7
Composição de Funções Existem muitas situações em que uma função depende de uma variável que, por sua vez, depende de outra, e assim por diante. Podemos dizer, por exemplo, que a concentração de monóxido de carbono na atmosfera, de uma determinada cidade, depende da quantidade de carros que trafega por ela, porém a quantidade de carros varia com o tempo. Consequentemente, a concentração de monóxido de carbono varia com o tempo. Nestas situações, compondo-se as funções de modo apropriado, podemos expressar a quantidade original como função da última variável. Na prática, combinar (compor) duas funções, para obter uma nova, é muito simples: suponha que () 1 y fu u e 2 () u gx x . Como y é uma função de u, que é uma função de x, então y pode ser escrito como uma função de x. Assim, temos que: 2 2 () ( ( )) ( ) 1. y fu fgx fx x Vejamos outro exemplo: EXEMPLO 1 Um estudo das condições ambientais de uma comunidade indica que a taxa média diária de monóxido de carbono no ar será de () 0,5 1 cp p partes por milhão (ppm), quando a população for de p milhares. Estima-se que daqui a t anos, a população da comunidade será de 2 () 10 0,1 pt t milhares. Expresse a taxa de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo. Solução Como a taxa de monóxido de carbono está relacionada a p através da equação ( )=0,5 +1 cp p , e a variável p está relacionada à variável t pela equação 2 ( ) = 10 0,1 , pt t a função composta 2 2 ( ( )) = 0,5(10 + 0,1 )+1=6+0,05 cpt t t nos a taxa de monóxido de carbono no ar como função da variável t. O processo de combinar funções, para obter uma nova, é chamado de composição de funções e definido do seguinte modo: Definição: Sejam :A B g e : Im C f g . Definimos a composta de f com g, e denotamos por f g (lê-se f “bola” g), à função dada por f g x f gx . A função hx f gx é chamada função composta de f com g, aplicada em x. O esquema seguinte ilustra a definição:

Composição de Funções ( )

  • Upload
    doquynh

  • View
    222

  • Download
    5

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Composição de Funções ( )

Composição de Funções

Existem muitas situações em que uma função depende de uma variável que, por sua vez, depende

de outra, e assim por diante. Podemos dizer, por exemplo, que a concentração de monóxido de carbono

na atmosfera, de uma determinada cidade, depende da quantidade de carros que trafega por ela, porém

a quantidade de carros varia com o tempo. Consequentemente, a concentração de monóxido de carbono

varia com o tempo. Nestas situações, compondo-se as funções de modo apropriado, podemos expressar

a quantidade original como função da última variável.

Na prática, combinar (compor) duas funções, para obter uma nova, é muito simples: suponha que

( ) 1 y f u u e 2( ) u g x x . Como y é uma função de u, que é uma função de x, então y pode ser

escrito como uma função de x. Assim, temos que:2 2( ) ( ( )) ( ) 1.y f u f g x f x x Vejamos outro

exemplo:

EXEMPLO 1 Um estudo das condições ambientais de uma comunidade indica que a taxa média

diária de monóxido de carbono no ar será de ( ) 0,5 1c p p partes por milhão (ppm), quando a população

for de p milhares. Estima-se que daqui a t anos, a população da comunidade será de 2( ) 10 0,1 p t t

milhares. Expresse a taxa de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo.

Solução

Como a taxa de monóxido de carbono está relacionada a p através da

equação ( ) = 0,5 +1c p p , e a variável p está relacionada à variável t pela equação2( ) =10 0,1 ,p t t a

função composta

2 2( ( )) = 0,5(10+ 0,1 ) +1= 6+ 0,05c p t t t

nos dá a taxa de monóxido de carbono no ar como função da

variável t.

O processo de combinar funções, para obter uma nova, é chamado de composição de funções e

definido do seguinte modo:

Definição: Sejam : A Bg e : Im Cf g . Definimos a composta

de f com g, e denotamos por f g (lê-se f “bola” g), à função

dada por f g x f g x . A função h x f g x

é

chamada função composta de f com g, aplicada em x.

O esquema seguinte ilustra a definição:

Page 2: Composição de Funções ( )

Repare que esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio de f.

Consequentemente, o domínio de f g é o conjunto dos valores de x no domínio de g, tal que g(x) está

no domínio de f. Em outras palavras, para calcular f g x f g x é necessário que x esteja no

domínio de g [para calcular g(x)] e que g(x) esteja no domínio de f [para que seja possível calcular

].f g x

EXEMPLO 2 Seja ( ) f x x para 0x e 2( ) 1 g x x para todo x real. Determine f g e

g f .

Solução

Temos que:

2 21 1 f g x f g x f x x

2

1 1 g f x g f x g x x x .

OBS.:

1. No exemplo anterior você pode observar que f g g f . Isso acontece na maioria das vezes

e significa que a operação de composição entre funções não satisfaz a propriedade comutativa

.f g g f Ou seja, a ordem na qual as funções são compostas pode fazer diferença no

resultado final.

2. A notação f g significa que a função g é aplicada em primeiro lugar e, em seguida, aplica-se

à função f.

EXEMPLO 3 Verifique se é possível calcular ,g f sendo dadas as funções 2f x x e .g x x

Solução

O objetivo nosso é calcular .g f x g f x

Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g.

Dom e Dom 0,f g

Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de f e

f x deve estar no domínio de g, para que a função g f x faça sentido. Para que possamos calcular

,g f devemos então ter a seguinte situação:

Page 3: Composição de Funções ( )

Assim, temos que:

Domx f x pode ser qualquer número real.

Dom 0,f x g 2 0f x x , que só é possível se x = 0.

Portanto, podemos aplicar a função g em f (x), somente quando x = 0.

Vejamos como se dá isso na prática.

2 2( )( ) ( ( )) ( ) ( )g f x g f x g x x que está definida apenas para x = 0.

Portanto, não podemos aplicar a função g, uma vez que não é possível extrair a raiz quadrada de um

número negativo nos reais. Consequentemente, só é possível calcular g f , para as funções dadas,

quando x = 0.

EXEMPLO 4 Considere as funções 2 1 e .f x x g x x Determine o domínio da função

composta .f g

Solução

O objetivo nosso é calcular .f g x f g x

Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g.

Dom e Dom 0,f g

Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio

de g e g x deve estar no domínio de f, para que a função f g x faça sentido. Para que

possamos calcular ,f g devemos então ter a seguinte situação:

Assim, temos que:

Dom 0,x g x pode ser qualquer número real maior ou igual a zero 0 .x

Domg x f g x x pode ser qualquer número real (no caso aqui, será um

número real maior ou igual a zero, pela restrição de x feita anteriormente).

Continuando, temos que:

2

1 1.f g x f g x f x x x

Se considerarmos apenas a igualdade

1f g x x

Page 4: Composição de Funções ( )

para determinar o domínio da composta, poderíamos ser levados a concluir, erroneamente, que o

domínio é o conjunto de todos os números reais.

Contudo, vimos que x deve ser não negativo para pertencer ao domínio de g. Assim, o domínio da

composta f g consiste de todos os números do intervalo 0, e não de todos os números reais.

Observe que, quando não existe nenhuma outra restrição de domínio, além daquela relacionada à função

que aplicamos em primeiro lugar, no processo de composição, o domínio da função composta será igual

ao domínio da função que é aplicada em primeiro lugar. No caso aqui, a função g.

EXEMPLO 5 Considere as funções 2 11 e .

1f x x g x

x

Determine o domínio da função

composta .g f

Solução

O objetivo nosso é calcular .g f x g f x

Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g.

Dom e Dom {1}f g

Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de f e

f x deve estar no domínio de g, para que a função g f x faça sentido.

Assim, temos que:

Domx f x pode ser qualquer número real

Dom {1}f x g 2 1f x x pode ser qualquer número real diferente de 1

2 1 1 2f x x x

Continuando o processo de composição, obtemos o seguinte:

2

22

1 11 .

21 1g f x g f x g x

xx

Agora, devemos observar que a restrição feita anteriormente 2x para a função f x , é

suficiente para garantir que a função obtida na composição faça sentido. Portanto, o domínio da função

composta ,f g consiste de todos os números do conjunto , 2 2, 2 2, .

Nesse exemplo, você pode observar que o domínio da função composta é diferente do domínio da função

f, que é aplicada em primeiro lugar no processo de composição. Isso se deve ao fato de existir uma

restrição de domínio relacionada à função g, que é aplicada por último.

EXEMPLO 6 Sabendo que 2

1e 2 6f x g x x

x , determine o domínio, a imagem e a

expressão que representa .f g x

Solução

O objetivo nosso é calcular .f g x f g x

Page 5: Composição de Funções ( )

Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g.

Dom {0} e Dom 3,f g

Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de g e

g x deve estar no domínio de f, para que a função f g x faça sentido.

Assim, temos que:

Dom 3,x g x pode ser qualquer número real maior ou igual a 3.

Dom {0}g x f 2 6 0 3g x x x

Continuando o processo de composição, obtemos o seguinte:

2

1 12 6 .

2 62 6

f g x f g x f xxx

Se considerarmos apenas a igualdade

1

2 6f g x

x

para determinar o domínio da composta, poderíamos ser levados a concluir, erroneamente, que o

domínio é o conjunto de todos os números reais diferentes de 3.

Contudo, vimos que x pode ser qualquer número real maior ou igual a 3, para pertencer ao domínio de

g, mas tem que ser diferente de 3, para g x pertencer ao domínio de f.

Assim, o domínio da composta, ,f g consiste de todos os números reais do intervalo 3, e não de

todos os números reais diferentes de 3.

Para determinar a imagem da função 1

2 6u h x

x

obtida, basta calcular a inversa dessa função e

determinar o seu domínio. Para isso, basta isolar a variável independente, na equação que define a função

h, e determinar o domínio da função obtida pelo processo de inversão. Ou seja,

1 1 1 1

2 6 2 6 32 6 2

u h x x x xx u u u

Se fôssemos considerar apenas essa função para calcular o domínio da inversa e, consequentemente, a

imagem da função composta, poderíamos errar na nossa avaliação e concluir que:

1Im Dom {0}.h h

Devemos lembrar que a função composta h só está definida para 3.x Assim, devemos pensar do

seguinte modo:

1 13 3 3 0 0

2 2x u

u u

Portanto,

1 *Im Dom .h h

Page 6: Composição de Funções ( )

No estudo do Cálculo Diferencial, trabalhamos mais com a “decomposição” de funções do que

com o processo de compor funções. Por exemplo, considere a função 2( ) ln( 1).h x x

Para calcular o valor de h(x), para um dado valor de x, primeiramente calculamos o valor de 2( 1)x e, em seguida, calculamos o logaritmo neperiano do resultado.

Observe que, essas duas operações são executadas pelas funções

2( ) 1 e lng x x f x x

de modo que

2( ) ln( 1) ln( ( )) ( ( )) .h x x g x f g x f g x

Ou seja, a função 2( ) ln( 1)h x x foi decomposta em duas funções mais simples.

OBS.:

Escrevendo ( ) ( ( )),h x f g x iremos nos referir a g como a “função de dentro” e a f como a “função

de fora” de maneira que, a “função de dentro” realiza a primeira operação e a “função de fora”

realiza a segunda operação.

EXEMPLO 7 Decomponha a função 2( ) 9h x x em funções mais simples.

Solução

Para calcular 2 9,x em primeiro lugar calculamos o valor de (x2 – 9) e, em seguida, a raiz quadrada

do resultado. Assim, denotamos g(x) = x2 – 9 (como a função de dentro) e ( )f x x (como a função

de fora) de modo que:

2 2( ) 9 ( 9) ( ( )) .h x x f x f g x f g x

OBS.:

Importante observar que existem várias maneiras de se decompor uma função em funções

mais simples. Nosso papel é escolher a maneira menos complicada de fazer isso.

Por exemplo, poderíamos ter decomposto a função do Exemplo 7 do seguinte modo:

Para calcular 2 9,x em primeiro lugar poderíamos ter calculado o valor de 2 ,x em seguida,

calculamos o valor de 2 9x e, finalmente, a raiz quadrada do resultado. Assim, denotamos

2 ,v x x 9g x x e ( )f x x de modo que:

2 2 2( ) 9 9 .h x x f x f g x f g v x f g v x

Page 7: Composição de Funções ( )

EXERCÍCIOS

1. Dadas as funções f e g, determine a expressão que representa f g x e g f x e o domínio

das funções compostas.

(a) 21( ) e 2

4 1f x g x x

x

(b) 2( ) e 4f x x g x x

(c) 1

( ) e1

f x g x xx

2. Encontre funções mais simples g e h tais que .f g h

(a) ( ) 5f x x (b) 2( ) cosf x x

(c) 1

( )2 3

f xx

(d) 2( ) 2cos( )f x x