If you can't read please download the document
View
215
Download
0
Embed Size (px)
ANDERSON SECCO
CONCEITO DE REA: DA COMPOSIO E DECOMPOSIO DE FIGURAS AT AS FRMULAS
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA
PUC/SP So Paulo
2007
ANDERSON SECCO
CONCEITO DE REA: DA COMPOSIO E DECOMPOSIO DE FIGURAS AT AS FRMULAS
Dissertao apresentada Banca Examinadora da
Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo, como
exigncia parcial para obteno do ttulo de MESTRE
PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA, sob a
orientao do Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni.
PUC/SP So Paulo
2007
Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total ou parcial desta
Dissertao por processos de fotocopiadoras ou eletrnicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
DEDICATRIA
A minha querida esposa Sheila Cristina Campanharo Secco e
meu filho Leonardo Campanharo Secco, pelo apoio, pacincia,
incentivo e principalmente compreenso pelos momentos de ausncia
durante a dedicao ao Mestrado.
AGRADECIMENTO
A DEUS, por todos os momentos de minha vida e por permitir a realizao
de um sonho.
Ao Professor Dr. Vincenzo Bongiovanni, pela sua orientao competente,
sua disponibilidade, sugestes, comentrios, estmulos positivos e principalmente
por acreditar em mim.
Professora Dra. Maria Cristina Arajo de Oliveira e ao Professor Dr.
Carlos Henrique Barbosa Gonalves, por participarem da banca examinadora e
por suas valiosas e enriquecedoras contribuies a este trabalho.
Aos Professores do Programa de Estudos de Ps-Graduados da Pontifcia
Universidade Catlica de So Paulo por tudo que ensinaram.
Em especial, amiga, Professora e coordenadora Meire Candido Bacci,
pelo seu apoio e participao durante a edio e reviso deste trabalho.
A todos os colegas da turma de Mestrado Profissional em Ensino de
Matemtica, pela oportunidade de estudarmos juntos, em especial a Andrea,
Amarildo, Eline e Silviane, amigos de sempre.
A Professora Nvea do Nascimento Marinho pela sua contribuio na
correo gramatical.
Aos meus pais, que sempre me incentivaram a estudar, em especial a
minha me por querer sempre mais.
Secretaria de Educao do Estado de So Paulo, por ter me concedido
bolsa de estudos e a supervisora de So Bernardo do Campo Elenir, pelas
informaes e ateno dispensada.
A todas as pessoas que de forma direta ou indireta, contriburam para a
realizao deste trabalho, em especial aos alunos que fizeram parte desta
pesquisa.
RESUMO
O objetivo desta pesquisa investigar atravs do uso da composio e
decomposio de figuras planas, at a demonstrao das frmulas, como o
conceito de rea pode ser apresentado de maneira significativa e motivadora aos
alunos da 8 srie do Ensino Fundamental. Para tanto, norteamos nosso trabalho
a partir das hipteses:
Como o processo de reconfigurao de figuras poligonais contribui para a
apropriao do conceito de rea de um polgono?
Como esse processo favorece a passagem do emprico para o dedutivo?
Fundamentamos nossa pesquisa nos pressupostos tericos de Duval e
suas diferentes formas de apreender uma figura, na teoria de Vergnaud, sobre os
campos conceituais, nos nveis do desenvolvimento do pensamento geomtrico
de Parzysz, nas idias de Freudenthal sobre uma organizao local em um
processo dedutivo e nos pressupostos tericos da geometria dinmica com a
utilizao do software Cabri-gomtre.
Atravs da metodologia da engenharia didtica, desenvolvemos uma
seqncia didtica formada por trs blocos. No primeiro bloco, as atividades
foram desenvolvidas com o uso do material concreto, no qual todas validaes
foram realizadas de forma emprica. O segundo bloco, realizado em um
laboratrio de informtica, tendo como recurso o software Cabri-Gomtre, as
mesmas observaes feitas anteriormente, foram verificadas e validadas atravs
das construes geomtricas, evidenciando assim as propriedades matemticas
existentes nas figuras atravs de uma geometria dinmica. No terceiro bloco,
atravs de atividades dedutivas, que objetivavam introduzir as frmulas para o
clculo de rea, procuramos sistematizar o que foi verificado nos blocos
anteriores.
As anlises de experimentao da seqncia mostraram que o processo
de reconfigurao de figuras poligonais planas contribuiu para a apropriao do
conceito de rea e que esse processo foi significativamente favorvel passagem
do emprico para o dedutivo.
Palavras-chave: rea, reconfigurao, composio, decomposio, geometria.
ABSTRACT
The objective of this research is to investigate across the use of
composition and decomposition of plan forms, until the demonstration of the
formula, how the area concept can be showed in the significative and motivating
way to the students. To do it, we direct our studies from some hypothesis:
How the reconfiguration processes of polygon forms contribute to the
assumption of the polygon area concept?
How this process benefits the passage of the empirical to deductive?
We basis our research in the theory Duval purpose and in your different
ways to learn a form, detaching mainly the operative apprehension, in the
Vergnaud theory, about the fields concepts , in the development geometric idea of
the Parzysz and the Freudenthal ideas about on local organization in a deductive
process and in a dynamic geometry using the software Cabri-Gomtre.
Through of the engineering didactic methodology, we developed a teaching
didactic sequence formed by three blocks. In the first block, the activities was
developed using concrete material, which all deductions and validations was
realized in an empirical form. In the second block, it was realized in an informatics
laboratory, using a resource called Cabri-Gomtre (software), the same
observation made before was verified and validated across the geometrics
constructions, indicating the mathematic properties existing in the forms across of
the dynamic geometry. In the third block, across the deductive activities, which
objective to introduce the formulas to the area calculus, we find to systematize
which was verified in the blocks earlier.
The experiment analysis of the sequences showed that the process of the
plan polygon forms reconfiguration contributed to the appropriation of the area
concept and this process was very significant and helpful to the passage between
empirical and deductive.
Keywords area, reconfiguration, composition, decomposition, geometry.
Sumrio
Captulo 1 ............................................................................................................. 10
Problemtica ........................................................................................................ 10
1.1 Introduo................................................................................................... 10
1.2 Descrio do trabalho ................................................................................. 22
1.3 Fundamentao Terica ............................................................................. 23
1.3.1 Duval .................................................................................................... 23
1.3.2 Vergnaud.............................................................................................. 25
1.3.3 Parzysz ................................................................................................ 27
1.3.4 Freudenthal .......................................................................................... 28
1.3.5 Geometria dinmica ............................................................................. 30
1.4 Questo de pesquisa.................................................................................. 31
1.5 Consideraes metodolgicas.................................................................... 32
Captulo 2 ............................................................................................................. 34
Um estudo do objeto matemtico - rea .............................................................. 34
2.1 Um breve estudo histrico sobre o clculo de reas .................................. 34
2.1.1 CLAIRAUT ........................................................................................... 37
2.1.2 LEGENDRE ......................................................................................... 39
2.1.3 HADAMARD......................................................................................... 43
2.2 Um tratamento mais recente sobre o clculo de reas de figuras
elementares .................................................................................................. 43
2.3 reas de figuras gerais ........................................................................... 52
2.4 Como os livros didticos apresentam o conceito e o clculo de rea de
figuras planas............................................
