GEOMETRIA PLANA: QUADRILTEROS NOTVEIS 1. (Unesp 91) Seja ABCD um retngulo cujos lados tm as seguintes medidas: ==6cm e ==1,2cm. Se M o ponto mdio de AB, ento o raio da circunferncia determinada pelos pontos C, M e D mede: a) 4,35 cm b) 5,35 cm c) 3,35 cm d) 5,34 cm e) 4,45 cm 2. (Fuvest-gv 91) Na figura a seguir ABCD indica um quadrado de lado unitrio e ABE um tringulo equiltero. Prove que: a) = 15; b) tg = 2 - 3

3. (Fuvest 92) O retngulo a seguir de dimenses a e b est decomposto em quadrados. Qual o valor da razo a/b? a) 5/3 b) 2/3 c) 2 d) 3/2 e) 1/2

4. (Unesp 89) Considere as seguintes proposies: - todo quadrado um losango; - todo quadrado um retngulo; - todo retngulo um paralelogramo; - todo tringulo eqiltero isscele. Pode-se afirmar que: a) s uma verdadeira. b) todas so verdadeiras. c) s uma falsa. d) duas so verdadeiras e duas so falsas. e) todas so falsas. 5. (Ufpe 95) Na figura a seguir, os retngulos ABCD e A'B'C'D' tm o mesmo centro e lados iguais a 5cm e 9cm.

Qual o dimetro da maior circunferncia contida na regio hachurada? a) 4 cm b) 5 cm c) 52 cm d) 9 cm e) 92 cm 6. (Fuvest 97) No retngulo a seguir, o valor, em graus, de + a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220

7. (G1) A razo entre as medidas dois lados de um paralelogramo 2/3. Se o permetro desse paralelogramo 150m, determine a medida dos lados. 8. (G1) Um quadriltero ABCD est inscrito numa circunferncia. Sabendo que os arcos AB, BC e CD valem, respectivamente, 80, 110 e 90, determine todos os ngulos do quadriltero 9. (G1) Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes sentenas: a. ( b. ( c. ( d. ( e. ( ) Todo retngulo trapzio. ) Nem todo quadrado retngulo. ) Todo paralelogramo retngulo. ) Todo losango paralelogramo. ) Nem todo trapzio paralelogramo.

10. (G1) No losango calcule x.

11. (G1) No paralelogramo a seguir, calcule y.

12. (G1) Se M ponto mdio de , determine x e m().

13. (G1) No trapzio retngulo da figura seguinte, determine em cm, a medida x da base maior . (use a tabela trigonomtrica)

14. (G1) ABCD um trapzio de bases e . Se D o dobro de A e C o triplo de B, calcule os ngulos do trapzio.

15. (G1) Sabendo que ABCD um paralelogramo, calcule x e y

16. (G1) Sendo ABCD um retngulo, calcule x e y.

17. (G1) A bissetriz de um losango forma 40 com um dos lados. Determine os quatro ngulos do losango. 18. (G1) Para revestir uma parede de 9m so necessrios exatamente 400 azulejos quadrados. Quanto mede o lado do azulejo? 19. (G1) Os quadrilteros ABCD e EFGH a seguir so semelhantes. Nessas condies determine: a) razo de semelhana de ABCD e EFGH

a) razo de semelhana de ABCD e EFGH b) as medidas x, y, z

20. (G1) As bases de um trapzio medem 8cm e 12cm, respectivamente, e a altura 4cm. A que distncia da base menor fica o ponto de encontro das retas-suporte dos lados no-paralelos? a) 8 cm b) 12 cm c) 16 cm d) 4 cm

21. (G1) A medida de cada ngulo obtuso de um losango expressa por 2x + 5 e a medida de cada ngulo agudo, por x + 40. Determine as medidas dos 4 ngulos internos desse losango. 22. (G1) Se as diagonais de um retngulo formam um ngulo de 120 entre si, quais so as medidas dos ngulos que as diagonais formam com os lados do retngulo? 23. (G1) A diagonal menor de um losango decompe esse losango em dois tringulos congruentes. Se cada ngulo obtuso do losango mede 130, quais so as medidas dos trs ngulos de cada um dos tringulos considerados? 24. (G1) Uma diagonal de um losango forma 50 com um dos lados. Determine os quatro ngulos do losango. 25. (G1) A diferena entre a medida de dois ngulos consecutivos de um paralelogramo 40. Calcular a medida dos ngulos internos desse paralelogramo. 26. (G1) Calcule o valor de x:

27. (G1) Um ngulo externo de um paralelogramo mede 38. Quais so os ngulos desse paralelogramo? 28. (G1) Num losango, a medida do ngulo obtuso igual ao triplo da medida do ngulo agudo. Calcule as medidas dos ngulos desse losango. 29. (G1) Sabendo que os ngulos obtusos de um losango so expressos por x + 80 e 2x + 20, calcule as medidas dos 4 ngulos desse losango. 30. (G1) Calcule o permetro dos seguintes retngulos:

31. (G1) Um dos ngulos internos de um paralelogramo mede 72. Quanto medem os outros ngulos desse paralelogramo? 32. (G1) Num paralelogramo os ngulos obtusos medem o triplo dos ngulos agudos. Calcule os ngulos desse paralelogramo. 33. (G1) Num paralelogramo, os ngulos agudos medem a metade dos ngulos obtusos. Determine as medidas dos ngulos desse paralelogramo. 34. (G1) A soma das medidas dos ngulos agudos de um paralelogramo 84. Quanto medem os ngulos desse paralelogramo?

35. (G1) Num paralelogramo ABCD, a diagonal forma com o lado um ngulo de 28 e com o lado um ngulo de 67. Calcule os ngulos desse paralelogramo. 36. (G1) (Universidade Federal de Ouro Preto) Assinale a afirmativa incorreta: a) Em todo paralelogramo no retngulo, a diagonal oposta aos ngulos agudos menor do que a outra; b) reto o ngulo formado pelas bissetrizes de dois ngulos consecutivos de um paralelogramo; c) As bissetrizes de dois ngulos opostos de um paralelogramo so paralelas. d) Ligando-se os pontos mdios dos lados de um tringulo, este fica decomposto em quatro tringulos congruentes. e) Todas as afirmativas anteriores so incorretas. 37. (G1) (FAAP) As bases de um trapzio so 80cm e 60cm e sua altura 40cm. A 10cm da base maior, traa-se uma paralela s bases, que determina dois trapzios. Qual a rea de cada um? 38. (G1) Em volta de um terreno retangular de 12m por 30m, deve-se construir uma cerca com cinco fios de arame farpado, vendido em rolos de 50m. Quantos rolos devem ser comprados? a) 36 b) 18 c) 12 d) 9 e) 5 39. (G1) (ITA 89) Dadas as afirmaes: I - Quaisquer dois ngulos opostos de um quadriltero so suplementares. II - Quaisquer dois ngulos consecutivos de um paralelogramo so suplementares. III - Se as diagonais de um paralelogramo so perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto mdio, ento esse paralelogramo um losango. Podemos garantir que: a) todas so verdadeiras. b) apenas I e II so verdadeiras. c) apenas II e III so verdadeiras. d) apenas II verdadeira. e) apenas III verdadeira. 40. (G1) Na figura tem-se o trapzio issceles ABCD no qual as bases medem 15cm e 27cm. Os lados AB e CD foram divididos em 4 partes iguais, e pelos pontos de diviso, foram traados 3 segmentos paralelos s bases. A soma das medidas dos trs segmentos traados , em centmetros,

a) 52 b) 58 c) 59 d) 61 e) 63 41. (Uff 97) A razo entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito em uma circunferncia de raio R : a) 1/3 b) 1/2 c) 3/3 d) 2/2 e) 2 42. (Unicamp 98) O quadriltero formado unindo-se os pontos mdios dos lados de um quadrado tambm um quadrado. a) Faa uma figura e justifique a afirmao anterior. b) Supondo que a rea do quadrado menor seja de 72cm, calcule o comprimento do lado do quadrado maior 43. (Ufmg 97) Observe a figura.

Nessa figura, ABCD representa um quadrado de lado 11 e AP = AS = CR = CQ. O permetro do quadriltero PQRS : a) 113

a) 113 b) 223 c) 112 d) 222

44. (Unicamp 99) Um trapzio retngulo um quadriltero convexo plano que possui dois ngulos retos, um ngulo agudo e um ngulo obtuso . Suponha que, em um tal trapzio, a medida de seja igual a cinco vezes a medida de . a) Calcule a medida de , em graus. b) Mostre que o ngulo formado pelas bissetrizes de e reto. 45. (Ufrs 96) Considere as seguintes afirmaes sobre um quadriltero convexo. I - Se as diagonais se interceptam em seus respectivos pontos mdios, ento o quadriltero um retngulo. II - Se as diagonais se interceptam perpendicularmente em seus respectivos pontos mdios, ento o quadriltero um losango. III - Se as diagonais se interceptam perpendicularmente e so congruentes, ento o quadriltero um quadrado. Quais esto corretas? a) Apenas II b) Apenas III c) Apenas I e II d) Apenas I e III e) I, II e III 46. (Unb 99) Na figura adiante, ABCD um quadrado de lado de comprimento igual a 1, e os arcos que limitam a regio sombreada I so arcos de circunferncias centradas nos vrtices do quadrado. Representando por x a distncia do ponto E ao lado AD, julgue os itens a seguir.

(1) x = 1 - (3/2) (2) O comprimento do arco de crculo FB igual a /12 (3) O comprimento do segmento DE igual a (2-3) (4) A rea da regio I igual a (/3)+(5/4)-(3).

47. (Unirio 99)

No cubo anterior, cada aresta mede 6cm. Os pontos x e y so pontos mdios das arestas AB e GH. O polgono XCYE um: a) quadriltero, mas no paralelogramo. b) paralelogramo, mas no losango. c) losango, mas no quadrado. d) retngulo, mas no quadrado. e) quadrado. 48. (Puccamp 99) Na figura a seguir tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4cm.

A medida do lado desse losango, em centmetros, a) 63 b) 6 c) 43 d) 4 e) 23 49. (Puc-rio 99) ABCD uma paralelogramo, M o ponto mdio do lado CD, e T o ponto de interseco de AM com BD. O valor da razo DT/BD : a) 1/2.

a) 1/2. b) 1/3. c) 2/5. d) 1/4. e) 2/7. 50. (Puc-rio 99) A rea mxima de um paralelogramo com lados a, b, a, b : a) a + b. b) 2 ab. c) ab. d) a + b. e) a/b. 51. (Fuvest 2000) Um trapzio retngulo tem bases 5 e 2 e altura 4. O permetro desse trapzio : a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 52. (Uerj 2000) Se um polgono tem todos os lados iguais, ento todos os seus ngulos internos so iguais. Para mostrar que essa proposio falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) losango b) trapzio c) retngulo d) quadrado

53. (Fuvest 2001) Na figura abaixo, os quadrados ABCD e EFGH tm, ambos, lado a e centro O. Se EP=1, ento a : a) 2/(2-1) b) 2/(3-1) c) 2/2 d) 2 e) 2/(2-1)

54. (Ita 2001) Num trapzio retngulo circunscritvel, a soma dos dois lados paralelos igual a 18cm e a diferena dos dois outros lados igual a 2cm. Se r o raio da circunferncia inscrita e a o comprimento do menor lado do trapzio, ento a soma a+r (em cm) igual a: a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 55. (Ufpe 2001) Seja ABCD um paralelogramo e E um ponto no lado BC. Seja F a interseo da reta passando por A e B com a reta passando por D e E (veja a figura a seguir).

Considerando os dados acima, no podemos afirmar que a) A rea de ADE metade da rea de ABCD. b) DCF e ADE tm a mesma rea. c) ABE e CDE tm a mesma rea. d) ABE e CEF tm a mesma rea. e) A rea de ABCD igual soma das reas de ADE e DCF. 56. (Unifesp 2002) Em um paralelogramo, as medidas de dois ngulos internos consecutivos esto na razo 1:3. O ngulo menor desse paralelogramo mede a) 45. b) 50.

b) 50. c) 55. d) 60. e) 65. 57. (Ufrs 2004) Na figura abaixo, o vrtice A do retngulo OABC est a 6 cm do vrtice C.

O raio do crculo mede a) 5 cm. b) 6 cm. c) 8 cm. d) 9 cm. e) 10 cm. 58. (Ufrs 2004) A opo que apresenta todas as possibilidades do nmero de pontos de interseo de um crculo com um retngulo a) 0, 1, 2, 4 ou 8. b) 0, 2, 4, 6 ou 8. c) 0, 1, 3, 5 ou 7. d) 0, 2, 3, 5 ou 7. e) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8. 59. (Ueg 2005) Considere a circunferncia de centro O e raio R e os tringulos inscritos ABC e BCD, conforme a figura abaixo:

a) Escreva uma relao entre as medidas dos ngulos BAC e BDC. b) Mostre que BC = 2Rsen (BAC). 60. (Ufmg 2006) Esta figura representa o quadriltero ABCD:

Sabe-se que - = 1cm e = 2 cm; - o ngulo ABC mede 120; e - o segmento CD perpendicular aos segmentos AD e BC. Ento, CORRETO afirmar que o comprimento do segmento BD a) 3 cm. b) (5)/2 cm. c) (6)/2 cm. d) 2 cm. 61. (G1) Qual o permetro do quadrado em que a diagonal mede 36m? a) 123 m b) 126 m c) 83 m d) 86 m e) 6 m

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GABARITO 1. [A] 2. a) 1 - ngulo EAB = 60 porque o ABE eqiltero. 2 - ngulo EAD = 30 pois o ngulo BAD = 90 e o ngulo EAB = 60. 3 - ADE = AED = 75 pois o AED isceles e o ngulo DAE = 30. 4 - = ngulo CDE = 15 pois o ngulo CDA = 90 e o ngulo ADE = 75 b) tg = tg 15 = tg (45 - 30) = = (tg45-tg30)/(1+tg45 . tg30) = = (1-3/3)/(1+3/3) = 2 - 3 3. [A] 4. [B] 5. [C] 6. [D] 7. 30 m e 45 m 8. A = 100, B = 85, C = 80 e D = 95

9. a) V b) F c) F d) V e) V 10. 80 11. y = 210 12. x = 5/2

12. x = 5/2 13. x = 93 14. A = 60; B = 45; C = 135 e D = 120 15. x = 50 y = 130 16. x = 25 y = 65 17. 80, 80, 100, 100 18. O lado do azulejo vale 15 cm. 19. a) 3/2 b) x = 3; y = 2,4; z = 6 20. [A] 21. 85, 85, 95 e 95 22. 30 e 60 23. 50, 65 e 65 24. 100, 100, 80 e 80 25. 110 e 70 26. a) 15 b) 32 27. 142, 142, 38, 38 28. 45, 45, 135 e 135 29. 140, 140, 40, 40 30. a) 52 b) 62 31. 72, 108 e 108

31. 72, 108 e 108 32. 45, 45, 135 e 135 33. 60, 60, 120 e 120 34. 42, 42, 38, 138 35. 85, 85, 95, 95 36. [E] 37. 2025 cm e 775 cm 38. [D] 39. [C] 40. [E] 41. [D] 42. a) Seja ABCD o quadrado e M, N, P e Q os pontos mdios de seus lados como mostra a figura adiante.

Os tringulos retngulos AMQ, BNM, CPN e DQP so congruentes pois M, N, P e Q so os pontos mdios dos lados do quadrado ABCD. Logo os segmentos QM, MN, NP e PQ so congruentes. Cada ngulo agudo desses tringulos mede 45 e, consequentemente os ngulos internos do quadriltero MNPQ so ngulos retos. Das consideraes anteriores segue que MNPQ um quadrado. b) Sendo AM = AQ = a, temos MQ = a2. Do enunciado (a2) = 72 portanto, a= 6. Logo o lado do quadrado maior mede 12 cm. 43. [D]

43. [D] 44. a) 30 b) Sendo a medida, em graus de um dos ngulos formados pelas bissetrizes CE e DE dos ngulos e , no tringulo ECD, de acordo com o teorema do ngulo externo, tem-se: = /2 + /2 = (+)/2 =180/2 =90 CD ngulo reto. 45. [A] 46. V F V F 47. [C] 48. [D] 49. [B] 50. [C] 51. [D] 52. [A] 53. [E] 54. [C] 55. [C] 56. [A] 57. [B] 58. [E] 59. a) Sabendo que os ngulos opostos de um quadriltero inscrito so suplementares, temos: BAC + BDC = 180. b) 1 Soluo Pela Lei dos Senos, no tringulo BAC, temos:

Pela Lei dos Senos, no tringulo BAC, temos: BC/sen (BAC) = 2R 2 Soluo Como BD = 2R, o tringulo BCD retngulo em C (propriedade do ngulo inscrito). Logo, sen (BDC) = BC/BD sen (180 - BAC) = BC/2R BC = 2R sen (BAC). c.q.d. 60. [A] 61. [A] BC = 2R sen (BAC).

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