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Composição de Funções
Existem muitas situações em que uma função depende de uma variável que, por sua vez, depende
de outra, e assim por diante. Podemos dizer, por exemplo, que a concentração de monóxido de carbono
na atmosfera, de uma determinada cidade, depende da quantidade de carros que trafega por ela, porém
a quantidade de carros varia com o tempo. Consequentemente, a concentração de monóxido de carbono
varia com o tempo. Nestas situações, compondo-se as funções de modo apropriado, podemos expressar
a quantidade original como função da última variável.
Na prática, combinar (compor) duas funções, para obter uma nova, é muito simples: suponha que
( ) 1 y f u u e 2( ) u g x x . Como y é uma função de u, que é uma função de x, então y pode ser
escrito como uma função de x. Assim, temos que:2 2( ) ( ( )) ( ) 1.y f u f g x f x x Vejamos outro
exemplo:
EXEMPLO 1 Um estudo das condições ambientais de uma comunidade indica que a taxa média
diária de monóxido de carbono no ar será de ( ) 0,5 1c p p partes por milhão (ppm), quando a população
for de p milhares. Estima-se que daqui a t anos, a população da comunidade será de 2( ) 10 0,1 p t t
milhares. Expresse a taxa de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo.
Solução
Como a taxa de monóxido de carbono está relacionada a p através da
equação ( ) = 0,5 +1c p p , e a variável p está relacionada à variável t pela equação2( ) =10 0,1 ,p t t a
função composta
2 2( ( )) = 0,5(10+ 0,1 ) +1= 6+ 0,05c p t t t
nos dá a taxa de monóxido de carbono no ar como função da
variável t.
O processo de combinar funções, para obter uma nova, é chamado de composição de funções e
definido do seguinte modo:
Definição: Sejam : A Bg e : Im Cf g . Definimos a composta
de f com g, e denotamos por f g (lê-se f “bola” g), à função
dada por f g x f g x . A função h x f g x
é
chamada função composta de f com g, aplicada em x.
O esquema seguinte ilustra a definição:
Repare que esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio de f.
Consequentemente, o domínio de f g é o conjunto dos valores de x no domínio de g, tal que g(x) está
no domínio de f. Em outras palavras, para calcular f g x f g x é necessário que x esteja no
domínio de g [para calcular g(x)] e que g(x) esteja no domínio de f [para que seja possível calcular
].f g x
EXEMPLO 2 Seja ( ) f x x para 0x e 2( ) 1 g x x para todo x real. Determine f g e
g f .
Solução
Temos que:
2 21 1 f g x f g x f x x
2
1 1 g f x g f x g x x x .
OBS.:
1. No exemplo anterior você pode observar que f g g f . Isso acontece na maioria das vezes
e significa que a operação de composição entre funções não satisfaz a propriedade comutativa
.f g g f Ou seja, a ordem na qual as funções são compostas pode fazer diferença no
resultado final.
2. A notação f g significa que a função g é aplicada em primeiro lugar e, em seguida, aplica-se
à função f.
EXEMPLO 3 Verifique se é possível calcular ,g f sendo dadas as funções 2f x x e .g x x
Solução
O objetivo nosso é calcular .g f x g f x
Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g.
Dom e Dom 0,f g
Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de f e
f x deve estar no domínio de g, para que a função g f x faça sentido. Para que possamos calcular
,g f devemos então ter a seguinte situação:
Assim, temos que:
Domx f x pode ser qualquer número real.
Dom 0,f x g 2 0f x x , que só é possível se x = 0.
Portanto, podemos aplicar a função g em f (x), somente quando x = 0.
Vejamos como se dá isso na prática.
2 2( )( ) ( ( )) ( ) ( )g f x g f x g x x que está definida apenas para x = 0.
Portanto, não podemos aplicar a função g, uma vez que não é possível extrair a raiz quadrada de um
número negativo nos reais. Consequentemente, só é possível calcular g f , para as funções dadas,
quando x = 0.
EXEMPLO 4 Considere as funções 2 1 e .f x x g x x Determine o domínio da função
composta .f g
Solução
O objetivo nosso é calcular .f g x f g x
Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g.
Dom e Dom 0,f g
Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio
de g e g x deve estar no domínio de f, para que a função f g x faça sentido. Para que
possamos calcular ,f g devemos então ter a seguinte situação:
Assim, temos que:
Dom 0,x g x pode ser qualquer número real maior ou igual a zero 0 .x
Domg x f g x x pode ser qualquer número real (no caso aqui, será um
número real maior ou igual a zero, pela restrição de x feita anteriormente).
Continuando, temos que:
2
1 1.f g x f g x f x x x
Se considerarmos apenas a igualdade
1f g x x
para determinar o domínio da composta, poderíamos ser levados a concluir, erroneamente, que o
domínio é o conjunto de todos os números reais.
Contudo, vimos que x deve ser não negativo para pertencer ao domínio de g. Assim, o domínio da
composta f g consiste de todos os números do intervalo 0, e não de todos os números reais.
Observe que, quando não existe nenhuma outra restrição de domínio, além daquela relacionada à função
que aplicamos em primeiro lugar, no processo de composição, o domínio da função composta será igual
ao domínio da função que é aplicada em primeiro lugar. No caso aqui, a função g.
EXEMPLO 5 Considere as funções 2 11 e .
1f x x g x
x
Determine o domínio da função
composta .g f
Solução
O objetivo nosso é calcular .g f x g f x
Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g.
Dom e Dom {1}f g
Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de f e
f x deve estar no domínio de g, para que a função g f x faça sentido.
Assim, temos que:
Domx f x pode ser qualquer número real
Dom {1}f x g 2 1f x x pode ser qualquer número real diferente de 1
2 1 1 2f x x x
Continuando o processo de composição, obtemos o seguinte:
2
22
1 11 .
21 1g f x g f x g x
xx
Agora, devemos observar que a restrição feita anteriormente 2x para a função f x , é
suficiente para garantir que a função obtida na composição faça sentido. Portanto, o domínio da função
composta ,f g consiste de todos os números do conjunto , 2 2, 2 2, .
Nesse exemplo, você pode observar que o domínio da função composta é diferente do domínio da função
f, que é aplicada em primeiro lugar no processo de composição. Isso se deve ao fato de existir uma
restrição de domínio relacionada à função g, que é aplicada por último.
EXEMPLO 6 Sabendo que 2
1e 2 6f x g x x
x , determine o domínio, a imagem e a
expressão que representa .f g x
Solução
O objetivo nosso é calcular .f g x f g x
Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g.
Dom {0} e Dom 3,f g
Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de g e
g x deve estar no domínio de f, para que a função f g x faça sentido.
Assim, temos que:
Dom 3,x g x pode ser qualquer número real maior ou igual a 3.
Dom {0}g x f 2 6 0 3g x x x
Continuando o processo de composição, obtemos o seguinte:
2
1 12 6 .
2 62 6
f g x f g x f xxx
Se considerarmos apenas a igualdade
1
2 6f g x
x
para determinar o domínio da composta, poderíamos ser levados a concluir, erroneamente, que o
domínio é o conjunto de todos os números reais diferentes de 3.
Contudo, vimos que x pode ser qualquer número real maior ou igual a 3, para pertencer ao domínio de
g, mas tem que ser diferente de 3, para g x pertencer ao domínio de f.
Assim, o domínio da composta, ,f g consiste de todos os números reais do intervalo 3, e não de
todos os números reais diferentes de 3.
Para determinar a imagem da função 1
2 6u h x
x
obtida, basta calcular a inversa dessa função e
determinar o seu domínio. Para isso, basta isolar a variável independente, na equação que define a função
h, e determinar o domínio da função obtida pelo processo de inversão. Ou seja,
1 1 1 1
2 6 2 6 32 6 2
u h x x x xx u u u
Se fôssemos considerar apenas essa função para calcular o domínio da inversa e, consequentemente, a
imagem da função composta, poderíamos errar na nossa avaliação e concluir que:
1Im Dom {0}.h h
Devemos lembrar que a função composta h só está definida para 3.x Assim, devemos pensar do
seguinte modo:
1 13 3 3 0 0
2 2x u
u u
Portanto,
1 *Im Dom .h h
No estudo do Cálculo Diferencial, trabalhamos mais com a “decomposição” de funções do que
com o processo de compor funções. Por exemplo, considere a função 2( ) ln( 1).h x x
Para calcular o valor de h(x), para um dado valor de x, primeiramente calculamos o valor de 2( 1)x e, em seguida, calculamos o logaritmo neperiano do resultado.
Observe que, essas duas operações são executadas pelas funções
2( ) 1 e lng x x f x x
de modo que
2( ) ln( 1) ln( ( )) ( ( )) .h x x g x f g x f g x
Ou seja, a função 2( ) ln( 1)h x x foi decomposta em duas funções mais simples.
OBS.:
Escrevendo ( ) ( ( )),h x f g x iremos nos referir a g como a “função de dentro” e a f como a “função
de fora” de maneira que, a “função de dentro” realiza a primeira operação e a “função de fora”
realiza a segunda operação.
EXEMPLO 7 Decomponha a função 2( ) 9h x x em funções mais simples.
Solução
Para calcular 2 9,x em primeiro lugar calculamos o valor de (x2 – 9) e, em seguida, a raiz quadrada
do resultado. Assim, denotamos g(x) = x2 – 9 (como a função de dentro) e ( )f x x (como a função
de fora) de modo que:
2 2( ) 9 ( 9) ( ( )) .h x x f x f g x f g x
OBS.:
Importante observar que existem várias maneiras de se decompor uma função em funções
mais simples. Nosso papel é escolher a maneira menos complicada de fazer isso.
Por exemplo, poderíamos ter decomposto a função do Exemplo 7 do seguinte modo:
Para calcular 2 9,x em primeiro lugar poderíamos ter calculado o valor de 2 ,x em seguida,
calculamos o valor de 2 9x e, finalmente, a raiz quadrada do resultado. Assim, denotamos
2 ,v x x 9g x x e ( )f x x de modo que:
2 2 2( ) 9 9 .h x x f x f g x f g v x f g v x
EXERCÍCIOS
1. Dadas as funções f e g, determine a expressão que representa f g x e g f x e o domínio
das funções compostas.
(a) 21( ) e 2
4 1f x g x x
x
(b) 2( ) e 4f x x g x x
(c) 1
( ) e1
f x g x xx
2. Encontre funções mais simples g e h tais que .f g h
(a) ( ) 5f x x (b) 2( ) cosf x x
(c) 1
( )2 3
f xx
(d) 2( ) 2cos( )f x x