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CF1JARA - Processamento de Sinal
Conceitos fundamentais
Existem parâmetros que caracterizam os sinais e que permitem a comparação entre eles.
Valor médio
Para um sinal que se repete com um determinado intervalo (periódico) a expressão para calcular o valor médio também é esta.
u(t)
t0 T
<u(t)>
t0 T
<u(t)>
t02T
2T−
Ex: u(t)
t02T
2T−
A
22424
1
112121
22
2
0
20
2
22
0
0
2
ATA
T
T
ATA
T
T
A
T
AttT
A
TAtt
T
A
TdtAt
T
A
TdtAt
T
A
T
T
T
T
T
=
+−+−=
+−+
+=
+−+
+=−
−
=><TT dttu
Ttu )(
1)(
−=>< 2
2
)(1
)(T
TT dttuT
tu
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF2JARA - Processamento de Sinal
Para o caso geral, o cálculo do valor médio é estendido a todo o intervalo da variável,
O valor médio de um sinal limitado no tempo é nulo.
Potência instantânea
É a potência do sinal num determinado instante.
Se u(t) for a tensão aplicada a uma resistência de 1 Ω, a potência instantânea indica a potência dissipada na resistência em cada instante.
∞→>=<
00
)(1
lim)(0
TTdttu
Ttu
1 Ωv(t)
R
tvtitvtp
)()()()(
2
==
)()()()( *2tutututp ==
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF3JARA - Processamento de Sinal
Energia do sinal
A energia de um sinal, num determinado instante de tempo, é a potência dissipada nesse intervalo de tempo.
Generalizando,
Ex1: v(t)
t0
=TT dttuW
2)(
∞
∞−= dttuW
2)(
∞=== ∞∞
∞− 0
2)( dtdttvW
Ex2:v(t)
t0
∞ −∞
∞−==
0
22)( dtedttvW tα
αα
α
2
1
20
2
=
−=
∞− te
0, >− ααte
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF4JARA - Processamento de Sinal
Potência média do sinal ou potência do sinal
A potência do sinal é o valor médio da potência instantânea.
Ex:u(t)
tT00
0
0
2
)cos()(
T
ttu
πω
ω
=
=
==00
)(cos1
)(1
02
0
2
0TT
dttT
dttuT
P ω
0
0
00
0
00
0
0 2
)2(sen
2
11
2
)2cos(11T
T tt
Tdt
t
T
+=+= ω
ωω( )
2
12
2
0sen2
2sen
2
1
0
000
0
=
×
−
×
+=
T
TTT
T π
π
>>=<=< 2)()( tutpP
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF5JARA - Processamento de Sinal
Valor eficaz
Ex:
Classificação dos sinais
Os sinais podem ser agrupados em conjuntos, de acordo com as suas características (duração, repetição, previsão, energia, etc).
O valor eficaz é, por definição, dado porPVef =
2
2
2
1
2
1 === efVP
Sinais determinísticos
- Alternados ou periódicos
- Quasi-periódicos
- De impulso
- Analógicos
- DigitaisSinais
- Potência
- EnergiaSinais
- Contínuos
- DiscretosSinais
- Constantes
- Variáveis
- Não periódicos
- Quasi-periódicos
- Periódicos
- Aleatórios
- DeterminísticosSinais u(t)
t0
… …
t0 t0+T0
0lim)(1
lim0
2
0 000
===∞→∞→ T
Wdttu
TP
TTT
(sinal de energia)
)()( 000 nTtutu ±=
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF6JARA - Processamento de Sinal
Sinais mais impor tantes
Sinais contínuos de potência
Sinusoidal: u(t)
t
… …
t0
T0
-A
A
0000
00
0
0
2
)cos()(
ωϕϕω
πω
ϕω
−==+
=
+=
tt
T
tAtu
Onda rectangular:
t0 0t
u(t)
… …
0T
Cissóide:
tjetu ω=)(
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF7JARA - Processamento de Sinal
Exponencial complexa:ctCetu =)(
)()( 00 θωαωαθ ++ == tjttjj eeCeeC
t
0<α
)cos()( 0 θωα += teCtu t
0>α
t
)cos()( 0 θωα += teCtu t
t
teCtu α=)(
0<α
t
teCtu α=)(
0>α
)(sen)cos()( 00 θωθω αα +++= teCjteCtu tt
[ ] )(2
2)(
2
)( 000
000 θωθππθπ
θω +
++
++
++ === tjt
TjTt
Tj
Ttj eeeeé uma função periódica:
)( 0)( θω += tjetvA parte complexa da exponencial:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF8JARA - Processamento de Sinal
O impulso de Dirac toma um valor infinito num intervalo infinitesimal.
Pode ser visto como o limite da função rectangular.
Degrau de Heaviside:
Impulso de Dirac:
t0
)(thH
1
<≥
=00
01)(
t
tthH
t0
)(tδ
1
<<
= outros0
1)( 212
1
tttdtt
t
tδ
t
)(t∆δ
∆
∆1
)(lim)(0
tt ∆→∆= δδ
Dirac atrasado:
t0
)( 0tt −δ
0t
=2
1
)0()(2t
tdtt δδ
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF9JARA - Processamento de Sinal
Para se resolver o problema da derivada de uma função descontínua:
Também se podem obter as seguintes relações:
e
dt
tdht H )()( =δ
∞−=
t
H dth ττδ )()(
t
)(t∆δ
∆
∆1
t∆
1
+∞
∞−
+∞
∞−−=− dttudtttu )()()()( τδττδ
)(
)()(
τ
τδτ
u
dttu
=
−= +∞
∞− t
t
)(tu
×
τ
Propriedade:
)(||
1)( t
aat δδ =
+∞
∞−−= dtttuu )()()( τδτ
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF10JARA - Processamento de Sinal
Sinais contínuos de energia
Impulso rectangular:
Seno cardinal:
t020t
20t−
)(0
tpt
t20T 0
0
2
T
πω =t
tt
0
00
)(sen)(senc
ωωω =
Função gaussiana:
t
1
g(t)
2
2
2
2
1)( σ
πσ
t
etg−
=
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF11JARA - Processamento de Sinal
Sinais discretos
Só tomam valores em alguns pontos:
Também se pode representar pelas suas componentes, definidas pelas áreas dos Dirac:
As componentes são obtidas a partir da função u(t) por
Para a mesma notação da literatura substituiu-se nT por n.
t0 T T2T− T3 T4
)(tu
)0(u
)(Tu)2( Tu
)3( Tu)4( Tu
)( Tu − )5( Tu
)6( Tu
T5 T6T2−T3−
)2( Tu −
)3( Tu − ∞
−∞=
−=n
nTtnTutu )()()( δ
nTttunTu
== )()(
n0 1 21− 3 4
)(nu
)0(u
)1(u)2(u
)3(u)4(u
)1(−u
5 6
)2(−u
)3(−u
)5(u
)6(u
2−3−
)()0()()0(
1)()(
)0(
1)( nunTumTnTmTunTu
m
==−= ∞
−∞=δ
δδ
δ
)(nuou
Podem ser representados por impulsos de Dirac, o que permite representar um sinal discreto por um contínuo:
nTttunTu == )(
)0(
1)(
δ
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CF12JARA - Processamento de Sinal
Média de um sinal discreto:
É a média das suas componentes
>=<∞→>=<
NnN
nTuN
nTu )(1
lim)(
Consideremos
<N> período discreto
∞
∞−
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
∞−
−
−== dtmTtmTunTtnTudttuWmn
)()()()()( *2 δδ
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
∞−
∞
−∞=
∞
−∞=
=−=
−−=
nn m
n m
nTunTmTmTunTu
dtmTtnTtmTunTu
)0()()()()(
)()()()(
2*
*
δδ
δδ
A potência de um sinal é
∞
−∞==
n
nTuW2
)(
A definição de energia que faz sentido para um sinal discreto é a energia das componentes
>=< 2)(nTuP
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF13JARA - Processamento de Sinal
Trem de Diracs:
Degrau de Heavisidediscreto:
t0
1
T T2T− T3 T4
……
)(tTδ
,...2,1,0 ,1)( ±±== nnTδ∞
−∞=−=
nT nTtt )()( δδ
Notar que:
t0
1
t0
1
T T2T− T3 T4
……
)(tTδ×
t0
1
T T2T− T3 T4
……
)(thH
)(thHc
n0
1
……
)(nhH
1 21− 3 4 52−
∞
=−=
0
)()(n
Hd nTtth δ
<≥
=00
01)(
n
nnhHd
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF14JARA - Processamento de Sinal
Sinusóide:
A sinusóide discreta e a exponencial complexa nem sempre são periódicas.
- A frequência aumenta com ω0 - A frequência aumenta com Ω0 até π (ω0 até π/T), decresce até2π e depois repete-se. baixas frequências próximo de Ω0=0, 2π, 4π, … e altas frequências próximo de Ω0=π, 3π, …
Caso contínuo: Caso discreto:
- Para que cos(ω0t) seja periódico- Para que cos(Ω0n) seja periódico
neste caso a função só é periódica quando 2π/Ω0 for racional e a frequência fundamental é
é sempre periódico de frequência fundamental
n0
)(nu
1 21− 3 42−
∞
−∞=−+=
no nTtnTAtu )()cos()( δθω
T
nAnTAnu
o
oo
0
)cos()cos()(
ωθθω
=Ω+Ω=+=
[ ]
0000
000
22
)cos()(cos
ωππω
ωω
kTkT
tTt
==
=+ [ ]
TkkNkN
nNn
000
00
222
)cos()(cos
ωπππ =
Ω==Ω
Ω=+Ω
00
2
Tk
πω =Nk
π20 =Ω
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF15JARA - Processamento de Sinal
Ex1:
1)0cos()( == nnu
=
8cos)( nnu π
=
4cos)( nnu π
=
2cos)( nnu π
( )nnu πcos)( =
=
23cos)( nnu π
=
47cos)( nnu π
=
815cos)( nnu π ( )nnu π2cos)( =
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF16JARA - Processamento de Sinal
Ex2:
n
=
318cos)( nnu π
kkN431
3182 == ππ
==
31
4
N
k
n
=
6cos)( nnu
kkN ππ 12
61
2 ==
não é periódico (embora o seja a envolvente)
n
=
122cos)( nnu π kkN 12
1222 == ππ
==
12
1
N
k
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF17JARA - Processamento de Sinal
Processamento gráfico de sinais
A derivada do impulso de Dirac é
Der ivada
t0 t0
1
2
-1 1
)(tudt
tdutu
)()( =′
-1 1
1
-2
Integral
O integral é dado pela área da
função desde menos infinito até t.
δ(t)
t0
1
t0
dtt)(δ
1
u(t)
t0-1 1
1
t0
dttu )(
-1 1
11/2
t0
)(tu
-1 1
1
t0
dttu )(
-1 1
2
mas não tem representação gráfica.
dt
tdt
)()(
δδ =′
∞
−tdu ττ )(
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF18JARA - Processamento de Sinal
Transformações da var iável independente
Rotaçãou(t)
t
u(-t)
t
u(t)
t
u(t-t0)
tt0
u(t)
t
u(2t)
t
u(t/2)
t
)( tu −
Translação
)( 0ttu −
Mudança de escala
)(atu
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF19JARA - Processamento de Sinal
Definições dos sistemas
Sistema - qualquer processo que transforma os sinais (ex: um sistema de alta fidelidade recebe um sinal de áudio e gera uma reprodução desse sinal).
Sistema)(tx )(ty
Sistema 1Entrada
Saída
Sistema 2
Sistema 3
+ Sistema 4
Os sistemas podem ser interligados através de diagramas de blocos.
Ex1:
+)(nx
2×
2)()(2)( nxnxny −=
2^
)(ny+
-
Ex2:
RC
i1(t) i2(t)
v(t)
+)(ti
∞−=
tdi
Ctv ττ )(1)( 1
Rtv
ti)(
)(2 =
)(tv
i (t)
+
-
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF20JARA - Processamento de Sinal
Um sistema diz-se sem memória se, para cada valor de entrada, a saída depende apenas da entrada nesse instante de tempo.
Sistemas com e sem memór ia
Ex:
A saída de um sistema com memória também depende dos instantes de tempo anteriores.
Ex1:
Ex2:
Ex3:
)()( tKxty =
)1()( −= txty
∞−=
tdx
Cty ττ )(
1)(
∞
−∞=
=k
kxny )()(
Um sistema é causal se a saída só depende dos valores actuais e passados.
Causalidade
)1()( −= txty
t0
)(txEx1:Ex2:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF21JARA - Processamento de Sinal
Ex: sistema não causalA saída antecipa valores de entrada futuros.
Um sistema é estável se para entradas limitadas a saída também é limitada, ou seja, não diverge.
Estabilidade
Ex: Estável: Instável:
Um sistema é invariante no tempo se uma variação na posição do sinal de entrada conduz à mesma variação na posição do sinal de saída (um atraso à entradamantém-se na saída).
Invar iância no tempo
)2()( += nxny
t0
)(tx
t0
)(txCircuito RLC
Reacção em cadeia
)()(
)()(
00 ttyttx
tytx
−→−
→
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF22JARA - Processamento de Sinal
Verifica o teorema da sobreposição:
Linear idade
Ex: Sistema invariante no tempo:
Ex: Sistema variante no tempo:
Ex: Sistema linear:
Sistema não linear:
)()()()(
)()(
)()(
2121
22
11
tbytaytbxtax
tytx
tytx
+→+
→
→
∞
−∞=
=k
kxny )()(
[ ])(sen)( txty =
[ ])(sen)( txty =
)()( nnxny =
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF23JARA - Processamento de Sinal
Decomposição binár ia de sinais
Componente par e ímpar
Sinal par,
Sinal ímpar,
Qualquer sinal pode ser decomposto em componentes par e ímpar.
Seja um um vector ,s
s
1s
2s
esse vector pode ser decomposto em duas direcções ortogonais. Pelo teorema de Pitágoras:
2
2
2
1
2sss +=
)()( tsts pp −=
)()( tsts ii −−=
sp(t)
t
si(t)
t
)()()( tststs ip +=
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF24JARA - Processamento de Sinal
De facto, o sinal u(t) revertido é
Somando as duas expressões anteriores retira-se a componente par ,
e subtraindo retira-se a componente ímpar ,
Na forma matricial:
)()()()()( tststststs ipip −=−+−=−
2
)()()(
tststsp
−+=
2
)()()(
tststsi
−−=
−=
− )(
)(
11
11
)(
)(
ts
ts
ts
ts
i
p
−
−=
)(
)(
11
11
2
1)(
)(
ts
ts
ts
ts
i
p
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF25JARA - Processamento de Sinal
Ex1: Ex2:
Para sinais reais de energia tem-se que a energia do sinal é dada por
uma vez que ui(t)up(t) é um sinal ímpar, e para sinais de potência
t
)(tu
t
)(tup
1 2
2
1
-2 -1-3
1 2-2 -1-3
1
2
3
t
)(tui
1 2
-2 -1-3
131/2
1/2
-1/2
n
)(nu
1 2
2
1
-2 -1
3
3 4
n
)(nu p
1 2
2
1
-1 3 4-3 -2-4
n
)(nui
1 2
1
-1 3 4-3 -2-4-1
[ ] ∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−++=+= dttstsdttsdttsdttstsdtts ipipip )()(2)()()()()( 2222
0
><+>>=<< )()()( 222 tststs ip
>< 2s
>< 2ps
>< 2is
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF26JARA - Processamento de Sinal
Componente contínua e alternada
A componente contínua é o valor médio do sinal,
A componente alternada é dada por
>=< )(tsSc
ca Ststs −= )()(
)()( tsSts ac +=
Ex:
t0
… …
1
t0
… …
t
… …1/2
-1/2
1/2
)(tua
)(tUc
)(tu
t
... ...2
t
... ...1
t
... ...
Sc
+sa(t)
s(t)=
-1
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF27JARA - Processamento de Sinal
Componente real e imaginár ia
Somando e subtraindo, obtém-se
Um sinal complexo pode ser por
O complexo conjugado é dado por
0)()( >=<>=< tsStsS acac
><+>>=<< )()( 222 tsSts aC
A potência:
><= 2sSef
><= 2cc SS
>< 2as
)()()( tjststs ir +=)()( tjets θ=
Forma algébrica
Forma exponencial
Im
Re|s(t)|
si(t)
sr(t)
θ(t)
s(t)
[ ][ ])(sen)()(
)(cos)()(
ttsts
ttsts
i
r
θθ
=
=
=
+=
)(
)(arctg)(
)()()( 22
ts
tst
tststs
r
i
ir
θ)()()()()(* tj
ir etstjststs θ−=−=
j
tststs
tststs
i
r
2
)()()(
2
)()()(
*
*
−=
+=
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
CF28JARA - Processamento de Sinal
j
eet
tjtj
2)(sen
00
0
ωω
ω−−=
2)cos(
00
0
tjtj eet
ωω
ω−+=
Ex:
Na forma matricial,
−=
)(
)(
11
11
2
1)(
)(* ts
ts
tjs
ts
i
r
−=
)(
)(
11
11
)(
)(* tjs
ts
ts
ts
i
r
Para cada instante verifica-se
A potência:
222 )()()( tststs jr +=
>< 2s
>< 2rs
>< 2is
)(sen)cos( 000 tjte tj ωωω +=
