• Conceitos fundamentais:

• Elementos Puros e representações

- exemplo

• Leis de Kirchhoff

• - método prático

• Analogias mecânica/elétrica

- f → i ; v → V

• Construção de circuitos análogos

- exemplos

1

Conceitos Fundamentais Tensão: Trabalho necessário para transportar uma carga positiva entre dois

pontos.

Unidade: V (volts)

Corrente:

taxa de variação do fluxo de cargas elétricas no tempo através de uma determinada área.

Unidades: [i]= A (Ampère)

[t]= s (segundo)

2

dt

dqi

CCoulombsAidtdqidtdq .

2 1

V1 V2

Elementos Puros - Capacitor

a) Dois armazenadores de energia:

- Indutor

b) Dissipador de energia: - Resistência

3

V1 V2

1 2

Vc

Capacitor

4

C Capacitância: Capacidade de acumulação de carga no elemento para uma determinada tensão entre as placas condutoras. Vc = V12 = V1-V2

i

C

Capacitor Material dielétrico: permite que haja campo

elétrico sem que haja passagem de corrente.

5

+ + + + + +

+ + + + + +

- - - - -

- - - - -

Placas de material condutor

i i Material dielétrico

Capacitor

A queda de tensão em um capacitor (Vc) é dada por:

6

FFaradV

C

V

As

dV

dqC

c

inicial. tensãodediferença )( onde

)()(

:(1) em (2) Pondo

inicialcarga

)2(

)1(

0

0

0

0

C

QoV

oVC

idttV

C

QidtV

Q

Qidtqidtdqdt

dqi

C

qV

V

qC

c

cc

c

c

c

Capacitor

cc

cc

c

c

c

CDVi

CD

i

CD

iti

C

dtitV

nula. inicial opara tensã

)()(

7

dt

dt

dD

D

1

:cálculo do lfundamenta leipela

][

Define-se admitância do capacitor por:

CD

Definindo o operador:

Vc

Indutor

Indutância: quando passa uma corrente num fio ou estrutura condutora qualquer, estabelece-se um campo magnético ao redor deste corpo. Se a corrente varia no tempo, o campo variará também no tempo. De acordo com a Lei de Lenz, a variação do campo magnético induz uma ddp (diferença de potencial) no corpo que tende a contrapor a mudança de corrente . O elemento elétrico “resiste” com uma diferença de tensão à variação do fluxo de corrente (podemos pensar numa mola sendo comprida e resistindo à força aplicada nela). Esse fenômeno recebe o nome de indutância.

8

L

VL

Indutor A queda de tensão num indutor é dada pela Lei de

Faraday:

9

oconcatenad elétrico fluxo

:Obs.

.L

:Unidades

2112

LidtVLdidt

diLV

HHenryA

Weber

A

sV

di

dtV

dt

diLVVVV

LL

L

L

L

L

L

L L

ou fluxo magnético concatenado.

[λ]=V.s=Weber

Indutor

Usando o operador D[.]

Definimos admitância do indutor por:

10

LD

Vi

LDiVdt

diLV

L

L

LL

L

L

LD

1

Resistência

A queda de tensão (VR) numa resistência é modelada pela Lei de Ohm:

11

R

VR

OhmsA

V

i

V

R

Vi

RiVVVV

R

R

R

RR

R

:Unidades

R

1 :pordefinida éa resistêncida admitância A

1221

Leis fundamentais: Kirchhoff

Lei dos nós: “Em cada nó: ”

i= i1 + i2 Lei das malhas: “Em cada malha: ”

12

0i

0V

i2

i1 i

e(t) ~ Vo(t) i1 i4 i2

i3

Método Prático de Kirchhoff (correntes) Identificar os nós de tensão desconhecida. Para cada um

destes nós, escrevemos uma equação.

Escolher o referencial nulo e escrever as equações. Para cada equação tem-se:

2.1) termos positivos (correntes que entram no nó): tensão do nó multiplicada pela soma das admitâncias conectadas no nó;

2.2) termos negativos (correntes que saem do nó): tensão na outra extremidade do nó multiplicada pela admitância entre os nós. O nó do referencial nulo tem tensão nula e não contribui com nenhum termo.

2.3) igualar os termos dos itens anteriores com as eventuais correntes externas, por exemplo a introduzida por uma fonte de corrente.

13

Exemplos do Método Prático a) Circuito RLC em paralelo:

1. Um nó com tensão desconhecida (Va) uma equação

2. O referencial nulo está indicado

2.1) só há termos positivos, já que o nó de tensão desconhecida se liga apenas ao nó do referencial (tensão nula)

14

L R i C

V=0

a

Circuito RLC em paralelo

)3()(.11

C

:usual notaçãoa usando e

)(11

)(11

tidtVaL

VaR

aV

tiVaR

VaLD

CDVa

tiCDLDR

Va

15

Sistema multi-malhas:

Tarefa para casa: Resolver o circuito pelo método dos nós e pelo método das malhas

16

~ e(t) Vo(t)

b a

R3

c

L

C R2 R1

V=0

Solução método prático

17

~ e(t) Vo(t)

b a

R3

c

L

C R2 R1

V=0

Solução pelo método prático 1. nós com tensão desconhecida: nó b e nó c=> haverá duas

equações diferenciais para descrever este sistema.

obs.: a tensão em c é a tensão de saída do circuito (desconhecida)=> Vc(t)=Vo(t)

a tensão em a é a tensão de entrada (conhecida) => Va(t)=e(t)

2. nó b:

3. nó c: tensão Vc=Vo

18

0)(11

011

2121

2121

R

Vo

R

teCD

RRV

R

V

R

VCD

RRV

b

ca

b

0)(111

223

LD

te

R

V

LDRRV b

o

Circuitos análogos

Sistema mecânico básico:

(3)

Sistema elétrico básico:

19

f(t)

b k

M

x, v

tftdvkvbvm

i C L R

V=0 )(

11tidtV

LV

RVC

aaa (4)

a

Analogias: Comparando (3) e (4) encontramos as seguintes analogias:

20

R

BKtMwJ

bktfvm

eo

1

L

1 i(t) V C :elétrica

:rotac. mec.

: transmec.

variável entre

variável através

Obs: A corrente passa através do elemento, a tensão é medida entre dois pontos!

o

Analogias: Esta analogia é chamada analogia força/corrente

velocidade/tensão (alguns livros a denominam analogia do tipo 2).

A partir das definições acima, podemos obter as expressões da eletricidade a partir de suas equivalentes mecânicas:

Energia cinética:

Potência:

21

22

2

1

2

1CVTemvT

potência. defator o é cos onde cos. :deeletricidana

cos :espaço no

.

ViPe

vFvFP

ViPeFvP

e

e

e

Analogias: Trabalho:

Quantidade de movimento:

(q carga acumulada no capacitor)

Impulso (integral da variável através):

Energia potencial:

22

alinhadofasor

nalunidirecio caso

dtPiVdtid

PdtFvdtFdx

ee

CVqvmQ

idtq

QdtFI

2

2

1

2

1

2

1

L

V

kxV

e

k

Analogias: Deslocamento (integral da variável entre):

Potência dissipada:

Apresentar tabela de Analogias até aqui.

23

Vdt

vdtx

2

2

RRRRRde

bd

RiRiiViP

bvbvvvfP

Analogia fi v V Mec. Trans.

f(t) [N]

v(t) [m/s]

m [kg]

b k Q=mv =ma =f(t)

[N]

τ = ∫fdx= ∫Pdt

[J]

Mec. Rot.

MG(t) [N.m]

ω(t) [rad/s]

JG

[kgm2] B K H=JGω

=JG

=MG(t) [N.m]

τr =∫MGdθ

[J]

Elétrica i(t) [A]

V(t) [V]

C

[F] 1/R [Ω]

1/L [H]

q=CV = C = i(t) [A]

τ = ∫fdx=∫Pdt

[J]

24

Mec. Trans.

∫fdt=I=ΔQ ∫vdt=Δx [m]

P = fv [W]

T =½mv2

[J]

V =½kx2 [J]

Pd =bv2

[W]

Mec. Rot.

∫MGdt=ΔH ∫ωdt=Δθ [rad]

Pr = MGω

[W]

T =½JGω2

[J]

T Vr=½Kθ2

[J]

Pd =Bω2

[W]

Elétrica ∫idt=Δq [C]

∫Vdt=Δλ [Web]

P =iV [W]

T =½CV2

[J]

T =λ2 /(2L)

[J]

Pd =(1/R) V2

=Ri2 [W]

Q

H

q

ω

ATRAVÉS ENTRE

V

Circuitos análogos

Para construir os circuitos elétricos análogos aos circuitos mecânicos, nesta analogia, observamos as velocidades (tensões) e deslocamentos entre os elementos mecânicos. Nesta analogia, as massas aparecem sempre aterradas, pois o movimento da massa é sempre relativo ao referencial inercial.

Vamos partir do sistema mecânico básico: massa, mola amortecedor:

25

M

f(t)

b k

M x, v

Referencial fixo

1. observamos que há um referencial fixo, que corresponderá ao referencial nulo no circuito mecânico.

2. há uma fonte de força aplicada à massa.(a força eleva o potencial da massa)

3. a massa é ligada ao referencial fixo por uma mola, portanto uma extremidade da mola tem o mesmo deslocamento da massa e a outra extremidade o deslocamento do referencial fixo (nulo).

4. a massa também se liga ao referencial fixo pelo amortecedor, portanto uma extremidade do amortecedor tem a mesma velocidade da massa e a outra a mesma velocidade do referencial fixo (velocidade nula).

5. Portanto, temos o seguinte circuito mecânico:

26

Circuitos análogos

27

k f(t)

a

Circuitos análogos

M b f(t)=fM+fk+fb

Utilizando as analogias mecânica/elétrica, substituímos força por corrente, velocidade por tensão, massa por capacitor, amortecedor por resistência e mola pelo indutor, obtendo o circuito elétrico:

fM fb fk

Referencial fixo

28

L i(t)

a

Circuitos análogos

C i(t)=ic+ik+iL

Resolvemos o circuito elétrico, obtendo as equações elétricas equivalentes:

ic ik iR

R

)(.11

C

:usual notaçãoa usando

)(11

tidtVaL

VaR

aV

tiCDLDR

Va

Circuitos análogos Enfim, usando a tabela de analogias obtemos as

equações do sistema mecânico:

29

)(

)(

tfkxxbxM

tfvdtkbvdt

dvM

Mec. Trans.

f(t) [N]

v(t) [m/s]

m [kg]

b k Q=mv =ma =f(t)

[N]

τ = ∫fdx= ∫Pdt

[J]

Elétrica i(t) [A]

V(t) [V]

C

[F] 1/R [Ω]

1/L [H]

q=CV = C = i(t) [A]

τ = ∫fdx=∫Pdt

[J]

𝐶𝑉 𝑎+1

𝑅𝑉𝑎 +

1

𝐿 𝑉𝑎𝑑𝑡 = 𝑖(𝑡)