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Conservaçãodomomentolinear-Colisões.
o Momentolineareasuaconservaçãoo Impulsoo Colisõeselásticaseinelásticaso Colisõesemduasdimensões
MomentoLinear
Momentolineardeumapartícula(ouumobjetoquepodeser modelado como uma partícula) de massa m semovendo com velocidade v é definido como sendo oprodutodamassapelavelocidade: p=mv
Ostermos“momento”e“momentolinear”serãousadosdemaneiraanálogaemnossasdiscussões
MomentoLinear,cont.
o Omomento linearéumaquantidadevetorialà Suadireçãoéamesmadavelocidadev
o AsdimensõesdemomentosãoML/T
o AsunidadesdemomentonoSIsãokg·m/s
o O momento pode ser expresso na forma de suascomponentescomo: px=mvx py=mvy pz=mvz
Newton chamou o produto de mv como a quantidade demovimentodapartículaA2aLeideNewtonpodeserusadapararelacionaromomentodapartículacomaforçaresultanteatuandosobreela
A taxa temporal damudança domomento linear de umapartícula é igual à força resultante atuando sobre apartícula
oEstaéaformanaqualNewtonapresentoua2aLeioÉumaformamaisgeraldoqueausadaanteriormenteoEstaformapermiteaalteraçãodemassa
( )d md dm mdt dt dt
Σ = = = =vv pF a
NewtoneoMomento
Considere um sistema de duaspartículas que exercem forças umasobre a outra, mas sobre o qual nãoatua nenhuma força externa: sistemaisolado.
Nãovamosnospreocuparcomotipode força que uma partícula exercesobre a outra. A força pode sergravitacional, elétrica, contato comonumacolisão,etc.
Também não faremos qualquerhipótese sobre se tais forças sãoconservativasounão.
Conservaçãodemomentoparaumsist.deduaspartículas
PelaterceiraleideNewton(açãoereação):
Omomentototaldosistemaseconserva!
Conservaçãodemomentolinear
Sempre que duas ou mais partículas em um sistemaisolado interagirem, o momento total do sistemapermaneceráconstante.
O momento do s i s t ema é c on se r vado . Nãonecessariamente o momento de uma partícula individualseráconservado.
Isto tambémnos diz que omomento total de um sistemaisoladoéigualaseumomentoinicial
A conservação do momento pode ser expressamatematicamenteporváriasmaneiras:
ptotal = p1 + p2 = constante p1i + p2i= p1f + p2f
Na forma de componentes, o momento total em cadadireçãoéindependentementeconservado:
pix = pfx piy = pfy piz = pfz
Conservaçãodomomentopodeseraplicadaasistemascomqualquernúmerodepartículas
Conservaçãodemomentolinear–Exemplo1Conhecedor da conservação do momento linear, umastronauta flutuando em uma nave espacial resolveatirar seu casaco para um lado para ir para o ladooposto. Assumindo que ele tenha 70 kg e que elejogue seu casaco de 1 kg a 20 m/s, qual será suavelocidade?
Conservação$de$momento$linear$–$Exemplo$1$Conhecedor"da"conservação"do"momento" linear,"um"astronauta" flutuando" em" uma" nave" espacial" resolve"aFrar" seu" casaco" para" um" lado" para" ir" para" o" lado"oposto." Assumindo" que" ele" tenha" 70" kg" e" que" ele"jogue" seu" casaco" de" 1" kg" a" 20" m/s," qual" será" sua"velocidade?"
Sistema Isolado→Δ!p = 0 ⇒
!pai +!pci =!paf +!pcf
!pai =!pci = 0 ⇒
!paf +!pcf = 0 ⇒ Direções Opostas
!paf =mavai!pci =mcvci
$%&
'&⇒ mavai +mcvci = 0
mava = −mcvc ⇒ va = −vcmcma
= −20 170
→!va = −0,29m/s i
ConservaçãodoMomentoLinear,exemplodoarqueiro
Oarqueiroestáempéemumasuperfíciesematrito(gelo). Consideramos o sistema como sendocompostopeloarqueirocomoarco(partícula1)eaflecha(partícula2):
o Nãoháforçasexternasnadireçãox,demodoqueosistemaéisoladoemtermosdemomentonadireçãox.
o Omomentototalantesdaflechaserlançadaé0.o Omomentototalapósaflechaserlançadaé p1f+p2f=0
Oarqueiro semoveránadireçãoopostaàdireçãoda flechaapós lançá-la.Devido ao fato do arqueiro ser muito mais pesado que a flecha, suaaceleraçãoevelocidadeserãomuitomenoresdoqueadaflecha.
ConservaçãodoMomento,exemplodaTerraAo considerar um sistema Terra-bola, onde a bola é solta nas proximidades da Terra,dissemosqueaenergiacinéticadaTerrapodeserdesprezada.Serámesmo?
Conservação$do$Momento,$exemplo$da$Terra$Ao" considerar" um" sistema" Terraebola," onde" a" bola" é" solta" nas" proximidades" da" Terra,"dissemos"que"a"energia"cinéFca"da"Terra"pode"ser"desprezada."Será"mesmo?"
Vamos&estabelecer&a&razão&da&energia&cinética&da&Terra&com&a&da&bola:
KT
Kb
=12mTvT
2
12mbvb
2 =mT
mb
!
"#
$
%&vTvb
!
"#
$
%&
2
Agora&vamos&considerar&a&conservação&do&momento&na&direção&vertical.O&momento&inicial&do&sistema&é&zero.&∴→momento&final&é&zero.
pi = pf &→ 0 =mbvb +mTvT &→vTvb= −
mb
mT
!
"#
$
%& &
KT
Kb
=mT
mb
!
"#
$
%& −
mb
mT
!
"#
$
%&
2
=mb
mT
Substituindo&valores&de&ordem&de&grandeza¶&as&massas,&temos:KT
Kb
=mb
mT
~ 1&kg1024 &kg
~10−24
ImpulsoPela segunda lei deNewton, sabemosqueomomentodeumapartícula éalteradonocasoemqueumaforçaresultantenãonulaatuesobreela.
Issopodeservistoclaramentereescrevendoasegundaleicomo:
i.e.seumaforçaFatuasobreapartículaduranteumintervalodetempodt,haveráumavariaçãonoseumomentodp=Fdt.
Se a força F varia no tempo (e se considerarmos um intervalo finito detempo),avariaçãonomomentoéobtidaintegrandoaequaçãoanterior
AintegraldoladodireitoéavariaçãodemomentoΔp
AintegraldoladoesquerdoéchamadadeimpulsodaforçaF
Portanto,temos
Este resultado nos diz que o impulso total da força resultante sobre umapartícula é igual à variaçãonomomentodapartícula e é conhecido comoTeoremadoImpulsoeMomento.EsteteoremaéequivalenteàsegundaleideNewton.
o Nocasodeumaforçaconstante,temos
o Demaneiraanáloga,oimpulsopodeserencontradocomosendooprodutodeumaforçamédiapeloseutempodeatuação
o No"caso"de"uma"força"constante,"temos"
"
o De"maneira"análoga,"o"impulso"pode"ser"encontrado"como"sendo"o"produto"de"uma"força"média"pelo"seu"tempo"de"atuação"
"
!F dt
ti
t f
∫ =!FΔt ⇒
!I =!FΔt
I = FΔt
Impulso–ExemploEmum testede resistência contra colisões, um carrode1500kgdemassaandandoa15m/scolidecomummuro.Apósacolisãoeleretrocedecomvelocidadede2,6m/s. Sabendo-se que o tempo de contato comomuro foi de 0,15 segundos, qual foi a força médiaexercidapelomurosobreocarro?
i
Dizemosquehouveuma colisãoquandodois corpos exercem forças
umsobreooutroduranteumintervalodetempomuitocurto.
Emumacolisão,asforçasenvolvidas(internasaosistema)sãomuito
maioresdoquequaisqueroutrasforçasqueajamsobreosistema.
Duasgalaxiasespiraisemcolisão.FotoNASA
Colisões-Introdução
• Ascolisõespodemseroresultadodecontatodireto
• Porém,acolisãonãoprecisaincluir
contatofísicoentreosobjetos• Aindaháforçassobreaspartículas• Estetipodecolisãopodeser
analisadodamesmamaneira
daquelequeenvolvecontatofísico
Jámostramosqueomomento totaldeumsistema isoladoantesdacolisãoéigualaomomentototalapósacolisão.
Omomentototaldosistemasempreseconserva,masnãonecessariamenteaenergia
cinéticatotal.
▪ ColisãoElástica Aenergiacinéticatotaldosistema é a mesma, antes e depois da
colisão.
▪ Colisão Inelástica A energia cinética total
dosistemanãoseconserva.
▪ ColisãoPerfeitamenteInelásticaOscorposque colidem mantêm-se grudados após a
colisão,formandoumúnicocorpo.Nãohá
conservaçãodaenergiacinética.
Tiposdecolisões
m1v1+m2
v2 = (m1+m2 )v f
v f =m1v1+m2
v2m1+m2
Colisão(Perfeitamente(Inelás:ca((
ColisãoPerfeitamenteInelástica
Umcarrode1800kgparadoemumsinaldetrânsitoéatingidoportrásporumcarrode900kg vindoaumavelocidadede20,0m/s.Qual avelocidade dos dois carros logo após a batida, considerando que oscarrosficarampresosumnooutro?
Exemplo
Um%carro%de%1800%kg%parado%em%um%sinal%de% trânsito%é%a/ngido%por%trás%por%um%carro%de%900%kg%vindo%a%uma%velocidade%de%20,0%m/s.%Qual%a%velocidade%dos%dois%carros%logo%após%a%ba/da,%considerando%que%os%carros%ficaram%presos%um%no%outro?%
Δ!p = 0 ⇔
!pi =!p f
m1.0+m2v2( ) = m1+m2( )v fv f =
m2v2m1+m2
v f =900×20
1800+900v f = 6,67 m/s
Exemplo%%
EmumexperimentodePênduloBalístico,umprojétilde5gramasincidesobreumblocode1,0kg,sendocompletamenteabsorvidoporele.Sabendo-sequedevidoàcolisãooblocoelevou-seem5centímetros:
a)Qualavelocidadeinicialdoprojétil? b)Quantodeenergiamecânicafoiperdida?
Exemplo–pêndulobalístico
%Em%um%experimento%de%Pêndulo%Balís/co,%um%projé/l%de%5%gramas%incide%sobre%um%bloco%de%1,0%kg,%sendo%completamente%absorvido%por%ele.%SabendoSse%que%devido%à%colisão%o%bloco%elevouSse%em%5%cenLmetros:%
%a)%Qual%a%velocidade%inicial%do%projé/l?%
%b)%Quanto%de%energia%mecânica%foi%perdida?%
Colisão Completamente Inelástica →m1v1i +m2v2i = (m1 +m2 )v f
v2i = 0 ⇒ v1i =m1 +m2m1
v f
v f = ?ΔUG +ΔK f = 0
(m1 +m2 )gh− 12
(m1 +m2 )v f2 = 0
v f = 2gh
v1i =m1 +m2m1
2gh
v1i =0,005+1,00, 005
2×9,8×0,05
v1i =199 m/s
ΔE = K f −Ki =12(m1 +m2 )v f
2 −12m1v1i
2
ΔE = −gh m2m1(m1 +m2 )→ΔE = −98,5 J
Exemplo(–(pêndulo(balís:co(
Tantoomomentoquantoaenergiacinéticasãoconservados
Colisõeselásticas
Tanto%o%momento%quanto%a%energia%ciné/ca%são%conservados%
m1v1i +m2v2i = m1v1 f +m2v2 f12m1v1i
2 +12m2v2i
2 =12m1v1 f
2 +12m2v2 f
2
Colisões(elás:cas(
(1) Conservação do Momento: m1v1i +m2v2i =m1v1 f +m2v2 f
(2) Conservação da Energia Cinética: 12m1v1i
2 +12m2v2i
2 =12m1v1 f
2 +12m2v2 f
2
!
"#
$#
(2)→m1 v1i2 − v1 f
2( ) =m2 v2 f2 − v2i
2( )m1 v1i − v1 f( ) v1i + v1 f( ) =m2 v2 f − v2i( ) v2 f + v2i( ) (a)
(1)→m1 v1i − v1 f( ) =m2 v2 f − v2i( ) (b)
(a)/(b)→ v1i + v1 f( ) = v2 f + v2i( )
Colisões(em(uma(dimensão(
INICIAL% FINAL%
(1) Conservação do Momento: m1v1i +m2v2i =m1v1 f +m2v2 f
(2) Conservação da Energia Cinética: 12m1v1i
2 +12m2v2i
2 =12m1v1 f
2 +12m2v2 f
2
!
"#
$#
(2)→m1 v1i2 − v1 f
2( ) =m2 v2 f2 − v2i
2( )m1 v1i − v1 f( ) v1i + v1 f( ) =m2 v2 f − v2i( ) v2 f + v2i( ) (a)
(1)→m1 v1i − v1 f( ) =m2 v2 f − v2i( ) (b)
(a)/(b)→ v1i + v1 f( ) = v2 f + v2i( )
Colisões(em(uma(dimensão(
INICIAL% FINAL%
Colisõeselásticasemumadimensão
Para uma colisão elástica unidimensional de duas partículas, aconservaçãodaenergiacinéticaedomomentolevaaduasequaçõeslineares:
A partir dessas duas equações é fácil isolar as velocidades finais emfunçãodasvelocidadesiniciais:
Para% uma% colisão( elás:ca( unidimensional( de( duas( parAculas,% a%conservação%da%energia%ciné/ca%e%do%momento%leva%a%duas%equações%lineares:%%%%%%%%A%par/r%dessas%duas%equações%é% fácil% isolar%as%velocidades%finais%em%função%das%velocidades%iniciais:%
m1v1i +m2v2i =m1v1 f +m2v2 fv1i + v1 f = v2i + v2 f
!"#
$#
v1 f =m1 −m2m1 +m2
"
#$
%
&'v1i +
2m2m1 +m2
"
#$
%
&'v2i
v2 f =2m1
m1 +m2
"
#$
%
&'v1i +
m2 −m1m1 +m2
"
#$
%
&'v2i
(
)
**
+
**
Equações%Fundamentais%da%Colisão%elás:ca%em%uma(dimensão(
Para% uma% colisão( elás:ca( unidimensional( de( duas( parAculas,% a%conservação%da%energia%ciné/ca%e%do%momento%leva%a%duas%equações%lineares:%%%%%%%%A%par/r%dessas%duas%equações%é% fácil% isolar%as%velocidades%finais%em%função%das%velocidades%iniciais:%
m1v1i +m2v2i =m1v1 f +m2v2 fv1i + v1 f = v2i + v2 f
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v1 f =m1 −m2m1 +m2
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2m2m1 +m2
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v2 f =2m1
m1 +m2
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#$
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&'v1i +
m2 −m1m1 +m2
"
#$
%
&'v2i
(
)
**
+
**
Equações%Fundamentais%da%Colisão%elás:ca%em%uma(dimensão(
❑ Omomentoéconservadoemtodasasdireções❑ Usesubscritospara
o Identificaroobjetoo Indicarosvaloresinicialefinalo Ascomponentesdavelocidade
❑ Seacolisãoforelástica,useaconservaçãodeenergiacinéticacomoumasegundaequaçãoLembre-se,aequaçãomaissimplessópodeserusadaparasituaçãounidimensionais
Colisõesbidimensionais
1. Figuras: a. Façaduasfiguras,umarepresentandoosistemaantesdacolisão
eoutraparaosistemadepoisdacolisão.b. Estabeleçaumsistemadecoordenadas(deveserigualemambas
figuras). Em geral, é conveniente ter o eixo x coincidindo comumadasvelocidadesiniciais.
c. Desenhar e nomear todos os vetores de velocidade, incluindotodasasinformaçõesdadas.
2. Escrever as equações: a. Conservaçãodomomento:Escrevaaexpressãoparaomomento
total do sistemanadireção x antese apósa colisãoe iguale asduas. Repita omesmo procedimento para omomento total nadireçãoy.
Colisõesbidimensionais–estratégiaspararesoluçãodeproblemas
b.Condiçõesadicionais:o Se a colisão é inelástica, a energia cinética do sistema não é
conservada, e informações adicionais serão provavelmentenecessáriaspararesolveroproblema.
o Seacolisãoéperfeitamente inelástica,avelocidade finaldosdoisobjetossãoiguais.
o Seacolisãoéelástica,aenergiacinéticadosistemaéconservada.Igualaraenergiacinéticatotaldosistemaantesdacolisãocomaenergia cinética total do sistema após a colisão para obtermaisinformaçõessobrearelaçãoentreasvelocidades.
Emumacolisãoemduasdimensõesomomentoéconservadoisoladamenteparacadaumadasdireções.
Colisõesbidimensionais
Antes% Depois%
Em% uma% colisão% em% duas% dimensões% o% momento% é% conservado%isoladamente%para%cada%uma%das%direções.%
p1i +p2i =
p1 f +p2 f
Conservação de Momento
⇒p1ix + p2ix = p1 fx + p2 fxp1iy + p2iy = p1 fy + p2 fy
"#$
%$
m1v1ix +m2v2ix =m1v1 fx +m2v2 fxm1v1iy +m2v2iy =m1v1 fy +m2v2 fy
!"#
$#
Exemplo:%
m1v1i =m1v1 f cosθ +m2v2 f cosφ0 =m1v1 f sinθ +m2v2 f sinφ
Conservação do Momento
12m1v1i
2 =12m1v1 f
2 +12m2v2 f
2
Conservação da Energia
Colisões(bidimensionais(
Umcarrode1500kgandandoparaolestea25m/scolideemumcruzamentocomumavande2500kgandandoemdireçãoaonortecomumavelocidadede20,0m/s.Acheadireçãoemagnitudedavelocidadedosdestroçosdabatida,assumindoqueosveículospermanecemgrudadosdepoisdabatida.
mcvc = mc +mv( )vd cosθmvvv = mc +mv( )vd sinθ
⎧⎨⎪
⎩⎪
tanθ = mvvvmcvc
→ tanθ = 2500× 201500× 25
θ = 53,1!
vd =mvvv
mc +mv( )sinθ
vd =2500× 20
1500+ 2500( )sin53,1vd =15,6 m/s
Exemplo–batidaemumcruzamento
Emumjogodesinuca,umjogadorquerencaçaparumabola(2)conformemostradonafiguraaolado.Seoângulocomacaçapadocantoéde35º,comqualânguloqueabolabranca(1)vaiserdefletida?
Exemplo–colisõesdebolasdesinucaEm%um%jogo%de%sinuca,%um%jogador%quer%encaçapar%uma%bola%(2)%conforme%mostrado%na%figura%ao%lado.%Se%o%ângulo%com%a%caçapa%do%canto%é%de%35º,%com%qual%ângulo%que%a%bola%branca%(1)%vai%ser%defle/da?%
Conservação de Energia → 12m1v1i
2 =12m1v1 f
2 +12m2v2 f
2
Conservação de Momento→m1v1i =m1
v1 f +m2v2 f
"
#$
%$
m1 =m2⇒v1i2 = v1 f
2 + v2 f2
v1i =v1 f +
v2 f →v1i( )2 = v1 f +
v2 f( )2
#
$%
&%
v1i2 = v1 f
2 + v2 f2 + 2v1 f ⋅
v2 f →v1 f ⋅v2 f = 0
v1 f ⋅v2 f = v1 f v2 f cos(θ +35)→ cos(θ +35) = 0
θ +35= 90 ⇒ θ = 55
Exemplo(–(colisões(de(bolas(de(sinuca(Em%um%jogo%de%sinuca,%um%jogador%quer%encaçapar%uma%bola%(2)%conforme%mostrado%na%figura%ao%lado.%Se%o%ângulo%com%a%caçapa%do%canto%é%de%35º,%com%qual%ângulo%que%a%bola%branca%(1)%vai%ser%defle/da?%
Conservação de Energia → 12m1v1i
2 =12m1v1 f
2 +12m2v2 f
2
Conservação de Momento→m1v1i =m1
v1 f +m2v2 f
"
#$
%$
m1 =m2⇒v1i2 = v1 f
2 + v2 f2
v1i =v1 f +
v2 f →v1i( )2 = v1 f +
v2 f( )2
#
$%
&%
v1i2 = v1 f
2 + v2 f2 + 2v1 f ⋅
v2 f →v1 f ⋅v2 f = 0
v1 f ⋅v2 f = v1 f v2 f cos(θ +35)→ cos(θ +35) = 0
θ +35= 90 ⇒ θ = 55
Exemplo(–(colisões(de(bolas(de(sinuca(
Umprótonavelocidadede3,5x105m/scolidecomumprótonemrepouso.Depoisdacolisão,umdosprótonséespalhadoaumângulode37º.
a) Qualavelocidadefinaldecadaumdosdoisprótons?
b) Emqueânguloooutroprótonéespalhado?
Exemplo–espalhamentodepartículasUm%próton%a%velocidade%de%3,5%x%105%m/s%colide%com%um%próton%em%repouso.%
Depois%da%colisão,%um%dos%prótons%é%espalhado%a%um%ângulo%de%37º.%
a) Qual%a%velocidade%final%de%cada%um%dos%dois%prótons?%
b) Em%que%ângulo%o%outro%próton%é%espalhado?%
Reação:12 → a bConservação de Momento:→
!p1+!p2 =!pa +!pb
!p1 =mpv1i!p2 = 0
"#$
%$
!pa =mpva cosθ i +mpva sinθ j!pb =mpvb cosφ i +mpvb sinφ j
"#$
%$
mpv1 =mpva cosθ +mpvb cosφ
0 =mpva sinθ +mpvb sinφ
"#$
%$
v1 = va cosθ + vb cosφ0 = va sinθ + vb sinφ
"#$
%$
Conservação da Energia:
mpv12
2+mpv2
2
2=mpva
2
2+mpvb
2
2v1
2 = va2 + vb
2
Exemplo(–(espalhamento(de(parAculas(
v1 = va cosθ + vb cosφ (1)0 = va sinθ + vb sinφ (2)
v12 = va
2 + vb2 (3)
!
"#
$#
(1)→ v12 = va
2 cos2θ + vb2 cos2φ + 2vavb cosθ cosφ
(2)→ 0 = va2 sin2θ + vb
2 sin2φ + 2vavb sinθ sinφ
v12 = va
2 + vb2 + 2vavb cosθ cosφ + sinθ sinφ( )
v12 = va
2 + vb2 + 2vavb cos θ −φ( )
(3)→ 2vavb cos θ −φ( ) = 0cos θ −φ( ) = 0⇒θ −φ = 90
φ =θ − 90⇒ φ = −53
(1)× sinθ − (2)× cosθv1 sinθ = vb sinθ cosφ − sinφ cosθ( )v1 sinθ = vb sin(θ −φ)
vb = v1 sinθ = 3, 5×105 sin37
vb = 2,11×105 m/s
(1)× sinφ − (2)× cosφv1 sinφ = va sinφ cosθ − sinθ cosφ( )v1 sinφ = va sin(φ −θ )
va = −v1 sinφ = −3,5×105 sin(−53)
vb = 2,80×105 m/s