CONJUNTOS - .conjuntos notÁveis ... aula 02 conjuntos notÁveis

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    Ano 2016

    CONJUNTOS Aulas 01 a 06

    Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

  • Sumrio CONJUNTOS ............................................................................................................................................................ 2

    CONCEITOS PRIMITIVOS ......................................................................................................................................... 2

    REPRESENTAO DE UM CONJUNTO ..................................................................................................................... 2

    RELAO DE PERTINNCIA ..................................................................................................................................... 2

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

    CONJUNTOS NOTVEIS ........................................................................................................................................... 2

    TIPOS DE CONJUNTOS ............................................................................................................................................. 2

    NMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO ........................................................................................................ 3

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

    SUBCONJUNTOS ...................................................................................................................................................... 3

    RELAO DE INCLUSO .......................................................................................................................................... 3

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

    SUBCONJUNTO PRPRIO ........................................................................................................................................ 3

    IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS ............................................................................................................................. 4

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4

    CONJUNTO DAS PARTES.......................................................................................................................................... 4

    PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 4

    NMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO ......................................................................................... 4

    OPERAES ............................................................................................................................................................. 5

    CONJUNTO COMPLEMENTAR ................................................................................................................................. 5

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5

    NMERO DE ELEMENTOS DA UNIO ..................................................................................................................... 6

    PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 6

    ALGUMAS REPRESENTAES .................................................................................................................................. 6

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 7

  • Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 2

    AULA 01

    CONJUNTOS CONCEITOS PRIMITIVOS Os conceitos primitivos da teoria de conjuntos so

    conjunto, elemento e pertinncia.

    Um elemento pertence a um conjunto .

    Ex.: Uma carteira parte de uma sala de aula.

    REPRESENTAO DE UM CONJUNTO 1. Tabular elementos listados entre chaves e

    separados por vrgula (ou ponto e vrgula).

    = {, , , } = {, , , }

    2. Diagrama de Venn elementos dispostos no

    interior de uma figura plana fechada.

    3. Propriedade elementos descritos por meio

    de uma propriedade em comum.

    = { | divisor de }

    RELAO DE PERTINNCIA Determina se um elemento pertence () ou no

    pertence () a um conjunto.

    Exemplo 1.1: Seja = {0; 1; {3,4}}. As seguintes

    relaes so verdadeiras:

    0 {3,4}

    1 3

    4 {4}

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS

    1.1. Dado = {, 1, 3, {4}}, julgue os itens a seguir.

    a) 1 b) c) 4

    d) 3 e) {4}

    AULA 02

    CONJUNTOS NOTVEIS Conjunto Vazio( { }) - no possui

    nenhum elemento.

    Conjunto Unitrio - possui um nico

    elemento.

    Obs.1: e {} no tem o mesmo significado, de modo

    geral {}, para todo .

    Conjunto Universo () contm todos os

    elementos do objeto de estudo.

    TIPOS DE CONJUNTOS Finito podemos contar seus elementos,

    chegando ao fim da contagem.

    Infinito no finito.

    Tablet: Ler as Obs. 1 e 2; e os exemplos seguintes.

    Um conjunto fazendo papel de elemento

    Um conjunto listado dentro de outro conjunto

    deve ser visto apenas como um de seus elementos:

    = {0, 1, {3,4}} {3,4} um elemento de . Isso

    no significa que 3 ou 4 sejam elementos de .

    DICA: Considerando o conjunto que contm as

    estaes do ano, tem-se que , mas o sol,

    que um elemento do vero, no pertence a .

    1 2 5 10

    Tablet: Ler a obs. 4 e os exemplos seguintes.

    Como transformar de propriedade para tabular

    Quando um conjunto estiver descrito na

    forma = { | }, interprete a primeira parte

    como os candidatos a elementos de , enquanto a

    segunda parte (aps a barra) a sua restrio. Se um

    candidato satisfaz a restrio ele est eleito e,

    portanto, elemento de .

    Exemplo: Seja = { | + 2 = 0}

    : diz que todos os reais so candidatos

    + 2 = 0 : restrio

    -2 o nico candidato que satisfaz a

    restrio, portanto eleito. Logo = {2}

  • Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 3

    NMERO DE ELEMENTOS DE UM

    CONJUNTO O nmero de elementos de um conjunto finito,

    cardinalidade, denotado por (), # ou ||.

    Exemplo 2.1: Sejam = = {2}, segue que

    () = 0; () = 1;

    Obs.2: Elementos repetidos em um conjunto so

    considerados como apenas um elemento.

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS

    2.1. Dado = {; 1; 3; {0; 4}}, julgue os itens a

    seguir.

    a) () = 4

    b) infinito

    c) {4}

    d) 0

    e) 4

    2.2. Classifique os conjuntos a seguir em unitrio,

    vazio, finito ou infinito.

    a) = { | 2 + 24 + 3 = 0}

    b) = { |2 = 1}

    c) = { |2 > 2}

    d) = { | ( + 2) ( 1

    2) (2 1) = 0}

    AULA 03

    SUBCONJUNTOS RELAO DE INCLUSO A relao de incluso uma relao entre dois

    conjuntos.

    A subconjunto de B (ou A est contido em B), se

    todo elemento de A tambm elemento de B.

    (l-se est contido em )

    (l-se contm )

    Exemplo 3.1: Sejam = {0, 2, 3} e = {1, 0, 2, 3},

    observe que

    Assim, temos que .

    Obs.3: Basta que um elemento de no pertena a

    para que no esteja contido em B ( ).

    Exemplo 3.2: Sejam = {1, 2, 4} e = { |

    um nmero par}, como 1 e 1 temos que

    .

    Obs.4: Lembre-se que e , para qualquer

    conjunto .

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS

    3.1. Dado = {, 1, 2, {4}} e = {2, 4, {1}},

    julgue os itens a seguir.

    a) {1} f) {2, 1}

    b) 1 g) e

    c) {4} h) {}

    d) {1, 2} i)

    e) {2, {1}} j)

    SUBCONJUNTO PRPRIO Um conjunto A, tal que , chamado de

    subconjunto prprio de B, se e .

    TAREFA 2 Ler, no tablet, at a pgina 9 e fazer os

    PRATICANDO EM SALA 10 a 14, 15(1 a 4) e 16.

    Tablet: Ler as obs. 7 e 8 e os exemplos seguintes.

    TAREFA 1 Leituras indicadas na aula e fazer os

    PRATICANDO EM SALA 1, 2, 4, 6(a,b), 7(a,b,c), 8 e 9.

    Pertinncia e incluso

    Pertinncia: relao entre elemento e conjunto

    (Lembre-se que um conjunto pode ter outro conjunto

    como um de seus elementos).

    Incluso: relao entre dois conjuntos

    (sendo um deles subconjunto do outro).

    ATENO! Para que um elemento seja promovido a

    subconjunto, necessrio coloc-lo entre chaves. Se

    esse elemento j for um conjunto, ento ele receber

    um segundo par de chaves.

    Tablet: Ler os exemplos que seguem a observao

    11 e o exerccio 1.

    Imagine um conjunto A com todos os seus elementos.

    Para formar um SUBCONJUNTO de A, basta escrever

    um novo conjunto cujos elementos sero uma seleo

    dos elementos de A, com qualquer quantidade.

    Como criar um subconjunto?

  • Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 4

    AULA 04 IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS Sendo e conjuntos, temos que

    =

    Exemplo 4.1: