CONJUNTOS NUMÉRICOS

COLÉGIO PADRE EUSTÁQUIO

Educando para Vida Plena

DISCIPLINA: MATEMÁTICA PROFESSOR: WASHINGTONATIVIDADE: APOSTILA ENSINO: PÓS MÉDIO I SÉRIE: 1ª TURMA: A B C D TURNO: NOTURNOASSUNTO: CONJUNTOS NUMÉRICOS / EXERCÍCIOS

ALUNO (A):________________________________________________________ Nº: _______

CONJUNTOS NUMÉRICOS

I) CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( N ) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} N* = N – { 0 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Subconjuntos importantes de N : - Números pares: {0, 2, 4, 6, 8, ...} - Números ímpares : { 1, 3, 5, 7, 9, ...} - Números primos : { 2, 3, 5, 7, 1, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...}

Operações em N : - Adição (fechada ) - Multiplicação (fechada) - Subtração ( não é fechada) - Divisão (não é fechada)

OBS.: uma operação é fechada em um conjunto quando, ao efetuarmos essa operação com dois números desse conjunto, o resultado também deverá ser um elemento desse conjunto.

II) CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( Z )

Z = { ... , -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ... } Z* = { ... , -5, -4, -3, -2, -1, +1, +2, +3, +4, +5, ... } → Conjunto dos inteiros não nulos.

Reta numerada: -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

Os números são as abscissas dos pontos. Os pontos são as imagens geométricas dos números. - Módulo de um número inteiro : número inteiro “sem sinal”. Exemplos: | +2 | = 2 ; | - 2 | = 2 ; | - 100 | = 100 ; | + 15 | = 15 .Se a Z, então | + a | = a e | - a | = a.- Dois números são opostos (simétricos) quando possuem o mesmo módulo e sinais diferentes.Exemplo: +2 e – 2 são opostos ; - 5 e + 5 são opostos , etc. Eles estão à mesma “distância” do zero na reta numerada.

Operações em Z :- Adição (fechada )- Subtração (fechada) - Multiplicação (fechada)

“Deus criou os números. O resto é obra dos homens.”Leopold Kronecker

Diagrama N

Diagrama Z

N Z

N

- Divisão (não é fechada).

III) CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ( Q ) A letra Q vem de quociente, que é o resultado de uma divisão entre dois números inteiros. A expressão “racionais” vem da palavra razão.

Então: sendo a Z e b Z* , a forma fracionária representa um número racional.

São números racionais: - números naturais ( ex.: 2, 3, 4, 5, etc.)- números inteiros (ex.: -2, -3, -4, +5, +6, etc.)- números decimais exatos (ex.: 0,25 ; -1,32 ; 4,1 ; -9,99 ; etc.)- dízimas periódicas. (ex.: 0,222... , -1,333... , 0,454545... , 2,321321321... , etc)

Q = {..., -2 , ..., , ..., -1, ... , -0,5 , ... , , ... , 0 , ... , , ... , , ... , 1 , ... , 1,25 , ... , 2 , ... }

Existe sempre uma fração que representa um número natural ou um inteiros ou um decimal exato ou uma dízima periódica. As frações que representam um número inteiro são chamadas de frações aparentes.

Exemplos: , , , , etc.

Operações fechadas em Q : - adição - subtração- multiplicaçãoOperações fechadas em Q* :- divisão

DIAGRAMA Q Z N N Z Q

REGRAS DE DIVISIBILIDADE1) POR 2 – todo número par é divisível por 2.2) POR 3 – ao somar os algarismos do número, essa soma deverá ser um número divisível por 3. 3) POR 4 – o número deverá terminar em dois zeros (ex.: 100) ou se os dois últimos algarismos do número

formar um número divisível por 4 (ex.: 324).4) POR 5 – o número deverá terminar em zero ou 5.5) POR 6 – quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.6) POR 7 – separamos o algarismo da direita e o multiplicamos por 2; subtraímos esse produto do número que

ficou a esquerda. Assim por diante. Se sobrar 0 ou múltiplo de 7, ele é divisível por 7.7) POR 8 – o número deverá terminar em três zeros ou se os três últimos algarismos formarem um número

divisível por 8.8) POR 9 – a soma dos algarismos do número deverá ser um número divisível por 9.9) POR 10 – se o número terminar em zero.10) POR 11 – somamos primeiro o algarismo da unidade, da centena, etc. Depois somamos os algarismo da

dezena, do milhar, etc. A seguir fazemos a diferença entre eles. Se essa diferença for zero ou se der um número múltiplo de 11, então esse número será divisível por 11.

A divisão por ZERO não é possível de ser realizada.

COLÉGIO PADRE EUSTÁQUIO – DISCIPLINA: MAT. APLICADA – APÓSTILA PÓS MÉDIO I – CONJUNTOS NUMÉRICOS – FL 2

EXERCÍCIOS

1) Escreva a fração irredutível (fração cujo numerador e denominador são números primos entre si) dos seguintes números decimais:

a) 0,3 V =

b) 2,31 Ω =

c) 0,433 A =

d) 2,3217 C =

e) 0,4 A =

f) 0,32 N =

g) 0,325 J =

h) 0,08 m/s =

i) 0,22 km =

j) 8,5 A =

k) 4,85 N =

l) 0,072 C =

2) Escreva a fração geratriz irredutível que representa as seguintes dízimas periódicas:

a) 0,222 ...

b) 0,212121...

c) 0,135135135...

d) 1,444...

e) 0, =

f) 4,666... =

g) 2, =

h) 0,353535 ... =

i) 0,333 ... =

j) 7,444 ... =

k) 0,999 ... =

l) =

3) Transforme as frações decimais em números decimais:

a) =

b) =

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)


4) Escreva as frações abaixo em números decimais ou dízima periódica:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

VI) CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( I )

Existem números que não podem ser escritos na forma fracionária pois não existe uma fração que possa representá-los. Eles apresentam infinitas casas decimais não periódicas. São os números IRRACIONAIS.Exemplos:

a) 0,221211211121111...b) 1,203040...c) d) = 3,141592..., etc.

V) CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ( R )

É o conjunto formado pela união dos números racionais e irracionais. Q I = R R Q I Z N

No conjunto dos números reais podemos efetuar todas as operações mas lembre-se: NÃO É POSSÍVEL EFETUAR A DIVISÃO POR ZERO , isto é, a adição, a subtração e a multiplicação são fechadas em R mas a divisão é fechada em R*.



OPERAÇÕES EM R.

I) ADIÇÃO Regra de sinal para adição

1.A PARCELA Operação 2.a PARCELA SOMA EXEMPLO

+ + + = + (+2) + (+7) = +9_̶ + _̶ = _̶ ( _ 3) + ( _ 5) = _ 8

+ (no de maior módulo) + _̶ = + ( +6 ) + ( _ 4) = + 2_̶ (n.o de maior

módulo)+ + = _̶ ( _ 15) + ( + 6 ) = _ 9

II) SUBTRAÇÃO

MINUENDO Operação SUBTRAENDO SOMA EXEMPLO

+ – + = (+) + ( –) (+2) – (+7) = (+2) + (–7) = – 5

+ – – = (+) + (+) (+3) – ( _ 5) = (+3) + (+5) = + 8

– – + = (–) + (–) (–6) – (+4) = (–6) + (–4) = –10

– – – = (–) + (+) ( _ 15) + (–6) = (–15) + (+6) = – 9

EXERCÍCIO1) Calcule:

a) +2 + 3 =

b) – 2 – 3 =

c) +5 – 7 =

d) – 8 + 3 =

e) – 9 – 15 =

f) + 2 – 13 =

g) – 2 – 3 – 4 =

h) + 4 – 3 + 7 =

i) + 2 – 3 – 5 – 7 =

j) + 2 + 3 + 5 =

k) – 3 + 4 + 8 =

l) – 4 – 5 – 16 =

m) – 3 + 2 + 5 – 7 =

n) + 4 – 5 + 8 – 6 – 2 =

o) + 7 – 2 + 6 – 4 + 5 – 9 =

p) + 6 + 3 – 2 – 5 + 9 – 8 – 3 =

q) – 4 + 5 + 3 + 4 – 5 – 3 + 2 – 2 =

r) – 15 + 12 – 10 + 16 – 11 + 14 + 10 =

s) – 4 + 5 – 2 – 3 + 6 – 7 + 8 – 4 =

t) – 5 + 3 – 4 + 2 – 3 + 6 – 7 + 8 =

u) – 9 + 2 – 7 + 3 – 4 – 2 – 2 + 3 – 5 =

v) – 100 + 200 – 50 + 35 + 24 – 30 =

w) + 2 – 3 + 5 – 7 + 9 – 12 – 2 + 4 =

x) 2 + 3 + 5 – 7 + 4 + 8 – 3 – 5 =

y) 6 + 3 – 2 + 1 – 9 – 7 + 2 + 8 =

z) – 3 + 2 + 5 – 7 + 4 – 9 + 5 – 6 =

2) Calcule o M.M.C. (menor múltiplo comum) dos números:

a) 2, 3, 5

b) 2, 3, 4

c) 2, 4, 8

d) 9, 6, 18

e) 3, 5, 10

f) 2, 7, 8, 14

g) 10, 20, 30

h) 20, 30, 50

i) 3, 4, 12, 18

j) 4, 5

k) 6, 9

l) 5, 9


3) Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

4) Eliminar os parênteses e em seguida efetuar as operações:


a) 2 – (3 – 5 + 2) =

b) (2 + 3) – (4 – 5) =

c) – 2 + 3 – (5 + 2 – 7) =

d) 2 + (3 – 5 + 10) =

e)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

III) MULTIPLICAÇÃO

1.O FATOR Operação 2.0 FATOR PRODUTO EXEMPLO

+ x + = + (+2) x (+7) = +14

_̶ x _̶ = _̶ ( _ 3) x ( _ 5) = + 15

+ x _̶ = + ( +6 ) x ( _ 4) = _ 24

_̶ x + = _̶ ( _ 15) x ( + 6 ) = _ 90

Para multiplicar mais de dois fatores seguimos a seguinte regra: - se na multiplicação a quantidade de fatores for PAR, o resultado será positivo;- se na multiplicação a quantidade de fatores for ÍMPAR, o resultado será negativo.

5) Calcule os produtos:


a) (+1).(+3) =

b) (+2).(+3) =

c) (+4).(–1) =

d) (+2).(–1) =

e) (–1).(+3) =

f) (–2).(–3) =

g) (–5).(+1) =

h) (–1).(–7) =

i) (–4).(–3) =

j) (–2).(–4) =

k) (–5).(–2) =

l) (–1).(+7) =

m) (+3).(–3) =

n) (–2).(+3) =

o) (–7).(+1) =

p) (–8).(+1) =

q) (–4).(+3) =

r) (–2).(+7) =

s) (–9).(+3) =

t) (–2).(–1) =

u) (–4).(+5) =

v) (–5).(+3) =

w) (+7).(+1) =

x) (–9).(+2) =

y) (–8).(+9) =

z) (+8).(–8) =

6) Calcule os produtos:

a) (+1).(–2).(–3).(+4) =

b) (+3).(–3).(–3).(–1) =

c) (+5).(–1).(+1).(–2) =

d) (+4).(–2).(–5).(+1) =

e) (–1).(–4).(+3).(–2) =

f) (–8).0.(+5).(–2) =

g) (–5).(–3).(–8).(+3) =

h) (+12).(–4).0.(–8).(+4) =

i) (+10).(–2).(–1).(+1) =

j) (+6).(–2).(–1).(+3) =

k) (–3).(+2).(–1).(+4) =

l) (–2).(+5).(–1).(–2) =

m) (–2).(–2).(–2).(–2) =

n) (+4).(–4).(+4).(–1) =

o) (–3).(–2).(+1).(–1).(+1) =

p) (–1).(–2).(+1).(–3).(–2) =

q) (–4).(+1).(–1).(–1).(–2) =

r) (–3).(–3).(–3).(–3).(–3) =

s) (–8).(–7).(0).(–1).(+1).(–2) =

t) (–1).(+1).(–2).(–1).(–2).(+2) =

u) (–1).(+1).(–3).(–1).(–3).(–1) =

v) (–2).(–1).(+2).(+1).(–1).(+1) =

w) (–3).(–1).(+2).(–1).(+3).(–2) =

x) (–4).(–2).(–1).(+1).(–1).(+2) =

y) (–5).(–4).(–3).(–2).(–1).(+1) =

z) (–2).(–2).(–2).(–2).(–2).(–2) =

7 ) Simplificar:


a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

8) Calcule os seguintes produtos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

IV) DIVISÃO


DIVIDENDO Operação DIVISOR QUOCIENTE EXEMPLO

+ + = + (+21) (+7) = +3_̶ _̶ = _̶ ( _ 30) ( _ 5) = + 6

+ _̶ = + ( +60 ) ( _ 4) = _ 15_̶ + = _̶ ( _ 36) ( + 6 ) = _ 6

- Se a divisão for exata , o resto da divisão é zero; caso contrário será diferente de zero

- Lembre-se: não existe divisão de um número por zero.

- Para efetuar a divisão entre duas frações aplicamos a regra: repetir a primeira fração e multiplicar pelo

inverso da segunda fração.

9) Calcule o quociente nas divisões:

a) (–16) : (+4) =b) (+40) : (+20) =c) (+12) : (–3) = d) (–24) : (+6) = e) (–8) : (+8) = f) (–24) : (–12) =g) (+8) : (–4) =h) (+12) : (–3) = i) (–18) : (+3) =

j) (+6) : (–3) =k) (+15) : (–5) = l) (+25) : (–5) =m) (+18) : (+3) =n) (–50) : (–5) +o) (+17) : (–1) = p) (–28) : (+7) = q) (–18) : (–3) =r) 0 : (+3) =

s) (+20) : (–4) = t) 0 : (+7) = u) (+18) : (–3) =v) 0 : (–8) = w) (+20) : (–10) = x) 0 : (–9) = y) (–6) : (–6) = z) (+100) : (–5) =

10) Calcular cada quociente:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

11) Calcule cada quociente:


a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Expressões numéricas:

Devemos efetuar as operações na seguinte ordem:

- multiplicação e divisão em primeiro lugar;

- adição ou subtração;

- havendo parênteses, resolver a operação dentro do parênteses, obedecendo a ordem acima.

12) RESOLVER cada uma das expressões que seguem:

a) 20 – (6.3 – 4.5 + 1.2) =

b) (7 – 8). (9 – 7). (6 – 8). (–1) =

c) (–4): (–5 + 3) + 12 =

d) –4 + (–12): (–6) + 1 =

e) 5.(3 – 1) – 6.(4 – 2) + 7 =

f) (6: 3 + 8: 2): (5.2 – 4) =

g) (–24: 8 – 6. 2): (2.3 – 1) =

h) –6 + 12: 4 – 9: 3 – 10: 2 =

i) –9 – 12:2 + 15:5 + 6 =

j) (–15): (–3) + (–9): (+3) =

k) 12: (–1–5) – 27: (–3+6) – 2 =

l) 13 – (9–10:2–8) + 1 =

m) 20 + 4: 2 + 8: 4 – 5. 3 =

n) (8 – 3: 3 + 2). (10 – 4. 3 + 1) =

o) (–18): (+9) + (–14): (–2) – (–15): (–3) – 6 =

p) (28: 7 + 36:9 – 20: 10) : (–2) =

13) Simplifique as expressões:


a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j) 2 +

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

V) POTENCIAÇÃO

Se a R e n N chama-se potência enésima de um número real a o produto n de fatores iguais a esse número.

an = a a a a a n fatores

a base n expoente

Exemplo:

a) 2 .2 .2 .2 = 16

b)

c)

d)

Observe que na potenciação, se o expoente for PAR, a potência será positiva e se o expoente for ÍMPAR, a

potência tem o mesmo sinal da base.

Casos particulares:

Se n = 0 a0 = 1 (a 0)

Se n = 1 a1 = a

12) Calcule:


a) 9º =

b) º =

c) º =

d) 43 =

e) ( 4)3 =

f) 09 =

g) 43

h) 52 =

i) 00 =

j) ( )0 =

k) 120 =

l) (7,2)1 =

m) 10 =

n) (3)1 =

o) 0 =

p)

q) ( )0 =

r) (3,2)0 =

s) 01 =

t) 25 =

u) (2)5 =

v) (+3)4 =

w) (3)4 =

x) (1)4 =

y) (1)0 =

z) 34 =

13) Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO

Considere a base a um número real não-nulo ( a R* ) e o expoente n um número natural.

Exemplos

a) d)

b) e)

c) = f) 0 –1 = não existe

Observação: zero elevado a expoente negativo não é definido (não existe).

14) Determine:

a) 3 –2 =

b) 5 –3 =

c) (4) –2 =

d) (2) –2 =

e) –3 =

f) ( 3) –4 =

g) =

h) =

i) (0,3) –1 =

j) (0,5) – 1 =

k) () –3

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

= , a R* e n N



Propriedades das potências, cujo expoente é um número inteiro

am . an = am + n (produto de potências de mesma base: conservamos a base e somamos os seus expoentes)

am : an = am – n (a 0) (divisão de potências de mesma base: conservamos a base e subtraímos os seus

expoentes)

(am)n = a m..n (potência de uma potência: conservamos a base e multiplicamos os expoentes)

(a.b)n = an . bn (distribuir o expoente para cada uma das bases)

( b 0) (distribuir o expoente para cada uma das bases)

15) Reduza a uma só potência

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r) (3 . 5 ) 2 =

s) (2 3 ) – 2 =

t) 56 : 53 =

u) =

v) =

w) 32 .33 =

x) (2 . 7) 2 =

y) 51 . 5 – 3 =

z) =

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