Prof. Jorge KennetyProf. Jorge Kennety

Em geral, a incerteza consiste de vários componentes que podem seragrupados em duas categorias gerais:

1.1 INTRODUÇÃO

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agrupados em duas categorias gerais:

a) os que podem ser avaliados com auxílio de métodos estatísticos;b) os que necessitam de outros meios.

A incerteza é importante na hora de comparar resultados. Na tabelaabaixo temos os resultados de duas medições de uma mesma grandezacom diferentes aparelhos e o valor do padrão (nesse caso semincerteza).

Medida Viscosidade (g cm-1 s-1)A 9,8 ± 0,2

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B 12,3 ± 4,0Padrão 9,3

Na tabela, o valor de u na expressão “ m ± u ” indica a incerteza da medida. Ointervalo [m-u, m+u] é denominado intervalo de confiança e tem, em geral,uma probabilidade associada de que a medida m caia dentro da faixa devalores definida pelo intervalo.

1.2 Algarismos 1.2 Algarismos 1.2 Algarismos 1.2 Algarismos significativossignificativossignificativossignificativosVamos considerar uma situação hipotética em que temos um objeto AB e desejamos medi-lo com uma régua graduada em centímetros, como se mostra na Figura 1.1.

Uma vez decidido o que caracteriza otamanho do besouro, qual das alternativasabaixo melhor caracteriza

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Figura 1.1. Medindo o tamanho de um besouro.

abaixo melhor caracterizaa medida do tamanho do besouro?

a) Entre 0 e 1 cmb) Entre 1 e 2 cmc) Entre 1,5 e 1,6 cmd) Entre 1,54 e 1,56 cme) Entre 1,546 e 1,547 cm

Acertou quem disse: entre 1,54 e 1,56 cm

Isso porque, na leitura de uma escala, o algarismo significativo mais àdireita de um número deve sempre ser o duvidoso (não esqueça: oalgarismo duvidoso também é significativo!)

Resumindo: Qualquer medida por comparação entre um objeto e umaescala deve incluir além dos dígitos exatos (1,5 nesse caso) uma

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escala deve incluir além dos dígitos exatos (1,5 nesse caso) umaestimativa do algarismo duvidoso

Obs: Uma vez que a régua foi marcada em milímetros você deve estimaro comprimento fracionário (em décimos de mm) que melhor expressasua medição.

Definimos então, algarismos significativos de uma medida comotodos os algarismos que temos certeza (os exatos) e mais umduvidoso (sempre o algarismo duvidoso é o último da direita).

Obs: Os dígitos ou algarismos de um número contam-se da esquerdapara a direita, a partir do primeiro não nulo, e são significativos todos

1.3 Incerteza1.3 Incerteza1.3 Incerteza1.3 Incerteza

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os exatos e somente o primeiro duvidoso.

É a fração avaliada da menor divisão da escala, isto é, no dígito duvidoso é que reside a incerteza da medida.

Exemplo: a medida de de AB = (8,6 ±0,2) cm.

O valor ± 0,2 cm é chamado de incerteza absoluta.

0,2/ 8,6 = ±0,023 ou 2,3% m é chamado de incerteza relativa.

Obs: Não confundir o Erro com Incerteza. O erro de uma medição ésua diferença para o valor verdadeiro (que em geral não é acessível).

“Erro = valor medido – valor verdadeiro”

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“Erro = valor medido – valor verdadeiro”

Incerteza caracteriza a dispersão dos valores que podem serrazoavelmente atribuídos ao mensurando.

1.3 Arredondamento1.3 Arredondamento1.3 Arredondamento1.3 Arredondamento

Um número é arredondado para outro, com o número de algarismos significativosdesejados, pelo cancelamento de um ou mais algarismos da direita para a esquerda.Duas regras podem ser utilizadas neste caso:

1. “Quando o algarismo suprimido é menor do que 5, o imediatamente anteriorpermanece igual.”2. “Quando o algarismo suprimido é maior ou igual a 5, o imediatamente anterior é

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2. “Quando o algarismo suprimido é maior ou igual a 5, o imediatamente anterior éacrescido de uma unidade.”

Exemplos:L = 2,143 m ⇒ L = 2,14 m, depois de arredondadoL = 0,0506 m ⇒ L = 0,051 m, depois de arredondado

1111....4444 TeoriaTeoriaTeoriaTeoria dosdosdosdos erroserroserroserros aplicadaaplicadaaplicadaaplicada aaaa umumumum

conjuntoconjuntoconjuntoconjunto dededede medidasmedidasmedidasmedidas experimentaisexperimentaisexperimentaisexperimentais

Nosso objetivo é saber qual deve ser o valor mais provável da grandezamedida, qual a diferença entre este valor e cada valor medido emparticular.

1.4.1 Valor médio de uma grandeza

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1.4.1 Valor médio de uma grandeza

Sejam x1, x2, x3, ..., xn as n medidas realizadas de uma mesma grandeza física X.O valor médio desta grandeza denotado por X é definido pela médiaaritmética dos valores medidos, ou seja,

representa o valor mais provável da grandeza medida

1.4.2 Dispersão das medidas em relação ao valor médio

interessante saber de quanto as medidas individuais xi se afastam, em média, do valormédio, ou seja, de que maneira as medidas xi se distribuem em torno do valor médio. A essefato denominamos “dispersão”. Para medir a dispersão são utilizadas algumaspropriedades da série de medidas, tais como o Desvio médio, Desvio Relativo, aVariância e o Desvio Padrão.

Desvio médio (δ)

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Desvio médio (δ)

Desvio médio é a soma dos módulos dos desvio de cada medida em relação a médiapelo número de medidas, ou seja,

Desvio relativo (dr)O desvio relativo é definido como a razão entre o desvio médio e o valor médio da grandeza, ou seja,

desvio relativo é geralmente dado em termos percentuais. Ele representa em

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desvio relativo é geralmente dado em termos percentuais. Ele representa emporcentagem, o quanto o valor medido difere do valor médio.

VariânciaA variância é definida como a média aritmética dos quadrados dos desvios de todosos valores da grandeza, em relação ao valor médio, ou seja,

Obs: Representa o quão longe em geral os seusvalores se encontram do valor esperado.

� = � 1� − 1�(���=1 − �)2

Desvio padrãoO desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e portanto expresso na mesma unidade da grandeza medida:

Este valor representa uma estimativa da dispersão em torno do valor médio quando setem poucos valores (uma amostra) de um universo maior de valores (população).

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tem poucos valores (uma amostra) de um universo maior de valores (população).

Estimativa do desvio padrão das médias de n valores:

Valor experimental corrigido (V.E.C)=

�� = � 1(� − 1)��(���=1 − �)2

� ± ��

Conclusão:DESVIO PADRÃO

Parâmetro que caracteriza a dispersão das medidas e expressa aqualidade das medições.

DESVIO PADRÃO DA MÉDIAExpressa a incerteza do valor médio de n medições em condições derepetitividade.

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repetitividade.

Se tivermos apenas uma única medida? Aí não tem jeito! Com apenas uma medição nãonão há como determinar o desvio padrão do processo de medição. Nesse caso, ouusamos a metade da menor divisão da escala, ou “chutamos” uma incerteza razoável (atépossível com um pouco de prática), ou só nos resta repetir as medições algumas vezes,determinar a média e o desvio padrão da média.

Exemplo: A tabela abaixo representa as medidas

realizadas por um operário de uma empresa de

aeronáutica, a uma mesma chapa metálica utilizada na

fabricação da asa. Determine o valor experimental

corrigido(V.E.C).

medida Valores(m)

1 27,3800"

2 27,3845

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2 27,3845

3 27,4025

4 27,3950

5 27,3725

6 27,3900

7 27,3600

8 27,3725

9 27,3800

10 27,4000

11 27,3950

12 27,3850

Referências:Obs: Algumas definições e figuras foram retiradas do texto apresentado pelo prof. Dr. Manfredo Harri do instituto de Física da USP.(Publicado na internet)

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