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ANTENAS – IST – A. Moreira 1 Agregados de antenas Conjunto de antenas com configuração geométrica e eléctrica de forma que a adição vectorial dos campos radiados resultem em propriedades especiais do diagrama de radiação. • Motivação – Ganhos elevados em determinadas aplicações Formas específicas do diagrama de radiação

Conjunto de antenas com configuração geométrica e ... · Agregados de antenas • Conjunto de antenas com configuração geométrica ... Agregado linear de duas antenas “Multiplicação

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ANTENAS – IST – A. Moreira 1

Agregados de antenas

• Conjunto de antenas com configuração geométricae eléctrica de forma que a adição vectorial dos campos radiados resultem em propriedadesespeciais do diagrama de radiação.

• Motivação– Ganhos elevados em determinadas aplicações– Formas específicas do diagrama de radiação

ANTENAS – IST – A. Moreira 2

Formatação do Diagrama de radiação

• A formatação do diagrama de radiação pode ser obtida por escolha adequada de:– Antenas, ou elementos que constituem o agregado– Configuração geométrica da posição das antenas

(linear, circular, planar)– Afastamento relativo entre as antenas– Amplitudes e fases das excitações

ANTENAS – IST – A. Moreira 3

Comparação entre Agregados e Reflectores

• Vantagens dos agregados

– Orientação por controlo de fase

– Feixes múltiplos– Possibilidade de

processamento de sinal– Formatação de feixe com

técnica digital

• Desvantagens dos agregados

– Mais dispendioso– Feixes mais estreitos com

reflectores

ANTENAS – IST – A. Moreira 4

Elementos de agregados

• Tipos de elementos:– Dipolos

– Fendas

– “patches” microstrip

– Cornetas e guias abertos

ANTENAS – IST – A. Moreira 5

Ex: agregado de dipolos com elementos com controlo individual

Conectores para ligação a circuito de alimentação (emissão) ou malha combinatória (recepção), ou a amplificadores e desfasadores individuais

ANTENAS – IST – A. Moreira 6

Circuito de alimentação (emissão)/ combinação do sinal (recepção -formatação de feixe)

Ex: alimentação série e paralelo de agregadoslineares de antenas impressas.

ANTENAS – IST – A. Moreira 7

Agregados lineares de antenas

• Num agregado de antenas iguais o posicionamento de qualquer antenapode ser obtido por translação de um elemento de referência

• A translação define a geometria do agregado

• Num agregado linear a posição de qualquer elemento obtem-se do elemento de referência por uma translação segundo uma direcção quedefine o “alinhamento do agregado”

• Quando o espaçamento entre duas antenas consecutivas é constante o agregado diz-se equiespaçado

ANTENAS – IST – A. Moreira 8

Configurações típicas

Antenas horizontaisAlinhamento vertical

Antenas verticaisAlinhamento horizontal

Antenas verticaisAlinhamento vertical

Antenas horizontaisAlinhamento horizontal

ANTENAS – IST – A. Moreira 9

Geometrias de alinhamento

x

ϕθψ cossincos =ψ

y

z

Alinhamneto segundo o eixo dos xx

y

ϕθψ sinsincos =

ψ

x

z

Alinhamneto segundo o eixo dos yy

z

θψθψcoscos =

y

x

Alinhamneto segundo o eixo dos zz

Ψ , ângulo entre a direcção de alinhamento e a direcção espacial (θ ,ϕ)

ANTENAS – IST – A. Moreira 10

Ex: Agregado linear de duas antenas

d (2)

Espaçamento, d

Correntes, I1 , I2

alinham

ento

ψ

P

(P)(P)(P) 21 EEE +=

1cos

1

22 EE ψjkde

II

=

ψcosd

1I

2I

1cos

1

21 EE ×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ψjkde

II

Campo na ZD

Factor espacial

ANTENAS – IST – A. Moreira 11

Ex: Agregado linear de duas antenas

“Multiplicação dos Diagramas”1

cos

1

21 EE ×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ψjkde

II

)()( 1 ϕθϕθϕθ ,E,),(E ×= F Nota cosψ pode exprimir-se em função de (θ,ϕ)

“O diagrama de radiação pode obter-se multiplicando para cada direcção a função que descreve o campo radiado pela antena de referência, E1(θ,ϕ)com a função que descreve o factor espacial, F(θ,ϕ) ”

ANTENAS – IST – A. Moreira 12

ψ

Ex: Agregado linear de duas antenas

ψγγ cosc/ )1(

1

1

1cos

1

2

kdae

eII

j

ψjkd

=×+=

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

EE

EE

I1=I0 I2=aI0

dcosψ

Ex: I2=-I1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

=

2sin2

1

1

γ

γ

F

eF

-a

j

d

y

z

ANTENAS – IST – A. Moreira 13

Ex: Agregado linear de duas antenas

d

I1=I0

dcosψ

Ex: I2=-I1 d=λ/2

( )

2sin2

2sin sin sin2

2sin sin sin

F

kdF

γ

θ ϕ

π θ ϕ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

y

ψγ coskd=

ψ

I2= -I0

z

Plano yz 1sin =ϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= θ

λπ sinsin2 dF

0.5

1

1.5

2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

FPlano xy 1sin =θ

ANTENAS – IST – A. Moreira 14

0.5

1

1.5

2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Ex: Agregado linear de duas antenas

dI1=I0

dcosψ

Ex: I2=-I1 , dipolos de Hertz

d=λ/2sin 2sin sin sin

2E Cte πθ θ ϕ⎛ ⎞= × × ⎜ ⎟

⎝ ⎠

y

ψ

I2= -I0

zPlano yz

x

sin 2sin sin2

E Cte πθ θ⎛ ⎞= × × ⎜ ⎟⎝ ⎠

E

ANTENAS – IST – A. Moreira 15

Agregado linear de antenas equi-espaçadas

d

(1)

(2)

(...)

(...)

(N)

d

dd

1j1eI ϕ

2j2eI ϕ

NjN eI ϕ

Equi-espaçamento, d

Correntes, Iq

Coeficientes, aq

Nota: I0 , corrente de referência, não tem que ser forçosamente o valor da intensidade de corrente de uma das antenas do agregado

ANTENAS – IST – A. Moreira 16

Agregado linear de antenas equi-espaçadasDiferença de fase devido ao percurso, relativa a duas antenas

Equi-espaçamento, d• Diferença de fase devida à diferença de percurso entre antenas consecutivas até um ponto na zona distante

ψλπ

ψγ

cos2cosd

kd

=

=

d co

s ψ

(q+1)(q)...

ψ

P na

zona

di

stant

e

...d

ANTENAS – IST – A. Moreira 17

Sobreposição dos campos na zona distanteFactor Espacial

ψψψψ cos)1(cos)1(

11

cos2

cos

1

2

1

2

)()(

)()( kdqj

qdqjkqqjkdjkd eae

II

PEPE

eaeII

PEPE −− =×==×=

ψcos)1(

1

=∑= qjkd

q

N

qeaF

[ ] )1()()( 11cos)1(cos

21 =⋅+++= − aPeaeaaP NjkdN

jkd EE ψψ

F , factor espacial

Por conveniência podemos tomar como referência o campo radiado por uma antena num extremo, a “antena 1”

ANTENAS – IST – A. Moreira 18

Factor espacialRepresentação polinomial

Nota: Yq são as N-1 raízesdo polinómio F, de grau N-1

Representação dos afixosde Y no plano complexo

γ)1q(q

N

1q

YaF −

=∑= ψγ coskd=ψcosjkdeY =

Afixo de

1YeeY

cosjkd

j

=

=

γ

γ

)())(( 121 −−−−= NN YYYYYYaF

F , é um polinómio de grau N-1

ANTENAS – IST – A. Moreira 19

Agregados uniformes com desfasamentoprogressivo

Um agregado linear equiespaçado diz-se uniforme se as antenas foremexcitadas com correntes de igual amplitude e fase

Se a diferença de fase entre as correntes de antenas sucessivas for idênticao agregado diz-se uniforme com desfasamento progressivo

Neste caso o desfasamento entre contribuições devidas a antenas sucessivas para o campo na zona distante, é dado por

1,0 == qq aII

δδ )1()1(0 , −− == qj

qqj

q eaeII

ψδγ coskd+=

ANTENAS – IST – A. Moreira 20

Agregados uniformes com desfasamento progressivoFactor espacial

)coskd)(1N(j)coskd(2j)coskd(j0 eee1)P(E)P(E ψδψδψδ +−++ ++++×=

factor espacial, F

γγγγ )1(2

1

)1( 1 −

=

− ++++==∑ NjjjN

q

qj eeeeF

)2/sin()2/Nsin(F

γγ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=2/cosdsin

2/cosdNsinF

δψλ

π

δψλ

π

Representação de F com funções trigonométricas

Representação polinomial de F

F , série geométrica finita

ψδγγγ

γ

cos1

111 kdeZ

ZZ

ee j

N

j

jN

+==−

−=

−−

=

ANTENAS – IST – A. Moreira 21

Agregados uniformes com desfasamento progressivoFactor espacial – nulos e construção do diagrama

Nulos ... na variável Z , N-1raízes índice N da unidade

... na variável γ

1N,,1i/cm2iN2ee

1Z1Z

m,i

m2jjN

N

−=+=

=

≠=

ππγ

πγ

⇒= 0F

Ex: |F! N=4 antenas

N2π

− π2π−Nπ2 ππ2− γ

F

0

Localização dos nulos no plano ZRaízes índice N da unidade

ANTENAS – IST – A. Moreira 22

Agregados uniformes com desfasamento progressivoFactor espacial – direcção de máximo

Máximo(s) principal

NeeFm jj

=+++=⇒∨= 00 ...120 πγ (Nota: tomando como referência NII /10

seria Fmax=1 , valor normalizado)

=

ψ solução de ψδπ cos2 kdm +=

para m=0 )/cos( kda δψ −=

Possibilidade de “scanning”: actuar sobre o desfasamento progressivo permitedirigir o máximo de factor espacial para diferentes direcções (“scanning”)

ANTENAS – IST – A. Moreira 23

Agregados uniformes com desfasamento progressivoNível de lobos secundários

Máximos nos lobos secundários adjacentes ao principal

- Nível de lobos secundários

π

πππγ

32

23sin

133

NF

NN

FFN

S

SSS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈≈

dB5.13NLS −≈

ANTENAS – IST – A. Moreira 24

Construção geométrica do diagrama do factor espacialEx: Agregado uniforme de 4

antenas

N2π

− π2π−N2π ππ2− γ

)(F γ

δ ψcoskd

ψ

)(F ψ

Círculo de raio kd

Intervalo “visível”

[ ]kdkd +− δδ ,kd

ANTENAS – IST – A. Moreira 25

Agregados uniformes transversais

Com as antenas alimentadas em fase o factor espacialmaximiza para Ψ = π /2

ex: 6 antenas, afastadas de λ/2

Largura de feixe entre nulos

)(γF

γ

γ

02

coskd0

20

=⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=↔=

δ

πδ

πψγ

ππ−

Nd22

Ndsin

λα

λα

=

ANTENAS – IST – A. Moreira 26

Agregados uniformes longitudinais

Solução “clássica”

kd0coskd0

00

−=⇒+=

=↔=

δδ

ψγ

kd−=δ

)(γF

γ

γ

Intervalo visível

Nd222

Nd2sin

Nd1cos

N2coskdkd

λα

λαλα

πα

≈−=

−=+−

Largura de feixe entre nulos

Intervalo visível = [-2kd, 0]

ANTENAS – IST – A. Moreira 27

Agregados uniformes longitudinais

Solução de Hansen-Woodyard: escolhe-se desfasagemprogressiva entre antenas que conduz a um lobo principal mais estreito N

kd πδ −−=

δ

)(γF

γ

γ

Menor largura de feixe que com a solução “clássica”

Intervalo visível

Intervalo visível

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−

NNkd ππ ,2

ANTENAS – IST – A. Moreira 28

Agregados de excitação simétricacom desfasamento progressivo

d co

s ψ

(3)(2)

ψ

...d(1) d (N)

d co

s ψ

δjeA2δ2

3jeA

δ)1( −NjN eA0

1jeA

1211121 ,, AAAAAAAAAA NNpNpNN ===== −+−−

ANTENAS – IST – A. Moreira 29

Agregados de excitação simétricacom desfasamento progressivo

Nota: se o número de antenas for ímpar existe uma antena “M” ao centro do agregado

( 1)1 2

j j NNF A A e A eγ γ−= + +

1pNp1N2N1 AAAA,AA +−− ===Usando a simetria

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++=

−−

−−−−−2

)1N(j

N2

)3N(j

1N2

)3N(j

22

)1N(j

12

)1N(jeAeAeAeAeF

γγγγγ

Factor espacial

M21 A2

)3N(cosA22

)1N(cosA2F ++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

γγ

ANTENAS – IST – A. Moreira 30

Factor espacial de Agregados de excitação simétrica com desfasamento progressivo

cos( p γ/2 ) é um polinómio de grau p em cos(γ/2)

M21 A23NA221NA2F ++−+−= ]/)cos[(]/)cos[( γγ

1884343122

24

3

2

+−=

−=

−=

ααα

ααα

αα

coscoscoscoscoscos

coscos

Usando

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 128282

232423122

24

3

2

+−=

−=

−=

/cos/coscos/cos/cos/cos

/coscos

γγα

γγγ

γγ

Conclui-se que o factor espacial F é representado por um polinómio de grau N-1 em x=b cos(γ/2)

ANTENAS – IST – A. Moreira 31

Factor espacial

Ex: agregado de 5 antenas

( ) ( ) 321 A2/2cosA22/4cosA2F ++= γγ

( ) ( ) 12/cos82/cos8 24 +− γγ ( ) 12/cos2 2 −γ

( ) ( )[ ] ( )[ ] 32

224

1 A12/cos2A212/cos82/cos8A2F +−++−= γγγ

( )2/cosycom γ=

( ) ( )1232

124

1 A2A2AyA16A4yA16F +−+−+=ou

ANTENAS – IST – A. Moreira 32

Obtenção dos coeficientes de excitação poridentificação de polinómios

1233

122

2

14

1

A2A2AaA16A4ba

A16ba

+−=−=

=

32

24

13

22

412

411

aba21ba

83A

ba41ba

41A

ba161A

++=

+=

=

(Continuação do exemplo agregado de 5 antenas)

( ) ( )1232

124

1

322

244

144

A2A2AyA16A4yA16

aybayba)by(P)x(P

+−+−+=

++==

Identificação de polinómios ( )( )2/cosyebyxcom γ==

Relação entre os coeficientes polinomiais nas variáveis y e x

ANTENAS – IST – A. Moreira 33

Utilização de Polinómios na síntese de Factores espaciais

• O problema geral da síntese de factores espaciais de agregados lineares equiespaçados é determinar os coeficientes de excitação que conduzem a um factor espacial especificado. Trata-se portanto de encontrar um polinómio adequado ao factor espacial pretendido.

• Um problema menos restritivo pode ser o de procurar obter factores espaciais com propriedades específicas, por exemplo, relativas a níveis de lobos secundário ou larguras de feixe.Dadas as propriedades dos polinómios de Chebyshev, eles foram usados (Dolph) para a seguinte finalidade:

– Definido um nível de lobos secundário, obtem-se a menor largura de feixe possível do factor espacial.

– Definida uma largura de feixe, obtem-se o nível de lobos secundários mais baixo possível.

ANTENAS – IST – A. Moreira 34

Polinómios de Chebyshev

)()(2)(

188)(

34)(

12)(

)(1)(

11

244

33

22

1

0

xTxxTxT

xxxT

xxxT

xxT

xxTxT

ppp −+ −=

+−=

−=

−=

==

Polinómio e sua inversão para x>1

[ ] [ ][ ] [ ]

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −++−+==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −++−+==

−−

pp

p

pp

p

RRRRRTx

xxxxxTR

/12

/121

0

200

2000

1121)(

1121)(

))(coscos()(11 1 xpxTx p−=<<−

))(()1()(1

))(()(11

1

xchpchxTx

xchpchxTxp

p

p

−=−<

=>

No intervalo -1<x<1 podem ser representados por funções trigonométricas

Para |x|>1 podem ser representados por funções hiperbólicas

ANTENAS – IST – A. Moreira 35

Polinómios de Chebyshev

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

T2(x)T3(x)T4(x)T5(x)

ANTENAS – IST – A. Moreira 36

Polinómios de Chebyshev

• Passam por (1,1) e [-1,(-1) p]

1,0)12(2

cos −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= pnn

px n

π

• Extremos 1p1mp

mx m −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,cos π

• Têm o crescimento mais rápido entre todos do mesmo grau que exibem variações limitadas no intervalo [-1,1]

• Nulos

• Oscilam entre ±1 no intervalo [-1,1]

Propriedades

ANTENAS – IST – A. Moreira 37

Identificação de um polinómio de Chebychev com um factor espacialCoeficientes de excitação

Ex: identificação de um polinómio de Chebyshev com o factor espacial de um agregado de 5 antenas

( ) ( )1232

124

1

22444

322

244

14

2216416

188)(

)(

AAAyAAyA

ybybbyT

aybaybabyP

+−+−+=

+−==

++=

32

24

13

22

412

411

aba21ba

83A

ba41ba

41A

ba161A

++=

+=

=

( )

1b4b3A

bb2A

b21A

243

242

41

+−=

−=

=

( )1,8,8 321 =−== aaa

ANTENAS – IST – A. Moreira 38

Agregados transversais (AT)Dolph-Chebyshev

2cosbx

coskd0

γψγ

δ

=

==

πλ ===

kddcpantenasEx

2/ /)4( 5:

x0x1

α

π

− π

x = bcosγ /2

b = x0

x

T4 (x) R =T4 (x0)

γγ

2 kd

ANTENAS – IST – A. Moreira 39

Dimensionamento (AT)

Antenas alimentadas em fase

)() 01N xTR2 −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ααπ sincoscoscos)

2kdb

22kdbx3 1

ψγδ cos,) kd01 ==

Correspondência entre o 1º nulo do polinómio e os nulos contíguos ao lobo principal, em ψ=π/2 ± α

Relação entre amplitude máxima do lobo principal e lobos secundários

ANTENAS – IST – A. Moreira 40

Dimensionamento (AT)

)(RTxb 11N0

−−==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= −

)(coscossin

1N2b1

kd2 1 πα

Dado R (NLS)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π

sin2

cos

)1(2cos

kdN

bDada a largura de feixe α

A largura de feixe vem determinada por

)(1 bTR N −=R vem dado por

ANTENAS – IST – A. Moreira 41

Dimensionamento (AT)

[ ] [ ]

[ ] [ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−++−+==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −++−+==

−−

−−−

−−−

11

211

211

)1(2

12

1

1121)(

1121)(

NNN

NN

N

RRRRRTb

bbbbbTR

Expressões úteis para cálculo do polinómio e sua inversão, para x>1

ANTENAS – IST – A. Moreira 42

Agregados longitudinais (AL)Dolph-Chebyshev

x0x1

− π

x = bcosγ /2

b ≠ x0

x

T4 (x) R =T4 (x0)

γγ

α

δ

2 kd

-1

Método de PritchardEscolhe-se para intervalo visível do polinómio [-1, x0 ]

ANTENAS – IST – A. Moreira 43

Dimensionamento (AL)Relação entre amplitude máxima do lobo principal e lobos secundários

Correspondência entre o 1º nulo do polinómio e o nulo contíguo ao lobo principal, em ψ=α

Método de Pritchard 3) e 4)

)() 01N xTR1 −= )(RTx 11N0

−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=2

cos)3 0kdbx δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−2

cos1)4 kdb δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

coscos)1(2

cos)2 αδπ kdbN

[ ]kd

kdxxb

sincos21 2/1

020 ++

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−= −

2cot

11

tan20

01 kdxx

δ

)0(0 =↔ ψγx)(1 πψγ =↔−

3) e 4) implicam ⇒

ANTENAS – IST – A. Moreira 44

Síntese de factores espaciaisde agregados lineares

• O problema da síntese de factores espaciais de agregados consiste na escolha de uma geometria e dos coeficientes de excitação que conduzem a um factor espacial especificado.

• Quando se escolhe uma geometria de agregado linear resulta uma restrição que corresponde ao facto de os factores realizáveis terem obrigatoriamente simetria de revolução em torno da direcção que define o alinhamento.

• As especificações para o factor espacial são habitualmente relativas a |F| e podem ser pela definição de uma função |F(ψ)| num domínio contínuo ou num conjunto discreto de direcções (ψi ,|F(ψi)|)

ANTENAS – IST – A. Moreira 45

Síntese de factores espaciais de agregadoslineares equiespaçados

-M -(M-1) MM-10 ......índice p

0 1 N-1

p

q

jqq

jqq

eCc

eAa

δ

δ

=

=

−=

=

=

=

M

Mp

jpp

N

q

jqq

ecF

eaF

γ

γ1

0

Coeficientes Factor espacial

Vamos considerar a síntese de factores espaciais de agregados linearesequiespaçados. Por conveniência vamos considerar agregados com número ímpar de antenas as antenas serão renumeradas de acordo com o esquema

índice q ......

ψγ cos, kd=

ANTENAS – IST – A. Moreira 46

A escolha de um espaçamento entre antenas implica a relação

Através desta relação, especificar implica especificar

Note-se que só será realizável se for periódica com período 2π o que podeimplicar que o espaçamento entre antenas seja no máximo λ/2

Dada a periodicidade de podemos recorrer a uma série de Fourier pararepresentar o factor espacial pretendido

Síntese de Fourier

ψγ coskd=

[ ]πψψ ;0,)( ∈F

[ ]kdkdF ;,)( −∈γγ

)(γF

)(γF

ANTENAS – IST – A. Moreira 47

Síntese de Fourier

O problema resume-se a encontrar uma aproximação satisfatória para F à custa de um número finito de antenas.

Os factores espaciais realizáveis com um número ímpar (virtual) são da forma

Aproximaçãopor série de Fourier truncada

∑−=

=M

Mp

jppecF γ

∑∞

−∞=

=p

jppecF γ γγ

πγπγ de)(F

21cecFF jp2

0p

M

Mp

jppT

−=∫∑ ==≈⇒

ANTENAS – IST – A. Moreira 48

Síntese de Fouriernotas• Em princípio é sempre possível sintetizar um factor espacial desde que o

intervalo visível em γ seja inferior a 2π, o que implica uma escolha do espaçamento entre antenas inferior a λ /2.

• F desejado pode ser obtido com a aproximação que se pretenda. O erro diminuicom o aumento dos termos da série (número de antenas, 2M+1).

• Esta abordagem minimiza o erro quadrático médio, de acordo com as propriedades das séries de Fourier. Poderá existirá um compromisso entre o número de antenas e a precisão da truncatura.

• Habitualmente especifica-se | F | o que introduz um grau de liberdade adicionalna especificação de F.

• A obtenção dos coeficientes de Fourier é equivalente a encontrar os coeficientesde excitação das antenas

ANTENAS – IST – A. Moreira 49

Síntese de FourierEx: especificação de F

γ

)(γF

Ex: d=λ/2

kd=π

⎩⎨⎧ ≤≤∨−≤≤−

= indicado intervalo do fora 0

/22/ se 1)(

πγππγπγF

2/π−π− 2/π π0

ψπψγ

coscos

== kd

⎩⎨⎧ ≤≤∨≤≤

= indicado intervalo do fora 0

3/23/0 se 1)(

πψππψψF

ANTENAS – IST – A. Moreira 50

Síntese de FourierEx: cálculo dos coeficientes

Coeficientes de excitação

O cálculo do desenvolvimento de Fourier conduz a

Aproximação com 2M+1 elementos (aparentes)

∫−

πγγ

πγ deFc jm

m )(21

21

0 =cπ1

11 −== −ccπ31

33 == −cc022 == −cc …044 == −cc

∑−=

=≈M

Mp

jppT ecFF γ

ANTENAS – IST – A. Moreira 51

Síntese de FourierEx: construção gráfica

kd

ψ

γ

)(γF

(Simetria em torno do alinha,mento)

∑−=

=4

4p

jppT ecF γ

M=4

9 elementos aparentes

2/π− 2/π0π− π

ANTENAS – IST – A. Moreira 52

Síntese por polinómios (Schelkunoff)

• Alternativamente à especificação de F num intervalo contínuo podeespecificar-se F para um conjunto discreto de direcções

• Lembra-se que F pode ser representado por um polinómio na variável

qq

N

q

jqq

N

qYaeaF ∑∑

=

=

==1

0

1

0

γ

ψγγ cos, kdeY j ==

ANTENAS – IST – A. Moreira 53

Síntese por polinómios (Schelkunoff)

0cosjkd00 eY ΨΨ =→

q1Nq

1N

0q1N

q1q

1N

0q1

q0q

1N

0q0

YaF

YaF

YaF

=−

=

=

=

=

= “Polinómios de Schelkunoff”

1Ncosjkd1N1N eY −=→ −−

ΨΨ

1cosjkd11 eY ΨΨ =→

A uma direcção correspondeiψii kd ψγ cos= ij

i eY γ=

( ) ii jqkdq

N

q

qjkyq

N

qi eaeaF ψcos

1

0

1

0∑∑

=

=

==

ANTENAS – IST – A. Moreira 54

Se os Yi ´s forem todos diferentes o determinante (de Vandermonde)

é diferente de zero e o sistema tem solução única. Será sempre o caso se o espaçamento entre antenas for inferior a λ /2

Síntese por polinómios (Schelkunoff)

1N1N

21N1N

1N1

211

1N0

200

YYY1

YYY1YYY1

−−−−

ANTENAS – IST – A. Moreira 55

Síntese por polinómios (Schelkunoff)

• Obter os coeficientes de excitação equivale a resolver um sistema de equações

• O número de antenas necessário depende do número de direcções especificadas.

• Com N condições independentes é possível encontrar uma solução com N antenas.

• Se o número de antenas pretendido for inferior ao número de condiçõesindependentes poderá encontrar-se uma solução que minimize o errorelativamente aos valores especificados para o factor espacial.

• Em princípio há liberdade de escolha da fase de F o que aumenta a possibilidade de diferentes realizações do factor espacial.

ANTENAS – IST – A. Moreira 56

Síntese por polinómios (Schelkunoff)Ex

Ex: d=λ/2

kd=π ψπγ cos=

γ

)(γF

2/π−π− 2/π π0

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

3

2

1

0

33

23

13

32

22

12

31

21

11

30

20

10

3

2

1

0

1111

aaaa

YYYYYYYYYYYY

FFFF [ ] [ ] [ ]FYa ⋅= −1( ) ( )

( ) ( ) 14/3cos4/30102/14/cos4/10

4/3cos

4/cos

ππ

ππ

π

ππππ

ππππγψ

j

j

jiiii

e

ee

FY

ANTENAS – IST – A. Moreira 57

Agregados Circulares

Ni2

iπϕ =

Antenas equi-espaçadas

••

iϕϕ

θ

rRi

P

a)cos(sin

cos)cos( /

i

i

21i

22i

arar

ar2arR

ϕϕθψ

ψ

−−=−≈

−+=

Geometria

Uma disposição geométrica das antenas em agregado circular é conveniente em certas aplicações como sistemas de busca de direcção e sistemas auxiliares de navegação

ANTENAS – IST – A. Moreira 58

Factor espacial

∑=

−=N

1i

jkai

ieaF )cos(sin ϕϕθ

refj

ii IeIa i /α=onde coeficientes de alimentação das antenas

A escolha de coeficientes que conduzem a uma adição em fase segundo (θ0 , ϕ0) conduz a e F toma a formaij

iii00i eAaka αϕϕθα =−−= ,)cos(sin

[ ]

[ ]∑

=

=

−−−

=

=

N

1i

jkai

N

1i

jkai

i0i

i00i

eA

eAF

ψψ

ϕϕθϕϕθ

coscos

)cos(sin)cos(sin

Nota: o diagrama do factor espacial não exibe simetria de revolução

ψ0 i refere-se ao ângulo entre o vector de posição da antena i e a direcção (θ0, ϕ0)

Tomando uma antena de referência ao centro

ANTENAS – IST – A. Moreira 59

Agregado circular com excitação uniforme

∑=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−

=N

1i

Ni2

Ni2jka 00

eF)cos(sin)cos(sin πϕθπϕθCoeficientes com módulo

unitário, Ai=1, e fase escolhida para maximizar segundo (θ0 , ϕ0)

)( ρkNJF 0≈

[ ] 21200

200a /)sinsinsin(sin)cossincos(sin ϕθϕθϕθϕθρ −+−=

Para N elevado o factor espacial pode ser aproximado por

onde

e J0 (kρ) é a função de Bessel de ordem 0 e argumento kρ