1

1.0.RAZÃO Chama-se de razão a relação entre duas grandezas, expressas na mesma unidade ou não. A razão pode ter dimensão (ex. velocidade: m/s, km/h etc.) ou ser adimensional (quando dividimos coisas do mesmo tipo (área por área, etc.) A razão entre duas grandezas é o quociente(divisão) estabelecido entre elas, ou melhor, é o resultado da divisão entre essas grandezas.

Assim, dados dois números aeb , com 0b ,

calcula-se a razão entre a e b por meio da

divisão de a por b .

Para indicarmos a razão entre ae b , usamos:

:ao u a b

b

a → é o antecedente.

b → é o consequente .

A razão acima pode ser lida como:

a está para b

A razão de /a b

a para b

1.1.RAZÕES ESPECIAIS Existem algumas razões especiais que são muito utilizadas no nosso dia-a-dia e das quais você já deve ter ouvido falar: escala, velocidade média, densidade demográfica e densidade de um corpo. CONCORRÊNCIA DE UM CONCURSO É a razão entre o número de candidatos inscritos no concurso e o número de vagas oferecidas por ele.

n de candidatos inscritosConcorrência

n de vagas oferecidas

VELOCIDADE MÉDIA É a razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para percorrê-la.

distância percorridaVelocidade média

tempo gasto

ESCALA NUMÉRICA É a razão entre a medida do desenho (mapa, fotografia, planta,...) e a medida no desenho real.

comprimento no desenhoEscala

comprimento real

Dica do Tio Sormany: Desta forma quando você lê em um mapa que a

escala é de 1 300: , isto significa que para cada

unidade de comprimento no desenho, teremos 300 unidades de comprimento na realidade.

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EXERCÍCIOS BÁSICOS 1)Três amigos Sormany Barreto, Quico e Chaves, possuem juntos R$140,00. Se Chaves, possui R$50,00 e Sormany possui R$35,00.

Calcule as razões entre: a)o total de Chaves e o total de Sormany b)total de Sormany e o total de Quico. c)O total de dinheiro dos três meninos e o total de dinheiro de Chaves. 2)Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes, é de 3/2. Determine a porcentagem de rapazes na festa. a)50% b)40% c)60% d)55% e)48% 1.2. PROPORÇÃO É a expressão que indica uma igualdade entre

duas ou mais razões. A proporção b

a = d

c pode

ser lida como “a está para b assim como c está

para d ” e representada como : : : :a b c d . Nesta

proporção, os números a e d são os extremos

e b e c são os meios.

Em que:

Os conceitos de razão e proporção são tão semelhantes e inter-relacionados, que até se confundem, mas vocês não podem confundir. Resumo: Razão é uma divisão e proporção é uma relação entre mais de uma razão. 1.4.PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PRPORÇÃO. Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

. .a c

a d b cb d

EXERCÍCIOS BÁSICOS 1)A razão entre as idades de dois técnicos é igual a 9/5. Se a soma dessas idades é igual a 70 anos, quantos anos o mais jovem tem a menos do que o mais velho? (A) 15(B) 18 (C) 20 (D) 22 (E) 25 2)A razão entre os salários de dois funcionários de uma empresa é igual a 3/2. A diferença entre o maior salário e o menor é igual a R$ 4. 000,00. Qual o valor do maior salário? (A) R$ 16.000,00 (B) R$ 15.000,00 (C) R$ 12.000,00 (D) R$ 9.000,00 (E) R$ 7.500,00 2.0. Grandezas Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. São exemplos de grandezas: o comprimento, a superfície, o volume, a massa, a velocidade, o tempo, a capacidade de trabalho de uma pessoa, a produção e o custo. É comum em nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas.

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Por exemplo: Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto for maior o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

Já numa corrida de”quilômetro contra o relógio”, quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Nesse caso, as grandezas são a velocidade e o tempo. Duas grandezas são definidas como diretamente proporcionais quando o aumento de uma deles ocasionar o aumento proporcional da outra, ou da mesma forma, quando a diminuição de uma delas significar a diminuição proporcional da outra. Exemplo: Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.

Observe queridos alunos, que as razões entre as grandezas produção e tempo são sempre iguais.

Neste caso as duas grandezas envolvidas, são chamadas grandezas Diretamente proporcionais.

Observe o gráfico que relaciona a pressão e a temperatura de um gás ideal.

Esse é o gráfico característico de duas grandezas diretamente proporcionais. Uma semirreta partindo da origem. Observe que quando a pressão aumenta, a temperatura também aumenta. Assim, se triplicarmos a pressão do gás, o gás terá a sua temperatura triplicada. Se reduzirmos a pressão do gás à metade, a temperatura também será dividida por 2. Duas grandezas são definidas como inversamente proporcionais quando o aumento de uma deles ocasionar uma diminuição proporcional da outra, ou da mesma forma, quando a diminuição de uma delas significar um aumento proporcional da outra. Por exemplo: O ciclista Sormany Barreto faz um treino para a prova de “1.000 metros contra o relógio”, mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo.

5min 100

10 min 200

kg

kg

5min 100

15min 300

kg

kg

100 200 300 40020

5 2 15 20

Grandezas Inversamente Proporcionais

Grandezas Diretamente Proporcionais

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Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.

Quando quadruplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.

Observe queridos alunos, que as razões entre as velocidades e o inverso dos tempos decorridos são sempre iguais, ou de uma forma mais prática, o produto entre a velocidade e o tempo é sempre constante.

Neste caso as duas grandezas envolvidas, são chamadas grandezas Inversamente Proporcionais.

Observe o gráfico que relaciona a pressão e o volume de um gás ideal.

Esse é o gráfico característico de duas grandezas inversamente proporcionais. A curva acima é chamada de “ramo de hipérbole equilátera” Assim, se triplicarmos a pressão do gás, o gás terá a seu volume dividido por 3.

Se reduzirmos a pressão do gás à metade, o volume será multiplicado por 2.

Dizemos que duas grandezas são diretamente

proporcionais, quando a razão entre seus valores é sempre constante.

Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais , quando o produto entre seus valores é sempre constante. DIVISÃO PROPORCIONAL-PROBLEMAS -DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS -DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS -DIVISÃO COMPOSTA MISTA EXERCÍCIOS BÁSICOS 1) Divida o número 140 em parcelas diretamente proporcionais a 2, 4 e 8 2)Um pai resolveu dividir sua fortuna entre três sobrinhas, de modo que a divisão fosse diretamente proporcional às idades. As moças tinham 16, 18 e 21 anos e a quantia a ser dividida era de R$ 55.000.000,00. Quanto recebeu cada uma?

3)Divida o número 36 em parcelas inversamente proporcionais a 6, 4 e 3.

4)Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador irão receber um prêmio de R$ 3.340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao número de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação em reais referente ao que cometeu mais faltas? a)1.540 b)1.100 c)1.640 d)700 e)900

5 / 200

10 / 100

m s s

m s s

5 / 200

20 / 50

m s s

m s s

200 125 100... 200 5 125 8 100 10 ... 1000

1 1 1

5 8 10

5

5)Uma microempresa decide distribuir entre seus três funcionários uma participação nos lucros de R$ 6.900,00. A distribuição foi feita em partes de proporcionalidade composta, direta ao tempo de serviço de cada um e inversa aos seus salários. Sabendo-se que o funcionário X recebe R$ 2.000,00 e possui um ano de trabalho na empresa; o Y recebe R$ 3.000,00 e tem 2 anos e o Z recebe R$ 4.000,00 e possui 3 anos de tempo de serviço, pergunta-se quanto coube a cada um?

3.0-Regra de três

Regra de três são proporções com problemas que envolvem pares de grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 3.1.REGRA DE TRÊS SIMPLES

A regra de três simples é uma proporção que

relaciona apenas duas grandezas.

Dicas do Tio Sormany!!! Dica 1: O primeiro passo em uma questão de regra de três simples é verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Dica 2:Quando a regra de três é direta multiplicamos em X, regra do “CRUZ CREDO”. Dica 3: Quando a regra de três é inversa, multiplicamos lado por lado, regra da LALA. 3.2.REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Regra de três composta é um processo matemático utilizado na resolução de questões que envolvem a proporcionalidade direta ou inversa com mais de duas grandezas.

Estudaremos dois macetes bem legais. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO PRIMEIRO MÉTODO: Método da Cruz. Preciso analisar as grandezas. SEGUNDO MÉTODO: Método Causa(s) e Consequência(s). Não preciso analisar as grandezas. Nota:Consequência: O que o sujeito faz.

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EXERCÍCIOS BÁSICOS 1)Determine, em cada caso, se a relação entre as grandezas é de proporção direta (D) ou inversa (I). ( ) O número de máquinas funcionando e a quantidade de peças que elas produzem durante um mês. ( ) O número de operários trabalhando e o tempo que levam para construir uma estrada de 10 km. ( ) A velocidade de um ônibus e o tempo que ele leva para fazer uma viagem de Aracaju a Itabaiana. ( ) A velocidade de um ônibus e a distância percorrida por ele em duas horas. ( ) A quantidade de ração e o número de animais que podem ser alimentados com ela durante uma semana. ( ) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago. ( ) Quantidade de náufragos e tempo de duração da comida. ( ) Número de erros em uma prova e a nota obtida. ( )Prêmio de uma loteria e número de acertadores. ( )Preço pago e quantidade de produto adquirido. 2)Um carro consumiu 42 litros de gasolina para percorrer 630 km. O consumo desse mesmo carro, em condições equivalentes, para que ele percorra 900 km será de: (A) 50 litros (B) 60 litros (C) 70 litros (D) 80 litros (E) 90 litros 3)Um automóvel faz um certo percurso em 2 horas, com velocidade média de 80 km/h. Se a velocidade média fosse de 60 km/h, em quanto tempo faria esse mesmo percurso? (A) Uma hora e trinta minutos. (B) Uma hora e cinquenta e cinco minutos. (C) Duas horas e vinte minutos. (D) Duas horas e trinta minutos. (E) Duas horas e quarenta minutos

4)Se 4 pintores levam 90 dias para pintar uma casa, quanto tempo levariam 10 pintores, trabalhando tanto quanto os primeiros, para pintar uma casa igual? (A) 25 dias (B) 36 dias (C) 42 dias (D) 50 dias (E) 63 dias 5)Uma pessoa recebe R$ 2.500,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberia se tivesse trabalhado 12 dias a mais? (A) R$ 3.500,00 (B) R$ 3.900,00 (C) R$ 4.000,00 (D) R$ 4.200,00 (E) R$ 4.500,00 6)Sabe-se que, juntos, três funcionários de mesma capacidade operacional são capazes de digitar as 160 páginas de um relatório em 4 horas de trabalho ininterrupto. Nessas condições, o esperado é que dois deles sejam capazes de digitar 120 páginas de tal relatório se trabalharem juntos durante (A) 4 horas e 10 minutos. (B) 4 horas e 20 minutos. (C) 4 horas e 30 minutos. (D) 4 horas e 45 minutos. (E) 5 horas. 7)Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias? (A) 8 (B) 15 (C) 10,5 (D) 13,5 (E) 15,0

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS (CESPE/CEBRASPE-RESOLVIDOS-VÍDEO) 1)(CESPE/CEBRASPE – BNB – 02/12/2018) Todos os caixas de uma agência bancária trabalham com a mesma eficiência: 3 desses caixas atendem 12 clientes em 10 minutos. Nessa situação, 5 desses caixas atenderão 20 clientes em menos de 10 minutos. ( )CERTO ( )ERRADO 2)(TJ-PA Prova: CESPE - 2020 - TJ-PA – Analista Judiciário - Programador ) Determinado equipamento é capaz de digitalizar 1.800 páginas em 4 dias, funcionando 5 horas diárias para esse fim. Nessa situação, a quantidade de páginas que esse mesmo equipamento é capaz de digitalizar em 3 dias, operando 4 horas e 30 minutos diários para esse fim, é igual a A) 2.666. B) 2.160. C) 1.215. D) 1.500. E)1.161. 3)(CESPE - 2016 - CPRM - Técnico em Geociências – Hidrologia) Três caminhões de lixo que trabalham durante doze horas com a mesma produtividade recolhem o lixo de determinada cidade. Nesse caso, cinco desses caminhões, todos com a mesma produtividade, recolherão o lixo dessa cidade trabalhando durante A)6 horas. B )7 horas e 12 minutos. C )7 horas e 20 minutos. D) 8 horas. E) 4 horas e 48 minutos. 4)(CESPE/CEBRASPE – BNB – 02/12/2018) Vilma, Marta e Cláudia trabalham em uma mesma agência bancária. Vilma está nesse emprego há 5 anos, Marta, há 7 anos e Cláudia, há 12 anos. Para premiar a eficiência dessas funcionárias, a direção do banco concedeu-lhes uma bonificação de R$12.000, que deverão ser divididos entre as três, de forma diretamente proporcional aos respectivos tempos de serviço. Nesse caso, Vilma receberá mais de R$3.000 de bonificação. ( )CERTO ( )ERRADO

5)(CESPE-CEBRASPE | STM | ABRIL DE 2018) Os irmãos Jonas, Pierre e Saulo, que têm, respectivamente, 30, 20 e 18 anos de idade, herdaram de seu pai a quantia de R$ 5 milhões. O testamento prevê que essa quantia deverá ser dividida entre os irmãos em partes inversamente proporcionais às suas idades. Nessa situação hipotética, um dos irmãos receberá metade da herança. ( ) CERTO ( ) ERRADO Jonas receberá 50% a mais que Saulo. ( ) CERTO ( ) ERRADO 6)(AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO-IFF/JUNHO DE 2018-CESPE-CEBRASPE) A quantia de R$ 360.000 deverá ser repassada às escolas A, B e C para complemento da merenda escolar. A distribuição será em partes diretamente proporcionais às quantidades de alunos de cada escola. Sabe-se que a escola A tem 20% a mais de alunos que a escola B e que a escola C tem 20% a menos de alunos que a escola B. Nesse caso, a escola A deverá receber A) R$ 140.000. B) R$ 144.000. C) R$ 168.000. D) R$ 192.000. E) R$ 216.000. 7)(CESPE/CEBRASPE – BNB – 02/12/2018) Um digitador digita, em média, sem interrupção, 80 palavras por minuto e gasta 25 minutos para concluir um trabalho. Nessa situação, para que o digitador conclua o mesmo trabalho em 20 minutos, sem interrupção, ele terá que digitar, em média, a)90 palavras por minuto. b)36 palavras por minuto. c)64 palavras por minuto. d)100 palavras por minuto. e)120 palavras por minuto. 8)(CESPE - Agente Administrativo (MDIC)/2014) A respeito de proporções e regra de três, julgue o próximo item. Caso toda a produção de uma fábrica seja destinada aos públicos infantil, jovem e adulto, de modo que as porcentagens da produção destinadas a cada um desses públicos sejam inversamente proporcionais, respectivamente, aos números 2, 3 e 6, então mais de 30% da produção dessa fábrica destinar-se-á ao público jovem. ( ) Certo ( ) Errado

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9)(CEBRASPE/TJDF) Uma manicure, um policial militar, um arquivista e uma auxiliar de administração são todos moradores de Ceilândia e unidos pela mesma missão. Vão assumir um trabalho até então restrito aos gabinetes fechados do Fórum da cidade. Eles vão atuar na mediação de conflitos, como representantes oficiais do TJDFT. Os quatro agentes comunitários foram capacitados para promover acordos e, assim, evitar que desentendimentos do dia-a-dia se transformem em arrastados processos judiciais. E isso vai ser feito nas ruas ou entre uma xícara de café e outra na casa do vizinho. O projeto é inédito no país e vai contar com a participação do Ministério da Justiça, da Ordem dos Advogados do Brasil (OAB), da Universidade de Brasília (UnB), do Ministério Público do Distrito Federal e dos Territórios e da Defensoria Pública. Internet: , acessado em 23/1/2001 (com adaptações). Considere-se que os números de acordos promovidos pela manicure e pelo policial militar em determinada semana estejam na proporção 2 : 5 e que os números de acordos promovidos pela manicure e pelo arquivista nessa mesma semana estejam na proporção 4 : 7. Nessa situação, na referida semana, se o policial militar promoveu 70 acordos, o número de acordos promovidos pelo arquivista foi igual a a)63 b)28 c)49 d)53 e)55 10)(Sormany Barreto-2018)O Centro de Estudos Sou mais Sormany deseja distribuir R$ 500 em desconto nas matriculas entre três alunos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do aluno mais velho é duas vezes a renda do aluno mais novo e que a renda do aluno do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o aluno mais velho tem três filhos, o do meio tem dois filhos e o aluno mais novo tem dois filhos, quanto receberá o aluno do meio? a) R$ 80 b) R$ 100 c) R$ 120 d) R$ 160 e) R$ 180

11)(CEBRASPE/STM/2011) Determinado órgão promoveu concurso público para provimento de vagas de um cargo de nível médio e um de nível superior. As remunerações mensais dos cargos de nível médio e de nível superior eram números diretamente proporcionais a 2 e 3; e a remuneração mensal do cargo de nível médio era R$ 3.000,00 menor que a remuneração do cargo de nível superior. A respeito dessa situação, julgue o item que se segue. A soma das remunerações mensais dos 2 cargos é superior a R$ 16.000,00. ( ) CERTO ( ) ERRADO Ficou pior para quem bebe.

O governo ainda espera a consolidação dos

dados do primeiro mês de aplicação da Lei Seca

para avaliar seu impacto sobre a cassação de

CNHs. As primeiras projeções indicam, porém,

que as apreensões subirão, no mínimo, 10%.

Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas

ou cassadas, em média, aproximadamente

155.000 CNHs por ano. Se as previsões

estiverem corretas, a média anual deve subir

para próximo de 170.000. A tabela a seguir

mostra esses resultados nos últimos anos

( fonte: DENATRAN ).

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12)Suponha que, em 2006, nenhuma CNH

tenha sofrido simultaneamente as penalidades

de suspensão e de cassação e que, nesse

mesmo ano, para cada 5 CNHs suspensas, 3

eram cassadas. Nessa situação, é correto

afirmar que a diferença entre o número de

CNHs suspensas e o número de CNHs cassadas

é:

A) inferior a 24.000.

B) superior a 24.000 e inferior a 25.000.

C) superior a 25.000 e inferior a 26.000.

D) superior a 26.000 e inferior a 27.000.

E) superior a 27.000

13)(CESPE)Se foram feitos 2/5 de um relatório em 10 dias por 24 alunos, que estudaram 7 horas por dia, então quantos dias serão necessários para terminar este relatório, sabendo-se que 4 alunos desistiram e que o restante agora estuda 6 horas por dia?

A) 25 B) 22 C) 20 D) 21 E) 19

14)(PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA-SEDF/JANEIRO DE 2017-CESPE) Julgue o item a seguir, relativo a regra de três. Situação hipotética: Em uma empresa de TV a cabo, 12 técnicos que trabalham no mesmo ritmo, 6 horas por dia, atendem toda a demanda de reparo e instalação solicitada pelos clientes diariamente. Entretanto, devido a uma promoção, a demanda dobrou e a empresa passou a estipular que todos os técnicos trabalhassem por 8 horas diárias. Assertiva: Nessa situação, para atender totalmente à nova demanda, serão necessários, pelo menos, 8 novos técnicos que trabalhem no mesmo ritmo que os demais. ( ) CERTO ( ) ERRADO