CONDENSADORES Y DIELECTRICOS - ActiwebLa capacitancia equivalente de un conjunto de condensadores conectados entre sí es la capacidad de un único condensador que cuando sustituye

Apuntes de física II Cap. 6: Condensadores y dieléctricos 144

Capítulo 6. CONDENSADORES Y DIELECTRICOS

6.1 INTRODUCCION. Un caso especial importante se presenta en la práctica cuando dos conductores próximos reciben cargas del mismo valor y signos opuestos. Este dispositivo de dos conductores se denomina condensador. En la figura 6.1 se muestra el caso más general de un condensador formado por dos conductores cercanos, a los cuales se les llama placas. Las cargas iguales y opuestas se obtienen conectando las placas momentáneamente a los polos opuestos de una batería.

Figura 6.1

La capacitancia C de cualquier condensador como el de la figura 6.1 se define como

VqC = 6.1

en la cual V es la diferencia de potencial entre las placas y q es la magnitud de la carga en cualquiera de las placas; q no debe considerarse como la carga neta del condensador, la cual es cero. La capacitancia de un condensador depende de la forma geométrica de cada placa, de la relación espacial entre ellas, y del medio en el cual están sumergidas. De momento, se considera a este medio como el vacío. La unidad de capacitancia se define de la ecuación 6.1 que es el coulombio/voltio que en el sistema SI es el faradio, en honor a Michael Faraday:

[ ]VCFciacapaci

111tan ==

El faradio es una unidad de capacitancia muy grande, en la práctica son unidades más convenientes los

submúltiplos del faradio, el microfaradio ( ) y el micromicrofaradio o picofaradio

( ).

FF 6101 −=µpFFF 1101 12 == −µµ

Un condensador se representa por el símbolo .

6.2 CALCULO DE LA CAPACITANCIA.

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La figura 6.2 muestra un condensador formado por dos placas planas paralelas de área A, separadas por una distancia pequeña d comparada con las dimensiones lineales de las placas. Prácticamente, todo el campo de este condensador está

localizado en el espacio comprendido entre las placas, como se representa en la figura. El campo eléctrico Ev

a medida que d es mucho menor que las dimensiones de las placas es uniforme, lo que quiere decir que las líneas de fuerza son paralelas y están uniformemente espaciadas. Para el efecto de los cálculos las “deformaciones” de las líneas en los bordes se pueden pasar por alto.

Figura 6.2

Para el cálculo de la capacitancia se supone que el condensador ha sido conectado a los bornes de una batería, de tal manera que, hay una carga +q en una placa y una carga –q en la otra.

En el siguiente paso se calcula el campo eléctrico Ev

entre las placas usando la ley de Gauss. La figura 6.2 muestra con líneas interrumpidas una superficie gaussiana con el tamaño y forma de las placas del condensador. El flujo neto es

∫ ==0

ˆ.εqEAdAnE

v entonces,

AqE0ε

=

Que es el campo debido a la cara de la superficie gaussiana que está entre las placas; en esa región Ev

es constante.

En las otras superficies el flujo de Ev

es cero, pues una de ellas está dentro del conductor y el campo eléctrico Ev

dentro de un conductor con carga estática es cero. En las otras cuatro superficies es cero porque, si no se tienen en cuenta las

irregularidades de las líneas de fuerza en los bordes, el campo Ev

es normal a las superficies. En el siguiente paso se calcula el trabajo por unidad de carga para llevar una carga de prueba de una placa a la otra, o sea,

∫ ⋅−= ldEVvv

,

siendo V la diferencia de potencial entre las placas. La integral se realiza entre la placa inferior y la superior donde

por ser antiparalelos, de modo que EdlldE −=⋅vv

dA

qEdEdlVs

i∫ ===0ε

De acuerdo a la ecuación 6.1 la capacitancia de este condensador es

dA

VqC 0ε== 6.2

La ecuación 6.2 sugiere unidades para la constante de permitividad 0ε que son más apropiadas para los problemas en los

que intervienen condensadores, es decir,



11120 85.81085.8 −−− =×= pFmFmε

Las unidades usadas en la ley de Coulomb son equivalentes a las usadas acá. Ejemplo 1. las placas de un condensador de placas paralelas están separadas una distancia d=1.0mm. ¿Cuál debe ser el área de cada placa si la capacitancia es de 1F?. De la ecuación 6.2 se despeja A y se obtiene

28112

3

0

101.11085.8

)100.1)(1( mFm

mFCdA ×=×

×== −−

−

ε

Esto corresponde a un cuadrado de aproximadamente 10km de lado. Por eso el faradio es una unidad muy grande. La tecnología actual hace posible construir “supercondensadores” de 1F de pocos centímetros de lado, que se usan como fuentes de voltaje para computadoras; como soporte para mantener la memoria de los computadores cuando hay una falla de energía bastante prolongada (Aproximadamente 30 días). Ejemplo 2. Un condensador cilíndrico está formado por un cilindro y un cascaron cilíndrico coaxial de radios a y b respectivamente y longitud l como se muestra en la figura 6.3. ¿Cuál es la capacitancia de este aparato?. Con

de modo que se puedan pasar por alto las irregularidades de las líneas de fuerza en los extremos del condensador.

byal ⟩⟩

Como superficie gaussiana se construye un cilindro coaxial de radio r y longitud l, cerrado por tapas paralelas planas como en la figura 6.3 b).

Figura 6.3

Aplicando la ley de Gauss se tiene

∫ =⋅ qdAnE ˆ0

vε

qrlE =)2(0 πε

Que es el flujo neto a través de la superficie gaussiana. El flujo está totalmente a través de la superficie cilíndrica y no a través de las tapas extremas. Despejando a E se obtiene:

rlqE

02πε=

La diferencia de potencial entre las placas es



ab

lq

rdr

lqEdrldEV

b

a

b

a

b

aln

22 00 πεπε===⋅−= ∫ ∫ ∫

vv

Finalmente, la capacitancia está dada por

)ln(2 0

abl

VqC

πε==

De nuevo la capacitancia depende de factores geométricos y de la permitividad entre las placas. Ejercicio. Muestre que si la distancia entre los cilindros, b-a, es muy pequeña comparada con a, la formula se reduce a la que se había podido obtener utilizando la ecuación 6.2. Use la expansión en series de Ln(1+x), con x=(b-a)/a. 6.3 CONDENSADORES EN SERIE Y EN PARALELO. Los condensadores se pueden combinar de dos maneras: en serie y en paralelo. a) Condensadores en paralelo. La figura 6.4 muestra tres condensadores en paralelo y se trata de hallar la capacitancia equivalente de ese sistema. Para esa configuración la diferencia de potencial entre los puntos a y b es la misma.

Figura 6.4

Todas las placas superiores están conectadas entre sí y a la terminal a, mientras que todas las placas inferiores están conectadas entre si y con la terminal b. La capacitancia equivalente de un conjunto de condensadores conectados entre sí es la capacidad de un único condensador que cuando sustituye al conjunto produce el mismo efecto exterior. Aplicando la relación q=CV a cada condensador se obtiene:

VCqyVCqVCq 332211 ;; ===

La carga total en la combinación es:

.)( 321321 VCCCqqqq ++=++=

La capacitancia equivalente C es:

321 CCCCeq ++= 6.3

Este resultado puede generalizarse fácilmente a un número cualquiera de condensadores conectados en paralelo así:

∑=

=n

iieq CC

1

6.4

b) Condensadores en serie. La figura 6.5 muestra tres condensadores conectados en serie. Para condensadores como se muestra, la magnitud de la carga q en cada placa debe ser la misma. Así debe ser porque la carga neta en la parte del circuito encerrada por la línea



interrumpida en la figura 6.5 a) debe ser cero; esto es, la carga existente en estas placas inicialmente es cero, y el conectar una batería entre a y b sólo da lugar a una separación de cargas, la carga en estas placas sigue siendo cero.

Figura 6.5

La diferencia de potencial entre los extremos de un cierto número de condensadores conectados en serie es la suma de las diferencias de potencial entre los extremos de cada condensador individual.

Aplicando la ecuación CqV = a cada condensador se obtiene:

33

22

11 ;;

CqVy

CqV

CqV ===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=++=

321321

111CCC

qVVVV .

La capacitancia equivalente es:

321

1111

CCCVqC

++==

321

1111CCCCeq

++= 6.5

La capacitancia equivalente en serie es siempre menor que la más pequeña de las capacitancias de la conexión. Este resultado puede generalizarse fácilmente a un número cualquiera de condensadores conectados en serie así:

∑=

=n

i ieq CC 1

11 6.6

Ejemplo 3. En el circuito mostrado en la figura 6.6 los puntos a y b están a una diferencia de potencial de 100voltios y

conformado por los condensadores .86,3,15 4321 FCyFCFCFC µµµµ ==== a) Hallar la capacitancia

equivalente entre los puntos a y b. b) La carga y la diferencia de potencial a través de cada condensador.

Figura 6.6

a) Para simplificar el circuito y hallar la capacitancia equivalente se utilizan las ecuaciones 6.4 y 6.5 en la siguiente secuencia a saber.



3223

111CCC

+= ;

FFFFF

CCCC

C µµµµµ 2

63)6)(3(

32

3223 =

+=

+=

FFFCCC µµµ 1028234234 =+=+=

;111

23411234 CCC+=

FFFFF

CCCC

C µµµµµ 6

1015)10)(15(

2341

23411234 =

+=

+=

b) Para hacer la parte restante, se usa el hecho de que, si se conocen dos cualesquiera de los tres parámetros q, V y C, el tercero se puede hallar de la ecuación 6.1.

En 3), VVFC ab 100,61234 == µ . Entonces, para este condensador equivalente, la carga es

CVFVCq ab µµ 600)100)(6(1234 === . En 2) los condensadores de FyF µµ 1015 están en serie y

tienen la misma carga del condensador equivalente. Entonces, la diferencia de potencial para el condensador C1 es

VFCCqV 401560011 === µµ y para el condensador C234 la diferencia de potencial es

.6010600234234 VFCCqV === µµ

En 1), los dos condensadores FCyFC µµ 28 234 == están a la misma diferencia de potencial de 60V. Entonces,

para el condensador de C4 la carga es de CVFVCq µµ 480)60)(8(23444 === y para el condensador C23 la

carga es .120)60)(2(2342323 CVFVCq µµ ===

En la figura 6.6, los condensadores C2 y C3 tienen la misma carga que C23. Entonces, para el condensador C2 la diferencia

de potencial es VFCCqV 4031202232 === µµ y para el condensador C3 la diferencia de potencial es

VFCCqV 2061203233 === µµ .

Nota:

1. Para determinar la capacitancia equivalente, el circuito se simplifica subsecuentemente desde la figura original hasta 3). Para evitar errores, se dibuja un nuevo diagrama después de cada paso.

2. En la segunda parte de este problema se comienza con el equivalente 3) y se trabaja hacia atrás hasta la figura original 6.6. En cada uno de estos pasos se usa ya sea la ecuación 6.4 o la 6.5. Por ejemplo, en 2) los dos condensadores están en serie y por ello deben tener la misma carga que el condensador equivalente.

Ejemplo 4. Un condensador tiene placas cuadradas, cada una de lado a, y formando un ángulo θ entre sí, como se ve en la figura 6.7. Encontrar la capacitancia de ese condensador para valores pequeños de θ.

Figura 6.7



Para resolver este problema se considera un condensador elemental de longitud dx y de separación h como se muestra en la figura adjunta. La capacitancia de ese elemento es, la capacitancia de un condensador plano dado por:

hadx

dC 0ε=

Expresando a h en función de x y de θ como h=d+xtgθ. Los condensadores elementales están en paralelo, por lo tanto la capacitancia total es la superposición de todas las capacitancias elementales. Entonces:

∫ +=

θ

θε

cos

0 0

a

xtgddxaC

Haciendo dxtgduxtgdu θθ =+= ; y remplazando en la ecuación anterior se tiene:

[ ]dasendtg

audu

tga

Casend

dln)ln(00 −+== ∫

+θ

θε

θε θ

La capacitancia del sistema es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

dasen

tga

C θθ

ε1ln0

Si θ es pequeño, .θθθ =≈ sentg De donde

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

daa

C θθε

1ln0

Como θ es pequeño, aθ/d es mucho menor que 1. Usando la serie de

⋅⋅⋅⋅−+−=+432

)1ln(432 xxxxx

Tomando los dos primeros términos de la serie en la capacitancia se tiene:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

da

da

da

daa

C θεθθθε

21

2

20

2

220

Nótese que el caso limite se obtiene cuando θ=0, que da un condensador plano de superficie A=a2 y espesor d como la ecuación 6.2. 6.4 DIELECTRICOS. Hasta ahora, no se ha considerado problemas en los que intervienen medios dieléctricos y se han tratado casos en los cuales el campo eléctrico es producido exclusivamente por una distribución específica de cargas o por cargas libres sobre la superficie de los conductores. En esta sección se mejora esta situación considerando el caso más general.



Un material dieléctrico ideal es aquel que no tiene cargas libres. Sin embargo, todos los medios materiales se componen de moléculas, estas a su vez se componen de entes cargados (núcleos atómicos y electrones), y las moléculas de los dieléctricos son, de hecho, afectadas por la presencia de un campo eléctrico. El campo eléctrico produce una fuerza que se ejerce sobre cada partícula cargada, empujando las cargas positivas en la dirección del campo, y las negativas en sentido contrario, de modo que las partes positivas y negativas de cada molécula se desplazan de sus posiciones de equilibrio en sentidos opuestos. Sin embargo, estos desplazamientos del orden de un diámetro molecular están limitados por intensas fuerzas restauradoras que se forman por el cambio de la configuración de las cargas de la molécula. El termino carga ligada, en contraste con la carga libre de un conductor, se usa a veces para poner énfasis en el hecho de que tales cargas moleculares no están libres para moverse muy lejos o ser extraídas del material dieléctrico. El efecto total, desde el punto de vista microscópico, se visualiza más fácil como un desplazamiento de toda la carga positiva en el dieléctrico en relación con la carga negativa. Se dice entonces que el dieléctrico está polarizado. Un dieléctrico polarizado, aun cuando sea eléctricamente neutro en promedio, produce indudablemente un campo eléctrico en los puntos exteriores e interiores al dieléctrico. Como resultado, existe una situación algo embarazosa: la polarización del dieléctrico depende del campo eléctrico total del medio, pero una parte del campo eléctrico es producida por el dieléctrico mismo. Además, el campo eléctrico distante del dieléctrico puede modificar la distribución de carga libre sobre los cuerpos de los conductores y estos, a su vez, producir modificaciones del campo eléctrico en el dieléctrico. Cuando se coloca un conductor en un campo eléctrico externo, los electrones libres dentro del mismo experimentan desplazamientos, como consecuencia de las fuerzas ejercidas sobre ellos por el campo. Se ha visto en capítulos anteriores que, en el estado de equilibrio final, el conductor tiene una carga inducida sobre su superficie, distribuida de tal modo que el campo creado por ella neutraliza el campo inicial en todos los puntos interiores, y se reduce a cero el campo eléctrico neto dentro del conductor. Ahora se trata de entender, en términos atómicos, lo que ocurre cuando se coloca un dieléctrico en un campo eléctrico. Las moléculas de un dieléctrico se clasifican en polares y no polares. En una molécula no polar los “centros de gravedad “de los núcleos positivos y de los electrones coinciden normalmente, mientras que en una molécula polar no coinciden. Las moléculas simétricas, H2, N2 y 02, son no polares. Por el contrario, en las moléculas, N20 y H20, ambos átomos de nitrógeno o de hidrogeno se encuentran a un mismo lado del átomo de oxigeno; tales moléculas son polares. Bajo la influencia de un campo eléctrico, las cargas de una molécula no polar llegan a desplazarse, como se muestra en la figura 6.8 b).

Figura 6.8

En este caso las moléculas se han polarizado por el campo y los dipolos que resultan se les denominan dipolos inducidos. Cuando una molécula no polar se polariza, sobre las cargas desplazadas entran en juego fuerzas recuperadoras, que tienden a juntarlas como si estuvieran unidas por un resorte. Bajo la influencia de un campo exterior dado, las cargas se separan hasta que la fuerza recuperadora es igual y opuesta a la ejercida por el campo sobre ellas. Naturalmente, las fuerzas recuperadoras varían en magnitud de un tipo a otro de molécula, con las consiguientes diferencias de desplazamiento para un campo dado. Si un dieléctrico se compone de moléculas polares o dipolos permanentes, estos están orientados al azar cuando no existe campo eléctrico, tal como se indica en la figura 6.9 a).

Figura 6.9

Bajo la acción de un campo eléctrico Ev

, se produce cierto grado de orientación y, cuanto más intenso es el campo, tanto mayor es el número de dipolos que se orientan en la dirección del mismo, como se representa en la figura 6.9 b). Sean o no polares las moléculas de un dieléctrico, el efecto neto de un campo exterior es en definitiva el mismo que el representado en la figura 6.10.



Figura 6.10

Dentro de las dos capas superficiales extremadamente delgadas, indicadas por las líneas de trazos, hay un exceso de carga, negativa en una y positiva en la otra. Estas capas de carga son las que dan origen a la carga inducida sobre las superficies de un dieléctrico. Las cargas no son libres, sino que cada una está ligada a una molécula situada en la superficie, o próxima a ella. Dentro del resto del dieléctrico, la carga neta por unidad de volumen sigue siendo nula. El material como un todo se convierte en un gran dipolo eléctrico que tiende a moverse en la dirección en que aumenta el campo eléctrico. 6.5 POLARIZACION.

La polarización Pv

de un material es una cantidad vectorial definida como el momento dipolar eléctrico del material por unidad de volumen. Por lo tanto, si pv es el momento dipolar inducido en cada átomo o

molécula y n el número de átomos o moléculas por unidad de volumen, la polarización es

pnP vv= 6.7

En general la polarización Pv

tiene la misma dirección que el campo eléctrico aplicado.

Para el caso especial de la figura 6.10, el vector polarización Pv

tiene el mismo valor en todos los puntos del dieléctrico; en otros casos, puede variar de un punto a otro, y entonces las magnitudes n y pv se refieren a

un volumen muy pequeño que incluye el punto. La polarización Pv

, como un momento dipolar eléctrico por unidad de volumen, se mide en (Cm)m-3 o Cm-2, que corresponde a una carga por unidad de área. Se definió en un capitulo anterior que el momento dipolar de un dipolo era el producto de cualquiera de las cargas que forman el dipolo por la distancia que las separa. El bloque polarizado de la figura 6.10 se

considera como un gran dipolo único, formado por las cargas inducidas Aq pp σ= , separadas por el

espesor L del bloque. El momento dipolar del bloque es entonces ALLqp pp σ== , y, dado que su

volumen es AL, el momento dipolar por unidad de volumen, o polarización Pv

, vale en magnitud

ppp

ALAL

VolumenAL

P σσσ

=== 6.7

La densidad superficial de carga ligada es igual a la polarización. Aunque este resultado se ha obtenido para una configuración geométrica particular, su validez es general y para otra configuración la densidad de carga de polarización está dada por

θσ cosˆ PnPp =⋅=v

6.8

Donde θ es el ángulo formado por el vector normal a la superficie y el vector polarización. Ejemplo 5. Una varilla delgada de dieléctrico de sección transversal A se coloca sobre el eje x, desde x=0 hasta x=L como se muestra en la figura 6.11. El vector polarización es a lo largo de su longitud, y está dada

por xubaxP ˆ)( 2 +=v

. Hallar la densidad superficial de carga de polarización, en cada extremo.



Figura 6.11

Para la solución de este problema se usa la ecuación 6.8. Como primer paso se calcula el vector polarización en cada una de las caras de la varilla, a saber:

)(ˆ 221 baLPubP x +==vv

Por lo tanto en la cara 1 la densidad superficial de carga es:

bPnuPnP xP −=−=⋅=⋅= 11111 ˆˆˆ1

vσ

La carga superficial en 1 es:

AbAq PP −==11

σ

La densidad de superficial de carga en la superficie 2 es:

baLPnuPnP xP +==⋅=⋅= 222222 ˆˆˆ

2

vσ

La carga superficial en 2 es:

)( 22

baLAqP +=

6.6 SUCEPTIBILIDAD Y PERMITIVIDAD ELECTRICAS.

La polarizacion Pv

de un dieléctrico isótropo homogéneo tiene dirección y sentido iguales que el campo eléctrico

resultante Ev

, y depende de Ev

y de la naturaleza del dieléctrico. Se define una propiedad del dieléctrico en la teoría de

respuesta lineal, denominada susceptibilidad eléctrica del material eχ , por la ecuación

EP e

vvχε 0= 6.9

La susceptibilidad eléctrica eχ es adimensional puesto que tanto Pv

como Ev

0ε se miden en Cm-2. Para la mayoría de

los materiales eχ es una cantidad positiva. La susceptibilidad eléctrica del vacío es nula, ya que solo puede resultar

polarizado un material dieléctrico. La susceptibilidad eléctrica, que describe la respuesta de un medio a la acción de un campo eléctrico, está relacionada con las propiedades de los átomos y moléculas del medio. Por esta razón, la susceptibilidad eléctrica es diferente para campos eléctricos estáticos y oscilantes. La susceptibilidad eléctrica inducida debida a la distorsión del movimiento electrónico en átomos o moléculas es esencialmente independiente de la temperatura, puesto que se trata de un efecto relacionado con la estructura electrónica de los átomos o de las moléculas y no con el movimiento térmico. Para un bloque plano como el de la figura 6.10 colocado en un campo eléctrico externo normal a sus caras, la densidad superficial de carga ligada es igual a la polarizacion; de modo que en este caso



.0 Eep χεσ =

Si ese bloque dieléctrico se coloca entre las placas de un condensador plano paralelo de área A y separación d como el de la figura 6.11 el cual inicialmente estaba vacío y con una densidad de carga superficial llamada libre. La densidad de carga

superficial libre en las placas se denota por Lσ y dentro del condensador produce un campo 0εσ LLE = cuando no

hay dieléctrico en él, la carga ligada produce un campo eléctrico en sentido contrario el cual es 0εσ PPE = cuando el

condensador se ha llenado con el material dieléctrico.

Figura 6.11

El campo resultante . Dado que estos campos tienen sentidos opuestos como en la figura 6.11, el campo resultante E es:

PL EEEvvv

+=

EEE

EEEEE eLe

LP

LPL χεεχ

εσ

−=−=−=−=0

0

0

y, por tanto,

κεσ

κχ 01LL

e

L EEE ==+

= 6.10

Donde el coeficiente

0

1εεχκ =+= e 6.11

Es la permitividad relativa y es un número sin unidades. A la permitividad relativa también se le llama la constante

dieléctrica. Las tres magnitudes κεχ ye , son otras tantas formas diferentes de expresar la misma propiedad

fundamental de un dieléctrico; esto es, el grado en el cual queda polarizado cuando se encuentra en un campo eléctrico.

Cualquiera de ellas puede expresarse en función de 0ε y de una de las restantes, y todas se introducen únicamente con el

fin de simplificar la forma que toman algunas ecuaciones de uso frecuente. Aunque la ecuación 6.10 se dedujo para un caso especial, el resultado anterior tiene validez general cuando se sustituye el vacío por un dieléctrico homogéneo e isótropo en todos los puntos donde existe campo eléctrico; la intensidad EL en un punto cualquiera, creada por cargas libres situadas sobre conductores, queda reducida por el factor 1/κ. La presencia del dieléctrico reduce efectivamente la interacción entre las cargas debido al efecto de pantalla producido por la polarizacion de las moléculas del dieléctrico. Ejemplo 6. Una carga puntual q está en el centro de una esfera de material dieléctrico de radio R como la figura 6.12 y susceptibilidad eléctrica χe=5.

a) Calcular el vector polarizacion en la superficie. b) Calcular la carga total de polarizacion en la superficie.



Figura 6.12

a) En la figura 6.12 el campo eléctrico en la superficie es el campo neto dado por la ecuación 6.10, debido a la carga puntual q y al campo de polarizacion. Este campo es:

RuRqE ˆ

41

20κπε

=v

El vector polarizacion es:

Re

Re

e uRqu

RqEP ˆ

4ˆ

4 220

00 πκ

χκπε

χεχε ===vv

Con 61 =+= eχκ . Por lo tanto el vector polarización para esta situación es:

RuRqP ˆ

245

2π=

v.

b) La carga de polarizacion inducida en la superficie es:

dAnuRqdAnPdAq rs s s RrPP ˆˆ

245ˆ ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅== ∫ ∫ ∫ π

σv

∫ ==sP R

RqdA

Rqq )4(

245

245 2

22 πππ

qqP 65

=

6.7 CONDENSADOR CON DIELECTRICO. Para el caso de la figura 6.11, donde la carga libre está en la superficie de las placas, el campo eléctrico

entre ellas en el vacío es de acá en adelante 00 εσ LLEE =≡ ; y la diferencia de potencial,

dEV 00 =

Cuando hay dieléctrico en las placas, el campo eléctrico es κ0EE = , y la diferencia de potencial,

κκ00 V

dE

EdV === 6.12



Como 1⟩κ , la diferencia de potencial V es menor que V0. Las cargas inducidas sobre el dieléctrico debilitan

el campo entre las placas, reduciendo la diferencia de potencial. La capacidad de un condensador en el vacío, con una carga qL sobre las placas, es

00 V

qC L=

Cuando entre ellas se introduce un dieléctrico,

κκ 00 V

qV

qVqC LLL ===

0CC κ= 6.13

Es decir, la capacitancia aumenta en el factor κ cuando el dieléctrico llena por completo la región entre las placas.

Para un condensador de placas paralelas, donde dAC 00 ε= ecuación 6.2, se puede expresar la

capacitancia, cuando el condensador está lleno con un dieléctrico, como

dA

dA

C εεκ == 0

6.14

La ecuación 6.2 es un caso especial de esta relación que se obtiene al poner 1=κ , y que corresponde al caso de vacío entre las placas. Así pues, la capacitancia de cualquier condensador se puede escribir como:

GGC εκε == 0 6.15

Expresión en la cual G es un factor geométrico y tiene las dimensiones de longitud. Para un condensador de

placas paralelas G es A/d; para un condensador cilíndrico (Ejemplo 2) G es )ln(2 baLπ .

Se puede resumir la función de un dieléctrico entre las placas de un condensador en tres partes a saber: 1. Resuelve el problema mecánico de mantener dos grandes placas metálicas a distancia muy pequeña sin contacto real alguno. 2. Puesto que su rigidez dieléctrica es mayor que la del aire, aumenta la diferencia máxima de potencial que el condensador es capaz de resistir sin romperse. 3. La capacidad de un condensador de dimensiones dadas es varias veces mayor con un dieléctrico que separe sus placas que si estuviera en el vacío. Ejemplo 7. El espacio entre las placas de un condensador de placas planas paralelas de área está lleno con dos bloques dieléctricos, uno con constante κ1 y espesor d1 y el otro con κ2 y espesor d2 como la figura 6.13. La separación entre las placas es d.

Figura 6.13

En este ejemplo es importante hacer notar que hay solamente un condensador dentro del cual hay dos medios dieléctricos que no se mezclan. NO HAY DOS CONDENSADORES EN SERIE.



Para calcular la capacitancia “equivalente” de este condensador se calcula primero el campo eléctrico en cada medio usando la ley de Gauss, después la diferencia de potencial entre las placas y por último se aplica la ecuación 6.1. En la figura adjunta que aparece abajo a la derecha se han dibujado dos superficies gaussianas cilíndricas con tapas de área S que abarcan el dieléctrico 1 y el dieléctrico 2 respectivamente. La separación d entre las placas es muy pequeña comparada con A de modo que se pueden pasar por alto las irregularidades de las líneas de fuerza en los extremos al calcular la capacitancia. El flujo en la superficie que está dentro del conductor para cada superficie gaussiana es cero, porque el campo eléctrico dentro de un conductor que tiene carga estática es cero. El flujo a través de las paredes de los cilindros es cero porque las líneas de fuerza dentro del condensador son paralelas. Así pues, solo quedan los flujos en cada cara que está en los dieléctricos. Estos son:

SSEySSE LL σκεσκε == 220110

Entonces,

202

101 κε

σκε

σ LL EyE ==

Que están de acuerdo con la ecuación 6.10. La diferencia de potencial entre las placas es

∫ ∫ ∫+

⋅−⋅−=⋅−=2

1 0 122 21

2

d dd

dldEldEldEVvvvvvv

Donde apuntan en direcciones opuestas a 21 EyEvv

ldv

, o sea,

∫ ∫+

+=+= 2 21

20 112212

d dd

ddEdEdlEdlEV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

2

1

1

0 κκεσ ddV L

La capacitancia de ese condensador es

1221

210

2

2

1

1

0

κκκκε

κκεσ

σdd

Add

AVqC

L

LL

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==

Si d1=d2=d/2 la capacitancia se puede escribir como

κε

κκκκε

dA

dA

C 0

21

210 2)(

2=

+=

Si 121 == κκ , la capacitancia es la dada por la ecuación 6.2.

Ejemplo 8. Un voltímetro electroestático está formado por dos semicilindros coaxiales rígidamente unidos que pueden girar alrededor de su eje, situado éste en la superficie de un líquido de constante dieléctrica κ como se muestra en la figura 6.14. Los radios son a y b y la longitud de los cilindros es L. Hallar la capacitancia de este sistema.



Figura 6.14

Usando el resultado del ejemplo 2 para un condensador cilíndrico se calculan los factores geométricos de cada condensador y después, para hallar la capacitancia de cada uno de ellos se utiliza la ecuación 6.14. Los factores geométricos son:

)ln(1 abLG α

= y ( )abLG

ln)(

2απ −

=

Las capacitancias son:

)ln(0

101 abL

GCαε

ε ==

)ln()(

)ln()(0

202 abL

abL

GC απεαπκεκε −

=−

==

Los condensadores de la figura 6.14 están en una combinación en serie, se obtiene

( ) ( )επεαε

απεαε

+−=−+=+= )1()ln(

)()ln(

0021 ab

Lab

LCCC

Cuando ε=1 se tiene la capacitancia de un condensador semicilíndrico.

6.8 DESPLAZAMIENTO ELECTRICO. Se define el desplazamiento en cualquier punto de un dieléctrico polarizado como la suma vectorial del

vector polarización

Dv

Pv

y del producto Ev

0ε como:

EPDvvv

0ε+= 6.16

Pero EEEEP e

vvvvv)()()1( 00000 εεεκεκεχε −=−=−== , de modo que en el dieléctrico

EDvv

ε= 6.17

En el vacío , 0=Pv

EDvv

0ε=

El concepto de desplazamiento eléctrico simplifica ciertas ecuaciones, y tiene propiedades útiles e interesantes. La figura 6.15 muestra el condensador con dieléctrico.



Figura 6.15

La integral de superficie de Ev

para la superficie gaussiana de la figura 6.15, formada por un cilindro una de cuyas bases se encuentra en la placa metálica, y la otra, en el dieléctrico. Dentro de la placa metálica

0=Ev

. En el interior del dieléctrico,

∫∫ −=⋅=⋅ )(1ˆˆ0

PLSqqdAnEdAnE

εvv

6.18

La integral de superficie de Ev

extendida a una superficie cerrada es igual a 01 ε multiplicado por la carga

neta interior a la superficie, incluyendo tanto las cargas libres como las de polarización. De la ecuación 6.18 se obtiene el campo eléctrico dentro del dieléctrico, que es:

)(1

0PL

LL qqAA

qE −===εκκ

σ

Simplificando esta última ecuación se tiene:

LLP qqq ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

κκ

κ111 6.19

Esta expresión muestra que la carga superficial inducida qP es siempre menor en magnitud que la carga libre

qL y es igual a cero cuando no hay dieléctrico. En el ejemplo 6, 6=κ que al sustituirla en la ecuación 6.19 da qP=(5/6)qL. Al reemplazar la ecuación 6.19 en la ecuación 6.18 y haciendo operaciones, se obtiene:

∫ =⋅S

LqdAnEκε 0

ˆv

LSSqdAnEdAnE ∫∫ =⋅=⋅ ˆˆ0

vvεκε 6.20

Esta relación es importante, aunque se ha derivado para un condensador de placas paralelas, es aplicable en todos los casos. Si en la ecuación 6.20 se reemplaza la ecuación 6.17 se obtiene:

LSqdAnD∫ =⋅ ˆ

v 6.21

Que es la ley de Gauss para el vector desplazamiento eléctrico y es aplicable cuando hay dieléctricos. Desarrollando la ecuación 6.21 para la gaussiana de la figura 6.15, se tiene que:

LD σ=



En forma general la ecuación 6.16 y 6.21 son de validez general y puede extenderse a conductores de cualquier forma. En general para cualquier conductor, la densidad de carga se puede escribir como:

θσ cosˆ DnDL =⋅=v

6.22

Donde θ es el ángulo formado por el vector normal a la superficie y el vector desplazamiento eléctrico. Ejemplo 9. Una esfera conductora de radio R, que tiene una carga qL, se introduce en un dieléctrico líquido de constante dieléctrica κ como se muestra en la figura 6.16. ¿Cuál es la fuerza que ejerce sobre una carga puntual q situada en el líquido a una distancia r del centro de la esfera?.

Figura 6.16

Se construye una superficie gaussiana de radio r, como en la figura. De la ecuación 6.21 y condiciones de simetría se tiene:

LSqrDDAdAnD∫ ===⋅ )4(ˆ 2π

v

241

rqD L

π= y 2

00 41

rqDDE L

κπεκεε===

Pero ( )( )2041 rqLπε es la intensidad del campo eléctrico E0 que produce en el vacío las cargas libres de

la esfera; o sea,

κ0E

E =

La fuerza sobre la carga q es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== 2

00 4

111r

qqqEqEF L

πεκκ,

de modo que el efecto del dieléctrico es reducir la carga neta por el factor κ1 .

Las propiedades del desplazamiento Dv

permite hallar el campo en la carga q, sin tener que calcular previamente la carga de polarización qP.

6.9 ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR CARGADO. El proceso de cargar un condensador consiste en el paso de carga desde la placa de menor a mayor potencial y requiere, por tanto, consumo de energía. Se supone que el proceso de carga comienza con



ambas placas descargadas, y que después se saca repetidamente pequeñas cargas positivas de una de ellas y se pasa a la otra. En un tiempo t ha pasado una carga q´(t) de una placa a la otra. La diferencia de potencial V(t) entre las placas es q´(t)/C. Para incrementar la carga en una cantidad dq´, la cantidad de trabajo necesaria para llevarla requiere un trabajo adicional dado por:

´´ dqCqVdqdW ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

Si se continúa el proceso hasta cargar completamente el condensador con una carga q, el trabajo requerido para ello es:

Cqdq

CqW

q 2

0 21´´

== ∫ 6.23

Que queda como energía almacenada U en el condensador y es devuelta, de ordinario, en forma de chispa, cuando el condensador se descarga. Un condensador cargado es el equivalente eléctrico de un resorte estirado, cuya energía potencial elástica es igual (1/2)Kx2. La carga q es análoga a la elongación x, y 1/C, a la constante elástica K. También, se puede escribir la energía almacenada en el condensador cuando se reemplaza q=CV en la ecuación 6.23 así:

2

21 CVU = 6.24

Cuando entre las placas de un condensador se introduce un dieléctrico, la energía almacenada en él es modificada por la presencia de este. La energía U0 antes de introducir el dieléctrico es:

2000 2

1 VCU = 6.25

Después de colocar el dieléctrico entre las placas del condensador, se tiene:

κκ 0V

VyCC o ==

y, por consiguiente,

02

00

20

02 1

211

21

21 CVC

VCCVU

κκκκ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== 6.26

La energía después de introducir el dieléctrico es menor en un factor 1/κ . La energía “Faltante” es fácil de comprender para el agente externo que introduce el dieléctrico dentro del condensador. El condensador ejerce una fuerza sobre el dieléctrico y realiza trabajo sobre él, en la cantidad de

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

κκ1111

21

02

000 UVCUUW 6.27

Si el dieléctrico se introduce sin ningún esfuerzo y si no hay pérdidas por fricción, el dieléctrico oscila de un lado al otro entre las placas del condensador. Ejemplo 10. Un condensador de placas planas paralelas con un área A=L2 y una separación d. Una batería carga las placas comunicándoles una diferencia de potencial V0. Entonces se desconecta la batería, y se introduce un bloque dieléctrico de espesor d y constante dieléctrica κ como se muestra en la figura 6.17.



Hallar, como función de x, a) la capacitancia equivalente del sistema, b) la energía del sistema, c) la fuerza ejercida sobre el bloque y d) la fuerza promedio necesaria para introducir todo el bloque dieléctrico.

Figura 6.17

a) Para la situación de la figura 6.17 hay dos condensadores en paralelos con una capacidad equivalente dada por:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=+−=+= − L

xL

xLdL

LxxLLd

CCxC xxLκε

κε 2

00 )()(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

Lx

LxLC

Lx

LxL

dA

xC κκε0

0)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

LxCxC )1(1)( 0

κ

Se observa que cuando x=0, C(0)=C0 y cuando x=L, C(L)=κC0.

b) La energía potencial para la configuración mostrada, en términos de x es:

)()(21

)(21)( 0

0

20

2

xCC

UxC

qCC

xCqxU

o

===

1

0)1(1)(

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

LxUxU κ

c) En la figura 6.17 se muestra como se producen las fuerzas sobre la placa dieléctrica en función de la atracción entre la carga libre de las placas y las cargas superficiales inducidas que aparecen en el dieléctrico cuando este se introduce en el condensador. Para que el dieléctrico penetre sin aceleración hay que sostenerlo con una fuerza como se muestra en la figura. Esto significa que se tiene que hacer trabajo negativo sobre el dieléctrico, o, considerando a la inversa, que el sistema condensador + dieléctrico tiene que hacer trabajo positivo. Este trabajo para introducir el dieléctrico una cantidad x en el condensador es el dado por U(x). Por lo tanto la fuerza para cualquier posición a lo largo de x es:

1

0

1

0)1(1)1(1)( −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=−=

LdxdUx

LkU

dxd

dxxdUFx

κ

( )20

2

0 )1()1()1(1)1(xLLU

Lx

LUFx

−+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−=

−

κκκκ

d) La fuerza promedio para introducir completamente el condensador entre las placas se puede hallar de dos maneras, a saber:



1) Directamente de la ecuación 6.27 como:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

κ110ULFW prom

Entonces la fuerza promedio es:

LU

LU

LWFprom κ

κκ

)1(11 00 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

2) Se halla usando el resultado obtenido en c) y de la definición de , como: promF

( )dx

xLUdx

xLLkU

LdxF

LF

L L L

xporm ∫ ∫ ∫ −+−

=−+−

==0 0 0 202

0

))1(()1(

)1()1(11

κκ

κ

Haciendo )1()1( −=−+= κκ duyxLu , se tiene que

∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=== −L

L

L

Lprom LLUduuU

uduUF

κ κ

κ11

02

020

LU

LU

Fprom κκ

κ)1(11 00 −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Como era de esperarse. Hasta ahora se ha asociado la energía de un condensador con la energía potencial de sus cargas, otro punto de vista es atribuir esta energía al campo eléctrico que existe entre las placas. Así, por ejemplo, cuando se aumenta q o V en las ecuaciones 6.23 y 6.24, aumenta también el campo eléctrico E; cuando q y V valen cero, también E vale cero. En general la capacitancia de un condensador de placas paralelas, con dieléctrico como en la figura 6.15, es

dA

dA

C εκε== 0

El potencial eléctrico entre las placas del condensado, es

EdV =

La energía almacenada en este condensador esta dada por

)(21)(

21

21 2

0202 AdEEd

dA

CVU κεκε

===

)(21 2 AdEU ε= 6.28

Donde Ad es el volumen del espacio comprendido entre las placas. Así pues, la densidad de energía u, que es la energía por unidad de volumen, si no se han tomado en cuenta las irregularidades en los bordes, es uniforme en el volumen y está dada por



AdAdE

volumenUu )()21( 2ε

==

2

02

21

21 EEu κεε == 6.29

Esta ecuación, aunque se derivó para un condensador de lacas paralelas se puede aplicar de forma general

para todos los casos en donde exista un campo eléctrico

p

Ev

. La ecuación 6.29 se puede expresar en términos del vector desplazamiento así:

εε

2

21

21

21 DEDEEu =⋅=⋅=

vvvr

Ejemplo 11. Un condensador esférico está conformado por una esfera concéntrica a un cascaron esférico de

radios a y b respectivamente como se muestra en la figura 6.18, con y ab ⟩ 1=κ . a) Hallar la energía

electrostática almacenada en el condensador. b) La capacitancia de ese condensador. c) ¿Cuál es el radio R0 de una superficie esférica dentro del condensador tal que quede la mitad de la energía almacenada?.

Figura 6.18

a) A cualquier distancia radial del centro de la esfera y para la superficie gaussiana mostrada por

líneas interrumpidas en la figura el campo eléctrico

bra ⟨⟨

0Ev

es:

20

0 41

rqE

πε=

La densidad de energía a cualquier distancia radial r se obtiene de la ecuación 6.29, con , o sea, 1=k

4

2

02

200 32

121

rqEu

επε ==

La energía dU que hay en un cascaron esférico entre los radios r y r+dr es:

20

22

8)4(

rdrqudrrdU

πεπ ==



La energía total U almacenada en el condensador es:

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−==

b

a abq

rdrqU 11

88 0

2

20

2

πεπε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ab

abqU0

2

8πε

b) La capacitancia de este condensador esférico se halla igualando la ecuación 6.23 con la energía encontrada en el numeral anterior así:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==ab

abqCqU

0

22

821

πε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ab

abC 04

11πε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ab

abC 04πε

c) ½ U de la energía obtenida en a) se iguala a la energía entre a y R0 como:

∫=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= 0

20

2

0

2

81621 R

a rdrq

ababqU

πεπε

( ) )(2;21

000

0 aRbabRaR

aRab

ab−=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

De donde se obtiene, después de hacer algunas operaciones,

abbaR+

=2

0


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CONDENSADORES Y DIELECTRICOS - ActiwebLa capacitancia equivalente de un conjunto de condensadores conectados entre sí es la capacidad de un único condensador que cuando sustituye