COMPLEMENTOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL …w3.ualg.pt/~jestevao/SebEngSis.pdf · complementos de anÁlise estrutural engenharia sÍsmica versÃo provisÓria joÃo manuel carvalho estÊvÃo

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

Área Departamental de Engenharia Civil

COMPLEMENTOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL

ENGENHARIA SÍSMICA

VERSÃO PROVISÓRIA

JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO

FARO 2006/02/17

- i -

ÍNDICE

Capítulo 1 - Introdução ............................................................................................... 1

Capítulo 2 - Conceitos básicos de sismologia ............................................................ 4

2.1. Definições gerais ............................................................................................. 4

2.2. A estrutura do globo terrestre.......................................................................... 4

2.3. Geração de sismos.......................................................................................... 7

2.4. Ondas sísmicas ............................................................................................... 9

2.5. Escalas sísmicas ........................................................................................... 14

2.5.1. Magnitude dos sismos ............................................................................. 14

2.5.2. Intensidade dos sismos ........................................................................... 15

2.6. Maremotos ..................................................................................................... 17

Capítulo 3 - Osciladores lineares sujeitos a movimentos na base ........................... 19

3.1. Oscilador linear de um grau de liberdade ..................................................... 19

3.1.1. Equação de movimento ........................................................................... 19

3.1.2. Resposta em regime forçado ................................................................... 21

3.2. Sistema linear de vários graus de liberdade ................................................. 27

3.2.1. Sistema de equações de movimento ....................................................... 29

3.2.2. Regime forçado........................................................................................ 30

Capítulo 4 - Definição da acção sísmica .................................................................. 33

4.1. Generalidades ............................................................................................... 33

4.2. Análise da sismicidade .................................................................................. 34

4.3. Perigosidade sísmica (Casualidade sísmica) ................................................ 37

4.4. Efeitos locais ................................................................................................. 39

4.4.1. Efeitos de proximidade ............................................................................ 41

4.4.2. Amplificação ............................................................................................ 41

4.4.3. Efeitos topográficos ................................................................................. 45

4.4.4. Efeitos locais colaterais ........................................................................... 46

- ii -

4.5. Zonamento sísmico ....................................................................................... 46

4.6. Modelos descritivos das acções sísmicas ..................................................... 47

4.6.1. Acelerogramas ......................................................................................... 50

4.6.2. Espectros de potência ............................................................................. 51

4.6.3. Espectros de resposta ............................................................................. 54

Capítulo 5 - Análise sísmica de estruturas ............................................................... 57

5.1. Tipos de métodos de análise ........................................................................ 57

5.2. Métodos de análise linear ............................................................................. 58

5.2.1. Coeficiente de comportamento ................................................................ 58

5.2.2. Análise modal com recurso a espectros de resposta .............................. 62

5.2.3. Métodos simplificados de análise sísmica ............................................... 67

5.2.3.1. Configuração do método de Rayleigh ............................................... 67

5.2.3.2. Configuração linear em altura ........................................................... 70

5.3. Métodos de análise não linear ...................................................................... 70

5.3.1. Análise dinâmica não linear ................................................................. 71

5.3.2. Análise estática não linear (Pushover) ................................................ 74

5.4. Limites da resposta sísmica .......................................................................... 76

5.5. Efeitos da torção em estruturas de edifícios ................................................. 77

5.5.1. Modelos de análise plana ........................................................................ 79

5.5.2. Modelos de análise espacial ................................................................... 83

5.6. Selecção dos métodos e modelos de análise sísmica de edifícios ............... 88

Capítulo 6 - Comportamento sísmico de edifícios .................................................... 90

6.1. Risco sísmico de edifícios ............................................................................. 90

6.2. Vulnerabilidade sísmica de edifícios ............................................................. 93

6.2.1. Factores externos .................................................................................... 93

6.2.2. Factores internos ..................................................................................... 95

Bibliografia .............................................................................................................. 102

- 1 -

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO À ENGENHARIA SÍSMICA

O efeito dos sismos atemorizou o Homem desde os primórdios da humanidade.

Inicialmente, o fenómeno natural foi explicado com recurso ao sobrenatural.

Com o sismo de 1 de Novembro de 1755 essa atitude muda e, pela primeira

vez, são as forças da natureza apontadas como causadoras da destruição

maciça das habitações. No seguimento deste sismo, é concebido um primeiro

processo construtivo, que de uma forma sistematizada, visava melhorar o

comportamento sismo-resistente das construções, a denominada “Gaiola

Pombalina”, cuja autoria será, provavelmente, dos engenheiros que

encabeçaram a reconstrução de Lisboa: Manuel da Maia, Eugénio dos Santos

e Carlos Mardel.

Anualmente, ocorrem no mundo cerca de 1000 eventos que, potencialmente,

podem causar danos materiais. Desses eventos, só pequena percentagem

afecta as construções em grandes áreas geográficas. No actual território

Português são conhecidos relatos históricos, desde o ano 60 a.c., de sismos

que provocaram o colapso das construções e a perda de vidas humanas.

Estes factos históricos têm levado ao estudo do comportamento das

construções face à ocorrência de vibrações sísmicas, e à elaboração de

documentos que definem a acção sísmica a considerar no dimensionamento

de uma estrutura.

O primeiro método de análise sísmica de estruturas, simulava a acção dos

sismos por meio de uma distribuição constante de forças horizontais em altura,

e terá sido proposto por cientistas italianos após o sismo de Reggio-Messina

de 1908. Esse método começou a ser muito utilizado após o sismo de Tóquio

de 1923, em virtude da maior parte das estruturas, assim projectadas, terem

tido um comportamento aceitável. As mais mediáticas foram projectadas por

João M. C. Estêvão - EST - UAlg

- 2 -

Tachu Naito, designadamente o Teatro Kabuki. Portugal adopta este método

de análise na regulamentação de 1958 e 1961.

Uma correcção a este método foi incorporada na regulamentação da cidade de

Los Angeles em 1943, numa tentativa de aproximação do modelo à resposta

dinâmica da estrutura e tinha em conta a altura do edifício.

Muito embora Maurice A. Biot tenha sugerido em 1933 a adopção de análises

dinâmicas com recurso a espectros de resposta, só a partir dos anos cinquenta

é que começaram a ser realizadas, após os trabalhos de George Housner

sobre o cálculo de espectros de resposta (desde 1933 que começaram a ser

obtidos registos de movimentos sísmicos intensos, na proximidade dos

epicentros, tendo Housner apresentado em 1941 os primeiros cálculos dos

espectros de resposta do sismo de El Centro de 1940). O conceito de espectro

de resposta inelástico é apresentado em 1960 por Nathan Newmark. Com a

generalização do método dos elementos finitos (assim baptizado por Ray

Clough nos anos 60) e das análises dinâmicas, as análises sísmicas

começaram a conduzir a um dimensionamento mais adequado das estruturas,

principalmente com a evolução progressiva dos meios de cálculo automático.

A regulamentação portuguesa de 1983 adoptou métodos de análise sísmica

com base em análises dinâmicas e com recurso a espectros de potência ou de

resposta, ou, em alternativa e para estruturas mais simples, um método de

forças estáticas equivalentes variando proporcionalmente à altura da estrutura.

Presentemente, a investigação incide nos métodos de análise não linear de

estruturas, com modelação do comportamento dos elementos estruturais e não

estruturais em simultâneo.

No âmbito da engenharia de estruturas, a engenharia sísmica é definida como

a área da mecânica aplicada dedicada ao estudo do comportamento das

construções e respectiva análise e dimensionamento, quando sujeitas a

vibrações sísmicas.

Engenharia Sísmica – versão provisória – 2006/02/17

- 3 -

Em Portugal, o grande impulsionador inicial da engenharia sísmica foi o Eng.

Ferry Borges. O estudo da engenharia sísmica, como parte integrante dos

currículos da generalidade das licenciaturas em engenharia civil, é

relativamente recente (algumas décadas).

Este trabalho pretende ser uma ferramenta de aprendizagem, numa

perspectiva global e moderna, no âmbito do módulo de engenharia sísmica, da

disciplina de Complementos de Análise Estrutural do 2º ciclo do Curso de

Engenharia Civil da Escola Superior de Tecnologia da Universidade do

Algarve.

- 4 -

CAPÍTULO 2

CONCEITOS BÁSICOS DE SISMOLOGIA

2.1. Definições gerais

Os sismos constituem a principal preocupação da sismologia e da engenharia

sísmica, sendo os movimentos sísmicos o principal elo de ligação entre estes

dois ramos da ciência.

A sismologia é a disciplina que estuda as causas e o mecanismo de geração

dos sismos, as ondas sísmicas originadas e respectivas propagações, assim

como, através de bases teóricas e experimentais, tenta prever a ocorrência

desses fenómenos.

No domínio da engenharia sísmica, os sismos são estudados tendo em vista

uma aplicação prática do conhecimento adquirido. Dessa forma, utiliza os

resultados que a sismologia proporciona, com o objectivo de desenvolver

modelos de análise e dimensionamento que permitam minimizar o risco

sísmico das construções.

2.2. A estrutura do globo terrestre

Estudos sísmicos têm mostrado que a Terra é constituída, essencialmente, por

três camadas concêntricas (crusta, manto e núcleo), representadas na figura

2.1, que se distinguem por possuírem velocidades sísmicas diferentes.

A crusta é a camada superficial da Terra e constitui uma camada rígida com

uma espessura média de 30 a 40 km nos continentes (crusta continental) e

com espessura aproximadamente constante, com cerca de 6 km, nos oceanos

(crusta oceânica). Sob a crusta existe o manto, de elevada densidade, formado

por rocha parcialmente fundida, dada a grande temperatura a que se encontra.

A parte superior do manto é mais fria e mais sólida do que a parte inferior. A


- 5 -

crusta e a parte rígida do manto formam a litosfera. Esta corresponde,

aproximadamente, aos primeiros 100 km do globo. A camada mole situada

abaixo da litosfera numa extensão de 700 km é designada por astenosfera,

Nesta camada atingem-se temperaturas de 1400ºC, suficientes para fundir as

rochas do manto (o nível superior da astenosfera é onde o magma é gerado).

A camada que se situa sob a astenosfera é designada por mesosfera, e

corresponde à camada interior, da qual se sabe pouco, mas que se julga mais

rígida do que a astenosfera.

Crusta continentes - 30 a 40 km oceanos - 6 km

0 400 km

1000 km

2900 km

4980 km 5120 km

Núcleo exterior

Núcleo interior

Manto inferior

Zona de transição

Manto superior

Descontinuidade de Mohorovicic

Descontinuidade de Gutenberg

6370 km

FIGURA 2.1 - Estrutura da Terra.

A superfície terrestre está em constante mudança. Destas alterações, as mais

importantes são supostas estarem associadas a movimentos de partes rígidas

da litosfera (placas tectónicas), que flutuam (como gelo num lago) sobre o topo

da astenosfera, devido a correntes de convecção. O estudo deste fenómeno é

designado por tectónica de placas. De acordo com esta ideia, existem sete

grandes placas que cobrem a quase totalidade da superfície do planeta (a

placa Africana, a placa Indo-Australiana, a placa Euro-Asiática, a placa do

Antártico, as placas Sul e Norte Americanas e a placa de Naska), e que

constituem as peças do invólucro rígido da Terra.

Engenharia Sísmica – versão provisória 2005

- 6 -

As zonas de fronteira entre placas tectónicas (limites entre placas tectónicas)

podem ser classificadas nos seguintes grupos (figura 2.2):

• zonas divergentes - onde duas placas oceânicas se afastam, originando

nova crusta, e formando uma crista oceânica;

• zonas convergentes - que se podem dividir em zonas de subducção (onde

uma placa oceânica encontra uma placa continental, que impulsiona a placa

oceânica, mais densa, para baixo, onde é depois fundida quando atinge uma

profundidade de cerca de 700 km) e zonas de cavalgamento (quando duas

placas continentais colidem, formando cadeias montanhosas);

• zonas de transformação (conservativas) - onde a crusta nem é destruída,

nem é criada, sendo verificada uma translação horizontal entre as placas;

• zonas de interacção - fronteiras onde os limites das placas não estão bem

definidos, e o efeito da interacção é incerto.

Oceano Continente

Litosfera (fria)

Magma ascendente

Litosfera Astenosfera

(quente)

Zona de transformação

Correntes de convecção

Zona divergente (crista oceânica) Fossa oceânica

•

Zona convergente (subducção)

- sismos profundos

××××

o

×××× ×××× ×××× ×××× ××××

• •

• •

•

××××

×××× ×××× ××××

- sismos superficiais ××××

o o

o o

- sismos intermédios

FIGURA 2.2 - Movimentos tectónicos.

Os epicentros dos sismos mais importantes que se registam na Terra, estão

situados nas cinturas sísmicas que coincidem com as zonas de fronteira das

grandes placas tectónicas. Portugal continental encontra-se próximo da

fronteira entre a placa Euro-Asiática e a placa Africana, situando-se, nessa

zona, a maioria dos sismos registados no país.


- 7 -

2.3. Geração de sismos

Genericamente, podemos dizer que um sismo corresponde à libertação de

tensões acumuladas na litosfera. Esse fenómeno ocorre ao longo de falhas,

que correspondem a fracturas planas na estrutura rochosa da Terra, e que

permitem deslocamentos relativos das faces da falha, nomeadamente nas

zonas de fronteira entre placas tectónicas.

A ruptura tem início num ponto que se designa por hipocentro ou foco. A

projecção do foco sobre a superfície do globo terrestre tem a designação de

epicentro (figura 2.3a). A forma como a ruptura se processa é bastante

controversa, sendo a teoria de Reid, vulgarmente designada por ressalto

elástico (“Elastic Rebound”), a mais divulgada. Segundo esta teoria, a

existência de deformações constantes ao longo do tempo, leva ao aumento

gradual das tensões até à ruptura, como é representado na figura 2.3b. A

redistribuição de tensões irá originar outras roturas na vizinhança do foco.

a) b)

Foco

Local

Epicentro

D

R

D - distância epicentral R - distância focal

Plano da falha

Traço da falha

FIGURA 2.3 - a) Características de um sismo; b) Ressalto elástico.


- 8 -

Como se verifica na figura 2.4, os principais tipos de deslocamentos que

ocorrem nas falhas dão origem aos seguintes três grupos: falhas normais,

correspondentes a zonas traccionadas; falhas inversas, correspondentes a

zonas comprimidas; e falhas de desligamento (transcorrentes) que estão

associadas a grandes deslocamentos relativos.

As falhas podem ser classificadas, em termos da sua actividade sísmica, em

dois grupos: falhas activas e falhas extintas. Existe, no entanto, grande

incerteza associada a esta classificação. Do ponto de vista geológico, uma

ruptura tectónica que tem estado activa desde o período Quaternário (últimos

2.5 milhões de anos), e possa estar activa no futuro, pode ser considerada

como uma falha activa. Do ponto de vista da engenharia sísmica, uma falha

pode ser considerada como activa, se tem tido actividade sísmica desde a

época do Holocénico (últimos 10 000 anos), e possa estar activa nos próximos

100 anos. O estudo das falhas activas designa-se por Neotectónica.

Falha normal

Falha inversa

Falha de desligamento

FIGURA 2.4 - Tipos principais de falhas


- 9 -

A maioria dos sismos tem o seu foco a profundidades menores do que 70 km

(profundidade normal), a que se seguem, em menor número, os sismos

situados entre os 70 km e os 300 km (profundidade intermédia), e por fim, em

pequeno número, os sismos com profundidades entre os 300 km e os 700 km

(profundos). Não são conhecidos sismos a profundidades superiores a estes

valores (figura 2.2).

2.4. Ondas sísmicas

Quando um sismo ocorre, a energia de deformação acumulada é libertada na

forma de ondas sísmicas. Estas ondas percorrem grandes distâncias antes de

perderem energia ao longo do percurso (atenuação), pelo que provocam

vibrações sísmicas em construções muito distantes do epicentro do sismo.

Como se apresenta na figura 2.5, a ondas sísmicas não se propagam de forma

idêntica, podendo ser classificadas em dois grupos distintos: ondas volúmicas,

que se propagam através da massa da Terra, e ondas superficiais, que se

propagam na superfície terrestre.

As ondas volúmicas dividem-se em ondas primárias de compressão (P) e

ondas secundárias de corte (S). Estas últimas dividem-se em SH e SV

consoante originem movimentos das partículas de solo no plano horizontal

(SH) ou no plano vertical (SV).

A velocidade de propagação das ondas P (vP) corresponde a

ρ

+λ= G2vP (2.1)

e das ondas S (vS) a

ρ

= GvS (2.2)


- 10 -

sendo λ o comprimento de onda, G o módulo de distorção e a massa

específica do meio de propagação.

Da expressão (2.2) verifica-se que as ondas S não se propagam por meios

fluidos, pois o módulo de distorção é nulo (G= 0) nesses meios de propagação.

Atendendo a que o coeficiente de Poisson (ν) é dado por

( )G2 +λλ=ν (2.3)

obtemos

ν−ν−=

2122

vv

S

P (2.4)

Para os valores usuais de coeficiente de Poisson a velocidade de propagação

das ondas P é superior à velocidade de propagação das ondas S (para ν= 0.3,

vP = 1.87vS ).

As ondas superficiais resultam da interacção das ondas volúmicas com a

superfície e são ondas sísmicas responsáveis por muitos estragos nas

construções, podendo ser distinguidos dois tipos: ondas de Rayleigh e ondas

de Love.

As ondas de Rayleigh apresentam uma velocidade (vR) inferior à das ondas

volúmicas (80% a 96% das ondas vS). Estas ondas só começam a ter

importância para distâncias epicentrais (D) superiores ao valor da

profundidade focal (h), dada pela relação

( ) 1vv

hD

2RP −

= (2.5)

As ondas de Love correspondem, essencialmente, a ondas SH que ficam

aprisionadas por múltiplas reflexões na camada superficial e só surgem

quando existem camadas superficiais com menores velocidades vS do que as

camadas inferiores. A velocidade das ondas de Love (vL) fica compreendida

entre as velocidades vS mínima e máxima das camadas superiores.


- 11 -

Meio não perturbado

Compressão

Dilatação

Onda P

Onda de Love

Onda de Rayleigh

Comprimento de onda

Dobro da amplitude

Onda S

FIGURA 2.5 - Propagação das ondas sísmicas

A passagem das ondas sísmicas origina movimentos nos solos que são

registados com instrumentos de medida designados por sismógrafos. Estes

aparelhos são a principal ferramenta que os sismólogos possuem para estudar

os fenómenos sísmicos.

As ondas P e S possuem velocidades de propagação distintas na estrutura

interior da Terra. As ondas S, de corte, não se propagam por meios líquidos,


- 12 -

como tal, não atravessam o núcleo líquido do globo terrestre (figura 2.6a). Com

o conhecimento dos tempos de chegada das ondas P (tP) e S (tS), dado que a

propagação das ondas S é mais lenta do que a das P (quadro 2.1), é possível

determinar a distância ao epicentro do sismo (distância que é função do

desfasamento temporal entre as ondas P e S), com um mínimo de três

estações sismográficas, como se mostra nas figuras 2.6b e 2.6c. Essa

distância é igual a

( )

SP

PSSP

vvttvv

D−

−= (2.6)

Zona de sombra das ondas P e S

Zona de sombra das ondas S (só existem ondas P)

103º

142º

0º

Sismo

103º

142º

Núcleo líquido

Núcleo sólido

Sismograma

S

P

c) b)

a)

Tempo de chegada

das ondas

(segundos)

Distância ao epicentro (km)

Epicentro

Estação 1

Estação 2

Estação 3

FIGURA 2.6 - Trajectória e detecção das ondas P e S

A existência de descontinuidades nos meios de propagação provoca a reflexão

e refracção das ondas, como se ilustra na figura 2.7. Parte da energia das

ondas de um dado tipo é convertida em ondas de um outro tipo.


- 13 -

Foco Descontinuidade

P incidente

SV reflectida

P reflectida

SV refractada

P refractada

Descontinuidade

SH incidente SH reflectida

SH refractada

Descontinuidade

SV incidente

SV reflectida

P reflectida

SV refractada

P refractada

FIGURA 2.7 - Reflexão e refracção de ondas P e S

A lei de Snell diz que o quociente entre o senos dos ângulos de incidência (αi),

de reflexão (αe) ou de refracção (αa) e as respectivas velocidades de

propagação (v i, ve e v a) é constante:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a

a

a

a

e

e

e

e

i

i

i

i

S

S

P

P

S

S

P

P

S

S

P

P

v

sen

v

sen

v

sen

v

sen

v

sen

v

sen α=

α=

α=

α=

α=

α (2.7)

Existe um ângulo crítico (αc) de incidência das ondas sísmicas numa

descontinuidade que origina ondas sísmicas refractadas que se propagam na

direcção da descontinuidade

=

=α

a

i

a

i

S

S

P

Pc v

varcsen

v

varcsen (2.8)

Durante o processo de propagação das ondas sísmicas, parte da energia é

transmitida para o meio de propagação. Este fenómeno é designado por

atenuação das ondas sísmicas, e é proporcional a cada ciclo do movimento

ondulatório, pelo que as ondas de maior frequência são mais rapidamente


- 14 -

atenuadas com a distância do que as de menor frequência. Deste modo,

potencialmente, a passagem das ondas sísmicas nos locais mais distantes do

epicentro, origina vibrações sísmicas com maior energia nas frequências mais

baixas.

Vários estudos têm sido efectuados de forma a serem estabelecidas

expressões matemáticas que permitam caracterizar a atenuação em função da

magnitude e da distância hipocentral. Essas leis de atenuação são calibradas

a partir de registos sísmicos e podem apresentar-se em termos da aceleração

de pico ou em função da frequência das harmónicas que constituem as ondas

sísmicas. Do ponto de vista da engenharia de estruturas estas últimas são

bastante mais importantes. É de realçar a inexistência de dados instrumentais

de grandes sismos que permitam calibrar leis de atenuação para Portugal.

2.5. Escalas sísmicas

2.5.1. Magnitude dos sismos

Richter introduziu o conceito de magnitude para dar uma medida quantitativa

aos sismos, a partir de um registo instrumental. A designada magnitude de

Richter corresponde à expressão

01010 AlogAlogM −= (2.9)

em que A é a máxima amplitude registada num sismógrafo de Wood-Anderson

à distância focal de 100 km e A0 é um valor de referência.

A energia libertada num sismo (E) pode ser relacionada com a sua magnitude

através da expressão empírica

8.11M 5.1Elog10 += (2.10)

com E expressa em Ergs. Outras expressões empíricas, do tipo

bMaeL −⋅= (2.11)


- 15 -

que relacionam o comprimento de ruptura da falha (L), em km, e a magnitude

do sismo (M), têm sido desenvolvidas pelos mais diversos autores,

apresentando, contudo, grande dispersão de resultados (alguns autores

sugerem os valores a=1.15 e b=3.35 como sendo válidos, de uma forma

genérica, para todo o mundo).

A utilização destas fórmulas, no âmbito da engenharia sísmica, deve ser

efectuada com ponderação, embora sejam uma forma rápida de obter ordens

de grandeza dos diversos parâmetros em estudo. Baseado nestas expressões,

verifica-se que o aumento de uma unidade na escala de Richter corresponde a

multiplicarmos por 10 a amplitude das ondas sísmicas e por 32 o valor da

energia libertada pelo sismo.

2.5.2. Intensidade dos sismos

Quando é noticiada a ocorrência de um sismo pelos órgãos de comunicação

social, é comum a mistura dos conceitos de magnitude e intensidade sísmica.

A noção de intensidade sísmica está ligada aos efeitos dos sismos sobre as

construções e pessoas, definindo o potencial de destruição. Não se trata de

uma característica única de um sismo, nem pode ser quantificada de forma

precisa.

Inúmeros factores afectam a medição da grandeza da intensidade sísmica,

nomeadamente os efeitos geológicos e topográficos, distância ao epicentro e a

qualidade da construção na área afectada pelo sismo. Um sismo de grande

magnitude poderá fazer-se sentir com pequena intensidade, enquanto que um

sismo de pequena magnitude, a reduzida distância hipocentral, poderá fazer-

se sentir com grande intensidade.

Uma das escalas de intensidade mais utilizadas é a versão modificada da

escala de Mercalli, que se apresenta no quadro 2.1.


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QUADRO 2.1 - Escala modificada de Mercalli

Grau Descrição Aceleração aproximada (cm/s-2)

I Registado instrumentalmente -- instrumental

II Sentido por poucas pessoas em repouso, especialmente nos últimos andares de edifícios altos. Objectos suspensos muito delicados poderão oscilar.

muito ligeiro

III Bastante sentido por pessoas em edifícios, mas pode não ser reconhecido como um sismo. As vibrações são semelhantes às provocadas por um camião a passar. É possível estimar-se a duração.

ligeiro

IV Durante o dia, é sentido por muitas pessoas em edifícios, e na rua por algumas. Á noite algumas pessoas acordam. A vibração provoca ruídos em portas, janelas e loiças.

15 a 20 moderado

V Sentido por quase todos e muitas pessoas acordam. Há loiça partida com o abalo, caindo pequenos objectos soltos e fazendo parar alguns relógios de pêndulo.

30 a 40 pouco forte

VI Sentido por todos, fugindo muitos para a rua. Movem-se móveis pesados. Eventuais danos em estuques de tectos e em chaminés. Fendilhação em alvenaria fraca.

60 a 70 forte

VII Toda a gente corre para a rua. Danos: negligenciáveis em edifícios muito bem construídos e projectados; ligeiros a moderados em edifícios bem construídos; severos em edifícios fracamente construídos ou mal projectados. Caiem chaminés. É sentido por condutores de veículos.

100 a 150 muito forte

VIII Danos: ligeiros em estruturas especialmente concebidas; severos num número substancial de edifícios normais, ocorrendo colapsos parciais; muito severos em edifícios fracamente construídos. Painéis de paredes de alvenarias caiem das estruturas porticadas. Caiem chaminés, colunas, monumentos e paredes. Móveis pesados tombam. Areia e lodo afloram em pequenas quantidades. Alteração da água de poços. É perturbada a condução de veículos.

250 a 300 destruidor

IX Danos: severos em estruturas especialmente concebidas; edifícios porticados bem projectados ficam desaprumados; muito severos num número substancial de edifícios normais, ocorrendo colapsos parciais. Edifícios deslocam-se das fundações. Aparecem muitas fendas nos solos. Condutas enterradas são destruídas.

500 a 550 ruinoso

X A maioria dos edifícios de alvenaria resistente e de estruturas porticadas estão totalmente destruídos. Aparecem fendas muito grandes nos solos. Carris deformados. Pontes, barragens, diques e cais são afectados. Existem grandes desprendimentos de terras.

> 600 desastroso

XI Poucas estruturas se mantêm em pé. Pontes destruídas. Condutas enterradas totalmente destruídas. Vias férreas muito deformadas.

muito desastroso

XII Colapso total. A topografia da região é alterada. As linhas de horizonte são modificadas. São atirados objectos ao ar.

catastrófico


- 17 -

É possível definir linhas isossísmicas, ligando os pontos onde se registaram

iguais intensidades sísmicas. Essas linhas tendem a ser concêntricas no

epicentro do sismo. É com recurso aos dados históricos e ao traçado de linhas

isossísmicas que se localizam os possíveis epicentros de sismos históricos.

2.6 Maremotos

A ocorrência um sismo, de grande magnitude, com epicentro localizado no mar

e com movimento do fundo oceânico, pode provocar uma onda marítima de

grande amplitude (“Tsunami”, que significa onda de porto, em japonês, por o

seu efeito ser mais devastador em portos e enseadas, ou “Tidal wave” que

significa onda de maré, em inglês, por se tratar de um gigantesco volume de

água que entra por terra a dentro como uma enorme maré).

Estas ondas (com grandes períodos, da ordem dos 14 minutos) irradiam do

epicentro do sismo, e atingem velocidades da ordem dos 700 a 900 km/h

(velocidade de cruzeiro de um avião a jacto de passageiros) em alto mar, onde

são imperceptíveis para a navegação (em alto mar, grandes ondas “Tsunami”

podem originar subidas de nível de 1 m, no máximo). Quando atingem zonas

costeiras de menores profundidade, elas abrandam a sua velocidade, mas

atingem grandes alturas à superfície, podendo chegar aos 30 m. A uma

profundidade oceânica Ho, a velocidade de uma “Tsunami” pode ser expressa

em função da aceleração da gravidade, com o valor aproximado

oHgv ⋅= (2.12)

Normalmente, para surgir uma “Tsunami”, originada por perturbações na

tectónica submarina em consequência de um sismo, é necessário que este

tenha uma magnitude de Richter superior a 6, e que a profundidade do foco

não seja superior a 40 km.

Portugal foi afectado por uma grande “Tsunami” após o sismo de 1 de

Novembro de 1755, atingindo grandes alturas em diversas cidades costeiras,


- 18 -

nomeadamente ultrapassando as muralhas da cidade de Lagos, atingindo a

altura de um primeiro andar, em Setúbal, e avançando pela baixa de Lisboa,

provocando grandes danos materiais e um elevado número de vítimas mortais.

Em Angra do Heroísmo, nos Açores, os habitantes não sentiram as vibrações

sísmicas do sismo, no entanto sentiram os efeitos da “Tsunami” que

atravessou o oceano Atlântico, atingindo o porto de Boston com cerca de 1 m

de altura.

FIGURA 2.8 – Fases da formação de uma “Tsunami”.

Também em lagos e pântanos podem surgir movimentos da água, com

grandes períodos, designados por “Seiche” sísmico. Existem relatos históricos

de algumas “Seiche” sísmicas em lagos na Escócia, que entraram em

oscilação, após o sismo de 1755.

Linha de costa

Recuo do mar

Anterior nível do mar

- 19 -

CAPÍTULO 3

OSCILADORES LINEARES SUJEITOS A MOVIMENTOS NA BASE

3.1. Oscilador linear de um grau de liberdade

É importante o estudo de alguns osciladores de um grau de liberdade, sujeitos

a movimentos na base, para a compreensão do comportamento de estruturas

sujeitas aos movimentos sísmicos do solo de fundação.

3.1.1. Equação de movimento

Se considerarmos um oscilador linear de um grau de liberdade (figura 3.1),

sujeito a uma aceleração na base ( )ag t , aplicando o princípio de d’Alembert,

obteremos a seguinte equação do movimento

[ ] 0xkxcaxm )t()t()t(g)t( =⋅+⋅++ &&& (3.1)

)t(g)t()t()t( amxkxcxm ⋅−=⋅+⋅+⋅ &&& (3.2)

em que “m” é a massa, “c” é o amortecimento e “k” é a rigidez do oscilador.

x(t)

c

ag (t)

k

m

FIGURA 3.1 - Oscilador linear de um grau de liberdade sujeito a uma translação na base.


- 20 -

As componentes de translação das vibrações sísmicas, não são as únicas a

afectarem as estruturas. Além dessas, também existem componentes de

rotação, designadamente devido à passagem das ondas sísmicas SV e de

Rayleigh. Cada vez mais existe a preocupação, por parte da regulamentação

internacional mais moderna, de se realizarem análises dinâmicas das

estruturas entrando em conta com esta importante componente. No entanto,

por não existir muita informação sobre a amplitude e frequência desse tipo de

excitação, não é prática corrente a análise de estruturas entrando em conta

com essa acção.

Considere-se a estrutura da figura 3.2, relativamente à qual se despreza o

momento de inércia da massa, com rigidez “k” e amortecimento “c”, sujeita a

uma rotação dinâmica do solo de fundação.

H⋅θ(t)

θg (t)

m

H

x(t)

FIGURA 3.2 - Oscilador linear de um grau de liberdade sujeito a uma rotação na base.

A estrutura corresponde a um oscilador linear de um grau de liberdade, em

que a aplicação do princípio de d’Alembert resulta na seguinte equação de

movimento

[ ] 0xkxcHxm )t()t()t(g)t( =⋅+⋅+θ⋅+ &&&&& (3.3)

)t(g)t()t()t( Hmxkxcxm θ⋅⋅−=⋅+⋅+⋅ &&&&& (3.4)


- 21 -

3.1.2. Resposta em regime forçado

• Acções periódicas

As acções harmónicas são um caso particular, dentro das acções periódicas.

No entanto, qualquer acção periódica pode ser desenvolvida em série de

Fourier (capítulo 4.6.2), logo pode ser substituída pela soma das componentes

harmónicas com diversas frequências e amplitudes.

Consideremos o sistema linear de um grau de liberdade, da figura 3.1, sujeito

à acção de uma aceleração harmónica do terreno de fundação, em que

( )tcosaa 0)t(g ω⋅= (3.5)

Desta forma, a equação do movimento será

( )tcosamxkxcxm 0)t()t()t( ω⋅⋅−=⋅+⋅+⋅ &&& (3.6)

Dividindo pela massa teremos

( )tcosaxx2x 0)t(2n)t(n)t( ω⋅−=⋅ω+⋅ζω+ &&& (3.7)

A solução desta equação diferencial resulta da soma da solução geral da

equação homogénea correspondente (regime transitório) e da solução

particular da equação não homogénea (regime permanente):

)t(P)t(T)t( xxx += (3.8)

em que a parcela do regime transitório será

( ) ( )[ ] 1< ; t senBt cosAex aat

)t(Tn ζ⋅ω⋅+⋅ω⋅⋅= ω⋅ζ− (3.9)

A frequência angular natural (ou própria) do oscilador será dada por

mk

n =ω (rad/s) (3.10)


- 22 -

e as frequências amortecidas iguais a

2na 1 ζ−ω=ω (3.11)

com

nc m2

ccc

ω==ζ (3.12)

A frequência natural (cíclica) do movimento vibratório do sistema estrutural

corresponde a

π

ω=2

f n (Hz ou ciclos/s) (3.13)

O período será igual a

f1

T = (segundos) (3.14)

As constantes A e B obtêm-se a partir das condições iniciais do movimento.

A solução particular, correspondendo ao regime permanente, será do tipo

( ) ( )[ ]t senBt cosAx )t(P ω⋅+ω⋅−= (3.15)

com

( ) ( )

( ) ( )

ω⋅ζω+ω−ω

ω−ω⋅ω⋅

⋅−=

ω⋅ζω+ω−ωω⋅ζω−⋅ω⋅⋅−=

2n

222n

22n2

n0

2n

22n

n2n

0

2kam

B

2

2kam

A

(3.16-17)

A solução particular pode ser escrita na seguinte forma

( ) ( )12n

011)t(P t cos

aHt cosDx θ−ω⋅

ω⋅−=θ−ω⋅= (3.18)

em que o ângulo θ1 representa o desfasamento entre a acção e a resposta do

oscilador (ângulo de fase), que de acordo com a figura 3.3, será


- 23 -

ω−ωζ=

=θ21 1

2 arctg

BA

arctg (3.19)

com

nω

ω=ω (3.20)

e a amplitude igual a

12n

022 Ha

BAD ⋅ω

−=+= (3.21)

em que

( ) ( )222

1

21

1H

ωζ+ω−= (3.22)

é a função de transferência (factor de amplificação dinâmica) entre uma

aceleração da base ( )ag t e a resposta dinâmica do oscilador, em termos de

deslocamento relativo.

a0

θ1

A

B

D

ω⋅t

ω⋅t a0

A

D

B

A⋅sen(ω⋅t)

B⋅cos(ω⋅t)

A⋅sen(ω⋅t)

D⋅cos(ω⋅t−θ1)

a0⋅cos(ω⋅t)

t

B⋅cos(ω⋅t) D⋅cos(ω⋅t−θ1)

a0⋅cos(ω⋅t)

0 s

FIGURA 3.3 - Diagrama vectorial da resposta do oscilador.

Também podemos deduzir uma função de transferência entre um

deslocamento no solo (xg(t)), devido às vibrações sísmicas, e o deslocamento

relativo solo-estrutura (x(t)).


- 24 -

Fazendo ( ) ( )t cosxx 0gtg ω⋅−= (3.23)

vem que

( ) ( ) ( )t cosat cosxa 02

0gtg ω⋅=ω⋅ω⋅= (3.24)

( )tcosxxx2x 20g)t(

2n)t(n)t( ω⋅ω⋅−=⋅ω+⋅ζω+ &&& (3.25)

cuja solução (em regime permanente) é análoga a (3.18)

( ) ( )10g212n

20g

1)t(P t cosxHt cosx

Hx θ−ω⋅⋅−=θ−ω⋅ω

ω⋅⋅−= (3.26)

com

( ) ( )222

2

2

21H

ωζ+ω−

ω= (3.27)

Se desejarmos a função de transferência (factor de amplificação dinâmica)

entre a aceleração na base e a aceleração absoluta do oscilador, podemos

escrever

( ) [ ])t(2n)t(ntg)t()t(g xx2axx ⋅ω+⋅ζω−=+= &&&&& (3.28)

substituindo (3.18) em (3.28) teremos a parcela de regime permanente

( ) ( ) ( )

θ−ω+θ−ω⋅

ωζ⋅ω−=+= 11

n01tg)t(P)t(gP tcostsen

2aHaxx &&&& (3.29)

( ) ( ) ( )303302

1)t(gP tcosaHtcosa21Hx θ−ω=θ−ω⋅ωζ+=&& (3.30)

sendo

( )

( ) ( )222

2

321

21H

ωζ+ω−

ωζ+= (3.31)

com o respectivo desfasamento dado por

( )

ωζ+ω−ωζ=θ

22

3

321

2arctg (3.32)


- 25 -

É importante referir que a função de transferência (factor de amplificação) H3

apresenta valores inferiores à unidade a partir de valores de ω superiores a

2 , o que corresponde a uma atenuação da resposta, em termos de

aceleração absoluta, relativamente à excitação sísmica (figura 3.4).

ω

ω

ω

FIGURA 3.4 - Funções de transferência H1, H2 e H3.

Um oscilador diz-se entrar em ressonância quando a frequência da excitação é

igual à frequência natural do oscilador (ω = 1).

ζ=0.9

ζ=0.15

H1

1.0 3.0

ζ=0.9

ζ=0.15 H2

1.0 3.0

ζ=0.9

ζ=0.15 H3

1.0 3.0 2


- 26 -

• Acções não periódicas

A acção sísmica é uma das típicas acções não periódicas. A forma usual de

tratar este tipo de acções, é considerar a excitação como a soma de um

conjunto finito de impulsos (figura 3.5), produzidos em intervalos de tempo dτ.

τ dτ

dτ dτ dτ dτ

t

t

ag (t)

ag1

ag2

ag3 ag4

agi

FIGURA 3.5 - Acção sísmica decomposta num número finito de impulsos.

Sendo válido o princípio da conservação da quantidade de movimento,

teremos

τ⋅−=⇔τ⋅⋅−=⋅ ττ daxd damxdm )(g)(g&& (3.33)

Se considerarmos o impulso aplicado no tempo τ, com uma velocidade dx& ,

então a resposta incremental do sistema no tempo t>τ, a partir da equação

(3.9), para ζ<1, será

( ) ( ) ( )[ ] τ⋅τ−ω⋅ω

−= τ−ζω−τ dtsenea

dx at

a

g n (3.34)

logo

( ) ( )[ ]∫ ττ−ωω

−= τ−ζω−τ

t

0a

t)(g

a)t( dtsenea

1x n (3.35)

( ) ( )[ ] )t(a

t

0a

t)(g)t( xdtcoseax n ζω−ττ−ω−= ∫

τ−ζω−τ

& (3.36)


- 27 -

( ) ( )[ ] )t(g)t(a

t

0a

t)(ga)t( ax2dtseneax n −ζω−ττ−ωω= ∫

τ−ζω−τ&& (3.37)

A expressão (3.37) é designada por integral de Duhamel, e pode ser resolvida

numericamente, dividindo a excitação em n intervalos de tempo.

A resposta do oscilador traduz-se no somatório de todas as respostas

elementares, cujo valor exacto corresponde ao limite quando n → ∞ , e será

dado por

( ) ( )[ ]∑=

τ−ζω−

τ−ω⋅

ωτ⋅

=n

1ia

t

a

gi)t( i tsene

dax n (3.38)

3.2. Sistema linear de vários graus de liberdade

A passagem das ondas sísmicas induz três componentes ortogonais de

translação do movimento vibratório. A principal componente apresenta-se

segundo a direcção do epicentro (figura 3.6).

Ondas sísmicas

3

y

1

x

Foco

3, z

1

2

2

Estrutura

Epicentro

θ

FIGURA 3.6 – Propagação das ondas sísmicas até ao local da estrutura.


- 28 -

Os sistemas estruturais possuem, normalmente, vários graus de liberdade,

eventualmente com diversas direcções, que podem ser, ou não, coincidentes

com as direcções das componentes da acção sísmica (figuras 3.7 e 3.8).

agx (t)

ag1 (t)

agy (t)

ag2 (t)

Estrutura

Epicentro

θ

θ

FIGURA 3.7 – Componentes de translação dos movimentos sísmicos.

θ⋅−θ⋅= senacosaa )t(2g)t(1g)t(gx

(3.39)

θ⋅+θ⋅= cosasenaa )t(2g)t(1g)t(gy

(3.40)

)t(3g)t(gz

aa = (3.41)

m m1 = 2m

m2 = m

agx (t)

agz (t)

m

d1 (t)

d2 (t)

EA = ∞

FIGURA 3.8 - Oscilador linear de dois graus de liberdade sujeito a uma aceleração na base, com duas componentes.


- 29 -

3.2.1. Sistema de equações de movimento

O sistema estrutural da figura 3.8, corresponde a um oscilador linear de dois

graus de liberdade, sujeito a uma excitação na base com duas componentes

de aceleração: horizontal ( ( )tgxa ) e vertical ( ( )tgza ). Aplicando o princípio de

d’Alembert, em cada grau de liberdade, obteremos o seguinte sistema de

equações de movimento

[ ][ ]

=+++++

=+++++

0dkdkdcdcadm

0dkdkdcdcadm

)t(121)t(222)t(121)t(222)t(gz)t(22

)t(212)t(111)t(212)t(111)t(gx)t(11

&&&&

&&&&

(3.42-43)

−=++++

−=++++

)t(gz2)t(121)t(222)t(121)t(222)t(22

)t(gx1)t(212)t(111)t(212)t(111)t(11

amdkdkdcdcdm

amdkdkdcdcdm

&&&&

&&&&

(3.44-45)

Generalizando, podemos escrever, na forma matricial e para “r” graus de

liberdade, que

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] { } ( )∑ αα ⋅−=++ tgttt a1mdkdcdm &&& (3.46)

sendo [m] a matriz de massas (normalmente diagonal), [c] a matriz de

amortecimento e [k] a matriz de rigidez do sistema estrutural, associada aos

graus de liberdade considerados.

{1α} é o vector dos coeficientes de influência que corresponde ao vector dos

deslocamentos de corpo rígido, nos graus de liberdade dinâmicos, resultante

de um deslocamento unitário da base segundo a direcção α. Este vector

relaciona a componente da excitação ( )ag tα com a aceleração absoluta nos

graus de liberdade, resultante dessa componente. Normalmente é um vector

constituído por elementos unitários (nos graus de liberdade segundo a

direcção da componente de excitação) e por elementos nulos (nos graus de

liberdade segundo uma direcção ortogonal).


- 30 -

3.2.2 Regime forçado

Escrevendo o sistema de equações (3.46) em coordenadas modais, e se

multiplicarmos por [v] T ou por [φ]T, teremos em cada instante e para cada

componente α do sismo:

[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ]{ } αα ⋅−=ε+ε+ε gT*T*T*T a1mvvkvvcvvmv &&& (3.47)

ou [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ]{ } αα ⋅φ−=εφφ+εφφ+εφφ g

TTTT a1mkcm &&& (3.48)

com

( ){ } [ ] ( ){ }*tt vd ε= ou ( ){ } [ ] ( ){ }ttd εφ= (3.49-50)

em que {ε*} e {ε} são os vectores das coordenadas modais que caracterizam

as amplitudes de cada modo de vibração.

Atendendo às propriedades de ortogonalidade, e às propriedades assumidas

para a matriz de amortecimento (amortecimento viscoso), teremos

( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } { }[ ] ( )tg*

**t

2n

*tn

*t a

mP

2 αα−=εω+εωζ+ε &&& (3.51)

ou ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } { } ( )tgt

2ntnt aP2 αα ⋅−=εω+εωζ+ε &&& (3.52)

com os factores de contribuição dados por

{ } [ ] [ ]{ }αα = 1mvP T* (3.53)

e os factores de participação iguais a

{ } [ ] [ ]{ }αα φ= 1mP T (3.54)


- 31 -

As equações de movimento (3.51-52), correspondem a um conjunto de

sistemas de um grau de liberdade (para cada modo “i”), em que

( ) ( ) ( ) ( )tg*i

*i*

ti2i

*tii

*ti a

mP

2 αα−=εω+εζω+ε &&& (3.55)

ou ( ) ( ) ( ) ( )tgiti

2itiiti aP2 αα ⋅−=εω+εζω+ε &&& (3.56)

com

{ } [ ]{ }αα = 1mvP Ti

*i (3.57)

e

{ } [ ]{ }*i

*iT

iim

P1mP α

αα =φ= (3.58)

Se a vibração imposta na base for uma acção harmónica, então os valores de

( )ε i t* ou de ( )ε i t , soluções das equações diferenciais (3.55-56), podem ser

obtidos da equação (3.8) para cada modo “i”.

Conhecidas as respostas dos diversos osciladores modais (εi* ou εi), podemos

obter a resposta do sistema acoplado, recorrendo às expressões (3.49-50).

Nas análises sísmicas de estruturas de vários graus de liberdade, é importante

o conhecimento da contribuição de cada modo para as forças que actuam no

sistema, correspondentes ao produto da massa pela aceleração da base.

A massa que é mobilizada por cada modo de vibração, numa dada direcção α,

é designada por massa modal efectiva (mieffα ). Para obtermos o valor dessa

massa, vamos escrever o vector {1α} em coordenadas modais.

{ } [ ] { }γ⋅φ=α1 (3.59)

Multiplicando a expressão (3.59) por [ ] [ ]mTφ iremos obter

[ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] { } { } { }αα =γ⇔γ⋅=γ⋅φφ=φ P Im1m TT (3.60)


- 32 -

logo, substituindo (3.60) em (3.59), teremos

{ } [ ] { }αα ⋅φ= P1 (3.61)

Dado que

{ } { } [ ][ ]φ= αα m1P TT (3.62)

e sendo

{ } [ ]{ } { } [ ] [ ]{ } { } { } ∑∑=

αααααααα ==φ⋅==r

1i

2i

TTT PPPPm11m1m (3.63)

logo a massa modal efectiva será

( )

*i

2*i2

ieffi m

PPm α

αα == (3.64)

e a percentagem de massa modal efectiva igual a

100m

mm%

effieff

i ⋅=∑ α

αα (3.65)

sendo

[ ] { }{ } { }[ ]r21 v v vv L= e [ ] { }{ } { }[ ]r21 φφφ=φ L (3.66-67)

e

{ } { }{ } [ ]{ }

{ }φ i

i

iT

i

i

i

v

v m v

v

m= =

* (3.68)

Os resultados das análises sísmicas só têm em conta a totalidade das forças

de inércia caso sejam considerados todos os modos de vibração existentes. A

redução do número de modos de vibração a considerar numa análise sísmica

só será aceitável se os modos em falta não apresentarem significativa massa

modal efectiva.

- 33 -

CAPÍTULO 4

DEFINIÇÃO DA ACÇÃO SÍSMICA

4.1. Generalidades

O comportamento sísmico das estruturas apresenta uma elevada

complexidade, sendo condicionado por inúmeros factores. Por esse motivo, a

definição de uma acção sísmica não pode ser caracterizada por um único

evento sísmico, pois há que garantir a segurança das estruturas aquando da

possível ocorrência de um qualquer sismo que possa vir a afectar a estrutura

em causa. Uma acção sísmica, do ponto de vista regulamentar, é,

normalmente, definida com base em modelos probabilistas. Os valores das

vibrações sísmicas que se transmitem às construções estão condicionados à

sismicidade da zona envolvente e à perigosidade sísmica do local onde vai ser

edificada a estrutura, apresentando uma determinada probabilidade (PR) em

serem excedidos num dado intervalo de tempo (TL). A esses valores está

associado um período de retorno, que corresponde ao inverso da

probabilidade anual de excedência (P1ano):

( )R

L

ano 1R P1ln

TP

1T

−−== (4.1)

Algumas probabilidades de excedência estão apresentadas no quadro 4.1,

para determinados tipos de sismos.

QUADRO 4.1 - Períodos de retorno para diversos tipos de sismos

Tipo de sismo Período de retorno (TR) Probabilidade PR em TL anos

Frequente 43 anos 50% em 30 anos

Ocasional 72 anos 50% em 50 anos

Raro 475 anos 10% em 50 anos

Muito raro 975 anos 5% em 50 anos


- 34 -

Portugal apresenta uma sismicidade que pode ser classificada como sendo

fraca a moderada, pelo que é usual a adopção de um sismo muito raro para a

definição das acções sísmicas.

4.2. Análise da sismicidade

A sismicidade pode ser definida como a descrição das relações entre as datas,

os locais, as dimensões e a periodicidade da ocorrência de eventos sísmicos,

numa dada região. A análise da sismicidade e a sua compreensão é a base de

qualquer estudo sísmico. A análise da sismicidade de uma dada zona requer a

criação de bases de dados com:

• Informação histórica de sismos - é necessária a obtenção de dados

históricos, tão antigos quanto possíveis, que incluam a data do evento,

intensidade epicentral ou a máxima verificada, intensidades locais, curvas de

iguais intensidades (isossistas), magnitude, localização do epicentro e

profundidade do foco;

• Registos instrumentais - dados obtidos por sismógrafos, que permitem a

obtenção de informações sobre os epicentros, profundidades dos focos e

magnitudes, e registos de aparelhos “strong motion” que permitem obter os

diversos parâmetros dos movimentos sísmicos do solo, nos diversos locais;

• Informação sismotectónica (ramo interdisciplinar entre a Sismologia e a

Neotectónica, cujo objectivo é estabelecer correlações entre parâmetros

geológicos e sismológicos) – esta informação fornece dados importantes sobre

os movimentos tectónicos, associados a sismos históricos de elevada

magnitude, nomeadamente o padrão das fracturas tectónicas, o comprimento,

a profundidade, a idade e o historial das falhas, assim como o seu

relacionamento com a ocorrência de sismos.


- 35 -

A sismicidade de uma região é controlada por dois factores: pelo campo de

tensões e deformações decorrentes dos movimentos das placas tectónicas e

pela capacidade resistente e de deformação do local onde o sismo ocorre.

A maioria dos sismos (95%) ocorrem na fronteira entre placas tectónicas

(sismos interplacas), enquanto os restantes (sismos intraplacas) ocorrem em

falhas activas no interior dessas placas tectónicas.

Portugal continental foi afectado no passado por sismos que provocaram

destruição nas construções. Com base nos dados históricos, verifica-se que

vários sismos tiveram epicentros a sul de Portugal continental (tendo sido o

sismo de 1 de Novembro de 1755 o mais destrutivo), na zona de interacção

entre as placas Euro-Asiática e Africana (sismos interplacas), genericamente

designada por fronteira Açores-Gibraltar. Também existem evidências

históricas de sismos intraplacas, designadamente em falhas activas nas zonas

do vale do Tejo, Algarve e vale submarino do Sado (figura 4.1).

FIGURA 4.1 – Sismicidade histórica (adaptado de Sousa et al., 1992).

1309-02-22

1009-01-01 1033-06-29 1356-08-24

1761-03-31 382-01-01

1551-01-28

1719-03-06

1755-11-01

1777-04-14 1204-04-15

1856-01-12

1344-01-01

1587-11-01

1722-12-27

1858-11-11

1017-01-01

1909-04-23

309-02-22

1531-01-26

1353-01-01

1761-01-01

1909-11-16


- 36 -

Neste contexto histórico e tendo em conta a sismicidade instrumental (figura

4.2), o Algarve apresenta-se como a zona com maior probabilidade de vir a ser

afectada por um sismo que induza elevadas vibrações nas construções, pois é

a zona mais próxima da fronteira Açores-Gibraltar e por existirem diversas

falhas activas identificadas, donde se destacam a falha S.Marcos-Quarteira, a

falha do Carcavai, a falha de Loulé, a falha de Portimão e a falha de Aljezur.

FIGURA 4.2 – Sismicidade instrumental (adaptado de Sousa et al., 1992).

Gutenberg e Richter, em 1944, sugeriram que a relação entre a frequência de

ocorrência de eventos sísmicos e a magnitude é dada por

MbaN log ⋅−= (4.1)

sendo N o número de sismos ocorridos de magnitudes iguais ou maiores que

M, contidas no intervalo [M ,M+∆M], em que ∆M é suficientemente grande para

dar origem a uma curva relativamente bem ajustada.


- 37 -

4.3. Perigosidade sísmica (Casualidade sísmica)

É designada por perigosidade sísmica, a probabilidade de ocorrer um evento

sísmico, numa dada região, que conduza a um valor de um dado efeito, ou à

sua excedência, no local em estudo.

A análise da perigosidade sísmica envolve, normalmente, três etapas

principais:

• Localizar as zonas potenciais de geração de sismos (zonas sismogénicas),

que envolvem o local em estudo, e estimar os respectivos parâmetros

sísmicos;

• Determinar a forma de propagação das ondas sísmicas e as características

da sua atenuação;

• Adoptar um modelo apropriado para a análise da perigosidade sísmica,

normalmente um modelo probabilista.

Na base dos valores de aceleração de pico de um regulamento está uma

análise da perigosidade sísmica com um modelo probabilista, baseado no

teorema da probabilidade total, em que a probabilidade de excedência das

vibrações Ag no local em estudo, é a soma das contribuições de todas as n

zonas sismogénicas em consideração:

[ ] [ ] [ ]j

n

1jjgggg EPE aAPaAP ⋅>=> ∑

=

(4.2)

com

[ ] [ ] ( ) ( )∫ ∫ ⋅⋅⋅>=>K

KKK 2112j1j21ggjjgg xdxdxxfxf,x, x aAPE aAP (4.3)

em que: ag é o valor de referência para o efeito Ag (aceleração de pico); Ej é o

evento sísmico ocorrido na zona sismogénica j; ( )K,,2,1ix i = são factores a ter

em conta como, por exemplo, a magnitude, a distância hipocentral e o


- 38 -

comprimento da falha; ( )f x é a função de densidade de probabilidade e [ ]P Ej é

a probabilidade de ocorrência do evento sísmico Ej .

Dado que existe grande incerteza na determinação dos parâmetros de

sismicidade, os eventos sísmicos são usualmente tratados como sendo parte

de um processo estocástico estacionário (como um processo de Poisson).

Admite-se que existirá uma acumulação constante de energia que será

dissipada, aleatoriamente no tempo, quando ocorre um evento sísmico, e

pode-se dizer que, para um determinado intervalo de tempo, o número de

sismos de uma dada magnitude por unidade de tempo é constante.

Assumindo que a ocorrência de eventos sísmicos em todas as zonas

sismogénicas obedecem a um processo estacionário de Poisson de λ, a

probabilidade anual de Y > y será dada pela seguinte expressão

[ ] [ ]∑ >λ−=−=>n

1jjggj E aAP

ggano 1

e1aAP (4.4)

O período de retorno será

[ ]gg aA ano 1

R P1

T>

= (4.5)

Estipulando o período de retorno correspondente ao tipo de sismo desejado,

obtém-se a aceleração de pico da acção, entrando em conta com a

contribuição de todas as zonas sismogénicas (figura 4.3).

Dada a complexidade dos modelos não estacionários de análise da

perigosidade sísmica, admite-se, normalmente, a estacionariade da ocorrência

dos eventos sísmicos. Isto tem como consequência o facto da probabilidade de

excedência das acelerações de pico só depender do número de sismos que

ocorrem num dado intervalo de tempo, e não do período histórico em que

ocorrem. Desta forma, a probabilidade que se obtém, para o modelo

apresentado, é a mesma quer o intervalo de tempo considerado se situe após


- 39 -

uma grande libertação de energia, quer se situe dezenas, ou mesmo centenas

de anos após essa grande libertação de energia.

FIGURA 4.3 – Análise da perigosidade sísmica (Programa SRAPOR. Estêvão, 1998).

4.4. Efeitos locais

Os sismos do passado têm vindo a evidenciar que os danos nas construções

são influenciados pelas características do local de implantação. Já na altura do

sismo de 1 de Novembro de 1755 se verificou que os danos resultantes das

vibrações sísmicas não se apresentavam igualmente distribuídos na cidade de

Lisboa. As construções em terrenos mais brandos foram mais afectadas do

que as construções em terrenos mais rijos. Esse foi um dos motivos porque,

pela primeira vez, foram atribuídas causas naturais ao sismo (ao invés das

Atenuação

Aceleração de pico

ag

TR


- 40 -

causas divinas), dada a destruição generalizada de igrejas e conventos

(localizados nos terrenos mais brandos) enquanto que os bairros “de má fama”

apresentaram muito menos danos (por estarem localizados em solos mais

rijos).

Os efeitos locais influenciam importantes características das vibrações

sísmicas, como a amplitude, o conteúdo em frequência e a duração. Existem

vários efeitos locais a ter em conta na definição de uma acção sísmica para

efeitos da verificação de segurança de uma estrutura, designadamente os

efeitos de proximidade da ruptura, amplificação dos solos relacionados com a

rigidez e estratificação, efeitos de bacia e topográficos (figura 4.4). Em

estruturas de grandes dimensões (pontes e barragens) também será

necessária a consideração da variação espacial das vibrações sísmicas, tendo

em conta o desfasamento temporal da chegada das ondas sísmicas e da

eventual alteração das características dos solos de fundação, face à dimensão

da estrutura.

FIGURA 4.4 – Efeitos locais.

Também podem surgir outros efeitos locais colaterais cuja importância não

está associada à alteração das vibrações por parte dos terrenos de fundação,

mas sim à estabilidade do solo de fundação e, em consequência, à segurança

das construções. Esses efeitos locais colaterais são, por exemplo, os que

Mecanismo focal

Estratificação e rigidez dos solos

Falha

Cumes

Efeitos de proximidade

Vales

Variação espacial em grandes estruturas

Taludes

Propagação das ondas sísmicas


- 41 -

resultam de fenómenos de liquefacção e sobreconsolidação dos solos, assim

como os deslizamentos de terras.

4.4.1. Efeitos de proximidade

Alguns sismos mais recentes têm evidenciado o efeito dos sismos com

epicentros próximos das construções.

A proximidade da ruptura em relação à construção pode ter como efeito o

agravamento das componentes horizontais das vibrações sísmicas numa gama

estreita de frequências (directividade da acção) ou causar o colapso da

estrutura quando a ruptura é superficial e intercepta a construção. Também a

componente vertical têm uma maior importância neste tipo de sismos.

O efeito direccional só pode ser contabilizado na definição da acção sísmica,

caso as falhas activas estejam muito bem caracterizadas, pois só as

construções que se encontram de um determinado lado da falha apresentam

um agravamento das vibrações sísmicas. Por outro lado, só é possível

caracterizar o valor desta amplificação e a respectiva gama de frequências,

quando já existem registos sísmicos obtidos na proximidade da ruptura, o que

não acontece em Portugal.

4.4.2. Amplificação

As amplitudes das vibrações sísmicas aumentam à medida que se propagam

através de estratos de solo brando, próximos da superfície. Esse fenómeno

está associado a contrastes na impedância dos solos (ou seja, o produto da

massa específica do solo pela velocidade de propagação das ondas sísmicas).

A caracterização dos movimentos do solo, atendendo às condições locais é um

processo complexo, dada a heterogeneidade das formações geológicas.


- 42 -

Se considerarmos uma camada de solo homogéneo de espessura “h”, assente

sobre um substrato rochoso rígido, a função de transferência (factor de

amplificação) em regime elástico (figura 4.5), pode ser traduzida pela

expressão que se apresenta em seguida.

2

Ss

S

2E.R. max g

max g

E.R. max g

max gs

vh

vh

cos

1a

a

x

xH

ωζ+

ω≅== (4.6)

A frequência natural (angular) de vibração, no modo i, é igual a

−⋅π

≅ω21

ihvS

si (4.7)

sendo vs a velocidade das ondas de corte e ζS o coeficiente de amortecimento.

Mecanismo focal do sismo Magnitude

Profundidade do foco

Características dos solos

Profundidade do estrato rochoso (h)

Atenuação das ondas sísmicas

Distância epicentral Geologia do percurso

FOCO

ONDAS SÍSMICAS

LOCAL EM ESTUDO

AMPLIFICAÇÃO

h

ESTRATO ROCHOSO

SOLO

FIGURA 4.5 – Amplificação das vibrações sísmicas num estrato de solo homogéneo.


- 43 -

Considerando, por exemplo, dois estratos de solo homogéneo “I” (solo rígido)

e “II” (solo brando) com velocidades vs correspondentes a 800 m/s e 180 m/s,

respectivamente, mas com iguais espessuras (50 m) e coeficientes de

amortecimento (10%), o factor de amplificação apresenta-se muito distinto,

como está representado na figura seguinte (figura 4.6).

FIGURA 4.6 – Factores de amplificação das vibrações sísmicas para solos rígidos e brandos.

Da figura 4.6 verifica-se que os solos mais rígidos (I) amplificam as vibrações

de maior frequência, enquanto que os solos mais brandos (II) amplificam,

essencialmente, as vibrações de frequência mais baixa. Neste contexto, serão

as estruturas com frequências fundamentais mais altas que irão apresentar

maiores respostas sísmicas quando assentes em terrenos mais rígidos,

verificando-se o mesmo para edifícios com frequências fundamentais mais

baixas, mas construídos em terrenos mais brandos.

Estes fenómenos de amplificação são tidos em conta na definição de uma

acção sísmica, nomeadamente na definição dos valores de aceleração de pico

e na caracterização do conteúdo energético das vibrações sísmicas, em

função do tipo de solo de fundação.

Hz

I II


- 44 -

Os resultados anteriores foram obtidos assumindo que a propagação das

ondas sísmicas se realizava na vertical, ou seja, de forma unidimensional.

Muitas vezes as estruturas estão construídas em vales sobre depósitos

aluvionares. Nestes casos, atendendo à curvatura do estrato rochoso da bacia,

as ondas sísmicas podem ser aprisionadas nas camadas superficiais de solos

mais brandos, devidos a fenómenos de reflexão, aumentando a amplificação

assim como a duração das vibrações. A curvatura da bacia também pode

originar fenómenos de concentração de energia, como é apresentado na figura

4.7.

FIGURA 4.7 – Fenómenos de amplificação devidos a efeitos de bacia.

Um exemplo dramático dos fenómenos de amplificação devido às

características dos terrenos de fundação, corresponde aos efeitos do sismo

que afectou a Cidade do México em 1985. O sismo, de magnitude 8.1 só

induziu moderada destruição nas construções mais próximas do epicentro,

mas causou destruição generalizada numa gama de edifícios que

apresentavam entre 5 a 20 andares (incidindo mais entre os 7 e os 14

I


- 45 -

andares), localizados na Cidade do México, a cerca de 350 km do epicentro.

As acelerações nos terrenos mais rígidos das colinas da cidade apresentaram

valores de pico na ordem dos 0.03-0.05 g, com danos negligenciáveis para as

construções, enquanto nas áreas correspondentes a um antigo lago, com

depósitos de solos muito brandos, as acelerações apresentaram uma

amplitude 10 vezes superior, originando grande destruição.

4.4.3. Efeitos topográficos

Os efeitos da topografia local nas respostas das estruturas são notórios nos

cumes dos montes, originando grandes amplificações das acelerações

induzidas ao nível da camada rochosa de base, filtrando, em simultâneo, o

conteúdo energético das vibrações sísmicas (figura 4.8).

Estudos realizados indicam que a existência de topografia irregular afecta, não

só a zona dos cumes dos montes, mas também as zonas próximas, conduzem

a uma interacção das ondas elásticas que, de forma complexa, aumentam ou

reduzem o factor de amplificação.

200 m 1000 m

50 m

Sem danos

Com danos importantes que levaram ao abandono dos edifícios

FIGURA 4.8 - Danos causados pelo sismo do Chile de 1985, em Viña del Mar (adaptado de Priestley et al., 1996).


- 46 -

4.4.4. Efeitos locais colaterais

Os efeitos locais colaterais das vibrações sísmicas, como sejam a liquefacção

(figura 4.9), os assentamentos devidos a sobreconsolidação e os

deslizamentos, não são tidos em conta na definição das acções sísmicas. No

entanto, dado o impacto destrutivo que têm sobre as construções, tais

possíveis efeitos devem ser acautelados durante a concepção da estrutura e

posterior dimensionamento.

FIGURA 4.9 – Fenómenos de liquefacção dos solos.

4.5. Zonamento sísmico

O objectivo do zonamento sísmico consiste na apresentação da distribuição da

perigosidade sísmica numa grande região. É possível classificar o zonamento

sísmico em três grupos distintos, consoante os objectivos e os indicadores

utilizados:

• Zonamento de sismicidade - dividindo uma região em zonas de sismicidade

distinta, incluindo a taxa de ocorrência de eventos, magnitudes e energia

libertada, com o objectivo de expor a distribuição geográfica da sismicidade

para o estudo da perigosidade sísmica e distribuição da estrutura tectónica;

• Zonamento dos movimentos do solo - zonamento da perigosidade sísmica

em termos de amplitude, espectro e duração dos movimentos do solo, em


- 47 -

conjunto com a probabilidade da sua ocorrência, com a finalidade de poder ser

usado no dimensionamento de novas estruturas e na avaliação e reforço de

estruturas existentes;

• Zonamento de danos - apresentação de mapas com a distribuição geográfica

dos vários tipos e níveis de perdas e danos, nomeadamente as perdas de

vidas humanas, danos estruturais, danos nos solos e impacto económico.

Portugal foi um dos pioneiros no zonamento da perigosidade sísmica, com os

estudos desenvolvidos por Oliveira (1977), com base nos modelos descritos no

ponto 4.3.

4.6. Modelos descritivos das acções sísmicas

A acção dos sismos sobre as estruturas é, normalmente, representada por um

conjunto de movimentos vibratórios do solo (normalmente três componentes

ortogonais, a actuar em simultâneo: duas num plano horizontal e uma vertical),

provocados pela passagem de ondas sísmicas (tipos P, S de Rayleigh e de

Love), como é apresentado na figura 4.10.

Para efeito da verificação da segurança das estruturas, é comum admitir-se

como suficiente a consideração de duas acções sísmicas, que representem

sismos a pequena distância focal (sismos próximos) e sismos de maior

magnitude a maiores distâncias focais (sismo distante), de forma a ter em

conta as características dos mecanismos focais e da propagação das ondas

sísmicas (que depende da distância e do meio de propagação), tendo em

conta os sismos com probabilidade de ocorrer e afectar a estrutura.

Para efeito da análise das estruturas, as vibrações sísmicas, para cada tipo de

terreno de fundação, podem ser descritas com recurso a funções que podem

ser expressas no domínio do tempo ou no domínio da frequência (estas últimas

designadas por espectros).


- 48 -

Os modelos descritivos das acções sísmicas, adoptados pelos regulamentos,

são os acelerogramas (funções no domínio do tempo, expressas em termos da

aceleração) ou, para simplificação da análise, por intermédio de espectros de

potência ou espectros de resposta.

Sismos próximos

agx (t)

agy (t)

agz (t)

Sismos distantes

FIGURA 4.10 – Representação das acções sísmicas.

Os regulamentos têm em conta os efeitos geológicos locais, ao classificar os

solos de fundação em diversos tipos, de acordo com as características

tipificadas para cada grupo.

As principais características que os modelos descritivos das acções sísmicas

devem contemplar, para os sismos próximos e distantes, estão sumariamente

apresentadas no quadro 4.2.


- 49 -

QUADRO 4.2 – Principais características dos sismos próximos e distantes.

Características dos sismos Sismos próximos Sismos distantes

Principal

influência

Direcção da ruptura

Efeito da estratificação

Movimentos

sísmicos

Tipo impulso

Velocidade

t

Aceleração

t

Tipo cíclica

Componente

vertical

Maiores valores

1

D (km)

V/H

Menores valores

1

D (km)

V/H

Principais

efeitos

dinâmicos

1º modo

Modos superiores

1º modo (menores efeitos)

1º modo


- 50 -

4.6.1. Acelerogramas

Os regulamentos actuais contemplam a hipótese de serem adoptados, nas

análises no domínio do tempo, acelerogramas registados, simulados, ou

artificiais, que estejam em conformidade com as acções do tipo sismo próximo

e sismo distante.

Os acelerogramas registados obtêm-se em aparelhos “Strong motion” que

permitem captar as vibrações de grandes amplitudes, mesmo próximo do

epicentro. Na figura 4.11 apresenta-se um acelerograma, correspondente à

componente horizontal Oeste-Leste, registado na Escola Superior de

Tecnologia, de um pequeno evento sísmico ocorrido no dia 30 de Julho de

1998 (epicentro a cerca de 40 km de Faro com uma magnitude igual a 4).

FIGURA 4.11 - Acelerograma registado em Faro no dia 1998/07/30 (em cm/s2).

Com base em modelos matemáticos é possível gerar acelerogramas que

contemplem o tipo de mecanismo focal, as características da propagação e os

efeitos locais de amplificação. Estes acelerogramas, ditos simulados, obtêm-se

para um sismo de determinada magnitude e distância hipocentral.

Os acelerogramas artificiais não estão associados a um único evento sísmico,

mas são funções de cariz aleatório que se podem obter a partir de espectros

(de potência ou de resposta) que representam um conjunto de sismos com

determinadas características.


- 51 -

4.6.2. Espectros de potência

Para passarmos um acelerograma (no domínio do tempo) para a forma de

espectro (no domínio da frequência), será necessário recorremos a

transformadas de Fourier. Um acelerograma, de duração Tf, pode ser expresso

como um somatório de componentes harmónicas definido por

( ) ( )[ ]∑∞

=

ω+ω+=1j

jj2jj10)t(g tsenctcoscca (4.8)

∫=fT

0)t( g

f0 dta

T1

c (4.9)

( )∫ ω=fT

0j)t( g

fj1 dttcosa

T2

c (4.10)

( )∫ ω=fT

0j)t( g

fj2 dttsena

T2

c (4.11)

sendo ωj a frequência da harmónica j.

Também podemos escrever que

( )∑∞

=

φ+ω=1j

jjj0)t(g tsenaa (4.12)

com

2j2

2j1j0 cca += (4.13)

=φ

j2

j1j c

c arctg (4.14)

e admitindo c0=0. O espectro de amplitudes de Fourier corresponde à

representação gráfica das amplitudes de Fourier (a0j) em relação às

frequências das harmónicas (ωj). Por sua vez, o espectro de fases de Fourier

corresponde à representação gráfica dos ângulos de fase (φj) em relação às

frequências das harmónicas (ωj).

Sismos de diferentes magnitudes apresentam espectros de Fourier bastante

distintos, como é evidenciado no gráfico da figura seguinte (4.12).


- 52 -

FIGURA 4.12 – Espectros de amplitudes de Fourier, no foco, para diferentes magnitudes.

Próximo do foco, os sismos de menor magnitude apresentam maior energia

nas frequências mais altas. No entanto, com o aumento da distância ao foco,

as amplitudes das harmónicas de frequências mais elevadas apresentam uma

maior redução comparativamente com as de menores frequências.

FIGURA 4.13 – Redução das amplitudes das harmónicas com a distância ao foco.

a0j (log)

M = 8

M = 7

M = 6

M = 5

M = 4

Frequência (Hz - log)

M = 8

M = 7

M = 8

M = 7

Hipocentro a 10 km Hipocentro a 100 km

a0j

Frequência (Hz)

M = 6 M = 6

Frequência (Hz)

a0j


- 53 -

Os movimentos sísmicos num dado ponto da superfície do solo podem ser

representados como um processo aleatório estacionário, definido pela função

de densidade espectral de potência dos movimentos (espectro de potência),

associados a uma determinada duração (Te).

O espectro de potência ao nível da fundação de um edifício, pode ser

apresentado em função das amplitudes de Fourier e duma função de

transferência (Hs), sendo

[ ] [ ]2)f(S

2)f(0

e)f(Pa Ha

T1

S ⋅⋅⋅π

= (4.15)

FIGURA 4.14 – Exemplos de espectros de potência.

M = 6.3 R = 12 km Solo rígido

Frequência (Hz)

SPa(f)

M = 8.3 R = 120 km Solo brando

Frequência (Hz)

SPa(f)


- 54 -

Algumas expressões para as funções de transferência necessárias para a

definição das funções de densidade espectral de potência, tendo em conta as

características de filtragem dos solos de fundação, foram propostas por alguns

autores, nomeadamente por Kanai e Tajimi e por Clough e Penzien.

Os espectros de potência usados para o projecto de estruturas são obtidos a

partir das médias de um número de eventos sísmicos normalizados e ajustados

a uma determinada aceleração de pico.

4.6.3. Espectros de resposta

O espectro de resposta é, de entre todos os modelos descritivos das acções

sísmicas, o mais utilizado, devido à simplicidade do conceito e à facilidade de

interpretação dos valores, do ponto de vista da engenharia. Esse modelo foi

idealizado por G.W. Housner, em regime elástico linear.

Se sujeitarmos um conjunto de osciladores lineares de um grau de liberdade

(figura 4.15), de frequências nn f2 ⋅π=ω e períodos Tn, a um conjunto de

sismos com acelerogramas correspondentes a ag(t) (consistentes com a

perigosidade sísmica de uma região), a equação de equilíbrio dinâmico será

)t(g)t(2n)t(n)t( axx2x −=ω+ζω+ &&& (4.16)

A resposta pode ser obtida a partir do integral de Duhamel, para sistemas

fracamente amortecidos ( na ω≅ω ), sendo

( ) ( )[ ]max

t

0n

t)(g

nmax)t( dtsenea

1x n∫ ττ−ω

ω−≅ τ−ζω−

τ (4.17)

( ) ( )[ ]max)t(n

max

t

0n

t)(gmax)t( xdtcoseax n ⋅ω≅ττ−ω−≅ ∫

τ−ζω−τ& (4.18)

( ) ( )[ ]max)t(

2n

max

t

0n

t)(gnmax)t(g)t( xdtseneaax n ⋅ω≅ττ−ωω≅+ ∫

τ−ζω−τ&& (4.19)


- 55 -

x(t) xg (t)

k

m

c

ag (t)

k

m

c

FIGURA 4.15 - Sistema linear de um grau de liberdade sujeito a uma aceleração na base.

Um espectro de resposta corresponde a uma curva representativa dos valores

máximos da resposta de um oscilador linear de um grau de liberdade, com

uma determinada frequência natural de oscilação e amortecimento viscoso, ao

conjunto das vibrações sísmicas (figura 4.16).

f2 , T2

f3 , T3 f4 , T4 f5 , T5

f7 , T7 f6 , T6

…

f1 , T1

ii f

1T =

T2 T3

T4

T5

T6

T7 T

Sa

T1

f2 f3 f4 f5 f6 f7 f

Sa

f1

FIGURA 4.16 – Espectros de resposta.


- 56 -

É usual que a resposta do oscilador possa ser quantificada em termos de

deslocamentos relativos, velocidades relativas ou acelerações absolutas.

Definem-se como espectros sísmicos de resposta os valores:

- espectro de deslocamentos relativos

S xd t= ( ) max. (4.20)

- espectro de velocidades relativas

S xv t= & ( ) max. (4.21)

- espectro de acelerações absolutas

S x aa t g t= +&&( ) ( ) max. (4.22)

Tendo em conta as expressões 4.17 a 4.19, os espectros de resposta (pseudo

espectros pois são obtidos admitindo a simplificação: na ω≅ω ) relacionam-se

entre si da seguinte forma

S S Sdn

vn

a= =1 1

2ω ω (4.23)

Cada espectro de resposta S é função do tipo de solo, da aceleração dos

movimentos sísmicos, do amortecimento e da frequência própria da estrutura.

- 57 -

CAPÍTULO 5

ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS

5.1. Tipos de métodos de análise

Os métodos de análise sísmica de estruturas, podem dividir-se em métodos

experimentais e métodos analíticos.

Os métodos analíticos (mais vulgares) caracterizam o comportamento

dinâmico a partir de equações diferenciais de equilíbrio dinâmico (através dos

princípios de d’Alambert, por exemplo), admitindo que o comportamento da

estrutura é linear ou, traduzindo mais fielmente o comportamento das

estruturas, não linear. A resolução do problema pode ser feita no domínio do

tempo ou no domínio da frequência. De forma esquemática, estão

apresentados na figura 5.1 os métodos analíticos mais usados na análise da

resposta dinâmica das estruturas face às vibrações sísmicas.

• Dinâmica no domínio do tempo, com base em acelerogramas (integração passo a passo das equações de movimento) • Estáticas (pushover) com base em espectros de resposta

• Análise estocástica com recurso a espectros de potência • Método da sobreposição modal com recurso aos espectros de resposta elásticos • Análise estática equivalente

Tipos usuais de análise

sísmica

Lineares

Não lineares

FIGURA 5.1 - Esquema dos métodos analíticos vulgarmente utilizados na análise sísmica de estruturas.


- 58 -

5.2. Métodos de análise linear

5.2.1. Coeficiente de comportamento

A modelação das estruturas, admitindo comportamento linear dos materiais

que a constituem, é uma aproximação grosseira da realidade, quando estas

são sujeitas a grandes vibrações sísmicas. São poucos os materiais que

apresentam comportamento elástico linear, e, quando o apresentam, só se

verifica para pequenas deformações. Os valores da rigidez e do

amortecimento são funções não lineares das deformações. Enquanto a rigidez

sofre uma redução com o aumento da deformação, o amortecimento aumenta,

designadamente associado ao atrito (amortecimento de Coulomb) e,

principalmente, à deformação inelástica dos elementos estruturais

(amortecimento histerético).

As reais relações constitutivas dos materiais sujeitos a deformações cíclicas,

assim como os valores do amortecimento, são difíceis de estabelecer.

Atendendo à complexidade dos modelos de comportamento não linear e ao

tempo dispendido no cálculo, estes só são adoptados em casos muito

particulares, sendo vulgar a utilização de modelos de comportamento linear.

No entanto, os resultados das análises elásticas lineares conduzem a soluções

de dimensionamento pouco económicas, dado que as forças sísmicas que se

obtêm num oscilador em regime linear, para uma dada deformação, são muito

superiores às que se obtêm num oscilador não linear, para as mesmas

deformações. Uma forma de contornar esse problema consiste na adopção de

um coeficiente de comportamento (η) de modo a ajustar os resultados das

análises elásticas lineares, em estruturas que possuam ductilidade

(capacidade de se deformarem para além do limite da cedência, sem perda

significativa de resistência).

É de notar que quando se tira partido do comportamento não linear das

estruturas estamos a admitir danos nos elementos estruturais e, de forma


- 59 -

marcante, em elementos não estruturais (como sejam as paredes de alvenaria

não resistente).

O coeficiente de comportamento pode ser definido de diversas formas, sendo

as mais comuns em termos de forças (ou momentos). Na figura 5.2

apresentam-se algumas formas usadas pelos regulamentos para

estabelecerem o valor do coeficiente de comportamento.

η

δδ

= ⋅ −2 1u

y

. η =F

Felast

y

. Felast

Fy

δy δu

δ

F F

Felast

Fy

δy δu

Áreas iguais

δ*u

δ

FIGURA 5.2 - Diversas metodologias adoptadas pelos regulamentos para a determinação do coeficiente de comportamento.

O coeficiente de comportamento depende das características do

comportamento não linear das estruturas, nomeadamente da ductilidade e da

capacidade de dissipação de energia (área contida nos ciclos histeréticos).

Dois osciladores podem ter a mesma ductilidade mas diferentes capacidades

de dissipação de energia, como se ilustra na figura 5.3.

δy

δ

F

δy

δ

F b) a)

FIGURA 5.3 - Relações constitutivas exemplificadoras do comportamento não linear. a) menor energia dissipada b) maior energia dissipada.


- 60 -

A capacidade de dissipação de energia de uma estrutura, depende do número

de rótulas plásticas que se poderão formar num determinado número de ciclos,

sem que surja um mecanismo de colapso (pelo que é importante a duração das

vibrações sísmicas).

É desejável que o mecanismo de colapso esteja associado à formação,

primeiramente, de rótulas plásticas em todas as vigas e, por fim, na base dos

pilares, como se ilustra na figura 5.4. Para que tal se verifique será necessário

o dimensionamento dos elementos estruturais com base na real capacidade

resistente (“Capacity Design”), garantindo que os momentos resistentes dos

pilares são superiores aos momentos resistentes das vigas neles

concorrentes, tal como vão ser realmente executados.

FIGURA 5.4 – Mecanismo de colapso desejável (em cada nó: ∑MRd pilares > ∑MRd vigas).

Caso não se cumpram estes pressupostos, e se concebam estruturas com

vigas mais resistentes do que os pilares, ou caso existam condicionantes à

livre deformação dos pilares, face, por exemplo, à existência de um

preenchimento irregular dos painéis de alvenaria (vulgarmente designados por

pisos vazados ou “soft storey”), o mecanismo de colapso envolve a formação

Rótulas plásticas (zonas dissipativas)


- 61 -

de menos rótulas plásticas (figura 5.5), sendo, portanto, menos dissipativo,

pelo que o coeficiente de comportamento deverá ser reduzido.

FIGURA 5.5 – Mecanismo de colapso tipo viga forte – pilar fraco, ou do tipo piso vazado (“soft storey”).

Quanto mais redundante for a estrutura (maior grau de indeterminação

estática), maior é, potencialmente, a capacidade desta dissipar a energia que

lhe é transmitida pelas vibrações sísmicas, no intervalo de tempo em que estas

se fazem sentir (figura 5.6).

O efeito das arquitecturas irregulares e das alvenarias de preenchimento,

torna menos previsível o comportamento real de uma estrutura. Nestas

circunstâncias, é necessário um cuidado especial na escolha do valor do

coeficiente de comportamento, pois podem surgir roturas frágeis não

previsíveis (como a existência de pilares curtos).

Atendendo às imposições relacionadas com a redução do nível de danos,

nomeadamente atendendo à importância e carácter de utilização da estrutura,

o coeficiente de comportamento poderá (e deverá) ser reduzido.



- 62 -

As forças sísmicas a considerar, para a obtenção de esforços visando o

dimensionamento das estruturas (não na contabilização de deslocamentos),

corresponderão aos valores obtidos do cálculo elástico linear (Felast.), divididos

pelo coeficiente de comportamento (η).

FFelast.

dim. =η

(5.1)

Mecanismo de colapso mais dissipativo

Mecanismos menos dissipativos

FIGURA 5.6 – Efeito da redundância na dissipação de energia.

5.2.2. Análise modal com recurso a espectros de res posta

O método de análise sísmica de estruturas mais utilizado corresponde à

análise modal com o recurso a espectros de resposta. É possível realizar este

tipo de análise em modelos planos ou em modelos tridimensionais.

Igual redundância mas menor número de rótulas plásticas.


Menor redundância e menor número de

rótulas plásticas.


- 63 -

Se considerarmos um sistema dinâmico de vários graus de liberdade sujeito a

uma componente de uma vibração harmónica, de amplitude máxima a0α, então

a parcela da resposta máxima de cada modo “i”, em regime permanente

(desprezando o regime transitório) e em coordenadas modais, em relação à

aceleração absoluta, pode ser obtida a partir das expressões (3.30) e (3.55-

56), sendo iguais a

αα ⋅⋅ 0*i

*i

i,3 am

PH ou αα ⋅⋅ 0ii,3 aPH (5.2-3)

Dado que a acção sísmica não pode ser caracterizada por uma excitação

harmónica, mas por um conjunto de sismos, cada um com uma soma infinita de

harmónicas (de acordo com as expressões 4.8 e 4.12), uma forma de resolver

o problema consiste em recorrer ao conceito de espectro de resposta, como foi

apresentado no ponto 4.6.3. Assim, poderemos obter a amplitude máxima da

resposta modal (a partir da aceleração espectral Saiα que se obtém

directamente dos espectros de resposta), em coordenadas modais e em

termos da aceleração absoluta, para cada modo de vibração “i”, sendo igual a

αα ⋅ ai*i

*i S

m

P ou αα ⋅ aii SP (5.4-5)

Em coordenadas globais (valores de aceleração absoluta ααα += gigi add &&&& ,

velocidades relativas αid& e deslocamentos relativos αid , para cada um dos

modos de vibração “i” e para cada componente α do sismo), teremos

{ } { }&&

max.

*

*d vP

mSgi i

i

iaiα

αα= ⋅ ⋅ (5.6)

ou

{ } { }&&

max.d P Sgi i i aiα α αφ= ⋅ ⋅ (5.7)

e com

{ } [ ] { } { }d f F di ii

giα α αωmax. max. max.&&= ⋅ ≅

12

(5.8)


- 64 -

sendo as forças de inércia máximas, iguais a

{ } [ ] { }F m di giα αmax. max.&&= ⋅ (5.10)

O grande problema do recurso aos espectros de resposta, na análise sísmica

de estruturas com vários graus de liberdade, reside no facto de conhecermos a

amplitude máxima da resposta num dado modo, mas não o instante em que

esse máximo ocorre. Logo, recorrendo à sobreposição modal, não devemos

obter a resposta final somando esses valores máximos, dado que eles ocorrem

em instantes diferentes, pois conduz a um resultado muito conservativo.

Se considerarmos um oscilador linear de dois graus de liberdade, sujeito a

uma aceleração harmónica ( )t sena0 ω⋅α , desprezando o regime transitório, a

resposta pode ser escrita, para cada grau de liberdade “j”, como

)t(2j)t(1j)t(j ddd ααα +=

( ) ( )2,122

022,12j1,12

1

011,11j t sen

aPHt sen

aPH θ−ω⋅

ω⋅

⋅⋅φ−θ−ω⋅ω⋅

⋅⋅φ−= αααα

(5.11) ou )t(2gj)t(1gj)t(gj ddd ααα += &&&&&&

( ) ( )2,3022,32j1,3011,31j t senaPHt senaPH θ−ω⋅⋅⋅φ+θ−ω⋅⋅⋅φ= αααα

(5.12)

Se representarmos graficamente a expressão (5.11) (figura 5.7), teremos

( ) ( ) 12j1j2

2j2

1jj cosdd2dddmaxmaxmaxmaxmax

β⋅⋅⋅++= ααααα (5.13)

com 2,11,11 θ−θ=β (5.14)

ou

( ) ( ) 32gj1gj

2

2gj

2

1gjgj cosdd2dddmaxmaxmaxmaxmax

β⋅⋅⋅++= ααααα&&&&&&&&&& (5.15)

com 2,31,33 θ−θ=β (5.16)


- 65 -

Os máximos obtidos nas expressões anteriores correspondem aos vectores

soma das respostas em cada modo de vibração.

dj2α max

ω⋅t−θ1,1

β1

ω⋅t−θ1,2

dj2α max

dj1α max

djα max

dj1α max

djα max

t

FIGURA 5.7 - Diagrama vectorial da resposta dum oscilador de dois graus de liberdade.

Se considerarmos que a resposta é ressonante no 1º modo (ω= ω1), consoante

a proximidade entre as frequências (ω1 e ω2) assim teremos um maior ou menor

valor para o 1cosβ ou o 2cosβ (dado que são funções do desfasamentos da

resposta em cada modo). Caso as frequências dos dois modos estejam muito

afastadas, o ângulo β1 apresenta um valor superior a π/2, pelo que o resultado

máximo será inferior a

( ) ( )22j

21jj maxmaxmax

ddd ααα += (5.17)

Desta forma, tendo em conta a correlação dos diversos modos, a resposta

máxima do sistema estrutural para a componente α (para uma determinada

variável Eα), pode ser obtida, com segurança, por combinação quadrática

simples dos resultados obtidos para cada modo de vibração, com base nos

espectros de resposta, desde que as frequências de dois modos consecutivos

se apresentem devidamente afastadas.


- 66 -

• Combinação Quadrática Simples (C.Q.S.):

∑ αα =i

2iEE (5.18)

Caso as frequências não se apresentem devidamente afastadas é possível

recorrer à análise estocástica de modo a que, a partir da expressão que se

obtém para a covariância da resposta nos diversos modos, possamos utilizar

os resultados da análise por espectros de resposta, mas recorrendo ao que se

designa por combinação quadrática completa.

• Combinação Quadrática Completa (C.Q.C.):

∑∑ ααα ⋅µ⋅=i j

jiji EEE (5.19)

com

( )

( ) ( )µ

ζ

ζij

R R

R R R=

⋅ ⋅ + ⋅

− + ⋅ ⋅ ⋅ +

8 1

1 4 1

2 3

2 2 2 2 ,

i

j

f

fR = (5.20-21)

Para a obtenção dos esforços na estrutura, modo a modo, podem aplicar-se as

forças de inércia ou impor o vector de deslocamentos, estaticamente, e

resolver o problema com recurso a um dos métodos de análise de estruturas

desenvolvidos para acções estáticas. Para efeito do dimensionamento da

estrutura, há que atender ao valor do coeficiente de comportamento (não para

efeito de determinação dos deslocamentos máximos na estrutura).

Os valores máximos da resposta da estrutura, que se obtêm de uma análise

separada para cada uma das componentes das vibrações sísmicas (segundo a

direcção α), não ocorrem, também, no mesmo instante. Desta forma, a

resposta da estrutura, tendo em conta a actuação simultânea de todas as

componentes, também pode ser obtida por combinação quadrática simples.

∑=α

α=z,y,x

2EE (5.22)


- 67 -

As análises modais com recurso aos espectros de resposta apresentam

algumas desvantagens na sua utilização:

• Em primeiro lugar temos o facto de exigirem algum esforço de cálculo na

resolução do problema de valores e vectores próprios (com base no método de

Stodola, no método de Jacobi ou no método de Rayleigh-Ritz, entre outros).

• Por outro lado, só são válidas para problemas elásticos lineares, pelo que

será necessário proceder-se a uma correcção aos resultados obtidos, para

efeito do dimensionamento dos elementos estruturais (coeficiente de

comportamento), tendo em conta o comportamento não linear das estruturas.

• Por último, os esforços finais que se obtêm, após a realização das

combinações quadráticas, quer na obtenção da contribuição dos diversos

modos de vibração, quer na determinação do resultado de todas as

componentes da acção sísmica, perdem o sinal. Desta forma, o

dimensionamento das estruturas, com base nesses resultados, requer algum

cuidado, nomeadamente em flexão composta (recta ou desviada).

5.2.3. Métodos simplificados de análise sísmica

Existem diversos métodos aproximados de análise sísmica de estruturas, que

têm em comum o facto de se basearem numa configuração e frequência

aproximadas para um modo de vibração. Com base nessas configurações e

frequências, é possível a obtenção do valor, também aproximado, da resposta

da estrutura, aplicando um conjunto de forças estáticas, equivalentes às forças

de inércia.

5.2.3.1. Configuração do método de Rayleigh

O método de Rayleigh simplificado é um método de análise dinâmica que se

baseia numa configuração aproximada de um modo de vibração. É usual que

essa configuração aproximada esteja associada aos deslocamentos que


- 68 -

resultam da aplicação de um conjunto de forças estáticas iguais aos pesos das

massas, na direcção dos graus de liberdade.

Normalmente admite-se o pressuposto de que apenas o primeiro modo de

vibração contribui para a resposta total da estrutura (figura 5.8).

d02

d0n

d01

G2

Gn

G1

{ } { }v d1 0=

FIGURA 5.8 - Configuração aproximada do primeiro modo de vibração, obtida pelo método de Rayleigh.

A frequência fundamental da estrutura (f em Hz) pode ser estimada a partir da

expressão

f g

G d

G d

i ii

n

i ii

n= ⋅ =

=

∑

∑

12

01

02

1

π (5.23)

As acelerações absolutas máximas serão obtidas com base nos espectros de

resposta e na equação (5.6) (e atendendo a que a matriz de massa é diagonal

e o vector { }x1 só apresenta elementos unitários):

{ } { } { } [ ]{ }{ } [ ]{ }

{ }&&d dd m

d m dS d

G d

G d

Sgx

Tx

T ax

i ii

n

i ii

n ax= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅=

=

∑

∑0

0

0 00

01

02

1

1 (5.24)


- 69 -

As forças máximas de inércia, a aplicar estaticamente na estrutura, serão

{ } [ ]{ } [ ]{ }F m d m d

G d

G d

Sx gx

i ii

n

i ii

n ax= = ⋅ ⋅=

=

∑

∑

&&0

01

02

1

(5.25)

com a força no grau de liberdade “j” igual a

F G d

G d

G d

S

gjx j j

i ii

n

i ii

nax= ⋅ ⋅ ⋅=

=

∑

∑0

01

02

1

(5.26)

É evidente que a utilização deste método, para efeito do dimensionamento de

edifícios, requer algum cuidado, dado que a percentagem de massa efectiva,

resultante da configuração arbitrada, pode ser pequena.

Poderemos impor que a percentagem de massa efectiva, resultante da

configuração arbitrada, seja de 100%. Sendo assim

( )

mP

mm

gGx

eff xi

i

n

ii

n

11

2

1 1 1

1= = = ⋅

= =∑ ∑

*

* (5.27)

%m mm

m d

m d Gx

effx

eff

x

i ii

n

i ii

n

ii

n1 1

01

2

02

1 1

100100 100

= ≅ ⋅ =

⋅∑

∑

∑ ∑

=

= =

(5.28)

logo

G

G d

G di

i

n i ii

n

i ii

n=

=

=

∑∑

∑≅

1

01

2

02

1

(5.29)

Substituindo a equação (5.29) em (5.26) iremos obter

F G d

G d

G d

G d

G d

S

gG d

G

G d

S

gjx j j

i ii

n

i ii

n

i ii

n

i ii

nax

j j

ii

n

i ii

nax= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑0

01

02

1

01

01

01

01

(5.30)


- 70 -

5.2.3.2. Configuração linear em altura

Consideremos uma configuração para o modo fundamental do tipo pêndulo

invertido, como é apresentado na figura 5.9, em que o vector da configuração,

desse modo, corresponde ao vector das cotas das massas.

h2

hn

h1

F2

Fn

F1

h2

hn

h1

{ } { }v h1 =

FIGURA 5.9 - Configuração admitida para o primeiro modo de vibração, variando linearmente em altura.

Desta forma, partindo da expressão (5.30) teremos

F G h

G

G h

S

gjx j j

ii

n

i ii

nax= ⋅ ⋅ ⋅=

=

∑

∑

1

1

(5.31)

Este método, bastante mais aproximado do que o método de Rayleigh, pode

conduzir a resultados muito conservativos em alguns elementos de uma

estrutura, assim como a valores inseguros noutros elementos da mesma

estrutura.

5.3. Métodos de análise não linear

A aplicação de modelos de análise não linear para efeito do dimensionamento

de estruturas não é usual sendo, normalmente, adoptados na investigação ou

na avaliação de estruturas existentes e de alguma importância. Esse facto


- 71 -

deve-se ao, ainda, elevado dispêndio de tempo na análise e na necessidade

de todos os elementos estruturais serem perfeitamente conhecidos. É neste

contexto que, na corrente prática de projecto de estruturas, as análises não

lineares surgem, essencialmente, como forma de calibrar os valores dos

coeficientes de comportamento inicialmente adoptados nas análises lineares.

5.3.1. Análise dinâmica não linear

Análises dinâmicas, que envolvam comportamento não linear dos materiais,

podem ser realizadas com recurso a métodos de integração numérica

(vulgarmente designados por métodos de integração passo a passo) do

sistema acoplado de equações diferenciais de equilíbrio dinâmico.

Se considerarmos o oscilador não linear da figura 5.10, num instante t = τ,

teremos a seguinte equação de movimento

[ ]m x a c x k xg&& &( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ τ τ τ+ + ⋅ + ⋅ = 0 (5.32)

m x c x k x m ag⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅&& &( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ τ τ τ (5.33)

Num instante t = τ+∆τ podemos definir os seguintes valores incrementais

m x c x k x m ag⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅+ + + + + +&& &( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ τ τ τ∆τ ∆τ ∆τ ∆τ ∆τ ∆τ (5.34)

A equação incremental de movimento corresponde à diferença entre (5.34) e

(5.33), logo igual a

m x c x k x m ag⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅∆ ∆ ∆ ∆&& &( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ τ τ τ (5.35)

em que

&& && &&( ) ( ) ( )x x xτ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.36)

& & &( ) ( ) ( )x x xτ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.37)

x x x( ) ( ) ( )τ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.38)

a a ag g g( ) ( ) ( )τ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.39)


- 72 -

c c c( ) ( ) ( )τ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.40)

k k k( ) ( ) ( )τ τ τ+ = +∆τ ∆ (5.41)

e sendo, para valores muito pequenos de ∆τ,

( )∆ ∆c x x( ) ( ) ( )& &τ τ τ+ ≅ 0 (5.42)

( )∆ ∆k x x( ) ( ) ( )τ τ τ+ ≅ 0 (5.43)

∆Fr ( )τ∆Fa ( )τ

x( )τ

k(t)

c(t)

x(t)

ag (t)

∆& ( )x τ ∆x( )τ

x( )τ+∆τ& ( )x τ &( )x τ+∆τ&( )x t x t( )

F c xa t t t ( ) ( ) ( )&= ⋅ F k xr t t t ( ) ( ) ( )= ⋅

FIGURA 5.10 - Oscilador não linear de um grau de liberdade sujeito a uma aceleração da base.

A equação (5.35) é resolvida, numericamente, passo a passo, para pequenos

incrementos do tempo (∆τ). Para tal, será necessário estabelecermos as

relações entre ∆&&( )x τ , ∆& ( )x τ e ∆x( )τ . Normalmente, assume-se que a

aceleração se mantém constante, ou que varia linearmente, no intervalo de

tempo ∆τ.

O método de Newmark, o método de Wilson e o método de Runge-Kutta, são

alguns dos métodos mais utilizados na resolução deste tipo de problemas.


- 73 -

Neste tipo de análise também é necessário a adopção de leis constitutivas que

traduzam, da forma mais realista possível, o comportamento histerético dos

materiais que constituem a estrutura, de modo a que seja possível definir a

matriz de rigidez a cada instante.

Nas figuras 5.11 e 5.12 são apresentados exemplos de modelos de

comportamento histerético do betão e do aço.

Zm⋅k⋅fc Ec0

Ec' Ec

''

Ec'' 2 Ec

' 2

σc

k⋅fc

k⋅ε0 εc1 εcm εc

Ec0

Ec0

0.2k⋅fc

Envolvente monotónica

FIGURA 5.11 - Modelo de comportamento histerético do betão proposto por Tompson e Park.

σs

Es Es

Patamar de cedência

Endurecimento cíclico isotrópico

Endurecimento

Efeito de Baushinger

Troço elástico

Redução de Es após inversão

εs

Endurecimento cíclico isotrópico

FIGURA 5.12 - Características principais do diagrama tensões-extensões do aço.


- 74 -

As análises não lineares, com recurso a métodos de integração passo a passo,

requerem o conhecimento das vibrações sísmicas ao longo do tempo. É usual

que a acção sísmica seja definida na forma de acelerogramas (registados,

simulados ou artificiais), sendo necessária a consideração de vários sismos

consistentes com a perigosidade sísmica da região.

5.3.2. Análise estática não linear ( Pushover)

As análises dinâmicas não lineares, no presente momento, são mais

apropriadas para a investigação ou análise de estruturas muito importantes,

dada a sua complexidade. A sua aplicação ao projecto corrente somente será

possível num futuro ainda distante. Por outro lado, a fiabilidade das correntes

análises lineares dependem muito do valor adoptado para o coeficiente de

comportamento, que é estimado em função das características da estrutura.

Neste contexto, para aferirmos qual será o real comportamento de uma

estrutura será necessário adoptarmos modelos simplificados de

comportamento inelástico que combinam uma análise estática não linear

(pushover) e a abordagem por espectros de resposta.

Apesar destes modelos terem sido propostos nos anos 80 do século XX, só

depois da primeira metade dos anos 90 é que começaram a ser aplicados,

primeiramente numa perspectiva de avaliação das estruturas existentes e mais

recentemente, como modelo integrante dos modernos regulamentos de análise

sísmica de estruturas. Tal facto está ligado ao crescente desempenho dos

sistemas informáticos.

O primeiro passo consiste em passar os espectros de resposta elásticos,

expressos, normalmente, em aceleração absoluta (Sae), para o formato (AD)

aceleração absoluta (Sae) – deslocamento relativo (Sde), de acordo com a

expressão (5.44), como é apresentado na figura 5.13.

ae2

2

ae2de S4T

S1

Sπ

=ω

= (5.44)


- 75 -

Para um sistema inelástico de um grau de liberdade podemos considerar que

µ

=RS

S aea (5.45)

a2

2

ae2ded S4T

S1

RS

RS

πµ=

ω⋅µ=µ=

µµ

(5.46)

em que µ é o factor de ductilidade definido como a relação entre o máximo

deslocamento aquando do colapso (num ponto de controlo) e o deslocamento

a que corresponde a formação da primeira rótula plástica, e Rµ é um factor de

redução que tem em consideração a capacidade de dissipação de energia

(histerética) que caracterizam as estruturas dúcteis (não é o coeficiente de

comportamento).

FIGURA 5.13 – Exemplo de espectros de resposta inelásticos no formato AD.

Em seguida, recorre-se a uma análise não linear (plástica) incremental de

forma a ser definida a curva de capacidade resistente. Para tal é aplicado à


- 76 -

estrutura um padrão de forças, segundo os graus de liberdade dinâmicos, que

representam o conjunto de forças de inércia resultantes da acção de um sismo.

O aumento incremental das forças de inércia (que está associado a um

aumento da aceleração absoluta) vai conduzindo à formação sequencial de

rótulas plásticas na estrutura.

A característica da distribuição das forças de inércia tem um papel importante

nos resultados da análise. Por esse motivo existem várias propostas para

essas distribuições, designadamente proporcionais às massas ou

proporcionais ao resultado da configuração do modo fundamental de vibração

(ou mesmo com mais modos em consideração).

O desempenho sísmico de uma estrutura corresponde ao ponto em que a

curva de capacidade e o espectro de resposta inelástico se interceptam (figura

5.14).

FIGURA 5.14 – Curva de capacidade e espectro de resposta inelástico.

5.4. Limites à resposta sísmica das estruturas

As estruturas devem estar dimensionadas de modo a que não ocorra o colapso

para um sismo provável. Além disso, deve ser garantida a integridade física

dos ocupantes e limitados os danos em elementos não estruturais. Os

Ponto de desempenho sísmico

Primeira rótula plástica


- 77 -

regulamentos impõem limites às respostas sísmicas para atenderem a estes

requisitos. Para limitarem os efeitos da adopção de coeficientes de

comportamento demasiado elevados (o que pressupõe grande dissipação de

energia em regime inelástico, podendo acarretar elevados danos), os

regulamentos actuais estabelecem valores máximos para os deslocamentos

relativos entre pisos (minimizando os danos nos painéis de alvenaria).

5.5. Efeitos da torção em estruturas de edifícios

A existência de fenómenos de torção global das estruturas, e em particular nos

edifícios, são devidos, essencialmente, à existência de vibrações rotacionais

do movimento sísmico e à não coincidência do centro de massa (CM) com a

intersecção das linhas de acção das resultantes das forças de restituição.

As vibrações rotacionais do terreno de fundação resultam de fenómenos

associados à propagação das ondas sísmicas, assim como das derivadas

espaciais do movimento vibratório (razão porque estas vibrações atingem

amplitudes significativas do domínio das altas frequências). Atendendo a que

ainda não existe um número significativo de registos sísmicos destas

componentes do movimento sísmico, os regulamentos só consideram as

vibrações rotacionais de forma indirecta. Os efeitos da torção dos edifícios, em

consequência das vibrações rotacionais, podem ser equiparados aos efeitos

induzidos por uma excentricidade do centro de massa igual a ±5% da

dimensão do edifício, para uma dada direcção.

É de salientar que, mesmo o centro de massa coincidindo com a resultante das

forças de restituição, em regime elástico, pode não coincidir em regime

plástico, atendendo à variação aleatória das resistências dos elementos

estruturais e não estruturais. Desta forma, a resultante das forças de inércia

não coincide, instante a instante, com a resultante inelástica das forças de

restituição, pois a plastificação dos vários elementos não ocorre no mesmo

instante, no decorrer dos movimentos sísmicos.


- 78 -

As vibrações sísmicas resultam de uma ruptura tectónica segundo uma

direcção incerta. Dado que os edifícios não estão todos implantados segundo

a mesma direcção, o ângulo de incidência das ondas sísmicas não é o mesmo

para todos os edifícios. Os fenómenos de torção dos edifícios são agravados

quando esse ângulo de incidência corresponde a um determinado valor crítico.

Os fenómenos de torção global dos edifícios podem ser contabilizados com

base em modelos dinâmicos espaciais ou em modelos simplificados de análise

dinâmica plana.

É usual admitir-se que as massas são concentradas em determinados pontos,

e que são desprezáveis os momentos de inércia dessas massas. Em

determinados problemas, face às dimensões das massas, essa simplificação

não é aceitável.

Considere-se a estrutura da figura 5.15, sujeito a uma rotação no topo, em que

o elemento vertical só pode deformar por torção (EI GA EA= = = ∞ e GJ ≠ ∞ ).

θ(t)J

kθ

FIGURA 5.15 - Oscilador linear de um grau de liberdade sujeito a uma rotação no topo.

Tendo em conta que o sistema é conservativo, então a equação de movimento

pode ser obtida através do princípio da conservação da energia

( )ddt

E Eddt

J kC P t t+ = ⋅ + ⋅

=

12

12

02 2&( ) ( )θ θθ (5.47)

J k kt t t t t t⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ + ⋅ =& && & &&( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θ θ θ θ θ θθ θ0 0 J (5.48)


- 79 -

em que “J” é o momento polar de inércia da massa.

Da equação (5.48) é fácil concluir que as forças de inércia correspondem a

F t t( ) ( )&&= ⋅ J θ (5.49)

5.5.1. Modelos de análise plana

O recurso a modelos planos de análise dinâmica requer que se admitam os

pisos como sendo diafragmas indeformáveis no seu plano, e que se defina um

centro de rigidez (CR). O centro de rigidez corresponde ao ponto onde deve

actuar a resultante das forças, numa dada direcção, de modo a que o piso

sofra apenas um deslocamento de translação. Na realidade trata-se de um

abuso de linguagem, dado que isso só se verifica se induzirmos uma

translação num piso com todos os outros imóveis. Logo, esta definição só é

exacta para edifícios de um só piso.

Considere-se o edifício de um piso da figura 5.16, composto por um conjunto

de estruturas planas, com rigidez ki, segundo duas direcções ortogonais.

CRkyi

kxi

O

CM

xi

yi

ey

exRx

Ry

FIGURA 5.16 - Edifício composto por associações de estruturas planas ortogonais, com piso indeformável.


- 80 -

Se considerarmos a componente do sismo segundo a direcção x, induzindo

uma translação (∆x), então, do equilíbrio global no ponto O, teremos

( )F F kx x xi xi x= ⇔ = = ⋅∑ ∑ ∑0 R ∆ (5.50)

( ) ( )M y F y k yO x CR xi i xi x i= ⇔ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅∑ ∑ ∑0 R ∆ (5.51)

logo

( )

yk y

kCRxi i

xi=

⋅∑∑

(5.52)

e, do mesmo modo, teremos para a outra direcção

( )

xk x

kCRyi i

yi=

⋅∑

∑ (5.53)

Se o centro de massa (CM) não coincidir com o centro de rigidez (CR) irá

surgir um momento torçor (Mθ). Considerando a origem do referencial no

centro de rigidez (O ≡ CR), então, considerando uma translação segundo a

direcção x (∆x), teremos

M R e kx yθ θ θ= ⋅ = ⋅ (5.54)

logo

θθ

=⋅R e

kx y

(5.55)

De acordo com a figura 5.17, a rotação do piso origina os deslocamentos

δ θxi iy= ⋅ (5.56)

δ θyi ix= ⋅ (5.57)

O valor de kθ corresponde ao momento que induz uma rotação unitária (θ = 1),

logo

k θ ( ) ( )= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∑ ∑k y k xxi xi i yi yi iδ δ

( ) ( )= ⋅ + ⋅∑ ∑k y k xxi i yi i2 2 (5.58)

As forças Fxi a considerar em cada estrutura plana, resultam das componentes

de translação (∆x) e da rotação (θ), logo

F k kxi xi x xi xi= ⋅ + ⋅∆ δ (5.59)


- 81 -

Atendendo às equações anteriores, temos

( ) ( )Fk

kR

k y R e

k y k xxi

xi

xix

xi i x y

xi i yi i

= ⋅ +⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅∑ ∑ ∑2 2 (5.60)

Pondo em evidência a componente das forças resultantes da translação (que

se obtém da análise plana), vamos obter

Fk

kRxi xi

xi

xix= ⋅ ⋅

∑ξ (5.61)

com

( ) ( )ξ xixi i y

xi i yi i

k y e

k y k x= +

⋅ ⋅

⋅ + ⋅

∑

∑ ∑1

2 2 (5.62)

De forma análoga teremos

Fk

kRyi yi

yi

yiy= ⋅ ⋅

∑ξ (5.63)

com

( ) ( )ξ yiyi i x

xi i yi i

k x e

k y k x= +

⋅ ⋅

⋅ + ⋅

∑

∑ ∑1

2 2 (5.64)

CR ≡ O

δy

δx

θ

FIGURA 5.17 - Componente de rotação do edifício.

As forças associadas à translação do edifício são obtidas a partir de estruturas

correspondentes à associação de estruturas planas (vulgarmente designada


- 82 -

por associação em “comboio”), ligadas por bielas, axialmente indeformáveis,

ao nível dos pisos (figura 5.18). A essas estruturas aplica-se um dos métodos

de análise sísmica, descritos nos pontos anteriores. Os resultados das

análises são depois corrigidos, tendo em conta os efeitos da torção,

multiplicando esses resultados, pelos factores ξxi e ξyi, consoante a direcção

em análise.

y→

x→

y

x

FIGURA 5.18 - Exemplo de associação de pórticos em “comboio”.

Se desprezarmos a contribuição dos pórticos na direcção ortogonal à

componente da acção, no cálculo da rigidez de torção, teremos

( )ξxixi i y

xi i

k y e

k y= +

⋅ ⋅

⋅

∑

∑1

2 (5.65)

( )ξ yiyi i x

yi i

k x e

k x= +

⋅ ⋅

⋅

∑

∑1

2 (5.66)

O cálculo da rigidez da estrutura, ao nível do piso em análise, pode ser

determinado de diversas formas, de entre as quais se salientam as mais


- 83 -

usuais, como sejam a soma da rigidez dos elementos verticais (perdendo-se o

efeito de pórtico) ou determinando uma rigidez, por aplicação de uma força

unitária nesse piso, invertendo em seguida o valor do deslocamento

(flexibilidade) obtido nesse mesmo piso.

5.5.2. Modelos de análise espacial

Os modelos de análise espacial têm em conta o comportamento dinâmico de

uma estrutura tridimensional, sendo o sistema de equações de movimento

(3.46) estabelecido nesse contexto.

Dado o muito elevado número de graus de liberdade exigidos pelas análises

espaciais, é usual a sua redução a três graus de liberdade por piso (duas

translações e uma rotação do piso), como se apresenta na figura 5.19. Para

que essa redução se possa efectuar, é necessária a existência de um piso

rígido no seu plano.

⇒

FIGURA 5.19 - Redução do número de graus de liberdade em pisos rígidos no seu plano.

Dado que estamos a concentrar a massa do piso rígido num único ponto, o

momento de inércia da massa já não é desprezável no cálculo das forças de

inércia.


- 84 -

A matriz de massas vai depender da origem estabelecida para o referencial.

Dado um qualquer referencial, com origem em “O” (figura 5.20), obtemos, em

cada piso “p”, a seguinte expressão para a energia cinética

{ } [ ]{ }E d m d m v m v JCT

x x y y= = ⋅ + ⋅ + ⋅12

12

12

12

2 2 2& & &θ (5.67)

com velocidades iguais a

{ }&&

&

&

d

x

y=

θ

(5.68)

e

v x yx CM= − ⋅& &θ (5.69)

v y xy CM= + ⋅& &θ (5.70)

CM

yCM

θ

xCM

y

x

vy

vx

O

FIGURA 5.20 - Componentes da velocidade do centro de massa.

Desta forma, teremos

EC ( ) ( )= − ⋅ + + ⋅ + ⋅12

12

12

2 2 2m x y m y x Jx CM y CM& & & & &θ θ θ

{ }

θ

⋅

⋅⋅−

⋅

⋅−

⋅θ⋅=

θ&

&

&

&&& y

x

mxmym

xmm0

ym0m

y x21

CMyCMx

CMyy

CMxx

(5.71)


- 85 -

pelo que

[ ]m

m m y

m m x

m y m x m

px x CM

y y CM

x CM y CM

< > =− ⋅

⋅− ⋅ ⋅

0

0

θ

(5.72)

com

m J m y m xx CM y CMθ = + ⋅ + ⋅2 2 (5.73)

sendo “J” o momento polar de inércia da massa do piso, em relação ao centro

de massa. Para um piso constituído por um conjunto de massas mi,

uniformemente distribuídas numa área Ai, teremos as expressões seguintes:

m m mx y ii

= = ∑ (5.74)

( ) ( )( )Jm

AI A y y I A x xi

iGxi i Gi O Gyi i Gi O

i= + ⋅ − + + ⋅ −

∑

2 2 (5.75)

IGxi e IGyi são os momentos principais centrais de inércia da área Ai. Caso se

adopte um referencial com origem no centro de massa, teremos

x yCM CM= = 0 (5.76)

pelo que a matriz de massas se torna uma matriz diagonal, igual a

[ ]m

m

m

J

px

y< > =

0 0

0 0

0 0

(5.77)

sendo este o procedimento preferível de adoptar.

Para determinarmos a matriz de rigidez associada aos três graus de liberdade

do piso, podemos recorrer a uma transformação de coordenadas { } { }q d→ .

Considere-se o sistema de coordenadas local, em cada nó “i” do piso “p”,

como se apresenta na figura 5.21. A matriz de transformação será

[ ]T

y

xi

i

i =

−

1 0

0 1

0 0 1

(5.78)


- 86 -

A matriz de rigidez de cada elemento “i”, no sistema de coordenadas “q”,

corresponde a

[ ]k

k k

k k

kq i

xx xy

yx yy

i

=

0

0

0 0 θθ

(5.79)

com kxy = kyx.

⇒ i

yi

xi

y

x

qx

O

qθ qy Piso “p” Nó “i”

FIGURA 5.21 - Transformação de sistema de coordenadas { } { }q d→ .

O sistema de coordenadas “q” tem origem no ponto de aplicação da resultante

de forças que passam pelo centro de corte (não no centro de massa) dos

elementos estruturais do nó “i”.

A determinação da matriz de rigidez, associada aos três graus de liberdade de

cada piso, resulta do somatório

[ ] [ ] [ ] [ ]( )k T k T

k k k

k k k

k k k

p Tq

i

p< > < >= ⋅ ⋅ =

∑

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(5.80)


- 87 -

com

k k xx11 = ∑ (5.81)

k k k xy12 21= = ∑ (5.82)

( ) ( )k k k y k xxx i yx i13 31= = − ⋅ + ⋅∑ ∑

(5.83)

k k yy22 = ∑ (5.84)

( ) ( )k k k y k xxy i yy i23 32= = − ⋅ + ⋅∑ ∑

(5.85)

( ) ( ) ( )k k k y k x k x yxx i yy i xy i332 2 2= + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∑ ∑ ∑θθ

(5.86)

em que kx e ky correspondem à rigidez de translação e kθ é a rigidez de torção,

dos elementos estruturais associados aos graus de liberdade do piso.

As matrizes globais do edifício obtêm-se por assemblagem das matrizes de

cada piso.

É procedimento comum os programas de cálculo automático definirem um nó

principal, cujas coordenadas coincidem com o centro de massa, onde toda a

massa é concentrada (associada aos três graus de liberdade). Os graus de

liberdade, no plano do piso rígido, são tornados dependentes desse nó

principal a partir da transformação de coordenadas referida anteriormente.

Atendendo a que um edifício é sempre sujeito a três componentes de vibração

sísmica, qualquer que seja a direcção do epicentro do sismo em análise

(próximo ou distante), a resposta é obtida por combinação quadrática simples

das várias componentes (x, y e z), de acordo com a expressão (5.22). Em

alternativa, é possível que a resposta (E) relativa a duas componentes

ortogonais da acção dos sismos, seja obtida pela soma ponderada das

respostas segundo as direcções x e y (Ex e Ey), de acordo com as seguintes

expressões

E E Ex y= + ⋅0 3. (5.87)

E E Ex y= ⋅ +0 3. (5.88)


- 88 -

5.6. Selecção dos métodos e modelos de análise sísm ica de edifícios

A adopção de métodos simplificados de análise sísmica exige que a resposta

da estrutura seja previsível, o que pressupõe simplicidade de formas

arquitectónicas e da estrutura.

Se um edifício apresentar elevada regularidade em alçado, a resposta sísmica

é, essencialmente, resultante do 1º modo de vibração (modo fundamental),

sendo possível garantir a segurança com base nos métodos simplificados

apresentados no ponto 5.2.3. A existência de formas complexas e muito

irregulares em alçado (com existência de recuados), torna menos previsível o

comportamento sísmico das estruturas, sendo aconselhável a adopção da

análise modal, como foi apresentada no ponto 5.2.2. Além disso, o valor do

coeficiente de comportamento deve ser reduzido, pois podem surgir

mecanismos de colapso menos dissipativos, em resultado da irregularidade,

em alçado, das formas arquitectónicas e da estrutura (figura 5.22).

Concentração de tensões

Estrutura irregular Estrutura regular

FIGURA 5.22 – Exemplos do comportamento de edifícios regulares e irregulares em alçado.

A regularidade em planta tem uma grande influência no comportamento

sísmico de uma estrutura, tendo em conta os efeitos da torção da mesma. Se

um edifício for muito irregular em planta, somente uma análise modal com um

modelo tridimensional poderá garantir um dimensionamento seguro. Caso o

edifício apresente uma configuração arquitectónica regular em planta, uma


- 89 -

análise com um modelo plano será, em princípio, suficiente para garantir a

segurança.

Alguns exemplos de formas, em planta, com características de regularidade e

irregularidade, estão apresentados nas figuras 5.23 e 5.24.

É importante salientar que as características de regularidade envolvem não

somente as formas arquitectónicas, mas também a distribuição dos elementos

estruturais (e da rigidez) e não estruturais, assim como da massa.

FIGURA 5.23 - Algumas formas apresentando características de regularidade em planta.

FIGURA 5.24 - Algumas formas marcadamente irregulares em planta.

- 90 -

CAPÍTULO 6

COMPORTAMENTO SÍSMICO DE EDIFÍCIOS

6.1. Risco sísmico de edifícios

A maior parte das perdas resultantes da ocorrência de um sismo, quer de

ordem material quer do ponto de vista humano, devem-se ao mau

comportamento das estruturas existentes, nomeadamente dos edifícios. O

conhecimento actual do comportamento das estruturas permite a minimização

do risco sísmico das novas construções (maior fiabilidade, portanto), dado o

desenvolvimento dos métodos de análise e dimensionamento dos edifícios,

assim como das técnicas de construção sismo-resistente.

O mau desempenho dos edifícios afectados por sismos nos últimos anos está

associado, essencialmente, a algumas das seguintes causas:

• Falta de planeamento das cidades tendo em conta os fenómenos sísmicos;

• Utilização de solos inadequados para construção segura do ponto de vista

sísmico;

• Configurações arquitectónicas dos edifícios com pisos vazados;

• Não consideração dos efeitos da torção dos edifícios;

• Deficientes percursos das forças geradas até à fundação;

• Não consideração dos elementos classificados como “não estruturais” ou

como “não resistentes ao sismo”, no comportamento sísmico do conjunto;

• Existência de concepções com pilares fracos e vigas (pisos) fortes;

• Deficiente pormenorização dos elementos estruturais;

• Má qualidade dos materiais e deficiente qualificação da mão-de-obra, pouco

sensível a estes fenómenos;

• Deficiente correlação entre o edifício analisado e dimensionado e o edifício

realmente construído.


- 91 -

Por definição, risco sísmico é a probabilidade das consequências sobre a

sociedade e/ou economia, associada à ocorrência de um sismo, igualarem ou

excederem um valor especificado, numa determinada área (ou local), para um

dado período de tempo.

Quando se fala em risco sísmico de edifícios, estamos a assumir,

automaticamente, que uma construção apresenta um determinado

comportamento, ao qual está associado um nível de danos (estado limite), em

face da probabilidade de ocorrência de um sismo durante a sua vida útil, como

é ilustrado no quadro 6.1.

É socialmente aceitável, após a ocorrência de um sismo com grande potencial

de destruição, que o nível de danos em edifícios correntes seja moderado, de

modo a minimizar os custos de reconstrução, mas sem perda de vidas

humanas (o colapso é inaceitável). Nos edifícios que sejam sede de órgãos de

protecção civil, pretende-se que os danos sejam ligeiros, mantendo-se a total

operacionalidade da construção, instantes após o sismo. É neste contexto que

os modernos regulamentos definem um factor de importância γI, destinado ao

agravamento da acção sísmica a adoptar no dimensionamento de hospitais,

quartéis de bombeiros e outros edifícios de especial importância para a

protecção civil, de modo a melhorar a fiabilidade destes edifícios.

Do ponto de vista numérico, o risco sísmico de um edifício corresponde à

percentagem do número de sismos, que podem ocorrer durante a vida útil da

construção, com capacidade de fornecer energia ao edifício em valores

superiores à capacidade de dissipação do mesmo, para o nível de danos

estipulado.

O dimensionamento de um edifício pressupõe a aceitação de um valor, não

nulo, de risco sísmico, cujo valor dever ser igual em todas as zonas de um

país. Assim, podemos afirmar que não existem construções verdadeiramente

anti-sísmicas, mesmo que dimensionadas de acordo com os modernos

regulamentos, mas que esses edifícios apresentarão um desempenho

aceitável, tendo em conta o número e o potencial destrutivo dos sismos


- 92 -

(registados ou de que há memória histórica) que afectaram a região em

estudo. Desta forma, salvaguardam-se as vidas humanas e minimizam-se os

impactos na economia e na sociedade que elevados danos (e colapsos) iriam

provocar.

QUADRO 6.1 - Níveis de desempenho de edifícios face à ocorrência de sismos

Desempenho desejado

Sem danos e continuamente em serviço Sempre em serviço, desempenhando, após o sismo, as funções que lhe foram atribuídas inicialmente. Danos estruturais e não estruturais desprezáveis

Totalmente operacional

NEGLIGENCIÁVEL

Sem perdas de vidas

MODERADO

Operacional LIGEIRO

A maioria da funcionalidade pode ser reposta de imediato. Reparações serão necessárias para restaurar alguns serviços não essenciais. Danos ligeiros. A estrutura é segura para ocupação imediata após o sismo. A operacionalidade dos serviços essenciais está protegida, contrariamente a alguns não essenciais.

O colapso da estrutura é evitado. Alguns elementos não estruturais poderão cair. Danos estruturais severos, mas o colapso é evitado. Queda de elementos não estruturais.

Próximo do colapso

SEVERO

Colapso TOTAL

Partes do sistema estrutural atingem o colapso. O colapso da estrutura é completo.

Os danos são moderados. Alguns edifícios seleccionados podem estar protegidos de danos. As vidas humanas são protegidas na generalidade. A estrutura está danificada mas mantém-se estável.

DESEMPENHO DO EDIFÍCIO NÍVEL DE DANOS

Do ponto de vista formal, o risco sísmico, expresso em relação aos danos nos

edifícios, resulta da convolução da perigosidade sísmica (que é função do

local onde se situa o edifício, como foi apresentado no capítulo 4) pela

vulnerabilidade sísmica do edifício (dependente das características próprias de

cada edifício). Se desejamos igual risco sísmico, num país com diferentes

níveis de perigosidade sísmica, os edifícios terão que apresentar diferentes

vulnerabilidades sísmicas.


- 93 -

6.2. Vulnerabilidade sísmica de edifícios

A vulnerabilidade sísmica de um edifício representa a medida dos danos

relativos induzidos por um sismo (varia de 0, sem danos, a 1, colapso) e está

directamente relacionada com o comportamento sísmico do edifício.

Existem diversos factores condicionantes da resposta sísmica de um edifício,

logo, da vulnerabilidade sísmica do mesmo. Basicamente, podemos dividir

esses factores em dois grupos distintos: externos e internos.

6.2.1. Factores externos

Os factores externos que afectam a resposta dos edifícios são, muitas vezes,

negligenciados na concepção e dimensionamento dos mesmos. Uma das

causas do mau comportamento sísmico dos edifícios, prende-se com a sua

localização, nomeadamente em relação aos demais edifícios. Os efeitos locais

(geológicos, topográficos, a liquefacção, os deslizamentos de terras ou os

movimentos diferenciais provocados por falhas) são um factor perturbante do

desempenho do edifício e são independentes da construção em si. Deste

modo, dois edifícios iguais e localizados na mesma localidade, mas em pontos

distintos, podem apresentar comportamentos muito diferentes face à actuação

de um sismo.

Por outro lado, no cômputo da resposta sísmica de um edifício, para efeito de

dimensionamento, é corrente admitir-se que os edifícios estão isolados dos

adjacentes. Em edifícios construídos em banda contínua, a separação é

inexistente, ou muito reduzida, dado que as juntas são previstas para

atenderem ao comportamento térmico (juntas de dilatação da ordem dos 2 cm,

sendo vulgar apresentarem-se semi-preenchidas com detritos) e não ao

comportamento sísmico (juntas sísmicas). É hoje aceite que a dimensão da

junta sísmica não deve ser inferior ao maior deslocamento determinado para o

edifício, obtido por combinação dos deslocamentos modais (estes


- 94 -

deslocamentos não devem ser reduzidos com base no coeficiente de

comportamento pois este só afecta os esforços).

Para vibrações sísmicas de grandes amplitudes, os edifícios começam a

oscilar em oposição de fase, embatendo uns nos outros (“pounding”). O

impacto entre os edifícios (martelamento) provoca o aumento da aceleração

das massas, conduzindo, muitas vezes, ao colapso dos mesmos (figura 6.1).

FIGURA 6.1 - Danos causados pelo impacto entre edifícios.

Estudos realizados apontam para grandes amplificações, em termos de

deslocamentos e esforços, em resultado da existência deste fenómeno. Este

efeito é mais acentuado quando os edifícios apresentam diferentes alturas e

sistemas estruturais (logo diferentes flexibilidades), nos edifícios localizados

nas extremidades de bandas contínuas e nos edifícios de gaveto.

O choque entre edifícios construídos em banda contínua equipara-se ao

fenómeno verificado em sistemas de massas encostadas (figura 6.2). O

fenómeno inicia-se por as ondas sísmicas não passarem no mesmo instante

pelos edifícios da banda. Será agravado quando as frequências naturais de


- 95 -

vibração, dos vários edifícios da banda, não coincidirem, aumentando a

probabilidade de, num determinado instante, a resposta de dois edifícios

encostados se encontrar em oposição de fase, embatendo um no outro.

FIGURA 6.2 - Choque de massas encostadas.

Do ponto de vista dos elementos estruturais, o impacto entre edifícios

adjacentes é mais grave em construções edificadas em terrenos inclinados ou

com pavimentos desnivelados (a cotas distintas). Nestas circunstâncias, a laje

do piso induz uma força de corte no pilar do outro edifício, levando-o à rotura,

como se ilustra na figura 6.3.

FIGURA 6.3 - Agravamento do choque entre edifícios com pisos desnivelados.

6.2.2. Factores internos

Os factores internos que condicionam, de uma forma geral, a vulnerabilidade

sísmica de um edifício são: a concepção arquitectónica, a concepção da

estrutura, o modelo de análise adoptado, o dimensionamento e a


- 96 -

pormenorização dos elementos estruturais e o controlo da qualidade dos

materiais e da execução.

A forma arquitectónica do edifício tem um papel fundamental na resposta

sísmica da estrutura. Formas marcadamente irregulares em planta e alçado

apresentam deficientes respostas sísmicas. Dado que a definição da forma do

edifício é da responsabilidade do arquitecto, o engenheiro de estruturas só

pode controlar a vulnerabilidade sísmica com o recurso a adequados métodos

de análise e dimensionamento.

As formas irregulares em planta (ou com distribuição de massa irregular em

planta) acarretam problemas relacionados com a torção do edifício, sendo

problemática a existência de cantos reentrantes, dadas as concentrações de

tensões aí verificadas. É conveniente dividir complexas formas assimétricas e

pouco compactas, em simples formas simétricas e compactas

(designadamente de forma quadrangular) separadas por juntas sísmicas,

devidamente dimensionadas.

Por outro lado, uma deficiente concepção da estrutura em planta, não

apresentando uma distribuição de rigidez apropriada às formas

arquitectónicas, leva a um agravamento da vulnerabilidade sísmica do edifício.

As formas irregulares em alçado, nomeadamente, a existência de andares

recuados e distribuições de massa desapropriadas (existência de piscinas,

reservatórios e jardins elevados) potenciam o mau comportamento sísmico do

edifício.

A alteração da rigidez em altura, em resultado da mudança de secção dos

elementos verticais, do seu desaparecimento ou surgimento, da distribuição

descontínua de painéis de alvenaria não resistente (nomeadamente surgindo

pisos “vazados” e estruturas tipo pêndulo invertido), agrava o risco de

ocorrerem mecanismos de colapso pouco dissipativos de energia, com

formação de algumas rótulas plásticas em pilares, como se ilustra na figura

6.4.


- 97 -

Provavelmente, a maior percentagem de mortos associadas a colapsos

estruturais devem-se à existência de edifícios com pisos vazados que não são

contabilizados nas análises sísmicas, principalmente quando estão associados

a problemas relacionados com a torção. Por esse motivo, os arquitectos, os

primeiros responsáveis por esta característica existir, e os engenheiros

deveriam dar maior atenção ao problema. Para um projectista, a forma de

minimizar o mau desempenho sísmico dessas estruturas, é reduzir o valor do

coeficiente de comportamento a adoptar no dimensionamento dos pilares do

piso vazado (não superiores a 1.5, de preferência unitário), assim como

densificar as cintas nesses pilares (nos edifícios de betão armado).

FIGURA 6.4 - Mecanismos de colapso devidos à existência de pisos vazados (“soft storey”).

O colapso de um edifício ocorre quando a sua capacidade de dissipar energia

é inferior à que é fornecida pelas vibrações sísmicas. Não se trata de um

problema de equilíbrio de forças estáticas, pelo que todos os elementos

estruturais devem apresentar elevada ductilidade, de forma a dissiparem

energia por deformação plástica, sem ocorrência de roturas frágeis por corte.

Essa é uma condição essencial para que possamos adoptar coeficientes de

comportamento superiores à unidade, nas análises sísmicas lineares.


- 98 -

Um dos factores condicionantes da ductilidade de um edifício é a existência de

pilares curtos (pilares cujo comprimento deformável é muito pequeno, face à

dimensão da secção transversal). A existência de pilares curtos é, por vezes,

resultante da existência de painéis de alvenaria (resistente ou não resistente),

parcialmente preenchidos, que reduzem o comprimento deformável dos

pilares, como se apresenta na figura 6.5.

FIGURA 6.5 - Ruptura frágil de um pilar devido ao preenchimento parcial da estrutura.

É de prevenir, durante o dimensionamento, que roturas frágeis ocorram nos

pilares, pelo que devem ser dimensionados com base na real capacidade

resistente (“capacity design”), o que garante uma maior capacidade de

dissipação de energia.

O modelo estrutural adoptado para a análise da estrutura é um elemento

fundamental no controlo da resposta sísmica da mesma. O modelo deve

traduzir com o maior rigor possível o comportamento dinâmico da estrutura, de

modo a permitir um dimensionamento dos elementos estruturais eficaz na

redução de danos resultantes das vibrações sísmicas, impedindo o colapso.

De nada adianta a utilização de, aparentemente, modelos sofisticados

espaciais de análise sísmica, se o real comportamento sísmico do edifício não

for traduzido no modelo (designadamente se não forem consideradas todas as

componentes do sismo). Um engenheiro projectista deve ter a capacidade de

antever o comportamento sísmico do edifício de forma a acautelar a segurança


- 99 -

da estrutura, quer na definição do modelo estrutural, quer no dimensionamento

e pormenorização dos elementos estruturais.

Muitas vezes, são elementos considerados como não contribuindo para a

resposta da estrutura, que desencadeiam o colapso, como é ilustrado na figura

6.6, em que a existência de uma escada provocou a rotura do pilar.

FIGURA 6.6 - Ruptura de um pilar em consequência da existência de uma escada.

A não consideração, na análise da estrutura, da total dimensão dos pilares

com secções manifestamente maiores do que a média dos demais, deve ser

feita com muita precaução, dado o elevado risco de perda de ductilidade.

Esses pilares apresentam roturas por corte, principalmente quando as

vibrações sísmicas possuem características impulsivas nos instantes iniciais.

Mais problemático é a não consideração, de todo, de alguns pilares (pilares

secundários) cujo dimensionamento foi feito com base, unicamente, nas

acções gravíticas. Mesmo nesses casos, será necessário que os pilares

tenham capacidade para se deformarem sem que ocorram roturas frágeis por

corte, pelo que devem ser convenientemente cintados para que se formem

rótulas plásticas nas extremidades do pilar, tal como projectado (pois eles não

foram considerados na contabilização da resposta sísmica, ao invés dos

restantes pilares em que as rótulas se devem formar nas vigas a eles ligados).

O sistema estrutural a adoptar deve garantir um bom desempenho para o

edifício, face à ocorrência de um sismo. Para tal, devem ser concebidos


- 100 -

sistemas simples, cujo comportamento seja previsível, regulares e de elevada

redundância. São de evitar sistemas estruturais cujo comportamento sísmico

está pouco estudado, nomeadamente o recurso a sistemas de lajes

fungiformes, principalmente em edifícios altos. Caso se recorra a um sistema

deste tipo, é conveniente a existência de vigas no contorno do edifício e de

paredes ou núcleos resistentes.

Sempre que se adopte uma solução com paredes ou núcleos resistentes, deve

ser dada uma atenção especial à ligação desses elementos ao piso, de forma

a garantir um conveniente percurso das forças sísmicas até à fundação.

O controlo de qualidade da construção é muito importante na redução da

vulnerabilidade sísmica de um edifício. Pequenas falhas na fase de

construção, e sem consequências aparentes durante o funcionamento normal

do edifício, são amplificadas pelo comportamento dinâmico da estrutura,

quando sujeito a vibrações sísmicas, levando, muitas vezes, ao colapso.

Nos edifícios de betão armado, é importante atender à qualidade do betão. Por

todo o mundo esse tem sido um dos factores que levaram ao mau desempenho

das construções, designadamente face à utilização de misturas incorrectas de

inertes e cimento (muitos têm sido os colapsos em edifícios onde foram

identificadas roturas de pilares com betões de inertes de dimensões

excessivamente pequenas ou grandes). Também a pouca atenção que se dá,

em obra, às ligações (designadamente às emendas dos varões, principalmente

dos pilares) e ao confinamento do betão (sem uma adequada cintagem dos

pilares, principalmente nos nós de ligação), se traduz num agravamento da

vulnerabilidade sísmica de um edifício, mesmo tendo sido projectado para

resistir a grandes vibrações sísmicas.

É necessário não nos esquecer que a acção dos sismos não atende ao modelo

que foi considerado no projecto ou às normas regulamentares vigentes à altura

da construção, mas sim às reais condições de comportamento das

construções, à altura do evento sísmico, tendo em conta a natureza do solo


- 101 -

onde foram edificadas, os materiais utilizados na obra, assim como o processo

construtivo.

No contexto da sismicidade de Portugal continental, e atendendo aos

resultados da perigosidade sísmica para as diversas regiões do país, as

construções do Algarve devem apresentar menor vulnerabilidade sísmica do

que as construções do norte do país, para que apresentem igual valor de risco

sísmico. O risco sísmico dos edifícios do Algarve só será maior se as boas

práticas sismo-resistentes, aplicadas ao projecto e à construção, não forem

cumpridas.

Pilares curtos

Piso vazado

Impacto entre edifícios

FIGURA 6.7 – Exemplo de alguns factores que agravam o risco sísmico dos edifícios.

- 102 -

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