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CONFIABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Prof. Luiz Antônio da Fonseca Manso Departamento de Engenharia Elétrica OUTUBRO DE 2006

Confiabilidade SEP

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CONFIABILIDADE DE SISTEMAS ELTRICOS DE POTNCIA Prof. Luiz Antnio da Fonseca Manso Departamento de Engenharia Eltrica OUTUBRO DE 2006i NDICE CAPTULO 1INTRODUO .......................................................................................1 CAPTULO 2NOES DE PROBABILIDADE ........................................................4 2.1Conceitos ...................................................................................................................4 2.2Permutaes e Combinaes ...................................................................................5 2.3Conceitos Prticos de Engenharia ..........................................................................5 2.4Diagramas de Venn ..................................................................................................6 2.5Regras ........................................................................................................................6 2.6Distribuies de Probabilidade ...............................................................................9 CAPTULO 3APLICAO DA DISTRIBUIO BINOMIAL .............................. 16 3.1Conceitos Bsicos ....................................................................................................16 3.2Propriedades da Distribuio Binomial ................................................................ 16 3.3Aplicaes na Engenharia ....................................................................................... 18 CAPTULO 4INTRODUO CONFIABILIDADE DA GERAO .................. 26 4.1Representao a Espao de Estados ......................................................................26 4.2Enumerao de Estados .........................................................................................26 4.3Sistema Teste IEEE-RTS .......................................................................................29 4.4Simulao Monte Carlo .........................................................................................30 4.5Referncias ..............................................................................................................33 CAPTULO 5MODELAGEM DE REDES .................................................................34 5.1Conceitos .................................................................................................................34 5.2Sistema Srie ...........................................................................................................34 5.3Sistema Paralelo ......................................................................................................36 5.4Sistema Srie-Paralelo ............................................................................................37 5.5Sistema Parcialmente Redundante ........................................................................ 38 5.6Sistema Redundante a Postos (standby) ............................................................39 5.7Sistemas Complexos ................................................................................................40 CAPTULO 6DISTRIBUIESDEPROBABILIDADENAAVALIAODA CONFIABILIDADE .............................................................................. 44 6.1Conceitos sobre Distribuio .................................................................................. 44 6.2Terminologia de Distribuies ...............................................................................44 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia ii 6.3Funes Gerais de Confiabilidade .........................................................................46 6.4A Distribuio Exponencial .................................................................................... 48 6.5Avaliao da Confiabilidade usando Distribuies de Probabilidade ................ 51 6.5.1 Sistema Srie ........................................................................................................51 6.5.2 Sistema Paralelo ..................................................................................................52 6.5.3 Sistema Parcialmente Redundante ....................................................................... 54 CAPTULO 7 CADEIAS E PROCESSOS DE MARKOV ..........................................55 7.1Introduo ...............................................................................................................55 7.2Cadeias de Markov .................................................................................................56 7.2.1Matriz de Probabilidade de Transio Estocstica ...........................................57 7.2.2Avaliao da Probabilidade Dependente do Tempo ..........................................58 7.2.3Avaliao da Probabilidade Limite dos Estados ................................................ 59 7.2.4Estados Absorventes ...........................................................................................60 7.3Processos de Markov ..............................................................................................62 7.3.1Taxas de Transio .............................................................................................63 7.3.2Avaliao da Probabilidade Dependente do Tempo ..........................................64 7.3.3Avaliao da Probabilidade Limite dos Estados ................................................ 66 7.3.4 Diagramas de Espao de Estado .........................................................................67 7.3.5Matriz de Transio Estocstica ........................................................................69 7.3.6Tempo Mdio para a Falha ................................................................................71 7.3.7Avaliao de Sistemas Complexos ......................................................................73 CAPTULO 8NDICES DE FREQNCIA E DURAO .....................................74 8.1Introduo ...............................................................................................................74 8.2Conceitos sobre Freqncia e Durao .................................................................74 8.3 Freqncia Individual .............................................................................................76 8.4Freqncia Acumulada ........................................................................................... 78 8.5Balano e Desbalano em Freqncia ...................................................................80 8.6Avaliao de ndices F&D atravs da Representao a Espao de Estados .....80 8.7Referncias ..............................................................................................................82 CAPTULO 9REPRESENTAO CRONOLGICA .............................................83 9.1Introduo ...............................................................................................................83 9.2Simulao Monte Carlo Seqencial.......................................................................84 9.3Referncias ..............................................................................................................86 APNDICE ......................................................................................................................87 1 CAPTULO 1:Introduo Emnossasociedademoderna,osengenheirossoresponsveispeloplanejamento, projetoeconstruodeprodutosquevodesimplesaparelhosasistemasextremamente complexos (e neste caso inclui-se tambm a sua operao). A falha destes, pode causar efeitos que vo da inconvenincia e irritao a impactos bastante severos para a sociedade e meio ambiente.Portanto,fundamentalsaberoquoconfivelesegurosoosprodutosque utilizamos. Astcnicasdeavaliaodaconfiabilidade,inicialmentevoltadassindustrias militares e aeroespaciais, encontraram grande aplicao nas usinas nucleares, no setor eltrico e nos processos de fabricao contnuos (siderurgia e qumica). Em todos estes casos as falhas implicamemconseqnciasquepodemserbastanteseverasparaasociedadee/oumeio ambiente. Atualmente, as tcnicas de confiabilidade so tambm empregadas na fabricao de aparelhos eletrodomsticos, automveis, etc., que quando falham tm, individualmente, um efeito scio-econmico relativamente pequeno. Basicamente tais tcnicas devem de alguma maneira avaliar o comportamento futuro dos equipamentos e sistemas. O perodo futuro pode variar de segundos (mssil terra-ar) a dcadas (geradores eltricos). Em qualquer caso, devido natureza estocstica das falhas e de outros parmetros, o problema no determinstico. A teoriadasprobabilidades, embora inteiramente necessria, no suficiente para predizer a confiabilidade de um sistema. Tambm necessrio um completo entendimento do sistema, da forma como operado, como falha e do ambiente ao qual est sujeito. Definio:existemvrias.Amaisamplamenteaceita:Confiabilidadea probabilidade de um dispositivo desempenhar seu propsito adequadamente durante o tempo desejado,sobascondiesoperativasencontradas.Nestadefinioexistemquatro parmetrosimportantes:probabilidade,desempenhoadequado,tempoecondiesde operao. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 2 Ateoriadasprobabilidadesforneceosprincpioseastcnicasmatemticaspara avaliar numericamente a confiabilidade.. Os outros trs parmetros: desempenho adequado, tempoecondiesdeoperao,estodiretamenterelacionadosengenharia.Geralmente, somente o engenheiro responsvel por um determinado sistema pode fornecer informaes (consistentes) deste tipo. Naavaliaodaconfiabilidadesoobtidosdiversosndicesdeconfiabilidade. Portanto, o termo confiabilidade freqentemente usado como um termo geral para todos estes ndices, no estando associado somente ao conceito de probabilidade. No existe uma tcnica ou frmula geral de avaliao da confiabilidade. O mtodo de avaliao depender do problemaemquestoedashiptesesaseremutilizadasparaasuamodelagem.Assima validadedaanlisedeconfiabilidadedeumsistemaestdiretamenterelacionadacoma validade do modelo usado para representar o sistema. A definio de um nvel adequado de confiabilidade uma tarefa difcil pois depende do sistema e das conseqncias associadas aos diversos modos de falha. Em muitos casos no importante definir um nvel absoluto de confiabilidade e sim o quanto a confiabilidade de um sistema melhorada por dollar investido. Portanto, o objetivo definir onde o prximo dollardeveserinvestido no sistema para propiciar o mximo de benefcios em termos de confiabilidade. Umprodutoousistematemumaconfiabilidadeinerentecriadaduranteafasedo projeto.Estaconfiabilidadepodeserdeterioradasenoexistirumperfeitocontrolede qualidade.Apsaconstruodoequipamentoousistema,aconfiabilidadepodeser facilmente degradada por operaes indevidas ou baixa qualidade da manuteno. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 3 Nveishierrquicosdeumsistemadepotncia:umsistemadepotnciapodeser dividido em zonas funcionais de gerao, transmisso e distribuio. Estas zonas podem ser combinadas para formar trs nveis hierrquicos para a anlise de confiabilidade, conforme figura abaixo. Nos mtodos de avaliao da confiabilidade da gerao (NH1) toda a carga e toda a gerao esto concentradas numa nica barra. Portanto, as limitaes no transporte de energia pela rede de transmisso so ignoradas, permitindo uma simples comparao entre a gerao disponvel e a carga momentnea. Para a avaliao da confiabilidade composta, i.e. de sistemas compostos de gerao e transmisso (NH2) necessrio representar as limitaes impostas pela rede de transmisso. Para isto so utilizados algoritmos de fluxo de potncia incluindo rotinas de otimizao de medidas corretivas (i.e. redespacho de potncia, ajustes de taps de transformadores, etc. e por fim o corte de carga). A avaliao integrada da confiabilidade de um sistema de potncia, incluindo gerao transmissoedistribuio(NH3)temsidopoucoinvestigada.Emgeral,osestudosde confiabilidadeemsistemasdedistribuiosorealizadosconsiderandoosistemaG&T (gerao e transmisso) representado por pontos de fornecimento com capacidade ilimitada e 100% confiveis. Gerao Transmisso Distribuio Nvel Hierrquico 1-NH1 Nvel Hierrquico 2-NH2 Nvel Hierrquico 3-NH3 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 4 CAPTULO 2:Noes de Probabilidade 2.1Conceitos Experimento: ao descrevermos um experimento, deveremos especificar que operao ou procedimento deva ser realizado, assim como o que deva ser observado. Ex.: J ogue uma moeda quatro vezes e observe o no. de caras. Eventos: conjunto de resultados possveis ou subconjunto do espao amostral. Probabilidade:definequantitativamenteapossibilidadedeumoumaiseventos ocorrerem. Varia entre ZERO (impossibilidade absoluta) e UM (certeza absoluta). 0 0,51 Figura 2.1 Escala de Probabilidade Se os resultados (eventos) de um experimento so classificados em sucesso e falha, tem-se: Ses = no. de sucessosef = no. de falhas, ento: ep + q = 1 Ex. 2.1: Qual a probabilidade de se obter cara (ou coroa) em um nico lance de uma moeda? s = f = 1 eP(cara) = P(coroa) = 1/2 possveis resultados de no. sucessos de no.sucesso P = ) (possveis resultados de no.falhas de no.falha P = ) (f ssp sucesso P+= = ) (f sfq falha P+= = ) (Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 5 Ex.2.2:Avalieaprobabilidadedeseobtercara(aomenosumavez)emdoislances consecutivos. s:cara/cara ; cara/coroa ; coroa/cara= 3 f:coroa/coroa=1 431 33) ( =+= s Ppara mais lances .... Ex.: 2.3: Considere 2 dados e a probabilidade de se obter um total de 9 pontos em um nico lance. Sucesso:(3+6) ; (4+5) ; (5+4) ; (6+3)=> 4 maneiras O no. total de resultados 6x6 =36, portanto 91364) 9 ( = = pontos P 2.2Permutaes e Combinaes Nosexemplosanterioresusamosaclassificao(sef)econtagemdosestados (possveis realizaes do experimento). Em alguns problemas pode-se utilizar os conceitos de permutao =)! (!r nnPr n e combinao =)! ( !!r n rnCr n. 2.3Conceitos Prticos de Engenharia Em problemas prticos no possvel determinar a probabilidade de sucesso ou falha apartirdoconhecimentodageometriadoobjetooudaespecificaomatemticado problema.Nestecaso,asprobabilidadessoavaliadasatravsdaevidnciaexperimental, utilizando o conceito de freqncia relativa. = nfocorrer evento particular um de Pnlim) (sendo: n = nmero de repeties do experimento f = nmero de ocorrncias do evento Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 6 Quantomaiorforotamanhodaamostra(n)melhorseraestimativaparaa probabilidade acima. Indisponibilidade (unavailability): probabilidade de se encontrar um elemento de um determinado equipamento ou sistema fora de operao (onoutage) ou falha em um tempo futuro. 2.4Diagramas de Venn 2.5Regras Regra 1 Eventos independentes Doiseventossoditosindependentesseaocorrnciadeumeventonoafetaa probabilidadedeocorrnciadooutroevento.Olanamentodeumdadonointerfereno resultado do lanamento de uma moeda. Regra 2 Eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos) Eventos que no podem ocorrer ao mesmo tempo. Ex.: as faces de uma moeda. operao em tempo falha ouoperao de fora tempofalha ouoperao de fora tempoilidade indisponib+=S A B A e B: eventos S:espao amostral SAB Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 7 Regra 3 Eventos complementares Se um evento (A) no ocorre o outro (B) necessariamente ocorre. Ento: P(A) +P(B) =1 ou P(B) =P( A ) Eventos complementares so tambm mutuamente exclusivos. Porm, o inverso no verdadeiro. Regra 4 Eventos condicionais Soeventosqueocorremcondicionadosocorrnciadeoutro(s)evento(s).A probabilidade condicional de A ocorrer dado que B tenha ocorrido dada por: Ento:( )( )) (B PB A PB A P= e( )( )) (A PB A PA B P= Regra 5 Eventos de ocorrncia simultnea( ) B A i) eventos independentes Aprobabilidadedecadaeventonoinfluenciadapelaprobabilidadede ocorrncia de outro: ( ) () A P B A P =e ( ) () B P A B P =logo:( ) ( ) ) ( ) ( B P A P AB P B A P = = Para n eventos independentes Ai: ( )==nii n iA P A ... A ... A A P12 1) ( B AB ocorrer de maneiras de no.B e A ocorrer de maneiras de no.B A P = ) (Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 8 ii) eventos dependentes A probabilidade de ocorrncia de um evento influenciada pela probabilidade de ocorrncia do outro: ( ) () A P A B P B P B A P AB P = = ) ( ) ( ) ( Regra 6 Ocorrncia de pelo menos um de dois eventos Ocorrncia de A ou B ou ambos: () ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P B A P + = + = i) eventos independentes e no mutuamente exclusivos () B P A P AB P = ) ( ) (() ) ( ) ( ) ( ) ( B P A P B P A P B A P + = + ii) eventos mutuamente exclusivos 0 ) ( = AB P() B P A P B A P + = + ) ( ) (Para n eventos mutuamente exclusivos Ai: ( )==nii n iA P A ... A ... A A P12 1) ( iii) eventos dependentes ()) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (A P A B P B P A P B P B A P B P A P B A P B P A P B A P B A P + = + = + = + = Regra 7 Aplicao da probabilidade condicional SeumeventoAestcondicionadoocorrnciadeumconjuntodeeventosB mutuamente exclusivos, ento: ( ) ) ( ) (i i iB P B A P AB P =( ) = = = =nii iniiB P B A P AB P A P1 1) ( ) ( ) (B2 AB1B3 B4B5Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 9 Teorema de Bayes: Se ( )) () () () () (A PB P B A PA PAB PA B Pi i ii= = , ento: ( )) ( ) () () (1jnjji iiB P B A PB P B A PA B P== Exemplo: O mercado de um certo equipamento dividido entre dois fabricantes F1 e F2 que possuem 70% e 30%, respectivamente. O padro mnimo de qualidade (pqm) alcanado por 90% dos equipamentos F1 e 80% de F2. i)Para cada 100 equipamentos comprados no mercado quantos tero o pqm? ii) Se o equipamento possui o pqm qual a probabilidade dele ser fabricado por F2? Definindo A = o equipamento possui o pqm B1= o equipamento fabricado por F1 B2= o equipamento fabricado por F2 Teremos: P(B1) =0,7 ; P(B2) =0,3 ; P(A/B1) =0,9 ; P(A/B2) =0,8 i)P(A) =0,9x0,7 +0,8x0,3 =0,87=> De cada 100 equipamentos comprados, em mdia, 87 tero o pqm. ii) P(B2)/A) =P(A/B2)xP(B2)/P(A) =0,8x0,3/0,87 =0,276=> P(B1/A) =0,724 2.6Distribuies de Probabilidade VarivelAleatria(va): Sejam um experimento e S um espao amostral associado ao experimento. Uma funo X, que associe a cada elemento s S um nmero real, X(s), denominada varivel aleatria. O parmetro medido ou observado de um determinado evento (ex.: taxa de falha de umcomponente,duraodotempodereparo,valordeumresistor,temperaturadeum equipamento, esforo mecnico de um componente, etc.) uma varivel aleatria. S s X(s)XConfiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 10 Uma varivel aleatria pode ser discreta (no. discretos de estados ou no. contvel de valores) ou contnua (no. infinito de estados ou no. incontvel de valores). Exemplos: o lance de um dado tem 6 estados possveis, j uma corrente eltrica que pode assumir qualquer valor entre 5 e 10 ampres, tem um nmero infinito de estados possveis. Funesdedistribuioedensidade:Umamquinacortavergalhesdeaoem comprimentos de aproximadamente 6 metros. Tomando aleatoriamente uma amostra de 20 vergalhes, um engenheiro de controle de qualidade mede os seguintes comprimentos: 5,97; 5,97; 5,98; 5,98; 5,98; 5,99; 5,99; 5,99; 5,99; 5,99; 6,00; 6,00; 6,00; 6,00; 6,00; 6,01; 6,01; 6,02; 6,02; 6,02 metros. i) distribuio de freqncia representando graficamente essas medidas (dados) na forma de freqncia de ocorrncia versus o valor da medida (comprimento do vergalho) tem-se uma distribuio de freqncia: ii) histograma de freqncia um mtodo alternativo de representar graficamente as medidas de comprimento agrupar tais valores em conjuntos com valores prximos. Isto convenienteseaquantidadededadosrelativamentegrande.Obtenhaumhistogramade freqncia agrupando as medidas nas faixas: 5,965 5,985; 5,985 6,005 e 6,005 6,025. 5,97 5,985,99 6,006,016,02 metros 5 4 freq. 3 2 1 0 0.25 0.20 0.15 prob. 0.10 0.05 0 5,97 5,985,99 6,006,016,02 metros

10 8 freq. 6 4 2 0 0.5 0.4 0.3 prob. 0.2 0.1 0 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 11 Aescalarelativafreqnciadeocorrnciapodeserdivididapelotamanhoda amostra (20 medidas), tornando-se uma escala de probabilidades. Como todos os resultados possveis do espao amostral considerado foram includos, a soma das probabilidades deve ser igual a 1: 1 ) (1 1= = = =niiniip X P onde Xi a varivel aleatria: tamanho do vergalho. iii) funo distribuio de probabilidade (acumulada) obtida pela ordenao da va emordemcrescente(oudecrescente)devalores,comeandocomaprobabilidadede ocorrnciadomenor(oumaior)valor,somandoseqencialmente(acumulando)as probabilidadesdeocorrnciadecadavalorordenado.Construaogrficodafuno distribuio para a amostra de 20 vergalhes. Estetipodedistribuioforneceaprobabilidadedeumavasermenorouiguala algum valor predefinido. Ex.: a probabilidade do comprimento do vergalho de ao ser menor ou igual a 5,99 0,5. A funo de distribuio de uma va X definida por: FX(x) = P{X x} Para o caso de va contnuas a funo distribuio de probabilidade acumulada ser uma funo tambm contnua e no decrescente. FX(x) 1,0 x 5,97 5,985,99 6,006,016,02 metros

1.0 0.8 prob.0.6 0.4 0.2 0 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 12 Note que se x1 paralelo na confiabilidade) Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 20 Conhecidososcritriosdesucesso(oudefalha),osvaloresdeprobabilidadedos estadosmostradosnatabelaanteriorsocombinadosapropriadamenteparadara probabilidade de sucesso ou confiabilidade R do sistema e a probabilidade de falha ou no-confiabilidade Q do sistema. Tomando o critrio (ii) como exemplo: R = 0,6561 + 0,2916 = 0,9477 Q = 0,0486 + 0,0036 + 0,0001 = 0,0523 = 1 - R VejanatabelaabaixocomovariamosparmetrosReQemfunodono.de componentes (1 NC 6) e do no. de componentes requerido para sucesso do sistema (NSUC). NSUC NC 6 54 . . . 1 RQRQRQ. . .RQ 60,5314410,468559----. . .-- 50,8857350,1142650,590490,40951--. . .-- 40,9841500,0158500,918540,081460,65610,3439. . .-- 30,9987300,0012700,991440,008560,94770,0523. . .-- 20,9999450,0000550,999540,000460,99630,0037. . .-- 10,999990,0000010,999990,000010,99990,0001. . .0,90,1 Veja que (valores sublinhados), para sistemas sem redundncia, a confiabilidade (R) decresce com o aumento do no. de componentes (NC). J para sistemas com redundncia (valores em negrito), a confiabilidade cresce com o aumento do no. de componentes (NC). Em alguns casos o critrio anteriormente usado, baseado no nmero de componentes, substitudo por outro baseado na capacidade do componente (que pode, por exemplo, ser expressaporumpercentualemrelaocapacidadedesadadosistema).Isto particularmente til em problemas envolvendo fluxos. EstadosIntermedirios: Anteriormente foi assumido que os estados de um sistema podem ser combinados para formar um sistema de 2 estados no qual um grupo de estados classificado como sucesso e o outro como falha. Este mtodo despreza o fato que, na prtica, alguns dos estados do sistema podem no cair em qualquer um desses grupos. Por exemplo, o sistemadegeraodeenergiaeltricapodeoperarcomcapacidademxima(todasas unidades disponveis), capacidade zero (nenhuma unidade disponvel) ou com capacidades intermedirias devido a uma falha parcial do sistema (algumas unidades indisponveis).Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 21 Estetipodeproblemapodeserresolvidoatravsdaconstruodeumatabelade probabilidade da capacidade indisponvel (ou disponvel) usando a distribuio binomial. Esta tabela usualmente referida por COPT - capacity outage (available) probability table. Exemplo: Um parque de gerao est sendo projetado para satisfazer uma carga constante de 10 MW. Quatro alternativas esto sendo consideradas: (a) 1 x 10 MW, (b) 2 x 10 MW, (c) 3 x 5 MW e (d) 4 x 3 1/3 MW A primeira alternativa tem redundncia zero, enquanto que as outras 3 alternativas tm uma unidadedereservaacimadonveldedemandade10MW.Aprobabilidadedefalha individual para todas as unidades a mesma e igual a 0,02. Na maioria das aplicaes em engenhariaestaprobabilidadedenominadaindisponibilidadedaunidade.Emestudosde avaliao da capacidade geradora tal indisponibilidade conhecida por taxa de sada forada (FOR forced outage rate). Neste exemplo a disponibilidade igual a 0,98. COPT Unidades Indisponveis Capacidade (MW) IndisponvelDisponvel Probabilidade Individual (a)1 unidade de 10 MW 0 1 0 10 10 0 0,98 0,02 (b)2 unidades de 10 MW 0 1 2 0 10 20 20 10 0 0,982 =0,9604 20,980,02 =0,0392 0,022 =0,0004 (c)3 unidades de 5 MW 0 1 2 3 0 5 10 15 15 10 5 0 0,983 =0,941192 0,057624 0,001176 0,000008 (d)4 unidades de 3 1/3MW 0 1 2 3 4 0 3 1/3 6 2/310 13 1/3 13 1/3 10 6 2/3 3 1/3 0 0,984 =0,92236861 0,07529536 0,00230496 0,00003136 0,00000016 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 22 AstabelasCOPTsmostradasacimafornecemumaindicaodasprovveis deficincias da capacidade geradora de cada alternativa, mas no indicam a confiabilidade relativa.Paraistonecessriorelacionaressastabelasaosrequisitosdosistema.Neste exemplo o requisito satisfazer a demanda de 10 MW. Portanto, deve-se avaliar a quantidade decargaquenoatendida(perdadecarga)considerandocadaestadodegeraoesua probabilidade de ocorrncia (j obtida nas COPTs). Para isto define-se uma va: corte de carga ou potncia no suprida, cujo valor esperado um parmetro de extrema importncia. Aavaliaodapotnciaesperadanosuprida(EPNSExpectedPowernot Supplied)mostradanatabelaaseguir.Atravsdestatabelapossvelfazeruma comparaoentreosmritosrelativosacadaalternativa.BaseadosomentenaEPNSa alternativa(b),i.e.2unidadesde10MW,amaisindicada.Entretanto,talconcluso desprezaoaspectoeconmico.Paratalassumaqueoscustosdasinstalaesso CapacidadeIndisponvel (MW) ProbabilidadePerda de Carga (MW) EPNS (MW) (a)1 unidade de 10 MW 0 10 0,98 0,02 0 10 0 0,2 0,2 MW (b)2 unidades de 10 MW 0 10 20 0,9604 0,0392 0,0004 0 0 10 0 0 0,004 0,004 MW (c)3 unidades de 5 MW 0 5 10 15 0,941192 0,057624 0,001176 0,000008 0 0 5 10 0 0 0,00588 0,00008 0,00596 MW (d)4 unidades de 3 1/3MW 0 3 1/3 6 2/3 10 13 1/3 0,92236861 0,07529536 0,00230496 0,00003136 0,00000016 0 0 3 1/3 6 2/3 10 0 0 0,00768320 0,00020907 0,00000160 0,00789387 MW Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 23 proporcionaiscapacidadetotalinstalada.Atabelaabaixomostraocustoparacada alternativa considerando que 10 MW representa 1 pu de custo. Porm, fica a pergunta: como comparar confiabilidade (via ndice EPNS) e custo de investimento ($)? AlternativaEPNS(MW)Custo(pu) 1 10 MW0,200001,00 2 10 MW0,004002,00 3 5 MW0,005961,50 4 3 1/3 MW0,007891,33 O ndice de confiabilidade potncia esperada no suprida EPNS indica a quantidade decargaque,emmdia,nopodersersuprida.Porm,nofornecenenhumaindicao quanto ao no. esperado de horas em que ocorrem cortes de carga. Isto pode ser obtido via ndice LOLE Loss of Load Expectation. Para o clculo da LOLE necessrio obter (somar) a probabilidade de haver corte de carga total ou parcial (LOLP Loss of Load Probability). Tendoemmentequeoconsumodeenergiaocorre8760horasporano(h/ano),basta multiplicar a LOLP por este no. para se obter a LOLE. Um outro ndice de confiabilidade, a EENSExpectedEnergynotSupplied,representa o volume de energia no suprida para o perododeestudo(e.g.1ano),sendoobtidoatravsdoprodutodaEPNSpelono.8760 (h/ano). A tabela a seguir apresenta os ndices LOLP, LOLE, EPNS e EENS obtidos para as quatro alternativas de gerao. Alternativa LOLP LOLE(h/ano) EPNS(MW) EENS(MWh/ano)1 10 MW0,020000175,2000,200001752,00 2 10 MW0,0004003,5040,0040035,04 3 5 MW0,00118410,3720,0059652,21 4 3 1/3 MW0,00233620,4680,0078969,12 Lembrando: LOLE = LOLP 8760 h/ano EENS = EPNS 8760 h/ano Faaumaanlisequantosvantagensedesvantagenspertinentesacadaumdos ndices apresentados. Pense nas informaes (e perda de informao) que eles nos fornecem. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 24 Efeitos da Indisponibilidade: a indisponibilidade das unidades geradoras (FOR) um parmetrodefundamentalimportncianaavaliaodaconfiabilidade.Comoexemplo, apresentada a tabela a seguir, contendo a EPNS para as quatro alternativas em questo e para diferentes indisponibilidades: 2%, 4% e 6%. A partir destes resultados pode-se verificar a necessidadedeseobservarocomportamentoalongoprazodaconfiabilidadedeuma instalao e seus componentes. Alternativa EPNS(MW) FOR = 2%FOR = 4%FOR = 6% 1 10 MW0,200000,400000,60000 2 10 MW0,004000,016000,03600 3 5 MW0,005960,023680,05292 4 3 1/3 MW0,007890,031120,06909 CapacidadesDiferentes:considere2unidadesde20MWe1de30MW.Cada unidade tem FOR =0,1. Para resolver este problema necessrio obter duas COPTs: uma para o par de unidades de 20 MW (COPT1) e outra para a unidade de 30 MW (COPT2). A COPT do sistema obtida pela convoluo das duas COPTs: COPTSISTEMA = COPT1 * COPT2. COPT1 2x20 MWCapacidade Indisponvel (MW)Probabilidade COPT2 1x30 MWCapacidade Indisponvel (MW)Probabilidade 0 20 40 0.92 =0,81 20,90,1 =0,18 0,12 =0,01 =1,0 0 30 0,9 0,1 =1,0 COPTSISTEMA Capacidade Indisponvel (MW)Probabilidade 0 20 30 40 50 70 0,810,9 =0,729 0,180,9 =0,162 0,810,1 =0,081 0,010,9 =0,009 0,180,1 =0,018 0,010,1 =0,001 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 25 IndisponibilidadesDiferentes:considereocasoemquetodasasunidadestema mesma capacidade e indisponibilidade. Ento, pode-se utilizar a distribuio binomial: (p + q)n = (p + q) (p + q). . . (p + q) Se p e q so diferentes para cada unidade, ento: (p1 + q1) (p2 + q2) . . .(pi + qi). . .(pn + qn) Uma expanso da expresso acima produziria uma equao que similar em conceito expanso binomial. Porm, a expresso acima s pode ser expandida e usada diretamente se o no. de unidades relativamente pequeno. Em vez disso, a tcnica utilizada no exemplo anteriorpodeserempregada.Destemodo,oprimeiropassocombinartodasunidades idnticas via distribuio binomial. So, ento, formados grupos de unidades idnticas que podem ser combinados conforme exemplo anterior (via convoluo). Exerccio 3.4: Refaa o exemplo anterior considerando uma indisponibilidade (FOR) igual a 0,15 para a unidade de 30 MW. COPTSISTEMA Capacidade Indisponvel (MW)Probabilidade 0 20 30 40 50 70 0,810,85 =0,6885 0,180,85 =0,1530 0,810,15 =0,1215 0,010,85 =0,0085 0,180,15 =0,0270 0,010,15 =0,0015 Exemplo 3.5: Considere que o sistema do Exemplo 3.4 deve atender a uma carga constante e igual a 40 MW. Calcule LOLP, LOLE, EPNS e EENS. CapacidadeIndisponvel (MW) ProbabilidadePerda de Carga (MW) EPNS (MW) 0 20 30 40 50 70 0,6885 0,1530 0,1215 0,0085 0,0270 0,0015 0 0 0 10 20 40 0 0 0 0,085 0,540 0,060 0,685 MW Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 26 CAPTULO 4:Introduo Confiabilidade da Gerao Vimos ao final do captulo anterior como obter alguns ndices de confiabilidade de sistemasdegeraoutilizandoCOPTs.Nestecaptulo,sointroduzidosdoismtodosde avaliaobaseadosnarepresentaoaespaodeestados,cujosconceitosprincipaisso apresentados a seguir. 4.1Representao a Espao de Estados Cada estado de um sistema de potncia pode ser representado por um vetor x =(x1, x2, ...,xm), onde xi o estado do i-simo componente [PPCO90]. Cada componente de xdeve corresponderaumelementodosistema(geradores)ouaonvelmomentneodacarga.O espaodeestados,ouseja,todasaspossveisrealizaesdexdenotadoporX.Acada estadoxXassociadaumprobabilidadedeocorrnciaP(x).Seasfalhasdecada componente e as transies da carga so estatisticamente independentes, P(x) fica igual ao produto das probabilidades associadas com o estado de cada componente e da carga. Estabelecidos os conceitos preliminares acima, os ndices de confiabilidade so ento obtidos a partir do clculo do valor esperado de vrias funes teste F(x): [ ] () () E F F x P xx X= (4.1) Oobjetivodestasfunestesteverificarse,e/oudequeforma,umadeterminada configurao de geradores capaz de suprir uma dada carga. 4.2Enumerao de Estados O clculo de E[F] realizado atravs dos trs passos dados a seguir [PB92]: selecione (enumere) cada estado x X; calcule F(x); acumule em um somador o valor F(x)P(x). Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 27 Como o nmero de estados cresce exponencialmente com o nmero de componentesdovetordeestadosx(paramcomponentesonmerodeestadosdexser2m),deve-se enumerarapenasumsubconjuntoXXecalcularoslimitesinferior(lower)esuperior (upper) das estimativas, conforme expresses (4.2) e (4.3) dadas a seguir: [] ( )( )( ) ( )E F F x P x F P Xlower lowerx X= + 1''(4.2) [] ( )( )( ) ( )E F F x P x F P Xupper upperx X= + 1''(4.3) ondeP(X)aprobabilidadeacumuladadosestadosxX,eFlowereFupperso, respectivamente, limites inferior e superior estimados para F(x) sendo x X. Tomando a avaliao da LOLP como exemplo, Flower pode ser feita igual a zero (no h corte de carga para todos os estados no pertencentes a X) e Fupper ser ento igual a um. Por conseguinte: ( )( ) LOLP F x P xlowerx X='(4.4) ( ) ( ) LOLP LOLP P Xupper lower= + 1 ' (4.5) Ovalor( ) ( ) 1 P X' ,correspondentediferenaentreasestimativaslimitesparaa LOLP, definidas acima, relacionado com a probabilidade acumulada dos estados x X, ou seja, com a soma das probabilidades dos estados no examinados. Se esta muito pequena, i.e. se a probabilidade acumulada dos estados x X significativamente prxima de um, possvel obter uma boa estimativa para a LOLP com baixo esforo computacional. O mtodo da enumerao de estados conceitualmente atrativo, pois corresponde a uma extenso direta da anlise de contingncias (Critrio N-1). Entretanto, sua aplicao na avaliaodaconfiabilidadecompostatorna-semenosindicadanamedidaemquea probabilidadedoespaodeestados,devidoselevadasindisponibilidadesdosgeradores, torna-se mais dispersa. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 28 Exemplo 4.1: Considere um sistema formado por 2 unidades de 20 MW (com FOR =0,1) e 1 unidadede30MW(comFOR=0,15).CalculeosndicesLOLP,LOLE,EPNSeEENS apresentados por este sistema, ao atender uma carga de 40 MW. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 29 4.3Sistema Teste IEEE-RTS OsistemaIEEEReliabilityTestSystem[APM79]possui32unidadesgeradoras, distribudas entre 14 usinas, perfazendo uma capacidade total instalada de 3405 MW. O pico anual da carga equivale a2850 MW. Os dados relativos s unidades geradoras so apresentados na tabela abaixo. UsinaUnidades FOR (%) Pot. Ativa(MW) Min.Max. 15 2 6. 00 12. 00 22 10 10. 00 20. 00 32 10 10. 00 20. 00 42 2 30. 00 76. 00 52 2 30. 00 76. 00 63 4 60. 00 100. 00 71 4 80. 00 155. 00 81 4 80. 00 155. 00 92 4 80. 00 155. 00 103 5 80. 00 197. 00 111 8 150. 00 350. 00 121 12 200. 00 400. 00 131 12 200. 00 400. 00 146 1 16. 00 50. 00 Exerccio:Comopodeserverificadoestesistemasuportatodaequalquercontingncia simples. Somente algumas poucas contingncias duplas produzem corte de carga. Baseado nestasobservaesestimendicesdeconfiabilidadeutilizandoocritrioN-2,i.e.at contingncia de segunda ordem. Exerccio: Faa um algoritmo para o clculo de ndices de confiabilidade atravs do mtodo da enumerao, capaz de considerar contingncias triplas. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 30 4.4Simulao Monte Carlo Sero vistos neste captulo apenas os conceitos bsicos do mtodo de Monte Carlo e suaaplicaoaoclculodendicesdeprobabilidadeeenergiaparasistemasdegerao, utilizandoarepresentaoaespaodeestados(simulaoMonteCarloNo-Seqencial) [PB92].Aobtenodendicesdefreqncia e durao (F&D) e de custo de interrupo, assim como a representao cronolgica (simulao Monte Carlo Seqencial) [S90, M94], deixada para o final deste curso. Lancedeumamoeda: sabe-se que a probabilidade de dar cara ou coroa 0,5. Estas probabilidadespodemserestimadasusandooconceitodefreqnciarelativa.Faauma simulao usando 20 lances da moeda. Voc poder concluir que: i)um no. pequeno de lances produz estimativas pobres para as probabilidades (cara e coroa); ii) os valores estimados oscilam mas tendem para 0,5 (valor correto); iii) o valor correto pode ser obtido diversas vezes durante a simulao; iv) necessrio definir quando se deve interromper o processo de simulao. Simulao: Quando um sistema real examinado, a ocorrncia de eventos segue o comportamentoinerentedoscomponentesevariveiscontidasnosistema.Quandoeste sistemasimulado,aocorrnciadeeventosdependedosmodelosedistribuiesde probabilidade usados para representar os componentes e variveis. Geraodenos.pseudo-aleatrios: um computador usa algoritmos determinsticos conhecidos como random number generators, para gerar nos. pseudo-aleatrios seguindo uma distribuio uniforme. Tais geradores devem ter: i)aleatoriedade e distribuio uniforme; ii) um perodo grande at que a seqncia se repita; iii) capacidade de reproduzir a mesma seqncia (usando a mesma semente). Conversodenos.aleatriosuniformesmtododatransformaoinversa: seja uma v.a. x seguindo uma distribuio exponencial: xe x f = ) ( e xe X F =1 ) ( Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 31 Fazendo U = F(X) = 1 e-x, onde U uma distribuio uniforme, teremos: o distrribui mesma a tm U - 1 e UpoisU U X , ln1) 1 ln(1 = = Caso de uma v.a. uniforme: Caso de uma v.a. binomial: Exemplo:UsandoafunoRandomdesuacalculadora,obtenhaumaestimativaparaa probabilidade de se obter cara em um lanamento de uma moeda. Lembre-se que para este experimentoP(s)= P(f)= p= q= .Faa10repetiesdoexperimentoeestimea probabilidade de dar cara por: P(H) =(no. de caras)/(no. de sorteios). 1,0 F(X) x 0 Ui xi 1,0 F(X) x 0 ab Ui xi 1,0 F(X) x0 fs q Ui Uj Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 32 Devemos utilizar a seguinte funo teste para avaliar o experimento. >>MTTR, portanto MTTF MTBF. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 51 6.5Avaliao da Confiabilidade usando Distribuies de Probabilidade 6.5.1 Sistema Srie Se probabilidades dependentes do tempo so consideradas, a confiabilidade do sistema torna-se uma funo do tempo. Portanto, para 2 componentes em srie tem-se: RS(t) = R1(t)R2(t) ou =t tdt t dt tSe e t R0201) ( ) () ( (6.13) Para um sistema srie formado por n componentes com taxas de falha 1(t), 2(t), ..., n(t), tem-se: ==nidt tStie t R1) (0) ((6.14) As equaes 6.13 e 6.14 se aplicam a qualquer tipo de distribuio de falha, assim como no assumem que todos os componentes tenham a mesma distribuio. Portanto, cada componentedosistemapodeserrepresentadoporsuacorretadistribuio. Consequentemente,dadoqueaexpressoi(t)conhecidaequepodeserintegrada,a avaliao de RS(t) para qualquer conjunto de componentes sries prontamente obtida. Se a expressodei(t)nopodeserexpressaanaliticamente,tcnicasdeintegraonumrica devem ser usadas na avaliao de RS(t). No caso especial da distribuio exponencial, as equaes 6.13 e 6.14 ficam: t t tSe e e t R) (2 1 2 1) ( + = = (6.15) === =niiit nitSe e t R11) ((6.16) As equaes 6.13 a 6.16 so vlidas para qualquer sistema que possa ser descrito por um sistema srie, isto , qualquer sistema em que todos os componentes devem operar para o seu sucesso. Se tais sistemas forem representados por um nico componente equivalente, com taxa e(t), a expresso de RS(t) para o caso geral ser: Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 52 = = == = = =t niinitititedt t dt tnidt t dt tSe e e e t R0 1 1 0 0 0) ( ) (1) ( ) () ( logo: ==nii et t1) ( ) ( No caso em que todas as distribuies so exponenciais (i.e., i(t) = i): ==nii e1 Exemplo:Um circuito eletrnico formado por 6 transistores (t =10-6 f/h), 4 diodos (d =0,510-6 f/h), 3 capacitores (c =0,210-6 f/h), 10 resistores (r =5,010-6 f/h), 2 chaves (ch =2,010-6 f/h). Assumindo que os conectores e fios so 100% confiveis, avalie a taxa de falhaequivalentedosistemaeaprobabilidadedosistemasobreviver(a)1000hse(b) 10000hs se todos os componentes devem operar para o sucesso do sistema. e =6(1,010-6) +4(0,510-6) +3(0,210-6) +10(5,010-6) +2(2,010-6)e =6,2610-5 f/h 9393 , 0 ) 1000 (1000 10 26 , 6 10005= = = e e ReS 4653 , 0 ) 10000 (10000 10 26 , 6 100005= = = e e ReS 6.5.2 Sistema Paralelo Para um sistema com 2 componentes em paralelo: QP(t) = Q1(t)Q2(t) ou = t tdt t dt tPe - 1 e t Q0201) ( ) (1 ) ( e RP(t) = 1 - Q1(t) Q2(t) = R1(t) + R2(t) - R1(t)R2(t) Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 53 Para n componentes em paralelo: = = nidt tPtie t Q1) (01 ) (

e = = nidt tPtie t R1) (01 1 ) ( Estasequaespodemserusadascomqualquertipodedistribuio,fornecendoa probabilidade de sobrevivncia alm de t ou, alternativamente, a probabilidade de falha no perodo de tempo t. Para um sistema paralelo com 2 componentes com taxas de falha constantes: ( ) ( ) ( )t t t t tPe e e e - e t Q) (2 1 2 1 2 11 1 1 ) ( + + = =e t t tPe e e t R) (2 1 2 1) ( + + = Para n componentes:

( )= =nitPie t Q11 ) ( e ( )= =nitPie t R11 1 ) ( Deve-se notar que para um sistema paralelo no possvel obter uma taxa de risco equivalente, pois no mais possvel expressar a confiabilidade do sistema por uma nica funo exponencial e sim por uma srie de funes exponenciais. Portanto,mesmoquando todososcomponentesdeumsistemaparalelopossuemtaxadefalhaconstante(i.e., distribuioexponencial),ataxadefalharesultanteserdependentedotempo(i.e., distribuio no exponencial). Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 54 Exemplo:Avalieaprobabilidadedesobreviver1000hse10000hsse:(a)dois,(b)trs circuitosidnticosquelesdoexemploanteriorsousados.assumidoqueosucessoda operao requer que pelo menos um circuito funcione. Do exemplo anterior temos que i =6,2610-5 f/h. (a)9963 , 0 ) 1000 (1000 10 26 , 6 2 1000 10 26 , 6 1000 10 26 , 65 5 5= + = e e e RP

RP(10000) =0,7835 Estes resultados poderiam ter sido avaliados a partir dos resultados do exemplo anterior. Como? (b)( ) 9998 , 0 1 1 ) 1000 (31000 10 26 , 65= = e RP RP(10000) =0,8993 Como era de se esperar, a confiabilidade ou probabilidade de sobrevivncia aumenta quando a redundnciaaumenta e diminui quando o tempo de exposio falha aumenta. 6.5.3 Sistema Parcialmente Redundante A aplicao de distribuies de probabilidade em sistemas parcialmente redundantes pode ser visualizada a partir da seguinte expresso binomial (componentes idnticos): [R(t) + Q(t)]n ou, para o caso de componentes no idnticos: [R1(t) + Q1(t)] [R2(t) + Q2(t)] ... [Ri(t) + Qi(t)]... [Rn(t) + Qn(t)] As expresses acima so perfeitamente gerais e podem ser aplicadas a qualquer tipo de distribuio. No caso especial de distribuies exponenciais: Ri(t) = e-iteQi(t) = 1 - e-it Exemplo: Considere um sistema com 4 unidades idnticas cada uma tendo uma taxa de falha de 0,1 f/ano. Avalie a probabilidade do sistema sobreviver 0,5 anos e 5,0 anos se pelo menos duas unidades devem operar para o sucesso do sistema. RSIST(t) =R4(t) +4R3(t)Q(t) +6R2(t)Q2(t) RSIST(t) =e-0,4t +4e-0,3t(1- e-0,1t) +6e-0,2t(1- e-0,1t)2 RSIST(0,5) =0,9996eRSIST(5,0) =0,8282 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 55 CAPTULO 7: Cadeias e Processos de Markov 7.1Introduo No captulo anterior foram descritas vrias tcnicas analticas para avaliar a confiabili-dadedesistemasno-reparveis.Estastcnicaspodemsertambmaplicadasemsistemas reparveis, desde que seja assumido que o processo de reparo instantneo, ou desprezvel se comparadocomotempodeoperao,oquepodeserumagraverestrioparainmeros problemas prticos. Em tais casos a modelagem de Markov tem sido freqentemente utilizada. AstcnicasdeMarkovpodemseraplicadasnamodelagemdocomportamento aleatrio de sistemas que variam de maneira discreta ou contnua com o tempo e espao. Nem todos os processos estocsticos podem ser modelados usando as tcnicas de Markov, embora tais tcnicas possam ser estendidas para avaliar certos tipos de processos [BA92]. Para que as tcnicas de Markov sejam aplicveis, o comportamento do sistema deve sercaracterizadopelafaltadememria,i.e.,osestadosfuturosdeumsistemaso independentesdetodososestadospassadosexcetoaqueleimediatamenteprecedente. Portanto, o comportamento futuro de um sistema depende somente do estado em que ele se encontra no momento presente e no dos estados em que residiu anteriormente ou da maneira comochegouaopresenteestado.Tambmnecessrioqueoprocesso(estocstico)seja estacionrio,oquesignificaqueaprobabilidadedetransiodeumestadoparaoutro sempre a mesma (estacionria) em qualquer instante de tempo (passado ou futuro). As tcnicas de Markov so aplicveis em sistemas que possam ser descritos por uma distribuiodeprobabilidadequecaracterizadaporumataxadetransioconstante (Poisson e exponencial), pois somente taxas constantes fazem com que a probabilidade da transioentredoisestadospermaneaconstantenotempo.Seestaprobabilidadeuma funo do tempo, ento, o processo no-estacionrio e designado no-Markoviano. NocasogeraldosmodelosdeMarkov,tantooespaoquantootempopodemser discretosoucontnuos.Nocasoparticulardaavaliaodaconfiabilidadedesistemas,o espaorepresentadoporumconjunto(espao)deestadosdiscretoseidentificveisnos Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 56 quaisosistemaecomponentespodemresidir.J otempopodeserconsideradodiscreto (cadeias de Markov) ou contnuo (processos de Markov). 7.2Cadeias de Markov Considere o sistema abaixo em que dois estados esto identificados, assim como as probabilidadesdepermaneceroudeixarcadaestadoemumparticularintervalodetempo (t). Tais probabilidades so assumidas constantes para todos os intervalos de tempo (t) no futuro.Tem-se,ento,umacadeiadeMarkov,vistoqueosistemaestacionrioeo movimento entre estados ocorre em passos discretos. Figura7.1 Considerandoquenoprimeirointervalodetempoosistemapartedoestado1, verifica-se que ele pode residir neste estado com probabilidade , ou partir para o estado 2 tambm com probabilidade . Note que a soma destas probabilidades igual a 1 (UM). Aps trs intervalos de tempo tem-se a seguinte rvore: Portanto, P(1) =1/8 +1/16 +1/16 +3/32 =11/32 e P(2) =21/32. 1 23/41/2 1/4 1/2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 No. de Intervalos 213 1 Probs1/8 1/8 1/163/161/161/163/329/32Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 57 Atabelaabaixoapresentaaevoluodasprobabilidadesdosestadosparaos5 primeirosintervalos,assumindoqueosistemapartedoestado1.possvelverificara existnciadeumcomportamentotransitrio,acarretandoemvaloresdeprobabilidades dependentes do tempo. Porm, quando o no. de intervalos aumenta, estes valores tendem para valoresconstantes,conhecidoscomoprobabilidadeslimitesdosestadosouvaloresde probabilidades dos estados independentes do tempo. Intervalo P(1) P(2) 11/2=0,5001/2=0,500 23/8 =0,3755/8 =0,625 311/32 =0,34421/32 =0,656 443/128 =0,33685/128 =0,664 5171/512 =0,334341/512 =0,666 O estado do sistema no tempo zero ou passo zero (no caso o estado 1) conhecido comocondioinicial,aqualconhecidaparaamaioriadosproblemasdeavaliaoda confiabilidade. Portanto, o problema principal avaliar a confiabilidade do sistema para um tempo futuro. Pode-se demonstrar que, embora o perodo transitrio seja muito dependente da condioinicial,osvaloreslimitesdasprobabilidadesdosestadossototalmente independentes da condio inicial. Assim, se o estado inicial para o exemplo em questo fosse oestado2,operodotransitrioseriatotalmentediferentemasosvaloreslimitesdas probabilidades seriam exatamente aqueles mostrados na tabela acima. Um sistema (processo) em que os valores limites das probabilidades dos estados independe das condies iniciais conhecido como sistema (processo) ergdico. A obteno dos valores limites de probabilidade para os estados atravs da montagem de rvores fica totalmente impraticvel para grandes sistemas, ou at mesmo para pequenos sistemas se a anlise de um nmero grande de intervalos de tempo necessria. 7.2.1Matriz de Probabilidade de Transio Estocstica Atravs deste mtodo possvel obter (de maneira eficiente): i)a probabilidade absoluta do sistema ocupar os vrios estados aps um dado nmero de transies; ii) aprobabilidadedeencontrarosistemaemumdeterminadoestadodadoqueelevem efetuando transies por um longo tempo. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 58 Paratal,necessriodeduzirumamatrizquerepresentaasprobabilidadesdese efetuarem transies entre os estados do sistema em um dado intervalo de tempo: =nn n nnnP P PP P PP P PP.... . . .......1 12 22 211 12 11 (7.1) onde: Pij =probabilidade de transio para o estado j, depois de um intervalo de tempo, dadoque o sistema estava no estado i. 0 , 11==njijP A expresso 7.1 representa a transio para o primeiro intervalo de tempo, i.e.: E(1) =E(0)P, onde E(0) a condio inicial e E(1) contm as probabilidades dos estados aps o primeiro intervalo de tempo. Para o exemplo da Figura 7.1: [ ] 2 1 2 14 3 4 12 1 2 1 ] 0 1 [) 1 (E == 7.2.2Avaliao da Probabilidade Dependente do Tempo As probabilidades dos estados aps 2, 3, ..., n intervalos de tempo so obtidas a partir das matrizes de transio estocstica para 2 (P2), 3 (P3), ..., n (Pn) intervalos, onde: P2 =PP, P3 =P2P,..., Pn =Pn-1P. Para os dois primeiros intervalos (n =2) tem-se: + ++ +==) ( ) () (22 22 12 21 21 22 11 2121 12 11 1122 2112 1122 2112 11 2P P P P P P P PP P P P

P PP PP PP P P) P P P (P22 12 12 11 Para o exemplo da Figura 7.1: ==16 11 16 58 5 8 34 3 4 12 1 2 14 3 4 12 1 2 12P Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 59 Pode-se notar que a linha 1 de P2 contm as probabilidades de estar nos estados 1 (3/8) e 2 (5/8) depois de 2 transies, dado que o sistema comeou no estado 1. O elemento =212P Prob. de residir no estado 2, depois de duas transies, dado que iniciou no estado 1 =P11 (prob. de residir em 1 durante t) P12 (prob. de ir para 2 durante t) +P12 (prob. de ir para 2 durante t) P22 (prob. de residir em 2 durante t) A segunda linha de P2 tem a mesma interpretao dado que o sistema comeou no estado2.Portanto,oselementosdeP2fornecemtodasasprobabilidadesdosestadosdo sistemadepoisde2intervalosdetempo(transies?),paraascondiesiniciais:sistema comeando em 1 e sistema comeando em 2. Analogamente, atravs de Pn possvel obter as probabilidadesdosestadosdosistemaapsnintervalosdetempo.Comoregrageral, nijPrepresenta a probabilidade do sistema residir no estado j aps n transies, dado que comeou no estado i. Outrascondiesiniciaispodemserutilizadas,e.g.:E(0)=[0,50,5](Qualo significado disto?). Obviamente os valores contidos em E(0) devem somar 1,0. Atravs da expresso abaixo possvel obter as probabilidades dos estados para condies iniciais deste tipo. E(n) =E(0)Pn(7.2) Exemplo: Para a condio inicial E(0) =[0,5 0,5], como ficam as probabilidades dos estados do sistema da Figura 7.1, aps 1, 2, 3 e 4transies? 7.2.3Avaliao da Probabilidade Limite dos Estados Osvaloreslimitesouestacionriosdasprobabilidadesdosestadosdeumsistema (processo) ergdico podem ser avaliados da seguinte forma: E(1) =E(0)P E(2) =E(1)P ...................... E(n) =E(n-1)P possvel verificar que quando n a ltima expresso fica: E(n) =E(n)P,pois E(n-1) fica igual a E(n). Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 60 Tomando o sistema da Figura 7.1 e considerando E(n) =[E1E2], tem-se: [E1E2] =[E1E2]P ou [ ]=4 3 4 12 1 2 1 ] [2 12 1 E EE E Ento: E1 =E1 +E2 0 =E1 +E2 E2 =E1 +E2 0 =E1 E2 Como no sistema acima a 2a equao linearmente dependente da 1a (e vice-versa), deve-se substituir uma delas pela equao: 1,0 =E1 +E2. Independentemente do tamanho do sistema haver sempre uma equao redundante, a qual dever ser substituda por 1,0 =Ei. Com a substituio tem-se: [ ] ==11 1 ] [ 1 4 11 2 1 ] [1 02111 2 1 2 1PP E E E E Resolvendo o sistema acima, obtm-se E1 =0,333 e E2 =0,667 Obs.: possvel obter uma regra simples para a montagem do sistema acima. Qual? 7.2.4Estados Absorventes Algunsestadosdosistemapodemserabsorventes,i.e.,umavezchegandoatum deles no possvel deixa-los at que uma nova misso comece. Tais estados podem estar associadosafalhascatastrficasdossistemas.Portanto,aprobabilidadedeentraremum desses estados deve ser minimizada para assegurar uma operao segura da misso. Nestes casos, interessante avaliar o nmero de intervalos de tempo em que o sistema reside em um dos estados no-absorventes ou, em outras palavras, quantos intervalos de tempo, em mdia, o sistema opera antes de entrar em um dos estados absorventes. Esta mesma idia pode ser aplicada a sistemas reparveis para avaliar o nmero mdio de intervalos de tempo em que o sistema opera satisfatoriamente antes de entrar em um ou mais estados indesejveis. Neste caso, os estados podem no ser realmente absorventes, pois o sistema pode deixa-los devido ao de reparo, mas sero definidos como tal. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 61 Pode ser verificado, atravs da rvore de estados construda para o sistema da Figura 7.1, que se o sistema comea no estado 1, a probabilidade de continuar a residir nele sem jamais entrar no estado 2 fica cada vez menor com o aumento do nmero de intervalos. Tal probabilidade igual a ()n , o que d zero para n . SePamatrizdetransioestocstica,umamatriztruncadaQpodesercriada eliminando-se a(s) linha(s) e coluna(s) associadas com o(s) estado(s) absorvente(s). No caso do sistema da Figura 7.1, este truncamento cria uma matriz Q tendo um s elemento (P11 se o estado2definidocomabsorvente).Ento,necessrioavaliaronmeroesperadode intervalosdetempoemqueosistemapermaneceemumdosestadosrepresentadosnesta matriz Q. Aplicando o princpio do valor esperado (==nii ip x x E1) ( ) matriz Q, possvel obter o nmeroesperadodeintervalosdetempoparaqueosistemadeixecadaumdosestados representados pela matriz Q. Tais valores esperados sero armazenados na matriz N obtida conforme expresso abaixo: N =1I+1Q +1Q2 + ...+1Qn-1(7.3) sendo I a matriz identidade. O princpio da eq. 7.3 pode ser explicado da seguinte maneira. A matriz identidade representa a probabilidade de todas as possveis condies iniciais, i.e., a unidade em cada elemento Iii representa a condio do sistema comeando no estado i. Cada nmero 1 na eq. 7.3 representa um intervalo de tempo e so equivalentes aos valores de xi na expresso do valor esperado. O primeiro intervalo de tempo ocorre com probabilidade I, o segundo com probabilidade Q, o terceiro com probabilidade Q2, etc. A eq. 7.3 pode ser escrita da seguinte forma: N =I+Q[I+Q +Q2 + ...+Qn-2] ou, para n : N =I+QN Ento: N =[IQ]-1(7.4) Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 62 Para o sistema da Figura 7.1, Q =P11 = se o estado 2 definido como absorvente. Portanto, N =(1 )-1 =2. Assim, em mdia o sistema gasta 2 intervalos de tempo para entrar no estado 2, dado que ele comeou no estado 1. Exerccio: Considere o sistema de 3 estados mostrado abaixo. Avalie: (a) os valores limites de probabilidades associadas a cada estado; (b) o nmero mdio de intervalos gastos em cada estado se o estado 3 definido como absorvente. 7.3Processos de Markov Os problemas de confiabilidade esto normalmente relacionados a sistemas discretos noespao(i.e.,oespaoamostralcompostoporumconjuntodeestadosdiscretose identificveis) e contnuos no tempo. Portanto, o sistema reside continuamente em um de seus estados at que uma transio ocorra para leva-lo discretamente at outro estado. Os processos estacionrios de Markov implicam em caractersticas de falha e reparo dos componentes obedecendo a distribuies exponenciais. No caso de um nico componente, ou de componentes estatisticamente independentes, as probabilidades limites (estacionrias) dos estados no dependem das distribuies do tempo de residncia de cada estado, mas sim dos seus valores mdios. No entanto, deve ser ressaltado que diferenas considerveis podem existir nos valores das probabilidadesdependentesdotempo (perodo transitrio), as quais so dependentes das caractersticas das distribuies do tempo de residncia dos estados. 2 3 1/31/4 1/3 1/2 1Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 63 7.3.1Taxas de Transio Considere um nico componente com taxas de falha e reparo constante (distribuio exponencial): Figura7.2 Paraestesistema.asvariaescomotempoparaaconfiabilidadeedisponibilidadeso apresentadas pelo grfico a seguir: Definindo: P1(t) =probabilidade que o componente esteja operando em t; P2(t) =probabilidade que o componente esteja falho (em reparo) em t; =taxa de falha; =taxa de reparo. Ento,asfunesdensidadesparaosestadosdeoperaoefalhaso, respectivamente: te t f= ) (1e te t f= ) (2 onde os parmetros e so denominados por taxas de transio de estado, e representam a taxa ou razo com que o sistema transita de um estado do sistema para outro. No Captulo 6 foi mostrado que a taxa de falha o inverso do tempo mdio para a falha MTTF. J a taxa de reparo o inverso do tempo mdio para reparo - MTTR. Muito cuidadodevesertomadoparaidentificarcorretamentetodasastransieseperodosde tempo. Feito isto, possvel calcular as taxas de transio: operao em permaneceu componente o que em total tempo de perodoo considerad tempo de perodo no componente um de falhas de no.= Estado1 em operao Estado2 em reparo R(t)A(t) A(t)tempo R(t)0 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 64 reparo em permaneceu componente o que em total tempo de perodoo considerad tempo de perodo no componente um de reparos de no.= Genericamente: estado neste residncia de total tempoestado dado um de transio uma ocorre que em vezes de no.transio de taxa = Exemplo: Para o histrico abaixo (relativo a um sistema com um nico componente) avalie , , A (disponibilidade availability) e U (indisponibilidade unavailability). onde: TU =tempo em operao (UP) e TD =tempo fora de operao ou em reparo (DOWN). 7.3.2Avaliao da Probabilidade Dependente do Tempo Na seo sobre Cadeias de Markov, as transies foram representadas pelos valores de probabilidade transicional. No caso dos processos contnuos de Markov, as transies so usualmente representadas por taxas de transio ( e para o diagrama da Figura 7.2). Considere um intervalo de tempo muito pequeno, tal que a probabilidade de dois ou maiseventos(transies)ocorreremduranteestetemposejadesprezvel.Ento,a probabilidade de estar no estado de operao (estado 1) depois deste intervalo de tempo dt [P1(t +dt)] ser: [Prob. de estar operativo em t & no falhar em dt] + [Prob. de estar falho em t & ser reparado em dt] ou P1(t +dt) =P1(t)(1 dt) +P2(t)(dt)(7.5) Similarmente: P2(t +dt) =P1(t)(dt) +P2(t)(1 - dt)(7.6) Da eq. 7.5: )2 11 1(t P (t) Pdt(t) P dt) (t P + = + TU3 TU2 TU1 TD1 TD2 TD3 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 65 No limite dt 0: ) ) (2 11 '1(t P (t) Pdt(t) dPt P + = = (7.7a) Em relao ao estado 2: ) ) (2 12 '2(t P (t) Pdt(t) dPt P = = (7.7b) As equaes 7.7 podem ser escritas na forma matricial: [ ] [ ]= (t P (t) P t P t P ) ) ( ) (2 1'2'1(7.7c) A matriz de coeficientes na equao 7.7c no uma matrizdetransioestocstica (suas linhas no somam 1). Aequaes7.7ae7.7bsoequaesdiferenciaislinearescomcoeficientes constantes, cuja soluo pode ser obtida via transformada de Laplace: [ ] [ ] ) 0 0 ) 0 0 ) (2 1) (2 1 1( P ) ( Pe ( P ) ( P t Pt ++ ++=+ (7.8a) [ ] [ ] ) 0 0 ) 0 0 ) (2 1) (2 1 2( P ) ( Pe ( P ) ( P t Pt + ++ ++=+ (7.8b) Como para qualquer condio inicial, P1(0) +P2(0) =1, tem-se: [ ] ) 0 0 ) (2 1) (1( P ) ( Pe t Pt +++=+ (7.9a) [ ] ) 0 0 ) (2 1) (2( P ) ( Pe t Pt + +++=+ (7.9b) Na prtica mais provvel que o sistema comece (t =0) no estado 1 (operativo), logo: P1(0) =1 e P2(0) =0. Assim, as expresses que descrevem as variaes das probabilidades dos estados para um sistema com um nico componente reparvel so: te t P) (1) ( + +++= (7.10a) te t P) (2) ( + ++= (7.10b) Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 66 7.3.3Avaliao da Probabilidade Limite dos Estados Tambm no caso dos processos de Markov, o sistema deve ser ergdico para que as probabilidades estacionrias sejam no nulas. Para o caso do sistema da Figura 7.2 (um s componente reparvel), os valores limites das probabilidades dos estados so obtidos ao se fazer t nas equaes 7.9a e 7.9b (observe que os valores limites de probabilidades so independentes da condio inicial): P P += = ) (1 1(7.11a) P P += = ) (2 2(7.11b) Considerando que tanto a falha quanto o reparo seguem distribuies exponenciais, pode-se concluir que o tempo mdio para a falha dado por: MTTF =m =1/ similarmente, o tempo mdio para reparo ser: MTTR =r =1/ Portanto, as eqs. 7.11a e 7.11b podem ser escritas em funo destes tempos mdios:

r mmP+=1

r mrP+=2 Os valores de P1 e P2 so geralmente referidos por disponibilidade (A availability) e indisponibilidade(Uunavailability)paraocasoestacionriooulimite.Ovalorda disponibilidade dependente do tempo A(t) para o sistema de um nico componente reparvel dado pela eq. 7.10a, a qual descreve a probabilidade de se encontrar o sistema operando em um instante de tempo futuro t, dado que o sistema comeou operando em t =0. A funo A(t) considera tambm a hiptese do sistema ter falhado e estar operando novamente, devido a uma ao de reparo. Portanto, esta funo bem diferente da funo de confiabilidade R(t) =e-t, a qual fornece a probabilidade de permanecer no estado operativo em funo do tempo. Uma relao conceitual anloga pode ser feita entre U(t) e Q(t). Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 67 7.3.4Diagramas de Espao de Estado Na construo do diagrama de espao de estados devem ser includos todos os estados relevantesnosquaisosistemapoderesidir,assimcomotodasasmaneirasconhecidasde transio entre os estados. Basicamente, no existem restries ao nmero de estados ou ao nmero (e tipos) de transies. No objetivo deste texto ilustrar todas as possveis variaes quepodemocorrernaprtica,portanto,somentealgunsexemplos(selecionados)sero mostrados.Estafasedesoluodoproblemamuitoimportante,poisrepresentaa transformao do conhecimento do analista acerca da operao do sistema em um modelo matemtico que possa ser resolvido pelas tcnicas de Markov. Umnicocomponentereparvel a Figura 7.2 mostra um diagrama de espao de estados para um s componente a dois estados (UP eDOWN). Porm, para muitas situaes prticas existem um ou mais estados intermedirios de capacidade: Figura7.3 O diagrama da Figura 7.3 inclui todas as possveis transies. Na grande maioria dos casos a transio de 3 para 2 (2) no existir, pois o processo de reparo dever retornar o sistema diretamente para o estado com 100% de capacidade. Dois componentes reparveis em princpio, um sistema composto de 2 componentes reparveis possui 4 estados, conforme apresenta a Figura 7.4. Nesta figura, 1 e 2 so as taxas de falha dos componentes 1 e 2, respectivamente. J as taxas de reparo so 1 e2. Note que o diagrama independe dos componentes estarem em srie ou em paralelo. Para o caso srie, o estado 1 representa o sucesso. E no caso de um sistema em paralelo? Estado2 50% 2 2 Estado3 0% Estado1 100% 1 3 1 3 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 68 Representando por Pi a probabilidade de cada estado, tem-se: para o sistema srie: PUP =A =P1 PDN =U =P2 +P3 +P4 para o sistema paralelo:PUP =A =P1 +P2 +P3 PDN =U =P4 Estas equaes se aplicam s probabilidades dependentes do tempo e estacionrias. Como no caso anterior, estados intermedirios podem ser includos no diagrama da Figura 7.4. Figura7.4 Algumas das transies do diagrama acima podem no ser possveis, enquanto outras podem ser includas. Por exemplo, estando no estado 4, o reparo do componente 2 pode nunca comear at que o componente 1 esteja reparado. Portanto, a transio 2 do estado 4 para o estado 2 deve ser eliminada. Tambm, pode ser possvel que os componentes 1 e 2 falhem de modo simultneo (por uma causa comum, o que diferente da ocorrncia simultnea de duas falhasprobabilidadenulaemumintervalopequeno),enestecasodevehaveruma transio entre os estados 1 e 4. A Figura 7.5 apresenta o diagrama (reduzido) obtido para o caso dos componentes serem idnticos. Figura7.5 Sistemas com um grande nmero de componentes reparveis foi visto no Captulo 4 que impossvel enumerar todos os estados para o caso de sistemas prticos. Para o caso de componentesadoisestadosonmerodeestadosdosistemaser2n.Seestados intermedirios so considerados para alguns ou todos os componentes, o nmero de estados do sistema ser ainda maior. Estado3 1 UP e 2 DN 1 1 Estado4 1 DN e 2DN Estado1 1 UP e 2 UP 2 2 2 2 Estado2 1 DN e 2 UP 1 1 2 Estado3 2 Comps. DN Estado1 2 Comps. UP Estado2 1 Comp. UP 2 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 69 Exemplo: Construa o diagrama de espao de estados para um sistema com trs componentes a doisestados.Obtenha,emfunodasprobabilidadesindividuaisdosestados,as probabilidades de falha e sucesso do sistema considerando as configuraes: srie, paralelo e parcialmente redundante. Sistemasnoreparveis basta eliminar as transies correspondentes ao reparo de componentes: Nestecaso,osistemanomaisergdico,poisnemtodososestadospodemse comunicareumestadoabsorvente.Parasistemasnoreparveis,asprobabilidades dependentes do tempo podem ser avaliadas usando as tcnicas de Markov da mesma maneira mostrada para sistemas reparveis. Entretanto, as probabilidades limites no trazemnenhuma informao adicional (no limite o sistema residir no estado absorvente com probabilidade 1). 7.3.5Matriz de Transio Estocstica No caso dos processos contnuos de Markov, um intervalo discreto de tempo no faz parte da especificao do problema. Portanto, para a obteno de uma matriz de probabilidade de transio estocstica necessrio introduzir um intervalo de tempo incremental t (como noItem7.3.2),talqueaprobabilidadededuasoumaistransies,nesteintervalo,seja desprezvel. Como a probabilidade de ocorrncia de uma transio neste intervalo de tempo igual ao produto entre a taxa de transio e t, possvel obter uma matriz de transio de modoadescreverdiscretamenteoprocessocontnuo.Seataxadefalha,ento,a probabilidade de uma falha em t ser t e de no falhar 1 - t. O mesmo raciocnio pode seraplicadoparaocasodereparo.Paraumsistemacompostoporumnicocomponente reparvel, representado pelo diagrama da Figura 7.2, a matriz de transio estocstica ser: =t tt tP 11(7.12) Probabilidade limite dos estados Como visto no Item 7.2.3, no limite (t ) o vetor de probabilidades se mantm inalterado: E(n) =E(n)P. Ento, para o sistema da Figura 7.2 (representando Pi por Ei): Estado3 2 Comps. DN Estado1 2 Comps. UP Estado2 1 Comp. UP2 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 70 [ ] [ ] =t tt tE E E E 112 1 2 1(7.13) ou E1 =(1 t)E1 +tE2

E2 =tE1 +(1 t)E2

ou ainda (como t 0) 0 =E1 +E2

0 =E1 E2

Substituindo uma das eqs. (dependncia linear) acima por 1 =E1 +E2 e resolvendo: E +=1e E +=2 Note que se o termo t for omitido em 7.13 o resultado ser o mesmo. Neste caso, a matriz de transio toma a seguinte forma: = 11P (7.14) Amatrizdetransioexpressaem7.14nopodeserutilizadaparaoclculode probabilidades dependentes do tempo, servindo apenas para a obteno dos valores limites de probabilidades. Exemplo:Obtenhaasprobabilidadeslimitesdosestadosparaosistemacomdois componentesidnticosreparveisapresentadonaFigura7.5.Avalieadisponibilidadee indisponibilidade para o caso de sistema srie e de sistema paralelo. Probabilidades dependentes do tempo a)viaequaesdiferenciais considere o sistema com dois componentes idnticos reparveis da Figura 7.5. Seguindo o princpio da equao 7.7c, tem-se: [ ] [ ]+ = 2 2 0) (0 2 2) ( ) ( ) (3 2 1'3'2'1(t) P (t) P (t) P t P t P t P Assumindo que o sistema comea no estado 1 [P1(0) =1], tem-se como soluo: Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 71 t te e t P) ( 222) (2 221) ( ) (2) () ( + + +++++= (7.15a) t te e t P) ( 222) (2 22) (2) () ( 2) (2) ( + + ++ ++=(7.15b) t te e t P) ( 222) (22223) ( ) (2) () ( + + ++++= (7.15c) As equaes acima podem ser obtidas de maneira bem mais simples se a expanso binomial for aplicada s equaes 7.10a e 7.10b: nnt P t P t Pn t Pn t Pn t Pn )] ( 1 ) ( 1 [ ) ( ... ) ( ) ( ) (2 1 ) 1 ( 3 2 1+ = + + + ++ onde Pni =probabilidade do estado i obtido para n componentes, idnticos, a dois estados. b) via multiplicao matricial atravs da matriz de transio estocstica construda paraumpequenointervalot(eq.7.12)possvelavaliardiscretamenteaevoluodos valores de probabilidade dos estados. Como j frisado, o valor de t deve ser suficientemente pequeno para tornar desprezvel a probabilidade de duas ou mais transies ocorrerem em um intervalo de tempo. Isto requer um profundo conhecimento do sistema sendo analisado. Em alguns casos o incremento de tempo deve ser menor do que 1 minuto, enquanto que em outros pode chegar a 1 hora ou mais. O processo, j apresentado para cadeias de Markov, bastante simples e consiste na multiplicaosucessivadamatrizdetransioporsiprpria[Pn]oupelovetorde probabilidadedosestados[E(n)=E(n-1)P].Defcilimplementaoemumprogramade computador,estemtodoextremamenterpido(mesmoquandoumnmeroelevadode multiplicaes necessrio) e muito mais simples que o mtodo das equaes diferenciais. 7.3.6Tempo Mdio para a Falha O MTTF pode ser obtido usando as equaes diferenciais ou a matriz de transio (sem t). Em ambos os casos o conceito de estados absorventes usado, e o MTTF pode ser visto como o tempo mdio gasto pelo sistema antes de entrar no estado absorvente. Apenas o mtodo de avaliao baseado na matriz de transio ser apresentado neste texto. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 72 Sistemacom2componentesidnticosredundantes a partir do diagrama reduzido da Figura 7.5 e considerando o estado 3 (os componentes falham) como absorvente, possvel obter a seguinte matriz truncada Q: = 12 2 1Q Usando a tcnica do Item 7.2.4: +=+ = = 2221 2 2] [211Q I M OelementomijdamatrizMcorrespondeaotempomdiogasto(pelosistema)no estado j, dado que o processo iniciou no estado i, antes de entrar em um estado absorvente. Se o sistema comea no estado 1, o seu tempo mdio para a falha ser: 2 212 112322 ) ( +=+ += + = m m MTTF Note que o MTTF obtido acima se refere condio do sistema iniciar com os dois componentes operando (estado 1). Pode ser necessrio avaliar o MTTF a partir de um estado com capacidade reduzida, quando 1 ou mais componentes estaro indisponveis (estado 2): 221 2222 += + = m m MTTF Sistemacom2componentesidnticosemsrie neste caso os estados 2 e 3 so considerados estados de falha, devendo ser declarados como absorventes: Q =[1 2] M =[1 Q]-1 =[2]-1 Portanto, o MTTF =1/2. Taxa de falha o parmetro MTTF pode ser considerado como o inverso da taxa de falha. Portanto, a taxa de falha para o sistema com 2 componentes idnticos redundantes ser: +=322f Para o sistema em srie a taxa de falha ser igual a 2. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 73 7.3.7Avaliao de Sistemas Complexos As tcnicas descritas nesta seo foram aplicadas a sistemas relativamente simples. No entanto, elas se aplicam tambm a sistemas complexos, bastando cumprir os seguintes passos: (a) identifique todos os estados em que o sistema pode residir; (b) identifique todas as possveis transies entre estados e especifique os valores numricos destas transies; (c) construa a matriz de probabilidade de transio estocstica (com t); (d) atravs de multiplicaes sucessivas [Pn]ou [E(n) =E(n-1)P], avalie as probabilidades dos estados em funo do tempo; (e) usando a matriz de transio estocstica (sem t) e o princpio [E(n) =E(n)P, para n ], obtenha as probabilidades limites dos estados; (f)identifique os estados de sucesso (UP), de falha (DN) e intermedirios (se existirem); (g) usandooprincpiodosestadosabsorvente,construaasmatrizesQeM,eobtenhao MTTF. possvel, ainda, obter estimativas para a funo sobrevivncia R(t). Exerccio:ApliqueospassosdescritosacimaaosistemadaFigura7.6.Considereas hipteses:(a)redundnciaparaoscomponentes2e3e(b)osistemaoperaparcialmente (estados intermedirios) se 1 e 2 ou 1 e 3 esto operando. Utilize 1 =2 =3 =0,01 falhas por hora e 1 =2 =3 =0,1 reparos por hora. Figura7.6 3 2 1 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 74 CAPTULO 8:ndices de Freqncia e Durao 8.1Introduo As tcnicas de Markov descritas no captulo anterior permitem avaliar a probabilidade de residir em cada estado do sistema. Consequentemente, a probabilidade de estar nos estados que determinam o sucesso total, o sucesso parcial e a falha da operao do sistema pode ser avaliada. Tais tcnicas permitem ainda avaliar o MTTF e o MTTR. Entretanto,paraummelhorentendimentodocomportamentodesistemascom componentesreparveis,necessrioobteralgunsndicesadicionaisdeconfiabilidade. Dentre eles esto os ndices de freqncia e durao (F&D), os quais podem representar a freqncia de se encontrar um estado do sistema e a durao mdia de residncia neste estado. A avaliao destes ndices baseada nos diagramas de espao de estados para os processos contnuos de Markov (e.g. Figuras 7.2 7.5). 8.2Conceitos sobre Freqncia e Durao Considere o seguinte histrico de um sistema a dois estados: Figura8.1 Ento:Ttotal =TU1 +TU2 +TU3 +TD1 +TD2 +TD3(8.1) m =1/ =(TU1 +TU2 +TU3)/3 (8.2) r =1/ =(TD1 +TD2 +TD3)/3(8.3) A =PU =(TU1 +TU2 +TU3)/Ttotal =m/(m +r) =/( +)(8.4) U =PD =(TD1 +TD2 +TD3)/Ttotal =r/(m +r) =/( +)(8.5) TU3 TU2 TU1 TD1 TD2 TD3 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 75 O desempenho mdio deste sistema apresentado pela Figura 8.2, onde T o ciclo de tempo do sistema. Este ciclo de tempo definido como tempo mdio entre falhas (MTBF), sendo igual soma de m (MTTF) e r (MTTR). Figura8.2 AtravsdasFiguras8.1e8.2possvelverificarqueafreqnciadocicloou freqncia de encontrar um estado do sistema, pode ser obtida por: f=1/T=1/(m +r) =3/Ttotal(8.6) Para todo e qualquer sistema que tenha seus estados divididos entre falha e sucesso, a freqnciaf,dadaacima,serditafreqnciade falha (obviamente, igual freqncia de sucesso). Se o comportamento de um sistema descrito somente pelas probabilidades de seus estados, haver a perda de informaes importantes. Considere, por exemplo, 2 sistemas com um nico componente reparvel. O primeiro com taxas e e o segundo com taxas 2 e 2. V-se que ambos tero a mesma indisponibilidade, porm, o segundo falha duas vezes mais que o primeiro. Esta situao pode ter um grande impacto na operao do sistema. Portanto, pode ser vital avaliar no somente a indisponibilidade (ou disponibilidade) do sistema, mas tambmafreqnciaeaduraodeencontrarosvriosestadosdosistema,oumais especificamente,afreqnciadefalhadestesistema.Atravsdasequaes8.2,8.4e8.6 pode-se concluir que: f=PU (8.7) Oconceitodaequao8.7seaplicaparatodosossistemasreparveis, independentemente do nmero de estados existentes. Se PS a probabilidadederesidirno estados e Sout a taxa de sada deste estado (para todos os estados diretamente ligados ao estado s), ento, a freqncia de ocorrncia do estado s ser: fS=PS Sout (8.8) m r T Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 76 Partindo do conceito de taxa de transio, fcil concluir que a durao mdia de um estado s igual ao inverso de sua taxa de sada Sout. Portanto: mS =1/Sout =PS/fS (8.9) 8.3Freqncia Individual Sistemascomdoiscomponentesreparveis os conceitos sobre F&D descritos na seo anterior so aplicveis apenas ao comportamento a longo/mdio prazo do sistema, no sendovlidosparaprobabilidades/freqnciasdependentesdotempo.Estesconceitostm sido aplicados em problemas de gerao de energia eltrica contendo centenas de unidades geradoras. A aplicao destas tcnicas a sistemas multi-componentes (ou estados) pode ser ilustrada considerando um sistema de dois componentes a dois estados (upanddown) com taxasdefalhaereparo:1,1e2,2,paraoscomponentes1e2,respectivamente.O diagrama de espao de estados deste sistema mostrado a seguir: Figura8.3 P = A probabilidades limites dos estados podem ser obtidas atravs da matriz de transio P, dada acima, ou por simples combinaes independentes: ) )( (2 2 1 12 11 + += PEstado3 1 UP e 2 DN 1 1 Estado4 1 DN e 2DN Estado1 1 UP e 2 UP 2 2 2 2 Estado2 1 DN e 2 UP 1 1 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 77 ) )( (2 2 1 12 12 + += P ) )( (2 2 1 12 13 + += P ) )( (2 2 1 12 14 + += P Freqnciadeseencontrarestadosindividuaisconhecidasasprobabilidades limites dos estados, as freqncias de residncia nos diversos estados do sistema so obtidas atravs da equao 8.8: (a) freqncia de se encontrar o estado 1 ) () )( (2 12 2 1 12 11 1 1 + + += =P fout Como a freqncia de sada igual de entrada: ) () )( () ( ) (2 12 2 1 12 12 3 1 2 31 21 1 + + += + = + =P P f f fonde f21 a freqncia com que o sistema transita do estado 2 para o estado 1 (f31 ...). (b) freqncia de se encontrar os demais estados ) () )( (2 12 2 1 12 12 2 2 + + += =P fout ou ) ( ) (2 4 1 1 42 12 2 + = + = P P f f f ) () )( (2 12 2 1 12 13 3 3 + + += =P fout ou ) ( ) (1 4 2 1 43 13 3 + = + = P P f f f ) () )( (2 12 2 1 12 14 4 4 + + += =P fout ou) ( ) (2 3 1 2 34 24 4 + = + = P P f f fConfiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 78 Durao mdia dos estados individuais atravs da equao 8.9: m1 =1/1out =1/(1 +2) m2 =1/2out =1/(2 +1) m3 =1/3out =1/(1 +2) m4 =1/4out =1/(1 +2) Para um sistema srie m1 representa o MTTF, j para um sistema em paralelo m4 ser o MTTR. Exerccio: Obtenha a freqncia e durao mdia dos estados individuais para o sistema com 2 componentes idnticos mostrado no diagrama da Figura 7.5. 8.4Freqncia Acumulada A avaliao da freqncia e durao de estados individuais somente fornecem uma informaoparcialparaoproblemadaanlisedeconfiabilidade.Osdiversosestadosdo sistema devem ser combinados ou acumulados de maneira a fornecer, por exemplo, os estados de sucesso e de falha da sua operao. Aprobabilidadederesidiremumdessesestadosacumuladospodeseravaliada simplesmente somando as probabilidades de cada estado apropriado, visto que so estados mutuamente exclusivos. J para o caso da avaliao da freqncia de se encontrar estados acumulados, necessrio eliminar as intersees, i.e., as freqncias de transio entre os estados acumulados. Para ilustrar este processo considere o sistema da Figura 8.3 e avalie a freqncia de se encontrar o estado acumulado resultante da combinao dos estados 3 e 4. f34 =f3 +f4 (freqncia de encontros entre os estados 3 e 4) =f3 +f4 (P31 +P41) =P3(1 +2) +P4(1 +2) P31 P41 =(P3 +P4)2(8.10) A equao 8.10 permite concluir que a freqncia de se encontrar o estado acumulado 3 e 4 pode ser obtida considerando o no. de transies atravs da fronteira em torno do estado acumulado. A Figura 8.4 apresenta as fronteiras para alguns estados acumulados possveis. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 79 Figura8.4 Exerccio: Obtenha a freqncia de se encontrar o estado acumulado composto pelos estados 4, 3 e 2. Repita para o estado resultante da combinao de 1 e 2; compare com f34. Se o sistema da Figura 8.4 um sistema srie, a freqncia de sucesso ser f1. J a freqncia defalha ser f432 que igual af1. Analogamente, se o sistema est em paralelo (do ponto de vista da confiabilidade) ... Durao mdia dos estados acumulados o ltimo passo na avaliao dos ndices de freqnciaeduraoobteraduraomdiaderesidiremcadaestadoacumuladodo sistema. A partir da equao 8.9 pode-se concluir que a durao mdia de qualquer estado acumulado igual razo entre a probabilidade de estar no estado acumulado e a freqncia de se encontrar o estado acumulado. Para o sistema da Figura 8.4, tem-se: 2 1 2 2 1 12 1 2 12 2 1 12 14 4 41) )( () () )( ( +=+ ++ + += = f P m 2 2 3 43 443 43 431) ( =++= =P PP Pf P m ) () )( () () )( (2 1 2 12 1 2 1 2 12 2 1 12 1 2 12 2 1 12 1 2 1 2 11 432 432 432 432 + + +=+ ++ + ++ += = = f P f P m = = = 04321 4321 4321 4321P f P m? Estado3 1 UP e 2 DN 1 1 Estado4 1 DN e 2DN Estado1 1 UP e 2 UP 2 2 2 2 Estado2 1 DN e 2 UP 1 1 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 80 8.5Balano e Desbalano em Freqncia Tendoemmenteosconceitosadquiridosnestecurso,pode-seafirmarquepara qualquer estado de um sistema ergdico, a freqncia esperada de deixar um estado deve ser igual freqncia esperada de entrar neste estado. Portanto, existe um balano (ou no h desbalano) para as freqncia de entrada e sada de cada estado do sistema. No entanto, o mesmo no pode ser dito para as freqncias de transio entre pares de estados do sistema. Tais freqncias sero balanceadas apenas se todos os componentes do sistema apresentarem balano em freqncia, caso tpico de componentes a dois estados. O diagrama da Figura 8.4 representa um sistema balanceado em freqncia. Porm, se atransiodereparoentreestados4e2foreliminada,osistemaficadesbalanceadoem freqncia. Exerccio: Verifique se o componente a 3 estados, apresentado no diagrama abaixo , ou no, balanceado em freqncia. Figura8.5 8.6Avaliao de ndices F&D atravs da Representao a Espao de Estados O clculo dos ndices de freqncia e durao (F&D) , a princpio, mais complexo que o clculo de ndices de probabilidade (e.g. LOLP) e de energia (e.g. EENS). A freqncia de falha, LOLF (loss of load frequency), avaliada como o valor esperado da seguinte funo teste [MPL92]: =FalhakkSucessokkLOLFX x if X x ifx F0) ((8.11) Estado2 50% 0.01 0.7Estado3 0% Estado1 100% 0.70.7 0.010.01Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 81 onde k a soma das taxas de transio de xk para todos os estados de sucesso que podem ser alcanados mediante uma transio. A durao mdia da perda de carga, LOLD (loss of load duration), obtida aplicando-se a equao 8.9, i.e.: LOLD = LOLP/LOLF (8.12) A aplicao da funo teste 8.11 (identificao de k) bastante simples para sistemas degerao.Porm,omesmonoocorresearededetransmissoconsiderada,quandoa princpio, para cada estado selecionado xkXFalha, com nc componentes, sero necessrias nc anlisesadicionaisdeadequaoparaatualizaraestimativadafreqncia.Ahiptesede coerncia para o comportamento do sistema (se um componente falho reparado o desempenho do sistema nunca piora, e, inversamente, se um componente deixa de operar o desempenho do sistemanuncamelhora)permitereduziroesforocomputacional,sejaatravsdefiltros baseados em multiplicadores de Lagrange [MPL92], ou utilizando o conceito de probabilidade condicionada ou freqncia incremental [MPL93]. Estes mtodos se mostraram extremamente eficientes, do ponto de vista computacional, e hbeis para lidar com as transies da carga, as quais exercem papel preponderante na avaliao da LOLF. Entretanto, eles apresentam duas restries: (i) o uso da hiptese de coerncia; (ii) o uso de um s modelo de Markov para todas as cargas do sistema, o que impe o mesmo padro de variao para todas as barras de carga do sistema (coeficiente de correlao igual a 1). Exemplo 8.1: Considere um sistema formado por 2 unidades de 20 MW (com =2 falhas/ano e =18 reparos /ano) e 1 unidade de 30 MW (com =3 falhas/ano e =17 reparos /ano). CalculeosndicesLOLP,LOLE,EPNS,EENS,LOLFeLOLDapresentadosporeste sistema, ao atender uma carga de 40 MW. Exemplo 8.2: Resolva o exemplo 8.1 considerando que a carga diria vale 100%, 80% e 50% em perodos de 3, 9 e 12 horas, respectivamente. Exerccio: Obtenha os ndices LOLP, LOLE, EPNS, EENS, LOLF e LOLD para o sistema IEEE-RTS. Os dados relativos s unidades geradoras so apresentados na Tabela 8.1. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 82 Tabela 8.1 Dados do Sistema IEEE-RTS UsinaUnidades (1/ano) MTTR (horas) Pot. Ativa(MW) Min.Max. 15 2. 97959 60. 00 6. 00 12. 00 22 19. 4667 50. 00 10. 00 20. 00 32 19. 4667 50. 00 10. 00 20. 00 42 4. 46939 40. 00 30. 00 76. 00 52 4. 46939 40. 00 30. 00 76. 00 63 7. 30000 50. 00 60. 00 100. 00 71 9. 12500 40. 00 80. 00 155. 00 81 9. 12500 40. 00 80. 00 155. 00 92 9. 12500 40. 00 80. 00 155. 00 103 9. 22105 50. 00 80. 00 197. 00 111 7. 61739 100. 00 150. 00 350. 00 121 7. 96364 150. 00 200. 00 400. 00 131 7. 96364 150. 00 200. 00 400. 00 146 4. 42424 20. 00 16. 00 50. 00 8.7Referncias [MPL92] A. C. G. Melo, M. V. F. Pereira, A. M. Leite da Silva, Frequency and Duration CalculationsinCompositeGenerationandTransmissionReliabilityEvaluation,IEEE Transactions on Power Systems, 7 (1992) 469-476. [MPL93] A. C. G. Melo, M. V. F. Pereira, A. M. Leite da Silva, A Conditional Probability ApproachtotheCalculationofFrequencyandDurationIndicesinCompositeReliability Evaluation, IEEE Transactions on Power Systems, 8 (1993) 1118-1125. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 83 CAPTULO 9:Representao Cronolgica 9.1Introduo Os passos necessrios avaliao de ndices de confiabilidade dentro da representao cronolgica so, a princpio, os mesmos apontados na representao por espao de estados: a) selecioneumestadodosistema,i.e.definanveldecarga,disponibilidadede equipamentos, condies operativas, etc.; b) analiseodesempenhodoestadoselecionado,ouseja,verifiqueseesta configurao de geradores e circuitos capaz de atender carga definida para este estado sem violar limites operativos; se necessrio, acione medidas corretivas tais como redespacho de gerao, correo de tenses, corte de carga, etc.; c) estimendicesdeconfiabilidadetaiscomoLOLP(lossofloadprobability)e EPNS(expectedpowernotsuplied);seaprecisodosestimadoresaceitvel, pare; caso contrrio, retorne ao passo (a). A diferena bsica est na forma como so gerados os estados do sistema (passo (a) do algoritmo). No caso cronolgico necessrio que os estados sejam gerados seqencialmente notempo,oqueimplicaemdiferenasconceituaisnaestimaodosndices(passo(c)). Devidoanliseseqencialnotempo,aavaliaodosndicesdeconfiabilidadefica equivalente ao clculo da seguinte expresso [SB77, SPF93]: [] ( )=Tdt t GTG E01(9.1) sendo T o perodo da simulao e G(t) a funo teste que verifica em qualquer instante t se o estado do sistema , ou no, adequado. Tomando a LOLP como exemplo, G(t) =1 se o estado do sistema, no tempo t, de falha. Em caso contrrio, G(t) =0. A representao por espao de estados (enumerao e simulao no-seqencial)no consideraosaspectoscronolgicosdaoperaodosistema.J atravsdasimulao seqencial[S90]possvelrepresentarcaractersticascomplexasdosistema,comopor exemplo, a curva cronolgica da carga, a manuteno programada e as polticas de operao. A maior parcela do esforo computacional necessrio avaliao da confiabilidade de sistemas compostos consumida pela anlise de adequao dos estados operativos do sistema. Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 84 Na representao cronolgica estes estados so amostrados seqencialmente no tempo atravs de transies consecutivas, sendo cada uma delas determinada pela transio de apenas um dos componentes do sistema. Por causa da dependncia temporal de alguns elementos (curva de carga, manuteno programada, limitaes energticas, etc.), a amostragem seqencial dos estadosdevesercumpridaduranteumanointeirodesimulaoparagerarumanica observaodosndicesdesejados.Destaforma,onmerodeanlisesdedesempenhode estadosdosistema(e,porconseqncia,oesforocomputacional)realizadopormodelos baseadosnarepresentaocronolgicasignificativamentemaiorqueaquelenecessrio quando se tem modelos baseados na representao por espao de estados. Oelevadocustocomputacionalapresentadopelasimulaoseqencialpode inviabilizarsuaaplicao,principalmentenaavaliaodaconfiabilidadecomposta,aqual utilizaumfluxodepotnciacomotimizaodasmedidascorretivasnaanlisede desempenhodosestadosencontrados.Comoalternativa,asreferncias[MPL94,MLP97] apresentam metodologias as quais combinam caractersticas das simulaes seqencial e no-seqencial, a fim de produzir algoritmos mais velozes, porm com a mesma flexibilidade e precisodasimulaoseqencial.Recentemente,foipropostooalgoritmodesimulao MonteCarlopseudo-cronolgica[LMMR00,MLM99],oqualcapazderepresentar diferentes padres (curvas) de carga para as diversas barras/reas de um sistema, assim como a manuteno programada. 9.2Simulao Monte Carlo Seqencial Seja a equao abaixo, uma estimativa para E[G] em (9.1): [] ( )==NYkky GNYG E1~1(9.2) onde: NY o nmero de simulaes anuais; yk a srie sinttica do sistema no ano k; G(yk) a funo que estima os ndices de confiabilidade do ano k. Para a aplicao da equao (9.2) so necessrios os seguintes passos [S90, MPL94]: a) gereumasriesintticaanualdosestadosdosistema(yk)aplicando seqencialmenteosmodelosestocsticosfalha/reparodosequipamentos,e considerando o modelo cronolgico da carga; Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 85 b) analise cronologicamente cada estado x da seqncia yk e acumule os resultados; c) calcule G(yk) dos valores acumulados em (b); d) estimeovaloresperadodosndicesanuaiscomoamdiadosresultados encontrados nas seqncias yk simuladas; e) verifique a convergncia do processo; se a preciso da estimativa satisfatria, pare, caso contrrio, retorne para (a). No passo (a) do algoritmo acima, o processo de falha e reparo dos equipamentos sinteticamenteproduzidoviasorteioalternadodosrespectivostemposdepermanncia. Usualmente, utiliza-se a funo de distribuio exponencial em ambas as situaes, embora qualquer outra distribuio de probabilidade possa ser utilizada. Gerao aleatria de duraes (tempos) exponenciais: seja uma v.a. x seguindo uma distribuio exponencial: xe x f = ) ( e xe X F =1 ) ( Fazendo U = F(X) = 1 e-x, onde U uma distribuio uniforme, teremos: o distrribui mesma a tm U - 1 e UpoisU U X , ln1) 1 ln(1 = = Exemplo: Gere 10 tempos (duraes) para uma v.a. exponencial com parmetro =0,001 falhas por hora. Tire a mdia dos tempos calculados e compare com o MTTF. 1,0 F(X) x 0 Confiabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia 86 Funes teste: no caso da simulao seqencial a funo teste G(yk) deve ser aplicada a uma observao do sistema, i.e., a uma srie sinttica anual yk. Para cada barra ou para todo o sistema, teremos as seguintes funes: (a) LOLP GLOLP(yk) =tempo total de interrupo do fornecimento de energia dividido pelo perodo de estudo (e.g. 1 ano);(b) EENS GEENS(yk) =total de energia interrompida;(c) LOLF GLOLF(yk) =nmero de interrupes do fornecimento de energia. TRABALHO:ObtenhaosndicesLOLP,LOLE,EPNS,EENS,LOLFeLOLDparao sistema IEEE-RTS, utilizando simulao seqencial. 9.3Referncias [LMMR00]A.M.LeitedaSilva,L.A.F.Manso,J .C.O.Mello,R.Billinton,Pseudo-Chronological SimulationforCompositeReliabilityAnalysiswithTimeVaryingLoads,IEEETransactionsonPower Systems, 15 (2000) 73-80. [MLM99] L. A. F. Manso, A. M. Leite da Silva, J . C. O. Mello, Avaliao da Confiabilidade de Sistemas de Gerao e Transmisso Considerando Cargas Variantes no Tempo, XV SNPTEE, Foz do Iguau/PR, (1999). [MLP97] J . C. O. Mello, A. M. Leite da Silva, M. V. F. Pereira, Efficient Loss of Load Cost Evaluation by Combined Pseudo-Sequential and State Transition Simulation, IEE Proc. Gener. Transm. Distrib., 144 (1997) 1