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Universidade Eduardo Mondlane Equações Diferenciais com Derivadas Parciais Conteúdo programático e indicações metódicas pelo tema. 2. Colocação dos problemas de física matemática 1.1. Problema das vibrações transversais de uma corda 1.2. Problema das vibrações transversais de uma membrana 1.3. Problema das vibrações longitudinais de uma barra elastica 1.4. Problema de propagação de calor 1.5. Problemas estacionários: equilíbrio de membrana, distribuição estacionário de calor 1.6. Problemas básicos para EDDP: problema de Cauchy e problema misto. 1.1 Problema das vibrações transversais de uma corda 2.1.1. Notações preliminaries. Uma corda é um fio delgado elástico que tem resistência à extensão e não tem resistência à flexão. No problema das vibrações da corda vamos suponhas as seguintes coisas: (a) Espessura da corda é desprezível. (b) Falta resistência à flexão. (c) Corda é inextensível. (d) Força a tensão T é proporcional ao alongamento relativo (lei de Hooke). (e) Pontos da corda realizam vibrações num plano perpendicularmente ao posição de equi- líbrio, tal que valor da função incognita u(x, t) designa deslocação da corda no direcção per- pendicular ao eixo Ox da corda. A variável x designa coordenada do ponto da corda e t é tempo. (f) Deslocamentos de pontos da corda e ângulos de inclinação são pequenas, tal que podemos supor que u 2 x 0. (g) O peso da corda é desprezível. Vamos usar as seguintes designações: ρ(x) é densidade linear da corda, F (x, t) é densidade linear das forças externas, distribuídas pela corda, que actuam no plano das vibrações (veja (e)) na direcção perpendicular (transversal) ao eixo Ox, -k(x)u t é força da resistência proporcionalmente a velocidade da corda, com coeficiente k(x) (actua na mesmo direcção que F (x, t)). α(x) é ângulo de inclinação da corda com eixo Ox. Pela suposição (f) a diferencial de arco é ds = p 1+ u 2 x = ( 1+ 1 2 u 2 x + ... ) dx dx ds dx, tan α(x)= u x , cos α(x)= 1 1+tan 2 α(x) =1 - 1 2 u 2 x + ... 1, sen α(x)= tan α(x) 1+tan 2 α(x) = u x 1+u 2 x = u x ( 1 - 1 2 u 2 x + ... ) u x . (1) Consideremos um segmento da corda com projecção [x 1 ,x 2 ] em eixo Ox. O comprimento da corda neste segmento, pelo (1), é s(x 1 ,x 2 )= Z x 2 x 1 p 1+ u 2 x dx Z x 2 x 1 dx = x 2 - x 1 . (2) 1

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Ecuaciones Diferenciales en derivadas parciales

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Universidade Eduardo Mondlane

Equações Diferenciais com Derivadas ParciaisConteúdo programático e indicações metódicas pelo tema.

2. Colocação dos problemas de física matemática

1.1. Problema das vibrações transversais de uma corda

1.2. Problema das vibrações transversais de uma membrana

1.3. Problema das vibrações longitudinais de uma barra elastica

1.4. Problema de propagação de calor

1.5. Problemas estacionários: equilíbrio de membrana, distribuição estacionário de calor

1.6. Problemas básicos para EDDP: problema de Cauchy e problema misto.

1.1 Problema das vibrações transversais de uma corda

2.1.1. Notações preliminaries.

Uma corda é um fio delgado elástico que tem resistência à extensão e não tem resistência àflexão. No problema das vibrações da corda vamos suponhas as seguintes coisas:

(a) Espessura da corda é desprezível.(b) Falta resistência à flexão.(c) Corda é inextensível.(d) Força a tensão T é proporcional ao alongamento relativo (lei de Hooke).(e) Pontos da corda realizam vibrações num plano perpendicularmente ao posição de equi-

líbrio, tal que valor da função incognita u(x, t) designa deslocação da corda no direcção per-pendicular ao eixo Ox da corda. A variável x designa coordenada do ponto da corda e t étempo.

(f) Deslocamentos de pontos da corda e ângulos de inclinação são pequenas, tal que podemossupor que u2

x ≈ 0.(g) O peso da corda é desprezível.

Vamos usar as seguintes designações:— ρ(x) é densidade linear da corda,— F (x, t) é densidade linear das forças externas, distribuídas pela corda, que actuam no

plano das vibrações (veja (e)) na direcção perpendicular (transversal) ao eixo Ox,— −k(x)ut é força da resistência proporcionalmente a velocidade da corda, com coeficiente

k(x) (actua na mesmo direcção que F (x, t)).— α(x) é ângulo de inclinação da corda com eixo Ox.

Pela suposição (f) a diferencial de arco é

ds =√

1 + u2x =

(1 + 1

2u2x + . . .

)dx ≈ dx ⇒ ds ≈ dx,

tanα(x) = ux, cosα(x) = 1√1+tan2 α(x)

= 1− 12u2

x + . . . ≈ 1,

sen α(x) = tan α(x)√1+tan2 α(x)

= ux√1+u2

x

= ux

(1− 1

2u2x + . . .

) ≈ ux.

(1)

Consideremos um segmento da corda com projecção [x1, x2] em eixo Ox. O comprimento dacorda neste segmento, pelo (1), é

s(x1, x2) =∫ x2

x1

√1 + u2

x dx ≈∫ x2

x1

dx = x2 − x1. (2)

1

A força da tensão no [x1, x2] é resultante das tensões T (x1, t) e T (x2, t), que, pelas suposições(b) e (c), são dirigidas pela tangente à corda. Segundo (2) e condição (d), T (x, t) não dependedo tempo t.

Lembremos principio de D’Alambert: resultante das forças no sistema incluindo força deinércia −ma2, é igual a zero. Achemos projecção das forças aplicados para [x1, x2] na direcçãodo eixo Ox. Pelo princípio de D’Alambert, e pelo (1),

T (x1) cos(π−α(x1))+T (x2) cosα(x2) = 0 ⇒ T (x1) cos α(x1) = T (x2) cos α(x2) ⇒ T (x1) ≈ T (x2).

Então, a tensão T (x, t) não depende de x. Logo, em suposições (a)–(g), a tensão T (x, t) ≡T =const.

2.1.2. Dedução da equação de onda.

Calculemos projecção em eixo Ou da força resultante no segmento arbitrário [x1, x2] no tempofixo t. A projecção das forças de tensão é (usemos (1)):

Ft = T (− sen α(x1)) + T senα(x2) = T (ux(x2, t)− ux(x1, t)) =∫ x2

x1

Tuxx(x, t) dx.

As forças externa, de resistência e de inércia são, respectivamente,

Fe =∫ x2

x1

F (x, t) dx, Fr = −∫ x2

x1

k(x)ut(x, t) dx, Fi = −∫ x2

x1

ρ(x)utt(x, t) dx.

Pelo princípio de D’Alambert Ft + Fe + Fr + Fi = 0, ou∫ x2

x1

(Tuxx(x, t) + F (x, t)− k(x)ut(x, t)− ρ(x)utt(x, t))︸ ︷︷ ︸g(x,t)

dx = 0.

Pelo teorema de valor médio do cálculo integral

1x2 − x1

∫ x2

x1

g(x, t) dx = g(x∗, t) = 0, onde x∗ ∈ [x1, x2].

Usando o facto, que x1, x2, t foi escolhidas arbitrariamente, e realizando passagem ao limite,quando x2 → x1, da última igualdade recebemos g(x1, t) ≡ 0.

Então, obtemos a equação das vibrações (oscilações) transversais pequenas de uma cordaelástica:

ρutt + k(x)ut = Tuxx + F (x, t) (3)

Se corda é homogénea, isto é ρ(x) ≡ ρ = const, obtemos a seguinte equação (caso particular de(3)):

utt + βut = a2uxx + f(x, t), (4)

onde a2 =T

ρ, β =

k(x)ρ

, f(x, t) =F (x, t)

ρ.

As equações (3) e (4) chamam-se equações de onda. Equação de onda é representante típico dasequações do tipo hiperbólico.

2.1.3. Interpretação das condições iniciais e das condições de fronteira.

A interpretação das condições iniciais

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x)

2

é evidente: ϕ(x) é deslocamento (deslocação) inicial dos pontos da corda, i.e deslocamento notempo inicial t = 0; ψ(x) é velocidade inicial dos pontos da corda. Se tempo inicial t = t0 6= 0,é possível por troca u(x, t) = v(x, t − t0) deduzir o problema para problema com tempo inicialt = 0. É claro que equações (3) e (4) não se mudam por esta troca.

Suponhamos que corda é limitada à esquerda e extremidade esquerda da corda é ponto x = 0.As condições de fronteira neste ponto podem ser diferentes. Apresentemos algumas deles quesão mais interessantes de ponto da vista das aplicações físicas.

1) Condição de I espécie no ponto x = 0. Isto é condição da forma

u|x=0 = µ(t).

Esta condição pode ser interpretada, evidentemente, como dada (conhecida) deslocação µ(t) daextremidade x = 0 no qualquer tempo t. A condição homogénea correspondente u|x=0 = 0designa que corda na extremidade x = 0 está fixa rigidamente (na posição nula).

2) Condição de II espécie no ponto x = 0. Isto é condição da forma ux|x=0 = ν(t). Estacondição pode ser interpretada como dada (conhecida) força aplicada (concentrada) ao pontox = 0. Mais detalhadamente, suponhamos ponto x = 0 não é fixo e neste ponto esta aplicadaforça q(t) na direcção do eixo Ou. Calculemos projecção em eixo Ou da força resultante nosegmento pequeno [0, ∆x] no tempo fixo t.

A projecções das forças de tensão, externa, de resistência e de inércia são (usemos (1)):

Ft = T sen α(∆x) = Tux(∆x, t), Fe =∫ ∆x

0Fdx, Fr = −

∫ ∆x

0kutdx, Fi = −

∫ ∆x

0ρuttdx. (5)

Pelo princípio de D’Alambert Ft + Fe + Fr + Fi + q(t) = 0, ou

Tux(∆x, t) +∫ ∆x

0F dx−

∫ ∆x

0kut dx−

∫ ∆x

0ρutt dx + q(t) = 0.

Passando neste igualdade ao limite, quando ∆x → 0, obtemos a condição de fronteira da IIespécie

ux|x=0 = −q(t)T

,

onde q(t) é força aplicada pela extremidade x = 0 da corda na direcção do eixo Ou.É claro que a condição de segunda espécie homogénea ux|x=0 = 0 designa fisicamente que na

extremidade x = 0 faltam forças concentradas, ou que na extremidade x = 0 a corda está livra.

3) Condição de III espécie no ponto x = 0. Isto é condição da forma

(ux − hu)|x=0 = 0

(nos limitarmos só da condição homogénea). Esta condição designa que na extremidade x = 0 acorda está fixa elasticamente. De facto, neste caso a força aplicada no ponto x = 0 é proporcionalao deslocamento u(0, t) e tem sentido oposto, isto é

q = −κu(0, t)

com coeficiente do fixação elastica κ. Mesmo que na dedução da condição de II espécie (este qem vez de q(t)) obtemos

Tux(0, t)− κu(0, t) = 0 ⇒ (ux − hu)|x=0 = 0,

3

onde h = κT > 0. A condição de terceira espécie não-homogéneo (ux − hu)|x=0 = −γ(t) no caso

das vibrações da corda designa que extremidade x = 0 está fixa elasticamente e neste extremidadeestá aplicável uma forca (porquê?)

Notemos que as condições homogéneas da I, II e III espécie podem ser escritas na forma geral(ux − hu)|x=0 = 0 onde h = ∞ no caso da fixação da extremidade rígida (I espécie, κ = ∞),h = 0 no caso da fixação macia (extremidade é livra, II espécie, κ = 0) e h > 0 no caso dafixação elástica (III espécie, 0 < κ < ∞).

4) Condições de fronteira no ponto x = `. As condições de I, II e III espécie na extremidadesão interpretadas análogo as condições correspondentes no ponto x = 0 e têm forma:

u|x=` = µ1(t), ux|x=` = ν1(t), (ux + h1u)|x=` = 0,

tal que µ1(t) é deslocação da extremidade x = `, ν1(t) = q1(t)T > 0 onde q1(t) é força aplicada

ao ponto x = `, e h1 = κ1T > 0 onde κ1 é coeficiente da fixação elástica da extremidade x = `.

Na dedução das condições de II e III espécie mesmo que no caso x = 0 calculemos a forçaresultante no segmento pequeno [`−∆x, `] e passemos ao limite quando ∆x → 0. Recomendemospara estudantes realizar dedução detalhada. Notemos, que condições de II e III espécies no pontox = ` têm sinais opostas em relação às condições correspondentes no ponto x = 0. Esta diferençadas sinais pode ser justificada assim: no análogo do (5) temos Ft = T sen (−α(` − ∆x)) =−Tux(`−∆x, t).

Notemos também, que como no ponto x = 0 assim e no ponto x = `, na colocação matemáticado problema pode ser dada só uma das condições da fronteira (em particular, uma das condiçõesde I, II ou III espécie).

Se corda limitada dada no intervalo [a, b], é possível (mesmo que no caso deslocação do tempot− t0) por troca u(x, t) = v(x− a, t) deduzir o problema para problema no intervalo [0, `] onde` = b− a. É claro que equações (3) e (4) não se mudam por esta troca.

2.1.4. Problema de Cauchy e problema misto para equação das vibrações de corda.

Escrevamos modelos matemáticos (problemas matemáticos) básicos para problema física dasvibrações pequenas transversais de uma corda. Suponhamos para simplificação que corda é ho-mogénea ρ(x) ≡ ρ = const, isto é equação é (4). Não é difícil para estudantes escrever problemasanálogos para caso mais geral (3).

1) Problema de Cauchy de vibrações da corda coloca-se no caso da corda infinita (não-limitada). Este problema contém equação e condições iniciais, e tem forma

utt + βut = a2uxx + f(x, t), −∞ < x < ∞, t > 0u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), −∞ < x < ∞

2) Problema misto para corda semi-limitada contém equação, condições iniciais e condição defronteira na extremidade x = 0. A forma geral deste problema é

utt + βut = a2uxx + f(x, t), x > 0, t > 0u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ≥ 0Pu|x=0 = µ(t), t ≥ 0

A condição de fronteira é escrito na forma geral como funcional P : C1[0,∞) → C[0,∞). Estacondição pode ter várias formas, em particular, a forma linear

(αux + βu)|x=0 = µ(t),

Esta forma contém, em particular, mais frequentemente usadas nas aplicações, as condições deI (α = 0, β = 1), de II (α = 1, β = 0) ou de III espécie (α = 1, β = −h < 0).

4

2) Problema misto para corda limitada contém equação, condições iniciais e condições defronteira nas extremidade x = 0 e x = `. A forma geral deste problema é

utt + βut = a2uxx + f(x, t), 0 < x < `, t > 0u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ `P1u|x=0 = µ1(t), P2u|x=` = µ2(t), t ≥ 0

Notemos, que neste problema a função incógnita u(x, t) tem que satisfazer a equação só nodomínio Ω =]0, `[×]0,∞[. Não suponhamos que equação é necessariamente válido na fronteira∂Ω deste domínio, isto é quando x = 0, x = `, t = 0. O problema coloca-se assim por causa quecondição da existência das segundas derivadas de u nos pontos de ∂Ω é suposição muito rígida e,como regra, não se satisfaz nos vários problemas físicos concretos. A mesma observação trata-seproblema de Cauchy e problema para corda semi-limitada.

Exercício 1. Colocar o problema de determinação das deflexões transversais pequenas deuma corda homogénea, cuja extremidade esquerda esta fixada rigidamente e extremidade direitaesta livra, se no tempo inicial ao segmento [c− δ; c + δ] da corda chocam (a) do martelo planarrígido; (b) do martelo convexo rígido; (c) do martelo convexo macio.

Resolução Corda está limitada, suponhamos que x ∈ [0, `]. É claro que pela condição 0 <c− δ < c + δ < `, e o centro do martelo é ponto x = c. A equação da corda é (4), mas como nãoescrito nada sobre força da resistência suponhamos que esta força é zero. A deslocamento inicialé zero e as velocidades iniciais são nos casos (a),(b),(c) diferentes e são zeros fora do segmento[c− δ; c + δ].

Caso (a) do martelo planar rígido. A equação é homogénea, visto que falta força distribuídano tempo t > 0. No tempo inicial como resultado da choca pelos ponto do [c − δ; c + δ] actuao impulso, tal que pontos deste segmento tem velocidade inicial constante, seja v0. Obtemos oseguinte problema misto:

ρutt+ = a2uxx, 0 < x < `, t > 0

u|t=0 = 0, ut|t=0 =

v0 se |x− c| ≤ δ0 se |x− c| > δ

u|x=0 = 0, ux|x=` = 0

onde a2 = Tρ , T é tensão da corda e ρ é densidade linear da corda.

Caso (b) do martelo convexo rígido. A diferença do problema (a) é seguinte: no caso domartelo convexo a velocidade inicial não é constante, tem valor máximo, seja v0 no centro dachoca x = 0 e decresce até zero nas extremidades x = x ± δ do intervalo da choca. Podemosescolher qualquer função suave satisfazendo esta condição. Na pratica usa-se mais frequentementea função cos. Obtemos o seguinte problema misto:

ρutt = a2uxx, 0 < x < `, t > 0

u|t=0 = 0, ut|t=0 =

cos π(x−c)2δ se |x− c| ≤ δ

0 se |x− c| > δu|x=0 = 0, ux|x=` = 0

Caso (c) do martelo convexo macio. A diferença principal dos problemas (a) e (b) é seguinte:já não é possível supor que impulso actua momentaneamente, choca é processo distribuído pelotempo, seja no intervalo pequeno [0, τ ], com força máxima no médio deste intervalo e força zeronas suas extremidades. No problema misto por causa da força distribuída a equação será nãohomogénea, mas velocidade inicial será zero. Obtemos o seguinte problema misto:

ρutt = a2uxx + f(x, t), 0 < x < `, t > 0u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0u|x=0 = 0, ux|x=` = 0

onde

5

f(x, t) =

f0 cos π(x−c)2δ sen πt

τ se |x− c| ≤ δ, 0 ≤ t ≤ τ0 nos demais casos

1.2 Problema das vibrações transversais de uma membrana

2.2.1. Notações preliminaries e equação das vibrações de uma membrana.

Uma membrana é uma lâmina delgada elástica que tem resistência à extensão e não temresistência à flexão. Então, uma membrana é análogo bidimensional de uma corda. No problemadas vibrações da membrana vamos suponhas as seguintes coisas:

(a) Espessura da membrana é desprezível.(b) Falta resistência à flexão.(c) Membrana é inextensível.(d) Força a tensão T é proporcional ao alongamento relativo (lei de Hooke).(e) Pontos da membrana realizam vibrações na direcção perpendicular ao plano da membrana

Oxy, tal que valor da função incognita u(x, y, t) designa deslocação neste direcção do ponto (x, y)da membrana no tempo t.

(f) Deslocamentos de pontos da membrana e ângulos de inclinação com plano Oxy são pe-quenas, tal que podemos supor que (u2

x, u2y) ≈ (0, 0).

(g) O peso da membrana é desprezível.Então, o problema contém duas variáveis independentes x, y do espaço e uma variável t dotempo. Vamos usar as seguintes designações:

— ρ(x, y) é densidade superficial da membrana,— F (x, y, t) é densidade superficial das forças externas, distribuídas pela membrana, que

actuam no plano das vibrações (veja (e)) na direcção perpendicular (transversal) ao plano Oxy,— −k(x, y)ut é força da resistência proporcionalmente a velocidade da corda, com coeficiente

k(x, y) (actua na mesmo direcção que F (x, y, t)).

Mesmo que no caso da corda das condições (a)–(g) se pode deduzir que tensão T é constante.A equação das vibrações (oscilações) transversais pequenas de uma membrana elástica é:

ρutt + k(x)ut = T∆u + F (x, y, t) (6)

Aqui e depois para função u(x, y, t) suponhamos que operador de Laplace ∆ é aplicável paravariáveis de espaço imaginando t como parâmetro, tal que em coordenadas cartesianas ∆u =uxx + uyy. Se membrana é homogénea, isto é ρ(x, y) ≡ ρ = const, obtemos a seguinte equação(caso particular de (6)):

utt + βut = a2∆u + f(x, y, t), (7)

onde a2 =T

ρ, β =

k(x, y)ρ

, f(x, y, t) =F (x, y, t)

ρ.

As equações (6) e (7) chamam-se equações de onda bidimensionais (pelo número das variáveisdo espaço), eles são equações hiperbólicas.

2.2.2. Interpretação das condições iniciais e das condições de fronteira.

A interpretação das condições iniciais

u|t=0 = ϕ(x, y), ut|t=0 = ψ(x, y)

é evidente: f(x, y) é deslocamento (deslocação) inicial dos pontos da membrana e ψ(x, y) évelocidade inicial dos pontos da membrana.

Suponhamos que membrana tem forma D de pontos do plano (x, y) onde D é domínio di-ferente de R2. Neste caso ∂D 6= ∅. Nas várias partes da fronteira podem ser dadas condições

6

da fronteira diferentes. Tiremos parte suave da fronteira σ ⊆ ∂D e apresentemos neste partecondições da fronteira mais frequentemente usadas na pratica.

1) Condição de I espécie em σ. Isto é condição da forma

u|σ = µ(x, y, t).

Esta condição pode ser interpretada, evidentemente, como dada (conhecida) deslocação µ(x, y, t)dos pontos (x, y) ∈ σ no qualquer tempo t. A condição homogénea correspondente u|σ = 0designa que membrana na parte da fronteira σ está fixa rigidamente (na posição nula).

2) Condição de II espécie em σ. Isto é condição da forma

∂u

∂n

∣∣∣∣σ

=q(x, y, t)

T.

Aqui n é vector unitário da normal exterior no ponto (x, y) ∈ σ. Esta condição pode serinterpretada como dada (conhecida) força com densidade linear q(x, y, t) aplicada aos pontosde σ. É claro que a condição de segunda espécie homogénea ∂u

∂n

∣∣σ

= 0 designa fisicamente quena parte σ da fronteira a membrana está livra.

3) Condição de III espécie em σ. Isto é condição da forma(

∂u

∂n+ hu

)∣∣∣∣σ

= 0

(nos limitarmos só da condição homogénea). Esta condição designa que em σ a membrana estáfixa elasticamente. Neste caso h = κ

T > 0, onde κ é coeficiente do fixação elastica.

2.2.3. Problema de Cauchy e problema misto para equação das vibrações de membrana.

Escrevamos modelos matemáticos básicos para problema física das vibrações pequenas trans-versais de uma membrana. Suponhamos para simplificação que membrana é homogénea ρ(x) ≡ρ = const, que falta força de resistência e que (x, y) são coordenadas cartesianas. Não é difícilpara estudantes escrever problemas análogos para caso mais geral (6) e independentemente daescolha do tipo das coordenadas.

1) Problema de Cauchy de vibrações da membrana coloca-se no caso da membrana infinita eocupa todo o plano R2. Este problema contém equação e condições iniciais, e tem forma

utt = a2(uxx + uyy) + f(x, y, t), (x, y) ∈ R2, t > 0u|t=0 = ϕ(x, y), ut|t=0 = ψ(x, y), (x, y) ∈ R2

2) Problema misto de vibrações da membrana D coloca-se no caso quando membrana não seocupa todo o plano (D 6= R2), isto é quando σ = ∂D 6= ∅. O problema misto contém equação,condições iniciais e condições de fronteira em σ. A forma geral deste problema é

utt = a2(uxx + uyy) + f(x, y, t), (x, y) ∈ D, t > 0u|t=0 = ϕ(x, y), ut|t=0 = ψ(x, y), (x, y) ∈ DPu|σ = µ(x, y, t), (x, y) ∈ σ, t ≥ 0

A condição de fronteira é escrito na forma geral como funcional P : C1(σ×[0,∞[) → C(σ×[0,∞[).Esta condição pode ter várias formas, em particular, a forma de número finito m das condiçõeslineares

(αk

∂u

∂n+ βku

)∣∣∣∣σ

= µk(x, y, t), (x, y) ∈ σk, t ≥ 0; k = 1, 2, . . . , m.

7

Aqui suponhamos que fronteira é partida em número finito das partes suaves σ = tmk=1σk e nas

várias partes podem ser dadas condições de fronteira diferentes, em particular, condições de I, IIou III espécie.

Exercício 2. Colocar o problema das oscilações da membrana homogénea, que tem forma dosemicírculo, se na parte rectilínea de fronteira a membrana está fixada rigidamente, mas na partede fronteira restante a esta fixada elasticamente.

Resolução Não é escrito nada sobre forças distribuídas externas e sobre força de resistência,logo suponhamos que eles são zeros. A equação é utt = a2∆u. Não é escrito nada sobrecondições iniciais mas estas condições é parte necessária do problema misto, e suponhamosque deslocamento e velocidade iniciais são arbitrárias. A forma da membrana é semicírculo, logomais cómodo usar as coordenadas polares 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ π. O operador de Laplace emcoordenadas polares é ∆u = 1

r∂∂r (rur) + 1

r2 uϕϕ.Na parte rectilínea (ϕ = 0 e ϕ = π) a membrana é fixa rigidamente, logo temos as condições de

fronteira homogéneas de I espécie u|ϕ=0 = u|ϕ=π = 0. Na parte de fronteira r = R temos condiçãode II espécie

(∂u∂n + hu

)∣∣σ

= 0 usando que vector n em parte da fronteira r = R tem direcçãodo raio vector, temos ∂u

∂n

∣∣r=R

= ur|r=R. Então, obtemos a condição (ur + hu)|r=R = 0. Comoregra, na colocação doa problemas em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas aumentámosa condição de fronteira |u|r=0| < ∞. Esta condição é evidente de física. A papel desta condiçãoserá claro depois, na consideração dos métodos de resolução dos problemas mistos.

Escrevamos, afinal, a resposta na forma do seguinte problema misto:

utt = a2(

1r

∂∂r

(r ∂u

∂r

)+ 1

r2∂2u∂ϕ2

), 0 ≤ r < R, 0 < ϕ < π, t > 0

u|t=0 = f(r, ϕ), ut|t=0 = g(r, ϕ), 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ πu|ϕ=0 = 0, u|ϕ=π = 0, 0 ≤ r ≤ R, t ≥ 0|u|r=0| < ∞, (ur + hu)|r=R = 0, 0 ≤ ϕ ≤ π, t ≥ 0

onde R é raio da membrana, a2 = Tρ , T é tensão, ρ é densidade superficial da membrana; f(r, ϕ),

g(r, ϕ) são deslocação e velocidade iniciais dos pontos da membrana; h = κT , κ é coeficiente de

fixação elástica da parte redonda da fronteira.

1.3 Problema das vibrações longitudinais de uma barra elastica

2.3.1. Notações preliminaries.

Seja dada uma barra elastica que esta posicionada ao longo do eixo Ox. Suponhamos quetodas as forças têm direcção do eixo Ox e faltam forças de flexão, tal que barra é inflexível masadmite extensão. Então trata se das vibrações longitudinais, isto é das vibrações na direcção doeixo da membrana. A função incognita é u(x, t). Aqui t mesmo que antes designa tempo, x écoordenada do ponto da barra, marcada em suposição que barra esta na posição de equilíbrio(sem forças de elasticidade entre seus pontos). O valor u(x, t) é deslocamento do ponto x dabarra no tempo t ao longo do eixo Ox (tal que ponto x no tempo t tem coordenada x + u(x, t)).Vamos usar as seguintes designações e suposições:

— S(x) é área da secção transversal no ponto x. Suponhamos que vibrações são pequenas,tal que S(x) não depende do tempo.

— E(x) é módulo de elasticidade, isto é módulo de Young.— ρ(x) é densidade (volumétrica) dos pontos de barra.— F (x, t) é densidade (volumétrica) das forças externas distribuídas pela barra, dirigidas ao

longo do eixo Ox.De facto E(x), ρ(x) e F (x, t) dependem só da coordenada espacial x e não se mudam nos

pontos da secção S(x) para x fixo.

8

Pelo lei de Hooke a força a tensão Ft é proporcional ao alongamento relativo, isto é nosegmento [x, x + ∆x] da barra Ft ≈ E(x)S(x)u(x+∆x,t)−u(x,t)

∆x . Passando ao limite, quando∆x → 0, obtemos formula exacta Ft = ESux.

2.3.2. Dedução da equação de onda.

Apresentemos forças aplicados ao segmento arbitrário pequeno [x, x+∆x] da barra no tempofixo t. A força de tensão é

Ft = E(x + ∆x)S(x + ∆x)ux(x + ∆x, t)− E(x)S(x)ux(x, t) =∫ x+∆x

x

∂x(ESux) dx.

Seja V é parte da barra entre secções S(x) e S(x+∆x). Usando, que F (x, t) depende só da umadas coordenadas espaciais x, calculemos a força externa:

Fe =∫

VF (x, t) dV =

∫ x+∆x

xdx

S(x)F (x, t) dS =

∫ x+∆x

xS(x)F (x, t) dx.

Analogamente, a força de inércia é

Fi =∫

V(−ρ(x)utt(x, t) dV = −

∫ x+∆x

xdx

S(x)ρ(x)utt(x, t) dS = −

∫ x+∆x

xρSutt dx.

Pelo princípio de D’Alambert Ft + Fe + Fi = 0, ou∫ x+∆x

x(E(x)S(x)uxx(x, t) + S(x)F (x, t)− ρ(x)S(x)utt(x, t))︸ ︷︷ ︸

g(x,t)

dx = 0.

Pelo teorema de valor médio do cálculo integral

1∆x

∫ x+∆x

xg(x, t) dx = g(x∗, t) = 0, onde x∗ ∈ [x, x + ∆x].

Usando o facto, que x, ∆x, t foi escolhidas arbitrariamente, e realizando passagem ao limite,quando ∆x → 0, da última igualdade recebemos g(x, t) ≡ 0.

Então, obtemos a equação das vibrações (oscilações) longitudinais pequenas de uma barraelástica:

ρSutt = (ESux)x + SF (x, t). (8)

Se barra é homogénea, isto é ρ, S, E são constantes, obtemos a seguinte equação (caso particularde (8)):

utt = a2uxx + f(x, t), (9)

onde a2 =E

ρ, f(x, t) =

F (x, t)ρ

.

2.3.3. Interpretação das condições iniciais e das condições de fronteira.

A interpretação das condições iniciais

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x)

é evidente: ϕ(x) é deslocamento (deslocação) inicial dos pontos da barra, ψ(x) é velocidadeinicial dos pontos da barra.

Suponhamos que barra é limitada à esquerda e extremidade esquerda da barra é ponto x = 0.As condições de fronteira neste ponto podem ser diferentes. Apresentemos algumas deles quesão mais interessantes de ponto da vista das aplicações físicas.

9

1) Condição de I espécie no ponto x = 0. Isto é condição da forma

u|x=0 = µ(t).

Esta condição pode ser interpretada, evidentemente, como dada (conhecida) deslocação µ(t) daextremidade x = 0 no qualquer tempo t. A condição homogénea correspondente u|x=0 = 0designa que barra na extremidade x = 0 está fixa rigidamente (na posição nula).

2) Condição de II espécie no ponto x = 0. Isto é condição da forma ux|x=0 = ν(t). Estacondição pode ser interpretada como dada (conhecida) força aplicada (concentrada) ao pontox = 0. Mais detalhadamente, suponhamos ponto x = 0 não é fixo e neste ponto esta aplicadaforça q(t) na direcção do eixo Ox. Calculemos força resultante no segmento pequeno [0,∆x] notempo fixo t.

As forças de tensão, externa e de inércia são:

Ft = E(∆x)S(∆x)ux(∆x, t), Fe =∫ ∆x

0SFdx, Fi = −

∫ ∆x

0ρSuttdx. (10)

Pelo princípio de D’Alambert Ft + Fe + Fi + q(t) = 0, ou

E(∆x)S(∆x)ux(∆x, t) +∫ ∆x

0SF dx−

∫ ∆x

0ρSutt dx + q(t) = 0.

Passando neste igualdade ao limite, quando ∆x → 0, obtemos a condição de fronteira da IIespécie

ux|x=0 = −q(t)ES

,

onde q(t) é força aplicada pela extremidade x = 0 e ES = E(0)S(0).É claro que a condição de segunda espécie homogénea ux|x=0 = 0 designa fisicamente que na

extremidade x = 0 faltam forças concentradas, ou que na extremidade x = 0 a barra está livra.

3) Condição de III espécie no ponto x = 0. Isto é condição da forma

(ux − hu)|x=0 = 0

(nos limitarmos só da condição homogénea). Esta condição designa que na extremidade x = 0 abarra está fixa elasticamente. De facto, neste caso a força aplicada no ponto x = 0 é proporcionalao deslocamento u(0, t) e tem sentido oposto, isto é

q = −κu(0, t)

com coeficiente do fixação elastica κ. Mesmo que na dedução da condição de II espécie (este qem vez de q(t)) obtemos

ESux(0, t)− κu(0, t) = 0 ⇒ (ux − hu)|x=0 = 0,

onde h = κES > 0. A condição de terceira espécie não-homogéneo (ux−hu)|x=0 = −γ(t) no caso

das vibrações da barra designa que extremidade x = 0 está fixa elasticamente e neste extremidadeestá aplicável uma forca (porquê?)

4) Condições de fronteira no ponto x = `. As condições de I, II e III espécie na extremidadesão interpretadas análogo as condições correspondentes no ponto x = 0 e têm forma:

u|x=` = µ1(t), ux|x=` = ν1(t), (ux + h1u)|x=` = 0,

10

tal que µ1(t) é deslocação da extremidade x = `, ν1(t) = q1(t)ES > 0 onde q1(t) é força aplicada

ao ponto x = ` e ES = E(`)S(`), e h1 = κ1ES > 0 onde κ1 é coeficiente da fixação elástica da

extremidade x = `.Na dedução das condições de II e III espécie mesmo que no caso x = 0 calculemos a força

resultante no segmento pequeno [`−∆x, `] e passemos ao limite quando ∆x → 0. Recomendemospara estudantes realizar dedução detalhada. Notemos, que condições de II e III espécies no pontox = ` têm sinais opostas em relação às condições correspondentes no ponto x = 0. Esta diferençadas sinais pode ser justificada assim: no análogo do (10) temos Ft = −E(`−∆x)S(`−∆x)ux(`−∆x, t).

Notemos também, que como no ponto x = 0 assim e no ponto x = `, na colocação matemáticado problema pode ser dada só uma das condições da fronteira (em particular, uma das condiçõesde I, II ou III espécie).

2.3.4. Problema de Cauchy e problema misto para equação das vibrações de barra.

Estudantes podem observar analogia entre equações (todas são equações de onda) e inter-pretações das condições iniciais e de fronteira dos problemas das vibrações transversais de umacorda e das vibrações longitudinais de uma barra. Problema de Cauchy, problema misto parabarra semi-limitada e problema misto para barra colocam-se analogamente aos problemas cor-respondentes no caso da corda (veja § 2.1.4).

Exercício 3. A extremidade esquerda de uma barra homogénea esta fixa, e à extremidadedireita esta aplicada força longitudinal constante P . No tempo t = 0 esta força deixa de actuar.Colocar o problema das vibrações da barra, começando do tempo t = 0.

Resolução. O modelo matemático é problema misto para barra limitada, seja x ∈ [0, `]. Aequação da barra é (9) com F ≡ 0 (faltam forças distribuídas pelo x e pelo t). No tempo inicialbarra não está na posição de equilíbrio por causa da força P na extremidade x = `. Temosu|t=0 = ϕ(x). Velocidades iniciais são zeros. Na extremidade x = 0 temos condição de primeiraespécie u|x=0 = 0, e na extremidade x = ` a barra está livra (força P no tempo inicial deixa deactuar).

Para achar a função ϕ(x) consideremos o problema estacionaria para tempo t ≤ 0. Nestecaso u(x, t) = ϕ(x) (não depende de t). Para colocar o problema de contorno auxiliar para t ≤ 0usemos a equação das vibrações da barra (9), usando que ϕtt = F = 0, e condições de fronteira.Na extremidade direita temos a condição não-homogénea de II espécie ϕ(`) = P

ES (porquê?).Então, o problema auxiliar é

ϕ′′ = 0, 0 < x < `

ϕ(0) = 0, ϕ′(`) = PES

Resolvendo este problema de contorno para equação ordinária obtemos ϕ(x) = PES x. Finalmente,

escrevamos a resposta na forma do problema misto:

utt = a2uxx, 0 < x < `, t > 0u|t=0 = P

ES x, ut|t=0 = 0u|x=0 = 0, ux|x=` = 0

onde a2 = Eρ , E é módulo de Young, ρ é densidade e S é área da secção normal da barra.

Exercício 4. A extremidade superior de uma barra homogénea pesada esta fixada ao tecto doelevador, que realiza a queda livra. No tempo t = 0 o elevador faz uma parada momentaneamente.Colocar o problema das vibrações da barra, começando do tempo t = 0.

Resolução. O modelo matemático é problema misto para barra limitada, seja x ∈ [0, `]. Osentido de eixo Ox escolhemos de cima para baixo. A equação da barra é (9) onde F é densidadeda força de gravidade. A força de gravidade é mg = ρV g, onde g é aceleração de gravidade.Então, F = ρV g

V = ρg, e na equação (9) temos f(x, t) = F (x,t)ρ = ρg

ρ = g.

11

No tempo inicial barra está na posição de equilíbrio, visto que até tempo t = 0 foi quedalivra. Logo u|t=0 = 0. Velocidade inicial é velocidade v0 do elevador no tempo de parada t = 0.Na extremidade x = 0 temos condição de primeira espécie u|x=0 = 0, e na extremidade x = ` abarra está livra (condição homogénea de II espécie).

Finalmente, escrevamos a resposta na forma do problema misto:

utt = a2uxx + g, 0 < x < `, t > 0u|t=0 = 0, ut|t=0 = v0

u|x=0 = 0, ux|x=` = 0

onde a2 = Eρ , E é módulo de Young, ρ é densidade e S é área da secção normal da barra, g é

aceleração de gravidade e v0 é velocidade do elevador no tempo de parada.

1.4 Problema de propagação de calor

2.4.1. Notações preliminaries.

Consideremos o problema da propagação de calor em um corpo D ⊆ R3. Neste problemaa função incógnita u(x, t) = u(x1, x2, x3, t) é função de quatro variável escalares, ou de duasvariáveis vectoriais x ∈ D e t ≥ 0 onde t é tempo. A valor de u(x, t) é temperatura no ponto xno tempo t. Vamos usar as seguintes designações e suposições:

— k = k(x, u,∇u) é coeficiente de condutividade térmica (calorifica).— c(x) é calor específico.— F (x, t) é densidade de fontes quentes distribuídas pelos pontos do corpo (pode ser, por

exemplo, o resultado das reacções químicas). A densidade neste caso designa intuitivamente asfontes quentes por unidade de volume por unidade do tempo.

— ρ(x) é densidade dos pontos do corpo.Uma base de dedução da equação de condução térmica é lei de Fourier: a quantidade de calor

dQ passado por tempo dt pela superfície dσ no sentido do vector n da normal exterior de dσ éigual

dQ = −k∂u

∂ndσdt.

O sinal é menos visto que dQ pela definição designa quantidade de calor passado do exteriorpara interior, mas normal é exterior.

No fim deste parágrafo lembremos a fórmula de Ostrogradski-Gauss.

Teorema 1.1 [Ostrogradski-Gauss] Seja D domínio limitado em R3 com fronteira parcialmentesuave σ, P, Q, R ∈ C1(D)∩C(D), e n = (cosα, cosβ, cos γ) é vector unitário da normal exteriorao domínio D. Então,

∫∫

σ(P cosα + Q cosβ + R cos γ) dσ =

∫∫∫

D

(∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

)dxdydz

Na forma vectorial, se a : D → R3 é campo vectorial diferenciável continuamente, então, afórmula de Ostrogradski-Gauss pode ser escrita na forma

σ(a, n) dσ =

Ddiv a dV.

En particular, se k : D → R, u ∈ C2(D) e a = k∇u obtemos∫

σk

∂u

∂ndσ =

Ddiv (k∇u) dV.

12

Afinal, no caso a = ∇u obtemos a fórmula∫

σ

∂u

∂ndσ =

D∆u dV.

2.4.2. Dedução da equação de condução térmica.

Escolhemos parte do corpo limitado G ⊆ D com superfície suave ∂G e intervalo do tempo[t1, t2]. A quantidade de calor Q obtido das fontes quentes distribuídas no intervalo [t1, t2] é igual

Q =∫ t2

t1

GF (x, t) dxdt.

A quantidade de calor Q1 passado no intervalo do tempo [t1, t2] pela superfície ∂G é igual (pelolei de Fourier e fórmula de Ostrogradski-Gauss)

Q1 =∫ t2

t1

∂G−k

∂u

∂ndσdt = −

∫ t2

t1

Gdiv (k∇u) dxdt.

A quantidade de calor Q2 usado para crescimento da temperatura de u(x, t1) até u(x, t2) podeser achada pela fórmula conhecida da física Q2 ≈ mc∆u (m é massa). O análogo exacto destafórmula é

Q2 =∫

Gρ(x)c(x)(u(x, t2)− u(x, t1)) dx =

Gρ(x)c(x)

∫ t2

t1

ut(x, t) dxdt =∫ t2

t1

∂Gcρut dxdt.

Pelo lei de conservação de energia Q = Q1 + Q2, ou∫ t2

t1

∂G(F (x, t) + div (k∇u)− c(x)ρ(x)ut)︸ ︷︷ ︸

g(x,t)

dxdt = 0.

Pelo teorema de valor médio do cálculo integral aplicado para G× [t1, t2] ⊂ R4, temos

1Volume(G)(t2 − t1)

∫ t2

t1

∂Gg(x, t) dxdt = g(x∗, t∗) = 0, onde x∗ ∈ G, t∗ ∈]t1, t2[. (11)

Fixemos agora x ∈ D, t > 0 arbitrariamente e escolhemos bolas abertas Gn ⊂ D com centro xdos raios 1/n e intervalos In = [t− εn, t+ εn] tais que t− ε1 > 0 e εn → 0. Apliquemos (11) paraG = Gn, [t1, t2] = In, obtemos g(xn, tn) = 0 para alguns (xn, tn) ∈ Gn×In (n ∈ N). Passando aolimite, quando n →∞ e usando continuidade de g(x, t) obtemos g(x, t) = limn→∞ g(xn, tn) = 0.Como x ∈ D e t > 0 foi fixos arbitrariamente, temos g ≡ 0.

Então, obtemos a equação de propagação de calor, ou, de outras palavras, equação de con-dução térmica:

ρc(x)ρ(x)ut = div (k∇u) + F (x, t). (12)

Lembremos, que, geralmente k = k(x, u,∇u), então, a equação (12) é não-linear.Depois sempre suponhamos que corpo é isotrópico, isto é coeficiente k não depende da tem-

peratura e da gradiente de temperatura, k = k(x). Neste caso a equação (12) é linear do tipoparabólico.

No caso do corpo homogéneo, isto é ρ, c, k são constantes, usando fórmula div (k∇u) = ∆u,obtemos a seguinte equação (caso particular de (12)):

ut = a2∆u + f(x, t), (13)

13

onde a2 =k

cρ, f(x, t) =

F (x, t)cρ

.

2.4.3. Interpretação da condição inicial e das condições de fronteira.

A interpretação da condição inicial

u|t=0 = ϕ(x)

é evidente: ϕ(x) é temperatura inicial dos pontos do corpo. Notemos que equações (12) e (13)são parabólicas (a derivada superior em relação a t é primeira derivada), então na colocações dosproblemas básicos temos só uma condição inicial e falta condição com ut|t=0.

Suponhamos que corpo tem forma D de pontos x = (x1, x2, x3) do espaço R3, tal que D édomínio diferente de R3. Neste caso ∂D 6= ∅. Nas várias partes da fronteira podem ser dadascondições da fronteira diferentes. Tiremos parte suave da fronteira σ ⊆ ∂D e apresentemos nesteparte condições da fronteira mais frequentemente usadas na pratica.

1) Condição de I espécie em σ. Isto é condição da forma

u|σ = µ(x, t).

Esta condição pode ser interpretada, evidentemente, como dada (conhecida) temperatura µ(x, t)dos pontos x ∈ σ no qualquer tempo t. A condição homogénea correspondente u|σ = 0 designaque pontos da parte da fronteira σ têm sempre a temperatura nula.

2) Condição de II espécie em σ. Isto é condição da forma

∂u

∂n

∣∣∣∣σ

=q(x, t)

k. (14)

Esta condição pode ser interpretada como dado fluxo de calor (calorífico) q(x, t), de outraspalavras, corrente de calor. O fluxo calorífico é intuitivamente a quantidade de calor por unidadedo tempo pela unidade de superfície passado na direcção da normal exterior n de σ e no sentidooposto (sentido corrente de calor de exterior para interior). Para mostrar (14) é satisfeito lembrarque pelo lei de Fourier q(x, t) = k ∂u

∂n

∣∣σ. Notemos que pode ser dado (conhecido) cessão do calor.

A cessão do calor, pela definição, é corrente de calor com sinal "menos" (cessão de calor é fluxode calor com sentido de interior para exterior). É claro que a condição de segunda espéciehomogénea ∂u

∂n

∣∣σ

= 0 designa fisicamente que na parte σ da fronteira falta fluxo calorífico, istodesigna que na parte σ de fronteira o corpo é termoisolado.

3) Condição de III espécie em σ. Isto é condição da forma(

∂u

∂n+ hu

)∣∣∣∣σ

= hu0(x, t) (15)

Esta condição designa que pela parte σ da fronteira se realiza intercâmbio de calor por convecção,ou intercâmbio de calor pelo lei de Newton. Intercâmbio de calor por convecção designa que fluxocalorífico q(x, t) no ponto é proporcional a diferença das temperaturas do corpo neste ponto u(x, t)e da ambiente u0(x, t), tal que

q(x, t) = −κ(u(x, t)− u0(x, t)),

onde κ é coeficiente de condutividade térmica externa ou coeficiente de termodifusividade (ex-plique, porque na fórmula está sinal menus). Substituindo este q para fórmula (14), obtemos acondição (15), onde h = κ

k > 0.

14

A condição homogénea de III espécie temos quando se realiza intercâmbio de calor pela leide Newton com ambiente de temperatura nula.

Nos vamos usar denominação curto "intercâmbio de calor" para intercâmbio de calor porconvecção. Neste caso dizem-se também que temos irradiação para ambiente com coeficiente κ.

Notemos que as condições homogéneas da I, II e III espécie podem ser escritas na forma geral(ux + hu)|σ = 0 onde h = ∞ no caso da temperatura nula na superfície σ (I espécie). Estecondição pode ser interpretado intuitivamente como intercâmbio com coeficiente κ = ∞ comambiente da temperatura nula. h = 0 no caso da superfície termoisolada (II espécie, κ = 0), eh > 0 no caso da intercâmbio (III espécie, 0 < κ < ∞).

2.4.3. Problema de Cauchy e problema misto para equação de condução térmica.

Escrevamos modelos matemáticos básicos para problema física da propagação de calor emum corpo tridimensional. Suponhamos para simplificação que corpo é homogéneo (ρ, c, k sãoconstantes), e que (x, y, z) são coordenadas cartesianas. Não é difícil para estudantes escre-ver problemas análogos para caso mais geral (12) e independentemente da escolha do tipo dascoordenadas.

1) Problema de Cauchy de propagação de calor em todo o R3. Este problema contém equaçãoe condição inicial, e tem forma

ut = a2(uxx + uyy + uzz) + f(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ R2, t > 0u|t=0 = ϕ(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3

2) Problema misto de propagação de calor no corpo D coloca-se no caso quando D 6= R3,isto é quando σ = ∂D 6= ∅. O problema misto contém equação, condição inicial e condições defronteira em σ. A forma geral deste problema é

ut = a2(uxx + uyy + uzz) + f(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ D, t > 0u|t=0 = ϕ(x, y, z), (x, y, z) ∈ DPu|σ = µ(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ σ, t ≥ 0

A condição de fronteira é escrito na forma geral como funcional P : C1(σ×[0,∞[) → C(σ×[0,∞[).Esta condição pode ter várias formas, em particular, a forma de número finito m das condiçõeslineares

(αk

∂u

∂n+ βku

)∣∣∣∣σ

= µk(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ σk, t ≥ 0; k = 1, 2, . . . , m.

Aqui suponhamos que fronteira é partida em número finito das partes suaves σ = tmk=1σk e nas

várias partes podem ser dadas condições de fronteira diferentes, em particular, condições de I, IIou III espécie.

Exercício 5. Colocar o problema de propagação de calor no cilindro homogéneo de raio R ede altura H em presença no interior do cilindro das fontes quentes de potência constante Q, setemperatura inicial do cilindro é zero, na superfície lateral é dada temperatura constante T , àbase inferior actua fluxo calorífico constante q, e na base superior temos irradiação com ambienteda temperatura nula.

Resolução O modelo matemático é problema misto para equação de condução térmica. Aequação é ut = a2∆u + Q

cρ , a condição inicial é u|t=0 = 0. A forma do corpo é cilindro, logo maiscómodo usar as coordenadas cilíndricas 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ h. O operador deLaplace em coordenadas cilíndricas é

∆u =1r

∂r(rur) +

1r2

uϕϕ + uzz.

15

O corpo e todas as condições são simétricas em relação ao eixo Ox, então, fisicamente é evidente,que função incognita u(r, ϕ, z, t) de facto não depende da coordenada ϕ, isto é u = u(r, z, t).Usando isto, concretizemos expressão de ∆u na forma final do problema misto.

A fronteira é parcialmente suave e contém três partes suaves: r = R, z = 0 e z = H.Na parte r = R temos condição de I espécie u|r=R = T . Na parte z = 0 temos condiçãode II espécie (14). Usando que vector da normal exterior para parte z = 0 da superfície temsentido oposto ao eixo Oz, temos que ∂u

∂n

∣∣z=0

= −uz|z=0. Então, a condição na parte z = 0é uz|z=0 = − q

k . Analogamente, na parte z = H temos condição homogénea de III espécie(∂u∂n + hu

)∣∣z=H

= (uz + hu)|z=H = 0. Mesmo que no Exercício 3 na colocação do problemaem coordenadas cilíndricas aumentámos a condição de fronteira |u|r=0| < ∞. Esta condição éevidente de física (temperatura no eixo do cilindro não é infinita). A papel desta condição seráclaro depois, na consideração dos métodos de resolução dos problemas mistos.

Escrevamos, afinal, a resposta na forma do seguinte problema misto:

ut = a2(

1r

∂∂r

(r ∂u

∂r

)+ ∂2u

∂z2

), 0 ≤ r < R, 0 < z < H, t > 0

u|t=0 = 0, 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ z ≤ H|u|r=0| < ∞, u|r=R = T, 0 ≤ z ≤ H, t ≥ 0uz|z=0 = − q

k , (uz + hu)|z=H = 0, 0 ≤ r ≤ R, t ≥ 0

onde a2 = kcρ , h = κ

k , sendo que k é condutividade térmica, c é calor específico, ρ é densidade docilindro e κ é coeficiente de irradiação na base superior z = H do cilindro.

2.4.5. Concretização do problema de propagação de calor em barra.

Nos parágrafos 2.4.1–2.4.4 nos consideraram o problema de propagação de calor no corpoespacial (variável do espaço de dimensão três). Do mesmo modo colocam-se problemas de propa-gação de calor em uma lâmina, quando u = u(x, t) com x ∈ R2 (variável de espaço de dimensãodois) e em uma barra, quando u = u(x, t) com x ∈ R (variável de espaço de dimensão dois). Aequação (12) chama-se equação de condutividade térmica n dimensional, quando função incóg-nita u(x, t) é função ne n + 1 variáveis escalares, n variáveis do espaço físico e uma do tempo.Mas problemas para n = 1 e n = 2 tem particularidade seguinte. Seja na lâmina realiza-se inter-câmbio de calor com ambiente que se fica fora no plano da lâmina. Como no modelo x ∈ R2 estacondição não pode ter relação nas condições de fronteira (a fronteira no modelo é uma curva noespaço R2). Neste caso temos que fazer revisão da colocação da equação (12). Do mesmo modotemos que revisar colocação no caso de condução térmica na barra, quando se realiza intercâm-bio com ambiente, que se fica fora do eixo da barra. Consideremos detalhadamente problema depropagação de calor em barra (caso n = 1). Recomendemos para estudantes de modo análogocolocar o problema no caso da lâmina (n = 2).

Consideremos o problema da propagação de calor em uma barra, tal que temperatura u(x, t)depende só de x ∈ R e do tempo t. É claro que realmente temperatura se muda na secçãonormal S(x), mas neste secção podemos supor que u(x, t) é temperatura média neste secção.Suponhamos que barra é isotrópica, tal que condutividade térmica k(x), é calor específico c(x),é densidade volumétrica ρ(x) dependem só de x. F (x, t) é densidade (volumétrica) de fontesquentes distribuídas pelos pontos da barra. Suponhamos que temos intercâmbio de calor porconvecção no sentido ortogonal ao eixo Ox (de exterior para eixo) com ambiente de temperaturau0 = u0(x, t) e coeficiente de difusibilidade κ = κ(x).

Escolhemos um segmento [x1, x2] da barra e um intervalo do tempo [t1, t2]. A barra entrepontos x1 e x2 se representa um corpo cilíndrico G, cuja superfície σ contém três partes: σ− =S(x1), σ+ = S(x2) e superfície lateral σl. Designemos por ∂S(x) a fronteira da secção S(x) emplano passado pela S(x). Seja p(x) é perímetro da curva ∂S(x).

16

A quantidade de calor Q obtido das fontes quentes distribuídas no intervalo [t1, t2] é igual

Q =∫ t2

t1

GF (x, t) dxdt =

∫ t2

t1

(∫ x2

x1

dx

S(x)F (x, t) dS

)dt =

∫ t2

t1

∫ x2

x1

S(x)F (x, t) dxdt.

Pelo lei de Fourier na superfície lateral σl temos k ∂u∂n

∣∣σl

= −κ(u(x, t)−u0(x, t)). Usando estaigualdade e lei de Fourier calculemos a quantidade de calor Q1 passado no intervalo do tempo[t1, t2] pela superfície σ:

Q1 =∫ t2t1

∫σ −k ∂u

∂n dS dt = − ∫ t2t1

(∫σ+

+∫σ− +

∫σl

)k ∂u

∂n dSdt =

− ∫ t2t1

(∫S(x2) kux dS − ∫

S(x1) kux dS +∫σlκ(u0 − u) dS

)dt =

− ∫ t2t1

(Skux |x=x2

x=x1+

∫ x2

x1dx

∫∂S(x) κ(u0 − u) ds

)dt =

− ∫ t2t1

∫ x2

x1

(∂∂x(S(x)k(x)ux) + p(x)κ(x)(u0 − u)

)dxdt

A quantidade de calor Q2 usado para crescimento da temperatura no no ponto x de u(x, t1) atéu(x, t2) pode ser achada pela fórmula

Q2 =∫ t2

t1

∂Gcρut dV dt =

∫ t2

t1

(∫ x2

x1

dx

S(x)cρut dS

)dt =

∫ t2

t1

∫ x2

x1

cρSut dxdt.

Pelo lei de conservação de energia Q = Q1 + Q2, ou∫ t2

t1

∫ x2

x1

(S(x)F (x, t) + (k(x)S(x)u)x + p(x)κ(x)(u0 − u)− c(x)ρ(x)S(x)ut)︸ ︷︷ ︸g(x,t)

dxdt = 0.

Pelo teorema de valor médio do cálculo integral aplicado para [t1, t2]× [x1, x2] ⊂ R2, temos

1(x2 − x1)(t2 − t1)

∫ t2

t1

∫ x2

x1

g(x, t) dxdt = g(x∗, t∗) = 0, onde x∗ ∈]x1, x2[, t∗ ∈]t1, t2[.

Usando que [x1, x2] e [t1, t2] foi escolhidas de maneira arbitrária deduzimos daqui (mesmo quepara (12)) que g ≡ 0.

Então, obtemos a equação de propagação de calor na barra no caso do intercâmbio do calorpor superfície lateral:

ρc(x)ρ(x)S(x)ut = (k(x)S(x)u)x − p(x)κ(x)u + p(x)κ(x)u0(x, t) + S(x)F (x, t). (16)

No caso da barra homogénea, isto é ρ, c, k, S, p são constantes, obtemos a seguinte equação(caso particular de (16)):

ut = a2uxx − b(x)u + f(x, t), (17)

onde a2 =k

cρ, b(x) =

pκ(x)cρS

, f(x, t) =pκ(x)u0(x, t) + SF (x, t)

cρS.

No caso, quando a superfície lateral da barra homogénea é termoisolada (isto é κ = 0) obtemosda equação (17) a equação

ut = a2uxx + f(x, t), (18)

onde a2 =k

cρ, f(x, t) =

F (x, t)cρ

.

Notemos que no caso da barra termoisolada a equação (18) pode ser deduzido simplesmentedirectamente de (13) sem investigação especial acima deste parágrafo.

17

Exercício 6. Colocar o problema de propagação de calor na barra homogénea do comprimento1 com densidade 2, coeficiente de condutividade térmica 3, calor específico 4, se na extremidadeesquerda e na superfície lateral se realize intercâmbio de calor pelo lei de Newton com coeficiente5 e com temperatura de ambiente 6, e na extremidade direita se realiza cessão de calor 7. Atemperatura inicial é 8, a secção normal da barra é círculo do raio 9.

Resolução O modelo matemático é problema misto para equação de condução térmica uni-dimensional. Suponhamos que x ∈ [0, 1]. Pela condição, ρ = 2, k = 3, c = 4, S(x) = 81π,p(x) = 18π, κ = 5, u0 = 6, fontes quentes faltam (F ≡ 0), na extremidade direita o fluxocalorífico é q = −7.

A equação do problema é (17) com

a2 =k

cρ=

38, b(x) =

pκcρS

=90π

648π=

536

, f(x, t) =pκu0(x, t) + SF (x, t)

cρS= 6b(x) =

56.

Na extremidade esquerda temos condição de III espécie(

∂u∂n + hu

)∣∣x=0

= hu0, onde h = κk = 5

3 .Usando que vector n no ponto x = 0, i.e. na superfície S(0), tem sentido oposto ao eixo Ox,temos

(∂u∂n

)∣∣x=0

= −ux|x=0. Então, obtemos condição,(ux − 5

3u)∣∣

x=0= −10. Analogamente,

na extremidade x = 1 temos(

∂u∂n

)∣∣x=1

= ux|x=1 = qk = −7

3 . Então, o problema dado é colocadana forma do seguinte problema misto para equação parabólica unidimensional:

ut = 38uxx − 5

36u + 56 , 0 < x < 1, t > 0

u|t=0 = 8, 0 ≤ x ≤ 1(ux − 5

3u)∣∣

x=0= −10, ux|x=1 = −7

3 , t ≥ 0

1.5 Problemas estacionários: equilíbrio de membrana, distribuição estacionário decalor

Problemas de contorno para equações elípticas descrevam, como regra processos e efeitos físicosestacionários, isto é processos, que não dependem do tempo t. Neste caso a função incógnitau(x) depende so da variável do espaço físico x ∈ Rn (n = 1, 2, 3) e não depende do tempo t.Problemas para n = 1 não muito interessantes para nossa disciplina, visto que temos equaçãoordinária. Para casos n = 2, 3 consideremos dois problemas físicos: forma de equilíbrio de umamembrana e distribuição estacionária de calor.

2.5.1. Problema da forma de equilíbrio de uma membrana.

Usando designações e conclusões do § 2.2, suponhamos que função incognita u não dependedo tempo t, isto é u = u(x, y). Então, temos o problema da forma de equilíbrio de membrana.Mesmo que no problema das vibrações de membrana a função incognita u(x, y) designa deslocaçãodo ponto (x, y) na direcção perpendicular ao plano Oxy da membrana. No problema estacionáriatemos que supor que densidade superficial das forças externas F (x, y) também não depende de t.Da equação (7), usando que utt = ut = 0 e F

a2ρ= F

T obtemos, evidentemente, a seguinte equaçãoda forma equilíbrio de uma membrana:

∆u = f(x, y), onde f(x, y) = −F (x, y)T

. (19)

Equação (19) representa-se equação elíptico bidimensional e tem chamada especial: equação dePoisson. A equação homogénea correspondente ∆u = 0 (quando faltam forças distribuídas pelamembrana) chama-se equação de Laplace.

O problema de Cauchy e problema misto (veja §2.2.3) não são adequados para equação (19),visto que faltam condições iniciais. Para equação de equilíbrio de membrana é típico o seguinteproblema de contorno, que consta da equação e da condição de fronteira:

∆u = f(x, y), (x, y) ∈ DPu|σ = µ(x, y), (x, y) ∈ σ

18

Neste problema suponhamos que membrana ocupa domínio D ⊂ R2 com fronteira parcialmentesuave σ 6= ∅. A condição de fronteira é escrito na forma geral como funcional P : C1(σ) → C(σ).Esta condição pode ter várias formas, em particular, a forma de número finito m das condiçõeslineares (

αk∂u

∂n+ βku

)∣∣∣∣σ

= µk(x, y), (x, y) ∈ σk; k = 1, 2, . . . ,m. (20)

Aqui suponhamos que fronteira é partida em número finito das partes suaves σ = tmk=1σk e nas

várias partes podem ser dadas condições de fronteira diferentes, em particular, condições de I, IIou III espécie. A interpretação física destas condições não tem diferença em relação às condiçõesconsideradas no §2.2.2.

Exercício 7. Colocar o problema de equilíbrio da membrana rectangular homogénea, cujosdois lados são fixados rigidamente, terceiro lado é fixado elasticamente e no último lado que éoposto ao terceiro, está activa uma força constante de densidade linear γ. A membrana estácarregada na superfície de uma força com densidade −Axy.

Resolução. Sejam coordenadas cartesianas da membrana são (x, y), tal que membrana érectângulo [0, a]× [0, b]. O modelo matemático é problema de contorno para equação de Poisson.Pelo (19) temos ∆u = −−Axy

T . Suponhamos que condições de fronteira são dados no exercícioconsecutivamente para lados x = 0, x = a, y = 0 e y = b. Nos lados x = 0, x = a temoscondição homogénea de I espécie. No lado y = 0 temos condição de III espécie

(∂u∂n + hu

)∣∣y=0

=

(−uy + hu)|y=0 = 0, e no lado y = b a condição de II espécie ∂u∂n

∣∣y=b

= uy|y=b = γT . Escrevamos,

afinal, a resposta na forma do seguinte problema se contorno:

uxx + uyy = AxyT , 0 < x < a, 0 < y < b

u|x=0 = 0, u|x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b(uy − hu)|y=0 = 0, ux|y=b = γ

T , 0 ≤ x ≤ a

onde T é tensão da membrana, h = κT , onde κ é coeficiente de fixação elástica da parte y = 0

da fronteira de membrana.

2.5.2. Problema de distribuição estacionária de temperatura.

Usando designações e conclusões do § 2.4, suponhamos que função incognita u não dependedo tempo t, isto é u = u(x), x ∈ D, onde D é domínio em R3 com fronteira parcialmente suaveσ. Então, temos o problema de distribuição estacionária de calor. Mesmo que no problema depropagação de calor u(x) é temperatura no ponto x ∈ D. No problema estacionária temos quesupor que densidade de fontes quentes distribuídas pelos pontos do corpo D não depende dotempo t, isto é F = F (x). Da equação (12), usando que ut = 0 obtemos, evidentemente, aseguinte equação de distribuição estacionária da temperatura:

div (k∇u) = −F (x, y), (21)

Equação (21) representa-se equação elíptico tridimensional. No caso do corpo D homogéneoobtemos a equação de Poisson

∆u = f(x), onde f(x) = −F (x)k

. (22)

O problema de Cauchy e problema misto (veja §2.4.4) não são adequados para equação (21),visto que faltam condições iniciais. Para equação de distribuição estacionária de calor é típico oseguinte o problema de contorno, que consta da equação e da condição de fronteira:

div (k∇u) = −F (x, y), x ∈ DPu|σ = µ(x), x ∈ σ

(23)

19

A condição de fronteira é escrito na forma do funcional P , que mesmo que (20) pode conter onúmero finito das condições lineares, incluindo as condições de I, II ou III espécie. A interpretaçãofísica destas condições não tem diferença em relação às condições consideradas no §2.3.2.

Analogamente a (23) coloca-se problema de contorno para equação elíptico bidimensionalpara problema de distribuição estacionária da temperatura em uma lâmina no caso, quando asuperfície da lâmina e termoisolada do espaço fora do plano desta lâmina. Mas no caso, quandose realiza intercâmbio de calor com ambiente que se fica fora no plano da lâmina, obtermosanalogamente a (16) o problema de contorno para equação div (k∇u)− b(x)u = −F1(x, y), ondeb(x) > 0, x ∈ D ⊂ R2. No caso particular da lâmina homogénea a equação ∆u−b1(x)u = f(x, t)chama-se equação de Helmholtz.

Exercício 8. Colocar o problema de distribuição estacionária da temperatura na semi-bolahomogénea em presença das fontes quentes de potência F (ϕ,ψ), se na parte esférica da superfícieda semi-bola é dada a temperatura f(ϕ,ψ), e na parte planar é dada corrente de calor g(r, ϕ).

Resolução. O modelo matemático é problema de contorno para equação de Poisson. Pelo (22)temos ∆u = −F (ϕ,ψ)

k . Vamos usar as coordenadas esféricas (r, ϕ, ψ), tal que x = r cosϕ sen ψ,y = r senϕ sen ψ, z = r cosψ, onde 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ψ ≤ π/2. Na parter = R temos condição de fronteira de I espécie u|r=R = f(ϕ,ψ), mas na parte planar ψ = π/2temos condição de II espécie ∂u

∂n

∣∣ψ=π/2

= uψ|ψ=π/2 = g(r,ϕ)k . Mesmo que nos Exercícios 3 e

5, na colocação do problema em coordenadas esféricas aumentemos as condições de fronteira|u|r=0| < ∞ e |u|ψ=0| < ∞. Mais ainda, aumentemos condição de periodicidade de u em relaçãoa ϕ (implica do sentido de coordenada ϕ) u|ϕ=0 = u|ϕ=2π. Estas condições são importantespara completeza da colocação e para resolução do problema. Usando expressão do operador deLaplace em coordenadas esféricas, obtemos, finalmente, o seguinte problema de contorno:

1r2

∂∂r

(r2 ∂u

∂r

)+ 1

r2 sen ψ∂

∂ψ

(senψ ∂u

∂ψ

)+ 1

r2 sen 2ψ∂2u∂ϕ2 = −F (ϕ,ψ)

k , 0 ≤ r < R, 0 < ϕ < 2π, 0 < ψ < π2

|u|r=0| < ∞, u|r=R = f(ϕ,ψ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ψ ≤ π2

u|ϕ=0 = u|ϕ=2π, 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ψ ≤ π2

|u|ψ=0| < ∞, uψ|ψ=π2

= g(r,ϕ)k , 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π

onde k é condutividade térmica.

1.6 Problemas básicos para EDDP: problema de Cauchy e problema misto.

Neste parágrafo vamos apresentar equações básicos de três tipos e problemas de contorno bá-sicos para estas equações, que são utilizados na física matemática, sistematizando e juntandoproblemas físicos concretos considerados nos parágrafos precedentes deste capítulo.

Seja D é domínio em Rn com fronteira parcialmente suave σ, sejam p ∈ C1(D), q, ρ ∈ C(D),tais que p(x) > 0, q(x) ≥ 0, ρ(x) > 0 para qualquer x ∈ D. Vamos usar designações

Ω∞ = (x, t) ∈ Rn+1: x ∈ D, t ∈]0,∞[, ΩT = (x, t) ∈ Rn+1: x ∈ D, t ∈]0, T ] (T > 0)

Vamos considerar simultaneamente dois casos T ∈]0,∞[ e T = ∞. Suponhamos que f ∈ C(ΩT )e vamos usar designação σT = σ × [0, T ] se T < ∞ e σT = σ × [0, T [ se T = ∞.

2.6.1. Problema de Cauchy e problema misto para equação de onda n-dimensional.

Equação de onda n-dimensional é equação do tipo hiperbólico em relação à função u(x, t)onde x é variável do espaço Rn (espaço físico para n = 1, 2, 3) e t é tempo, da forma

ρ(x)utt = div (p(x)∇u)− q(x)u + f(x, t), (24)

tal que, em coordenadas cartesianas div (p(x)∇u) =∑n

k=1∂

∂xk

(p(x) ∂u

∂xk

).

20

A solução regular ou solução clássica da equação (24) é uma função u ∈ C2(ΩT ) ∩ C1(ΩT ),tal que expressão obtido por substituição desta função a (24), se representa identidade em ΩT

(igualdade em C(ΩT )).

O problema de Cauchy para equação (24) coloca-se quando D = Rn, e formula-se assim:

ρ(x)utt = div (p(x)∇u)− q(x)u + f(x, t), (x, t) ∈ ΩT (24)u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ D (25)

A solução regular ou solução clássica do problema de Cauchy é solução regular da equação (24)que satisfaz em D às condições iniciais (25), onde ϕ ∈ C1(D) e ψ ∈ C(D).

O problema misto para equação (24) coloca-se quando D 6= Rn, e respectivamente, σ = ∂D 6=∅. O problema misto formula-se assim:

ρ(x)utt = div (p(x)∇u)− q(x)u + f(x, t), (x, t) ∈ ΩT (24)u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ D (25)Pu|σ = µ(x, t), (x, t) ∈ σT (26)

A solução regular ou solução clássica do problema misto é solução regular da equação (24) quesatisfaz em D as condições iniciais (25), onde ϕ ∈ C1(D) e ψ ∈ C(D) e satisfaz em σT a condiçãode fronteira (26), onde µ é função parcialmente contínua em σT .

A condição de fronteira é escrito na forma geral como funcional P : C1(σT ) → C(σT ). Estacondição pode ter várias formas, em particular, a forma de número finito m das condições lineares

(αk

∂u

∂n+ βku

)∣∣∣∣σ

= µk(x, t), x ∈ σk, t ≥ 0; k = 1, 2, . . . ,m. (27)

Aqui suponhamos que fronteira é partida em número finito das partes suaves σ = tmk=1σk e nas

várias partes podem ser dadas condições de fronteira diferentes, em particular, condições de I, IIou III espécie.

Notemos, que para existência da solução regular do problema de Cauchy ou do problemamisto tem que ser válidas as condições de ligação. Como regra, estas condições tem que darmesmas valores das partes não-homogéneas na intersecção dos condições x ∈ σ e t = 0. Porexemplo, para problema misto (24)–(26) tem que ser válidas condições de ligação:

µ(x, 0) = Pϕ(x), µt(x, 0) = Pψ(x),

visto que Pu(x, t)|t=0 = Pϕ(x) e Put(x, t)|t=0 = Pψ(x) (x ∈ σ).

Exemplo 1.1 Sejam n = 1, D =]0, `[, p, ρ são constantes e f(x, t) = q(x) ≡ 0, T = ∞.Neste caso σ = 0, `. Suponhamos que em (27) m = 1, α1 = α2 = 0, β1 = 1, µ1(t) =

µ(t) sex = 0ν(t) sex = `

. Obtemos o problema misto:

utt = a2uxx, 0 < x < `, t > 0u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ `u|x=0 = µ(t), u|x=` = ν(t), t ≥ 0

(28)

onde a2 = pρ com condições de ligação

ϕ(0) = µ(0), ψ(0) = µ′(0), ϕ(`) = ν(0), ψ(`) = ν ′(0).

O problema (28) descreve vibrações transversais livras de uma corda (ou longitudinais livras deuma barra) se extremidade esquerda tem posição µ(t) e extremidade direita tem posição ν(t).

21

Notemos que nas formas (24)–(25) e (24)–(26) podem ser colocados todos os problemas físicosdas oscilações consideradas nos parágrafos 2.1–2.3: vibrações transversais de uma corda e de umamembrana e vibrações longitudinais de uma barra. Equação de onda e problemas com equaçãode onda descrevem também vários outros problemas: vibrações volumétricas (do gas), vibraçõesacústicas, vibrações eléctricas e etc. Problema de Cauchy e problema misto para equação deonda será considerada no Capítulo 5 "EDDP do tipo hiperbólico".

2.6.2. Problemas de Cauchy e problema misto para equação de condução térmica n-dimensional.

Equação de condução térmica n-dimensional é equação do tipo parabólico em relação à funçãou(x, t) onde x é variável do espaço Rn (espaço físico para n = 1, 2, 3) e t é tempo, da forma

ρ(x)ut = div (p(x)∇u)− q(x)u + f(x, t). (29)

A solução regular ou solução clássica da equação (29) é uma função u : ΩT → R, tal queexpressão obtido por substituição desta função a (29), se representa igualdade em C(ΩT ).

O problema de Cauchy para equação (29) coloca-se quando D = Rn, e formula-se assim:

ρ(x)ut = div (p(x)∇u)− q(x)u + f(x, t), (x, t) ∈ ΩT (29)u|t=0 = ϕ(x), x ∈ D (30)

O problema misto para equação (29) coloca-se quando D 6= Rn, e respectivamente, σ = ∂D 6= ∅.O problema misto formula-se assim:

ρ(x)utt = div (p(x)∇u)− q(x)u + f(x, t), (x, t) ∈ ΩT (29)u|t=0 = ϕ(x), x ∈ D (30)Pu|σ = µ(x, t), (x, t) ∈ σT (31)

A condição de fronteira é escrito na forma geral como funcional P : C1(σT ) → C(σT ). Estacondição pode ter várias formas, em particular, a forma de número finito m das condições lineares(27).

A solução regular do problema de Cauchy do problema misto determinam-se analogamenteao tipo hiperbólico, mas tem particularidades. Estas noções mesmo que condições de ligaçãoserão consideradas no Capítulo 6 "EDDP do tipo parabólico".

Notemos que nas formas (29)–(30) e (29)–(31) pode ser colocado o problema de propagaçãode calor em barra, lâmina ou em corpo (casos n = 1, 2, 3), considerada no parágrafo 2.4. Notemosque mesmos modelos matemáticos descrevam várias processos de difusão, onde valor da funçãoincógnita u(x, t) é concentração de uma substância em solução. Por esta causa as equaçãoparabólica tem duas chamadas sinónimas: equação de condução térmica e equação de difusão.Problema de Cauchy e problema misto para equação de difusão serão considerados no Capítulo6 "EDDP do tipo parabólico".

2.6.3. Problemas de contorno para equações elípticas.

Equação dos processos estacionários n-dimensional é equação elíptico em relação à funçãou(x) onde x é variável do espaço Rn (espaço físico para n = 1, 2, 3), da forma

div (p(x)∇u)− q(x)u = f(x). (32)

O problema de Cauchy e o problema misto para equação (32) são é adequados, visto que u éfunção de n, só variáveis espaciais e falta n + 1-ésima variável tempo. O problema de contorno

22

para equação (32) coloca-se quando D 6= Rn, e respectivamente, σ = ∂D 6= ∅. O problema decontorno pode ser escrita, geralmente, assim:

div (p(x)∇u)− q(x)u = f(x), x ∈ D (32)Pu|σ = µ(x), x ∈ σ (33)

A condição de fronteira é escrito na forma geral como funcional P : C1(σ) → C(σ). Esta condiçãopode ter várias formas, em particular, a forma de número finito m das condições lineares (27),onde µk não dependem do t.

A solução regular do problema de Cauchy do problema misto determinam-se analogamenteao tipo hiperbólico, mas tem particularidades. Estas noções mesmo que condições de ligaçãoserão consideradas no Capítulo 6 "EDDP do tipo parabólico".

Notemos que na forma (32)–(33) podem ser colocados vários problema estacionários (quenão dependem do tempo), em particular, o problema de forma de equilíbrio de uma membranae problema de distribuição estacionária de temperatura em barra, lâmina ou em corpo (casosn = 1, 2, 3), consideradas no parágrafo 2.5. No caso, quando p, q, ρ são constantes, alguns casosda equação (32) tem chamadas especiais:

∆u = 0, ∆u = F (x), ∆u− ku = F (x)

chamam-se equação de Laplace, de Poisson e de Helmholtz, respectivamente. Problemas decontorno para equações elípticas, serão considerados no Capítulo 7 "EDDP do tipo elíptico.

23