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Comportamento Dinâmico de Lajes Sobre Estacas para
Suporte de Vias Férreas de Alta Velocidade
Bruno Emanuel Zuada Coelho
Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
para obtenção do grau de Mestre em Estruturas de Engenharia Civil,
realizada sob a orientação dos Professores Rui Calçada e Raimundo Delgado
Porto, Janeiro de 2008
Aos meus Pais.
“Our greatest glory is not in never falling, but in rising every time we fall.”
Confucius
ÍNDICE GERAL
RESUMO..................................................................................................................... i
ABSTRACT............................................................................................................... iii
AGRADECIMENTOS ................................................................................................v
CAPÍTULO 1...............................................................................................................1
CAPÍTULO 2.............................................................................................................25
CAPÍTULO 3.............................................................................................................67
CAPÍTULO 4.............................................................................................................89
CAPÍTULO 5...........................................................................................................131
CAPÍTULO 6...........................................................................................................165
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................169
i
RESUMO
O principal objectivo da presente dissertação é o estudo do comportamento dinâmico de
lajes sobre estacas para suporte de vias férreas de alta velocidade.
O trabalho inicia-se com a apresentação de problemas que surgiram em diversos países
europeus aquando da implementação de linhas de alta velocidade em zonas de solos com
fracas características geomecânicas para servirem de fundação à via. São referidos os
estudos e descritas as soluções encontradas para ultrapassar essas dificuldades. É também
dado destaque à descrição dos elementos que constituem a via férrea, às suas
características dinâmicas e às diversas formas de modelação encontradas na bibliografia.
São apresentados os princípios básicos de uma análise dinâmica e três métodos para a
resolução das equações de equilíbrio dinâmico, o método de Newmark, o método da
sobreposição modal e método da sobreposição de vectores de Ritz. Uma comparação dos
resultados de análises dinâmicas pelos três métodos é apresentada e são retiradas
conclusões sobre as vantagens e inconvenientes da sua aplicação.
O estudo numérico do comportamento dinâmico da solução laje sobre estacas utilizada na
ligação de alta velocidade Canal da Mancha-Londres foi efectuado, tendo-se recorrido para
o efeito ao software de análise estrutural SAP2000.
Começou-se por realizar um estudo preliminar com o intuito de avaliar a sensibilidade da
resposta estrutural a diversos parâmetros, tais como o método de integração, o incremento
de tempo, as dimensões e a discretização do modelo, a inclusão da via, as propriedades da
via, as condições fronteira do carril e as propriedades do solo envolvente.
O comportamento dinâmico da laje sobre estacas foi avaliado sob acção de tráfego
ferroviário de alta velocidade. Foram efectuadas análises para a passagem dos comboios
regulamentares referentes à família High Speed Load Model (HSLM) e para os comboios
reais que circulam actualmente nas linhas de alta velocidade europeias. O comportamento
estrutural foi avaliado do ponto de vista da segurança estrutural, da segurança da via e do
conforto dos passageiros, tendo por base o estabelecido na mais recente regulamentação
europeia EN1991-2 e EN1990-A2.
iii
ABSTRACT
The main goal of the present work is the study of the dynamic behaviour of piled slabs for
high speed railways.
The work starts with a presentation of problems that appeared in several european
countries during the construction of railways lines on soils with low geomechanical
properties. The studies and the solutions founded to work out this problem are presented.
Special attention is paid to the description of the track elements, their dynamic properties
and to the several ways found on bibliography to model them.
The basic principles of the dynamic analysis are presented as well three different
methodologies for solving the dynamic equilibrium equations, the Newmark’s method, the
modal superposition method, and the superposition of Ritz’s vectors. A comparison
between the three methodologies is presented, and the conclusions about their advantages
and inconvenients are discussed.
It was performed the numerical study of the dynamic behaviour of piled slabs from the
high speed connection between the Chanel Tunnel and London, with the structural analysis
software SAP2000.
A preliminary analysis was carried out with the purpose of evaluating the sensitivity of the
structural response to several parameters, as integration method, time step, model
dimensions and mesh discretization, presence and properties of the track, boundary
condition of the rail and properties of the surrounding soil.
The dynamic behaviour of the slab was evaluated under the application of high speed
traffic. Analyses were performed for the passage of the standard trains High Speed Load
Modal (HSLM) and for real trains that run on the european high speed railways. The
structural behaviour was evaluated for structural safety, for track safety and for passenger
comfort points of view, as established by the recent european standard EN1991-2 and
EN1990-A2.
v
AGRADECIMENTOS
Ao terminar este trabalho, gostaria de deixar expresso o meu profundo e sincero
agradecimento a todos que de alguma forma contribuíram para a sua concretização, em
particular:
- Ao Professor Rui Calçada, pelo empenho e dedicação que empreendeu durante a
realização do presente trabalho;
- Ao Professor Raimundo Delgado, pela qualidade dos ensinamentos transmitidos e
pelas construtivas discussões que ajudaram a resolver alguns dos problemas que
surgiram neste trabalho;
- À RAVE - Rede Ferroviária de Alta Velocidade - pelo apoio concedido no âmbito
doprotocolo de colaboração RAVE & FEUP;
- Ao amigo José Rui Pinto, por todo o apoio prestado e pela preciosa ajuda com a
programação em Visual Basic e com o software SAP 2000;
- À amiga Denise Ferreira, pela amizade demonstrada e pela ajuda na revisão do
Abstract;
- Ao amigo Miguel Silva, e aos colegas Fernando Bastos, Mário Marques e Ricardo
Pimentel, pelo bom ambiente proporcionado no decurso do Mestrado;
- A todos os meus amigos, sem os quais a realização do presente trabalho teria sido
muito mais difícil;
- À minha família, em especial aos meus pais, por todo o apoio e carinho prestados ao
longo dos anos.
vii
ÍNDICE DE TEXTO
RESUMO...........................................................................................................................i
ABSTRACT.................................................................................................................... iii
AGRADECIMENTOS .....................................................................................................v
CAPÍTULO 1....................................................................................................................1
1.1 - ENQUADRAMENTO ..........................................................................................................................1
1.2 - ORIGEM DE PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO EXCESSIVA DA VIAS FÉRREA.......................2
1.3 - CASOS DE REFORÇO .......................................................................................................................7
1.3.1 - Suécia ..............................................................................................................................................7
1.3.2 - Holanda .........................................................................................................................................12
1.3.3 - Bélgica...........................................................................................................................................14
1.3.4 - Reino Unido...................................................................................................................................16
1.3.5 - França ............................................................................................................................................17
1.3.6 - Itália...............................................................................................................................................20
1.4 - OBJECTIVOS E ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO...... .......................................................22
CAPÍTULO 2..................................................................................................................25
2.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS ...........................................................................................................25
2.2 - MODELAÇÃO DA VIA ....................................................................................................................27
2.2.1 - Modelação dos componentes.........................................................................................................27
2.2.1.1 - Carril ................................................................................................................................... 27
2.2.1.2 - Palmilhas ............................................................................................................................. 29
2.2.1.3 - Travessas ............................................................................................................................. 33
2.2.1.4 - Balastro ............................................................................................................................... 35
2.2.2 - MODELAÇÃO DO CONJUNTO.................................................................................................37
2.3 - MODELAÇÃO DO VEÍCULO.........................................................................................................52
2.4 - MODELAÇÃO DA INTERFACE RODA-CARRIL........... ............................................................57
2.4.1 - Contacto roda-carril .......................................................................................................................57
2.4.2 - Irregularidades...............................................................................................................................58
2.5 - MODELAÇÃO DA ESTRUTURA ...................................................................................................61
2.6 - INTERACÇÃO COM O MACIÇO ENVOLVENTE ........... ..........................................................62
viii
CAPÍTULO 3 ................................................................................................................. 67
3.1 - INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 67
3.2 - EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO ............... .................................................................... 67
3.3 - CONSIDERAÇÃO DE CARGAS MÓVEIS.................................................................................... 68
3.4 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA POR UM MÉTODO DE INTEGR AÇÃO DIRECTA............ 71
3.5 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO DA SOBREPOSIÇÃO MODAL................ 74
3.6 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO DA SOBREPOSIÇÃO DOS VECTORES DE RITZ...................................................................................................................................................... 75
3.7 - EXEMPLO DE APLICAÇÃO .......................................................................................................... 82
3.7.1 - Análise dinâmica de uma viga isostática ....................................................................................... 83
3.7.1.1 - Modelação........................................................................................................................... 83
3.7.1.2 - Cenário de análise ............................................................................................................... 83
3.7.1.3 - Análise pelo método de Newmark ...................................................................................... 86
3.7.1.4 - Análise pelo método da sobreposição modal...................................................................... 86
3.7.1.5 - Análise pelo método da sobreposição de vectores de Ritz .................................................. 87
3.7.1.6 - Comparação de resultados................................................................................................... 88
CAPÍTULO 4 ................................................................................................................. 89
4.1 - INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 89
4.2 - DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA...................................................................................................... 90
4.3 - MODELAÇÃO NUMÉRICA............................................................................................................ 92
4.3.1 - Discretização da estrutura.............................................................................................................. 92
4.3.2 - Características geométricas e mecânicas ....................................................................................... 93
4.3.3 - Frequências naturais e modos de vibração .................................................................................... 95
4.4 - ANÁLISE DINÂMICA PRELIMINAR .................. ......................................................................... 97
4.4.1 - Objectivo ....................................................................................................................................... 97
4.4.2 - Cenário de análise ......................................................................................................................... 97
4.4.2.1 - Comboio e gama de velocidades ......................................................................................... 99
4.4.2.2 - Amortecimento.................................................................................................................... 99
4.4.2.3 - Gama de frequências ........................................................................................................... 99
4.4.3 - Análise pelo método de integração directa .................................................................................. 100
4.4.4 - Análise pelo método da sobreposição modal............................................................................... 102
4.4.5 - Análise pelo método da sobreposição de vectores de Ritz .......................................................... 103
4.4.6 - Comparação dos resultados obtidos pelos diversos métodos ...................................................... 109
4.4.6.1 - Em termos de precisão ...................................................................................................... 109
ix
4.4.6.2 - Em termos de tempo de cálculo......................................................................................... 113
4.4.7 - Validação do modelo elástico linear para a interacção com o maciço.........................................114
4.5 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE....................................................................................................115
4.5.1 - Análise de sensibilidade em relação às dimensões do modelo ....................................................116
4.5.2 - Análise de sensibilidade em relação à não inclusão da via..........................................................119
4.5.3 - Análise de sensibilidade em relação às propriedades da via........................................................121
4.5.3.1 - Análise de sensibilidade em relação às condições fronteira da via ................................... 124
4.5.4 - Análise de sensibilidade em relação às propriedades do solo envolvente ...................................127
4.6 - CONCLUSÕES.................................................................................................................................129
CAPÍTULO 5................................................................................................................131
5.1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................................................131
5.2 - REQUISITOS DE ANÁLISE DINÂMICA ....................................................................................132
5.2.1 - Justificação da realização de análise dinâmica ............................................................................132
5.2.2 - Cenário de carregamento .............................................................................................................133
5.2.2.1 - Comboios reais.................................................................................................................. 133
5.2.2.2 - Comboios do High Speed Load Model (HSLM)............................................................... 134
5.2.3 - Gama de velocidades ...................................................................................................................137
5.2.4 - Método de análise dinâmica ........................................................................................................137
5.2.5 - Parâmetros relativos à estrutura...................................................................................................139
5.2.5.1 - Amortecimento.................................................................................................................. 139
5.2.5.2 - Gama de frequências ......................................................................................................... 139
5.3 - EVOLUÇÃO TEMPORAL DAS RESPOSTAS DINÂMICAS....................................................139
5.3.1 - Deslocamento vertical .................................................................................................................139
5.3.2 - Aceleração vertical ......................................................................................................................140
5.3.3 - Esforço axial nas estacas .............................................................................................................141
5.4 - ENVOLVENTES DAS RESPOSTAS DINÂMICAS.....................................................................141
5.4.1 - Comboios reais ............................................................................................................................148
5.4.2 - Comboios do HSLM....................................................................................................................150
5.4.3 - Comparação das envolventes relativas aos comboios reais e HSLM ..........................................155
5.5 - AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL........ .................................................157
5.5.1 - Segurança estrutural ....................................................................................................................157
5.5.2 - Segurança da via..........................................................................................................................159
5.5.3 - Conforto dos passageiros.............................................................................................................161
5.6 - CONCLUSÕES.................................................................................................................................162
x
CAPÍTULO 6 ............................................................................................................... 165
6.1 - CONCLUSÕES GERAIS ................................................................................................................ 165
6.2 - PERSPECTIVAS DE DESENVOLVIMENTOS FUTUROS....................................................... 167
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 169
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 - ENQUADRAMENTO
Hoje em dia, na Europa as ligações ferroviárias são efectuadas a alta velocidade, tendo-se
registado uma grande evolução não só ao nível da construção das linhas férreas e do
traçado, como também no que concerne aos próprios comboios. Aliás, o comboio foi o
primeiro grande meio de transporte de massas, tendo sido substituído no início do século
XX pelo automóvel. Desde então, tornaram-se cada vez mais velozes, constituindo uma
alternativa atractiva face ao transporte aéreo e rodoviário em médias distâncias, pelo que se
tem registado nos anos mais recentes, uma aposta por parte dos países europeus na
construção de vias férreas de alta velocidade, na tentativa de criar uma rede europeia
ferroviária que permita uma mobilidade efectiva em todo o espaço europeu.
Quando em Portugal, no ano de 1856, uma locomotiva em segunda mão efectuou a viagem
inaugural entre Lisboa e o Carregado, poucos imaginavam o progresso e o
desenvolvimento que os caminhos de ferro iriam sofrer. Actualmente em Portugal, urge a
necessidade de uma transição para uma rede de alta velocidade, que torne o transporte
ferroviário competitivo face ao rodoviário e aéreo. As actuais linhas ferroviárias
portuguesas apresentam alguns sinais de degradação, pelo que a reabilitação do sector
ferroviário passa pela construção de uma nova rede.
Actualmente, encontra-se em fase de implementação uma rede ferroviária de alta
velocidade que vai permitir efectuar a ligação entre as principais cidades nacionais, mas
principalmente, constituir um elo de ligação com a rede europeia. Torna-se então vital
efectuar um levantamento das soluções existentes na rede europeia, de forma a conseguir
Capítulo 1
2
dar resposta aos futuros desafios que se vão colocar à engenharia portuguesa, aquando da
implementação da futura rede ferroviária nacional.
O futuro traçado da rede de alta velocidade portuguesa poderá ter que atravessar zonas
onde os maciços de fundação apresentam fracas características mecânicas. Nas ligações
Lisboa-Madrid, e Lisboa-Porto prevê-se que o vale aluvionar do Tejo poderá obrigar à
adopção de soluções de reforço ou melhoramento dos solos de fundação, assim como,
dentro desta última linha, a zona de Aveiro também se apresenta como crítica no que
concerne às características dos maciços de fundação (Mateus da Silva, 2005).
Torna-se então imperativo efectuar um levantamento das soluções existentes na rede
europeia, de forma a conseguir dar resposta aos futuros desafios que se vão colocar à
engenharia portuguesa, aquando da implementação da futura rede ferroviária.
O presente trabalho vem de encontro a esta problemática, na medida em que é efectuado
um levantamento de diversas soluções para permitir a construção de vias férreas em zonas
de solos de fracas características, e é estudada do ponto de vista dinâmico, atendendo à
mais recente regulamentação europeia, uma das soluções que corresponde à adopção de
lajes sobre estacas como a adoptada na ligação entre o Túnel da Mancha e a cidade de
Londres.
1.2 - ORIGEM DE PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO EXCESSIVA DA VIAS
FÉRREA
A passagem de comboios a alta velocidade pode induzir efeitos dinâmicos muito
significativos quer na via quer no maciço envolvente.
Segundo Holm et al. (2002) as vibrações induzidas ao maciço dependem de aspectos
relacionados com:
i) A fonte, que consiste no comboio e na via;
ii) O meio de transmissão, ou seja, o solo de fundação;
iii) A envolvente, nomeadamente, as pessoas, os edifícios e os equipamentos.
Os autores referem que estas três partes não têm comportamentos independentes, antes
existindo uma interacção entre elas.
Segundo os mesmos autores, a excitação da via é igualmente ditada pelas características do
comboio, sendo este a fonte de excitação do solo e dos objectos. É portanto, de vital
importância conhecer a configuração dos eixos dos comboios, como seja a sua localização,
Introdução
3
os tipos de suspensão e a massa dos bogies e caixas, pois estes condicionam as
propriedades das ondas emitidas.
A passagem do comboio produz um assentamento elástico da estrutura e do solo que
acompanha o comboio durante o seu movimento. Caso a velocidade aumente,
aproximando-se de velocidades de propagação das ondas no solo, a zona que assenta alarga
na direcção perpendicular à via enquanto que na direcção longitudinal diminui. No entanto,
a profundidade até à qual se verificam deslocamentos aumenta (Figura 1.1).
a) b)
Figura 1.1 – Isolinhas do deslocamento vertical da via para velocidades correspondentes a: a) 25%
e b) 98% da velocidade das ondas de Rayleigh (Holm et al., 2002)
Outro aspecto, que nem sempre é devidamente contabilizado, reside na não circularidade
das rodas. Devido às forças de frenagem as rodas tendem a ficar com zonas lisas, o que
ocasiona a existência de uma carga periódica sobre o carril, cuja frequência depende da
velocidade de circulação do comboio.
Para velocidades elevadas a interacção da estrutura ferroviária com o solo produz um
aumento dos deslocamentos da via (Figura 1.2), denotando-se também a existência de um
levantamento da via à frente, entre e atrás das rodas. Para uma determinada velocidade
crítica o assentamento e o levantamento da via atingem os seus valores máximos. Para
velocidades superiores, os deslocamentos voltam a diminuir. Assim, este processo pode ser
encarado como uma espécie de ressonância da estrutura ferroviária. Para velocidades
superiores o ponto de deslocamento máximo não estará debaixo da roda, mas atrás da roda
(no sentido de circulação do comboio), passando a existir uma força resistente ao
movimento do comboio.
Capítulo 1
4
Figura 1.2 – Deslocamento da via para diferentes velocidades de circulação
(adaptado de Holm et al., 2002)
Da visualização da Figura 1.2 anterior torna-se evidente qual a grandeza do deslocamento
estático e do deslocamento dinâmico. Fica claro que para velocidades baixas, até cerca de
70 km/h neste caso, os efeitos dinâmicos introduzidos pela passagem do comboio são
praticamente nulos. Para velocidades superiores, os seus efeitos começam a ser
significativos, passando mesmo a ser os preponderantes.
Para Madshus e Kaynia (2000) o deslocamento pode ser decomposto em duas parcelas:
i) Um deslocamento quase-estático, que corresponde ao equilíbrio estático do
comboio. Este deslocamento é somente descendente e acompanha o comboio,
sendo independente da velocidade;
ii) Um deslocamento dinâmico associado à propagação das ondas, em especialmente
às de Rayleigh. Este campo tem deslocamentos ascendentes e descendentes de
igual amplitude.
Uma propriedade muito importante do solo está relacionada com a velocidade de
propagação das ondas P, S e R, pois caso a velocidade de circulação do comboio exceda a
velocidade de propagação de qualquer uma destas ondas, a sua forma de propagação muda
drasticamente, acontecendo algo similar ao que se sucede quando um avião excede a
velocidade do som (formação de um cone de Mach). É de salientar que cada tipo de onda
apresenta propriedades distintas quanto à velocidade de propagação e à forma como o seu
movimento varia com a distância à fonte emissora. As ondas S e P são ondas volumétricas,
pelo que a sua propagação ocorre segundo qualquer direcção do meio. As ondas R são
superficiais, sendo que a sua velocidade depende da interacção entre as ondas volumétricas
e as características das camadas superficiais do meio. Nos solos é habitual que as ondas
volumétricas sejam mais rápidas do que as ondas superficiais, uma vez que, em regra, os
Introdução
5
solos exibem maior rigidez volumétrica. Dentro das ondas volumétricas, as ondas P são
mais rápidas do que as ondas S, pois os solos apresentam um módulo de deformabilidade
superior ao módulo de distorção.
Assim, é possível definir três situações distintas quanto à velocidade de circulação do
comboio, que se encontram apresentadas na Figura 1.3:
i) Regime sub-sónico – velocidade de circulação inferior à da propagação das
ondas S;
ii) Regime trans-sónico – velocidade de circulação compreendida entre a velocidade
de propagação das ondas S e P;
iii) Regime super-sónico – velocidade de circulação superior à da propagação das
ondas P (Ditzel, 2003; Mateus da Silva, 2005).
a) b) c)
Figura 1.3 – Deslocamentos verticais nos vários regimes: a) regime sub-sónico, b) regime
trans-sónico e c) regime super-sónico (adaptado de Ditzel, 2003)
Como se verifica, a relação da velocidade de circulação com a velocidade de propagação
das ondas nos solos, influencia de uma forma muito significativa a configuração e a
grandeza dos deslocamentos, existindo uma espécie de ressonância sempre que a
velocidade do comboio iguala a velocidade de propagação das ondas volumétricas. Este
fenómeno é completamente distinto do anteriormente apresentado, o qual está relacionado
com a existência de uma velocidade crítica da via. Daqui se depreende que todo o
fenómeno de excitação e transmissão de vibrações é bastante complexo.
As ondas estão sujeitas a dois tipos de amortecimento; amortecimento geométrico e
amortecimento friccional. O geométrico ocorre devido à vibração se propagar a partir da
fonte em volumes crescentes com a distância. Este efeito é mais significativo nas ondas
volumétricas, pois estas propagam-se em qualquer direcção. Nas ondas superficiais o
amortecimento é menos significativo, pois as vibrações apenas afectam a parte superior do
volume de solo.
Capítulo 1
6
É ainda de salientar que a dimensão da estrutura ferroviária é da ordem de grandeza do
comprimento das ondas emitidas, logo é de esperar que algumas frequências sejam mais
facilmente emitidas do que outras, ou seja, a própria estrutura ferroviária funciona como
filtro das ondas emitidas.
Um dos maiores problemas das vias balastradas é a sua elevada heterogeneidade, quer do
ponto de vista geométrico, quer do ponto de vista da rigidez, o que provoca esforços
adicionais na via e no veículo. A transmissão das forças ao balastro é efectuada a partir das
travessas, ou seja, a solicitação tem um carácter pontual. Estes elementos conferem, acima
de tudo, heterogeneidade ao nível da rigidez. A roda ao transitar de uma zona sem travessa
para uma zona com travessa produz uma força variável, daí que para uma velocidade
constante a força actue com uma frequência designada por frequência de passagem da
travessa. Estas forças ao nível dos carris provocam reacções nos bogies. Estes, por seu
turno, ao serem solicitados sofrem movimentos, introduzindo esforços adicionais sobre os
carris, e assim sucessivamente. As heterogeneidades geométricas são, de uma forma
simplificada, devidas à rugosidade e irregularidades do carril. Estas têm diferentes
comprimentos de onda, variando de pequenos milímetros até quilómetros, o que
proporciona uma gama muito larga das frequências emitidas.
Toda a problemática relacionada com a vibração da via pode existir em todo o tipo de
solos. No entanto, como facilmente se depreende, em linhas que atravessam solos moles
ganha uma dimensão considerável. Olhando para o mapa da futura rede de alta velocidade,
torna-se perceptível que a linha poderá de passar por este tipo de solos, como seja na zona
de Aveiro, ou no vale do Tejo (Mateus da Silva, 2005). Assim, torna-se importante estudar
este problema de modo a evitar os problemas que surgiram noutros países.
Paolucci et al. (2003) pensam que a dificuldade da previsão das vibrações induzidas está
centrada em três questões:
i) A elevada complexidade da interacção dinâmica entre o comboio, a via e o solo;
ii) As elevadas frequências naturais do solo, o que apresenta dificuldades acrescidas
para as modelações 3D;
iii) A escassez de medições para a calibração dos modelos numéricos.
Não obstante, existem já na bibliografia alguns casos bem detalhados onde surgiu esta
problemática. Existem também situações em que este fenómeno foi tido em conta ao nível
do projecto, e de linhas que foram monitorizadas antes da entrada em serviço, de forma a
atestar a qualidade das modelações numéricas adoptadas.
Introdução
7
1.3 - CASOS DE REFORÇO
Na presente secção serão apresentados casos em que foi necessário proceder ao reforço da
fundação da via férrea devido a características inadequadas dos solos, de forma a permitir a
circulação de comboios a alta velocidade.
As soluções abrangem situações de construção de linhas novas para alta velocidade, casos
da França, Bélgica, Holanda e Reino Unido, mas também de modernização de linhas
existentes em que se decidiu proceder ao aumento da velocidade, casos da Suécia e Itália.
1.3.1 - Suécia
Um dos primeiros locais onde se registaram vibrações excessivas foi em Ledsgard, na
Suécia. Em 1990, iniciou-se a construção de uma nova linha de alta velocidade para
efectuar a ligação entre Gotemburgo e Kungsbacka, cujo desenvolvimento era paralelo ao
de uma antiga linha com mais de 100 anos. Após a conclusão da linha, em 1997, iniciou-se
o tráfego ferroviário de comboios X2 com velocidades de 200 km/h. Imediatamente se
registaram níveis de vibrações excessivos em Ledsgard (localizado a 25 km de
Kungsbacka), pelo que a velocidade de circulação foi reduzida para 160 km/h e
posteriormente, devido à permanência de vibrações significativas, para 130 km/h. Na
sequência destes acontecimentos, a Autoridade Ferroviária Sueca iniciou estudos no intuito
de investigar as suas causas. Este estudo encontra-se bem documentado em
Holm et al. (2002).
O maciço de fundação era constituído por uma camada de solo orgânico muito mole, com
uma possança máxima de 3 m, sobrejacente a uma camada superficial de solo
sobreconsolidado. A origem da camada orgânica advém muito provavelmente de um rio,
que no passado foi desviado da sua posição original, e que actualmente coincide com o
local de implantação da nova linha. Sob a camada de solo orgânico existe ainda uma
camada de argila mole, o que torna este maciço muito sensível a fenómenos de vibrações.
O “bedrock” situa-se a mais de 60 m de profundidade.
Uma das etapas do estudo consistiu na caracterização geotécnica do maciço de fundação.
Recolheram-se amostras para a realização de ensaios laboratoriais, como ensaios triaxiais,
e efectuaram-se ensaios “in situ”, tais como o CPTU, e os ensaios sísmicos cross-hole e
down-hole. Obtiveram-se velocidades de propagação das ondas de corte de 40 m/s para o
solo orgânico e de 60 m/s a 80 m/s para a camada de argila mole (Figura 1.4).
Capítulo 1
8
a) b)
Figura 1.4 – Local de investigação: a) perfil dos teores em água e b) perfil de velocidade das ondas
de corte (adaptado de Holm et al., 2002)
A monitorização das vibrações e dos assentamentos também foi efectuada, tendo-se
recorrido a acelerómetros e transdutores de deslocamento montados em blocos de betão
com 30 cm de diâmetro, dispostos entre as travessas. Na Figura 1.5 apresentam-se os
assentamentos registados para uma velocidade de circulação do comboio de 160 km/h. A
figura demonstra claramente os elevados níveis de vibrações neste local da linha.
Figura 1.5 – Registo dos assentamentos ao longo do perfil longitudinal da linha (Holm et al., 2002)
Este foi um problema novo para a Autoridade Sueca, pois não existiam até à data normas
ou regulamentos que previssem este fenómeno. Para dar resposta a esta lacuna, foi
elaborada uma nota técnica que foi utilizada para o dimensionamento das medidas de
reforço. A nota técnica especificava valores mínimos para a rigidez e para a velocidade das
ondas de corte do solo. O actual regulamento, ao invés de propor valores mínimos para a
velocidade de propagação das ondas de corte, impõe um valor mínimo para a velocidade
crítica da via, com um factor de segurança normalmente com valores compreendidos entre
Introdução
9
1,5 e 2. O regulamento impõe também um valor máximo para o assentamento da via de
4 mm.
A solução escolhida para o reforço da via consistiu no “Dry Deep Mixing Method”
(DMM), que consiste na injecção de calda de cimento, ao mesmo tempo que se efectua a
mistura com solo. Esta tecnologia combina as tecnologias do Jet-grouting com a da
estabilização de solo com ligante hidráulico. A sua utilização foi testada com a realização
de ensaios laboratoriais, pois existiam dúvidas quanto à eficácia do tratamento para a
camada de solo orgânico.
A rigidez dos diversos componentes, em conjunto com a geometria e a densidade,
governam a velocidade de propagação das ondas de corte, que por seu turno governa os
assentamentos e a velocidade crítica de todo o sistema. Assim, foi importante quantificar
convenientemente a rigidez obtida após o tratamento. Para tal realizaram-se ensaios
laboratoriais em amostras de solo reforçado, tendo-se obtido curvas tensão-deformação do
tipo da presente na Figura 1.6, com base nas quais foi possível determinar o módulo de
deformabilidade.
1 2 3 4 5 6
50
0
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
Deformação [%]
Res
istê
ncia
à c
ompr
essã
o [k
Pa]
Figura 1.6 – Curva tensão-deformação para o solo reforçado (adaptado de Holm et al., 2002)
Uma das questões levantadas durante a realização do estudo prendeu-se com a composição
da pasta, e com a energia de mistura. Adoptou-se, como primeira aproximação para a
camada orgânica, uma composição de 150 kg de pasta por m3 de solo com uma relação
cal/cimento de 25/75. Para o restante maciço optou-se por reduzir a quantidade de pasta
para 120 kg/m3, numa proporção 50/50. Os resultados obtidos foram muito positivos,
tendo-se conseguido passar de uma resistência não drenada de 20 kPa e de um módulo de
deformabilidade de 1,1 MPa para os valores expressos na Figura 1.7.
Capítulo 1
10
a) b)
Figura 1.7 – Evolução temporal: a) da resistência não drenada e b) do módulo de deformabilidade
(adaptado de Holm et al., 2002)
Esta solução foi modelada numericamente, no intuito de avaliar a redução do nível de
vibração e assentamentos da via. A melhoria foi muito significativa, tal como se pode
constatar pela análise das figuras 1.8 e 1.9.
a) b)
Figura 1.8 – Comparação do assentamento da via: a) antes e b) após o reforço (Holm et al., 2002)
Figura 1.9 – Comparação dos valores máximos do assentamento da via antes após o reforço em
função da velocidade de circulação (adaptado de Holm et al., 2002)
Introdução
11
Dado que o perfil geotécnico não era constante ao longo da linha, adoptaram-se dois perfis
tipo para o reforço. Assim, nas zonas em que a camada de solo orgânico era menos
significativa efectuaram-se três colunas por fiada. Nas zonas mais gravosas efectuaram-se
duas paredes longitudinais constituídas por colunas secantes (Figura 1.10).
Figura 1.10 – Pormenor da solução de reforço (Holm et al., 2002)
No final dos trabalhos foram realizadas novas campanhas de medição dos níveis de
vibração e dos deslocamentos da via, no intuito de avaliar os resultados obtidos e
compará-los com os previstos pelas simulações numéricas.
Figura 1.11 – Avaliação da eficiência do tratamento (adaptado de Holm et al., 2002)
Capítulo 1
12
Como se torna perceptível pela análise da Figura 1.11, o tratamento adoptado mostrou ser
bastante adequado, registando-se para velocidades de 200 km/h assentamentos quinze
vezes inferior aos inicialmente observados. Comparando os resultados numéricos com os
experimentais, registou-se que os cálculos numéricos proporcionaram deslocamentos
superiores. Tal deveu-se à escolha de um valor demasiado conservativo para a rigidez do
solo reforçado, pois existia um défice de experiência para este tipo de intervenções. Daí
que a solução, apesar de ter sido implementada com sucesso, ainda possa ser optimizada,
mormente ao nível da quantidade e da disposição das colunas, assim como ao nível da
composição da calda.
1.3.2 - Holanda
Na parte ocidental da Holanda encontra-se em construção, desde o início de 2000, uma
linha de alta velocidade, que entrou em serviço em 2006. Esta linha é um prolongamento
da linha francesa, desenvolvendo-se a parte holandesa da linha desde o aeroporto de
Schiphol até Breda, junto à fronteira com a Bélgica. O seu comprimento é de
aproximadamente 100 km.
A linha desenvolve-se ao longo da zona do delta, sendo o solo formado por uma camada de
areia e argila até uma profundidade de aproximadamente 10 m, a qual está sobrejacente a
uma camada de areias plistocénicas, utilizada habitualmente para a fundação de estacas.
Dado o tipo de maciço e os tipos de condicionalismos que lhe estão associados,
principalmente ao nível dos assentamentos da via, efectuou-se um estudo de viabilidade
técnica-económica de diversas soluções, tendo-se optado pela utilização de lajes assentes
sobre estacas colocadas num aterro. Esta solução foi designada por Settlement Free Slab
(Beurze, 2002).
Na Figura 1.12 encontra-se representado um esquema da solução implementada. Cada via
é suportada por uma laje com 3 m de largura e 0,50 m de espessura. As lajes são
construídas em módulos de 35 m, existindo uma viga em cada extremidade do módulo para
efectuar a ligação entre as duas vias.
Introdução
13
a)
b)
Figura 1.12 – Esquema da solução: a) planta e b) corte (Beurze, 2002)
Um aspecto que foi questionado ao nível do projecto foi a inclusão, ou não, de juntas de
dilatação entre as lajes. A opção recaiu na solução com juntas, devido aos elevados
esforços que iriam surgir na cabeça das estacas devido às variações térmicas e à retracção
do betão (Kirstein e Wendrich, 2003). Na junta de dilatação existe uma cavilha, de forma a
evitar deslocamentos horizontais relativos que podem provocar o empenamento dos carris,
e ao mesmo tempo, permitir deslocamentos longitudinais e pequenas rotações. São
colocadas quatro estacas por alinhamento, existindo um total de oito fiadas de estacas. As
estacas são verticais, pois para além de facilitar a sua execução, evitam o aparecimento de
momentos flectores devido à consolidação do solo (este fenómeno pode surgir em estacas
inclinadas). O diâmetro adoptado para as estacas foi de 510 mm, tendo sido executadas
com tubo recuperável. As estacas foram prolongadas até à camada de areia, pois
considerou-se que até esta profundidade se alcançava a capacidade de carga necessária. Na
Figura 1.13 está patente o aspecto final da laje.
Capítulo 1
14
Figura 1.13 – Estrutura em construção (Kirstein e Wendrich, 2003)
Um pormenor importante destes sistemas de laje com estacas é a ligação das estacas à laje,
pois para além de ser complicada a completa compreensão do mecanismo de transferência
de carga, é difícil conseguir-se a optimização sob o ponto de vista construtivo. Para além
desta razão, podem surgir adicionalmente correntes vagabundas, o que se não for
devidamente acautelado pode levar à ocorrência de corrosão das armaduras. A solução
passa por isolar a armadura das estacas da armadura da laje, ou colocar barras de ligação à
terra.
1.3.3 - Bélgica
A linha de alta velocidade belga atravessa várias zonas de solos muito compressíveis,
situados principalmente na linha que efectua a ligação entre Bruxelas e Liège. De um
modo geral, as dificuldades inerentes ao tipo de maciço de fundação foram ultrapassadas
com recurso a duas soluções:
i) consolidação do solo;
ii) estacas para suporte do aterro.
Em alguns casos particulares, recorreu-se também à execução de lajes de betão assente
sobre estacas para suporte da via.
Detandt e Urban (2003) descrevem a implementação de uma solução deste tipo na linha
Bruxelas - Liège, mais concretamente em Waremme, num local onde a linha se desenvolve
paralelamente à auto-estrada e a velocidade de circulação dos comboios pode atingir os
300 km/h.
Introdução
15
Do ponto de vista geotécnico, o maciço de fundação era muito fraco, sendo constituído por
argilas muito compressíveis, assentes sobre um substrato cretáceo bastante alterado.
Assim, optou-se por construir uma laje de betão assente sobre estacas (Figura 1.14). Outras
soluções foram ponderadas ao nível de estudo prévio, mas a solução acabou por recair
sobre esta solução, pois era a única que permitia controlar os assentamentos verticais da
via dentro dos limites exigidos.
a) b)
Figura 1.14– Esquema da solução adoptada: a) planta; b) corte transversal (Detandt e Urban, 2003)
A laje consistiu num conjunto de módulos com comprimentos de aproximadamente 50 m,
separados entre si por juntas de dilatação. As estacas foram dispostas segundo vários
alinhamentos, cada um deles com quatro estacas. Considerando que cada módulo tinha que
resistir às forças de frenagem e arranque, e tendo em linha de conta a elevada
compressibilidade do maciço de fundação, os projectistas optaram por colocar estacas
inclinadas, por forma a que os esforços horizontais não provocassem deslocamentos
longitudinais excessivos.
Atendendo às características do maciço de fundação, foram adoptadas estacas cravadas
com tubo de aço perdido, elemento que garantiu o confinamento do solo das camadas com
características geotécnicas inferiores. Ensaios de carga mostraram, no entanto, que nas
zonas em que o maciço é mais fraco este tipo de estacas não conseguia mobilizar
resistência lateral suficiente, ou seja, não possuía capacidade de carga suficiente. A solução
passou por, nessas secções, recorrer à cravação de tubos provisórios, de diâmetro superior
ao das estacas, de modo a se efectuar a injecção com betão à medida que se retirava o tubo
exterior. Assim, conseguiu-se incrementar a mobilização de tensões tangenciais ao longo
das estacas além de garantir uma maior durabilidade.
Capítulo 1
16
1.3.4 - Reino Unido
Montens et al. (2003) apresentam o caso do canal ferroviário que efectua a ligação entre o
Túnel da Mancha e a cidade de Londres. Nas imediações da cidade a linha atravessa uma
zona de características geomecânicas fracas, pelo que ficou inviabilizada, logo à partida, a
instalação da linha sobre o maciço devido aos elevados assentamentos que iriam resultar da
implementação desta solução. Visando a resolução desta problemática, foi estudada uma
solução de laje assente sobre estacas, sobre a qual se colocaria a via balastrada. Na
Figura 1.15 apresenta-se um esquema da solução.
Figura 1.15 – Esquema da solução adoptada (Montens et al., 2003)
O comprimento das unidades de construção variou entre os 39,20 m e os 68,70 m, apesar
dos estudos de interacção entre a via e a estrutura terem demonstrado que se poderia ter
atingido unidades com 120 m de comprimento. Este último valor conduziria no entanto a
momentos flectores excessivos nas estacas, devido aos efeitos de retracção do betão, razão
pela qual foram adoptados comprimentos mais baixos.
O comportamento da solução adoptada é similar ao de pontes de pequeno vão, evidenciado
frequências naturais bastante elevadas devido à sua elevada rigidez. Daí que este tipo de
estruturas não seja, em regra, solicitado nas suas frequências naturais, mas em
submúltiplos destas.
No que concerne às estacas, ficou perceptível da análise dos resultados dinâmicos, que a
variação dos esforços nelas instalados é muito significativo, sendo paralelamente muito
dependente da posição que a estaca ocupa na laje. Tipicamente, as estacas localizadas nas
Introdução
17
extremidades experimentam uma variação de carga muito mais significativa do que as
localizadas no interior (Figura 1.16).
a) b)
Figura 1.16 – Comparação do esforço axial em estacas: a) estaca exterior e b) estaca interior
(adaptado de Montens et al., 2003)
Daí que os autores sugiram que o dimensionamento das estacas deva estar interligado com
o dimensionamento da laje, por forma a contemplar a influência do carácter cíclico das
cargas de tráfego sobre as estacas, e assim ter em conta a sua deformação e assentamentos,
no dimensionamento da laje.
O estudo realizado permitiu ainda constatar que neste tipo de estruturas é de vital
importância, devido ao comprimento dos carris e à flexibilidade das estacas, considerar a
interacção entre o comboio e a estrutura, de modo a permitir a avaliação do nível de
tensões no carril e a grandeza dos assentamentos longitudinais relativos entre unidades de
laje adjacentes.
1.3.5 - França
Em França, na linha TGV Mediterrâneo, surgiu um problema que, embora seja distinto do
abordado anteriormente, deve ser considerado ao nível de projecto, pois coloca em questão
a segurança da linha. Em Doan et al. (2002) é possível encontrar toda a explicação do
sucedido, de uma forma clara e explícita.
A linha em questão atravessa Malataverne, localizada a sul de Montélimar, num local que
constituía o antigo local de passagem do rio Rhône, situado a 15 km da Donzère. A
primeira camada de solo sedimentar é constituída por calcários do Cretácico inferior,
sujeitos aos fenómenos de erosão e carsificação. A camada de calcário é coberta por uma
Capítulo 1
18
argila margosa, com camadas finas de areia. No topo existe uma camada de areia
aluvionar.
Após terem decorrido seis meses desde o início dos trabalhos, e no seguimento da
ocorrência de elevadas precipitações, registou-se o colapso do maciço, por fuga da areia, o
que evidenciou a presença de uma rede cársica (Figura 1.17).
Figura 1.17 – Imagem da zona em que se verificou o colapso da via (Doan et al., 2002)
No rescaldo do acidente a SNCF criou uma comissão com o intuito de proceder ao
reconhecimento e caracterização da rede de cavidades cársicas (cartografia, hidrogeologia)
e à caracterização do solo (testes geofísicos e sondagens). Esta campanha permitiu apontar
a existência de várias aberturas, assim como estimar as suas dimensões. Como principal
conclusão do estudo, resultou a possibilidade de ocorrência de aberturas com 20 m de
diâmetro, que poderiam atingir os 30 m à superfície.
O aparecimento deste problema obrigou à concepção de uma nova solução, de forma a
evitar os riscos do colapso da via. Foram elaboradas diversas soluções mas a SNCF optou
por eliminar todas as que propusessem estacas, devido à possibilidade de ocorrência de
vazios no interior do maciço sob a ponta das estacas. Assim, a SNCF optou por avançar
com uma solução que consiste na construção de uma estrutura linear enterrada. A secção
transversal é em caixão multicelular, que proporciona grande rigidez à flexão e à torção.
Para além disso, permite a redistribuição de esforços, devido à sua hiperestaticidade
(Figura 1.18). Dado que a estrutura é enterrada, e portanto menos sensível às variações
térmicas, pôde ser construída de um modo contínuo aplicando certas medidas de reforço
das armaduras para ter em conta os esforços ocasionados pela retracção do betão.
Introdução
19
Figura 1.18 – Secção transversal da solução (Doan et al., 2002)
A grande vantagem desta solução, para além de permitir vencer vãos superiores a 30 m,
reside na rapidez de execução e simples implementação. Nas Figuras 20, 21 e 22
apresentam-se alguns pormenores relativos à implementação da solução.
Figura 1.19 – Pormenor da construção do caixão (Doan et al., 2002)
Figura 1.20 – Vista do interior do caixão (Doan et al., 2002)
Capítulo 1
20
Figura 1.21 – Pormenor do acesso lateral ao interior do caixão (Doan et al., 2002)
1.3.6 - Itália
Montanelli e Recalcati (2003) descrevem uma solução de reforço da linha ferroviária que
efectua a ligação entre Foligno e Terontola, em Itália. A linha foi construída no final do
século XIX, pelo que não estava preparada para ser submetida a tráfego de alta velocidade.
A via encontrava-se assente sobre um aterro de origem siltosa, sobrejacente a uma camada
de 10 m de argila normalmente consolidada. Tendo em conta o tipo de maciço interessado
pela via, é facilmente perceptível a existência de assentamentos da via devido ao carácter
cíclico da solicitação.
No intuito de aumentar a velocidade de circulação, procederam-se a obras de beneficiação
da via, que envolveram o reforço do sub-balastro com geogrelhas.
A escolha recaiu sobre a utilização de geogrelhas, pois para além de possibilitarem o
aumento da rigidez da plataforma, e logo permitirem o controlo dos assentamentos e das
tensões de corte, melhoram a capacidade de carga e a distribuição da carga, reduzindo o
nível de tensão transmitido à fundação. Adicionalmente, contribuem para um incremento
da eficiência do aterro em termos do seu amortecimento.
A solução adoptada consistiu na colocação de uma geogrelha geotêxtil e na substituição do
solo constituinte da parte superior do aterro (aproximadamente 70 cm de altura). Optou-se
por substituir o solo por material granular, pois para além de permitir a fácil drenagem da
água, evita os fenómenos de dissecação e levantamento. Na Figura 1.22 está representado
um corte da solução de reforço.
Introdução
21
Figura 1.22 – Solução de reforço (Montanelli e Recalcati, 2003)
Um dos principais obstáculos à execução dos trabalhos de reabilitação da linha prendeu-se
com a necessidade de assegurar o tráfego na linha. Assim, todos os trabalhos tiveram que
ser realizados de noite, de forma a minimizar as interrupções. Durante as 6 horas deste
período nocturno, troços de 30 m de via eram completamente desmontados, escavados,
reforçados com a geomembrana, aterrados, compactados e novamente montados (Figura
1.23).
Figura 1.23 – Pormenor da execução dos trabalhos (Montanelli e Recalcati, 2003)
Para avaliar a qualidade da solução procedeu-se à sua monitorização. Para o efeito
colocaram-se extensómetros nas duas camadas da geogrelha, ligados a um sistema de
aquisição automática de dados capaz de registar frequências até 1 kHz. Na Figura 1.24
apresenta-se, a título de exemplo, o registo temporal correspondente à deformação da
geogrelha para a passagem de um comboio constituído por uma locomotiva e oito
carruagens, tendo-se registado valores máximos da ordem de 0,14% para a passagem da
locomotiva.
Capítulo 1
22
Figura 1.24 – Registo temporal das deformações da geomembrana (Montanelli e Recalcati, 2003)
1.4 - OBJECTIVOS E ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO
Os objectivos da presente dissertação subordinam-se ao estudo dos efeitos dinâmicos em
lajes sobre estacas, quando submetidas a tráfego ferroviário de alta velocidade. Com este
trabalho pretende-se avaliar uma solução que tem sido utilizada nas redes europeias de alta
velocidade, mas sobre a qual se considera não existir informação suficiente relativamente
ao seu comportamento.
O estudo e desenvolvimento de metodologias de aplicação das cargas para implementação
num programa de cálculo automático comercial, assim como a comparação de diferentes
metodologias de resolução do problema, constituíram também objectivos do presente
trabalho.
A aplicação a um caso real, mais concretamente à solução utilizada na ligação entre o
Túnel da Mancha e a cidade de Londres, permitiu avaliar a sua eficiência, assim como
efectuar estudos comparativos relativamente à importância dos vários parâmetros a
considerar nos modelos numéricos.
A estrutura da presente dissertação é constituída por seis capítulos, o primeiro dos quais é
constituído pela presente introdução. Nos parágrafos seguintes é efectuada uma descrição
sumária dos conteúdos dos restantes capítulos.
No Capítulo 2 são apresentados os aspectos mais importantes relativamente ao
comportamento e modelação deste tipo de estruturas. É efectuado uma recolha
bibliográfica dos elementos que constituem as vias ferroviárias, assim como das diversas
formas de modelação.
Introdução
23
O Capítulo 3 aborda os diferentes métodos de resolução das equações de equilíbrio
dinâmico. É apresentado o método de Newmark, o método da sobreposição modal e o
método dos vectores de Ritz. O capítulo termina com uma pequena aplicação das três
metodologias.
No Capítulo 4 efectua-se a modelação numérica da laje sobre estacas, efectuando-se a
comparação entre as diferentes metodologias de resolução das equações de equilíbrio
dinâmico. É igualmente efectuado um estudo paramétrico relativamente aos parâmetros
caracterizadores da via e do solo.
O Capítulo 5 corresponde à verificação de segurança da laje sobre estacas. É realizada a
análise dinâmica para os comboios reais e para o conjunto dos High Speed Load Models
(A e B), e efectuadas as verificações relativas à segurança estrutural, da via e do conforto
dos passageiros, à luz das mais recente regulamentação europeia.
Finalmente, no Capítulo 6, apresentam-se as principais conclusões do trabalho
desenvolvido, bem como as perspectivas relativas a desenvolvimentos futuros.
CAPÍTULO 2
MODELAÇÃO DO SISTEMA VEÍCULO-VIA-ESTRUTURA
2.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS
A verificação das condições de circulação em estruturas ferroviárias é uma tarefa
importante e complexa, pois envolve a obtenção da resposta dinâmica da estrutura,
revestindo-se a utilização de modelos numéricos na simulação deste tipo de estruturas de
elevada importância, pois permitem a obtenção de informações relativas ao
comportamento dinâmico, assim como identificar os factores com maior impacto na
resposta.
De uma forma conceptual, as lajes sobre estacas para suporte da via férrea apresentam um
comportamento assimilável ao de uma ponte contínua de pequenos vãos, o que acarreta
problemas ao nível da modelação. Dieleman e Fournol (2003) apresentam um estudo sobre
esta matéria, no qual concluem que as formas correntes de modelação de pontes são
inadequadas para pontes de pequeno vão. Na Figura 2.1 apresenta-se a comparação dos
resultados obtidos por via numérica por estes autores com o programa Cedypia e pelo
método com os registados “in situ”.
Capítulo 2
26
Velocidade [km/h]
Ace
lera
çao
[m/s
]2
Figura 2.1 – Comparação de resultados experimentais e numéricos (adaptado de Dieleman e
Fournol, 2003)
Como se verifica, existe uma grande disparidade entre os valores obtidos numericamente e
experimentalmente. Tal deve-se, segundo os autores, à incorrecta modelação de ponte,
nomeadamente (Figura 2.2):
i) Na definição do vão estrutural;
ii) Na imperfeita modelação do comportamento transversal da ponte;
iii) Na incorrecta contabilização da rigidez dos encontros, nomeadamente o efeito
friccional entre a ponte e o balastro;
iv) Na não inclusão da via, especialmente quando o carril é contínuo, devido ao efeito
compósito via-estrutura, para além da alteração da distribuição das cargas;
v) Na modelação do comboio apenas como um conjunto de cargas móveis,
desprezando os fenómenos de interacção entre este e a via.
Fricção do balastro
Esforços do aterro
Reacções do apoio
Vão de cálculo
Vão total
Continuidade da via
Distribuição da carga
Braço das forças
Figura 2.2 – Origem de erros na modelação de pontes de pequeno vão (adaptado de Dieleman e
Fournol, 2003)
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
27
Daqui se depreende a necessidade de uma correcta modelação de todos os elementos da
via, para que os resultados obtidos por via numérica possam traduzir com acuidade o
comportamento real da estrutura. Assim, no presente capítulo ir-se-á efectuar a
apresentação das distintas formas existentes na bibliografia para a modelação do conjunto
veículo-via-estrutura.
2.2 - MODELAÇÃO DA VIA
2.2.1 - Modelação dos componentes
O estudo da interacção dinâmica entre o veículo e a via tem sido alvo de um estudo
intensivo desde o início dos anos 70. Desde essa altura que têm sido desenvolvidos
numerosos modelos de interacção, ao mesmo tempo que as Administrações Ferroviárias de
vários países têm realizado diversas campanhas de ensaios experimentais no intuito de
avaliar e calibrar esses modelos (Zhai e Cai, 1997). Nas secções subsequentes ir-se-á
efectuar a apresentação de cada um dos componentes que constituem a plataforma
ferroviária, com vista à concepção de modelos numéricos. No final apresentar-se-ão
modelos adoptados por diversos autores para simulação da via ferroviária.
2.2.1.1 - Carril
O contacto entre o comboio e a via é uma fonte de geração de vibrações do sistema
ponte-comboio. Como facilmente se depreende, a existência de irregularidades ao nível do
carril ou da roda provoca a ocorrência de forças de impacto. Estas forças de impacto são
uma das principais causas de degradação da via ferroviária, pois proporcionam o início de
novas patologias nos carris e nas rodas, o que tem como principal consequência o
incremento da degradação da via.
Um dos fenómenos que parece estar presente em todas as linhas ferroviárias é a designada
“corrugation”, apesar de ainda não existir uma explicação bem fundamentada para a sua
génese. Pensa-se que a sua origem está relacionada com os efeitos dinâmicos do sistema
comboio-via ligado aos efeitos de ressonância no sistema combinado carril-eixo do
comboio. A “corrugation” manifesta-se pelo surgimento de irregularidades periódicas na
cabeça do carril (tipicamente com comprimentos de onda entre os 30 e os 300 mm). Um
aspecto interessante prende-se com o facto de aparentemente não existir nenhuma relação
entre a velocidade do comboio e o comprimento de onda de “corrugation”
(Dahlberg, 2003).
Capítulo 2
28
Os carris deverão possuir uma superfície lisa de modo a proporcionar uma passagem suave
das rodas. Estruturalmente a sua função consiste em receber as solicitações e transmiti-las
aos elementos inferiores da via ferroviária. Deverão resistir não só às acções verticais e
horizontais provenientes das oscilações do comboio como também às forças de frenagem e
arranque. Adicionalmente poderão funcionar como condutores eléctricos para os sistemas
de sinalização.
No que concerne à modelação, o carril é habitualmente modelado como um elemento de
viga, podendo ser a formulação do elemento baseada na teoria de Bernoulli ou
Timoshenko. A diferença consiste na consideração, ou não, da deformação por esforço
transverso, sendo que a formulação que a considera, embora de uma forma simplificada, é
a de Timoshenko. O carril deverá ser apoiado em pontos discretos, que representam as
travessas. Zhai et al. (2004) aconselham a que o comprimento do carril seja
suficientemente prolongado para além do final da estrutura em análise, de modo a que o
efeito da condição fronteira seja minimizado. Dahlberg (2003) levanta o problema do
coeficiente de corte a adoptar na formulação de Timoshenko. O autor efectuou um estudo,
no qual compara resultados experimentais com resultados obtidos por via numérica, tendo
concluído que dependendo da gama de frequências existe um valor do coeficiente de corte
que melhor se adapta (Figura 2.3). Os estudos foram conduzidos para o carril UIC60, que é
o correntemente utilizado em linhas de alta velocidade, sendo que 60 é o valor da massa do
carril em kg por metro de desenvolvimento. No Quadro 2.1 encontram-se apresentadas as
propriedades do carril UIC60.
Figura 2.3 – Comparação dos valores dos coeficientes de corte medidos e calculados
(Dahlberg, 2003)
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
29
Quadro 2.1 – Propriedades do carril UIC60 (adaptado de Esveld, 2001)
Parâmetro Valor
Altura [mm] 172
Largura da cabeça [mm] 72
Largura da base [mm] 150
Área [cm2] 76,9
Massa [kg/m] 60,3
Momento de inércia y [cm4] 3055
Momento de inércia z [cm4] 513
Módulo de flexão y [cm3] 336
Módulo de flexão z [cm3] 68
2.2.1.2 - Palmilhas
As palmilhas são os elementos que se colocam entre os carris e as travessas com a
finalidade de proteger as travessas do desgaste e da danificação devido às cargas dinâmicas
transmitidas ao carril, para além de permitirem o isolamento eléctrico dos carris. Um
exemplo de um ensaio para a caracterização de uma palmilha encontra-se na Figura 2.4.
Figura 2.4 – Imagem do ensaio de uma palmilha (De Man, 2002)
As palmilhas desempenham um papel importante ao nível do comportamento dinâmico da
via, pois a sua rigidez condiciona o comportamento global da via. Palmilhas menos rígidas
proporcionam uma maior deformação do carril, ao mesmo tempo que a carga transmitida
pelo comboio é distribuída de uma forma mais homogénea e por um maior número de
travessas. Para além disso, actuam como um filtro das vibrações de frequência mais
Capítulo 2
30
elevada. Por seu turno, as palmilhas rígidas permitem uma transmissão mais directa da
carga e não possuem a capacidade de filtrar as frequências de magnitude mais elevada.
Como grande vantagem, proporcionam uma menor deformação do carril aquando da
passagem do comboio, daí que sejam as mais correntes em vias de alta velocidade
(Dahlberg, 2003).
A modelação destes elementos tem sido efectuada com base em modelos de mola-
amortecedor. Regra geral, as molas são assumidas com comportamento linear, ao passo
que o amortecimento é tido como proporcional à velocidade de deformação da palmilha. A
caracterização da rigidez e amortecimento das palmilhas é um assunto bastante complexo,
pois são elementos resilientes compostos por materiais visco-elásticos, logo a
quantificação da rigidez é altamente complexa, pois é dependente de parâmetros tão vastos
como a pré-carga estática, a temperatura, a frequência da solicitação e o nível de
deformação em causa.
Nesta área é de salientar o trabalho laboratorial desenvolvido por De Man (2002) na
determinação das funções de resposta em frequência (FRF) para diversas palmilhas
submetidas a diferentes pré-cargas iniciais. A partir das FRF’s é possível estimar a rigidez
e o amortecimento de cada uma das palmilhas ensaiadas. Um aspecto a salientar do estudo
realizado por este autor prende-se com o facto de ter ensaiado não só palmilhas novas,
como também palmilhas usadas, pelo que foi possível estudar a evolução dos parâmetros
caracterizadores destes elementos. Os resultados obtidos estão apresentados no Quadro 2.2.
Em todas as palmilhas foi aplicada uma pré-carga estática de 20 kN, valor que é aplicado
aquando da instalação das palmilhas nas linhas ferroviárias de alta velocidade holandesas.
Quadro 2.2 – Propriedades dinâmicas de palmilhas novas e usadas (adaptado de De Man, 2002)
Palmilha kp [MN/m] cp [kNs/m]
4,5 mm para UIC54 (nova) 1387 33,1
4,5 mm para UIC54 (usada) 2127 44,9
8,0 mm para UIC54 (usada) 1191 38,4
4,5 mm para NP46 (usada) 1702 36,3
4,5 mm para UIC60 (nova) 1611 31,7
6,5 mm para S49 (nova) 1095 30,0
5,0 mm para S49 (nova) 4005 24,8
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
31
Como se verifica, a rigidez e o amortecimento das palmilhas são muito variáveis, sendo
esta variação função não só da espessura, mas também do seu estado de conservação.
De Man efectuou também um estudo comparativo da variação da rigidez das palmilhas
para uma variação dos valores da pré-carga estática no tempo. Da análise da Figura 2.5 fica
claro, mais uma vez, que a rigidez destes elementos é dependente da pré-carga instalada,
assim como da história de tensões experimentada.
a) b)
Figura 2.5 – Valor médio da rigidez das palmilhas para: a) valores de pré-carga estática crescentes
e b) valores de pré-carga estática variáveis no tempo (adaptado de De Man, 2002)
Ao nível dos ensaios laboratoriais é também de destacar o trabalho desenvolvido por
Thompson et al. (1998), que ensaiou quatro palmilhas Pandrol 5877 com 10 mm de
espessura. Este tipo de palmilha é habitualmente utilizado na Suécia, sendo muito similar
às utilizadas no Reino Unido, Bélgica, Noruega e Finlândia. Na Figura 2.6 apresentam-se
as propriedades estáticas das palmilhas. Como é perceptível, mediante o nível de pré-carga
instalada, a palmilha evidência uma rigidez estática distinta. Verifica-se ainda que até uma
pré-carga de aproximadamente 25 kN a rigidez estática é constante, valor a partir do qual
começa a aumentar rapidamente. No Quadro 2.3 apresentam-se os resultados obtidos pelo
autor para a rigidez estática e dinâmica das palmilhas para diferentes pré-cargas estáticas.
Da análise do quadro pode-se concluir que a rigidez dinâmica também é variável com a
pré-carga estática instalada. No entanto, verifica-se que a razão entre a rigidez estática e a
rigidez dinâmica se mantém constante, independentemente do nível de pré-carga instalada.
Capítulo 2
32
a) b)
Figura 2.6 – Propriedades estáticas das palmilhas: a) deslocamento e b) rigidez
(adaptado de Thompson et al., 1998)
Quadro 2.3 – Rigidez dinâmica para diferentes pré-cargas (adaptado de Thompson et al., 1998)
Pré-carga estática [kN] 20 30 40 60 80
Frequência [Hz] 74 84 106 166 245
Rigidez estática [MN/m] 19 25 37 95 299
Rigidez dinâmica [MN/m] 65 85 135 330 720
Rigidez dinâmica/estática 3,4 3,4 3,6 3,5 3,6
Broeck (2001) apresenta um levantamento dos valores da rigidez e do amortecimento das
palmilhas (Quadro 2.4). Mais uma vez está patente a grande variedade de valores destes
parâmetros.
Quadro 2.4 – Características das palmilhas encontradas na bibliografia (adaptado de Broek, 2001)
Referência kp [MN/m] cp [kNs/m] Descrição
140 45 10 mm, borracha Nielsen (1993)
70 5
Ripke e Hempelmann (1994) 770 100 5 mm, carril pesado, pré-carga aplicada
Ripke (1992) 300 45 5 mm, carril leve, pré-carga aplicada
280 63 5 mm, antes de “tamping” Grassie et al. (1982)
225 28 5 mm, após “tamping”
280 50 5 mm, balastro congelado Grassie e Cox (1984)
250 26
Clark et al. (1982) 250 38
Knothe and Wu (1999) 100 14
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
33
A International Union of Railways (UIC, 2001) apresenta um estado da arte na qual faz
referência aos diferentes tipos de palmilhas utilizados nos países onde existem linhas de
alta velocidade (Quadro 2.5). É notória a adopção por parte de diversos países de uma
rigidez estática de 100 kN/mm, com excepção da Alemanha e Espanha para linhas com
velocidade até aos 300 km/h.
Quadro 2.5 – Características estáticas das palmilhas utilizadas nas linhas de alta velocidade
europeias (adaptado de UIC, 2001)
País
França Alemanha Itália Espanha Bélgica
Velocidade [km/h] 300 350 300 300 350 300 350 320
Espessura [mm] 9 9 10 10 10 6 7 10
Rigidez vertical estática
[kN/mm] 100 100 27 100 100 500 100 50-100
2.2.1.3 - Travessas
A maioria das estruturas ferroviárias consiste em carris assentes sobre travessas (de
madeira ou betão) colocados sobre o balastro. As vias balastradas são utilizadas desde o
início da utilização do transporte ferroviário. A razão de tão elevada longevidade, sendo
ainda utilizada dias de hoje, prende-se com o facto de ser uma solução muito económica
que fornece a resiliência necessária à via para resistir aos impactos das cargas dinâmicas.
Para além disso, é uma técnica que foi sendo optimizada e aperfeiçoada, principalmente ao
nível das operações de manutenção e reparação, e sob a qual existe um elevado
“know-how” por parte das administrações ferroviárias.
As travessas têm como principal função proporcionar o suporte dos carris, preservar o
gabarit, o nível e o alinhamento da via. As travessas permitem a transmissão das forças
verticais, transversais e longitudinais, desde o carril até ao balastro. Adicionalmente
proporcionam o isolamento eléctrico entre os dois carris. Hoje em dia, nas novas vias de
alta velocidade, as travessas são de betão pois apresentam uma maior durabilidade e
resistência. Identificam-se duas famílias de travessas, a monobloco e a bibloco
(Figura 2.7).
Capítulo 2
34
a) b)
Figura 2.7 – Travessas: a) monobloco (Freudenstein, 2006) e b) bibloco (Rhomberg, 2006)
No Quadro 2.6 apresentam-se as características das travessas correntemente utilizadas nas
linhas europeias de alta velocidade.
Quadro 2.6 – Características das travessas utilizadas nas linhas de alta velocidade europeias
(adaptado de UIC, 2001)
País
França Alemanha Itália Espanha Bélgica
Velocidade
[km/h] 300 350 300 300/350 300 350 300 350 350
Tipo B/M a B/M a M B90 b M B75 c M d M d M d M d M d
Espaçamento
[m] 0,60 0,60 0,60 0,63 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60
Massa [kg] 245/290 245/290 330 380 400 400 300 320 300
Comprimento
[mm] 2415/2500 2415/2500 2600 2800 2600 2600 2600 2600 2500
Largura
[mm] 290 290 320 330 300 300 300 300 300
Altura [mm] 220 220 180 200 220 220 222 242 200 a
215
Área efectiva
por carril
[cm2]
2436/3944 2436/3944 3340 3780 3900 3900 3010 3010 3688
a Bibloco/Monobloco; b Monobloco B90; c Monobloco B70; d Monobloco
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
35
Quanto à modelação numérica, as travessas têm sido assimiladas a massas concentradas ou
a elementos de viga, estando esta diferenciação relacionada com o tipo de travessa
utilizada, e com a modelação adoptada para simular a via.
2.2.1.4 - Balastro
O balastro tem como função suportar a via férrea e transmitir as solicitações à fundação.
Deve também estar preparado para resistir às mesmas solicitações que as travessas, e
deverá ser convenientemente compactado, principalmente junto a estes elementos, de
modo a manter a via alinhada e nivelada. Adicionalmente, o balastro tem como função
distribuir a solicitação por uma área superior, baixando o nível de tensão e minimizando a
assentamento do sub-balastro. A sua utilização face às soluções de laje tem como grande
vantagem, o facto de existir uma grande experiência na sua utilização, para além de já se
terem desenvolvido técnicas adequadas para a sua manutenção. Adicionalmente,
proporciona uma fácil drenagem da via, assim como uma redução muito significativa dos
problemas de congelação e o controle do crescimento de vegetação. No que concerne aos
custos, a solução balastrada apresenta menores custos iniciais, embora exija maiores custos
de manutenção (Esveld, 2001).
Figura 2.8 – Imagem de um troço de via balastrada
No Quadro 2.7 encontram-se apresentadas as principais características do balastro
utilizadas nas linhas de alta velocidade europeias. É de notar que não existem diferenças
muito significativas entre os diversos países. No entanto, na Alemanha as vias balastradas
são pouco utilizadas tendo este país optado ultimamente na construção das novas vias pelo
sistema Rheda 2000 (via em laje).
Capítulo 2
36
Quadro 2.7 – Características do balastro das linhas de alta velocidade europeias
(adaptado de UIC, 2001)
País
França Alemanha Itália Espanha Bélgica
Velocidade [km/h] 300/350 300 300 300 350 320
Dimensão das partículas de
balastro mínimo/máximo
[mm]
25/50 22,4/63 30/60 32/63 32/63 25/50
Espessura mínima da
camada de balastro [cm] 30 35/40* 35 30 35 35
* Recomendado
Grande parte das operações de manutenção em vias de alta velocidade é relativa à
manutenção do balastro. Segundo Schmitt (2006) o custo de manutenção do balastro
representa 40 a 50% dos custos totais de manutenção da via, sem contabilizar as operações
de substituição do balastro. Já Zhai et al. (2004) apontam para que 75% dos trabalhos
diários de manutenção nas vias ferroviárias chinesas estejam relacionados com o balastro.
A magnitude destes números está relacionada com a pouca investigação tem sido efectuada
sobre o comportamento dinâmico do balastro, de forma a conseguir prever com exactidão o
seu comportamento quando excitado por solicitações dinâmicas. Schmitt (2006) sugere que
as causas de tal lacuna ao nível da investigação se prendem com a dificuldade em recolher
amostras representativas do balastro e experimentá-las de um modo adequado, o que pode
ser contornado com a realização de ensaios em modelos reduzidos, mas acima de tudo com
a pequena espessura do balastro que deixa em aberto a questão da assimilação a um meio
discreto ou contínuo (em média a camada de balastro tem dez partículas em altura). Daí
que, ao nível da sua modelação, existam, em regra, duas abordagens distintas; a contínua e
a discreta.
Os modelos discretos assentam na discretização das partículas constituintes do balastro.
São por isso modelos bastante complexos, cujo campo de aplicação está limitado ao estudo
de leis de assentamento do balastro e aos fenómenos de interacção entre as partículas de
balastro. Ricci et al. (2005) e Saussine et al. (2006) apresentam duas metodologias distintas
para a discretização do balastro (Figura 2.9).
Estas formulações permitem aceder a informações que seriam inalcançáveis através de
modelos contínuos. Possibilitam a determinação das forças de contacto entre as partículas
constituintes do balastro, assim como a avaliação do re-arranjo físico que ocorre, o que
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
37
permite quantificar o assentamento cumulativo resultante da passagem de cargas cíclicas
(Schmitt, 2006).
Figura 2.9 – Modelo discreto do balastro (Saussine et al., 2006)
Por seu turno os modelos contínuos proporcionam uma resposta global do balastro, sendo
mais adequados para simulação de troços de via solicitados por comboios ou por conjuntos
de cargas móveis. Os modelos contínuos podem ser compostos por elementos finitos, ou
por elementos de massa-mola-amortecedor consoante a complexidade desejada. Os
modelos de elementos finitos acarretam maiores tempos de cálculo, para além de
necessitarem da incorporação de leis constitutivas que nem sempre são fáceis de obter. Já
os modelos de massa-mola-amortecedor são bastante eficazes, na medida em que
necessitam apenas de dois parâmetros para ficarem completamente caracterizados; rigidez
e amortecimento.
2.2.2 - MODELAÇÃO DO CONJUNTO
Os modelos mais simples para modelação da via consistem em modelos em que o carril é
modelado com elementos de viga, as palmilhas como um conjunto mola-amortecedor, a
travessa como massas concentradas e o balastro como um conjunto massa-mola-
amortecedor. Estes modelos têm a vantagem de traduzirem adequadamente o carácter
descontínuo do apoio conferido pelas travessas ao carril. A grande dificuldade destes
modelos prende-se, como já atrás se referiu, com a correcta caracterização dos parâmetros
de cada elemento, uma vez que existe na bibliografia uma grande variedade de valores.
Um dos primeiros autores a estudar o fenómeno de interacção foi Esveld (2001). Na
Figura 2.10 e no Quadro 2.8, estão apresentados três modelos propostos por este autor para
a modelação da via. Os três modelos apresentam graus de complexidade distintos, sendo
claro que o modelo que simula com maior aproximação a realidade é o c. Tal é devido à
existência de apoios discretos, que representam as palmilhas e a travessas a suportar o
carril, e à consideração das diversas camadas de via. Para além disso, são consideradas as
Capítulo 2
38
propriedades de rigidez e amortecimento do balastro e das travessas, ou seja, este modelo
permite considerar todos os componentes da via, e a sua influência na resposta dinâmica da
estrutura.
tωF(t)=Q e
Viga sobre fundação elástica com amortecimento
a
Viga dupla
i
b
Afastamento das travessas
c
p
f
Via com apoios elásticos
Figura 2.10 – Modelos da via (adaptado de Esveld, 2001)
Quadro 2.8 – Parâmetros para os modelos da via (adaptado de Esveld, 2001)
Notação Parâmetro Valor
EIr [Nm2] Rigidez à flexão do carril 4,5x106
mt [kg/m] Massa da via 119
mr [kg/m] Massa do carril 54,43
ms [kg/m] Massa da travessa 157
kt [N/m2] Rigidez da via 4,0x107
kp [N/m2] Rigidez da palmilha 2,5x108
kf [N/m2] Rigidez da fundação 4,0x107
ct [Ns/m2] Amortecimento da via 1,2x105
cp [Ns/m2] Amortecimento da palmilha 9,0x104
cf [Ns/m2] Amortecimento da fundação 1,2x105
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
39
Oscarsson (2001) também apresenta um modelo onde a interacção entre a via e a estrutura
é contemplada (Figura 2.11). O autor recorre a um modelo linear onde a via e a carga são
assumidas simétricas, pelo que só metade da via é modelada. O carril é modelado como
viga de Timoshenko, sendo as suas propriedades correspondentes às do carril UCI60,
encontrando-se discretamente apoiado nas palmilhas e nas travessas. As travessas são
elementos rígidos, pois a quantificação dos esforços de flexão que se desenvolvem não
apresenta um papel importante para o comportamento dinâmico da via. Cada travessa
possui dois graus de liberdade, o deslocamento vertical e a rotação no plano.
cp
kf c
f
kp
kw
cw
kb c
b
Figura 2.11 – Modelo para simular a interacção entre a via e a estrutura (adaptado de
Oscarsson, 2001)
Com o intuito de calibrar o modelo, o autor confrontou curvas de receptância calculadas
com base em medições na linha. A obtenção de uma boa aproximação foi conseguida
através de um processo de optimização, no qual se supôs como conhecida a informação
relativa a todos os parâmetros, com excepção dos relativos ao balastro e palmilhas.
O processo de optimização consistiu no ajuste das FRF medidas com as calculadas, tendo
este processo sido realizado para duas pré-cargas estáticas. A rigidez do balastro e das
palmilhas aumentou com o aumento da pré-carga, enquanto da rigidez tangencial foi obtida
pelo processo de optimização. Os valores da rigidez foram obtidos através de simulações
numéricas, de forma a obter para a pré-carga instalada os deslocamentos da travessa
medidos. No Quadro 2.9 e na Figura 2.12, apresentam-se os resultados obtidos pelo autor,
através do ajuste das FRF medidas e calculadas.
Como se verifica, a pré-carga desempenha um papel fundamental ao nível das
propriedades da via. No entanto, denota-se que a pré-carga apenas influencia a amplitude
da resposta, pois a fase permanece inalterável.
Capítulo 2
40
Quadro 2.9 – Propriedades da via para dois valores de pré-carga (adaptado de Oscarsson, 2001)
Valor Notação Parâmetro
Pré-carga 180 kN Pré-carga 260 kN
kp [MN/m] Rigidez da palmilha 505 738
cp [kNs/m] Amortecimento da
palmilha 54 59
kb [MN/m] Rigidez do balastro 641 767
cb [kNs/m] Amortecimento do
balastro 467 460
mf [t] Massa do solo 13,5 13,8
kf [MN/m] Rigidez do solo 603 637
cf [kNs/m] Amortecimento do solo 508 797
kw [MN/m] Rigidez de corte do
balastro 717 476
cw [kNs/m] Amortecimento de corte
do balastro 173 96
Frequência [Hz]
|FR
F| [
nm/N
]F
ase
10 100 1000
2
4
6-180
-90
0
Pré-carga estática - 180 kNPré-carga estática - 260 kN
Figura 2.12 – Comparação da resposta medida e numérica obtida para a travessa (adaptado de
Oscarsson, 2001)
No intuito de aferir a importância da rigidez transversal do balastro, Oscarsson procurou
avaliar a sua influência na resposta da via. O autor estimou valores para a rigidez
transversal da via a partir da medição dos deslocamentos das travessas, tendo depois
efectuado o processo de optimização para a determinação dos restantes parâmetros
caracterizadores da via (Quadro 2.10).
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
41
Quadro 2.10 – Parâmetros da via, obtidos para diferentes valores da rigidez tangencial
(Oscarsson, 2001)
Valor Notação Parâmetro
kwmin kw
max kwmed
kp [MN/m] Rigidez da palmilha 457 429 432
cp [kNs/m] Amortecimento da palmilha 50 59 56
kb [MN/m] Rigidez do balastro 554 517 446
cb [kNs/m] Amortecimento do balastro 679 832 718
ms [t] Massa do solo 10,9 9,2 7,6
ks [MN/m] Rigidez do solo 450 408 253
cs [kNs/m] Amortecimento do solo 224 116 117
kw [MN/m] Rigidez de corte do balastro 950 1600 2250
cw [kNs/m] Amortecimento de corte do balastro 268 299 142
É visível que o aumento da rigidez tangencial se traduz numa redução da rigidez do
balastro, assim como da massa vibrante. Tal ocorre devido ao incremento de rigidez que se
regista entre as massas de balastro, o que implica que as massas de balastro adjacentes
vibrem em simultâneo com a massa na qual está a ser aplicada a carga.
Broeck (2001) propôs um modelo (Figura 2.13) para estimar o nível de vibrações
transmitidas ao meio envolvente pela passagem de um comboio. Apesar do objectivo não
coincidir com o pretendido neste trabalho, o modelo em si é conceptualmente idêntico aos
anteriormente propostos, propondo não só a interacção entre a via a e estrutura, mas
também a interacção entre o comboio e a via.
Figura 2.13 – Modelo para simulação da interacção entre o comboio a via e o maciço envolvente
(adaptado de Broeck, 2001)
Capítulo 2
42
O carril é modelado como uma viga de Timoshenko, na qual a deformação por corte é tida
em conta. O carril encontra-se discretamente apoiado nas travessas, modeladas como
massas rígidas, sendo as palmilhas representadas por um sistema de molas-amortecedores.
O balastro e o sub-balastro são modelados através do método dos elementos fronteira, com
recurso a uma matriz de rigidez dinâmica, determinada a partir da utilização das funções de
Green. No intuito de calibrar o modelo o autor efectuou um estudo para um caso de
referência, tendo adoptado os parâmetros presentes no Quadro 2.11. Uma vez que havia
parâmetros que na bibliografia possuíam uma elevada dispersão de valores, Broeck
resolveu efectuar um estudo paramétrico de modo a avaliar a importância de cada um,
estando também apresentado no quadro o intervalo estudado para cada parâmetro.
Quadro 2.11 – Valores adoptados no estudo paramétrico (Broek, 2001)
Parâmetro Valor Variação
Carga estática [kN] 50,3 10-112,5
Massa [kg] 380 80-900
Velocidade [km/h] 70 40-160 Comboio
Contacto Hertziano [GN/m] 1,21
Carril UIC60 -
Rigidez [MN/m] 250 50-800 Palmilha
Amortecimento [kNs/m] 50
Massa [kg] 200
Comprimento [m] 2,6
Largura [m] 0,26 Travessa
Afastamento [m] 0,6
Módulo de distorção [N/m2] 4,5× 107 2-23× 107
Coeficiente de Poisson 0,33
Densidade [kg/m3] 2000
Balastro e
sub-
estracto Amortecimento 0,005 0,005-0,10
O autor concluiu no seu estudo, que a variação dos parâmetros do balastro e das palmilhas
não tem muita significância para o nível de vibrações transmitido ao meio envolvente
assim como para a magnitude das forças de interacção que se desenvolvem entre o
comboio e o carril (Figura 2.14).
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
43
a) b)
Figura 2.14 – Função densidade espectral para a força de interacção entre comboio e carril
considerando: a) três valores da rigidez de palmilha e b) três valores do módulo de distorção
(adaptado de Broeck, 2001)
Com o objectivo de comparar a influência da não linearidade das palmilhas ao nível das
forças que se desenvolvem entre os componentes da via férrea, Wu e Thompson (2003)
efectuaram um estudo relativo ao comportamento não linear das palmilhas, confrontando
uma análise linear com uma não linear. O modelo utilizado pelos autores está presente na
Figura 2.15, onde é contemplada a interacção entre a via e a estrutura e entre o comboio e a
via, embora esta última o seja de uma forma simplificada.
Figura 2.15 – Modelo da interacção (adaptado de Wu e Thompson, 2003)
O carril é modelada por uma viga de Timoshenko, assente numa fundação discreta de
mola-massa-mola que representa respectivamente a palmilha, a travessa e o balastro. A
interacção entre a roda e o carril é simulada através de um contacto não linear (rigidez
Hertziana – ver secção 2.4.1) e a perda de contacto entre o carril e a palmilha e entre a
travessa e o balastro é contemplada. As palmilhas e o balastro são modelados através de
conjuntos mola-amortecedor com comportamento não linear. Com o intuito de avaliar o
Capítulo 2
44
comportamento das palmilhas foram realizados ensaios de medição da rigidez estática e
dinâmica (Figura 2.16).
a) b)
Figura 2.16 – Rigidez das palmilhas: a) estática e b) dinâmica (adaptado de Wu e Thompson, 2003)
Como é perceptível pela análise da figura, a rigidez estática aumenta quase linearmente
com a carga, ocorrendo o mesmo com a rigidez dinâmica. Verifica-se também que a
rigidez dinâmica das palmilhas a altas frequências é geralmente mais elevada do que a
estática devido às propriedades não lineares dos elastómeros e, para frequências muito
elevadas, devido a problemas internos de ressonância.
Wu e Thompson aconselham a utilizar na modelação a rigidez dinâmica e não a estática.
No estudo apresentado, os autores utilizaram as palmilhas da Figura 2.16 b). A razão entre
a rigidez dinâmica e estática é, neste caso para uma pré-carga de 40 kN de 3,6 e 2,3, para
palmilhas médias e duras, respectivamente.
O primeiro estudo realizado pelos autores prendeu-se com a influência da rigidez da
palmilha no comportamento da via (Figura 2.17). Ficou claro que utilizando palmilhas
mais rígidas, as forças são mais elevadas. Notou-se igualmente que a força mais elevada
surge ao nível do contacto entre a roda e o carril, ao passo que a menor ocorre no balastro.
Tal, deve-se não só ao efeito distribuidor do carril e ao isolamento conferido pelas
palmilhas, como também à inércia do carril e das travessas.
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
45
a) b) c)
Figura 2.17 – Forças de impacto: a) no contacto entre a roda e o carril, b) nas palmilhas e c) no
balastro (adaptado de Wu e Thompson, 2003)
Os autores efectuaram ainda um estudo linear com recurso ao mesmo modelo. Os
parâmetros foram admitidos como sendo constantes, e foram determinados a partir das leis
não lineares dos materiais, para uma pré-carga de 100 kN (Figura 2.18). Apesar de o
modelo permitir a perda de contacto entre os diversos elementos constituintes da via,
devido ao carácter linear da modelação a perda de contacto não é possível de ocorrer.
a) b) c)
Figura 2.18 – Forças de impacto lineares: a) no contacto entre a roda e o carril, b) nas palmilhas e
c) no balastro (adaptado de Wu e Thompson, 2003)
É perceptível no modelo linear uma redução das forças de impacto, especialmente para
palmilhas médias e duras. Isto deve-se ao facto de a rigidez das palmilhas e do balastro, no
modelo não linear, aumentar com a carga, ou seja, para cargas elevadas estes elementos
tornam-se muito rígidos, resultando em elevadas forças de contacto. Para além disso,
regista-se uma redução do nível de vibração, estando este facto relacionado com o facto de
o deslocamento calculado no modelo não linear ser superior, devido às maiores forças de
impacto geradas por neste modelo.
Capítulo 2
46
Os autores concluem do estudo que para a modelação do impacto entre a roda e o carril o
modelo linear não é suficiente, pois as forças de interacção resultantes são muito
superiores, para além de a rigidez do balastro e das palmilhas aumentar significativamente
com a carga. No entanto, caso a excitação seja devida à rugosidade na superfície do carril e
na roda, podem-se usar modelos lineares, pois as forças de interacção que se desenvolvem
são moderadas.
Zhai et al. (2004) apresentam uma proposta para a modelação da via (Figura 2.19). Os
autores quantificam os parâmetros do balastro assumindo que a distribuição de carga da
travessa para o balastro apresenta uma forma aproximadamente cónica (Figura 2.20).
Figura 2.19 – Modelo da via (Zhai et al., 2004)
Figura 2.20 – Modelo da distribuição de carga no balastro (Zhai et al., 2004)
O modelo prevê que sob a travessa a distribuição da carga é uniformemente distribuída
dentro do cone, ao passo que fora do cone o nível de tensão é nulo. Pode então concluir-se
que a parte do balastro que está em vibração é a que se encontra no interior do cone.
Assim, para a análise dinâmica da via, o balastro pode ser modelado como uma série de
massas separadas em vibração, ligado por um conjunto de molas e amortecedores à
fundação.
A massa do balastro em vibração pode ser estimada pela seguinte expressão:
( ) ( ) ( )2 24
3b b b e b e b b bM h l l l l h tg h tg = + + +
ρ α α (2.1)
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
47
Na expressão anterior, ρb representa a densidade do balastro, hb é a espessura, le é o
comprimento efectivo de metade da travessa, lb é a altura da travessa contida dentro do
balastro e α é o ângulo de distribuição de tensões. A rigidez do balastro é a dada pela
seguinte expressão:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) b
bebbbe
beb E
tghltghlll
tgllk
ααα
22ln
2
++−
= (2.2)
Os parâmetros são os já apresentados, com excepção de Eb que representa o módulo de
deformabilidade do balastro. A metodologia exposta parte do princípio que não existe
sobreposição dos cones de tensão no balastro. Este pressuposto é facilmente verificável em
camadas de balastro de pequena espessura, mas para situações em que se recorra a maiores
espessuras, ou a pequenas distâncias entre travessas, pode ocorrer a sobreposição.
Nesses casos, o modelo dever ser modificado, passando a massa vibrante a ser definida
pela seguinte expressão:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−+−++= αααρ 23
0
32
0
2
3
4' tghhtghhltghlhlM bbebebbbb (2.3)
O cálculo da rigidez também é distinto, envolvente a aplicação das expressões:
( )0 2s b
b
l lh h
tg
−= −
α (2.4)
' 1 2
1 2
b bb
b b
K KK
K K=
+ (2.5)
( ) ( )( ) ( )( )1
2
ln
e bb b
e s e s b
l l tgk E
l l l l l
−=
+ −
α (2.6)
( )( ) ( )( )2
2 2
2s s b e b
b bb s b
l l l l h tg tgk E
l l h tg
− + +=
− +α αα
(2.7)
Zhai e Cai (1997) consideram que uma das principais limitações existentes nas modelações
correntes do balastro é o desprezo das tensões tangenciais que se desenvolvem entre os
diversos cones de tensão. Assim, os autores introduzem os conceitos de rigidez de corte e
amortecimento de corte, tal como Oscarsson, de modo a ter em conta a continuidade e
Capítulo 2
48
ligação do balastro. Este efeito é tido em conta através da colocação de um sistema de
molas e amortecedores a ligar os cones de tensão.
Com o intuído de validarem o modelo numérico, os autores efectuaram um ensaio
experimental na linha de alta velocidade que efectua a ligação entre Chengdu-Kunming no
Sul da China. No Quadro 2.12 encontram-se representados os parâmetros utilizados por
Zhai et al. (2004) na simulação numérica.
Quadro 2.12 – Parâmetros utilizados no modelo (adaptado de Zhai et al., 2004)
Notação Parâmetro Valor
Er [N/m2] Módulo de elasticidade do carril 2,059x1011
Ir [m4] Inércia do carril 3,217x10-5
mr [kg/m] Massa do carril 60,64
ms [kg] Massa da travessa (metade) 125,5
kp [N/m] Rigidez da palmilha 6,5x107
cp [Ns/m] Amortecimento da palmilha 7,5x104
ls [m] Espaçamento entre travessas 0,545
le [m] Comprimento efectivo de metade da travessa 0,95
lb [m] Altura da travessa 0,273
ρb [kg/m3] Densidade do balastro 1,8x103
Eb [Pa] Módulo de elasticidade do balastro 1,1x108
cb [Ns/m] Amortecimento do balastro 5,88x104
kw [N/m] Rigidez de corte do balastro 7,84x107
cw [Ns/m] Amortecimento de corte do balastro 8,0x104
α (º) Ângulo de distribuição de tensão 35
hb [m] Espessura do balastro 0,45
Esb [Pa/m] Módulo de elasticidade do sub-balastro 9,0x107
csb [Ns/m] Amortecimento do sub-balastro 3,115x104
A rigidez das palmilhas foi medida em laboratório, enquanto os valores para o balastro e
sub-balastro foram encontrados a partir do modelo do cone já anteriormente apresentado.
O valor obtido para as propriedades do balastro encontra-se muito próximo dos que foram
encontrados em ensaios realizados em laboratório e “in-situ”.
Relativamente ao amortecimento, este é o parâmetro que os autores consideram mais
difícil de estimar. O valor utilizado no cálculo foi obtido a partir de ensaios “in situ”
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
49
frequentemente realizados na China, “wheelset-dropping test”. Já os valores da rigidez e
amortecimento transversal utilizados foram baseados na experiência da Chinese Railways,
não existindo dados experimentais que os possam validar.
Na Figura 2.21 encontra-se a comparação dos resultados medidos e previstos pelo modelo
numérico, observando-se uma boa concordância entre ambos. Estes resultados
correspondem à passagem de uma locomotiva típica chinesa C62A a uma velocidade de
60 km/h. Na Figura 2.22 encontra-se representado o espectro de acelerações do balastro
onde é possível notar uma boa correlação entre resultados experimentais e numéricos.
a) b)
Figura 2.21 – Comparação dos resultados: a) experimentais e b) numéricos, relativos à passagem de
um comboio a 60 km/h (Zhai et al., 2004)
Figura 2.22 – Comparação do espectro de acelerações experimental e numérico (Zhai et al., 2004)
Capítulo 2
50
Uma vez que os autores não possuíam informações fidedignas relativamente aos
parâmetros de corte, e possuíam um modelo, que em sua opinião se encontrava calibrado,
resolveram efectuar um estudo paramétrico acerca da influência destes parâmetros na
resposta do balastro. Os resultados obtidos encontram-se apresentados no Quadro 2.13.
Quadro 2.13 – Efeito dos parâmetros de corte no comportamento do balastro
(adaptado de Zhai et al., 2004)
Com elementos de corte
Valor medido
Sem
elementos de
corte Parâmetros do
Quadro 2.12
Parâmetros da
Autoridade
Sueca
Aceleração do balastro [m/s2] 4,69 5,26 4,97 3,94
Desvio padrão [%] - +12 +6 -16
Da análise dos resultados, ficou claro que caso não se considere o efeito de corte se obtêm
valores superiores para a aceleração do balastro. Comparam-se também os resultados para
diferentes valores dos parâmetros de corte, nomeadamente os obtidos pela Autoridade
Sueca, com os quais se obtiveram valores inferiores para a aceleração do balastro. É
notório que o efeito de fricção e impacto das pedras do balastro induzem um movimento
contrário nos blocos de balastro adjacentes, de forma a que o nível de vibração de um
bloco de balastro vai ser atenuado pelo adjacente. Caso se despreze o efeito de corte essa
atenuação perde-se. Adoptando valores muito elevados este efeito vai ser muito
significativo, verificando-se um decréscimo da vibração que não corresponde à realidade.
Daí que os autores tenham concluído que os parâmetros de corte do balastro sejam muito
importante para a definição do comportamento dinâmico do balastro.
Em Schmitt (2006) é apresentada uma modelação tridimensional da plataforma ferroviária
e do seu meio envolvente (Figura 2.23).
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
51
Figura 2.23 – Modelo da via (Schmitt, 2006)
Trata-se de um modelo bastante complexo, no qual o balastro é construído com elementos
de volume. Em todos os elementos se adoptou um comportamento linear, com excepção do
balastro. Para este, foi encontrada em laboratório, com base em ensaios em modelo
reduzido, uma lei de assentamento que regula a não linearidade deste elemento. A
geometria da via é actualizada após a realização de cada análise dinâmica associada a cada
passo de integração, para que as alterações introduzidas na geometria sejam contabilizadas
no instante seguinte da análise dinâmica.
O autor comparou resultados obtidos experimentalmente com os provenientes da
modelação dinâmica, a partir dos quais foi possível confirmar a boa correlação existente
entre ambos, não só no domínio do tempo, como também no domínio da frequência
(Figura 2.24).
Tempo [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.5
1.0
1.5
-0.5
0
-1.0
Ace
lera
ção
[g]
MeasurementsCESAR-LCPC
Figura 2.24 – Comparação da aceleração vertical de uma travessa (adaptado de Schmitt, 2006)
Capítulo 2
52
No que concerne à regulamentação, o Eurocódigo não apresenta nenhum modelo para
simular a interacção. No entanto, em ERRI-D214 RP9 é apresentado um modelo, similar
aos apresentados anteriormente, que permite contemplar a interacção entre a via e a
estrutura. O modelo encontra-se apresentado na Figura 2.25, e os seus parâmetros
indicados no Quadro 2.14.
Figura 2.25 – Modelo proposto pelo ERRI para modelação da via (ERRI-D214 RP9, 1999)
Quadro 2.14 – Parâmetros do modelo (adaptado deERRI-D214 RP9, 1999)
Parâmetro Valor
Rigidez [MN/m] 500 Palmilha
Amortecimento [kNs/m] 200
Massa [kg] 290
Rigidez balastro-travessa [MN/m] 538
Amortecimento balastro-travessa [kNs/m] 120 Travessa
Afastamento [m] 0,6
Massa [kg] 412
Rigidez ponte-balastro [MN/m] 1000 Balastro
Amortecimento ponte-balastro [kNs/m] 50
2.3 - MODELAÇÃO DO VEÍCULO
O modelo mais usado para a avaliação do comportamento dinâmico de estruturas
submetidas à passagem de comboios de alta velocidade é o de cargas móveis. No entanto,
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
53
diversos autores levantam dúvidas quanto ao grau de exactidão obtido com este modelo na
simulação de estruturas de pequeno vão.
Museros et al. (2002) consideram que o modelo das cargas móveis não traduz de uma
forma fidedigna a resposta de pontes de pequeno vão, pois conduz a resultados superiores
aos obtidos através das metodologias mais sofisticadas, para além de não traduzir
convenientemente a distribuição de cargas na ponte, e não considerar os efeitos da inércia
das massas do comboio.
Para velocidades afastadas da velocidade de ressonância, os modelos mais complexos
proporcionaram resultados muito próximos dos obtidos com o modelo de cargas móveis. Já
para velocidades coincidentes com a de ressonância, nos modelos mais complexos regista-
se a redução das acelerações e dos deslocamentos, factor este que pode ser de grande
interesse, de um ponto de vista económico. Na Figura 2.26 apresenta-se a comparação das
acelerações considerando o modelo das cargas móveis e um modelo mais complexo que
incorpora a interacção entre a ponte e o comboio.
Figura 2.26 – Acelerações a meio vão para o modelo das cargas móveis e o modelo com interacção
para a passagem de um comboio ICE-2 (Museros et al., 2002)
Também Gabaldón et al. (2005) compararam o modelo das cargas móveis com um modelo
que incorporava a interacção ponte-comboio, tendo alcançado as mesmas conclusões.
Adicionalmente verificaram uma redução na velocidade de ressonância (Figura 2.27).
Capítulo 2
54
a) b)
Figura 2.27 – Comparação do modelo de cargas móveis com o modelo com interacção em termos
de: a) acelerações e b) deslocamentos (Gabaldón et al., 2005)
Yau et al. (1999) efectuaram um estudo no qual comparam a resposta de duas pontes de
pequeno vão, uma simplesmente apoiada e outra com três vãos contínuos, para o modelo
de cargas móveis e para um modelo que contemplava a interacção entre a ponte e o
comboio (Figura 2.28). Um esquema do modelo adoptado está presente na Figura 2.28,
enquanto na Figura 2.29 se encontram os resultados obtidos pelos autores, os quais
permitem mais uma vez retirar as mesmas conclusões.
Figura 2.28 – Modelo de interacção (adaptado de Yau et al., 1999)
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
55
a) b)
Figura 2.29 – Factor de amplificação para: a) ponte simplesmente apoiada e b) ponte contínua
(adaptado de Yau et al., 1999)
A comissão ERRI-D214 efectuou o estudo da passagem de um comboio ICE-2 para
diversas pontes, com vãos distintos, tendo também chegado à conclusão que a grande
diferença entre a consideração, ou não, de interacção ocorre para pontes de pequeno vão,
para velocidades próximas da ressonância. Nestas situações, ocorre uma redução das
acelerações e deslocamentos, assim como uma pequena variação das frequências próprias
de vibração, em virtude do incremento de massa conferido pela consideração do comboio.
No seguimento do trabalho da comissão, foi proposto a consideração de um amortecimento
adicional para ter em conta os efeitos positivos da interacção entre a ponte e o comboio, e
simultaneamente viabilizar a utilização do modelo de cargas móveis no estudo de pontes. É
no entanto de salientar, que o ábaco proposto para o amortecimento adicional foi
determinado apenas para o comboio ICE-2, ou seja, é possível que os valores propostos
não correspondam aos que seriam obtidos para outros tipos de comboio.
Dentro dos modelos de simulação da interacção entre a ponte e o comboio, existem os
modelos que consideram a totalidade do comboio (tridimensionais - Figura 2.30 a))
modelos planos (modelos de viga Figura 2.30 b)) e os modelos simplificados que apenas
consideram sistemas de 1 grau de liberdade (Figura 2.30 c).
Capítulo 2
56
a)
b)
ms Massa suspensa
Kp Cp
mns Massa não suspensa
c)
Figura 2.30 – Modelos de simulação do comboio: a) modelo tridimensional (Xia e Zhang, 2005),
b) modelo plano (Calçada, 1995) e c) modelo simplificado (ERRI-D214 RP4, 1999)
Apesar de o modelo simplificado permitir uma economia em termos de cálculo, face aos
modelos que envolvem a modelação do comboio, a comissão concluiu no seu estudo que
este modelo, para pontes com vãos superiores a 30 m, conduzia a valores díspares dos
obtidos com o modelo mais complexo. É no entanto de salientar, que a comissão apenas
efectuou este estudo para dois tipos de comboios de alta velocidade (ICE-2 e Eurostar).
Para além disso, no modelo simplificado não é possível quantificar a aceleração das
carruagens, aspecto de vital importância para o estudo do conforto dos passageiros. Daí
que seja preferível quando se efectua a interacção partir para os modelos mais complexos
pois, para além de serem mais rigorosos, fornecem maior informação acerca do
comportamento do comboio.
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
57
Analisando os dois modelos do comboio é perceptível que o modelo plano, sendo mais
simples, necessita de menos informação para ser caracterizado o que facilita a sua
utilização pois escasseia na bibliografia informação relativa às características dos
comboios. O modelo tridimensional apresenta maiores potencialidades, nomeadamente
oferece a possibilidade de obter as acelerações transversais, enquanto o plano apenas o
permite no seu plano vertical. No entanto, considera-se que o modelo plano é suficiente
para se efectuar o estudo de pontes onde sejam contemplados os fenómenos de interacção.
Apesar do que atrás se referiu sobre os modelos de cargas móveis, estes desempenham um
papel crucial na análise e dimensionamento de pontes para tráfego ferroviário de alta
velocidade, uma vez que, atendendo à regulamentação vigente (EN1991-2, 2003) para
redes interoperáveis as estruturas devem ser dimensionadas para os High Speed Load
Models, que são modelados apenas como conjuntos de cargas móveis, e pretendem
constituir uma envolvente de todos os comboios reais.
2.4 - MODELAÇÃO DA INTERFACE RODA-CARRIL
2.4.1 - Contacto roda-carril
A acção transmitida pelo comboio quando envolve a interacção entre a estrutura ferroviária
e a roda é bastante complexa, sendo um fenómeno não linear que habitualmente é simulado
com recurso a uma mola Hertziana (Esveld, 2001).
A teoria desenvolvida por Hertz expressa que a deformação elástica do aço da roda e do
carril cria uma área de contacto elíptica (eixo maior a e eixo menor b). As dimensões da
elipse de contacto são determinadas pela força normal actuante, função da curvatura da
roda e do perfil do carril. Dentro da área de contacto surge uma distribuição de pressões
semi-elíptica, com o valor máximo a ocorrer no centro (Figura 2.31).
Carril
r
F
Roda
Figura 2.31 – Tensões de contacto entre a roda e o carril de acordo com a teoria de Hertz
Capítulo 2
58
O valor da pressão máxima é dado pela seguinte expressão:
.
3
2máx
F
abσ
π=
(2.8)
O valor da rigidez também é possível de ser deduzido a partir da teoria de Hertz, sendo
dada pela expressão:
( )2
3 22
3
2 1-
r r cH
r
E F R Rk
υ= (2.9)
onde Er representa o módulo de elasticidade e νr o coeficiente de Poisson do carril, F a
carga vertical transmitida pela roda, Rr o raio da roda e Rc o raio da cabeça do carril.
2.4.2 - Irregularidades
Um aspecto importante ao nível da modelação do carril prende-se com a inclusão das
irregularidades no modelo numérico. Segundo Xia e Zhang (2005), as irregularidades são
fontes de excitação importantes para a vibração do sistema veículo-via. As irregularidades
representam o conjunto dos desvios do carril em relação à sua posição ideal. Existem
quatro tipos distintos de irregularidades:
i) Irregularidades verticais (Figura 2.32 b));
ii) Irregularidades de superelevação (Figura 2.32 b));
iii) Irregularidades ao nível do alinhamento (Figura 2.32 c));
iv) Irregularidades ao nível da bitola (Figura 2.32 c)).
As irregularidades verticais influenciam acima de tudo a vibração vertical dos veículos e
da estrutura, enquanto as horizontais condicionam a vibração transversal dos comboios e
da ponte (Frýba, 1996).
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
59
a)
b)
c)
Figura 2.32 – Irregularidades da via: a) aspecto geral, b) irregularidades verticais e
c) irregularidades no alinhamento (Frýba, 1996)
As irregularidades existentes ao longo do carril podem ser descritas como processos
estocásticos caracterizados por funções de densidade espectral de potência, dependentes da
frequência espacial das irregularidades. O SNCF apresenta uma expressão, para a
quantificação da função densidade espectral, obtida de forma empírica, com base em
medições efectuadas nas linhas francesas:
3
01
rrA
Gn
n
= +
(2.10)
Capítulo 2
60
onde A é um parâmetro que indica a qualidade da via, tomando o valor de
308× 0,509 mm2/ciclo/mm e 308× 1,790 mm2/ciclo/mm para, respectivamente, vias em
bom e mau estado, n0 é a frequência expressa em ciclos/m, e n0 corresponde a
0,0489 ciclos/m (Broeck, 2001).
Também o Federal Railway Administration (Estados Unidos) apresenta uma expressão
para a definição da densidade espectral:
( )( )
2 2 22 1
4 2 22
rr
An n nG
n n n
+=
+ (2.11)
onde A tem o mesmo significado que na proposta anterior e n1 e n2 tomam os valores de
0,0233 e 0,13 ciclos/m, respectivamente. Os valores de A dependem da classe de qualidade
da via, variando desde 16,72x10-7 m3 para uma Classe 1, até 0,95x10-7 m3 para uma
Classe 6.
Na Figura 2.33 encontra-se a representação dos limites para as qualidades referidas da
função densidade espectral, apresentados anteriormente, na qual se verifica que no
intervalo 0,1 a 1 ciclos/m existe uma aproximação entre as duas propostas.
1.E-12
1.E-11
1.E-10
1.E-09
1.E-08
1.E-07
1.E-06
1.E-05
1.E-04
0.01 0.1 1 10
Frequência - n [ciclos/m]
Den
sida
de e
spec
tral
-
Srr
[m3 ]
SNCF
FRA
Figura 2.33 – Função densidade espectral das irregularidades no carril
Outro tipo de irregularidades bastante gravosas para as vias férreas são as isoladas, que se
verificam nas juntas do carril, nos cruzamentos, nas entradas das pontes, e devido ao
impacto das rodas devido à sua não circularidade, entre outras. Neste campo é de salientar
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
61
que quando maior a velocidade de circulação do comboio, menor é a força de interacção
entre a roda e a via, como está patente em Frýba (1996), e se apresenta na Figura 2.34.
Figura 2.34 – Força de interacção entre a roda e a ponte para várias velocidades
(adaptado de Frýba, 1996)
Como se verifica, para velocidades baixas (α=0,01) a roda perde o contacto com o carril,
verificando-se um incremento súbito da força aquando do restabelecimento do contacto.
Para velocidades mais elevadas (α=0,04) também se verifica o impacto, mas o efeito
dinâmico global é menor. Também para este tipo de irregularidades existem expressões
empíricas, como a proposta pelo Federal Railway Administration:
( ) k xr x Ae−=
(2.12)
em que os parâmetros A e k dependem da qualidade da via. O parâmetro A varia entre
11,4 mm e 2,8 mm, e o parâmetro k entre 0,43 m-1 e 0,82 m-1, para a Classe 1 e 6,
respectivamente.
2.5 - MODELAÇÃO DA ESTRUTURA
A laje representa o elemento de suporte da via férrea. As suas funções são em tudo
idênticas às desempenhadas pelos tabuleiros das pontes, pelo que o seu comportamento,
análise e modelação já se encontram bastante desenvolvidos. Tendo em conta a sua
configuração, a melhor forma de se proceder à sua modelação é com recurso a elementos
finitos de casca. Deve-se optar pela formulação de Reissner-Mindlin, que considera a
deformação por esforço transverso.
Capítulo 2
62
2.6 - INTERACÇÃO COM O MACIÇO ENVOLVENTE
As estacas são os elementos que vão resistir aos esforços actuantes sobre a laje. Têm como
função receber as solicitações provenientes do tráfego ferroviário aplicadas à laje e
transmiti-las ao solo envolvente. No que concerne à sua modelação, o grande problema das
estacas prende-se com a interacção com o solo, pois as estacas são elementos cujo
funcionamento está implicitamente ligado ao meio envolvente. Caso a ponta da estaca se
encontre apoiada num sub-estrato rochoso, o assentamento vertical da estaca vai estar
impedido, e as acções verticais vão ser transmitidas directamente para esse sub-estrato.
Toda a deformação vai ser condicionada pela deformabilidade da estaca e da sua
interacção com o maciço. No entanto, caso a estaca seja flutuante, vai resistir às
solicitações verticais não só pelo contacto da cabeça com o solo, mas principalmente pelo
atrito que se desenvolve entre o fuste e solo. Já as acções horizontais são resistidas pela
estaca e pelo solo envolvente, num complexo fenómeno de interacção (Figura 2.35). Mais
uma vez, o tipo de solo, a sua variação em profundidade e as condições de apoio da cabeça
da estaca podem provocar significativas alterações ao nível do comportamento das estacas.
Figura 2.35 – Distribuição da pressão exercida pelo solo devido a uma carga lateral (adaptado de
Zhang et al., 2005)
A modelação das estacas é, regra geral, efectuada com elementos de viga. Podem também
ser modeladas com elementos volumétricos, mas o grau de dificuldade na interpretação de
resultados, aliado ao incremento da complexidade do problema sem se obter o respectivo
ganho de precisão, tornam este tipo de elemento pouco adequado para a simulação em
causa. Assim, o grande problema na modelação reside na modelação do solo envolvente.
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
63
Na bibliografia encontram-se diversas metodologias, com diferentes graus de
complexidade.
Os modelos mais simples têm como base a viga de Winkler, onde o solo é assimilado a um
conjunto de molas independentes entre si (Figura 2.36).
Figura 2.36 – Modelo de Viga de Winkler
Este modelo tem sido alvo de sucessivos melhoramentos, sendo muito prático e expedito,
pois não só possibilita simular a estratificação do terreno, como para além disso, permite a
inclusão do comportamento não linear do solo, considerando-se curvas de comportamento
p-y para as molas (Santos, 1999). Estas curvas podem ser não lineares, bastando apenas
dois parâmetros, módulo de reacção, k, e capacidade resistente do solo, pu, para ficarem
definidas.
a) b)
Figura 2.37 – Curva de comportamento do solo: a) real e b) idealizada (adaptado de Santos, 1999)
Capítulo 2
64
Um dos principais problemas destas metodologias reside na quantificação do módulo de
reacção ks do solo, pelo que diversos autores têm proposto expressões para este parâmetro,
correspondendo as nas Equações (2.13) e (2.14) às propostas de Vesic e Randolph:
i) Vesic
4
122
0,65 1
s ss
p s
E B Ek
EI υ=
− (2.13)
ii) Randolph
7c
s cp
Gk fG
E=
(2.14)
ambas obtidas para maciços homogéneos, elásticos e isotrópicos. Nas equações anteriores
Es representa o módulo de deformabilidade do solo, υ s o coeficiente de Poisson do solo, B
o diâmetro da estaca, e EIp o produto do módulo de elasticidade pelo momento de inércia
da estaca. Na Equação (2.14) f é um factor adimensional dependente das condições de
apoio na cabeça do pilar e Gc uma correcção do módulo de distorção.
Uma alternativa à proposta apresentada por Vesic é apresentada por Santos (1999), na qual
é considerada o efeito do solo da parte de trás da estaca. Assim, o autor sugere de uma
forma simplificada, que a expressão de Vesic seja multiplicada por dois, de modo a
considerar dois conjuntos de molas, um situado à frente e outro atrás da estaca.
É de salientar que embora o limite da aplicabilidade das expressões apresentadas pareça
elevado, o tipo de solo em que a solução de lajes assentes sobre estacas será
economicamente viável será essencialmente solo de fracas características geomecânicas, o
que cairá muitas vezes no tipo de maciços para os quais as expressões foram
desenvolvidas.
Os modelos mais complexos recorrem à modelação por intermédio de elementos finitos,
constituindo uma ferramenta muito poderosa para simulação do solo. Esta abordagem
apresenta uma grande versatilidade em termos de simulação do maciço, pois para além de
permitir qualquer geometria e estratificação permite aproximar o solo a um meio contínuo,
ou seja, é garantida a mobilização global do maciço (Figura 2.38).
Modelação do sistema veículo-via-estrutura
65
Figura 2.38 – Modelo tridimensional do solo e da estaca (Santos, 1999)
No entanto, estes modelos têm o inconveniente de necessitarem de um significativo
esforço de cálculo. Apesar de se pensar que possa ser recompensador em termos de
precisão de resultados, importa salientar que os modelos que envolvem a passagem de
vários comboios envolvem tempos de cálculos muito elevados, pelo que a consideração
deste tipo de modelos iria aumentar de uma forma muito significativa um processo que já
por si só é muito demorado. Para além disso, é preciso atender que o principal objectivo do
estudo é a análise do comportamento da laje, nomeadamente no que concerne ao respeito
pela regulamentação vigente (EN1991-2 e EN1990-A2), pelo que a consideração dos
elementos tridimensionais iria provocar uma dificuldade muito acrescida na interpretação
dos resultados, pois iriam surgir modos de vibração associados ao solo. Importa também
referir que o tipo de solo interessado, devido às suas fracas características, poderá ter uma
influência muito pouco significativa sobre o comportamento global da estrutura, pelo que
não interessará modelar com demasiada exactidão um elemento cuja influência para o
resultado final possa ser diminuta.
CAPÍTULO 3
METODOLOGIAS NUMÉRICAS DE ANÁLISE DINÂMICA
PARA CARGAS MÓVEIS
3.1 - INTRODUÇÃO
Os estudos de estruturas que apresentam uma variação da acção com o tempo, exigem em
regra, a realização de análises dinâmicas. A necessidade de se efectuar este tipo de análises
prende-se com o facto de a solicitação ao variar de uma forma rápida, origina na estrutura
forças de inércia e de amortecimento no sentido de contrariar a acção. Daí que, no estudo
de estruturas submetidas a tráfego ferroviário de alta velocidade, seja fundamental entrar
em consideração com este efeito, pois as cargas apresentam uma grande variabilidade, quer
temporal quer espacial.
O presente capítulo visa a apresentação da metodologia adoptada para a modelação do
problema dinâmico, assim como a exposição dos métodos utilizados para a sua resolução.
Após uma breve descrição das equações que governam o problema, são apresentadas três
metodologias distintas de resolução das equações de equilíbrio dinâmico, nomeadamente o
método de Newmark, o método da sobreposição modal e o método da sobreposição de
vectores de Ritz. O capítulo finaliza com uma breve aplicação dos diferentes métodos a
uma viga simplesmente apoiada, com o qual se pretende evidenciar as diferenças existentes
entre os diferentes métodos.
3.2 - EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO
Todas as estruturas evidenciam comportamento dinâmico quanto submetidas a cargas ou
deslocamentos. No entanto, quando a solicitação é aplicada de uma forma lenta, as forças
Capítulo 3
68
de inércia e de amortecimento que se desenvolvem são praticamente nulas, pelo que se
pode considerar apenas o comportamento estático da estrutura, daí que se possa afirmar
que a análise estática é um caso particular da análise dinâmica (Wilson, 2000).
A resolução de um problema dinâmico resulta da solução de uma condição de equilíbrio de
forças associada a cada um dos graus de liberdade da estrutura:
( ) ( ) ( ) ( )I t t t t+ + =D SF F F F (3.1)
na qual FI(t) representa o vector das forças de inércia, FD(t) o vector das forças de
amortecimento, FS(t) o vector das forças elásticas e F(t) o vector das forças externas.
Pelo princípio d’Alembert as forças de inércia resultam do produto da massa pela
aceleração (Clough e Penzien, 1993):
( ) ( )t t=IF Muɺɺ (3.2)
Considerando que o amortecimento é do tipo viscoso, as forças de amortecimento são o
produto do coeficiente de amortecimento pela velocidade:
( ) ( )t t=DF Cuɺ (3.3)
As forças elásticas são, tal como num problema estático, o produto da rigidez pelos
deslocamentos:
( ) ( )t t=SF Ku (3.4)
Substituindo na Equação (3.1), obtêm-se uma equação diferencial de segundo grau:
( )( ) ( ) ( )t t t t+ + =Mu Cu Ku Fɺɺ ɺ (3.5)
Esta equação apenas é válida em regime linear, enquanto a Equação (3.1) é válida também
para sistemas não lineares, desde que o equilíbrio seja formulado em relação à
configuração deformada.
3.3 - CONSIDERAÇÃO DE CARGAS MÓVEIS
As acções induzidas pelo comboio à estrutura foram consideradas como um conjunto de
cargas móveis, ou seja, admite-se que o comboio tem um comportamento rígido mantendo
constantes as cargas por eixo. Conforme se referiu na secção 2.3, existem outras formas de
Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis
69
modelação do comboio. No entanto, no âmbito do presente trabalho considerou-se
suficiente modelar apenas as cargas dos comboios, pois o objectivo é efectuar uma análise
da estrutura do ponto de vista regulamentar, atendendo à mais recente regulamentação
europeia para redes ferroviárias interoperáveis.
Um dos problemas da modelação das cargas consiste na sua geração, uma vez que
apresentam uma grande variabilidade no tempo e espaço. Para o presente trabalho seguiu-
se a metodologia apresentada em Barbero (2001) e Pinto (2007), na qual as cargas são
modeladas à custa de funções de carga nodais. Estas são atribuídas aos nós que constituem
o caminho a percorrer pelo comboio, tomando um valor diferente consoante a posição do
nó e a velocidade de circulação do comboio. Assumiu-se que a sua variação é linear com o
tempo, conforme está patente na Figura 3.1, onde se apresenta uma função de carga nodal
para a passagem de um comboio TGV a 100 km/h.
0
25
50
75
100
125
150
175
200
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tempo [s]
Car
ga [k
N]
Figura 3.1 – Função de carga para um nó
A geração destas funções, como envolve um elevado número de pontos, foi programada
em Visual Basic 6.0 de acordo com a Figura 3.2 e o algoritmo apresentado no Quadro 3.1.
Capítulo 3
70
P(k+1)P(k)P(k-1) P(k+1)P(k)P(k-1)
X(k)
V
X (k-1)P
nó(n-1) nó(n)
P(n)P(n-1)
X (1)X (2)
x
y
nó(n+1)
X (k)P
X (k+1)P
X 0
X (n-1)n
X (n)n
X (n+1)n
Figura 3.2 – Definição das funções de carga
Quadro 3.1 – Algoritmo para geração das funções de carga
• Para cada velocidade V
• Para cada instante t (com j a variar de 1 até ao número de incrementos)
• Para cada carga do comboio (k)
- Calcular a posição da carga k do comboio no instante ts ( )( )ts=t× j-1 :
P 0X(k)=X (k)+V×ts+X
- Para a carga compreendida entre o nó n e o nó n-1:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n
n n
X k -X n-1P(n-1)=P n-1 +P k ×
X n -X n-1
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )n
n n
X n -X kP(n)=P n +P k × 1-
X n -X n-1
O programa foi concebido de forma a possibilitar a divisão de cargas por dois
alinhamentos, tornando possível traduzir a solicitação aplicada nos dois carris. Permite
também a escolha de diversos métodos de resolução do sistema de equações dinâmico, que
serão apresentados nas próximas secções.
Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis
71
3.4 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA POR UM MÉTODO DE
INTEGRAÇÃO DIRECTA
Uma das metodologias disponíveis para a determinação da resposta dinâmica de uma
estrutura, consiste na integração directa do sistema de equações de equilíbrio dinâmico.
Um dos métodos mais usuais é o método de Newmark, desenvolvido em 1959, que parte
do desenvolvimento em série de Taylor para aproximar no instante t o campo de
deslocamentos e de velocidades:
2 3
- - - - ...2 6t t t t t t t t t
t tt∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆= + ∆ + + +u u u u uɺ ɺɺ ɺɺɺ (3.6)
2
- - - ...2t t t t t t t
tt∆ ∆ ∆
∆= + ∆ + +u u u uɺ ɺ ɺɺ ɺɺɺ (3.7)
Newmark reescreveu as expressões anteriores na seguinte forma:
23
- - -2t t t t t t t
tt tβ∆ ∆ ∆
∆= + ∆ + + ∆u u u u uɺ ɺɺ ɺɺɺ (3.8)
2- -t t t t tt tγ∆ ∆= + ∆ + ∆u u u uɺ ɺ ɺɺ ɺɺɺ (3.9)
Assumindo uma relação linear para a variação da aceleração no tempo, fica:
-t t t
t∆=
∆u - u
uɺɺ ɺɺ
ɺɺɺ (3.10)
Substituindo a equação anterior nas Equações (3.8) e (3.9), obtêm-se:
2 2- - -
1
2t t t t t t t tt t tβ β∆ ∆ ∆ = + ∆ + − ∆ + ∆
u u u u uɺ ɺɺ ɺɺ (3.11)
( )- -1t t t t t tt tγ γ∆ ∆= + − ∆ + ∆u u u uɺ ɺ ɺɺ ɺɺ (3.12)
Esta forma de representação das equações não é a mais adequada, pois obriga a uma
iteração no final de cada passo de integração para se determinar a aceleração. Assim, é
preferível escrever as equações apenas em função de uma incógnita, o deslocamento ut.
Capítulo 3
72
( )2
1 1 1
2t t t t t t t tttβ
ββ −∆ −∆ −∆ = − + + − ∆∆
u u u u uɺɺ ɺ ɺɺ (3.13)
( )2
11 1
2t t t t t t t t
t tt
tt
γ γ γ β γββ −∆ −∆ −∆
∆ ∆ = − + + + ∆ − − − ∆∆ u u u u uɺ ɺ ɺɺ (3.14)
Substituindo na Equação (3.5) torna-se possível a resolução do problema dinâmico para o
instante t.
Como é possível verificar, este é um método implícito, pois a determinação das grandezas
relativas ao instante t é conseguida à custa de um sistema de equações estabelecido no
instante t t− ∆ .
Os parâmetros α e γ controlam a estabilidade e precisão da integração, sendo que o
método de Newmark é incondicionalmente estável para 1 2γ ≥ e 1 2β ≤ , sendo que para
valores de γ superiores a 1 2 ocorre amortecimento algorítmico assim como alongamento
do período. Tomando para β o valor de 1 4 e mantendo γ como 1 2, verifica-se que a
aceleração é constante no intervalo compreendido entre t t− ∆ e t (Figura 3.3).
u(t)
t-∆t t
u(t-∆t)
Figura 3.3 – Variação da aceleração entre dois instantes consecutivos
Um dos aspectos fundamentais nos métodos de integração directa prende-se com a
construção da matriz de amortecimento. O método mais clássico para a sua construção é o
método de Rayleigh, no qual a matriz de amortecimento é obtida com base na
proporcionalidade desta com a matriz de massa e de rigidez:
Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis
73
η δ= +C M K (3.15)
Os parâmetros η e δ são determinados com base na necessidade da matriz de
amortecimento satisfazer as condições de ortogonalidade, de acordo com a equação
seguinte:
1
112
ii i
jj
j
ως ω ης δω
ω
=
(3.16)
na qual iω e jω são, respectivamente, as frequências angulares do i-éssimo e j-éssimo
modo de vibração, e iς e jς os coeficientes de amortecimentos associados aos mesmos
modos de vibração.
Na Figura 3.4 apresenta-se esquematicamente a variação do coeficiente de amortecimento
de Rayleigh com a frequência, assim como a influência das parcelas relativas à massa e à
rigidez. É notório que para frequências baixas o amortecimento é condicionado pela
proporcionalidade à massa, enquanto para frequências mais elevadas é a rigidez que
comanda.
Rayleigh
Frequencia
Am
orte
cim
ento
C=ηM C=δK
^
Figura 3.4 – Amortecimento de Rayleigh
Capítulo 3
74
3.5 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO DA
SOBREPOSIÇÃO MODAL
O método da sobreposição modal parte das condições de ortagonalidade que se registam
entre os modos de vibração para desligar as equações de equilíbrio dinâmico, tornando a
resolução de um sistema de equações de n n× , num problema de n equações de 1 grau de
liberdade.
A resposta estrutural é obtida através da soma das várias contribuições modais de acordo
com as equações seguintes:
( )( )t t=u ΦY (3.17)
( )( )t t=u ΦYɺɺ (3.18)
( )( )t t=u ΦYɺɺɺɺ (3.19)
onde Φ é entidade matricial que contém ns vectores espaciais independentes do tempo, os
modos de vibração da estrutura φφφφ , e Y(t) é um vector que tem as n coordenadas modais da
estrutura. Substituindo na Equação (3.6) fica:
( ) ( ) ( )( )t t t t+ + =MΦY CΦY KΦY Fɺɺ ɺ (3.20)
Das condições de ortogonalidade resulta:
Tn mφ φφ φφ φφ φ =M 0 (3.21)
se m n≠ , acontecendo o mesmo em relação às matrizes de rigidez e de amortecimento,
caso esta seja de Rayleigh.
Pré-multiplicando a Equação (3.20) pelo transposto do n-éssimo modo de vibração, Tnφφφφ :
( ) ( ) ( )( )T T T Tn n n nt t t tφ φ φ φφ φ φ φφ φ φ φφ φ φ φ+ + =MΦY CΦY KΦY Fɺɺ ɺ (3.22)
Atendendo às condições de ortogonalidade evidenciadas na Equação (3.21), e
normalizando em relação à massa é possível obter:
Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis
75
( ) ( ) ( ) ( )22 nn n nn n n
n
f ty t y t y t
Mζ ω ω+ + =ɺɺ ɺ (3.23)
onde nς representa o coeficiente de amortecimento viscoso dado pela Equação (3.24), na
qual Cn representa o amortecimento, nω a frequência angular, Mn a massa modal e fn(t) a
solicitação, associadas ao n-éssimo modo de vibração.
2n
nn n
C
Mζ
ω= (3.24)
A Equação (3.23) evidencia outra das vantagens da utilização desta metodologia para a
resolução do problema dinâmico, que é a possibilidade de adopção para cada modo, de um
valor do coeficiente de amortecimento.
3.6 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO DA
SOBREPOSIÇÃO DOS VECTORES DE RITZ
O método da sobreposição de vectores de Ritz foi apresentado por Wilson et al. (1982),
tendo surgido como alternativa ao método da sobreposição modal clássico para a resolução
de problemas dinâmicos de grande dimensão. Este método tira partido da distribuição
espacial da solicitação de forma a considerar no cálculo apenas os modos que possuem
uma elevada participação na resposta, eliminando o que se apresentem ortogonais à
solicitação. Desta forma, a dimensão do problema é reduzida, proporcionando sempre,
segundo os autores, resultados com maior precisão e menor custo numérico.
A metodologia de cálculo é similar à da sobreposição modal, tendo como objectivo final o
desacoplamento do sistema de equações, residindo a principal diferença na maneira como
são obtidos os modos de vibração. Enquanto pelo método da sobreposição modal os modos
são encontrados após a obtenção das frequências próprias de vibração, nesta nova
metodologia as configurações modais, neste caso denominados de vectores de Ritz, são
encontradas por um processo alternativo. No entanto, as frequências obtidas por este
método não correspondem às frequências próprias da estrutura constituindo aproximações
às frequências próprias da estrutura que são excitadas pela solicitação.
Pode-se então considerar que a etapa crítica do método se prende com a selecção dos
vectores de Ritz. Na versão mais recente do método, apresentada em Wilson (2000) o
Capítulo 3
76
primeiro vector resulta da solução da resposta estática da estrutura, sendo a parcela relativa
às forças de inércia desprezada:
0 =Ku R (3.25)
sendo R a distribuição da solicitação, independente do tempo:
( ) ( )t t=F Rf (3.26)
O segundo vector vai aproximar os efeitos de inércia do primeiro vector u0, após a sua
ortogonalização em relação à matriz de massa e normalização (v0):
1 0=Ku Mv (3.27)
Entra-se então num processo de recorrência, no qual o vector ui é calculado à custa do vi-1:
-1i i=Ku Mv (3.28)
O primeiro vector funciona desta forma, como uma correcção estática, enquanto os
vectores subsequentes apenas têm em consideração os efeitos dinâmicos resultantes da
aplicação do carregamento.
A geração dos modos de Ritz só fica concluída após a ortogonalização dos vectores em
relação à matriz de rigidez. Para tal, resolve-se a seguinte equação:
2K - ω I z = 0 (3.29)
na qual
TK = v Kv (3.30)
e ω representa o vector das frequências próprias da estrutura.
Os vectores de Ritz Φ resultam do produto dos vectores v e z:
Φ = vz (3.31)
Uma das conclusões mais importantes desta metodologia prende-se com o facto de ser
impossível gerar vectores que não sejam excitados pelo carregamento, com a consequente
redução da dimensão do problema. Existem publicações (Wilson et al. (1982) e Bayo e
Wilson (1984)) em que é utilizado este método e são confrontados os resultados com os
Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis
77
provenientes da análise modal, onde fica claro que esta metodologia proporciona melhores
resultados com menor esforço numérico.
Com o objectivo de sistematizar esta metodologia, uma vez que existem poucas referências
relativas à sua aplicação, apresenta-se a resolução de um problema simples de modo a
evidenciar o funcionamento do método. Considere-se a viga da Figura 3.5, com 10 m de
vão e uma secção transversal de 7,5×0,51 m2 (a que corresponde uma inércia 0,0811 m4).
A viga apresenta uma discretização em elementos de 1 m e uma massa distribuída de
10 t/m. A solicitação corresponde a uma carga concentrada, de valor unitário, aplicada no
nó 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
P=1,0 kN
Figura 3.5 – Viga simplesmente apoiada
A análise foi também efectuada com o programa de cálculo automático SAP2000
(Computers and Structures Inc, 2005), tendo os resultados sido confrontados com os
obtidos por via analítica. A análise foi realizada considerando apenas dois modos de
vibração. Os resultados obtidos a partir do programa estão apresentados no Quadro 3.2 e
sob a forma gráfica na Figura 3.6.
Quadro 3.2 – Deslocamento modal pelo método de Ritz
Deslocamento vertical [m] Nó
Modo 1 Modo 2
1 0 0
2 -0.044 0.148
3 -0.083 0.169
4 -0.115 0.119
5 -0.135 0.041
6 -0.142 -0.036
7 -0.134 -0.089
8 -0.114 -0.110
9 -0.083 -0.096
10 -0.043 -0.055
11 0 0
Capítulo 3
78
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Nó
Am
plitu
de [m
]
1
2
ΦΦ
Figura 3.6 – Modos de vibração obtidos pelo método de Ritz
Para se iniciar a resolução analítica do problema é necessário proceder à obtenção das
matrizes de rigidez, massa e ao vector das forças. Para a matriz de massa considerou-se
que a massa se encontrava localizada nos nós da estrutura, enquanto a matriz de rigidez foi
obtida pela metodologia clássica.
2387596 4678311 2197766 89178 3619 147 6 0 0 0 0
4678311 11554388 8984665 2023028 82088 3331 135 5 0 0 0
2197766 8984665 13577416 8902577 2026359 82223 3336 135 5 0 0
89178 2023028 8902577 13580747 8902442 2026365 82223 3336 135 5 0
36
−− −
− −− −
=K
19 82088 2026359 8902442 13580753 8902442 2026365 82223 3336 135 6
147 3331 82223 2026365 8902442 13580753 890244 2026365 82223 3331 147
6 135 3336 82223 2026365 8902442 13580753 8902442 2026359 82088 3619
0 5 135 3336 82223 2026365
− −− −
− −8902442 13580747 8902577 2023028 89178
0 0 5 135 3336 82223 2026359 8902577 13577416 8984665 2197766
0 0 0 5 135 3331 82088 2023028 8984665 11554388 4678311
0 0 0 0 6 147 3619 89178 2197766 4678311 2387596
− − − − − − −
(3.32)
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
=
M (3.33)
Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis
79
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
R (3.34)
Por intermédio da Equação (3.25) obteve-se o vector uo:
6
0
1,11
1,86
2,31
2,48
102, 42
2,17
1,76
1, 24
0.64
0
−
= ×
0u (3.35)
que depois de ortogonalizado em relação à matriz de massa fica:
Capítulo 3
80
1
0
0,62
1,04
1,30
1,39
101,36
1, 22
0,99
0,70
0,36
0
−
= ×
0v (3.36)
Entrando agora no processo de recorrência, tem de se resolver a seguinte equação:
1 0=Ku Mv (3.37)
da qual resulta:
5
0
1,78
3,38
4,63
5, 41
105,66
5,36
4,54
3, 29
1,73
0
−
= ×
1u (3.38)
e
Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis
81
1
0
1, 41
1,55
1,06
0, 24
100,54
1,05
1, 25
1,05
0,61
0
−
− − − −
= ×
1v (3.39)
A obtenção dos modos só fica concluída após a sua ortogonalização em relação à matriz de
rigidez. Para tal, é necessário resolver o seguinte determinante:
( )det =2K - ω I 0 (3.40)
onde
3487 -7840
-7840 63285
K = (3.41)
Da resolução da Equação (3.40) saem as frequências próprias, que valem:
49,8
253,6rad s
ω = (3.42)
Substituindo ωωωω na Equação (3.29), obtém-se:
1 0,13
0,13 1
−
z = (3.43)
Os modos de vibração, Φ , resultam do produto de v e z:
Capítulo 3
82
0 0
0,044 0,149
0,084 0,168
0,116 0,123
0,136 0,042
0,143 0,037
0,135 0,089
0,115 0,112
0,083 0,096
0,044 0,057
0 0
− − − −
=
Φ (3.44)
Na Figura 3.7 encontra-se representada a comparação entre os resultados obtidos por via
numérica e analítica, onde fica claro que os resultados obtidos pelas duas vias são
idênticos.
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nó
Am
plitu
de [m
]
1 SAP2000
2 SAP2000
1
2
ΦΦΦΦ
__
__
Figura 3.7 – Comparação dos modos de vibração obtidos pelo método de Ritz por via analítica e
com recurso ao software SAP 2000
3.7 - EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Com o intuito de apresentar as metodologias atrás expostas, especialmente no que respeita
à aplicação do método de Ritz, apresenta-se a resolução de um problema que, pela sua
simplicidade, evidencia as diferenças entre os três métodos. A necessidade de apresentação
do método de Ritz prende-se com a pouca informação que existe da sua aplicação. Para
além de existirem poucas publicações sobre a sua implementação, não há registo da sua
Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis
83
utilização em problemas dinâmicos relacionados com estruturas submetidas a tráfego, pelo
que se torna importante apresentar uma aplicação deste tipo.
3.7.1 - Análise dinâmica de uma viga isostática
3.7.1.1 - Modelação
A estrutura analisada trata-se da viga simplesmente apoiada, já apresentada na secção 3.6.
A análise foi efectuada com recurso ao software SAP 2000.
3.7.1.2 - Cenário de análise
A análise foi conduzida para a passagem de um comboio TGV a 280 km/h, com uma passo
de integração de 0,0020 s. Dado que o comportamento de uma viga simplesmente apoiada
é condicionado apenas pelo primeiro modo, na análise com recurso à sobreposição modal
apenas se considerou um modo de vibração. A análise de Ritz foi efectuada com um, seis e
nove modos de vibração, sendo que este último valor corresponde ao maior número de
vectores que se podem encontrar, uma vez que a estrutura em análise apenas tem nove
graus de liberdade livre na direcção vertical. No intuito de comparar os resultados, a
análise modal foi conduzida também com um, seis e nove modos de vibração.
Importa referir que no método de Ritz o programa só inicia o processo de recorrência
quando o número de vectores solicitado for superior ao número de cargas. Quando existem
diversas acções, qi, a actuar sobre a estrutura, a resolução da resposta estática
(Equação (3.25)) é inicialmente efectuada para as i acções. Quando o número de vectores n,
é superior ao número de solicitações i, o programa realizada o processo de recorrência para
n/i análises distintas.
No Quadro 3.3 encontram-se apresentadas as frequências de vibração da viga para a
análise por sobreposição modal e pelo método de Ritz.
Capítulo 3
84
Quadro 3.3 – Frequências próprias [Hz]
Ritz
Sobreposição modal
1 vector 6 vectores 9 vectores
1 7,9 9,4 7,9 7,9
2 30,7 32,3 30,7
3 44,7 79,3 65,6
4 65,6 148,8 108,8
5 108,8 222,8 155,4
6 132,9 278,4 200,9
7 155,4 241,1
8 200,9 272,4
9 217,9 292,2
Pode-se constatar da análise do quadro, que no método de Ritz o número de vectores tem
influência no cálculo das frequências próprias da estrutura. Nas figuras 3.8 a 3.11
apresentam-se as configurações modais obtidas pelo método da sobreposição modal, e pelo
método dos vectores de Ritz.
1º 2º
3º 4º
5º 6º
7º 8º
9º
Figura 3.8 – Configurações modais obtidas pelo método da sobreposição modal
Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis
85
1º
Figura 3.9 – Configuração modal obtida pelo método de Ritz considerando 1 modo
1º 2º
3º 4º
5º 6º
Figura 3.10 – Configurações modais obtidas pelo método de Ritz considerando 6 modos
1º 2º
3º 4º
5º 6º
7º 8º
9º
Figura 3.11 – Configurações modais obtidas pelo método de Ritz considerando 12 modos
Capítulo 3
86
Da análise das figuras anteriores torna-se claro o modo como o método de Ritz opera.
Nota-se que considerando um número de modos inferior ao número de nós da estrutura os
modos de vibração resultantes não conseguem mobilizar toda a estrutura, daí que para um
número de modos baixo os valores das frequências próprias sejam distintos dos obtidos
pelo método da sobreposição modal. Tal deve-se ao facto do método começar por calcular
o número de modos com base nas diversas cargas actuantes. Assim, como existe uma carga
por cada nó, o método vai calcular os modos de vibração à custa do deslocamento obtido
da aplicação de cada uma dessas cargas. Somente quanto se considera um número de
modos suficiente para permitir que o método abranja a totalidade dos pontos, é que se
conseguem atingir os modos globais da viga.
Verifica-se ainda que no método da sobreposição modal surgem modos que envolvem a
deformação axial da viga, nomeadamente o 3º, 6º e 9º, que não são mobilizados pelo
método de Ritz, uma vez que são ortogonais à solicitação.
3.7.1.3 - Análise pelo método de Newmark
Na Figura 3.12 apresenta-se o registo temporal, do deslocamento vertical do ponto médio
da viga (nó 6). A análise foi realizada pelo método de Newmark, tendo-se adoptado os
parâmetros 1 2γ = e 1 4β = , para os quais o método é incondicionalmente estável.
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Figura 3.12 – Registo temporal do deslocamento vertical no nó 6, pelo método de Newmark
3.7.1.4 - Análise pelo método da sobreposição modal
Apresenta-se na Figura 3.13 o deslocamento vertical do nó 6, obtido por sobreposição
modal considerando um, seis e nove modos de vibração. Como se verifica, não existem
Metodologias numéricas de análise dinâmica para cargas móveis
87
diferenças entre os três casos, sendo que o registo também coincide com o obtido pelo
método de Newmark.
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
1 modo
6 modos
9 modos
Figura 3.13 – Registo temporal do deslocamento vertical no nó 6, pelo método de sobreposição
modal, considerando um, seis e nove modos de vibração
3.7.1.5 - Análise pelo método da sobreposição de vectores de Ritz
O método de vectores de Ritz é, como já foi referido, dependente do número de vectores a
considerar na análise. De forma a comparar a influência deste parâmetro na análise,
apresenta-se na Figura 3.14 o registo da aceleração vertical do nó 6, para os três cenários
de análise.
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
1 vector
6 vectores
9 vectores
Figura 3.14 – Evolução temporal deslocamento vertical no nó 6, pelo método dos vectores de Ritz,
considerando um, seis e nove modos de vibração
Capítulo 3
88
Da análise da figura é possível constatar que a consideração de apenas um vector é
insuficiente para traduzir com rigor a aceleração vertical. Tal deve-se ao facto de, quando
se considera apenas um modo na análise por Ritz, o modo encontrado ser bastante
assimétrico, resultando da deformada estática provocada pela aplicação do carregamento.
Assim, a vibração do nó central da viga não é convenientemente traduzido, e
concomitantemente o nível de aceleração registado é bastante diferente do real. Quando se
incrementa o número de vectores, regista-se uma concordância de resultados, pois o
método já consegue captar os modos globais da estrutura e assim e assim traduzir com
rigor o registo de acelerações.
3.7.1.6 - Comparação de resultados
Com o intuito de avaliar as diferenças entre as diversas metodologias, apresenta-se, na
Figura 3.15, para os três métodos o registo do deslocamento vertical no nó central. De
modo a comparar mais facilmente as diversas curvas, a janela temporal foi limitada a 0,7 s.
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Sobreposição modal Newmark
1 vector de Ritz 6 vectores de Ritz
9 vectores de Ritz
Figura 3.15 – Comparação dos métodos de integração dinâmica ao nível do deslocamento vertical
do nó 6
Verifica-se um ajuste perfeito do registo temporal do deslocamento vertical a meio vão,
proveniente do método de Newmark, da sobreposição modal e dos vectores de Ritz, com
excepção da análise com apenas um vector, pelos motivos já atrás apresentados. Daqui se
depreende a necessidade de, quando se usa o método dos vectores de Ritz, se efectuar uma
análise prévia de sensibilidade ao número de vectores a considerar na análise.
CAPÍTULO 4
MODELAÇÃO NUMÉRICA DA LAJE SOBRE ESTACAS DA
LIGAÇÃO CANAL DA MANCHA-LONDRES
4.1 - INTRODUÇÃO
A realização de análises dinâmicas em estruturas submetidas a tráfego ferroviário de alta
velocidade é uma tarefa morosa do ponto de vista numérico, pois envolve a discretização
da solicitação em intervalos temporais muito pequenos, e a subsequente resolução do
sistema de equações. Desta forma, torna-se fundamental proceder-se inicialmente a um
estudo preliminar que envolva a optimização de todo o cálculo, de modo a conseguir
rentabilizar ao máximo o tempo dispendido nas análises dinâmicas. A optimização pode
ser conseguida não só à custa do incremento de tempo, como também escolhendo uma
metodologia de resolução das equações de equilíbrio dinâmico que minimize os tempos de
cálculo, sem prejudicar a precisão dos resultados. Outra possibilidade estudada no presente
capítulo, consiste na concepção de um modelo simplificado com um menor número de
graus de liberdade, que conduza a uma redução da dimensão do problema.
Foi igualmente avaliada a influência da presença da via férrea no comportamento dinâmico
da laje, assim como as alterações induzidas no comportamento dinâmico decorrentes da
variação dos parâmetros caracterizadores da via e do solo.
No presente capítulo, após uma apresentação da estrutura em estudo, efectuar-se-á uma
análise preliminar no intuito de calibrar convenientemente o modelo numérico. As análises
foram realizadas para duas frequências de corte, 30 e 60 Hz. O primeiro valor resulta da
aplicação da mais recente regulamentação europeia, EN1990-A2 (2005), enquanto o
segundo provém de recentes investigações conduzidas no laboratório BAM (Baessler e
Rücker (2005), Zacher e Baessler (2005)) que apontam para que, até frequências de 60 Hz,
Capítulo 4
90
a função de transferência entre a estrutura e o balastro é crescente, registando-se para este
valor a máxima amplificação dinâmica em termos de acelerações. Daí que toda a
contribuição modal abaixo dos 60 Hz deva ser considerada nas análises dinâmicas.
4.2 - DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA
A estrutura analisada na presente dissertação tem por base a solução adoptada na ligação
entre o Túnel da Mancha e a cidade de Londres (ver secção 1.3.4).
Esta estrutura insere-se na linha de alta velocidade Britânica que efectua a ligação entre o
canal da Mancha e a cidade de Londres. O projecto da construção da linha de alta
velocidade foi autorizado pelo parlamento inglês em 1996. O governo seleccionou a
London & Continental Railways para construir e operar a linha. A empresa ficou
responsável pela construção, operação e financiamento da linha. As obras iniciaram-se em
Janeiro de 2002, tendo ficado concluídas em Julho de 2005 e tiveram um custo de
7,7 milhões de euros (Department of the Environment Transport and the Regions, 2001).
A linha tem uma extensão de 104 km, tendo sido projectada para uma velocidade máxima
de circulação de 300 km/h. O recorde de velocidade é de 334,7 km/h tendo sido alcançado
a 30 de Julho de 2003 com o comboio Eurostar. Com esta linha tornou-se possível efectuar
a ligação entre as estações de St. Pancras (Londres) e da Gare du Nord (Paris) em 2 h e
15 m, sendo que até à entrada do Túnel da Mancha a viagem demora apenas 31 m.
Esta linha de alta velocidade apresenta uma grande diversidade de soluções estruturais, em
virtude da elevada complexidade do traçado. A linha apresenta 26 km de túneis, o que
corresponde a 25 % da linha, sendo que o túnel mais extenso tem um desenvolvimento de
10,5 km e efectua a ligação entre Stratford e Dagenham.
A solução de laje sobre estacas foi adoptada numa extensão de, cerca de, 7 km, numa zona
de terrenos pantanosos a norte do rio Tamisa (Figura 4.1). A profundidade dos solos de
fracas características é muito variável, chegando a atingir os 12 m. Subjacente a este
estrato existe uma camada de solo sobreconsolidado, que engloba argilas de Londres,
areias e calcários (O'Riordan et al., 2003).
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
91
Figura 4.1 – Mapa da linha de alta velocidade Inglesa (Department of the Environment Transport
and the Regions, 2001)
A solução foi adoptada, após o estudo de várias alternativas por se apresentar como a que
apresentava maior fiabilidade a longo prazo. A construção de aterro ficou colocada de
parte em virtude dos elevados assentamentos que iriam decorrer devido aos fenómenos de
consolidação. Na Figura 4.2 apresenta-se um corte esquemática da solução adoptada.
Trata-se de uma laje com 12,3 m de comprimento, apoiada em fiadas de estacas que distam
entre si 4,8 m. As estacas apresentam um diâmetro de 0,50 m. Nas extremidades da laje
existem dois muros guarda corpos e guarda balastro, que não possuem qualquer função
estrutural. A via é balastrada, com uma espessura de 0,45 m abaixo das travessas. As
travessas são do tipo bi-bloco e os carris do tipo UIC60.
Figura 4.2 – Corte esquemático da laje sobre estacas (adaptado de Montens et al., 2002)
Capítulo 4
92
4.3 - MODELAÇÃO NUMÉRICA
4.3.1 - Discretização da estrutura
A estrutura em estudo é constituída por módulos de laje com 0,53 m de espessura e 12,3 m
de largura, apoiada fiadas de quatro estacas de 0,50 m de diâmetro, afastadas de 4,8 m. O
comprimento dos módulos de laje é variável, entre 39,2 m e 68,7 m, sendo esta distância
condicionada pelos esforços de flexão introduzidos pela retracção da laje nas cabeças das
estacas, pois estudos de interacção entre o comboio e a estrutura demonstraram que seria
possível obter desenvolvimentos até 120 m (Montens et al., 2003).
A modelação numérica da estrutura foi efectuada com base na discretização em elementos
finitos, com recurso ao programa comercial SAP2000 (Computers and Structures Inc,
2005).
A laje foi modelada com elementos de casca espessos, formulados com base na teoria de
Mindlin, ao passo que as estacas foram modeladas com elementos de viga, ligados ao
exterior por molas horizontais com comportamento linear, de forma a simular a interacção
entre a estrutura e o solo envolvente e por apoios verticais na base. Admitiu-se um
desenvolvimento de 49,2 m a que correspondem 10 vãos. Foi admitida, para a laje, uma
discretização de 0,60 m no sentido longitudinal e no sentido transversal uma discretização
de 0,625 m e 0,375 m (Figura 4.3). Para as estacas optou-se por dividir os elementos de
viga em segmentos de 0,50 m.
Figura 4.3 – Divisão da estrutura em elementos
A via foi modelada de acordo com o modelo proposto por Esveld (2001), Wu e Thompson
(2003) e Zhai et al. (2004), na qual o carril é modelado com elementos de viga, a palmilha
e o balastro através de um sistema mola-amortecedor e a travessa como uma massa
concentrada. A discretização adoptada para o carril foi de 0,60 m, valor este que
corresponde à distância entre travessas. A massa do balastro foi incorporada na laje. Na
Figura 4.4 e 4.5 encontram-se apresentados, respectivamente, o modelo adoptado para a
modelação da via e o modelo global.
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
93
CarrilPalmilha
BalastroTravessa
Figura 4.4 – Modelo dinâmico da via
Figura 4.5 – Modelo global
4.3.2 - Características geométricas e mecânicas
Um dos principais problemas associados ao presente modelo da via prende-se com a sua
parametrização, uma vez que, como já se tornou perceptível no Capítulo 2, existe uma
diversidade significativa dos parâmetros. No Quadro 4.1 apresenta-se uma síntese dos
valores propostos pelos diversos autores.
Quadro 4.1 – Síntese dos resultados relativos às palmilhas e balastro
Palmilha Balastro
Autor Rigidez
[MN/m]
Amortecimento
[kNs/m]
Rigidez
[MN/m]
Amortecimento
[kNs/m]
De Man (2002) 1095-4005 24,5-44,9 - -
Zhai et al. (2004) 65 75 133 58,8
Esveld (2001) 150 54 24 72
Oscarsson (2001) 738-505 54-59 641-767 460-467
Broek (2001) 250 50 - -
ERRI (1999) 500 200 1000 50
UIR (2001) 27-100 - - -
Thompson et al. (1998) 65-720 - - -
Capítulo 4
94
Os valores adoptados para o modelo da via encontram-se patentes no Quadro 4.2, e
resultam de uma ponderação dos valores apresentados pelos diversos autores, mas tendo
como referência base os valores apontados por Esveld.
Quadro 4.2 – Síntese dos resultados relativos às palmilhas e balastro
Elemento Rigidez
[MN/m]
Amortecimento
[kN.s/m]
Palmilha 200 60
Balastro 30 50
Ao nível da condição fronteira do carril considerou-se que este se encontra encastrado a
uma distância de 0,60 m da estrutura.
A rigidez do solo, 119,3 MPa, foi calculada de acordo com a Equação (2.13), admitindo
um solo com módulo de elasticidade igual a 87,5 MPa, a que corresponde uma velocidade
de propagação das ondas S de 130 m/s.
As propriedades do carril são as do UIC60, apresentadas no Quadro 2.1, enquanto para a
laje e para as estacas foi assumido um módulo de elasticidade de 32 GPa, correspondente a
um betão de classe C30/37.
A massa pontual considerada para as travessas foi de 0,1225 t, que corresponde a uma
travessa do tipo bi-bloco (UIC, 2001). Considerou-se para peso volúmico do balastro o
valor de 20 kN/m3, de acordo com EN1991-1-1 (2002). Uma vez que a massa do balastro
foi incorporada na massa da laje, existem no modelo dois tipos de elementos de casca,
mediante a existência, ou não, de balastro sobre o elemento (Figura 4.6).
A massa volúmica dos elementos que contêm o balastro toma o valor de 4,719 t/m3,
enquanto os elementos que apenas possuem a massa da laje têm 2,548 t/m3.
Foram também colocadas massas concentradas, de forma a simular o guarda corpos e o
murete que delimita a via balastrada. A primeira massa toma o valor de 0,95 t e a segunda
0,68 t.
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
95
a)
b)
Figura 4.6 – Distribuição da massa do balastro: a) na estrutura e b) na modelação
4.3.3 - Frequências naturais e modos de vibração
No que respeita às características modais da estrutura, apresentam-se no Quadro 4.3 os
valores das frequências próprias da vibração da estrutura respeitantes aos primeiros 27
modos. Na Figura 4.7 apresenta-se as configurações modais associadas aos 1º, 6º, 7º, 8º,
14º, 16º, 20º e 26º modos de vibração.
Quadro 4.3 – Frequências naturais de vibração
Modo Frequência
[Hz] Modo
Frequência
[Hz] Modo
Frequência
[Hz]
1 15,78 10 18,83 19 27,17
2 16,01 11 18,89 20 27,39
3 16,12 12 20,38 21 27,56
4 16,27 13 20,47 22 27,82
5 16,61 14 22,26 23 27,90
6 16,79 15 22,29 24 28,14
7 17,22 16 24,18 25 28,55
8 17,59 17 24,56 26 29,37
9 17,64 18 26,09 27 29,97
Capítulo 4
96
1º modo – f=15,78 Hz 6º modo – f=16,76 Hz
7º modo – f=17,22 Hz 8º modo – f=17,59 Hz
14º modo – f=22,26 Hz 16º modo – f=24,18 Hz
20º modo – f=27,39 Hz 26º modo – f=29,37 Hz
Figura 4.7 – Configurações modais relativas ao 1º, 6º, 14º, 16º, 20º e 26º modos de vibração
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
97
Verifica-se que os sete primeiros modos de vibração envolvem essencialmente o
movimento das consolas laterais, pelo que se podem considerar modos locais. Os modos
que envolvem a vibração da zona central da laje, onde circula o comboio, apresentam
frequências bastante elevadas, acima dos 20 Hz. Na Figura 4.7 apresentam-se dois modos,
o 14º e o 16º, que envolvem de uma forma significativa a deformação central da laje. Para
frequências um pouco mais elevadas, perto dos 30 Hz, surgem modos locais da laje como é
o caso do 20º e 26º modos.
4.4 - ANÁLISE DINÂMICA PRELIMINAR
4.4.1 - Objectivo
Nesta secção pretende-se efectuar um estudo dinâmico preliminar relativamente à
sensibilidade do modelo numérico a diferentes aspectos que podem interferir com a
exactidão dos resultados, ou que possibilitem a optimização ao nível do tempo de cálculo
sem descurar a precisão final pretendida para as grandezas a estudar.
4.4.2 - Cenário de análise
No capítulo anterior apresentaram-se diferentes metodologias que permitem a resolução do
problema de equilíbrio dinâmico. No presente ponto, pretende-se efectuar a sua aplicação à
estrutura em causa, de forma a avaliar as diferenças proporcionadas pelas três
metodologias (método de Newmark, método da sobreposição modal e método dos vectores
de Ritz), não só ao nível da grandeza dos resultados, mas também em termos de tempo de
cálculo.
Uma vez que se trata de uma análise preliminar, simplificou-se o modelo de cálculo,
tendo-se desprezado a existência das molas a simular o solo e da via. Assim, a massa das
travessas e dos carris foi também incorporada na massa da laje. Na Figura 4.8 apresenta-se
o modelo de cálculo simplificado.
Capítulo 4
98
Figura 4.8 – Modelo de cálculo simplificado
No Quadro 4.4 apresentam-se as frequências próprias de vibração dos primeiros 27 modos
para o modelo simplificado. Como se verifica, as frequências são idênticas às obtidas para
o modelo completo, o que se explica em virtude de a massa permanecer igual nos dois
modelos, e a rigidez apenas ser diminuída pela eliminação do carril no modelo
simplificado. Daí que se registe uma pequena diminuição das frequências ao nível de cada
modo de vibração.
Quadro 4.4 – Frequências naturais de vibração para o modelo simplificado
ModoFrequência
[Hz]Modo
Frequência [Hz]
ModoFrequência
[Hz]1 13,83 10 18,57 19 26,762 15,50 11 18,61 20 26,893 15,71 12 20,10 21 27,124 15,87 13 20,18 22 27,345 16,01 14 21,93 23 27,656 16,33 15 21,98 24 27,827 16,53 16 23,78 25 28,208 17,31 17 24,21 26 28,929 17,38 18 25,57 27 29,47
Os resultados foram comparados ao nível das acelerações e deslocamento na laje, para o
ponto médio do primeiro vão e para o ponto médio do quinto vão ao longo do alinhamento
médio dos carris. Com estes dois pontos pretendem-se comparar os resultados em dois
locais da estrutura que evidenciam comportamentos diferentes devido à diferença de
rigidez.
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
99
4.4.2.1 - Comboio e gama de velocidades
As análises dinâmicas foram realizadas para a passagem de um comboio TGV (Figura 4.9)
modelado como um conjunto de cargas móveis. As cargas correspondentes a cada eixo
foram aplicadas em dois alinhamentos afastados de 1,5 m correspondentes às rodas,
procurando desta forma simular com maior rigor a distribuição espacial das cargas.
3 11
170
kN
3 3.275 3 15.7 3 15.7 3 3.275 3 11 3
9 x (170 kN x 2)
31133.275315.7315.733.27531137.04
170
kN
170
kN
170
kN
163
kN
163
kN
163
kN
163
kN
170
kN
170
kN
170
kN
170
kN
170
kN
170
kN
170
kN
170
kN
163
kN
163
kN
163
kN
163
kN
170
kN
170
kN
170
kN
170
kN
9 x (170 kN x 2)
Figura 4.9 – Comboio TGV
Para efeitos de comparação de resultados, admitiu-se que o comboio circulava a 200 km/h.
No entanto, para a apresentação de envolventes de resultados, admitiu-se um intervalo de
velocidades de 140 a 420 km/h, que corresponde na prática a admitir segundo a EN1991-2
que a velocidade máxima de circulação do comboio é 350 km/h.
4.4.2.2 - Amortecimento
Admitiu-se amortecimento de Rayleigh, necessário devido ao facto de se recorrer ao
método de integração directa, tendo-se imposto para as frequências de 17,5 e 27,8 Hz um
amortecimento de 2,67 %, de onde resultam as seguintes constantes: η = 3,61 s-1 e
δ = 1,88× 10-4 s. Este valor resulta da aplicação da expressão da EN1991-2 para o cálculo
do amortecimento de pontes de betão armado (2,56 %), adicionado da parcela relativa ao
amortecimento adicional (0,11 %) devido à não consideração de interacção entre o veículo
e a estrutura.
4.4.2.3 - Gama de frequências
Estudos recentes realizados no Federal Institute for Material Research and Testing (BAM)
(Baessler e Rücker (2005), Zacher e Baessler (2005)), em Berlim, demonstraram que o
valor máximo da função de transferência entre a aceleração no interior da camada de
balastro e a aceleração aplicada na base ocorre para uma frequência próxima dos 60 Hz.
Com base nestes estudos foi recomendada para a obtenção da resposta em termos de
acelerações a consideração de frequências até ao máximo de 60 Hz. Os estudos realizados
pelo BAM poderão levar a uma revisão futura dos limites estabelecidos no Eurocódigo.
Capítulo 4
100
De forma a investigar as consequências da adopção deste novo critério no
dimensionamento deste tipo de estruturas foram também realizadas análises dinâmicas
considerando frequências até ao máximo de 60 Hz.
4.4.3 - Análise pelo método de integração directa
O método de integração directa utilizado foi o de Newmark, tendo-se adoptados os
parâmetros γ = ½ e β= ¼, para os quais o método é incondicionalmente estável.
No que se refere ao incremento de tempo, é habitualmente recomendado a utilização de um
incremento correspondente a um vigésimo do menor período a integrar, o que corresponde
a t∆ =1/(30× 20)≈0,0015 s, para a frequência máxima de 30 Hz, e t∆ =1/(60× 20)≈0,0008 s,
para a frequência máxima de 60 Hz.
De modo a limitar as frequências à máxima pretendida, foram aplicadas às respostas em
termos de acelerações um filtro digital passa-baixo do tipo Chebychev II com frequência
de corte igual à frequência máxima em cada caso. Esta operação permitiu igualmente
eliminar algum ruído numérico nos registos de aceleração manifestado pela ocorrência de
elevadas frequências nesses registos.
Nas figuras 4.10 e 4.11 apresentam-se os gráficos relativos à evolução temporal da
aceleração a meio vão do 1º e 5º tramos, sob o eixo da via carregada, correspondentes à
passagem do comboio TGV a 200 km/h, para diversos incrementos de tempo. De modo a
comparar mais facilmente as curvas referentes aos diversos incrementos, a janela temporal
foi limitada a 0,7 s, abrangendo a zona dos registos em que se verificaram as maiores
acelerações.
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0020 s 0.0015 s
0.0013 s 0.0010 s
0.0008 s 0.0005 s
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0015 s
0.0013 s
0.0010 s
0.0008 s
0.0005 s
a) b)
Figura 4.10 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 1º tramo obtida por integração
directa, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
101
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0020 s0.0015 s0.0013 s0.0010 s0.0008 s0.0005 s
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0015 s 0.0013 s
0.0010 s 0.0008 s
0.0005 s
a) b)
Figura 4.11 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 5º tramo obtida por integração
directa, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz
Como se pode constatar, para a análise até 30 Hz no ponto médio do primeiro vão, ocorre
uma pequena perturbação na parte inicial do registo, não existindo uma coincidência ao
nível das acelerações (Figura 4.10 a)) para os instantes iniciais. No entanto, após esta
diferença inicial, rapidamente se verifica uma concordância ao nível dos resultados,
tendendo a resposta estrutural para a correcta. Esta diferença inicial pode ser explicada,
pelo carácter súbito da aplicação das cargas na laje, que provoca a excitação de frequências
mais elevadas. Da observação dos gráficos conclui-se ainda que para incrementos de
tempo inferiores ou iguais a 0,0015 s, para a frequência máxima de 30 Hz, e a 0,0013 s,
para a frequência máxima de 60 Hz, as curvas tornam-se praticamente coincidentes, com
excepção da zona inicial do gráfico da aceleração do ponto médio do primeiro vão.
Verifica-se, além disso, um incremento muito significativo da aceleração na laje quando se
passa da frequência máxima de 30 para 60 Hz. Tal é devido à inclusão das componentes
relativas a frequências mais elevadas. Denota-se também que o nível de aceleração é maior
para o ponto médio do 1º vão do que para o ponto médio do 5º vão, o que é explicado pela
maior rigidez evidenciada pelo segundo ponto, pois o tramo onde está localizado
encontra-se contíguo dos dois lados, ao passo que o primeiro vão apenas se encontra ligado
de um dos lados.
Ao nível do deslocamento vertical não se registam diferenças entre os diferentes
incrementos de tempo, como se verifica pela Figura 4.12.
Capítulo 4
102
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
0.0020
0.0015
0.0013
0.0010
0.0008
0.0005
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
0.0020
0.0015
0.0013
0.0010
0.0008
0.0005
a) b)
Figura 4.12 – Evolução temporal do deslocamento vertical obtida por integração directa, obtida
para o: a) meio vão do 1º tramo e b) meio vão do 5º tramo
4.4.4 - Análise pelo método da sobreposição modal
As análises dinâmicas realizadas pelo método da sobreposição modal incluíram os
contributos dos primeiros 27 modos de vibração, para a frequência máxima de 30 Hz, e dos
primeiros 138 modos de vibração, para a frequência máxima de 60 Hz.
Foram considerados coeficientes de amortecimento modais de acordo com a curva de
amortecimento de Rayleigh determinada para o método de Newmark, de modo a poderem
comparar-se directamente os resultados obtidos pelos dois métodos.
Nas figuras 4.13 e 4.14 apresentam-se os resultados referentes à evolução temporal da
aceleração nos mesmos pontos (meio vão do 1º e 5º tramos) e cenário (TGVa 200 km/h)
para diversos incrementos de tempo.
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0025 s
0.0020 s
0.0015 s
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0020 s
0.0015 s
0.0013 s
0.0010 s
a) b)
Figura 4.13 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 1º tramo obtida por sobreposição
modal, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
103
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]0.0025 s
0.0020 s
0.0015 s
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0020 s
0.0015 s
0.0013 s
0.0010 s
a) b)
Figura 4.14 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 5º tramo obtida por sobreposição
modal, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz
A observação dos gráficos permite concluir ser possível aumentar ligeiramente os
incrementos de tempo para 0,0020 s, para a frequência máxima de 30 Hz, e para 0,0015 s,
para a frequência máxima de 60 Hz.
Quanto ao deslocamento vertical, mais uma vez fica patente a invariância face ao passo de
integração (Figura 4.15).
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
0.0025 s
0.0020 s
0.0015 s
0.0013 s
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
0.0025 s
0.0020 s
0.0015 s
0.0013 s
a) b)
Figura 4.15 – Evolução temporal do deslocamento vertical obtida por sobreposição modal, obtida
para o: a) meio vão do 1º tramo e b) meio vão do 5º tramo
4.4.5 - Análise pelo método da sobreposição de vectores de Ritz
Para a aplicação do método de Ritz à presente estrutura, começou-se por efectuar um
estudo de sensibilidade ao número de modos a considerar na análise. Conforme foi visto no
capítulo anterior, deve-se, pelo menos, considerar um número de modos igual ao número
de nós onde a solicitação vai ser aplicada, o que no presente caso se traduz em 83 modos.
Capítulo 4
104
No programa de cálculo SAP 2000 a análise dinâmica para um conjunto de cargas móveis
é efectuada modulando no tempo um conjunto de cargas unitárias aplicadas em pares de
nós (correspondentes às rodas) situados no trajecto do comboio, em função da sua posição.
O número de vectores de Ritz que é necessário incluir deverá assim ser um múltiplo do
número de carregamentos base, ou seja, um múltiplo de 83. Assim, foram realizados
diferentes cálculos com k× 83 modos (k a variar de 1 a 8), perfazendo análises com 83,
166, 249, 332, 415, 498, 581, 664 e 747 vectores de Ritz. As análises foram realizadas com
um intervalo de tempo de 0,0008 s e para as duas frequências máximas de 30 e 60 Hz.
Os coeficientes de amortecimento modais foram calculados usando a curva de
amortecimento de Rayleigh utilizada nas análises pelos métodos de Newmark e da
sobreposição modal.
Nas figuras 4.16 e 4.17 apresentam-se gráficos relativos à evolução temporal da aceleração
a meio vão do 1º e 5º tramos, em função do número de vectores de Ritz considerados nas
análises. Verifica-se que as respostas tornam-se praticamente coincidentes a partir de
498 (= 6× 83) vectores de Ritz, com excepção no ponto médio do 1º vão, que necessita de
581 (= 7× 83) vectores de Ritz. Tal facto está directamente ligado ao carácter impulsivo da
solicitação, que para os nós mais afastados do primeiro ponto de contacto perde influência,
logo não necessitam de tantos modos. Este facto torna o primeiro ponto analisado como o
mais condicionante, pois este obriga à utilização de pelo menos 581 vectores para se obter
uma resposta correcta em todo o domínio temporal. Este último valor traduz-se num rácio
entre o número de vectores e de nós de 7. Este valor indicativo é superior ao indicado em
Clough e Penzien (1993) que aponta para o valor de 2. Os registos apresentados
correspondem a registos filtrados por intermédio de um filtro digital do tipo passa-baixo
com frequência de corte igual à frequência máxima.
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
498
581
664
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
415
498
581
a) b)
Figura 4.16 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 1º tramos obtida por sobreposição de
vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz, em função do número
de vectores
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
105
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.30
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
415
498
581
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
415
498
581
a) b)
Figura 4.17 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 5º tramos obtida por sobreposição de
vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz, em função do número
de vectores
Ao nível dos deslocamentos não se registam diferenças significativas mediante o
incremento do número de vectores de Ritz. Apresenta-se na Figura 4.18 os deslocamentos
para os dois pontos em análise.
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
83
166
249
332
415
498
581
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
83
166
249
332
415
498
581
a) b)
Figura 4.18 – Evolução temporal do deslocamento vertical obtida por sobreposição de vectores de
Ritz, obtida para o: a) meio vão do 1º tramo e b) meio vão do 5º tramo, em função do número de
vectores
Uma vez que o número de vectores a considerar na análise desempenha um papel fulcral,
optou-se por efectuar também a comparação ao nível das envolventes máximas de
acelerações para as duas frequências de corte em estudo (figuras 4.19 e 4.20).
Capítulo 4
106
0.00
0.30
0.60
0.90
1.20
1.50
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
498
581
664
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
415
498
581
a) b)
Figura 4.19 – Envolvente da aceleração a meio vão do 1º tramo, obtida por sobreposição de
vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz, em função do número
de vectores
0.00
0.30
0.60
0.90
1.20
1.50
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
415
498
581
0.00
0.30
0.60
0.90
1.20
1.50
1.80
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
415
498
581
a) b)
Figura 4.20 – Envolvente da aceleração a meio vão do 5º tramo, obtida por sobreposição de
vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz, em função do número
de vectores
A análise das figuras anteriores vem reforçar as conclusões já retiradas ao nível dos
registos temporais, nomeadamente a necessidade de se efectuar a análise com, pelo menos,
581 vectores de modo a que as acelerações do ponto médio do primeiro vão sejam
convenientemente traduzidas.
Apresentam-se agora, nas figuras 4.21 e 4.22 os registos temporais, em função do passo de
integração, considerando 581 na análise por vectores de Ritz.
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
107
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0015 s
0.0013 s
0.0010 s
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0013 s
0.0010 s
0.0008 s
a) b)
Figura 4.21 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 1º tramo obtida pelo método da
sobreposição dos vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0015 s
0.0013 s
0.0010 s
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]0.0015 s
0.0013 s
0.0010 s
a) b)
Figura 4.22 – Evolução temporal da aceleração a meio vão do 5º tramo obtida pelo método da
sobreposição dos vectores de Ritz, considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60Hz
A observação dos gráficos permite retirar conclusões idênticas às que foram obtidas para o
método de Newmark, ou seja, um t∆ = 0,0015 s, para a frequência máxima de 30 Hz, e
t∆ = 0,0013 s, para frequência máxima de 60 Hz. Uma vez que a análise computacional é
a mesma para as duas frequências de corte, é o valor mais elevado da frequência que
condiciona o passo de integração.
Nos Quadros 4.5 e 4.6 apresenta-se o estudo comparativo da aceleração máxima, mas para
uma velocidade de circulação do comboio de 300 km/h. Entre parênteses encontra-se o
erro relativo, tomando como base o registo obtido por integração directa, com um intervalo
de tempo de 0,0005 s.
Capítulo 4
108
Quadro 4.5 – Aceleração máxima para o ponto médio do primeiro vão
30 Hz 60 Hz 30 Hz 60 Hz0,0025
0,0020 1,25 1,32[24%] [31%]
0,0015 1,16 2,66 1,24 2,82[15%] [7%] [23%] [13%]
0,0013 1,08 2,59 1,15 2,72[7%] [4,1%] [14%] [9%]
0,0010 1,03 2,65 1,07 2,70[2%] [6,4%] [6%] [9%]
0,0008 0,98 2,43 1,00 2,45[-2%] [-2%] [-1%] [-2%]
0,0005 1,00 2,47[-0.9%] [-1%]
Intervalo de tempo
Ritz Integração directa
-
- -
- - -
2,491,01
Quadro 4.6 – Aceleração máxima para o ponto médio do 5º vão
30 Hz 60 Hz 30 Hz 60 Hz0,0025
0,0020 0,54 0.620[-4%] [10%]
0,0015 0,62 0,84 0,62 0,89[10%] [0%] [9%] [6%]
0,0013 0,62 0,85 0,60 0,89[9%] [1%] [7%] [6%]
0,0010 0,60 0,85 0,59 0,88[6%] [1%] [4%] [5%]
0,0008 0,58 0,87 0,57 0,85[2%] [3%] [1,4%] [0,8%]
0,0005 0,56 0,85[0%] [1%]
Intervalo de tempo
Ritz Integração directa
- - -
0,56 0,84
-
- -
Mais uma vez fica patente um bom ajuste do método de Ritz à integração directa. Quanto
ao passo de integração registam-se erros relativos pequenos para valores inferiores a
0,0013 s. Assim, da análise dos resultados apresentados parece adequado considerar o
valor de 0,0010 s para a realização das análises dinâmicas. Nas figuras 4.23 e 4.24
encontra-se a confrontação dos resultados obtidos considerando um passo de integração de
0,0010 s e 0,0008 s, e que demonstram a adequação do intervalo de tempo mais elevado.
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
109
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0008 s
0.0010 s
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0008 s
0.0010 s
a) b)
Figura 4.23 – Envolvente de acelerações, função do intervalo de tempo, para o ponto médio do
primeiro vão, por Ritz, para frequências de corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0008 s
0.0010 s
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
0.0008 s
0.0010 s
a) b)
Figura 4.24 – Envolvente de acelerações, função do intervalo de tempo, para o ponto médio do
primeiro vão, por Ritz, para frequências de corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz
4.4.6 - Comparação dos resultados obtidos pelos diversos métodos
4.4.6.1 - Em termos de precisão
A comparação de resultados foi efectuada para os dois pontos em estudo e para as duas
frequências de corte consideradas anteriormente. Nas figuras 4.26 a 4.28 apresenta-se a
comparação das diferentes metodologias ao nível de acelerações e deslocamentos.
Capítulo 4
110
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
a) b)
Figura 4.25 – Comparação da aceleração para o ponto médio do primeiro vão, para frequências de
corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
a) b)
Figura 4.26 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 5º vão, para frequência de corte de:
a) 30 Hz e b) 60Hz
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
Estático
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
Estático
a) b)
Figura 4.27 – Comparação do deslocamento vertical para os pontos médios do: a) primeiro vão e
b) 5º vão
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
111
Torna-se patente, da análise das figuras, que o método da sobreposição modal proporciona
resultados diferentes dos obtidos através das outras metodologias. Este factor toma especial
dimensão ao nível dos deslocamentos, onde não é atingido o máximo deslocamento
estático. Nota-se um ajuste perfeito entre o método de Ritz e a integração directa, o que
valida a utilização desta metodologia na realização da análise dinâmica.
O problema da sobreposição modal prende-se com a tentativa de descrever a estrutura à
custa de modos de vibração globais, quando a estrutura apresenta uma elevada
sensibilidade aos modos locais. Por seu turno, o método de Ritz começa por considerar a
deformada estática da estrutura, ou seja, entra com a solicitação para a resolução do
problema dinâmico, enquanto no método da sobreposição modal esta não é considerada.
Nota-se também uma melhoria do ajuste na sobreposição modal aquando do incremento da
frequência de corte. Tal está relacionado com o facto de as frequências mais elevadas
terem uma maior contribuição na resposta, e o método sobreposição modal conseguir
captar modos de carácter mais local neste novo limite, esbatendo as diferenças que se
registam no primeiro caso.
Um aspecto a referir prende-se com o incremento do nível de aceleração que se regista
aquando da passagem de 30 para 60 Hz como limite superior da análise dinâmica,
obtendo-se para o ponto médio do primeiro vão um acréscimo de, aproximadamente,
400 %, a que correspondente passagem de um valor máximo da aceleração de 0,30 para
1,50 m/s2. Este aspecto é de particular interesse, pois pode condicionar o dimensionamento
das estruturas submetidas a tráfego ferroviário.
No intuito de avaliar as diferenças de um modo mais generalista procedeu-se à comparação
das envolventes de acelerações e deslocamentos (figuras 4.28 a 4.30).
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
a) b)
Figura 4.28 – Envolvente de acelerações para o ponto médio do primeiro vão, para frequências de
corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz
Capítulo 4
112
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
a) b)
Figura 4.29 – Envolvente de acelerações para o ponto médio do 5º vão, para frequência de corte de:
a) 30 Hz e b) 60Hz
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
Estático
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Sobreposição modal
Integração directa
Ritz
Estático
a) b)
Figura 4.30 – Envolvente do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão e b) ponto
médio do 5º vão
Mais uma vez fica patente a inadequação do método da sobreposição modal para o estudo
da presente estrutura. É especialmente notório a incapacidade do método conseguir captar
a resposta estática (Figura 4.30 a)). No que concerne ao método de Ritz, este apresenta-se
como uma solução muito adequada, pois concilia a rapidez de cálculo proporcionada pelo
desacoplamento das equações de equilíbrio dinâmico, com a precisão fornecida pelo
método de integração directa.
Quanto aos resultados é de salientar que não existe uma única velocidade de ressonância,
mas existem amplificações dinâmicas significativas ao nível das acelerações para diversas
velocidades. Tal está relacionado com o facto de a estrutura evidenciar muitos modos de
carácter local, não existindo um único que condicione toda a resposta. Ao nível das
acelerações, obteve-se uma maior intensidade para o ponto médio do primeiro vão, o que já
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
113
seria de esperar em virtude da menor rigidez evidenciado pelo tramo em que este está
contido. Um aspecto a realçar é o facto de, a partir dos 360 km/h, se registar um aumento
significativo, e quase constante, da aceleração máxima, sendo que este aumento se regista
não só nos dois nós em estudo, mas também para as duas frequências de corte estudadas, o
que evidência uma velocidade acima dos 420 km/h que excita a estrutura de um modo
muito significativo.
4.4.6.2 - Em termos de tempo de cálculo
No Quadro 4.7 comparam-se os tempos de cálculo para os diferentes métodos, para duas
velocidades de circulação do comboio, 200 e 300 km/h, e frequências máximas de 30 e
60 Hz. As integrações no domínio do tempo foram efectuadas com incrementos de tempo
de 0,0010 s.
Quadro 4.7 - Comparação de tempos de cálculo (em segundos) para os diferentes métodos de
análise
Velocidade
(km/h)
Frequência
máxima (Hz)
Integração
directa
Sobreposição
modal
Sobreposição de
vectores de Ritz
30 Hz 3000 48 83 200
60 Hz 52
30 Hz 2016 32 57 300
60 Hz 35
A observação da tabela permite concluir que os menores tempos de cálculo foram obtidos
para o método da sobreposição modal, seguido, com tempos ligeiramente superiores, pelo
método da sobreposição de vectores de Ritz e, com tempos de cálculo muito superiores,
pelo método de integração directa.
Aos tempos de cálculo indicados para uma análise há que adicionar o tempo de cálculo
(inicial) para a determinação dos modos de vibração ou dos vectores de Ritz. Nesse caso
foram necessários 2 m e 57 s para a determinação dos 27 modos de vibração utilizados nas
análises para a frequência máxima de 30 Hz, e 47 m e 7 s para a determinação dos 138
modos de vibração utilizados nas análises para a frequência máxima de 60 Hz. No caso dos
vectores de Ritz foi necessário 6 m e 12 s para a determinação dos 581 vectores incluídos
nas análises.
Capítulo 4
114
No caso dos métodos de integração directa e da sobreposição de vectores de Ritz há ainda
que adicionar a estes tempos o tempo de pós-processamento correspondente à aplicação de
filtros digitais do tipo passa-baixo para limitação das frequências à frequência máxima
pretendida.
É de salientar que os tempos de cálculo apresentados são relativos ao modelo simplificado.
No modelo mais complexo os tempos são bastante superiores, apresentando-se na Figura
4.31 os tempos relativos a uma análise pelo método de Ritz, com um incremento de tempo
de 0,0010 s para um comboio TGV. O tempo encontra-se indicado para cada velocidade. A
adicionar a este tempo ainda se deve adicionar 10 m para a determinação dos números de
vectores de Ritz.
0:00:00
0:05:00
0:10:00
0:15:00
0:20:00
0:25:00
0:30:00
0:35:00
0:40:00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Tem
po d
e cá
lcul
o
Figura 4.31 – Tempo de cálculo por velocidade
4.4.7 - Validação do modelo elástico linear para a interacção com o maciço
No intuito de validar a idealização elástica linear para a interacção entre o solo e as estacas
compararam-se os deslocamentos horizontais da estaca localizada na extremidade da
segunda fiada (Figura 4.32) com os obtidos por via simplificada a partir do modelo elástico
perfeitamente plástico definido por Santos (1999). Para tal, definiu-se o intervalo para a
variação do cociente entre resistência não drenada e a tensão efectiva em profundidade de
0,20 e 0,40, valores típicos em argilas normalmente consolidadas (Matos Fernandes, 2006).
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
115
0
1
2
3
4
5
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
Deslocamento horizontal [mm]
Pro
fund
idad
e [m
]
Direcção longitudinal
Direcção transversal
Figura 4.32 – Deslocamento horizontal máximo da estaca
Como o deslocamento máximo se regista aproximadamente à profundidade de 4 m, foi
para esta profundidade que se calculou a resistência não drenada, obtendo-se uma variação
entre 5 e 10 kPa.
O cálculo da capacidade de carga do solo, pu, foi efectuado com base na proposta
apresentada em Santos (1999), que a relaciona com a resistência não drenada:
u c up N C B= (4.1)
Nc é um factor adimensional, que simplificadamente pode tomar o valor de 9, pelo que o
valor da capacidade de carga varia entre 22,5 e 45 kPa. Com base no módulo de reacção do
solo calculado no início do presente capítulo é possível determinar o deslocamento que
introduz a plastificação do maciço, estando compreendido, para o presente caso, entre 0,19
e 0,38 mm. No presente cálculo obteve como valor máximo 0,02 mm, valor que se
encontra uma ordem de grandeza abaixo do limite, e que viabiliza a adopção do modelo
linear para a análise dinâmica.
4.5 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Na presente secção pretende-se efectuar uma análise de sensibilidade a alguns parâmetros
que podem influenciar o comportamento dinâmico da estrutura. A análise engloba aspectos
relacionados com as dimensões do modelo, condições fronteira e parâmetros do modelo.
Todas as análises foram realizadas para a passagem do comboio TGV, utilizando para
resolução do problema dinâmico o método de Ritz, com um passo de integração de
Capítulo 4
116
0,0010 s. O número de vectores adoptado teve sempre como base uma relação de 7 entre o
número de modos e o número de pares de nós solicitados.
4.5.1 - Análise de sensibilidade em relação às dimensões do modelo
Tendo em conta os elevados tempos de cálculo resultantes da elevada complexidade do
modelo numérico tentou-se efectuar a optimização do modelo à custa da redução do
número de vãos da estrutura. Assim, concebeu-se um modelo com apenas cinco vãos
(Figura 4.33), tendo-se comparado a resposta em diversos pontos de controlo, de forma a
validar a sua utilização. Os pontos escolhidos foram os pontos médios do 1º, 2º, 3º, 9º e 10º
vãos do modelo completo, por estarem em correspondência com os pontos médios do 1º,
2º, 3º, 4º e 5º vãos do modelo optimizado. Escolheu-se também o ponto médio do primeiro
tramo localizado na consola de forma a se conseguir comparar os modelos num ponto
localizado fora da zona de principal influência do carregamento.
Figura 4.33 – Modelo optimizado
A análise comparativa foi efectuada ao nível das acelerações, visto ser a grandeza mais
sensível. Nas figuras 4.34 a 4.39 apresenta-se a comparação para os diferentes nós.
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
117
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
a) b)
Figura 4.34 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 1º vão, para frequências de corte
de: a) 30 Hz e b) 60Hz
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
a) b)
Figura 4.35 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 2º vão, para frequências de corte
de: a) 30 Hz e b) 60Hz
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
a) b)
Figura 4.36 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 3º vão, para frequências de corte
de: a) 30 Hz e b) 60Hz
Capítulo 4
118
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
a) b)
Figura 4.37 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 9º/4º vão, para frequências de corte
de: a) 30 Hz e b) 60Hz
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
a) b)
Figura 4.38 – Comparação da aceleração para o ponto médio do último vão, para frequências de
corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
modelo pequeno
modelo normal
a) b)
Figura 4.39 – Comparação da aceleração para a consola, para frequências de corte de: a) 30 Hz e
b) 60Hz
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
119
Conforme se verifica da análise das figuras anteriores, o modelo com menor dimensão
proporciona, em termos globais, resultados bastante concordantes com os obtidos com o
modelo completo. Para além do mais, proporciona uma redução significativa do tempo de
importação e cálculo, que passa de 700 m para 300 m. No entanto, uma análise mais
detalhada aos resultados, nomeadamente à análise até aos 60 Hz, mostra alteração não só
ao nível do valor máximo da aceleração, como também na velocidade a que esse valor é
atingido. Este fenómeno é claro nas Figuras 4.34 b) e 4.38 b). Esta maior divergência entre
os dois modelos para 60 Hz está relacionada com o facto de no modelo com menor
dimensão não surgirem modos locais da laje que surgem no modelo completo, em virtude
do seu maior desenvolvimento. Daí que, seja preferível adoptar para as modelações futuras
o modelo normal, pois o modelo de menores dimensões, apesar de proporcionar uma
redução significativa do tempo de cálculo, não garante um ajuste adequado ao modelo
normal.
4.5.2 - Análise de sensibilidade em relação à não inclusão da via
No Capítulo 2 ficou evidenciado que as estruturas com pequeno vão são muito sensíveis à
existência da via. Conforme já se referiu no início do presente capítulo, concebeu-se um
modelo da estrutura que incorpora a via férrea e o solo envolvente. De modo a comparar a
influência da existência da via apresenta-se, nas figuras seguintes, os resultados obtidos,
em termos de envolventes, para os dois pontos em estudo.
É de salientar que no modelo com via as análises foram apenas realizadas a partir dos
150 km/h, devido a um limite interno do programa de cálculo automático utilizado nas
análises dinâmicas. No entanto, isto não constitui qualquer tipo de problema, pois as
velocidades condicionantes encontram-se sempre acima deste valor.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
com via
sem via
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
com via
sem via
a) b)
Figura 4.40 – Envolvente de acelerações, para o ponto médio do primeiro vão, para frequências de
corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz
Capítulo 4
120
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
com via
sem via
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
com via
sem via
a) b)
Figura 4.41 – Envolvente de acelerações, para o ponto médio do 5º vão, para frequências de corte
de: a) 30 Hz e b) 60Hz
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
com via
sem via
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
com via
sem via
a) b)
Figura 4.42 – Envolvente do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão e b) ponto
médio do 5º vão
Como se verifica a modelação na qual é desprezada a via proporciona resultados superiores
ao nível das acelerações e dos deslocamentos. Tal está relacionado com o facto de a
existência da via proporcionar uma degradação da carga, sendo esta aplicada na laje de
uma forma mais distribuída. Este facto é visível na Figura 4.43, onde se compara a
evolução da carga aplicada ao nó localizado no ponto médio do primeiro vão, sobre o carril
do lado direito. É notório a diminuição da grandeza da solicitação, assim como da sua
maior largura de influência.
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
121
-20
0
20
40
60
80
100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tempo [s]
Car
ga [k
N]
com via
sem via
Figura 4.43 – Comparação da solicitação aplicada à estrutura
Um outro aspecto a realçar prende-se com o incremento da diferença que se regista entre
os dois modelos nas análises a 30 Hz e a 60 Hz. Enquanto para a análise até 30 Hz as
diferenças entre os dois modelos são moderadas, ocorrendo essencialmente ao nível dos
valores de pico, na análise a 60 Hz as diferenças aumentam abruptamente, o que demonstra
que a via férrea funciona como um filtro para frequências elevadas. Este fenómeno está
ligado ao carácter impulsivo que a solicitação tem no modelo sem via aquando da sua
aplicação, que funciona como uma excitação banda larga, ou seja, excita um maior
conteúdo espectral do que no modelo com via. Daí que a sua modelação se revista de
especial importância, pois proporciona não só a redução do nível de carga transmitido à
estrutura, como também funciona como um filtro para frequências elevadas.
4.5.3 - Análise de sensibilidade em relação às propriedades da via
Na presente secção pretende-se efectuar uma análise relativa à sensibilidade do modelo
relativamente aos parâmetros sobre os quais existem incertezas na caracterização.
Inserem-se neste grupo os valores caracterizadores da via, nomeadamente do balastro e das
palmilhas.
Um dos aspectos mais de maior dificuldade na concepção do modelo numérico adoptado
na presente dissertação consistiu na parametrização das propriedades da via. Existem na
bibliografia diversos valores para caracterizar as propriedades do balastro e das palmilhas,
pelo que se optou por efectuar um estudo comparativo da influência destes parâmetros ao
nível da aceleração e dos deslocamentos na laje.
Capítulo 4
122
O estudo da rigidez do balastro foi conduzido para dois cenários de análise, que pretendem
constituir um limite superior e inferior da grandeza deste parâmetro (kb, s e kb, i). Assim,
considerou-se para a rigidez superior do balastro o valor de 500 MN/m, e para valor
inferior 20 MN/m. Nas figuras 4.44 a 4.46 apresenta-se a confrontação dos resultados, face
ao modelo com via adoptado anteriormente.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Base
kb, s
kb, i
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]A
cele
raçã
o [m
/s2 ]
Base
kb, s
kb, i
a) b)
Figura 4.44 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 1º vão, para frequências de corte
de: a) 30 Hz e b) 60Hz
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Base
kb, s
kb, i
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Base
kb, s
kb, i
a) b)
Figura 4.45 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 5º vão, para frequências de corte
de: a) 30 Hz e b) 60Hz
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
123
-0.25
-0.23
-0.20
-0.18
-0.15
-0.13
-0.10
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Base
kb, s
kb, i
-0.25
-0.23
-0.20
-0.18
-0.15
-0.13
-0.10
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Base
kb, s
kb, i
a) b)
Figura 4.46 – Comparação do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão e
b) ponto médio do 5º vão
Ao nível dos deslocamentos não existem diferenças significativas no que concerne à
influência da rigidez do balastro. Já ao nível das acelerações verifica-se para o ponto médio
do 5º vão que o incremento da rigidez proporciona um acréscimo do valor da aceleração.
Quanto ao ponto localizado no primeiro tramo verifica-se, para a análise a 60 Hz, que o
aumento de rigidez proporciona um aumento da aceleração. O mesmo não se passa ao
nível dos 30 Hz, onde ocorre um decréscimo. O aumento da magnitude da aceleração com
a rigidez do balastro é facilmente perceptível, pois a plataforma da via torna-se mais rígida,
logo a solicitação é mais pontual.
O estudo da rigidez das palmilhas também foi realizado para dois limites, superior e
inferior, kp, s e kp, i. Considerou-se 1000 MN/m para o valor máximo da rigidez e 50 MN/m
para o mínimo. Os resultados encontram-se nas figuras 4.47 a 4.49.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Base
Kp, s
kp, i
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Base
Kp, s
kp, i
a) b)
Figura 4.47 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 1º vão, para frequências de corte
de: a) 30 Hz e b) 60Hz
Capítulo 4
124
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Base
Kp, s
kp, i
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Base
Kp, s
kp, i
a) b)
Figura 4.48 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 5º vão, para frequências de corte
de: a) 30 Hz e b) 60Hz
-0.25
-0.23
-0.20
-0.18
-0.15
-0.13
-0.10
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Base
kp, s
kp, i
-0.25
-0.23
-0.20
-0.18
-0.15
-0.13
-0.10
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Base
kp, s
kp, i
a) b)
Figura 4.49 – Comparação do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão e
b) ponto médio do 5º vão
Denota-se das figuras anteriores que o valor da rigidez das palmilhas não possui qualquer
efeito na aceleração e deslocamento da laje. Tal deve-se ao facto de o balastro exibir uma
rigidez inferior, ou seja, é este que condiciona todo o processo de transmissão da
solicitação da via à laje.
4.5.3.1 - Análise de sensibilidade em relação às condições fronteira da via
O estudo da condição de apoio do carril reveste-se de importância, pois vai influenciar a
condição inicial recebida pela estrutura. Para efectuar a comparação, foram realizados mais
dois modelos, um que consiste unicamente na substituição dos apoios extremos do carril de
encastramentos para apoios duplos e outro modelo, mais complexo, que consiste no
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
125
prolongamento da via para além da estrutura (Figura 4.50). Neste novo modelo as análises
tiveram que ser realizadas a partir dos 160 km/h, mais uma vez, devido a um limite interno
do programa de cálculo, que foi atingido devido ao incremento do número de graus de
liberdade.
Figura 4.50 – Modelo com prolongamento da via
Da Figura 4.51 à 4.53 apresentam-se os resultados da comparação entre os três modelos.
Nesta comparação optou-se por também se apresentar o ponto médio do último vão, uma
vez que o incremento de rigidez proporcionado pela via tem um funcionamento diferente
do existente no ponto médio do primeiro vão.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Encastramento
Apoio duplo
Via
0.00
0.40
0.80
1.20
1.60
2.00
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Encastramento
Apoio duplo
Via
a) b)
Figura 4.51 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 1º vão, para frequências de corte
de: a) 30 Hz e b) 60Hz
Capítulo 4
126
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Encastramento
Apoio duplo
Via
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Encastramento
Apoio duplo
Via
a) b)
Figura 4.52 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 5º vão, para frequências de corte
de: a) 30 Hz e b) 60Hz
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Encastramento
Apoio duplo
Via
0.00
0.40
0.80
1.20
1.60
2.00
2.40
2.80
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Encastramento
Apoio duplo
Via
a) b)
Figura 4.53 – Comparação da aceleração para o ponto médio do último vão, para frequências de
corte de: a) 30 Hz e b) 60Hz
Conforme se constata, os resultados proporcionados pelos três modelos são bastante
distintos. É notório que a existência de via antes da estrutura proporciona uma redução do
nível de aceleração no primeiro tramo, o que está relacionado com o carácter menos
impulsivo que a solicitação exibe neste caso, acontecendo o mesmo para o último vão. É
também de salientar o facto de as diferenças serem mais significativas para a análise a 60
do que a 30 Hz, o que reforça, uma vez mais, o funcionamento da via como um filtro.
Verifica-se que na análise a 30 Hz existe uma concordância de resultados para as
velocidades mais elevadas, acima dos 350 km/h, não acontecendo o mesmo para a análise a
60 Hz onde o modelo com prolongamento da via proporciona resultados sempre inferiores
aos restantes modelos.
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
127
Saliente-se também o facto de as diferenças registadas no ponto médio do 5º tramo serem
menos acentuadas do que nos restantes, o que já seria de esperar, uma vez que este ponto já
se encontra algo distante da condição fronteira, logo a sua influência é menos acentuada.
Comparando os modelos que não possuem prolongamento da via, verifica-se que existe
uma predominância do modelo com encastramento para ser mais gravoso na análise a
30 Hz, enquanto para 60 Hz o modelo com apoio duplo proporciona uma maior magnitude
ao nível da aceleração.
Ao nível dos deslocamentos (Figura 4.54) os resultados são menos sensíveis à condição de
apoio do carril, embora se denote uma maior amplificação dinâmica no modelo que possui
a via modelada.
-0.25
-0.23
-0.20
-0.18
-0.15
-0.13
-0.10
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Encastramento
Apoio duplo
Via
-0.25
-0.23
-0.20
-0.18
-0.15
-0.13
-0.10
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Encastramento
Apoio duplo
Via
a) b)
-0.25
-0.23
-0.20
-0.18
-0.15
-0.13
-0.10
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Encastramento
Apoio duplo
Via
c)
Figura 4.54 – Comparação do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão,
b) ponto médio do 5º vão e c) ponto médio do último vão
4.5.4 - Análise de sensibilidade em relação às propriedades do solo envolvente
Quanto ao estudo da variação da rigidez do solo, consideraram-se dois cenários: o primeiro
no qual este exibia uma rigidez com uma ordem de grandeza superior; e um segundo no
Capítulo 4
128
qual a rigidez era uma ordem de grandeza inferior à do modelo base (ks, s = 1193 MPa e
ks, i = 11,93 MPa). Os resultados são apresentados nas figuras 4.55 à 4.57.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Base
ks, s
ks, i
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Base
ks, s
ks, i
a) b)
Figura 4.55 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 1º vão, para frequência de corte de:
a) 30 Hz e b) 60Hz
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Base
ks, s
ks, i
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Base
ks, s
ks, i
a) b)
Figura 4.56 – Comparação da aceleração para o ponto médio do 5º vão, para frequência de corte de:
a) 30 Hz e b) 60Hz
-0.25
-0.23
-0.20
-0.18
-0.15
-0.13
-0.10
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Base
ks, s
ks, i
-0.25
-0.23
-0.20
-0.18
-0.15
-0.13
-0.10
140 180 220 260 300 340 380 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Base
ks, s
ks, i
a) b)
Figura 4.57 – Comparação do deslocamento vertical para: a) ponto médio do primeiro vão e
b) ponto médio do 5º vão
Modelação numérica da laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres
129
Mais uma vez fica patente a pouca influência desta propriedade ao nível do
comportamento dinâmico da laje. Verifica-se no entanto, que ao nível dos deslocamentos o
modelo com menor rigidez proporciona resultados superiores, o que se deve ao menor
confinamento das estacas. Ao nível das acelerações não se registam alterações muito
significativas, ocorrendo uma pequena flutuação da velocidade de ressonância no modelo
com menor rigidez, facto este que é devido à menor pressão exercida sobre as estacas, o
que torna a estrutura mais flexível e concomitantemente proporciona a ressonância a uma
velocidade inferior.
4.6 - CONCLUSÕES
No presente capítulo efectuou-se uma análise dinâmica preliminar que envolveu a
comparação de diversos metodologias para resolução das equações de equilíbrio dinâmico,
assim como foi realizado um estudo relativamente à optimização numérica do modelo. A
finalizar efectuou-se um estudo paramétrico relativo à sensibilidade do comportamento
dinâmico da laje.
O estudo preliminar permitiu constatar que o método da sobreposição modal é pouco
adequado para a análise deste tipo de estrutura, em virtude do seu comportamento
evidenciar muitos modos locais. Ficou claro, que o método de Ritz, é a melhor alternativa
para a resolução numérica do problema dinâmico, pois alia a rapidez numérica
proporcionada pelo desacoplamento das equações de equilíbrio dinâmico, à precisão obtida
pelo método de Newmark, tido como o mais rigoroso. Este apresenta a enorme
desvantagem de necessitar de um tempo de cálculo muito superior ao anterior, em virtude
de resolver o sistema de equações com a dimensão do número de graus de liberdade do
problema.
Ficou também claro a influência que a modelação da via proporciona ao nível das
acelerações, conseguindo-se obter uma redução significativa da magnitude das acelerações
à custa da sua introdução. Esta redução é conseguida devido à degradação da carga que a
via proporciona, ficando também claro que para maiores frequências essas reduções são
mais significativas. Tal é devido ao facto de a carga ao perder o seu carácter pontual, excita
um menor conteúdo espectral, logo as diferenças entre as duas situações tendem a
aumentar na análise a 60 Hz.
O modelo adoptado é possível de ser optimizado à custa da redução do número de graus de
liberdade, ou seja, reduzindo o número de vãos. No entanto, surgem algumas diferenças ao
nível dos resultados, que não garantem a correcta tradução de toda a estrutura. Contudo,
Capítulo 4
130
em análises de projecto é perfeitamente admissível a utilização de um modelo mais
pequeno para as análises dinâmicas de carácter mais global, pois os resultados
proporcionados pelos dois métodos são similares e, caso seja necessário, efectuar uma
análise dinâmica com o modelo mais complexo para esclarecer alguma singularidade da
estrutura.
Um dos aspectos de maior dificuldade para a construção do modelo numérico prendeu-se
com a caracterização das propriedades da via. Todavia, ficou demonstrando que a
influência dos seus valores não é muito significativa, especialmente ao nível do solo e das
palmilhas. O que se demonstra como fundamental é a sua inclusão para proporcionar uma
correcta degradação das cargas pela laje, sendo que os valores caracterizadores dos seus
parâmetros desempenham um papel secundário. O elemento que se revelou como o mais
influente foi o balastro, embora de uma forma relativamente moderada. A análise superior
foi realizada para uma rigidez de 500 MPa, valor que dificilmente se conseguirá atingir
numa via férrea. Daí que, tendo em conta o grande intervalo de variação da rigidez, 20 a
500 MPa, se possa considerar que a grandeza deste parâmetro não desempenha um papel
preponderante na análise.
Ao nível da influência da condição de apoio do carril, ficou claro que é importante modelar
a via que existe antes e depois da estrutura, pois o acréscimo de rigidez proporcionado pela
ligação vai permitir uma redução do nível de aceleração, especialmente ao nível do
primeiro vão. Daí que seja fundamental para uma correcta tradução do campo de
acelerações e deslocamentos da estrutura considerar estes elementos adicionais na análise.
CAPÍTULO 5
AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DA LAJE
SOBRE ESTACAS DA LIGAÇÃO CANAL DA
MANCHA-LONDRES
5.1 - INTRODUÇÃO
A interoperabilidade das redes ferroviárias de alta velocidade obriga à realização de
detalhadas análises, de forma a ser garantida a segurança do tráfego ferroviário e o
conforto dos passageiros, sendo que a segurança deve ser garantida não só do ponto de
vista estrutural, como também ao nível da via. A mais recente regulamentação europeia
define critérios que as estruturas têm que cumprir, de modo a verificar cada um destes
critérios.
O objectivo do presente capítulo passa por determinar a resposta dinâmica da laje sobre
estacas para o conjunto dos comboios reais, e dos HSLM, de forma a avaliar o desempenho
da estrutura do ponto de vista da segurança estrutural, da via, e do conforto dos
passageiros. No final apresentam-se os resultados provenientes da análise estática da
estrutura, efectuando a comparação destes, com os provenientes da análise dinâmica.
Capítulo 5
132
5.2 - REQUISITOS DE ANÁLISE DINÂMICA
5.2.1 - Justificação da realização de análise dinâmica
O cálculo de estruturas submetidas a tráfego ferroviário de alta velocidade é regulamentado
pelo Eurocódigo 1 (EN1991-2, 2003), o qual define o tipo e as características da análise, os
esquemas de cargas e as grandezas a estudar.
A necessidade de realização de análise dinâmica é apresentada no Eurocódigo 1 sob a
forma de um fluxograma (Figura 5.1).
INÍCIO
V � 200 km/h
Estrutura simples(1)
Ponte contínua(5)
L � 40 m
n0 dentro dos limites indicados na figura 2.4
(6)
nT > 1,2 n0
Nas análises dinâmicas incluir
os modos de torção e flexão
Utilizar quadros F1 e F2(2)
vlim /n0 � (v/n0) lim
(2) (3)
É suficiente considerar apenas os modos de flexão
É necessário realizar uma análise dinâmica. Calcular a aceleração
do tabuleiro e ϕ'dyn etc.de acordo com o indicado em
6.4.6 (4)
Não é necessário realizar umaanálise dinâmica.
Em ressonância, não é necessário efectuar as verificações de aceleração e fadiga. Efectuar uma análise estática eutilizar Φ de acordo com o indicado em
6.4.3 (1) P (3)
SIM
NÃO
NÃO
SIM
NÃO SIM
NÃO SIM
SIM
NÃO
SIM
NÃO
SIM
NÃO
Figura 5.1 - Avaliação da necessidade de realização de análise dinâmica (adaptado de
EN1991-2, 2003)
A necessidade de realização de análise dinâmica é determinada pela velocidade de
circulação do comboio, pela tipologia estrutural, pelo vão e pelas frequências naturais de
vibração.
Para a estrutura em questão é necessário proceder-se a uma análise dinâmica, pois a
velocidade de circulação é superior a 200 km/h e não se trata de uma estrutura simples,
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
133
uma vez que o seu comportamento não é assimilável ao de uma estrutura simplesmente
apoiada.
5.2.2 - Cenário de carregamento
5.2.2.1 - Comboios reais
Os comboios que circulam na actual rede de alta velocidade europeia podem ser
classificados de acordo com a sua configuração em:
iii) Convencionais, em que cada carruagem possui dois bogies. É o caso dos comboios
ICE2, ETR-Y e Virgin (Figura 5.2);
iv) Articulados, com bogies nas articulações entre as carruagens. Pertencem a este
grupo os comboios Thalys, TGV e Eurostar (Figura 5.3);
v) Articulados, com bogies nas articulações entre as carruagens. Pertencem a este
grupo os comboios Thalys, TGV e Eurostar (Figura 5.3);
a) b) c)
Figura 5.2 – Comboios: a) ICE2 (http://www.ii-niku.com/); b) ETR-Y
(http://www.amicitreni.com/) e c) Virgin (http://image2.miodio.co.kr/)
a) b) c)
Figura 5.3 – Comboios: a) Thalys (http://www.eurodestination.com/); b) TGV
(http://acoustique.ec-lyon.fr/) e c) Eurostar (http://www.therailwaycentre.com/)
Capítulo 5
134
a) b)
Figura 5.4 – Comboios: a) Talgo (http://www.railway-technology.com/) e b) AVE
(http://www.turismomadrid.es/)
5.2.2.2 - Comboios do High Speed Load Model (HSLM)
O esquema de cargas dos HSLM tem o objectivo de cobrir os efeitos do tráfego, actual e
futuro, na rede europeia de alta velocidade. Existem duas famílias de comboios HSLM (A
e B) cuja aplicação depende do vão e do grau de complexidade da estrutura, estando a sua
utilização definida na EN1991-2 (Quadro 5.1).
Quadro 5.1 - Aplicação dos HSLM-A e B (adaptado de EN1991-2, 2003)
Esquema estrutural L < 7 m L ≥ 7 m
Tramo Simplesmente
Apoiado a HSLM-B b HSLM-A c
Estrutura Continua a
ou
Estrutura Complexa e
HSLM-A
Comboios A1 a A10
inclusivé d
HSLM-A
Comboios A1 a A10
inclusive d a Válido para pontes simplesmente apoiadas com comportamento assemelhável ao de viga ou laje sem
viés;
b Para tramos simplesmente apoiados com vão até 7 m apenas um único comboio crítico do modelo de
cargas HSLM-B deverá ser usado para as análises dinâmicas, de acordo com 6.4.6.1.1 (5);
c Para tramos simplesmente apoiados com vão superior ou igual a 7 m apenas um único comboio crítico
do modelo de cargas HSLM-A é usado nas análises dinâmicas, de acordo o Anexo E (em alternativa
todos os comboios A1 a A10 podem ser usados);
d Todos os comboios de A1 a A10 inclusive devem ser usados no dimensionamento;
e Qualquer estrutura que não cumpra a nota a, como por exemplo, estruturas com viés, pontes em que o
comportamento à torção seja significativo, estruturas em arco onde os modos das vigas principais e da
laje tenham contributos significativos. Para estas estruturas complexas deve igualmente ser aplicado o
HSLM-B.
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
135
A aplicação do quadro à estrutura em questão resulta na necessidade de se proceder à
análise para as duas famílias de comboios, uma vez que se trata de uma estrutura
complexa.
a) Comboios do HSLM-A
Os comboios HSLM-A consistem em 10 comboios, sendo cada um deles formado por duas
carruagens e por um número de locomotivas, N, com cargas por eixo constantes. Os
diferentes comboios são fruto da alteração da grandeza, do número e da distância entre as
cargas de cada eixo do comboio (Figura 5.5 e Quadro 5.2).
D
2xP(3)
(1) Locomotiva (primeira e última são idênticas)(2) Carruagens extremas (primeira e última são idênticas)(3) Carruagens intermédias
d
3.525
3 11 3
D
(2)3xP
(1)4xP
dd
(3)2xP(3)
3xP(2)
d
N x D
(3)2xP(3)
D
(1)4xP
Figura 5.5 – Esquema de cargas do HSLM-A (adaptado de EN1991-2, 2003)
Quadro 5.2 - Características do esquema de cargas HSLM-A (adaptado de EN1991-2, 2003)
Comboio
Universal N D (m) d (m) P (kN)
A1 18 18 2,0 170
A2 17 19 3,5 200
A3 16 20 2,0 180
A4 15 21 3,0 190
A5 14 22 2,0 170
A6 13 23 2,0 180
A7 13 24 2,0 190
A8 12 25 2,5 190
A9 11 26 2,0 210
A10 11 27 2,0 210
Capítulo 5
136
b) Comboios do HSLM-B
Os comboios HSLM-B consistem num conjunto de N cargas, afastadas entre si de d, sendo
estes dois parâmetros escolhidos em função do vão da estrutura (Figura 5.6).
d d d d d d d d d d d d d d d
N ×170kN
a)
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2 0
20
15
10
5
1.51
1.6 2
2.5
2.6
2.8 3 4 5 76
3.2
3.4
3.5
3.6
3.8
4.2
4.4
4.5
4.6
4.8
5.5
5.6
5.8
6.5
L [m]
d [m
]
N
b)
Figura 5.6 – Modelo HSLM-B: a) esquema de cargas e b) parâmetros do modelo
(adaptado de EN1991-2, 2003)
Para o presente caso optou-se por combinar todas as possibilidades existentes na figura e
formar novos comboios, ao invés de se considerar unicamente um único comboio. Com
base na figura é possível identificar dez tipos de comboios, B1 a B10, indicados no
Quadro 5.3. Os comboios podem ser agrupados em quatro famílias, caracterizadas pelo
mesmo afastamento d, variando dentro de cada família o número de cargas que formam
cada comboio.
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
137
Quadro 5.3 - Comboios HSLM-B
Comboio d N
B1 2,50 10
B2 2,50 15
B3 2,50 20
B4 3,00 10
B5 3,00 15
B6 3,00 20
B7 3,25 15
B8 3,25 20
B9 3,50 10
B10 3,50 15
5.2.3 - Gama de velocidades
As análises foram realizadas admitindo um cenário de 350 km/h para a velocidade máxima
de circulação, o que se traduz numa velocidade de dimensionamento de 420 km/h
(1,2× 350 km/h) de acordo com a EN1991-2. Considerou-se um intervalo de velocidades
de 10 km/h, e uma velocidade mínima de circulação de 160 km/h. De acordo com a
regulamentação dever-se-ia considerar uma velocidade mínima de 140 km/h. No entanto,
conforme já foi referido no capítulo anterior, devido ao elevado número de graus de
liberdade do problema o programa atinge um limite interno, pelo que só é possível resolver
o problema dinâmico para uma velocidade de circulação igual ou superior a 160 km/h.
5.2.4 - Método de análise dinâmica
As análises dinâmicas foram efectuadas recorrendo-se ao programa de cálculo SAP 2000.
Para a integração numérica do sistema de equações diferenciais de equilíbrio dinâmico
recorreu-se ao método de Ritz, com um passo de integração de 0,0010 s. De acordo com a
EN1991-2, deverão ser consideradas nas análises frequências até ao máximo de:
i) 30 Hz;
ii) 1,5 vezes a frequência do 1º modo de vibração do elemento estrutural em causa;
iii) incluindo no mínimo os três primeiros modos de vibração.
Capítulo 5
138
Na presente estrutura o limite condicionante é o primeiro, pois a primeira frequência toma
o valor de 15,8 Hz, e a terceira 16,1 Hz.
A análise dinâmica deve ter em consideração o incremento da resposta devido à presença
das irregularidades. Tal é conseguido através da aplicação da seguinte expressão:
''1 '
2din dinyϕϕ + + ×
(5.1)
onde 'dinϕ representa o factor de amplificação dinâmica:
' max 1dindin
stat
y
yϕ = − (5.2)
e ''ϕ é um parâmetro correctivo que incrementa as grandezas da parcela relativa à
irregularidades da via e aos defeitos dos veículos:
2 2
010 20'' 56 50 1100 80
L LL n
e eαϕ
Φ Φ − − Φ
= + −
(5.3)
onde α toma o valor unitário para velocidade de circulação superiores a 80 km/h, n0 é a
primeira frequência natural de vibração e LΦ é o vão determinante que para lajes continuas
toma o valor:
mL k LΦ = × (5.4)
em que Lm é o vão médio e k é um parâmetro adimensional, função do número de vãos,
tomando o valor de 1,5 no presente caso. Para a primeira frequência de 15,8 Hz, um vão o
presente caso o parâmetro ''ϕ é igual a 0,52.
É de salientar que esta correcção não pode ser efectuada ao nível das acelerações, pois
estaticamente as acelerações são nulas, logo a equação (5.2) deixa de ser válida. Esta é uma
das limitações da metodologia preconizada pela regulamentação, pois apenas permite a
correcção dos deslocamentos e dos esforços. Caso se pretendesse avaliar o impacto das
irregularidades ao nível das acelerações seria necessário proceder a um cálculo com
interacção veículo-estrutura.
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
139
5.2.5 - Parâmetros relativos à estrutura
5.2.5.1 - Amortecimento
O amortecimento adoptado foi o preconizado pelo Eurocódigo para estruturas de betão
armado com vãos inferiores a 20 m, adicionado da parcela relativa ao efeito redutor da
interacção estrutura-comboio, tal como já foi considerado nos capítulos anteriores. No
entanto, ao contrário do que foi feito no capítulo anterior, considerou-se o amortecimento
constante para todos os modos, com o valor de 2,7 %.
5.2.5.2 - Gama de frequências
No presente capítulo optou-se por estudar para além do limite regulamentar, o impacto que
as novas investigações, que apontam para um limite superior da frequência de 60 Hz,
teriam sobre as verificações de segurança preconizadas pela regulamentação.
5.3 - EVOLUÇÃO TEMPORAL DAS RESPOSTAS DINÂMICAS
5.3.1 - Deslocamento vertical
Na Figura 5.7 apresenta-se para o meio vão do tramo de entrada o registo temporal do
deslocamento vertical para a passagem do comboio TGV a 420 km/h. É notória a
passagem dos eixos, sendo possível identificar claramente o número de eixos que
constituem o comboio. Verifica-se também que o valor máximo do deslocamento que se
atinge aquando da passagem de um eixo sobre o nó em questão é praticamente constante.
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Tempo [s]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Figura 5.7 – Registo temporal do deslocamento vertical a meio vão do primeiro tramo
Capítulo 5
140
5.3.2 - Aceleração vertical
Apresenta-se na Figura 5.8 o registo temporal da aceleração a meio vão do primeiro tramo,
para o mesmo cenário, com uma frequência máxima de 30 Hz. Mais uma vez são evidentes
os eixos correspondentes à passagem do comboio, embora de forma menos vincada que
nos deslocamentos. Neste caso, o valor máximo ocorre para a passagem das locomotivas
intermédias.
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Figura 5.8 – Registo temporal do deslocamento vertical a meio vão do primeiro tramo
Na Figura 5.9 apresenta-se a comparação dos registos filtrados a 30 e a 60 Hz, com o
registo não filtrado. É patente a redução que ocorre devido à filtragem do sinal.
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
sem filtro
30 Hz
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
sem filtro
60 Hz
a) b)
Figura 5.9 – Registo temporal da aceleração vertical a meio vão do primeiro tramo sem filtragem e
com frequência máxima de: a) 30 Hz e b) 60 Hz
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
141
5.3.3 - Esforço axial nas estacas
O registo do esforço axial sobre as estacas E3 e E4 (ver localização das estacas na Figura
5.18) está patente na Figura 5.10. Verifica-se que a estaca E3 tem sempre um esforço axial
superior à estaca E4. Tal deve-se ao facto de a estaca E3 estar localizada sobre um dos
carris.
0
25
50
75
100
125
150
175
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Tempo [s]
Esf
orço
axi
al [k
N]
E3
E4
Figura 5.10 – Registo temporal do esforço axial nas estacas E3 e E4
5.4 - ENVOLVENTES DAS RESPOSTAS DINÂMICAS
Antes de se apresentarem as envolventes dos resultados para os diferentes tipos de
comboios, efectuou-se um estudo preliminar de forma a definir os nós da estrutura que vão
condicionar o dimensionamento estrutural, de forma a apresentar para as análises
subsequentes apenas a informação relativa a estes nós. As análises foram conduzidas para a
passagem do comboio TGV. Na Figura 5.11 apresenta-se a envolvente de acelerações na
laje, ao longo do eixo médio dos carris para as duas frequências de cortes estudadas, 30 e
60 Hz, enquanto na Figura 5.12 se apresenta a envolvente para o deslocamento vertical.
Capítulo 5
142
a)
b)
Figura 5.11 – Envolvente de acelerações para frequências de corte de: a) 30 Hz e b) 60 Hz
Figura 5.12 – Envolvente de deslocamentos verticais
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
143
Conforme se verifica, os pontos mais condicionantes para a análise a 30 Hz são os pontos
médios do primeiro e último vão, enquanto para a análise a 60 Hz são os pontos inicial e
final. Tal está relacionado com o facto de para frequências mais elevadas, surgirem
contribuições mais locais ao nível das consolas que provocam este incremento de
aceleração.
Em todos os vãos o valor máximo ocorre para o nó intermédio, o que não seria de esperar
para o primeiro e último vão. No entanto, tal deve-se à continuidade da via que altera o
comportamento destes vãos, assimilando-os a um vão interno com continuidade.
Ao nível do deslocamento verifica-se novamente que os pontos mais condicionantes se
localizam nos nós médios do primeiro e último vão.
No intuito de avaliar a variação das grandezas apresentadas anteriormente ao longo da
secção transversal da laje, apresenta-se, nas figuras 5.13 e 5.14, a envolvente de
acelerações e deslocamentos para a secção localizada no ponto médio do último vão. Da
análise das figuras denota-se que os valores máximos para ambas as grandezas se
localizam ao longo do alinhamento médio do eixo dos carris. Em algumas velocidades
ocorrem valores superiores para a consola, mas como nessa zona não existe balastro não é
condicionante para o dimensionamento.
Outro aspecto a destacar é a pequena perturbação que a passagem do comboio induz na via
vizinha, principalmente na análise a 30 Hz. Este aspecto vem e certa forma demonstrar a
dispensa, por parte da regulamentação, de avaliar os efeitos dos cruzamentos de comboios,
pois o incremento de resultado é pouco significativo, encontrando-se no presente caso
salvaguardado pelo factor de segurança imposto para o limite de vibração do balastro de 2.
Um aspecto de particular interesse prende-se com o efeito no deslocamento vertical
provocado pela presença das irregularidades. Na Figura 5.15 apresenta-se, para o meio vão
do último tramo, a comparação das respostas dinâmicas, com e sem irregularidades. É
notório o incremento da magnitude dos deslocamentos devido à consideração das
irregularidades. Tal importância advém do facto de a estrutura em questão possuir
pequenos vãos.
Capítulo 5
144
a)
b)
Figura 5.13 – Envolvente de acelerações para frequências de corte de: a) 30 Hz e b) 60 Hz
Figura 5.14 – Envolvente de deslocamentos verticais
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
145
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Dinâmico
Total
Estático
Figura 5.15 – Efeitos das irregularidades no deslocamento vertical a meio vão do último tramo
Avaliou-se igualmente o momento flector na laje. Na Figura 5.16 apresenta-se os
momentos flectores longitudinal e transversal para o nó médio do último vão. Como é
perceptível, a magnitude do momento flector é bastante reduzida. Verifica-se que o
momento longitudinal é superior, o que se deve ao facto de o desenvolvimento do comboio
ser muito elevado face ao vão da estrutura, o que provoca um carregamento dos vãos
adjacentes limitando a flexão máxima do vão. Já ao nível do momento longitudinal tal não
acontece, pois um dos eixos do comboio localiza-se sob um alinhamento de estacas, e
outro aproximadamente a meio vão das duas estacas extremas.
Comparando as amplificações dinâmicas registadas para o ponto médio do último vão
(Figura 5.17), verifica-se que a amplificação para os momentos flectores e o deslocamento
vertical são similares.
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Mom
ento
flec
tor
[kN
.m]
Longitudinal
Transversal
Figura 5.16 – Momento flector a meio vão do último tramo
Capítulo 5
146
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Am
plifi
caçã
o di
nâm
ica
Momento flector longitudinal
Momento flector transversal
Deslocamento
Figura 5.17 – Amplificação dinâmica a meio vão do último tramo
Foram também avaliados os esforços na extremidade superior das estacas, de forma a
avaliar a influência da solicitação dinâmica. Os esforços foram controlados para as estacas
localizadas no 5º e 10º alinhamentos (Figura 5.18).
Figura 5.18 – Localização das estacas
Apresentam-se, nas figuras 5.19 e 5.20, os resultados obtidos para o esforço axial e
momento flector das quatro estacas. É de salientar, que os esforços, tal como os
deslocamentos, não são influenciados pela frequência de corte.
0
50
100
150
200
250
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Esf
orço
axi
al [k
N]
Estaca E1
Estaca E2
Estaca E3
Estaca E4
Figura 5.19 – Esforço axial nas estacas
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
147
0
2
4
6
8
10
12
14
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Mom
ento
flec
tor
[kN
.m]
Estaca E1
Estaca E2
Estaca E3
Estaca E4
Figura 5.20 – Momento flector longitudinal na extremidade superior das estacas
0
4
8
12
16
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Mom
ento
flec
tor
[kN
.m]
Estaca E1
Estaca E2
Estaca E3
Estaca E4
Figura 5.21 – Momento flector transversal na extremidade superior das estacas
Conforme é patente nas figuras anteriores, os resultados ao nível dos momentos flectores
são muito reduzidos. Tal deve-se à elevada rigidez da laje que praticamente não transmite
momento às estacas. Para uma estaca de betão armado com um diâmetro de 50 cm, um
momento flector de 15kN.m representa um momento reduzido, µ, de 0,0098, valor este
bastante baixo. Daí que se possa considerar que a flexão desempenha um papel secundário
nas estacas, pelo que não será estudado nas análises futuras. No entanto, é de salientar que
o momento flector longitudinal é mais gravoso nas estacas E1 e E3, pois estas estacas, ao
contrário das restantes duas, não se localizam sob o carril. Daí que a flexão nestas seja
maior segundo esta direcção. Segundo a direcção transversal verifica-se uma maior
proximidade entre os resultados, sendo no entanto de salientar que as estacas localizadas
do décimo alinhamento (E3 e E4) obtiveram resultados ligeiramente superiores. Quanto ao
esforço axial verifica-se, mais uma vez, uma concordância de resultados entre as estacas
Capítulo 5
148
localizadas no mesmo alinhamento longitudinal. Verifica-se que as estacas localizadas sob
o carril (E1 e E3) apresentam um valor do esforço axial praticamente constante. Já as
estacas localizadas fora do carril apresentam um valor médio inferior para o esforço axial,
embora apresentem maiores amplificações dinâmicas.
Em suma, da análise dos resultados anteriores, pode-se considerar que é suficiente analisar
para a passagem de cada comboio os valores relativos à aceleração da laje para os pontos
médios do primeiro e último vão, assim como para os pontos inicial e final. Para os
deslocamentos ir-se-á apenas avaliar os resultados para os pontos médios dos tramos
extremos, enquanto para as estacas o esforço axial vai ser quantificado em duas estacas.
5.4.1 - Comboios reais
Nas Figura 5.1 apresentam-se os resultados relativos à passagem dos comboios reais ao
nível da aceleração vertical da laje.
Ponto inicial
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
AVE
ETR
Eurostar
ICE
Talgo
TGV
Thalys
Virgin
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
AVE
ETR
Eurostar
ICE
Talgo
TGV
Thalys
Virgin
Ponto médio do primeiro vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
AVE
ETR
Eurostar
ICE
Talgo
TGV
Thalys
Virgin
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
AVE
ETR
Eurostar
ICE
Talgo
TGV
Thalys
Virgin
Figura 5.22 (continuação) – Envolvente de acelerações para a passagem dos comboios reais,
considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
149
Ponto médio do último vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]AVE
ETR
Eurostar
ICE
Talgo
TGV
Thalys
Virgin
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
AVE
ETR
Eurostar
ICE
Talgo
TGV
Thalys
Virgin
Ponto extremo do último vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
AVE
ETR
Eurostar
ICE
Talgo
TGV
Thalys
Virgin
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
AVE
ETR
Eurostar
ICE
Talgo
TGV
Thalys
Virgin
a) b)
Figura 5.22 (continuação) – Envolvente de acelerações para a passagem dos comboios reais,
considerando frequências máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz
É notório da análise da figura anterior, que o comboio real mais condicionante para as duas
frequências máximas e nos quatro pontos estudados é o Talgo. Denota-se uma tendência
crescente da aceleração com a velocidade, sendo que nas análises a 60 Hz é praticamente
linear a relação entre as duas grandezas. Verifica-se também o aumento da aceleração dos
nós quando se passa da análise a 30 para 60 Hz, em especial nos pontos extremos. Tal está
relacionado com o carácter mais impulsivo da solicitação que tende a excitar um maior
conteúdo espectral em frequências.
Nas figuras 5.23 e 5.24 apresentam-se as envolventes dos comboios reais para os
deslocamentos e o esforço axial nas estacas.
Capítulo 5
150
-0.60
-0.50
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
AVE ETR
Eurostar ICE
Talgo TGV
Thalys Virgin
-0.60
-0.50
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
AVE ETR
Eurostar ICE
Talgo TGV
Thalys Virgin
a) b)
Figura 5.23 – Envolvente de deslocamentos verticais para a passagem dos comboios reais, para: a)
meio vão do 1º tramo e b) meio vão do último tramo
0
50
100
150
200
250
300
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Esf
orço
axi
al [k
N]
AVE ETR
Eurostar ICE
Talgo TGV
Thalys Virgin
0
50
100
150
200
250
300
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Esf
orço
axi
al [k
N]
AVE ETR
Eurostar ICE
Talgo TGV
Thalys Virgin
a) b)
Figura 5.24 – Envolvente de esforço axial para a passagem dos comboios reais, nas estacas:
a) E3 e b) E4
Ao nível do deslocamento o comboio mais gravoso é o ICE, sendo para o ETR que se
regista o maior esforço axial. Este resultado deve-se ao facto de os comboios ICE e ETR
serem os que apresentam as maiores cargas por eixo, 195 e 187 kN, respectivamente.
5.4.2 - Comboios do HSLM
Nas figuras 5.25 a 5.27 apresentam-se os resultados relativos à aplicação do HSLM-A.
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
151
Ponto de inicial
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
Ponto médio do primeiro vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
Ponto médio do último vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
Ponto extremo do último vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
a) b)
Figura 5.25 – Envolvente de acelerações para a passagem de HSLM-A, considerando frequências
máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz
Capítulo 5
152
-0.60
-0.50
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
A1 A2A3 A4A5 A6A7 A8A9 A10
-0.60
-0.50
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
A1 A2A3 A4A5 A6A7 A8A9 A10
a) b)
Figura 5.26 – Envolvente de deslocamentos verticais para a passagem do HSLM-A, para: a) meio
vão do 1º tramo e b) meio vão do último tramo
0
50
100
150
200
250
300
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Esf
orço
axi
al [k
N]
A1 A2
A3 A4
A5 A6
A7 A8
A9 A10
0
50
100
150
200
250
300
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Esf
orço
axi
al [k
N]
A1 A2
A3 A4
A5 A6
A7 A8
A9 A10
a) b)
Figura 5.27 – Envolvente de esforço axial para a passagem do HSLM-A, nas estacas: a) E3 e b) E4
Mais uma vez se verifica uma tendência crescente da aceleração com a velocidade. Os
comboios A9 e A10 revelaram-se como os mais gravosos e apresentam sempre resultados
muito similares. Ambos são, de entre os HSLM, os comboios com maior carga por eixo
(210 kN) e com maior distância entre cargas.
Ao nível do deslocamento e do esforço axial, são novamente os comboios A9 e A10 os
mais condicionantes, em virtude da magnitude da solicitação transmitida à laje.
Os resultados relativos à passagem do esquema de cargas HSLM-B apresentam-se nas
figuras 5.28 a 5.30.
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
153
Ponto de inicial
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
Ponto médio do primeiro vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
Ponto médio do último vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
Ponto extremo do último vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
a) b)
Figura 5.28 – Envolvente de acelerações para a passagem de HSLM-B, considerando frequências
máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz
Capítulo 5
154
-0.60
-0.50
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
B1 B2
B3 B4
B5 B6
B7 B8
B9 B10
-0.60
-0.50
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
B1 B2
B3 B4
B5 B6
B7 B8
B9 B10
a) b)
Figura 5.29 – Envolvente de deslocamentos verticais para a passagem do HSLM-B, para: a) meio
vão do 1º tramo e b) meio vão do último tramo
0
50
100
150
200
250
300
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Esf
orço
axi
al [k
N]
B1 B2 B3B4 B5 B6
B7 B8 B9B10
0
50
100
150
200
250
300
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Esf
orço
axi
al [k
N]
B1 B2
B3 B4
B5 B6
B7 B8
B9 B10
a) b)
Figura 5.30 – Envolvente de esforço axial para a passagem do HSLM-B, nas estacas: a) E3 e b) E4
Da aplicação do conjunto de cargas HSLM-B é notório o agrupamento de resultados
obtidos, especialmente ao nível da aceleração da laje. Verifica-se, que para cada uma das
famílias de comboios atrás definidas, os resultados são praticamente coincidentes, o que já
seria de esperar, uma vez que a distância entre cargas é a mesma, logo as frequências
excitadas são coincidentes. Os resultados mais elevados para cada família ocorrem para o
comboio constituído pelo maior número de cargas. Deste modo, não teria sido necessário
realizar as análises para os dez comboios, mas apenas para quatro (B3, B6, B8 e B10), o
que teria permitido diminuir significativamente o tempo de cálculo.
Caso se tivesse usado unicamente o vão para determinar o comboio mais gravoso, com
base na Figura 5.6, o comboio escolhido teria sido o B3. No entanto verifica-se que a
família de comboios mais gravosa é a que apresenta uma distância entre cargas de 3,50 m,
ou seja os comboios B9 e B10, tratando-se mais uma vez, dos comboios com maior
afastamento entre cargas.
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
155
Ao nível do deslocamento e do esforço axial o agrupamento em famílias é mais uma vez
patente, embora neste caso seja para a família de comboios com 2,5 m de distância entre
cargas (B1, B2 e B3), que se registem os valores mais elevados.
5.4.3 - Comparação das envolventes relativas aos comboios reais e HSLM
No intuito de comparar a adequação dos modelos de carga HSLM definidos no
regulamento, apresenta-se, nas figuras 5.31 a 5.33, a comparação dos resultados obtidos
com a aplicação dos esquemas de cargas HSLM e dos comboios reais.
Ponto de inicial
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
Ponto médio do primeiro vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
Ponto médio do último vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
Figura 5.31 (continuação)– Comparação das envolventes de acelerações, considerando frequências
máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz
Capítulo 5
156
Ponto extremo do último vão
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
a) b)
Figura 5.31 (continuação)– Comparação das envolventes de acelerações, considerando frequências
máximas de: a) 30 Hz e b) 60 Hz
-0.60
-0.50
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
-0.60
-0.50
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
a) b)
Figura 5.32 – Comparação das envolventes de deslocamentos verticais para: a) meio vão do 1º
tramo e b) meio vão do último tramo
0
50
100
150
200
250
300
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Esf
orço
axi
al [k
N]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
0
50
100
150
200
250
300
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Esf
orço
axi
al [k
N]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
a) b)
Figura 5.33 – Comparação das envolventes de esforço axial nas estacas: a) E3 e b) E4
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
157
Da comparação dos resultados, fica patente que, de um modo geral, o modelo de cargas
HSLM-A constitui uma envolvente superior dos resultados. É também de salientar o facto
de o modelo HSLM-B proporcionar resultados inferiores aos obtidos pelo modelo A.
Ao nível das acelerações denota-se uma proximidade na resposta obtida pelos comboios
reais e pelo HSLM-A, sendo que pontualmente as acelerações alcançadas pelos comboios
reais excedem as provocadas pelos HSLM (por exemplo, na Figura 5.31 para o ponto
médio do último vão na análise a 60 Hz). Ao nível do deslocamento e do esforço axial o
modelo de cargas HSLM-A proporciona resultados bastante superiores aos obtidos pelo
modelo B e pelos comboios reais. Verifica-se nos deslocamentos que a resposta obtida da
aplicação do HSLM-B e dos comboios reais é similar, enquanto no esforço axial o HSLM-
B proporciona resultados ligeiramente superiores aos alcançados com os comboios reais.
É de salientar que os maiores valores para a aceleração da laje foram obtidos a meio vão do
último vão e para o ponto de saída para, respectivamente, as frequências máximas de 30 e
60 Hz. O maior deslocamento vertical obteve-se para o meio vão do primeiro vão,
enquanto o maior esforço axial para a estaca E3.
5.5 - AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
Nesta secção, as respostas dinâmicas da estrutura são avaliadas do ponto de vista da
segurança estrutural, da segurança da circulação e do conforto dos passageiros, tendo por
base o estabelecido na EN1991-2 e EN1990-A2.
5.5.1 - Segurança estrutural
No dimensionamento de estruturas submetidas a tráfego ferroviário de alta velocidade
devem-se considerar os valores mais desfavoráveis, resultantes de:
i) Da análise dinâmica, corrigida pare ter em conta em conta as irregularidades da via
por intermédio do coeficiente ''ϕ , igual a 0,52 para o presente caso;
''1 '
2din HLSMϕϕ + + ×
(5.5)
ii) Da aplicação do modelo de cargas LM71 ou SW/0 majorado pelo respectivo
coeficiente dinâmico.
( )71" " / 0LM SWΦ × + (5.6)
Capítulo 5
158
No que concerne aos modelos de carga estáticos (LM71 e SW/0 – ver Figura 5.34),
admite-se um estado de manutenção da via cuidado, pelo que o parâmetro Φ é calculado
de acordo com a seguinte expressão:
2
1, 440,82
0,2LΦ
Φ = +−
(5.7)
LΦ é dado pela expressão (5.4), tomando 2Φ o valor de 1,40.
a)
b)
Figura 5.34 – Modelos de carga estáticos: a) LM71 e b) SW/0
Nas figuras 5.35 e 5.36 compara-se o deslocamento e o esforço axial máximos obtidos da
análise dinâmica e da aplicação dos modelos de carga estáticos.
-1.20
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Comboios reaisHSLM-AHSLM-BLM71SW/0
-1.20
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Des
loca
men
to v
ertic
al [m
m]
Comboios reaisHSLM-AHSLM-BLM71SW/0
a) b)
Figura 5.35 – Comparação das envolventes de deslocamentos verticais para: a) meio vão do 1º
tramo e b) meio vão do último tramo
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
159
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Esf
orço
axi
al [k
N]
Comboios reais HSLM-AHSLM-B LM71
SW/0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Esf
orço
axi
al [k
N]
Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
LM71
SW/0
a) b)
Figura 5.36 – Comparação das envolventes de esforço axial nas estacas: a) E3 e b) E4
Da análise das figuras é notória a maior magnitude de resultados provocados pela
aplicação dos modelos de carga estáticos. O modelo de carga LM71 apresenta-se como o
mais condicionante não só ao nível do deslocamento máximo, como também ao nível do
esforço axial nas estacas. Verifica-se que o máximo deslocamento resultante da análise
dinâmica, que se regista a meio vão do primeiro tramo, equivale apenas a 44 % do
resultante da aplicação do modelo LM71, enquanto o obtido pela aplicação do modelo
SW/0 representa 47 %.
Ao nível das estacas verifica-se uma maior diferença entre os resultados da análise
dinâmica e os estáticos para a estaca E4, sendo também para esta que se registam os
maiores esforços axiais.
5.5.2 - Segurança da via
A EN1991-2 e a EN1990-A2 estabelecem estados limites de deformação e vibração a
considerar no dimensionamento de pontes ferroviárias. As limitações visam assegurar a
segurança da circulação e dizem respeito:
i) à aceleração vertical do tabuleiro;
ii) à deformação vertical do tabuleiro;
iii) à torção do tabuleiro;
iv) à deformação horizontal do tabuleiro.
No que se refere à aceleração vertical do tabuleiro, valores excessivos desta grandeza
podem conduzir à instabilidade do balastro ou à perda de contacto entre a roda e o carril.
Capítulo 5
160
No caso de pontes com tabuleiro balastrado, o valor de pico da aceleração vertical não
deverá exceder 3,5 m/s2 (≈ 0,35g).
Na Figura 5.37 apresentam-se os valores máximos da aceleração vertical da laje, de modo a
efectuar a verificação deste estado limite.
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ] Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
Velocidade [km/h]
Ace
lera
ção
[m/s
2 ] Comboios reais
HSLM-A
HSLM-B
a) b)
Figura 5.37 – Verificação da aceleração vertical da laje para frequências máximas de: a) 30Hz e
b) 60Hz
Conforme se constata da análise da figura anterior, o estado limite de vibração é verificado
para as duas frequências em estudo. No entanto verifica-se um aumento significativo da
aceleração quando se passa de uma análise de 30 Hz para 60 Hz.
A deformação vertical do tabuleiro deve ser inferior a L/600, em que L representa o vão da
estrutura, para a aplicação dos modelos estáticos LM71 e SW/0, sem a majoração do
coeficiente de amplificação dinâmica. O valor máximo obtido foi registado para o modelo
LM71, valendo 0,796 mm, bastante inferior ao limite regulamentar de 8 mm (4,8/600).
A torção do tabuleiro, segundo a EN1990-A2, deverá ser controlada em troços de 3 m e
largura de 1,435 m, devendo-se obter-se um empenamento inferior a 1,5 mm para
velocidades de circulação superiores a 200 km/h. a que corresponde uma distorção de 0,5.
A verificação deverá ser efectuada para os modelos de carga estáticos, majorados pelo
coeficiente de amplificação dinâmica.
Esta verificação foi controlada de forma indirecta, através do controlo do deslocamento
máximo obtido por aplicação dos modelos estáticos. Assim, considerando que os nós da
laje colocados sob as estacas apresentam um deslocamento vertical nulo, e o valor máximo
do deslocamento registado a meio vão da laje sob o carril, por aplicação dos modelos
estáticos, vale 0,95 mm, obtêm-se 0,40 de distorção, ou seja, o valor estabelecido no
regulamento nunca é atingido.
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
161
As restantes verificações relacionadas com o comportamento transversal da estrutura não
foram efectuadas.
5.5.3 - Conforto dos passageiros
O conforto dos passageiros é afectado pelas vibrações a que ficam submetidas as caixas
das carruagens aquando da passagem do comboio pela estrutura. A EN1990-A2 fixa
limites para o valor de pico da aceleração vertical (b'v) no interior das carruagens iguais a
1,0 m/s2, 1,3 m/s2 e 2,0 m/s2, em correspondência com três níveis de conforto dos
passageiros: Muito Bom; Bom e Aceitável.
A verificação do conforto dos passageiros pode ser efectuada de uma forma simplificada,
sem recorrer a uma análise dinâmica com interacção ponte-comboio, limitando-se o
deslocamento vertical do tabuleiro, sob o eixo da via carregada, resultante da aplicação do
modelo de carga LM71 multiplicado pelo respectivo coeficiente dinâmico Φ .
Da consulta da Figura 5.38, para uma velocidade máxima de 350 km/h e um nível de
conforto Muito Bom dos passageiros, o valor limite da relação L/δ para vãos de 4,80 m é
igual a 1500. Para tabuleiros contínuos este valor deverá ser multiplicado por 0,9, ou seja,
(L/δ)lim = 1350, pelo que o deslocamento não deverá exceder 3,6 mm.
3000
2500
2000
1500
1000
500
00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
L [m]
L /
δ
V = 120
V = 160
V = 200
V = 220
V = 250
V = 280
V = 300
V = 350
Figura 5.38 – Definição do deslocamento máximo para um nível de conforto Muito Bom
Da aplicação do modelo LM71 resulta um deslocamento máximo de 0,94 mm, valor
bastante inferior ao estabelecido regularmente.
Capítulo 5
162
5.6 - CONCLUSÕES
No presente capítulo foi avaliado o comportamento dinâmico da solução de laje sobre
estacas da ligação Túnel da Mancha Londres, à luz da mais recente regulamentação
europeia para a passagem dos HSLM e dos comboios reais.
Ficou claro que os maiores valores das diferentes grandezas estudadas na laje, aceleração e
deslocamento vertical da laje, ocorrem nos vãos extremos. Verificou-se também que os
maiores valores não ocorrem no mesmo ponto para análises com frequências máximas
distintas. Enquanto na análise a 30 Hz o valor máximo ocorre sempre a meio dos vãos
extremos, na análise a 60 Hz ocorre nos pontos extremos de entrada e saída.
A aplicação do modelo de cargas HSLM-B não se revelou condicionante à estrutura em
análise. No entanto, foi possível identificar quatro famílias de comboios distintas, em
função da distância entre cargas, o que permite reduzir o número de análises a efectuar.
Ficou também claro que a utilização do gráfico presente na regulamentação, no qual o
comboio é escolhido em função do vão da estrutura, não proporcionou, para este caso de
estudo, o comboio mais condicionante.
O modelo de cargas HSLM-A apresentou-se sempre como mais gravoso que o modelo B e
quase sempre mais condicionante do que o conjunto dos comboios reais. No entanto,
pontualmente os efeitos dinâmicos provocados por estes foram superiores aos obtidos pelo
HSLM-A.
Verificou-se ainda, que nas famílias de comboio HSLM foram os esquemas de cargas com
maior distância entre eixos que provocaram os maiores níveis de aceleração na laje.
No que concerne às verificações de segurança, o modelo estático LM71, majorado pelo
factor de amplificação Φ , proporcionou sempre resultados superiores aos obtidos por
intermédio da análise dinâmica.
O limite da aceleração vertical do tabuleiro estipulado na EN1990-A2 nunca é atingido,
embora na análise a 60 Hz os valores obtidos para a aceleração já sejam mais próximos
deste valor do que os obtidos na análise a 30 Hz. O deslocamento vertical máximo e o
empenamento da secção também se encontram abaixo dos valores estabelecidos na
EN1990-A2. O conforto dos passageiros, embora tenha sido controlado de forma
simplificada, também é verificado garantindo um nível de conforto de Muito Bom.
Pode-se concluir, que a estrutura em questão verifica todos os limites estabelecidos na
regulamentação para redes interoperáveis. No entanto, a estrutura poderia ainda ser
bastante optimizada, em especial quando se analisa a uma frequência máxima de 30 Hz,
Avaliação do comportamento dinâmico da solução da ligação Canal da Mancha-Londres
163
pois os níveis de aceleração e deslocamento estão bastante afastados dos valores máximos
permitidos. Os vãos de entrada e saída poderiam ser redimensionados, à luz do que é
habitual nas pontes, de forma a equilibrar os níveis máximos de aceleração e
deslocamentos em todos os vãos.
CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES
6.1 - CONCLUSÕES GERAIS
A presente dissertação teve como principal objectivo o estudo do comportamento dinâmico
de lajes sobre estacas para suporte de vias férreas de alta velocidade. Pretendeu-se, com
este trabalho, apresentar um conjunto de informação relativa à modelação dos diferentes
componentes da via férrea, de forma a que a modelação numérica possa ser efectuada com
maior rigor. Também foi dado destaque às metodologias numéricas de análise dinâmica,
com especial ênfase para um método menos conhecido em aplicações deste tipo, o método
da sobreposição de vectores de Ritz.
O caso de estudo incidiu sobre a laje sobre estacas da ligação Canal da Mancha-Londres,
inserido na ligação de alta velocidade entre Londres e Paris.
As análises dinâmicas foram conduzidas à luz da mais recente regulamentação europeia,
EN1991-2 e EN1990-A2, no que concerne às verificações relativas à segurança estrutural,
à segurança da via e ao conforto dos passageiros. No entanto, tentou-se incorporar no
estudo a mais recente investigação, nomeadamente ao nível da definição da frequência
máxima a considerar na análise dinâmica. Assim, para além de se ter considerado o limite
regulamentar de 30 Hz, considerou-se o limite de 60 Hz proposto por Zacher e Baessler, de
forma a avaliar a sua influência nos resultados das análises dinâmicas.
O estudo preliminar relativo à comparação dos diferentes métodos de integração permitiu
constatar que o método da sobreposição modal é pouco adequado para a análise deste tipo
de estruturas. Ficou claro, que o método de Ritz, é a melhor alternativa para a resolução
numérica do problema dinâmico, pois alia a rapidez numérica proporcionada pelo
desacoplamento das equações de equilíbrio dinâmico, à precisão obtida pelo método de
Referências bibliográficas
166
Newmark, tido como o mais rigoroso. Este último apresenta a enorme desvantagem de
necessitar de um tempo de cálculo muito superior ao anterior, em virtude de resolver o
sistema de equações com a dimensão do número de graus de liberdade do problema. A
comparação entre os três métodos foi efectuada em diversos pontos ao nível da aceleração
e deslocamento vertical da laje, não só em termos da evolução temporal mas também ao
nível da envolvente de valores máximos.
Ficou também claro a influência que a modelação da via proporciona ao nível das
acelerações, conseguindo-se obter uma redução significativa da magnitude das acelerações
à custa da sua inclusão no modelo. Esta redução é conseguida devido à degradação da
carga que a via proporciona, ficando também claro que para maiores frequências essas
reduções são mais significativas. Tal é devido ao facto de a carga ao perder o seu carácter
pontual, excitar um menor conteúdo espectral, logo as diferenças entre as duas situações
tendem a aumentar na análise a 60 Hz.
Um dos aspectos de maior dificuldade para a construção do modelo numérico prendeu-se
com a caracterização das propriedades da via. Todavia, ficou demonstrando que a
influência dos seus valores não é muito significativa, especialmente no que se refere às
propriedades do solo e das palmilhas. O que se demonstra como fundamental é a sua
inclusão para proporcionar uma correcta degradação da carga pela laje, sendo que os
valores caracterizadores dos seus parâmetros desempenham um papel secundário. O
elemento que se revelou como o mais influente foi o balastro, embora de uma forma
relativamente moderada. A análise superior foi realizada para uma rigidez de 500 MPa,
valor que dificilmente se conseguirá atingir numa via férrea. Daí que, tendo em conta o
grande intervalo de variação da rigidez, 20 a 500 MPa, se possa considerar que a grandeza
deste parâmetro não desempenha um papel preponderante na análise.
Ao nível da influência da condição de apoio do carril, ficou claro que é importante modelar
a via que existe antes e depois da estrutura, pois o acréscimo de rigidez proporcionado pela
ligação vai permitir uma redução do nível de aceleração, especialmente no primeiro vão.
Daí que seja fundamental para uma correcta tradução do campo de acelerações e
deslocamentos da estrutura considerar estes elementos adicionais na análise.
Da análise do comportamento dinâmico da laje ficou claro que os maiores valores das
diferentes grandezas estudadas na laje, aceleração e deslocamento vertical da laje, ocorrem
nos vãos extremos. Verificou-se também que os maiores valores não ocorrem no mesmo
ponto para análises com frequências máximas distintas. Enquanto na análise a 30 Hz o
valor máximo ocorre sempre a meio dos vãos extremos, na análise a 60 Hz ocorre nos
pontos extremos de entrada e saída.
Referências bibliográficas
167
A aplicação do modelo de cargas HSLM-B não se revelou condicionante à estrutura em
análise. No entanto, foi possível identificar quatro famílias de comboios distintas, em
função da distância entre cargas, o que permite reduzir o número de análises a efectuar.
Ficou também claro que a utilização do gráfico presente na regulamentação, no qual o
comboio é escolhido em função do vão da estrutura, não proporcionou, para este caso de
estudo, o comboio mais condicionante.
O modelo de cargas HSLM-A apresentou-se sempre como mais gravoso que o modelo B e
quase sempre mais condicionante do que o conjunto dos comboios reais. No entanto,
pontualmente os efeitos dinâmicos provocados por estes foram superiores aos obtidos pelo
HSLM-A.
Verificou-se ainda, que nas famílias de comboio HSLM foram os esquemas de cargas com
maior distância entre eixos que provocaram os maiores níveis de aceleração na laje.
No que concerne às verificações de segurança, o modelo estático LM71, majorado pelo
factor de amplificação Φ , proporcionou sempre resultados superiores aos obtidos por
intermédio da análise dinâmica.
O limite da aceleração vertical do tabuleiro estipulado na EN1990-A2 para análises com
frequências até 30 Hz nunca foi atingido; na análise com frequências até 60 Hz os valores
obtidos para a aceleração já são mais próximos do limite O deslocamento vertical máximo
e o empenamento da secção também se encontram abaixo dos valores estabelecidos na
EN1990-A2. O conforto dos passageiros, embora tenha sido controlado de forma
simplificada, também é verificado garantindo-se um nível de conforto Muito Bom.
Pode-se concluir, que a estrutura em questão verifica todos os limites estabelecidos na
regulamentação para redes interoperáveis. No entanto, a estrutura poderia ainda ser
bastante optimizada, em especial quando se analisa a uma frequência máxima de 30 Hz,
pois os níveis de aceleração e deslocamento estão bastante afastados dos valores máximos
permitidos. Os vãos de entrada e saída poderiam ser redimensionados, à luz do que é
habitual nas pontes, de forma a equilibrar os níveis máximos de aceleração e
deslocamentos em todos os vãos.
6.2 - PERSPECTIVAS DE DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
No seguimento do trabalho exposto, apresentam-se algumas sugestões com vista a
possíveis desenvolvimentos futuros:
Referências bibliográficas
168
i) Desenvolver as rotinas de pré-processamento para as novas versões do software
SAP2000, uma vez que nas novas versões deixa de ser necessário efectuar a
importação das funções de carga, sendo possível definir as funções de carga
directamente no programa;
ii) De forma a validar a metodologia numérica, afigura-se como interessante a
monitorização de um solução deste tipo, o que iria permitir validar a modelação
numérica, assim como proporcionar um maior conhecimento acerca do real
comportamento dinâmico;
iii) Do ponto de vista numérico seria importante realizar análises que contemplassem a
interacção entre a via e o comboio, em especial com presença de irregularidades no
carril, de forma a permitir a comparação com os resultados proporcionados pela
regulamentação;
iv) Do ponto de vista numérico seria ainda interessante efectuar uma análise
estocástica relativamente à influência dos parâmetros de massa, rigidez e
amortecimento, e combiná-los com a possibilidade do cruzamento na laje dos
diversos tipos de comboio;
v) A avaliação do comportamento sísmico deste tipo de estruturas, também parece
interessante, na medida em que para este tipo de acção a interacção entre o solo de
fracas características geomecânicas poderá ser elevada. Este estudo deveria ser
efectuado combinando a possibilidade de circulação de comboios, de forma a
definir cenários de alerta e alarme em caso de ocorrência de um sismo;
vi) O estudo comportamento de solos de fracas características geomecânicas quando
solicitados dinamicamente, nomeadamente o efeito que a presença da água, a
consolidação e a fluência do esqueleto sólido têm no modo como as vibrações se
propagam.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Baessler, M.; Rücker, W. - New results on the behaviour of ballasted tracks on bridge
decks. In: EURODYN 2005, Millpress, Rotterdam, 2005.
Barbero, Jaime - Dinámica de puentes de ferrocarril para alta velocidad: métodos de
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