) e z = 1/τ . Entao a sua funcao de transferencia e dadapor
Gc(s) =1 + τs
1 + ταs
A frequencia onde ocorre a fase maxima do atraso ocorre no meio entre asfrequencias do polo e zero, ou seja,
ωm =√zp =
1
τ√α
Cuidado:O Compensador Atraso nao e usado para compensacao de angulo, pois elepode diminuir a margem de fase e isso prove a tendencia de instabilidade.Usaremos Compensador Atraso para promover atenuacao de altas frequenciase para diminuir o erro estacionario.
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Homework – Compensador Atraso
Mostre para o circuito abaixo que
Gc(s) =Vo(s)
Vin(s)=
1 + τs
1 + ταs
quando
τ = R2C α =R1 + R2
R2
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Projeto: Compensador Atraso via Diagrama de Bode
1 Faca a constante de erro (erro estacionario) estar no valor desejado noprojeto.
2 Avalie o Diagrama de Bode do sistema (sem o uso de Compensador).Obtenha a margem de fase φpm. Se nao satisfaz a especificacao do projetoentao siga para o proximo passo.
3 Tome a margem de fase especificada pelo projeto e adione +5o graus(para gerar uma“folga”). Verifique no grafico a frequencia ωc na qual essenovo valor de margem de fase ocorreria.
4 Ponha o zero do compensador uma decada abaixo da nova frequencia de
crossover ωc , ou seja, z = ωc/10 .
5 Faca a medicao da atenuacao necessaria em ωc para assegurar que a curvade magnitude cruze essa frequencia.
6 Calcule α lembrando que o valor da atenuacao em ωc e dado por−20 log(α).
7 Calcule o polo p = z/α .26 of 33
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Projeto 3: Compensador Atraso via Diagrama de Bode
R(s) Y (s)Controlador Planta
+−
Gc(s) G(s)
Exemplo
Considere um sistema de controle com funcao de transferencia de malhaaberta dada por
G(s) =K
s(s + 2)
Deseja-se implementar um compensador tal que:(a) a constante de erro estatico de velocidade seja Kv = 20 s−1;(b) a margem de fase seja 45;
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Exemplo
Solucao: A constante K obtem-se de Kv , que e dado por
Kv = lims→0
sK
s(s + 2)= lim
s→0
K
s + 2⇒ K = 40
A curva de Bode para o sistema (nao-compensado) esta na figura curvacontınua da proxima pagina. Note que a Margem de Fase nao-compensada eφpm = 20o , e por isso nao atende a especificacao de projeto.A especificacao de projeto exige Margem de Fase 45o , e adicionamos folga 5o ,totalizando 50o . Por isso o ponto φ(ω) = −130o e desejado e ocorre emω = ωc = 1.5. A atenuacao necessaria em ωc = 1.5 e 20dB. Obtemos αusando a formula 20 log(α) = 20 e portanto α = 10.Obtemos z = ωc/10 = 0.15 e p = z/α = 0.015. Usando as formulasp = 1/(ατ) e z = 1/τ , encontramos o controlador Atraso:
Gc(s) =1 + τs
1 + ταs=
1 + s/0.15
1 + s/0.015
A especificacao foi atendida (curva pontilhada).28 of 33
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Projeto 4: Compensador Atraso via Diagrama de Bode
R(s) Y (s)Controlador Planta
+−
Gc(s) G(s)
HomeworkConsidere um sistema de controle com funcao de transferencia de malhaaberta dada por
G(s) =20
s(0.1s + 1)2
Deseja-se implementar um compensador tal que:(a) a margem de fase seja 65.Dica: use a figura da proxima pagina.
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Passos: obtenha ωc = 1.5, atenuacao de 23dB, α = 14.2, z = 0.15, e enfimencontre
Gc(s) =1 + τs
1 + ταs=
1 + 6.66s
1 + 94.6s
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Dica de atividades
Dica
1. Fazer os Exercıcios apresentados no Cap. 10 do livro“Sistemas de ControleModernos”- Richard C. Dorf, Robert H. Bishop.
2. Fazer os Exercıcios apresentados no livro K. OGATA,“Engenharia deControle Moderno”.
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