Conicas (Elipse e Hiperbole e Parabola)

7/21/2019 Conicas (Elipse e Hiperbole e Parabola)

http://slidepdf.com/reader/full/conicas-elipse-e-hiperbole-e-parabola 1/55

CÔNICASCÔNICAS



CônicasCônicas 22

CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃODE CÔNICASDE CÔNICAS



CÔNICAS NÃOCÔNICAS NÃODEGENERADASDEGENERADAS

CônicasCônicas 33



• Estudaremos asEstudaremos as(seções) cônicas,(seções) cônicas,

curvas planascurvas planasque são obtidasque são obtidasda intersecçãoda intersecçãode um conede um cone

circular com umcircular com um plano. plano.

CônicasCônicas 44

CÔNICAS



CônicasCônicas55



CônicasCônicas 66



CônicasCônicas 77



• Vamos defní-las como conjunto deVamos defní-las como conjunto depontos que satisazem certaspontos que satisazem certaspropriedades e determinar aspropriedades e determinar as

equações na orma mais simples.equações na orma mais simples.

CônicasCônicas 88



ELIPEELIPE

CônicasCônicas 99



!E"I#I$%&

• !ados dois pontos!ados dois pontos F F 11 ee F F 22 c'amamosc'amamoselipseelipse o conjunto dos pontoso conjunto dos pontos PP dodo

plano tais queplano tais que d(P,F d(P,F 11 )d(P,F )d(P,F 22 )!2a )!2a..

CônicasCônicas 1010



ELIPEELIPE


Elipse ( o conjunto dos pontos P ! (", #) tais que d(P, F1) ) d(P, F2) * 2a




ELIPEELIPE



• FocosFocos++ s,o os pontos "s,o os pontos " e "e "//• $ist%ncia Focal$ist%ncia Focal++ ( a dist0ncia c( a dist0ncia c

entre os ocos/entre os ocos/• &entro&entro++ ( o ponto m(dio 1 do( o ponto m(dio 1 do

se2mento "se2mento """//• 'rtices'rtices++ s,o os pontos 3s,o os pontos 3/ 3/ 3/ 4/ 4 ee

44//

• Ei"o maior Ei"o maior ++ ( o se2mento 3( o se2mento 333 dedecomprimento a 5 o se2mento 3comprimento a 5 o se2mento 333

cont(m os ocos e os seuscont(m os ocos e os seuse6tremos pertencem a elipse7/e6tremos pertencem a elipse7/

• Ei"o menor Ei"o menor ++ ( o se2mento 4( o se2mento 444 dedecomprimento 8 54comprimento 8 5444 9 9 3333 no seuno seu

ponto m(dio7.ponto m(dio7.• E"centricidadeE"centricidade ( o n:mero( o n:mero ee dadodado

porpor e!c*a. &omo c+a, temose!c*a. &omo c+a, temos+e+1.+e+1.


Elementos da ElipseElementos da Elipse




Equação Reduida da Elipse

• Ei6o maior so8re o ei6o dos 6+Ei6o maior so8re o ei6o dos 6+

• Ei6o maior so8re o ei6o dos ;Ei6o maior so8re o ei6o dos ;

• <elaç,o undamental+<elaç,o undamental+

1b

y

a

x2

2

2

2

=+

a b c2 2 2

= +

1

a

y

b

x2

2

2

2

=+



Equação da Elipse com &entro naEquação da Elipse com &entro na

-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos " "!"oposição #$!"oposição #$ 5a75a7 3 equaç,o de uma3 equaç,o de umaelipseelipse cujos ocos s,o " * 5 - c/ =7 e "cujos ocos s,o " * 5 - c/ =7 e "

* 5c/ =7 (* 5c/ =7 (


1

b

y

a

x2

2

2

2

=+




Equação da Elipse com &entro naEquação da Elipse com &entro na

-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos " "

a

c



• Proposição 1.Proposição 1. 587587 3 equaç,o de uma3 equaç,o de umaelipseelipse cujos ocos s,o " * 5=/ - c7 e "cujos ocos s,o " * 5=/ - c7 e "

* 5=/ c7 (* 5=/ c7 (


Equação da Elipse com &entro naEquação da Elipse com &entro na-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos-riem e Ei"o /aior 0obre o Ei"o dos

# #

1a

y

b

x2

2

2

2

=+




Equação da Elipse com &entro naEquação da Elipse com &entro na-riem e Ei"o maior sobre o ei"o dos-riem e Ei"o maior sobre o ei"o dos

# #

a

c



&4E<V3$>E&4E<V3$>E

• 1omo temos que .1omo temos que .

• Ent,o/ sempre o maior dos denominadoresEnt,o/ sempre o maior dos denominadores

da equaç,o reduzida representa o n:meroda equaç,o reduzida representa o n:meroondeonde aa ( a medida do semi-ei6o maior.( a medida do semi-ei6o maior.

• E mais/ se na equaç,o da elipse o n:meroE mais/ se na equaç,o da elipse o n:mero( denominador de / a elipse tem seu ei6o( denominador de / a elipse tem seu ei6omaior so8re o ei6o 6.maior so8re o ei6o 6.


a b c2 2 2

= + ba >⇒> 22 ba

2

a

2a

2x



E?E@PL&E?E@PL&

.. !eterminar+ a medida dos semi-ei6os/ um!eterminar+ a medida dos semi-ei6os/ umes8oço do 2rAfco/ os ocos e aes8oço do 2rAfco/ os ocos e a

e6centricidade+e6centricidade+

5a75a7

587587


225259 =+ 22yx

1100

y

36

x 22

=+



.. !eduza uma equaç,o da elipse de ocos!eduza uma equaç,o da elipse de ocos" * 5-B/ =7 e " * 5=/ C7 e ei6o maior" * 5-B/ =7 e " * 5=/ C7 e ei6o maior

D.D.

B. !etermine a equaç,o da elipse que temB. !etermine a equaç,o da elipse que temcentro 15=/=7/ um oco "5BC/=7 e umcentro 15=/=7/ um oco "5BC/=7 e umF(rtice 35/=7.F(rtice 35/=7.


E?E@PL&E?E@PL&



3PLI13$>E3PLI13$>E

2222

3 f2ura mostra os planetas 2irando em torno do ol. "oi o astrGnomo ematemAtico Ho'annes epler 5JD-KB=7 que ormulou B leis quere2em o moFimento planetArio. ma delas diz que um planeta 2ira emtorno do ol em uma Mr8ita elíptica com o ol em um dos ocos.

http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_conicas/animacao.htm




3PLI13$>E3PLI13$>E

#o caso da Nerra os semi-ei6os s,o a *

JB.COB.===m e 8 * JB.CJC.=== m. !ondepodemos o8ter a e6centricidade da Mr8ita da Nerra+ 5quase uma circunerQncia7



• 3rcos em orma de semi-elipse s,o muito3rcos em orma de semi-elipse s,o muitoempre2ados na construç,o de pontes deempre2ados na construç,o de pontes deconcreto e de pedras 5desde os anti2osconcreto e de pedras 5desde os anti2osromanos7romanos7


3PLI13$>E3PLI13$>E

http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.devaneiocelestial.blogger.com.br/simetria_vida_3_tdg.JPG&imgrefurl=http://escondidin.blogspot.com/2008/10/simetria-cotidiana.html&usg=__FPaqYsiQc-eihoNWuYkcp9QvXng=&h=700&w=900&sz=139&hl=pt-BR&start=27&tbnid=Ffc-cVC9EC5qFM:&tbnh=114&tbnw=146&prev=/images?q=simetria+na+flor&gbv=2&ndsp=18&hl=pt-BR&sa=N&start=18





• En2en'aria El(trica+ conjuntos de elipsesEn2en'aria El(trica+ conjuntos de elipses'omoocais 5elipses de mesmo oco7 s,o'omoocais 5elipses de mesmo oco7 s,outilizadas na teoria de correntes el(tricasutilizadas na teoria de correntes el(tricas

estacionArias.estacionArias.

• En2en'aria @ec0nica+ s,o usadasEn2en'aria @ec0nica+ s,o usadasen2rena2ens elípticas 5e6cQntricos7.en2rena2ens elípticas 5e6cQntricos7.


3PLI13$>E3PLI13$>E



RIPS<4&LERIPS<4&LE





• !ados dois pontos "- e ". c'amamos

'ip(r8ole o conjunto dos pontos P do planotais queTd5P/"-7 - d5P/".7T*a 5=UaUc/ c*d5"-/".7 7.

DEFINIÇÃO



Elementos da %ip&"'ole

• FocosFocos s,o os pontos "s,o os pontos " e "e "//

• $ist%ncia Focal$ist%ncia Focal ( a dist0ncia c( a dist0ncia centre os ocos/entre os ocos/

• &entro&entro ( o ponto m(dio 1 do( o ponto m(dio 1 dose2mento "se2mento """//

• 'rtices'rtices s,o os pontos 3s,o os pontos 3 e 3e 3//

• Ei"o eal ou transversoEi"o eal ou transverso ( o( ose2mento 3se2mento 333 de comprimento a/de comprimento a/

• Ei"o imainrio ou con3uadoEi"o imainrio ou con3uado ( o( ose2mento 4se2mento 444 de comprimento 8/de comprimento 8/

• E"centricidadeE"centricidade ( o n:mero( o n:mero ee dado pordado por e!c*a. &omo c4a,e!c*a. &omo c4a,temos e41.temos e41.


222

bac +=



• Ei6o real so8re o ei6o dos 6+Ei6o real so8re o ei6o dos 6+

• Ei6o real so8re o ei6o dos ;+Ei6o real so8re o ei6o dos ;+


Equação Reduida da %ip&"'ole

1b

y

a

x

2

2

2

2

=−

1b

x

a

y2

2

2

2

=−



• Proposição 1. 5a7 3 equaç,o de umaHipérbole cujos ocos s,o " * 5- c/ =7 e

" * 5c/ =7 (


Equação da 5iprbole com &entro na-riem e Ei"o eal sobre o ei"o dos "

1b

y

a

x2

2

2

2

=−




Equação da 5iprbole com &entro na-riem e Ei"o eal sobre o ei"o dos "



•Proposiç,o . 587 3 equaç,o de uma'ip(r8ole cujos ocos s,o " * 5=/ - c7

e " * 5=/ c7 (


Equação da 5iprbole com &entro na-riem e Ei"o eal sobre o ei"o dos #

1

b

x

a

y2

2

2

2

=−




Equação da 5iprbole com &entro na-riem e Ei"o eal sobre o ei"o dos #

A ( t t




Ass(ntotas

• 3s retas s,o c'amadas assíntotas da'ip(r8ole.

• ,o retas das quais a 'ip(r8ole se apro6ima cada Fezmais medida que os pontos se aastam dos ocos.

xa

b y ±=





Uma técnica para esboçar hipérboles

!etermine se o ei6o ocal estA so8re o ei6oou ei6o .

!etermine os Falores e e desen'e umret0n2ulo...

!esen'e as assíntotas ao lon2o das dia2onaisdo ret0n2ulo.

sando o ret0n2ulo e as assíntotas como 2uia/es8oce o 2rAfco da 'ip(r8ole.

x y

a b









E?E@PL&E?E@PL&

• . !eterminar na 'ip(r8olea73 medida dos semi-ei6os

87m es8oço 2rAfcoc7&s F(rticesd7&s ocos

e73 e6centricidade73s equações das assínotas


06379 =−− 22yx




E?E@PL&E?E@PL&

• . !eterminar na 'ip(r8olea73 medida dos semi-ei6os

87m es8oço 2rAfcoc7&s F(rticesd7&s ocos

e73 e6centricidade73s equações das assínotas

164

x

100

y 22

=−



• B. Encontre uma equaç,o da 'ip(r8ole deocos "5=/-J7 e "5=/J7 e ei6o real demedida K.

• <+

• C. Encontre uma equaç,o da 'ip(r8ole deocos "5-/7 e "5/B7 e ei6o real .

• <+


E?E@PL&E?E@PL&

116x

9y

22

=−

07924764820 2

=−+−+ y x xy x

>



• <ecentemente/ e6perimentos ísicos mostraram que

partículas carre2adas atiradas em n:cleos de Atomosse espal'am ao lon2o de trajetMrias 'iper8Mlicas.

• @ec0nica 1eleste+ dependendo de sua Felocidade/

um cometa tem uma Mr8ita elíptica/ para8Mlica ou'iper8Mlica 5o oco coincide com o ol7.

• Em @ec0nica dos "luidos e em al2uns pro8lemasreerentes ao Wu6o estacionArio de eletricidade s,outilizadas 'ip(r8oles 'omoocais 5de mesmo oco7.


3PLI13$>E3PLI13$>E

>>



• && sistema L&<3# 5lon2 ran2e naFi2ation7 e osistema !E113 de naFe2aç,o a(rea usam a'ip(r8ole.

• I2ualmente na naFe2aç,o marítima utilizam-sesistemas 'iper8Mlicos+ & sistema <3!? 5de8ai6íssima reqXQncia7 e o sistema L&<31 5deondas contínuas para o8serFações de 2rande

precis,o7.


3PLI13$>E3PLI13$>E




3PLI13$>E3PLI13$>E



P3<Y4&L3P3<Y4&L3









Elementos da !a")'ola

• FocoFoco ( o ponto "/( o ponto "/

• $iretri6$iretri6 ( a reta( a reta dd//

• Ei"oEi"o ( a reta que passa pelo oco e (( a reta que passa pelo oco e (

perpendicular diretriz/perpendicular diretriz/• 'rtice'rtice++ ( o ponto V de interseç,o da( o ponto V de interseç,o da

parA8ola com seu ei6o/parA8ola com seu ei6o/

• d5V/"7*d5V/d7d5V/"7*d5V/d7







3PLI13$>E3PLI13$>E



• 5a7 3 secç,o de um arol de automMFel tem o

ormato de uma parA8ola 5a superícieespel'ada ( um para8olMide7. 3 l0mpadasituada no oco/ quando acesa/ emite raiosluminosos que apMs incidirem so8re a

parA8ola ser,o reWetidos numa mesmadireç,o se2undo retas paralelas ao ei6o daparA8ola.


3PLI13$>E3PLI13$>E

>




3PLI13$>E3PLI13$>E

• 587 e um espel'o para8Mlico ( apontadopara o ol/ os raios da luz 5paralelos ao ei6oda parA8ola7 ser,o reWetidos para o mesmoponto 5oco7. Pela 2rande quantidade de

calor produzido nesta onte/ procede onome oco 5em latim ocus si2nifca o2o7.• 3plica-se o mesmo princípio na construç,o

de espel'os para telescMpios/ antenas de

radar e antenas para8Mlicas 5as ondasparalelas ao ei6o da parA8ola/ se reWetemna antena e conWuem para o retransmissor7.



• 5c7 Em 8alística/ quando se lança um proj(tilso8re o qual atua somente a orça da2raFidade/ a trajetMria ( uma parA8ola.


3PLI13$>E3PLI13$>E



FI*FI*

Documents

Conicas (Elipse e Hiperbole e Parabola)