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Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas para Suporte de Vias Férreas de Alta Velocidade Bruno Emanuel Zuada Coelho Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto para obtenção do grau de Mestre em Estruturas de Engenharia Civil, realizada sob a orientação dos Professores Rui Calçada e Raimundo Delgado Porto, Janeiro de 2008

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Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas para

Suporte de Vias Férreas de Alta Velocidade

Bruno Emanuel Zuada Coelho

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

para obtenção do grau de Mestre em Estruturas de Engenharia Civil,

realizada sob a orientação dos Professores Rui Calçada e Raimundo Delgado

Porto, Janeiro de 2008

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Aos meus Pais.

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“Our greatest glory is not in never falling, but in rising every time we fall.”

Confucius

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ÍNDICE GERAL

RESUMO..................................................................................................................... i

ABSTRACT............................................................................................................... iii

AGRADECIMENTOS ................................................................................................v

CAPÍTULO 1...............................................................................................................1

CAPÍTULO 2.............................................................................................................25

CAPÍTULO 3.............................................................................................................67

CAPÍTULO 4.............................................................................................................89

CAPÍTULO 5...........................................................................................................131

CAPÍTULO 6...........................................................................................................165

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................169

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i

RESUMO

O principal objectivo da presente dissertação é o estudo do comportamento dinâmico de

lajes sobre estacas para suporte de vias férreas de alta velocidade.

O trabalho inicia-se com a apresentação de problemas que surgiram em diversos países

europeus aquando da implementação de linhas de alta velocidade em zonas de solos com

fracas características geomecânicas para servirem de fundação à via. São referidos os

estudos e descritas as soluções encontradas para ultrapassar essas dificuldades. É também

dado destaque à descrição dos elementos que constituem a via férrea, às suas

características dinâmicas e às diversas formas de modelação encontradas na bibliografia.

São apresentados os princípios básicos de uma análise dinâmica e três métodos para a

resolução das equações de equilíbrio dinâmico, o método de Newmark, o método da

sobreposição modal e método da sobreposição de vectores de Ritz. Uma comparação dos

resultados de análises dinâmicas pelos três métodos é apresentada e são retiradas

conclusões sobre as vantagens e inconvenientes da sua aplicação.

O estudo numérico do comportamento dinâmico da solução laje sobre estacas utilizada na

ligação de alta velocidade Canal da Mancha-Londres foi efectuado, tendo-se recorrido para

o efeito ao software de análise estrutural SAP2000.

Começou-se por realizar um estudo preliminar com o intuito de avaliar a sensibilidade da

resposta estrutural a diversos parâmetros, tais como o método de integração, o incremento

de tempo, as dimensões e a discretização do modelo, a inclusão da via, as propriedades da

via, as condições fronteira do carril e as propriedades do solo envolvente.

O comportamento dinâmico da laje sobre estacas foi avaliado sob acção de tráfego

ferroviário de alta velocidade. Foram efectuadas análises para a passagem dos comboios

regulamentares referentes à família High Speed Load Model (HSLM) e para os comboios

reais que circulam actualmente nas linhas de alta velocidade europeias. O comportamento

estrutural foi avaliado do ponto de vista da segurança estrutural, da segurança da via e do

conforto dos passageiros, tendo por base o estabelecido na mais recente regulamentação

europeia EN1991-2 e EN1990-A2.

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iii

ABSTRACT

The main goal of the present work is the study of the dynamic behaviour of piled slabs for

high speed railways.

The work starts with a presentation of problems that appeared in several european

countries during the construction of railways lines on soils with low geomechanical

properties. The studies and the solutions founded to work out this problem are presented.

Special attention is paid to the description of the track elements, their dynamic properties

and to the several ways found on bibliography to model them.

The basic principles of the dynamic analysis are presented as well three different

methodologies for solving the dynamic equilibrium equations, the Newmark’s method, the

modal superposition method, and the superposition of Ritz’s vectors. A comparison

between the three methodologies is presented, and the conclusions about their advantages

and inconvenients are discussed.

It was performed the numerical study of the dynamic behaviour of piled slabs from the

high speed connection between the Chanel Tunnel and London, with the structural analysis

software SAP2000.

A preliminary analysis was carried out with the purpose of evaluating the sensitivity of the

structural response to several parameters, as integration method, time step, model

dimensions and mesh discretization, presence and properties of the track, boundary

condition of the rail and properties of the surrounding soil.

The dynamic behaviour of the slab was evaluated under the application of high speed

traffic. Analyses were performed for the passage of the standard trains High Speed Load

Modal (HSLM) and for real trains that run on the european high speed railways. The

structural behaviour was evaluated for structural safety, for track safety and for passenger

comfort points of view, as established by the recent european standard EN1991-2 and

EN1990-A2.

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v

AGRADECIMENTOS

Ao terminar este trabalho, gostaria de deixar expresso o meu profundo e sincero

agradecimento a todos que de alguma forma contribuíram para a sua concretização, em

particular:

- Ao Professor Rui Calçada, pelo empenho e dedicação que empreendeu durante a

realização do presente trabalho;

- Ao Professor Raimundo Delgado, pela qualidade dos ensinamentos transmitidos e

pelas construtivas discussões que ajudaram a resolver alguns dos problemas que

surgiram neste trabalho;

- À RAVE - Rede Ferroviária de Alta Velocidade - pelo apoio concedido no âmbito

doprotocolo de colaboração RAVE & FEUP;

- Ao amigo José Rui Pinto, por todo o apoio prestado e pela preciosa ajuda com a

programação em Visual Basic e com o software SAP 2000;

- À amiga Denise Ferreira, pela amizade demonstrada e pela ajuda na revisão do

Abstract;

- Ao amigo Miguel Silva, e aos colegas Fernando Bastos, Mário Marques e Ricardo

Pimentel, pelo bom ambiente proporcionado no decurso do Mestrado;

- A todos os meus amigos, sem os quais a realização do presente trabalho teria sido

muito mais difícil;

- À minha família, em especial aos meus pais, por todo o apoio e carinho prestados ao

longo dos anos.

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vii

ÍNDICE DE TEXTO

RESUMO...........................................................................................................................i

ABSTRACT.................................................................................................................... iii

AGRADECIMENTOS .....................................................................................................v

CAPÍTULO 1....................................................................................................................1

1.1 - ENQUADRAMENTO ..........................................................................................................................1

1.2 - ORIGEM DE PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO EXCESSIVA DA VIAS FÉRREA.......................2

1.3 - CASOS DE REFORÇO .......................................................................................................................7

1.3.1 - Suécia ..............................................................................................................................................7

1.3.2 - Holanda .........................................................................................................................................12

1.3.3 - Bélgica...........................................................................................................................................14

1.3.4 - Reino Unido...................................................................................................................................16

1.3.5 - França ............................................................................................................................................17

1.3.6 - Itália...............................................................................................................................................20

1.4 - OBJECTIVOS E ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO...... .......................................................22

CAPÍTULO 2..................................................................................................................25

2.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS ...........................................................................................................25

2.2 - MODELAÇÃO DA VIA ....................................................................................................................27

2.2.1 - Modelação dos componentes.........................................................................................................27

2.2.1.1 - Carril ................................................................................................................................... 27

2.2.1.2 - Palmilhas ............................................................................................................................. 29

2.2.1.3 - Travessas ............................................................................................................................. 33

2.2.1.4 - Balastro ............................................................................................................................... 35

2.2.2 - MODELAÇÃO DO CONJUNTO.................................................................................................37

2.3 - MODELAÇÃO DO VEÍCULO.........................................................................................................52

2.4 - MODELAÇÃO DA INTERFACE RODA-CARRIL........... ............................................................57

2.4.1 - Contacto roda-carril .......................................................................................................................57

2.4.2 - Irregularidades...............................................................................................................................58

2.5 - MODELAÇÃO DA ESTRUTURA ...................................................................................................61

2.6 - INTERACÇÃO COM O MACIÇO ENVOLVENTE ........... ..........................................................62

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viii

CAPÍTULO 3 ................................................................................................................. 67

3.1 - INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 67

3.2 - EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO ............... .................................................................... 67

3.3 - CONSIDERAÇÃO DE CARGAS MÓVEIS.................................................................................... 68

3.4 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA POR UM MÉTODO DE INTEGR AÇÃO DIRECTA............ 71

3.5 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO DA SOBREPOSIÇÃO MODAL................ 74

3.6 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO DA SOBREPOSIÇÃO DOS VECTORES DE RITZ...................................................................................................................................................... 75

3.7 - EXEMPLO DE APLICAÇÃO .......................................................................................................... 82

3.7.1 - Análise dinâmica de uma viga isostática ....................................................................................... 83

3.7.1.1 - Modelação........................................................................................................................... 83

3.7.1.2 - Cenário de análise ............................................................................................................... 83

3.7.1.3 - Análise pelo método de Newmark ...................................................................................... 86

3.7.1.4 - Análise pelo método da sobreposição modal...................................................................... 86

3.7.1.5 - Análise pelo método da sobreposição de vectores de Ritz .................................................. 87

3.7.1.6 - Comparação de resultados................................................................................................... 88

CAPÍTULO 4 ................................................................................................................. 89

4.1 - INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 89

4.2 - DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA...................................................................................................... 90

4.3 - MODELAÇÃO NUMÉRICA............................................................................................................ 92

4.3.1 - Discretização da estrutura.............................................................................................................. 92

4.3.2 - Características geométricas e mecânicas ....................................................................................... 93

4.3.3 - Frequências naturais e modos de vibração .................................................................................... 95

4.4 - ANÁLISE DINÂMICA PRELIMINAR .................. ......................................................................... 97

4.4.1 - Objectivo ....................................................................................................................................... 97

4.4.2 - Cenário de análise ......................................................................................................................... 97

4.4.2.1 - Comboio e gama de velocidades ......................................................................................... 99

4.4.2.2 - Amortecimento.................................................................................................................... 99

4.4.2.3 - Gama de frequências ........................................................................................................... 99

4.4.3 - Análise pelo método de integração directa .................................................................................. 100

4.4.4 - Análise pelo método da sobreposição modal............................................................................... 102

4.4.5 - Análise pelo método da sobreposição de vectores de Ritz .......................................................... 103

4.4.6 - Comparação dos resultados obtidos pelos diversos métodos ...................................................... 109

4.4.6.1 - Em termos de precisão ...................................................................................................... 109

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ix

4.4.6.2 - Em termos de tempo de cálculo......................................................................................... 113

4.4.7 - Validação do modelo elástico linear para a interacção com o maciço.........................................114

4.5 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE....................................................................................................115

4.5.1 - Análise de sensibilidade em relação às dimensões do modelo ....................................................116

4.5.2 - Análise de sensibilidade em relação à não inclusão da via..........................................................119

4.5.3 - Análise de sensibilidade em relação às propriedades da via........................................................121

4.5.3.1 - Análise de sensibilidade em relação às condições fronteira da via ................................... 124

4.5.4 - Análise de sensibilidade em relação às propriedades do solo envolvente ...................................127

4.6 - CONCLUSÕES.................................................................................................................................129

CAPÍTULO 5................................................................................................................131

5.1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................................................131

5.2 - REQUISITOS DE ANÁLISE DINÂMICA ....................................................................................132

5.2.1 - Justificação da realização de análise dinâmica ............................................................................132

5.2.2 - Cenário de carregamento .............................................................................................................133

5.2.2.1 - Comboios reais.................................................................................................................. 133

5.2.2.2 - Comboios do High Speed Load Model (HSLM)............................................................... 134

5.2.3 - Gama de velocidades ...................................................................................................................137

5.2.4 - Método de análise dinâmica ........................................................................................................137

5.2.5 - Parâmetros relativos à estrutura...................................................................................................139

5.2.5.1 - Amortecimento.................................................................................................................. 139

5.2.5.2 - Gama de frequências ......................................................................................................... 139

5.3 - EVOLUÇÃO TEMPORAL DAS RESPOSTAS DINÂMICAS....................................................139

5.3.1 - Deslocamento vertical .................................................................................................................139

5.3.2 - Aceleração vertical ......................................................................................................................140

5.3.3 - Esforço axial nas estacas .............................................................................................................141

5.4 - ENVOLVENTES DAS RESPOSTAS DINÂMICAS.....................................................................141

5.4.1 - Comboios reais ............................................................................................................................148

5.4.2 - Comboios do HSLM....................................................................................................................150

5.4.3 - Comparação das envolventes relativas aos comboios reais e HSLM ..........................................155

5.5 - AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL........ .................................................157

5.5.1 - Segurança estrutural ....................................................................................................................157

5.5.2 - Segurança da via..........................................................................................................................159

5.5.3 - Conforto dos passageiros.............................................................................................................161

5.6 - CONCLUSÕES.................................................................................................................................162

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x

CAPÍTULO 6 ............................................................................................................... 165

6.1 - CONCLUSÕES GERAIS ................................................................................................................ 165

6.2 - PERSPECTIVAS DE DESENVOLVIMENTOS FUTUROS....................................................... 167

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 169

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CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 - ENQUADRAMENTO

Hoje em dia, na Europa as ligações ferroviárias são efectuadas a alta velocidade, tendo-se

registado uma grande evolução não só ao nível da construção das linhas férreas e do

traçado, como também no que concerne aos próprios comboios. Aliás, o comboio foi o

primeiro grande meio de transporte de massas, tendo sido substituído no início do século

XX pelo automóvel. Desde então, tornaram-se cada vez mais velozes, constituindo uma

alternativa atractiva face ao transporte aéreo e rodoviário em médias distâncias, pelo que se

tem registado nos anos mais recentes, uma aposta por parte dos países europeus na

construção de vias férreas de alta velocidade, na tentativa de criar uma rede europeia

ferroviária que permita uma mobilidade efectiva em todo o espaço europeu.

Quando em Portugal, no ano de 1856, uma locomotiva em segunda mão efectuou a viagem

inaugural entre Lisboa e o Carregado, poucos imaginavam o progresso e o

desenvolvimento que os caminhos de ferro iriam sofrer. Actualmente em Portugal, urge a

necessidade de uma transição para uma rede de alta velocidade, que torne o transporte

ferroviário competitivo face ao rodoviário e aéreo. As actuais linhas ferroviárias

portuguesas apresentam alguns sinais de degradação, pelo que a reabilitação do sector

ferroviário passa pela construção de uma nova rede.

Actualmente, encontra-se em fase de implementação uma rede ferroviária de alta

velocidade que vai permitir efectuar a ligação entre as principais cidades nacionais, mas

principalmente, constituir um elo de ligação com a rede europeia. Torna-se então vital

efectuar um levantamento das soluções existentes na rede europeia, de forma a conseguir

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Capítulo 1

2

dar resposta aos futuros desafios que se vão colocar à engenharia portuguesa, aquando da

implementação da futura rede ferroviária nacional.

O futuro traçado da rede de alta velocidade portuguesa poderá ter que atravessar zonas

onde os maciços de fundação apresentam fracas características mecânicas. Nas ligações

Lisboa-Madrid, e Lisboa-Porto prevê-se que o vale aluvionar do Tejo poderá obrigar à

adopção de soluções de reforço ou melhoramento dos solos de fundação, assim como,

dentro desta última linha, a zona de Aveiro também se apresenta como crítica no que

concerne às características dos maciços de fundação (Mateus da Silva, 2005).

Torna-se então imperativo efectuar um levantamento das soluções existentes na rede

europeia, de forma a conseguir dar resposta aos futuros desafios que se vão colocar à

engenharia portuguesa, aquando da implementação da futura rede ferroviária.

O presente trabalho vem de encontro a esta problemática, na medida em que é efectuado

um levantamento de diversas soluções para permitir a construção de vias férreas em zonas

de solos de fracas características, e é estudada do ponto de vista dinâmico, atendendo à

mais recente regulamentação europeia, uma das soluções que corresponde à adopção de

lajes sobre estacas como a adoptada na ligação entre o Túnel da Mancha e a cidade de

Londres.

1.2 - ORIGEM DE PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO EXCESSIVA DA VIAS

FÉRREA

A passagem de comboios a alta velocidade pode induzir efeitos dinâmicos muito

significativos quer na via quer no maciço envolvente.

Segundo Holm et al. (2002) as vibrações induzidas ao maciço dependem de aspectos

relacionados com:

i) A fonte, que consiste no comboio e na via;

ii) O meio de transmissão, ou seja, o solo de fundação;

iii) A envolvente, nomeadamente, as pessoas, os edifícios e os equipamentos.

Os autores referem que estas três partes não têm comportamentos independentes, antes

existindo uma interacção entre elas.

Segundo os mesmos autores, a excitação da via é igualmente ditada pelas características do

comboio, sendo este a fonte de excitação do solo e dos objectos. É portanto, de vital

importância conhecer a configuração dos eixos dos comboios, como seja a sua localização,

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Introdução

3

os tipos de suspensão e a massa dos bogies e caixas, pois estes condicionam as

propriedades das ondas emitidas.

A passagem do comboio produz um assentamento elástico da estrutura e do solo que

acompanha o comboio durante o seu movimento. Caso a velocidade aumente,

aproximando-se de velocidades de propagação das ondas no solo, a zona que assenta alarga

na direcção perpendicular à via enquanto que na direcção longitudinal diminui. No entanto,

a profundidade até à qual se verificam deslocamentos aumenta (Figura 1.1).

a) b)

Figura 1.1 – Isolinhas do deslocamento vertical da via para velocidades correspondentes a: a) 25%

e b) 98% da velocidade das ondas de Rayleigh (Holm et al., 2002)

Outro aspecto, que nem sempre é devidamente contabilizado, reside na não circularidade

das rodas. Devido às forças de frenagem as rodas tendem a ficar com zonas lisas, o que

ocasiona a existência de uma carga periódica sobre o carril, cuja frequência depende da

velocidade de circulação do comboio.

Para velocidades elevadas a interacção da estrutura ferroviária com o solo produz um

aumento dos deslocamentos da via (Figura 1.2), denotando-se também a existência de um

levantamento da via à frente, entre e atrás das rodas. Para uma determinada velocidade

crítica o assentamento e o levantamento da via atingem os seus valores máximos. Para

velocidades superiores, os deslocamentos voltam a diminuir. Assim, este processo pode ser

encarado como uma espécie de ressonância da estrutura ferroviária. Para velocidades

superiores o ponto de deslocamento máximo não estará debaixo da roda, mas atrás da roda

(no sentido de circulação do comboio), passando a existir uma força resistente ao

movimento do comboio.

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Capítulo 1

4

Figura 1.2 – Deslocamento da via para diferentes velocidades de circulação

(adaptado de Holm et al., 2002)

Da visualização da Figura 1.2 anterior torna-se evidente qual a grandeza do deslocamento

estático e do deslocamento dinâmico. Fica claro que para velocidades baixas, até cerca de

70 km/h neste caso, os efeitos dinâmicos introduzidos pela passagem do comboio são

praticamente nulos. Para velocidades superiores, os seus efeitos começam a ser

significativos, passando mesmo a ser os preponderantes.

Para Madshus e Kaynia (2000) o deslocamento pode ser decomposto em duas parcelas:

i) Um deslocamento quase-estático, que corresponde ao equilíbrio estático do

comboio. Este deslocamento é somente descendente e acompanha o comboio,

sendo independente da velocidade;

ii) Um deslocamento dinâmico associado à propagação das ondas, em especialmente

às de Rayleigh. Este campo tem deslocamentos ascendentes e descendentes de

igual amplitude.

Uma propriedade muito importante do solo está relacionada com a velocidade de

propagação das ondas P, S e R, pois caso a velocidade de circulação do comboio exceda a

velocidade de propagação de qualquer uma destas ondas, a sua forma de propagação muda

drasticamente, acontecendo algo similar ao que se sucede quando um avião excede a

velocidade do som (formação de um cone de Mach). É de salientar que cada tipo de onda

apresenta propriedades distintas quanto à velocidade de propagação e à forma como o seu

movimento varia com a distância à fonte emissora. As ondas S e P são ondas volumétricas,

pelo que a sua propagação ocorre segundo qualquer direcção do meio. As ondas R são

superficiais, sendo que a sua velocidade depende da interacção entre as ondas volumétricas

e as características das camadas superficiais do meio. Nos solos é habitual que as ondas

volumétricas sejam mais rápidas do que as ondas superficiais, uma vez que, em regra, os

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Introdução

5

solos exibem maior rigidez volumétrica. Dentro das ondas volumétricas, as ondas P são

mais rápidas do que as ondas S, pois os solos apresentam um módulo de deformabilidade

superior ao módulo de distorção.

Assim, é possível definir três situações distintas quanto à velocidade de circulação do

comboio, que se encontram apresentadas na Figura 1.3:

i) Regime sub-sónico – velocidade de circulação inferior à da propagação das

ondas S;

ii) Regime trans-sónico – velocidade de circulação compreendida entre a velocidade

de propagação das ondas S e P;

iii) Regime super-sónico – velocidade de circulação superior à da propagação das

ondas P (Ditzel, 2003; Mateus da Silva, 2005).

a) b) c)

Figura 1.3 – Deslocamentos verticais nos vários regimes: a) regime sub-sónico, b) regime

trans-sónico e c) regime super-sónico (adaptado de Ditzel, 2003)

Como se verifica, a relação da velocidade de circulação com a velocidade de propagação

das ondas nos solos, influencia de uma forma muito significativa a configuração e a

grandeza dos deslocamentos, existindo uma espécie de ressonância sempre que a

velocidade do comboio iguala a velocidade de propagação das ondas volumétricas. Este

fenómeno é completamente distinto do anteriormente apresentado, o qual está relacionado

com a existência de uma velocidade crítica da via. Daqui se depreende que todo o

fenómeno de excitação e transmissão de vibrações é bastante complexo.

As ondas estão sujeitas a dois tipos de amortecimento; amortecimento geométrico e

amortecimento friccional. O geométrico ocorre devido à vibração se propagar a partir da

fonte em volumes crescentes com a distância. Este efeito é mais significativo nas ondas

volumétricas, pois estas propagam-se em qualquer direcção. Nas ondas superficiais o

amortecimento é menos significativo, pois as vibrações apenas afectam a parte superior do

volume de solo.

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Capítulo 1

6

É ainda de salientar que a dimensão da estrutura ferroviária é da ordem de grandeza do

comprimento das ondas emitidas, logo é de esperar que algumas frequências sejam mais

facilmente emitidas do que outras, ou seja, a própria estrutura ferroviária funciona como

filtro das ondas emitidas.

Um dos maiores problemas das vias balastradas é a sua elevada heterogeneidade, quer do

ponto de vista geométrico, quer do ponto de vista da rigidez, o que provoca esforços

adicionais na via e no veículo. A transmissão das forças ao balastro é efectuada a partir das

travessas, ou seja, a solicitação tem um carácter pontual. Estes elementos conferem, acima

de tudo, heterogeneidade ao nível da rigidez. A roda ao transitar de uma zona sem travessa

para uma zona com travessa produz uma força variável, daí que para uma velocidade

constante a força actue com uma frequência designada por frequência de passagem da

travessa. Estas forças ao nível dos carris provocam reacções nos bogies. Estes, por seu

turno, ao serem solicitados sofrem movimentos, introduzindo esforços adicionais sobre os

carris, e assim sucessivamente. As heterogeneidades geométricas são, de uma forma

simplificada, devidas à rugosidade e irregularidades do carril. Estas têm diferentes

comprimentos de onda, variando de pequenos milímetros até quilómetros, o que

proporciona uma gama muito larga das frequências emitidas.

Toda a problemática relacionada com a vibração da via pode existir em todo o tipo de

solos. No entanto, como facilmente se depreende, em linhas que atravessam solos moles

ganha uma dimensão considerável. Olhando para o mapa da futura rede de alta velocidade,

torna-se perceptível que a linha poderá de passar por este tipo de solos, como seja na zona

de Aveiro, ou no vale do Tejo (Mateus da Silva, 2005). Assim, torna-se importante estudar

este problema de modo a evitar os problemas que surgiram noutros países.

Paolucci et al. (2003) pensam que a dificuldade da previsão das vibrações induzidas está

centrada em três questões:

i) A elevada complexidade da interacção dinâmica entre o comboio, a via e o solo;

ii) As elevadas frequências naturais do solo, o que apresenta dificuldades acrescidas

para as modelações 3D;

iii) A escassez de medições para a calibração dos modelos numéricos.

Não obstante, existem já na bibliografia alguns casos bem detalhados onde surgiu esta

problemática. Existem também situações em que este fenómeno foi tido em conta ao nível

do projecto, e de linhas que foram monitorizadas antes da entrada em serviço, de forma a

atestar a qualidade das modelações numéricas adoptadas.

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Introdução

7

1.3 - CASOS DE REFORÇO

Na presente secção serão apresentados casos em que foi necessário proceder ao reforço da

fundação da via férrea devido a características inadequadas dos solos, de forma a permitir a

circulação de comboios a alta velocidade.

As soluções abrangem situações de construção de linhas novas para alta velocidade, casos

da França, Bélgica, Holanda e Reino Unido, mas também de modernização de linhas

existentes em que se decidiu proceder ao aumento da velocidade, casos da Suécia e Itália.

1.3.1 - Suécia

Um dos primeiros locais onde se registaram vibrações excessivas foi em Ledsgard, na

Suécia. Em 1990, iniciou-se a construção de uma nova linha de alta velocidade para

efectuar a ligação entre Gotemburgo e Kungsbacka, cujo desenvolvimento era paralelo ao

de uma antiga linha com mais de 100 anos. Após a conclusão da linha, em 1997, iniciou-se

o tráfego ferroviário de comboios X2 com velocidades de 200 km/h. Imediatamente se

registaram níveis de vibrações excessivos em Ledsgard (localizado a 25 km de

Kungsbacka), pelo que a velocidade de circulação foi reduzida para 160 km/h e

posteriormente, devido à permanência de vibrações significativas, para 130 km/h. Na

sequência destes acontecimentos, a Autoridade Ferroviária Sueca iniciou estudos no intuito

de investigar as suas causas. Este estudo encontra-se bem documentado em

Holm et al. (2002).

O maciço de fundação era constituído por uma camada de solo orgânico muito mole, com

uma possança máxima de 3 m, sobrejacente a uma camada superficial de solo

sobreconsolidado. A origem da camada orgânica advém muito provavelmente de um rio,

que no passado foi desviado da sua posição original, e que actualmente coincide com o

local de implantação da nova linha. Sob a camada de solo orgânico existe ainda uma

camada de argila mole, o que torna este maciço muito sensível a fenómenos de vibrações.

O “bedrock” situa-se a mais de 60 m de profundidade.

Uma das etapas do estudo consistiu na caracterização geotécnica do maciço de fundação.

Recolheram-se amostras para a realização de ensaios laboratoriais, como ensaios triaxiais,

e efectuaram-se ensaios “in situ”, tais como o CPTU, e os ensaios sísmicos cross-hole e

down-hole. Obtiveram-se velocidades de propagação das ondas de corte de 40 m/s para o

solo orgânico e de 60 m/s a 80 m/s para a camada de argila mole (Figura 1.4).

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Capítulo 1

8

a) b)

Figura 1.4 – Local de investigação: a) perfil dos teores em água e b) perfil de velocidade das ondas

de corte (adaptado de Holm et al., 2002)

A monitorização das vibrações e dos assentamentos também foi efectuada, tendo-se

recorrido a acelerómetros e transdutores de deslocamento montados em blocos de betão

com 30 cm de diâmetro, dispostos entre as travessas. Na Figura 1.5 apresentam-se os

assentamentos registados para uma velocidade de circulação do comboio de 160 km/h. A

figura demonstra claramente os elevados níveis de vibrações neste local da linha.

Figura 1.5 – Registo dos assentamentos ao longo do perfil longitudinal da linha (Holm et al., 2002)

Este foi um problema novo para a Autoridade Sueca, pois não existiam até à data normas

ou regulamentos que previssem este fenómeno. Para dar resposta a esta lacuna, foi

elaborada uma nota técnica que foi utilizada para o dimensionamento das medidas de

reforço. A nota técnica especificava valores mínimos para a rigidez e para a velocidade das

ondas de corte do solo. O actual regulamento, ao invés de propor valores mínimos para a

velocidade de propagação das ondas de corte, impõe um valor mínimo para a velocidade

crítica da via, com um factor de segurança normalmente com valores compreendidos entre

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Introdução

9

1,5 e 2. O regulamento impõe também um valor máximo para o assentamento da via de

4 mm.

A solução escolhida para o reforço da via consistiu no “Dry Deep Mixing Method”

(DMM), que consiste na injecção de calda de cimento, ao mesmo tempo que se efectua a

mistura com solo. Esta tecnologia combina as tecnologias do Jet-grouting com a da

estabilização de solo com ligante hidráulico. A sua utilização foi testada com a realização

de ensaios laboratoriais, pois existiam dúvidas quanto à eficácia do tratamento para a

camada de solo orgânico.

A rigidez dos diversos componentes, em conjunto com a geometria e a densidade,

governam a velocidade de propagação das ondas de corte, que por seu turno governa os

assentamentos e a velocidade crítica de todo o sistema. Assim, foi importante quantificar

convenientemente a rigidez obtida após o tratamento. Para tal realizaram-se ensaios

laboratoriais em amostras de solo reforçado, tendo-se obtido curvas tensão-deformação do

tipo da presente na Figura 1.6, com base nas quais foi possível determinar o módulo de

deformabilidade.

1 2 3 4 5 6

50

0

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

Deformação [%]

Res

istê

ncia

à c

ompr

essã

o [k

Pa]

Figura 1.6 – Curva tensão-deformação para o solo reforçado (adaptado de Holm et al., 2002)

Uma das questões levantadas durante a realização do estudo prendeu-se com a composição

da pasta, e com a energia de mistura. Adoptou-se, como primeira aproximação para a

camada orgânica, uma composição de 150 kg de pasta por m3 de solo com uma relação

cal/cimento de 25/75. Para o restante maciço optou-se por reduzir a quantidade de pasta

para 120 kg/m3, numa proporção 50/50. Os resultados obtidos foram muito positivos,

tendo-se conseguido passar de uma resistência não drenada de 20 kPa e de um módulo de

deformabilidade de 1,1 MPa para os valores expressos na Figura 1.7.

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Capítulo 1

10

a) b)

Figura 1.7 – Evolução temporal: a) da resistência não drenada e b) do módulo de deformabilidade

(adaptado de Holm et al., 2002)

Esta solução foi modelada numericamente, no intuito de avaliar a redução do nível de

vibração e assentamentos da via. A melhoria foi muito significativa, tal como se pode

constatar pela análise das figuras 1.8 e 1.9.

a) b)

Figura 1.8 – Comparação do assentamento da via: a) antes e b) após o reforço (Holm et al., 2002)

Figura 1.9 – Comparação dos valores máximos do assentamento da via antes após o reforço em

função da velocidade de circulação (adaptado de Holm et al., 2002)

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Introdução

11

Dado que o perfil geotécnico não era constante ao longo da linha, adoptaram-se dois perfis

tipo para o reforço. Assim, nas zonas em que a camada de solo orgânico era menos

significativa efectuaram-se três colunas por fiada. Nas zonas mais gravosas efectuaram-se

duas paredes longitudinais constituídas por colunas secantes (Figura 1.10).

Figura 1.10 – Pormenor da solução de reforço (Holm et al., 2002)

No final dos trabalhos foram realizadas novas campanhas de medição dos níveis de

vibração e dos deslocamentos da via, no intuito de avaliar os resultados obtidos e

compará-los com os previstos pelas simulações numéricas.

Figura 1.11 – Avaliação da eficiência do tratamento (adaptado de Holm et al., 2002)

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Capítulo 1

12

Como se torna perceptível pela análise da Figura 1.11, o tratamento adoptado mostrou ser

bastante adequado, registando-se para velocidades de 200 km/h assentamentos quinze

vezes inferior aos inicialmente observados. Comparando os resultados numéricos com os

experimentais, registou-se que os cálculos numéricos proporcionaram deslocamentos

superiores. Tal deveu-se à escolha de um valor demasiado conservativo para a rigidez do

solo reforçado, pois existia um défice de experiência para este tipo de intervenções. Daí

que a solução, apesar de ter sido implementada com sucesso, ainda possa ser optimizada,

mormente ao nível da quantidade e da disposição das colunas, assim como ao nível da

composição da calda.

1.3.2 - Holanda

Na parte ocidental da Holanda encontra-se em construção, desde o início de 2000, uma

linha de alta velocidade, que entrou em serviço em 2006. Esta linha é um prolongamento

da linha francesa, desenvolvendo-se a parte holandesa da linha desde o aeroporto de

Schiphol até Breda, junto à fronteira com a Bélgica. O seu comprimento é de

aproximadamente 100 km.

A linha desenvolve-se ao longo da zona do delta, sendo o solo formado por uma camada de

areia e argila até uma profundidade de aproximadamente 10 m, a qual está sobrejacente a

uma camada de areias plistocénicas, utilizada habitualmente para a fundação de estacas.

Dado o tipo de maciço e os tipos de condicionalismos que lhe estão associados,

principalmente ao nível dos assentamentos da via, efectuou-se um estudo de viabilidade

técnica-económica de diversas soluções, tendo-se optado pela utilização de lajes assentes

sobre estacas colocadas num aterro. Esta solução foi designada por Settlement Free Slab

(Beurze, 2002).

Na Figura 1.12 encontra-se representado um esquema da solução implementada. Cada via

é suportada por uma laje com 3 m de largura e 0,50 m de espessura. As lajes são

construídas em módulos de 35 m, existindo uma viga em cada extremidade do módulo para

efectuar a ligação entre as duas vias.

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Introdução

13

a)

b)

Figura 1.12 – Esquema da solução: a) planta e b) corte (Beurze, 2002)

Um aspecto que foi questionado ao nível do projecto foi a inclusão, ou não, de juntas de

dilatação entre as lajes. A opção recaiu na solução com juntas, devido aos elevados

esforços que iriam surgir na cabeça das estacas devido às variações térmicas e à retracção

do betão (Kirstein e Wendrich, 2003). Na junta de dilatação existe uma cavilha, de forma a

evitar deslocamentos horizontais relativos que podem provocar o empenamento dos carris,

e ao mesmo tempo, permitir deslocamentos longitudinais e pequenas rotações. São

colocadas quatro estacas por alinhamento, existindo um total de oito fiadas de estacas. As

estacas são verticais, pois para além de facilitar a sua execução, evitam o aparecimento de

momentos flectores devido à consolidação do solo (este fenómeno pode surgir em estacas

inclinadas). O diâmetro adoptado para as estacas foi de 510 mm, tendo sido executadas

com tubo recuperável. As estacas foram prolongadas até à camada de areia, pois

considerou-se que até esta profundidade se alcançava a capacidade de carga necessária. Na

Figura 1.13 está patente o aspecto final da laje.

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Capítulo 1

14

Figura 1.13 – Estrutura em construção (Kirstein e Wendrich, 2003)

Um pormenor importante destes sistemas de laje com estacas é a ligação das estacas à laje,

pois para além de ser complicada a completa compreensão do mecanismo de transferência

de carga, é difícil conseguir-se a optimização sob o ponto de vista construtivo. Para além

desta razão, podem surgir adicionalmente correntes vagabundas, o que se não for

devidamente acautelado pode levar à ocorrência de corrosão das armaduras. A solução

passa por isolar a armadura das estacas da armadura da laje, ou colocar barras de ligação à

terra.

1.3.3 - Bélgica

A linha de alta velocidade belga atravessa várias zonas de solos muito compressíveis,

situados principalmente na linha que efectua a ligação entre Bruxelas e Liège. De um

modo geral, as dificuldades inerentes ao tipo de maciço de fundação foram ultrapassadas

com recurso a duas soluções:

i) consolidação do solo;

ii) estacas para suporte do aterro.

Em alguns casos particulares, recorreu-se também à execução de lajes de betão assente

sobre estacas para suporte da via.

Detandt e Urban (2003) descrevem a implementação de uma solução deste tipo na linha

Bruxelas - Liège, mais concretamente em Waremme, num local onde a linha se desenvolve

paralelamente à auto-estrada e a velocidade de circulação dos comboios pode atingir os

300 km/h.

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Introdução

15

Do ponto de vista geotécnico, o maciço de fundação era muito fraco, sendo constituído por

argilas muito compressíveis, assentes sobre um substrato cretáceo bastante alterado.

Assim, optou-se por construir uma laje de betão assente sobre estacas (Figura 1.14). Outras

soluções foram ponderadas ao nível de estudo prévio, mas a solução acabou por recair

sobre esta solução, pois era a única que permitia controlar os assentamentos verticais da

via dentro dos limites exigidos.

a) b)

Figura 1.14– Esquema da solução adoptada: a) planta; b) corte transversal (Detandt e Urban, 2003)

A laje consistiu num conjunto de módulos com comprimentos de aproximadamente 50 m,

separados entre si por juntas de dilatação. As estacas foram dispostas segundo vários

alinhamentos, cada um deles com quatro estacas. Considerando que cada módulo tinha que

resistir às forças de frenagem e arranque, e tendo em linha de conta a elevada

compressibilidade do maciço de fundação, os projectistas optaram por colocar estacas

inclinadas, por forma a que os esforços horizontais não provocassem deslocamentos

longitudinais excessivos.

Atendendo às características do maciço de fundação, foram adoptadas estacas cravadas

com tubo de aço perdido, elemento que garantiu o confinamento do solo das camadas com

características geotécnicas inferiores. Ensaios de carga mostraram, no entanto, que nas

zonas em que o maciço é mais fraco este tipo de estacas não conseguia mobilizar

resistência lateral suficiente, ou seja, não possuía capacidade de carga suficiente. A solução

passou por, nessas secções, recorrer à cravação de tubos provisórios, de diâmetro superior

ao das estacas, de modo a se efectuar a injecção com betão à medida que se retirava o tubo

exterior. Assim, conseguiu-se incrementar a mobilização de tensões tangenciais ao longo

das estacas além de garantir uma maior durabilidade.

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Capítulo 1

16

1.3.4 - Reino Unido

Montens et al. (2003) apresentam o caso do canal ferroviário que efectua a ligação entre o

Túnel da Mancha e a cidade de Londres. Nas imediações da cidade a linha atravessa uma

zona de características geomecânicas fracas, pelo que ficou inviabilizada, logo à partida, a

instalação da linha sobre o maciço devido aos elevados assentamentos que iriam resultar da

implementação desta solução. Visando a resolução desta problemática, foi estudada uma

solução de laje assente sobre estacas, sobre a qual se colocaria a via balastrada. Na

Figura 1.15 apresenta-se um esquema da solução.

Figura 1.15 – Esquema da solução adoptada (Montens et al., 2003)

O comprimento das unidades de construção variou entre os 39,20 m e os 68,70 m, apesar

dos estudos de interacção entre a via e a estrutura terem demonstrado que se poderia ter

atingido unidades com 120 m de comprimento. Este último valor conduziria no entanto a

momentos flectores excessivos nas estacas, devido aos efeitos de retracção do betão, razão

pela qual foram adoptados comprimentos mais baixos.

O comportamento da solução adoptada é similar ao de pontes de pequeno vão, evidenciado

frequências naturais bastante elevadas devido à sua elevada rigidez. Daí que este tipo de

estruturas não seja, em regra, solicitado nas suas frequências naturais, mas em

submúltiplos destas.

No que concerne às estacas, ficou perceptível da análise dos resultados dinâmicos, que a

variação dos esforços nelas instalados é muito significativo, sendo paralelamente muito

dependente da posição que a estaca ocupa na laje. Tipicamente, as estacas localizadas nas

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Introdução

17

extremidades experimentam uma variação de carga muito mais significativa do que as

localizadas no interior (Figura 1.16).

a) b)

Figura 1.16 – Comparação do esforço axial em estacas: a) estaca exterior e b) estaca interior

(adaptado de Montens et al., 2003)

Daí que os autores sugiram que o dimensionamento das estacas deva estar interligado com

o dimensionamento da laje, por forma a contemplar a influência do carácter cíclico das

cargas de tráfego sobre as estacas, e assim ter em conta a sua deformação e assentamentos,

no dimensionamento da laje.

O estudo realizado permitiu ainda constatar que neste tipo de estruturas é de vital

importância, devido ao comprimento dos carris e à flexibilidade das estacas, considerar a

interacção entre o comboio e a estrutura, de modo a permitir a avaliação do nível de

tensões no carril e a grandeza dos assentamentos longitudinais relativos entre unidades de

laje adjacentes.

1.3.5 - França

Em França, na linha TGV Mediterrâneo, surgiu um problema que, embora seja distinto do

abordado anteriormente, deve ser considerado ao nível de projecto, pois coloca em questão

a segurança da linha. Em Doan et al. (2002) é possível encontrar toda a explicação do

sucedido, de uma forma clara e explícita.

A linha em questão atravessa Malataverne, localizada a sul de Montélimar, num local que

constituía o antigo local de passagem do rio Rhône, situado a 15 km da Donzère. A

primeira camada de solo sedimentar é constituída por calcários do Cretácico inferior,

sujeitos aos fenómenos de erosão e carsificação. A camada de calcário é coberta por uma

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Capítulo 1

18

argila margosa, com camadas finas de areia. No topo existe uma camada de areia

aluvionar.

Após terem decorrido seis meses desde o início dos trabalhos, e no seguimento da

ocorrência de elevadas precipitações, registou-se o colapso do maciço, por fuga da areia, o

que evidenciou a presença de uma rede cársica (Figura 1.17).

Figura 1.17 – Imagem da zona em que se verificou o colapso da via (Doan et al., 2002)

No rescaldo do acidente a SNCF criou uma comissão com o intuito de proceder ao

reconhecimento e caracterização da rede de cavidades cársicas (cartografia, hidrogeologia)

e à caracterização do solo (testes geofísicos e sondagens). Esta campanha permitiu apontar

a existência de várias aberturas, assim como estimar as suas dimensões. Como principal

conclusão do estudo, resultou a possibilidade de ocorrência de aberturas com 20 m de

diâmetro, que poderiam atingir os 30 m à superfície.

O aparecimento deste problema obrigou à concepção de uma nova solução, de forma a

evitar os riscos do colapso da via. Foram elaboradas diversas soluções mas a SNCF optou

por eliminar todas as que propusessem estacas, devido à possibilidade de ocorrência de

vazios no interior do maciço sob a ponta das estacas. Assim, a SNCF optou por avançar

com uma solução que consiste na construção de uma estrutura linear enterrada. A secção

transversal é em caixão multicelular, que proporciona grande rigidez à flexão e à torção.

Para além disso, permite a redistribuição de esforços, devido à sua hiperestaticidade

(Figura 1.18). Dado que a estrutura é enterrada, e portanto menos sensível às variações

térmicas, pôde ser construída de um modo contínuo aplicando certas medidas de reforço

das armaduras para ter em conta os esforços ocasionados pela retracção do betão.

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Introdução

19

Figura 1.18 – Secção transversal da solução (Doan et al., 2002)

A grande vantagem desta solução, para além de permitir vencer vãos superiores a 30 m,

reside na rapidez de execução e simples implementação. Nas Figuras 20, 21 e 22

apresentam-se alguns pormenores relativos à implementação da solução.

Figura 1.19 – Pormenor da construção do caixão (Doan et al., 2002)

Figura 1.20 – Vista do interior do caixão (Doan et al., 2002)

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Capítulo 1

20

Figura 1.21 – Pormenor do acesso lateral ao interior do caixão (Doan et al., 2002)

1.3.6 - Itália

Montanelli e Recalcati (2003) descrevem uma solução de reforço da linha ferroviária que

efectua a ligação entre Foligno e Terontola, em Itália. A linha foi construída no final do

século XIX, pelo que não estava preparada para ser submetida a tráfego de alta velocidade.

A via encontrava-se assente sobre um aterro de origem siltosa, sobrejacente a uma camada

de 10 m de argila normalmente consolidada. Tendo em conta o tipo de maciço interessado

pela via, é facilmente perceptível a existência de assentamentos da via devido ao carácter

cíclico da solicitação.

No intuito de aumentar a velocidade de circulação, procederam-se a obras de beneficiação

da via, que envolveram o reforço do sub-balastro com geogrelhas.

A escolha recaiu sobre a utilização de geogrelhas, pois para além de possibilitarem o

aumento da rigidez da plataforma, e logo permitirem o controlo dos assentamentos e das

tensões de corte, melhoram a capacidade de carga e a distribuição da carga, reduzindo o

nível de tensão transmitido à fundação. Adicionalmente, contribuem para um incremento

da eficiência do aterro em termos do seu amortecimento.

A solução adoptada consistiu na colocação de uma geogrelha geotêxtil e na substituição do

solo constituinte da parte superior do aterro (aproximadamente 70 cm de altura). Optou-se

por substituir o solo por material granular, pois para além de permitir a fácil drenagem da

água, evita os fenómenos de dissecação e levantamento. Na Figura 1.22 está representado

um corte da solução de reforço.

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Introdução

21

Figura 1.22 – Solução de reforço (Montanelli e Recalcati, 2003)

Um dos principais obstáculos à execução dos trabalhos de reabilitação da linha prendeu-se

com a necessidade de assegurar o tráfego na linha. Assim, todos os trabalhos tiveram que

ser realizados de noite, de forma a minimizar as interrupções. Durante as 6 horas deste

período nocturno, troços de 30 m de via eram completamente desmontados, escavados,

reforçados com a geomembrana, aterrados, compactados e novamente montados (Figura

1.23).

Figura 1.23 – Pormenor da execução dos trabalhos (Montanelli e Recalcati, 2003)

Para avaliar a qualidade da solução procedeu-se à sua monitorização. Para o efeito

colocaram-se extensómetros nas duas camadas da geogrelha, ligados a um sistema de

aquisição automática de dados capaz de registar frequências até 1 kHz. Na Figura 1.24

apresenta-se, a título de exemplo, o registo temporal correspondente à deformação da

geogrelha para a passagem de um comboio constituído por uma locomotiva e oito

carruagens, tendo-se registado valores máximos da ordem de 0,14% para a passagem da

locomotiva.

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Capítulo 1

22

Figura 1.24 – Registo temporal das deformações da geomembrana (Montanelli e Recalcati, 2003)

1.4 - OBJECTIVOS E ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO

Os objectivos da presente dissertação subordinam-se ao estudo dos efeitos dinâmicos em

lajes sobre estacas, quando submetidas a tráfego ferroviário de alta velocidade. Com este

trabalho pretende-se avaliar uma solução que tem sido utilizada nas redes europeias de alta

velocidade, mas sobre a qual se considera não existir informação suficiente relativamente

ao seu comportamento.

O estudo e desenvolvimento de metodologias de aplicação das cargas para implementação

num programa de cálculo automático comercial, assim como a comparação de diferentes

metodologias de resolução do problema, constituíram também objectivos do presente

trabalho.

A aplicação a um caso real, mais concretamente à solução utilizada na ligação entre o

Túnel da Mancha e a cidade de Londres, permitiu avaliar a sua eficiência, assim como

efectuar estudos comparativos relativamente à importância dos vários parâmetros a

considerar nos modelos numéricos.

A estrutura da presente dissertação é constituída por seis capítulos, o primeiro dos quais é

constituído pela presente introdução. Nos parágrafos seguintes é efectuada uma descrição

sumária dos conteúdos dos restantes capítulos.

No Capítulo 2 são apresentados os aspectos mais importantes relativamente ao

comportamento e modelação deste tipo de estruturas. É efectuado uma recolha

bibliográfica dos elementos que constituem as vias ferroviárias, assim como das diversas

formas de modelação.

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Introdução

23

O Capítulo 3 aborda os diferentes métodos de resolução das equações de equilíbrio

dinâmico. É apresentado o método de Newmark, o método da sobreposição modal e o

método dos vectores de Ritz. O capítulo termina com uma pequena aplicação das três

metodologias.

No Capítulo 4 efectua-se a modelação numérica da laje sobre estacas, efectuando-se a

comparação entre as diferentes metodologias de resolução das equações de equilíbrio

dinâmico. É igualmente efectuado um estudo paramétrico relativamente aos parâmetros

caracterizadores da via e do solo.

O Capítulo 5 corresponde à verificação de segurança da laje sobre estacas. É realizada a

análise dinâmica para os comboios reais e para o conjunto dos High Speed Load Models

(A e B), e efectuadas as verificações relativas à segurança estrutural, da via e do conforto

dos passageiros, à luz das mais recente regulamentação europeia.

Finalmente, no Capítulo 6, apresentam-se as principais conclusões do trabalho

desenvolvido, bem como as perspectivas relativas a desenvolvimentos futuros.

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CAPÍTULO 2

MODELAÇÃO DO SISTEMA VEÍCULO-VIA-ESTRUTURA

2.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS

A verificação das condições de circulação em estruturas ferroviárias é uma tarefa

importante e complexa, pois envolve a obtenção da resposta dinâmica da estrutura,

revestindo-se a utilização de modelos numéricos na simulação deste tipo de estruturas de

elevada importância, pois permitem a obtenção de informações relativas ao

comportamento dinâmico, assim como identificar os factores com maior impacto na

resposta.

De uma forma conceptual, as lajes sobre estacas para suporte da via férrea apresentam um

comportamento assimilável ao de uma ponte contínua de pequenos vãos, o que acarreta

problemas ao nível da modelação. Dieleman e Fournol (2003) apresentam um estudo sobre

esta matéria, no qual concluem que as formas correntes de modelação de pontes são

inadequadas para pontes de pequeno vão. Na Figura 2.1 apresenta-se a comparação dos

resultados obtidos por via numérica por estes autores com o programa Cedypia e pelo

método com os registados “in situ”.

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Capítulo 2

26

Velocidade [km/h]

Ace

lera

çao

[m/s

]2

Figura 2.1 – Comparação de resultados experimentais e numéricos (adaptado de Dieleman e

Fournol, 2003)

Como se verifica, existe uma grande disparidade entre os valores obtidos numericamente e

experimentalmente. Tal deve-se, segundo os autores, à incorrecta modelação de ponte,

nomeadamente (Figura 2.2):

i) Na definição do vão estrutural;

ii) Na imperfeita modelação do comportamento transversal da ponte;

iii) Na incorrecta contabilização da rigidez dos encontros, nomeadamente o efeito

friccional entre a ponte e o balastro;

iv) Na não inclusão da via, especialmente quando o carril é contínuo, devido ao efeito

compósito via-estrutura, para além da alteração da distribuição das cargas;

v) Na modelação do comboio apenas como um conjunto de cargas móveis,

desprezando os fenómenos de interacção entre este e a via.

Fricção do balastro

Esforços do aterro

Reacções do apoio

Vão de cálculo

Vão total

Continuidade da via

Distribuição da carga

Braço das forças

Figura 2.2 – Origem de erros na modelação de pontes de pequeno vão (adaptado de Dieleman e

Fournol, 2003)

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

27

Daqui se depreende a necessidade de uma correcta modelação de todos os elementos da

via, para que os resultados obtidos por via numérica possam traduzir com acuidade o

comportamento real da estrutura. Assim, no presente capítulo ir-se-á efectuar a

apresentação das distintas formas existentes na bibliografia para a modelação do conjunto

veículo-via-estrutura.

2.2 - MODELAÇÃO DA VIA

2.2.1 - Modelação dos componentes

O estudo da interacção dinâmica entre o veículo e a via tem sido alvo de um estudo

intensivo desde o início dos anos 70. Desde essa altura que têm sido desenvolvidos

numerosos modelos de interacção, ao mesmo tempo que as Administrações Ferroviárias de

vários países têm realizado diversas campanhas de ensaios experimentais no intuito de

avaliar e calibrar esses modelos (Zhai e Cai, 1997). Nas secções subsequentes ir-se-á

efectuar a apresentação de cada um dos componentes que constituem a plataforma

ferroviária, com vista à concepção de modelos numéricos. No final apresentar-se-ão

modelos adoptados por diversos autores para simulação da via ferroviária.

2.2.1.1 - Carril

O contacto entre o comboio e a via é uma fonte de geração de vibrações do sistema

ponte-comboio. Como facilmente se depreende, a existência de irregularidades ao nível do

carril ou da roda provoca a ocorrência de forças de impacto. Estas forças de impacto são

uma das principais causas de degradação da via ferroviária, pois proporcionam o início de

novas patologias nos carris e nas rodas, o que tem como principal consequência o

incremento da degradação da via.

Um dos fenómenos que parece estar presente em todas as linhas ferroviárias é a designada

“corrugation”, apesar de ainda não existir uma explicação bem fundamentada para a sua

génese. Pensa-se que a sua origem está relacionada com os efeitos dinâmicos do sistema

comboio-via ligado aos efeitos de ressonância no sistema combinado carril-eixo do

comboio. A “corrugation” manifesta-se pelo surgimento de irregularidades periódicas na

cabeça do carril (tipicamente com comprimentos de onda entre os 30 e os 300 mm). Um

aspecto interessante prende-se com o facto de aparentemente não existir nenhuma relação

entre a velocidade do comboio e o comprimento de onda de “corrugation”

(Dahlberg, 2003).

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Capítulo 2

28

Os carris deverão possuir uma superfície lisa de modo a proporcionar uma passagem suave

das rodas. Estruturalmente a sua função consiste em receber as solicitações e transmiti-las

aos elementos inferiores da via ferroviária. Deverão resistir não só às acções verticais e

horizontais provenientes das oscilações do comboio como também às forças de frenagem e

arranque. Adicionalmente poderão funcionar como condutores eléctricos para os sistemas

de sinalização.

No que concerne à modelação, o carril é habitualmente modelado como um elemento de

viga, podendo ser a formulação do elemento baseada na teoria de Bernoulli ou

Timoshenko. A diferença consiste na consideração, ou não, da deformação por esforço

transverso, sendo que a formulação que a considera, embora de uma forma simplificada, é

a de Timoshenko. O carril deverá ser apoiado em pontos discretos, que representam as

travessas. Zhai et al. (2004) aconselham a que o comprimento do carril seja

suficientemente prolongado para além do final da estrutura em análise, de modo a que o

efeito da condição fronteira seja minimizado. Dahlberg (2003) levanta o problema do

coeficiente de corte a adoptar na formulação de Timoshenko. O autor efectuou um estudo,

no qual compara resultados experimentais com resultados obtidos por via numérica, tendo

concluído que dependendo da gama de frequências existe um valor do coeficiente de corte

que melhor se adapta (Figura 2.3). Os estudos foram conduzidos para o carril UIC60, que é

o correntemente utilizado em linhas de alta velocidade, sendo que 60 é o valor da massa do

carril em kg por metro de desenvolvimento. No Quadro 2.1 encontram-se apresentadas as

propriedades do carril UIC60.

Figura 2.3 – Comparação dos valores dos coeficientes de corte medidos e calculados

(Dahlberg, 2003)

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

29

Quadro 2.1 – Propriedades do carril UIC60 (adaptado de Esveld, 2001)

Parâmetro Valor

Altura [mm] 172

Largura da cabeça [mm] 72

Largura da base [mm] 150

Área [cm2] 76,9

Massa [kg/m] 60,3

Momento de inércia y [cm4] 3055

Momento de inércia z [cm4] 513

Módulo de flexão y [cm3] 336

Módulo de flexão z [cm3] 68

2.2.1.2 - Palmilhas

As palmilhas são os elementos que se colocam entre os carris e as travessas com a

finalidade de proteger as travessas do desgaste e da danificação devido às cargas dinâmicas

transmitidas ao carril, para além de permitirem o isolamento eléctrico dos carris. Um

exemplo de um ensaio para a caracterização de uma palmilha encontra-se na Figura 2.4.

Figura 2.4 – Imagem do ensaio de uma palmilha (De Man, 2002)

As palmilhas desempenham um papel importante ao nível do comportamento dinâmico da

via, pois a sua rigidez condiciona o comportamento global da via. Palmilhas menos rígidas

proporcionam uma maior deformação do carril, ao mesmo tempo que a carga transmitida

pelo comboio é distribuída de uma forma mais homogénea e por um maior número de

travessas. Para além disso, actuam como um filtro das vibrações de frequência mais

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Capítulo 2

30

elevada. Por seu turno, as palmilhas rígidas permitem uma transmissão mais directa da

carga e não possuem a capacidade de filtrar as frequências de magnitude mais elevada.

Como grande vantagem, proporcionam uma menor deformação do carril aquando da

passagem do comboio, daí que sejam as mais correntes em vias de alta velocidade

(Dahlberg, 2003).

A modelação destes elementos tem sido efectuada com base em modelos de mola-

amortecedor. Regra geral, as molas são assumidas com comportamento linear, ao passo

que o amortecimento é tido como proporcional à velocidade de deformação da palmilha. A

caracterização da rigidez e amortecimento das palmilhas é um assunto bastante complexo,

pois são elementos resilientes compostos por materiais visco-elásticos, logo a

quantificação da rigidez é altamente complexa, pois é dependente de parâmetros tão vastos

como a pré-carga estática, a temperatura, a frequência da solicitação e o nível de

deformação em causa.

Nesta área é de salientar o trabalho laboratorial desenvolvido por De Man (2002) na

determinação das funções de resposta em frequência (FRF) para diversas palmilhas

submetidas a diferentes pré-cargas iniciais. A partir das FRF’s é possível estimar a rigidez

e o amortecimento de cada uma das palmilhas ensaiadas. Um aspecto a salientar do estudo

realizado por este autor prende-se com o facto de ter ensaiado não só palmilhas novas,

como também palmilhas usadas, pelo que foi possível estudar a evolução dos parâmetros

caracterizadores destes elementos. Os resultados obtidos estão apresentados no Quadro 2.2.

Em todas as palmilhas foi aplicada uma pré-carga estática de 20 kN, valor que é aplicado

aquando da instalação das palmilhas nas linhas ferroviárias de alta velocidade holandesas.

Quadro 2.2 – Propriedades dinâmicas de palmilhas novas e usadas (adaptado de De Man, 2002)

Palmilha kp [MN/m] cp [kNs/m]

4,5 mm para UIC54 (nova) 1387 33,1

4,5 mm para UIC54 (usada) 2127 44,9

8,0 mm para UIC54 (usada) 1191 38,4

4,5 mm para NP46 (usada) 1702 36,3

4,5 mm para UIC60 (nova) 1611 31,7

6,5 mm para S49 (nova) 1095 30,0

5,0 mm para S49 (nova) 4005 24,8

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

31

Como se verifica, a rigidez e o amortecimento das palmilhas são muito variáveis, sendo

esta variação função não só da espessura, mas também do seu estado de conservação.

De Man efectuou também um estudo comparativo da variação da rigidez das palmilhas

para uma variação dos valores da pré-carga estática no tempo. Da análise da Figura 2.5 fica

claro, mais uma vez, que a rigidez destes elementos é dependente da pré-carga instalada,

assim como da história de tensões experimentada.

a) b)

Figura 2.5 – Valor médio da rigidez das palmilhas para: a) valores de pré-carga estática crescentes

e b) valores de pré-carga estática variáveis no tempo (adaptado de De Man, 2002)

Ao nível dos ensaios laboratoriais é também de destacar o trabalho desenvolvido por

Thompson et al. (1998), que ensaiou quatro palmilhas Pandrol 5877 com 10 mm de

espessura. Este tipo de palmilha é habitualmente utilizado na Suécia, sendo muito similar

às utilizadas no Reino Unido, Bélgica, Noruega e Finlândia. Na Figura 2.6 apresentam-se

as propriedades estáticas das palmilhas. Como é perceptível, mediante o nível de pré-carga

instalada, a palmilha evidência uma rigidez estática distinta. Verifica-se ainda que até uma

pré-carga de aproximadamente 25 kN a rigidez estática é constante, valor a partir do qual

começa a aumentar rapidamente. No Quadro 2.3 apresentam-se os resultados obtidos pelo

autor para a rigidez estática e dinâmica das palmilhas para diferentes pré-cargas estáticas.

Da análise do quadro pode-se concluir que a rigidez dinâmica também é variável com a

pré-carga estática instalada. No entanto, verifica-se que a razão entre a rigidez estática e a

rigidez dinâmica se mantém constante, independentemente do nível de pré-carga instalada.

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Capítulo 2

32

a) b)

Figura 2.6 – Propriedades estáticas das palmilhas: a) deslocamento e b) rigidez

(adaptado de Thompson et al., 1998)

Quadro 2.3 – Rigidez dinâmica para diferentes pré-cargas (adaptado de Thompson et al., 1998)

Pré-carga estática [kN] 20 30 40 60 80

Frequência [Hz] 74 84 106 166 245

Rigidez estática [MN/m] 19 25 37 95 299

Rigidez dinâmica [MN/m] 65 85 135 330 720

Rigidez dinâmica/estática 3,4 3,4 3,6 3,5 3,6

Broeck (2001) apresenta um levantamento dos valores da rigidez e do amortecimento das

palmilhas (Quadro 2.4). Mais uma vez está patente a grande variedade de valores destes

parâmetros.

Quadro 2.4 – Características das palmilhas encontradas na bibliografia (adaptado de Broek, 2001)

Referência kp [MN/m] cp [kNs/m] Descrição

140 45 10 mm, borracha Nielsen (1993)

70 5

Ripke e Hempelmann (1994) 770 100 5 mm, carril pesado, pré-carga aplicada

Ripke (1992) 300 45 5 mm, carril leve, pré-carga aplicada

280 63 5 mm, antes de “tamping” Grassie et al. (1982)

225 28 5 mm, após “tamping”

280 50 5 mm, balastro congelado Grassie e Cox (1984)

250 26

Clark et al. (1982) 250 38

Knothe and Wu (1999) 100 14

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

33

A International Union of Railways (UIC, 2001) apresenta um estado da arte na qual faz

referência aos diferentes tipos de palmilhas utilizados nos países onde existem linhas de

alta velocidade (Quadro 2.5). É notória a adopção por parte de diversos países de uma

rigidez estática de 100 kN/mm, com excepção da Alemanha e Espanha para linhas com

velocidade até aos 300 km/h.

Quadro 2.5 – Características estáticas das palmilhas utilizadas nas linhas de alta velocidade

europeias (adaptado de UIC, 2001)

País

França Alemanha Itália Espanha Bélgica

Velocidade [km/h] 300 350 300 300 350 300 350 320

Espessura [mm] 9 9 10 10 10 6 7 10

Rigidez vertical estática

[kN/mm] 100 100 27 100 100 500 100 50-100

2.2.1.3 - Travessas

A maioria das estruturas ferroviárias consiste em carris assentes sobre travessas (de

madeira ou betão) colocados sobre o balastro. As vias balastradas são utilizadas desde o

início da utilização do transporte ferroviário. A razão de tão elevada longevidade, sendo

ainda utilizada dias de hoje, prende-se com o facto de ser uma solução muito económica

que fornece a resiliência necessária à via para resistir aos impactos das cargas dinâmicas.

Para além disso, é uma técnica que foi sendo optimizada e aperfeiçoada, principalmente ao

nível das operações de manutenção e reparação, e sob a qual existe um elevado

“know-how” por parte das administrações ferroviárias.

As travessas têm como principal função proporcionar o suporte dos carris, preservar o

gabarit, o nível e o alinhamento da via. As travessas permitem a transmissão das forças

verticais, transversais e longitudinais, desde o carril até ao balastro. Adicionalmente

proporcionam o isolamento eléctrico entre os dois carris. Hoje em dia, nas novas vias de

alta velocidade, as travessas são de betão pois apresentam uma maior durabilidade e

resistência. Identificam-se duas famílias de travessas, a monobloco e a bibloco

(Figura 2.7).

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Capítulo 2

34

a) b)

Figura 2.7 – Travessas: a) monobloco (Freudenstein, 2006) e b) bibloco (Rhomberg, 2006)

No Quadro 2.6 apresentam-se as características das travessas correntemente utilizadas nas

linhas europeias de alta velocidade.

Quadro 2.6 – Características das travessas utilizadas nas linhas de alta velocidade europeias

(adaptado de UIC, 2001)

País

França Alemanha Itália Espanha Bélgica

Velocidade

[km/h] 300 350 300 300/350 300 350 300 350 350

Tipo B/M a B/M a M B90 b M B75 c M d M d M d M d M d

Espaçamento

[m] 0,60 0,60 0,60 0,63 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60

Massa [kg] 245/290 245/290 330 380 400 400 300 320 300

Comprimento

[mm] 2415/2500 2415/2500 2600 2800 2600 2600 2600 2600 2500

Largura

[mm] 290 290 320 330 300 300 300 300 300

Altura [mm] 220 220 180 200 220 220 222 242 200 a

215

Área efectiva

por carril

[cm2]

2436/3944 2436/3944 3340 3780 3900 3900 3010 3010 3688

a Bibloco/Monobloco; b Monobloco B90; c Monobloco B70; d Monobloco

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

35

Quanto à modelação numérica, as travessas têm sido assimiladas a massas concentradas ou

a elementos de viga, estando esta diferenciação relacionada com o tipo de travessa

utilizada, e com a modelação adoptada para simular a via.

2.2.1.4 - Balastro

O balastro tem como função suportar a via férrea e transmitir as solicitações à fundação.

Deve também estar preparado para resistir às mesmas solicitações que as travessas, e

deverá ser convenientemente compactado, principalmente junto a estes elementos, de

modo a manter a via alinhada e nivelada. Adicionalmente, o balastro tem como função

distribuir a solicitação por uma área superior, baixando o nível de tensão e minimizando a

assentamento do sub-balastro. A sua utilização face às soluções de laje tem como grande

vantagem, o facto de existir uma grande experiência na sua utilização, para além de já se

terem desenvolvido técnicas adequadas para a sua manutenção. Adicionalmente,

proporciona uma fácil drenagem da via, assim como uma redução muito significativa dos

problemas de congelação e o controle do crescimento de vegetação. No que concerne aos

custos, a solução balastrada apresenta menores custos iniciais, embora exija maiores custos

de manutenção (Esveld, 2001).

Figura 2.8 – Imagem de um troço de via balastrada

No Quadro 2.7 encontram-se apresentadas as principais características do balastro

utilizadas nas linhas de alta velocidade europeias. É de notar que não existem diferenças

muito significativas entre os diversos países. No entanto, na Alemanha as vias balastradas

são pouco utilizadas tendo este país optado ultimamente na construção das novas vias pelo

sistema Rheda 2000 (via em laje).

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Capítulo 2

36

Quadro 2.7 – Características do balastro das linhas de alta velocidade europeias

(adaptado de UIC, 2001)

País

França Alemanha Itália Espanha Bélgica

Velocidade [km/h] 300/350 300 300 300 350 320

Dimensão das partículas de

balastro mínimo/máximo

[mm]

25/50 22,4/63 30/60 32/63 32/63 25/50

Espessura mínima da

camada de balastro [cm] 30 35/40* 35 30 35 35

* Recomendado

Grande parte das operações de manutenção em vias de alta velocidade é relativa à

manutenção do balastro. Segundo Schmitt (2006) o custo de manutenção do balastro

representa 40 a 50% dos custos totais de manutenção da via, sem contabilizar as operações

de substituição do balastro. Já Zhai et al. (2004) apontam para que 75% dos trabalhos

diários de manutenção nas vias ferroviárias chinesas estejam relacionados com o balastro.

A magnitude destes números está relacionada com a pouca investigação tem sido efectuada

sobre o comportamento dinâmico do balastro, de forma a conseguir prever com exactidão o

seu comportamento quando excitado por solicitações dinâmicas. Schmitt (2006) sugere que

as causas de tal lacuna ao nível da investigação se prendem com a dificuldade em recolher

amostras representativas do balastro e experimentá-las de um modo adequado, o que pode

ser contornado com a realização de ensaios em modelos reduzidos, mas acima de tudo com

a pequena espessura do balastro que deixa em aberto a questão da assimilação a um meio

discreto ou contínuo (em média a camada de balastro tem dez partículas em altura). Daí

que, ao nível da sua modelação, existam, em regra, duas abordagens distintas; a contínua e

a discreta.

Os modelos discretos assentam na discretização das partículas constituintes do balastro.

São por isso modelos bastante complexos, cujo campo de aplicação está limitado ao estudo

de leis de assentamento do balastro e aos fenómenos de interacção entre as partículas de

balastro. Ricci et al. (2005) e Saussine et al. (2006) apresentam duas metodologias distintas

para a discretização do balastro (Figura 2.9).

Estas formulações permitem aceder a informações que seriam inalcançáveis através de

modelos contínuos. Possibilitam a determinação das forças de contacto entre as partículas

constituintes do balastro, assim como a avaliação do re-arranjo físico que ocorre, o que

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

37

permite quantificar o assentamento cumulativo resultante da passagem de cargas cíclicas

(Schmitt, 2006).

Figura 2.9 – Modelo discreto do balastro (Saussine et al., 2006)

Por seu turno os modelos contínuos proporcionam uma resposta global do balastro, sendo

mais adequados para simulação de troços de via solicitados por comboios ou por conjuntos

de cargas móveis. Os modelos contínuos podem ser compostos por elementos finitos, ou

por elementos de massa-mola-amortecedor consoante a complexidade desejada. Os

modelos de elementos finitos acarretam maiores tempos de cálculo, para além de

necessitarem da incorporação de leis constitutivas que nem sempre são fáceis de obter. Já

os modelos de massa-mola-amortecedor são bastante eficazes, na medida em que

necessitam apenas de dois parâmetros para ficarem completamente caracterizados; rigidez

e amortecimento.

2.2.2 - MODELAÇÃO DO CONJUNTO

Os modelos mais simples para modelação da via consistem em modelos em que o carril é

modelado com elementos de viga, as palmilhas como um conjunto mola-amortecedor, a

travessa como massas concentradas e o balastro como um conjunto massa-mola-

amortecedor. Estes modelos têm a vantagem de traduzirem adequadamente o carácter

descontínuo do apoio conferido pelas travessas ao carril. A grande dificuldade destes

modelos prende-se, como já atrás se referiu, com a correcta caracterização dos parâmetros

de cada elemento, uma vez que existe na bibliografia uma grande variedade de valores.

Um dos primeiros autores a estudar o fenómeno de interacção foi Esveld (2001). Na

Figura 2.10 e no Quadro 2.8, estão apresentados três modelos propostos por este autor para

a modelação da via. Os três modelos apresentam graus de complexidade distintos, sendo

claro que o modelo que simula com maior aproximação a realidade é o c. Tal é devido à

existência de apoios discretos, que representam as palmilhas e a travessas a suportar o

carril, e à consideração das diversas camadas de via. Para além disso, são consideradas as

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Capítulo 2

38

propriedades de rigidez e amortecimento do balastro e das travessas, ou seja, este modelo

permite considerar todos os componentes da via, e a sua influência na resposta dinâmica da

estrutura.

tωF(t)=Q e

Viga sobre fundação elástica com amortecimento

a

Viga dupla

i

b

Afastamento das travessas

c

p

f

Via com apoios elásticos

Figura 2.10 – Modelos da via (adaptado de Esveld, 2001)

Quadro 2.8 – Parâmetros para os modelos da via (adaptado de Esveld, 2001)

Notação Parâmetro Valor

EIr [Nm2] Rigidez à flexão do carril 4,5x106

mt [kg/m] Massa da via 119

mr [kg/m] Massa do carril 54,43

ms [kg/m] Massa da travessa 157

kt [N/m2] Rigidez da via 4,0x107

kp [N/m2] Rigidez da palmilha 2,5x108

kf [N/m2] Rigidez da fundação 4,0x107

ct [Ns/m2] Amortecimento da via 1,2x105

cp [Ns/m2] Amortecimento da palmilha 9,0x104

cf [Ns/m2] Amortecimento da fundação 1,2x105

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

39

Oscarsson (2001) também apresenta um modelo onde a interacção entre a via e a estrutura

é contemplada (Figura 2.11). O autor recorre a um modelo linear onde a via e a carga são

assumidas simétricas, pelo que só metade da via é modelada. O carril é modelado como

viga de Timoshenko, sendo as suas propriedades correspondentes às do carril UCI60,

encontrando-se discretamente apoiado nas palmilhas e nas travessas. As travessas são

elementos rígidos, pois a quantificação dos esforços de flexão que se desenvolvem não

apresenta um papel importante para o comportamento dinâmico da via. Cada travessa

possui dois graus de liberdade, o deslocamento vertical e a rotação no plano.

cp

kf c

f

kp

kw

cw

kb c

b

Figura 2.11 – Modelo para simular a interacção entre a via e a estrutura (adaptado de

Oscarsson, 2001)

Com o intuito de calibrar o modelo, o autor confrontou curvas de receptância calculadas

com base em medições na linha. A obtenção de uma boa aproximação foi conseguida

através de um processo de optimização, no qual se supôs como conhecida a informação

relativa a todos os parâmetros, com excepção dos relativos ao balastro e palmilhas.

O processo de optimização consistiu no ajuste das FRF medidas com as calculadas, tendo

este processo sido realizado para duas pré-cargas estáticas. A rigidez do balastro e das

palmilhas aumentou com o aumento da pré-carga, enquanto da rigidez tangencial foi obtida

pelo processo de optimização. Os valores da rigidez foram obtidos através de simulações

numéricas, de forma a obter para a pré-carga instalada os deslocamentos da travessa

medidos. No Quadro 2.9 e na Figura 2.12, apresentam-se os resultados obtidos pelo autor,

através do ajuste das FRF medidas e calculadas.

Como se verifica, a pré-carga desempenha um papel fundamental ao nível das

propriedades da via. No entanto, denota-se que a pré-carga apenas influencia a amplitude

da resposta, pois a fase permanece inalterável.

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Capítulo 2

40

Quadro 2.9 – Propriedades da via para dois valores de pré-carga (adaptado de Oscarsson, 2001)

Valor Notação Parâmetro

Pré-carga 180 kN Pré-carga 260 kN

kp [MN/m] Rigidez da palmilha 505 738

cp [kNs/m] Amortecimento da

palmilha 54 59

kb [MN/m] Rigidez do balastro 641 767

cb [kNs/m] Amortecimento do

balastro 467 460

mf [t] Massa do solo 13,5 13,8

kf [MN/m] Rigidez do solo 603 637

cf [kNs/m] Amortecimento do solo 508 797

kw [MN/m] Rigidez de corte do

balastro 717 476

cw [kNs/m] Amortecimento de corte

do balastro 173 96

Frequência [Hz]

|FR

F| [

nm/N

]F

ase

10 100 1000

2

4

6-180

-90

0

Pré-carga estática - 180 kNPré-carga estática - 260 kN

Figura 2.12 – Comparação da resposta medida e numérica obtida para a travessa (adaptado de

Oscarsson, 2001)

No intuito de aferir a importância da rigidez transversal do balastro, Oscarsson procurou

avaliar a sua influência na resposta da via. O autor estimou valores para a rigidez

transversal da via a partir da medição dos deslocamentos das travessas, tendo depois

efectuado o processo de optimização para a determinação dos restantes parâmetros

caracterizadores da via (Quadro 2.10).

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

41

Quadro 2.10 – Parâmetros da via, obtidos para diferentes valores da rigidez tangencial

(Oscarsson, 2001)

Valor Notação Parâmetro

kwmin kw

max kwmed

kp [MN/m] Rigidez da palmilha 457 429 432

cp [kNs/m] Amortecimento da palmilha 50 59 56

kb [MN/m] Rigidez do balastro 554 517 446

cb [kNs/m] Amortecimento do balastro 679 832 718

ms [t] Massa do solo 10,9 9,2 7,6

ks [MN/m] Rigidez do solo 450 408 253

cs [kNs/m] Amortecimento do solo 224 116 117

kw [MN/m] Rigidez de corte do balastro 950 1600 2250

cw [kNs/m] Amortecimento de corte do balastro 268 299 142

É visível que o aumento da rigidez tangencial se traduz numa redução da rigidez do

balastro, assim como da massa vibrante. Tal ocorre devido ao incremento de rigidez que se

regista entre as massas de balastro, o que implica que as massas de balastro adjacentes

vibrem em simultâneo com a massa na qual está a ser aplicada a carga.

Broeck (2001) propôs um modelo (Figura 2.13) para estimar o nível de vibrações

transmitidas ao meio envolvente pela passagem de um comboio. Apesar do objectivo não

coincidir com o pretendido neste trabalho, o modelo em si é conceptualmente idêntico aos

anteriormente propostos, propondo não só a interacção entre a via a e estrutura, mas

também a interacção entre o comboio e a via.

Figura 2.13 – Modelo para simulação da interacção entre o comboio a via e o maciço envolvente

(adaptado de Broeck, 2001)

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Capítulo 2

42

O carril é modelado como uma viga de Timoshenko, na qual a deformação por corte é tida

em conta. O carril encontra-se discretamente apoiado nas travessas, modeladas como

massas rígidas, sendo as palmilhas representadas por um sistema de molas-amortecedores.

O balastro e o sub-balastro são modelados através do método dos elementos fronteira, com

recurso a uma matriz de rigidez dinâmica, determinada a partir da utilização das funções de

Green. No intuito de calibrar o modelo o autor efectuou um estudo para um caso de

referência, tendo adoptado os parâmetros presentes no Quadro 2.11. Uma vez que havia

parâmetros que na bibliografia possuíam uma elevada dispersão de valores, Broeck

resolveu efectuar um estudo paramétrico de modo a avaliar a importância de cada um,

estando também apresentado no quadro o intervalo estudado para cada parâmetro.

Quadro 2.11 – Valores adoptados no estudo paramétrico (Broek, 2001)

Parâmetro Valor Variação

Carga estática [kN] 50,3 10-112,5

Massa [kg] 380 80-900

Velocidade [km/h] 70 40-160 Comboio

Contacto Hertziano [GN/m] 1,21

Carril UIC60 -

Rigidez [MN/m] 250 50-800 Palmilha

Amortecimento [kNs/m] 50

Massa [kg] 200

Comprimento [m] 2,6

Largura [m] 0,26 Travessa

Afastamento [m] 0,6

Módulo de distorção [N/m2] 4,5× 107 2-23× 107

Coeficiente de Poisson 0,33

Densidade [kg/m3] 2000

Balastro e

sub-

estracto Amortecimento 0,005 0,005-0,10

O autor concluiu no seu estudo, que a variação dos parâmetros do balastro e das palmilhas

não tem muita significância para o nível de vibrações transmitido ao meio envolvente

assim como para a magnitude das forças de interacção que se desenvolvem entre o

comboio e o carril (Figura 2.14).

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

43

a) b)

Figura 2.14 – Função densidade espectral para a força de interacção entre comboio e carril

considerando: a) três valores da rigidez de palmilha e b) três valores do módulo de distorção

(adaptado de Broeck, 2001)

Com o objectivo de comparar a influência da não linearidade das palmilhas ao nível das

forças que se desenvolvem entre os componentes da via férrea, Wu e Thompson (2003)

efectuaram um estudo relativo ao comportamento não linear das palmilhas, confrontando

uma análise linear com uma não linear. O modelo utilizado pelos autores está presente na

Figura 2.15, onde é contemplada a interacção entre a via e a estrutura e entre o comboio e a

via, embora esta última o seja de uma forma simplificada.

Figura 2.15 – Modelo da interacção (adaptado de Wu e Thompson, 2003)

O carril é modelada por uma viga de Timoshenko, assente numa fundação discreta de

mola-massa-mola que representa respectivamente a palmilha, a travessa e o balastro. A

interacção entre a roda e o carril é simulada através de um contacto não linear (rigidez

Hertziana – ver secção 2.4.1) e a perda de contacto entre o carril e a palmilha e entre a

travessa e o balastro é contemplada. As palmilhas e o balastro são modelados através de

conjuntos mola-amortecedor com comportamento não linear. Com o intuito de avaliar o

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Capítulo 2

44

comportamento das palmilhas foram realizados ensaios de medição da rigidez estática e

dinâmica (Figura 2.16).

a) b)

Figura 2.16 – Rigidez das palmilhas: a) estática e b) dinâmica (adaptado de Wu e Thompson, 2003)

Como é perceptível pela análise da figura, a rigidez estática aumenta quase linearmente

com a carga, ocorrendo o mesmo com a rigidez dinâmica. Verifica-se também que a

rigidez dinâmica das palmilhas a altas frequências é geralmente mais elevada do que a

estática devido às propriedades não lineares dos elastómeros e, para frequências muito

elevadas, devido a problemas internos de ressonância.

Wu e Thompson aconselham a utilizar na modelação a rigidez dinâmica e não a estática.

No estudo apresentado, os autores utilizaram as palmilhas da Figura 2.16 b). A razão entre

a rigidez dinâmica e estática é, neste caso para uma pré-carga de 40 kN de 3,6 e 2,3, para

palmilhas médias e duras, respectivamente.

O primeiro estudo realizado pelos autores prendeu-se com a influência da rigidez da

palmilha no comportamento da via (Figura 2.17). Ficou claro que utilizando palmilhas

mais rígidas, as forças são mais elevadas. Notou-se igualmente que a força mais elevada

surge ao nível do contacto entre a roda e o carril, ao passo que a menor ocorre no balastro.

Tal, deve-se não só ao efeito distribuidor do carril e ao isolamento conferido pelas

palmilhas, como também à inércia do carril e das travessas.

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

45

a) b) c)

Figura 2.17 – Forças de impacto: a) no contacto entre a roda e o carril, b) nas palmilhas e c) no

balastro (adaptado de Wu e Thompson, 2003)

Os autores efectuaram ainda um estudo linear com recurso ao mesmo modelo. Os

parâmetros foram admitidos como sendo constantes, e foram determinados a partir das leis

não lineares dos materiais, para uma pré-carga de 100 kN (Figura 2.18). Apesar de o

modelo permitir a perda de contacto entre os diversos elementos constituintes da via,

devido ao carácter linear da modelação a perda de contacto não é possível de ocorrer.

a) b) c)

Figura 2.18 – Forças de impacto lineares: a) no contacto entre a roda e o carril, b) nas palmilhas e

c) no balastro (adaptado de Wu e Thompson, 2003)

É perceptível no modelo linear uma redução das forças de impacto, especialmente para

palmilhas médias e duras. Isto deve-se ao facto de a rigidez das palmilhas e do balastro, no

modelo não linear, aumentar com a carga, ou seja, para cargas elevadas estes elementos

tornam-se muito rígidos, resultando em elevadas forças de contacto. Para além disso,

regista-se uma redução do nível de vibração, estando este facto relacionado com o facto de

o deslocamento calculado no modelo não linear ser superior, devido às maiores forças de

impacto geradas por neste modelo.

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Capítulo 2

46

Os autores concluem do estudo que para a modelação do impacto entre a roda e o carril o

modelo linear não é suficiente, pois as forças de interacção resultantes são muito

superiores, para além de a rigidez do balastro e das palmilhas aumentar significativamente

com a carga. No entanto, caso a excitação seja devida à rugosidade na superfície do carril e

na roda, podem-se usar modelos lineares, pois as forças de interacção que se desenvolvem

são moderadas.

Zhai et al. (2004) apresentam uma proposta para a modelação da via (Figura 2.19). Os

autores quantificam os parâmetros do balastro assumindo que a distribuição de carga da

travessa para o balastro apresenta uma forma aproximadamente cónica (Figura 2.20).

Figura 2.19 – Modelo da via (Zhai et al., 2004)

Figura 2.20 – Modelo da distribuição de carga no balastro (Zhai et al., 2004)

O modelo prevê que sob a travessa a distribuição da carga é uniformemente distribuída

dentro do cone, ao passo que fora do cone o nível de tensão é nulo. Pode então concluir-se

que a parte do balastro que está em vibração é a que se encontra no interior do cone.

Assim, para a análise dinâmica da via, o balastro pode ser modelado como uma série de

massas separadas em vibração, ligado por um conjunto de molas e amortecedores à

fundação.

A massa do balastro em vibração pode ser estimada pela seguinte expressão:

( ) ( ) ( )2 24

3b b b e b e b b bM h l l l l h tg h tg = + + +

ρ α α (2.1)

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

47

Na expressão anterior, ρb representa a densidade do balastro, hb é a espessura, le é o

comprimento efectivo de metade da travessa, lb é a altura da travessa contida dentro do

balastro e α é o ângulo de distribuição de tensões. A rigidez do balastro é a dada pela

seguinte expressão:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) b

bebbbe

beb E

tghltghlll

tgllk

ααα

22ln

2

++−

= (2.2)

Os parâmetros são os já apresentados, com excepção de Eb que representa o módulo de

deformabilidade do balastro. A metodologia exposta parte do princípio que não existe

sobreposição dos cones de tensão no balastro. Este pressuposto é facilmente verificável em

camadas de balastro de pequena espessura, mas para situações em que se recorra a maiores

espessuras, ou a pequenas distâncias entre travessas, pode ocorrer a sobreposição.

Nesses casos, o modelo dever ser modificado, passando a massa vibrante a ser definida

pela seguinte expressão:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−+−++= αααρ 23

0

32

0

2

3

4' tghhtghhltghlhlM bbebebbbb (2.3)

O cálculo da rigidez também é distinto, envolvente a aplicação das expressões:

( )0 2s b

b

l lh h

tg

−= −

α (2.4)

' 1 2

1 2

b bb

b b

K KK

K K=

+ (2.5)

( ) ( )( ) ( )( )1

2

ln

e bb b

e s e s b

l l tgk E

l l l l l

−=

+ −

α (2.6)

( )( ) ( )( )2

2 2

2s s b e b

b bb s b

l l l l h tg tgk E

l l h tg

− + +=

− +α αα

(2.7)

Zhai e Cai (1997) consideram que uma das principais limitações existentes nas modelações

correntes do balastro é o desprezo das tensões tangenciais que se desenvolvem entre os

diversos cones de tensão. Assim, os autores introduzem os conceitos de rigidez de corte e

amortecimento de corte, tal como Oscarsson, de modo a ter em conta a continuidade e

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Capítulo 2

48

ligação do balastro. Este efeito é tido em conta através da colocação de um sistema de

molas e amortecedores a ligar os cones de tensão.

Com o intuído de validarem o modelo numérico, os autores efectuaram um ensaio

experimental na linha de alta velocidade que efectua a ligação entre Chengdu-Kunming no

Sul da China. No Quadro 2.12 encontram-se representados os parâmetros utilizados por

Zhai et al. (2004) na simulação numérica.

Quadro 2.12 – Parâmetros utilizados no modelo (adaptado de Zhai et al., 2004)

Notação Parâmetro Valor

Er [N/m2] Módulo de elasticidade do carril 2,059x1011

Ir [m4] Inércia do carril 3,217x10-5

mr [kg/m] Massa do carril 60,64

ms [kg] Massa da travessa (metade) 125,5

kp [N/m] Rigidez da palmilha 6,5x107

cp [Ns/m] Amortecimento da palmilha 7,5x104

ls [m] Espaçamento entre travessas 0,545

le [m] Comprimento efectivo de metade da travessa 0,95

lb [m] Altura da travessa 0,273

ρb [kg/m3] Densidade do balastro 1,8x103

Eb [Pa] Módulo de elasticidade do balastro 1,1x108

cb [Ns/m] Amortecimento do balastro 5,88x104

kw [N/m] Rigidez de corte do balastro 7,84x107

cw [Ns/m] Amortecimento de corte do balastro 8,0x104

α (º) Ângulo de distribuição de tensão 35

hb [m] Espessura do balastro 0,45

Esb [Pa/m] Módulo de elasticidade do sub-balastro 9,0x107

csb [Ns/m] Amortecimento do sub-balastro 3,115x104

A rigidez das palmilhas foi medida em laboratório, enquanto os valores para o balastro e

sub-balastro foram encontrados a partir do modelo do cone já anteriormente apresentado.

O valor obtido para as propriedades do balastro encontra-se muito próximo dos que foram

encontrados em ensaios realizados em laboratório e “in-situ”.

Relativamente ao amortecimento, este é o parâmetro que os autores consideram mais

difícil de estimar. O valor utilizado no cálculo foi obtido a partir de ensaios “in situ”

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

49

frequentemente realizados na China, “wheelset-dropping test”. Já os valores da rigidez e

amortecimento transversal utilizados foram baseados na experiência da Chinese Railways,

não existindo dados experimentais que os possam validar.

Na Figura 2.21 encontra-se a comparação dos resultados medidos e previstos pelo modelo

numérico, observando-se uma boa concordância entre ambos. Estes resultados

correspondem à passagem de uma locomotiva típica chinesa C62A a uma velocidade de

60 km/h. Na Figura 2.22 encontra-se representado o espectro de acelerações do balastro

onde é possível notar uma boa correlação entre resultados experimentais e numéricos.

a) b)

Figura 2.21 – Comparação dos resultados: a) experimentais e b) numéricos, relativos à passagem de

um comboio a 60 km/h (Zhai et al., 2004)

Figura 2.22 – Comparação do espectro de acelerações experimental e numérico (Zhai et al., 2004)

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Capítulo 2

50

Uma vez que os autores não possuíam informações fidedignas relativamente aos

parâmetros de corte, e possuíam um modelo, que em sua opinião se encontrava calibrado,

resolveram efectuar um estudo paramétrico acerca da influência destes parâmetros na

resposta do balastro. Os resultados obtidos encontram-se apresentados no Quadro 2.13.

Quadro 2.13 – Efeito dos parâmetros de corte no comportamento do balastro

(adaptado de Zhai et al., 2004)

Com elementos de corte

Valor medido

Sem

elementos de

corte Parâmetros do

Quadro 2.12

Parâmetros da

Autoridade

Sueca

Aceleração do balastro [m/s2] 4,69 5,26 4,97 3,94

Desvio padrão [%] - +12 +6 -16

Da análise dos resultados, ficou claro que caso não se considere o efeito de corte se obtêm

valores superiores para a aceleração do balastro. Comparam-se também os resultados para

diferentes valores dos parâmetros de corte, nomeadamente os obtidos pela Autoridade

Sueca, com os quais se obtiveram valores inferiores para a aceleração do balastro. É

notório que o efeito de fricção e impacto das pedras do balastro induzem um movimento

contrário nos blocos de balastro adjacentes, de forma a que o nível de vibração de um

bloco de balastro vai ser atenuado pelo adjacente. Caso se despreze o efeito de corte essa

atenuação perde-se. Adoptando valores muito elevados este efeito vai ser muito

significativo, verificando-se um decréscimo da vibração que não corresponde à realidade.

Daí que os autores tenham concluído que os parâmetros de corte do balastro sejam muito

importante para a definição do comportamento dinâmico do balastro.

Em Schmitt (2006) é apresentada uma modelação tridimensional da plataforma ferroviária

e do seu meio envolvente (Figura 2.23).

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

51

Figura 2.23 – Modelo da via (Schmitt, 2006)

Trata-se de um modelo bastante complexo, no qual o balastro é construído com elementos

de volume. Em todos os elementos se adoptou um comportamento linear, com excepção do

balastro. Para este, foi encontrada em laboratório, com base em ensaios em modelo

reduzido, uma lei de assentamento que regula a não linearidade deste elemento. A

geometria da via é actualizada após a realização de cada análise dinâmica associada a cada

passo de integração, para que as alterações introduzidas na geometria sejam contabilizadas

no instante seguinte da análise dinâmica.

O autor comparou resultados obtidos experimentalmente com os provenientes da

modelação dinâmica, a partir dos quais foi possível confirmar a boa correlação existente

entre ambos, não só no domínio do tempo, como também no domínio da frequência

(Figura 2.24).

Tempo [s]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0.5

1.0

1.5

-0.5

0

-1.0

Ace

lera

ção

[g]

MeasurementsCESAR-LCPC

Figura 2.24 – Comparação da aceleração vertical de uma travessa (adaptado de Schmitt, 2006)

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Capítulo 2

52

No que concerne à regulamentação, o Eurocódigo não apresenta nenhum modelo para

simular a interacção. No entanto, em ERRI-D214 RP9 é apresentado um modelo, similar

aos apresentados anteriormente, que permite contemplar a interacção entre a via e a

estrutura. O modelo encontra-se apresentado na Figura 2.25, e os seus parâmetros

indicados no Quadro 2.14.

Figura 2.25 – Modelo proposto pelo ERRI para modelação da via (ERRI-D214 RP9, 1999)

Quadro 2.14 – Parâmetros do modelo (adaptado deERRI-D214 RP9, 1999)

Parâmetro Valor

Rigidez [MN/m] 500 Palmilha

Amortecimento [kNs/m] 200

Massa [kg] 290

Rigidez balastro-travessa [MN/m] 538

Amortecimento balastro-travessa [kNs/m] 120 Travessa

Afastamento [m] 0,6

Massa [kg] 412

Rigidez ponte-balastro [MN/m] 1000 Balastro

Amortecimento ponte-balastro [kNs/m] 50

2.3 - MODELAÇÃO DO VEÍCULO

O modelo mais usado para a avaliação do comportamento dinâmico de estruturas

submetidas à passagem de comboios de alta velocidade é o de cargas móveis. No entanto,

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

53

diversos autores levantam dúvidas quanto ao grau de exactidão obtido com este modelo na

simulação de estruturas de pequeno vão.

Museros et al. (2002) consideram que o modelo das cargas móveis não traduz de uma

forma fidedigna a resposta de pontes de pequeno vão, pois conduz a resultados superiores

aos obtidos através das metodologias mais sofisticadas, para além de não traduzir

convenientemente a distribuição de cargas na ponte, e não considerar os efeitos da inércia

das massas do comboio.

Para velocidades afastadas da velocidade de ressonância, os modelos mais complexos

proporcionaram resultados muito próximos dos obtidos com o modelo de cargas móveis. Já

para velocidades coincidentes com a de ressonância, nos modelos mais complexos regista-

se a redução das acelerações e dos deslocamentos, factor este que pode ser de grande

interesse, de um ponto de vista económico. Na Figura 2.26 apresenta-se a comparação das

acelerações considerando o modelo das cargas móveis e um modelo mais complexo que

incorpora a interacção entre a ponte e o comboio.

Figura 2.26 – Acelerações a meio vão para o modelo das cargas móveis e o modelo com interacção

para a passagem de um comboio ICE-2 (Museros et al., 2002)

Também Gabaldón et al. (2005) compararam o modelo das cargas móveis com um modelo

que incorporava a interacção ponte-comboio, tendo alcançado as mesmas conclusões.

Adicionalmente verificaram uma redução na velocidade de ressonância (Figura 2.27).

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Capítulo 2

54

a) b)

Figura 2.27 – Comparação do modelo de cargas móveis com o modelo com interacção em termos

de: a) acelerações e b) deslocamentos (Gabaldón et al., 2005)

Yau et al. (1999) efectuaram um estudo no qual comparam a resposta de duas pontes de

pequeno vão, uma simplesmente apoiada e outra com três vãos contínuos, para o modelo

de cargas móveis e para um modelo que contemplava a interacção entre a ponte e o

comboio (Figura 2.28). Um esquema do modelo adoptado está presente na Figura 2.28,

enquanto na Figura 2.29 se encontram os resultados obtidos pelos autores, os quais

permitem mais uma vez retirar as mesmas conclusões.

Figura 2.28 – Modelo de interacção (adaptado de Yau et al., 1999)

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

55

a) b)

Figura 2.29 – Factor de amplificação para: a) ponte simplesmente apoiada e b) ponte contínua

(adaptado de Yau et al., 1999)

A comissão ERRI-D214 efectuou o estudo da passagem de um comboio ICE-2 para

diversas pontes, com vãos distintos, tendo também chegado à conclusão que a grande

diferença entre a consideração, ou não, de interacção ocorre para pontes de pequeno vão,

para velocidades próximas da ressonância. Nestas situações, ocorre uma redução das

acelerações e deslocamentos, assim como uma pequena variação das frequências próprias

de vibração, em virtude do incremento de massa conferido pela consideração do comboio.

No seguimento do trabalho da comissão, foi proposto a consideração de um amortecimento

adicional para ter em conta os efeitos positivos da interacção entre a ponte e o comboio, e

simultaneamente viabilizar a utilização do modelo de cargas móveis no estudo de pontes. É

no entanto de salientar, que o ábaco proposto para o amortecimento adicional foi

determinado apenas para o comboio ICE-2, ou seja, é possível que os valores propostos

não correspondam aos que seriam obtidos para outros tipos de comboio.

Dentro dos modelos de simulação da interacção entre a ponte e o comboio, existem os

modelos que consideram a totalidade do comboio (tridimensionais - Figura 2.30 a))

modelos planos (modelos de viga Figura 2.30 b)) e os modelos simplificados que apenas

consideram sistemas de 1 grau de liberdade (Figura 2.30 c).

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Capítulo 2

56

a)

b)

ms Massa suspensa

Kp Cp

mns Massa não suspensa

c)

Figura 2.30 – Modelos de simulação do comboio: a) modelo tridimensional (Xia e Zhang, 2005),

b) modelo plano (Calçada, 1995) e c) modelo simplificado (ERRI-D214 RP4, 1999)

Apesar de o modelo simplificado permitir uma economia em termos de cálculo, face aos

modelos que envolvem a modelação do comboio, a comissão concluiu no seu estudo que

este modelo, para pontes com vãos superiores a 30 m, conduzia a valores díspares dos

obtidos com o modelo mais complexo. É no entanto de salientar, que a comissão apenas

efectuou este estudo para dois tipos de comboios de alta velocidade (ICE-2 e Eurostar).

Para além disso, no modelo simplificado não é possível quantificar a aceleração das

carruagens, aspecto de vital importância para o estudo do conforto dos passageiros. Daí

que seja preferível quando se efectua a interacção partir para os modelos mais complexos

pois, para além de serem mais rigorosos, fornecem maior informação acerca do

comportamento do comboio.

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

57

Analisando os dois modelos do comboio é perceptível que o modelo plano, sendo mais

simples, necessita de menos informação para ser caracterizado o que facilita a sua

utilização pois escasseia na bibliografia informação relativa às características dos

comboios. O modelo tridimensional apresenta maiores potencialidades, nomeadamente

oferece a possibilidade de obter as acelerações transversais, enquanto o plano apenas o

permite no seu plano vertical. No entanto, considera-se que o modelo plano é suficiente

para se efectuar o estudo de pontes onde sejam contemplados os fenómenos de interacção.

Apesar do que atrás se referiu sobre os modelos de cargas móveis, estes desempenham um

papel crucial na análise e dimensionamento de pontes para tráfego ferroviário de alta

velocidade, uma vez que, atendendo à regulamentação vigente (EN1991-2, 2003) para

redes interoperáveis as estruturas devem ser dimensionadas para os High Speed Load

Models, que são modelados apenas como conjuntos de cargas móveis, e pretendem

constituir uma envolvente de todos os comboios reais.

2.4 - MODELAÇÃO DA INTERFACE RODA-CARRIL

2.4.1 - Contacto roda-carril

A acção transmitida pelo comboio quando envolve a interacção entre a estrutura ferroviária

e a roda é bastante complexa, sendo um fenómeno não linear que habitualmente é simulado

com recurso a uma mola Hertziana (Esveld, 2001).

A teoria desenvolvida por Hertz expressa que a deformação elástica do aço da roda e do

carril cria uma área de contacto elíptica (eixo maior a e eixo menor b). As dimensões da

elipse de contacto são determinadas pela força normal actuante, função da curvatura da

roda e do perfil do carril. Dentro da área de contacto surge uma distribuição de pressões

semi-elíptica, com o valor máximo a ocorrer no centro (Figura 2.31).

Carril

r

F

Roda

Figura 2.31 – Tensões de contacto entre a roda e o carril de acordo com a teoria de Hertz

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Capítulo 2

58

O valor da pressão máxima é dado pela seguinte expressão:

.

3

2máx

F

abσ

π=

(2.8)

O valor da rigidez também é possível de ser deduzido a partir da teoria de Hertz, sendo

dada pela expressão:

( )2

3 22

3

2 1-

r r cH

r

E F R Rk

υ= (2.9)

onde Er representa o módulo de elasticidade e νr o coeficiente de Poisson do carril, F a

carga vertical transmitida pela roda, Rr o raio da roda e Rc o raio da cabeça do carril.

2.4.2 - Irregularidades

Um aspecto importante ao nível da modelação do carril prende-se com a inclusão das

irregularidades no modelo numérico. Segundo Xia e Zhang (2005), as irregularidades são

fontes de excitação importantes para a vibração do sistema veículo-via. As irregularidades

representam o conjunto dos desvios do carril em relação à sua posição ideal. Existem

quatro tipos distintos de irregularidades:

i) Irregularidades verticais (Figura 2.32 b));

ii) Irregularidades de superelevação (Figura 2.32 b));

iii) Irregularidades ao nível do alinhamento (Figura 2.32 c));

iv) Irregularidades ao nível da bitola (Figura 2.32 c)).

As irregularidades verticais influenciam acima de tudo a vibração vertical dos veículos e

da estrutura, enquanto as horizontais condicionam a vibração transversal dos comboios e

da ponte (Frýba, 1996).

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

59

a)

b)

c)

Figura 2.32 – Irregularidades da via: a) aspecto geral, b) irregularidades verticais e

c) irregularidades no alinhamento (Frýba, 1996)

As irregularidades existentes ao longo do carril podem ser descritas como processos

estocásticos caracterizados por funções de densidade espectral de potência, dependentes da

frequência espacial das irregularidades. O SNCF apresenta uma expressão, para a

quantificação da função densidade espectral, obtida de forma empírica, com base em

medições efectuadas nas linhas francesas:

3

01

rrA

Gn

n

= +

(2.10)

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Capítulo 2

60

onde A é um parâmetro que indica a qualidade da via, tomando o valor de

308× 0,509 mm2/ciclo/mm e 308× 1,790 mm2/ciclo/mm para, respectivamente, vias em

bom e mau estado, n0 é a frequência expressa em ciclos/m, e n0 corresponde a

0,0489 ciclos/m (Broeck, 2001).

Também o Federal Railway Administration (Estados Unidos) apresenta uma expressão

para a definição da densidade espectral:

( )( )

2 2 22 1

4 2 22

rr

An n nG

n n n

+=

+ (2.11)

onde A tem o mesmo significado que na proposta anterior e n1 e n2 tomam os valores de

0,0233 e 0,13 ciclos/m, respectivamente. Os valores de A dependem da classe de qualidade

da via, variando desde 16,72x10-7 m3 para uma Classe 1, até 0,95x10-7 m3 para uma

Classe 6.

Na Figura 2.33 encontra-se a representação dos limites para as qualidades referidas da

função densidade espectral, apresentados anteriormente, na qual se verifica que no

intervalo 0,1 a 1 ciclos/m existe uma aproximação entre as duas propostas.

1.E-12

1.E-11

1.E-10

1.E-09

1.E-08

1.E-07

1.E-06

1.E-05

1.E-04

0.01 0.1 1 10

Frequência - n [ciclos/m]

Den

sida

de e

spec

tral

-

Srr

[m3 ]

SNCF

FRA

Figura 2.33 – Função densidade espectral das irregularidades no carril

Outro tipo de irregularidades bastante gravosas para as vias férreas são as isoladas, que se

verificam nas juntas do carril, nos cruzamentos, nas entradas das pontes, e devido ao

impacto das rodas devido à sua não circularidade, entre outras. Neste campo é de salientar

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

61

que quando maior a velocidade de circulação do comboio, menor é a força de interacção

entre a roda e a via, como está patente em Frýba (1996), e se apresenta na Figura 2.34.

Figura 2.34 – Força de interacção entre a roda e a ponte para várias velocidades

(adaptado de Frýba, 1996)

Como se verifica, para velocidades baixas (α=0,01) a roda perde o contacto com o carril,

verificando-se um incremento súbito da força aquando do restabelecimento do contacto.

Para velocidades mais elevadas (α=0,04) também se verifica o impacto, mas o efeito

dinâmico global é menor. Também para este tipo de irregularidades existem expressões

empíricas, como a proposta pelo Federal Railway Administration:

( ) k xr x Ae−=

(2.12)

em que os parâmetros A e k dependem da qualidade da via. O parâmetro A varia entre

11,4 mm e 2,8 mm, e o parâmetro k entre 0,43 m-1 e 0,82 m-1, para a Classe 1 e 6,

respectivamente.

2.5 - MODELAÇÃO DA ESTRUTURA

A laje representa o elemento de suporte da via férrea. As suas funções são em tudo

idênticas às desempenhadas pelos tabuleiros das pontes, pelo que o seu comportamento,

análise e modelação já se encontram bastante desenvolvidos. Tendo em conta a sua

configuração, a melhor forma de se proceder à sua modelação é com recurso a elementos

finitos de casca. Deve-se optar pela formulação de Reissner-Mindlin, que considera a

deformação por esforço transverso.

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Capítulo 2

62

2.6 - INTERACÇÃO COM O MACIÇO ENVOLVENTE

As estacas são os elementos que vão resistir aos esforços actuantes sobre a laje. Têm como

função receber as solicitações provenientes do tráfego ferroviário aplicadas à laje e

transmiti-las ao solo envolvente. No que concerne à sua modelação, o grande problema das

estacas prende-se com a interacção com o solo, pois as estacas são elementos cujo

funcionamento está implicitamente ligado ao meio envolvente. Caso a ponta da estaca se

encontre apoiada num sub-estrato rochoso, o assentamento vertical da estaca vai estar

impedido, e as acções verticais vão ser transmitidas directamente para esse sub-estrato.

Toda a deformação vai ser condicionada pela deformabilidade da estaca e da sua

interacção com o maciço. No entanto, caso a estaca seja flutuante, vai resistir às

solicitações verticais não só pelo contacto da cabeça com o solo, mas principalmente pelo

atrito que se desenvolve entre o fuste e solo. Já as acções horizontais são resistidas pela

estaca e pelo solo envolvente, num complexo fenómeno de interacção (Figura 2.35). Mais

uma vez, o tipo de solo, a sua variação em profundidade e as condições de apoio da cabeça

da estaca podem provocar significativas alterações ao nível do comportamento das estacas.

Figura 2.35 – Distribuição da pressão exercida pelo solo devido a uma carga lateral (adaptado de

Zhang et al., 2005)

A modelação das estacas é, regra geral, efectuada com elementos de viga. Podem também

ser modeladas com elementos volumétricos, mas o grau de dificuldade na interpretação de

resultados, aliado ao incremento da complexidade do problema sem se obter o respectivo

ganho de precisão, tornam este tipo de elemento pouco adequado para a simulação em

causa. Assim, o grande problema na modelação reside na modelação do solo envolvente.

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

63

Na bibliografia encontram-se diversas metodologias, com diferentes graus de

complexidade.

Os modelos mais simples têm como base a viga de Winkler, onde o solo é assimilado a um

conjunto de molas independentes entre si (Figura 2.36).

Figura 2.36 – Modelo de Viga de Winkler

Este modelo tem sido alvo de sucessivos melhoramentos, sendo muito prático e expedito,

pois não só possibilita simular a estratificação do terreno, como para além disso, permite a

inclusão do comportamento não linear do solo, considerando-se curvas de comportamento

p-y para as molas (Santos, 1999). Estas curvas podem ser não lineares, bastando apenas

dois parâmetros, módulo de reacção, k, e capacidade resistente do solo, pu, para ficarem

definidas.

a) b)

Figura 2.37 – Curva de comportamento do solo: a) real e b) idealizada (adaptado de Santos, 1999)

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Capítulo 2

64

Um dos principais problemas destas metodologias reside na quantificação do módulo de

reacção ks do solo, pelo que diversos autores têm proposto expressões para este parâmetro,

correspondendo as nas Equações (2.13) e (2.14) às propostas de Vesic e Randolph:

i) Vesic

4

122

0,65 1

s ss

p s

E B Ek

EI υ=

− (2.13)

ii) Randolph

7c

s cp

Gk fG

E=

(2.14)

ambas obtidas para maciços homogéneos, elásticos e isotrópicos. Nas equações anteriores

Es representa o módulo de deformabilidade do solo, υ s o coeficiente de Poisson do solo, B

o diâmetro da estaca, e EIp o produto do módulo de elasticidade pelo momento de inércia

da estaca. Na Equação (2.14) f é um factor adimensional dependente das condições de

apoio na cabeça do pilar e Gc uma correcção do módulo de distorção.

Uma alternativa à proposta apresentada por Vesic é apresentada por Santos (1999), na qual

é considerada o efeito do solo da parte de trás da estaca. Assim, o autor sugere de uma

forma simplificada, que a expressão de Vesic seja multiplicada por dois, de modo a

considerar dois conjuntos de molas, um situado à frente e outro atrás da estaca.

É de salientar que embora o limite da aplicabilidade das expressões apresentadas pareça

elevado, o tipo de solo em que a solução de lajes assentes sobre estacas será

economicamente viável será essencialmente solo de fracas características geomecânicas, o

que cairá muitas vezes no tipo de maciços para os quais as expressões foram

desenvolvidas.

Os modelos mais complexos recorrem à modelação por intermédio de elementos finitos,

constituindo uma ferramenta muito poderosa para simulação do solo. Esta abordagem

apresenta uma grande versatilidade em termos de simulação do maciço, pois para além de

permitir qualquer geometria e estratificação permite aproximar o solo a um meio contínuo,

ou seja, é garantida a mobilização global do maciço (Figura 2.38).

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Modelação do sistema veículo-via-estrutura

65

Figura 2.38 – Modelo tridimensional do solo e da estaca (Santos, 1999)

No entanto, estes modelos têm o inconveniente de necessitarem de um significativo

esforço de cálculo. Apesar de se pensar que possa ser recompensador em termos de

precisão de resultados, importa salientar que os modelos que envolvem a passagem de

vários comboios envolvem tempos de cálculos muito elevados, pelo que a consideração

deste tipo de modelos iria aumentar de uma forma muito significativa um processo que já

por si só é muito demorado. Para além disso, é preciso atender que o principal objectivo do

estudo é a análise do comportamento da laje, nomeadamente no que concerne ao respeito

pela regulamentação vigente (EN1991-2 e EN1990-A2), pelo que a consideração dos

elementos tridimensionais iria provocar uma dificuldade muito acrescida na interpretação

dos resultados, pois iriam surgir modos de vibração associados ao solo. Importa também

referir que o tipo de solo interessado, devido às suas fracas características, poderá ter uma

influência muito pouco significativa sobre o comportamento global da estrutura, pelo que

não interessará modelar com demasiada exactidão um elemento cuja influência para o

resultado final possa ser diminuta.

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CAPÍTULO 3

METODOLOGIAS NUMÉRICAS DE ANÁLISE DINÂMICA

PARA CARGAS MÓVEIS

3.1 - INTRODUÇÃO

Os estudos de estruturas que apresentam uma variação da acção com o tempo, exigem em

regra, a realização de análises dinâmicas. A necessidade de se efectuar este tipo de análises

prende-se com o facto de a solicitação ao variar de uma forma rápida, origina na estrutura

forças de inércia e de amortecimento no sentido de contrariar a acção. Daí que, no estudo

de estruturas submetidas a tráfego ferroviário de alta velocidade, seja fundamental entrar

em consideração com este efeito, pois as cargas apresentam uma grande variabilidade, quer

temporal quer espacial.

O presente capítulo visa a apresentação da metodologia adoptada para a modelação do

problema dinâmico, assim como a exposição dos métodos utilizados para a sua resolução.

Após uma breve descrição das equações que governam o problema, são apresentadas três

metodologias distintas de resolução das equações de equilíbrio dinâmico, nomeadamente o

método de Newmark, o método da sobreposição modal e o método da sobreposição de

vectores de Ritz. O capítulo finaliza com uma breve aplicação dos diferentes métodos a

uma viga simplesmente apoiada, com o qual se pretende evidenciar as diferenças existentes

entre os diferentes métodos.

3.2 - EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO

Todas as estruturas evidenciam comportamento dinâmico quanto submetidas a cargas ou

deslocamentos. No entanto, quando a solicitação é aplicada de uma forma lenta, as forças

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Capítulo 3

68

de inércia e de amortecimento que se desenvolvem são praticamente nulas, pelo que se

pode considerar apenas o comportamento estático da estrutura, daí que se possa afirmar

que a análise estática é um caso particular da análise dinâmica (Wilson, 2000).

A resolução de um problema dinâmico resulta da solução de uma condição de equilíbrio de

forças associada a cada um dos graus de liberdade da estrutura:

( ) ( ) ( ) ( )I t t t t+ + =D SF F F F (3.1)

na qual FI(t) representa o vector das forças de inércia, FD(t) o vector das forças de

amortecimento, FS(t) o vector das forças elásticas e F(t) o vector das forças externas.

Pelo princípio d’Alembert as forças de inércia resultam do produto da massa pela

aceleração (Clough e Penzien, 1993):

( ) ( )t t=IF Muɺɺ (3.2)

Considerando que o amortecimento é do tipo viscoso, as forças de amortecimento são o

produto do coeficiente de amortecimento pela velocidade:

( ) ( )t t=DF Cuɺ (3.3)

As forças elásticas são, tal como num problema estático, o produto da rigidez pelos

deslocamentos:

( ) ( )t t=SF Ku (3.4)

Substituindo na Equação (3.1), obtêm-se uma equação diferencial de segundo grau:

( )( ) ( ) ( )t t t t+ + =Mu Cu Ku Fɺɺ ɺ (3.5)

Esta equação apenas é válida em regime linear, enquanto a Equação (3.1) é válida também

para sistemas não lineares, desde que o equilíbrio seja formulado em relação à

configuração deformada.

3.3 - CONSIDERAÇÃO DE CARGAS MÓVEIS

As acções induzidas pelo comboio à estrutura foram consideradas como um conjunto de

cargas móveis, ou seja, admite-se que o comboio tem um comportamento rígido mantendo

constantes as cargas por eixo. Conforme se referiu na secção 2.3, existem outras formas de

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Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis

69

modelação do comboio. No entanto, no âmbito do presente trabalho considerou-se

suficiente modelar apenas as cargas dos comboios, pois o objectivo é efectuar uma análise

da estrutura do ponto de vista regulamentar, atendendo à mais recente regulamentação

europeia para redes ferroviárias interoperáveis.

Um dos problemas da modelação das cargas consiste na sua geração, uma vez que

apresentam uma grande variabilidade no tempo e espaço. Para o presente trabalho seguiu-

se a metodologia apresentada em Barbero (2001) e Pinto (2007), na qual as cargas são

modeladas à custa de funções de carga nodais. Estas são atribuídas aos nós que constituem

o caminho a percorrer pelo comboio, tomando um valor diferente consoante a posição do

nó e a velocidade de circulação do comboio. Assumiu-se que a sua variação é linear com o

tempo, conforme está patente na Figura 3.1, onde se apresenta uma função de carga nodal

para a passagem de um comboio TGV a 100 km/h.

0

25

50

75

100

125

150

175

200

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tempo [s]

Car

ga [k

N]

Figura 3.1 – Função de carga para um nó

A geração destas funções, como envolve um elevado número de pontos, foi programada

em Visual Basic 6.0 de acordo com a Figura 3.2 e o algoritmo apresentado no Quadro 3.1.

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Capítulo 3

70

P(k+1)P(k)P(k-1) P(k+1)P(k)P(k-1)

X(k)

V

X (k-1)P

nó(n-1) nó(n)

P(n)P(n-1)

X (1)X (2)

x

y

nó(n+1)

X (k)P

X (k+1)P

X 0

X (n-1)n

X (n)n

X (n+1)n

Figura 3.2 – Definição das funções de carga

Quadro 3.1 – Algoritmo para geração das funções de carga

• Para cada velocidade V

• Para cada instante t (com j a variar de 1 até ao número de incrementos)

• Para cada carga do comboio (k)

- Calcular a posição da carga k do comboio no instante ts ( )( )ts=t× j-1 :

P 0X(k)=X (k)+V×ts+X

- Para a carga compreendida entre o nó n e o nó n-1:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n

n n

X k -X n-1P(n-1)=P n-1 +P k ×

X n -X n-1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )n

n n

X n -X kP(n)=P n +P k × 1-

X n -X n-1

O programa foi concebido de forma a possibilitar a divisão de cargas por dois

alinhamentos, tornando possível traduzir a solicitação aplicada nos dois carris. Permite

também a escolha de diversos métodos de resolução do sistema de equações dinâmico, que

serão apresentados nas próximas secções.

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Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis

71

3.4 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA POR UM MÉTODO DE

INTEGRAÇÃO DIRECTA

Uma das metodologias disponíveis para a determinação da resposta dinâmica de uma

estrutura, consiste na integração directa do sistema de equações de equilíbrio dinâmico.

Um dos métodos mais usuais é o método de Newmark, desenvolvido em 1959, que parte

do desenvolvimento em série de Taylor para aproximar no instante t o campo de

deslocamentos e de velocidades:

2 3

- - - - ...2 6t t t t t t t t t

t tt∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆= + ∆ + + +u u u u uɺ ɺɺ ɺɺɺ (3.6)

2

- - - ...2t t t t t t t

tt∆ ∆ ∆

∆= + ∆ + +u u u uɺ ɺ ɺɺ ɺɺɺ (3.7)

Newmark reescreveu as expressões anteriores na seguinte forma:

23

- - -2t t t t t t t

tt tβ∆ ∆ ∆

∆= + ∆ + + ∆u u u u uɺ ɺɺ ɺɺɺ (3.8)

2- -t t t t tt tγ∆ ∆= + ∆ + ∆u u u uɺ ɺ ɺɺ ɺɺɺ (3.9)

Assumindo uma relação linear para a variação da aceleração no tempo, fica:

-t t t

t∆=

∆u - u

uɺɺ ɺɺ

ɺɺɺ (3.10)

Substituindo a equação anterior nas Equações (3.8) e (3.9), obtêm-se:

2 2- - -

1

2t t t t t t t tt t tβ β∆ ∆ ∆ = + ∆ + − ∆ + ∆

u u u u uɺ ɺɺ ɺɺ (3.11)

( )- -1t t t t t tt tγ γ∆ ∆= + − ∆ + ∆u u u uɺ ɺ ɺɺ ɺɺ (3.12)

Esta forma de representação das equações não é a mais adequada, pois obriga a uma

iteração no final de cada passo de integração para se determinar a aceleração. Assim, é

preferível escrever as equações apenas em função de uma incógnita, o deslocamento ut.

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Capítulo 3

72

( )2

1 1 1

2t t t t t t t tttβ

ββ −∆ −∆ −∆ = − + + − ∆∆

u u u u uɺɺ ɺ ɺɺ (3.13)

( )2

11 1

2t t t t t t t t

t tt

tt

γ γ γ β γββ −∆ −∆ −∆

∆ ∆ = − + + + ∆ − − − ∆∆ u u u u uɺ ɺ ɺɺ (3.14)

Substituindo na Equação (3.5) torna-se possível a resolução do problema dinâmico para o

instante t.

Como é possível verificar, este é um método implícito, pois a determinação das grandezas

relativas ao instante t é conseguida à custa de um sistema de equações estabelecido no

instante t t− ∆ .

Os parâmetros α e γ controlam a estabilidade e precisão da integração, sendo que o

método de Newmark é incondicionalmente estável para 1 2γ ≥ e 1 2β ≤ , sendo que para

valores de γ superiores a 1 2 ocorre amortecimento algorítmico assim como alongamento

do período. Tomando para β o valor de 1 4 e mantendo γ como 1 2, verifica-se que a

aceleração é constante no intervalo compreendido entre t t− ∆ e t (Figura 3.3).

u(t)

t-∆t t

u(t-∆t)

Figura 3.3 – Variação da aceleração entre dois instantes consecutivos

Um dos aspectos fundamentais nos métodos de integração directa prende-se com a

construção da matriz de amortecimento. O método mais clássico para a sua construção é o

método de Rayleigh, no qual a matriz de amortecimento é obtida com base na

proporcionalidade desta com a matriz de massa e de rigidez:

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Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis

73

η δ= +C M K (3.15)

Os parâmetros η e δ são determinados com base na necessidade da matriz de

amortecimento satisfazer as condições de ortogonalidade, de acordo com a equação

seguinte:

1

112

ii i

jj

j

ως ω ης δω

ω

=

(3.16)

na qual iω e jω são, respectivamente, as frequências angulares do i-éssimo e j-éssimo

modo de vibração, e iς e jς os coeficientes de amortecimentos associados aos mesmos

modos de vibração.

Na Figura 3.4 apresenta-se esquematicamente a variação do coeficiente de amortecimento

de Rayleigh com a frequência, assim como a influência das parcelas relativas à massa e à

rigidez. É notório que para frequências baixas o amortecimento é condicionado pela

proporcionalidade à massa, enquanto para frequências mais elevadas é a rigidez que

comanda.

Rayleigh

Frequencia

Am

orte

cim

ento

C=ηM C=δK

^

Figura 3.4 – Amortecimento de Rayleigh

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Capítulo 3

74

3.5 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO DA

SOBREPOSIÇÃO MODAL

O método da sobreposição modal parte das condições de ortagonalidade que se registam

entre os modos de vibração para desligar as equações de equilíbrio dinâmico, tornando a

resolução de um sistema de equações de n n× , num problema de n equações de 1 grau de

liberdade.

A resposta estrutural é obtida através da soma das várias contribuições modais de acordo

com as equações seguintes:

( )( )t t=u ΦY (3.17)

( )( )t t=u ΦYɺɺ (3.18)

( )( )t t=u ΦYɺɺɺɺ (3.19)

onde Φ é entidade matricial que contém ns vectores espaciais independentes do tempo, os

modos de vibração da estrutura φφφφ , e Y(t) é um vector que tem as n coordenadas modais da

estrutura. Substituindo na Equação (3.6) fica:

( ) ( ) ( )( )t t t t+ + =MΦY CΦY KΦY Fɺɺ ɺ (3.20)

Das condições de ortogonalidade resulta:

Tn mφ φφ φφ φφ φ =M 0 (3.21)

se m n≠ , acontecendo o mesmo em relação às matrizes de rigidez e de amortecimento,

caso esta seja de Rayleigh.

Pré-multiplicando a Equação (3.20) pelo transposto do n-éssimo modo de vibração, Tnφφφφ :

( ) ( ) ( )( )T T T Tn n n nt t t tφ φ φ φφ φ φ φφ φ φ φφ φ φ φ+ + =MΦY CΦY KΦY Fɺɺ ɺ (3.22)

Atendendo às condições de ortogonalidade evidenciadas na Equação (3.21), e

normalizando em relação à massa é possível obter:

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Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis

75

( ) ( ) ( ) ( )22 nn n nn n n

n

f ty t y t y t

Mζ ω ω+ + =ɺɺ ɺ (3.23)

onde nς representa o coeficiente de amortecimento viscoso dado pela Equação (3.24), na

qual Cn representa o amortecimento, nω a frequência angular, Mn a massa modal e fn(t) a

solicitação, associadas ao n-éssimo modo de vibração.

2n

nn n

C

ω= (3.24)

A Equação (3.23) evidencia outra das vantagens da utilização desta metodologia para a

resolução do problema dinâmico, que é a possibilidade de adopção para cada modo, de um

valor do coeficiente de amortecimento.

3.6 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO DA

SOBREPOSIÇÃO DOS VECTORES DE RITZ

O método da sobreposição de vectores de Ritz foi apresentado por Wilson et al. (1982),

tendo surgido como alternativa ao método da sobreposição modal clássico para a resolução

de problemas dinâmicos de grande dimensão. Este método tira partido da distribuição

espacial da solicitação de forma a considerar no cálculo apenas os modos que possuem

uma elevada participação na resposta, eliminando o que se apresentem ortogonais à

solicitação. Desta forma, a dimensão do problema é reduzida, proporcionando sempre,

segundo os autores, resultados com maior precisão e menor custo numérico.

A metodologia de cálculo é similar à da sobreposição modal, tendo como objectivo final o

desacoplamento do sistema de equações, residindo a principal diferença na maneira como

são obtidos os modos de vibração. Enquanto pelo método da sobreposição modal os modos

são encontrados após a obtenção das frequências próprias de vibração, nesta nova

metodologia as configurações modais, neste caso denominados de vectores de Ritz, são

encontradas por um processo alternativo. No entanto, as frequências obtidas por este

método não correspondem às frequências próprias da estrutura constituindo aproximações

às frequências próprias da estrutura que são excitadas pela solicitação.

Pode-se então considerar que a etapa crítica do método se prende com a selecção dos

vectores de Ritz. Na versão mais recente do método, apresentada em Wilson (2000) o

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Capítulo 3

76

primeiro vector resulta da solução da resposta estática da estrutura, sendo a parcela relativa

às forças de inércia desprezada:

0 =Ku R (3.25)

sendo R a distribuição da solicitação, independente do tempo:

( ) ( )t t=F Rf (3.26)

O segundo vector vai aproximar os efeitos de inércia do primeiro vector u0, após a sua

ortogonalização em relação à matriz de massa e normalização (v0):

1 0=Ku Mv (3.27)

Entra-se então num processo de recorrência, no qual o vector ui é calculado à custa do vi-1:

-1i i=Ku Mv (3.28)

O primeiro vector funciona desta forma, como uma correcção estática, enquanto os

vectores subsequentes apenas têm em consideração os efeitos dinâmicos resultantes da

aplicação do carregamento.

A geração dos modos de Ritz só fica concluída após a ortogonalização dos vectores em

relação à matriz de rigidez. Para tal, resolve-se a seguinte equação:

2K - ω I z = 0 (3.29)

na qual

TK = v Kv (3.30)

e ω representa o vector das frequências próprias da estrutura.

Os vectores de Ritz Φ resultam do produto dos vectores v e z:

Φ = vz (3.31)

Uma das conclusões mais importantes desta metodologia prende-se com o facto de ser

impossível gerar vectores que não sejam excitados pelo carregamento, com a consequente

redução da dimensão do problema. Existem publicações (Wilson et al. (1982) e Bayo e

Wilson (1984)) em que é utilizado este método e são confrontados os resultados com os

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Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis

77

provenientes da análise modal, onde fica claro que esta metodologia proporciona melhores

resultados com menor esforço numérico.

Com o objectivo de sistematizar esta metodologia, uma vez que existem poucas referências

relativas à sua aplicação, apresenta-se a resolução de um problema simples de modo a

evidenciar o funcionamento do método. Considere-se a viga da Figura 3.5, com 10 m de

vão e uma secção transversal de 7,5×0,51 m2 (a que corresponde uma inércia 0,0811 m4).

A viga apresenta uma discretização em elementos de 1 m e uma massa distribuída de

10 t/m. A solicitação corresponde a uma carga concentrada, de valor unitário, aplicada no

nó 2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P=1,0 kN

Figura 3.5 – Viga simplesmente apoiada

A análise foi também efectuada com o programa de cálculo automático SAP2000

(Computers and Structures Inc, 2005), tendo os resultados sido confrontados com os

obtidos por via analítica. A análise foi realizada considerando apenas dois modos de

vibração. Os resultados obtidos a partir do programa estão apresentados no Quadro 3.2 e

sob a forma gráfica na Figura 3.6.

Quadro 3.2 – Deslocamento modal pelo método de Ritz

Deslocamento vertical [m] Nó

Modo 1 Modo 2

1 0 0

2 -0.044 0.148

3 -0.083 0.169

4 -0.115 0.119

5 -0.135 0.041

6 -0.142 -0.036

7 -0.134 -0.089

8 -0.114 -0.110

9 -0.083 -0.096

10 -0.043 -0.055

11 0 0

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Capítulo 3

78

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Am

plitu

de [m

]

1

2

ΦΦ

Figura 3.6 – Modos de vibração obtidos pelo método de Ritz

Para se iniciar a resolução analítica do problema é necessário proceder à obtenção das

matrizes de rigidez, massa e ao vector das forças. Para a matriz de massa considerou-se

que a massa se encontrava localizada nos nós da estrutura, enquanto a matriz de rigidez foi

obtida pela metodologia clássica.

2387596 4678311 2197766 89178 3619 147 6 0 0 0 0

4678311 11554388 8984665 2023028 82088 3331 135 5 0 0 0

2197766 8984665 13577416 8902577 2026359 82223 3336 135 5 0 0

89178 2023028 8902577 13580747 8902442 2026365 82223 3336 135 5 0

36

−− −

− −− −

=K

19 82088 2026359 8902442 13580753 8902442 2026365 82223 3336 135 6

147 3331 82223 2026365 8902442 13580753 890244 2026365 82223 3331 147

6 135 3336 82223 2026365 8902442 13580753 8902442 2026359 82088 3619

0 5 135 3336 82223 2026365

− −− −

− −8902442 13580747 8902577 2023028 89178

0 0 5 135 3336 82223 2026359 8902577 13577416 8984665 2197766

0 0 0 5 135 3331 82088 2023028 8984665 11554388 4678311

0 0 0 0 6 147 3619 89178 2197766 4678311 2387596

− − − − − − −

(3.32)

5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

=

M (3.33)

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Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis

79

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

=

R (3.34)

Por intermédio da Equação (3.25) obteve-se o vector uo:

6

0

1,11

1,86

2,31

2,48

102, 42

2,17

1,76

1, 24

0.64

0

= ×

0u (3.35)

que depois de ortogonalizado em relação à matriz de massa fica:

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Capítulo 3

80

1

0

0,62

1,04

1,30

1,39

101,36

1, 22

0,99

0,70

0,36

0

= ×

0v (3.36)

Entrando agora no processo de recorrência, tem de se resolver a seguinte equação:

1 0=Ku Mv (3.37)

da qual resulta:

5

0

1,78

3,38

4,63

5, 41

105,66

5,36

4,54

3, 29

1,73

0

= ×

1u (3.38)

e

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Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis

81

1

0

1, 41

1,55

1,06

0, 24

100,54

1,05

1, 25

1,05

0,61

0

− − − −

= ×

1v (3.39)

A obtenção dos modos só fica concluída após a sua ortogonalização em relação à matriz de

rigidez. Para tal, é necessário resolver o seguinte determinante:

( )det =2K - ω I 0 (3.40)

onde

3487 -7840

-7840 63285

K = (3.41)

Da resolução da Equação (3.40) saem as frequências próprias, que valem:

49,8

253,6rad s

ω = (3.42)

Substituindo ωωωω na Equação (3.29), obtém-se:

1 0,13

0,13 1

z = (3.43)

Os modos de vibração, Φ , resultam do produto de v e z:

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Capítulo 3

82

0 0

0,044 0,149

0,084 0,168

0,116 0,123

0,136 0,042

0,143 0,037

0,135 0,089

0,115 0,112

0,083 0,096

0,044 0,057

0 0

− − − −

=

Φ (3.44)

Na Figura 3.7 encontra-se representada a comparação entre os resultados obtidos por via

numérica e analítica, onde fica claro que os resultados obtidos pelas duas vias são

idênticos.

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Am

plitu

de [m

]

1 SAP2000

2 SAP2000

1

2

ΦΦΦΦ

__

__

Figura 3.7 – Comparação dos modos de vibração obtidos pelo método de Ritz por via analítica e

com recurso ao software SAP 2000

3.7 - EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Com o intuito de apresentar as metodologias atrás expostas, especialmente no que respeita

à aplicação do método de Ritz, apresenta-se a resolução de um problema que, pela sua

simplicidade, evidencia as diferenças entre os três métodos. A necessidade de apresentação

do método de Ritz prende-se com a pouca informação que existe da sua aplicação. Para

além de existirem poucas publicações sobre a sua implementação, não há registo da sua

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Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis

83

utilização em problemas dinâmicos relacionados com estruturas submetidas a tráfego, pelo

que se torna importante apresentar uma aplicação deste tipo.

3.7.1 - Análise dinâmica de uma viga isostática

3.7.1.1 - Modelação

A estrutura analisada trata-se da viga simplesmente apoiada, já apresentada na secção 3.6.

A análise foi efectuada com recurso ao software SAP 2000.

3.7.1.2 - Cenário de análise

A análise foi conduzida para a passagem de um comboio TGV a 280 km/h, com uma passo

de integração de 0,0020 s. Dado que o comportamento de uma viga simplesmente apoiada

é condicionado apenas pelo primeiro modo, na análise com recurso à sobreposição modal

apenas se considerou um modo de vibração. A análise de Ritz foi efectuada com um, seis e

nove modos de vibração, sendo que este último valor corresponde ao maior número de

vectores que se podem encontrar, uma vez que a estrutura em análise apenas tem nove

graus de liberdade livre na direcção vertical. No intuito de comparar os resultados, a

análise modal foi conduzida também com um, seis e nove modos de vibração.

Importa referir que no método de Ritz o programa só inicia o processo de recorrência

quando o número de vectores solicitado for superior ao número de cargas. Quando existem

diversas acções, qi, a actuar sobre a estrutura, a resolução da resposta estática

(Equação (3.25)) é inicialmente efectuada para as i acções. Quando o número de vectores n,

é superior ao número de solicitações i, o programa realizada o processo de recorrência para

n/i análises distintas.

No Quadro 3.3 encontram-se apresentadas as frequências de vibração da viga para a

análise por sobreposição modal e pelo método de Ritz.

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Capítulo 3

84

Quadro 3.3 – Frequências próprias [Hz]

Ritz

Sobreposição modal

1 vector 6 vectores 9 vectores

1 7,9 9,4 7,9 7,9

2 30,7 32,3 30,7

3 44,7 79,3 65,6

4 65,6 148,8 108,8

5 108,8 222,8 155,4

6 132,9 278,4 200,9

7 155,4 241,1

8 200,9 272,4

9 217,9 292,2

Pode-se constatar da análise do quadro, que no método de Ritz o número de vectores tem

influência no cálculo das frequências próprias da estrutura. Nas figuras 3.8 a 3.11

apresentam-se as configurações modais obtidas pelo método da sobreposição modal, e pelo

método dos vectores de Ritz.

1º 2º

3º 4º

5º 6º

7º 8º

Figura 3.8 – Configurações modais obtidas pelo método da sobreposição modal

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Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis

85

Figura 3.9 – Configuração modal obtida pelo método de Ritz considerando 1 modo

1º 2º

3º 4º

5º 6º

Figura 3.10 – Configurações modais obtidas pelo método de Ritz considerando 6 modos

1º 2º

3º 4º

5º 6º

7º 8º

Figura 3.11 – Configurações modais obtidas pelo método de Ritz considerando 12 modos

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Capítulo 3

86

Da análise das figuras anteriores torna-se claro o modo como o método de Ritz opera.

Nota-se que considerando um número de modos inferior ao número de nós da estrutura os

modos de vibração resultantes não conseguem mobilizar toda a estrutura, daí que para um

número de modos baixo os valores das frequências próprias sejam distintos dos obtidos

pelo método da sobreposição modal. Tal deve-se ao facto do método começar por calcular

o número de modos com base nas diversas cargas actuantes. Assim, como existe uma carga

por cada nó, o método vai calcular os modos de vibração à custa do deslocamento obtido

da aplicação de cada uma dessas cargas. Somente quanto se considera um número de

modos suficiente para permitir que o método abranja a totalidade dos pontos, é que se

conseguem atingir os modos globais da viga.

Verifica-se ainda que no método da sobreposição modal surgem modos que envolvem a

deformação axial da viga, nomeadamente o 3º, 6º e 9º, que não são mobilizados pelo

método de Ritz, uma vez que são ortogonais à solicitação.

3.7.1.3 - Análise pelo método de Newmark

Na Figura 3.12 apresenta-se o registo temporal, do deslocamento vertical do ponto médio

da viga (nó 6). A análise foi realizada pelo método de Newmark, tendo-se adoptado os

parâmetros 1 2γ = e 1 4β = , para os quais o método é incondicionalmente estável.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Figura 3.12 – Registo temporal do deslocamento vertical no nó 6, pelo método de Newmark

3.7.1.4 - Análise pelo método da sobreposição modal

Apresenta-se na Figura 3.13 o deslocamento vertical do nó 6, obtido por sobreposição

modal considerando um, seis e nove modos de vibração. Como se verifica, não existem

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Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis

87

diferenças entre os três casos, sendo que o registo também coincide com o obtido pelo

método de Newmark.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

1 modo

6 modos

9 modos

Figura 3.13 – Registo temporal do deslocamento vertical no nó 6, pelo método de sobreposição

modal, considerando um, seis e nove modos de vibração

3.7.1.5 - Análise pelo método da sobreposição de vectores de Ritz

O método de vectores de Ritz é, como já foi referido, dependente do número de vectores a

considerar na análise. De forma a comparar a influência deste parâmetro na análise,

apresenta-se na Figura 3.14 o registo da aceleração vertical do nó 6, para os três cenários

de análise.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

1 vector

6 vectores

9 vectores

Figura 3.14 – Evolução temporal deslocamento vertical no nó 6, pelo método dos vectores de Ritz,

considerando um, seis e nove modos de vibração

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Capítulo 3

88

Da análise da figura é possível constatar que a consideração de apenas um vector é

insuficiente para traduzir com rigor a aceleração vertical. Tal deve-se ao facto de, quando

se considera apenas um modo na análise por Ritz, o modo encontrado ser bastante

assimétrico, resultando da deformada estática provocada pela aplicação do carregamento.

Assim, a vibração do nó central da viga não é convenientemente traduzido, e

concomitantemente o nível de aceleração registado é bastante diferente do real. Quando se

incrementa o número de vectores, regista-se uma concordância de resultados, pois o

método já consegue captar os modos globais da estrutura e assim e assim traduzir com

rigor o registo de acelerações.

3.7.1.6 - Comparação de resultados

Com o intuito de avaliar as diferenças entre as diversas metodologias, apresenta-se, na

Figura 3.15, para os três métodos o registo do deslocamento vertical no nó central. De

modo a comparar mais facilmente as diversas curvas, a janela temporal foi limitada a 0,7 s.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Sobreposição modal Newmark

1 vector de Ritz 6 vectores de Ritz

9 vectores de Ritz

Figura 3.15 – Comparação dos métodos de integração dinâmica ao nível do deslocamento vertical

do nó 6

Verifica-se um ajuste perfeito do registo temporal do deslocamento vertical a meio vão,

proveniente do método de Newmark, da sobreposição modal e dos vectores de Ritz, com

excepção da análise com apenas um vector, pelos motivos já atrás apresentados. Daqui se

depreende a necessidade de, quando se usa o método dos vectores de Ritz, se efectuar uma

análise prévia de sensibilidade ao número de vectores a considerar na análise.

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CAPÍTULO 4

MODELAÇÃO NUMÉRICA DA LAJE SOBRE ESTACAS DA

LIGAÇÃO CANAL DA MANCHA-LONDRES

4.1 - INTRODUÇÃO

A realização de análises dinâmicas em estruturas submetidas a tráfego ferroviário de alta

velocidade é uma tarefa morosa do ponto de vista numérico, pois envolve a discretização

da solicitação em intervalos temporais muito pequenos, e a subsequente resolução do

sistema de equações. Desta forma, torna-se fundamental proceder-se inicialmente a um

estudo preliminar que envolva a optimização de todo o cálculo, de modo a conseguir

rentabilizar ao máximo o tempo dispendido nas análises dinâmicas. A optimização pode

ser conseguida não só à custa do incremento de tempo, como também escolhendo uma

metodologia de resolução das equações de equilíbrio dinâmico que minimize os tempos de

cálculo, sem prejudicar a precisão dos resultados. Outra possibilidade estudada no presente

capítulo, consiste na concepção de um modelo simplificado com um menor número de

graus de liberdade, que conduza a uma redução da dimensão do problema.

Foi igualmente avaliada a influência da presença da via férrea no comportamento dinâmico

da laje, assim como as alterações induzidas no comportamento dinâmico decorrentes da

variação dos parâmetros caracterizadores da via e do solo.

No presente capítulo, após uma apresentação da estrutura em estudo, efectuar-se-á uma

análise preliminar no intuito de calibrar convenientemente o modelo numérico. As análises

foram realizadas para duas frequências de corte, 30 e 60 Hz. O primeiro valor resulta da

aplicação da mais recente regulamentação europeia, EN1990-A2 (2005), enquanto o

segundo provém de recentes investigações conduzidas no laboratório BAM (Baessler e

Rücker (2005), Zacher e Baessler (2005)) que apontam para que, até frequências de 60 Hz,

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Capítulo 4

90

a função de transferência entre a estrutura e o balastro é crescente, registando-se para este

valor a máxima amplificação dinâmica em termos de acelerações. Daí que toda a

contribuição modal abaixo dos 60 Hz deva ser considerada nas análises dinâmicas.

4.2 - DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA

A estrutura analisada na presente dissertação tem por base a solução adoptada na ligação

entre o Túnel da Mancha e a cidade de Londres (ver secção 1.3.4).

Esta estrutura insere-se na linha de alta velocidade Britânica que efectua a ligação entre o

canal da Mancha e a cidade de Londres. O projecto da construção da linha de alta

velocidade foi autorizado pelo parlamento inglês em 1996. O governo seleccionou a

London & Continental Railways para construir e operar a linha. A empresa ficou

responsável pela construção, operação e financiamento da linha. As obras iniciaram-se em

Janeiro de 2002, tendo ficado concluídas em Julho de 2005 e tiveram um custo de

7,7 milhões de euros (Department of the Environment Transport and the Regions, 2001).

A linha tem uma extensão de 104 km, tendo sido projectada para uma velocidade máxima

de circulação de 300 km/h. O recorde de velocidade é de 334,7 km/h tendo sido alcançado

a 30 de Julho de 2003 com o comboio Eurostar. Com esta linha tornou-se possível efectuar

a ligação entre as estações de St. Pancras (Londres) e da Gare du Nord (Paris) em 2 h e

15 m, sendo que até à entrada do Túnel da Mancha a viagem demora apenas 31 m.

Esta linha de alta velocidade apresenta uma grande diversidade de soluções estruturais, em

virtude da elevada complexidade do traçado. A linha apresenta 26 km de túneis, o que

corresponde a 25 % da linha, sendo que o túnel mais extenso tem um desenvolvimento de

10,5 km e efectua a ligação entre Stratford e Dagenham.

A solução de laje sobre estacas foi adoptada numa extensão de, cerca de, 7 km, numa zona

de terrenos pantanosos a norte do rio Tamisa (Figura 4.1). A profundidade dos solos de

fracas características é muito variável, chegando a atingir os 12 m. Subjacente a este

estrato existe uma camada de solo sobreconsolidado, que engloba argilas de Londres,

areias e calcários (O'Riordan et al., 2003).

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

91

Figura 4.1 – Mapa da linha de alta velocidade Inglesa (Department of the Environment Transport

and the Regions, 2001)

A solução foi adoptada, após o estudo de várias alternativas por se apresentar como a que

apresentava maior fiabilidade a longo prazo. A construção de aterro ficou colocada de

parte em virtude dos elevados assentamentos que iriam decorrer devido aos fenómenos de

consolidação. Na Figura 4.2 apresenta-se um corte esquemática da solução adoptada.

Trata-se de uma laje com 12,3 m de comprimento, apoiada em fiadas de estacas que distam

entre si 4,8 m. As estacas apresentam um diâmetro de 0,50 m. Nas extremidades da laje

existem dois muros guarda corpos e guarda balastro, que não possuem qualquer função

estrutural. A via é balastrada, com uma espessura de 0,45 m abaixo das travessas. As

travessas são do tipo bi-bloco e os carris do tipo UIC60.

Figura 4.2 – Corte esquemático da laje sobre estacas (adaptado de Montens et al., 2002)

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Capítulo 4

92

4.3 - MODELAÇÃO NUMÉRICA

4.3.1 - Discretização da estrutura

A estrutura em estudo é constituída por módulos de laje com 0,53 m de espessura e 12,3 m

de largura, apoiada fiadas de quatro estacas de 0,50 m de diâmetro, afastadas de 4,8 m. O

comprimento dos módulos de laje é variável, entre 39,2 m e 68,7 m, sendo esta distância

condicionada pelos esforços de flexão introduzidos pela retracção da laje nas cabeças das

estacas, pois estudos de interacção entre o comboio e a estrutura demonstraram que seria

possível obter desenvolvimentos até 120 m (Montens et al., 2003).

A modelação numérica da estrutura foi efectuada com base na discretização em elementos

finitos, com recurso ao programa comercial SAP2000 (Computers and Structures Inc,

2005).

A laje foi modelada com elementos de casca espessos, formulados com base na teoria de

Mindlin, ao passo que as estacas foram modeladas com elementos de viga, ligados ao

exterior por molas horizontais com comportamento linear, de forma a simular a interacção

entre a estrutura e o solo envolvente e por apoios verticais na base. Admitiu-se um

desenvolvimento de 49,2 m a que correspondem 10 vãos. Foi admitida, para a laje, uma

discretização de 0,60 m no sentido longitudinal e no sentido transversal uma discretização

de 0,625 m e 0,375 m (Figura 4.3). Para as estacas optou-se por dividir os elementos de

viga em segmentos de 0,50 m.

Figura 4.3 – Divisão da estrutura em elementos

A via foi modelada de acordo com o modelo proposto por Esveld (2001), Wu e Thompson

(2003) e Zhai et al. (2004), na qual o carril é modelado com elementos de viga, a palmilha

e o balastro através de um sistema mola-amortecedor e a travessa como uma massa

concentrada. A discretização adoptada para o carril foi de 0,60 m, valor este que

corresponde à distância entre travessas. A massa do balastro foi incorporada na laje. Na

Figura 4.4 e 4.5 encontram-se apresentados, respectivamente, o modelo adoptado para a

modelação da via e o modelo global.

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

93

CarrilPalmilha

BalastroTravessa

Figura 4.4 – Modelo dinâmico da via

Figura 4.5 – Modelo global

4.3.2 - Características geométricas e mecânicas

Um dos principais problemas associados ao presente modelo da via prende-se com a sua

parametrização, uma vez que, como já se tornou perceptível no Capítulo 2, existe uma

diversidade significativa dos parâmetros. No Quadro 4.1 apresenta-se uma síntese dos

valores propostos pelos diversos autores.

Quadro 4.1 – Síntese dos resultados relativos às palmilhas e balastro

Palmilha Balastro

Autor Rigidez

[MN/m]

Amortecimento

[kNs/m]

Rigidez

[MN/m]

Amortecimento

[kNs/m]

De Man (2002) 1095-4005 24,5-44,9 - -

Zhai et al. (2004) 65 75 133 58,8

Esveld (2001) 150 54 24 72

Oscarsson (2001) 738-505 54-59 641-767 460-467

Broek (2001) 250 50 - -

ERRI (1999) 500 200 1000 50

UIR (2001) 27-100 - - -

Thompson et al. (1998) 65-720 - - -

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Capítulo 4

94

Os valores adoptados para o modelo da via encontram-se patentes no Quadro 4.2, e

resultam de uma ponderação dos valores apresentados pelos diversos autores, mas tendo

como referência base os valores apontados por Esveld.

Quadro 4.2 – Síntese dos resultados relativos às palmilhas e balastro

Elemento Rigidez

[MN/m]

Amortecimento

[kN.s/m]

Palmilha 200 60

Balastro 30 50

Ao nível da condição fronteira do carril considerou-se que este se encontra encastrado a

uma distância de 0,60 m da estrutura.

A rigidez do solo, 119,3 MPa, foi calculada de acordo com a Equação (2.13), admitindo

um solo com módulo de elasticidade igual a 87,5 MPa, a que corresponde uma velocidade

de propagação das ondas S de 130 m/s.

As propriedades do carril são as do UIC60, apresentadas no Quadro 2.1, enquanto para a

laje e para as estacas foi assumido um módulo de elasticidade de 32 GPa, correspondente a

um betão de classe C30/37.

A massa pontual considerada para as travessas foi de 0,1225 t, que corresponde a uma

travessa do tipo bi-bloco (UIC, 2001). Considerou-se para peso volúmico do balastro o

valor de 20 kN/m3, de acordo com EN1991-1-1 (2002). Uma vez que a massa do balastro

foi incorporada na massa da laje, existem no modelo dois tipos de elementos de casca,

mediante a existência, ou não, de balastro sobre o elemento (Figura 4.6).

A massa volúmica dos elementos que contêm o balastro toma o valor de 4,719 t/m3,

enquanto os elementos que apenas possuem a massa da laje têm 2,548 t/m3.

Foram também colocadas massas concentradas, de forma a simular o guarda corpos e o

murete que delimita a via balastrada. A primeira massa toma o valor de 0,95 t e a segunda

0,68 t.

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

95

a)

b)

Figura 4.6 – Distribuição da massa do balastro: a) na estrutura e b) na modelação

4.3.3 - Frequências naturais e modos de vibração

No que respeita às características modais da estrutura, apresentam-se no Quadro 4.3 os

valores das frequências próprias da vibração da estrutura respeitantes aos primeiros 27

modos. Na Figura 4.7 apresenta-se as configurações modais associadas aos 1º, 6º, 7º, 8º,

14º, 16º, 20º e 26º modos de vibração.

Quadro 4.3 – Frequências naturais de vibração

Modo Frequência

[Hz] Modo

Frequência

[Hz] Modo

Frequência

[Hz]

1 15,78 10 18,83 19 27,17

2 16,01 11 18,89 20 27,39

3 16,12 12 20,38 21 27,56

4 16,27 13 20,47 22 27,82

5 16,61 14 22,26 23 27,90

6 16,79 15 22,29 24 28,14

7 17,22 16 24,18 25 28,55

8 17,59 17 24,56 26 29,37

9 17,64 18 26,09 27 29,97

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Capítulo 4

96

1º modo – f=15,78 Hz 6º modo – f=16,76 Hz

7º modo – f=17,22 Hz 8º modo – f=17,59 Hz

14º modo – f=22,26 Hz 16º modo – f=24,18 Hz

20º modo – f=27,39 Hz 26º modo – f=29,37 Hz

Figura 4.7 – Configurações modais relativas ao 1º, 6º, 14º, 16º, 20º e 26º modos de vibração

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

97

Verifica-se que os sete primeiros modos de vibração envolvem essencialmente o

movimento das consolas laterais, pelo que se podem considerar modos locais. Os modos

que envolvem a vibração da zona central da laje, onde circula o comboio, apresentam

frequências bastante elevadas, acima dos 20 Hz. Na Figura 4.7 apresentam-se dois modos,

o 14º e o 16º, que envolvem de uma forma significativa a deformação central da laje. Para

frequências um pouco mais elevadas, perto dos 30 Hz, surgem modos locais da laje como é

o caso do 20º e 26º modos.

4.4 - ANÁLISE DINÂMICA PRELIMINAR

4.4.1 - Objectivo

Nesta secção pretende-se efectuar um estudo dinâmico preliminar relativamente à

sensibilidade do modelo numérico a diferentes aspectos que podem interferir com a

exactidão dos resultados, ou que possibilitem a optimização ao nível do tempo de cálculo

sem descurar a precisão final pretendida para as grandezas a estudar.

4.4.2 - Cenário de análise

No capítulo anterior apresentaram-se diferentes metodologias que permitem a resolução do

problema de equilíbrio dinâmico. No presente ponto, pretende-se efectuar a sua aplicação à

estrutura em causa, de forma a avaliar as diferenças proporcionadas pelas três

metodologias (método de Newmark, método da sobreposição modal e método dos vectores

de Ritz), não só ao nível da grandeza dos resultados, mas também em termos de tempo de

cálculo.

Uma vez que se trata de uma análise preliminar, simplificou-se o modelo de cálculo,

tendo-se desprezado a existência das molas a simular o solo e da via. Assim, a massa das

travessas e dos carris foi também incorporada na massa da laje. Na Figura 4.8 apresenta-se

o modelo de cálculo simplificado.

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Capítulo 4

98

Figura 4.8 – Modelo de cálculo simplificado

No Quadro 4.4 apresentam-se as frequências próprias de vibração dos primeiros 27 modos

para o modelo simplificado. Como se verifica, as frequências são idênticas às obtidas para

o modelo completo, o que se explica em virtude de a massa permanecer igual nos dois

modelos, e a rigidez apenas ser diminuída pela eliminação do carril no modelo

simplificado. Daí que se registe uma pequena diminuição das frequências ao nível de cada

modo de vibração.

Quadro 4.4 – Frequências naturais de vibração para o modelo simplificado

ModoFrequência

[Hz]Modo

Frequência [Hz]

ModoFrequência

[Hz]1 13,83 10 18,57 19 26,762 15,50 11 18,61 20 26,893 15,71 12 20,10 21 27,124 15,87 13 20,18 22 27,345 16,01 14 21,93 23 27,656 16,33 15 21,98 24 27,827 16,53 16 23,78 25 28,208 17,31 17 24,21 26 28,929 17,38 18 25,57 27 29,47

Os resultados foram comparados ao nível das acelerações e deslocamento na laje, para o

ponto médio do primeiro vão e para o ponto médio do quinto vão ao longo do alinhamento

médio dos carris. Com estes dois pontos pretendem-se comparar os resultados em dois

locais da estrutura que evidenciam comportamentos diferentes devido à diferença de

rigidez.

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

99

4.4.2.1 - Comboio e gama de velocidades

As análises dinâmicas foram realizadas para a passagem de um comboio TGV (Figura 4.9)

modelado como um conjunto de cargas móveis. As cargas correspondentes a cada eixo

foram aplicadas em dois alinhamentos afastados de 1,5 m correspondentes às rodas,

procurando desta forma simular com maior rigor a distribuição espacial das cargas.

3 11

170

kN

3 3.275 3 15.7 3 15.7 3 3.275 3 11 3

9 x (170 kN x 2)

31133.275315.7315.733.27531137.04

170

kN

170

kN

170

kN

163

kN

163

kN

163

kN

163

kN

170

kN

170

kN

170

kN

170

kN

170

kN

170

kN

170

kN

170

kN

163

kN

163

kN

163

kN

163

kN

170

kN

170

kN

170

kN

170

kN

9 x (170 kN x 2)

Figura 4.9 – Comboio TGV

Para efeitos de comparação de resultados, admitiu-se que o comboio circulava a 200 km/h.

No entanto, para a apresentação de envolventes de resultados, admitiu-se um intervalo de

velocidades de 140 a 420 km/h, que corresponde na prática a admitir segundo a EN1991-2

que a velocidade máxima de circulação do comboio é 350 km/h.

4.4.2.2 - Amortecimento

Admitiu-se amortecimento de Rayleigh, necessário devido ao facto de se recorrer ao

método de integração directa, tendo-se imposto para as frequências de 17,5 e 27,8 Hz um

amortecimento de 2,67 %, de onde resultam as seguintes constantes: η = 3,61 s-1 e

δ = 1,88× 10-4 s. Este valor resulta da aplicação da expressão da EN1991-2 para o cálculo

do amortecimento de pontes de betão armado (2,56 %), adicionado da parcela relativa ao

amortecimento adicional (0,11 %) devido à não consideração de interacção entre o veículo

e a estrutura.

4.4.2.3 - Gama de frequências

Estudos recentes realizados no Federal Institute for Material Research and Testing (BAM)

(Baessler e Rücker (2005), Zacher e Baessler (2005)), em Berlim, demonstraram que o

valor máximo da função de transferência entre a aceleração no interior da camada de

balastro e a aceleração aplicada na base ocorre para uma frequência próxima dos 60 Hz.

Com base nestes estudos foi recomendada para a obtenção da resposta em termos de

acelerações a consideração de frequências até ao máximo de 60 Hz. Os estudos realizados

pelo BAM poderão levar a uma revisão futura dos limites estabelecidos no Eurocódigo.

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Capítulo 4

100

De forma a investigar as consequências da adopção deste novo critério no

dimensionamento deste tipo de estruturas foram também realizadas análises dinâmicas

considerando frequências até ao máximo de 60 Hz.

4.4.3 - Análise pelo método de integração directa

O método de integração directa utilizado foi o de Newmark, tendo-se adoptados os

parâmetros γ = ½ e β= ¼, para os quais o método é incondicionalmente estável.

No que se refere ao incremento de tempo, é habitualmente recomendado a utilização de um

incremento correspondente a um vigésimo do menor período a integrar, o que corresponde

a t∆ =1/(30× 20)≈0,0015 s, para a frequência máxima de 30 Hz, e t∆ =1/(60× 20)≈0,0008 s,

para a frequência máxima de 60 Hz.

De modo a limitar as frequências à máxima pretendida, foram aplicadas às respostas em

termos de acelerações um filtro digital passa-baixo do tipo Chebychev II com frequência

de corte igual à frequência máxima em cada caso. Esta operação permitiu igualmente

eliminar algum ruído numérico nos registos de aceleração manifestado pela ocorrência de

elevadas frequências nesses registos.

Nas figuras 4.10 e 4.11 apresentam-se os gráficos relativos à evolução temporal da

aceleração a meio vão do 1º e 5º tramos, sob o eixo da via carregada, correspondentes à

passagem do comboio TGV a 200 km/h, para diversos incrementos de tempo. De modo a

comparar mais facilmente as curvas referentes aos diversos incrementos, a janela temporal

foi limitada a 0,7 s, abrangendo a zona dos registos em que se verificaram as maiores

acelerações.

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0020 s 0.0015 s

0.0013 s 0.0010 s

0.0008 s 0.0005 s

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0015 s

0.0013 s

0.0010 s

0.0008 s

0.0005 s

a) b)

Figura 4.10 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 1º tramo obtida por integração

directa, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

101

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0020 s0.0015 s0.0013 s0.0010 s0.0008 s0.0005 s

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0015 s 0.0013 s

0.0010 s 0.0008 s

0.0005 s

a) b)

Figura 4.11 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 5º tramo obtida por integração

directa, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz

Como se pode constatar, para a análise até 30 Hz no ponto médio do primeiro vão, ocorre

uma pequena perturbação na parte inicial do registo, não existindo uma coincidência ao

nível das acelerações (Figura 4.10 a)) para os instantes iniciais. No entanto, após esta

diferença inicial, rapidamente se verifica uma concordância ao nível dos resultados,

tendendo a resposta estrutural para a correcta. Esta diferença inicial pode ser explicada,

pelo carácter súbito da aplicação das cargas na laje, que provoca a excitação de frequências

mais elevadas. Da observação dos gráficos conclui-se ainda que para incrementos de

tempo inferiores ou iguais a 0,0015 s, para a frequência máxima de 30 Hz, e a 0,0013 s,

para a frequência máxima de 60 Hz, as curvas tornam-se praticamente coincidentes, com

excepção da zona inicial do gráfico da aceleração do ponto médio do primeiro vão.

Verifica-se, além disso, um incremento muito significativo da aceleração na laje quando se

passa da frequência máxima de 30 para 60 Hz. Tal é devido à inclusão das componentes

relativas a frequências mais elevadas. Denota-se também que o nível de aceleração é maior

para o ponto médio do 1º vão do que para o ponto médio do 5º vão, o que é explicado pela

maior rigidez evidenciada pelo segundo ponto, pois o tramo onde está localizado

encontra-se contíguo dos dois lados, ao passo que o primeiro vão apenas se encontra ligado

de um dos lados.

Ao nível do deslocamento vertical não se registam diferenças entre os diferentes

incrementos de tempo, como se verifica pela Figura 4.12.

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Capítulo 4

102

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

0.0020

0.0015

0.0013

0.0010

0.0008

0.0005

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

0.0020

0.0015

0.0013

0.0010

0.0008

0.0005

a) b)

Figura 4.12 – Evolução temporal do deslocamento vertical obtida por integração directa, obtida

para o: a) meio vão do 1º tramo e b) meio vão do 5º tramo

4.4.4 - Análise pelo método da sobreposição modal

As análises dinâmicas realizadas pelo método da sobreposição modal incluíram os

contributos dos primeiros 27 modos de vibração, para a frequência máxima de 30 Hz, e dos

primeiros 138 modos de vibração, para a frequência máxima de 60 Hz.

Foram considerados coeficientes de amortecimento modais de acordo com a curva de

amortecimento de Rayleigh determinada para o método de Newmark, de modo a poderem

comparar-se directamente os resultados obtidos pelos dois métodos.

Nas figuras 4.13 e 4.14 apresentam-se os resultados referentes à evolução temporal da

aceleração nos mesmos pontos (meio vão do 1º e 5º tramos) e cenário (TGVa 200 km/h)

para diversos incrementos de tempo.

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0025 s

0.0020 s

0.0015 s

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0020 s

0.0015 s

0.0013 s

0.0010 s

a) b)

Figura 4.13 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 1º tramo obtida por sobreposição

modal, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

103

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]0.0025 s

0.0020 s

0.0015 s

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0020 s

0.0015 s

0.0013 s

0.0010 s

a) b)

Figura 4.14 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 5º tramo obtida por sobreposição

modal, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz

A observação dos gráficos permite concluir ser possível aumentar ligeiramente os

incrementos de tempo para 0,0020 s, para a frequência máxima de 30 Hz, e para 0,0015 s,

para a frequência máxima de 60 Hz.

Quanto ao deslocamento vertical, mais uma vez fica patente a invariância face ao passo de

integração (Figura 4.15).

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

0.0025 s

0.0020 s

0.0015 s

0.0013 s

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

0.0025 s

0.0020 s

0.0015 s

0.0013 s

a) b)

Figura 4.15 – Evolução temporal do deslocamento vertical obtida por sobreposição modal, obtida

para o: a) meio vão do 1º tramo e b) meio vão do 5º tramo

4.4.5 - Análise pelo método da sobreposição de vectores de Ritz

Para a aplicação do método de Ritz à presente estrutura, começou-se por efectuar um

estudo de sensibilidade ao número de modos a considerar na análise. Conforme foi visto no

capítulo anterior, deve-se, pelo menos, considerar um número de modos igual ao número

de nós onde a solicitação vai ser aplicada, o que no presente caso se traduz em 83 modos.

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Capítulo 4

104

No programa de cálculo SAP 2000 a análise dinâmica para um conjunto de cargas móveis

é efectuada modulando no tempo um conjunto de cargas unitárias aplicadas em pares de

nós (correspondentes às rodas) situados no trajecto do comboio, em função da sua posição.

O número de vectores de Ritz que é necessário incluir deverá assim ser um múltiplo do

número de carregamentos base, ou seja, um múltiplo de 83. Assim, foram realizados

diferentes cálculos com k× 83 modos (k a variar de 1 a 8), perfazendo análises com 83,

166, 249, 332, 415, 498, 581, 664 e 747 vectores de Ritz. As análises foram realizadas com

um intervalo de tempo de 0,0008 s e para as duas frequências máximas de 30 e 60 Hz.

Os coeficientes de amortecimento modais foram calculados usando a curva de

amortecimento de Rayleigh utilizada nas análises pelos métodos de Newmark e da

sobreposição modal.

Nas figuras 4.16 e 4.17 apresentam-se gráficos relativos à evolução temporal da aceleração

a meio vão do 1º e 5º tramos, em função do número de vectores de Ritz considerados nas

análises. Verifica-se que as respostas tornam-se praticamente coincidentes a partir de

498 (= 6× 83) vectores de Ritz, com excepção no ponto médio do 1º vão, que necessita de

581 (= 7× 83) vectores de Ritz. Tal facto está directamente ligado ao carácter impulsivo da

solicitação, que para os nós mais afastados do primeiro ponto de contacto perde influência,

logo não necessitam de tantos modos. Este facto torna o primeiro ponto analisado como o

mais condicionante, pois este obriga à utilização de pelo menos 581 vectores para se obter

uma resposta correcta em todo o domínio temporal. Este último valor traduz-se num rácio

entre o número de vectores e de nós de 7. Este valor indicativo é superior ao indicado em

Clough e Penzien (1993) que aponta para o valor de 2. Os registos apresentados

correspondem a registos filtrados por intermédio de um filtro digital do tipo passa-baixo

com frequência de corte igual à frequência máxima.

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

498

581

664

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

415

498

581

a) b)

Figura 4.16 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 1º tramos obtida por sobreposição de

vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz, em função do número

de vectores

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

105

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

415

498

581

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

415

498

581

a) b)

Figura 4.17 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 5º tramos obtida por sobreposição de

vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz, em função do número

de vectores

Ao nível dos deslocamentos não se registam diferenças significativas mediante o

incremento do número de vectores de Ritz. Apresenta-se na Figura 4.18 os deslocamentos

para os dois pontos em análise.

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

83

166

249

332

415

498

581

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

83

166

249

332

415

498

581

a) b)

Figura 4.18 – Evolução temporal do deslocamento vertical obtida por sobreposição de vectores de

Ritz, obtida para o: a) meio vão do 1º tramo e b) meio vão do 5º tramo, em função do número de

vectores

Uma vez que o número de vectores a considerar na análise desempenha um papel fulcral,

optou-se por efectuar também a comparação ao nível das envolventes máximas de

acelerações para as duas frequências de corte em estudo (figuras 4.19 e 4.20).

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Capítulo 4

106

0.00

0.30

0.60

0.90

1.20

1.50

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

498

581

664

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

415

498

581

a) b)

Figura 4.19 – Envolvente da aceleração a meio vão do 1º tramo, obtida por sobreposição de

vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz, em função do número

de vectores

0.00

0.30

0.60

0.90

1.20

1.50

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

415

498

581

0.00

0.30

0.60

0.90

1.20

1.50

1.80

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

415

498

581

a) b)

Figura 4.20 – Envolvente da aceleração a meio vão do 5º tramo, obtida por sobreposição de

vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz, em função do número

de vectores

A análise das figuras anteriores vem reforçar as conclusões já retiradas ao nível dos

registos temporais, nomeadamente a necessidade de se efectuar a análise com, pelo menos,

581 vectores de modo a que as acelerações do ponto médio do primeiro vão sejam

convenientemente traduzidas.

Apresentam-se agora, nas figuras 4.21 e 4.22 os registos temporais, em função do passo de

integração, considerando 581 na análise por vectores de Ritz.

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

107

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0015 s

0.0013 s

0.0010 s

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0013 s

0.0010 s

0.0008 s

a) b)

Figura 4.21 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 1º tramo obtida pelo método da

sobreposição dos vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0015 s

0.0013 s

0.0010 s

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]0.0015 s

0.0013 s

0.0010 s

a) b)

Figura 4.22 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 5º tramo obtida pelo método da

sobreposição dos vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz

A observação dos gráficos permite retirar conclusões idênticas às que foram obtidas para o

método de Newmark, ou seja, um t∆ = 0,0015 s, para a frequência máxima de 30 Hz, e

t∆ = 0,0013 s, para frequência máxima de 60 Hz. Uma vez que a análise computacional é

a mesma para as duas frequências de corte, é o valor mais elevado da frequência que

condiciona o passo de integração.

Nos Quadros 4.5 e 4.6 apresenta-se o estudo comparativo da aceleração máxima, mas para

uma velocidade de circulação do comboio de 300 km/h. Entre parênteses encontra-se o

erro relativo, tomando como base o registo obtido por integração directa, com um intervalo

de tempo de 0,0005 s.

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Capítulo 4

108

Quadro 4.5 – Aceleração máxima para o ponto médio do primeiro vão

30 Hz 60 Hz 30 Hz 60 Hz0,0025

0,0020 1,25 1,32[24%] [31%]

0,0015 1,16 2,66 1,24 2,82[15%] [7%] [23%] [13%]

0,0013 1,08 2,59 1,15 2,72[7%] [4,1%] [14%] [9%]

0,0010 1,03 2,65 1,07 2,70[2%] [6,4%] [6%] [9%]

0,0008 0,98 2,43 1,00 2,45[-2%] [-2%] [-1%] [-2%]

0,0005 1,00 2,47[-0.9%] [-1%]

Intervalo de tempo

Ritz Integração directa

-

- -

- - -

2,491,01

Quadro 4.6 – Aceleração máxima para o ponto médio do 5º vão

30 Hz 60 Hz 30 Hz 60 Hz0,0025

0,0020 0,54 0.620[-4%] [10%]

0,0015 0,62 0,84 0,62 0,89[10%] [0%] [9%] [6%]

0,0013 0,62 0,85 0,60 0,89[9%] [1%] [7%] [6%]

0,0010 0,60 0,85 0,59 0,88[6%] [1%] [4%] [5%]

0,0008 0,58 0,87 0,57 0,85[2%] [3%] [1,4%] [0,8%]

0,0005 0,56 0,85[0%] [1%]

Intervalo de tempo

Ritz Integração directa

- - -

0,56 0,84

-

- -

Mais uma vez fica patente um bom ajuste do método de Ritz à integração directa. Quanto

ao passo de integração registam-se erros relativos pequenos para valores inferiores a

0,0013 s. Assim, da análise dos resultados apresentados parece adequado considerar o

valor de 0,0010 s para a realização das análises dinâmicas. Nas figuras 4.23 e 4.24

encontra-se a confrontação dos resultados obtidos considerando um passo de integração de

0,0010 s e 0,0008 s, e que demonstram a adequação do intervalo de tempo mais elevado.

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

109

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0008 s

0.0010 s

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0008 s

0.0010 s

a) b)

Figura 4.23 – Envolvente de acelerações, função do intervalo de tempo, para o ponto médio do

primeiro vão, por Ritz, para frequências de corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0008 s

0.0010 s

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

0.0008 s

0.0010 s

a) b)

Figura 4.24 – Envolvente de acelerações, função do intervalo de tempo, para o ponto médio do

primeiro vão, por Ritz, para frequências de corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz

4.4.6 - Comparação dos resultados obtidos pelos diversos métodos

4.4.6.1 - Em termos de precisão

A comparação de resultados foi efectuada para os dois pontos em estudo e para as duas

frequências de corte consideradas anteriormente. Nas figuras 4.26 a 4.28 apresenta-se a

comparação das diferentes metodologias ao nível de acelerações e deslocamentos.

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Capítulo 4

110

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

a) b)

Figura 4.25 – Comparação da aceleração para o ponto médio do primeiro vão, para frequências de

corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

a) b)

Figura 4.26 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 5º vão, para frequência de corte de:

a) 30 Hz e b) 60Hz

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

Estático

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

Estático

a) b)

Figura 4.27 – Comparação do deslocamento vertical para os pontos médios do: a) primeiro vão e

b) 5º vão

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

111

Torna-se patente, da análise das figuras, que o método da sobreposição modal proporciona

resultados diferentes dos obtidos através das outras metodologias. Este factor toma especial

dimensão ao nível dos deslocamentos, onde não é atingido o máximo deslocamento

estático. Nota-se um ajuste perfeito entre o método de Ritz e a integração directa, o que

valida a utilização desta metodologia na realização da análise dinâmica.

O problema da sobreposição modal prende-se com a tentativa de descrever a estrutura à

custa de modos de vibração globais, quando a estrutura apresenta uma elevada

sensibilidade aos modos locais. Por seu turno, o método de Ritz começa por considerar a

deformada estática da estrutura, ou seja, entra com a solicitação para a resolução do

problema dinâmico, enquanto no método da sobreposição modal esta não é considerada.

Nota-se também uma melhoria do ajuste na sobreposição modal aquando do incremento da

frequência de corte. Tal está relacionado com o facto de as frequências mais elevadas

terem uma maior contribuição na resposta, e o método sobreposição modal conseguir

captar modos de carácter mais local neste novo limite, esbatendo as diferenças que se

registam no primeiro caso.

Um aspecto a referir prende-se com o incremento do nível de aceleração que se regista

aquando da passagem de 30 para 60 Hz como limite superior da análise dinâmica,

obtendo-se para o ponto médio do primeiro vão um acréscimo de, aproximadamente,

400 %, a que correspondente passagem de um valor máximo da aceleração de 0,30 para

1,50 m/s2. Este aspecto é de particular interesse, pois pode condicionar o dimensionamento

das estruturas submetidas a tráfego ferroviário.

No intuito de avaliar as diferenças de um modo mais generalista procedeu-se à comparação

das envolventes de acelerações e deslocamentos (figuras 4.28 a 4.30).

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

a) b)

Figura 4.28 – Envolvente de acelerações para o ponto médio do primeiro vão, para frequências de

corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz

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Capítulo 4

112

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

a) b)

Figura 4.29 – Envolvente de acelerações para o ponto médio do 5º vão, para frequência de corte de:

a) 30 Hz e b) 60Hz

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

Estático

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Sobreposição modal

Integração directa

Ritz

Estático

a) b)

Figura 4.30 – Envolvente do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão e b) ponto

médio do 5º vão

Mais uma vez fica patente a inadequação do método da sobreposição modal para o estudo

da presente estrutura. É especialmente notório a incapacidade do método conseguir captar

a resposta estática (Figura 4.30 a)). No que concerne ao método de Ritz, este apresenta-se

como uma solução muito adequada, pois concilia a rapidez de cálculo proporcionada pelo

desacoplamento das equações de equilíbrio dinâmico, com a precisão fornecida pelo

método de integração directa.

Quanto aos resultados é de salientar que não existe uma única velocidade de ressonância,

mas existem amplificações dinâmicas significativas ao nível das acelerações para diversas

velocidades. Tal está relacionado com o facto de a estrutura evidenciar muitos modos de

carácter local, não existindo um único que condicione toda a resposta. Ao nível das

acelerações, obteve-se uma maior intensidade para o ponto médio do primeiro vão, o que já

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

113

seria de esperar em virtude da menor rigidez evidenciado pelo tramo em que este está

contido. Um aspecto a realçar é o facto de, a partir dos 360 km/h, se registar um aumento

significativo, e quase constante, da aceleração máxima, sendo que este aumento se regista

não só nos dois nós em estudo, mas também para as duas frequências de corte estudadas, o

que evidência uma velocidade acima dos 420 km/h que excita a estrutura de um modo

muito significativo.

4.4.6.2 - Em termos de tempo de cálculo

No Quadro 4.7 comparam-se os tempos de cálculo para os diferentes métodos, para duas

velocidades de circulação do comboio, 200 e 300 km/h, e frequências máximas de 30 e

60 Hz. As integrações no domínio do tempo foram efectuadas com incrementos de tempo

de 0,0010 s.

Quadro 4.7 - Comparação de tempos de cálculo (em segundos) para os diferentes métodos de

análise

Velocidade

(km/h)

Frequência

máxima (Hz)

Integração

directa

Sobreposição

modal

Sobreposição de

vectores de Ritz

30 Hz 3000 48 83 200

60 Hz 52

30 Hz 2016 32 57 300

60 Hz 35

A observação da tabela permite concluir que os menores tempos de cálculo foram obtidos

para o método da sobreposição modal, seguido, com tempos ligeiramente superiores, pelo

método da sobreposição de vectores de Ritz e, com tempos de cálculo muito superiores,

pelo método de integração directa.

Aos tempos de cálculo indicados para uma análise há que adicionar o tempo de cálculo

(inicial) para a determinação dos modos de vibração ou dos vectores de Ritz. Nesse caso

foram necessários 2 m e 57 s para a determinação dos 27 modos de vibração utilizados nas

análises para a frequência máxima de 30 Hz, e 47 m e 7 s para a determinação dos 138

modos de vibração utilizados nas análises para a frequência máxima de 60 Hz. No caso dos

vectores de Ritz foi necessário 6 m e 12 s para a determinação dos 581 vectores incluídos

nas análises.

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Capítulo 4

114

No caso dos métodos de integração directa e da sobreposição de vectores de Ritz há ainda

que adicionar a estes tempos o tempo de pós-processamento correspondente à aplicação de

filtros digitais do tipo passa-baixo para limitação das frequências à frequência máxima

pretendida.

É de salientar que os tempos de cálculo apresentados são relativos ao modelo simplificado.

No modelo mais complexo os tempos são bastante superiores, apresentando-se na Figura

4.31 os tempos relativos a uma análise pelo método de Ritz, com um incremento de tempo

de 0,0010 s para um comboio TGV. O tempo encontra-se indicado para cada velocidade. A

adicionar a este tempo ainda se deve adicionar 10 m para a determinação dos números de

vectores de Ritz.

0:00:00

0:05:00

0:10:00

0:15:00

0:20:00

0:25:00

0:30:00

0:35:00

0:40:00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Tem

po d

e cá

lcul

o

Figura 4.31 – Tempo de cálculo por velocidade

4.4.7 - Validação do modelo elástico linear para a interacção com o maciço

No intuito de validar a idealização elástica linear para a interacção entre o solo e as estacas

compararam-se os deslocamentos horizontais da estaca localizada na extremidade da

segunda fiada (Figura 4.32) com os obtidos por via simplificada a partir do modelo elástico

perfeitamente plástico definido por Santos (1999). Para tal, definiu-se o intervalo para a

variação do cociente entre resistência não drenada e a tensão efectiva em profundidade de

0,20 e 0,40, valores típicos em argilas normalmente consolidadas (Matos Fernandes, 2006).

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

115

0

1

2

3

4

5

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

Deslocamento horizontal [mm]

Pro

fund

idad

e [m

]

Direcção longitudinal

Direcção transversal

Figura 4.32 – Deslocamento horizontal máximo da estaca

Como o deslocamento máximo se regista aproximadamente à profundidade de 4 m, foi

para esta profundidade que se calculou a resistência não drenada, obtendo-se uma variação

entre 5 e 10 kPa.

O cálculo da capacidade de carga do solo, pu, foi efectuado com base na proposta

apresentada em Santos (1999), que a relaciona com a resistência não drenada:

u c up N C B= (4.1)

Nc é um factor adimensional, que simplificadamente pode tomar o valor de 9, pelo que o

valor da capacidade de carga varia entre 22,5 e 45 kPa. Com base no módulo de reacção do

solo calculado no início do presente capítulo é possível determinar o deslocamento que

introduz a plastificação do maciço, estando compreendido, para o presente caso, entre 0,19

e 0,38 mm. No presente cálculo obteve como valor máximo 0,02 mm, valor que se

encontra uma ordem de grandeza abaixo do limite, e que viabiliza a adopção do modelo

linear para a análise dinâmica.

4.5 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

Na presente secção pretende-se efectuar uma análise de sensibilidade a alguns parâmetros

que podem influenciar o comportamento dinâmico da estrutura. A análise engloba aspectos

relacionados com as dimensões do modelo, condições fronteira e parâmetros do modelo.

Todas as análises foram realizadas para a passagem do comboio TGV, utilizando para

resolução do problema dinâmico o método de Ritz, com um passo de integração de

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Capítulo 4

116

0,0010 s. O número de vectores adoptado teve sempre como base uma relação de 7 entre o

número de modos e o número de pares de nós solicitados.

4.5.1 - Análise de sensibilidade em relação às dimensões do modelo

Tendo em conta os elevados tempos de cálculo resultantes da elevada complexidade do

modelo numérico tentou-se efectuar a optimização do modelo à custa da redução do

número de vãos da estrutura. Assim, concebeu-se um modelo com apenas cinco vãos

(Figura 4.33), tendo-se comparado a resposta em diversos pontos de controlo, de forma a

validar a sua utilização. Os pontos escolhidos foram os pontos médios do 1º, 2º, 3º, 9º e 10º

vãos do modelo completo, por estarem em correspondência com os pontos médios do 1º,

2º, 3º, 4º e 5º vãos do modelo optimizado. Escolheu-se também o ponto médio do primeiro

tramo localizado na consola de forma a se conseguir comparar os modelos num ponto

localizado fora da zona de principal influência do carregamento.

Figura 4.33 – Modelo optimizado

A análise comparativa foi efectuada ao nível das acelerações, visto ser a grandeza mais

sensível. Nas figuras 4.34 a 4.39 apresenta-se a comparação para os diferentes nós.

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

117

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

a) b)

Figura 4.34 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 1º vão, para frequências de corte

de: a) 30 Hz e b) 60Hz

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

a) b)

Figura 4.35 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 2º vão, para frequências de corte

de: a) 30 Hz e b) 60Hz

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

a) b)

Figura 4.36 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 3º vão, para frequências de corte

de: a) 30 Hz e b) 60Hz

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Capítulo 4

118

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

a) b)

Figura 4.37 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 9º/4º vão, para frequências de corte

de: a) 30 Hz e b) 60Hz

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

a) b)

Figura 4.38 – Comparação da aceleração para o ponto médio do último vão, para frequências de

corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

modelo pequeno

modelo normal

a) b)

Figura 4.39 – Comparação da aceleração para a consola, para frequências de corte de: a) 30 Hz e

b) 60Hz

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

119

Conforme se verifica da análise das figuras anteriores, o modelo com menor dimensão

proporciona, em termos globais, resultados bastante concordantes com os obtidos com o

modelo completo. Para além do mais, proporciona uma redução significativa do tempo de

importação e cálculo, que passa de 700 m para 300 m. No entanto, uma análise mais

detalhada aos resultados, nomeadamente à análise até aos 60 Hz, mostra alteração não só

ao nível do valor máximo da aceleração, como também na velocidade a que esse valor é

atingido. Este fenómeno é claro nas Figuras 4.34 b) e 4.38 b). Esta maior divergência entre

os dois modelos para 60 Hz está relacionada com o facto de no modelo com menor

dimensão não surgirem modos locais da laje que surgem no modelo completo, em virtude

do seu maior desenvolvimento. Daí que, seja preferível adoptar para as modelações futuras

o modelo normal, pois o modelo de menores dimensões, apesar de proporcionar uma

redução significativa do tempo de cálculo, não garante um ajuste adequado ao modelo

normal.

4.5.2 - Análise de sensibilidade em relação à não inclusão da via

No Capítulo 2 ficou evidenciado que as estruturas com pequeno vão são muito sensíveis à

existência da via. Conforme já se referiu no início do presente capítulo, concebeu-se um

modelo da estrutura que incorpora a via férrea e o solo envolvente. De modo a comparar a

influência da existência da via apresenta-se, nas figuras seguintes, os resultados obtidos,

em termos de envolventes, para os dois pontos em estudo.

É de salientar que no modelo com via as análises foram apenas realizadas a partir dos

150 km/h, devido a um limite interno do programa de cálculo automático utilizado nas

análises dinâmicas. No entanto, isto não constitui qualquer tipo de problema, pois as

velocidades condicionantes encontram-se sempre acima deste valor.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

com via

sem via

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

com via

sem via

a) b)

Figura 4.40 – Envolvente de acelerações, para o ponto médio do primeiro vão, para frequências de

corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz

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Capítulo 4

120

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

com via

sem via

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

com via

sem via

a) b)

Figura 4.41 – Envolvente de acelerações, para o ponto médio do 5º vão, para frequências de corte

de: a) 30 Hz e b) 60Hz

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

com via

sem via

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

com via

sem via

a) b)

Figura 4.42 – Envolvente do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão e b) ponto

médio do 5º vão

Como se verifica a modelação na qual é desprezada a via proporciona resultados superiores

ao nível das acelerações e dos deslocamentos. Tal está relacionado com o facto de a

existência da via proporcionar uma degradação da carga, sendo esta aplicada na laje de

uma forma mais distribuída. Este facto é visível na Figura 4.43, onde se compara a

evolução da carga aplicada ao nó localizado no ponto médio do primeiro vão, sobre o carril

do lado direito. É notório a diminuição da grandeza da solicitação, assim como da sua

maior largura de influência.

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

121

-20

0

20

40

60

80

100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tempo [s]

Car

ga [k

N]

com via

sem via

Figura 4.43 – Comparação da solicitação aplicada à estrutura

Um outro aspecto a realçar prende-se com o incremento da diferença que se regista entre

os dois modelos nas análises a 30 Hz e a 60 Hz. Enquanto para a análise até 30 Hz as

diferenças entre os dois modelos são moderadas, ocorrendo essencialmente ao nível dos

valores de pico, na análise a 60 Hz as diferenças aumentam abruptamente, o que demonstra

que a via férrea funciona como um filtro para frequências elevadas. Este fenómeno está

ligado ao carácter impulsivo que a solicitação tem no modelo sem via aquando da sua

aplicação, que funciona como uma excitação banda larga, ou seja, excita um maior

conteúdo espectral do que no modelo com via. Daí que a sua modelação se revista de

especial importância, pois proporciona não só a redução do nível de carga transmitido à

estrutura, como também funciona como um filtro para frequências elevadas.

4.5.3 - Análise de sensibilidade em relação às propriedades da via

Na presente secção pretende-se efectuar uma análise relativa à sensibilidade do modelo

relativamente aos parâmetros sobre os quais existem incertezas na caracterização.

Inserem-se neste grupo os valores caracterizadores da via, nomeadamente do balastro e das

palmilhas.

Um dos aspectos mais de maior dificuldade na concepção do modelo numérico adoptado

na presente dissertação consistiu na parametrização das propriedades da via. Existem na

bibliografia diversos valores para caracterizar as propriedades do balastro e das palmilhas,

pelo que se optou por efectuar um estudo comparativo da influência destes parâmetros ao

nível da aceleração e dos deslocamentos na laje.

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Capítulo 4

122

O estudo da rigidez do balastro foi conduzido para dois cenários de análise, que pretendem

constituir um limite superior e inferior da grandeza deste parâmetro (kb, s e kb, i). Assim,

considerou-se para a rigidez superior do balastro o valor de 500 MN/m, e para valor

inferior 20 MN/m. Nas figuras 4.44 a 4.46 apresenta-se a confrontação dos resultados, face

ao modelo com via adoptado anteriormente.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Base

kb, s

kb, i

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]A

cele

raçã

o [m

/s2 ]

Base

kb, s

kb, i

a) b)

Figura 4.44 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 1º vão, para frequências de corte

de: a) 30 Hz e b) 60Hz

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Base

kb, s

kb, i

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Base

kb, s

kb, i

a) b)

Figura 4.45 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 5º vão, para frequências de corte

de: a) 30 Hz e b) 60Hz

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

123

-0.25

-0.23

-0.20

-0.18

-0.15

-0.13

-0.10

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Base

kb, s

kb, i

-0.25

-0.23

-0.20

-0.18

-0.15

-0.13

-0.10

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Base

kb, s

kb, i

a) b)

Figura 4.46 – Comparação do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão e

b) ponto médio do 5º vão

Ao nível dos deslocamentos não existem diferenças significativas no que concerne à

influência da rigidez do balastro. Já ao nível das acelerações verifica-se para o ponto médio

do 5º vão que o incremento da rigidez proporciona um acréscimo do valor da aceleração.

Quanto ao ponto localizado no primeiro tramo verifica-se, para a análise a 60 Hz, que o

aumento de rigidez proporciona um aumento da aceleração. O mesmo não se passa ao

nível dos 30 Hz, onde ocorre um decréscimo. O aumento da magnitude da aceleração com

a rigidez do balastro é facilmente perceptível, pois a plataforma da via torna-se mais rígida,

logo a solicitação é mais pontual.

O estudo da rigidez das palmilhas também foi realizado para dois limites, superior e

inferior, kp, s e kp, i. Considerou-se 1000 MN/m para o valor máximo da rigidez e 50 MN/m

para o mínimo. Os resultados encontram-se nas figuras 4.47 a 4.49.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Base

Kp, s

kp, i

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Base

Kp, s

kp, i

a) b)

Figura 4.47 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 1º vão, para frequências de corte

de: a) 30 Hz e b) 60Hz

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Capítulo 4

124

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Base

Kp, s

kp, i

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Base

Kp, s

kp, i

a) b)

Figura 4.48 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 5º vão, para frequências de corte

de: a) 30 Hz e b) 60Hz

-0.25

-0.23

-0.20

-0.18

-0.15

-0.13

-0.10

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Base

kp, s

kp, i

-0.25

-0.23

-0.20

-0.18

-0.15

-0.13

-0.10

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Base

kp, s

kp, i

a) b)

Figura 4.49 – Comparação do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão e

b) ponto médio do 5º vão

Denota-se das figuras anteriores que o valor da rigidez das palmilhas não possui qualquer

efeito na aceleração e deslocamento da laje. Tal deve-se ao facto de o balastro exibir uma

rigidez inferior, ou seja, é este que condiciona todo o processo de transmissão da

solicitação da via à laje.

4.5.3.1 - Análise de sensibilidade em relação às condições fronteira da via

O estudo da condição de apoio do carril reveste-se de importância, pois vai influenciar a

condição inicial recebida pela estrutura. Para efectuar a comparação, foram realizados mais

dois modelos, um que consiste unicamente na substituição dos apoios extremos do carril de

encastramentos para apoios duplos e outro modelo, mais complexo, que consiste no

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

125

prolongamento da via para além da estrutura (Figura 4.50). Neste novo modelo as análises

tiveram que ser realizadas a partir dos 160 km/h, mais uma vez, devido a um limite interno

do programa de cálculo, que foi atingido devido ao incremento do número de graus de

liberdade.

Figura 4.50 – Modelo com prolongamento da via

Da Figura 4.51 à 4.53 apresentam-se os resultados da comparação entre os três modelos.

Nesta comparação optou-se por também se apresentar o ponto médio do último vão, uma

vez que o incremento de rigidez proporcionado pela via tem um funcionamento diferente

do existente no ponto médio do primeiro vão.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Encastramento

Apoio duplo

Via

0.00

0.40

0.80

1.20

1.60

2.00

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Encastramento

Apoio duplo

Via

a) b)

Figura 4.51 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 1º vão, para frequências de corte

de: a) 30 Hz e b) 60Hz

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Capítulo 4

126

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Encastramento

Apoio duplo

Via

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Encastramento

Apoio duplo

Via

a) b)

Figura 4.52 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 5º vão, para frequências de corte

de: a) 30 Hz e b) 60Hz

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Encastramento

Apoio duplo

Via

0.00

0.40

0.80

1.20

1.60

2.00

2.40

2.80

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Encastramento

Apoio duplo

Via

a) b)

Figura 4.53 – Comparação da aceleração para o ponto médio do último vão, para frequências de

corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz

Conforme se constata, os resultados proporcionados pelos três modelos são bastante

distintos. É notório que a existência de via antes da estrutura proporciona uma redução do

nível de aceleração no primeiro tramo, o que está relacionado com o carácter menos

impulsivo que a solicitação exibe neste caso, acontecendo o mesmo para o último vão. É

também de salientar o facto de as diferenças serem mais significativas para a análise a 60

do que a 30 Hz, o que reforça, uma vez mais, o funcionamento da via como um filtro.

Verifica-se que na análise a 30 Hz existe uma concordância de resultados para as

velocidades mais elevadas, acima dos 350 km/h, não acontecendo o mesmo para a análise a

60 Hz onde o modelo com prolongamento da via proporciona resultados sempre inferiores

aos restantes modelos.

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Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

127

Saliente-se também o facto de as diferenças registadas no ponto médio do 5º tramo serem

menos acentuadas do que nos restantes, o que já seria de esperar, uma vez que este ponto já

se encontra algo distante da condição fronteira, logo a sua influência é menos acentuada.

Comparando os modelos que não possuem prolongamento da via, verifica-se que existe

uma predominância do modelo com encastramento para ser mais gravoso na análise a

30 Hz, enquanto para 60 Hz o modelo com apoio duplo proporciona uma maior magnitude

ao nível da aceleração.

Ao nível dos deslocamentos (Figura 4.54) os resultados são menos sensíveis à condição de

apoio do carril, embora se denote uma maior amplificação dinâmica no modelo que possui

a via modelada.

-0.25

-0.23

-0.20

-0.18

-0.15

-0.13

-0.10

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Encastramento

Apoio duplo

Via

-0.25

-0.23

-0.20

-0.18

-0.15

-0.13

-0.10

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Encastramento

Apoio duplo

Via

a) b)

-0.25

-0.23

-0.20

-0.18

-0.15

-0.13

-0.10

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Encastramento

Apoio duplo

Via

c)

Figura 4.54 – Comparação do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão,

b) ponto médio do 5º vão e c) ponto médio do último vão

4.5.4 - Análise de sensibilidade em relação às propriedades do solo envolvente

Quanto ao estudo da variação da rigidez do solo, consideraram-se dois cenários: o primeiro

no qual este exibia uma rigidez com uma ordem de grandeza superior; e um segundo no

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Capítulo 4

128

qual a rigidez era uma ordem de grandeza inferior à do modelo base (ks, s = 1193 MPa e

ks, i = 11,93 MPa). Os resultados são apresentados nas figuras 4.55 à 4.57.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Base

ks, s

ks, i

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Base

ks, s

ks, i

a) b)

Figura 4.55 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 1º vão, para frequência de corte de:

a) 30 Hz e b) 60Hz

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Base

ks, s

ks, i

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Base

ks, s

ks, i

a) b)

Figura 4.56 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 5º vão, para frequência de corte de:

a) 30 Hz e b) 60Hz

-0.25

-0.23

-0.20

-0.18

-0.15

-0.13

-0.10

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Base

ks, s

ks, i

-0.25

-0.23

-0.20

-0.18

-0.15

-0.13

-0.10

140 180 220 260 300 340 380 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Base

ks, s

ks, i

a) b)

Figura 4.57 – Comparação do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão e

b) ponto médio do 5º vão

Page 147: Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas …files.isec.pt/DOCUMENTOS/SERVICOS/BIBLIO/teses/Tese_Mest_Bruno... · Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas para Suporte

Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres

129

Mais uma vez fica patente a pouca influência desta propriedade ao nível do

comportamento dinâmico da laje. Verifica-se no entanto, que ao nível dos deslocamentos o

modelo com menor rigidez proporciona resultados superiores, o que se deve ao menor

confinamento das estacas. Ao nível das acelerações não se registam alterações muito

significativas, ocorrendo uma pequena flutuação da velocidade de ressonância no modelo

com menor rigidez, facto este que é devido à menor pressão exercida sobre as estacas, o

que torna a estrutura mais flexível e concomitantemente proporciona a ressonância a uma

velocidade inferior.

4.6 - CONCLUSÕES

No presente capítulo efectuou-se uma análise dinâmica preliminar que envolveu a

comparação de diversos metodologias para resolução das equações de equilíbrio dinâmico,

assim como foi realizado um estudo relativamente à optimização numérica do modelo. A

finalizar efectuou-se um estudo paramétrico relativo à sensibilidade do comportamento

dinâmico da laje.

O estudo preliminar permitiu constatar que o método da sobreposição modal é pouco

adequado para a análise deste tipo de estrutura, em virtude do seu comportamento

evidenciar muitos modos locais. Ficou claro, que o método de Ritz, é a melhor alternativa

para a resolução numérica do problema dinâmico, pois alia a rapidez numérica

proporcionada pelo desacoplamento das equações de equilíbrio dinâmico, à precisão obtida

pelo método de Newmark, tido como o mais rigoroso. Este apresenta a enorme

desvantagem de necessitar de um tempo de cálculo muito superior ao anterior, em virtude

de resolver o sistema de equações com a dimensão do número de graus de liberdade do

problema.

Ficou também claro a influência que a modelação da via proporciona ao nível das

acelerações, conseguindo-se obter uma redução significativa da magnitude das acelerações

à custa da sua introdução. Esta redução é conseguida devido à degradação da carga que a

via proporciona, ficando também claro que para maiores frequências essas reduções são

mais significativas. Tal é devido ao facto de a carga ao perder o seu carácter pontual, excita

um menor conteúdo espectral, logo as diferenças entre as duas situações tendem a

aumentar na análise a 60 Hz.

O modelo adoptado é possível de ser optimizado à custa da redução do número de graus de

liberdade, ou seja, reduzindo o número de vãos. No entanto, surgem algumas diferenças ao

nível dos resultados, que não garantem a correcta tradução de toda a estrutura. Contudo,

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Capítulo 4

130

em análises de projecto é perfeitamente admissível a utilização de um modelo mais

pequeno para as análises dinâmicas de carácter mais global, pois os resultados

proporcionados pelos dois métodos são similares e, caso seja necessário, efectuar uma

análise dinâmica com o modelo mais complexo para esclarecer alguma singularidade da

estrutura.

Um dos aspectos de maior dificuldade para a construção do modelo numérico prendeu-se

com a caracterização das propriedades da via. Todavia, ficou demonstrando que a

influência dos seus valores não é muito significativa, especialmente ao nível do solo e das

palmilhas. O que se demonstra como fundamental é a sua inclusão para proporcionar uma

correcta degradação das cargas pela laje, sendo que os valores caracterizadores dos seus

parâmetros desempenham um papel secundário. O elemento que se revelou como o mais

influente foi o balastro, embora de uma forma relativamente moderada. A análise superior

foi realizada para uma rigidez de 500 MPa, valor que dificilmente se conseguirá atingir

numa via férrea. Daí que, tendo em conta o grande intervalo de variação da rigidez, 20 a

500 MPa, se possa considerar que a grandeza deste parâmetro não desempenha um papel

preponderante na análise.

Ao nível da influência da condição de apoio do carril, ficou claro que é importante modelar

a via que existe antes e depois da estrutura, pois o acréscimo de rigidez proporcionado pela

ligação vai permitir uma redução do nível de aceleração, especialmente ao nível do

primeiro vão. Daí que seja fundamental para uma correcta tradução do campo de

acelerações e deslocamentos da estrutura considerar estes elementos adicionais na análise.

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CAPÍTULO 5

AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DA LAJE

SOBRE ESTACAS DA LIGAÇÃO CANAL DA

MANCHA-LONDRES

5.1 - INTRODUÇÃO

A interoperabilidade das redes ferroviárias de alta velocidade obriga à realização de

detalhadas análises, de forma a ser garantida a segurança do tráfego ferroviário e o

conforto dos passageiros, sendo que a segurança deve ser garantida não só do ponto de

vista estrutural, como também ao nível da via. A mais recente regulamentação europeia

define critérios que as estruturas têm que cumprir, de modo a verificar cada um destes

critérios.

O objectivo do presente capítulo passa por determinar a resposta dinâmica da laje sobre

estacas para o conjunto dos comboios reais, e dos HSLM, de forma a avaliar o desempenho

da estrutura do ponto de vista da segurança estrutural, da via, e do conforto dos

passageiros. No final apresentam-se os resultados provenientes da análise estática da

estrutura, efectuando a comparação destes, com os provenientes da análise dinâmica.

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Capítulo 5

132

5.2 - REQUISITOS DE ANÁLISE DINÂMICA

5.2.1 - Justificação da realização de análise dinâmica

O cálculo de estruturas submetidas a tráfego ferroviário de alta velocidade é regulamentado

pelo Eurocódigo 1 (EN1991-2, 2003), o qual define o tipo e as características da análise, os

esquemas de cargas e as grandezas a estudar.

A necessidade de realização de análise dinâmica é apresentada no Eurocódigo 1 sob a

forma de um fluxograma (Figura 5.1).

INÍCIO

V � 200 km/h

Estrutura simples(1)

Ponte contínua(5)

L � 40 m

n0 dentro dos limites indicados na figura 2.4

(6)

nT > 1,2 n0

Nas análises dinâmicas incluir

os modos de torção e flexão

Utilizar quadros F1 e F2(2)

vlim /n0 � (v/n0) lim

(2) (3)

É suficiente considerar apenas os modos de flexão

É necessário realizar uma análise dinâmica. Calcular a aceleração

do tabuleiro e ϕ'dyn etc.de acordo com o indicado em

6.4.6 (4)

Não é necessário realizar umaanálise dinâmica.

Em ressonância, não é necessário efectuar as verificações de aceleração e fadiga. Efectuar uma análise estática eutilizar Φ de acordo com o indicado em

6.4.3 (1) P (3)

SIM

NÃO

NÃO

SIM

NÃO SIM

NÃO SIM

SIM

NÃO

SIM

NÃO

SIM

NÃO

Figura 5.1 - Avaliação da necessidade de realização de análise dinâmica (adaptado de

EN1991-2, 2003)

A necessidade de realização de análise dinâmica é determinada pela velocidade de

circulação do comboio, pela tipologia estrutural, pelo vão e pelas frequências naturais de

vibração.

Para a estrutura em questão é necessário proceder-se a uma análise dinâmica, pois a

velocidade de circulação é superior a 200 km/h e não se trata de uma estrutura simples,

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

133

uma vez que o seu comportamento não é assimilável ao de uma estrutura simplesmente

apoiada.

5.2.2 - Cenário de carregamento

5.2.2.1 - Comboios reais

Os comboios que circulam na actual rede de alta velocidade europeia podem ser

classificados de acordo com a sua configuração em:

iii) Convencionais, em que cada carruagem possui dois bogies. É o caso dos comboios

ICE2, ETR-Y e Virgin (Figura 5.2);

iv) Articulados, com bogies nas articulações entre as carruagens. Pertencem a este

grupo os comboios Thalys, TGV e Eurostar (Figura 5.3);

v) Articulados, com bogies nas articulações entre as carruagens. Pertencem a este

grupo os comboios Thalys, TGV e Eurostar (Figura 5.3);

a) b) c)

Figura 5.2 – Comboios: a) ICE2 (http://www.ii-niku.com/); b) ETR-Y

(http://www.amicitreni.com/) e c) Virgin (http://image2.miodio.co.kr/)

a) b) c)

Figura 5.3 – Comboios: a) Thalys (http://www.eurodestination.com/); b) TGV

(http://acoustique.ec-lyon.fr/) e c) Eurostar (http://www.therailwaycentre.com/)

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Capítulo 5

134

a) b)

Figura 5.4 – Comboios: a) Talgo (http://www.railway-technology.com/) e b) AVE

(http://www.turismomadrid.es/)

5.2.2.2 - Comboios do High Speed Load Model (HSLM)

O esquema de cargas dos HSLM tem o objectivo de cobrir os efeitos do tráfego, actual e

futuro, na rede europeia de alta velocidade. Existem duas famílias de comboios HSLM (A

e B) cuja aplicação depende do vão e do grau de complexidade da estrutura, estando a sua

utilização definida na EN1991-2 (Quadro 5.1).

Quadro 5.1 - Aplicação dos HSLM-A e B (adaptado de EN1991-2, 2003)

Esquema estrutural L < 7 m L ≥ 7 m

Tramo Simplesmente

Apoiado a HSLM-B b HSLM-A c

Estrutura Continua a

ou

Estrutura Complexa e

HSLM-A

Comboios A1 a A10

inclusivé d

HSLM-A

Comboios A1 a A10

inclusive d a Válido para pontes simplesmente apoiadas com comportamento assemelhável ao de viga ou laje sem

viés;

b Para tramos simplesmente apoiados com vão até 7 m apenas um único comboio crítico do modelo de

cargas HSLM-B deverá ser usado para as análises dinâmicas, de acordo com 6.4.6.1.1 (5);

c Para tramos simplesmente apoiados com vão superior ou igual a 7 m apenas um único comboio crítico

do modelo de cargas HSLM-A é usado nas análises dinâmicas, de acordo o Anexo E (em alternativa

todos os comboios A1 a A10 podem ser usados);

d Todos os comboios de A1 a A10 inclusive devem ser usados no dimensionamento;

e Qualquer estrutura que não cumpra a nota a, como por exemplo, estruturas com viés, pontes em que o

comportamento à torção seja significativo, estruturas em arco onde os modos das vigas principais e da

laje tenham contributos significativos. Para estas estruturas complexas deve igualmente ser aplicado o

HSLM-B.

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

135

A aplicação do quadro à estrutura em questão resulta na necessidade de se proceder à

análise para as duas famílias de comboios, uma vez que se trata de uma estrutura

complexa.

a) Comboios do HSLM-A

Os comboios HSLM-A consistem em 10 comboios, sendo cada um deles formado por duas

carruagens e por um número de locomotivas, N, com cargas por eixo constantes. Os

diferentes comboios são fruto da alteração da grandeza, do número e da distância entre as

cargas de cada eixo do comboio (Figura 5.5 e Quadro 5.2).

D

2xP(3)

(1) Locomotiva (primeira e última são idênticas)(2) Carruagens extremas (primeira e última são idênticas)(3) Carruagens intermédias

d

3.525

3 11 3

D

(2)3xP

(1)4xP

dd

(3)2xP(3)

3xP(2)

d

N x D

(3)2xP(3)

D

(1)4xP

Figura 5.5 – Esquema de cargas do HSLM-A (adaptado de EN1991-2, 2003)

Quadro 5.2 - Características do esquema de cargas HSLM-A (adaptado de EN1991-2, 2003)

Comboio

Universal N D (m) d (m) P (kN)

A1 18 18 2,0 170

A2 17 19 3,5 200

A3 16 20 2,0 180

A4 15 21 3,0 190

A5 14 22 2,0 170

A6 13 23 2,0 180

A7 13 24 2,0 190

A8 12 25 2,5 190

A9 11 26 2,0 210

A10 11 27 2,0 210

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Capítulo 5

136

b) Comboios do HSLM-B

Os comboios HSLM-B consistem num conjunto de N cargas, afastadas entre si de d, sendo

estes dois parâmetros escolhidos em função do vão da estrutura (Figura 5.6).

d d d d d d d d d d d d d d d

N ×170kN

a)

6

5.5

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2 0

20

15

10

5

1.51

1.6 2

2.5

2.6

2.8 3 4 5 76

3.2

3.4

3.5

3.6

3.8

4.2

4.4

4.5

4.6

4.8

5.5

5.6

5.8

6.5

L [m]

d [m

]

N

b)

Figura 5.6 – Modelo HSLM-B: a) esquema de cargas e b) parâmetros do modelo

(adaptado de EN1991-2, 2003)

Para o presente caso optou-se por combinar todas as possibilidades existentes na figura e

formar novos comboios, ao invés de se considerar unicamente um único comboio. Com

base na figura é possível identificar dez tipos de comboios, B1 a B10, indicados no

Quadro 5.3. Os comboios podem ser agrupados em quatro famílias, caracterizadas pelo

mesmo afastamento d, variando dentro de cada família o número de cargas que formam

cada comboio.

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

137

Quadro 5.3 - Comboios HSLM-B

Comboio d N

B1 2,50 10

B2 2,50 15

B3 2,50 20

B4 3,00 10

B5 3,00 15

B6 3,00 20

B7 3,25 15

B8 3,25 20

B9 3,50 10

B10 3,50 15

5.2.3 - Gama de velocidades

As análises foram realizadas admitindo um cenário de 350 km/h para a velocidade máxima

de circulação, o que se traduz numa velocidade de dimensionamento de 420 km/h

(1,2× 350 km/h) de acordo com a EN1991-2. Considerou-se um intervalo de velocidades

de 10 km/h, e uma velocidade mínima de circulação de 160 km/h. De acordo com a

regulamentação dever-se-ia considerar uma velocidade mínima de 140 km/h. No entanto,

conforme já foi referido no capítulo anterior, devido ao elevado número de graus de

liberdade do problema o programa atinge um limite interno, pelo que só é possível resolver

o problema dinâmico para uma velocidade de circulação igual ou superior a 160 km/h.

5.2.4 - Método de análise dinâmica

As análises dinâmicas foram efectuadas recorrendo-se ao programa de cálculo SAP 2000.

Para a integração numérica do sistema de equações diferenciais de equilíbrio dinâmico

recorreu-se ao método de Ritz, com um passo de integração de 0,0010 s. De acordo com a

EN1991-2, deverão ser consideradas nas análises frequências até ao máximo de:

i) 30 Hz;

ii) 1,5 vezes a frequência do 1º modo de vibração do elemento estrutural em causa;

iii) incluindo no mínimo os três primeiros modos de vibração.

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Capítulo 5

138

Na presente estrutura o limite condicionante é o primeiro, pois a primeira frequência toma

o valor de 15,8 Hz, e a terceira 16,1 Hz.

A análise dinâmica deve ter em consideração o incremento da resposta devido à presença

das irregularidades. Tal é conseguido através da aplicação da seguinte expressão:

''1 '

2din dinyϕϕ + + ×

(5.1)

onde 'dinϕ representa o factor de amplificação dinâmica:

' max 1dindin

stat

y

yϕ = − (5.2)

e ''ϕ é um parâmetro correctivo que incrementa as grandezas da parcela relativa à

irregularidades da via e aos defeitos dos veículos:

2 2

010 20'' 56 50 1100 80

L LL n

e eαϕ

Φ Φ − − Φ

= + −

(5.3)

onde α toma o valor unitário para velocidade de circulação superiores a 80 km/h, n0 é a

primeira frequência natural de vibração e LΦ é o vão determinante que para lajes continuas

toma o valor:

mL k LΦ = × (5.4)

em que Lm é o vão médio e k é um parâmetro adimensional, função do número de vãos,

tomando o valor de 1,5 no presente caso. Para a primeira frequência de 15,8 Hz, um vão o

presente caso o parâmetro ''ϕ é igual a 0,52.

É de salientar que esta correcção não pode ser efectuada ao nível das acelerações, pois

estaticamente as acelerações são nulas, logo a equação (5.2) deixa de ser válida. Esta é uma

das limitações da metodologia preconizada pela regulamentação, pois apenas permite a

correcção dos deslocamentos e dos esforços. Caso se pretendesse avaliar o impacto das

irregularidades ao nível das acelerações seria necessário proceder a um cálculo com

interacção veículo-estrutura.

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

139

5.2.5 - Parâmetros relativos à estrutura

5.2.5.1 - Amortecimento

O amortecimento adoptado foi o preconizado pelo Eurocódigo para estruturas de betão

armado com vãos inferiores a 20 m, adicionado da parcela relativa ao efeito redutor da

interacção estrutura-comboio, tal como já foi considerado nos capítulos anteriores. No

entanto, ao contrário do que foi feito no capítulo anterior, considerou-se o amortecimento

constante para todos os modos, com o valor de 2,7 %.

5.2.5.2 - Gama de frequências

No presente capítulo optou-se por estudar para além do limite regulamentar, o impacto que

as novas investigações, que apontam para um limite superior da frequência de 60 Hz,

teriam sobre as verificações de segurança preconizadas pela regulamentação.

5.3 - EVOLUÇÃO TEMPORAL DAS RESPOSTAS DINÂMICAS

5.3.1 - Deslocamento vertical

Na Figura 5.7 apresenta-se para o meio vão do tramo de entrada o registo temporal do

deslocamento vertical para a passagem do comboio TGV a 420 km/h. É notória a

passagem dos eixos, sendo possível identificar claramente o número de eixos que

constituem o comboio. Verifica-se também que o valor máximo do deslocamento que se

atinge aquando da passagem de um eixo sobre o nó em questão é praticamente constante.

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Tempo [s]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Figura 5.7 – Registo temporal do deslocamento vertical a meio vão do primeiro tramo

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Capítulo 5

140

5.3.2 - Aceleração vertical

Apresenta-se na Figura 5.8 o registo temporal da aceleração a meio vão do primeiro tramo,

para o mesmo cenário, com uma frequência máxima de 30 Hz. Mais uma vez são evidentes

os eixos correspondentes à passagem do comboio, embora de forma menos vincada que

nos deslocamentos. Neste caso, o valor máximo ocorre para a passagem das locomotivas

intermédias.

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Figura 5.8 – Registo temporal do deslocamento vertical a meio vão do primeiro tramo

Na Figura 5.9 apresenta-se a comparação dos registos filtrados a 30 e a 60 Hz, com o

registo não filtrado. É patente a redução que ocorre devido à filtragem do sinal.

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

sem filtro

30 Hz

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

sem filtro

60 Hz

a) b)

Figura 5.9 – Registo temporal da aceleração vertical a meio vão do primeiro tramo sem filtragem e

com frequência máxima de: a) 30 Hz e b) 60 Hz

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

141

5.3.3 - Esforço axial nas estacas

O registo do esforço axial sobre as estacas E3 e E4 (ver localização das estacas na Figura

5.18) está patente na Figura 5.10. Verifica-se que a estaca E3 tem sempre um esforço axial

superior à estaca E4. Tal deve-se ao facto de a estaca E3 estar localizada sobre um dos

carris.

0

25

50

75

100

125

150

175

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Tempo [s]

Esf

orço

axi

al [k

N]

E3

E4

Figura 5.10 – Registo temporal do esforço axial nas estacas E3 e E4

5.4 - ENVOLVENTES DAS RESPOSTAS DINÂMICAS

Antes de se apresentarem as envolventes dos resultados para os diferentes tipos de

comboios, efectuou-se um estudo preliminar de forma a definir os nós da estrutura que vão

condicionar o dimensionamento estrutural, de forma a apresentar para as análises

subsequentes apenas a informação relativa a estes nós. As análises foram conduzidas para a

passagem do comboio TGV. Na Figura 5.11 apresenta-se a envolvente de acelerações na

laje, ao longo do eixo médio dos carris para as duas frequências de cortes estudadas, 30 e

60 Hz, enquanto na Figura 5.12 se apresenta a envolvente para o deslocamento vertical.

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Capítulo 5

142

a)

b)

Figura 5.11 – Envolvente de acelerações para frequências de corte de: a) 30 Hz e b) 60 Hz

Figura 5.12 – Envolvente de deslocamentos verticais

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

143

Conforme se verifica, os pontos mais condicionantes para a análise a 30 Hz são os pontos

médios do primeiro e último vão, enquanto para a análise a 60 Hz são os pontos inicial e

final. Tal está relacionado com o facto de para frequências mais elevadas, surgirem

contribuições mais locais ao nível das consolas que provocam este incremento de

aceleração.

Em todos os vãos o valor máximo ocorre para o nó intermédio, o que não seria de esperar

para o primeiro e último vão. No entanto, tal deve-se à continuidade da via que altera o

comportamento destes vãos, assimilando-os a um vão interno com continuidade.

Ao nível do deslocamento verifica-se novamente que os pontos mais condicionantes se

localizam nos nós médios do primeiro e último vão.

No intuito de avaliar a variação das grandezas apresentadas anteriormente ao longo da

secção transversal da laje, apresenta-se, nas figuras 5.13 e 5.14, a envolvente de

acelerações e deslocamentos para a secção localizada no ponto médio do último vão. Da

análise das figuras denota-se que os valores máximos para ambas as grandezas se

localizam ao longo do alinhamento médio do eixo dos carris. Em algumas velocidades

ocorrem valores superiores para a consola, mas como nessa zona não existe balastro não é

condicionante para o dimensionamento.

Outro aspecto a destacar é a pequena perturbação que a passagem do comboio induz na via

vizinha, principalmente na análise a 30 Hz. Este aspecto vem e certa forma demonstrar a

dispensa, por parte da regulamentação, de avaliar os efeitos dos cruzamentos de comboios,

pois o incremento de resultado é pouco significativo, encontrando-se no presente caso

salvaguardado pelo factor de segurança imposto para o limite de vibração do balastro de 2.

Um aspecto de particular interesse prende-se com o efeito no deslocamento vertical

provocado pela presença das irregularidades. Na Figura 5.15 apresenta-se, para o meio vão

do último tramo, a comparação das respostas dinâmicas, com e sem irregularidades. É

notório o incremento da magnitude dos deslocamentos devido à consideração das

irregularidades. Tal importância advém do facto de a estrutura em questão possuir

pequenos vãos.

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Capítulo 5

144

a)

b)

Figura 5.13 – Envolvente de acelerações para frequências de corte de: a) 30 Hz e b) 60 Hz

Figura 5.14 – Envolvente de deslocamentos verticais

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

145

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Dinâmico

Total

Estático

Figura 5.15 – Efeitos das irregularidades no deslocamento vertical a meio vão do último tramo

Avaliou-se igualmente o momento flector na laje. Na Figura 5.16 apresenta-se os

momentos flectores longitudinal e transversal para o nó médio do último vão. Como é

perceptível, a magnitude do momento flector é bastante reduzida. Verifica-se que o

momento longitudinal é superior, o que se deve ao facto de o desenvolvimento do comboio

ser muito elevado face ao vão da estrutura, o que provoca um carregamento dos vãos

adjacentes limitando a flexão máxima do vão. Já ao nível do momento longitudinal tal não

acontece, pois um dos eixos do comboio localiza-se sob um alinhamento de estacas, e

outro aproximadamente a meio vão das duas estacas extremas.

Comparando as amplificações dinâmicas registadas para o ponto médio do último vão

(Figura 5.17), verifica-se que a amplificação para os momentos flectores e o deslocamento

vertical são similares.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Mom

ento

flec

tor

[kN

.m]

Longitudinal

Transversal

Figura 5.16 – Momento flector a meio vão do último tramo

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Capítulo 5

146

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Am

plifi

caçã

o di

nâm

ica

Momento flector longitudinal

Momento flector transversal

Deslocamento

Figura 5.17 – Amplificação dinâmica a meio vão do último tramo

Foram também avaliados os esforços na extremidade superior das estacas, de forma a

avaliar a influência da solicitação dinâmica. Os esforços foram controlados para as estacas

localizadas no 5º e 10º alinhamentos (Figura 5.18).

Figura 5.18 – Localização das estacas

Apresentam-se, nas figuras 5.19 e 5.20, os resultados obtidos para o esforço axial e

momento flector das quatro estacas. É de salientar, que os esforços, tal como os

deslocamentos, não são influenciados pela frequência de corte.

0

50

100

150

200

250

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Esf

orço

axi

al [k

N]

Estaca E1

Estaca E2

Estaca E3

Estaca E4

Figura 5.19 – Esforço axial nas estacas

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

147

0

2

4

6

8

10

12

14

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Mom

ento

flec

tor

[kN

.m]

Estaca E1

Estaca E2

Estaca E3

Estaca E4

Figura 5.20 – Momento flector longitudinal na extremidade superior das estacas

0

4

8

12

16

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Mom

ento

flec

tor

[kN

.m]

Estaca E1

Estaca E2

Estaca E3

Estaca E4

Figura 5.21 – Momento flector transversal na extremidade superior das estacas

Conforme é patente nas figuras anteriores, os resultados ao nível dos momentos flectores

são muito reduzidos. Tal deve-se à elevada rigidez da laje que praticamente não transmite

momento às estacas. Para uma estaca de betão armado com um diâmetro de 50 cm, um

momento flector de 15kN.m representa um momento reduzido, µ, de 0,0098, valor este

bastante baixo. Daí que se possa considerar que a flexão desempenha um papel secundário

nas estacas, pelo que não será estudado nas análises futuras. No entanto, é de salientar que

o momento flector longitudinal é mais gravoso nas estacas E1 e E3, pois estas estacas, ao

contrário das restantes duas, não se localizam sob o carril. Daí que a flexão nestas seja

maior segundo esta direcção. Segundo a direcção transversal verifica-se uma maior

proximidade entre os resultados, sendo no entanto de salientar que as estacas localizadas

do décimo alinhamento (E3 e E4) obtiveram resultados ligeiramente superiores. Quanto ao

esforço axial verifica-se, mais uma vez, uma concordância de resultados entre as estacas

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Capítulo 5

148

localizadas no mesmo alinhamento longitudinal. Verifica-se que as estacas localizadas sob

o carril (E1 e E3) apresentam um valor do esforço axial praticamente constante. Já as

estacas localizadas fora do carril apresentam um valor médio inferior para o esforço axial,

embora apresentem maiores amplificações dinâmicas.

Em suma, da análise dos resultados anteriores, pode-se considerar que é suficiente analisar

para a passagem de cada comboio os valores relativos à aceleração da laje para os pontos

médios do primeiro e último vão, assim como para os pontos inicial e final. Para os

deslocamentos ir-se-á apenas avaliar os resultados para os pontos médios dos tramos

extremos, enquanto para as estacas o esforço axial vai ser quantificado em duas estacas.

5.4.1 - Comboios reais

Nas Figura 5.1 apresentam-se os resultados relativos à passagem dos comboios reais ao

nível da aceleração vertical da laje.

Ponto inicial

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

AVE

ETR

Eurostar

ICE

Talgo

TGV

Thalys

Virgin

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

AVE

ETR

Eurostar

ICE

Talgo

TGV

Thalys

Virgin

Ponto médio do primeiro vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

AVE

ETR

Eurostar

ICE

Talgo

TGV

Thalys

Virgin

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

AVE

ETR

Eurostar

ICE

Talgo

TGV

Thalys

Virgin

Figura 5.22 (continuação) – Envolvente de acelerações para a passagem dos comboios reais,

considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

149

Ponto médio do último vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]AVE

ETR

Eurostar

ICE

Talgo

TGV

Thalys

Virgin

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

AVE

ETR

Eurostar

ICE

Talgo

TGV

Thalys

Virgin

Ponto extremo do último vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

AVE

ETR

Eurostar

ICE

Talgo

TGV

Thalys

Virgin

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

AVE

ETR

Eurostar

ICE

Talgo

TGV

Thalys

Virgin

a) b)

Figura 5.22 (continuação) – Envolvente de acelerações para a passagem dos comboios reais,

considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz

É notório da análise da figura anterior, que o comboio real mais condicionante para as duas

frequências máximas e nos quatro pontos estudados é o Talgo. Denota-se uma tendência

crescente da aceleração com a velocidade, sendo que nas análises a 60 Hz é praticamente

linear a relação entre as duas grandezas. Verifica-se também o aumento da aceleração dos

nós quando se passa da análise a 30 para 60 Hz, em especial nos pontos extremos. Tal está

relacionado com o carácter mais impulsivo da solicitação que tende a excitar um maior

conteúdo espectral em frequências.

Nas figuras 5.23 e 5.24 apresentam-se as envolventes dos comboios reais para os

deslocamentos e o esforço axial nas estacas.

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Capítulo 5

150

-0.60

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

AVE ETR

Eurostar ICE

Talgo TGV

Thalys Virgin

-0.60

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

AVE ETR

Eurostar ICE

Talgo TGV

Thalys Virgin

a) b)

Figura 5.23 – Envolvente de deslocamentos verticais para a passagem dos comboios reais, para: a)

meio vão do 1º tramo e b) meio vão do último tramo

0

50

100

150

200

250

300

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Esf

orço

axi

al [k

N]

AVE ETR

Eurostar ICE

Talgo TGV

Thalys Virgin

0

50

100

150

200

250

300

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Esf

orço

axi

al [k

N]

AVE ETR

Eurostar ICE

Talgo TGV

Thalys Virgin

a) b)

Figura 5.24 – Envolvente de esforço axial para a passagem dos comboios reais, nas estacas:

a) E3 e b) E4

Ao nível do deslocamento o comboio mais gravoso é o ICE, sendo para o ETR que se

regista o maior esforço axial. Este resultado deve-se ao facto de os comboios ICE e ETR

serem os que apresentam as maiores cargas por eixo, 195 e 187 kN, respectivamente.

5.4.2 - Comboios do HSLM

Nas figuras 5.25 a 5.27 apresentam-se os resultados relativos à aplicação do HSLM-A.

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

151

Ponto de inicial

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

Ponto médio do primeiro vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

Ponto médio do último vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

Ponto extremo do último vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

a) b)

Figura 5.25 – Envolvente de acelerações para a passagem de HSLM-A, considerando frequências

máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz

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Capítulo 5

152

-0.60

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

A1 A2A3 A4A5 A6A7 A8A9 A10

-0.60

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

A1 A2A3 A4A5 A6A7 A8A9 A10

a) b)

Figura 5.26 – Envolvente de deslocamentos verticais para a passagem do HSLM-A, para: a) meio

vão do 1º tramo e b) meio vão do último tramo

0

50

100

150

200

250

300

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Esf

orço

axi

al [k

N]

A1 A2

A3 A4

A5 A6

A7 A8

A9 A10

0

50

100

150

200

250

300

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Esf

orço

axi

al [k

N]

A1 A2

A3 A4

A5 A6

A7 A8

A9 A10

a) b)

Figura 5.27 – Envolvente de esforço axial para a passagem do HSLM-A, nas estacas: a) E3 e b) E4

Mais uma vez se verifica uma tendência crescente da aceleração com a velocidade. Os

comboios A9 e A10 revelaram-se como os mais gravosos e apresentam sempre resultados

muito similares. Ambos são, de entre os HSLM, os comboios com maior carga por eixo

(210 kN) e com maior distância entre cargas.

Ao nível do deslocamento e do esforço axial, são novamente os comboios A9 e A10 os

mais condicionantes, em virtude da magnitude da solicitação transmitida à laje.

Os resultados relativos à passagem do esquema de cargas HSLM-B apresentam-se nas

figuras 5.28 a 5.30.

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

153

Ponto de inicial

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

Ponto médio do primeiro vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

Ponto médio do último vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

Ponto extremo do último vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

a) b)

Figura 5.28 – Envolvente de acelerações para a passagem de HSLM-B, considerando frequências

máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz

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Capítulo 5

154

-0.60

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

B1 B2

B3 B4

B5 B6

B7 B8

B9 B10

-0.60

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

B1 B2

B3 B4

B5 B6

B7 B8

B9 B10

a) b)

Figura 5.29 – Envolvente de deslocamentos verticais para a passagem do HSLM-B, para: a) meio

vão do 1º tramo e b) meio vão do último tramo

0

50

100

150

200

250

300

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Esf

orço

axi

al [k

N]

B1 B2 B3B4 B5 B6

B7 B8 B9B10

0

50

100

150

200

250

300

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Esf

orço

axi

al [k

N]

B1 B2

B3 B4

B5 B6

B7 B8

B9 B10

a) b)

Figura 5.30 – Envolvente de esforço axial para a passagem do HSLM-B, nas estacas: a) E3 e b) E4

Da aplicação do conjunto de cargas HSLM-B é notório o agrupamento de resultados

obtidos, especialmente ao nível da aceleração da laje. Verifica-se, que para cada uma das

famílias de comboios atrás definidas, os resultados são praticamente coincidentes, o que já

seria de esperar, uma vez que a distância entre cargas é a mesma, logo as frequências

excitadas são coincidentes. Os resultados mais elevados para cada família ocorrem para o

comboio constituído pelo maior número de cargas. Deste modo, não teria sido necessário

realizar as análises para os dez comboios, mas apenas para quatro (B3, B6, B8 e B10), o

que teria permitido diminuir significativamente o tempo de cálculo.

Caso se tivesse usado unicamente o vão para determinar o comboio mais gravoso, com

base na Figura 5.6, o comboio escolhido teria sido o B3. No entanto verifica-se que a

família de comboios mais gravosa é a que apresenta uma distância entre cargas de 3,50 m,

ou seja os comboios B9 e B10, tratando-se mais uma vez, dos comboios com maior

afastamento entre cargas.

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

155

Ao nível do deslocamento e do esforço axial o agrupamento em famílias é mais uma vez

patente, embora neste caso seja para a família de comboios com 2,5 m de distância entre

cargas (B1, B2 e B3), que se registem os valores mais elevados.

5.4.3 - Comparação das envolventes relativas aos comboios reais e HSLM

No intuito de comparar a adequação dos modelos de carga HSLM definidos no

regulamento, apresenta-se, nas figuras 5.31 a 5.33, a comparação dos resultados obtidos

com a aplicação dos esquemas de cargas HSLM e dos comboios reais.

Ponto de inicial

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

Ponto médio do primeiro vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

Ponto médio do último vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

Figura 5.31 (continuação)– Comparação das envolventes de acelerações, considerando frequências

máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz

Page 174: Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas …files.isec.pt/DOCUMENTOS/SERVICOS/BIBLIO/teses/Tese_Mest_Bruno... · Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas para Suporte

Capítulo 5

156

Ponto extremo do último vão

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

a) b)

Figura 5.31 (continuação)– Comparação das envolventes de acelerações, considerando frequências

máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz

-0.60

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

-0.60

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

a) b)

Figura 5.32 – Comparação das envolventes de deslocamentos verticais para: a) meio vão do 1º

tramo e b) meio vão do último tramo

0

50

100

150

200

250

300

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Esf

orço

axi

al [k

N]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

0

50

100

150

200

250

300

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Esf

orço

axi

al [k

N]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

a) b)

Figura 5.33 – Comparação das envolventes de esforço axial nas estacas: a) E3 e b) E4

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

157

Da comparação dos resultados, fica patente que, de um modo geral, o modelo de cargas

HSLM-A constitui uma envolvente superior dos resultados. É também de salientar o facto

de o modelo HSLM-B proporcionar resultados inferiores aos obtidos pelo modelo A.

Ao nível das acelerações denota-se uma proximidade na resposta obtida pelos comboios

reais e pelo HSLM-A, sendo que pontualmente as acelerações alcançadas pelos comboios

reais excedem as provocadas pelos HSLM (por exemplo, na Figura 5.31 para o ponto

médio do último vão na análise a 60 Hz). Ao nível do deslocamento e do esforço axial o

modelo de cargas HSLM-A proporciona resultados bastante superiores aos obtidos pelo

modelo B e pelos comboios reais. Verifica-se nos deslocamentos que a resposta obtida da

aplicação do HSLM-B e dos comboios reais é similar, enquanto no esforço axial o HSLM-

B proporciona resultados ligeiramente superiores aos alcançados com os comboios reais.

É de salientar que os maiores valores para a aceleração da laje foram obtidos a meio vão do

último vão e para o ponto de saída para, respectivamente, as frequências máximas de 30 e

60 Hz. O maior deslocamento vertical obteve-se para o meio vão do primeiro vão,

enquanto o maior esforço axial para a estaca E3.

5.5 - AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL

Nesta secção, as respostas dinâmicas da estrutura são avaliadas do ponto de vista da

segurança estrutural, da segurança da circulação e do conforto dos passageiros, tendo por

base o estabelecido na EN1991-2 e EN1990-A2.

5.5.1 - Segurança estrutural

No dimensionamento de estruturas submetidas a tráfego ferroviário de alta velocidade

devem-se considerar os valores mais desfavoráveis, resultantes de:

i) Da análise dinâmica, corrigida pare ter em conta em conta as irregularidades da via

por intermédio do coeficiente ''ϕ , igual a 0,52 para o presente caso;

''1 '

2din HLSMϕϕ + + ×

(5.5)

ii) Da aplicação do modelo de cargas LM71 ou SW/0 majorado pelo respectivo

coeficiente dinâmico.

( )71" " / 0LM SWΦ × + (5.6)

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Capítulo 5

158

No que concerne aos modelos de carga estáticos (LM71 e SW/0 – ver Figura 5.34),

admite-se um estado de manutenção da via cuidado, pelo que o parâmetro Φ é calculado

de acordo com a seguinte expressão:

2

1, 440,82

0,2LΦ

Φ = +−

(5.7)

LΦ é dado pela expressão (5.4), tomando 2Φ o valor de 1,40.

a)

b)

Figura 5.34 – Modelos de carga estáticos: a) LM71 e b) SW/0

Nas figuras 5.35 e 5.36 compara-se o deslocamento e o esforço axial máximos obtidos da

análise dinâmica e da aplicação dos modelos de carga estáticos.

-1.20

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Comboios reaisHSLM-AHSLM-BLM71SW/0

-1.20

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Des

loca

men

to v

ertic

al [m

m]

Comboios reaisHSLM-AHSLM-BLM71SW/0

a) b)

Figura 5.35 – Comparação das envolventes de deslocamentos verticais para: a) meio vão do 1º

tramo e b) meio vão do último tramo

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

159

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Esf

orço

axi

al [k

N]

Comboios reais HSLM-AHSLM-B LM71

SW/0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Esf

orço

axi

al [k

N]

Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

LM71

SW/0

a) b)

Figura 5.36 – Comparação das envolventes de esforço axial nas estacas: a) E3 e b) E4

Da análise das figuras é notória a maior magnitude de resultados provocados pela

aplicação dos modelos de carga estáticos. O modelo de carga LM71 apresenta-se como o

mais condicionante não só ao nível do deslocamento máximo, como também ao nível do

esforço axial nas estacas. Verifica-se que o máximo deslocamento resultante da análise

dinâmica, que se regista a meio vão do primeiro tramo, equivale apenas a 44 % do

resultante da aplicação do modelo LM71, enquanto o obtido pela aplicação do modelo

SW/0 representa 47 %.

Ao nível das estacas verifica-se uma maior diferença entre os resultados da análise

dinâmica e os estáticos para a estaca E4, sendo também para esta que se registam os

maiores esforços axiais.

5.5.2 - Segurança da via

A EN1991-2 e a EN1990-A2 estabelecem estados limites de deformação e vibração a

considerar no dimensionamento de pontes ferroviárias. As limitações visam assegurar a

segurança da circulação e dizem respeito:

i) à aceleração vertical do tabuleiro;

ii) à deformação vertical do tabuleiro;

iii) à torção do tabuleiro;

iv) à deformação horizontal do tabuleiro.

No que se refere à aceleração vertical do tabuleiro, valores excessivos desta grandeza

podem conduzir à instabilidade do balastro ou à perda de contacto entre a roda e o carril.

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Capítulo 5

160

No caso de pontes com tabuleiro balastrado, o valor de pico da aceleração vertical não

deverá exceder 3,5 m/s2 (≈ 0,35g).

Na Figura 5.37 apresentam-se os valores máximos da aceleração vertical da laje, de modo a

efectuar a verificação deste estado limite.

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ] Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

Velocidade [km/h]

Ace

lera

ção

[m/s

2 ] Comboios reais

HSLM-A

HSLM-B

a) b)

Figura 5.37 – Verificação da aceleração vertical da laje para frequências máximas de: a) 30Hz e

b) 60Hz

Conforme se constata da análise da figura anterior, o estado limite de vibração é verificado

para as duas frequências em estudo. No entanto verifica-se um aumento significativo da

aceleração quando se passa de uma análise de 30 Hz para 60 Hz.

A deformação vertical do tabuleiro deve ser inferior a L/600, em que L representa o vão da

estrutura, para a aplicação dos modelos estáticos LM71 e SW/0, sem a majoração do

coeficiente de amplificação dinâmica. O valor máximo obtido foi registado para o modelo

LM71, valendo 0,796 mm, bastante inferior ao limite regulamentar de 8 mm (4,8/600).

A torção do tabuleiro, segundo a EN1990-A2, deverá ser controlada em troços de 3 m e

largura de 1,435 m, devendo-se obter-se um empenamento inferior a 1,5 mm para

velocidades de circulação superiores a 200 km/h. a que corresponde uma distorção de 0,5.

A verificação deverá ser efectuada para os modelos de carga estáticos, majorados pelo

coeficiente de amplificação dinâmica.

Esta verificação foi controlada de forma indirecta, através do controlo do deslocamento

máximo obtido por aplicação dos modelos estáticos. Assim, considerando que os nós da

laje colocados sob as estacas apresentam um deslocamento vertical nulo, e o valor máximo

do deslocamento registado a meio vão da laje sob o carril, por aplicação dos modelos

estáticos, vale 0,95 mm, obtêm-se 0,40 de distorção, ou seja, o valor estabelecido no

regulamento nunca é atingido.

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

161

As restantes verificações relacionadas com o comportamento transversal da estrutura não

foram efectuadas.

5.5.3 - Conforto dos passageiros

O conforto dos passageiros é afectado pelas vibrações a que ficam submetidas as caixas

das carruagens aquando da passagem do comboio pela estrutura. A EN1990-A2 fixa

limites para o valor de pico da aceleração vertical (b'v) no interior das carruagens iguais a

1,0 m/s2, 1,3 m/s2 e 2,0 m/s2, em correspondência com três níveis de conforto dos

passageiros: Muito Bom; Bom e Aceitável.

A verificação do conforto dos passageiros pode ser efectuada de uma forma simplificada,

sem recorrer a uma análise dinâmica com interacção ponte-comboio, limitando-se o

deslocamento vertical do tabuleiro, sob o eixo da via carregada, resultante da aplicação do

modelo de carga LM71 multiplicado pelo respectivo coeficiente dinâmico Φ .

Da consulta da Figura 5.38, para uma velocidade máxima de 350 km/h e um nível de

conforto Muito Bom dos passageiros, o valor limite da relação L/δ para vãos de 4,80 m é

igual a 1500. Para tabuleiros contínuos este valor deverá ser multiplicado por 0,9, ou seja,

(L/δ)lim = 1350, pelo que o deslocamento não deverá exceder 3,6 mm.

3000

2500

2000

1500

1000

500

00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

L [m]

L /

δ

V = 120

V = 160

V = 200

V = 220

V = 250

V = 280

V = 300

V = 350

Figura 5.38 – Definição do deslocamento máximo para um nível de conforto Muito Bom

Da aplicação do modelo LM71 resulta um deslocamento máximo de 0,94 mm, valor

bastante inferior ao estabelecido regularmente.

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Capítulo 5

162

5.6 - CONCLUSÕES

No presente capítulo foi avaliado o comportamento dinâmico da solução de laje sobre

estacas da ligação Túnel da Mancha Londres, à luz da mais recente regulamentação

europeia para a passagem dos HSLM e dos comboios reais.

Ficou claro que os maiores valores das diferentes grandezas estudadas na laje, aceleração e

deslocamento vertical da laje, ocorrem nos vãos extremos. Verificou-se também que os

maiores valores não ocorrem no mesmo ponto para análises com frequências máximas

distintas. Enquanto na análise a 30 Hz o valor máximo ocorre sempre a meio dos vãos

extremos, na análise a 60 Hz ocorre nos pontos extremos de entrada e saída.

A aplicação do modelo de cargas HSLM-B não se revelou condicionante à estrutura em

análise. No entanto, foi possível identificar quatro famílias de comboios distintas, em

função da distância entre cargas, o que permite reduzir o número de análises a efectuar.

Ficou também claro que a utilização do gráfico presente na regulamentação, no qual o

comboio é escolhido em função do vão da estrutura, não proporcionou, para este caso de

estudo, o comboio mais condicionante.

O modelo de cargas HSLM-A apresentou-se sempre como mais gravoso que o modelo B e

quase sempre mais condicionante do que o conjunto dos comboios reais. No entanto,

pontualmente os efeitos dinâmicos provocados por estes foram superiores aos obtidos pelo

HSLM-A.

Verificou-se ainda, que nas famílias de comboio HSLM foram os esquemas de cargas com

maior distância entre eixos que provocaram os maiores níveis de aceleração na laje.

No que concerne às verificações de segurança, o modelo estático LM71, majorado pelo

factor de amplificação Φ , proporcionou sempre resultados superiores aos obtidos por

intermédio da análise dinâmica.

O limite da aceleração vertical do tabuleiro estipulado na EN1990-A2 nunca é atingido,

embora na análise a 60 Hz os valores obtidos para a aceleração já sejam mais próximos

deste valor do que os obtidos na análise a 30 Hz. O deslocamento vertical máximo e o

empenamento da secção também se encontram abaixo dos valores estabelecidos na

EN1990-A2. O conforto dos passageiros, embora tenha sido controlado de forma

simplificada, também é verificado garantindo um nível de conforto de Muito Bom.

Pode-se concluir, que a estrutura em questão verifica todos os limites estabelecidos na

regulamentação para redes interoperáveis. No entanto, a estrutura poderia ainda ser

bastante optimizada, em especial quando se analisa a uma frequência máxima de 30 Hz,

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Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres

163

pois os níveis de aceleração e deslocamento estão bastante afastados dos valores máximos

permitidos. Os vãos de entrada e saída poderiam ser redimensionados, à luz do que é

habitual nas pontes, de forma a equilibrar os níveis máximos de aceleração e

deslocamentos em todos os vãos.

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CAPÍTULO 6

CONCLUSÕES

6.1 - CONCLUSÕES GERAIS

A presente dissertação teve como principal objectivo o estudo do comportamento dinâmico

de lajes sobre estacas para suporte de vias férreas de alta velocidade. Pretendeu-se, com

este trabalho, apresentar um conjunto de informação relativa à modelação dos diferentes

componentes da via férrea, de forma a que a modelação numérica possa ser efectuada com

maior rigor. Também foi dado destaque às metodologias numéricas de análise dinâmica,

com especial ênfase para um método menos conhecido em aplicações deste tipo, o método

da sobreposição de vectores de Ritz.

O caso de estudo incidiu sobre a laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres,

inserido na ligação de alta velocidade entre Londres e Paris.

As análises dinâmicas foram conduzidas à luz da mais recente regulamentação europeia,

EN1991-2 e EN1990-A2, no que concerne às verificações relativas à segurança estrutural,

à segurança da via e ao conforto dos passageiros. No entanto, tentou-se incorporar no

estudo a mais recente investigação, nomeadamente ao nível da definição da frequência

máxima a considerar na análise dinâmica. Assim, para além de se ter considerado o limite

regulamentar de 30 Hz, considerou-se o limite de 60 Hz proposto por Zacher e Baessler, de

forma a avaliar a sua influência nos resultados das análises dinâmicas.

O estudo preliminar relativo à comparação dos diferentes métodos de integração permitiu

constatar que o método da sobreposição modal é pouco adequado para a análise deste tipo

de estruturas. Ficou claro, que o método de Ritz, é a melhor alternativa para a resolução

numérica do problema dinâmico, pois alia a rapidez numérica proporcionada pelo

desacoplamento das equações de equilíbrio dinâmico, à precisão obtida pelo método de

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Referências bibliográficas

166

Newmark, tido como o mais rigoroso. Este último apresenta a enorme desvantagem de

necessitar de um tempo de cálculo muito superior ao anterior, em virtude de resolver o

sistema de equações com a dimensão do número de graus de liberdade do problema. A

comparação entre os três métodos foi efectuada em diversos pontos ao nível da aceleração

e deslocamento vertical da laje, não só em termos da evolução temporal mas também ao

nível da envolvente de valores máximos.

Ficou também claro a influência que a modelação da via proporciona ao nível das

acelerações, conseguindo-se obter uma redução significativa da magnitude das acelerações

à custa da sua inclusão no modelo. Esta redução é conseguida devido à degradação da

carga que a via proporciona, ficando também claro que para maiores frequências essas

reduções são mais significativas. Tal é devido ao facto de a carga ao perder o seu carácter

pontual, excitar um menor conteúdo espectral, logo as diferenças entre as duas situações

tendem a aumentar na análise a 60 Hz.

Um dos aspectos de maior dificuldade para a construção do modelo numérico prendeu-se

com a caracterização das propriedades da via. Todavia, ficou demonstrando que a

influência dos seus valores não é muito significativa, especialmente no que se refere às

propriedades do solo e das palmilhas. O que se demonstra como fundamental é a sua

inclusão para proporcionar uma correcta degradação da carga pela laje, sendo que os

valores caracterizadores dos seus parâmetros desempenham um papel secundário. O

elemento que se revelou como o mais influente foi o balastro, embora de uma forma

relativamente moderada. A análise superior foi realizada para uma rigidez de 500 MPa,

valor que dificilmente se conseguirá atingir numa via férrea. Daí que, tendo em conta o

grande intervalo de variação da rigidez, 20 a 500 MPa, se possa considerar que a grandeza

deste parâmetro não desempenha um papel preponderante na análise.

Ao nível da influência da condição de apoio do carril, ficou claro que é importante modelar

a via que existe antes e depois da estrutura, pois o acréscimo de rigidez proporcionado pela

ligação vai permitir uma redução do nível de aceleração, especialmente no primeiro vão.

Daí que seja fundamental para uma correcta tradução do campo de acelerações e

deslocamentos da estrutura considerar estes elementos adicionais na análise.

Da análise do comportamento dinâmico da laje ficou claro que os maiores valores das

diferentes grandezas estudadas na laje, aceleração e deslocamento vertical da laje, ocorrem

nos vãos extremos. Verificou-se também que os maiores valores não ocorrem no mesmo

ponto para análises com frequências máximas distintas. Enquanto na análise a 30 Hz o

valor máximo ocorre sempre a meio dos vãos extremos, na análise a 60 Hz ocorre nos

pontos extremos de entrada e saída.

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Referências bibliográficas

167

A aplicação do modelo de cargas HSLM-B não se revelou condicionante à estrutura em

análise. No entanto, foi possível identificar quatro famílias de comboios distintas, em

função da distância entre cargas, o que permite reduzir o número de análises a efectuar.

Ficou também claro que a utilização do gráfico presente na regulamentação, no qual o

comboio é escolhido em função do vão da estrutura, não proporcionou, para este caso de

estudo, o comboio mais condicionante.

O modelo de cargas HSLM-A apresentou-se sempre como mais gravoso que o modelo B e

quase sempre mais condicionante do que o conjunto dos comboios reais. No entanto,

pontualmente os efeitos dinâmicos provocados por estes foram superiores aos obtidos pelo

HSLM-A.

Verificou-se ainda, que nas famílias de comboio HSLM foram os esquemas de cargas com

maior distância entre eixos que provocaram os maiores níveis de aceleração na laje.

No que concerne às verificações de segurança, o modelo estático LM71, majorado pelo

factor de amplificação Φ , proporcionou sempre resultados superiores aos obtidos por

intermédio da análise dinâmica.

O limite da aceleração vertical do tabuleiro estipulado na EN1990-A2 para análises com

frequências até 30 Hz nunca foi atingido; na análise com frequências até 60 Hz os valores

obtidos para a aceleração já são mais próximos do limite O deslocamento vertical máximo

e o empenamento da secção também se encontram abaixo dos valores estabelecidos na

EN1990-A2. O conforto dos passageiros, embora tenha sido controlado de forma

simplificada, também é verificado garantindo-se um nível de conforto Muito Bom.

Pode-se concluir, que a estrutura em questão verifica todos os limites estabelecidos na

regulamentação para redes interoperáveis. No entanto, a estrutura poderia ainda ser

bastante optimizada, em especial quando se analisa a uma frequência máxima de 30 Hz,

pois os níveis de aceleração e deslocamento estão bastante afastados dos valores máximos

permitidos. Os vãos de entrada e saída poderiam ser redimensionados, à luz do que é

habitual nas pontes, de forma a equilibrar os níveis máximos de aceleração e

deslocamentos em todos os vãos.

6.2 - PERSPECTIVAS DE DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

No seguimento do trabalho exposto, apresentam-se algumas sugestões com vista a

possíveis desenvolvimentos futuros:

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Referências bibliográficas

168

i) Desenvolver as rotinas de pré-processamento para as novas versões do software

SAP2000, uma vez que nas novas versões deixa de ser necessário efectuar a

importação das funções de carga, sendo possível definir as funções de carga

directamente no programa;

ii) De forma a validar a metodologia numérica, afigura-se como interessante a

monitorização de um solução deste tipo, o que iria permitir validar a modelação

numérica, assim como proporcionar um maior conhecimento acerca do real

comportamento dinâmico;

iii) Do ponto de vista numérico seria importante realizar análises que contemplassem a

interacção entre a via e o comboio, em especial com presença de irregularidades no

carril, de forma a permitir a comparação com os resultados proporcionados pela

regulamentação;

iv) Do ponto de vista numérico seria ainda interessante efectuar uma análise

estocástica relativamente à influência dos parâmetros de massa, rigidez e

amortecimento, e combiná-los com a possibilidade do cruzamento na laje dos

diversos tipos de comboio;

v) A avaliação do comportamento sísmico deste tipo de estruturas, também parece

interessante, na medida em que para este tipo de acção a interacção entre o solo de

fracas características geomecânicas poderá ser elevada. Este estudo deveria ser

efectuado combinando a possibilidade de circulação de comboios, de forma a

definir cenários de alerta e alarme em caso de ocorrência de um sismo;

vi) O estudo comportamento de solos de fracas características geomecânicas quando

solicitados dinamicamente, nomeadamente o efeito que a presença da água, a

consolidação e a fluência do esqueleto sólido têm no modo como as vibrações se

propagam.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Baessler, M.; Rücker, W. - New results on the behaviour of ballasted tracks on bridge

decks. In: EURODYN 2005, Millpress, Rotterdam, 2005.

Barbero, Jaime - Dinámica de puentes de ferrocarril para alta velocidad: métodos de

cálculo y estudio de la ressonancia. PhD Thesis. Universidad Politécnica de Madrid, 2001.

Bayo, E. P.; Wilson, E. L. - Use of Ritz Vectors in Wave Propagation and Foundation

Response. Earthquake Engineering and Structural Dynamics. Vol. 12:(1984). p. 499-505.

Beurze, R. S. - Soil structure interaction analysis of the settlement free slab of high speed

rail link in the Netherlands. In: Concrete Structures in the 21st Century, FIB, Japan, 2002.

Broeck, Peter Van den - A prediction model for ground-borne vibrations due to railway

traffic. PhD Thesis. Katholieke Universiteit Leuven, 2001.

Calçada, Rui - Efeitos dinâmicos em pontes resultantes do tráfego ferroviário a alta

velocidade. Tese de Mestrado. Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 1995.

Clough, Ray; Penzien, Joseph - Dynamics of Strutures. 2nd Edition. Mcgraw-Hill, 1993.

Computers and Structures Inc - CSI Analysis Reference Manual. Berkeley: 2005.

Dahlberg, Tore - Railway track dynamics - a survey. 2003.

De Man, Amnon Pieter - A survey of dynamic railway track properties and their quality.

MSc Thesis. Delft, 2002.

Department of the Environment Transport and the Regions - The Channel Tunnel Rail

Link. London, 2001.

Page 188: Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas …files.isec.pt/DOCUMENTOS/SERVICOS/BIBLIO/teses/Tese_Mest_Bruno... · Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas para Suporte

Referências bibliográficas

170

Detandt, Henri; Urban, Martin - Slabs under railway tracks founded on piles for the

passage of compressible valleys by high-speed trains. In: Structures for high-speed railway

transportation, IABSE, Antuérpia, 2003.

Dieleman, Luc; Fournol, Alain - Dynamic behaviour of the short raiway bridges. In:

Structures for high-speed railway transportation, IABSE, Antuérpia, 2003.

Ditzel, Auke - Train induced ground vibrations: modeling and experiments. PhD Thesis.

TU Delft, 2003.

Doan, Van-Tho; Roujon, Michel; Richard, Jean-Jacques - Ouvrage de franchissement de la

zone karstique par la ligne de TGV Mediterranee. In: La Technique Française du Béton,

Osaka, 2002.

EN1990-A2 - Annex A2: Application for bridges. European Committee for

Standardization, CEN, 2005.

EN1991-1-1 - Eurocode 1: Actions on structures - Part 1-1: General actions - Densities,

self-weight, imposed loads for buildings. European Committee for Standardization, CEN,

2002.

EN1991-2 - Actions on structures – Part 2: General actions – Traffic Loads on Bridges.

European Committee for Standardization, CEN, 2003.

ERRI-D214 RP4 - Rail Bridges for speeds > 200km/h. Train bridge interaction. European

Rail Research Institute, D214, 1999.

ERRI-D214 RP9 - Rail Bridges for speeds > 200km/h. Final report. European Rail

Research Institute, D214, 1999.

Esveld, Coenraad - Modern Railway Track. 2nd Edition. MRT-Productions, 2001.

Freudenstein, Stephan - Innovation demands experience in application - Corporate and

technological challenges for the construction and expansion of international railway

infrastructure networks -. In: Track for high-speed railways, FEUP, Porto, 2006.

Frýba, Ladislav - Dynamic of raiway bridges. Prague: Thomas Telford, 1996.

Gabaldón, Felipe; Riquelme, F.; Goicolea, J. M.; Arribas, J. J. - Dynamic analysis of

structures under high speed train loads: case studies in Spain. In: Dynamics of high-speed

railway bridges, FEUP, Porto, 2005.

Holm, Göran; Andréasson, Bo; Bengtsson, Per-Evert; Bodare, Anders; Eriksson, Hakan -

Mitigation of track and ground vibrations by high speed trains at Ledsgard, Sweden. Svesk

Djupstabilisering, 2002.

Page 189: Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas …files.isec.pt/DOCUMENTOS/SERVICOS/BIBLIO/teses/Tese_Mest_Bruno... · Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas para Suporte

Referências bibliográficas

171

Kirstein, Alex; Wendrich, John - The Settlement Free Slab of the High Speed Line in The

Netherlands. In: Structures for high-speed railway transportation, IABSE, Antuérpia, 2003.

Madshus, C.; Kaynia, A. M. - High-speed railway lines on soft ground: dynamic behaviour

at critical train speed. Journal of Sound and Vibration. 231:3 (2000). p. 689-701.

Mateus da Silva, João - Propagação e mitigação de vibrações de baixa frequência geradas

por comboios de alta velocidade. LNEC, 2005.

Matos Fernandes, Manuel de - Mecânica dos Solos: Conceitos e Príncipios Fundamentais.

FEUP edições. Porto: 2006.

Montanelli, Filippo; Recalcati, Piergiorgio - Geogrid reinforced railways embankments:

design concepts and experimental test results. In: Structures for high-speed railway

transportation, IABSE, Antuérpia, 2003.

Montens, Serge; Leullier, Jean-Jacques; Benadda, Kheireddine; Jenins, Steven - Design of

piled slabs for the Channel Tunnel Raiway Link. In: Structures for high-speed railway

transportation, IABSE, Antuérpia, 2003.

Museros, P.; Romero, M. L.; Poy, A.; Alarcon, E. - Advances in the analysis of short span

railway bridges for high-speed lines. Computers & Structures. 80:27-30 (2002). p. 2121-

2132.

O'Riordan, Nick; Ross, Andrew; Allwright, Rod; Kouby, Alain Le - Long term settlement

of piles under repetitive oading from trains. In: Structures for high-speed railway

transportation, IABSE, Antuérpia, 2003.

Oscarsson, Johan - Dynamic Trains-Track Interaction: Linear and Non-Linear Models with

Property Scatter. Chalmers University of Technology, 2001.

Paolucci, R.; Maffeis, A.; Scandella, L.; Stupazzini, M.; Vanini, M. - Numerical prediction

of low-frequency ground vibrations induced by high-speed trains at Ledsgaard, Sweden.

Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 23:6 (2003). p. 425-433.

Pinto, José Rui - Dinâmica de pontes em viga caixão em linhas ferroviárias de alta

velocidade. Tese de Mestrado. FEUP, 2007.

Rhomberg, Hubert - Experiences with construction of slab track systems for high speed

lines. In: Track for high-speed railways, FEUP, 2006.

Ricci, L.; Nguyen, V. H.; Sab, K.; Duhamel, D.; Schmitt, L. - Dynamic behaviour of

ballasted railway tracks: A discrete/continuous approach. Computers & Structures.

83:(2005). p. 2282-2292.

Page 190: Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas …files.isec.pt/DOCUMENTOS/SERVICOS/BIBLIO/teses/Tese_Mest_Bruno... · Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas para Suporte

Referências bibliográficas

172

Santos, Jaime - Caracterização de solos através de ensaios dinâmicos e cíclicos de

torção.Aplicação ao estudo do comportamento de estacas sob acções horizontais estáticas e

dinâmicas. Tese Doutoramento. Instituto Superior Técnico, 1999.

Saussine, G.; Cholet, C.; Gautier, P. E.; Dubois, F.; Bohatier, C.; Moreau, J. J. - Modelling

ballast behaviour under dynamic loading, Part 1: A 2D polygonal discrete element method

approach. Computer methods in applied mechanics and engineering. 195:(2006). p. 2841-

2589.

Schmitt, Laurent - Recent SNCF research on ballasted high speed track fatigue behaviour.

In: Track for high-speed railways, FEUP, Porto, 2006.

Thompson, D. J.; van Vliet, W. J.; Verheij, J. W. - Developments of the indirect metoh for

measuring the high frequency dynamuc stiffness of resilient elements. Journal of Sound

and Vibration. 213:1 (1998). p. 169-188.

UIC - Design of new lines for speeds of 300-350 km/h. State of the art. International Union

of Railways, High Speed Department, 2001.

Wilson, Edward L. - Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures. 3rd

Edition. Berkeley, Caifornia: Computers and Strutures, Inc, 2000.

Wilson, Edward L.; Yuan, Ming-Wu; Dickens, John M. - Dynamic analysis of Direct

Superposition of Ritz vectors. Earthquake Engineering and Structural Dynamics. Vol.

10:(1982). p. 813-821.

Wu, T.X.; Thompson, D.J. - The Effects of Track Non-Linearity on Wheel/Rail Impact.

ISVR, Technical Memorandum No. 912, 2003.

Xia, He; Zhang, Nan - Dynamic analysis of railway bridge under high-speed trains.

Computers & Structures. 83:23-24 (2005). p. 1891-1901.

Yau, Jong-Dar; Yang, Yeong-Bin; Kuo, Shyh-Rong - Impact response of high speed rail

bridges and riding comfort of rail cars. Engineering Structures. 21:9 (1999). p. 836-844.

Zacher, Manfred; Baessler, Matthias - Dynamic behaviour of ballast on railway bridges.

In: Dynamics of high-speed railway bridges, FEUP, Porto, 2005.

Zhai, W.; Cai, Z. - Dynamic interaction between a lumped mass vehicle and a discretely

supported continuous rail track. Computers & Structures. 63:5 (1997). p. 987-997.

Zhai, W. M.; Wang, K. Y.; Lin, J. H. - Modelling and experiment of railway ballast

vibrations. Journal of Sound and Vibration. 270:4-5 (2004). p. 673-683.

Page 191: Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas …files.isec.pt/DOCUMENTOS/SERVICOS/BIBLIO/teses/Tese_Mest_Bruno... · Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas para Suporte

Referências bibliográficas

173

Zhang, Lianyang; Silva, Francisco; Grismala, Ralph - Ultimate lateral resistance to piles in

cohesionless soils. Journal of geotechnical and geoenvironmental engineering. 131:(2005).

p. 78-83.