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Noes de Conjuntos

TESTES

1) (UFT-2011) Uma Instituio de Ensino Superior oferece os

cursos A e B. Em seu processo seletivo o candidato pode optar

por inscrever-se nos dois cursos ou apenas em um curso. Ao

final, o nmero de inscries por curso e o nmero total de

candidatos inscritos pode ser observado no quadro que segue:

Com base nas informaes acima e nas possibilidades de

inscries, pode se afirmar que o nmero de candidatos que

optaram por inscrever-se somente no curso A foi:

a) 80 b) 168 c) 312 d) 480 e) 560

2) (AFA) Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que

20 deles pilotam a aeronave TUCANO, 40 pilotam o helicptero

ESQUILO e 50 no so pilotos. Dos oficiais entrevistados,

quantos pilotam o TUCANO e o ESQUILO?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20

3) Em um exame vestibular caram apenas duas questes e

sabe-se que:

100 alunos acertaram as duas questes;

170 alunos acertaram a primeira questo;

100 alunos acertaram apenas uma das questes;

95 alunos erraram as duas questes.

Qual o nmero de alunos que prestaram o exame?

4) (UNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam de

Matemtica e 20 de Histria. O nmero de alunos desta classe

que gostam de Matemtica e de Histria :

a) exatamente 16 d) no mnimo 6

b) exatamente 10 e) exatamente 18

c) no mximo 6

5) (ENEM-2004) Um fabricante de cosmticos decide produzir

trs diferentes catlogos de seus produtos, visando a pblicos

distintos. Como alguns produtos estaro presentes em mais de

um catlogo e ocupam uma pgina inteira, ele resolve fazer uma

contagem para diminuir os gastos com originais de impresso.

Os catlogos C1, C2 e C3 tero, respectivamente, 50, 45 e 40

pginas.

Comparando os projetos de cada catlogo, ele verifica que C1e

C2 tero 10 pginas em comum; C1 e C3 tero 6 pginas em

comum; C2 e C3 tero 5 pginas em comum, das quais 4

tambm estaro em C1.

Efetuando os clculos correspondentes, o fabricante concluiu

que, para a montagem dos trs catlogos, necessitar de um

total de originais de impresso igual a:

a) 135. b) 126. c) 118. d) 114. e) 110.

6) (UEL-2007) Uma Universidade est oferecendo trs cursos

de extenso para a comunidade externa com a finalidade de

melhorar o condicionamento fsico de pessoas adultas, sendo

eles:

Curso A: Natao.

Curso B: Alongamento.

Curso C: Voleibol.

As inscries nos cursos se deram de acordo com a tabela

seguinte:

Analise as afirmativas seguintes com base nos dados

apresentados na tabela.

I. 33 pessoas se inscreveram em pelo menos dois cursos.

II. 52 pessoas no se inscreveram no curso A.

III. 48 pessoas se inscreveram no curso B.

IV. O total de inscritos nos cursos foi de 88 pessoas.

A alternativa que contm todas as afirmativas corretas :

a) I e II. c) III e IV. e) II , III e IV.

b) I e III. d) I, II e III.

7) (UFF-2004) Os muulmanos sequer se limitam aos pases

de etnia rabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a maior

concentrao de muulmanos do mundo encontra-se na

Indonsia, que no um pas de etnia rabe.

Adaptado da Superinteressante, Ed. 169 - out. 2001.

Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o

conjunto de todas aquelas que so muulmanas e A o conjunto

de todas aquelas que so rabes. Sabendo que nem toda

pessoa que muulmana rabe, pode-se representar o

conjunto de pessoas do mundo que no so muulmanas nem

rabes por:

a) T - (A M) d) (A - M) (M - A)

b) T - A e) M - A

c) T - (A M)

8) (FGV-2009) Uma pesquisa de mercado sobre determinado

eletrodomstico mostrou que 37% dos entrevistados

preferem a marca X, 40% preferem a marca Y, 30%

preferem a marca Z, 25% preferem X e Y, 8% preferem Y e

Z, 3% preferem X e Z e 1% prefere as trs marcas.

Considerando que h os que no preferem nenhuma das trs

marcas, a porcentagem dos que no preferem nem X nem Y :

a) 20% b) 23% c) 30% d) 42% e) 48%

9) (UERJ-2003) Considere um grupo de 50 pessoas que

foram identificadas em relao a duas categorias: quanto

cor dos cabelos, louras ou morenas; quanto cor dos olhos,

azuis ou castanhos. De acordo com essa identificao, sabe-

se que 14 pessoas no grupo so louras com olhos azuis, que 31

pessoas so morenas e que 18 tm olhos castanhos.

Calcule, no grupo, o nmero de pessoas morenas com olhos

castanhos.

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10) (FGV-2010) Sofia foi passar alguns dias de frias na casa

de sua av. A av de Sofia, quando sai de casa de manh, no sai

de tarde e quando sai de tarde no saiu de manh. Durante os

dias que ficou na casa de sua av, Sofia reparou que:

I. sua av saiu de casa 18 vezes.

II. sua av, em 16 manhs, no saiu de casa.

III. sua av, em 12 tardes, no saiu de casa.

O nmero de dias que Sofia passou na casa de sua av foi:

a) 21 b) 23 c) 25 d) 27 e) 29

11) (UERJ-2002) Em um posto de sade foram atendidas, em

determinado dia, 160 pessoas com a mesma doena,

apresentando, pelo menos, os sintomas diarria, febre ou dor no

corpo, isoladamente ou no.

A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento

dessas pessoas, foi elaborada a tabela abaixo.

Na tabela, X corresponde ao nmero de pessoas que

apresentaram, ao mesmo tempo, os trs sintomas.

Pode-se concluir que X igual a:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12

12) (MPU-FCC-2004) Um colgio oferece a seus alunos a

prtica de um ou mais dos seguintes esportes: futebol,

basquete e vlei. Sabe-se que, no atual semestre,

- 20 alunos praticam vlei e basquete;

- 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete;

- 21 alunos no praticam nem futebol nem vlei;

- o nmero de alunos que praticam s futebol idntico ao

nmero dos alunos que praticam s vlei;

- 17 alunos praticam futebol e vlei;

- 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, no

praticam vlei.

O nmero total de alunos do colgio, no atual semestre, igual

a

a) 93. b) 110. c) 103. d) 99. e) 114.

13) (UFT-2010) Em uma populao de 400 pessoas foram

realizados exames para detectar a anemia e exames para

detectar a verminose. Dos resultados obtidos observouse que:

80% das pessoas que possuem anemia possuem tambm

verminose;

50% das pessoas que possuem verminose possuem tambm

anemia;

220 pessoas no possuem nem verminose e nem anemia.

Das 400 pessoas, a porcentagem correspondente ao nmero de

pessoas que possuem anemia :

a) 30% c) 25% e) 35%

b) 27% d) 32%

14) (UEG-2006) Um grupo de estudantes resolveu fazer uma

pesquisa sobre as preferncias dos alunos quanto ao cardpio

do Restaurante Universitrio. Nove alunos optaram somente

por carne de frango, 3 somente por peixes, 7 por carne bovina

e frango, 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos trs tipos de

carne. Considerando que 20 alunos manifestaram-se

vegetarianos, 36 no optaram por carne bovina e 42 no

optaram por peixe, assinale a alternativa que apresenta o

nmero de alunos entrevistados.

a) 38 b) 42 c) 58 d) 62 e) 78

15) (UFRJ) Uma amostra de 100 caixas de plulas

anticoncepcionais fabricadas pela Nascebem S.A. foi enviada

para a fiscalizao sanitria. No teste de qualidade, 60

foram aprovadas e 40 reprovadas, por conterem plulas de

farinha. No teste de quantidade, 74 foram aprovadas e 26

reprovadas, por conterem um nmero menor de plulas que o

especificado. O resultado dos dois testes mostrou que 14

caixas foram reprovadas em ambos os testes. Quantas caixas

foram aprovadas em ambos os testes?

16) (UFF-2003) Uma pesquisa realizada com os alunos do

ensino mdio de um colgio indicou que 221 alunos gostam da

rea de sade, 244 da rea de exatas, 176 da rea de

humanas, 36 da rea de humanas e de exatas, 33 da rea de

humanas e de sade, 14 da rea de sade e de exatas e 6

gostam das trs reas. O nmero de alunos que gostam

apenas de uma das trs reas :

a) 487. b) 493. c) 564. d) 641. e) 730.

17) (Prefeitura Municipal-Tibau do Sul-2007) Um grupo de

pesquisadores da rea do turismo veio ao nordeste para

levantar dados sobre suas potencialidades tursticas e, para

tal, foi feito uma escala de visitas s cidades de Natal,

Fortaleza e Aracaju. Neste trabalho, 25 pessoas visitaram

Natal; 12 visitaram Natal mas no visitaram Fortaleza; 36

visitaram Fortaleza ou Aracaju; 6 visitaram Natal e Aracaju

mas no visitaram Fortaleza; 5 visitaram Natal, Fortaleza e

Aracaju e; 4 visitaram Fortaleza e Aracaju mas no visitaram

Natal. Pela escala de visitas apresentada, pode-se concluir

que o nmero de pesquisadores era de:

a) 33. b) 30. c) 36. d) 47. e) 42.

18) Numa aula de artes plsticas, o professor Miguel ngelo

ao examinar as cores obtidas por seus alunos ao ministrar as

3 cores primrias vermelho, azul e amarelo verificou que elas

podiam ser separadas em sete pequenos grupos: vermelho,

azul, amarelo, violeta, verde, laranja e marrom. Perguntando a

seus alunos como haviam misturado as cores primrias obteve

as seguintes informaes: 20 usaram o vermelho; 11 usaram

vermelho e no usaram o azul; 27 usaram o azul ou o amarelo;

6 fizeram o laranja usando vermelho e amarelo mas no

usaram azul; 3 fizeram o marrom usando vermelho, azul e

amarelo mas no o vermelho. O nmero de alunos da turma :

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

19) Em uma comunidade com 100 alunos, 70 pessoas jogam

futebol, 70 jogam basquete e 70 jogam voleibol. Qual o

nmero mnimo de pessoas que praticam os trs esportes :

a) 10 b) 30 c) 50 d) 70 e) 100

20) (UFRJ) Um clube oferece a seus associados aulas de trs

modalidades de esporte: natao, tnis e futebol. Nenhum

associado pde se inscrever simultaneamente em tnis e

futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes

dois esportes sero dadas no mesmo horrio. Encerradas as

inscries, verificou-se que: dos 85 inscritos em natao, 50

s faro natao; o total de inscritos para as aulas de tnis

foi de 17 e, para futebol, de 38; o nmero de inscritos s

3

para as aulas de futebol excede em 10 o nmero de inscritos s

para as de tnis.

Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas

de futebol e natao?

21) (CESPE-UnB Em uma regio choveu durante 25 dias.

O nmero de dias em que choveu pela manh, tarde ou

noite satisfaz s seguintes relaes:

choveu nos trs perodos em 2 dias;

choveu apenas pela manh e tarde em 3 dias;

choveu apenas tarde e noite em 4 dias;

choveu apenas pela manh e noite em 2 dias;

choveu apenas tarde em 6 dias;

choveu apenas noite em 3 dias.

Nessas condies, o nmero de dias em que choveu pela

manh foi igual a

a) 10. b) 11. c) 12. d) 13.

22) Num grupo de 72 turistas visitou a Frana ou a

Espanha. O nmero dos quais visitaram a Frana o

sxtuplo do nmero daqueles que visitaram a Frana e

Espanha, o qual, a tera parte dos que visitaram s a

Espanha. O nmero de turistas que visitou um nico

pas igual a:

a) 18 b) 32 c) 36 d) 48 e) 64

Intervalos Reais

Sejam a e b nmeros reais tais que a < b. Chamam-se

intervalos reais os subconjuntos de IR apresentados a

seguir:

Intervalo fechado de extremos a e b o conjunto

bxaxba IR, . a b

Intervalo aberto de extremos a e b o conjunto

bxaxba IR, . a b

Intervalo aberto direita (ou fechado esquerda) de

extremos a e b o conjunto

bxaxba IR, . a b

Intervalo aberto esquerda (ou fechado direita) de

extremos a e b o conjunto

bxaxba IR, . a b

Intervalo infinito direita o conjunto

}|{, axIRxa . a

Intervalo infinito esquerda o conjunto

}|{, axIRxa . a

Intervalo infinito esquerda o conjunto IR.

Obs.: A bolinha vazia indica que o extremo no

pertence ao intervalo e a bolinha cheia indique que o

extremo pertence ao intervalo.

Operaes com intervalos

Na resoluo de inequaes de outros

problemas em que so necessrias operaes tais como

unio, interseo, diferena, entre intervalos, devemos

utilizar como recurso a representao grfica.

Testes

1) (UEBA) Sejam os conjuntos

}21|{ xIRxA e }30|{ xIRxB ,

determine o conjunto BA e BA .

2) (CESGRANRIO) Sejam 2,A e ,0B intervalos reais, Ento BA :

a) 1 b) 0, c) vazio

d) 3,1 e) 2,0

3) (PUC-MG) A diferena BA , sendo }34|{ xIRxA e }52|{ xIRxB ,

igual a:

a) }24|{ xIRx

b) }24|{ xIRx

c) }53|{ xIRx

d) }53|{ xIRx

e) }52|{ xIRx

4) (CESGRANRIO) Se A = {x R | x < 1},

B = {x R | -1 < x 3} e C = {x R | x 0}, ento o

conjunto que representa (A B) C :

a) {x R | -1 < x < 0}

b) {x R | -1 < x 0}

c) {x R | -1 < x < 1}

d) {x R | x 3}

e) {x R | x > -1}

Produto Cartesiano

Sejam A e B dois conjuntos. O produto

cartesiano de A por B, no qual indicaremos por BA , o conjunto de todos pares ordenados (x, y) tais que

xA e y B.

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Importante:

Se o conjunto A possui m elementos e o

conjunto B n elementos ento BA possuir nm elementos.

Relao Binria

Sejam A e B dois conjuntos. Uma relao R de A

em B um subconjunto de BA .

1) Dados os conjuntos }1,0,2{A e }2,1{B ,

determine:

a) BA b) AB c) 2A

2) Represente no plano carteniano os produtos BA nos seguintes casos:

a) }3,1,1,3{ A e }3,2{B

b) 4,1A e 3,2B

3) (UFRN-2000) Considerando k = {1, 2, 3, 4}, marque a

opo cuja figura representa o produto cartesiano k x k.

a) b)

c) d)

4) (Mack-SP) Sejam }3,2,1,0{A , }5,4,2,1{B e a

relao }12|),{( xyBAyxR . O domnio e a

imagem dessa relao so:

a) }3,1{ e }5,1{

b) }2,1,0{ e }4,2{

c) }3,2,1,0{ e }1{

d) A e B

5) (UFSM) Escolhendo aleatoriamente alguns nmeros das pginas de um livro adquirido numa livraria, foram formados os conjuntos A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8},

sendo a relao definida por R = {(x,y) A B | x y}. Dessa forma, a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8} b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} c) D(R) = {2,5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} d) D(R) = {5,6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}