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Hewlett-Packard Ano 2016 CONJUNTOS Aulas 01 a 06 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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Hewlett-Packard

Ano 2016

CONJUNTOS Aulas 01 a 06

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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Sumário CONJUNTOS ............................................................................................................................................................ 2

CONCEITOS PRIMITIVOS ......................................................................................................................................... 2

REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO ..................................................................................................................... 2

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA ..................................................................................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

CONJUNTOS NOTÁVEIS ........................................................................................................................................... 2

TIPOS DE CONJUNTOS ............................................................................................................................................. 2

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO ........................................................................................................ 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

SUBCONJUNTOS ...................................................................................................................................................... 3

RELAÇÃO DE INCLUSÃO .......................................................................................................................................... 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

SUBCONJUNTO PRÓPRIO ........................................................................................................................................ 3

IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS ............................................................................................................................. 4

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4

CONJUNTO DAS PARTES.......................................................................................................................................... 4

PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 4

NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO 𝑨 ......................................................................................... 4

OPERAÇÕES ............................................................................................................................................................. 5

CONJUNTO COMPLEMENTAR ................................................................................................................................. 5

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5

NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO ..................................................................................................................... 6

PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 6

ALGUMAS REPRESENTAÇÕES .................................................................................................................................. 6

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 7

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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

AULA 01

CONJUNTOS CONCEITOS PRIMITIVOS Os conceitos primitivos da teoria de conjuntos são

conjunto, elemento e pertinência.

Um elemento pertence a um conjunto .

Ex.: Uma carteira é parte de uma sala de aula.

REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 1. Tabular – elementos listados entre chaves e

separados por vírgula (ou ponto e vírgula).

𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟏𝟎} = {𝟏, 𝟓, 𝟏𝟎, 𝟐}

2. Diagrama de Venn – elementos dispostos no

interior de uma figura plana fechada.

3. Propriedade – elementos descritos por meio

de uma propriedade em comum.

𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ |𝒙 é divisor de 𝟏𝟎}

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA Determina se um elemento pertence (∈) ou não

pertence (∉) a um conjunto.

Exemplo 1.1: Seja 𝐴 = {0; 1; {3,4}}. As seguintes

relações são verdadeiras:

0 ∈ 𝐴 {3,4} ∈ 𝐴

1 ∈ 𝐴 3 ∉ 𝐴

4 ∉ 𝐴 {4} ∉ 𝐴

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. Dado 𝐴 = {∅, 1, 3, {4}}, julgue os itens a seguir.

a) 1 ∈ 𝐴 b) ∅ ∈ 𝐴 c) 4 ∉ 𝐴

d) 3 ∉ 𝐴 e) {4} ∈ 𝐴

AULA 02

CONJUNTOS NOTÁVEIS Conjunto Vazio(∅ 𝒐𝒖 { }) - não possui

nenhum elemento.

Conjunto Unitário - possui um único

elemento.

Obs.1: ∅ e {∅} não tem o mesmo significado, de modo

geral 𝑥 ≠ {𝑥}, para todo 𝑥.

Conjunto Universo (𝑼) – contém todos os

elementos do objeto de estudo.

TIPOS DE CONJUNTOS Finito – podemos contar seus elementos,

chegando ao fim da contagem.

Infinito – não finito.

Tablet: Ler as Obs. 1 e 2; e os exemplos seguintes.

Um conjunto fazendo “papel” de elemento

Um conjunto listado dentro de outro conjunto

deve ser visto apenas como um de seus elementos:

𝐴 = {0, 1, {3,4}} ⇒ {3,4} é um elemento de 𝐴. Isso

não significa que 3 ou 4 sejam elementos de 𝐴.

DICA: Considerando 𝐵 o conjunto que contém as

estações do ano, tem-se que 𝑣𝑒𝑟ã𝑜 ∈ 𝐵, mas o sol,

que é um “elemento” do verão, não pertence a 𝐵.

∙ 1 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 10

𝑨

Tablet: Ler a obs. 4 e os exemplos seguintes.

Como transformar de “propriedade” para “tabular”

Quando um conjunto estiver descrito na

forma 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 | 𝑥 … }, interprete a primeira parte

como os “candidatos” a elementos de 𝐴, enquanto a

segunda parte (após a barra) é a sua restrição. Se um

“candidato” satisfaz a “restrição” ele está eleito e,

portanto, é elemento de 𝐴.

Exemplo: Seja 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 + 2 = 0}

𝑥 ∈ ℝ: diz que todos os reais são candidatos

𝑥 + 2 = 0 : restrição

⇒ “-2” é o único candidato que satisfaz a

restrição, portanto é eleito. Logo 𝐴 = {−2}

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NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM

CONJUNTO O número de elementos de um conjunto finito,

cardinalidade, é denotado por 𝑛(𝐴), #𝐴 ou |𝐴|.

Exemplo 2.1: Sejam 𝐴 = ∅ 𝑒 𝐵 = {2}, segue que

𝑛(𝐴) = 0; 𝑛(𝐵) = 1;

Obs.2: Elementos repetidos em um conjunto são

considerados como apenas um elemento.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.1. Dado 𝐴 = {∅; 1; 3; {0; 4}}, julgue os itens a

seguir.

a) 𝑛(𝐴) = 4

b) 𝐴 é infinito

c) {4} ∈ 𝐴

d) 0 ∈ 𝐴

e) 4 ∉ 𝐴

2.2. Classifique os conjuntos a seguir em unitário,

vazio, finito ou infinito.

a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥2 + 2𝑥4 + 3 = 0}

b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ |𝑥2 = 1}

c) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥2 > 2}

d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ | (𝑥 + 2) (𝑥 −1

2) (𝑥2 − 1) = 0}

AULA 03

SUBCONJUNTOS RELAÇÃO DE INCLUSÃO A relação de inclusão é uma relação entre dois

conjuntos.

A é subconjunto de B (ou A está contido em B), se

todo elemento de A é também elemento de B.

𝐴 ⊂ 𝐵 (lê-se “𝐴 está contido em 𝐵”)

𝐵 ⊃ 𝐴 (lê-se “𝐵 contém 𝐴”)

Exemplo 3.1: Sejam 𝐴 = {0, 2, 3} e 𝐵 = {1, 0, 2, 3},

observe que

Assim, temos que 𝐴 ⊂ 𝐵.

Obs.3: Basta que um elemento de 𝐴 não pertença a 𝐵

para que 𝐴 não esteja contido em B (𝐴 ⊄ 𝐵).

Exemplo 3.2: Sejam 𝐴 = {1, 2, 4} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ |𝑥 é

um número par}, como 1 ∈ 𝐴 e 1 ∉ 𝐵 temos que

𝐴 ⊄ 𝐵.

Obs.4: Lembre-se que ∅ ⊂ 𝑨 e 𝑨 ⊂ 𝑨, para qualquer

conjunto 𝐴.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

3.1. Dado 𝐴 = {∅, 1, √2, {4}} e 𝐵 = {−2, 4, {1}},

julgue os itens a seguir.

a) {1} ⊂ 𝐴 f) {−2, 1} ⊂ 𝐵

b) 1 ∈ 𝐴 g) ∅ ⊂ 𝐴 e ∅ ⊂ 𝐵

c) {4} ⊂ 𝐴 h) {∅} ⊂ 𝐴

d) {1, √2} ⊂ 𝐴 i) 𝐴 ⊂ 𝐵

e) {−2, {1}} ⊂ 𝐵 j) 𝐵 ⊂ 𝐵

SUBCONJUNTO PRÓPRIO Um conjunto A, tal que 𝐴 ⊂ 𝐵, é chamado de

subconjunto próprio de B, se 𝐴 ≠ ∅ e 𝐴 ≠ 𝐵.

TAREFA 2 – Ler, no tablet, até a página 9 e fazer os

PRATICANDO EM SALA 10 a 14, 15(1 a 4) e 16.

Tablet: Ler as obs. 7 e 8 e os exemplos seguintes.

TAREFA 1 – Leituras indicadas na aula e fazer os

PRATICANDO EM SALA 1, 2, 4, 6(a,b), 7(a,b,c), 8 e 9.

Pertinência e inclusão

Pertinência: relação entre elemento e conjunto

(Lembre-se que um conjunto pode ter outro conjunto

como um de seus elementos).

Inclusão: relação entre dois conjuntos

(sendo um deles subconjunto do outro).

ATENÇÃO! Para que um elemento seja “promovido” a

subconjunto, é necessário colocá-lo entre chaves. Se

esse elemento já for um conjunto, então ele receberá

um segundo par de chaves.

Tablet: Ler os exemplos que seguem a observação

11 e o exercício 1.

Imagine um conjunto A com todos os seus elementos.

Para formar um SUBCONJUNTO de A, basta escrever

um novo conjunto cujos elementos serão uma seleção

dos elementos de A, com qualquer quantidade.

Como criar um subconjunto?

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AULA 04 IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS Sendo 𝐴 e 𝐵 conjuntos, temos que

𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐵 ⊂ 𝐴

Exemplo 4.1: Sejam os conjuntos 𝐴 = {−1, √2, 3},

𝐵 = {√2, −1, 3} e 𝐶 = {−1, √2, 3, 3, 3}, tem-se então

𝐴 = 𝐵 = 𝐶.

Obs.5: Dois conjuntos que diferem apenas na ordem

de seus elementos são iguais.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Determine se os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 4, 5} e

𝐵 = {1, (1

2)

−1, 22,

125

5} são iguais.

CONJUNTO DAS PARTES

PRELIMINAR 1 Dado o conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4}, temos que:

𝐴 possui um subconjunto com zero

elementos: ∅.

𝐴 possui quatro subconjuntos com um

elemento: {1}, {2}, {3} e {4}.

𝐴 possui seis subconjuntos com dois

elementos:

{1, 2}, {1, 3}, {1,4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

𝐴 possui quatro subconjuntos com três

elementos: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}.

𝐴 possui um subconjunto com quatro

elementos: {1, 2, 3, 4} = 𝐴

Estes são todos os subconjuntos de 𝐴.

O conjunto das partes de 𝐴, ℘(𝐴), é, por

definição, o conjunto cujos elementos são todos os

subconjuntos de 𝐴.

Exemplo 4.2: Sendo 𝐴 = {1, 2, 3, 4}, tem-se que o

conjunto das partes de 𝐴 é dado por

℘(𝐴) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4},

{2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4},

{1, 2, 3, 4}}

Obs.6: O conjunto das partes também é um

CONJUNTO.

NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM

CONJUNTO 𝑨 O número de subconjuntos de um conjunto 𝐴

é igual ao número de elementos do conjunto das

partes de 𝐴. É possível demonstrar que esse número é

obtido pela fórmula a seguir:

𝑛(℘(𝐴)) = 2𝑛(𝐴)

Tablet: PRATICANDO EM SALA 17

TAREFA 3: Ler, no tablet, o exemplo 27; e fazer os

PRATICANDO EM SALA 18(a) e 19.

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AULA 05

OPERAÇÕES Estudaremos, primeiramente, as três operações

seguintes: União, Interseção e Diferença.

CONJUNTO COMPLEMENTAR Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos, tais que 𝑨 ⊂ 𝑩. O

conjunto complementar de 𝐴 em relação a 𝐵 é, por

definição, o conjunto 𝐶𝐵𝐴. Note que

𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝐶𝐵𝐴 = 𝐵 − 𝐴

Exemplo 5.4: Sejam 𝐴 = {1; 2; 3} e 𝐵 = {1; 2; 3; 4; 5},

então o conjunto complementar de 𝐴 em relação a 𝐵

é

𝐶𝐵𝐴

= {4, 5}

Obs.12: 𝐴𝑐 = 𝐶𝑈𝐴, onde 𝑈 é o conjunto universo dado

na questão.

Para os exemplos a seguir, considere os conjuntos

𝑈 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7} , 𝐴 = {1; 2; 3} , 𝐵 = {3; 4; 5} e

𝐶 = {7}.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Considere os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3},

𝐵 = {{1, 2, 3}}, 𝐶 = {1, 2, 3, 4} e 𝐷 = {0, 2, 4, 6}.

Complete a tabela (TABELA FEITA EM SALA).

TAREFA 4: Ler as páginas 11 a 23; Fazer os

PRATICANDO EM SALA 21, 22, 25, 26, 27, 28.

Tablet: Ler observação 15

UNIÃO 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}

𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}

𝑈 ∪ 𝐴 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} = 𝑈

EXEMPLOS:

𝑥 ∉ (𝐴 ∪ 𝐵) ⇔ 𝑥 ∉ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵

OBSERVAÇÕES:

Obs.7: Um elemento não pertence

à união de dois conjuntos se não

pertencer a nenhum deles.

Tablet: Ler observação 18

INTERSEÇÃO 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}

𝐴 ∩ 𝐵 = {3}

𝑈 ∩ 𝐵 = {3, 4, 5} = 𝐵

𝐵 ∩ 𝐶 = ∅

EXEMPLOS:

𝑥 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵) ⇔ 𝑥 ∉ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∉ 𝐵

OBSERVAÇÕES:

Obs.8: Dados os conjuntos 𝐴 e 𝐵,

dizemos que 𝐴 e 𝐵 são disjuntos se

os conjuntos 𝐴 e 𝐵 não têm

elementos em comum, isto é

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

Obs.9: Para que um elemento não

pertença à interseção entre dois

conjuntos, basta que ele não

pertença a um deles.

DIFERENÇA 𝐴 − 𝐵 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}

𝐴 − 𝐵 = {1; 2}

𝐵 − 𝐴 = {4, 5}

𝐴 − 𝑈 = ∅

EXEMPLOS:

OBSERVAÇÕES:

Obs.10: Ao calcular a diferença

entre dois conjuntos, você está

respondendo à seguinte pergunta:

“Quais são os elementos do

primeiro conjunto que não são

elementos do segundo conjunto?”.

Obs.11: Em geral, 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴.

Tablet: Ler observação 23

Complementar

A palavra “complementar” é atribuída a tal operação

para passar a ideia de complemento. O conjunto

complementar de 𝐴 em relação a 𝐵 é o conjunto que

contém os elementos que faltam a um subconjunto

de 𝐵, no caso, 𝐴, para que tenhamos 𝐴 = 𝐵.

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AULA 06

NÚMERO DE

ELEMENTOS DA UNIÃO

PRELIMINAR 1 Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos finitos, representados

pelo diagrama de Venn abaixo:

Note que,

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

𝑛(𝐴) = 𝑥 + 𝑦 ;

𝑛(𝐵) = 𝑦 + 𝑧

Se calcularmos 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) teremos:

𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) = (𝑥 + 𝑦) + (𝑦 + 𝑧)

= 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧

Observe que os elementos da interseção (𝐴 ∩ 𝐵)

estão sendo contados duas vezes. Portanto, precisam

ter sua quantidade subtraída da soma obtida. Isto é:

Sendo 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos finitos, o número de

elementos da sua união é dado pela relação a seguir.

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

Exemplo 6.1: Dados os conjuntos 𝐴 = {{1, 2}; 3; 4; 5}

e 𝐵 = {3, 4, 1, {1}}, tem-se que

𝑛(𝐴) = 4, 𝑛(𝐵) = 4; 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 2

Então

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 4 + 4 − 2

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 6

Lembrando que 𝐴 ∪ 𝐵 = {{1, 2}; 3; 4; 5; 1; {1}}

Obs.13: Se 𝐴 e 𝐵 são disjuntos (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 0), então

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵)

ALGUMAS REPRESENTAÇÕES A seguir, você verá alguns diagramas de Venn.

Eles representam algumas das possíveis relações

entre dois conjuntos A e B.

Note que eles têm uma ou mais de suas partes

escurecidas, que ilustram a expressão que os

antecede.

𝐴 ∪ 𝐵

𝐴 ∩ 𝐵

Somente em 𝐴 ou (𝐴 − 𝐵)

𝐴 𝐵

𝑥 𝑦 𝑧

{3, 4}

Problemas e diagramas

Para resolver grande parte dos problemas que

envolvem contagem de elementos ou número de

elementos, deve-se recorrer ao diagrama de Venn.

Porém, no interior dos diagramas, muitas vezes não

serão listados os elementos de cada conjunto, mas

sim a quantidade de elementos que cada “pedaço” do

conjunto possui.

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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 7

Somente em 𝐵 ou (𝐵 − 𝐴)

(Três conjuntos) Somente em B ou

B A C

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Sejam 𝐴 e 𝐵 conjuntos, tais que 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 68,

𝑛(𝐴) = 30 e 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 12. Determine o número de

elementos do conjunto 𝐵.

6.2. Em uma pesquisa sobre preferência musical,

foram entrevistadas 40 pessoas. Elas optaram entre

rock, pop ou sertanejo, podendo escolher nenhuma,

uma, duas ou três entre as opções. Sabendo que,

5 pessoas escolheram os três estilos musicais

10 pessoas escolheram rock e pop

Nenhuma escolheu apenas rock e sertanejo

7 escolheram pop e sertanejo

20 escolheram rock

20 escolheram pop

12 escolheram sertanejo

Determine o número de pessoas que não escolheu

nenhum dos três estilos musicais.

6.3. Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre

as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo

que:

o número de alunos que cursam apenas

Matemática e Física excede em 5 o número de

alunos que cursam as três disciplinas;

existem 7 alunos que cursam Matemática e

Química, mas não cursam Física;

existem 6 alunos que cursam Física e Química,

mas não cursam Matemática;

o número de alunos que cursam exatamente

uma das disciplinas é 150;

o número de alunos que cursam pelo menos

uma das três disciplinas é 190.

Com base nessas informações, determine o

número de alunos que cursam as três disciplinas.

EXTRA

CAIU NO VEST 1. As preferências musicais são referência para o

conhecimento das pessoas, já que essas preferências

revelam quem as pessoas são e o que querem ou não

ser. Assim, as escolhas nem sempre se ligam a

critérios musicais, mas ao que a música representa

para cada pessoa ou para o grupo sociocultural em

que ela se insere. Em uma pesquisa sobre gosto

musical, foram obtidos os dados apresentados na

tabela a seguir:

1. Os dados na tabela mostram que, entre os

jovens participantes da pesquisa, o número

de alunos que revelaram preferência por mais

de um tipo musical é 59.

2. Mais de 135 jovens revelaram preferência por

apenas um dos tipos de música pesquisados.

3. O número total de jovens participantes da

mencionada pesquisa é 205.

2. Para preencher vagas disponíveis, o departamento

de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44

TAREFA 5: Ler as páginas 33 a 44; Fazer os

PRATICANDO EM SALA 29, 30, 32, 33, 34, 35 e 37

EXTRA: CONHECENDO AVALIAÇÕES 1, 2, 6, 8, 12,

14, 16, 19 e 20

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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 8

candidatos, solicitando, entre outras informações, que

o candidato respondesse se já havia trabalhado:

I – em setor de montagem eletromecânica de

equipamentos;

II – em setor de conserto de tubulações urbanas;

III – em setor de ampliações e reformas de

subestações de baixa e de alta tensão.

Analisados os testes, o departamento concluiu que

todos os candidatos tinham experiência em pelo

menos um dos setores citados anteriormente e que

tinham respondido afirmativamente:

28 pessoas à alternativa I;

4 pessoas somente à alternativa I;

1 pessoa somente à alternativa III;

21 pessoas às alternativas I e II;

11 pessoas às alternativas II e III;

13 pessoas às alternativas I e III.

1. Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3

setores.

2. Somente 36 candidatos têm experiência no

setor de conserto de tubulações urbanas.

3. Apenas 15 candidatos têm experiência no

setor de ampliações e reformas de

subestações.

3. Um posto de abastecimento de combustíveis vende

gasolina comum(GC), álcool anidro (AA) e óleo diesel

(OD). Em uma pesquisa realizada com 200 clientes,

cada entrevistado declarou que seus veículos

consomem pelo menos um dos produtos citados, de

acordo com a tabela abaixo. Considere que não

existem carros bicombustíveis.

Produto Proprietários de veículos que consomem o

produto

GC 120

AA 75

GC e OD 60

AA e OD 50

GC e AA 30

GC, AA e OD 20

1. 35 clientes possuem apenas veículos que

consomem OD.

2. Pelo menos dois produtos são consumidos

pelos veículos de mais de 120 clientes.

3. 10 clientes possuem mais de um veículo,

sendo que pelo menos um desses veículos

consome GC e o outro consome AA, mas não

possuem nenhum veículo que consome OD.

QUESTÕES EXTRAS

1. Acerca do conjunto 𝑃 = {0; ∅; 1; {−3; −1; 1}}. É

correto afirmar que

a) {∅} ⊄ 𝑃.

b) {−1} ∈ 𝑃.

c) {−3; −1; 1} ⊄ 𝑃.

d) o número de subconjuntos unitários de 𝑃 é 5.

e) o número de elementos do conjunto das partes de

𝑃 é 8.

2. Cada um dos 51 professores de uma escola leciona

em, pelo menos, um dos três prédios, 𝐴, 𝐵 e 𝐶, que a

escola possui. A distribuição de aulas aos professores

foi feita de seguinte modo:

32 professores lecionam no prédio 𝐴;

30 professores lecionam no prédio 𝐵;

29 professores lecionam no prédio 𝐶;

17 professores lecionam nos prédios 𝐴 e 𝐵;

18 professores lecionam nos prédios 𝐴 e 𝐶

13 professores lecionam nos prédios 𝐵 e 𝐶.

Quantos professores lecionam nos três prédios da

escola?

a) 8

b) 14

c) 27

d) 31

e) 43

3. O número de elementos de um conjunto 𝑋 pode

ser denotado por 𝑛(𝑋). Sendo 𝐴, 𝐵 e 𝐶 conjuntos tais

que 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 23, 𝑛(𝐵 − 𝐴) = 12, 𝑛(𝐶 − 𝐴) = 10,

𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 6 e 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 4, tem-se que

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∪ 𝐶) é igual a

a) 2.

b) 4.

c) 6.

d) 8.

e) 10.

4. Uma pesquisa que foi realizada com 200 jovens

com o objetivo de identificar como anda a prática

esportiva identificou que:

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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 9

Dos 120 jovens que não praticam esportes,

75% são do sexo feminino;

Dos 200 jovens que responderam à pesquisa,

o número de homens é igual ao número de

jovens que praticam esportes.

Com base nessas informações, determine o número

de jovens do sexo masculino que praticam esportes.

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. CCCEC

2.1. CEEEC

2.2. a) VAZIO b) FINITO c) INFINITO d) FINITO

3.1. CCECCECCEC

4.1. São iguais

5.1. EM SALA

6.1. 𝑛(𝐵) = 50

6.2. 5

6.3. 11

CAIU NO VEST 1. ECC

2. CCC

3. CEC

QUESTÕES EXTRAS 1. C

2. A

3. C

4. 50