CONCEITO DE ÁREA: DA COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE FIGURAS ... · PDF fileCONCEITO DE ÁREA: DA COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE FIGURAS ATÉ AS FÓRMULAS Dissertação apresentada

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ANDERSON SECCO

CONCEITO DE REA: DA COMPOSIO E DECOMPOSIO DE FIGURAS AT AS FRMULAS

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA

PUC/SP So Paulo

2007

ANDERSON SECCO

CONCEITO DE REA: DA COMPOSIO E DECOMPOSIO DE FIGURAS AT AS FRMULAS

Dissertao apresentada Banca Examinadora da

Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo, como

exigncia parcial para obteno do ttulo de MESTRE

PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA, sob a

orientao do Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni.

PUC/SP So Paulo

2007

Banca Examinadora

________________________________________

________________________________________

________________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total ou parcial desta

Dissertao por processos de fotocopiadoras ou eletrnicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

DEDICATRIA

A minha querida esposa Sheila Cristina Campanharo Secco e

meu filho Leonardo Campanharo Secco, pelo apoio, pacincia,

incentivo e principalmente compreenso pelos momentos de ausncia

durante a dedicao ao Mestrado.

AGRADECIMENTO

A DEUS, por todos os momentos de minha vida e por permitir a realizao

de um sonho.

Ao Professor Dr. Vincenzo Bongiovanni, pela sua orientao competente,

sua disponibilidade, sugestes, comentrios, estmulos positivos e principalmente

por acreditar em mim.

Professora Dra. Maria Cristina Arajo de Oliveira e ao Professor Dr.

Carlos Henrique Barbosa Gonalves, por participarem da banca examinadora e

por suas valiosas e enriquecedoras contribuies a este trabalho.

Aos Professores do Programa de Estudos de Ps-Graduados da Pontifcia

Universidade Catlica de So Paulo por tudo que ensinaram.

Em especial, amiga, Professora e coordenadora Meire Candido Bacci,

pelo seu apoio e participao durante a edio e reviso deste trabalho.

A todos os colegas da turma de Mestrado Profissional em Ensino de

Matemtica, pela oportunidade de estudarmos juntos, em especial a Andrea,

Amarildo, Eline e Silviane, amigos de sempre.

A Professora Nvea do Nascimento Marinho pela sua contribuio na

correo gramatical.

Aos meus pais, que sempre me incentivaram a estudar, em especial a

minha me por querer sempre mais.

Secretaria de Educao do Estado de So Paulo, por ter me concedido

bolsa de estudos e a supervisora de So Bernardo do Campo Elenir, pelas

informaes e ateno dispensada.

A todas as pessoas que de forma direta ou indireta, contriburam para a

realizao deste trabalho, em especial aos alunos que fizeram parte desta

pesquisa.

RESUMO

O objetivo desta pesquisa investigar atravs do uso da composio e

decomposio de figuras planas, at a demonstrao das frmulas, como o

conceito de rea pode ser apresentado de maneira significativa e motivadora aos

alunos da 8 srie do Ensino Fundamental. Para tanto, norteamos nosso trabalho

a partir das hipteses:

Como o processo de reconfigurao de figuras poligonais contribui para a

apropriao do conceito de rea de um polgono?

Como esse processo favorece a passagem do emprico para o dedutivo?

Fundamentamos nossa pesquisa nos pressupostos tericos de Duval e

suas diferentes formas de apreender uma figura, na teoria de Vergnaud, sobre os

campos conceituais, nos nveis do desenvolvimento do pensamento geomtrico

de Parzysz, nas idias de Freudenthal sobre uma organizao local em um

processo dedutivo e nos pressupostos tericos da geometria dinmica com a

utilizao do software Cabri-gomtre.

Atravs da metodologia da engenharia didtica, desenvolvemos uma

seqncia didtica formada por trs blocos. No primeiro bloco, as atividades

foram desenvolvidas com o uso do material concreto, no qual todas validaes

foram realizadas de forma emprica. O segundo bloco, realizado em um

laboratrio de informtica, tendo como recurso o software Cabri-Gomtre, as

mesmas observaes feitas anteriormente, foram verificadas e validadas atravs

das construes geomtricas, evidenciando assim as propriedades matemticas

existentes nas figuras atravs de uma geometria dinmica. No terceiro bloco,

atravs de atividades dedutivas, que objetivavam introduzir as frmulas para o

clculo de rea, procuramos sistematizar o que foi verificado nos blocos

anteriores.

As anlises de experimentao da seqncia mostraram que o processo

de reconfigurao de figuras poligonais planas contribuiu para a apropriao do

conceito de rea e que esse processo foi significativamente favorvel passagem

do emprico para o dedutivo.

Palavras-chave: rea, reconfigurao, composio, decomposio, geometria.

ABSTRACT

The objective of this research is to investigate across the use of

composition and decomposition of plan forms, until the demonstration of the

formula, how the area concept can be showed in the significative and motivating

way to the students. To do it, we direct our studies from some hypothesis:

How the reconfiguration processes of polygon forms contribute to the

assumption of the polygon area concept?

How this process benefits the passage of the empirical to deductive?

We basis our research in the theory Duval purpose and in your different

ways to learn a form, detaching mainly the operative apprehension, in the

Vergnaud theory, about the fields concepts , in the development geometric idea of

the Parzysz and the Freudenthal ideas about on local organization in a deductive

process and in a dynamic geometry using the software Cabri-Gomtre.

Through of the engineering didactic methodology, we developed a teaching

didactic sequence formed by three blocks. In the first block, the activities was

developed using concrete material, which all deductions and validations was

realized in an empirical form. In the second block, it was realized in an informatics

laboratory, using a resource called Cabri-Gomtre (software), the same

observation made before was verified and validated across the geometrics

constructions, indicating the mathematic properties existing in the forms across of

the dynamic geometry. In the third block, across the deductive activities, which

objective to introduce the formulas to the area calculus, we find to systematize

which was verified in the blocks earlier.

The experiment analysis of the sequences showed that the process of the

plan polygon forms reconfiguration contributed to the appropriation of the area

concept and this process was very significant and helpful to the passage between

empirical and deductive.

Keywords area, reconfiguration, composition, decomposition, geometry.

Sumrio

Captulo 1 ............................................................................................................. 10

Problemtica ........................................................................................................ 10

1.1 Introduo................................................................................................... 10

1.2 Descrio do trabalho ................................................................................. 22

1.3 Fundamentao Terica ............................................................................. 23

1.3.1 Duval .................................................................................................... 23

1.3.2 Vergnaud.............................................................................................. 25

1.3.3 Parzysz ................................................................................................ 27

1.3.4 Freudenthal .......................................................................................... 28

1.3.5 Geometria dinmica ............................................................................. 30

1.4 Questo de pesquisa.................................................................................. 31

1.5 Consideraes metodolgicas.................................................................... 32

Captulo 2 ............................................................................................................. 34

Um estudo do objeto matemtico - rea .............................................................. 34

2.1 Um breve estudo histrico sobre o clculo de reas .................................. 34

2.1.1 CLAIRAUT ........................................................................................... 37

2.1.2 LEGENDRE ......................................................................................... 39

2.1.3 HADAMARD......................................................................................... 43

2.2 Um tratamento mais recente sobre o clculo de reas de figuras

elementares .................................................................................................. 43

2.3 reas de figuras gerais ........................................................................... 52

2.4 Como os livros didticos apresentam o conceito e o clculo de rea de

figuras planas............................................

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