Componente de Física - profs.ccems.ptprofs.ccems.pt/PauloPortugal/CFQ/SAFQA11/sa9.pdf · onde se vem, definidas algumas regras do movimento. Mas também garante uma viagem ao passado,

Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaridade Componente de Física

Paulo José Santos Carriço Portugal Página 1 de 18

Componente de Física

Unidade 1 – Movimentos na Terra e no Espaço “(…)um problema fundamental, e por milhares de anos completamente obscurecido

pelas suas próprias complicações, é o do movimento. Todos os movimentos observáveis

na natureza são na realidade muito complicados. Para compreendê-los temos de

começar pelos casos mais simples e gradualmente irmos subindo.(…)” in A Evolução da Física, de Albert Einstein e Leopold Infeld

O movimento. Viajar no espaço e no tempo.

A cinemática permite escrever a história do futuro. Saber para onde se vai, sabendo de

onde se vem, definidas algumas regras do movimento. Mas também garante uma

viagem ao passado, descobrindo-o, ligando o passado e o presente pela trajectória que é

possível reconstruir através das regras matemáticas destes movimentos, no tempo e no

espaço, que passa e nos ultrapassa, acelera e desacelera, roda, tira e põe os objectos em

cada instante no seu lugar. F. Carvalho Rodrigues

1.1 Viagens com GPS 1.1.1 Funcionamento e aplicações do GPS

O termo GPS aparece no nosso vocabulário associado a um dispositivo capaz de dar a

nossa posição exacta esteja ela onde estiver, ou indicar uma determinada rota a seguir

para chegar a um determinado destino.

O GPS (Global Positioning System) foi desenvolvido nos EUA (a Europa está

actualmente a desenvolver um sistema concorrente, o Galileo) e é um sistema

tecnológico que recorre a uma rede de satélites com computadores e relógios atómicos a

bordo.

O sistema GPS permite determinar as coordenadas de posição de um ponto em qualquer

zona do mundo, e com uma margem muito pequena de erro, sendo constituído por 3

segmentos:



• Segmento espacial

o Rede de satélites (pelo menos 24), a uma distância de 20180 km da

superfície terrestre, os quais emitem sinais, demorando cada satélite 12 h

a dar uma volta completa à Terra

• Segmento de controlo

o Rede de 5 estações de rastreio, 3 antenas terrestres e 1 central de controlo

(MCS), em Colorado Springs, Schriever AFB, onde a órbita de cada

satélite é constantemente monitorizada, podendo cada satélite receber

instruções para corrigir a sua órbita, por causa das atracções

gravitacionais do Sol e da Lua, bem como do efeito da pressão da

radiação solar

• Segmento de utilizadores

o Utilização dos receptores, que recebem os sinais de microondas (1000 a

2000 MHz de frequência) emitidos por pelo menos 4 satélites, fazendo a

conversão dos dados fornecidos em coordenadas de posição, valores de

velocidade e cronometragem do tempo

Como funciona um receptor GPS?

Um receptor GPS recebe sinais provenientes de satélites que cobrem a superfície

terrestre e cuja posição em cada instante é conhecida com exactidão.

Os sinais, na banda das microondas, são característicos de cada satélite e o receptor

identifica o satélite que emitiu o sinal e faz uma comparação com registos de memória,

estabelecendo a sua localização exacta.

Os telemóveis também captam e enviam sinais na banda das microondas mas recorrem

a uma rede de antenas terrestres, designando-se a área coberta por cada antena de célula

e daí a designação de telefone celular.

Os satélites da rede GPS enviam os seus sinais em instantes precisos, os quais se

propagam à velocidade da luz )100,3( 18 −×≈ smc , o que implica um certo tempo que

medeia o instante em que o sinal é emitido pelo satélite e o instante em que é recebido

pelo receptor. Este tempo permite determinar a distância entre o satélite e o receptor.



Convém aqui relembrar alguns conceitos.

A velocidade escalar média é o quociente entre o deslocamento escalar e o tempo

gasto para o efectuar, txvm ∆

∆= , em que o deslocamento escalar, x∆ , é a diferença entre

as coordenadas final e inicial da posição. (Não confundir com rapidez média, quociente

entre o espaço percorrido e o tempo gasto, t

srm ∆= ).

Quando o movimento se dá na mesma direcção, sentido e com a mesma rapidez, o

valor da velocidade é dado por t

dvm ∆= .

Vamos analisar a situação seguinte, tratada a duas dimensões, em que o receptor está

situado num ponto P e que o satélite está a emitir a partir do ponto A, como mostra

a figura seguinte.

Após recepção do sinal proveniente de A, o

receptor em P, a partir do tempo que o sinal

demorou de A até P, vai calcular a distância

Ad .

Este valor não é suficiente para localizar o

ponto P, uma vez que P pode ser qualquer

ponto pertença da circunferência centrada

em A e de raio Ad .

Há que recorrer à posição de outro satélite B.

A posição de outro satélite emissor, B, é conhecida com exactidão e o sinal que emite é

captado pelo receptor em P, o que permite determinar a distância Bd , como mostra a

figura seguinte.



A posição do receptor P está então, agora,

determinada pela intersecção das

circunferências de raio Ad e Bd , dado que

também está sobre a circunferência

centrada em B.

Mas as duas circunferências têm dois

pontos de intersecção. Será necessária a

acção de outro satélite C.

É feita uma nova medição da distância,

agora relativamente a C, cuja posição é

também conhecida, tal que essa distância

Cd permite concluir que o receptor está

sobre a circunferência centrada em C, a

qual intersecta as outras duas.

Deste modo o ponto P fica localizado com

a utilização de 3 emissores.

A situação real, situação tridimensional, é semelhante à apresentada atrás só que as

circunferências dão lugar a esferas, estando o ponto P situado na intersecção das

superfícies de 3 esferas centradas nos satélites usados como pontos de referência, como

mostra a figura abaixo.

Este método de localização é

designado de triangulação e recorre

também a um 4º satélite cujo

propósito é o de sincronizar os

relógios atómicos, situados a bordo

dos satélites, e altamente precisos,

com os cronómetros de quartzo,

menos precisos, presentes nos

receptores.



Deste modo é determinada a posição tridimensional de um ponto cujas coordenadas são

a latitude, a longitude e a altitude, o que permite ao receptor GPS fornecer a

orientação numa viagem, pois indica a direcção e o sentido do movimento, identificar

a localização de pontos num mapa pelas suas coordenadas e armazenar as

coordenadas das posições, permitindo o percurso em sentido inverso.

Aplicação

Um receptor GPS recebe um sinal electromagnético de um satélite situado em órbita, o

qual demora s2100,7 −× a chegar.

Calcula a distância do satélite ao receptor.

1.1.2 Posição – coordenadas geográficas e cartesianas

Para indicar a posição de um lugar à superfície da Terra recorremos às coordenadas

geográficas: latitude, longitude e altitude.

A Terra é um geóide, não é uma esfera porque é

achatada nos pólos (o raio polar é cerca de 30 km

menor que o raio equatorial) e é acidentada a sua

superfície, mas podemos considerá-la uma esfera

quando se pretendem determinar as coordenadas.

Admitindo essa esfericidade temos que:

• O equador é um círculo máximo que divide a Terra em dois hemisférios, o

Norte e o Sul, e todos os pontos do equador estão equidistantes dos pólos

geográficos da Terra, Norte e Sul;

• Os paralelos são círculos menores que o equador, contidos em planos paralelos

ao plano equatorial;

• Os meridianos são círculos máximos sobre a superfície terrestre que passam

pelos pólos geográficos, sendo o meridiano de Greenwich o adoptado desde

1884 como o meridiano de origem para a contagem das longitudes, ou seja, o 1º

meridiano.



A latitude é o arco de meridiano ou o valor do ângulo ao centro da Terra, expresso

em graus, medido entre o paralelo que passa pelo local considerado e o equador.

Assim:

Aϕ é a latitude do lugar A (uma latitude sul) e Bϕ a latitude de um lugar B (uma

latitude norte). O equador tem latitude 0º.

A longitude é o arco do equador ou o valor do ângulo ao centro da Terra, expresso

em graus, medido entre o meridiano que passa pelo local considerado e o

meridiano de Greenwich. Assim:

AL é a longitude de um lugar A (longitude este) e BL é a longitude de um lugar B

(longitude oeste). O semimeridiano de Greenwich tem longitude 0º e o oposto, “linha

internacional de mudança de data”, tem longitude 180º, W e E, tal que aviões e navios

que o atravessem alteram a data a bordo em 1 dia; atrasam 1 dia os que se dirigem para

este e adiantam 1 dia os que se dirigem para oeste.

A altitude é o comprimento do segmento vertical compreendido entre o nível

médio das águas do mar e o local considerado, devendo o seu valor ser dado por um

altímetro pois a indicação do GPS relativa a esta coordenada é muito pouco precisa.



E se quisermos estudar movimentos efectuados à superfície da Terra?

Neste caso, quase sempre podemos ignorar a curvatura da Terra, considerando esta

plana, sendo conveniente recorrer às coordenadas cartesianas, coordenadas que

descrevem a posição de um corpo, ou o seu estado de movimento, relativamente a

um sistema de referência, um referencial ou referencial cartesiano, em homenagem

a René Descartes, matemático, físico e filósofo francês que viveu na primeira metade do

século XVII, o qual serve para localizar pontos no espaço através de coordenadas x ,

y e z . Um referencial é assim um sistema de eixos ligado a um objecto, i.e., em

repouso relativamente a ele.

Consideremos um ponto P no espaço. A sua posição, relativamente à origem de um

referencial cartesiano, é dada através do seu vector posição, o vector:

zPyPxPP ezeyexr rrrr++=

e que Px , Py e Pz são as coordenadas da posição do ponto P medidas sobre os 3 eixos

cartesianos e xer , yer e zer são os vectores unitários desses eixos, que dão a sua direcção.

Se o ponto P estivesse num plano o seu vector posição seria dado apenas em função

de duas coordenadas tal que, yPxPP eyexr rrr+= .

Se o ponto P estivesse assente apenas sobre um eixo o seu vector posição seria dado

apenas em função de uma coordenada tal que, xPP exr rr= .

Mas a posição do ponto P é relativa. Porque será?

Mas a posição de um corpo pode variar, e frequentemente varia, com o tempo. Então o

corpo ocupa sucessivamente posições diferentes, caracterizadas por conjuntos diferentes

de coordenadas cartesianas, ao longo do tempo. À linha que une o conjunto das

sucessivas posições ocupadas pelo corpo em movimento, ao longo do tempo,

chamamos trajectória.

As trajectórias podem ser rectilíneas ou curvilíneas (contendo o caso particular da

trajectória circular). Quando o movimento se faz sobre uma recta o movimento é

designado de rectilíneo e quando é feito sobre uma curva assume a designação de

curvilíneo.



Quando estudamos o movimento de um corpo sem atender aos seus movimentos de

rotação e/ou deformações ele pode ser considerado uma partícula material,

representado pelo seu centro de massa, o ponto que representa a massa do corpo e onde

podem ser supostas aplicadas todas as forças que actuam no corpo.

1.1.3 Tempo

O Universo em que vivemos possui 4 dimensões, três são espaciais e uma é temporal.

Assim, para situar um acontecimento no tempo recorremos à coordenada instante. Um

intervalo de tempo mede a duração entre dois instantes.

O tempo desempenha um papel decisivo no funcionamento do sistema GPS pois o erro

na determinação do intervalo de tempo que um sinal demora a percorrer a distância que

medeia o emissor do receptor tem de ser muito pequeno.

Qualquer tipo de relógio possui um mecanismo que produz oscilações regulares e outro

que conta as oscilações, convertendo-as numa unidade de tempo. Consoante esses

osciladores sejam mecânicos, electromagnéticos ou atómicos, assim os relógios terão

diferente precisão.

• Os relógios mecânicos são baseados em oscilações pendulares.

• Os relógios electromagnéticos, relógios de quartzo, baseiam-se nas oscilações de

um cristal de quartzo, oscilações dos átomos de silício, pois possui propriedades

piezoeléctricas, i.e., quando se aplica uma d.d.p. a um pequeno cristal este torna-

se um oscilador, com frequência muito regular.

• Os relógios atómicos baseiam-se na frequência das radiações emitidas, ou

absorvidas, por átomos ou moléculas. Trata-se afinal de conseguir que a

frequência da radiação incidente coincida com a frequência da radiação emitida

aquando da desexcitação. (Os relógios de césio apresentam uma incerteza de 0,1

µs/dia!)

Hora e longitude

A relação entre o tempo e a longitude permite determinar a diferença entre a hora legal

de dois lugares do planeta com diferente longitude.



Cláudio Ptolomeu, astrónomo grego do século II, introduziu o conceito de “Sol médio”,

o qual descreve no céu, aparentemente, uma circunferência com velocidade constante

tal que, se descreve um ângulo de 360º em 24 h, descreve um ângulo de 15º em 1 h e

um ângulo de 1’ em cada 4 s.

Aplicação

Calcular a diferença horária entre dois meridianos que têm entre si uma diferença de

longitude de 35º 35’.

No dia a dia recorre-se a uma grande variedade de relógios mecânicos, os menos

precisos, pois apresentam uma incerteza de 100 ms/dia, podendo também recorrer-se a

relógios de quartzo, para tarefas mais sofisticadas, que exijam maior precisão temporal,

uma vez que a sua incerteza é de 0,1 ms/dia.

Mas, e em navegação marítima, o movimento dos navios não afecta o seu

funcionamento?

Sim, mas não só!

As variações da velocidade de rotação da Terra, provocadas pelos ventos e pelas marés,

desacertam os relógios mecânicos e de quartzo.

Foi só no século XVIII que John Harrison (1693-1776) desenvolveu um relógio baseado

no auto-equilíbrio de peças com molas, compensadas do efeito de dilatação provocado

por variações de temperatura, funcionando sem qualquer posição, sendo por isso imune

ao balancear dos navios.

1.1.4 Gráficos posição-tempo para movimentos rectilíneos

A figura seguinte mostra as posições de um móvel, considerado partícula material, em

intervalos de 2 s, movendo-se da posição A até à posição F passando sucessivamente

pelas posições B, C, D e E.

Como a posição é dependente do tempo podemos dizer que é uma função do tempo, i.e.,

)(txx = .



Relacionando então a posição ocupada pelo móvel e o instante em que ele ocupa a

posição obtemos:

A representação gráfica, i.e., )(tfx = é:

O tempo, representado no eixo das abcissas, é a variável independente e a posição,

representada no eixo das ordenadas, é a variável dependente.

É a posição que depende do tempo e não o contrário.

Atenção que o gráfico obtido não é a trajectória da partícula! Esta, é uma linha recta.

Consegues descrever, a partir do gráfico posição-tempo, o movimento da partícula?

• Parte, no início da contagem dos tempos, da posição mx 1= .

• Durante os primeiros 2 s percorre 3 m, passando da posição mx 1= para a

posição mx 4= , movendo-se no sentido positivo. A função )(txx = é

crescente neste intervalo de tempo.

• Entre os instantes st 2= e st 8= o móvel passa da posição mx 4= para

mx 3−= , aproximando-se da origem 0 e depois afastando-se, movendo-se no

sentido negativo. A função )(txx = é decrescente neste intervalo de tempo.



• Entre os instantes st 8= e st 10= o móvel passa da posição mx 3−= para

mx 3= , aproximando-se da origem 0 e depois afastando-se, movendo-se no

sentido positivo. A função )(txx = é crescente neste intervalo de tempo.

A função )(txx = traduz a lei do movimento.

1.1.5 Distância entre dois pontos, espaço percorrido e deslocamento

A figura seguinte mostra as posições ocupadas por um móvel, considerado partícula

material, que parte da origem O de um referencial, coincidente com o eixo 0x, passa

sucessivamente pelos pontos A e B, terminando o movimento em C.

Quais as posições ocupadas pelo móvel?

Qual a distância entre os pontos de partida e chegada?

Qual o espaço percorrido pelo móvel?

Qual o deslocamento escalar sofrido pelo móvel?

Qual o deslocamento do móvel? Qual a sua norma?

A figura abaixo representa o deslocamento do móvel. O que podes concluir?

Vamos então, agora, definir, e distinguir, as grandezas deslocamento, deslocamento

escalar, distância entre dois pontos e espaço percorrido.



1.1.6 Velocidade

A velocidade média de um móvel, considerado partícula material, é o quociente entre

o deslocamento do seu centro de massa e o intervalo de tempo em que este é feito,

i.e., trvm ∆

∆=

rr (ou

txvm ∆

∆=

rr , caso o móvel se movimente sobre o eixo 0x). Trata-se de

uma grandeza vectorial, a qual é, por isso mesmo, caracterizada por uma direcção, um

sentido, a direcção e o sentido são a direcção e o sentido do vector deslocamento, um

ponto de aplicação e uma norma, tr

vm ∆

∆=

rr .

Mas acontece que, na maior parte das vezes, há interesse, não em conhecer a velocidade

média do móvel durante um determinado intervalo de tempo, mas em conhecer qual a

velocidade do móvel num, ou vários, instante(s) de tempo. Para isso recorremos à

definição de velocidade instantânea, ou simplesmente velocidade, uma grandeza

vectorial que caracteriza a direcção, o sentido do movimento e a rapidez com que o

móvel muda de posição.

A definição de velocidade estabelece-se a partir da velocidade média do móvel,

considerando os intervalos de tempo cada vez mais pequenos tal que, no menor

intervalo de tempo possível, aquele que tende para zero, se obtém a velocidade do

móvel entre dois instantes extremamente próximos, admitindo que entre esses dois

instantes está aquele em que pretendemos conhecer a velocidade, sendo mtvv rr

0lim→∆

= , i.e.,

trv

t ∆∆

=→∆

rr

0lim .

Consideremos o móvel (um carro) a descrever uma trajectória rectilínea sobre o eixo 0x,

durante um certo intervalo de tempo, tal que o gráfico da posição em função do tempo,

)(tfx = , é mostrado pela figura seguinte.



Considerando intervalos de tempo sucessivamente menores, e as correspondentes

posições ocupadas pelo móvel, como mostra a figura abaixo, e traçando rectas que os

unam, podemos responder à questão a seguir formulada.

Existe um intervalo de tempo suficientemente pequeno para o qual a recta traçada que

une as posições ocupadas pelo móvel (recta a verde) é tangente ao gráfico para a

posição P para a qual se quer conhecer a velocidade. Conhecendo o deslocamento

escalar x∆ e o intervalo de tempo t∆ correspondente conhecemos a velocidade escalar.



Assim, a velocidade podia ser caracterizada como um vector com a direcção do eixo 0x,

sentido arbitrado como positivo, ponto de aplicação no centro de massa do móvel e

norma dada como tx

v∆

∆=

rr . Note-se que a velocidade escalar, o valor algébrico da

velocidade, é dada como txv∆∆

= , sendo x∆ e t∆ os correspondentes a verde.

O declive da tangente num ponto da curva do gráfico é igual ao valor da

velocidade do móvel no instante correspondente a esse ponto.

Num movimento rectilíneo, aquele que é efectuado sobre uma trajectória rectilínea, a

velocidade vr tem direcção constante.

Mas o móvel nem sempre descreve uma trajectória rectilínea. Pode descrever uma

trajectória curvilínea. Neste tipo de trajectória a direcção da velocidade vr está a variar.

Se visualizarmos um ponto da trajectória, como é a seguir representado, concluímos que

a velocidade do móvel, num dado instante, é um vector tangente à trajectória.



Porque será?

Ao considerarmos um instante, um intervalo de tempo tão pequeno que tende para zero,

temos na realidade dois instantes incrivelmente próximos (que contêm o instante

pretendido) , para os quais corresponde um deslocamento, o qual é tangente à trajectória

(não esquecer que qualquer curva pode ser considerada como uma sucessão de

pequeníssimos segmentos de recta!). Como a velocidade é o quociente entre o

deslocamento (por muito pequeno que seja!) e o intervalo de tempo gasto para o efeito

(por muito pequeno que seja também!), temos que a velocidade é sempre tangente à

trajectória para qualquer instante considerado.

Assim, generalizando, podemos afirmar que as características da velocidade são:

• Ponto de aplicação: centro de massa do móvel;

• Direcção: a da tangente à trajectória no ponto em que o móvel se encontra;

• Sentido: o do movimento do móvel;

• Norma: igual ao módulo da velocidade escalar, indica a rapidez do movimento.

As características da velocidade podem ser alteradas em diferentes instantes durante o

movimento do móvel, por alteração da sua direcção, sentido ou norma. Assim:

• Sempre que a trajectória seja circular existe mudança da direcção da velocidade

ao longo do tempo pelo que não podemos dizer que esta é constante, mesmo que

a sua norma não sofra alteração, como é o caso da roda gigante;

• Sempre que a trajectória seja rectilínea pode ocorrer alteração na norma da

velocidade, mesmo que a direcção e o sentido não se alterem, como é o caso da

descida de um plano inclinado, em que a norma aumenta;

o Se for uma subida a norma da velocidade vai diminuído ao longo do

tempo, mantendo-se a direcção e o sentido desta, até ao instante em que é

nula, instante em que ocorre mudança no sentido da velocidade, apesar

da direcção se continuar a manter;

• Num movimento curvilíneo podem variar a direcção e a norma da velocidade, e

até o sentido, como naquele que descreve a ida de um aluno de casa à escola e da

escola a casa.



1.1.7 Gráficos velocidade-tempo

Podemos traçar um gráfico que relacione a velocidade escalar de um móvel ao longo do

tempo por forma a conhecer mais sobre o movimento de um móvel.

Consideremos o movimento de um móvel em linha recta, o qual se pode deslocar no

sentido de se afastar da origem do referencial escolhido, ou de se aproximar, mais

depressa, ou mais devagar, ou eventualmente parar, tal que a figura seguinte represente

esse movimento em função da variação das posições por ele ocupadas ao longo do

tempo.

A descrição do movimento é a seguinte:

• Até ao instante t1 o móvel mantém a mesma posição, a qual não coincide com a

origem do eixo 0x;

• Entre os instantes t1 e t2 o móvel desloca-se no sentido positivo do eixo 0x, com

velocidade crescente pois as rectas tangentes vão tendo declives cada vez

maiores;

• Entre os instantes t2 e t3 o declive das rectas tangentes ainda é positivo, mas cada

vez menor pelo que a velocidade está a diminuir, continuando o móvel a

deslocar-se no sentido positivo;

• Entre os instantes t3 e t4 o declive das rectas tangentes é negativo, o móvel

inverteu o sentido do movimento e aproxima-se da origem do eixo 0x,

deslocando-se no sentido negativo, mas com a velocidade a aumentar em norma,

apesar da velocidade escalar ser negativa;

• Entre os instantes t4 e t5 o declive das rectas tangentes é negativo e constante

pelo que a velocidade é constante, continuando o móvel a deslocar-se no sentido

negativo do eixo 0x;



• Entre os instantes t5 e t6 o declive das rectas tangentes é negativo mas cada vez

menos acentuado pelo que a velocidade está a diminuir em norma (a velocidade

escalar é negativa) e o comboio continua a deslocar-se no sentido negativo do

eixo 0x;

• No instante t6 o móvel atinge a origem do eixo 0x e pára, uma vez que o declive

da recta tangente é nulo.

Um gráfico velocidade-tempo possível para o movimento deste móvel pode ser:

Assim:

• O sinal de v indica o sentido do movimento;

• Existe inversão de sentido quando v muda de sinal e o móvel está parado quando

v é nulo num determinado intervalo de tempo;

• O valor absoluto de v indica a maior ou menor rapidez do movimento.

Atentemos no gráfico representado na figura abaixo.

A área compreendida entre a linha do gráfico e o eixo das abcissas tem significado

físico. Para um gráfico )(tfv = , essa área representa o deslocamento escalar do móvel.



Se o movimento ocorrer no sentido positivo 0fx∆ e 0fv , se ocorrer no sentido

negativo 0px∆ e 0pv .

Num gráfico )(tfv = o deslocamento escalar pode ser calculado entre dois instantes

quaisquer bastando para isso tão somente calcular a área subjacente e atribuir o sinal

correcto.

Documents

Componente de Física - profs.ccems.ptprofs.ccems.pt/PauloPortugal/CFQ/SAFQA11/sa9.pdf · onde se vem, definidas algumas regras do movimento. Mas também garante uma viagem ao passado,