Conjuntos Numéricos

Conjunto

Definimos como conjunto uma coleção qualquer de elementos.

Exemplos:

Conjunto dos números naturais pares;

Conjunto formado por meninas da 6ª série do ensino fundamental de um determinado colégio;

Conjunto dos números primos;

Formas de representar um conjunto

1º caso: Forma de listagem

Exemplo: Conjunto dos números pares positivos P = {2, 4, 6, 8,...}

2º caso: Propriedades dos elementos

Exemplo: Conjunto dos números pares positivo P = { x / x é par e positivo}

3º caso: Diagrama de Venn

Exemplo: Conjunto dos números pares maiores que 2 e menores ou igual a 8.

Relação de Pertinência

Para relacionar elemento com conjunto é utilizado o símbolo de

(pertence) e (não pertence).

Exemplo:

Se x pertence a um conjunto A, então dizemos que x A

Se y não pertence a um conjunto A, então dizemos que y A

Conjunto Vazio

Quando um conjunto não possui elementos então dizemos que o

conjunto é vazio representado por ou { }.

Exemplo:

= {x; x ≠ x}

Conjunto Universo

Quando um conjunto é formado por todos os elementos então dizemos que o conjunto é o universo U

Exemplo:

U={x; x=x}

Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também é elemento de um conjunto

B então dizemos que A B lê-se (A esta contido em B), ou seja, A é subconjunto de B.

Observação importante

A A, todo conjunto esta contido nele mesmo;

A, o conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto;

Se um conjunto A possui n elementos então ele possui 2n

subconjuntos;

O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {1,2}, o conjunto das partes de A é dado por

P(A) = {,{1},{2},{1,2}}.

Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:

Conjunto dos Números Naturais

Os números que trabalhamos são distribuídos em forma de conjuntos, primeiro foi definido os Números Naturais representado pela letra N, o conjunto dos números naturais é formado por N={0,1,2,3,4,...}, este

conjunto é infinito, ou seja, não tem fim, porém possui inicio que é o número “zero”. Observou-se que este conjunto não é fechado quanto à subtração e a divisão, pois nem toda subtração e divisão de números naturais é um número natural.

Exemplo:

10 – 15 = ?

500 – 800 = ?

12 : 5 = ?

8 : 7 = ?

Conjunto dos Números Inteiros

Como podemos vê não existe nenhum número natural que represente a diferença 10 – 15 lê-se “ dez menos quinze” ou 500 – 800 lê-se “quinhentos menos oitocentos” assim surgiu à necessidade de se construir outro conjunto, chamado de Números Inteiros, representado pela letra Z.

O Conjunto dos números inteiros Z = {...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...}, é formado por todos os números naturais mais seus opostos, lembrando que o zero é tido como nulo ou neutro, ele não é nem negativo nem positivo.

É comum encontrarmos os números inteiros no dia a dia.

Exemplo:

Quando verificamos a situação de débito ou crédito de uma conta bancária.

Quando medimos a temperatura de um líquido

Quando utilizamos o elevador de um prédio.

Reta Numérica

Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, que crescem da esquerda para a direita, assim -7 é menor que -2, 0 é maior que -6 e assim por diante.

Vamos comparar alguns números inteiros

-3 > -8, lê-se “ -3 é maior que -8”

-15 < +10, lê-se “-15 é menor que +10”

-200 < 0, lê-se “-200 é menor que 0”

Observação importante:

Zero é maior que qualquer número negativo;

Menos um é o maior número negativo;

Zero é menor que qualquer número positivo;

Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo;

Números opostos ou simétricos

Observe que a distância de -5 até o zero é a mesma do +5 até o zero, estes números são chamados de opostos ou simétricos.

Exemplos:

-4 é o oposto ou simétrico de 4;

20 é o oposto ou simétrico de -20;

-100 é o oposto ou simétrico de 100;

Adição e Subtração de Números Inteiros

Adição:

1º Passo:

Tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números;

2º Passo:

Sinais iguais conserva-se o sinal e soma.

Sinais diferentes conserva-se o sinal do número mais distante do zero e subtrai.

Exemplos:

(+7)+(+3)= +7 +3 = +10

(- 8)+(- 5) = -8 -5 = - 13

(+12) + (-10) = +12 -10 = + 2

(-30) + (+25) = -30 +25 = - 5

Subtração:

1º Passo:

Tiramos os parênteses e trocamos o sinal do número depois da subtração

2º Passo:

Sinais iguais conserva-se o sinal e soma.

Sinais diferentes conserva-se o sinal do número mais distante do zero e subtrai.

Exemplos:

(+7) - (+3)= +7 -3 = +4

(- 8) - (- 5) = -8 +5 = - 3

(+12) - (-10) = +12 +10 = +22

(-30) - (+25) = -30 -25 = - 55

Observação importante:

Para facilitar o entendimento ao efetuar o 2º passo tanto da adição como da subtração pode pensar em débito (número negativo) e crédito (número positivo).

Multiplicação e Divisão de Números Inteiros

Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números inteiros efetuamos o jogo de sinais como nos casos abaixo:

1º caso: Sinais iguais resultado positivo

Exemplo:

(-5) x (-7) = + 35

(+5) x (+7) = +35

(+15) : (+3) = + 5

(-15) : (- 3) = + 5

2º caso: Sinais diferentes resultado negativo

Exemplo:

(-5) x (+7) = - 35

(+5) x (-7) = - 35

(+15) : (-3) = - 5

(-15) : (+3) = - 5

Potenciação de Números Inteiros

Uma potência representa a quantidade (n) de vezes que um número (a) é multiplicado por ele mesmo. Representamos simbolicamente uma potência por a

n, onde definimos:

a, como a base

n, como o expoente.

Exemplo:

(+2)x(+2)x(+2)=+8=(+2)3, lê-se “mais dois ao cubo”

(-3)x(-3) = +9 = (-3)2, lê-se “menos três ao quadrado”

Regras para efetuar uma potência

1ª Caso: Se o expoente for zero, a resposta será igual a 1.

Exemplo:

(-3)0 = 1

(+500)0 = 1

Observação Importante:

Sem os parênteses haverá mudança no resultado:

Exemplo:

- 30 = -1

2º Caso: Se o expoente for natural par, a resposta será sempre positiva.

Exemplo:

(-3)2 = (-3)x(-3)=+9

(+2)4 = (+2)x(+2)x(+2)x(+2) = +16

3º Caso: Se o expoente for natural impar, a resposta terá o mesmo sinal

da base.

Exemplo:

(-3)3 = (-3)x(-3)x(-3)=(+9)x(-3)= - 27

(+2)5= (+2)x(+2)x(+2)x(+2)x(+2)=(+4)x(+4)x(+2)=(+16)x(+2)=+32

Observação Importante:

Sem os parênteses haverá mudança no resultado:

(-2)2 = (-2)x(-2)=+4

-22 = -(2)x(2)= -4

Radiciação de Números Inteiros

A radiciação é a propriedade inversa da potenciação, logo se 32 = 9

então a raiz quadrada de 9 é 3, ou seja,

.

Representamos simbolicamente um radical por onde definimos:

a, como radicando

n, como índice.

Exemplo:

, pois 5 x 5 = 25

, pois 7 x 7 = 49

, não existe raiz de número negativo com índice par.

, neste caso o menos esta fora da raiz, portanto existe resultado que é -9.

, pois (-2)x(-2)x(-2)= - 8

, pois 2 x 2 x 2 = 8

Propriedade:

Exemplo:

Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros

É fundamental para a resolução de uma expressão numérica seguirmos alguns passos. Priorizamos nesta ordem às operações de potenciação e radiciação, multiplicação e divisão e por último soma e subtração obedecendo também à ordem de eliminação dos parênteses, colchetes e por último as chaves.

Exemplo:

a) [(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 = [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = [(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = [1.3 + 12] : 5 = [3 + 12 ] : 5 = 15 : 5 = 3

Observação importante:

1º) Caso tenha uma expressão com multiplicação e divisão simultaneamente resolvemos primeiro a operação que vier da esquerda para a direita.

Exemplo:

– 8 : 2 x 4 = - 4x4 = - 16

2º) O conjunto dos números inteiros não é fechado quanto a divisão, ou seja, a divisão entre dois números inteiros nem sempre é um número inteiro.

Exemplo:

(- 8) : (- 3) = ?

(+20) : (- 7) = ?

Por isso foi necessário que se construísse um terceiro conjunto, o conjunto dos números racionais.

Conjunto dos Números Racionais

Representado pela letra Q o conjunto dos números racionais é formado por todo número que pode ser escrito em forma de fração, ou seja,

onde z* são os inteiros não nulos, assim definimos:

a , como numerador

b, como denominador

Exemplo:

2, pois 2 = 2/1, onde 2 é o numerador e 1 é o denominador;

-1/2 (lê-se “menos um meio”), onde -1 é o numerador e 2 é o denominador;

3/5 (lê-se “três quintos”), onde 3 é o numerador e 5 é o denominador;

0,001 = 1/1000 (lê-se “Um milésimo”), onde 1 é o numerador e 1000 é o denominador;

0,333...=3/9=1/3, onde 1 é o numerador e 3 é o denominador;

Adição e Subtração de Números Racionais

Adição

1º Passo:

Tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números;

2º Passo:

Denominadores iguais, repetimos o denominador e somamos

os numeradores.

Exemplo:

Denominadores diferentes e primos calcula-se o Mínimo

Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores encontrando frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o exemplo abaixo.

Exemplo:

Descrição dos passos:

Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais um quinto mais cinco terço;

Efetuamos o MMC entre os denominadores 3 e 5 obtendo 15 que substituiu os denominadores 3 e 5.

Dividimos 15 por 5 e multiplicamos pelo numerador 1 obtendo 3 o novo numerador da primeira fração

Dividimos 15 por 3 e multiplicamos pelo numerador 5 obtendo 25 o novo numerador da segunda fração

Igualamos a soma das frações três quinze avos com vinte e cinco quinze avos

Por últimos repetimos o denominador 15 e somamos os numeradores 3 mais 25 obtendo vinte oito quinze avos.

Observação Importante:

O MMC entre números primos é o produto entre eles.

Números primos são números que são divisíveis apenas por 1 e por ele mesmo

Alguns números primos: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,...

Denominadores diferentes e Múltiplos calcula-se o Mínimo

Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores encontrando frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o exemplo abaixo.

Exemplo:

Descrição dos passos:

Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais dois quinto mais três décimos;

Efetuamos o MMC entre os denominadores 5 e 10 obtendo 10 que substituiu os denominadores 5 e 10.

Dividimos 10 por 5 e multiplicamos pelo numerador 2 obtendo 4 o novo numerador da primeira fração

Dividimos 10 por 10 e multiplicamos pelo numerador 3 obtendo 3 o novo numerador da segunda fração

Igualamos a soma das frações quatro décimos com três décimos.

Por últimos repetimos o denominador 15 e somamos os numeradores 3 mais 25 obtendo vinte oito quinze avos.

Observação Importante:

O MMC entre números múltiplos é o maior número entre eles.

Exemplo:

a) mmc(2,4)=4; b) mmc(3,9)=9; c) mmc(20,100)=100;

Denominadores diferentes calcula-se o Mínimo Múltiplo

Comum (MMC), fatoração simultânea, entre os denominadores encontrando frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o exemplo abaixo.

Exemplo:

Descrição dos passos:

Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais dois sextos mais três oitavos;

Efetuamos o MMC entre os denominadores 6 e 8 obtendo 24 que substituiu os denominadores 6 e 8.

Dividimos 24 por 6 e multiplicamos pelo numerador +2 obtendo +8 o novo numerador da primeira fração

Dividimos 24 por 8 e multiplicamos pelo numerador +3 obtendo +9 o novo numerador da segunda fração

Igualamos a soma das frações oito vinte quatro avos com dezessete vinte quatro avos.

Por últimos repetimos o denominador 24 e somamos os numeradores 8 mais 9 obtendo dezessete vinte quatro avos.

Observação Importante:

O MMC utilizando fatoração simultânea.

Exemplo:

mmc(16,18)=24.3

2 = 144

Subtração:

Na subtração o processo é semelhante, como mostra o exemplo.

1º Passo:

Tiramos os parênteses e trocamos o sinal da fração após a subtração;

2º Passo:

Tratamos como nos casos da adição.

Descrição dos passos:

Retiramos os parênteses trocando o sinal da fração que aparece após a subtração e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais um terço menos três quintos;

Efetuamos o MMC entre os denominadores 3 e 5 obtendo 15 que substituiu os denominadores 3 e 5.

Dividimos 15 por 3 e multiplicamos pelo numerador +1 obtendo +5 o novo numerador da primeira fração

Dividimos 15 por 5 e multiplicamos pelo numerador -3 obtendo -9 o novo numerador da segunda fração

Obtemos a expressão mais cinco quinze avos menos nove quinze avos.

Por últimos repetimos o denominador 15 e efetuamos os numeradores +5 - 9 obtendo menos quatro quinze avos.

Observação importante:

O processo é o mesmo para os diferentes tipos de denominadores.

Multiplicação e Divisão de Números Racionais

Multiplicação

Ao multiplicarmos dois números racionais efetuamos o jogo de sinais como nos casos abaixo:

1º caso: Sinais iguais resultado positivo

Exemplo:

Descrição dos passos:

Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;

Multiplicamos numerador com numerador 1 vezes 3 e denominador com denominador 5 vezes 7.

Obtemos o resultado mais três trinta e cinco avos.

2º caso: Sinais diferentes resultado negativo

Exemplo:

Divisão

Ao dividirmos dois números racionais efetuamos o jogo de sinais como nos casos abaixo:

1º caso: Sinais iguais resultado positivo

Exemplo:

Descrição dos passos:

Repetimos a primeira fração, trocamos o sinal de divisão por multiplicação e invertemos a segunda fração;

Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;

Multiplicamos numerador com numerador, 1 vezes 7 e denominador com denominador 5 vezes 3.

Obtemos o resultado mais sete quinze avos.

2º caso: Sinais diferentes resultado negativo

Exemplo:

Descrição dos passos:

Repetimos a primeira fração, trocamos o sinal de divisão por multiplicação e invertemos a segunda fração;

Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;

Multiplicamos numerador com numerador, 1 vezes 4 e denominador com denominador 7 vezes 9.

Obtemos o resultado menos quatro sessenta e três avos.

Potenciação de Números Racionais

Os conceitos vistos para potenciação de números inteiros podem ser expandidos para números racionais, seguida de algumas propriedades.

Se an é uma potência de base a e expoente n então são

válidas a propriedade:

Se a base a é uma fração do tipo então:

Exemplos:

Radiciação de Números Racionais

Da mesma forma que na potenciação podemos expandir os conceitos de radiciação já vistos anteriormente para números racionais.

Se é um radical em que o radicando a é uma fração do tipo

Então vale as propriedades:

Exemplos:

Também são chamados de números racionais, ou seja, números que podem ser escritos em forma de fração os seguintes números:

Os decimais;

As dízimas periódicas simples e compostas;

Exemplo:

Como transformar decimal em fração

Exemplo:

Descrição dos passos

Retira-se a vírgula e divide o número obtido por múltiplos de 10 de acordo com a quantidade de casas depois da vírgula, neste caso por 10, pois havia apenas uma casa após a vírgula que era o número 1.

Fração Geratriz

Como transformar uma dízima periódica simples em uma fração.

Exemplo:

Descrição dos passos

Neste caso a dízima é chama de periódica simples, pois só possui parte periódica, desta forma se pega o período que é o número 1 e divide-se por 9 em outros casos por 99 ou 999 e assim por diante, a quantidade de nove corresponde a quantidade de algarismos da parte periódica.

Descrição dos passos

Neste caso a dízima é chamada de periódica composta, pois possui além do período 3 a parte não periódica o número 2, para encontrar a fração geratriz se pega a parte não periódica junta-se à parte periódica formando o número 23 subtrai da parte não periódica encontrando o número 21 que passa a ser o numerador da fração geratriz já o denominador é formado por 90 em outros casos 990 ou 900 e assim por diante, a quantidade de nove equivale a quantidade de algarismos da parte periódica já a quantidade de zero equivale a quantidade de algarismos da parte não periódica.

Observação importante:

Quando a dízima periódica possui parte inteira devemos fazer como dos exemplos c e d.

Conjunto dos Números Irracionais

Dizemos que o conjunto dos números irracionais é o que falta no conjunto dos números racionais para que este fique igual ao conjunto dos números reais, representado pela letra Q

c, ou simplesmente I, os

irracionais são formados por todos os números que não podem ser

escritos em forma de fração, como o número “Pi” =3,14..., muito usado na geometria, o número neperiano e = 2,718281..., as raízes não exatas

como 2,3 e 5 também são exemplos de números irracionais.

Conjunto dos Números Reais

Representado pela letra R, o conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais com os números irracionais como mostramos através do diagrama abaixo.

Observação importante:

Todo número natural é inteiro;

Todo número inteiro é racional;

Nenhum número racional é irracional;

Todo número racional ou irracional é real;