Concreto1

5/9/2018 Concreto1 - slidepdf.com

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Notas de aula / PUCRS - Professores: Isabel Bet Viegas e Nelson Eltz de Sousa 1

ESCOLA DE ENGENHARIA - DEPTO DE ENGa CIVIL

DISCIPL.: ESTRUTURAS III – ARQUITETURA – CONCRETO ARMADO






Bibliografia• SÜSSEKIND, José Carlos. Curso de Concreto. Rio de Janeiro, Ed. Globo S.A., 1979, v.

I, 4ª ed;

• FUSCO, Péricles Brasiliense. Estruturas de Concreto – Solicitações Normais Rio de janeiro, Ed. Guanabara Dois S.A.,1981;• NOTAS DE AULA

Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT (Biblioteca do IPCT)• NBR 6118 – Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado

1. ANÁLISE DO PROCESSO DE RUPTURA DE UMA VIGA SOB TENSÕES NORMAISESTÁDIOS DE FLEXÃO

1.1. Solicitações Normais

Designam-se por solicitações normais os esforços solicitantes que produzem tensõesnormais nas seções transversais das peças estruturais. As solicitações normais englobam omomento fletor e a força normal.

A flexão nas vigas, em geral, é a flexão simples quando além da flexão pura temos esforçocortante. O estudo destas duas solicitações é feito separadamente, de onde para o efeito dodimensionamento na flexão não há necessidade de distinguir entre flexão pura e simples.

Nos pilares e tirantes temos em geral flexão composta, onde além do momento fletor atuaainda uma força normal de compressão (compressão não uniforme) ou de tração (tração não

uniforme), podendo ou não coexistir o esforço cortante.

M

Momento Fletor LN = Linha Neutra Força Normal

LN

X






1.2. Comportamento De Uma Viga Solicitada à Flexão Simples

A melhor maneira para se iniciar o estudo da flexão simples do concreto consiste naobservação, discussão e interpretação de resultados dos assim denominados “ensaios deStuttgart” realizados inicialmente por Leonhardt e Walther, numa viga retangular biapoiada(convenientemente dimensionada pela teoria clássica de Mörsh), carregada com duas cargasconcentradas simétricas conforme desenho a seguir.

O ensaio consiste no carregamento gradativo da peça, as cargas concentradas sendoaumentadas até que venham a atingir o valor que leve a viga ao colapso, tendo ainda avantagem de permitir, numa mesma peça, a observação da flexão pura (sem cisalhamento)no trecho BC, para isto desprezamos o peso próprio, e da flexão simples (com cisalhamento)nos trechos AB e CD

Se analisará a seguir o comportamento de uma viga de concreto armado submetida à flexãosimples quando as cargas aumentam de zero até a ruptura..

A viga tem armadura principal na parte inferior e estribos.

Se supõe por outro lado que a armadura principal é suficiente para assegurar que com oaumento das cargas a viga rompe finalmente por plastificação do concreto na zonacomprimida.

No Estádio I o concreto não está fissurado, mas no limiar do início da fissuração.

Estádio IICom o aumento das solicitações a deformação ultrapassa a máxima admitida pelo concreto àtração e o material fissura. Neste caso passa a armadura a resistir integralmente à força detração do binário reagente ao momento fletor atuante.

Estádio IIIAumentando mais as cargas as fissuras se estendem, o eixo neutro segue subindo e adeformação cresce sem que se verifique paralelamente um incremento de Rst. O Estádio IIIcorresponde ao estado de ruptura.

O Estádio III não ocorre na peça ou, por outra, não deve ocorrer. O dimensionamento no

Estádio III é puramente fictício, procura-se determinar qual é a solicitação que leva a peça aruína, de modo que as cargas estejam com valores inferiores, de acordo com determinadoscoeficientes, aos valores que levariam a peça a ruína.






M – MOMENTO FLETOR

DE TRA ÃO

ARMADURA DE CISALHAMENTO(ESTRIBO)

VIGA NÃOFISSURADA(ESTÁDIO I)

APARECIMENTO DASPRIMEIRAS FISSURASDE FLEXÃO

TRAJETÓRIAS DAS TENSÕES PRINCIPAIS DEFORMAÇÕES, TENSÕES E SEÇÃOTRANSVERSAL(TOTAL) ÚTIL NO MEIO DO VÃO

FISSURAÇÃO DE FLEXÃO E FISSURAS DECISALHAMENTO POUCO ANTES DA RUPTURA

DEFORMAÇÕES, TENSÕES E SEÇÃOTRANSVERSAL ÚTIL NO TRECHO CENTRAL DAVIGA

e III

ftk

Q – FORÇA CORTANTE






2. DEFINIÇÕES

2.1. Estados Últimos

De um modo tradicional a ruptura das peças de concreto armado era caracterizada pelaruptura do concreto, quer tenha havido ou não o escoamento prévio de suas armaduras. Coma ruptura do concreto atingia-se o Estado Último de Ruptura (Estádio III ).

Constatou-se posteriormente que havia necessidade de limitação do alongamento daarmadura tracionada, pois o alongamento excessivo acarreta fissuração exagerada atingindo-se o estado último sem que necessariamente tenha ocorrido a ruptura do concreto do banzocomprimido da peça.

Por esta razão, presentemente a verificação da segurança é feita admitindo-se que oesgotamento da capacidade resistente tanto possa ocorrer pela ruptura do concretocomprimido quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada.

Consideram-se nas peças submetidas à solicitações normais:• Estados Últimos De Ruptura Do Concreto Do Banzo Comprimido;• Ou Alongamento Plástico Excessivo Das Armaduras Tracionadas.

2.2. Estado Limite Último

Face a dificuldade de caracterização da capacidade resistente de uma peça, o Estado Limite Último é convencional e admite-se alcançado quando:

• na fibra mais comprimida de concreto o encurtamento é igual a um valor últimoconvencional ( de até 2%o na compressão axial, e até 3,5%o na flexão simples),dependendo, portanto da solicitação;

• ou quando na armadura tracionada, a barra de aço mais deformada temalongamento igual ao valor convencional de 10%o .

3. HIPÓTESES BÁSICAS

3.1. Manutenção Da Seção PlanaAdmite-se a hipótese de Bernouilli de que as deformações normais a uma seção transversalseguem uma lei plana. Com esta hipótese, as deformações normais específicas, em cadaponto são proporcionais à sua distância à linha neutra da seção, inclusive quando a peçaalcança o estado limite último.

3.2. Solidariedade Dos MateriaisAdmite-se a solidariedade perfeita entre as barras da armadura e o concreto que as envolve.Com esta hipótese, a deformação específica de uma barra é a mesma do concreto adjacente.

3.3. Resistência Do Concreto À TraçãoÉ totalmente desprezada, a favor da segurança a pequena resistência do concreto à tração.






3.4. Limites de Deformações➲ Alongamentos Últimos das Armaduras: 10%o

➲ Encurtamentos Últimos do Concreto:• até 2%o na compressão axial• e até 3,5%o na flexão simples

3.5. Diagrama De Tensões

Admite-se que, no estado limite último, as tensões de compressão na seção transversal daspeças submetidas a solicitações normais tenham uma distribuição de acordo com o diagramaparábola-retângulo.

O diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola do 2º grau, com vértice na fibracorrespondente à deformação de 2%o, prolongada por um segmento reto limitado na fibra

correspondente à deformação de compressão de 3,5%o

. A ordenada máxima do diagramacorresponde a 0,85 fcd , onde .

De um modo geral é possível admitir-se para as tensões de compressão a distribuiçãoretangular simplificada.

4. CASOS DE SOLICITAÇÃO - DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO

As

A´sd´

d

Parábola do 2º grau

TENSÕES

0,85fcd

2%o

3,5%o

εεεεs DEFORMAÇÕES

x

0,85fcd

DiagramaRetan ular

Diagrama Parábola-Retân ulo

TENSÕES

0,8x

fcd = fck / γ γγ γ c

A

OD B

C

EF






A figura, ver NBR 6118 item 4.1.1.1.a, mostra os domínios em que se encontram asconfigurações últimas de uma seção sujeita a solicitações normais.

A reta “a” corresponde a tração uniforme.Cada domínio é caracterizado pela passagem da configuração por um ponto:• Pelo ponto A (alongamento da armadura de 10%o ) para os domínios 1 e 2;• Pelo ponto B (encurtamento de 3,5%o para o concreto) nos domínios 3, 4;• Pelo ponto C (2%o , 3/7h) para o domínio 5.

Além disso, cada configuração será caracterizada pela distância x da fibra mais comprimidaou menos tracionada à linha neutra (positiva para baixo de O). Observe-se que nos domínios1, em que x é negativo e no domínio 5, em que x é maior que h, x não tem significado dedistância à linha neutra, mas distância de O ao ponto onde a configuração intercepta a seção.

4.1. Domínio 1

Observações

• Estado Limite Último εεεεs=10%o

• Linha Neutra Fora daSeção;

• Peça toda tracionada;

• Casos de: Caso A - TRAÇÃO

AXIAL(TIRANTES) ;

Caso B - TRAÇÃOEXCÊNTRICA COMPEQUENAEXCENTRICIDADE

• A SEÇÃO RESISTENTE ÉCOMPOSTA PELAS DUASARMADURAS DE AÇO,NÃO HAVENDOPARTICIPAÇÃO DOCONCRETO, O QUAL ESTÁADMITIDO COMOINTEIRAMENTE

FISSURADO

fyd = fyk / γ γγ γ s - Resistência de cálculo do aço à tração

εεεεyd = Deformação do aço para a tensão de fyd εεεεs = Deformação do aço

εεεεc = Deformação do concreto (fibra superior) εεεεc2 = Deformação do concreto (fibra inferior)

Armadura As comprimida Armadura As tracionada

10%o

d´dx

εs

N

x = -∝∝∝∝

10%

d´

εs

N

x <∝∝∝∝

d

10%

A´sd´

εs

N

x =0

d

Caso B

Caso B

Caso A






4.2. Domínio 2

4.3. Domínio 3

Observações• Estado Limite Último

εεεεs =10%o ,εεεεc<3,5%o• Linha Neutra Corta a

Seção Transversal;• Um banzo tracionado;

• e Um banzocomprimido , maso concreto não atingea ruptura;

LN

10%εs

N

x >0

3,5%o

εcLN

• Casos de: Caso A -TRAÇÃO EXCÊNTRICA COM

GRANDE EXCENTRICIDADE; Caso B - FLEXÃO PURA (LAJES E VIGAS) E; Caso C- COMPRESSÃO COM GRANDE

EXCENTRICIDADE.

N

M

Caso C

Caso B

Caso A


εεεεyd ! εεεεs < 10%o

εεεεc=3,5%o• Linha Neutra Corta a


• e Um banzo comprimido;

• A ruptura do concretoocorre simultaneamentecom o escoamento daarmadura;

εydεs

N

x >0

3,5%o εc

LN

• SITUAÇÃO DESEJÁVEL PARA PROJETO• O AÇO e o CONCRETO são aproveitados

inteiramente;• Não há risco de ruía não avisada• Casos de:

Caso A -TRAÇÃO EXCÊNTRICA COMGRANDE EXCENTRICIDADE;

Caso B - FLEXÃO PURA (LAJES E VIGAS) E; Caso C- COMPRESSÃO COM GRANDE

EXCENTRICIDADE.

Caso A

LN

N

M

Caso B

Caso C






4.4. Domínio 4

4.5. Domínio 5


εεεεs ! εεεεyd e εεεεc=3,5%o• Linha Neutra Corta a


• e Um banzo comprimido;

• O concreto rompe antesque a armaduratracionada possaprovocar uma fissuraçãoque sirva de advertência;

εs

N

x=d

3,5%o εc

LN

• SITUAÇÃO INDESEJÁVEL PARA PROJETO

• A ruptura da peça ocorre não avisada• Casos de:

Caso A- COMPRESSÃO EXCÊNTRICA COMGRANDE EXCENTRICIDADE.

Caso A

LN

2%o

εc

N

Caso A


εεεεc!2%o NACOMPRESSÃOUNIFORME

• εεεε!3,5%o NA FLEXO-

COMPRESSÃO, comLinha Neutra tangente àSeção Transversal;

• Seção totalmentecomprimida;

• Casos de: Caso A –FLEXO-COMPRESSÃO COM

PEQUENA EXCENTRICIDADE – (PILARES); Caso B – CASO LIMITE DA COMPRESSÃO

CENTRADA.

Caso A

εc2

2%o

x = +∝∝∝∝






5. FLEXÃO SIMPLES - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES

5.1. Armadura Simples

Rcc = Resultante das tensões de compressão no concretoRst = Resultante das tensões na armadura tracionada. Rst = As.fydMk = Momento Fletor Característico

1) z= d-y/2 = d –0,8x/2 = d-0,4x

x= kx.dz=d-0,4.kx.d =>

2) Rcc = 0,85.fcd.bw.y Como y=0,8x então Rcc= 0,85.fcd.bw.0,8x

Rcc = 0,85.(fck / γ c

).bw.0,8x

Como x= kx.d então: Rcc = 0,68.kx.(fck / γ γγ γ c).bw.d

As

d

εεεεc

εεεεs

x

0,85fcd

y=0,8x

h

Rcc

Rst

Md

bw

kx= x/d

z =(1-0,4kx .d

A

B

3) ΣMA = 0 Md = z.Rcc

γ f .Mk = (1-0,4kx).d.0,68.kx.fck.bw.d

γ f .Mk = (1-0,4kx).0,68.kx.fck.bw.d2

/ γ c

/ γ c

K6

4) ΣMB = 0Md = z.Rst

γ f .Mk = (1-0,4kx).d.As.fyd

As=γ f .Mk . 1 1,4

As = γ f. Mk . 1,4

k3. Mk

d (1-0,4kx).fyd 1,4

1,4 . d . (1-0,4kx).fyd

k3

d=As

z

Mk

(1-0,4kx).0,68. kx.fck / γ c.γ f .Mk

γ f .Mk

1,4

γ c .=

(1-0,4kx) .0,68.kx.fck

γ c =γ f =1,4bw.d2

= K6

=(1,4.1,4).bw.d2 1 . (1,4.1,4)

1,4.bw.d2 1,96

Multiplicar ambos os lados por (1,4.1,4)






Se As < Asmin então adotar As=Asmin

5.1.1. Exercício Prático – Armadura Simples

Calcular a armadura da viga abaixo.Dados: Aço CA-50A

fck=18Mpa

/ γ c =1,4

/ γ s =1,15

/ γ f =1,4

da tabela da Promon (fck=180kgf/cm2), temos : k3=0,366

Asmin=0,0015x25x50=1,875 cm2

• Solução 1 : 3φ16 mm + 1φ12.5 mm = 6,0 cm2 + 1,25 cm2 = 7,25cm2

Verificação do espaçamento entre barras, ver detalhe na próxima página, onde : φt = diâmetro da barra de estribo

φ = diâmetro da barra de longitudinalc = cobrimento da armadura Obs.: Adotar medidas em cm

eh = (25 –2x0,5 –3x1,6 –1x1.25 –2x1,5)/(4-1) = 4,98 cm OK!!

• Solução 2 : 3φ 20 mm = 9,45 cm2

eh = (25 –2x0,5 –3x2 –2x0,5)/(3-1) = 7,5 cm OK!!

k3.Mk 0,366.900= = 7,0 cm2d 47

As =

l=6,0m

bw=25

h=50

q=20kN/m

cm

8Mk = ql2 Mk =20.62

= 90kN.m8

bw.d2

Mk25.472

900=K6 = = 61,36

d=47

c = 1,5 cm = cobrimentoφt = 5mm = 0,5 cm

As > Asmin então As = 7,0 cm2

Asmin= 0,0015.bw.h

da tabela de bitolas, temos:






• Conclusão : As duas soluções podem ser adotadas

5.2. Armadura Dupla

eh = (bw-2φt – Nº Barras φ – 2.c)/ (Nº Barras-1)

As1

Mdlim

εεεεc=3,5%o

εεεεs

0,85fcd

ylimRcc

Rst1

Mdlim

A

B

Md

B

Rst2

R´st

(d-d´)z

+ =

Rcc

R´st

Mdxlim

εεεε´s

Rst=Rst1+Rst2

LN

As2

Md

As

Md=Mdlim + Md

A´s A´s

d+ =

d´

bw






Uma vez constatado que , consideraremos a seção

inicialmente com armadura simples e calcularemos o máximo valor do momento fletorque a mesma pode resistir

Se As < Asmin então adotar As=Asmin

Valores de fyd (tf/cm2)

CA-25 CA-32 CA-40A CA-40B CA-50A CA-50B CA-60B

2,17 2,78 3,48 3,48 4,35 4,35 5,22

Valores de σ´sd (tf/cm2)

CA-25 CA-32 CA-40A CA-40B CA-50A CA-50B CA-60B

0,05 2,17 2,78 3,48 3,35 4,35 4,05 4,69

0,10 2,17 2,78 3,48 3,26 4,35 3,91 4,49

0,15 2,17 2,78 3,48 3,15 4,35 3,75 4,24

0,20 2,17 2,78 3,48 3,02 4,35 3,55 3,90

Asmin= 0,0015.bw.h

MkK6 bw.d2

= < K6lim

d´d

A´s

σ´sd

1=γ f .

d-d´

Mk

K6lim

bw.d2

=Mklim

dAs1

Mklim= K3lim .

Mk Mk –Mklim=

As2fyd

1=γ f .

d-d´

Mk

As =As1 + As2

Consideremos agora o saldo ou diferença de momento fletor, não resistidopela seção com armadura simples.

Este saldo deverá ser resistido pela seção“metálica” constituída de duas armadurasAs2 de tração e A´s de compressão,trabalhando com um braço (d-d´).

Superpondo as duas seções acima, teremos :

σ´sd = Tensão de cálculocorrespondente ao encurtamento

unitário ε´s






Obs.: Para evitar a armadura dupla é necessário aumentar as dimensões da seção de modoque o novo valor de k6 não seja inferior a k6lim

5.2.1. Exercício Prático – Armadura Dupla

Determinar a armadura da viga do caso anterior, reduzindo-se a largura para 15 cm, a alturrapara 45 cm, fck=15Mpa (150kgf/cm2), aço CA-50A, d´= 3cm, e d= h-3 = 42 cm.

Da tabela da PROMON, (Caso de fck=150 kgf/cm2, e CA-50A) temos :

K6lim = 40,78 K3lim = 0,434

15.d2

Mk15.422

900=K6 = = 29,40 < k6lim

As min = 0,0015. bw.h = 0,0015*15*45 = 1,01 cm2

Como As > Asmin então Adotar As = 8,77cm2 (3φ20mm) ∴As adotada = 9,45 cm2

bw.d2

42-3= 2,07 cm2 (2φ12.5mm)

As adotada = 2,5 cm2

K6limMklim = =

40,78

15.422

= 648,85 tf.cm

dAs1

Mklim= K3lim .

Mk Mk –Mklim=

As2fyd

1=γ f .

d-d´

Mk

42

648.85= 0,434 .

900 – 648,85 = 251,15 tf.cm=

= 6,7 cm2

4,35

1=

1,4 . 251,15

As =As1 + As2 = 6,7 + 2,07 = 8,77 cm2

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