CONJUNTOS Prof.Alexandre

Mello

DEFINIÇÃO

É toda união ou reunião de elementos, objetos, números, letras, ...

Exemplos:1. A é o conjuntos das letras da palavra ARARA. A = {A, R}2. B é o conjunto dos números naturais. B = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

Quando relacionamos ELEMENTO com CONJUNTO usamos os símbolos de: , e (pertence e não pertence).

) ( 7 5, 3, ,15 .4

) ( 6 ,5 4, ,3 2, 1, ,02 .3

) ( ímpar natural número é x / x0 .2

) ( ... 4, 3, 2, 1,3 .1

:Exemplos

V

V

F

F

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, TODOS os elementos de A pertencem ao conjunto B e vice versa.

Exemplos:1.Dado o conjunto A = {x / x é número inteiro maior do que zero} e o conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, ....}, então podemos afirmar que A = B?

FALSO

2. Dado o conjunto X = {1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5} e o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5} então podemos afirmar que X = B?

VERDADEIRO

CONJUNTO VAZIO

Um conjunto A é chamado de vazio quando não tem NENHUM elemento.

Aou 0 AEntão

CONJUNTO UNITÁRIO

Um conjunto A é unitário se, e somente se, A tem UM e SOMENTE UM elemento.

CONJUNTO UNIVERSO

Um conjunto A é chamado de conjunto universo quando ele tem todos os elementos que são soluções de uma determinada situação problema.

Exemplo:1.A altura de uma pessoa é dada por um número real positivo. Qual o conjunto UNIVERSO dessa situação?

O conjunto do números reais ou U = R

SUBCONJUNTOS

• Um conjunto A é subconjunto do conjunto B se, e somente se, TODOS os elementos de A pertencem ao conjunto B.

• Representamos por: BA

• Dizemos também que A é parte de B.

Exemplos:

1.Quais os subconjuntos (elementos do conjunto das partes) do conjunto:

a) X = {2, 4} 4 2, ,4 ,2 ,0)X(P

OBS.: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

b) Y = {1, 3, 5} 5 3, 1, ,5 3, ,5 1, ,3 1,,5 ,3 ,1 ,0)Y(P

c) W = {3} 1 ,0)W(P

c) S = { } 0)W(P

Conclui-se que: • Se n(X) = 0, então n(P(X)) = 1.• Se n(X) = 1, então n(P(X)) = 2.• Se n(X) = 2, então n(P(X)) = 4.• Se n(X) = 3, então n(P(X)) = 8.• ...• Se n(X) = a, então n(P(X)) = 2a

2. Dado um conjunto com 256 subconjuntos e (x + 3) elementos. Determine o valor de x. X = 5

3. Se o número de elementos do conjunto das partes do conjunto A é 1024, calcule o número de elementos de A. 10 elementos

5x 83x

22 2562 ))x(P(n2 Se 83)(x3)(xn(x)

10n(x) 22 10242 10n(x))x(n

Dados dois conjuntos, não vazios, A e B, tais que B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}e A = {1, 3, 4, 6, 7}, temos que:

3.1. COMPLEMENTAR:

8} 5, 2, {0,ABC :.Ex

A xe B x / xA-B

:é isto B, a relação em A de arcomplement o é C

B, Ase seja, ou , C é ARCOMPLEMENT no usado símbolo O

AB

AB

AB

No diagrama vamos HACHURAR (pintar) o COMPLEMENTAR de A em relação a B.

IA

B

B. a igual ser para A em falta que o é C

:OBS.AB

II.

A

B

CONJUNTOS NUMÉRICOSRevisaremos os conjuntos numéricos que são subconjuntos do conjunto

dos números REAIS o qual será o nosso UNIVERSO para o estudo de funções.

1. Conjunto dos números naturais:

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

2. Conjunto dos números inteiros:

Z = {..., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

3. Conjunto dos números racionais:

Q =

*ZbeZacom,

b

ax/x

Ex.: 1

2

5

10

2

42,2

poisQ

29

0

7

0

6

00,0 poisQ

Vamos considerar também como números racionais:

Os números decimais exatos ou finitos.

Ex.: 0,5; -1,25; 5,87

Os números decimais periódicos ou infinitos.

Ex.: 0,777...; -5,1666...;

4. Conjunto dos números irracionais.

É o conjunto dos números decimais infinitos não periódicos que não podem ser escritos na forma a/b, com a e b inteiros.

Ex.:

...1415926535,3

9

10,

7

5,2

3

irracionaléxouracionaléxxR

sirracionaiQR/

Um número irracional muito importante é o número

5.Conjuntodosnúmerosreais.

R

R – Q’

(irracionais)

Q

Z N

Subconjuntos importantes de R:

negativos não reais números dos conjuntoR

positivos não reais números dos conjuntoR

nulos não reais números dos conjunto*R

EXERCÍCIOS

Qa 3

2)

Qb ...1313,2)*

3

4) Qc

*8) Rd

1. Verifique se as sentenças

abaixo são verdadeiras ou falsas.

QNe *)

QNf )*) RQg

RQZNh )

F

V

V

V

V

F

F

F

2. Determine a fração que gerou a dízima:

a) 0,333...

b) 1,666...

c) 0,2555...

d) 2,444...

e) 0,222...

f) 1,3222...

1/3

5/3

23/90

22/9

2/9

119/90

Resolução do exercício 2.

3

1

9

339

________________

...333,310

)10(...333,0)

xx

x

xxa

3

5

9

15159

________________

666,1610

)10(...666,1)

xx

x

xxb

90

232390

_________________

...555,25100

)10(...555,210

)10(...2555,0)

xx

x

xx

xxc

INTERVALOS REAISOs intervalos reais são subconjuntos de R.

Dados dois números reais a e b com a < b, temos os seguintes intervalos:

a b

1. Intervalo fechado

Intervalo: [a, b]

Conjunto:

bxaRx /

bxaRx /

bxaRx / bxaRx /

2. Intervalo aberto

a b

Intervalo: ]a, b[

Conjunto:

3. Intervalo fechado à esquerda

a b

Intervalo: [a, b[

Conjunto:

4. Intervalo fechado à direita

a bIntervalo: ]a, b]

Conjunto:

I.Intervalos limitados

II. Intervalos ilimitados

1. Conjunto:

Intervalo: ]- ∞, a]

axRx /

axRx /

axRx /

axRx /

a

2. Conjunto:

Intervalo: ]- ∞, a[

a

3. Conjunto:

Intervalo: [a, + ∞[

a

4. Conjunto:

Intervalo: ]a, + ∞[

5. Reta real

Conjunto: R

Intervalo: ]- ∞, + ∞[

0

a

EXERCÍCIOS

71/)

3/)

xRxb

xRxa

1. Represente na reta real os intervalos:

a) [3, 6[

b) ]-∞, -1/2[

2. Escreva os subconjuntos de R na notação de intervalos:

3. Escreva os intervalos na forma de conjuntos:

a) ]0, 3]

b) ]8, +∞[