Conducao Calor

  • View
    9

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Aula sobre Transferência de Calor

Text of Conducao Calor

  • Equao de Conduo de Calor

  • ObjetivosQuando termine de estudar este captulo, se deve: Entender a dependncia multidimensional e temporal da transferncia

    de calor, e as condies sob as quais um problema de transferncia de calor pode ser aproximado para um problema unidimensional,

    Obter a equao diferencial da conduo de calor em vrios sistemas coordenados, e simplificar eles para um caso unidimensional,

    Identificar as condies trmicas nas superfcies, e expressar as Identificar as condies trmicas nas superfcies, e expressar as mesmas matematicamente como condies de contorno e iniciais,

    Resolver problemas de conduo de calor unidimensionais e obter a distribuio de temperaturas dentro do meio e o fluxo de calor,

    Analisar a conduo de calor unidimensional em slidos que envolvem a gerao de calor, e

    Avaliar a conduo de calor em slidos com condutividade trmica dependente da temperatura.

  • Introduo Embora a transferncia de calor e a temperatura

    so bastante relacionados, eles so de natureza diferente.

    Temperatura apenas possui a magnitude

    uma quantidade escalar.

    A transferncia de calor possui direo assim como magnitude

    uma quantidade vetorial.

    Se trabalha com um sistema de coordenadas e se indica a direo com sinais + e -.

  • Introduo Continuao A fora motriz para qualquer forma de transferncia

    de calor a diferena de temperatura.

    Quando a diferena de temperatura maior, maior a taxa de transferncia de calor.

    Trs sistemas coordenados primrios: Trs sistemas coordenados primrios: cartesiano (T(x, y, z, t)),

    cilndrico (T(r, , z, t)), esfrico (T(r, , , t)).

  • Classificao dos problemas de transferncia de calor por conduo:

    transferncia de calor estacionria versus

    Introduo Continuao

    transferncia de calor estacionria versus transiente,

    transferncia de calor multidimensional,

    gerao de calor.

  • Transferncia de Calor Estacionria versus Transiente

    Estacionriaimplica a no variao com o tempo em qualquer ponto

    dentro do meio

    Transienteimplica a variao com o tempo ou a dependncia temporal

  • Transferncia de Calor Multidimensional

    Problemas de transferncia de calor tambm se classificam como: unidimensionais,

    bidimensionais,

    tridimensionais.

    No caso mais geral, a transferncia de calor atravs de um meio tridimensional. Porem, alguns problemas podem ser classificados como bi- ou unidimensionais dependendo das magnitudes relativas das taxas de transferncia de calor nas diferentes direes e do nvel de exatido desejado.

  • A taxa de conduo de calor atravs do meio numa direo determinada (e.g., na direo x) expressa pela Lei de Fourier da conduo de calor para a conduo de calor unidimensional:

    O calor conduzido na direo de

    (W)conddT

    Q kAdx

    = & (2-1)

    O calor conduzido na direo de

    diminuio da temperatura, e ento

    o gradiente da temperatura

    negativo quando o calor conduzido na direo positiva de x.

  • Relao Geral da Lei de Fourier da Conduo de Calor

    O fluxo de calor no ponto P na superfcie da figura deve ser perpendicular superfcie, e deve apontar na direo de diminuio da temperatura

    Se n a normal da superfcie

    isotrmica no ponto P, a taxaisotrmica no ponto P, a taxa

    de conduo de calor no ponto

    pode ser expressa pela lei de

    Fouriercomo

    (W)ndT

    Q kAdn

    = & (2-2)

  • Relao Geral da Lei de Fourier da Conduo de Calor

    Em coordenadas cartesianas, o vetor da conduo de calor pode ser expresso em termos de seus componentes como

    que pode ser determinado da lei de Fourier comon x y zQ Q i Q j Q k= + +

    r rr r& & & & (2-3)

    que pode ser determinado da lei de Fourier como

    x x

    y y

    z z

    TQ kA

    xT

    Q kAy

    TQ kA

    z

    = =

    =

    &

    &

    &

    (2-4)

  • Gerao de Calor Exemplos:

    energia eltrica se convertendo calor na taxa I2R,

    elementos combustvel de reatores nucleares,

    reaes qumicas exotrmicas.

    A gerao de calor um fenmeno volumtrico.

    As unidades da gerao de calor: W/m3 ou Btu/h ft3. As unidades da gerao de calor: W/m3 ou Btu/h ft3.

    A taxa de gerao de calor num meio pode variar com o tempo, assim como com a posio dentro do meio.

    A taxa total de gerao de calor num meio de volume V pode ser determinada de

    (W)gen genV

    E e dV= & & (2-5)

  • Equao de Conduo de Calor Unidimensional Parede Plana

    Taxa de conduo de calor em x

    Taxa de conduo de

    calor emx+x

    Taxa de gerao de calor dentro

    do elemento

    Taxa de variao do contedo de

    energia do elemento

    - + =

    ExQ& ,gen elementE+ &x xQ + &

    elementE

    t

    =

    (2-6)

  • A variao do contedo de energia e a taxa de gerao de calor pode ser expressa como

    ( ) ( ),

    element t t t t t t t t t

    gen element gen element gen

    E E E mc T T cA x T T

    E e V e A x

    + + + = = =

    = = & & &

    ,element

    x x x gen element

    EQ Q E

    t+ + =

    & & & (2-6)

    (2-7)

    (2-8)

    Substituindo na Eq. 26, se obtm

    x x xQ Q +& &(2-9)

    gene A x+ & t t tT T

    cA xt

    + =

    1gen

    T TkA e c

    A x x t + =

    & (2-11)

    Dividindo por Ax, tomando o limite de x 0 e t 0, e usando a lei de Fourier:

  • A rea A de uma parede plana constante a equao de conduo de calor 1D transiente numa parede plana

    gen

    T Tk e c

    x x t + =

    &Condutividade varivel:

    Condutividade constante:2

    2

    1 ; gen

    eT T k

    x k t c

    + = =

    &

    A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as

    (2-13)

    (2-14)

    1) Estado estacionrio:

    2) Transiente, sem gerao de calor:

    3) Estacionrio, sem gerao de calor:

    2

    20gen

    ed T

    dx k+ =

    &

    2

    2

    1T T

    x t =

    2

    20

    d T

    dx=

    A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as seguintes formas sob condies especiais

    (2-15)

    (2-16)

    (2-17)

  • Equao de Conduo de Calor Unidimensional Cilindro Longo

    Taxa de conduo de calor em r

    Taxa de conduo de

    calor emr+r

    Taxa de gerao de calor dentro

    do elemento

    Taxa de variao do contedo de

    energia do elemento

    - + =

    rQ& ,gen elementE+ &elementE

    t

    =r rQ +

    &

    (2-18)

  • A variao do contedo de energia e a taxa de gerao de calor se podem expressar como

    ( ) ( ),

    element t t t t t t t t t

    gen element gen element gen

    E E E mc T T cA r T T

    E e V e A r

    + + + = = =

    = = & & &

    ,element

    r r r gen element

    EQ Q E

    t+ + =

    & & & (2-18)

    (2-19)

    (2-20)

    Substituindo na Eq. 218, se obtm

    r r rQ Q+& &(2-21)

    gene A r+ & t t tT T

    cA rt

    + =

    1gen

    T TkA e c

    A r r t + =

    & (2-23)

    Dividindo por Ar, tomando o limite r 0 e t 0, e usando a lei de Fourier:

  • Notando que a rea varia com a varivel independente r de acordo com A=2rL, a equao unidimensional transiente da conduo de calor num cilindro longo se torna

    1gen

    T Trk e c

    r r r t + =

    &

    A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as

    1 1geneT Trr r r k t

    + =

    &

    Condutividade varivel:

    Condutividade constante:

    (2-25)

    (2-26)

    10gen

    ed dTr

    r dr dr k + =

    &

    A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as seguintes formas baixo condies particulares

    1 1T Tr

    r r r t =

    0d dT

    rdr dr

    =

    1) Estado estacionrio:

    2) Transiente, sem ger. de calor:

    3) Estacionrio, sem ger. de calor:

    (2-27)

    (2-28)

    (2-29)

  • Equao de Conduo de Calor Unidimensional Esfera

    22

    1gen

    T Tr k e c

    r r r t + =

    &

    22

    1 1geneT Trr r r k t

    + =

    &

    Condutividade varivel:

    Condutividade constante:

    (2-30)

    (2-31)

  • Equao Geral da Conduo de Calor

    x y zQ Q Q+ +& & &

    Taxa de conduo de calor em x, y,

    ez

    Taxa de conduo de

    calor emx+x, y+y, e

    z+z

    Taxa degerao de

    calor dentrodo elemento

    Taxa de variao do contedo de energia do elemento

    - + =

    x x y y z zQ Q Q+ + + & & & ,gen elementE+ elementE

    t

    =

    (2-36)

  • Repetindo o procedimento matemtico usado para a conduo de calor unidimensional a equao de conduo de calor tridimensional se determina por

    2 2 2

    2 2 2

    1geneT T T T

    x y z k t + + + =

    &

    Bidimensional

    Condutividade constante: (2-39)

    2 2 2

    2 2 20gen

    eT T T

    x y z k

    + + + =

    &

    2 2 2

    2 2 2

    1T T T T

    x y z t + + =

    2 2 2

    2 2 20

    T T T

    x y z

    + + =

    Tridimensional

    1) Estado estacionrio:

    2) Transiente, sem ger. de calor:

    3) Estacionrio, sem ger. de calor:

    (2-40)

    (2-41)

    (2-42)

  • Coordenadas cilndricas

    2

    1 1gen

    T T T T Trk k k e c

    r r r r z z t

    + + + =

    &

    (2-43)

  • Coordenadas esfricas

    22