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Apresentação sobre seções cônicas
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7/21/2019 Conicas (Elipse e Hiperbole e Parabola)
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CÔNICASCÔNICAS
7/21/2019 Conicas (Elipse e Hiperbole e Parabola)
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CônicasCônicas 22
CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃODE CÔNICASDE CÔNICAS
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CÔNICAS NÃOCÔNICAS NÃODEGENERADASDEGENERADAS
CônicasCônicas 33
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• Estudaremos asEstudaremos as(seções) cônicas,(seções) cônicas,
curvas planascurvas planasque são obtidasque são obtidasda intersecçãoda intersecçãode um conede um cone
circular com umcircular com um plano. plano.
CônicasCônicas 44
CÔNICAS
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CônicasCônicas55
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CônicasCônicas 66
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CônicasCônicas 77
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• Vamos defní-las como conjunto deVamos defní-las como conjunto depontos que satisazem certaspontos que satisazem certaspropriedades e determinar aspropriedades e determinar as
equações na orma mais simples.equações na orma mais simples.
CônicasCônicas 88
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ELIPEELIPE
CônicasCônicas 99
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!E"I#I$%&
• !ados dois pontos!ados dois pontos F F 11 ee F F 22 c'amamosc'amamoselipseelipse o conjunto dos pontoso conjunto dos pontos PP dodo
plano tais queplano tais que d(P,F d(P,F 11 )d(P,F )d(P,F 22 )!2a )!2a..
CônicasCônicas 1010
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ELIPEELIPE
CônicasCônicas 1111
Elipse ( o conjunto dos pontos P ! (", #) tais que d(P, F1) ) d(P, F2) * 2a
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CônicasCônicas 1212
ELIPEELIPE
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• FocosFocos++ s,o os pontos "s,o os pontos " e "e "//• $ist%ncia Focal$ist%ncia Focal++ ( a dist0ncia c( a dist0ncia c
entre os ocos/entre os ocos/• &entro&entro++ ( o ponto m(dio 1 do( o ponto m(dio 1 do
se2mento "se2mento """//• 'rtices'rtices++ s,o os pontos 3s,o os pontos 3/ 3/ 3/ 4/ 4 ee
44//
• Ei"o maior Ei"o maior ++ ( o se2mento 3( o se2mento 333 dedecomprimento a 5 o se2mento 3comprimento a 5 o se2mento 333
cont(m os ocos e os seuscont(m os ocos e os seuse6tremos pertencem a elipse7/e6tremos pertencem a elipse7/
• Ei"o menor Ei"o menor ++ ( o se2mento 4( o se2mento 444 dedecomprimento 8 54comprimento 8 5444 9 9 3333 no seuno seu
ponto m(dio7.ponto m(dio7.• E"centricidadeE"centricidade ( o n:mero( o n:mero ee dadodado
porpor e!c*a. &omo c+a, temose!c*a. &omo c+a, temos+e+1.+e+1.
CônicasCônicas 1313
Elementos da ElipseElementos da Elipse
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CônicasCônicas 1414
Equação Reduida da Elipse
• Ei6o maior so8re o ei6o dos 6+Ei6o maior so8re o ei6o dos 6+
• Ei6o maior so8re o ei6o dos ;Ei6o maior so8re o ei6o dos ;
• <elaç,o undamental+<elaç,o undamental+
1b
y
a
x2
2
2
2
=+
a b c2 2 2
= +
1
a
y
b
x2
2
2
2
=+
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Equação da Elipse com &entro naEquação da Elipse com &entro na
-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos " "!"oposição #$!"oposição #$ 5a75a7 3 equaç,o de uma3 equaç,o de umaelipseelipse cujos ocos s,o " * 5 - c/ =7 e "cujos ocos s,o " * 5 - c/ =7 e "
* 5c/ =7 (* 5c/ =7 (
CônicasCônicas 1515
1
b
y
a
x2
2
2
2
=+
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CônicasCônicas 1616
Equação da Elipse com &entro naEquação da Elipse com &entro na
-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos " "
a
c
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• Proposição 1.Proposição 1. 587587 3 equaç,o de uma3 equaç,o de umaelipseelipse cujos ocos s,o " * 5=/ - c7 e "cujos ocos s,o " * 5=/ - c7 e "
* 5=/ c7 (* 5=/ c7 (
CônicasCônicas 1717
Equação da Elipse com &entro naEquação da Elipse com &entro na-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos
# #
1a
y
b
x2
2
2
2
=+
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CônicasCônicas 1818
Equação da Elipse com &entro naEquação da Elipse com &entro na-riem e Ei"o maior sobre o ei"o dos-riem e Ei"o maior sobre o ei"o dos
# #
a
c
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&4E<V3$>E&4E<V3$>E
• 1omo temos que .1omo temos que .
• Ent,o/ sempre o maior dos denominadoresEnt,o/ sempre o maior dos denominadores
da equaç,o reduzida representa o n:meroda equaç,o reduzida representa o n:meroondeonde aa ( a medida do semi-ei6o maior.( a medida do semi-ei6o maior.
• E mais/ se na equaç,o da elipse o n:meroE mais/ se na equaç,o da elipse o n:mero( denominador de / a elipse tem seu ei6o( denominador de / a elipse tem seu ei6omaior so8re o ei6o 6.maior so8re o ei6o 6.
CônicasCônicas 1919
a b c2 2 2
= + ba >⇒> 22 ba
2
a
2a
2x
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E?E@PL&E?E@PL&
.. !eterminar+ a medida dos semi-ei6os/ um!eterminar+ a medida dos semi-ei6os/ umes8oço do 2rAfco/ os ocos e aes8oço do 2rAfco/ os ocos e a
e6centricidade+e6centricidade+
5a75a7
587587
CônicasCônicas 2020
225259 =+ 22yx
1100
y
36
x 22
=+
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.. !eduza uma equaç,o da elipse de ocos!eduza uma equaç,o da elipse de ocos" * 5-B/ =7 e " * 5=/ C7 e ei6o maior" * 5-B/ =7 e " * 5=/ C7 e ei6o maior
D.D.
B. !etermine a equaç,o da elipse que temB. !etermine a equaç,o da elipse que temcentro 15=/=7/ um oco "5BC/=7 e umcentro 15=/=7/ um oco "5BC/=7 e umF(rtice 35/=7.F(rtice 35/=7.
CônicasCônicas 2121
E?E@PL&E?E@PL&
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3PLI13$>E3PLI13$>E
2222
3 f2ura mostra os planetas 2irando em torno do ol. "oi o astrGnomo ematemAtico Ho'annes epler 5JD-KB=7 que ormulou B leis quere2em o moFimento planetArio. ma delas diz que um planeta 2ira emtorno do ol em uma Mr8ita elíptica com o ol em um dos ocos.
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CônicasCônicas 2323
3PLI13$>E3PLI13$>E
#o caso da Nerra os semi-ei6os s,o a *
JB.COB.===m e 8 * JB.CJC.=== m. !ondepodemos o8ter a e6centricidade da Mr8ita da Nerra+ 5quase uma circunerQncia7
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• 3rcos em orma de semi-elipse s,o muito3rcos em orma de semi-elipse s,o muitoempre2ados na construç,o de pontes deempre2ados na construç,o de pontes deconcreto e de pedras 5desde os anti2osconcreto e de pedras 5desde os anti2osromanos7romanos7
CônicasCônicas 2424
3PLI13$>E3PLI13$>E
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• En2en'aria El(trica+ conjuntos de elipsesEn2en'aria El(trica+ conjuntos de elipses'omoocais 5elipses de mesmo oco7 s,o'omoocais 5elipses de mesmo oco7 s,outilizadas na teoria de correntes el(tricasutilizadas na teoria de correntes el(tricas
estacionArias.estacionArias.
• En2en'aria @ec0nica+ s,o usadasEn2en'aria @ec0nica+ s,o usadasen2rena2ens elípticas 5e6cQntricos7.en2rena2ens elípticas 5e6cQntricos7.
CônicasCônicas 2525
3PLI13$>E3PLI13$>E
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RIPS<4&LERIPS<4&LE
CônicasCônicas 2626
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CônicasCônicas 2727
• !ados dois pontos "- e ". c'amamos
'ip(r8ole o conjunto dos pontos P do planotais queTd5P/"-7 - d5P/".7T*a 5=UaUc/ c*d5"-/".7 7.
DEFINIÇÃO
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Elementos da %ip&"'ole
• FocosFocos s,o os pontos "s,o os pontos " e "e "//
• $ist%ncia Focal$ist%ncia Focal ( a dist0ncia c( a dist0ncia centre os ocos/entre os ocos/
• &entro&entro ( o ponto m(dio 1 do( o ponto m(dio 1 dose2mento "se2mento """//
• 'rtices'rtices s,o os pontos 3s,o os pontos 3 e 3e 3//
• Ei"o eal ou transversoEi"o eal ou transverso ( o( ose2mento 3se2mento 333 de comprimento a/de comprimento a/
• Ei"o imainrio ou con3uadoEi"o imainrio ou con3uado ( o( ose2mento 4se2mento 444 de comprimento 8/de comprimento 8/
• E"centricidadeE"centricidade ( o n:mero( o n:mero ee dado pordado por e!c*a. &omo c4a,e!c*a. &omo c4a,temos e41.temos e41.
CônicasCônicas 2828
222
bac +=
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• Ei6o real so8re o ei6o dos 6+Ei6o real so8re o ei6o dos 6+
• Ei6o real so8re o ei6o dos ;+Ei6o real so8re o ei6o dos ;+
CônicasCônicas 2929
Equação Reduida da %ip&"'ole
1b
y
a
x
2
2
2
2
=−
1b
x
a
y2
2
2
2
=−
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• Proposição 1. 5a7 3 equaç,o de umaHipérbole cujos ocos s,o " * 5- c/ =7 e
" * 5c/ =7 (
CônicasCônicas 3030
Equação da 5iprbole com &entro na-riem e Ei"o eal sobre o ei"o dos "
1b
y
a
x2
2
2
2
=−
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CônicasCônicas 3131
Equação da 5iprbole com &entro na-riem e Ei"o eal sobre o ei"o dos "
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•Proposiç,o . 587 3 equaç,o de uma'ip(r8ole cujos ocos s,o " * 5=/ - c7
e " * 5=/ c7 (
CônicasCônicas 3232
Equação da 5iprbole com &entro na-riem e Ei"o eal sobre o ei"o dos #
1
b
x
a
y2
2
2
2
=−
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CônicasCônicas 3333
Equação da 5iprbole com &entro na-riem e Ei"o eal sobre o ei"o dos #
A ( t t
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CônicasCônicas 3434
Ass(ntotas
• 3s retas s,o c'amadas assíntotas da'ip(r8ole.
• ,o retas das quais a 'ip(r8ole se apro6ima cada Fezmais medida que os pontos se aastam dos ocos.
xa
b y ±=
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Uma técnica para esboçar hipérboles
!etermine se o ei6o ocal estA so8re o ei6oou ei6o .
!etermine os Falores e e desen'e umret0n2ulo...
!esen'e as assíntotas ao lon2o das dia2onaisdo ret0n2ulo.
sando o ret0n2ulo e as assíntotas como 2uia/es8oce o 2rAfco da 'ip(r8ole.
x y
a b
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CônicasCônicas 3737
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CônicasCônicas 3838
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E?E@PL&E?E@PL&
• . !eterminar na 'ip(r8olea73 medida dos semi-ei6os
87m es8oço 2rAfcoc7&s F(rticesd7&s ocos
e73 e6centricidade73s equações das assínotas
CônicasCônicas 3939
06379 =−− 22yx
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CônicasCônicas 4040
E?E@PL&E?E@PL&
• . !eterminar na 'ip(r8olea73 medida dos semi-ei6os
87m es8oço 2rAfcoc7&s F(rticesd7&s ocos
e73 e6centricidade73s equações das assínotas
164
x
100
y 22
=−
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• B. Encontre uma equaç,o da 'ip(r8ole deocos "5=/-J7 e "5=/J7 e ei6o real demedida K.
• <+
• C. Encontre uma equaç,o da 'ip(r8ole deocos "5-/7 e "5/B7 e ei6o real .
• <+
CônicasCônicas 4141
E?E@PL&E?E@PL&
116x
9y
22
=−
07924764820 2
=−+−+ y x xy x
>
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• <ecentemente/ e6perimentos ísicos mostraram que
partículas carre2adas atiradas em n:cleos de Atomosse espal'am ao lon2o de trajetMrias 'iper8Mlicas.
• @ec0nica 1eleste+ dependendo de sua Felocidade/
um cometa tem uma Mr8ita elíptica/ para8Mlica ou'iper8Mlica 5o oco coincide com o ol7.
• Em @ec0nica dos "luidos e em al2uns pro8lemasreerentes ao Wu6o estacionArio de eletricidade s,outilizadas 'ip(r8oles 'omoocais 5de mesmo oco7.
CônicasCônicas 4242
3PLI13$>E3PLI13$>E
>>
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• && sistema L&<3# 5lon2 ran2e naFi2ation7 e osistema !E113 de naFe2aç,o a(rea usam a'ip(r8ole.
• I2ualmente na naFe2aç,o marítima utilizam-sesistemas 'iper8Mlicos+ & sistema <3!? 5de8ai6íssima reqXQncia7 e o sistema L&<31 5deondas contínuas para o8serFações de 2rande
precis,o7.
CônicasCônicas 4343
3PLI13$>E3PLI13$>E
7/21/2019 Conicas (Elipse e Hiperbole e Parabola)
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CônicasCônicas 4444
3PLI13$>E3PLI13$>E
7/21/2019 Conicas (Elipse e Hiperbole e Parabola)
http://slidepdf.com/reader/full/conicas-elipse-e-hiperbole-e-parabola 45/55
P3<Y4&L3P3<Y4&L3
CônicasCônicas 4545
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CônicasCônicas 4848
Elementos da !a")'ola
• FocoFoco ( o ponto "/( o ponto "/
• $iretri6$iretri6 ( a reta( a reta dd//
• Ei"oEi"o ( a reta que passa pelo oco e (( a reta que passa pelo oco e (
perpendicular diretriz/perpendicular diretriz/• 'rtice'rtice++ ( o ponto V de interseç,o da( o ponto V de interseç,o da
parA8ola com seu ei6o/parA8ola com seu ei6o/
• d5V/"7*d5V/d7d5V/"7*d5V/d7
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7/21/2019 Conicas (Elipse e Hiperbole e Parabola)
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7/21/2019 Conicas (Elipse e Hiperbole e Parabola)
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3PLI13$>E3PLI13$>E
7/21/2019 Conicas (Elipse e Hiperbole e Parabola)
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• 5a7 3 secç,o de um arol de automMFel tem o
ormato de uma parA8ola 5a superícieespel'ada ( um para8olMide7. 3 l0mpadasituada no oco/ quando acesa/ emite raiosluminosos que apMs incidirem so8re a
parA8ola ser,o reWetidos numa mesmadireç,o se2undo retas paralelas ao ei6o daparA8ola.
CônicasCônicas 5252
3PLI13$>E3PLI13$>E
>
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CônicasCônicas 5353
3PLI13$>E3PLI13$>E
• 587 e um espel'o para8Mlico ( apontadopara o ol/ os raios da luz 5paralelos ao ei6oda parA8ola7 ser,o reWetidos para o mesmoponto 5oco7. Pela 2rande quantidade de
calor produzido nesta onte/ procede onome oco 5em latim ocus si2nifca o2o7.• 3plica-se o mesmo princípio na construç,o
de espel'os para telescMpios/ antenas de
radar e antenas para8Mlicas 5as ondasparalelas ao ei6o da parA8ola/ se reWetemna antena e conWuem para o retransmissor7.
7/21/2019 Conicas (Elipse e Hiperbole e Parabola)
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• 5c7 Em 8alística/ quando se lança um proj(tilso8re o qual atua somente a orça da2raFidade/ a trajetMria ( uma parA8ola.
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