CONCEPTOSDE MATEMATICA

(2) ^nononono ; miO □ □ □ !□nQ Q QDi

□ □ □ □ D □: B|ir'n □ ni n

■ O PARA ÍL MAESTROZZI zzO EL PROFESOR■

• ^■ f P EL ESTUDIANTE_______

La enseñanza de la flmatemática moderna 1

En este número:Pág.Pág.

Educación matemática en los3Carta al lectorniveles preelemental y pri-

4Fotografía de Félix Klein mario (F. Colmcz)La matemática en la escuela Aspectos simplificatorios de la

enseñanza de la matemáticasecundaria (W. W. Sacoyer) 5(A. Kirsch)La enseñanza de la matemática

Bibliografíamoderna (J. E. Bosch) 15

:

Argentimos de empresa15 días i

iPara sistematizar electrónicamente su Empresa. oargentinai

i •Hombres y mujeres que dedican su esfuerzo diario a una tarea común de gran trascendencia económica y social.Ledesma, operado por dirigentes, técnicos y obreros argentinos, constituye un factor fundamental en el desarrollo del noroeste argentino.

i

Solamente 15 días tarda en estar Instalado y funcionando un equipo CIFRA SISTEMA en su empresa.

Capaz de desarrollar con la más alta productividad las tareas más complejas administrativo-contables por su gran capacidad de memoria. Cifra Sistema le da soluciones reales y rápidas. Su lenguaje CIFRAL,

disF.r.J. 1o para el usuario argentino y la completa biblioteca de programas le facilitan la taraa con eficiencia

Asesoramiento y Service integral a través de su retí de distribuidores.

2I52

cifra sistemaI

La electrónica al servicio de sus negocios. :

Ledesma s.a.a.i.Sarmiento 440 - Tel.: 45-6011/15 - 49-8650/59 CAPITAL FEDERALDMaión Electrónica

i

CONCEPTOS DE MATEMATICAFE DE ERRATA DE EDICION N<> 51

Ilustración de pág. 41

233 : 55 2 2 0-

Comma 1 3I01 1 O

233 < 5<4 55

< 4.3<4,2 >

< 4,24

< 4,237

4.23 <

4.236 <

Ilustración de pág. 42

x < tan x

Man x/Á

&¿

Ilustración de pág. 44

(3§®8if£ERTOSDE MATEMATICA

Conceptos de nicsi^fflQííD^dCONCEPTOS

DE MATEMATICA AÑO XIII — Julio Agosto Setiembre 1979 — N° 51„„hiirará un libro con las conferencias, debates y bibliografía correspondientes al CICLO DE CONFERENCIAS que organl- zado juntamente con el INSTITUTO GOETHE se ha llevado a elbo desde el 7 de mayo al 11 de jumo de 1979 de acuerdo con

el siguiente temario:

PUBLICACION TRIMENSUAL

CARTA AL LECTOR* Confiamos en que el N° 51 de CONCEPTOS DE MATEMATICA, que hoy enviamos a nuestros lecto­res, ha de resultar muy provechoso para los mismos dada la calidad del material que hemos logrado reunir.* Concluido el ciclo de conferencia que juntamente con el “Instituto Goethe" realizáramos en el audito­rio de dicha institución, nos sentimos halagados por el éxito obtenido, por lo que queremos expresar nuestro agradecimiento a los centenares de docen­tes y público en general que ocuparon masivamente todos los lugares disponibles y siguieron atenta­mente a los disertantes, sea directamente en el sa­lón central o indirectamente en los lugares adyacen­tes al mismo mediante un circuito de televisión. En ocasiones debimos clausurar la puerta de acceso lo que lamentamos por las personas que quisieron es­cuchar las conferencias y por esa causa no pudieron hacerlo.* Muchos docentes que acudieron desde lugares alejados y otros del interior del país nos dijeron del interés que existía por escuchar la palabra de los conferenciantes y la imposibilidad de poder llegar a Buenos Aires por razones de tiempo y de dinero. Ello nos movió a aceptar algunas invitaciones, y asi he­mos podido realizar pequeños ciclos de fines de se­mana en Junín, Olavarrla y Santiago del Esteroáde los cuales participaron los profesores Luis A. San ta­ló, César A. Trejo, Jorge Bosch, Heraclio A. Ruival y el que suscribe, los que culminaron con el mayor de los éxitos y la adhesión entusiasta de los docentes de esas ciudades y de otras localidades aledañas, que prodigaron a los visitantes el más caluroso de los recibimientos.* ¿caso podamos realizar algunas visitas más con

• esos u otros profesores antes de fin de año, pero el año próximo organizaremos las cosas, con más tiempo de modo de poder cumplir con mayor canti­dad de requerimientos.* Continuamos ocupándonos de las tareas previas a la publicación del libro de las conferencias.* Los saluda cordialmente

Redacción y Administración: Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A. 1121 Buenos Aires.

Director - Editor JOSE BANFI

Los conjuntos y sus aplicaciones al estudio de la realidad.

La lógica y la matemática en la filosofía y la cultura.

Aprendizaje de la matemática en la escuela primaria.

Problemas de la enseñanza de la matemática.

Experiencias en la enseñanza de la matemá­tica moderna en la República Federal de Ale­mania.

Jorge E. BOSCH

Tomás M. SIMSON

Suscripción Anual: Argen­tina S 20.000. Exterior 15

dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o bancarios sobre Bs. As. deben ser ex­tendidos a nombre de

■ CONCEPTOS DEMATE- MATICA.

Lucrecia IGLESIAS

César A. TREJO

:Franz J. MEHR

Carlos A. BURUNDARENA La enseñanza de la matemática en la es­cuela técnica.

La matemática en la enseñanza de la física.Ejemplar suelto: S 6.000

.Ejemplar atrasado: $ 6.500 Exterior: $ 6 dólares.Para colaboraciones, núme­

ros atrasados, suscripcio­nes y avisos, dirigirse di­rectamente al editor.

Heraclio A. RUIVAL

Panorama general de la enseñanza de la ma­temática.

Luis. A. SANTALO

El precio de un ejemplar del libro será aproximadamente de

$15.000

RESERVE YA SU EJEMPLAR

í

Registro de la Propiedad Intelectual N° 1.037.530

Impreso en COGTAL Rivadavia 767, Capital

ocDToo^cSx?AhTÍ?^c-?,li0cer en su medio esta nueva realización de “CON- utp i Ub DE MATEMATICA” que deseamos pueda llegar también a quienes aun no son nuestros suscriptores.Encontrarán toda la información sobre la aparición del libro en

CONCEPTOS DE MATEMATICAParaguay 1949 • 6° A, 1121, Buenos Aires, República Argentina

< om o c INTERES GENERAL Concesión N° 8205I

!uO 2 3 <W

FRANQUEO PAGADO Concesión N° 2687

EL DIRECTOR

2

!

GRANDES DOCENTES

La matemática en ¡a

escuela secundariaW.W. SAWYER

(Canadá)

1. Los profesores de matemática es­tán haciendo hoy lo que recomiendan los filósofos: preguntar qué hacemos, por qué y cómo lo hacemos. En la era de las máquinas de calcular, ¿necesitan los niños conocer las tablas de multipli­car? ¿Debemos enseñar manipula­ciones algebraicas? De ser así ¿cuán­tas? ¿Son anticuados los logaritmos? ¿Debemos enseñar algo de trigono­metría? De ser así, ¿cuál? ¿Qué partes de la matemática reciente deben incor­porarse al plan escolar? ¿Cómo hare­mos para dar lugar a los nuevos tópi­cos? Y más fundamental: ¿cómo elegi­remos el plan de estudios?

2. Tales cuestiones se refieren a qué se enseña. Acaso sea más importante cómo lo enseñemos. ¿Debe la matemá­tica unirse a la ciencia y al estudio del medio ambiente o se la debe enseñar tan abstractamente como sea posible? ¿Debe ser formal o informal, rigurosa o intuitiva? ¿En qué proporciones deben mezclarse el descubrimiento y lo que se le “dice” al alumno?

3. Un tercer tipo de cuestión se re­fiere a cómo alcanzaremos nuestros ob­jetivos. Es fácil pronunciar un discurso muy inspirado acerca de la escuela ideal sin explicar cómo obtenerla. Para evitar cualquier sensación ilusoria co­menzaré con algunas notas sobre el progreso educativo.

4. Supongo que si Ud. lleva a reparar un reloj y se lo devuelven con la cuerda rota, no importa cuáles sean las mejo­ras que el relojero pueda haber hecho en el mecanismo de los engranajes, Ud. pensará que ha hecho una mala tarea.- Pero eso es, con demasiada frecuencia, lo que ocurre en la educación matemáti­ca. La mayoría de los adultos después

de haber abandonado la escuela no só­lo conoce muy poca matemática sino que son incapaces de pensar sobre ella y siente temor ante ella. La profesora Edith Biggs ha asegurado que eso no ocurre con los niños pequeños; ellos se interesan por la matemática y les gusta pensar sobre ella. Consecuentemente, incluso para un niño de inteligencia más bien escasa, la principal dificultad en matemática no reside ni en la natura­leza del tema ni en las limitaciones del alumno sino más bien en la actitud de los adultos que lo rodean.

5. A menudo se piensa que la solu­ción reside en los institutos de forma­ción de profesores. Pero esto es algo in­genuo. Si un estudiante llega a uno de esos institutos con una actitud crítica de su propia educación, el instituto po­siblemente pueda ayudarle. Pero a los dieciocho años muchos estudiantes tienen una ¡dea firme acerca de lo que es la educación: es lo que ellos sufrieron cuando eran alumnos. Retor­narán a la escuela y enseñarán lo que se les enseñó a ellos.

6. Uno de los hechos más obvios, y menos reconocidos, es el engranaje de todo el sistema educativo. Cuando las universidades critican a las escuelas secundarias parecería que sólo cono­cen parcialmente la inmensa responsa­bilidad de las universidades por el esta­do de la educación secundaria. Cuando los profesores de escuela secundaria critican a las escuelas elementales no siempre dan importancia al hecho de que los maestros elementales son pro­ductos de la escuela secundaria.

7. La matemática es una actividad que depende mucho de la actitud del alumno. Las actitudes se forman en la

5

de trabajo que debía ser abarcado por todos los niños de cierto tipo de'clase (por ejemplo, académica, técnica), un esquema formulado por la autoridad educativa y a menudo hecho cumplir por los inspectores. El maestro actuaba bajo la presión de ‘'cumplir el programa" sin preocuparse por el hecho de que los alumnos lentos per­manecían aturullados y los rápidos aburridos. Una buena enseñanza de la matemática en tales circunstancias es casi imposible. Un maestro verdadero se convertiría en un trabajador atormen­tado.

medio ambiente. (4) De esta manera habrá adquirido tanto conocimiento co­mo sea posible de aritmética, álgebra, geometría (y acaso otros temas mate­máticos).

11 La aplicación de esta idea variará naturalmente de país en país y de lugar en lugar. Si las escuelas elementales ya están produciendo matemáticos entu­siastas y activos, la escuela secundaria deberá asegurar esto y no deteriorar lo conseguido; fácil le resultará construir más. Si los alumnos ingresan a la es­cuela secundaria sintiendo aversión por la matemática, habrá que recurrir a al­gún procedimiento de rehabilitación verdaderamente radical.

12. Algunos profesores secúndanos enfocan muy formalmente la matemáti­ca y serían incapaces de llevar hasta el fin un programa semejante. El trabajo deberá hacerse donde haya profesores capaces, y las autoridades deberán se­ñalar que se trata de una tarea de pnme- rísima importancia y la llave de todo el avance nacional en educación matemá­tica.

de deberían concentrarse los buenos maestros. Los años 0 a 8 son por su­puesto muy importantes. Pero aquí es­toy discutiendo la función de los mejo­res profesores secundarios, los que tienen buen conocimiento de la mate­mática y habilidad para presentar sus cuestiones con simplicidad. No creo que puedan hacer mucho con niños de menos de 9 años. Los comienzos de la aritmética se realizan muy lentamente. También el trabajo es simple; los maes­tros de escuela elemental pueden cumplirlo una vez que estén persuadi­dos que la aritmética es algo que se puede experimentar y pensar en lugar de aprenderla puramente de memoria. Por otra parte, si los niños de 9 a 13 años son adecuadamente proyectados, muchos de ellos calarán hondamente en una matemática bastante técnica. Gran parte de la tarea la pueden leer y hacer por sí mismos, pero de tiempo en tiempo necesitarán ser aconsejados y esto, en nuestro mundo actual, no podrá ser hecho por la mayoría de los maestros elementales. El contacto oca­sional con los mejores maestros secun­darios les permitirá avanzar a los alum­nos más capacitados. En el futuro, algu­nos de ellos se convertirán en maestros y entonces considerarán normal cubrir una parte sustancial del presente curri­culum secundario (de muchos países) en la escuela elemental. De esta mane­ra se establecerá y desarrollará gradual­mente un plan de estudios más rico.

19. Incidentalmente, estas ideas no han sido adelantadas como teoría pura. Mi libro Visión de la escuela elemental se basó en experiencias con niños de 9 a 13 años. En mis viajes he encontrado abundante evidencia de niños que eran capaces de contender con una dieta mucho más rica que la que se les esta­ba ofreciendo. Para la cuestión de la co­laboración entre maestros secundarios y primarios, Barrie, Ontario, seria un ejemplo de lo que se ha estado hacien­do durante algunos años.

Manipulación, logaritmos, trigonometría

20. En una época de máquinas de cal­cular la cuestión surge en todos los ni­veles, desde la aritmética al cálculo infi­nitesimal. ¿Hasta dónde debemos en­señar sólo comprensión básica y hasta dónde debemos preocuparnos por la habilidad en la manipulación?

juventud. La mayor influencia sobre el futuro maestro es la de la escuela ele­mental y a ella le sigue la de la escuela secundaria.

8 Una de las formas en que la educa­ción elemental afecta a la escuela se­cundaria reside en que. en la mayoría de los países, hay un movimiento hacia abajo de los tópicos matemáticos. Los profesores secundarios se quejan de no tener tiempo para tratar todos los tópi­cos que la universidad le exige. La ra­zón principal reside muchas veces en el vacío matemático de la escuela elemen­tal. A. P. Rollet, en un artículo sobre las escuelas inglesas, señala que niños de los más capaces no comienzan a atacar intensamente el álgebra y la geometría hasta los 11 años de edad; afirma que sufren de “estancamiento mate­mático". En América del Norte, en don­de una exposición mucho más modera­da de la matemática comienza a los 14 años de edad, esos niños habrían sido descritos como furiosamente “acelera­dos". Sería muy deseable que un conte­nido mucho más rico pudiera sej apro­vechado por los niños de 9 a 13 años, no sólo para aliviar el plan de estudios se­cundario sino porque los alumnos es­tán en la edad en que el estímulo de las nuevas ideas crea con mayor facilidad intereses intelectuales permanentes. Los profesores de escuela secundaria deberían pues ser preparados para uña transferencia constante de álgebra y geometría seria a las escuelas elemen­tales.

9. Los profesores secundarios objeta­rán que los maestros elementales no pueden manejar adecuadamente esos tópicos. Pero esto equivale a ignorar que los futuros maestros elementales se están sentando hoy en las escuelas secundarias. Sugeriría como programa mínimo de la matemática secundaria que todo alumno abandone la escuela con el equipaje de un buen maestro de matemática de escuela elemental.

16. La uniformidad está particular­mente fuera de lugar cuando se intenta cambiar o ampliar el plan de estudios. Inevitablemente, sólo puede haber un pequeño numero de escuelas en las cuales los profesores sean capaces de presentar el nuevo material efectiva e inspiradamente. Pero no debe esperar­se que toda la ciudad, la provincia o el país estén en condiciones para ello; eso nunca ocurrirá más bien, los centros más eficaces deben ir a la cabeza y la influencia que logren desarrollará gra­dualmente a los demás.

17. En un periodo de transición pueden necesitarse toda clase de medi­das informales. Una escuela secunda­ria podría —como se lo ha intentado en algunos lugares— ofrecer un club ma­temático por ejemplo una vez cada dos semanas a los alumnos más capaces e interesados de las escuelas elementa­les más cercanas a ella. Los alumnos de la escuela secundaria pueden en­contrar dos o tres niños de la escuela elemental y ayudarlos en álgebra y geo­metría; de esta manera se puede reco­nocer el talento para la enseñanza y proporcionar un adiestramiento exce­lente al futuro maestro. Los niños más capaces de la escuela elemental serán alentados para actuar por si mismos. Se estudiarían los libros que en realidad los niños pueden leer provechosamen­te. Por analogía con los profesores de música, un buen maestro de matemáti­ca podría recorrer cierto número de es­cuelas elementales dando en cada una de ellas una lección semanal para pro­mover interés por el tema.

18. Aquí he empleado cierto tiempo en la discusión de las edades 9 a 13 por­que estoy cada vez más convencido de que es el área estratégica vital en don-

13. La matemática implica inteligen­cia general. Los éxitos individuales de los niños varían naturalmente. Exito completo significa que un niño muestra el mismo nivel de interés, confianza, ini­ciativa, originalidad e ingenuidad para enfrentar problemas científicos y mate­máticos que en cualquier otro departa­mento de trabajo o juego. El éxito se juzgará no mediante tests de elección múltiple sino por la observación del ni­ño en una situación real.

14. Por supuesto, los niños deberían trabajar a su propio ritmo. Cierta vez, hi­ce funcionar un club matemático en Nueva Zelandia en el cual los niños po­dían aprobar pequeños tests. Muchos de ellos se referían a la comprensión básica- de una idea, por ejemplo, "comprender el uso de la x". En algunas escuelas americanas cada niño tiene una libreta que registra su progreso en la lectura. Lo mismo se puede hacer en matemática. Esta idea se elaboró algo en un informe de Ontario sobre geo­metría.

15. Esto me lleva a la siguiente cues­tión. Cuando arribé a América del Norte vi algo que nunca había visto antes, un libro de texto intitulado “Matemática para el 9o grado”, que era un esquema

10. Esto apunta a los siguientes obje­tivos en el siguiente orden de importan­cia: (1) El alumno debe disfrutar de la matemática y no tener miedo de pensar sobre ella. (2) Debe ser capaz de enten­der los resultados matemáticos: infor­malmente, pictóricamente o mediante una si­tuación concreta. (3) Debería haber tra­bajado con la matemática en relación con leyes científicas simples y con el

6 7

I-

dones, f(A + B) no está del todo simple­mente relacionada con f(A) y f(B). Las matrices nos dan una manera de ver por qué existen tales fórmulas. Con el cálculo se puede volver plausible la co­nexión del seno y el coseno con e¡* y re­ducir de ese modo al álgebra todas las identidades trigonométricas.

te con pajillas verticales sobre un table­ro perforado o, en un marco agricultu­ra!, con varillas introducidas en un barroso trozo de terreno. Las coor­denadas tridimensionales son un efec­tivo recurso para el dibujo de cualquier objeto sólido complicado —un avión, un edificio, una pieza trabajada en me­tal. En nivel más avanzado, las coorde­nadas nos proveen de un armazón para la mayoría de los problemas físicos y también constituyen una manera de representar ideas puramente matemáti­cas, como los vectores, espacio de Hil- bert, etc.“Nueva” matemática: errores y posibili­dades.

34. No acepto ningún otro significado de “matemática nueva” o ‘‘matemática moderna” que el determinado por los progresos en las investigaciones desde 1900.

Comúnmente se hace mal uso de es­tos términos con el fin de dar prestigio a cualquier innovación en la enseñanza, buena, mala o indiferente. En los Esta­dos Unidos se emplea ‘‘tradicional para describir su tradición de enseñanza muy mala, memorística y por esa razón (en sentido figurado) para estropear cualquier tópico previamente enseña­do. Es necesario, pues, discutir indivi­dualmente cualquier innovación y eva­luarla como buena o mala.

35. Ontario, ubicada demasiado cer­ca de los Estados Unidos, ha sufrido por ese motivo la aceptación poco escrupulosa de las ideas americanas. Un curriculum ofical introducido hace pocos años organizó el trabajo de cada año alrededor de tópicos tales como el conjunto de los números naturales, el conjunto de los enteros, el conjunto de los nacionales, y así sucesivamente. Esto constituye una base totalmente in­correcta sobre la cual construir porque refleja el procedimiento de la escuela de graduados antes que las necesida­des del niño. En el tipo de enfoque concretado por la profesora Edith Biggs (cuyo prestigio, me agrada decirlo, está creciendo constantemente en Ontario), un muchachito se puede encontrar con números enteros o fraccionarios desde sus primeros encuentros con las medi­ciones. El enfoque abstracto ha alejado a la matemática escolar de la ciencia escolar —lo opuesto es lo necesario tanto desde el punto de vista educativo

26 Una máquina de calcular dará la respuesta a un problema específico pe­ro no nos ayuda a observar una ley. Nos dará el cuadrado de un número determi­nado o encontrará un producto particu­lar pero, cuando se le presente una co­lección de cifras, no responderá. ‘‘Por­

todos cuadrados” o ‘‘Esta es la

21. La respuesta está ciertamente entré las dos posiciones extremas.

22. En primer término deberíamos de­sembarazarnos de la idea de que el uso de todo artefacto que nos ayude es un fraude. Cuando veo sobre las hojas que se emplean para los exámenes expre­siones como ‘‘No se permite usar reglas de cálculo” me pregunto si en la linea siguiente no se leerá: “Todos los cálcu­los se harán con números romanos .

23. En general, deberíamos estar pre­parados para usar, cuando convenga, ábacos, reglas de cálculo, tablas de in­tegrales, gráficos y artefactos mecáni­cos que podamos comprar o construir.

24. Algunos exámenes británicos acostumbran incluir integrales muy complicadas. Me parece un asunto me­nor. Un curso de cálculo debería cubrir los procesos estandardizados y los re­sultados más simples de la integración. Debería señalarse que ciertas expre­siones como V1-x4 y e-x2 no tienen in­tegrales elementales y tratar entonces las cuatro clases principales fáciles de manejar, a saber, funciones racionales, funciones racionales de sen x y eos x, etc. Debería explicarse la construcción de tablas de integrales.

25. Ahora bien, me referiré a la nece­sidad de cierta destreza para la manipu­lación. Un concepto nuevo a menudo se introduce mejor mediante algún ejemplo simple que implique cierta can­tidad de cálculo. En los Estados Uni­dos, donde incluso los profesores de las escuelas secundarias son bastante inseguros para la manipulación al­gebraica, algunas veces traté de intro­ducir el cálculo diferencial o las matri­ces mediante un poco de álgebra. Ocurrió a menudo que la energía mental de los profesores era completamente absorbida por la comprensión del ál­gebra y qn* no lograban ninguna compresión aei nuevo concepto. Se trataba de una situación claramente in­deseable. Lo mismo puede ocurrir en un nivel más bajo. La misma álgebra se puede introducir estudiando algunas “coincidencias” en aritmética o me­diante alguna ley científica simple. Se espera que los alumnos decubran la re­gularidad existente. Este útil método de trabajo se debe excluir totalmente si la aritmética de los niños es demasiado débil.

tabla de multiplicar por 7”. Los alumnos necesitan familiarizarse suficientemen­te con las tablas de multiplicar, las fór­mulas algebraicas, etc., para poder re­conocer situaciones en donde son perti­nentes. El reconocimiento de estructu­ras afortunadamente es una actividad que agrada a los niños y les ayuda a fi­jar en su memoria los hechos indivi­duales.

31. Existe la mayor diversidad de pun­tos de vista sobre el “status” de la trigo­nometría. Algunos topólogos, que nun­ca la usan, la consideran como una pér­dida de tiempo. En el otro extremo, las personas más prácticas todavía tienen que tratar con objetos sólidos que tienen formas y tamaños definidos. En su forma tradicional, la trigonometría todavía es pertinente para un arquitecto o un astrónomo. Las funciones trigono­métricas son pertinentes para las osci­laciones mecánicas y eléctricas, la va­riable compleja y las series de Fourier.

32. Creo que en general se concuerda en que debe desterrarse drásticamente toda la tarea referente a la solución de triángulos, particularmente el trabajo numérico con logaritmos y las fórmulas correspondientes. Como método de cálculo los logaritmos casi han caído en desuso (Todavía se los puede usar para hallar an cuando n es grande). La escala logarítmica es todavía útil y se la introduce ventajosamente junto a la regla de cálculo. Digamos, incidental­mente que el enfoque del siglo XVII de los logaritmos era mucho más simple que el moderno puesto que los logarit­mos precedieron a los índices frac­cionarios más o menos en medio siglo. Es muy ventajosa para la enseñanza de­finir primero los logaritmos, y luego de­finir xk, para cualquier valor de k, como el número que se presenta k veces más adelante en la regla de cálculo que x. Los niños están deseando aceptar que tal número existe en tanto que pueden tener serias dudas acerca de si 100-301 tiene algún significado.

33. Me inclino a considerar al álgebra, la geometría analítica de 2 y 3 dimen­siones y la trigonometría como un todo indisoluble. La trigonometría ingresa naturalmente como el medio por el cual una distancia r y un ángulo O se interpretan en un sistema de coordenadas. La ge­ometría analítica tridimensional suena como muy tremenda, pero en realidad se le puede enseñar a los muchachos jóvenes si se la presenta concretamen-

27. Incluso para la resolución de problemas pueden ser útiles ciertas ayudas materiales. Por ejemplo, para atacar un problema de geometría tradi­cional un enfoque sistemático resultará ayudado por un diagrama que muestre los principales teoremas de Euclides. En general, los alumnos deberían ser estimulados a redactar, y usar cuadros sinópticos de la información de que dis­ponen. (Incluso deberían hacerlo muchos estudiantes universitarios).

28. Un enfoque que evita pérdidas de tiempo y crea interés es demostrar co­mo ejercicios los futuros teoremas. (En general, los teoremas deberían presen­tarse como problemas y no ser conside­rados como una categoría especial). Por ejemplo, en el cálculo infinitesimal, evaluar

Jcxn ex dx para n = 0, 1,2,... es un ejercicio razonable. Pero esta in­tegral carecería de sentido cuando n es una fracción y nos permite definir n! pa­ra el fraccionario n.

29. En trigonometría, la derivación de las fórmulas de sen 2A y eos 2A puede ser presentada como un problema de geometría analítica; si (c, s) es'el punto de la circunferencia unitaria de ángulo A, ¿cuáles son las coordenadas del punto de ángulo 2A?

30. Inversamente, ciertos tópicos más avanzados son una buena excusa para ver ciertas cuestiones de otra ma­nera y para tratarlas más eficientemen­te. Es realmente destacable que existan fórmulas simples para el seno y el cose­no de una suma; para muchas fun-

4

8 9

complejas de toda clase, sean números racionales, irracionales o magnitudes espaciales, entonces los doctos brah­manes indostánicos son los inventoresreales del álgebra» .

Los indios, incidentalmente, eran ma­temáticos aplicados. Necesitaban de la matemática para hacer astronomía y, como los descubridores del cálculo infi­nitesimal en el siglo XVII, no tenían las inhibiciones de los griegos que no trata­ban de ir a ninguna parte.

37. La buena matemática requiere un equilibrio entre los enfoques de los griegos y de los indios. La buena ense­ñanza seleccionan de ellos los que resul­tan más apropiados para ser enseñados a los alumnos.

38. Ahora bien, los profesores de las universidades americanas que pusieron de moda el conjunto de números irra­cionales tienen, por supuesto, una base lógica perfectamente justa. Si, por ejemplo, determinamos, x = cos 72° re­solviendo la ecuación de quinto grado que expresa eos 5A = 1, estamos ad­mitiendo que los procedimientos al­gebraicos usuales se pueden aplicar al número irracional x. No cabe ninguna duda, en determinado momento, que las implicaciones de esto deben ser analizadas y justificadas tanto como sea posible. Lo que se pasa por alto es lo siguiente. Para un maestro que está cerca de un muchacho tumultuoso, lo primero que debe tener en cuenta no es la precisión lógica de sus lecciones,'es, más bien, el impacto dramático, cuanto avanzará con sus lecciones y si comprende que está aprendiendo algo exitante y valioso. Si un curso es duro, no importa cuán bueno sea en otros as­pectos, los alumnos no le prestarán mucha atención. Al planificar un curso se debe cuidar mucho este aspecto. Con cierta frecuencia debería aclarár­sele al alumno que el último capítulo le ha permitido diseñar, o hacer, o comprender o construir algo que no ha­bía hecho antes. Lo primero que el maestro debe probar a su clase es que el curso no es un pérdida de tiempo y la prueba debe provocar una reacción es­pontánea en sus corazones y no ser un argumento aceptado a regañadientes por sus cabezas.

39. Una observación al pasar. Creo que una excelente forma para formar maestros es concurrir con ellos a una

calle o parque donde haya niños sobre los cuales Ud. tenga poderes disciplina­rios y comenzar a hacer algo para ver cuántos niños le rodean, cuánto tiempo se quedan y qué preguntas formulan.

40. Retornemos a la cuestión de la ló­gica; en matemática es perfectamente justificable un enfoque “previo”, esto es, primero desarrollar un tema infor­malmente de manera de lograr el asenti­miento intuitivo del aprendiz y mostrarle qué se puede hacer de manera; en una etapa posterior se debe intentar un análisis de los fundamentos lógicos. Esto se reconoce en general (en el Reino Unido) en la enseñanza del cálculo infinitesimal; un tratamiento in­tuitivo debería preceder a un curso de análisis. De la misma manera, yo expli­caría como llegó Euler a la relación entre la trigonometría y antes de dis­cutir el diagrama de Argand o la expli­cación de ¡os números complejos. En pri­mer término muestro que esto conduce a resultados interesantes; ellos ayudan al tratamiento lógico. Pero si no llevan a ninguna parte ¿por qué ha de gastar su tiempo el aprendiz? Por supuesto, es bueno preparar el campo para los de­sarrollos posteriores indicando que el uso de series infinitas puede conducir a falacias, que el marco puede engañar, y así sucesivamente. Cuánto de esto se haga dependerá de la estimación del maestro sobre la clase a la que se está enseñando.

41. En años recientes hemos oído hablar mucho de las propiedades con­mutativa, asociativa y distributiva (C.A.D.) Parecería natural preguntarse cuál es el papel de estos conceptos en matemática. ¿Cómo llegó la gente a pensar sobre ellos? Estos términos apa­recieron por primera vez en el período de 1800 a 1840, poco después de que Gauss, Argand y Wessel dieran una in­terpretación geométrica de V-1. El ente ¡ siempre'ha tenido algo de misterioso; no es un número pero algebraicamente parece comportarse como un número. Cuando se definieron geométricamente la adición y la multiplicación de núme­ros complejos, la cuestión se presentó naturalmente; ¿Cuáles son las pro­piedades de estas operaciones que se pueden establecer para probar que el ál­gebra ordinaria funciona para ellas?/se vio que la mayoría de las cosas que se ha­cen en álgebra eran consecuencias ló­gicas de las propiedades C.A.D.; cual­

quier sistema con estas propiedades se puede manejar como si estuviera cons­tituido por números,.Hamilton, al tratar de generalizar los números complejos, encontró los cuaterniones que gozan de las propiedades A. y D. pero no de la C. Las matrices vinieron poco después.

42. Se produce una gran mistificación si se les dice a los maestros que algún concepto es importante pero que no presenta ninguna aplicación significati­va. Ello ocurrió ciertamente en los Esta­dos Unidos donde términos tales como conjunto y conmutativa son objeto de algún tipo de veneración casi religiosa. Distinguiré, pues, entre la simple men­ción de una idea ( que es una excelente manera de preparar a los alumnos para el trabajo futuro) y recalcarla, lo que in­dica que Ud. está por usarla para dedu­cir teoremas de alguna importancia.

43. Los americanos creían bastante correctamente, así lo creo, que desde las primeras lecciones de aritmética de­bemos preparar a los alumnos para que algún día hagan álgebra. La rápida men­ción de las propiedades C.A.D. es una orden. Procediendo así no solo enseña­ríamos hechos particulares como 2 + 3= 5 sino que plantearíamos cuestiones de valor más general tales como; “Cuando se suman números, ¿importa el orden con que se lo haga?” “Y para la multiplicación ¿importa cual es la manera más astuta del resolver 58x3 + 58x 7?” Cualquier buen alumno de una clase tradicional de arit­mética comprende todas esas cosas; no obstante es bueno asegurarse que han llamado la atención de todos los alumnos. Las ideas allí contenidas son evidentemente útiles en aritmética y en los comienzos del álgebra.

44. Las propiedades C.A.D. se pueden usar para introducir los números negati­vos tal como se hace en el libro de Du- rell, Palmer y Wright de 1920 o en los es­quemas de S.M.S.G. (School Mathema* tics Study Group) aunque creo que no sería un buen método didáctico confiar sólo en ese enfoque. Las propiedades formales son singularmente irreales pa­ra muchos niños y, en verdad, no acla­ran todas las cuestiones lógicas impli­cadas. También se deberían usar los ar­gumentos pictóricos e inductivos para que los alumnos confíen en el uso de los números negativos.

45. Las propiedades C.A.D. se con­

como del punto de vista tecnológico. Los efectos han sido muy desastrosos para los niños menos académicos pero más activos y prácticamente más dis­puestos. En un curso para tales alum-

(de 15 años de edad) se asignaba gran importancia al “conjunto de los nú­meros irracionales '. Un maestro dema­siado celoso debió ser reprimido para que no asignara el siguiente tema de examen: “Probar que el conjunto de los números irracionales no es cerrado con respecto a la adición”. No puedo imagi­nar cómo un maestro podría esperar mantener interesados a los estudiantes técnicos con un tópico que esta total­mente fuera de lugar con respecto a sus objetivos e intereses. Lo que vuelve más trágicas a tales órdenes es que to­da la información pertinente sobre los irracionales aparece natural e inciden- talmente como un comentario al pasar del teorema de Pitágoras que interesa real e inmediatamente a las clases téc­nicas.

La diagonal de un cuadro implica \/2. El maestro puede señalar que las tablas dan valores aproximados de V2, pero Ud. no obtiene 2 si eleva al cuadra­do esos valores, dado que en verdad no hay una fracción p/q cuyo cuadrado sea exactamente 2. Debería indicarse la ra­zón: elevar al cuadrado provoca que ca­da factor primo se presente un número par de veces, no puede obtenerse un so­lo factor 2.

36. El análisis lógico excesivo puede inhibir el pensamiento matemático. Es­to quedó demostrado hace mucho tiem­po en la mayor escala posible, la de la historia del mundo. El siguiente pasaje pertenece a Cajón, Historia de la mate­mática; la sentencia final que cita Cajo- r¡ pertenece al matemático Hankel.

“Los hindúes nunca percibieron la lí­nea divisoria entre los números y las magnitudes exaltada por los griegos, los cuales, bien que como producto de un espíritu científico, retardaron gran­demente el progreso de la matemática. Ellos pasaron de las magnitudes a los números y de los números a las magni­tudes sin darse cuenta del resquicio que para una mente agudamente discri- minadora existe entre lo continuo y lo discontinuo. Pero al hacer eso los in­dios ayudaron mucho al progreso total de la matemática. «En verdad, si se en­tiende como álgebra la aplicación de operaciones aritméticas a magnitudes

nos

esa

ü

10 11

dos circuitos alrededor del Podemos afirmar que hay dos

está creando la demanda óe ciertas otras habilidades en tal o cuál cantidad.

car hombres en la luna. No existe ningu­na duda de que en el 2008 ocurrirán otras cosas igualmente inesperadas. No se crea que mi propósito es proveer a los maestros de una bola de cristal pa­ra ver el futuro, simplemente trato de proveerlos de ojos para ver lo que está ocurriendo ahora de modo que puedan conjeturar inteligentemente lo que ocurrirá mañana y sepan corregir sus hi­pótesis en la primera oportunidad. Inne­cesario es decirlo.; las escuelas no de­berían tratar de enseñar los detalles e la tecnología actual (que pronto estará en desuso) sino principios generales que acaso perduren. Por otra parte, los ejemplos actuales, si los usamos ade­cuadamente, dan realidad e interés a las lecciones.

54. Desde 1945 a 1947, el Instituto de Tecnología de Leicester recogió ejemplos del uso de la matemática en la ciudad. Por supuesto, desde entonces las computadoras y el automatismo han experimentado grandes cambios, pero con todo todavía surge una conclu­sión: el uso más amplio de la matemáti­ca no es el de la resolución de proble­mas, sino que es el de un lenguaje me­diante el cual se aprende la ciencia y la tecnología. Más recientemente, redacté una pequeña muestra de libros sobre varios temas para ver la clase de mate­mática que se emplea, los noros ño son siempre buenos indicadores de las nuevas ideas (puesto que autores y lec­tores desconocen usualmente la nueva matemática), pero dan alguna indica­ción sobre los tópicos tradicionales que mantienen su vitalidad. El álgebra ele­mental es ciertamente uno de ellos. Es difícil ver como cualquier desarrollo de matemática superior puede reemplazar- ai álgebra para el establecimiento de le­yes científicas simples y hacer deduc­ciones mediante la combinación de ta­les juicios. La fluidez en la lectura del álgebra, la habilidad para apreciar el significado de una ecuación o de un gráfico o para asociarlo con sus aplica­ciones es y será una ventaja muy va­liosa para todo, desde la electrónica a la ecología.

55. En los países agrícolas, el interés puede ubicarse en las ciencias rela­cionadas con la biología; allí (como en muchas cuestiones industriales) la es­tadística desempeña un gran papel. Concordantemente, parece que para

cual hace origen. I ceros de f(z) en C*

vierten en los protagonistas en el mo­los alumnos conocen y

emplean sistemas que no son numéri­cos (especialemente las matrices y lo números complejos) y e^uen ra nuevas características tales como las matrices cuadráticas con infinitas so u- ciones. Entonces se presenta muy natu- raímente la cuestión de los procesos al-

S^*JS£7lñ3SSS&del álgebra mediante las propiedades C.A.D. parece sensata a los aprendices.

46. Siempre he pensado que “la regla en cualquier orden” del par de propieda­des conmutativa y asociativa, es un asunto algo sútil y se debe pensar un poco sobre la mejor forma de hacerlo en ese momento. Las calificaciones de los maestros son pertinentes. En algunos lugares, los maestros están haciendo en este momento juicios incorrectos sobre los conjuntos mientras antes so­lo hacían juicios incorrectos sobre nú­meros.

La matemática moderna más apropiada.

47. Parece razonable suponer que, con el andar del tiempo, algunos de los resultados matemáticos de este siglo hallen su lugar en las escuelas. Es difí­cil determinar cuales podrían ser. En la matemática clásica, tenemos clara idea de cómo se relaciona cada tópico y esto con las aplicaciones. La matemática re­ciente se ha repartido entre tantas es­pecialidades y se la ha presentado tan abstractamente que a menudo es difícil reconocer las interrelaciones o recono­cer que un artículo es adecuado para un problema que se desea resolver. Las asociaciones e institutos deberían alen­tar a los matemáticos y a todos los que emplean matemática a escribir infor­mes comprensibles sobre los orígenes y aplicaciones de la matemática re­ciente. Eso ya está haciéndose eñ cier­ta medida.

48. Un ejemplo particular, tomado de la tecnología quizás ilustre lo que quiero decir. Es una generalización en variable compleja de un resultado clási­co. Tengamos un polinomio f(z) y nos in­teresa saber cuantas soluciones tiene f(z) = 0 dentro de una curva C. Un inte­resante teoría nos da la respuesta. Su­pongamos que, cuando z recorre la cur­va C, el punto f(z) recorre una curva K la

mentó en que51. Es necesario que nuestra mente se

conserve a la vez abierta y escéptica. Un sistema educativo es como un ejér­cito; lleva tiempo ir de un lugar a otro y todavía más si debemos retornar por­que nuestra primera desición era erró­nea. Siempre me ha impresionado el tiempo que se pierde en la educación de muchas personas, los matemáticos incluidos. Alguien dirá que un tópico es importante cuando todo lo que realmen­te sabe es que lo usa mucho en su pro­pia investigación (no aplicable). Otro propone incluir un tópico en el plan es­colar de estudios porque se lo usa en los cálculos electrónicos, pero omite mencionar si se lo hace en la investiga­ción, la fabricación, el mantenimiento o la programación de las computadoras. Un matemático que ama su especiali­dad puede sostener que es práctico por­que se lo ha usado en un escrito cientí­fico particular.

52. Mis otras actividades prestan bas­tante atención al examen de los empleos de la matemática. En verdad, un tratamiento adecuado requiere mucho más que lo que puede hacer un solo individuo. En varias ocasiones he sugerido que los que emplean la mate­mática debieran redactar un informe pe­riódico del que pudieran disponer los maestros sobre las tendencias de las aplicaciones de la matemática. Incluso podría ser útil una pequeña revista que incluya lo más importante de la infor­mación publicada. Los informes debe­rían aclarar si los desarrollos afectan a los países industriales o agrícolas, a muchos o pocos trabajadores, científi­cos o técnicos, desarrollados o no. De­berían prohibirse los juicios generales vagos y darse ejemplos concretos de los problemas que interesan. Un infor­me periódico tal sería muy valioso para muchas personas además de los maes­tros.

w

H}til

49 Ahora bien, los números comple­jos son un sistema extraordinario y úni­co. Nuestro teorema parece un caso muy especial y limitado, pero en verdad, escogiendo sus bases esenciales, puede ser muy general. Supongamos que consideramos no sólo el contorno C sino que imaginamos una membrana que cubre su interior. Esta membrana se convertirá en una membrana de lími­te K y de ella habrá dos capas sobre el origen. Si en lugar de exigir que f sea un polinomio requerimos simplemente que f sea continua, la membrana transfor­mada puede tener pliegues, pero toda­vía podemos asegurar que por lo menos habrá dos hojas de la membrana sobre el cero y, por tanto, 2 ceros de f en C. Es­te teorema se generaliza para más di­mensiones y da una manera útil para de­terminar las soluciones de un complica­do sistema de ecuaciones. Incidental- mente, este método concuerda con el criterio dado por el profesor A. J. M. Spencer en su articulo Educación de los matemáticos para la industria (Mathematical Gazette. Octubre de 1967); nos permite encontrar soluciones aproximadas de problemas reales en lu­gar de soluciones puras y exactas de problemas irreales.

Matemática y utilidad.50. ¿Qué matemática usa realmente

la gente durante su vida? En principio, la respuesta a esta pregunta debería ser muy fácil pues, a diferencia de la mayo­ría de las cuestiones educativas, no compromete la naturaleza de la mente humana sobre la cual no sabemos casi nada. Es relativamente fácil evaluar cuántas personas cumplen una tarea particular y que matemática es, pudo o debería usarse en tal trabajo. Existe por supuesto, la dificultad de preveer los desarrollos futuros. Pero, por lo menos podemos establecer tendencias a corto plazo — el automatismo está borrando la demanda de cierta habilidad para tantos miles de ocupaciones por año y

i

!

’

53. No puedo, por supuesto predecir mucho el futuro. Hace unos cuarenta años (cuando estaban comenzando su carrera los maestros aue ahora se reti­ran) nos habríamos burlado de quién hu­biera pronosticado que en 1978 la deso­cupación habría de ser mitigada porque muchas personas se emplearían venta­josamente en la tarea de tratar de colo-

12 13

fundirá las capas polares y elevará en 180 pies el nivel del mar; el envenena­miento de animales y seres humanos por el uso indiscriminado de pesticidas; toda la gama de efectos inesperados e indeseables de las sustancias que se venden en las droguerías químicas, y, por supuesto, la fusión nuclear. No to­dos los temores serán justificados, pe­ro el hecho de que realmente se planteen esas cuestiones es un sínto­ma del enorme crecimiento del poder del hombre para inteferir a la naturale­za. Estamos en la posición del aprendiz de brujo: tenemos mucho más poder que juicio.

57. Se puede pensar que la mayoría de las personas es incapaz de apreciar los hechos que afectan nuestras vidas. En realidad, no creo que la humanidad sea mucho más inteligente que hace medio millón de años. Pero comprender no es un asunto puramente individual. La capacidad para leer y escribir signifi­có alguna vez habilidad para una mane­ra de manejar algunos millares de ca­racteres chinos; hoy significa habilidad para aprender 26 letras y para conten­der con ciertas rarezas, mientras que en Ghana significa simplemente potencia para manejar un alfabeto totalmente fo­nético. Un griego antiguo necesitaba cierto talento para reconocer que la tierra era redonda; actualemente, un ni­ño, demasiado pequeño para ir a la es­cuela, puede ver por televisión una fo­tografía de la tierra tomada desde el es­pacio y creer sin ningún asomo de duda que la tierra es redonda. Siempre existe alguna manera de aclarar las ideas; nuestra tarea es encontrarla. Genera­ciones más primitivas pudieron asombrarse ante la idea de que todo ni­ño aprendiera a leer. Puede ser que no se necesite tanto tiempo para lograr que todo niño aprenda matemática.

los biólogos y para otros que no desean conocer mucho de matemática, debería intentarse darle cierta familiaridad con los coeficientes binómicos y su función en la probabilidad. Para la curva del error normal y para la distribución de Poisson (ambas de significación bioló­gica) parece indicado el cálculo necesa­rio para comprender ex. Tratar al­gebraicamente ex es aterrador. Pero más indeseable es tener personas tra­bajando con un símbolo como e sin te­ner ninguna ¡dea de su significado u ori­gen. En su Calculus Made Easy, Sylva- nus P. Thompson obtiene e muy pronta y fácilmente. Seria una cosa buena que algún tratamiento tan simple de una parte limitada del cálculo infinitesimal pudiera enseñarse tan pronto como el alumno conociera las ideas básicas del álgebra; el cálculo se podría usar enton­ces correctamente en la escuela secun­daria, por ejemplo, cuando se debe in­terpretar un gráfico. Sus ¡deas se volve­rían entonces muy familiares.

56. La necesidad de conocer algo de ciencia es asunto de todos los ciudada­nos, no solo de algunos empleados. Ha­ce algún tiempo hubo un sobresalto por los posibles efectos perjudiciales de la radiación emanada de los aparatos de televisión en color. He aquí una cues­tión cotidiana que contiene dos profun­dos tópicos científicos, la radiación y la genética mendeliana (otra vez la probabi­lidad y los coeficientes binómicos) En la prensa hubo discusiones sobre el nú­mero de partes de bióxido sulfúrico por millón de partes de aire a que la in­dustria puede someter sin peligros a los habitantes de las ciudades y sobre si el desarrollo de la industria reducirá el contenido de oxigeno del aire por deba­jo del mínimo necesario para la vida o, más conservadoramente, si el aumento de bióxido de carbono de la atmósfera

La enseñanza de la

matemática moderna*Jorge E. BOSCH

(Argentina)Sr

. demonimación de “moderna” no implica un concepto distinto ni opuesto al de matemática “tradicional” La disciplina es la misma, bien que actualizada por su trayectoria histórica.

1. Moderno-tradicional: falsa antinomia

Como toda ciencia, la matemática evoluciona y progresa a lo largo de la historia. La llamada “matemática derna” es simplemente el estado actual de la matemática: lejos de haber una ruptura entre este estado y los ante­riores, se observa una clara continuidad histórica. En consecuencia, la separa­ción entre “matemática moderna” y “matemática tradicional” como si se trataran de dos disciplinas distintas u opuestas en algún sentido, constituye un grave error de concepto. Tal vez la frase “enseñar matemática moderna en las escuelas" no sea del todo feliz; lo que se quiere decir con esta expresión es que conviene enseñar matemática aprovechando los progresos recientes de esta disciplina, en tanto y en cuanto ello sea posible desde el punto de vista Dsicopedagógico. Por otra parte, la en­señanza de una matemática actualiza­da no debe en modo alguno interpretar­se como adhesión a la novedad por la novedad misma: este comportamiento frívolo no es digno de una ciencia ni de la actividad docente.2. El problema ontológico

Suele decirse que la matemática es una ciencia que estudia ciertos entes peculiares, tales como números, figu­ras, estructuras, etc. Con respecto a es­tas entidades caben diversas posi­ciones filosóficas, que de hecho son sostenidas por distintos matemáticos o filósofos de la matemática; me interesa destacar dos de esas corrientes: el rea­

lismo y e\ nominalismo. La primera de ellas sostiene que los entes matemáti­cos son entes reales, existentes en el mundo; para el nominalismo, en cam­bio, no existen tales entes: lo que ocurre es que usamos palabras, nom­bres, que permiten construir un discur­so coherente y útil, pero esas palabras son meros nombres que no se refieren a ninguna entidad real. La polémica entre realismo y nominalismo tiene una tradi­ción secular, y apasionó a algunos de los más destacados pensadores de la Edad Media, que discutieron el famoso problema de los universales: los nombres universales, que se refieren a géneros o especies, tales como “hombre”, “perro”, “gato”, ¿son meros nombres o designan algo existente en la realidad? ¿Existe el ente universal perro, así como existe cada uno de los perros particulares? Estas preguntas se inscriben en el marco oel problema on­tológico, que consiste en establecer cuáles son los entes que constituyen el ser, la realidad.

Y bien; es importante destacar dos incontrovertibles verdades de hecho: en primer lugar, que el discurso matemáti­co en sí mismo —“tradicional” o “mo­derno”— no es realista ni nominalista; es neutral con respecto a este proble­ma; en segundo lugar —y esto es lo más importante— todos los que ense-

mo-

;

* Por gentileza del prestigioso matutino porteño •‘La Nación" publicamos este articulo que viera la luz en la sección literaria de la edición del domin-» go 2(J oe julio de 1979.

14 15

mente impensable fuera del ámbito conjuntista; como ejemplo del segundo aspecto —calificación y ampliación de conceptos tradicionales— puede citar­se la teoría de probabilidades, que en­contró en su formulación conjuntista la vía para superar antiguos malentendi­dos así como para extender de manera impresionante su campo de investiga­ción; en cuanto al tercer aspecto —uni­ficación de la ciencia matemática— ca­be advertir que la tradicional se­paración entre aritmética, álgebra, ge­ometría y análisis ha sido superada gra­cias precisamente a la intervención de la teoría de conjuntos.5. Las estructuras y el ordenamiento subyacente

Hasta hace relativamente poco tiem­po (unos sesenta años, aproximada­mente) podía decirse con propiedad que la matemática es el estudio de los números, las figuras y las funciones. Pero a partir de la tercera década de nuestro siglo comenzó a tomar vigencia la ¡dea de que lo esencial de aquella disciplina son las estructuras: la estruc­tura de grupo, la de anillo, la de espacio topológico, la de variedad diferen­ciadle, etc. Esta tendencia estructura- lista marca un nuevo rumbo de la mate­mática. que no podía dejar de ejercer influencia en el ámbito pedagógico. Las estructuras de la matemática actual tienen un poder sistematizador y unifi- cador cuyo menosprecio constituiría una insensatez. Pero también es una in­sensatez —de signo opuesto— hacer de estas estructuras abstractas la sus­tancia de la enseñanza de la matemáti­ca en los niveles primario y secundario. Todavía no se ha comprendido bien que aquellas estructuras deben estar en el espíritu de los programas y en la mente de los docentes, pero no deben consti­tuirse en temas específicos de ense­ñanza. Las estructuras matemáticas de­ben ser tenidas en cuenta, con sabidu­ría y con mesura, para establecer el or­denamiento subyacente de los planes de estudio. Esto implica un compromi­so intelectual que —a mi juicio— aún no ha sido comprendido en toda su ex­tensión. El concepto mismo de ordena- ■ miento subyacente es de fundamental importancia, y todavía no ha recibido la atención que merece.

6. La axiomáticaOtro de los grandes malentendidos

SSESIiHSla ingeniería y en la economía, se defi nía tradicionalmente cono correspon­dencia pero sin aclarar a su vez el sta­tus ontológico de tal correspondencia. La adopción del punto de vista conjun­tista permite, en cambio, definir con precisión, claridad una función como conjunto de pares ordenados; esto da a la básica noción de función un sentido objetivo y realista que antes no poseía.

La teoría de conjuntos iniciada por Georg Cantor a fines del siglo XIX, fue en el contexto histórico de la obra de

matemático, un triunfo del

que se han creado alrededor de la mate­mática y su enseñanza tiene su fuente en el método axiomático-deductivo. No cabe ninguna duda de que este es el método por excelencia de la matemáti­ca actual; también es cierto que este método está penetrando cada vez más en la física teórica y ya se ve que está encaminado a despejar muchas de las “paradojas conceptuales” de la teoría de la relatividad y de la mecánica cuán­tica. Pero hay dos aspectos histórico- filosóficos que han dado lugar a serias confusiones, a saber: 1 °) La creencia de que el método axiomático-deductivo es radicalmente “moderno”, y 2o) La cre­encia de que ese método consiste en elegir arbitrariamente —como en un juego— un sistema de axiomas, para di­vertirse a continuación extrayendo con­secuencias lógicas. La primera creen­cia es obviamente falsa: hace más de dos mil años que Euclides brindó con sus “Elementos” el primer ejemplo ma­sivo de construcción axiomática de la geometría, coherentemente con el pen­samiento aristotélico acerca de la orga­nización de la ciencia.

Por cierto que —como sucede con las grandes ¡deas científicas— el con­cepto mismo de axiomatización fue evolucionando con el curso de la histo­ria: la idea filosófica que se tiene ac­tualmente acerca del método axiomá­tico-deductivo no coincide totalmente con la de Euclides, aunque ésta consti­tuya su innegable raíz histórica. Esto nos conduce a examinar la segunda fuente de confusión señalada más arri­ba: la creencia de que el método axiomático-aeductivo —tal como se lo entiende en la actualidad— consiste en elegir arbitrariamente un sistema de axiomas para dedicarse en seguida al juego de extraer consecuencias lógi­cas. El método axiomático sería —se­gún esta concepción— un pasatiempo frívolo que podría conducir a un volun­tarismo ideológico y una desconexión total con la realidad. Pero he aquí que esa concepción del método axiomático- deductivo es característica de aficiona­dos que sólo tienen un contacto super­ficial y de segunda mano con la tarea científica propiamente dicha. Todos los matemáticos serios sienten un visceral desprecio por los “axiomatizadores” que se dedican a ese juego, más cerca­no a la ciencia-ficción que al espíritu científico. Lo que se espera de las

matemática adoptan, en forma consciente o inconsciente, una posi­ción realista. Todos los docentes, tra­dicionales” o “modernistas , están de acuerdo en que introducir dudas filosó­ficas acerca de la existencia de los en­tes matemáticos puede tener efectos perturbadores en la manera de la ense­ñanza: esta afirmación tiene validez ge­neral, pero posee una particular vigen­cia en los niveles primario y secundario.3. Los conjuntos

Suele decirse equivocadamente que los partidarios de la matemática moder­na introducen la teoría de conjuntos en las enseñanzas primaria y secundaria. Esto sólo puede aceptarse como abre­viatura: nadie enseña teoría de conjun­tos en los niveles primario y secunda­rio; lo que se hace es introducir no­ciones conjuntistas y adoptar el punto de vista conjuntista. La teoría de con­juntos propiamente dicha es un cuerpo de doctrina sumamente abstracto y complejo cuya enseñanza sistemática corresponde netamente al nivel univer­sitario. Lo único que resta por discutir, entonces, es la conveniencia de adop­tar el punto de vista conjuntista en la enseñanza de la matemática. En este sentido cabe afirmar que la forma en que se introducen las nociones conjun­tistas en la enseñanza no universitaria refuerza de manera notable la posición realista mencionada en el párrafo 2. En efecto: todos los docentes presentan los conjuntos como entes reales, exis­tentes, y de ninguna manera perturban al alumno introduciendo normas nomi­nalistas acerca de la existencia de esas entidades. Esto puede comprobarse simplemente examinando cualquier libro serio dedicado a la enseñanza de los conjuntos en los niveles primario y secundario.

Este punto de partida permite a su vez dar un contenido objetivo y realista a gran parte de los conceptos funda­mentales de la matemática “tradi­cional”, siempre desde el punto de vista de la enseñanza. Los ejemplos que pueden aducirse al respecto penetran todos los sectores del pensamiento ma­temático: aritmética, geometría, análi­sis, álgebra, topología, etc. Para evitar tediosas enumeraciones técnicas cita­ré solamente uno de los conceptos más importantes de la matemática pura y aplicada: el de función. Esta idea, que

ñan

o

este granpensamiento esencialista, como lo fue también la obra de su ilustre contempo­ráneo Gottlob Frege, cuyas ¡deas sir­vieron de base a la fundamentación ló­gica de la matemática que llevaron a ca­bo a partir de 1910, Bertrand Rusell y Alf’red North Whitehead. Se equivoca radicalmente, pues, quienes creen ver en la teoría de conjuntos no sé que brumosa amenaza a la tradición filosó­fica de Occidente: desde el punto de vista de la enseñanza, no hay duda de que las ideas conjuntistas contribu­yen poderosamente —quizá como nin­guna otra idea matemática— a la con­solidación de un pensamiento ontológi- camente realista, claro, preciso e in­tegrados

Quedan disipadas así las apren­siones filosóficas suscitadas en torno de la matemática “moderna” por gna in­terpretación alarmista que no toma en cuenta las condiciones reales y efecti­vas de la enseñanza en los nivejes pri­mario y secundario.4. La fecundidad del pensamiento conjuntista

Pero la excelencia del punto de vista conjuntista no se agota en su firmeza ontológica. Toda la matemática con­temporánea —salvo raras excepciones, como algunos capítulos de la teoría de números— es una emanación de la teo­ría de conjuntos. La fecundidad de esta teoría se manifiesta en un triple aspec­to: en la generación de nuevos e impor­tantes conceptos tradicionales y en la unificación de toda la ciencia matemá­tica. Como ejemplo ilustre del primer aspecto —generación de nuevos e im­portantes conceptos— puede citarse la integral de Lebesgue, pilar de la mate­mática del siglo XX, que es sencilla-

16 17

la vigencia del realismo en la enseñan­za. Corresponde ahora hablar del realis­mo en sentido pragmático: vinculación entre las nociones teóricas y la realidad práctica. Esta no es una cuestión que tenga que ver con una supuesta polémi­ca entre lo antiguo y lo moderno. Pasaré por alto el fascinante problema filosófi­co que plantea aquella vinculación entre matemática teórica y realidad. Va­yamos al grano: que la matemática que se enseña resulta “mera especulación vacía” o “pensamiento teórico útil para la comprensión de la realidad” depende exclusivamente de la sensatez de quienes conducen la enseñanza, y no de que se usen conjuntos, vectores y transformaciones. Se puede ser espe­culativo y escolástico enseñando la ma­temática más antigua —lo cual ha ocurrido y continúa ocurriendo— o en­señando la matemática más moderna y actualizada —lo cual también ha ocurri­do y continúa ocurriendo—. Lo que de­seo recalcar con el mayor énfasis es que la matemática estudiada de acuer­do con un buen ordenamiento subya­cente, y enriquecida con los conceptos de conjunto, función, vector y transfor­mación geométrica, es suceptible de un intenso aprovechamiento práctico, que engloba y supera a las aplicaciones tra­dicionales. El éxito de esta empresa de­pende de la inteligencia y la sensatez de quienes conducen la enseñanza. Los problemas de fondo son: la confección de programas, la producción de mate­rial didáctico adecuado, la actualiza­ción de los docentes y la integración de las diversas disciplinas. La solución de estos problemas no es cuestión de un día ni de un año: se trata de una vasta y compleja tarea, cuyos enemigos princi­pales son la ligereza y la improvisación.

9. Las dos deformaciones Lo más lamentable de la polémica de­

satada acerca de la enseñanza de la matemática es que ella gira en torno de dos deformaciones pedagógicas: el teo- ricismo y el practicismo. Ambas son tan viejas como la enseñanza misma y apa­recen en escena regularmente, cual­quiera sea el programa —“modernista” o “clasicista”— que se adopte. En rela­ción con los contenidos llamados tradi­cionales, la deformación teoricista se manifestó repetidamente a través de la insistencia en el recitado de las pro­piedades formales de las operaciones (ique todavía continúa!), en el estudio

minucioso de los puntos notables el triángulo, en la hipertrofia de la trigono­metría y de la geometría del espacio. En relación con los contenidos “moderni­zantes”, esta deformación se manifies­ta a través de la insistencia en las defi­niciones conjuntistas de los números enteros, racionales y reales, en la for- malización prematura e infecunda de las estructuras algebraicas, en la subor­dinación de las intuiciones geométricas a una axiomatización estéril, en la intro­ducción de los conceptos fundamenta­les del análisis matemático sin la apo­yatura de la “intuición infinitesimal”, que pese a su naturaleza metafísica (o quizás en virtud de ella) puede constu tuirse en una guía pedagógica de pri­mer orden. Estos delirios teorizantes re­feridos a la matemática moderna tu­vieron su culminación en Francia: se pusieron en manos de los adolescentes libros que añadían a su frialdad forma­lista y aterradora una insufrible pedan­tería. No es extraño que matemáticos ilustres como Jean Leray y René Thom —que figuran entre los creadores más refinados y sútiles de la matemática contemporánea— hayan reaccionado enérgicamente contra esos desmanes. Puede tomarse como símbolo la tan mentada y discutida definición de recta afín que se ha pretendido asestar a los niños franceses de^ trece o catorce años: delirios como éste, que equivale a enseñar el monólogo de Hamlet en el jardín de infantes, se prestan a pro­ducir reacciones violentas en sentido contrario y dañan severamente la causa de una enseñanza actualizada de la ma­temática.

En el polo opuesto están los practi- cistas de ayer y de hoy: desdeñan toda elaboración teórica elevada, toda ense­ñanza sistemática basada en un orde­namiento subyacente bien meditado, y se avalanzan sobre las mentes juveniles en un aquelarre de cuentas de almacén, pagarés, pintura de edificios, trenes que van y vienen, producción fabril y alambrados de campos. Nada de esto es nuevo, por cierto —aunque se pre­tenda presentarlo como la última pa­labra de no sé qué activismo pedagógi­co—, pues hace siglos que se fatiga a los niños de la escuela primaria con el aburrido cuento del comerciante que compra cinco docenas de botellas de aceite y quiere ganar el diez por ciento vendiéndolas al detalle. El practicismo es una deformación típica de la mente

as del dibujo. Cambian las longitudes y las áreas: un metro de la realidad se transforma” en un centímetro del plano; pero hay propiedades que permanecen invariables a través de esta transforma­ción, a saber: las proporciones, los án­gulos, la forma.

Y estas propiedades invariables constituyen, precisamente, el aspecto esencial de la técnica de los planos. Esto no es más que un ejemplo sencillo y más bien tosco; toda la geometría desde la más elemental hasta la de mas alto nivel, puede estudiarse mediante transformaciones que asumen muy di­versas y elaboradas formas. La geo­metría, considerada desde el punto de vista transformacional, es el estudio de las propiedades que permanecen inva­riables a través de ciertas transforma­ciones. Esta concepción, que se fue ges­tando oscuramente durante los siglos XVII y XVIII y emergió con claridad du­rante el siglo XIX, obtuvo su formula­ción clásica en el célebre programa de Erlangen de Félix Klein (1872), y ha con­tinuado desarrollándose con extraordi­naria fecundidad hasta nuestros días. A sus excelencias científicas se agrega la indiscutible ventaja pedagógica de que se promueve la actividad constructiva del educando: haciendo dibujos y reali­zando operaciones gráficas el alumno aprende geometría.

Ahora bien: la geometría transforma­cional, que desde los puntos de vista científico y pedagógico es muy superior a la penosa y aburrida metodología ad- hoc que aún puede advertirse en algu­nos manuales desactualizados, halla su expresión más ágil y gráfica mediante el uso de vectores. No eslará de más re­cordar que el uso sistemático del méto­do vectorial data del siglo XIX, y que sus éxitos más rotundos de aquella época corresponden al dominio de la física: mecánica, electricidad, magnetismo, etc. Ya en nuestro siglo, la teoría gene­ral de la relatividad —una de las gran­des conquistas del espíritu humano- fue posible gracias a la utilización masi­va del cálculo tensorial, que es la gene­ralización de una reelaboración de los métodos vectoriales.8. Vinculación con la realidad

En los párrafos 2 y 3 he hablado de realismo en sentido filosófico, y he pre­tendido demostrar que la llamada “ma­temática moderna” promueve y acentúa

buenas axiomatizaciones es que clarifi­quen un problema importante o que pongan orden donde se advierten sínto­mas de caos. Lejos de ser una “piedra libre” abierta a los voluntarismos y a las arbitrariedades, el método axiomático- deductivo (entendido seriamente) es un instrumento del orden y de la razón; pe­ro no de la razón parcializadora y auto- suficiente, sino de esa razón unitiva que reclama José Isaacson en el prólogo a su bello “Cuaderno Spinoza”.

Se ve ahora que el problema pedagó­gico planteado por el método axio- mático-deductivo es arduo y complejo: no admite soluciones simplificadoras ni posturas extremas. Por una parte es obvio que este método por excelencia de la matemática (desde Euclides hasta la actualidad) debe estar presente de al­gún modo en la enseñanza; pero por otra parte enfrentamos un dilema de hierro: si se lo expone en forma superfi­cial se cae en la frivolidad, la arbitra­riedad y el voluntarismo; si se lo expone en forma seria y profunda se cae en una construcción engorrosa totalmente inaccesible para niños y adolescentes. ¿Cuál es la solución? Y bien; la solu­ción es la misma que la propuesta en el párrafo anterior en relación con las estructuras: el ordenamiento subyacen­te. Son los maestros y los autores de programas los que deben tener una idea clara acerca del método axiomático, así como del sistema axiomático más apro­piado desde el punto de vista científico y pedagógico. Una vez asumido en for­ma consciente y fundamentada este or­denamiento axiomático subyacente, lo que ha de entregarse al alumno no es precisamente el desarrollo minucioso y abstracto de este sistema, sino un cuer­po de conocimientos ágiles, acce­sibles, fuertemente conectados a la in­tuición y a la capacidad operativa del educando.7. Vectores y transformaciones geométricas

Ningún matemático de la actualidad negaría la importancia fundamental que poseen las transformaciones en el estu­dio de la geometría. Para ilustrar el pun­to de vista transformacional mediante un ejemplo sencillo y elocuente, consi­deremos el plano de un edificio: el dibu­jante que confecciona el plano está aplicando una transformación geo­métrica; los puntos y las líneas de la re­alidad se transforman en puntos y líne-

v>

1819

ria que ya ha sido excesivamente zaran­deada, precisaré el concepto al que ahora hago referencia: llamo ideologis-

- la actitud por la cual se subordi- la objetividad y la investigación de

una materia cualquiera a los intereses de un sistema de ideas —político o filo­sófico— previamente adoptado. La lógi­ca del ideologismo no se inspira en la realidad ni en la razón, sino en el deseo. Resulta natural, entonces, que los argu­mentos utilizados por los ideologistas estén más dirigidos a impresionar la emotividad que a poner en movimiento los mecanismos de la reflexión.

adulta que trata de imponer su descolo­rida visión del mundo del espíritu de los jóvenes, con total ignorancia de las auténticas motivaciones psicológicas de la niñez y la adolescencia. No hace falta investigar mucho al respecto, pues la experiencia ya se ha hecho masiva­mente y las pruebas están ahí, al alcan­ce de cualquiera: todos los profesores de matemática saben, por ejemplo, que la llamada “matemática financiera” es uno de los temas que más aburren a los alumnos y maestros, pese a ser uno de los más “prácticos” que puedan imagi­narse; en cambio, es sabido que ciertos juegos de ingenio o problemas pura­mente lógicos, como el “cuento de las tres cruces” o las paradojas de Zenón, llegan a apasionar el espíritu de los jó­venes. No se atribuya, pues, ninguna virtud pedagógica a la obsoleta ideolo­gía del practicismo.

El problema consiste en superar de manera racional e inteligente estas dos deformaciones, pero ese resultado no ha de conseguirse buscando un punto equidistante entre ellas. Jamás la sabi­duría surgió como transacción entre dos estupideces; la razón y la prudencia no se obtienen como promedio aritméti­co de las diversas formas de la insensa­tez. Por cierto que deseamos enseñar una matemática ágil, formativa, intere­sante y útil; por cierto que deseamos proveer a nuestros alumnos de elemen­tos intelectuales que le sirvan para in­terpretar la realidad. Pero lo que debe entenderse de una vez por todas es que el logro de esos objetivos no es tarea sencilla, y depende de la sabiduría con que se ordene y se implemente el mate­rial teórico disponible. A menudo se consigue una mayor potencia aplicativa por el camino indirecto de una abstrac­ción previa que por la vía trivial del prac­ticismo inmediato.Colofón antiideológico

Para evitar confusiones en una mate-

iducación matemática en los

niveles pre-elemental y primario*mo anan

F. COLMEZ (Francia)

Con la lógica superficial e insana del ideologismo es fácil detectar la presen­cia de demonios en las más ¡nocentes criaturas: ella puede demostrar, según convenga, que la matemática moderna es un arma secreta del imperialismo ca­pitalista o la punta de lanza de la sub­versión de izquierda. De hecho, ambas “demostraciones” han sido ya realiza­das y publicadas por los respectivos grupos ideológicos; y en los dos casos se recurrió a slogans alarmistas, expre­samente diseñados para presionar a las autoridades por una vía totalmente aje­na a la razón.

INTRODUCCION

En este artículo, intentaremos destacar las principales tendencias de la educación mática de los niños, desde el comienzo de su escolaridad hasta la edad de 10 a 12 años. En muchos países, esta edad ya no constituye el final de la escolaridad obligatoria, pero sigue siendo a menudo el momento de un cambio en el régimen educativo; a esta edad ponde, según Piaget, el fin de la etapa de las operaciones concretas.

En todo caso, los años de la enseñanza elemental son aquéllos en que los niños tienen su primer contacto con la actividad matemáti­ca y de allí su importancia primordial para su futuro, en particular para la actitud que adop­tarán frente al saber. Por otra parte, es el lugar en donde los diferentes problemas susci­tados por la enseñanza de la matemática más fáciles de plantear y observar.

La evolución actual tiene por motores dos deseos complementarios, pero de naturaleza diferente, a saber: (1) enriquecer el contenido de la enseñanza, valorando la potencia unifi­cados y simplificados del pensamiento mate­mático, de modo de elevar el nivel de com­prensión de cada individuo y el dominio del mundo exterior que la matemática favorece; (2) mejorar el proceso de aprendizaje de cada niño e introducir, en el momento oportuno, el estudio de las ideas matemáticas.

Durante los años 60 fue principalmente la primera ¡dea la que motivó el deseo de refor­ma en todos los niveles de la enseñanza. Se trataba de cerrar la grieta entre la matemática que se enseñaba y la que estaban desarrollan­do los matemáticos. Desde entonces, se ha intentado trasladar las ideas generales y unifi- cadoras a niveles cada vez más elementales.

En el transcurso de los años 70, el paso del estado de ensayos reducidos al de una genera­

lización, en marcha o en preparación, condujo a dar más importancia al segundo aspecto cita­do y, por consiguiente, a precisar y tratar de modificar los proyectos anteriores, tanto desde el punto de vista de los objetivos y de los contenidos como de los métodos de enseñan­za, preocupándose más por la formación de los docentes y de todos los que comparten la responsabilidad de este sector de la enseñanza elemental, los cuales en general no son espe­cialistas en matemática.

Las consecuencias de este cambio de priori­dad, constituyen el telón de fondo de las nuevas tendencias que intentaremos analizar.

1. Metas

1.1. ¿Matemática o aritmética?

En muchos países se ha introducido al ni­vel de la enseñanza elemental, la palabra “ma­temática". El prestigio de esta palabra y el temor que inspira a un público mal informa­do, han conducido con frecuencia que la aritmética (llamada también cálculo) que antes se enseñaba, estaba en oposición con la nueva matemática, introducida y que

mate-

corres-

S¡ se previenen las irrupciones deli­rantes del ideologismo, si se superan las deformaciones del teoricismo y del practicismo, si se decide —en fin— en­carar el problema de la enseñanza de la matemática con la seriedad científica y la serena objetividad que el tema re­quiere, se podrá rescatar de la llamada “matemática moderna” la claridad con­ceptual y la potencia unificadora que, incorporadas racionalmente a un proce­so pedagógico basado en las caracte­rísticas reales de la niñez y la adoles: cencía, contribuirán sin ninguna duda a hacer que nuestro país recupere el puesto de avanzada que alguna vez le correspondió en materia educativa.

son

a pensar

*

* . Este articulo fue redactado por el autor de acuerdo con su disertación sobre el tema en el Tercer Congreso Internacional sobre Educación Matemática realizado en Karlsruhe, Alemania Federal, 1976 y teniendo en cuenta las observaciones de un panel compuesto por Guy Brousseau (Francia), J. Cort Jensen (Dinamarca), R. Disechbourg (Luxemburgo), J.F. Le B/anc (Estados Unidos de América), G. Matthcws (Reino Unido), Z. Semadeni (Polonia). L. Streef/and (Países Bajos), Bakary Traore (Malí), Ta­mas Varga (Hungría), Grace Williams (Nigeria), H. Winter (Alemania Federal) y otras de H. Besuden (Alemania Federal), J. S. Conroy (Reino Unido), E. G/enadine Gibb (Estados Unidos de América) y Ta- dasu Rawagachi (Japón).

2021

Con este objetivo se proponen a los alum­nos situaciones para cuya solución existen va­rios caminos, en niveles distintos de mientos y de formalización, teniendo cuidado de no desilusionar ciertas tentativas, ni de fa-

otras en detrimento de las primeras. Cada alumno aportara alguna contribución al problema, y, eventualmente, podrá pasar de un nivel de solución a otro, estimulado por las discusiones en el aula.

Este objetivo supone un cambio considera­ble en el concepto de enseñanza. Anteriormen­te, el aprendizaje de técnicas de solución de problemas bien clasificados, cuyo enunciado contiene ciertas palabras clave que permiten descubrir al alumno el mecanismo que debe aplicar, reduce al alumno al papel de un orde­nador que debe aprender ciertos programas. Este concepto, lamentablemente, no ha desa­parecido todavía; se sabe que a menudo duce al bloqueo del alumno por miedo saber qué hacer, y que le deja desarmado el día que se encuentra frente a un problema no programado. Por lo contrario, el objetivo de desarrollar la actitud de investigación tiene los siguientes fundamentos:

a) socialmente: la diversidad de cuestiones en que interviene la matemática es demasiado grande para que pueda darse al niño una gama de programas lo suficientemente extensa que le permita atacar todos los problemas con que se pueda encontrar durante su vida, los cuales, por otra parte, actualmente nos son desconoci­dos.

1.4 Intelectualización de la enseñanza elemental

Como complemento del objetivo señalado en 1.3, existe la tendencia, menos generalizada y menos claramente expuesta en los textos oficiales, de la intelectualización de la ense­ñanza elemental. Entendemos por esto la in­troducción de conceptos matemáticos más pre­cisos, una globalización y una organización más estructurada del saber. Esta estructuración se hace integrando progresivamente nuevos do­minios, mediante marchas dialécticas entre los diferentes niveles de acciones y pensamientos.

Por ejemplo, en un trabajo sobre la medida de magnitudes aparecen manipulaciones de dis­tintos tipos, realizadas en diferentes oportuni­dades, que permiten precisar sucesivamente el criterio según el cual se pueden comparar los objetos, destacar el concepto de medida, truir instrumentos de medida, perfeccionar es­tos instrumentos, construir objetos de medida dada, precisar el concepto de magnitud, rela­cionar entre si las diferentes clases de magni­tud y construir fórmulas para áreas y volúme­nes de objetos geométricos simples.

Por intelectualización entendemos también la investigación de regularidades, es decir, la búsqueda de semejanzas entre situaciones dis­tintas, y de modelos comunes, esto es, la pues­ta en práctica de la unidad y de la economía de pensamiento, que son las bases de la utili­dad de la matemática.

Este objetivo es muy ambicioso y los me­dios para alcanzarlo plenamente están todavía en estudio, pero hay en marcha muchas investi­gaciones al respecto.

Lo que parece comprobado es que los ni­ños son capaces desde muy pequeños de crear, manipular correctamente y modificar según sus necesidades el lenguaje matemático simple necesario para la descripción y estudio de si­tuaciones bien elegidas, respetando los crite­rios principales sobre los cuales se basa la eficacia de este método de investigación y comunicación, a saber: comprensión, conci­sión, precisión, oportunidad y naturalidad.

En particular, el uso adecuado de símbolos para indicar objetos, constantes, incógnitas y variables, les permite construir un instrumento eficaz para la solución de problemas. Al mis­mo tiempo, los niños son capaces de dominar el aspecto dinámico de la matemática (descu­brimiento, construcción, reorganización) y en sus estrategias para La solución de problemas se pueden distinguir momentos de pensamien-

vos en sí mismos, y no como un medio para lograr, entre otras cosas, una mejor compren­sión de los números. Queda menos tiempo para el cálculo y, como la enseñanza del mis-

ha sido mejorada, el resultado es una disminución en el dominio del cálculo por los alumnos. Este género de errores se va corri­giendo poco a poco, pero ha dado lugar a una polémica entre los partidarios del regreso a los objetivos anteriores y a "los métodos que han sido probados" y las personas que aceptan la disminución de la importancia dada al cálculo numérico y la justifican sosteniendo que pues­to que la enseñanza elemental tiene menos responsabilidad en la orientación de los alum-

debe preocuparse menos del medio para esta orientación, que es el cálculo.

Ambas posiciones son estériles y la solu­ción consiste más bien en reconsiderar comple­tamente el problema de la adquisición de co­nocimientos, colocándolo en un contexto más amplio del proceso de aprendizaje, en el cual intervienen a la vez habilidades, aptitudes y conocimientos.

La tendencia que se destaca actualmente puede enunciarse de la siguiente manera: no solamente mantener una buena adquisición de habilidades y conocimientos de aritmética, si­no ampliar este objetivo a otros dominios y crear en los alumnos aptitudes nuevas y, sobre todo, desarrollar las posibilidades de adapta­ción a situaciones ulteriores.

1.3 Desarrollo de la actitud de investigaciónLo que precede se refiere a la materia

enseñada; los objetivos que vamos a tratar ahora de poner de manifiesto se refieren al niño que hace matemática. En esta dirección, las tendencias más interesantes se basan sobre la idea de que no hay diferencia esencial entre la manera cómo un niño adquiere un saber y la manera cómo un matemático ha creado ese saber y que, por tanto, la enseñanza de la matemática debe en gran parte ser concebida como un redescubrimiento. Sin. embargo, de hecho, se comprueba que las tendencias que vamos a exponer sólo se van imponiendo muy lentamente.

En primer lugar, vamos a considerar un objetivo que, sin ser completamente nuevo (pues se lo menciona en los textos oficiales desde hace mucho tiempo), se encuentra ac­tualmente muy apoyado y existe gran preocu­pación para encontrar medios eficaces de con­seguirlo; se trata del desarrollo en los alumnos de la actitud de investigación.

desde ahora ésta se enseñaría en detrimento o en lugar de la aritmética. Esta ¡dea es errónea

evitar el error, en algunos países se haconoci-

y parapreferido hablar de prematemática o de arit­mética matemática.

Esta discusión es de hecho un reflejo de las diferentes tendencias actuales en la enseñanza elemental, tanto desde el punto de vista de los objetivos cuanto del de los contenidos y méto­dos.

vorecer amo no

Aunque la gama de objetivos asignados a la enseñanza elemental de la matemática varíe mucho de un lugar a otro, la tendencia univer­sal es la de ampliar estos objetivos. La forma­ción matemática básica del ciudadano medio no está asegurada en muchos países por la sola escuela elemental. Las exigencias de la vida activa y profesional evolucionan en el sentido de una mayor complejidad. Consecuencia de ello es que el objetivo fundamental de la es­cuela elemental ya no es suministrar a los niños técnicas para la solución de problemas bien clasificados de un dominio restringido, sino intentar asegurarles un tratamiento correcto y una comprensión real de las nociones matemá­ticas unidas a estas técnicas, junto con una sólida formación para su educación futura.

nos,

cons-con-a no

1.2 Valor de las adquisiciones

En muchos países, el papel de selección y de orientación de la enseñanza elemental es actualmente menos importante. De manera oficial dicho papel ha desaparecido con fre­cuencia, aunque en los hechos subsista de ma­nera menos explícita.

Esto está vinculado estrechamente al im­portante hecho que caracteriza el período ac­tual en muchos países industrializados, a sa­ber, las metas educativas de la escuela elemen­tal, debido a su rápida evolución, no son per­cibidas claramente por los principales interesa­dos : padres, alumnos y maestros. Estas metas ya no pueden reducirse a la adquisición de conocimientos en un dominio limitado (esen­cialmente las cuatro operaciones), lo que hace que la evaluación de los conocimientos de los alumnos entre, para muchos, en un mar de confusiones, a menudo observadas, entre obje­tivos y métodos. Ocurre, por ejemplo, que la información insuficiente del público y la defi­ciente preparación de los maestros han condu­cido, en algunos lugares, al siguiente contrasen­tido sobre la interpretación de los contenidos: se dedica mucho tiempo al estudio de conjun­tos, relaciones..., considerados como objeti-

b) psicológicamente: el aprendizaje de la matemática no se realiza contemplando el edi­ficio de la matemática ya terminado, sino me­diante una construcción dialéctica que el maestro tiene la misión de fomentar.

Este objetivo puede precisarse brevemente de la siguiente manera:

i) Favorecer la curiosidad natural de los niños y su voluntad de comprender, propo­niéndoles situaciones en las cuales la acción a realizar se apoye en un modelo matemático a su alcance;

ií) Dejar que los niños desarrollen sus pro­pias estrategias de investigación;

iii) Permitir que cada alumno tenga éxito en algunas soluciones, para animarle a investi­gaciones posteriores;

iv) Incitar a los alumnos a movilizar todos sus conocimientos y sus habilidades para ex­plotar nuevas situaciones;

v) Estimular a los niños a proponerse por sí mismos temas de investigación.

A

2322

das sobre muchas de ¡as ideas comúnmente admitidas al respecto.

El gran público y muchos docentes piensan todavía que para cada operación aritmética no hay más que una sola técnica operatoria, aqué­lla que les es familiar. Por otra parte, es cos­tumbre separar completamente la técnica ope­ratoria del significado de la operación. Por esta última expresión se entiende, además de la definición matemática, el reconocimiento de las situaciones en que tal operación permite encontrar la solución de un problema. Esto permite dividir las actividades en dos partes: el aprendizaje del significado y el aprendizaje de la técnica operatoria. A su vez, el aprendizaje de la técnica comprende dos partes: por un lado, el repertorio que hay que memorizar (tablas de las operaciones) y por otro lado, el programa de cálculo, que descompuesto en una sucesión de subprogramas se va enseñando progresivamente, empezando por casos particu­lares en que los alogoritmos son simples (por ejemplo las adiciones sin traslado de cifras o las multiplicaciones por números de una sola cifra).

mucho de un lugar a otro. En muchos lugares esta enseñanza no existe o bien, si existe, no tiene como objetivo prioritario la adquisición de conocimientos. Suele estar a cargo de per­sonas que han recibido una preparación dife­rente de la de los maestros de escuela prima­ria : en general se presta más atención a los problemas afectivos de los niños que a los congnoscitivos. Por estas razones los cambios deben ser siempre muy lentos y la investiga­ción en este campo no es fácil de realizar.

Sin embargo, no faltan razones para em­prenderla. Los psicólogos han demostrado que la madurez intelectual del niño depende en alto grado de las actividades que tiene oportu­nidad de practicar. No se excluye la hipótesis de que la falta o el retraso en la práctica de ciertas actividades, pueda crear en el niño im­pedimentos insuperables. Por tanto, un objeti­vo de la escuela pre-elemental debería ser pro­poner a los niños actividades que no encuen­tran necesariamente en el hogar y explotarlas para ayudarle a reconocer los objetos del pen­samiento y construir sus propios esquemas y estructuras.

Fuera de las actividades de clase comunes, hay muchas actividades de los niños que se vinculan con la matemática en los dominios del tiempo, movimiento, ritmo, representacio­nes espaciales, medidas, figuras geométricas, simbolismo, relaciones de todas clases, concep­tos cuantitativos, etcétera.

Algunos de estos dominios se han incluido de manera consciente en la enseñanza pre-ele­mental de algunos países; sin embargo, no se puede señalar todavía^en la mayoría de ellos, una tendencia clara hacia la intelectualización de esta enseñanza, a pesar de la creciente importancia social de la misma.

Las investigaciones actuales tienden a reco­mendar un aprendizaje global y progresivo, haciendo intervenir a la vez el significado, el repertorio y el algoritmo. El campo de signifi­cación de una operación, al principio limitado, se va extendiendo progresivamente por compo­sición de ciertos resultados, es decir, por la construcción de un primer algoritmo que utili­za una parte del campo de significación como repertorio. La evolución simultánea del reper­torio y del algoritmo bajo el efecto de nuevas situaciones, permite extender y reforzar el sen­tido de la operación.

La evolución del repertorio se consigue me­diante la memorización de nuevos resultados que resulte más cómoda, y abandonando otros menos utilizados. Al mismo tiempo, la estructuración del repertorio se hace en fun­ción del algoritmo, lo cual a su vez permite simplificar este último. En cada etapa se esta­blece un equilibrio y la evolución está condu­cida por razones de economía.

Los algoritmos utilizados no son necesaria­mente los mismos para los cálculos mentales que para los escritos. El cálculo mental desem­peña un papel importante para ayudar a la memorización y simplicar los siguientes.

En resumen, se puede decir que, lejos de abandonar el aprendizaje del cálculo, la ense­ñanza elemntal tiende a obtener una mayor comprensión de las operaciones y un mayor dominio de las técnicas operatorias por medio de métodos nuevos, que permitan reducir el tiempo destinado a este aprendizaje y eviten repeticiones fastidiosas.

to intuitivo y también de pensamiento analíti­co.

Este objetivo es, ciertamente, uno de los más importantes para el futuro. Al igual que el objeto señalado en 1.3, está inspirado por la preocupación profunda de respetar la inteli­gencia y la personalidad del niño. Por otra parte, es fundamental si se quiere reducir la diferencia que existe en las sociedades indus­triales, entn quienes poseen algunos conoci­mientos bien estructurados. t

i1.5 La matemática como creación colectiva

En la enseñanza de la matemática a nivel elemental, se está prestando cada vez más atención al aspecto de la creación colectiva.

La matemática no es la única actividad en que el trabajo en común y la comunicación son componentes importantes, pero, sobre to­do al comienzo de su enseñanza, todos los conceptos y todas las ¡deas pueden ser cons­truidos por los mismos alumnos a partir de actividades que se les pueden proponer.

El concepto de la enseñanza desde este punto de vista, hace que los niños tengan ocasión de apreciar la vanidad de poseer un saber no compartido y también la necesidad de comprender que si su interlocutor posee su mismo modelo, puede entrar en comunicación con él y ayudarle o pedirle ayuda para cons­truirlo.

Este objetivo es muy difícil de alcanzar y necesita métodos didácticos variados y adapta­dos a cada situación o intención pedagógica. Impone que el maestro desaparezca como por­tador del saber, pero en cambio que esté mu­cho más presente y atento como organizador y animador, lo que exige mucha habilidad y aptitud. Además, el número de alumnos de la clase debe ser el apropiado, ni chico ni grande, posiblemente entre 20 y 24 alumnos.

Por estas razones, en el estado actual de la enseñanza, este objetivo puede parecer una utopía, pero constituye un argumento suple­mentario para reforzar las investigaciones acer­ca de las condiciones indispensables para su realización.

De hecho, cada técnica operatoria es el resultado de un equilibrio entre el algoritmo utilizado y el repertorio conocido. Si el reper­torio conocido es restringido, el algoritmo ne­cesario es largo (sumar con los dedos equivale a utilizar solamente la tabla de suma del uno). Al contrario, un repertorio extenso, permite reducir el algoritmo. En cada país, tradicional­mente, la elección simultánea de un algoritmo y de un repertorio es el resultado histórico de una optimización global del esfuerzo de me­morización y del costo, en tiempo, de cada cálculo.

Sería interesante, con el fin de demitificar la cuestión para los adultos, disponer de una recopilación de las diferentes técnicas usadas en los distintos países. Esta recopilación po­dría ser útil para la formación de maestros.

Un papel análogo puede ser cumplido por los sistemas de numeración de distintas bases. Pero la ¡dea de mejorar los algoritmos usados por los niños modificando la base de numera­ción, no ha dado resultados satisfactorios, de­bido entre otras razones a que, para disponer del repertorio necesario para cada base, el ni­ño debe o bien memorizar la tabla de cada base o bien saber pasar de una base a otra. Como, por otra parte, la construcción del al­goritmo cambia poco, al final la tarea del alumno resulta aumentada.

2.2 Los números naturales

La introducción de los conjuntos en la es­cuela elemental es uno de los hechos que ha provocado más críticas, algunas de las cuales fueron, y siguen siéndolo, fundadas. De ellas vamos a ocuparnos a continuación.

La palabra "conjunto" había sido introdu­cida con sentido ingenuo por ciertos promoto­res de la reforma con el fin de poder hablar más cómodamente y de manera uniforme de las colecciones de objetos cuya comparación conduce al concepto de número. Pero, por un lado, esta palabra hizo estremecer a ciertos espíritus finos, pero exagerados, que quisieron tomarla en el sentido fuerte de la teoría de conjuntos, mientras que por otra parte los maestros quisieron "concretizar", particulari­zando las representaciones de los conjuntos con cuerdas o dibujos esteriotipados, llamados

*2. Contenidos

La gente ha creído a menudo que los con­tenidos de la enseñanza elemental ha cambia­do mucho en los últimos años. En realidad las modificaciones han sido modestas y la aritmé­tica sigue siendo el tema central de la matemá­tica a nivel elemental.

íI

1.6 Enseñanza pre-elemental

Desde hace algunos años ha nacido la idea de introducir jlgunas actividades con compo­nente matemática en las escuelas maternales o jardines de infantes.

Hay que observar, en primer término, que el estado de la enseñanza pre-elemental, difiere

I 2.1 Técnicas operatorias

La puesta en marcha de la reforma de la enseñanza de la matemática a nivel elemental, ha dado lugar a investigaciones sobre los pro­blemas vinculados con la adquisición de técni­cas operatorias, las cuales han provocado du-

2425

cual no quiere decir que dichas actividades no interesantes, sino más bien que su interés es

de otro orden.Por ejemplo, con la esperanza de facilitar la

construcción de (Z, +), se introduce el estudio de algunos grupos finitos (principalmente 4 o 6 elementos), cuyos elementos son las biyeccio- nes de un conjunto en sí mismo y la ley de grupo de composición de aplicaciones. Eí carác­ter dinámico de las biyecciones se pone en evidencia mediante representaciones con flecha o máquinas. De la misma manera se introducen los operadores de suma o resta como funciones en N. Pero para la composición de operadores la analogía ya no vale más; por ejemplo, la compo­sición de los operadores restar 3 y añadir 2, no es la función sustraer 1 (el dominio de defini­ción no es el mismo). Aunque los cálculos son claros a nivel de los números, su trascripción a nivel de las funciones es ambigua. Para vencer esta dificultad hay que crear todo un juego de escrituras que no corresponden a conceptos precisos, mientras que los niños siguen haciendo sus cálculos a nivel de números. En las clases en que el método parece tener éxito, en realidad lo que ocurre es que los niños han extendido el campo de los números con los negativos, apo­yándose en otras situaciones, como los despla­zamientos sobre cuadriculados, pero la explica­ción por operadores no corresponde al proceso seguido implícitamente. Estas dificultades moti­van un retroceso en la enseñanza de las estruc­turas algebraicas como tales, en beneficio del estudio de ciertas propiedades algebraicas de las que son componentes, como las relaciones entre números (en particular las congruencias), pro­piedades de las operaciones, por ejemplo, la distrubutividad de la multiplicación respecto a la adición, las funciones, especialmente las fun­ciones afines que intervienen en numerosos problemas y cuyas distintas representaciones (corno cuadros, gráficos, etc.) incitan a los alumnos a numerosas investigaciones.

En el mismo orden de ideas, existen numero­sas actividades, reunidas con la denominación de combinatoria, que pueden proponerse con provecho a los niños. Permiten al maestro pro­poner situaciones abiertas adaptadas a las posi­bilidades de la investigación de los niños y a éstos organizar su trabajo y descubrir mediante investigaciones sistemáticas propiedades intere­santes de los números y, en muchos casos, realizar verdaderas demostraciones. Si bien mu­chos maestros restringen estas posibilidades a la construcción sistemática de árboles, creando

diagramas de Venn en muchos manuales, creando de esta manera cierto automatismo en los niños.

En esta presentación estereotipada, la co­rrespondencia uno a uno para comparar con­juntos se hace siempre mediante flechas o tra­zos que unen los objetos dibujados en el inte­rior de dos cercos, lo cual para conjuntos pequeños es inútil,pues la comparación se pue­de hacer con sólo mirar, o contando mental­mente (de manera que el dibujo pasa a ser un fin en sí, en lugar de un medio), y para conjuntos un poco grandes el dibujo resulta inextricable. Análogamente, la suma de dos números se explica dibujando tres cercos, de los cuales dos están en el interior del tercero,

con ello ciertos automatismos en los alumnos, generalmente la habilidades adquiridas por los alumnos a través de ejercicios de carácter com­binatorio les permiten comprender mejor sus cálculos.

El contenido principal de la enseñanza ele­mental de todos los países, sigue siendo la introducción de los números naturales y el estudio de algunas de sus propiedades. En algunos países, los enteros negativos se introdu­cen desde muy temprano, mientras que en otros ello se deja para la enseñanza secundaria.

Parece que en algunos países el estudio de los racionales (casi siempre los racionales positi­vos) se hace con menor intensidad que antes, derivando el esfuerzo hacia los números decima­les, que tienen mucha más importancia en la ciencia y en la vida y, además, permiten un mejor tratamiento de R. Es probable que la generalización del uso de las computadoras favorezca dicha tendencia.

poliedro, polígono, convexidad, etc. Ciertos problemas acerca de la "reproducción del obje­to" ponen de manifiesto propiedades de sime­tría y propiedades de ciertas transformaciones planas, a la vez que permiten la introducción de los polígonos y los poliedros regulares. La utilización del papel cuadriculado permite sim­plificar algunas construcciones, facilita la intro­ducción de coordenadas y suscita investigacio­nes aritméticas. La utilización de conjuntos de cubos permite plantear y resolver problemas relativos a proyecciones, sombras y representa­ciones. Pueden plantearse otras muchas activi­dades sugeridas por el ambiente.

La tendencia estructural se aplicó prime­ro y la segunda apareció eri muchos países como reacción, esgrimiendo el argumento de que la tendencia estructural es una concepción demasiado algebraica de la geometría y no se preocupa demasiado por el conocimiento del espacio ambiental, que es uno de los fines de la geometría. En realidad, las dos tendencias no son incompatibles y algunas actividades, como por ejemplo, las que se hacen con un geoplano, participan de ambas.

En cuanto a la medición, una tendencia muy difundida propone llevar a cabo actividades a partir de la idea de que la medida es un número que, mediante un instrumento adecuado, puede asociarse a cada objeto (con o sin aproxima­ción). Se analiza luego lo que pasa si se cambia el instrumento de medida y se tratan algunas propiedades fundamentales, por ejemplo: a la unión de objetos de cierta manera, corresponde la suma de las medidas. El tratamiento afín de las medidas y la utilización del sistema métrico decimal, se relaciona con el estudio de los números decimales.

2.5 Probabilidades y estadísticaEntre los nuevos tópicos que comienzan a intro­

ducirse en la enseñanza elemental, uno de los más importantes es el de las probabilidades y la estadística. Sin embargo, a pesar de que el deseo de hacerlo es casi general, la introduc­ción efectiva de estos temas está limitada por ahora a algunos cursos experimentales, sobre todo en los referente a la probabilidad a nivel elemental:

(1) Introducir a los niños en las experiencias del azar, presentando situaciones en que no sirven los modelos deterministas. Por ejemplo, efectuar apuestas convenientes o predicciones correctas, incluso fuera de todo análisis (las palabras "convenientes" y "correctas" se refie­ren a que tienen este sentido para el niño, de

sean

1

etc.Este procedimiento no permite distinguir los

diferentes niveles de abstracción, como ser: las colecciones de objetosyla representación de los conjuntos, las clases de conjuntos, los números, la escritura de números. Los niños que no han captado el proceso de abstración, pierden pie a nivel de la escritura de los números, que les parecen desprovistos de significado. Para salvar esta dificultad se desciende la escalera de los

2.4 La geometría

En la enseñanza de la geometría ha habido grandes cambios. Hasta hace algunos años, esta enseñanza era generalmente normativa (casi siempre se reducía a algunas definiciones des­criptivas de figuras) y formal (muchos proble­mas de cálculos de áreas y volúmenes). Actual­mente tiene lugar una nueva enseñanza que integra las habilidades de la anterior. Se pueden distinguir dos tendencias, a saber:

a) Por un lado una tendencia estructural en la cual se estudia un modelo simplificado de la geometría afín del plano a partir de la noción de paralelismo, utilizando traslaciones y cuadri­culados. Se estudian las relaciones de inciden­cia, ue paralelismo y algunas transformaciones simples (traslaciones, movimientos, homote- cias). La definición de los puntos por pares de números permite enriquecer en seguida este modelo con una geometría analítica sobre 0“ y una introducción en R2. Se introduce una "distancia", a veces llamada "distancia del taxí­metro", que permite tratar problemas del si­guiente tipo: menor distancia de un punto a un conjunto de puntos, mediatriz de un segmento, etc., cuya solución necesita investigaciones nu­méricas. Con el mismo espíritu se pueden plan­tear otras muchas actividades.

b) Por otra parte, existe una tendencia ex­ploratoria,, centrada sobre la acción. Se dan a los alumnos objetos o figuras planas para clasi­ficar y se estudian criterios de clasificación que permiten identificar ciertos conceptos, como

niveles de abstracción, concretizando la escritu­ra con ayuda de objetos, como los bloques multibase.

Se observa cierta tendencia a corregir este error mediante la construcciónde los números naturales por etapas, cada una con sus métodos particulares, al debido nivel de abstracción. Por ejempló, comparación uno a uno y numeración de los números hasta 15 o 20, comparación por agrupaciones y escritura de los números hasta 40 o 50, agrupaciones sistemáticas y numera­ción más allá de 60. Cada nueva herramienta introducida con motivo de una extensión, pue­de aplicarse igualmente a los dominios explora­dos precedentemente. Se consigue así una cons­trucción coherente, en la que son tenidos en cuenta todos los aspectos de los números y en la que se evitan las confusiones entre niveles. c

2.3 El cálculo y las extensiones del concepto de,' número

En la enseñanza del cálculo, ha habido tendencia que se prodría calificar de estrjctura- lista, que pone el acento en las estructuras matemáticas, con el objeto de modificar la enseñanza de la aritmética con ayuda de Is nociones generales de transformaciones, relacio­nes, etc. Actualmente no parece que las activi­dades propuestas a los alumnos según esta ¡dea, permitan alcanzar los objetivos deseados, lo

una

I

26 27

I

taciones. Es decir, tales términos no tienen función matemática, sino más bien una función metamatemática o perimatemática. Veamos un ejemplo:

Existen tres nombres, por añadidura pro­pios, Venn, Euler y Caroll, para indicar tres representaciones ligeramente diferentes del mis­mo ente matemático (la partición de un conjun­to definida por dos de sus partes). De la partición en si misma no se habla, de manera que hace falta hacer una verdadera acción de matematización para reconocer esta partición en los tres casos. Ocurre como si se quisiera esconder a los niños aquello de lo que se quiere hablar.

lo que cada uno entiende muy bien en su lenguaje materno en una jerga pseudomatemáti- ca que conserva únicamente la parte más ambi- gua, esto es, las relaciones lógicas. Uno de los medios propuestos consiste en la elección de situaciones apropiadas (adivinanzas, por ejem­plo) que se presten a una doble descripción, en el lenguaje materno por un lado, y con ayuda del aparato matemático (símbolos, esquemas, tablas), por el otro, y que permitan la compren­sión de ciertos razonamientos por los niños. Pero todavía tiene fuerza la tentación de hacer de la lógica un dominio separado de las restantes actividades.

hace unos años. No se trata de enseñar nuevos tópicos, sino de aprovechar ciertos métodos de análisis y de presentación pare adaptarlos a las necesidades de la enseñanza elemental.

Una primera tendencia, muy difundida, es la de utilizar flechas, recuadros, etc. que permiten reflejar mejor el aspecto dinámico del pensa­miento matemático que la escritura aritmética clásica. Por ejemplo, la escritura

acuerdo con su experiencia estadística que es indispensable desarrollar).

(2) Introducir un vocabulario útil y preciso que permita a los niños lograr resultados experi­mentales y, por tanto, identificar sucesos a sus medidas. Si se quiere facilitar la comprensión de la idea de modelo, es importante tener dos lenguajes, uno para las medidas a posteriori (estadística) y otro para las medidas a priori (probabilidad).

(3) Construir modelos probabiUstas, es decir, poner de relieve relaciones entre objetos conoci­dos como pertinentes a experiencias estadísti­cas, que permitan hacer predicciones y verifi­caciones experimentales de estas predicciones. Es aquí donde se produce el uso de ciertas herra­mientas matemáticas, como las razones y la combinatoria.

(4) Empezar un estudio sistemático, organi­zando las ideas de manera que se puedan descri­bir y resolver ciertos tipos de problemas, enri­queciendo los instrumentos de análisis con algu­nos conceptos, como los de seceso y medida.

Hay que advertir que estos diferentes obje­tivos están colocados a niveles de abstracción

(X3+2 1553

es simple y comprensible. La escritura clásica (3+2) X3= 15 no pertenece al mismo nivel de abstracción, puesto que hace intervenir no­ciones suplementarias. Estas nociones pueden investigarse de acuerdo con el diagrama.

3. Métodos y medios de enseñanza

La enseñanza de la matemática en la escuela elemental presenta actualmente una diversidad creciente de actividades para los alumnos, tanto en contenido como en forma, que los maestros tratan de adaptar lo mejor posible a cada secuencia didáctica.

3.1 Elección de situaciones y de materiales

La variedad de situaciones matemáticas pre­sentadas a los alumnos, permite mostrarles los diferentes aspectos de esta actividad. En los dos extremos de la gama de estas actividades se encuentran, por un lado, las que ponen de relieve el papel de la matemática en la vida (aplicaciones de la matemática) y, por otro las que se preocupan por la naturaleza de la mate­mática (creación de redescubrimiento matemá­tico). Desde luego, hay muchas situaciones en que estos dos aspectos se combinan. Actual­mente se está tratando de encontrar un equili­brio, pero es difícil que aparezca de inmediato.

Al principio de la reforma se prestó mucho más atención a la naturaleza de la matemática, de acuerdo con la preocupación principal en aquel momento de introducir los fundamentos de la matemática en la enseñanza. En este sentido se han cometido algunos excesos, los que han motivado que se reprochara a los innovadores el no quererse ocupar de la mate­mática útil a los alumnos. Pero conviene aclarar las cosas. Antes de la reforma, las actividades propuestas a los alumnos se reducían casi siem­pre a la práctica de técnicas operatorias y a su utilización en problemas que pretendían ser sacados de la vida real, pero que en realidad ya estaban medio matematizados y, por tanto, estereotipados. Posteriormente, el abanico se ha abierto ampliamente, no sólo del lado de la creación de conceptos matemáticos, sino tam­bién del de las aplicaciones de la matemática.

Esta tendencia es general y no nueva; siem­pre ha habido en el vocabulario escolar más maneras de designar o calificar los significantes (las representaciones) que los significados (los conceptos), aunque sea cierto que muchos con­ceptos no pueden ser ti atados en las exposicio­nes dei maestro en la clase más que a través de una representación, de una "concretización", la cual, como toda representación, lleva consigo muchas otras cosas más que el concepto mismo.

Para evitar que en una concretización los alumnos dejen de lado lo esencial (el concepto perseguido) se suele preceder con concretiza- dones múltiples, lo que a menudo lleva como consecuencia la introducción de tantos vocabu­larios como situaciones y la necesidad de la traducción de una situación por otra.

Posiblemente no hay ningún país que haya podido escapar a esta "perversión del lenguaje", la cual, por otra parte, no es peor de la que ha existido siempre. Uno de los objetivos de los reformadores ha sido y sigue siendo la elimina­ción de esta perversión, lo cual está lejos de haberse conseguido y todavía hacen falta mu­chos esfuerzos para lograrlo, pues el problema es en gran parte una cuestión vinculada a la formación de los maestros y a las aptitudes, a la vez matemáticas y didácticas, de los autores de manuales.

Una segunda tendencia consiste en usar dia­gramas del tipo precedente para resolver y presentar la solución de ciertos problemas y después generalizarlo a una categoría de proble­mas cuyos datos son de la misma naturaleza, pero con valores diferentes. Los ordinogramas, con o sin bucles, son utilizados con el mismo objeto y también para descubrir algoritmos.

Una tercera tendencia consiste en utilizar la ficción. Aun si no es posible el acceso a un ordenador, los niños pueden escribir un progra­ma para un autómata ficticio, que por conven­ción solo puede realizar cálculos elementales y al que deben darse instrucciones precisas para que pueda funcionar. La construcción y el control de un prog’ama tal obliga a los niños a ser rigurosos en la escritura de la órdenes y a poner de relieve las propiedades que utilizan para elegir las instrucciones elementales.

muy diferentes. Teniendo en cuenta esta clasifi­cación, se pueden distinguir dos tendencias principales en la enseñanza de las probabilida­des.

Una primera tendencia, bastante difundida, se limita a la enseñanza de la estadística. Esta enseñanza se sitúa esencialmente en los dos primeros niveles y no se refiere más que parcial­mente a los dos primeros objetivos. La enseñan­za se apoya a la vez sobre los datos suministra­dos por el ambiente y sobre experiencias conce­bidas y realizadas en clase.

La segunda tendencia, todavía en estado experimental, tiene en cuenta más o menos los cuatro objetivos señalados. Se corre el peligro de poner demasiado pronto énfasis eri el tercer objetivo y reducir la enseñanza de las probabili­dades a la utilización de técnicas aritméticas y combinatorias, haciendo simulaciones sin que los alumnos hayan realmente construido los modelos que las justifiquen.

Se ha elaborado ya mucho material y mu­chas situaciones didácticas que pueden ser utili­zadas tanto para una tendencia corno para la otra.

Y ya en el dominio de la lógica, que tam­bién preocupa en la enseñanza elemental, se han podido observar prácticas resultantes de una misma voluntad de concretización. Por ejemplo, la creación de un lenguaje artificial, que no es ni el materno ni el matemático y conduce a frases como "el conjunto de las niñas que llevan no basta" (para indicar aquéllas que llevan faldas o pantalones).

Actualmente la tendencia es intentar evitar esta plaga del lenguaje artificial que transforma

2.7 Lenguaje y lógica

Muchas veces se ha reprochado a los partida- drios de la reforma el cambiar y aumentar el vocabulario utilizado en clase. Veamos que hay de cierto.

El problema real en muchos países no es el de la cantidad de vocabulario, sino el de la función del vocabulario introducido. La mayo­ría de los términos no sirven para nombrar nociones matemáticas, sino representaciones de las mismas o tan sólo para describir esas represen-

2.6 Influencia de la informática

Se nota cierta influencia de la manera de pensar informática en la enseñanza elemental, aunque actualmente no sea tan fuerte como

2928

■

En efecto, las actividades dirigidas en este sentido, están ancladas en la realidad, mucho más que antes mediante encuestas y observacio­nes del medio ambiente. Ellas obligan a los alumnos a recoger por sf mismos datos para problemas, lo que requiere antes del tratamien­to matemático, una matematización basada so­bro un estudio multidisciplinario de la situa­ción. Una vez bien precisado el problema, si los datos son muy complicados, los alumnos pue­den ser inducidos a construir una situación simulada o a buscar resultados aproximados.

En el otro extremo de la escala están los juegos matemáticos y el material estructurado. Ellos permiten crear situaciones artificiales que a menudo dependen de cierto número de pará­metros en los cuales el maestro puede intervenir para adaptar la actividad a la reacción de los niños.

3.4 Cambio de método desdo el punto de vista de los alumnos.

En algunos lugares, está cambiando de aspec­to la educación matemática de la escuela prima­ria, El niño no es más considerado como un receptáculo de conocimientos, sino que se exige más de su inteligencia. Las clases son más motivadas, alentándose el deseo de comprender y el placer del descubrimiento. La matemática se coloca bajo el signo de la diversidad: i) diversidad de situaciones que porporcionan al niño ocasión de ejercitar su inteligencia y sus conocimientos en dominios que le interesan; i¡) diversidad de métodos de trabajo, que le permi­ten trabajar a su propio ritmo, formar parte de un grupo en cuyo seno se reparten las activida­des y se discuten los descubrimientos^ repre­sentarlo en las discusiones colectivas, en las cuales debe presentar y defender sus resultados no solamente frente al maestro, sino frente a sus compañeros; iii) diversidad de actividades vinculadas con la matemática (dibujos, manipu­laciones, construcción de materiales, encuestas, recolección de datos del ambiente, etc.).

Lamentablemente existen todavía muchas clases en que el trabajo no se organiza de esta manera y se sigue con el estilo clásico, con un método de trabajo que no deja iniciativa para los alumnos y consiste esencialmente en la repetición de ejercicios del mismo tipo.

En casos extremos, los cambios de conteni­dos sin cambio de métodos llevan a la degrada­ción de la enseñanza. Así,por ejemplo, si bien la recitación repetida de las tablas operatorias era un procedimiento poco eficaz de memoriza­ción, tendía sin embargo a un saber útil acepta­do como tal por los niños, mientras que la recitación de la definición de intersección de conjuntos no tiene ningún interés desde el punto de vista del saber y traumatiza a los alumnos que no alcanzan a comprender qué se espera de ellos.

3.5 Cambios de métodos desde el punto de vista de los maestros.

Los métodos de enseñanza tradicionales se fundaban en la división de cada aprendizaje en una serie de dificultades elementales, que se enseñaban una después de otra y se iban contro­lando mediante ejercicios de aplicación. El mé­todo se basaba en la idea fundamental de que existe un saber constituido que hay que trans­mitir. Si bien esta ¡dea puede acomodarse tam­bién a métodos activos, éstos quedan siempre forzosamente limitados y la frase "creatividad del niño" no tiene mucho sentido dentro de tal

nos: la presentación es más atractiva, el conteni­do más diversificado, la separación entre la lección y los ejercicios va desapareciendo;’ con­tienen situaciones abiertas que cubren varios dominios, se apoyan en fotografías, dibujos, croquis, gráficos, etc. Los alumnos pueden orga­nizar su trabajo cada vez más siguiendo su libro. Algunos autores Van todavía más lejos en esta dirección de individualización y proponen, en lugar del manual, conjuntos de fichas, organi­zando una especie de enseñanza programada. Estos conjuntos van acompañados por un folle­to con indicaciones para los maestros. Estos instrumentos son únicamente muy eficaces si el maestro interviene en su utilización, distribu­yendo el trabajo, organizándolo individualmen­te o por grupos y, sobre todo, dirigiendo algu­nos momentos de síntesis colectiva, añadiendo si hace falta algunas fichas que tengan en cuenta las reacciones de los niños. Lejos de reducir el papel del maestro, estos nuevos materiales exi­gen, al contrario, una mayor presencia y una mayor competencia para poderlos utilizar crite- riosamente.

Otro tipo de fichas contienen ejercicios de control que permiten a cada alumno,, con ayuda del maestro, tomar conciencia de sus insuficiencias y de sus incomprensiones o con­fusiones, favoreciendo así la individualización de la enseñanza y su adaptación a los distintos alumnos. En estas fichas abundan los "ejercicios con blancos", en los que el alumno debe com­pletar frases, diagramas, esquemas, etc., lo cual facilita la labor de corrección,pero no deja de tener sus peligros, pues: i) su abuso en matemá­tica y en otras materias reduce considerable­mente la experiencia de los alumnos en la presentación y organización de temas escritos; i) estando muchas veces fundados sobre la elección múltiple, tienen el inconveniente de posibilitar una respuesta correcta por razones completamente ajenas a la cuestión: ii) en un mismo ejercicio, los blancos pueden reemplazar a diferentes funciones lo que es muchas veces ambiguo, y esta ambigüedad no favorece la creación de los conceptos de nuevas nociones, como incógnita, variables, etc.

Señalemos finalmente otro tipo de publica­ciones, no muy difundido, del tipo de los "clubes de matemática". Se trata de colecciones de problemas o situaciones abiertas preparadas por los mismos alumnos que trabajan en ello fuera de clase, sin que signifique que interven­gan todos los alumnos, vale decir, no es una actividad colectiva de toda la clase.

Estos materiales, a menudo costosos, han sido presentados como indispensables para la renova­ción de la enseñanza y son una fuente de ganancias para muchos. Otros materiales prepa­rados en la misma clase, menos sofisticados y adaptados a las necesidades de cada momento, serían más útiles en muchos casos. Ciertos países utilizan también otros medios (televisión, películas, fotografías) para presentar las activi­dades a los niños e incluso, algunas veces, para mitigar en parte la carencia de maestros califica­dos. Pero estos medios son más bien utilizados en la formación de maestros.

Si, como hay que suponer, las pequeñas máquinas computadoras continúan multiplicán­dose y abaratándose, no se podrán ignorar en la enseñanza elemental; habrá que integrarlas en los procesos de aprendizaje de las técnicas operatorias y en la resolución de problemas. Permitirán explorar con mayor intensidad cier­tos dominios en que los cálculos numéricos demasiado largos restringen actualmente las po­sibilidades (por ejemplo, en estadística). Sin embargo, es necesario investigar en este campo, pues no hay que confiar demasiado en los fabricantes de estas máquinas.

3.3 Libros y publicaciones escolaresUna cuestión muy importante es la referente

a los manuales escolares y a las distintas publi­caciones destinadas a los alumnos, pues, en gran parte, a través de estos materiales se lleva a la práctica la renovación escolar. A pesar de que la cuestión parece presentarse de manera muy diferente de un lugar a otro, puesto que el espectro de posibilidades va desde un material oficial único a una libertad total de publicación por los editores y de elección por los maestros, pasando por una elección restringida entre posi­bilidades preestablecidas, en realidad las dife­rencias encontradas y las tendencias actuales son bastante uniformes en los distintos países.

Tradicionalmente, un manual escolar tiene dos objetivos diferentes. Por un lado,proporcio­na a los maestros un panorama de las lecciones, que éstos utilizan agregando ejemplos, ejerci­cios, motivaciones, anécdotas, etc. Para el alum­no, el manual es fuente de resúmenes, ayuda memorias y lecturas sobre los distintos temas, si bien los manuales en general no se dirigen a los alumnos más que a través de los maestros, que los interpretan e indican la manera de utilizar­los. Por otra parte, los manuales suelen traer colecciones de ejercicios de aplicación.

Se observa el deseo general de los autores de manuales de dirigirse cada vez más a los alum-

sus

]

Uno de los objetivos de algunas investigacio­nes actuales es el de caracterizar con precisión las situaciones que pueden describirse en térmi­nos de estrategia del maestro, respondiendo a la evolución de la estrategia de investigación de los alumnos. Dentro de esta perspectiva se han empleado muchos materiales estructurados, los cuales constituyen un estímulo eficaz para la construcción de nociones matemáticas si se los usa para la matematización. Existe el peligro de que, al contrario, se conviertan en un freno de la misma si son utilizados como concretización, es decir, para simular situaciones sin que el modelo esté claro para los niños.

Señalemos, además, la tendencia que se nota en todas las situaciones de variar mucho los medios de representación, utilizando papel cua­driculado, ábaco, croquis, etc. tanto para comu­nicar, como para ayudar a buscar conjeturas e investigaciones.

3.2 Los medios tecnológicosDurante los últimos años se ha extendido

considerablemente en la escuela elemental el uso de medios tecnológicos de comunicación escrita o gráfica (tizas de colores, transparen­cias, retroproyectores, etc.). Facilitan el trabajo en equipo dedicado a la preparación de docu­mentos visuales y proporcionan a toda la clase una visión agradable.

Junto con la reforma, aparecieron también grandes cantidades de materiales estructurados, entre los cuales hay algunos que son la materia­lización de técnicas calculatorias, sucesores de los clásicos ábacos (bloques multibase, contado­res, minicomputadoras) y otros son instrumen­tos de investigación (por ejemplo, el geoplano).

3130

adapta a la modalidad actual de la enseñanza, pues la evaluación debe abarcar otros tipos de habilidad que son más difíciles de precisar en términos de conquistas logradas.

La situación actual muestra una especie de desorientación de todo el mundo frente al problema de la evaluación. Sin embargo, se puede señalar una tendencia que consiste en acompañar cada actividad con ciertos ejercicios que permitan evaluar al maestro la eficacia de su enseñanza para poder ajustar la misma en las etapas siguientes. Estos ejercicios forman paite integral de la actividad y consisten en general en tareas obligatorias para los niños durante dicha actividad, sin que aparezcan como motivo de control para los alumnos. Por otra parte, ciertos controles individuales de los progresos de cada alumno , siguen realizándose regularmente. Fre­cuentemente, el diagnóstico de los fracasos es más difícil de hacer en la actualidad que antes, pues faltan criterios bien establecidos para ello.

cuadro. El maestro interpreta las reacciones de los niños y valora o no lo que ellos hacen en función de su modelo del saber, creando de esta manera una confusión entre la necesidad lógica (una afirmación es verdadera o falsa según que resista o no a los argumentos que se le oponen y que los argumentos presentados en su defensa convenzan o no a los compañeros) y la necesi­dad de autoridad (la aprobación del maestro).

Al contrario, una enseñanza basada sobre la ¡dea de que la matemática es una creación de la clase debe utilizar métodos más diferenciados, combinando para cada tema momentos de ac­ción, enunciado de descubrimientos o conjetu­ras y convalidación de éstas. En la tercera fase el papel del maestro es particularmente deli­cado; debe mantenerse neutral y conducir la discusión sin que se noten sus sentimientos o sus ideas. Estos métodos son más exigentes para el maestro y también para los alumnos, que deben vivir momentos de frustración y de inse­guridad cuando fracasan sus primeras ¡deas; es en este momento cuando el maestro debe ver la manera de ayudarles.

Estos métodos están lejos de aplicarse de manera general y presentan todavía puntos que requieren uña mayor investigación didáctica. Exigen del maestio aptitudes especiales. Para muchos, son considerados muy costosos en tiempo y en energía. No pueden ser eficaces más que si son utilizados de manera continua, pero los resultados obtenidos, bien merecen que se les preste mucha atención.

La mayoría de los maestros intentan, de buena o mala gana, cambiar sus métodos. Den­tro de un cuadro que ellos mismos delimitan y con los conocimientos y técnicas que transmi­ten a los niños, dejan a éstos mayor iniciativa, tratando de evitar los dos escollos opuestos que son el dogmatismo y la indiferencia.

De todas maneras sería un error creer que los cambios de contenidos matemáticos determi­nan automáticamente un cambio de actitud frente al saber y un cambio de métodos en la enseñanza.

manipulación con conjuntos y sus representa­ciones para el aprendizaje del lenguaje por los sordomudos).

Sería deseable intensificar las investigaciones en estos dominios, pues aparte de su aspecto humanitario, podrían revelar muchas cosas acer­ca del proceso general del aprendizaje.

fuerzo de la mayoría, reticencia o rechazo de otros. En lo que sigue vamos a analizar estas reacciones.

4.1 La libertad de ios maestros en la enseñanzaHay que recordar que la organización admi­

nistrativa y pedagógica de la enseñanza elemen­tal varía mucho según el país, yendo desde una organización muy centralizada en la que los maestros reciben directivas estrictas hasta una organización descentralizada en la que los maes­tros adhieren a un proyecto educativo local, en cu/a redacción muchas veces ellos mismos han colaborado.

La reforma de la enseñanza de la matemática ha tenido generalmente el efecto, en todos los casos, de aumentar ¡a diversidad de métodos de enseñanza y también de aumentar la libertad de los maestros. Esta libertad presenta varios as­pectos; en primer lugar, un aspecto técnico, pues la participación mayor de los alumnos exige de los maestros una estrategia, que no puede definirse de antemano, para adaptarse a las reacciones de los alumnos. Por otra parte, presenta también un aspecto sociológico, pues no se puede tratar de imponer un cambio, en muchos países, debido a los insuficientes me­dios de información de los maestros. La refor­ma da ocasión a los maestros más entusiastas y mejor preparados para enseñar cómo deseen, mientras que para los demás esta libertad se transforma en incertidumbre, pues inclusive es­tán dispuestos a modificar su enseñanza, no saben cómo hacerlo. Para ellos es fundamental disponer de publicaciones adecuadas, pero la multiplicidad de puntos de vista expresados en ellas acerca de contenidos, métodos y objetivos, conduce muchas veces a confusión más que a ayuda efectiva. Las reacciones producidas son variadas, desde la adaptación progresiva, al re­chazo de las reformas.

3.8 La matemática y el lenguaje

Anteriormente el cálculo dependía mucho del dominio de la lengua escrita, pues los enunciados se daban por escrito y la solución tenía como parte importante la redacción. Ac­tualmente, muy a menudo el aprendizaje de la lengua escrita es más lento, lo cual favorece la aparición en el primer grado de un lenguaje matemático escrito que se necesita para las actividades. Por otra parte, los métodos de clasificación, organización de la información y de sustitución que se desarrollan en matemática facilitan el aprendizaje de la lengua escrita, tanto en ortografía como en sintaxis. Aparece, por tanto, una inversión de la influencia entre la matemática y la lengua escrita.

Los diferentes niveles del lenguaje oral se aplican ahora más que antes en matemática. El mismo lenguaje familiar y los mismos gestos son utilizados para explicar una situación: las expre­siones de los niños son aceptadas tales como son, mientras se las comprenda. Para no romper el ritmo de la discusión si es necesario, el maestro exige del alumno una expresión más clara y le ayuda a hacerlo, pero puede decirse que hay cierta tendencia a minimizar la inferio­ridad que un deficiente dominio del idioma puede significar para los niños de una proceden­cia socio-cultural poco favorecida.

En ciertos países en donde las actividades matemáticas tiene lugar en un idioma que no es el materno, aparecen problemas particulares todavía no muy bien estudiados, existiendo al respecto investigaciones en curso.

!

3.7 Niños lentos y disminuidosLos niños lentos han sido siempre la desespe­

ración de los maestros que no conseguían man­tenerlos en el mismo nivel que el resto de !a clase. Actualmente, parece que los nuevos mé­todos de aprendizaje de los algoritmos de cálcu­lo,, la mayor variedad de actividades, el ritmo de éstas mejor adaptado y la ayuda de sus compa­ñeros, permiten a muchos niños lentos no ser bloqueados en su progreso.

Queda todavía mucho por hacer en este dominio en el cual las cuestiones afectivas tienen papel fundamental. Sin embargo, los resultados ya obtenidos permiten pensar que es preferible no separar a los niños lentos de los demás (ni tampoco separar a los más rápidos). Las consecuencias de una separación tal son en general catastróficas desde el punto de vista psicológico y, además, poco favorables a la creación colectiva. En efecto, para que una creación tal tenga lugar, no es necesario que sea hecha por cada individuo, sino más bien por algunos más capaces, si los demás puedan com­prenderla, aceptarla y divulgarla por su cuenta.

Los niños disminuidos física o intelectual- mente son, en general, alumnos de instituciones especiales, cuyos educadores tienen escasa pre­paración matemática. Algunas experiencias he­chas para ensayar las nuevas ¡deas de la aritméti­ca, parecen ser prometedoras (por ejemplo, el uso de esquemas con flechas y de las minicom­putadoras para algunos débiles mentales, o la

I

4,2 Los maestros en actividades

La mayoría de los maestros son conscientes de la necesidad de cambiar su método de enseñar. Muchos están asustados por la ampli­tud de los cambios necesarios. Otros no conci­ben otra manera de enseñar que la tradicional y su interpretación de las innovaciones desembo­ca en una caricatura de la reforma. La experien­cia muestra que un maestro no puede modificar realmente su enseñanza si no ha tenido ocasión de experimentar por si mismo los nuevos méto­dos y de observar las reacciones de los alumnos ante los mismos. Las condiciones para estas

4. Los maestrosEn la enseñanza elemental, más que en los

otros niveles, el papel del maestro es fundamen­tal. Una reforma/cualquiera sea, no puede tener éxito más que si los maestros comprenden sus objetivos, dominan los nuevos contenidos y son capaces de modificar sus métodos de enseñanza de acuerdo con ella. Naturalmente, no se puede esperar que todos los maestros cambíenle un día a otro, su comportamiento en el sentido señalado. Sus reacciones son muy variadas: entusiasmo de algunos, buena voluntad y es-

3.6 Evaluación

La evaluación del trabajo de los alumnos es uno de los puntos más difíciles surgidos en la reforma. Anteriormente se consideraba suficien­te controlar si existía en ciertos temas una habilidad precisa (técnicas operatorias y ciertos tipos de problemas) y, aunque esta evaluación era un poco arbitraria, se la consideraba satis­factoria. Pero este tipo de control ya no seI32 . 33

reducido de personas, y algunas investigaciones entonces en marcha sobre la enseñanza de la matemática a nivel elemental sirvieron base de trabajo para las comisiones

4.4 Formación de maestrosLa mayor parte de los maestros tienen una

formación inicial cuyo nivel matemático no es demasiado elevado. En muchos casos, no sola­mente los maestros sino también los formadores de maestros han tenido que seguir cursos de actualización acerca de los nuevos contenidos, lo cual ha contribuido a ocuparse más de ia reforma de los contenidos (principalmente des­de un punto de vista estructural) que de los métodos.

Las tendencias actuales son las de dar priori­dad a la formación teórica, respecto de los contenidos^ a la práctica profesional, ligándose ambos objetivos mediante un análisis epistemo­lógico y didáctico. Esta tendencia se va llevando a la práctica lentamente, pues las instituciones formadoras de maestros se preocupan poco por los cambios y, por otra parte, sus tareas se han visto aumentadas por la necesidad de organizar cursos para los maestros en actividad, sin au­mentar sus posibilidades, lo que hace que los formadores de maestros no tengan tiempo para reflexionar suficientemente sobre su misión. Ge­neralmente los educadores del nivel pre-elemen- tal no tienen formación matemática especial y no creen que ella sea necesaria para su enseñan­za, aunque algunos desean estar informados de la evolución de la enseñanza elemental.5. Las componentes sociológicas

Cuando, hace unos quince años, la reforma de la enseñanza de la matemática a nivel ele­mental fue tema de discusión en todas partes, el público y los maestros de primera enseñanza no se sintieron demasiado aludidos. Las escuelas primarias formaban un coto cerrado, cuyos responsables no eran en general especialistas en matemática y cuyas reformas estaban guadas principalmente por las ciencias sociales, en espe­cial las ciencias de la educación, que tenían poco que ver con la enseñanza de la aritmética. Esto hizo que las innovaciones no fueran com­prendidas y el choque producido por los arrolla­dores cambios que se produjeron, explica el carácter apasionado de muchas reacciones.

5.1 Los proyectosLa primera innovación fue la entrada de

matemáticos profesionales y especialistas en matemática en el coto cerrado de la enseñanza elemental, con motivo del trabajo en común en comisiones oficiales, para elaborar proyectos de investigación y de formación de maestros.

La puesta en marcha de la reforma fue sugerida por las ¡deas de un número bastante

experiencias cambiar mucho de un país a otro.Es importante que exista una estructura

alentadora, en la cual cada maestro pueda ex­presar sus ¡deas o proponer sus problemas, aun suponiendo que no recibirán respuesta satisfac­toria inmediata pues el hecho de saber que no está solo ante situaciones difíciles, es a la vez un confortante moral y un aliciente para buscar la solución.

Las publicaciones periódicas pueden ayudar, pero no son suficientes. No son el instrumento ideal para juzgar los materiales o los manuales, pues lo importante no son los materiales en sí mismo, sino la manera de utilizarlos. Lo desea­ble es una reflexión colectiva.

Otro freno frecuente para el cambio de actitud del maestro es la sensación que él mismo tiene, a veces justificadamente, de no estar preparado por desconocimiento de lo que debe enseñar. Tiene miedo de no saber seleccio­nar las ¡deas fructíferas de los alumnos y de dejarlos librados a sí mismos sin intervenir de manera adecuada, motivando una pérdida de tiempo y un desaliento de parte de ios alumnos. Finalmente, es frecuente el caso de maestros que temen no tener jas aptitudes necesarias, lo que los coloca en posición moral incómoda, a veces agravada por las reacciones malevolentes del público o de la prensa.

mo las destinadas a los alumnos o a los maes­tros. La mayoría de los maestros se informan sobre lo que deben enseñar a través de los manuales de los alumnos y de los folletos dedicados a ellos mismos. Los primeros manua­les, hechos a menudo con prisa y sin el apoyo de la experiencia vivida por el autor, han contri­buido a acentuar la divergencia entre los pro­yectos iniciales y su puesta en aplicación. En los países en que los promotores de la reforma han producido ellos mismos el material destinado a los maestros, los resultados han sido mejores, pero no perfectos, pues el material en general ha parecido a los maestros demasiado alejado de su manera de pensar para que los utilizaran correctamente y han sido mejores, pero no perfectos, pues el material en general ha pareci­do a los maestros demasiado alejado de su maner de pensar para que los utilizaran correc­tamente y han preferido otros manuales más tradicionales. En todos los casos, se exige de los maestros un gran esfuerzo de adaptación, sin mayor recompensa.

Las reacciones de los padres han evoluciona­do desde el interés y la curiosidad inicial, hasta una inquietud y una oposición considerable ante las primeras realizaciones. Actualmente, las pasiones levantadas parecen haberse calmado. ¿Qué parte de resignación está oculta detrás de este aparente desinterés?

5.3 Dificultades

Una de las razones de las divergencias observadas entre los primeros ensayos y su generalización es sin duda,la frecuente justifica­ción de los cambios de métodos por considera­ciones pedagógicas generales más que por nece­sidades específicas de la matemática. Se observa así cierta discrepancia entre los deseos pedagó­gicos de los maestros que desean transmitir un saber, corregir a través de su enseñanza la disparidad socio-cultural y permitir el desarrollo de los niños, y sus prácticas diarias en las que, concentrando sus esfuerzos sobre el saber técni­co, reducen el papel cultural de la matemática.

Desde luego, estas cuestiones preocupan también a los padres, que tienen en general tendencia a desconfiar del aspecto cultural y preferirían que el aprendizaje se limitara a las técnicas básicas. Esta oposición entre el saber técnico y la cultura matemática, manifestada por mucha gente, es una ¡dea falsa; numerosas experiencias demuestran que el aprendizaje de lo primero resulta muy facilitado por la pose­sión de lo segundo.

Una mejora de la situación provendrá de un

como que se

crearon en muchos países, sin que se hicieran simultáneamente experiencias originales. Se pu­do tener la ilusión de un gran consenso interna­cional, mientras que en realidad se trataba de un fenómeno de resonancia alrededor de gama de proposiciones bastante reducida. D^sde entonces, los puntos de vista se han diversifica­do y actualmente se pueden distinguir las si­guientes tendencias:

a) Una tendencia estructuai (fuerte al princi­pio) que subraya la importancia de la enseñanza de estructuras matemáticas, con el objeto de tratar los temas tradicionales bajo puntos de vista

unai

ínuevos.

b) Una tendencia aritmética, caracterizad? por la introducción^desde el comienzo de la escolaridad, del lenguaje conjuntista y por un tratamiento de la aritmética que hacen de ella un saber autónomo, más que una herramienta al servicio del estudio cuantitativo del ambiente

c) Una tendencia empírica, en la cual la enseñanza de la matemática se hace a través de actividades diversas en los dominios de las mediciones, geometría, funciones, etc. prestan­do más atención a la parte didáctica que a una planificación vertical ordenada lógicamente

5.2 Los cambios

Para crear el ambiente necesario para la puesta en marcha de la reforma los cambios de contenidos son más importantes, por su aspecto espectacular, que los cambios de métodos. Es significativo, por ejemplo, que los artículos de los grandes diarios se refieren casi exclusivamen­te a los contenidos y hablan de la "enseñanza de la matemática modena" en vez de la "nueva enseñanza de la matemática".

El cambio de métodos necesita una larga preparación, a la vez psicológica y técnica, de los maestros. Pero para hacer esta preparación hacen falta medios, que los iniciadores de la reforma han reclamado en vano desde hace tiempo. Las autoridades responsables compren­den mejor la necesidad de proveer a los maes­tros de una buena formación sobre los conteni­dos que sobre los métodos. En muchos países ha sido necesario poner en marcha simultánea­mente la enseñanza de los nuevos contenidos, la información al público y la formación de maes­tros. La importancia de las publicaciones es en este caso considerable, tanto las destinadas al público (muchas veces de calidad dudosa), co-

4.3 Polivalencia de ios maestros

La mayoría de las veces, los maestros de escuela primaria deben enseñar todas las mate­rias. No son especialistas en matemática, lo que quiere decir que sus conocimientos en esta disciplina no son muchos y que frecuentemente prefieren dedicar más tiempo y esfuerzo a otras materias.

En muchos países, la reforma de la enseñan­za de la matemática se ha hecho junto con la reforma de la enseñanza de las otras materias. En este caso, si bien las diferentes reformas se apoyan entre sí pues los objetivos educativos son comunes, el resultado es un aumento de trabajo de los maestros y una dispersión de sus esfuerzos, lo que retrasa evidentemente la evo­lución de la matemática.

Algunos países tienen maestros especializa­dos en la escuela elemental y otros tienen el problema en estudio, pero actualmente, no es posible señalar una tendencia definida al respec­to. Tal vez la solución esté dada por una especialización parcial y progresiva con la edad de los alumnos.

\

;

3534

dónales del niño y del esfuerzo de reorganiza- don de la matemática en grandes estructuras, ha dado lugar a la creación de una nueva didáctica de la aritmética elemental, fundada sobre el aprendizaje de las estructuras e inte­grándose en la corriente de la unificación del pensamiento científico.

La investigación se inició en este sentido y los resultados obtenidos alentaron la puesta en marcha de la reforma. La difusión de la refor­ma se ha hecho, la mayoría de las veces, según el principio de condicionamiento aplicado a los maestros.

cambio de actitud frente a la matemática. Mien­tras los maestros no tengan, durante su forma­ción, la posibilidad de practicar ellos mismos la matemática de manera constructiva y observar la misma actitud de redescubrimiento que se preconiza para los niños, seguirán tentados de ver a la matemática como un edificio hermoso, del cual hay que hacer que los alumnos suban los escalones, uno a uno. A fuerza de distinguir entre e¡ aspecto saber y el aspecto lenguaje de la matemática, se ha difundido la idea de que los cambios se reducían a una manera de hablar. En muchos libros de texto para los maestros, es común encontrar frases como "antes'se decía . ..,ahora se dice". Los planes de asistencia a los maestros en la clase, propuestos por las comisio­nes encargadas de la reforma que debían acom­pañar a las nuevas directivas, no han sido muchas veces llevados a la práctica.

El uso de la televisión como medio de for­mación continua de los maestros, no da resul­tado si no va acompañado de una estructura que permita a los maestros trabajar en equipo sobre los contenidos de las emisiones y mante­ner correspondencia con los realizadores.

Sin embargo, la insuficiencia de medios no lo explica todo; están por conocerse las condi­ciones precisas para una formación eficaz de los maestros, pues a menudo los programas propuestos han estado demasido influidos por la dirección estructural y han debido ser modi­ficados. En esta dirección se están haciendo algunas investigaciones.

En los últimos años se han creado ciertas estructuras de estudio y análisis, agrupando personas de formación muy diferente, pero en muchos países se duda de su éxito.

! LO DIDACTICO

lar\

5la matemáticaenseñanza de

Arnold KIRSCH (Alemania FederaI)

rría dejar esto al juicio del maestro, pero éste a menudo encuentra que algo es difícil sólo porque es nuevo para él. ¿Qué pasa con el alumno? Pero, ¿quién es él para juzgar si lo que se le ha enseñado es el verdadero asunto —si algo esencial no ha sido "quitado de su camino" y, por consiguiente, se lo ha privado de ello?

Estas cuestiones ilustran las dificultades me­todológicas para desarrollar conceptos genera­les y suficientemente precisos en una ciencia de educación matemática. No trataré de dar una teoría general de simplificación que inten­te ser ampliamente aceptable. Usaré la simpli­ficación en el sentido de tornar accesible, co­mo una guía mediante la cual organizar algu­nos desarrollos didácticos y para formular al­gunas sugestiones. Para hacerlo, clasificaré cier- tos aspectos especialmente matemáticos para tornar accesible. Acaso se los pueda ver como parte de cuestiones más generales en la teoría del aprendizaje, pero no creo que se las pueda inferir de la última.

El primer aspecto es

0. Introducción. Simplificación como medio de tomar accesible

En la discusión sobre el curriculum, el prin­cipal problema es el de elegir y justificar el contenido que se debe enseñar. También de importancia, y extrechamente ligado a él, está la cuestión de vestir el contenido. Todos espe­ran que el maestro "sintetice" y "elemental i- ce". En lo que sigue consideraré a la simplifi­cación como proceso de tornar accesible. No hablaré de simplificación en el sentido de "po­dar" o "descender a un nivel más bajo".

La simplificación en el sentido arriba citado se ha discutido ampliamente en la literatura psicopedagógica, por ejemplo, como reestruc­turación (Umstrukturieren). No obstante, en la práctica se realiza sin concederle mucha aten­ción. G. Becker ha hecho un estudio de "ele- mentalización" en un contexto específicamen­te elemental [l ] que deseo usar como punto de partida.

El término simplificación es un lugar co­mún; esto no debe llevarnos a creer que en una situación concreta hay necesariamente acuerdo acerca de si la materia entre manos debe ser simplificada o no. Un matemático ha­bla de "simplificar" una prueba si puede elimi­nar conceptos y desarrollos extraños, lo que a menudo significa que los argumentos se hacen refinados y menos obvios y, por tanto, más difíciles para el estudiante. O bien, el didácti­co trata de construir ecuaciones "más fáciles" de comprender, explicando los conceptos tér­mino, variable, expresión que el maestro del aula puede ver como complicando el asunto. El autor de un "best seller" pedagógico "sim­plificó" recientemente el concepto de serie nula de números positivos definiéndola como

serie monótona decreciente ("cada núme- menor que el que le precede"), lo cual

es simplemente falso.¿Quién debe decidir si algo se ha hecho

realmente más fácil de comprender? Uno que-

6.11nvestigaciones en marcha

La generalización de la reforma ha dado por resultado la multiplicación y la diversifica­ción de investigaciones, generalmente con un prurito acentuado de rigor científico, a veces de manera empírica y raramente en el cuadro de una teoría (embrionaria). Podemos mencio­nar:

a) Encuestas y evaluaciones concebidas al estilo de las ciencias experimentales, que han exigido medios importantes, pero cuyos resul­tados deben muchas veces tomarse con cuida­do, pues si bien el plan y el tratamiento de los datos suelen estar hechos científicamente, la elección de los datos y su recolección no se ha hecho muchas veces de manera satisfactoria (muchas de estas investigaciones no han tenido en cuenta la opinión de ningún matemático).

b) Con el fin de ayudar a los maestros a resolver los problemas prácticos de la enseñan­za, han aparecido múltiples estudios detallistas y muchos documentos adaptados a pequeñas secuencias de la enseñanza, lo que ha reforza­do el aprendizaje condicionado.

c) Un gran número de investigaciones refe­rentes a dominios matemáticos restringidos, en los cuales la puesta en evidencia, la descrip­ción y la comunicación de los métodos didác­ticos parece más fácil. Se llega así a una divi­sión del saber, opuesta a ia unidad deseada. Estas investigaciones se basan sobre la idea de que, para los alumnos, el saber se reorganizará más tarde en el cuadro de las grandes estructu­ras y que tal reorganización no es interesante más que si abarca suficiente número de cosas y se hace a nivel suficientemente elevado.

Actualmente se están haciendo tentativas para corfstruir la didáctica de la matemática

ciencia fundamental autónoma, que de­be crear simultáneamente sus objetos de estu-

(Cont en pág. 45)

1. Tornar accesible por medio de la concentración en el núcleo matemático del tema

Este aspecto corresponde al punto de vista de que la matemática en su forma más natu­ral, esto es, la matemática en el más estricto sentido de la palabra, despojada de todos los elementos genéticos y relaciones con la reali­dad, es la matemática más simple. Trabajar con los conceptos centrales, generalizar y enfa­tizar las estructuras fundamentales es una ma­nera de tornar más accesible a la matemática.

Esto corresponde sin duda a ciertos enfo­ques de la teoría del aprendizaje. En su "prin-

6. Investigaciones y problemas

Una de las principales dificultades que apa­recen al hablar de la reforma de la enseñanza de la matemática en todos los niveles y posi­blemente todavía más a nivel elemental, es la ausencia de un sistema de pensamientos que pueda servir de referencia. Las ideas más di­fundidas acerca de la enseñanza elemental de la matemática, en la mayoría de los países, están fundadas sobre el aprendizaje condicio­nado (objetivismo y neo-objetivismo) y, preci­samente, la reforma ha sido introduada para luchar contra este modo de aprendizaje, que parecía particularmente unido al aprendizaje de la aritmética.

La convergencia de los conocimientos apor­tados por los psicólogos sobre estados opera-

unaro es

como1 Becker, G.: Móglichkeiten und Probleme des Ele- mentarisierens in mathematischen Unterricht, 1974.

36 37

'

.

sino la definición que usualmente dan los ma­temáticos con el fin de simplificar las deduc­ciones que la siguen.

Aquí se ve que tornar accesible no es lo mismo que simplificar la estructura deductiva. En la matemática escolar, que es a lo que de­seo restringirme aquí, lo que cuenta es la com­prensión del significado de conceptos impor­tantes y la habilidad para manejarlos con sen­tido. Pero esto no basta para establecer inter- relaciones deductivas. No hay duda que una elección adecuada de las definiciones y axio­mas torna mucho más accesible un área de la matemática, pero el único criterio de elección no puede ser aquí la simplificación de la es­tructura deductiva. Por encima y más allá de las consideraciones matemáticas internas, el d¡- dacta maestro debe mostrar imaginación y to­mar en cuenta el conocimiento interior de los alumnos. Debe ser sensible a las alternativas justamente donde no existe diferencia para un matemático (por ejemplo, los vectores como clases de flechas son, o no, "lo mismo que las traslaciones").

Los ejemplos siguientes ilustran lo que lla­maría una simplificación (estructural) equivaldría a poner el carro delante del caba­llo6 y que sólo sirve para tornar más difícil el acceso:

"la definición" del producto de números naturales por el camino del producto cartesiano de conjuntos;

cipio de diferenciación progresiva" D.P. Ausu- bei" . giere que primero se deberían presentar las ideas generales, inclusivas, de una discipli­na, como él las denomina. Esto permitiría ac­ceder a problemas especiales más fáciles.

Aquí también se puede pensar en el bien conocido principio de profundidad de Z.P. Dienes.

Como primer ejemplo de ésto tomemos el enfoque de problemas con palabras en la es­cuela primaria que emplea las letras como va­riables antes del cálculo numérico-H. Freuden- tal3 informó recientemente sobre las sugestio­nes y experiencias de V.V. Davydow y su es­cuela de la URSS en esa dirección. Se supone que la abstracción y la generalidad se alcanza­rán directamente más bien número de casos especiales y para acceder más fácilmente a problemas concretos.

Por otra parte, es posible tornar más difícil un concepto si se rehúsa tomar un punto de vista suficientemente general. Tuve oportuni­dad de observar esto recientemente en una cla­se de alumnos de 15 años. Se empleó toda una hora para explicar la invariancia del para­lelismo mediante correspondencias; la prueba fue dividida en muchos casos que requirieron argumentos geométricos especiales que incluso se prolongaron en la tarea para el hogar. Si aquí se hubiera pensado en retornar al núcleo del asunto -que una cosa tal es una permuta­ción del plano (que conserva las rectas) tonces la cuestión se aclararía de inmediato.

Y nadie negaría que el pequeño teorema de Fermat sólo puede ser realmente comprendido y apreciado en su forma teórica de grupo abs­tracto. Pero la siguiente observación nos hace detenernos y pensar. Los repetidos esfuerzos para inducir en los estudiantes de profesorado el concepto de grupo por el camino de los grupos permutativos4 encontró poca resonan­cia; se objetaba que era mucho más fácil co­menzar directamente con los "verdaderos gru­pos".

potencias. En lugar de atacar directamente el centro del asunto (multiplicación iterativa), al­gunos maestros de metodología tratan de ha­cer el concepto más fácil hablando de iterar "atados" de objetos reales, relacionándolo así con los contornos de la matemática.

Un ejemplo particularmente importante donde se han explotado los orígenes de una ¡dea es el tratamiento de los grupos por Die­nes. El fue capaz de hacer el concepto de gru­po accesible aun para los alumnos más jóvenes mediante la distinción entre "estados" y "ope­radores" y particularmente empleando los grá­ficos de Cayley (volviendo de esta manera a la prehistoria de la teoría de los grupos).9

Lo que yace detrás de ésto, desde el punto de vista del matemático, es una "duplicación" de la estructura de grupo, en el sentido expre­sado en el teorema de Cayley. En este nivel, un grupo es un grupo agudamente transitivo de operadores que actúan sobre un conjunto de estados. Esto evita muchas dificultades: los

"la definición" de la suma de fracciones co­

mo: JL + <L = ad +bc b d bd

"la definición" de un cuadrado como un cua­drilátero con cuatro ejes de simetría;"la definición" de una rotación como produc­tos de reflexiones;"la definición" de un espacio tridimensional mediante una ecuación lineal;"la definición" de una función convexa por medio de la derivada primera y aun de la se­gunda;"la definición" del área de un trapezoide de lados curvos empleando una integral (definida por las funciones primitivas);"la definición" del logaritmo como la integral de 1/x;"la definición" del seno y del coseno como

• soluciones de un sistema de ecuaciones funcio­nales:

que por un gran

Aquí y en muchas situaciones similares se emplean propiedades como definiciones que pueden y deben ser explicadas si se desea acla­rar la esencia del concepto.8 Desde el punto de vista científico esto es, por cierto, legíti-

deseo hacer un juicio de valor sino

operadores aparecen como objetos concretos, y se "conoce" un operador tan pronto como

un estado inicial y el correspon-se conocendiente estado objetivo. Pero justamente aquí surge el peligro de que los alumnos (y los maestros) no alcancen la madurez matemática.

Esta duplicación de la estructura de grupo yace también en la base de la tradicional arit­mética de fracciones. A diferencia de la teor.ía de grupos, éste es un tema sustancialmente sig­nificativo para la mayoría de los alumnos. Al tratar el grupo multiplicativo Q , se diferencia entre los números "concretos" y los números "puros", o, en la terminología corriente, canti­dades y operadores. Un análisis exhaustivo, especialmente el Vealizado por H. Griesel, ha aclarado esta área y ha justificado con éxito varios métodos tradicionales de presentación. También se ha reconocido la importancia del concepto de "dominio de cantidades" para la enseñanza orientada hacia un desarrollo genéti-

que

mo; nosólo señalar la posible complicación en el pro­

de aprendizaje. Naturalmente, puede sercesodifícil definir cuál es la esencia de un concep­to. Pero, por cierto, no es meramente, una cuestión de gusto.

Por ello, el fenómeno de "poner el carro delante del caballo" ¡lustra un problema espe­cíficamente matemático al tratar de tornar ac­cesible alguna cosa: la simplificación estructu­ral puede tornar más difícil el acceso.

El próximo aspecto es, en cierto sentido, complementario del anterior.

—, en-

2 Ausubel, D.P./Robinson, F.G.: School Learning New York, 1969.

3 Investigación soviética en la enseñanza del álgebra en los primeros grados de la escuela elemental, Edu- cational Studies ¡n Math., 1974, pgs. 391-412.

2. Tomar accesible mediante la inclusión de los "contornos" de la matemática4 Con los grupos permutativos, lo natural es conside­

rar primero la inversión de las permutaciones y luego buscar el elemento idéntico para poder componer las permutaciones; con los grupos abstractos, primero se debe introducir la identidad y luego los elementos inversos.

Siempre se ha tratado de hacer la matemá­tica más accesible para los alumnos introdu­ciendo entes matemáticos de la manera menos abrupta y tomando "una visión más amplia de la matemática, lo que incluye el origen de los

relación con la realidad. Este

co y hacia las aplicaciones.En la geometría vectorial de las escuelas

aún se encuentran las expresiones fósiles "coli- neal" y "coplanar" cuya introducción muchas dificultades especialmente con el vec­tor cero. Estas ¡deas se tornan mucho más ac­cesibles si se introduce de inmediato "la de­pendencia lineal", que es lo que se está bus­cando. Una definición conveniente podría ser: "Los vectores son linealmente dependientes si por lo menos uno de ellos puede escribirse como combinación lineal de los otros"5 Lo difícil para los alumnos no es la noción misma

7 Interprete las fracciones como longitudes. La ecua­ción dada surge entonces de las propiedades de un , dominio de cantidades.

8 Esto es cierto para muchos axiomas que se han sugerido por razones didácticas.

9 Naturalmente, es posible que lo que le interese a Dienes no sea tornar más accesible el concepto de grupo,-sino más bien el objetivo más general de esti­mular el desarrollo cognoscitivo de los alumnos más jóvenes.

crea

5 Al principio es natural no explicar la dependencia lineal para un vector. Esto se presenta más tarde co­mo una extensión (no una revisión) de la definición dada.

Esto es cierto para muchos axiomas que se han suge­rido por razones didácticas.

‘6 Esto se relaciona con lo que H. Frendenthal, en su libro Mathematics as an Educational Task, denomina "inversión antididáctica".

conceptos y su enfoque también es apoyado por argumentos de la teoría del aprendizaje, en particular, por aquéllos que se refieren al problema de la mo­tivación. También es apoyado por la experien­cia metodológica.

Un ejemplo controvertido de la matemática de la escuela primaria es la introducción de

3938

va abstracción. Esta es también una observa­ción específicamente matemática sobre la sim-' plificación que probablemente no se pueda de­ducir de ia teoría general del aprendizaje.

El aspecto discutido se puede intitular enri­quecimiento. La siguiente, por otra parte, es una forma de reducir ei contenido. No obstan­te, lo que me concierne aquí no es una teoría sistemática, sino más bien ciertos aspectos que considero especialmente importantes en el es­tado actual de la enseñanza matemática. El si­guiente aspecto se formula deliberadamente de manera positiva (no como una reducción).

Como resultado, se ha continuado desarro­llando el método del operador en la aritmética de las fracciones originalmente publicado por P. Braunfeld y G. Pickert, y hoy se lo emplea ampliamente. Se asigna aquí creciente peso a las fracciones decimales y di hecho de que és­tas, consideradas como rperadores, puedan ob tenerse directamente con ias calculadoras de bolsillo.

Los críticos de la enseñanza matemática co­rriente ven una innecesaria complicación en la distinción entre estados y operadores. Es verdad, por cierto, que se ha "destacado de­masiado" la distinción. El problema principal ha resultado ser que el análisis básico destina­do al maestro ha sido confundido con material propuesto para la clase. Aquí hay un ejemplo de este "hacer explícito el contenido implíci­to" que critica R. Thom. De paso, obsérvese que muchos matemáticos introducen la misma complicación (duplicación de la estructura bá­sica de grupo) en un nivel más alto cuanto tratan espacios afines paralelos a espacios vec­toriales -a pesar de la categórica condena de J. Dieudonné a tales concesiones a los aspectos genéticos.

El conjunto de los estados de un gráfico de Cayley, de los dominios de cantidades y de los espacios afines, son objetos exteriores en rela­ción con los conceptos centrales de la mate­mática. Se agregan a la matemática (en sentido estricto) para tornarla más accesible. Otro ejemplo de esto, que a mi juicio tipifica los esfuerzos de la didáctica de la matemática en Alemania para tomar en cuenta los "contor­nos" de la matemática, es el uso de metacon- ceptos al introducir el lenguaje del álgebra, es decir, al enseñar cómo manejar las variables.

Después de que este enfoque fuera esclare­cido 9 primeramente por H.G. Steiner y R. Wáshe, siguió un período en que fue enseñado con exagerado perfeccionismo que condujo a complejidades desoladoras. Se está comenzan­do ahora a encontrar un medio y a cosechar los frutos de la experiencia. No cabe duda de que esta área se está volviendo más accesible gracias a que ha sido demitificada. Ha sido reducido el número de alumnos cuya inhibi­ción frente a "aseveraciones" como a = b les impedía su progreso matemático. En cambio, se debe aceptar cierta complejidad provocada por el uso de tales metaconceptos.

¿Cómo se compagina esto con nuestro pri­mer aspecto? Toda la experiencia indica que cierta complejidad usualmente no molesta ni a alumnos ni a maestros tanto como una excesi-

fluo y ciertamente peligroso definir una "pala­bra" con la que los niños ya están familiariza­dos, como una correspondencia por ejemplo, un concepto que en las primeras etapas toda­vía no está disponible. Esto no significa que nosotros estemos en favor de un retorno al lenguaje desorientador de la combinatoria tal cual se la enseñó tradicionalmente. Simple­mente, estamos arguyendo por el reconoci­miento de lo que los alumnos ya han aprendi­do donde se lo puede usar.

En el aula, esto requiere que el maestro juzgue sobre qué conocimientos de los alum­nos debe construir. Es exagerado aguardar un consenso general sobre esto. De ninguna mane­ra deseamos excluir que este conocimiento ya existente sea cuestionado o profundizado más adelante. En realidad, más adelante se debe bucear en él y dispensar de él, paso a paso. Pero no debe ser arrojado por la borda inme­diatamente. Debe recordarse esto, especialmen­te en los próximos ejemplos.

Los alumnos tienen considerable experien­cia que se puede usar en la geometría elemen­tal.10 Pienso, en particular, en su familiaridad con la existencia y propiedades de las medicio­nes elementales de longitud, ángulo y área. Es­ta familiaridad viene desde fuera de la clase de matemática, incluso desde fuera de la escuela, lo cual podemos considerarlo como una situa­ción particularmente afortunada.

En el aula de hoy, no se insiste en un desarrollo completamente riguroso de la geo­metría elemental y usualmente se hace uso de estas mediciones sin decir nada. Pero incluso en un nivel más exigente, el uso de estas medi­ciones como conceptos indefinidos básicos puede llevar a una deseable simplificación. Es­to fue originalmente expuesto en el libro de Birkhoff y Beatley. En años recientes, se lo ha desarrollado más y se lo ha puesto exitosa­mente en práctica en algunos cursos.

De paso, se lleva aún más lejos el reconoci­miento del conocimiento que existe si se basa la geometría elemental en los espacios vecto­riales como lo hace J. Dieudonné. Porque esto significa que, de facto, se supone un conoci­miento previo de los teoremas de la semejan­za. Esto no parece justificado ni en la ense­ñanza en el aula ni en la instrucción de los alumnos de profesorado.

de la figura corresponde a un período del de­sarrollo decimal. Esta visión sólo se obnubilará si tratamos de explicar el algoritmo o de tra­ducir todo en lenguaje matemático. Verá de inmediato que se cumplen las desigualdades de la derecha. Pero no comprendería una prueba formal de ello empleando el teorema de la di­visión con resto.

También debería aceptarse que la noción común de fracción decimal como serie de dígi­tos es una base perfectamente buena para in­troducir los números reales. No se debe co­menzar con una precisa definición de una se-

3. Tornar accesible pur el reconocimiento y la activación de! conocimiento preexistente

Al subrayar este aspecto, nos estamos ubi­cando en contra de la tendencia ampliamente difundida de desarrollar matemática "ab ovo" o de retroceder hasta el comienzo y comenzar sin admitir nada. Esta tendencia se puede en­contrar no solo en los matemáticos sistemati­zadores (cuando, por ejemplo, ellos dicen a los estudiantes que olviden le que han aprendido en la escuela) , sino también en didactas orien­tados genéticamente, como A.l. Witenberg, e incluso en el metodólogo de la escuela prime­ria cuando ignora las experiencias previas de los niños con números.

Nosotros queremos, por otra parte, ver a los alumnos animados a hacer uso del conoci­miento preexistente, incluso desde fuera de la matemática. Este enfoque toma en cuenta rea­lidades como la calle Sesame, y ahorra tiempo y esfuerzo de parte del maestro. Sobre todo queremos eliminar la frustración que se puede causar despreciando lo que los alumnos ya sa­ben.

rie.También en análisis, esta idea ingenua de

serie es suficiente durante mucho tiempo. De­finir las series demasiado rápidamente como correspondencias en el dominio N inhibe el desarrollo de una comprensión creadora de lo que es una serie y vuelve imposible operar li­bremente con subseries. Afortunadamente se

olvida" rápidamente esta definición, por ejemplo, cuando se explica la monotonía (ya definida para funciones) en la forma a, < a2 ^a 2 • .

La experiencia de los alumnos con la repre­sentación decimal de los números naturales ha­ce posible una prueba de la insolubilidad de la ecuación (m/n)2 = 2 (m,n e N), experiencia, que muestra serles particularmente accesible:

i i

La teoría del aprendizaje también estimula cierta conexión con el conocimiento existente. En particular, pertenece,según D.P. Ausubel, a las condiciones para el "conocimiento signifi­cativo". Al mismo tiempo está de acuerdo los principios didácticos, como el principio de integración de E. Wittman o, con más generali­dad, con el principio genético.

He aquí un ejemplo: se debe reconocer y utilizar el conocimiento de los alumnos del al­goritmo de la división cuando se explica la periodicidad en las fracciones decimales o cuando se introducen intervalos incluidos. De­bido a su experiencia con este algoritmo, el alumno verá que la repetición en el cálculo en la parte sombreada

se comparan simplemente los últimos dígitos en los desarrollos de m2 y 2n2. El conoci­miento infantil de las series finitas como "pa­labras", puede también construirse mediante la combinatoria elemental. Ya se puede explicar a los jóvenes alumnos qué es una palabra con s letras en un alfabeto de n letras. Lo que han aprendido al deletrear, los capacita para

cuando dos palabras son lo mismo y

con

reco­nocercuando son diferentes. De esta manera, com­prenden inmediatamente que hay precisamente ns de tales palabras. Y pueden aplicar esto en situaciones reales usando las palabras como

10 Entendemos, con J. Dieudonné. a la geometría elemental, como “un tipo de física del espacio", aun­que no como una disciplina puramente experimental como él sostiene.

"palabras-código" (para describir rutas de es­cape, por ejemplo). Para tales fines, es super-

4041

fl

damento del concepto de integral. Esto es útil para los alumnos de los cursos con un mínimo de matemática que en lo actual tienden a no tratar para nada las integrales. Simplemente definimos la integral de una función (siguien­do a E. Artin) como el área bajo su gráfica (tomada positivamente por encima del eje de las x y negativamente por debajo). Entonces podemos dedicarnos directamente al problema fundamental de calcular integrales.

De esta manera evitamos los asuntos de la definición y de las pruebas de existencia que provocan dificultades de relieve a los alumnos más flojos y que, de todas maneras, luego olvi­dan totalmente. Con esta definición geométri­ca se puede también -probar el teorema funda­mental del cálculo; no es necesario degradarlo a una definición como en el enfoque mediante las funciones primitivas.

En la prueba de que todas las funciones primitivas (de una función definida sobre un intervalo) difieren entre sí por una constante, se debe aceptar que los alumnos conocen por su experiencia que f'= 0 implica que f es constante. Con cierta imaginación, ese conoci­miento se puede adquirir observando un velo­címetro. Lo importante, ante todo, pueden dar el pasito de este juicio al que se refiere a todas las funciones primitivas y com­prender su significado. Sólo entonces se justifi­ca didácticamente y es deseable examinar su plausibilidad y proporcionar una prueba.

En relación con esto, formulemos un prin­cipio general para organizar cursos: Se deben organizar de manera tal que las cosas con las

Lo que nos preocupa se aclara particular­mente si se piensa en cómo se introducen a veces las funciones trigonométricas: es una pérdida de tiempo, y sólo frustra a los alumnos, pasar por alto sus conocimientos ya existentes de ángulo o de longitud de arco. Es perfectamente posible construir sobre este co­nocimiento aun en los programas de profesora­do Un desarrollo independiente de las funcio­nas trigonométricas es, en conjunto, sólo nece- ■>di¡o como conocimiento básico para la ense- n.in/.i .-n los últimos años de la escuela, y aquí /*.% necesario.

Ue la misma manera, es legítimo en la ma­temática escolar emplear la fórmula del área de un sector (en función de la longitud de arco) para probar que. lim sen x

x+o xComparando las áreas correspondientes se de­

duce luego la desigualdad básicax < tan x (o < x < fí)

4. Tornar accesible mediante el cambio de la forma de representación

Siempre se ha tratado de tornar más ac­cesibles los conceptos matemáticos mediante la ilustración, más generalmente cambiando la forma de representación. Según J. S. Bruner, actualmente se diferencia entre representación activa, representación iconográfica y represen­tación por medios simbólicos (por medio del lenguaje así como de símbolos en el sentido menos amplio). En los principios didácticos, como el "principio de la prefiguración", se es­timula el uso de formas presimbólicas.

No podemos desarrollar aquí una teoría, ni siquiera la fenomenología, de las maneras de representar las ¡deas matemáticas. Este es un problema que el psicólogo no está en condi­ciones de resolver y que no interesa al mate­mático. Recae entonces en el especialista en didáctica. El esquema E - I - S de Bruner debe ser modificado, o refinado, antes de ser aplica­do a la matemática. Simplemente no se puede coordinar las maneras .usuales de representar conceptos matemáticos con este esquema. (Por ejemplo, ¿cómo se categoriza la representación de los conceptos algebraicos estructurales me­diante modelos en la matemática? ).

En lo que‘sigue, sólo recordaré cómo se pueden representar las ideas matemáticas acti­va o iconográficamente para tornarlas más ac­cesibles.

Ante todo daré un ejemplo de representa: ción activa: explicamos la regla de la divisibili­dad por 9 eñ un ábaco primitivo. Sea el núme­ro dado n representado por n cuentas en la columna de los unos. Realizamos la acción si­guiente tan a menudo como sea posible: "To­mar 10 cuentas, colocar 1 en la columna de la izquierda y colocar las otras 9 aparte".

Las cuentas que quedan en el ábaco dan la representación decimal del número n. El nú­mero de cuentas que quedan es la suma de los dígitos en la representación decimal. Ahora hemos separado grupos de 9 cuentas cada vez; entonces el número n es "tan" divisible por 9 como lo es la suma de sus dígitos.

No hay duda que aquí se ha presentado adecuadamente el punto esencial y que se ha tornado accesible para alumnos para los cuales de otra manera la regla podría ser sólo una

todo inaccesibles para la matemática escolar, pueden tornarse accesibles reconociendo los conocimientos ya existentes y, por cierto, cul­tivándolos. Un ejemplo impresionante de esto es el teorema fundamental del álgebra. En un análisis didáctico, H.G. Steiner mostró como tornar accesible para la clase la bien conocida prueba topológíca. Precisar los elementos to- pológicos de la prueba, de ninguna manera da­ría la más simple prueba del teorema. La sim­plificación surge aquí porque se puede aislar­los de la manera explicada anteriormente.

?

! ¿Cómo se compagina este aspecto de reco­nocimiento del conocimiento preexistente con la tendencia, ampliamente difundida hoy, de introducir los conceptos axiomáticamente cuando resulta demasiado laborioso definirlos o construirlos rigurosamente? Sólo se necesita pensar en las definiciones axiomáticas de área, de números reales, o de la función exponen­cial. Esto no es "exactamente lo que quere­mos significar". Aquí también debemos desa­rrollar cierta sensibilidad a la diferencia aun cuando a simple vista las dos sean lo mismo. Por ejemplo, el reconocimiento preexistente de las propiedades de orden en la geometría no significa que se expl¡citen axiomas de ellas, sino más bien que ni siquiera se habla de ellas.

En general desearía destacar lo siguiente: si la introducción axiomática de un concepto simplemente formula en forma explícita lo que razonablemente se puede suponer que co-

los alumnos entonces ella corresponde a lo que pensamos. (Para ser más preciso, la for­mulación axiomática es una forma más elevada de lo que pensamos). Pero si es un caso de "poner el carro delante del caballo", si los axiomas "vienen de las nubes", entonces no es lo que intentamos.

1

2

es que

Por olí «i mulé, no se justifica obtener la desigualdad simplemente comparando el arco con el segmento tangente sin ninguna argu­mentación, como se hace comúnmente sin nin­guna argumentación. Aquí reside la línea divi­soria entre la simplificación legítima y una simplificación que no convence a los alumnos críticos.

El área de las figuras planas es un concepto en el cual la intuición es particularmente con­fiable. Raramente conduce a conclusiones fal­sas (a diferencia de la ¡dea intuitiva de longi­tud de arco, en donde las líneas en zigzag pue­den causar dificultades). La demostración de que hay figuras inconmensurables en el plano es algo refinado y no constructivo. Imagínese lo que significa para un alumno que se cues­tione su noción de área: la fórmula del área de un triángulo no aparece más como teorema que se puede probar, sino, más bien, como definición (otro ejemplo de poner el carro de­lante del caballo). Y el descubrimiento de Hi­pócrates sobre las "pequeñas lunas" queda de­gradado a un juicio hipotético. Las ¡deas intuiti­vas de área aún pueden emplearse como fun-

nocenque se supone que los alumnos están familiari­zado puedan aislarse y examinarse más tarde

mayor atención o eliminarse del todo, sin que se derrumbe toda la estructura. Este prin­cipio es un ejemplo de cómo aislar dificultades con sentido común y concuerda también el principio de la espiral, de J. S. Bruner.

Una ilustración de esto se presenta en lo que en Alemania se llama "geometría de co­rrespondencia" [Abbildungs geometrie). El análisis muestra que "las pruebas de corres­pondencia", cuando se las desarrolla en deta­lle, son usualmente más difíciles que las pruebas tradicionales

con

con ¡

Si vemos el reconocimiento del cono-una reducción en

reducción relati-cimiento preexistente como el contenido, entonces es una

ligera. Se están evitando explicaciones que de todas maneras no se necesitan. A me­nudo, un maestro debe llevar a cabo reduccio­nes mucho más extensas, incluso para admitir resultados que de ninguna manera conocen sus

Pero no deseo discutir aquí este problema. En cambio, quisiera dedicarme aspecto que acaso pueda verse como una for-

de reducción, aunque esto no signifique necesariamente sacrificar ninguna esencia ma-

vamente

que emplean los teoremas de congruencia. Pero no se desmoronan si parte de la prueba que los alumnos

se elimina o reemplaza por lo conocen sobre congruencia

-conocimiento que en realidad proviene de fuera de sus clases de matemática, de riencia diaria sobre los cuerpos rígidos.

Algunos tópicos que hasta ahora

ialumnos.a un

11 Es común en todas las ciencias admitir resultados de esta manera, especialmente de otras disciplinas. También en matemática ocurre lo mismo.

su expe- ma

temática.eran del4342

t

En esta forma -y mediante el uso de for­mas tanto activas como iconográficas— se rea­liza una importante ayuda en matemática práctica comprensible por todos los alumnos. Hay profesores que me aseguraron que eso es "demasiado fácil" para los alumnos adelanta­dos. No obstante, la mayoría de los alumnos de hoy no conoce el papel gráfico logarítmico ni siquiera adquiere capacidad para aprender sobre él por sus propios medios. No puedo dedicarme aquí a cuestiones de representación simbólica en el sentido más restringido. Permí­taseme decir tan sólo que la matemática se puede tornar accesible usando diferentes for­mas de representación. Aquí "todo va bien", sea "abuso de lenguaje" o chistes como los que emplea P. Braunfeld.

He experimentado cómo Braunfeld tuvo que defenderse contra la acusación de que eso no era matemática. No obstante, "no está jus­tificado", como dice R. Fischer, "no llamar a algo matemática simplemente porque se lo co­munica con una jerga diferente". No hay duda que muchas ¡deas matemáticas simples perma­necen inaccesibles en la actualidad para nues­tros alumnos sólo porque se las presenta me­diante una formulación o simbolismo que pro­voca dificultades que nada tienen que ver con la esencia matemática.

Para subrayar la validez de las formas de representación más "primitivas” parecemos despreciar la cuestión de la transferencia inter­modal: H. Bauersfeld, particularmente ha seña-

abrir puertas a nuestros alumnos sin desorien­tarlos y sin falsificar nada. Quizás una formu­lación mejor de nuestro cuarto aspecto sería la siguiente: Tornar accesible comenzando al ni­vel apropiado de representación.

los alumnos podían dar buenas razones por las cuales así ocurría. Entonces, trabajaron creati­vamente en el nivel más bajo de representa­ción. Esto es sin duda mejor que permanecer largamente pasivos a un nivel más alto.

Lo mismo ocurre con las muchas grada­ciones posibles en las representaciones verbales y simbólicas. Por ejemplo, cuando se puede ver, al enseñar proporciones, cómo una expli­cación verbal adecuada de la igualdad básica capacita a los alumnos para todos los niveles de trabajo con ellas por sí mismos, en tanto que las formulaciones simbólicas se pierden en gran parte.

Hay nuevos resultados en esta dirección en la ecuación funcional de Ia función exponen­cial. A. Engel informa: cuando discuten proce­sos reales de crecimiento, los alumnos sugieren formulaciones como "iguales lapsos de tiempo siempre dan el mismo factor de crecimiento". Esta forma de la ecuación se puede usar para deducir consecuencias y aplicaciones no trivia­les que de esta manera se tornan accesibles a amplios grupos de alumncs.

Un ejemplo: Sigamos un proceso de creci­miento sobre la escala de una regla de cálculo. Factores iguales significa mover longitudes iguales en la escala. De ese modo, a lapsos iguales de tiempo corresponden pasos de igual longitud sobre la escala. En otros términos, nos movemos con velocidad constante a través de la escala. Ahora los alumnos pueden hacer por sí mismos gráficos de papel logarítmico, marcando simplemente escalas de la regla de cálculo, a la izquierda y a la derecha del pa­pel, y uniendo los puntos correspondientes.

De modo que cualquiera que dibuje "algu­na vez un gráfico de horarios" verá lo siguien­te: el crecimiento exponencial aparece sobre el papel logarítmico como una línea recta (ver gráfico).

receta. Traducir el argumento de una forma más sofisticada resulta, por comparación, de importancia secundaria.

Debe ser parte de la habilidad profesional del maestro el conocer tales posibilidades para representar ideas y cómo emplearlas en forma fructífera. Esto no siempre es fácil: la transi­ción al nivel activo tiene sus bemoles. Como bien se sabe, representar las permutaciones por "juegos" con objetos reales puede llevar a complicaciones considerables.

Quisiera ahora hacer dos observaciones so­bre las representaciones iconográficas. La pri­mera se refiere a los diagramas de flecha, que adquirieron amplia difusión gracias a los es­fuerzos de G. Papy. Aparentemente, algunos alumnos sólo pueden comprender conceptos como "inyectivo", "suryectivo" (independien­temente de si uno emplea o no estos térmi­nos) mediante los diagramas de flecha, en otras palabras, con la forma "dos o más fle­chas no terminan en un punto" o "por lo me­nos termina una flecha en cada punto". Nos preguntamos si es adecuado o no comprender conceptos de esa manera. La respuesta es "sí" si luego se argumenta con ellos en este nivel de manera sensata.

Este es el caso^ por ejemplo, cuando se prueba, empleando diagramas de flechas, que si la correspondencia <7 o f es inyectiva enton­ces también lo es f, o sí g o f es suryectiva entonces también lo es g.

La siguiente observación se refiere a la re­presentación de un sistema algebraico finito mediante las tablas de composición. El hecho de que estas representaciones sean tridimensio­nales es, definitivamente, una característica iconográfica. La experiencia en el aula muestra lo s'guiente: conceptos como la regularidad de una composición (regla de cancelación) o de­ducciones tales como "la regularidad implica que toda ^ecuación ax = b es resoluble en el caso finito sólo se tornan accesibles alumnos cuando se interpretan en una tabla imaginada, esto es, "en cada hilera y en cada columna cada elemento aparece sólo una vez; entonces, debe aparecer por lo menos vez".

5. Observaciones finales

Debo terminar aquí. Indudablemente, he dejado afuera importantes aspectos de tornar accesible a la matemática, tales como median­te ejemplos iluminadores. En verdad, estos son de qran importancia para aprender matemáti- ~~13 Pero, de todas manera, no he tratado de agotar la cuestión.

Deseo destacar especialmente lo siguiente: todas las ideas aquí bosquejadas son sólo ayu­das para facilitar el acceso al aprendiz. No pueden ahorrarle el acto básico de Ia compren­sión. No todos los alumnos logran esto en to­dos los casos.

Mi larga experiencia me sugiere que en este sentido la inducción matemática es un "con­traejemplo". Ha estimulado a los. maestros a realizar notables esfuerzos y ha alentado una impresionante creatividad didáctica comenzan­do en el "nivel activo" con dominios. Pero hasta ahora no parece haberse obtenido un amplio éxito enseñando a usarla.

Al terminar deseo agregar alguna palabra sobre el método. Los aspectos bosquejados es­tán dirigidos principalmente a ser medios para organizar alguna experiencia y algunos pensa­mientos para la enseñanza de la matemática, más bien que objetos por derecho propio para estudios teóricos. Sin embargo, quizás puedan servir para organizar, implantar normas para, estimular, investigaciones didácticas.

ica.

I

lado su importancia.Naturalmente, debemos ejercitar a los

alumnos en las diversas formas y especialmen­te en los diversos niveles de lenguaje. H. Freudenthal ha ¡lustrado esto con un ejemplo particularmente impresionante. Sin embargo, podemos hacer matemática perfectamente bue-

el nivel más elemental, y podemos

13 H. Griesel ha mostrado cuán importante es pro­veer continuamente ejemplos, particularmente en la escuela primaria.na ya en

más importantes y más generales mencionare­mos: 1. Investigaciones sobre las situaciones favorables para los procesos de aprendizaje fundamental (aritmética y otros temas); estu­dio de las condiciones para la reproductividad (en particular, en el transcurso de una secuen­cia didáctica, ¿cuáles son las elecciones que corresponden al maestro y cuáles a Jos alum­nos? ¿Pueden establecerse criterios de elec­ción que permitan al maestro construir su pro­pia estrategia? ).2. Investigación de las condiciones de funcio­namiento de la comunicación, para evitar que el saber se transforme en una teoría sin co-

(Cont en pág. 46)

(Viene de pág. 36)dio y sus métodos, los cuales no deben ser losx mismos de las ciencias experimentales, muchas

aptos para esos fines. Es muy proba-

a muchos rveces noble que su dominio comprenda principalmente la enseñanza elemental de la matemática, pues en ella los conocimientos (psicológicos y otros) son más numerosos y los problemas, más simples y fundamentales. Por otra parte,

aquí donde es más imperiosa la ne-

una

En una de mis clases, los alumnos fueron inducidos (independientemente) mediante su trabajo con las tablas a hacer la siguiente con­jetura: "Cada subgrupo propio de un grupo finito G.,tiene a lo sumo la mitad de los ele­mentos GÍ2".

(No conocían el teorema de Lagrange) Y

acaso sea cesidad de progreso.

6.2 Algunos problemas En los últimos años han aparecido y se han

formulado numerosos problemas. Entre los

JU'C,° y su aplicación empleando la tabla es pQS ero ya Para (finitos) grupoides en lugar de gru-

44 45

BIBLIOGRAFIA COSTAL: VEINTE ANOS DE

3CPERIENCIA COOPERATIVAelaboración de material didáctico. Se trata de originales creaciones, con las cuales los niños aprenden los elemen­tos de la matemática como jugando”.

Dice Oscar Varsavsky: ‘‘La Licen­ciada Nogués, apoyada en un conoci­miento de la matemática de nivel supe­rior, ha logrado crear instrumentos pe­dagógicos refrescantes y promisorios para las estapas más difíciles de la en­señanza: las primeras”.

Agrega también Oscar Varsavsky: “He leído con gran satisfacción los tra­bajos sobre Cuadrados Mágicos, Domi­nó y Tablas Numéricas preparados por la Licenciada en Matemática Pastora Nogués Acuña.

“Comparada con el desorden, la falta de sentido común y la irresponsabilidad con que se manejan los conceptos ma­temáticos elementales en textos y cla­ses de primaria y secundaria, la obra que ha comenzado a realizar la Licen­ciada Nogués es sobresaliente y mere­ce toda clase de apoyo; en especial, la oportunidad de ser aplicada en amplia escala”.

Aun cuando los conceptos expresa­dos sobre la tarea de los docentes pri­marios y secundarios sean muy discu­tibles y no los compartamos, creemos que los textos son interesantes y que pueden ser leídos con provecho.

NOGUES, Pastora Sofía, Tablas numéri­cas en la escuela, 57 pág.; El dominó en la escuela y el dominó en la casa, 78 pág.; Cuadrados mágicos en la escuela, 48 pág. EDICIONES DIAL, Buenos Aires, 1973.

\

• ♦

Hemos recibido estos tres cuader­nillos pertenecientes a la serie “Car­tillas para el maestro”, serie matemáti­ca, cuyos asesores científicos fueron el Dr. Mischa Cotlar en matemática y el in­geniero José Babini en historia de la ciencia.

Creemos conveniente hacer conocer la opinión que sobre los mismos han vertido destacados matemáticos de nuestro país.

Dice José Babini: “El empleo de los breves textos destinados a los maes­tros y del material didáctico que la Li­cenciada Nogués ha pensado especial­mente para la enseñanza individual cam­biaría favorablemente la “atmósfera ma­temática de nuestras aulas primarias”.

Dice Mischa Cotlar: “La Licenciada Nogués ha ideado una serie de textos valiosos y originales, acompañados de material didáctico concreto, cuyo em­pleo recomiendo muy calurosamente”.

Dice Alberto González Domínguez: “En los últimos tiempos la Licenciada Nogués ha volcado su entusiasmo en la

i!

'Vw'*:

,v:- mP'lái

nii .vv>:

¡ m.

ñmIBM *>:

Y

vi'; I linotipiaTipografíaPeriódicosRevistas

■W.tfSíiíí.•v

Limm [h

«rám

■: ■■m. ■■ :xs fvíiílüi

editorial. E i iiiie..i' v. '

(Viene de pág. 45) 3. Investigación del papel de la analogía en el aprendizaje de la matemática. La analogía ¿es un método para el descubrimiento de las es­tructuras, o es ya un saber reconocido como tal para quién aprende? (Investigación no so­lamente sobre la habilidad del alumno para expresarse en términos matemáticos, sino tam­bién sobre su habilidad para teorizar).

:;\v: ¿vy

nexión con los problemas que le han dado origen (tanto a nivel de la clase como a nivel de la formación de maestros). En otras pala­bras, investigación de las maneras funcionales y no estructurales de comunicar los conoci­mientos matemáticos o didácticos.

11 y .

46

VINCIT

H®**-

en el arte"S.í.M'.í MÁGft'yltiWAJW El. DESIERTO"

TEODORO aiASSEniAÍ

-t

I:¡

■. :: ■

rfi

&i■

• . - • v

, •: a, ;

;“i! • jSSF ^ v : -y,,'" ; V .

5*£