CÔNICAS Cônicas 2 CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS CÔNICAS NÃO DEGENERADAS Cônicas 3

CÔNICASCÔNICAS

CônicasCônicas 22

CLASSIFICAÇÃO CLASSIFICAÇÃO

DE CÔNICASDE CÔNICAS

CÔNICAS NÃO CÔNICAS NÃO DEGENERADASDEGENERADAS

CônicasCônicas 33

• Estudaremos as Estudaremos as (seções) cônicas, (seções) cônicas, curvas planas curvas planas que são obtidas que são obtidas da intersecção da intersecção de um cone de um cone circular com um circular com um plano.plano.

CônicasCônicas 44

CÔNICAS

CônicasCônicas 55

CônicasCônicas 66

CônicasCônicas 77

• Vamos definí-las como conjunto de Vamos definí-las como conjunto de pontos que satisfazem certas pontos que satisfazem certas propriedades e determinar as propriedades e determinar as equações na forma mais simples. equações na forma mais simples.

CônicasCônicas 88

ELIPSEELIPSE

CônicasCônicas 99

DEFINIÇÃO

• Dados dois pontos Dados dois pontos FF11 e e FF22 chamamos chamamos elipseelipse o conjunto dos pontos o conjunto dos pontos PP do do plano tais que plano tais que d(P,Fd(P,F11)+d(P,F)+d(P,F22)=2a)=2a..

CônicasCônicas 1010

ELIPSEELIPSE


Elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que d(P, F1) + d(P, F2) = 2a


ELIPSEELIPSE

• FocosFocos: : são os pontos Fsão os pontos F11 e F e F22,,• Distância FocalDistância Focal: : é a distância 2c é a distância 2c

entre os focos,entre os focos,• CentroCentro: : é o ponto médio C do é o ponto médio C do

segmento Fsegmento F11FF22,,

• VérticesVértices: : são os pontos Asão os pontos A11, A, A22, B, B1 1 e e BB22,,

• Eixo maiorEixo maior: : é o segmento Aé o segmento A11AA22 de de comprimento 2a ( o segmento Acomprimento 2a ( o segmento A11AA2 2

contém os focos e os seus contém os focos e os seus extremos pertencem a elipse),extremos pertencem a elipse),

• Eixo menorEixo menor: : é o segmento Bé o segmento B11BB22 de de comprimento 2b (Bcomprimento 2b (B11BB2 2 ḻ ḻ AA11AA2 2 no seu no seu ponto médio).ponto médio).

• Excentricidade:Excentricidade: é o número é o número ee dado dado por por e=c/a. Como c<a, temos e=c/a. Como c<a, temos 0<e<1.0<e<1.


Elementos da ElipseElementos da Elipse


Equação Reduzida da Elipse

• Eixo maior sobre o eixo dos x:Eixo maior sobre o eixo dos x:

• Eixo maior sobre o eixo dos yEixo maior sobre o eixo dos y

• Relação fundamental:Relação fundamental:

1b

y

a

x2

2

2

2

a b c2 2 2

1a

y

b

x2

2

2

2

Equação da Elipse com Centro na Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:x:

Proposição 1. Proposição 1. (a) (a) A equação de uma A equação de uma elipse elipse cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é= (c, 0) é


1b

y

a

x2

2

2

2


Equação da Elipse com Centro na Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:x:

a

c

• Proposição 1. Proposição 1. (b) (b) A equação de uma A equação de uma elipse elipse cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é= (0, c) é


Equação da Elipse com Centro na Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos y:y:

1a

y

b

x2

2

2

2


Equação da Elipse com Centro na Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo maior sobre o eixo dos Origem e Eixo maior sobre o eixo dos y:y:

ac

OBSERVAÇÕESOBSERVAÇÕES

• Como temos que .Como temos que .

• Então, sempre o maior dos denominadores Então, sempre o maior dos denominadores da equação reduzida representa o número da equação reduzida representa o número onde onde aa é a medida do semi-eixo maior. é a medida do semi-eixo maior.

• E mais, se na equação da elipse o número E mais, se na equação da elipse o número é denominador de , a elipse tem seu eixo é denominador de , a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo x.maior sobre o eixo x.


a b c2 2 2 ba 22 ba

2a

2a2x

EXEMPLOSEXEMPLOS

1.1. Determinar: a medida dos semi-eixos, um Determinar: a medida dos semi-eixos, um esboço do gráfico, os focos e a esboço do gráfico, os focos e a excentricidade:excentricidade:

(a) (a)

(b)(b)


225259 22 yx

1100

y

36

x 22

2. 2. Deduza uma equação da elipse de focos Deduza uma equação da elipse de focos F1 = (-3, 0) e F2 = (0, 4) e eixo maior F1 = (-3, 0) e F2 = (0, 4) e eixo maior 7. 7.

3. Determine a equação da elipse que tem 3. Determine a equação da elipse que tem centro C(0,0), um foco F(3/4,0) e um centro C(0,0), um foco F(3/4,0) e um vértice A(1,0).vértice A(1,0).


EXEMPLOSEXEMPLOS

APLICAÇÕESAPLICAÇÕES

2222

A figura mostra os planetas girando em torno do Sol. Foi o astrônomo e matemático Johannes Kepler (1571-1630) que formulou 3 leis que regem o movimento planetário. Uma delas diz que um planeta gira em torno do Sol em uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.

http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_conicas/animacao.htm



No caso da Terra os semi-eixos são a = 153.493.000km e b = 153.454.000 km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra: (quase uma circunferência)

• Arcos em forma de semi-elipse são muito Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de empregados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos concreto e de pedras (desde os antigos romanos)romanos)



http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.devaneiocelestial.blogger.com.br/simetria_vida_3_tdg.JPG&imgrefurl=http://escondidin.blogspot.com/2008/10/simetria-cotidiana.html&usg=__FPaqYsiQc-eihoNWuYkcp9QvXng=&h=700&w=900&sz=139&hl=pt-BR&start=27&tbnid=Ffc-cVC9EC5qFM:&tbnh=114&tbnw=146&prev=/images?q=simetria+na+flor&gbv=2&ndsp=18&hl=pt-BR&sa=N&start=18

• Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias.estacionárias.

• Engenharia Mecânica: são usadas Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos).engrenagens elípticas (excêntricos).



HIPÉRBOLEHIPÉRBOLE



• Dados dois pontos F1 e F2 chamamos hipérbole o conjunto dos pontos P do plano tais que |d(P,F1) - d(P,F2)|=2a (0<2a<2c, 2c= d(F1,F2) ).

DEFINIÇÃO

Elementos da Hipérbole

• Focos:Focos: são os pontos Fsão os pontos F11 e F e F22,,• Distância Focal:Distância Focal: é a distância 2c é a distância 2c

entre os focos,entre os focos,• Centro:Centro: é o ponto médio C do é o ponto médio C do

segmento Fsegmento F11FF22,,• Vértices:Vértices: são os pontos Asão os pontos A11 e A e A22,,• Eixo Real ou transverso:Eixo Real ou transverso: é o é o

segmento Asegmento A11AA22 de comprimento de comprimento 2a,2a,

• Eixo imaginário ou conjugado:Eixo imaginário ou conjugado: é o é o segmento Bsegmento B11BB22 de comprimento de comprimento 2b,2b,

• Excentricidade:Excentricidade: é o número é o número ee dado por dado por e=c/a. Como c>a, e=c/a. Como c>a, temos e>1.temos e>1.


222 bac

• Eixo real sobre o eixo dos x:Eixo real sobre o eixo dos x:

• Eixo real sobre o eixo dos y:Eixo real sobre o eixo dos y:


Equação Reduzida da Hipérbole

1b

y

a

x2

2

2

2

1b

x

a

y2

2

2

2

• Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole cujos focos são F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) é


Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:

1b

y

a

x2

2

2

2


Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:

•Proposição 1. (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é


Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:

1b

x

a

y2

2

2

2


Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:


Assíntotas

• As retas são chamadas assíntotas da hipérbole.

• São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos.

xa

by

EXEMPLOEXEMPLO

• 1. Determinar na hipérbolea)A medida dos semi-eixosb)Um esboço gráficoc)Os vérticesd)Os focose)A excentricidadef)As equações das assínotas


06379 22 yx


EXEMPLOEXEMPLO

• 2. Determinar na hipérbolea)A medida dos semi-eixosb)Um esboço gráficoc)Os vérticesd)Os focose)A excentricidadef)As equações das assínotas

164

x

100

y 22

• 3. Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real de medida 6.

• R:

• 4. Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(-2,1) e F2(1,3) e eixo real 2.

• R:


EXEMPLOEXEMPLO

116

x

9

y 22

07924764820 2 yxxyx

• Recentemente, experimentos físicos mostraram que partículas carregadas atiradas em núcleos de átomos se espalham ao longo de trajetórias hiperbólicas.

• Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol).

• Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco).



• O O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de navegação aérea usam a hipérbole.

• Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observações de grande precisão).





PARÁBOLAPARÁBOLA



Parábola

• Dados um ponto F e uma reta d, com , seja p = d(F,d). Chamamos parábola o conjunto dos pontos P do plano que são equidistantes de F e d, i. é., d(P,F)= d(P,d).

dF


Parábola


Elementos da Parábola

• Foco:Foco: é o ponto F,é o ponto F,

• Diretriz:Diretriz: é a reta é a reta dd,,

• Eixo:Eixo: é a reta que passa pelo foco e é é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz,perpendicular à diretriz,

• VérticeVértice: : é o ponto V de interseção da é o ponto V de interseção da parábola com seu eixo,parábola com seu eixo,

• d(V,F)=d(V,A)d(V,F)=d(V,A)


Equação Reduzida da Parábola

• O eixo da parábola é o eixo dos y:

• Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para cima e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para baixo.

py2x 2


Equação Reduzida da Parábola

• O eixo da parábola é o eixo dos x:

• Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para a direita e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para a esquerda.

px2y 2

• 1. Achar as coordenadas do foco e a equação da diretriz das parábolas

a) b)


EXEMPLOEXEMPLO

xy 82

yx 82

• 2. Determine a equação da parábola sabendo que:

a) Vértice V(0,0) e foco F(-1,0)

b) Vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e concavidade voltada para cima.


EXEMPLOEXEMPLO

• (a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola.





• (b) Se um espelho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo).

• Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as ondas paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e confluem para o retransmissor).

• (c) Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da gravidade, a trajetória é uma parábola.



TRANSLAÇÃO DE EIXOSTRANSLAÇÃO DE EIXOS


Translação de Eixos

Consideremos no plano cartesiano xoy um ponto o’(h,k), arbitrário.

Vamos introduzir m novo sistema x’o’y’ tal que os eixos o’x’ o’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos ox e oy.

Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos.


• Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são:x e y em relação ao sistema xoy,x’ e y’ em relação ao sistema x’o’y’.Pela figura anterior, obtemos:x=x’+h e y=y’+k

Ou x’=x-h e y’=y-k

que são as fórmulas de translação e que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro.


Translação de Eixos

• 1º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y.A equação da parábola de vértice V(h,k) é:

• 2º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x.


Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema

)(2)( 2 kyphx

)(2)( 2 hxpky

• Sabemos que a equação da parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma padrão:

• Uma equação nessa forma pode ser escrita como:

que é chamada forma explícita da equação da parábola cujo eixo é paralelo ao eixo dos y.

• Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma explícita é

correspondente à forma padrão .


Equação da Parábola na Forma Explícita

)(2)( 2 kyphx

cbxaxy 2

cbyayx 2

)(2)( 2 hxpky

ExemploExemplo

• 1. Determine a equação da parábola de foco em F(1,2) e diretriz d:x=5

• Observação: Para completar o quadrado da expressão: somamos o quadrado da metade do coeficiente de y, isto é, .

• 2. Determinar o vértice, um esboço gráfico, o foco e a equação da diretriz da parábola


qyy 22

2

q

01862 xyy

• 1º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo x.A equação da elipse de centro C(h,k) é:

• 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y.


Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema

1b

k)-(y

a

h)-(x2

2

2

2

1a

k)-(y

b

h)-(x2

2

2

2

• 1. Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse de equação


ExemploExemplo

0436894 22 yxyx

• 1º Caso: O eixo real é paralelo ao eixo dos x.

A equação da hipérbole de centro C(h,k) é:

• 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y.


Equação da Hipérbole de Centro Fora da Origem do Sistema

1b

k)-(y

a

h)-(x2

2

2

2

1b

h)-(x

a

k)-(y2

2

2

2

• 1. Determinar o centro, um esboço do gráfico,os vértices e os focos da hipérbole de equação:


ExemploExemplo

043161849 22 yxyx


ExemploExemplo

• 2. Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e esboçar o gráfico da equação.

• A)A)

• B)B)

• C)C)

0362444 22 yxyx

0114822 yxyx

017682 yxy


Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau





+







Portanto o gráfico de uma equação do segundo grau pode ser:

1.Uma elipse2.Uma hipérbole3.Uma parábola4.Um par de retas5.Uma única reta6.Um ponto ou7.Conjunto vazio

De 1 a 6 chamamos cônicas e de 4 a 6 cônicas degeneradas.


ProposiçãoProposição

• Proposição: O gráfico de uma equação do 2º grau, isto é, o gráfico de uma equação da forma

ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0, a, b ou c não nulo é uma cônica.


Sessões CônicasSessões Cônicas








FIMFIM

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