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Complementos de Matemática 1
COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
MÓDULO 1
• Séries de Fourier
• Equações Diferenciais com Derivadas Parciais
Complementos de Matemática 2
• Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) viveu na época de
Napoleão, para quem trabalhou na França e no Egipto ocupado
Complementos de Matemática 3
pelos franceses.
• Imortalizado pelas séries trigonométricas que introduziu em 1807.
• Fourier foi levado a desenvolver as (suas) séries ao estudar a
propagação de calor em corpos sólidos, admitindo que essa
propagação teria forma ondulatória e que a forma mais simples
de uma onda é uma função senoidal;
• Existe uma vasta classe de funções, periódicas, que podem ser
decompostas como soma (infinita) de senos e cossenos.
Complementos de Matemática 4
Complementos de Matemática 5
Definição
Seja f uma função real de variável real, periódica de período 2π.
Então, a expressão
a0 + a1 cos(x) + b1sen(x) + a2 cos(2x) + b2sen(2x) + ...
ou, sob a forma mais compacta
a0 +
+∞∑
k=1
(ak cos(kx) + bksen(kx)) . (1)
designa-se série de Fourier de f e os coeficientes a0, ak, e bk,
k = 1, 2, ..., coeficientes de Fourier de f , com
Complementos de Matemática 6
a0 =1
2π
∫ π
−π
f(x) dx
ak =1
π
∫ π
−π
f(x) cos(kx) dx
bk =1
π
∫ π
−π
f(x)sen(kx) dx
Complementos de Matemática 7
Função periódica
Seja f : R → R uma função. Diz-se que f é periódica de período
T 6= 0 se f(x + T ) = f(x), ∀x ∈ Df . Ao menor valor de T nestas
condições chama-se período fundamental ou simplesmente período.
Determinação dos coeficientes de Fourier de f
Suponhamos que a função f , periódica e de período 2π, pode ser
representada por uma série convergente para f(x), no intervalo
[−π, π], isto é, que
Complementos de Matemática 8
f(x) = a0 ++∞∑
k=1
(ak cos(kx) + bksen(kx)).
Determinar a0
Integrando ambos os membros∫ π
−π
f(x) dx =
∫ π
−π
(a0 +
+∞∑
k=1
(ak cos(kx) + bksen(kx))
)dx
∫ π
−π
f(x) dx =
∫ π
−π
a0 dx ++∞∑
k=1
(∫ π
−π
ak cos(kx) dx +
∫ π
−π
bksen(kx) dx
)
Complementos de Matemática 9
∫ π
−π
f(x) dx =
∫ π
−π
a0 dx +
∫ π
−π
a1 cos(x) dx +
∫ π
−π
b1sen(x) dx +∫ π
−π
a2 cos(2x) dx +
∫ π
−π
b2sen(2x) dx + ...
calculando cada um dos integrais do segundo membro
∫ π
−π
a0 dx = a0 × 2π
∫ π
−π
a1 cos(x) dx = a1 [sen(x)]π−π = 0
∫ π
−π
b1sen(x) dx = b1 [− cos(x)]π−π = 0
Complementos de Matemática 10
∫ π
−π
a2 cos(2x) dx = a2
[sen(2x)
2
]π
−π
= 0
∫ π
−π
b2sen(2x) dx = b2
[−
cos(2x)
2
]π
−π
= 0
...
assim,
∫ π
−π
f(x) dx = a0 × 2π + 0 + 0 + ... ⇒ a0 =1
2π
∫ π
−π
f(x) dx
Determinar a1
Multiplicando ambos os membros por cos(x) e depois integrando
Complementos de Matemática 11
ambos os membros∫ π
−π
f(x) cos(x) dx =∫ π
−π
a0 cos(x) dx +
∫ π
−π
a1 cos2(x) dx +
∫ π
−π
b1sen(x) cos(x) dx
+
∫ π
−π
a2 cos(2x) cos(x) dx +
∫ π
−π
b2sen(2x) cos(x) dx + ...
calculando cada um dos integrais do segundo membro
∫ π
−π
a0 cos(x) dx = a0 × 0 = 0
∫ π
−π
a1 cos2(x) dx = a1
[sen(x)
2+
x
2
]π
−π
= a1π
Complementos de Matemática 12
∫ π
−π
b1sen(x) cos(x) dx = 0
∫ π
−π
a2 cos(2x) cos(x) dx = 0
∫ π
−π
b2sen(2x) cos(x) dx = 0
...
assim,
∫ π
−π
f(x) cos(x) dx = a1π ⇒ a1 =1
π
∫ π
−π
f(x) cos(x) dx.
Complementos de Matemática 13
De modo análogo
b1 =1
π
∫ π
−π
f(x)sen(x) dx.
E, em geral,
ak =1
π
∫ π
−π
f(x) cos(kx) dx
bk =1
π
∫ π
−π
f(x)sen(kx) dx.
Conclusão , se f(x), f(x)sen(kx) e f(x) cos(kx) são integráveis
então os coeficientes de Fourier existem.
Complementos de Matemática 14
Função periódica de período 2L
Sendo f(x) uma função periódica, de período 2L e f(x) = f
(L
πt
)
então, a função f
(L
πt
)tem período 2π.
a0 =1
2π
∫ π
−π
f
(L
πt
)dt
ak =1
π
∫ π
−π
f
(L
πt
)cos(kt) dt
bk =1
π
∫ π
−π
f
(L
πt
)sen(kt) dt.
Complementos de Matemática 15
Como x =L
πt, t =
π
Lx e dt =
π
Ldx, vem
a0 =1
2L
∫ L
−L
f(x) dx
ak =1
L
∫ L
−L
f(x) coskπx
Ldx
bk =1
L
∫ L
−L
f(x)senkπx
Ldx
Assim, a série de Fourier de f(x) de período 2L é dada por
a0 ++∞∑
k=1
(ak cos
kπx
L+ bksen
kπx
L
). (2)
Complementos de Matemática 16
Condições de convergência de uma série de Fourier
Teorema
Supondo que f , é uma função periódica de período 2L e que f(x) e
f ′(x) são seccionalmente contínuas em ] − L, L[, então a série de
Fourier de f é convergente e a soma da série coincide com:
• f(x) se a função é contínua no ponto x;
•f(x+
0 ) + f(x−0 )
2, se x0 é um ponto de descontinuidade.
Complementos de Matemática 17
a b
aUma função é seccionalmente contínua num intervalo I, limitado, se:
• Tem um número finito de pontos de descontinuidade;
• Os limites laterais existem e são finitos;
• No intervalo de pontos de descontinuidade consecutivos, a função é contínua.
bf(x+
0 ) = limx→x
+
0
f(x) e f(x−
0 ) = limx→x
−
0
f(x)
Complementos de Matemática 18
Séries de Fourier de Funções Impares e Pares
Seja f uma função ímpar periódica de período 2L, então os
coeficientes de Fourier,
a0 = 0 ,
pois como f é ímpar,∫ L
−L
f(x) dx = 0
ak = 0 ,
porque f(x) coskπx
Lé ímpar.
Complementos de Matemática 19
bk =2
L
∫ L
0f(x)sen
kπx
Ldx ,
porque f(x)senkπx
Lé par.
Neste caso, quando f é ímpar e periódica de período 2L,
f(x) =
+∞∑
k=1
bk senkπx
L(3)
Complementos de Matemática 20
Seja f uma função par periódica de período 2L, então os
coeficientes de Fourier,
a0 =1
L
∫ L
0f(x) dx ,
pois como f é par,∫ L
−L
f(x) dx = 2
∫ L
0f(x) dx
ak =2
L
∫ L
0f(x) cos
kπx
Ldx ,
porque f(x) coskπx
Lé par.
Complementos de Matemática 21
bk = 0 ,
porque f(x) senkπx
Lé ímpar.
Neste caso, quando f é par e periódica de período 2L,
f(x) =a0
2+
+∞∑
k=1
ak coskπx
L. (4)
Complementos de Matemática 22
Desenvolvimento em série de Fourier de funçõesnão periódicas
Seja f : [a, b] uma função seccionalmente diferenciável. Considere-se
uma função f̃ , periódica de período 2L, com 2L ≥ |b − a| e
seccionalmente diferenciável tal que f̃(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].
Desenvolvendo em série de Fourier a função f̃ , temos
a0 ++∞∑
k=1
(ak cos
kπx
L+ bk sen
kπx
L
)=
1
2[f̃(x+) + f̃(x−)]
=1
2[f(x+) + f(x−)]
, em
todos os pontos de x ∈ [a, b]
(f̃ diz-se um prolongamento de f ).
Complementos de Matemática 23
Um caso particular importante, quando f [0, L] → R, de entre os
inúmeros prolongamentos, pode-se escolher um prolongamento por
uma função ímpar ou por par.
Exemplo:
f1 é um prolongamento por uma função par e f2 por uma função
ímpar.
Desenvolvendo f1 em série de Fourier, teríamos uma série de
cosenos e f2 uma série de senos.
