CÔNICAS

Alunos: ElsioElsio Luiz Luiz AndrettaAndretta FilhoFilhoEvandro JosEvandro Joséé SoaresSoaresGenivalGenival PavanelliPavanelliMMáárcio Macrcio Macáário da Cunhario da CunhaRenato Vaz de JesusRenato Vaz de Jesus

SEÇÕES CÔNICAS: Iremos aplicar nosso trabalho ao estudo de equações da forma: ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0, onde a, b,…f são números reais e pelo menos um dentre a, b e c é não nulo. Uma equação deste tipo é chamada uma equação quadrática em x e y e ax2+2bxy+cy2 é chamada a forma quadrática associada.

As cônicas mais importantes são as elipses, os círculos, as hipérboles e as parábolas, que são chamadas cônicas não-degeneradas. As demais cônicas são chamadas degeneradas e incluem pontos isolados e pares de retas.

12

2

2

2

ay

ax 12

2

2

2

by

ax

x

y

(a;0)

(0;-a)

(-a;0)

(0;a)y

(a;0)

(0;-b)

(-a;0)

(0;b)

x

CIRCUNFERÊNCIA ELIPSE

y

(a;0)

(0;-b)

(-a;0)

(0;b)

x

y

x

12

2

2

2

by

ax x2=ay

ELIPSE PARÁBOLA

y

x

y

x

x2=ay , a<0 y2=ax , a>0

PARÁBOLA PARÁBOLA

y

x

y

(a;0)(-a;0) x

y2=ax , a<00 b , 0 a , 12

2

2

2

by

ax

PARÁBOLA HIPÉRBOLE

y

(0;-b)

(0;b)

x

HIPÉRBOLE

0 b , 0 a , 12

2

2

2

bx

ay

Teorema dos Eixos Principais em R2

Seja ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0, a equação de uma cônica C e seja XTAX = ax2+2bxy+cy2 a forma quadrática associada. Então os eixos coordenados podem ser girados de tal modo que a equação de C no novo sistema x’y’ tem a forma

1x’2+ 2y’2+d’x’+e’y’+f=0,onde o 1 e 2 são os autovalores de A. A rotação pode ser efetuada pela substituição x=Py onde P diagonalizaA ortogonalmente.

Onde: a ou b ou c 0.

Os seguintes exemplos recaem facilmente nas formas padrões:

Ex1.: 4x2+25y2-100=0Reduzindo obtemos:

Cujo gráfico é uma elipse.Ex2.: 9y2-4x2=-36

Reduzindo obtemos:

Cujo gráfico é uma hipérbole.Ex3.: x2+4y=0

Reduzindo obtemos: x2=-4y

Cujo gráfico é uma parábola.Ex4.:y2=0

O gráfico consiste em todos os pontos do eixo x.

1425

22

yx

149

22

yx

Ex5.:x2+9y2+9=0x2+9y2= - 9, conclui-se que não há pontos do plano que satisfazem a equação dada.

Ex6.:x2+y2=0O único ponto que satisfaz esta equação é a origem ( 0 ; 0 ).

Ex7.: x2-4y2+6x+16y-23=0x2+6x+9-4(y2-4y+4)=9+23-16(x+3)2-4(y-2)2=16 , fazendo x’=x+3 e y’=y-2 , temosx’2 - 4y’2=16 reduzindo à forma padrão,uma hipérbole.É uma hipérbole transladada do eixo xy para um eixo

x’y’ cuja origem está em (-3;2) de xy. Lembrando que o ex7 foi resolvido dessa maneira pois não havia termo cruzado (b0, de ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0).

Como obter a forma matricial de uma equação quadrática:

ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 →

Ex8.: Identifique o gráfico da equação5x2 – 6 xy + 5y2 – 24(2)1/2x + 8(2)1/2y + 56 = 0.

> implicitplot(5*x^2-6*x*y+5*y^2-24*sqrt(2)*x+8*sqrt(2)*y+56 = 0, x=0..6, y=-1..3);

0...

fyx

edyx

cbba

yx

• Escreva a equação na forma padrão.• Solução: Colocando a equação dada em forma

matricial, obtemos:

• A=

• Os autovalores de A são 1=2 e 2=8

• Autovetor associado a 1=2

• Autovetor associado a 2=8

056 28224 5335

yx

yx

yx

11

11

5335

Normalizando estes vetores obtemos P,

P= , logo PTAP=

21

21

21

21

8002

Fazendo x=Py, podemos escrever a equação transformada como

2x’2+8y’2-16x’+32y’+56=0 x’2+4y’2-8x’+16y’+28=0

Para identificar o gráfico dessa equação, precisamos transladar os eixos, de modo que completamos os quadrados para obter

(x’-4)2+4(y’+2)2=4

fazendo x”=x’-4 e y”=y’+2 11"

4" 22

yx

x’2 + 4y’2 – 8x’ + 16y’ + 28 = 0

> implicitplot(x^2+4*y^2-8*x+16*y+28 = 0,x=1..7,y=0..-4);

11"

4" 22

yx

> implicitplot(x^2/4+y^2 = 1,x=-3..3,y=2..-2);

Cujo gráfico é uma elipse em posição padrão em relação aos eixos x”y” onde a origem do sistema de coordenadas x”y” fica em (4;-2).

Como x1= o sistema de coordenadas xy foi

rodado de um ângulo

=arctg =arctg 1, de modo que =45º

212

1

212

1

Exemplo 9: 2x2+2y2+4xy+2(2)(1/2)x+12(2)(1/2)y-8=0

> implicitplot(2*x^2+2*y^2+4*x*y+2*(2)^(1/2)*x+12*(2)^(1/2)*y-8=0,x=-5..8,y=2..-10);

•Solução: Colocando a equação dada em forma matricial, obtemos:

08 21224 2222

yx

yx

yx

Os autovalores de A são 1=0 e 2=4

Autovetor (normalizado) associado a 1=0

Autovetor (normalizado) associado a 2=4

2121

212

1

21

21

21

21

P

y’2+2x’+4y’-2=0

> implicitplot(y^2+2*x+4*y-2=0,x=-5..4,y=-10..2);

(y’2+4y’+4)-4+2x’-2=0

(y’+2)2+2(x’-3)=0

Fazemos,y’’=y’+2 e x’’=x’-3

x” = - (1/2)y”2 (parábola)

> implicitplot(x = - (1/2)*y^2 ,x=-8..5,y=-5..5);

CONCLUSÃO

Para identificar uma seção cônica não-degenerada cujo gráfico não está em posição padrão, procedemos da seguinte maneira:Se um termo cruzado aparece na equação dada, rode os eixos coordenados por meio de uma transformação ortogonal linear de modo que a equação resultante não tenha mais termos em xy.Se a equação não tem termos em xy, mas tem um termo em x2 e um termo em x e um termo em y, translade os eixos coordenados completando os quadrado de modo que o gráfico da equação resultante fique em posição padrão em relação ao novo sistema de coordenadas.