Cônicas e Suas Propriedades Notáveis

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Lindomar Duarte de Souza

Cnicas e Suas Propriedades Notveis

Florianpolis-SC2014

Lindomar Duarte de Souza

Cnicas e Suas Propriedades Notveis

Dissertao apresentada ao Programa deMestrado Profissional em Matemtica, doCentro de Cincias Fsicas e Matemti-cas da Universidade Federal de Santa Ca-tarina, para obteno do grau de Mestreem Matemtica com rea de ConcentraoPROFMAT-UFSC associado ao Programade Mestrado Profissional em Matemtica emRede Nacional (PROFMAT).

Universidade Federal de Santa Catarina UFSC

Centro de Cincias Fsicas e Matemticas

Programa de Mestrado Profissional em Matemtica

Orientador: Prof. Dr. Celso Melchiades Doria

Florianpolis-SC2014

Lindomar Duarte de Souza

Cnicas e Suas Propriedades Notveis

Esta Dissertao foi julgada para a obten-o do Ttulo de Mestre em Matemtica pelaUniversidade Federal de Santa Catarina-UFSC, rea de Concentrao PROFMAT-UFSC e aprovada em sua forma final peloPrograma de Mestrado Profissional em Ma-temtica.

Trabalho aprovado. Florianpolis-SC, 13 de junho de 2014.

Banca Examinadora:

Agradecimentos

Agradeo Universidade Federal de Santa Catarina e aos professores das dis-ciplinas ministradas, pelo conhecimento compartilhado, to necessrio a nossa formaoacadmica. Agradeo CAPES pelo incentivo financeiro e ao Professor Dr. Gustavo AdolfoTorres Fernandes da Costa pelo acolhimento e gentil contribuio para o incio e desen-volvimento deste trabalho. Por ltimo, agradeo ao Professor Dr. Celso Melchiades Doriapela orientao, pelos esclarecimentos e pela ateno dispensada.

Resumo

Esta dissertao trata essencialmente com as formas geomtricas conhecidas comocnicas: a elipse, a hiprbole e a parbola. O foco principal est na demonstraodo Teorema de Dandelin-Quetelet, demonstrado na totalidade neste texto com afinalidade de obter as propriedades geomtricas de cada cnica. Trabalha, tambm,a construo geomtrica das cnicas e tambm as suas equaes em coordenadascartesianas. Destaca as aplicaes das propriedades geomtricas notveis das cni-cas. Apresenta, em apndice, um plano de aula direcionado aos alunos do ensinomdio, tendo a parbola como tpico e direcionada a sua identificao, construoe aplico, em particular, a aplicao das propriedades dessa cnica na elaboraode faris de automveis e antenas parablicas.

Palavras-chaves: Cnicas. Elipse. Hiprbole. Parbola. Propriedades.

Abstract

This dissertation deals mainly with the geometrical shapes known as conical: el-lipse, hyperbole and parables. The main focus is in the Dandelin-Quetelet Theoremdemonstration, shown in full in this text in order to obtain the geometrical prop-erties of each conic. It also deals with the geometrical construction of the conicaland with their equations in Cartesian coordinates. It highlights some notable ap-plications of geometric properties of the conical. It also features in its appendix alesson plan intended for high school students with a parabola as topic and targetedto the identification, the construction and the application of these properties to theimplementation of the designing of automotive headlights and parabolic antennas.

Keywords: Conics. Ellipse. Hyperbola. Parabola. Properties.

Lista de ilustraes

Figura 1 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Figura 2 Elementos do cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Figura 3 Cone de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Figura 4 Seco Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Figura 5 Seco Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 6 Seco Hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 7 Seco Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Figura 8 Retas tangentes esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 9 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Figura 10 Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 11 Hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 12 Construo geomtrica da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Figura 13 Construo geomtrica da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Figura 14 Construo geomtrica da hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 15 Equao da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Figura 16 Relao do tringulo retngulo na elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Figura 17 Equao da hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Figura 18 Relao tringulo retngulo na hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 19 Equao da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 20 Tangente elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 21 Tangente parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 22 Tangente hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Figura 23 Esboo de uma antena parbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Figura 24 ngulo de reflexo da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Figura 25 Plano receptor parbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Figura 26 Plano refletor parablico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Figura 27 Farol Parablico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Figura 28 Elipse e seus ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Figura 29 Espelho elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Figura 30 Representao acstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Figura 31 Grand Central Gallery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Figura 32 Hiprbole e seus ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Figura 33 Telescpio refletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Figura 34 Esquema Telescpio refletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 35 Sees cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 36 A parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 37 Construo da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Sumrio

Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1 Cnicas - Aspectos Histricos, Definies e Construes . . . . . . . . . . . 171.1 Aspectos Histricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Os Teoremas de Apolnio e Dandelin-Quetelet . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4 Construo Geomtrica das Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Equao das Cnicas em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . 312.1 Equao da Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Equao da Hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Equao da Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Propriedades Geomtricas Notveis das Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . 373.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Equao da Reta Tangente a uma Cnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Prova das Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Algumas Aplicaes das Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1 A aplicao da Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 A aplicao da Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 A aplicao da Hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Consideraes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Referncias Bibliogrficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

15

Introduo

Dentro do planejamento escolar tpico das escolas brasileiras, as cnicas figuramapenas no ltimo ano do Ensino Mdio. No uma extrapolao exagerada perceberque o estudo das cnicas visto, atualmente, de uma maneira superficial, sem a atenoapropriada aos detalhes e contextualizaes que podem se tornar extremamente relevantespara uma devida compreenso deste contedo na totalidade, especialmente se o aluno ircontinuar os estudos de Matemtica. Essa ideia reforada por Neto & Guimares (2008,p.2):

O ensino das cnicas no ensino mdio no Brasil, provavelmente, noacontece para a maioria dos alunos. E, quando acontece, se restringenormalmente a um curto perodo (uma a duas semanas) no terceiro anodo ensino mdio.

O principal propsito deste estudo o de aprofundar o aparato terico relativos cnicas, de maneira que seja possvel, ao final, produzir um plano de aula coerentetanto com a amplitude de contedo relativo s cnicas (mais especificamente, a parbola)quanto com nvel dos alunos de uma turma de terceiro ano do Ensino Mdio de umaescola pblica, a fim de mostrar uma aplicao para a construo de faris automotivose antenas parablicas.

Tambm damos ateno construo geomtrica das cnicas com lpis, rguae cordo. Essa seo est fundamentada, essencialmente, em dois trabalhos de COSTA(2007 & 2008), que discorrem amplamente tanto sobre o aspecto matemtico quanto so-bre o aspecto da construo. Demonstramos as equaes reduzidas da Elipse, Hiprbolee Parbola atravs da interpretao geomtrica e apresentamos as propriedades geom-