6
Lista de Exercícios para Treinamento - 008 1 Complexos, Polinômios e Trigonometria 01. (UNICAMP-SP) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala. Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de: 01) 3,8.tg(15°) km. 02) 3,8.sen(15°) km. 03) 3,8.cos(15°) km. 04) 3,8.sec(15°) km. 05) 3,8.cotg(15°) km. 02. (UESB) Considerando-se que os números reais x e y satisfazem à equação 3x + (y + 2)i = 5y 4 + 7i, pode-se concluir que: 01) x y = 1. 02) 3x 5y = 4. 03) x.y = 35. 04) = 7 2 . 05) 2 = 16. 03. (AFA) As raízes da equação 2x 3 − ax 2 + bx + 54 = 0 formam uma progressão geométrica. Se a, b R, b 0, então é igual a: 01) -1/3. 02) 3. 03) -3/2. 04) 2/3. 05) 5. 04. (IFBA) Considerando-se o polinômio P(x) = x 3 + 8, no universo dos números complexos, uma de suas raízes é: 01) 2. 02) −1 + √3 . 03) −1 − √3 . 04) 1 + √3 . 05) √3 + . 05. (UNEB) A figura mostra um instrumento utilizado para medir o diâmetro de pequenos cilindros. Ele consiste em um bloco metálico que tem uma fenda com o perfil em forma de V, contendo uma escala. O cilindro é colocado na fenda e a medida de seu diâmetro, em centímetros, é o número que, na escala, corresponde ao ponto de tangência entre o cilindro e o segmento AB. Nessas condições, ao construir a escala de um instrumento desses, o número 2 corresponde a um determinado ponto do segmento AB. Sendo d a distância desse ponto ao ponto A, pode-se afirmar que o valor de d, em cm, é: 01) 1+ 1− . 02) 1− 1+ . 03) 1− 1+ . 04) 1+ 1− . 05) 1− 1+ . 06. (UEFS) Considerem-se, no plano complexo representado na figura, os pontos P, Q e R pertencentes a uma circunferência de centro na origem. Sendo P o afixo de =2− 3 2 e QR, um arco medindo 5 12 u.c., pode-se afirmar que o ponto R é afixo do número complexo que pode ser representado, algebricamente, por: 01) 5 4 ∙ (−1 + √3 ). 02) 5√2 4 ∙ (−1 + √3 ). 03) 5 4 ∙ (−√3 + ). 04) 7 4 ∙ (−√3 + ). 05) 5√2 4 ∙ (−1 + ). www.marcioqueirozmat.com.br

Complexos, Polinômios e Trigonometriamarcioqueirozmat.com.br/arquivos/le/08_le_m2q.pdf · Lista de Exercícios para Treinamento - 008 1 Complexos, Polinômios e Trigonometria um

  • Upload
    lamdiep

  • View
    251

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Complexos, Polinômios e Trigonometriamarcioqueirozmat.com.br/arquivos/le/08_le_m2q.pdf · Lista de Exercícios para Treinamento - 008 1 Complexos, Polinômios e Trigonometria um

Lista de Exercícios para Treinamento - 008 1

Complexos, Polinômios e Trigonometria 01. (UNICAMP-SP) Ao decolar, um avião deixa o solo com um

ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.

Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de:

01) 3,8.tg(15°) km.

02) 3,8.sen(15°) km.

03) 3,8.cos(15°) km.

04) 3,8.sec(15°) km.

05) 3,8.cotg(15°) km.

02. (UESB) Considerando-se que os números reais x e y

satisfazem à equação 3x + (y + 2)i = 5y – 4 + 7i, pode-se concluir que:

01) x – y = 1.

02) 3x – 5y = 4.

03) x.y = 35.

04) 𝑥

𝑦=

7

2.

05) 𝑥2 = 16.

03. (AFA) As raízes da equação 2x3 − ax2 + bx + 54 = 0

formam uma progressão geométrica. Se a, b R, b 0,

então 𝑎

𝑏 é igual a:

01) -1/3.

02) 3.

03) -3/2.

04) 2/3.

05) 5.

04. (IFBA) Considerando-se o polinômio P(x) = x3 + 8, no

universo dos números complexos, uma de suas raízes é:

01) 2.

02) −1 + √3 ∙ 𝑖.

03) −1 − √3 ∙ 𝑖.

04) 1 + √3 ∙ 𝑖.

05) √3 + 𝑖.

05. (UNEB) A figura mostra um instrumento utilizado para medir o diâmetro de pequenos cilindros. Ele consiste em um bloco metálico que tem uma fenda com o perfil em forma de V, contendo uma escala. O cilindro é colocado na fenda e a medida de seu diâmetro, em centímetros, é o número que, na escala, corresponde ao ponto de tangência entre o cilindro e o segmento AB. Nessas condições, ao construir a escala de um instrumento desses, o número 2 corresponde a um determinado ponto do segmento AB. Sendo d a distância desse ponto ao ponto A, pode-se afirmar que o valor de d, em cm, é:

01) √1+𝑐𝑜𝑠𝜃

1−𝑐𝑜𝑠𝜃.

02) √1−𝑐𝑜𝑠𝜃

1+𝑐𝑜𝑠𝜃.

03) √1−𝑠𝑒𝑛𝜃

1+𝑐𝑜𝑠𝜃.

04) √1+𝑠𝑒𝑛𝜃

1−𝑠𝑒𝑛𝜃.

05) √1−𝑠𝑒𝑛𝜃

1+𝑠𝑒𝑛𝜃.

06. (UEFS) Considerem-se, no plano complexo representado

na figura, os pontos P, Q e R pertencentes a uma circunferência de centro na origem. Sendo P o afixo de

𝑧 = 2 −3

2𝑖 e QR, um arco medindo

5𝜋

12 u.c., pode-se afirmar

que o ponto R é afixo do número complexo que pode ser representado, algebricamente, por:

01) 5

4∙ (−1 + 𝑖√3).

02) 5√2

4∙ (−1 + 𝑖√3).

03) 5

4∙ (−√3 + 𝑖).

04) 7

4∙ (−√3 + 𝑖).

05) 5√2

4∙ (−1 + 𝑖).

www.marcioqueirozm

at.com.br

Page 2: Complexos, Polinômios e Trigonometriamarcioqueirozmat.com.br/arquivos/le/08_le_m2q.pdf · Lista de Exercícios para Treinamento - 008 1 Complexos, Polinômios e Trigonometria um

Lista de Exercícios para Treinamento - 008 2

07. (UEFS) O número complexo 1 + i é raiz do polinômio

P(x) = x4 + 3x3 + px2 − 2x + q, com p,q R. Então, a soma das raízes reais de P(x) é:

01) -5.

02) -3.

03) 2.

04) 3.

05) 5.

08. (UEFS) Se os arcos , e , nessa ordem, formam uma

progressão aritmética, então a expressão 𝑠𝑒𝑛𝛼+𝑠𝑒𝑛𝛽+𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝜃 é

equivalente a:

01) tg.

02) tg.

03) tg.

04) tg( + ).

05) tg( + + ).

09. (UEFS) As telhas onduladas de amianto, bastante

populares, vêm tendo seu uso proibido em diversos municípios brasileiros, por ser um material cancerígeno e por também poder causar doenças respiratórias. Para substituí-las, podem ser usadas as chamadas ecotelhas (telhas onduladas produzidas a partir da reciclagem de material plástico, como, por exemplo, aparas de tubos de creme dental). As ecotelhas têm elevada resistência mecânica, bem como à ação dos raios ultravioleta e infravermelho, além de serem econômicas, são 100% impermeáveis. Supondo-se que a curva representativa de uma secção transversal de uma telha ondulada, como a da figura, seja definida por parte da função real

𝑓(𝑥) = 1 − 2. 𝑠𝑒𝑛 (𝑥

2−

5𝜋

3), é correto afirmar que o conjunto

imagem e o período de f(x) são, respectivamente:

01) [-1, 3] e 4.

02) [-3, 1] e 4.

03) [-1, 3] e 3.

04) [-1, 1] e 2.

05) [-3, 3] e 2.

10. (IFBA) A divisão de um polinômio P(x) por x2 – x resulta no

quociente 6x2 + 5x + 3 e resto -7x. O resto da divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a:

01) 1.

02) 2.

03) 3.

04) 4.

05) 5.

11. (UESB) Sejam 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒂. 𝒙𝟐 + (𝟑𝒂 + 𝒃). 𝒙 − 𝟑𝒃 e

𝑸(𝒙) = 𝟓𝒙𝟑 + (𝒂 + 𝟐𝒃). 𝒙 + 𝟐𝒂 polinômios divisíveis por (x + 1), pode-se afirmar que o resto da divisão de Q(x) por (x + b) é:

01) 15. 02) 12. 03) 8. 04) 3. 05) -4.

12. (UESB) Considerando-se que 1

2∙ [𝑠𝑒𝑛

𝑎

2∙ 𝑐𝑜𝑠

𝑎

2] = 𝑏, pode-

se afirmar que b pertence ao conjunto:

01) ]-, -1]. 02) ]-1, -1/4[. 03) [-1/4, 1/4]. 04) ]1/4, 1[.

05) [1, +[. 13. (EBMSP) A conscientização da importância da atividade

física para a manutenção e promoção da qualidade de vida tem incentivado a população à procura dessa prática. A ioga, por exemplo, já é aceita pela medicina ocidental como mais uma opção de terapia complementar no tratamento de várias doenças. A meditação, exercícios de respiração profunda e posturas corporais, realizados com movimentos suaves e alongados, trazem bem estar e relaxamento. A figura 1 ilustra a postura denominada “Triângulo”, a cuja prática se atribui melhora no equilíbrio físico e emocional, benefícios aos músculos laterais do tronco e fortalecimento da cintura, dentre outros. Tal postura, remete à composição da figura 2, em que:

• 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . • O raio AD do setor circular CAD mede 0,8u.c. e é

perpendicular ao segmento AB.

• O arco DC mede 𝜋

15 u.c.

Nessas condições, pode-se afirmar que a altura do triângulo ABC relativa à base AB é, em unidades de comprimento, igual a:

01) √2 + √6

5.

02) 2 + √6

5.

03) √2 + 3

5.

04) √3 + √6

6

05) √3 + √2

8

www.marcioqueirozm

at.com.br

Page 3: Complexos, Polinômios e Trigonometriamarcioqueirozmat.com.br/arquivos/le/08_le_m2q.pdf · Lista de Exercícios para Treinamento - 008 1 Complexos, Polinômios e Trigonometria um

Lista de Exercícios para Treinamento - 008 3

14. (UNEB) Se um avião decola, formando um ângulo de 60º com a horizontal e viaja em linha reta a uma velocidade de 400 km/h, então, após meia hora de voo, a altitude desse avião é de:

01) 100√3 𝑘𝑚.

02) 90√3 𝑘𝑚.

03) 75√3 𝑘𝑚.

04) 60√3 𝑘𝑚.

05) 50√3 𝑘𝑚.

15. (UNEB) Novos equipamentos podem preparar aeroportos

em dias de nevoeiros. Uma solução são os sistemas de satélite que podem orientar os pilotos a pousar com segurança, mesmo em dias de forte neblina. [...]Em São Paulo, Congonhas já começou a ter problemas devido ao mau tempo. É típico dessa época do ano. No aeroporto mais movimentado do país, é impossível pousar quando a visibilidade fica abaixo de 800m, o mínimo necessário para operar com os instrumentos de navegação instalados. O sistema de pouso usado no Brasil funciona como o rádio de carro. O transmissor fica na pista e o receptor na cabine. As ondas de radiofrequência indicam i posicionamento exato do avião e o melhor ângulo para um pouso perfeito. Mas em Congonhas e na maioria dos aeroportos do país, o sistema só funciona quando a neblina é fraca. O piloto precisa avistar a pista quando chega a 800m de altura.

Suponha que um piloto, voando em um pequeno avião, durante um dia com pouca neblina, só conseguisse avistar o aeroporto de Congonhas na altura mínima necessária para operar com os instrumentos de navegação e que, nesse exato instante, o piloto iniciasse o procedimento de descida de modo tal que o ângulo formado pela horizontal e pela sua trajetória fosse de 20º. Considerando-se sen10o = 0,17, é correto afirmar que a distância, em km, que o avião deverá percorrer até o pouso será, aproximadamente, igual a:

01) 2,40.

02) 2,64.

03) 2,93.

04) 3,16.

05) 3,41.

16. (UESC) Se 0 e 0 /2 e sen + cos = 2,

então sen( + ) é igual a:

01) sen(/3).

02) sen(3/2).

03) cos(2/3).

04) tg(/6).

05) tg(/4).

17. (UEFS) O número complexo z que satisfaz z8 = 16 e

1 + z + z2 + z3 + ... + z7 = − 6 − 3i é:

01) z = i√2.

02) z = − 1 − i.

03) z = − 1 + i.

04) z = 1 − i.

05) z = 1 + i.

Questões 18 e 19:

Para fazer um estudo sobre certo polinômio P(x), um estudante recorreu ao gráfico da função polinomial y = P(x), gerado por um software matemático. Na figura, é possível visualizar-se a parte da curva obtida para valores de x, de − 5 até 2,7.

18. (UESC) Sendo o polinômio P(x), de grau quatro e divisível

por Q(x) = x − 3, o resto de sua divisão por D(x) = x – 5 é:

01) − 60.

02) − 56.

03) − 40.

04) − 34.

05) − 22.

www.marcioqueirozm

at.com.br

Page 4: Complexos, Polinômios e Trigonometriamarcioqueirozmat.com.br/arquivos/le/08_le_m2q.pdf · Lista de Exercícios para Treinamento - 008 1 Complexos, Polinômios e Trigonometria um

Lista de Exercícios para Treinamento - 008 4

19. (UESC) O número de raízes da equação |P(x)| = 1, no intervalo [−5, 2,7], é igual a:

01) 2.

02) 3.

03) 4.

04) 5.

05) 6.

20. (UEFS) As raízes de P(x) = x3 − 14x2 + 63x − 90 são

medidas dos lados de um triângulo. Nessas condições, a área desse triângulo, em u.a, é igual a:

01) 62 .

02) 10 .

03) 102 .

04) 14 .

05) 142 .

21. (UEFS) Sendo i

iz

21

5

−= , considere o número complexo w

com módulo igual ao de z e argumento principal medindo o dobro do argumento principal de z. Nessas condições, w pode ser representado algebricamente por:

01) )43(5

5i− .

02) )43(5

1i+− .

03) i43+ .

04) )24(5 i+− .

05) )24(5 i− .

22. (UEFS) Os números reais x1, x2 e x3 são os três primeiros

termos de uma Progressão Aritmética crescente e também

são raízes do polinômio 3.)( 23 +++−= xxkxxP , onde

1111

323121

−=

+

+ xxxxxx

. O vigésimo termo dessa

progressão é:

01) 16.

02) 22.

03) 35.

04) 37.

05) 41.

23. (UNEB) Sabendo-se que o número complexo z verifica a equação i.z + 2z + 1 – i = 0, pode-se afirmar que o valor de 5.|z| é igual a:

01) 1.

02) 10 .

03) 3 .

04) 2.

05) 3.

24. (UNEB) Considerando-se mxsenx =+ cos , m > 0 e

4cos

nxsenx = , pode-se afirmar que o valor de 2m – n é

igual a:

01) 2.

02) 1.

03) 0.

04) -2.

05) -3.

25. (UNEB) Se 3

=arcsenx , então ).2cos( arcsenx é igual a:

01) 1.

02) 0.

03) 31− .

04) -1/2.

05) 4

31−.

26. (UEFS) A sequência (zn) é uma progressão geométrica

cujo primeiro termo e razão são, respectivamente iguais a z1 = 1 – i e q = i. Nessas condições, pode-se concluir que

5

3

z

z é igual a:

01) -1.

02) -i.

03) 1.

04) i.

05) 1 + i.

www.marcioqueirozm

at.com.br

Page 5: Complexos, Polinômios e Trigonometriamarcioqueirozmat.com.br/arquivos/le/08_le_m2q.pdf · Lista de Exercícios para Treinamento - 008 1 Complexos, Polinômios e Trigonometria um

Lista de Exercícios para Treinamento - 008 5

27. (UEFS) Os afixos dos números complexos:

• oo isen4545cos + .

• oo isen135135cos + .

• oo isen270270cos + são, no plano de Argand-Gauss:

01) Pontos colinares.

02) Vértices de um triângulo eqüilátero.

03) Vértices de um triângulo retângulo.

04) Pontos de uma circunferência com centro na origem e raio 1.

05) Pontos de uma circunferência com centro na origem e

raio 2 .

28. (UEFS) A soma e o produto das raízes do polinômio

P(x) = 2x2 + bx + c são, respectivamente, -6 e 5. Assim, o valor mínimo que P(x) pode assumir pertence ao conjunto:

01) {-6, -4, -1}.

02) {-5, -3, 0}.

03) {-8, 1, 6}.

04) {2, 4, 5}.

05) {3, 7, 8}.

29. (AFA) Considerando os números complexos z1 e z2, tais

que:

• z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante.

• z2 é raiz da equação x4 + x2 – 12 = 0 e Im(z2) > 0.

Pode-se afirmar que |z1 + z2| é igual a:

01) 3 + √3.

02) 2√3.

03) 1 + 2√2.

04) 2 + 2√2.

05) 3 − √5.

30. (EBMSP) Sendo um número complexo

z = (a2 – 25) + (a – 5)i, com a ∈ R; a condição suficiente para que z seja um número imaginário puro é:

01) a = 5.

02) a = ± 5.

03) a = -5.

04) a ≠ ± 5.

05) a ≠ 0.

31. (EBMSP) Se o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 – 5x3 – kx – 65 por D(x) = x – 5 é 10, então o valor de k é:

01) -15.

02) -25.

03) -5.

04) 0.

05) 10.

32. (EBMSP) A menor raiz real positiva da equação

1cos

cos=

senxx

xsenx é:

01) 0.

02) 30º.

03) 45º.

04) 90º.

05) 120º.

33. (UNEB) Os afixos dos números complexos z1 = -2i, z2 e z3

são equidistantes do ponto P(0, 0) e são vértices de um triângulo eqüilátero. Nessas condições, pode-se concluir que z2.z3 é igual a:

01) 1 – i.

02) 1 + i.

03) i3+ .

04) um imaginário puro.

05) um número real.

34. (UEFS) Sendo W = 3i, pode-se afirmar que

Z = W2 – 2i.W + 1 + i é um número complexo, cujo módulo é igual a:

01) 2 .

02) 3 .

03) 2.

04) 5 .

05) 3.

35. (UEFS) O resto da divisão do polinômio P(x) = x9 + x pelo

polinômio Q(x) = x2 – 1 é:

01) -x + 1.

02) 2x + 1.

03) 0.

04) -x.

05) 2x.

www.marcioqueirozm

at.com.br

Page 6: Complexos, Polinômios e Trigonometriamarcioqueirozmat.com.br/arquivos/le/08_le_m2q.pdf · Lista de Exercícios para Treinamento - 008 1 Complexos, Polinômios e Trigonometria um

Lista de Exercícios para Treinamento - 008 6

36. (EBMSP) Sendo i a unidade imaginária e z um número

complexo tal que 2)3i1(z += , então o argumento de z

é:

01) 30º.

02) 60º.

03) 120º.

04) 150º.

05) 210º.

37. (UEFS) Se x é um ângulo do segundo quadrante que

satisfaz a equação 6. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2− 𝑥) = 4 + 2. cos (−𝑥),

então cosx é igual a:

01) -2/3.

02) -3/5.

03) -1/2.

04) 1/2.

05) 3/4.

38. (UEFS) O argumento principal e o módulo do número

complexo z, são, respectivamente, iguais a

3OA e 6

=

= . Sendo z uma das raízes do polinômio

P(x) = 2x3 – 5x2 + mx – n, m e n constantes, pode-se afirmar que o valor da única raiz real de P(x) = 0 é:

01) -2.

02) -1/2.

03) 3/2.

04) 2.

05) 5/2.

39. (UEFS) Com relação aos números complexos z1 e z2, tais

que z1 + i.z2 = 3 e z2 + i.z1 = 2 + i, é correto afirmar:

01) Re(z1) = 2. Re(z2).

02) Re(z1 – z2) = 0.

03) 21 zz = .

04) |z1| = |z2|.

05) z2 R.

40. (UEFS) O polinômio p(x) = x3 + r.x2 – s.x − t, no qual r, s

e t são constantes estritamente positivas, tem uma raiz dupla e é divisível por q(x) = x + 2. Nessas condições, é correto afirmar que:

01) 1 < r < 3.

02) r > 3.

03) s > 12.

04) 0 < t < 4.

05) 4 < t < 16.

GABARITO

(TRIGONOMETRIA, NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS) 01) 01 02) 03 03) 01 04) 04 05) 01

06) 01 07) 01 08) 02 09) 01 10) 05

11) 02 12) 03 13) 01 14) 01 15) 01

16) 05 17) 03 18) 02 19) 04 20) 05

21) 01 22) 03 23) 02 24) 01 25) 04

26) 04 27) 04 28) 03 29) 02 30) 03

31) 01 32) 04 33) 05 34) 04 35) 05

36) 03 37) 01 38) 02 39) 01 40) 05

www.marcioqueirozm

at.com.br