Conducao Calor

Equao de Conduo de Calor

ObjetivosQuando termine de estudar este captulo, se deve: Entender a dependncia multidimensional e temporal da transferncia

de calor, e as condies sob as quais um problema de transferncia de calor pode ser aproximado para um problema unidimensional,

Obter a equao diferencial da conduo de calor em vrios sistemas coordenados, e simplificar eles para um caso unidimensional,

Identificar as condies trmicas nas superfcies, e expressar as Identificar as condies trmicas nas superfcies, e expressar as mesmas matematicamente como condies de contorno e iniciais,

Resolver problemas de conduo de calor unidimensionais e obter a distribuio de temperaturas dentro do meio e o fluxo de calor,

Analisar a conduo de calor unidimensional em slidos que envolvem a gerao de calor, e

Avaliar a conduo de calor em slidos com condutividade trmica dependente da temperatura.

Introduo Embora a transferncia de calor e a temperatura

so bastante relacionados, eles so de natureza diferente.

Temperatura apenas possui a magnitude

uma quantidade escalar.

A transferncia de calor possui direo assim como magnitude

uma quantidade vetorial.

Se trabalha com um sistema de coordenadas e se indica a direo com sinais + e -.

Introduo Continuao A fora motriz para qualquer forma de transferncia

de calor a diferena de temperatura.

Quando a diferena de temperatura maior, maior a taxa de transferncia de calor.

Trs sistemas coordenados primrios: Trs sistemas coordenados primrios: cartesiano (T(x, y, z, t)),

cilndrico (T(r, , z, t)), esfrico (T(r, , , t)).

Classificao dos problemas de transferncia de calor por conduo:

transferncia de calor estacionria versus

Introduo Continuao

transferncia de calor estacionria versus transiente,

transferncia de calor multidimensional,

gerao de calor.

Transferncia de Calor Estacionria versus Transiente

Estacionriaimplica a no variao com o tempo em qualquer ponto

dentro do meio

Transienteimplica a variao com o tempo ou a dependncia temporal

Transferncia de Calor Multidimensional

Problemas de transferncia de calor tambm se classificam como: unidimensionais,

bidimensionais,

tridimensionais.

No caso mais geral, a transferncia de calor atravs de um meio tridimensional. Porem, alguns problemas podem ser classificados como bi- ou unidimensionais dependendo das magnitudes relativas das taxas de transferncia de calor nas diferentes direes e do nvel de exatido desejado.

A taxa de conduo de calor atravs do meio numa direo determinada (e.g., na direo x) expressa pela Lei de Fourier da conduo de calor para a conduo de calor unidimensional:

O calor conduzido na direo de

(W)conddT

Q kAdx

= & (2-1)

O calor conduzido na direo de

diminuio da temperatura, e ento

o gradiente da temperatura

negativo quando o calor conduzido na direo positiva de x.

Relao Geral da Lei de Fourier da Conduo de Calor

O fluxo de calor no ponto P na superfcie da figura deve ser perpendicular superfcie, e deve apontar na direo de diminuio da temperatura

Se n a normal da superfcie

isotrmica no ponto P, a taxaisotrmica no ponto P, a taxa

de conduo de calor no ponto

pode ser expressa pela lei de

Fouriercomo

(W)ndT

Q kAdn

= & (2-2)

Relao Geral da Lei de Fourier da Conduo de Calor

Em coordenadas cartesianas, o vetor da conduo de calor pode ser expresso em termos de seus componentes como

que pode ser determinado da lei de Fourier comon x y zQ Q i Q j Q k= + +

r rr r& & & & (2-3)

que pode ser determinado da lei de Fourier como

x x

y y

z z

TQ kA

xT

Q kAy

TQ kA

z

= =

=

&

&

&

(2-4)

Gerao de Calor Exemplos:

energia eltrica se convertendo calor na taxa I2R,

elementos combustvel de reatores nucleares,

reaes qumicas exotrmicas.

A gerao de calor um fenmeno volumtrico.

As unidades da gerao de calor: W/m3 ou Btu/h ft3. As unidades da gerao de calor: W/m3 ou Btu/h ft3.

A taxa de gerao de calor num meio pode variar com o tempo, assim como com a posio dentro do meio.

A taxa total de gerao de calor num meio de volume V pode ser determinada de

(W)gen genV

E e dV= & & (2-5)

Equao de Conduo de Calor Unidimensional Parede Plana

Taxa de conduo de calor em x

Taxa de conduo de

calor emx+x

Taxa de gerao de calor dentro

do elemento

Taxa de variao do contedo de

energia do elemento

- + =

ExQ& ,gen elementE+ &x xQ + &

elementE

t

=

(2-6)

A variao do contedo de energia e a taxa de gerao de calor pode ser expressa como

( ) ( ),

element t t t t t t t t t

gen element gen element gen

E E E mc T T cA x T T

E e V e A x

+ + + = = =

= = & & &

,element

x x x gen element

EQ Q E

t+ + =

& & & (2-6)

(2-7)

(2-8)

Substituindo na Eq. 26, se obtm

x x xQ Q +& &(2-9)

gene A x+ & t t tT T

cA xt

+ =

1gen

T TkA e c

A x x t + =

& (2-11)

Dividindo por Ax, tomando o limite de x 0 e t 0, e usando a lei de Fourier:

A rea A de uma parede plana constante a equao de conduo de calor 1D transiente numa parede plana

gen

T Tk e c

x x t + =

&Condutividade varivel:

Condutividade constante:2

2

1 ; gen

eT T k

x k t c

+ = =

&

A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as

(2-13)

(2-14)

1) Estado estacionrio:

2) Transiente, sem gerao de calor:

3) Estacionrio, sem gerao de calor:

2

20gen

ed T

dx k+ =

&

2

2

1T T

x t =

2

20

d T

dx=

A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as seguintes formas sob condies especiais

(2-15)

(2-16)

(2-17)

Equao de Conduo de Calor Unidimensional Cilindro Longo

Taxa de conduo de calor em r

Taxa de conduo de

calor emr+r

Taxa de gerao de calor dentro

do elemento

Taxa de variao do contedo de

energia do elemento

- + =

rQ& ,gen elementE+ &elementE

t

=r rQ +

&

(2-18)

A variao do contedo de energia e a taxa de gerao de calor se podem expressar como

( ) ( ),

element t t t t t t t t t

gen element gen element gen

E E E mc T T cA r T T

E e V e A r

+ + + = = =

= = & & &

,element

r r r gen element

EQ Q E

t+ + =

& & & (2-18)

(2-19)

(2-20)

Substituindo na Eq. 218, se obtm

r r rQ Q+& &(2-21)

gene A r+ & t t tT T

cA rt

+ =

1gen

T TkA e c

A r r t + =

& (2-23)

Dividindo por Ar, tomando o limite r 0 e t 0, e usando a lei de Fourier:

Notando que a rea varia com a varivel independente r de acordo com A=2rL, a equao unidimensional transiente da conduo de calor num cilindro longo se torna

1gen

T Trk e c

r r r t + =

&

A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as

1 1geneT Trr r r k t

+ =

&

Condutividade varivel:

Condutividade constante:

(2-25)

(2-26)

10gen

ed dTr

r dr dr k + =

&

A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as seguintes formas baixo condies particulares

1 1T Tr

r r r t =

0d dT

rdr dr

=


2) Transiente, sem ger. de calor:

3) Estacionrio, sem ger. de calor:

(2-27)

(2-28)

(2-29)

Equao de Conduo de Calor Unidimensional Esfera

22

1gen

T Tr k e c

r r r t + =

&

22

1 1geneT Trr r r k t

+ =

&

Condutividade varivel:

Condutividade constante:

(2-30)

(2-31)

Equao Geral da Conduo de Calor

x y zQ Q Q+ +& & &

Taxa de conduo de calor em x, y,

ez

Taxa de conduo de

calor emx+x, y+y, e

z+z

Taxa degerao de

calor dentrodo elemento

Taxa de variao do contedo de energia do elemento

- + =

x x y y z zQ Q Q+ + + & & & ,gen elementE+ elementE

t

=

(2-36)

Repetindo o procedimento matemtico usado para a conduo de calor unidimensional a equao de conduo de calor tridimensional se determina por

2 2 2

2 2 2

1geneT T T T

x y z k t + + + =

&

Bidimensional

Condutividade constante: (2-39)

2 2 2

2 2 20gen

eT T T

x y z k

+ + + =

&

2 2 2

2 2 2

1T T T T

x y z t + + =

2 2 2

2 2 20

T T T

x y z

+ + =

Tridimensional


2) Transiente, sem ger. de calor:

3) Estacionrio, sem ger. de calor:

(2-40)

(2-41)

(2-42)

Coordenadas cilndricas

2

1 1gen

T T T T Trk k k e c

r r r r z z t

+ + + =

&

(2-43)

Coordenadas esfricas

22 2 2 2

1 1 1sin

sin sin genT T T T

kr k k e cr r r r r t

+ + + = &

(2-44)

Condies de Contorno e Iniciais

Condio de temperatura especificada

Fluxo de calor especificado

Condio de conveco no contorno

Condio de radiao no contorno

Condies de contorno na interface

Condies de contorno generalizadas

Condio de temperatura especificada

Para a transferncia de calor unidimensional atravs de uma parede plana de espessura L, a condio de temperatura condio de temperatura especificada se pode expressar por

T(0, t) = T1T(L, t) = T2

As temperaturas especificadas podem ser constantes, que caso para a conduo de calor estacionria, ou podem variar com o tempo.

(2-46)

Condio de fluxo de calor especificado

O fluxo de calor na direo positiva xem qualquer lugar do meio, incluindo os contornos, se pode expressar pela Lei de Fourier da conduo

dTq k

dx= =&

Fluxo de calor na direo positiva

de x

O sinal do fluxo de calor se determina por inspeo: positivo se o fluxo de calor na direo positiva do eixo de coordenadas, e negativo se na direo oposta.

(2-47)

Dois casos especiais

Contorno isolado Simetria trmica

(0, ) (0, )0 or 0

T t T tk

x x

= =

( ),2 0LT t

x

=

(2-49) (2-50)

Condio de contorno de conveco

Conduo de calor na superfcie na

direo selecionada

Conveco de calor na superfcie na mesma direo=

[ ]1 1(0, ) (0, )T tk h T T tx =

[ ]2 2( , ) ( , )T L tk h T L t Tx =

e

(2-51a)

(2-51b)

Condio de contorno de radiao

Conduo de calor na superfcie na direo selecionada

Troca por radiao na superfcie na mesma direo

=

4 41 ,1

(0, )(0, )surr

T tk T T t

x =

4 42 ,2

( , )( , ) surr

T L tk T L t T

x =

e

(2-52a)

(2-52b)

Condies de contorno na interfaceNa interface os requerimentos so:(1) dois corpos em contato devem ter a mesma

temperaturana rea de contato,(2) a interface (que uma superfcie)

no pode armazenar qualquer

0 0( , ) ( , )A BA B

T x t T x tk k

x x

=

no pode armazenar qualquertipo de energia, e dessa formao fluxo de calor em ambos oslados deve ser o mesmo.TA(x0, t) = TB(x0, t)

e(2-53)

(2-54)

Condies de contorno generalizadasEm geral uma superfcie pode englobar processos de conveco, radiao, e fluxo de calor especificado simultaneamente. As condies de contorno nesses casos se obtm de um balano de energia na superfcie, como

Transferncia de calor para a

Transferncia de calor da superfcie =calor para a superfcie em

todos os modos

calor da superfcie em todos os modos

=

Gerao de calor nos slidosAs quantidades de maior interesse num meio com gerao de calor so a temperatura da superfcie Ts e a temperatura mxima Tmax que ocorre no meio numa operao estacionria.

Taxa de transferncia de calor do slido

Taxa de gerao de energia dentro do

slido=

Para uma gerao de calor uniforme dentro do meio

(W)genQ e V=& &

Gerao de calor em slidos A temperatura da superfcie

(2-64)

(2-63)

A taxa de transferncia de calor por conveco pode ser expressa da lei de Newton do resfriamento como

( ) (W)s sQ hA T T= &

gens

s

e VT T

hA= +

&

(W)genQ e V=& &

-

(2-64)

(2-65)

(2-66)

Gerao de calor em slidos A temperatura da superfcie

Para uma parede plana grandede espessura 2L (As=2Awall e V=2LAwall)

, gen

s plane wall

e LT T

h= +

&

Para um cilindro slido longode raio r (A =2r L e

(2-67)

Para um cilindro slido longode raio r0 (As=2r0L e V=r02L) 0

, 2gen

s cylinder

e rT T

h= +

&

Para uma esferaslida de raio r0 (As=4r02 e V=4/3r03)

0, 3

gens sphere

e rT T

h= +

&

(2-68)

(2-69)

Gerao de calor em slidos A temperatura mxima num Cilindro

O calor geradodentro de um cilindro interno deve ser igual ao calor conduzido atravs de sua superfcie externa.

r gen r

dTkA e V

dr = & (2-70)r gen rdr

Substituindo essas expresses na equao acima e separando as variveis, se obtm

( ) ( )222gen

gen

edTk rL e r L dT rdr

dr k = =

&&

Integrando de r =0 onde T(0) =T0 at r=ro2

0max, 0 4

gencylinder s

e rT T T

k = =

&

(2-71)

(2-70)

Condutividade trmica varivel, k(T)

A condutividade trmicade um material, em geral, varia com a temperatura.

Um valor mdio para a condutividade trmica se usa condutividade trmica se usa comumente quando a variao pequena.

Isso tambm uma prtica comum para outras propriedades que dependem da temperatura tais como a densidade e o calor especfico.

Condutividade trmica varivel para casos unidimensionais

2

( )T

k T dT

Quando a variao da condutividade trmica com a temperatura k(T) conhecida, o valor mdio da condutividade trmica no intervalo de temperaturas entre T1e T2 se pode determinar de

(2-75)12 1

( )T

ave

k T dTk

T T=

A variao da condutividade trmica do material pode ser comumente aproximada por uma funo linear, sendo expressa por

0( ) (1 )k T k T= + coeficiente de temperatura da condutividade trmica.

(2-75)

(2-79)

Condutividade trmica varivel

Para uma parede plana a temperatura varia linearmentedurante a conduo unidimensional quando a condutividade trmica condutividade trmica constante.

Esse no o caso quando a condutividade trmica varia com a temperatura (mesmo que seja linearmente).

Documents

Conducao Calor