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CONCURSO DA PETROBRÁS 2014 Engenheiro de Equipamentos Júnior Mecânica Aula de Mecânica dos Fluidos (08/10/2014) Autor: Gleryston Thiago Gomes da Silva BLOCO I: - Propriedades e natureza dos fluidos; - Hidrostática; - Equações constitutivas da dinâmica dos fluidos; -Escoamento em tubulações; - Noções de escoamento compressível em bocais; -Analise dimensional e relações de semelhança;

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Concurso Da Petrobrás 2014

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CONCURSO DA PETROBRÁS 2014

Engenheiro de Equipamentos Júnior – Mecânica

Aula de Mecânica dos Fluidos (08/10/2014)

Autor: Gleryston Thiago Gomes da Silva

BLOCO I:

- Propriedades e natureza dos fluidos;

- Hidrostática;

- Equações constitutivas da dinâmica dos fluidos;

-Escoamento em tubulações;

- Noções de escoamento compressível em bocais;

-Analise dimensional e relações de semelhança;

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1. INTRODUÇÃO

A mecânica dos fluidos é a parte da física que estuda o efeito de forças em

fluidos. Os fluidos em equilíbrio estático são estudados pela hidrostática e os fluidos

sujeitos a forças externas diferentes de zero são estudados pela hidrodinâmica.

1.1 PROPRIEDADES E NATUREZA DOS FLUIDOS

A seguir serão definidas algumas propriedades dos fluidos que são importantes

para o estudo do escoamento em Máquinas Hidráulicas.

a) Massa Específica (ρ) [kg/m³]

É a quantidade de massa de fluido por unidade de volume.

b) Volume Específico (v) [m³/kg]

É o volume ocupado por unidade de massa. É igual ao inverso da massa específica e

tem particular importância no estudo de escoamento de fluidos compressíveis.

c) Peso Específico (γ) [kgf/m³]

É a razão entre o "peso" e o volume do fluido, ou mais corretamente: a força, por

unidade de volume, exercida sobre uma massa específica submetida a uma aceleração

gravitacional.

d) Densidade (d) [adimensional]

É a razão entre a massa específica de um fluido e a massa específica de um fluido de

referência (água, no caso líquido ou ar, no caso de gás) em condições padrão (pressão

atmosférica ao nível do mar e temperatura de aproximadamente 20ºC).

e) Viscosidade

- Absoluta ou Dinâmica (μ) [kg/ms] É a medida da resistência ao escoamento do fluido,

ou seja, a razão entre a tensão de cisalhamento (ou força de coesão entre as camadas

adjacentes de fluidos) e a razão de mudança da velocidade perpendicular a direção do

escoamento.

- Cinemática (ν) [m²/s] É a razão da viscosidade absoluta pela massa específica do

fluido.

Obs.: A viscosidade dos fluidos depende fortemente da temperatura.

f) Pressão (P) [N/m²] É definida como a razão entre a componente normal de uma força e a área sobre a qual

ela atua. A pressão exercida em um elemento de área de um fluido é igual em todas as

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direções. Para que ocorra o escoamento de um fluido de um ponto até o outro é

necessário que haja uma diferença de pressão. Podem ser do tipo:

- Pressão Absoluta (Pabs): medida com relação à pressão zero absoluto.

- Pressão Manométrica (Pman): medida com relação à pressão atmosférica local.

- Pressão Atmosférica Padrão (Patm): é a pressão média ao nível do mar.

Relação de Pressões: Pabs = Pman + Patm

g) Temperatura (T) [ºC]

Pode ser definida, a grosso modo, como a propriedade que mede o grau de aquecimento

ou resfriamento de um sistema. A temperatura aponta o sentido de transferência de

energia na forma de calor, que flui dos corpos de alta temperatura para os de baixa

temperatura.

Obs.: No estudo das Máquinas Hidráulicas, considera-se quase sempre o fluido, no

caso da água, como líquido perfeito (ideal), isto é, incompressível, perfeitamente móvel

e sem viscosidade. Não havendo forças resistentes de atrito interno, as forças exteriores

a que o líquido é submetido são equilibradas apenas pelas forças de inércia. Admite-se

também que o líquido possua isotropia perfeita, isto é, que as suas propriedades

características ocorrem do mesmo modo, independentemente da direção segundo a

qual são consideradas.

PROBLEMAS - Propriedades dos Fluidos.

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1.3 HIDROSTÁTICA

Hidrostática é o ramo da Física que estuda a força exercida por e sobre líquidos

em repouso. Este nome faz referência ao primeiro fluido estudado, a água, é por isso

que, por razões históricas, mantém-se esse nome. Fluido é uma substância que pode

escoar facilmente, não tem forma própria e tem a capacidade de mudar de forma ao ser

submetido à ação de pequenas forças. A palavra fluido pode designar tanto líquidos

quanto gases.

Ao estudar hidrostática é de suma importância falar de densidade, pressão,

Princípio de Pascal, empuxo e o Princípio Fundamental da Hidrostática.

Princípio Fundamental da Hidrostática

Também chamado de Princípio de Stevin, diz que:

“A diferença de pressão entre dois pontos do mesmo líquido é igual ao produto da

massa específica (também chamada de densidade) pelo módulo da aceleração da

gravidade local e pela diferença de profundidade entre os pontos considerados”.

Simbolicamente podemos escrever:

Onde d é a densidade do líquido, g é o módulo da aceleração da gravidade local e h é a

diferença entre as profundidades dos pontos no mesmo líquido.

A partir do princípio de Stevin pode-se concluir que:

Pontos situados em um mesmo líquido e na mesma horizontal ficam sujeitos a

mesma pressão;

A pressão aumenta com o aumento da profundidade;

A superfície livre dos líquidos em equilíbrio é horizontal.

Pressão hidrostática Ao mergulharmos em uma piscina, a água irá exercer uma

pressão sobre nós. Quanto mais fundo mergulharmos, maior será essa pressão. Agora,

imagine que o líquido contido pela piscina não seja água, mas outro mais denso. Nessa

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situação, a pressão vai aumentar, pois o peso do líquido sobre nós também será maior.

E, se estamos falando de peso, é porque a força da gravidade, que o compõe, influencia

a pressão exercida pelo líquido, também chamada de pressão hidrostática. A partir

disso, é possível concluir que a pressão hidrostática depende da profundidade, da

densidade do líquido e da gravidade local.

Uma consequência importante de lei de Stevin é o fato de a pressão hidrostática não

depender da área de contato do líquido.

Apesar de os recipientes terem bases com áreas diferentes, essas bases estão

submetidas à mesma pressão, pois os dois líquidos estão com a mesma altura, ou seja:

Princípio de Pascal

"Em equilíbrio, os líquidos que não podem ser comprimidos transmitem

integralmente a pressão por eles recebida".

Um exemplo que pode esclarecer melhor esse princípio é o da prensa hidráulica.

Considere um cilindro que é constituído por extremidades com áreas diferentes. Seu

interior é preenchido por um líquido e o cilindro é fechado por dois êmbolos (em

vermelho, na imagem abaixo) que podem deslizar.

,

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Se aplicarmos uma força sobre a área 1, estaremos exercendo uma pressão nesse

local, e pelo Princípio de Pascal, essa pressão será transmitida integralmente para a área

2.

O princípio de Arquimedes

"Todo corpo mergulhado num fluido em repouso sofre, por parte do

fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido

deslocado pelo corpo."

A intensidade da força F2 é maior que a intensidade da força F1, porque a

pressão exercida pelo líquido na parte inferior do objeto é maior que a pressão exercida

na parte superior (de acordo com a Lei de Stevin). Essa diferença irá resultar numa força

vertical e dirigida para cima, que é conhecida como empuxo.

Segundo o princípio de Arquimedes, a intensidade do empuxo é igual ao peso

do fluido deslocado pelo objeto imerso:

Onde:

PFD é peso do fluido deslocado.

mFD é a massa do fluido deslocado.

dFD é a densidade do fluido deslocado.

VFD é o volume do fluido deslocado.

É importante salientar que, ao falarmos de fluidos, estamos nos referindo a

líquidos e gases. Ou seja, o empuxo não é uma exclusividade dos líquidos, os gases

também podem exercê-lo.

Peso aparente:

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PROBLEMAS – HIDROSTATICA

]

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1.4 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS DA DINÂMICA DOS FLUIDOS

A hidrodinâmica é o estudo de fluidos em movimento. Inicialmente, vamos

considerar apenas o que é chamado fluido ideal, isto é, um fluido incompressível e que

não tem força interna de atrito ou viscosidade. A hipótese de incompressibilidade é

válida com boa aproximação se trata de líquidos; porém, para os gases, só é válida

quando o escoamento é tal que as diferenças de pressão não são muito grandes.

O caminho percorrido por um elemento de um fluido em movimento é chamado

linha de escoamento. Em geral, a velocidade do elemento varia em módulo e direção, ao

longo de sua linha de escoamento. Se cada elemento que passa por um ponto tiver a

mesma linha de escoamento dos precedentes, o escoamento é denominado estável ou

estacionário.

Linha de corrente é definida como uma curva tangente, em qualquer ponto, que está na

direção do vetor velocidade do fluido naquele ponto. No fluxo estacionário, as linhas de

corrente coincidem com as de escoamento.

O movimento de fluidos pode se processar, fundamentalmente, de duas maneiras

diferentes:

– escoamento laminar (ou lamelar): caracteriza-se pelo movimento ordenado das

moléculas do fluido, e todas as moléculas que passam num dado ponto devem possuir a

mesma velocidade. O movimento do fluido pode, em qualquer ponto, ser

completamente previsto.

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– escoamento turbulento: é o contrário do escoamento laminar, o movimento das

moléculas do fluido é completamente desordenado; moléculas que passam pelo mesmo

ponto, em geral, não têm a mesma velocidade e torna- se difícil fazer previsões sobre o

comportamento do fluido.

Vazão e Débito em escoamento uniforme: A vazão ou débito de um fluido é a razão

entre o volume de fluido escoado em um tempo e o intervalo de tempo considerado.

Q = V/t

Onde V é o volume escoado no tempo t, e Q é a vazão.

Se tivermos num condutor um fluido em escoamento uniforme, isto é, o fluido escoando

com velocidade constante, a vazão poderá ser calculada multiplicando-se a velocidade

(v) do fluido, em dada seção do condutor, pela área (A) da seção considerada, ou seja:

Q = A x v

Exemplo prático

Uma bomba transfere óleo diesel em um reservatório à razão de 20 m³/h. Qual é o

volume do reservatório, sabendo-se que ele está completamente cheio após 3 horas de

funcionamento da bomba?

Temos que Q = 20 m³/h

t = 3 h

V = ?

Q = V/t V = Q x t

V = 20 x 3

V = 60 m³

1.4.1 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE NOS ESCOAMENTOS

Dizemos que um fluido encontra-se escoando em regime permanente quando a

velocidade, num dado ponto, não varia com o tempo. Suponhamos, agora, um fluido

qualquer escoando em regime permanente no interior de um condutor de secção reta

variável.

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A velocidade do fluido no ponto A1 é V1, e no ponto A2 é V2 . A1 e A2 são

áreas da secção reta do tubo nos dois pontos considerados. Já vimos que Q = V/t e Q =

Av, portanto podemos escrever que:

V/t = Av

V = A vt

Sabemos, ainda, que a massa específica é definida pela relação:

μ = m/V

m = μV

m = μAvt

Podemos, então, dizer tendo em vista esta última equação, que a massa de fluido

passando através da secção A1 por segundo é m = μ1A1v1; e que a massa de fluido que

atravessa a secção A2, em cada segundo é igual a m = μ2A2v2.

Estamos supondo aqui que a massa específica do fluido varia ponto a ponto no interior

do tubo. A massa de fluido, porém, permanece constante, desde que nenhuma partícula

fluida possa atravessar as paredes do condutor. Portanto, podemos escrever:

μ1A1v1 = μ2A2v2

Esta é a equação da continuidade nos escoamentos em regime permanente. Se o fluido

for incompressível, não haverá variação de volume e, portanto, μ1 = μ2 e a equação da

continuidade toma uma forma mais simples, qual seja A1v1 = A2v2 ou Q1 = Q2.

1.4.2 EQUAÇÃO DE BERNOUILLI

A equação de Bernoulli é um caso especial da equação da energia mecânica e

considera um escoamento em regime permanente de um fluido incompressível e

invíscito. Dessa forma, os termos referentes às alturas de carga hp [m], ht [m] e hL [m]

são nulos para essa equação, sendo esboçada assim:

Essa equação esta escrita na forma de alturas de carga, mas pode também ser

escrita em termos da pressão, multiplicando-se todos os termos pelo peso especifico e

substituindo-se a relação γ/g pelo termo ρ [kg/m³] que representa a massa especifica do

fluido, ou seja, uma propriedade do mesmo.

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Isso permite afirmar que, nesse tipo de escoamento, a soma das alturas de carga

correspondentes às energias permanece constante ao longo de uma linha de fluxo:

Soma dessas pressões é chamada de pressão total, e os termos são chamados de

pressão estática p [kPa], pressão dinâmica ρV2/2 [kPa] e pressão hidrostática γz

[kPa]. A equação de Bernoulli afirma que a pressão total permanece constante ao longo

de uma linha de fluxo.

A pressão total é a pressão que seria exercida pelo fluido em escoamento sobre

uma superfície perpendicular ao mesmo, e sua medida poderia ser feita por um

manômetro apontado a montante do escoamento no ponto Q da Figura acima. Nesse

ponto, o fluido encontra-se estagnado e, por isso, é chamado ponto de estagnação.

A pressão estática refere-se a pressão termodinâmica efetiva medida em um

manômetro ou tubo piezométrico. No caso de um fluido escoando em uma tubulação, a

pressão estática seria a medida tomada por um manômetro posicionado na parede da

tubulação, ponto P da Figura acima.

A diferença de altura h apresentada na Figura acima representa a pressão

dinâmica.

A pressão hidrostática refere-se à pressão devida ao peso da coluna de fluido

em relação a uma altura de referencia, nesta aplicação será sempre nula, visto que os

pontos P e Q se encontram no mesmo nível.

Uma utilização pratica da equação de Bernoulli pode ser feita na medição da

velocidade de escoamento com a utilização de um tubo de Pitot e pode ser calculado

pela equação abaixo.

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1.4.3 TIPOS DE MEDIDORES DE PRESSÃO

Tubo de Pitot

É constituído, basicamente, de um tubo em forma de U, provido de duas aberturas que

permanecem imersas no fluido. Por uma torneira T (vide figura), pode-se aspirar o

fluido e medir o desnível h que se estabelece entre os dois ramos do tubo. A expressão

para calcular a vazão é a seguinte:

Sendo:

A – área da secção reta do tubo por onde o fluido escoa.

μ – Massa específica do fluido.

h – Altura manométrica.

Medidor Venturi

Constitui-se de uma seção convergente que reduz o diâmetro da canalização

entre a metade e um quarto. Segue-se uma seção divergente (vide figura a seguir). A

função da seção convergente é aumentar a velocidade do fluido e temporariamente

diminuir sua pressão. A diferença de pressões entre a entrada do Venturi e a garganta é

medida num manômetro de mercúrio. O cone divergente serve para a área de

escoamento e para reduzir a perda de energia.

Para se calcular a vazão, usa-se a equação da continuidade e a equação de Bernouilli,

obtendo- se a seguinte expressão:

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em que:

a – área da secção reta na garganta do Venturi

μ' – massa específica do líquido do manômetro

μ – massa específica do fluido em escoamento

h – altura manométrica

g – aceleração da gravidade

PROBLEMAS

1.5 ESCOAMENTOS EM TUBULAÇÕ

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1.5.1 ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO

O numero de Reynolds que relaciona as seguintes propriedades do fluido: massa

especifica e viscosidade; geometria do tubo e velocidade media do escoamento. O

numero de Reynolds para tubos circulares é dado pela seguinte relação:

Onde Re é o numero adimensional de Reynolds, ρ [kg/ m³] é a massa especifica, V [m/s]

é a velocidade média do escoamento, D [m] é o diâmetro da tubulação e μ [N.s/ m²] é a

viscosidade do fluido.

Através do numero Reynolds, pode-se determinar se o escoamento é laminar,

transiente ou turbulento. O escoamento será laminar se Re < 2100 a 2300 e será

turbulento para Re > 4000. Para Re entre esses limites, o escoamento poderá ser

turbulento ou laminar, ou seja, transiente.

1.5.2 REGIÃO DE ENTRADA E ESCOAMENTO COMPLETAMENTE

DESENVOLVIDO

No escoamento de um fluido através de um tubo ou de um duto, o perfil de

velocidade de escoamento na entrada do sistema é normalmente uniforme. Na medida

em que o fluido avança na direção do escoamento, os efeitos da viscosidade são

percebidos pela aderência de uma camada de fluido sobre a parede do tubo, e ha o

surgimento de tensões de cisalhamento entre as camadas adjacentes. A camada do

escoamento que é influenciada por esse efeito da viscosidade é chamada de camada

limite. A velocidade da camada aderida à parede do tubo é zero e a velocidade do fluido

cresce no sentido da direção do centro do tubo onde é máxima, de acordo com a Figura

abaixo.

O perfil de velocidade apresenta então em um determinado comprimento do tubo

ou duto um comportamento variável que vai de um perfil uniforme na entrada até

assumir um perfil parabólico, a partir do qual se diz que o escoamento esta

completamente desenvolvido. A região onde o perfil de velocidade é variável é

chamada de região de entrada.

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O comprimento da região de entrada Xent [m] depende do tipo de escoamento ser

laminar ou turbulento e pode ser determinado pelas seguintes relações:

1.5.2.1 ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO

Embora não sejam comuns na pratica como forma de simplificação, muitos

escoamentos podem ser considerados completamente desenvolvidos, permanentes e

laminares. Considerando ainda o fluido como Newtoniano, o perfil de velocidade em

função do raio em um tubo circular pode ser determinado por:

Onde u (r) [m/s] é a velocidade a uma distância r [m] qualquer da linha de centro do

escoamento, D [m] é o diâmetro do tubo e Vc [m/s] é a velocidade na linha de centro do

escoamento.

Nessas mesmas condições de escoamento, outra relação importante é o comportamento

da vazão volumétrica e da perda de carga em um comprimento l [m] da tubulação, dadas

pela seguinte relação conhecida como Lei de Pouseuill.

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Onde Δp [kPa] é a perda de pressão na tubulação, μ [N.s/m2] é a viscosidade do

fluido e D [m] é o diâmetro da tubulação.

1.5.4 PERDA DE CARGA EM ESCOAMENTOS INTERNOS

Na analise de escoamentos internos em tubos ou dutos é comum que se necessite

determinar a perda de carga hL [m] que a tubulação impõe ao sistema fluido. Essa perda

de carga é oriunda dos efeitos da viscosidade do fluido e pode ser determinada

contabilizando-se os efeitos localizados hLOC [m] impostos por componentes como

curvas, tês, joelhos, válvulas ou outros componentes que estejam montados no fluxo

fluido e pelos efeitos viscosos normais impostos pela tubulação linear hN [m]. Assim, a

perda de carga total do sistema será dada pela seguinte equação:

1.5.4.1 PERDAS DE CARGAS NORMAIS

As perdas de cargas normais ocorrem em função do efeito viscoso do fluido em

escoamento e dependem de fatores como a velocidade do escoamento, a geometria da

tubulação (comprimento e diâmetro), a rugosidade da parede da tubulação e das

propriedades de viscosidade e massa especifica do fluido. Algebricamente, é possível

contabilizar as perdas de cargas normais utilizando a equação de Darcy-Weisbach:

Onde L [m] é o comprimento linear da tubulação, V [m/s] é a velocidade média do

escoamento, D [m] é o diâmetro da tubulação, g [m/s2] é a aceleração da gravidade e f é

o fator de atrito.

O fator de atrito é um parâmetro adimensional que depende do numero de Reynolds e da

rugosidade relativa. A rugosidade relativa é a relação entre a rugosidade aparente ε

[m], que representa um fator característico da rugosidade da parede, e o diâmetro do

tubo:

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Fator de atrito é determinado através do diagrama de Moody, que fornece o fator de

atrito (ordenada y da esquerda) a partir do numero de Reynolds na abscissa (eixo x) e da

rugosidade relativa (ordenada y da direita). Pelo diagrama da Figura abaixo, pode-se

verificar que o fator de atrito para escoamentos laminares (Re < 2100) independe da

rugosidade e pode ser dado diretamente por:

Pode-se ainda verificar que, para regimes identificados na figura como plenamente

turbulentos, o fator de atrito não depende de Re, mas apenas da rugosidade relativa.

1.5.4.2 PERDAS DE CARGAS LOCALIZADAS

As perdas de cargas localizadas são devidas aos componentes ou geometrias que

compõem a tubulação que não sejam o tubo reto. A contabilização dessas perdas é

relacionada a um fator experimental chamado coeficiente de perda KL. O coeficiente

de perda esta muito relacionado à geometria dos componentes e pouco relacionado às

condições do escoamento. Na Figura abaixo verificamos que o fluido, ao passar por

uma válvula, assim como em qualquer outro componente, tem dificuldades devido as

restrições que se apresentam e que obrigam as varias mudanças de direção do fluxo para

o fluido transpassar o componente.

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Dessa forma, esse componente oferece uma restrição equivalente a um determinado

comprimento reto de tubulação, ou seja, o seu efeito é o mesmo que um aumento da

tubulação de uma quantia igual ao comprimento equivalente do componente. A

determinação algébrica da perda localizada por um componente é dada por:

As Figuras abaixo apresentam os coeficientes de perda proporcionais aos comprimentos

equivalentes de vários componentes encontrados comercialmente e os coeficientes de

perdas para algumas geometrias de entradas e saídas de escoamentos. A determinação

da perda total hL se da pela contabilização de todas as perdas associadas a componentes

localizados, mais as perdas normais da tubulação.

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PROBLEMAS

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1.6 NOÇÕES DE ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL EM BOCAIS

1.6.1 ESCOAMENTO UNIDIMENSIONAL, EMREGIME PERMANENTE,

ADIABÁTICO E REVERSÍVEL DE UM GÁS IDEAL EM BOCAIS.

A Figura abaixo mostra um bocal ou difusor com seções convergente e

divergente. A seção transversal que apresenta a menor área é chamada de garganta.

Nossas primeiras considerações se relacionam com as condições que

determinam se um bocal ou difusor deve ser convergente ou divergente e as condições

que prevalecem na garganta. As seguintes relações podem ser escritas para o volume de

controle mostrado:

O número de Mach, M, é definido pela razão entre a velocidade real, V, e a velocidade

do som, c.

Velocidade do som de um gás ideal:

Fazendo a combinação das equações da continuidade e das propriedades dos

gases obtemos a equação mostrada a baixo. Essa é uma equação bastante significativa,

pois dela podemos extrair as seguintes conclusões acerca da forma adequada para os

bocais e difusores:

Para um bocal, dP < 0. Portanto, para um bocal subsônico, M < 1, dA < 0 , e o bocal é

convergente para um bocal supersônico, M > 1, dA > 0, e o bocal é divergente

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Para um difusor, dP > 0. Portanto, para um difusor subsônico, M < 1, dA > 0, e o

difusor é divergente para um difusor supersônico, M > 1, dA < 0, e o difusor é

convergente.

Quando M = 1, dA = 0, o que significa que a velocidade sônica somente pode ser

encontrada na garganta de um bocal ou difusor.

Para um gás ideal que apresenta calor específico constante, podemos representado-lo

pela equação:

Para um processo isentrópico:

As condições na garganta do bocal são encontradas notando que M = 1 e são

diferenciadas por um *.

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1.7 ANÁLISE DIMENSIONAL E RELAÇÕES DE SEMELHANÇA

1.7.1 ANÁLISE DIMENSIONAL

A Análise Dimensional é uma ferramenta importante no estudo e na análise de

problemas da Física, e em particular, da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de

Calor. Com os procedimentos da Análise Dimensional será possível:

Reduzir o número de variáveis envolvidas nas análises

Compactar as equações.

A análise dimensional permite a correlação de dados para a apresentação

sucinta do fenômeno estudado, usando o menor número possível de gráficos;

A análise dimensional também é necessária e utilizada em estudos de

semelhança dinâmica

É necessário o conhecimento das dimensões e unidades das Grandezas Físicas.

Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem de maneira complexa dos

parâmetros geométricos e de escoamento.

As unidades são expressas utilizando apenas quatro grandezas básicas ou categorias

fundamentais:

- massa[M];

- comprimento[L];

- tempo[T] e

- temperatura[θ]

As quatro grandezas básicas representam as dimensões primárias que podem ser usadas

para representar qualquer outra grandeza;

Dimensões de Grandezas Derivadas: Dimensões de Grandezas Derivadas:

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Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas tem uma dimensão que é

representada por uma relação das grandezas primárias. Se esta relação é unitária, o

grupo é denominado adimensional, isto é, sem dimensão, um exemplo de grupo

adimensional é o número de Reynolds:

1.7.2 SEMELHANÇA

Restringindo as condições dos experimentos é possível obter dados de diferentes

condições geométricas, mas que levam ao mesmo ponto na curva. Isto é, experimentos

de diferentes escalas apresentam os mesmos valores para os grupos adimensionais a eles

pertinentes, nessas condições os experimentos apresentam semelhança dinâmica.

Semelhança é, em geral, uma indicação de que dois fenômenos têm um mesmo

comportamento. Por exemplo: é possível afirmar que há semelhança entre um edifício e

sua maquete (semelhança geométrica).

Na Mecânica dos Fluidos o termo semelhança indica a relação entre dois

escoamentos de diferentes dimensões, mas com semelhança geométrica entre seus

contornos.

Geralmente o escoamento de maiores dimensões é denominado escala natural

ou protótipo. O escoamento de menor escala é denominado de modelo.

Utilização de Modelos em escala apresentam algumas características:

Vantagens econômicas (tempo e dinheiro);

Podem ser utilizados fluidos diferentes dos fluidos de trabalho;

Os resultados podem ser extrapolados;

Podem ser utilizados modelos reduzidos ou expandidos (dependendo da

conveniência);

Para realizar o estudo de comparação de semelhança entre o modelo e a

realidade, é necessário que os conjuntos sejam fisicamente semelhantes. Semelhança

física envolve uma variedade de tipos de semelhança:

Semelhança Geométrica

Semelhança Cinemática

Semelhança Dinâmica

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Semelhança Geométrica

A propriedade característica dos sistemas geometricamente semelhantes é que a

razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente é

constante. Esta razão é conhecida como fator de escala.

Semelhança Cinemática

Quando dois fluxos de diferentes escalas geométricas tem o mesmo formato de

linhas de corrente, é a semelhança do movimento.

Semelhança Dinâmica

É a semelhança das forças. Dois sistemas são dinamicamente semelhantes

quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão

numa razão fixa, como por exemplo: Forças devido à diferenças de Pressão; Forças

resultantes da ação da viscosidade; Forças devido à tensão superficial; Forças

elásticas; Forças de inércia; Forças devido à atração gravitacional.

Grupos adimensionais

São extremamente importantes na correlação de dados experimentais. Em razão

das múltiplas aplicações dos grupos adimensionais nos estudos de modelos e aplicações

de semelhança dinâmica, vários grupos foram criados nas diversas áreas que compõem

os Fenômenos de Transporte. Temos os seguintes grupos adimensionais:

Número de Reynolds;

Número de Froude;

Número de Euler;

Número de Mach;

Número de Weber;

Número de Nusselt;

Número de Prandtl;

Número de Reynolds:

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Relação entre Forças de Inércia e Forças Viscosas;

Um número de Reynolds “crítico” diferencia os regimes de escoamento laminar

e turbulento em condutos na camada limite ou ao redor de corpos submersos;

Número de Froude:

Relação entre Forças de Inércia e Peso (forças de gravidade);

Aplica-se aos fenômenos que envolvem a superfície livre do fluido;

É útil nos cálculos de ressalto hidráulico, no projeto de estruturas hidráulicas e

no projeto de navios;

Número de Euler:

Relação entre Forças de Pressão e as Forças de Inércia;

Tem extensa aplicação nos estudos das máquinas hidráulicas e nos estudos

aerodinâmicos.

Número de Mach:

Relação entre Forças de Inércia e Forças Elásticas;

É uma medida da relação entre a energia cinética do escoamento e a energia

interna do fluido;

É o parâmetro mais importante quando as velocidades são próximas ou

superiores à do som; Número de Mach:

Relação entre Forças de Inércia e Forças Elásticas;

É uma medida da relação entre a energia cinética do escoamento e a energia

interna do fluido;

É o parâmetro mais importante quando as velocidades são próximas ou

superiores à do som;

Número de Weber:

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Relação entre Forças de Inércia e Forças de Tensão Superficial;

É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou líquido-líquido e também

onde essas interfaces estão em contato com um contorno sólido;

Número de Nusselt:

Relação entre fluxo de calor por convecção e o fluxo de calor por condução no

próprio fluido;

É um dos principais grupos adimensionais nos estudos de transmissão de calor

por convecção.

Número de Prandtl:

Relação entre a difusão de quantidade de movimento e difusão de quantidade de

calor;

É outro grupo adimensional importante nos estudos de transmissão de calor por

convecção;

Teorema de Buckingham ou dos π

“Enunciado da relação entre uma função expressa em termos de parâmetros

dimensionais e uma função correlata expressa em termos de parâmetros

adimensionais”

Descrevendo o passo a passo com um exemplo temos:

1º PASSO:

Determinar o número de grandezas que influenciam o fenômeno - n.

n=5

.

2º PASSO:

Escrevemos a equação dimensional de cada uma das grandezas.

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3º PASSO:

Determinamos o número de grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno - K.

K = 3

4º PASSO:

Determinamos o número de números adimensionais que caracterizam o fenômeno – m.

m = n - K ∴ m = 2

5º PASSO:

Estabelecemos a base dos números adimensionais.

Definição de base; É um conjunto de K variáveis independentes comuns aos

adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes.

Variáveis independentes; São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais

diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental.

Para o exemplo, temos:

F, V, ρ, D ou F, V, μ, D como variáveis independentes.

ρ e μ como variáveis dependentes.

6º PASSO:

Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das

variáveis que restaram na função característica após a sua retirada.

Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua

respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional. Finalmente verifica-

se que os grupos se encontrem sem dimensão, ou seja, dimensão igual 1.

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PROBLEMAS

Referências

FOX, R. W.; PRITCHARD, P. J.; MCDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos

Fluidos. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

MUNSON, B. R. Fundamentos da Mecânica de Fluidos. 4. ed. São Paulo: EDGARD

BLUCHER, 2004.

MORAN, M. J. et al. Introdução à Engenharia de Sistemas Térmicos. Rio de Janeiro:

LTC, 2005.