Conteúdo - ipb.ptmar/MatematicaIIGestao2017.18/ApontamentosMatII2018.pdf · 4.1Limite do quociente - regra de L'Hôpital O resultado seguinte, conhecido por grera de l'Hôpital 1,

Conteúdo

1 Complementos de Derivadas de Funções Reais de Variável Real. Aplica-

ções 3

1 Teoremas relativos a funções deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Derivada da função implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Aplicações das derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1 Limite do quociente - regra de L'Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Estudo do grá�co de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.1 Intervalos de monotonia, pontos críticos . . . . . . . . . . . 84.2.2 Concavidades e pontos de in�exão . . . . . . . . . . . . . . 114.2.3 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3 Problemas de optimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Integrais de funções reais de variável real 19

1 Áreas de regiões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1 Cálculo aproximado de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2 Aplicação do cálculo de áreas: consumo de energia eléctrica . . . . . 211.3 Função área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Função primitiva. Integral inde�nido de uma função . . . . . . . . . . . . . 243 Primitivação de algumas funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Integral de�nido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1 Propriedades dos integrais de�nidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Justi�cação da forma

∫ ba f(x)dx para o integral de�nido . . . . . . . 27

4.3 Teorema fundamental do cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Técnicas de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1 Primitivação por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Primitivação por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 Integrais que não são funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Integrais impróprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Funções reais de duas variáveis reais 35

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Sequências de pontos no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Limites de funções. Funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Representação grá�ca de funções no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Curvas de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1 Derivadas parciais de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2 Derivação da função composta (regra da cadeia) . . . . . . . . . . . 47

7 Problemas de optimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.1 Classi�cação dos pontos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1

Capítulo 1

Complementos de Derivadas de

Funções Reais de Variável Real.

Aplicações

1 Teoremas relativos a funções deriváveis

O resultado seguinte diz-nos que uma função derivável num ponto é contínua nesse ponto.

Teorema 1. Se existe f ′(a), então f é contínua no ponto x = a.

A a�rmação recíproca deste teorema é falsa, i.e., uma função pode ser contínua num pontoe não ser aí derivável. Por exemplo, a função representada na �gura 1 é contínua no pontox = 1 (porquê?), apesar de não ter derivada neste ponto.

Figura 1

Um função f(x) que é derivável no ponto x = a, não tem aí um ponto anguloso ou umponto cuspidal (procurar na sebenta de Matemática I o signi�cado destas expressões). Ográ�co é representado por uma curva suave (sem `pontas') numa certa vizinhança do pontox = a.

O teorema seguinte permite-nos localizar zeros da função derivada.

Teorema 2. (de Rolle) Seja f uma função contínua no intervalo [a, b], derivável no intervalo(a, b), tal que f(a) = f(b). Então, existe um ponto c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0.

3

4 2. Derivadas de ordem superior

2 Derivadas de ordem superior

Até agora falámos de derivadas de primeira ordem. Dada um função f(x), a sua funçãoderivada representa-se por qualquer uma das formas

f ′(x) oudf(x)

dxou

d

dxf(x)

Exemplo 1.

(x4)′ = 4x3

d

dxx4 = 4x3

d

dxsen(x) = cos(x)

d

dxln(x) =

1

x.

Se derivarmos a derivada f ′(x) de uma função f(x), obtemos a derivada de segunda ordem,ou derivada segunda, de f(x). A função derivada segunda de uma função f(x) representa-sepor qualquer uma das formas

f ′′(x) oud2f(x)

dx2ou

d2

dx2f(x),

sendo que

f ′′(x) =(f ′(x)

)′e

d2

dx2f(x) =

d

dx

(d

dxf(x)

).

Exemplo 2.

d2

dx2x4 =

d

dx(4x3) = 12x2

d2

dx2sen(x) =

d

dxcos(x) = −sen(x)

d2

dx2ln(x) =

d

dx

1

x= − 1

x2

Este conceito de derivação sucessiva estende-se a qualquer ordem de derivação, podendofalar-se de derivada de ordem três, ou terceira derivada, derivada de ordem quatro, ou quarta

derivada, · · · , derivada de ordem n, ou derivada n-ésima de uma função f(x). Quando seusa a notação com linhas, f ′, f ′′, · · · , é costume, se a ordem é maior que 3, usar notaçãoromana em vez das linhas, ou colocar entre parênteses curvos a ordem da derivada emnotação árabe.

Exemplo 3.

f iv ou f (4) para a quarta derivada

fv ou f (5) para a quinta derivada

etc.

Da mesma forma que a primeira derivada nos dá informação sobre a variação de f , asegunda derivada f ′′ dá-nos informação sobre a variação de f ′, a terceira derivada dá-nosinformação sobre a variação de f ′′, etc.

Capítulo 1. Complementos de Derivadas de Funções Reais de Variável Real. Aplicações

Mário Abrantes

3. Derivada da função implícita 5

3 Derivada da função implícita

Uma função diz-se representada na forma implícita, se a fórmula que a representa não tema forma de uma equação resolvida em ordem a y, i.e., y = f(x).

Exemplo 4.

y = 3x+ 2 forma explícita da equação de uma recta

y − 3x = 2 uma forma implícita da equação da mesma recta

y − 3x− 2 = 0 outra forma implícita da equação da mesma recta

Exemplo 5.

y = x2 − 3x+ 2 forma explícita de uma função quadrática

2− y = 3x− x2 uma forma explícita da função anterior

Exemplo 6. A equação y2 = 3x− 1 representa implicitamente as duas funções

y = ±√

3x− 1.

A forma implícita geral das funções é F (x, y) = 0 e salienta que o primeiro membro é umaexpressão que envolve a variáveis x e y.

Na prática deparamo-nos com funções na forma implícita, podendo não ser fácil, ou sermesmo impossível, escrevê-las na forma explícita. Apesar disto é possível obter a derivaday′ da função assim representada sem ser necessário obter previamente a sua forma explícita.

Exercício 1. Calcular a derivada y′ da função implícita y − 2x = 3.ResoluçãoSe temos duas funções iguais f(x) = g(x), então os grá�cos também são iguais, pelo queos declives das rectas tangentes são, em cada ponto x = a, os mesmos. Por consequência,as derivadas também são iguais e podemos escrever

f(x) = g(x)⇒ f ′(x) = g′(x).

Como a expressão y−2x = 3 exprime a igualdade das funções y−2x e 3, podemos escrever

(y − 2x)′ = (3)′ ⇒ y′ − 2 = 0⇒ y′ = 2.

O resultado obtido para y′ é o mesmo que se obtém resolvendo previamente a equação emordem a y, do que resulta y = 2x + 3, derivando depois ambos os membros em ordem ax, o que dá y′ = 2. Salienta-se que não foi necessário explicitar a função para obter a suaderivada.

Exercício 2. Obter a equação da recta tangente à circunferência x2 + y2 = 4, no ponto(x, y) = (

√2,√

2) (ver �gura 2).ResoluçãoA circunferência tem centro na origem (0, 0) do referencial e raio igual a 2. Começamospor veri�car que o ponto (x, y) = (

√2,√

2) é um ponto da circunferência, substituindoestas coordenadas na equação e mostrando que a igualdade é veri�cada.

(√

2)2 + (√

2)2 = 4⇔ 2 + 2 = 4.


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6 4. Aplicações das derivadas

Para obter a recta procurada, y = mx + b, precisamos de calcular o valor de y′ no ponto(√

2,√

2). Para isso derivamos a função implícita x2 + y2 = 4 para obter y′.

(x2 + y2)′ = (4)′ ⇒ 2x+ 2yy′ = 0⇒ y′ = −xy.

O valor de y′ no ponto (x, y) = (√

2,√

2) é −√

2√2

= −1. Ficamos a saber que a equaçãoda recta tangente é y = −x + b. Resta-nos calcular o valor de b. Como a recta contém oponto (x, y) = (

√2,√

2), temos√

2 = −√

2 + b⇔ b = 2√

2.

A equação da recta tangente procurada é y = −x+ 2√

2.

Figura 2 Figura 3

Exercício 3. Obter a equação da recta tangente ao grá�co que representa a equaçãoy2 = x4, no ponto (x, y) = (−1,−1) (ver �gura 3).ResoluçãoA equação y2 = x4 representa duas funções, y = ±x2. O ponto (x, y) = (−1,−1) per-tence ao grá�co da função y = −x2(veri�car). Vamos obter as derivadas das funçõesrepresentadas implicitamente por esta equação.

(y2)′ = (x4)′ ⇒ 2yy′ = 4x3 ⇒ y′ =2x3

y.

Para obter a recta procurada, y = mx + b, precisamos de calcular o valor de y′ no ponto(x, y) = (−1,−1).

m =2(−1)3

−1= 2.

Ficamos a saber que a equação da recta tangente é y = 2x+ b. Resta-nos calcular o valorde b. Como a recta contém o ponto (x, y) = (−1,−1), temos

−1 = −2 + b⇔ b = 1.

A equação da recta tangente procurada é y = 2x+ 1.

4 Aplicações das derivadas

4.1 Limite do quociente - regra de L'Hôpital

O resultado seguinte, conhecido por regra de l'Hôpital 1, permite resolver certos limitesde quocientes, lim

x→af(x)g(x) , em que ou lim

x→af(x) = 0 e lim

x→ag(x) = 0, ou lim

x→af(x) = ∞ e

1Do matemático francês Guillaume François Antoine, que deteve, de entre outros, o título nobiliárquicode marquês de L'Hôpital.


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4. Aplicações das derivadas 7

limx→a

g(x) =∞.

Proposição 3. Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, excepto, possivel-mente, num ponto a ∈ I. Suponhamos que g′(x) 6= 0, para todo o x 6= a no intervalo I.Vale o seguinte.

1. Se limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0 e limx→a

f ′(x)g′(x) = L (podendo ser L ∈ R ou L = ±∞),

então

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)= L.

2. Se limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = ∞ e limx→a

f ′(x)g′(x) = L (podendo ser L ∈ R ou L = ±∞),

então

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)= L.

A intenção desta proposição é trocar o cálculo de lim f(x)g(x) pelo cálculo de limf ′(x)

g′(x) , esperandoque o segundo seja mais simples que o primeiro.

Exemplo 7.

1. Sejam f(x) = x e g(x) = ex − 1. Suponha-se que queremos calcular limx→0

xex−1 .

Temos limx→0

f(x) = 0 = limx→0

g(x). As funções f, g são ambas deriváveis em R, logosão deriváveis em qualquer intervalo aberto contendo o ponto x = 0. Além disto,g′(x) = (ex−1)′ = ex é não nula em R, logo é não nula numa vizinhança do pontox = 0. Podemos aplicar a regra de L'Hôpital.

limx→0

x

ex − 1= lim

x→0

(x)′

(ex − 1)′= lim

x→0

1

ex= 1.

2. A regra pode ser aplicada sucessivas vezes. Consideremos o limite

limx→2

(x− 2)2

−ex−2 + x− 1,

sendo limx→2

(x − 2)2 = 0 e limx→2

(−ex−2 + x − 1) = 0. Usemos a regra de L'Hôpital

para o calcular.

limx→2

(x− 2)2

−ex−2 + x− 1= lim

x→2

((x− 2)2

)′(−ex−2 + x− 1

)′ = limx→2

2(x− 2)

−ex−2 + 1.

Note-se que continuamos a ter um esquema de limites do tipo 00 . Aplicando mais

uma vez a regra, temos

limx→2

2(x− 2)

−ex−2 + 1= lim

x→2

(2(x− 2)

)′(−ex−2 + 1

)′ = limx→2

2

−ex−2=

2

−1= −2.

3. A regra de L'Hôpital enunciada na proposição 3, pode ser estendida ao caso emque o ponto limite a é ±∞. Suponha-se, por exemplo, que queremos calcular


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limx→+∞

xln(x) .Temos lim

x→+∞x = lim

x→+∞ln(x) = +∞, o que con�gura um esquema de

limites do tipo ∞∞ . Apliquemos a regra de L'Hôpital.

limx→+∞

x

ln(x)= lim

x→+∞

(x)′

(ln(x))′= lim

x→+∞

11x

= limx→+∞

x = +∞.

Podemos concluir que, quando x → +∞, a função x vai crescendo `mais rapida-mente' que a função ln(x), a ponto de a sequência dos resultados das divisões dosvalores que as funções assumem, à medida que x cresce, `tender' para in�nito.

4.2 Estudo do grá�co de uma função

A derivada é uma ferramenta muito útil para o estudo do grá�co de uma função num dadointervalo do seu domínio.

4.2.1 Intervalos de monotonia, pontos críticos

Extremos de uma função. Consideremos a �gura 4.

Figura 4

O ponto x = c do domínio de f(x)diz-se ponto de máximo relativo oudemáximo local da função, porqueexiste uma vizinhança do ponto,]c−ε, c+ε[, tal que em nenhum dosseus pontos a função assume umvalor maior que f(c). Diz-se quea função tem um máximo local oumáximo relativo no ponto c. Porconsiderações do mesmo tipo, ospontos b e d dizem-se pontos de

mínimo relativo ou de mínimo local de f(x), assumindo a função um mínimo local oumínimo relativo em cada um desses pontos. O valor de uma função f(x) num ponto u doseu domínio diz-se um máximo absoluto da função, se em nenhum outro ponto do domínioa função assume um valor superior a f(u). O valor de uma função f(x) num ponto v doseu domínio diz-se um mínimo absoluto da função, se em nenhum outro ponto do domínioa função assume um valor inferior a f(v). Os valores que uma função assume em pontosde máximo/mínimo, absolutos ou relativos, dizem-se extremos da função. O ponto x = fna �gura, não é um ponto de extremo da função porque não pertence ao domínio de f(x).

Exemplo 8.

• Seja g(x) a restrição da função f(x) ao intervalo [a, e] (�gura 4). O ponto e éum ponto de máximo absoluto de g, sendo os pontos a e c pontos de máximorelativo. O ponto d é um ponto de mínimo absoluto de g, sendo b um ponto demínimo relativo. f(e) é o máximo absoluto de g(x) e f(d) o seu mínimo absoluto.f(a), f(c) são máximos relativos de g, sendo f(b), f(d) mínimos relativos.

• Todos os pontos do domínio da função f(x) = 2 são pontos de máximo/mínimorelativos e máximo/mínimo absolutos. Porquê?

Dada a formula f(x) de uma função, estamos interessados em determinar os pontos deextremo de f(x) usando processos analíticos, ou seja, fazendo cálculos. Podemos usar umacalculadora grá�ca para, inspeccionando o grá�co, obtermos aproximações para as abcissasdestes pontos. Mas a calculadora grá�ca não permite, em geral, conhecer estes valores coma precisão fornecida por métodos analíticos.


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Exemplo 9. Usar a calculadora grá�ca para obter o grá�co da função (x−1000)(x−0.5).Consegue-se visualizar o grá�co de modo a identi�car o ponto de mínimo absoluto dafunção ou os pontos onde esta se anula?

Observando a �gura 4, veri�camos que os pontos de extremo, b, cd, e, são pontos em que:

- A derivada da função, f ′(x), é nula (caso dos pontos b e c);

- A derivada da função, f ′(x), não existe, i.e., não se pode calcular (caso dos pontosd e e).

Vale a seguinte de�nição.

Um ponto x0 do domínio de uma função f(x) designa-se por

ponto crítico da função, se f ′(x0) = 0, ou se f ′(x0) não

está definido.

Exemplo 10. Calcular os pontos críticos da função f(x) = x2+1x+1 .

Resolução

• Começamos por determinar f ′(x).

f ′(x) =(x2 + 1)′(x+ 1)− (x2 + 1)(x+ 1)′

(x+ 1)2=

2x(x+ 1)− (x2 + 1)

(x+ 1)2=x2 + 2x− 1

(x+ 1)2.

• Agora determinamos os pontos do domínio de f tais que f ′(x) = 0. Recordemosque um cociente A

B é igual a zero quando A = 0 e B 6= 0 (porquê?).

f ′(x) = 0 ⇔ x2 + 2x− 1

(x+ 1)2= 0 ⇔ x2 + 2x− 1 = 0 ∧ (x+ 1)2 6= 0.

x2 + 2x− 1 = 0 ⇔ x = −1 +√

2 ∨ x = −1−√

2 e (x+ 1)2 6= 0 ⇒ x 6= −1

Anotamos que a derivada se anula em dois pontos do domínio de f(x): x =−1±

√2.

• Por �m, determinamos os pontos do domínio de f em que não existe f ′(x). Re-cordemos que um cociente A

B não se pode determinar se (i) Uma das expressões A,B, não se pode calcular, ou se (ii) B = 0. No caso da expressão de f ′(x), ambasas partes do cociente, x2 +2x−1 e (x+1)2, se podem calcular para qualquer valorde x. Restam os casos em que (x+ 1)2 = 0. Mas o valor x = −1 que veri�ca estaigualdade não pertence ao domínio de f(x), logo não é ponto crítico da função.

• Conclusão: a função tem dois pontos críticos, x = −1±√

2.

Uma vez calculados os pontos críticos, queremos saber em quais deles a função tem extre-mos. É o que vamos ver de seguida.

Estudo dos pontos críticos. Intervalos de monotonia de uma função. Em termosgerais, uma função f(x) muda de sinal num ponto x0 do seu domínio, i.e., assume um certosinal `à esquerda' do ponto, e o sinal oposto `à direita do ponto', em pontos em que (i)f(x) é nula (ponto a da �gura 5), ou (ii) f(x) é descontínua (ponto b da �gura 5).


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Figura 5

O sinal da função é o mesmo para todos os pontos do seudomínio situados entre cada par de pontos de mudançade sinal. No caso da derivada f ′(x) de uma função f(x),o seu sinal é o mesmo para qualquer ponto do seu do-mínio situado entre dois pontos críticos consecutivos,podendo f ′(x) ser nula em algum desses intervalos (sig-ni�cando que a função f(x) é aí constante). O intervalo]a, b[ de�nido por dois pontos críticos consecutivos a, bde uma função, designa-se por intervalo de monotonia

da função. Vale o seguinte.

O comportamento de f ′(x) num intervalo de monotonia é um

dos três seguintes: (i) f ′(x) é nula em todos os pontos

do intervalo; (ii) f ′(x) é positiva em todos os pontos do

intervalo; (iii) f ′(x) é negativa em todos os pontos do

intervalo.

Num intervalo de monotonia, a função f(x) é (i)

crescente, se f ′(x) > 0; (ii) decrescente, se f ′(x) < 0;(iii) constante, se f ′(x) = 0.

Exercício 4. Indicar os intervalos de monotonia da função representada na �gura 4, pg.8.

Exercício 5. Estudar o comportamento da função do exemplo 10, pg. 9, indicando osintervalos de monotonia, os pontos de extremos e os valores extremos da função.Resolução (ver tabela 1.1)

• Os dois pontos críticos x = −1±√

2 de�nem sobre a recta real os três intervalosde monotonia, ]−∞,−1−

√2[ , ]− 1−

√2,−1 +

√2[ e ]− 1 +

√2,+∞[ (ver a

primeira linha da tabela). Notar que x = −1−√

2 ≈ −2.41 e x = −1+√

2 ≈ 0.41.

• Dentro de cada intervalo de monotonia, o sinal de f ′(x) é o mesmo para todos ospontos, ou então f ′(x) = 0. Determinamos qual o caso do intervalo em análise,calculando o sinal da derivada num ponto qualquer que lhe pertença.

− 3 ∈ ]−∞,−1−√

2[ f ′(−3) =(−3)2 + 2(−3)− 1

(−3 + 1)2= 0.5 > 0

0 ∈ ]− 1−√

2,−1 +√

2[ f ′(0) =02 + 2× 0− 1

(+1)2= −1 < 0

0.5 ∈ ]− 1 +√

2,+∞[ f ′(0.5) =(0.5)2 + 2(0.5)− 1

(0.5 + 1)2≈ 0.1 > 0

Estes valores para o sinal de f ′(x) estão marcados na segunda linha da tabela.

• A variação de f(x) em cada intervalo está marcada na terceira linha da tabela: osímbolo ↗ signi�ca que a função é crescente no intervalo; o símbolo ↘ signi�caque a função é decrescente no intervalo. A função não é constante em nenhum dosintervalos. Estão também indicados os valores que a função assume nos pontoscríticos.

• Como a função é crescente à esquerda do ponto −1 −√

2, é decrescente à suadireita e está de�nida no ponto, então ela atinge aí um máximo local, que é


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de aproximadamente −4.83. Como a função é decrescente à esquerda do ponto−1 +

√2, crescente à sua direita, e está de�nida no ponto, então ela atinge aí um

mínimo local, que é de aproximadamente 0.83. Os extremos locais de f(x) sãopois, aproximadamente, −4.83 e 0.83.

Tabela 1.1

−∞ −1−√

2 −1 +√

2 +∞sinal de f ′ + | − | +

variação de f ↗ ≈ −4.83 ↘ ≈ 0.83 ↗M m

O teorema seguinte é um critério para determinar a natureza de um ponto crítico c tal quef ′(c) = 0, usando o valor da segunda derivada da função no ponto.

Teorema 4. Seja f uma função derivável no intervalo (a, b) e c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.Se f admite derivada de segunda ordem f ′′ em (a, b), então:

• se f ′′(c) > 0, c é ponto de mínimo relativo de f ;

• se f ′′(c) < 0, c é ponto de máximo relativo de f .

Exemplo 11. A derivada segunda da função do exemplo 10 é

f ′′(x) =

(x2 + 1

x+ 1

)′′=

4

(x+ 1)3(veri�car!).

Calculando o valor da derivada segunda nos pontos críticos de derivada nula −1 ±√

2,obtemos,

f ′′(−1−√

2) =4

(−1−√

2 + 1)3≈ −1.41 < 0 mínimo local

f ′′(−1 +√

2) =4

(−1 +√

2 + 1)3≈ 1.41 > 0 máximo local.

4.2.2 Concavidades e pontos de in�exão

Se o grá�co de uma função tem as formas mostradas nas �guras 6 e 7, dizemos que tem aconcavidade voltada para cima, no caso da �gura 6, e que tem a concavidade voltada parabaixo, no caso da �gura 7. A orientação da concavidade está relacionada com os valores daderivada segunda, e constitui informação relevante para se perceber o grá�co da função.

Figura 6 Figura 7

Vale o seguinte resultado.

Teorema 5. Seja f uma função que admite segunda derivada f ′′ no intervalo (a, b).


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1. Se f ′′(x) < 0 no intervalo (a, b), então o grá�co da função f tem a concavidadevoltada para baixo nesse intervalo.

2. Se f ′′(x) > 0 no intervalo (a, b), então o grá�co da função f tem a concavidadevoltada para cima nesse intervalo.

Exemplo 12. Seja f(x) = x3. A segunda derivada de f é f ′′(x) = (3x2)′ = 6x. f ′′

é negativa para valores de x menores que zero e positiva para valores de x maiores quezero (porquê?). Pelo teorema 5 o grá�co de f tem a concavidade voltada para baixo nointervalo (−∞, 0) e voltada para cima no intervalo (0,+∞) (fazer um esboço do grá�co dafunção f(x) = x3).

Para conhecermos os intervalos em que o grá�co de uma função tem a orientação deconcavidade constante, precisamos de determinar os seguintes pontos:

(a) Os pontos em que f ′′ se anula. Alguns destes pontos podem ser pontos de in�exão.Um ponto c diz-se ponto de in�exão do grá�co de uma função, se f ′′(c) = 0 e seo sinal de f ′′ é diferente 'antes' e 'depois' do ponto (ver �gura 8).

(b) Os pontos em que f ′′ não existe.

Figura 8

Exercício 6.

1. A função y = x3 tem um ponto de in�exão em x = 0, uma vez que a segundaderivada y′′ = 6x é aí nula e o sinal de y′′ muda de negativo para positivo noponto.

2. A função y = x4 tem a segunda derivada y′′ = 12x2 nula no ponto x = 0, mas osinal de y′′ não muda neste ponto. Então x = 0 não é ponto de in�exão da função(fazer um esboço do grá�co da função).

3. A segunda derivada da função y = x23 não existe no ponto x = 0, uma vez que

y′′ = −29x− 4

3 não se encontra de�nida neste ponto (porquê?). No entanto estenão é um ponto em que a orientação da concavidade do grá�co mude (ver �gura9).


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Figura 9

Exemplo 13. Considerar a funcão no exemplo 10, pg. 9. Determinar os intervalos emque a orientação da concavidade do grá�co da função é constante.ResoluçãoA segunda derivada da função é

f ′′(x) =4

(x+ 1)3.

Não existem pontos tais que f ′′(x) = 0 (porquê?). Logo, os únicos pontos em que aorientação da concavidade pode mudar, são aqueles onde não está de�nida f ′′(x). Aderivada segunda não está de�nida apenas no ponto x = −1. A orientação da concavidadeé uma só no intervalo ]−∞,−1[ e uma só no intervalo ]− 1,+∞[. Vamos veri�car se é amesma nos dois intervalos, ou se é diferente. Para isso determinamos os sinais respectivosde f ′′, escolhendo um ponto qualquer para cada um destes intervalos.

− 2 ∈ ]−∞,−1[ f ′′(−2) =4

(−2 + 1)3= −4 < 0 concavidade voltada para baixo

0 ∈ ]− 1,+∞[ f ′′(0) =4

(0 + 1)3= 4 > 0 concavidade voltada para cima

O ponto x = −1 é um ponto em que a orientação da concavidade muda. Podemos usar ainformação sobre concavidades para obter uma versão mais completa da tabela 1.1 � vertabela 1.2.

Tabela 1.2

−∞ −1−√

2 −1 −1 +√

2 +∞sinal de f ′ | + | − | − | + |

variação de f | ↗ −4.83 ↘ − ↘ 0.83 ↗ |sinal de f ′′ | − | − | + | + |

concavidades de f | ∩ | ∩ | ∪ | ∪ |M m

4.2.3 Assíntotas

Uma assíntota do grá�co de uma função f é uma recta com a qual o grá�co da função se`confunde' numa situação limite. As assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.

• Uma assíntota horizontal é uma recta da forma y = b, tal que limx→+∞

f(x) = b ou

limx→−∞

f(x) = b (ver �gura 10).


Mário Abrantes


• Uma assíntota vertical é uma recta da forma x = a, tal que limx→a−

f(x) = ∞ ou

limx→a+

f(x) =∞ (ver �gura 11).

• Uma assíntota oblíqua é uma recta da forma y = mx + b, com m 6= 0, tal quelim

x→+∞f(x) = mx+ b ou lim

x→−∞f(x) = mx+ b (ver �gura 11).

Figura 10: limx→+∞

f(x) = b

Figura 11: limx→a−

f(x) = +∞; limx→+∞

f(x) = mx+ b

Exemplo 14.

1. A função y = ex tem a assíntota horizontal y = 0, uma vez que limx→−∞

ex = 0.

2. A função y = ln(x) tem a assíntota vertical x = 0, uma vez que limx→0+

ln(x) = −∞(esboçar o grá�co da função para con�rmar esta a�rmação).

3. Vamos determinar as assíntotas oblíquas da função x2+2x−1x . Procuramos a equa-

ção de uma recta na forma y = mx+ b. Começamos por calcular m.

Por ser limx→∞

(f(x)− (mx+ b)

)= 0, temos

limx→∞

(f(x)

x− mx+ b

x

)= 0 ⇔ lim

x→∞

(f(x)

x−m− b

x

)= 0 ⇔

limx→∞

(f(x)

x−m

)= 0

e podemos escrever limx→∞

f(x)

x= m

Usando esta relação com a função dada, temos

m = limx→∞

f(x)

x= lim

x→∞

x2 + 2x− 1

x2= lim

x→∞

(1 +

2

x− 1

x2

)= 1.

A assíntota oblíqua que procuramos é da forma y = x + b. Usamos a fórmulalim

x→−∞

(f(x)− (mx+ b)

)= 0 para calcular b.

b = limx→∞

(f(x)−mx) = limx→∞

(x2 + 2x− 1

x− x

)

= limx→∞

(x2 + 2x− 1− x2

x

)= lim

x→∞

(2x− 1

x

)= 2.

A assíntota oblíqua obtida é y = x + 2 (utilizar uma calculadora grá�ca paracon�rmar que a função tem esta assíntota oblíqua).


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Exercício 7. Determinar as assíntotas da função no exemplo 10, pg. 9.Resolução

1. Assíntotas horizontais. Procuramos uma equação da forma y = b.

limx→∞

f(x) = limx→∞

x2 + 1

x+ 1=∞.

A função não tem assíntotas horizontais.

2. Assíntotas verticais. Procuramos uma equação da forma x = a. Como a funçãoé da forma A

B e A e B são polinómios, procuramos valores de x para os quais setenha B = x+ 1 = 0. O único valor para o qual isto se veri�ca é x = −1.

limx→−1−

x2 + 1

x+ 1= −∞, lim

x→−1+

x2 + 1

x+ 1= +∞.

A função tem uma assíntota vertical: x = −1.

3. Assíntotas oblíquas. Procuramos uma equação da forma y = mx + b. Vamoscalcular m.

m = limx→∞

f(x)

x= lim

x→∞

x2 + 1

x2 + x= lim

x→∞

1 + 1/x2

1 + 1/x= 1

Como m 6=∞ a função tem assíntotas oblíquas. Por ser o valor do limite igual a1, quer x tenda para +∞ ou para −∞, então existe apenas uma assíntota oblíqua,y = x+ b. Vamos calcular o parâmero b.

b = limx→∞

(f(x)−mx) = limx→∞

(x2 + 1

x+ 1− x

)

= limx→∞

x2 + 1− x2 − xx+ 1

= limx→∞

1− xx+ 1

= −1

A função tem uma assíntota oblíqua: y = x− 1.

A informação sobre as assíntotas da função e os dados na tabela 1.2, são su�cientes parafazer o esboço do grá�co da função, que está na �gura 12.

Figura 12


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4.3 Problemas de optimização

Consideremos o seguinte problema.

Exercício 8. De todos os triângulos rectângulos cuja medida da hipotenusa é igual a 8,quais os que têm maior área?

Na �gura 13 estão representados triângulos rectângulos cuja hipotenusa tem medida 8.Podemos suspeitar que não têm áreas iguais. Queremos encontrar aqueles que têm áreamáxima. A área de um triângulo de base b e altura h é dada por (�gura 14)

A =bh

2.

Encontrar os triângulos rectângulos de área máxima, consiste em determinar os valores deb, h para os quais A é máxima.

Figura 13

Figura 14

Para tal podemos escrever A em função apenas de uma das variáveis b, h usando a relaçãob2 + h2 = 82 (teorema de Pitágoras). Por ser

b =√

82 − h2,

temos

A =bh

2⇔ A =

√82 − h2h

2.

Para calcular os máximos de A derivamos a função em ordem a h.

A′ =

(√82 − h2h

2

)′=

1

2

(√82 − h2h

)′=

1

2

((√

82 − h2)′h+√

82 − h2)

=1

2

(− 2h

2√

82 − h2h+

√82 − h2

)=

1

2

(− h2

√82 − h2

+√

82 − h2

).

Podemos agora determinar os pontos críticos, i.e., os valores de h no domínio de A paraos quais A′(h) é nula ou não é de�nida.

A′ = 0⇔ 1

2

(− h2

√82 − h2

+√

82 − h2

)= 0

⇔ − h2

√82 − h2

+√

82 − h2 = 0⇔ h2

√82 − h2

=√

82 − h2 ⇔ h2 = 82 − h2

⇔ h2 = 32⇔ h = ±√

32

Como h representa um comprimento, tomamos o ponto crítico h =√

32. Veri�camos tam-bém que a derivada A′(h) não existe se h = ±8 (não interessa considerar A(h) para valores


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de h menores que 0 ou maiores que 8 (porquê?). Sabemos agora que a variação de A(h)é do mesmo tipo nos pontos do intervalo ] − 8,

√32[ e nos pontos do intervalo ]

√32, 8[.

Como 0 ∈]− 8,√

32[ e A′(0) > 0, e também 6 ∈]√

32, 8[ e A′(6) < 0, sabemos que a funçãocresce no intervalo à esquerda de h =

√32 e decresce no intervalo à direita de h =

√32, o

que faz deste ponto um ponto de máximo absoluto da função A(h). Podemos concluir quea área dos triângulos rectângulos cuja hipótenusa tem medida 8 é máxima quando a sua

altura h é igual a√

32 e a sua base b é igual a√

82 − (√

32)2 =√

32.

Um problema do tipo do que acabámos de resolver designa-se por problema de optimi-

zação. Os problemas de optimização costumam ter os seguintes dados: (i) uma funçãoque se quer optimizar (i.e., minimizar ou maximizar), dita função objectivo do problema� no problema acima, a função objectivo é a função área A; (ii) um conjunto de relaçõesauxiliares que envolvem as variáveis da função objectivo, ditas restrições do problema � oproblema acima tem uma só restrição, que é 82 = b2 +h2. No problema acima a optimiza-ção consistiu em maximizar a função objectivo (calcular valores máximos). No problemaseguinte, a optimização consiste em minimizar a função objectivo (calcular valores míni-mos).

Exercício 9. O produto xy de dois números inteiros positivos é igual a 60. Determinar xe y de modo que a sua soma S = x+ y seja mínima.ResoluçãoPretendemos minimizar a função S = x + y. Esta é a função objectivo do problema. Éfácil veri�carmos que a soma de dois números inteiros positivos cujo produto é 60 dependedos números escolhidos. Por exemplo,

para x = 1, y = 60 temos S = 1 + 60 = 61;

para x = 2, y = 30 temos S = 2 + 30 = 32;

para x = 15, y = 4 temos S = 15 + 4 = 19.

A restrição é a relação xy = 60 que envolve as variáveis x e y da função objectivo. Podemosescrever x = 60

y , �cando a função objectivo na foma S = y + 60y (ver �gura 15). Vamos

minimizar S. Para tal começamos por determinar S′.

S′ =

(y +

60

y

)′= 1− 60

y2.

De seguida determinamos os pontos críticos de S. Veri�camos que

S′ = 0 ⇔ 1− 60

y2= 0 ⇔ y2 = 60 ⇔ y = ±

√60.

Como y é positivo, temos y =√

60. Veri�camos também que S′ não é de�nida se y = 0.Com esta informação, podemos a�rmar que o sinal de S′ é o mesmo em todos os pontosdo intervalo ]0,

√60[ e nos pontos do intervalo ]

√60, 60[ da variável y, sendo S′ negativa

no primeiro intervalo e positiva no segundo. O ponto y =√

60 é pois um ponto de mínimolocal (mínimo absoluto, se considerarmos apenas valores positivos de y � ver �gura 15. Emconclusão, podemos a�rmar que o par de números positivos x, y , cujo produto é igual a60 e a soma é mínima, é dado por y =

√60 e x = 60/y = 60/

√60 =

√60.


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Figura 15: S = y + 60y

A natureza dos problemas enunciados nos exercícios 8 e 9 não é alterada se trocarmos asletras b e h, no exercício 8, e as letras x e y, no exercício 9. É esta simetria relativamenteàs variáveis envolvidas que justi�ca que seja b = h, na solução do problema 8, e x = y, nasolução do problema 9. Esta simetria não acontece entre as variáveis envolvidas na funçãoobjectivo do problema seguinte, que envolve um cilíndro de volume V = πr2h, sendo afunção objectivo A = 2πr2 + 2πrh.

Exercício 10. Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica com tampa, de volume V ,de forma que a área da sua superfície exterior seja mínima.


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Capítulo 2

Integrais de funções reais de variável

real

1 Áreas de regiões planas

A área de uma região plana é um número não negativo associado ao tamanho da região. So-bre as áreas das regiões A e B na �gura 16, dizemos que A tem uma área superior a B. Mascomo se atribui um valor de área a uma dada região plana?

Figura 16

Para o fazer precisamos de ter um região de referência,cuja área tenha valor igual a 1, com a qual comparamosa região que queremos avaliar. A região de referência éum quadrado cujo lado mede 1 unidade de comprimento(ver �gura 17). Se a unidade de comprimento for o metro,então de�ne-se a área do quadrado como sendo de 1 metro

quadrado (1m2); se a unidade de comprimento for o centí-metro, então de�ne-se a área do quadrado como sendo de 1centímetro quadrado (1cm2), etc. Uma vez de�nida destaforma uma unidade para a área, torna-se fácil veri�carmosque a área de um rectângulo de lados b e h é dada por bh,e que a área de um triângulo rectângulo de catetos b e h é igual a bh/2 (cf. �gura 18).

Figura 17: Área = bh = 6.Figura 18: Área = bh/2 = 3.

Podemos também veri�car que bh/2 é a área de qualquer triângulo cujas altura e basetenham medidas respectivamente h e b. Observando a �gura 19, podemos determinar aárea do triângulo ACE subtraindo à área do rectângulo ABDE, de lados b e h, a somadas áreas dos triângulos rectângulos ABC e CDE.

19

20 1. Áreas de regiões planas

Figura 19

Área ACE = Área ABDE −(Área ABC + Área CDE

)= bh−

(h(b− x)

2+xh

2

)= bh− bh

2=bh

2

1.1 Cálculo aproximado de áreas

Figura 20

Consideremos o problema de determinar a área de uma re-gião plana de�nida pela representação do grá�co de umafunção f(x) e o eixo dos xx, no intervalo [a, b]. Comoexemplo, tomemos região de�nida pela função f(x) =ln(x) e o eixo das abcissas, no intervalo [1, 3] (�gura 20).Seja A a área dessa região. Podemos obter uma aproxi-mação desta área determinando um minorante m e ummajorante M para o valor de A. Um majorante podeobter-se somando as áreas dos dois rectângulos marcadosna �gura 21. Como os rectângulos têm alturas ln(3) eln(2), e têm ambos largura 1, a soma dos valores das suasáreas é ln(2) + ln(3) ≈ 1.80.

Figura 21 Figura 22

Um majorante melhor, M , pode obter-se usando mais rectângulos, como mostra a �gura22,

M = 0.5(ln(1.5) + ln(2) + ln(2.5) + ln(3)) ≈ 1.56.

Por um procedimento semelhante, podemos obter um minorante, m, para o valor da área,somando as áreas dos três rectângulos da �gura 23.

Capítulo 2. Integrais de funções reais de variável real Mário Abrantes

1. Áreas de regiões planas 21

Figura 23

Obtemos m = (ln(2) + ln(2.5) + ln(3))0.5 ≈ 1.35. Podemosescrever 1.35 ≤ A ≤ 1.56.Esta estimativa pode também ser me-lhorada usando mais rectângulos para calcular m e M .

1.2 Aplicação do cálculo de áreas: con-sumo de energia eléctrica

A �gura 24 representa uma placa com as características eléctricasde um certo dispositivo. Entre essas características podemos lero valor da potência eléctrica, 1200W . O `W ' signi�ca Watt, queé a unidade de potência eléctrica. Uma vez ligado este dispositivoà corrente, a empresa que fornece energia contabiliza o consumo atendendo a dois factores:a potência do aparelho, em Watts, e o tempo que este �ca ligado, em horas. A unidadede energia correspondente é o Watt.hora.

Figura 24

Figura 25

Assim, se o dispositivo estiver ligado 1h, o consumo é de 1200Wh, que se lê 1200 Watt-hora,ou 1.2kWh, que se lê 1.2 quiloWatt-hora. Se o dispositivo estiver ligado 2h, o consumoenergético é (potência × tempo) = 1200 × 2 = 2400Wh = 2.4kWh. O custo do consumode energia é calculado multiplicando o valor da energia consumida pelo preço do kWh, queem 2017 ronda os 0.15e.

Exercício 11. Numa habitação são ligados os seguintes dispositivos eléctricos:

• uma lâmpada de 100W e um aquecedor de 1200W , das 19h às 21h;

• apenas o aquecedor de 1200W , das 21h às 24h;

• apenas a lâmpada de 100W , das 24h à 01h.

Sabendo que o preço do kWh (`quiloWatt-hora') é 0.15e, qual a despesa tida no consumode energia eléctrica das 19h às 01h?ResoluçãoA �gura 25 contém um grá�co que representa a potência solicitada à rede eléctrica emfunção do tempo. Fazendo uso desta informação, obtemos os seguintes valores para aenergia consumida.

das 19h às 21h: lâmpada de 100W+ aquecedor de 1200W

Energia = (100 + 1200)W × 2h = 2600Wh

das 21h às 24h: aquecedor de 1200W

Energia = 1200W × 3h = 3600Wh

das 24h à 01h: lâmpada de 100W

Energia = 100W × 1h = 100Wh


22 1. Áreas de regiões planas

Notar que a energia calculada, por envolver o produto da potência eléctrica pelo tempo,corresponde à soma das áreas dos rectângulos na �gura. A energia total consumida é de2600 + 3600 + 100 = 6300Wh ou 6.3kWh, cujo custo é igual a 6.3kWh× 0.15e≈ 0.95e.

1.3 Função área

Seja A(x) a função que determina a área da região do plano de�nida pelo grá�co de umafunção f(x) e o eixo dos xx, no intervalo [0, x] (�gura 26), sendo x variável e f(x) contínuano intervalo [0, x].

Vamos mostrar que a relação entre a função área A(x) e a função f(x) é A′(x) = f(x), i.e.

A′(x) = lim∆x→0

A(x+ ∆x)−A(x)

∆x= f(x). (2.1)

Figura 26Figura 27

Consideremos a região correspondente ao intervalo [a, a + ∆x], sombreada na �gura 27.Se o valor de ∆x for su�ciente pequeno, o grá�co de f(x) pode considerar-se linear nesteintervalo, o que nos permite aproximar, em termos do valor da área, a região sombreadana �gura 27 pelo trapézio na �gura 28.

Figura 28

A área do trapézio é aproximadamente A(a + ∆x) − A(a), eobtém-se somando as áreas do triângulo e do rectângulo na �gura28.

A(a+ ∆x)−A(a) ≈ Área do trapézio

= Área do triângulo + Área do rectângulo

= ∆xf(a+ ∆x)− f(a)

2+ ∆xf(a)

= ∆xf(a+ ∆x) + f(a)

2.

Substituindo este valor aproximado para A(a + ∆x) − A(a) nafórmula 2.1, temos

A′(a) = lim∆x→0

A(a+ ∆x)−A(a)

∆x

= lim∆x→0

∆x(f(a+ ∆x) + f(a))

2∆x

= lim∆x→0

f(a+ ∆x) + f(a)

2=

2f(a)

2= f(a).


1. Áreas de regiões planas 23

Veri�cámos que A′(a) = f(a). Como a é um ponto qualquer no qual f(x) é contínua,podemos escrever A′(x) = f(x) para qualquer ponto x, sendo f(x) contínua no intervalo[0, x].

Exemplo 15. Seja f(x) = 2x (�gura 29). Queremos determinar a função A(x) que nosdá a área da região de�nida pelo grá�co de f(x) e o eixo das abcissas, no intervalo [0, x].Sabemos que A′(x) = f(x). Usando apenas esta condição, qualquer uma das três funçõesseguintes é candidata a ser A(x).

A(x) = x2

A(x) = x2 − 2

A(x) = x2 + π

De um modo geral, toda a função da forma x2 +C, sendo C uma constante real qualquer,é candidata ser a função A(x). Vamos veri�car que apenas uma destas funções nos inte-ressa. Para tal, usamos mais uma condição, para além de A′(x) = f(x), que é A(0) = 0. Avalidade desta condição é imediata, sabendo que A(0) representa a área da região corres-pondente ao intervalo [0, 0], ou seja, a área de uma região de área nula. Usando a igualdadeA(0) = 0, determinamos o valor do parâmetro C, na expressão x2 + C,

A(0) = 0⇔ 02 + C = 0⇔ C = 0.

A função pretendida é pois A(x) = x2.

Vamos testar esta função, calculando A(3). Este valor representa a área do triângulocuja base tem medida 3, sendo a sua altura f(3) = 2 × 3 = 6 (ver a �gura 29). A áreadeste triângulo é igual a 9, o que con�rma o valor A(3) = 32 = 9.

Figura 29Figura 30

Exemplo 16. Seja f(x) = x2 (�gura 30). Queremos determinar a fórmula da funçãoA(x) que nos dá a área da região de�nida pelo grá�co da função e o eixo das abcissas, nointervalo [1, x]. Sabemos que A′(x) = f(x), i.e., A′(x) = x2. Analogamente ao exercícioanterior, podemos escrever A(x) = x3

3 + C, com C ∈ R. Para determinar o valor de C

usamos a condição A(1) = 0, de que resulta 13

3 + C = 0 ⇔ C = −13

3 e A(x) = x3

3 −13 .

Usando esta última expressão podemos escrever A(3)−A(1) = 33

3 −13 = 26

3 .


24 2. Função primitiva. Integral indefinido de uma função

2 Função primitiva. Integral inde�nido de uma fun-ção

Nos exemplos 15 e 16, dada uma função f(x), foi necessário calcular uma outra função,A(x), sendo A′(x) = f(x). Vale a seguinte de�nição.

Dada uma função f(x), diz-se função primitiva de f(x) no

intervalo [a, b], toda a função F (x) tal que F ′(x) = f(x)para todo x ∈ [a, b].

Exemplo 17. Seja f(x) = 1x . As funções F1(x) = ln |x| e F2(x) = ln |x| − 3 são ambas

funções primitivas de f(x). É imediato veri�car que a sua diferença é uma constante,F1(x)− F2(x) = 3.

Vale o seguinte resultado.

Teorema 6. Se F1 e F2 são duas primitivas de f(x) no intervalo [a, b], então a sua diferençaF1 − F2 neste intervalo é uma constante.

Prova. Se F1 e F2 são duas primitivas de f(x), então F ′1 = F ′2 = f(x), o que implica queF1 − F2 seja uma constante, dado que (F1 − F2)′ = F ′1 − F ′2 = f(x)− f(x) = 0.

Este enunciado signi�ca que se conhermos uma primitiva F (x) da função f(x), entãoqualquer outra primitiva pode ser escrita como F (x) +C, sendo C uma constante. Se umafunção tiver uma primitiva, então tem in�nitas primitivas.

Se F (x) é uma primitiva da função f(x) no intervalo [a, b],então a expressão F (x) + C, com C ∈ R, diz-se integral

indefinido de f(x) no intervalo [a, b], e representa

a família de todas as funções primitivas de f(x).Escreve-se ∫

f(x)dx = F (x) + C.

Deve �car claro que o signi�cado da expressão∫f(x)dx = F (x) + C

éF ′(x) = f(x).

De forma equivalente podemos escrever(∫f(x)dx

)′= f(x)

ou ∫F ′(x)dx = F (x) + C.

Exemplo 18.

1.

∫2dx = 2x+ C, porque (2x+ C)′ = 2 + C ′ = 2

2.

∫2xsen(x2)dx = −cos(x2) + C, porque

(−cos(x2) + C

)′= (x2)′sen(x2) + C ′ = 2xsen(x2)

3.

∫2

xdx = 2 ln |x|+ C, porque (2 ln |x|+ C)′ = 2(ln|x|)′ + C ′ =

2

x


3. Primitivação de algumas funções elementares 25

3 Primitivação de algumas funções elementares

Nas expressões que se seguem, u representa uma função qualquer de x e C representa umparâmetro real.

1.

∫adx = ax+ C, sendo a uma constante.

2.

∫u′undx =

un+1

n+ 1+ C, n ∈ R, n 6= −1

3.

∫u′

udx = ln |u|+ C

4.

∫u′eudx = eu + C

5.

∫u′sen(u)dx = −cos(u) + C

6.

∫u′cos(u)dx = sen(u) + C

7.

∫u′

1 + u2= arctg(u) + C = −arccotg(u) + C

8.

∫u′√

1− u2= arcsen(u) + C = −arccos(u) + C

Exemplo 19.

1.

∫3dx = 3x+ C

2.

∫x2dx =

x3

3+ C, n ∈ R, n 6= −1

3.

∫2x

x2dx = ln(x2) + C

4.

∫−e−1dx = e−1 + C

5.

∫−2sen(−2x)dx = −cos(−2x) + C

6.

∫cos(x)dx = sen(x) + C

7.

∫1

1 + x2= arctg(x) + C = −arccotg(x) + C

8.

∫1√

1− x2= arcsen(x) + C = −arccos(x) + C

4 Integral de�nido

O cálculo de áreas efectuado nos exemplos 15 e 16, pg. 23, pode ser resumido da seguintemaneira:

1. determinou-se o integral inde�nido A(x) da função f(x) envolvida;

2. calculou-se a diferença de valores assumidos pela função A(x) nos dois extremosdo intervalo correspondente.


26 4. Integral definido

Exemplo 15: Área = A(3)−A(0) = 32 + C − (02 + C) = 32 − 02 = 9

Exemplo 16: Área = A(3)−A(1) =33

3+ C −

(13

3+ C

)=

33

3− 13

3=

26

3.

Note-se que é irrelevante o valor de C, uma vez que o parâmetro é anulado na subtracção.Uma forma de indicar estas diferenças entre valores de primitivas é o seguinte.

Exemplo 15: Área = A(3)−A(0) =

∫ 3

02xdx = x2

∣∣∣30

= 32 − 02 = 9

Exemplo 16: Área = A(3)−A(1) =

∫ 3

1x2dx =

x3

3

∣∣∣31

=33

3− 13

3=

26

3.


Dada uma função f(x) e uma sua primitiva F (x) no

intervalo [a, b], chama-se integral definido de f(x) no

intervalo [a, b] à expressão∫ ba f(x)dx, sendo∫ b

af(x)dx = F (x)

∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

Exemplo 20. Dada a função sen(x), o integral de�nido∫ π

0sen(x)dx = −cos(x)

∣∣∣π0

= −cos(π)− (−cos(0)) = −(−1)− (−1) = 2,

representa a área da região sombreada na �gura 31. O integral∫ 2π

πsen(x)dx = −cos(x)

∣∣∣2ππ

= −cos(2π)− (−cos(π)) = −1− (1) = −2,

representa o simétrico da área da região sombreada na �gura 32. O integral∫ 2π

0sen(x)dx = −cos(x)

∣∣∣2π0

= −cos(2π)− (−cos(0)) = −1− (−1) = 0,

representa a soma dos dois integrais anteriores.

Figura 31 Figura 32

No caso geral o valor do integral∫ ba f(x)dx é igual à soma das áreas das regiões corres-

pondentes aos intervalos em que f(x) tem valor positivo ou nulo, subtraídos da soma dasáreas das regiões correspondentes aos intervalos em que f(x) tem valor negativo.


4. Integral definido 27

4.1 Propriedades dos integrais de�nidos

1.

∫ b

akf(x)dx = k

∫ b

af(x)dx, se k é constante.

2.

∫ b

a

(f(x)± g(x)

)dx =

∫ b

af(x)dx±

∫ b

ag(x)dx, se os integrais no segundo membro existem.

3.

∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx, sendo c ∈ [a, b].

4. Se f(x) ≤ g(x) no intervalo [a, b], então∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx.

5. Se m ≤ f(x) ≤M no intervalo [a, b], então m(b− a) ≤∫ b

af(x)dx ≤M(b− a).

6. Teorema do valor médio (para integrais): Se f(x) é contínua no intervalo no intervalo [a, b],

então existe c ∈ [a, b] tal que∫ b

af(x)dx = (b− a)f(c).

A propriedade 5 pode ser usada para calcular um valor aproximado de um integral de�nido,tal como foi mostrado na secção 1.1, pg. 20.

4.2 Justi�cação da forma∫ ba f(x)dx para o integral de�nido

Na �gura 33 está representado o grá�co de uma função f(x) e está marcado o intervalo [a, b]no eixo das abcissas. O intervalo está dividido em n partes iguais, cada uma de medida∆x = b−a

n . A área da região de�nida pelo grá�co da função e pelo eixo das abcissas nesteintervalo, é aproximadamente igual à soma das áreas dos n rectângulos aí representados,

Área ≈ f(x1)∆x+ f(x2)∆x+ f(x3)∆x+ · · ·+ f(xn−1)∆x+ f(xn)∆x = (2.2)

=n∑k=1

f(xk)∆x. (2.3)

Figura 33 Figura 34

É fácil, no entanto, convencermo-nos de que esta é uma aproximação por excesso do valorexacto da área, porque as regiões junto dos cantos superiores esquerdos dos rectângulosestão fora da região de�nida pelo grá�co e pelo eixo das abcissas no intervalo [a, b]. Au-mentando o número de rectângulos esta 'região em excesso' �ca mais pequena e obtemosuma melhor aproximação para a área, como é sugerido pela �gura 34. Se continuarmos aaumentar o número de rectângulos, vamos obtendo aproximações cada vez melhores parao valor exacto da área. Vale a seguinte de�nição.


28 4. Integral definido

Se existir o limite

L = limn→+∞

n∑k=1

f(xk)∆x,

diz-se que a função f(x) é integrável sobre o intervalo

[a, b] e o valor de L diz-se integral definido de f(x) no

intervalo [a, b]. Escreve-se

limn→+∞

n∑k=1

f(xk)∆x =

∫ b

af(x)dx.

A notação∫ ba f(x)dx traduz a existência do limite acima referido, sendo que o símbolo `

∫'

remete para `∑

' e a partícula `dx' remete para a largura `∆x' dos rectângulos (�gura 34).

4.3 Teorema fundamental do cálculo

Nos exemplos da secção 1.3, pg. 22, calculámos áreas de regiões de�nidas por grá�cos defunções usando as primitivas das funções envolvidas para determinar integrais de�nidos,∫ ba f(x)dx. Nem todas as áreas de�nidas por grá�cos de funções se podem calcular usandoas primitivas dessas funções, pela razão de nem todas as funções admitirem uma funçãoprimitiva.

Figura 35

Como exemplo, consideremos a função da �gura 35.Claramente podemos calcular a área A(t) de�nida pelográ�co da função e o eixo das abcissas no intervalo [0, x],x ≥ 0. Temos

A(x) =

∫ x

0f(t)dt =

{0 , x < 3

x− 3 , x > 3,

dado que se x < 3 a função é nula e se x > 3 a regiãocom área não nula é um rectângulo de largura x − 3 ealtura 1. No entanto a função f(x) não tem uma funçãoprimitiva F (x) em nenhum intervalo [0, x] contendo o ponto x = 3, porque teria que serF ′(x) = f(x) e pode mostrar-se que toda a função derivada F ′(x) é contínua nos pontosem que está de�nida. Resumindo, não existe uma função F (x) cuja derivada seja f(x).

O que podemos dizer, usando como base este exemplo, é que o integral∫ ba f(x)dx pode

existir mas não ser calculável usando primitivação. O resultado seguinte diz-nos que bastaf(x) ser contínua num dado intervalo para admitir aí uma função primitiva F (x).

Teorema 7. Se f(x) é contínua no intervalo [a, b], então existe uma função F (x) derivávelem ]a, b[, tal que F ′(x) = f(x).

Sempre que uma função f(x) tem uma primitiva F (x) num dado intervalo, podemos calcu-lar áreas ou, mais geralmente, integrais de�nidos envolvendo a função, usando a primitivaF (x) (ver a secção 4, pg. 25). Isto é garantido pelo seguinte teorema.

Teorema 8. (Teorema fundamental do Cálculo) Se uma função f(x), integrável sobre ointervalo [a, b], possui uma primitiva F (x) nesse intervalo, então∫ b

af(x)dx = F (x)

∣∣∣ba

= F (b)− F (a).


5. Técnicas de integração 29

5 Técnicas de integração

A operação de integração é, em geral, mais difícil que a operação de derivação. Nesta secçãovamos estudar duas técnicas de primitivação, designadas primitivação por substituição eprimitivação por partes. O propósito mais geral de ambos os métodos é o cálculo de umaprimitiva que não conhecemos usando primitivas já conhecidas.

5.1 Primitivação por substituição

Seja por exemplo a integral I =∫ √

1− xdx. É imediato veri�carmos a semelhança destaexpressão com

∫ √xdx, cuja solução sabemos ser 2

3x3/2 +C. Vamos transformar a integral

I de modo a que �que do tipo∫ √

xdx. Começamos por fazer a substituição u = 1 − x.Derivamos agora ambos os membros desta igualdade em ordem a x,

u′ = (1− x)′ ⇔ u′ = −1.

Substituindo u′ por dudx , podemos escrever

du

dx= −1 ⇔ dx = −du.

Substituimos agora as expressões na variável x, no integral I, pelas correspondentes ex-pressões na variável u, de modo a obter um integral na variável u.

I =

∫ √1− xdx =

∫ √u(−du) =

∫−√udu = −

∫ √udu

Esta substituição permitiu transformar o integral∫ √

1− xdx no integral −∫ √

udu que,por ser do tipo de

∫ √xdx, já conseguimos resolver,

−∫ √

udu = −2

3u3/2 + C.

Revertendo agora este resultado em u para a expressão em x correspondente, temos

I = −2

3(1− x)3/2 + C.

A justi�cação do que se fez neste exemplo é a seguinte.

1. Começamos por substituir no integral I a expressãof(x) =√

1− x por√u, com

u = x− 1. Chamemos g(u) à função obtida, isto é, g(u) =√u; note-se que g(u)

é a função f(x) `disfarçada', porque sabemos que se �zermos u = 1 − x em g(u)recuperamos f(x).

2. Trocamos também dx por duu′ . Resulta o integral∫

g(u)du

u′=

∫g(u)

u′du.

3. Resolvendo o integral∫ g(u)

u′ du obtemos∫g(u)

u′du = G(u) + C.


30 5. Técnicas de integração

4. Sabemos, pelo signi�cado do integral inde�nido, que G′(u) = g(u)u′ . Derivando

G(u) em ordem a x, usando a regra da derivada da função composta, temosdG(u)dx = G′(u)u′, sendo G′(u) a derivada de G(u) em ordem a u e u′ a derivada

de u em ordem a x. Por ser G′(u) = g(u)u′ , podemos escrever

dG(u)

dx=g(u)

u′u′ = g(u).

Como g(u) representa f(x), veri�camos que G(u) é uma primitiva de f(x), subs-tituindo u pela expressão em x correspondente.

Exercício 12. Calcular o integral I =∫

5x√

1− x2dx, usando a substituição u = 1− x2.ResoluçãoTemos u′ = du

dx = (1 − x2)′ = −2x ⇔ dx = du−2x . Fazendo a substituição em I para

obtermos um integral na variável u, �ca

I =

∫5x√udu

−2x=

∫5x

−2x

√udu =

∫−5

2

√udu = −5

2

∫ √udu,

cuja solução é

I = −5

2

∫ √udu = −5

2

u32

32

+ C = −5

3(1− x2)

32 + C.

5.2 Primitivação por partes

A técnica de primitivação por partes permite resolver alguns integrais do tipo∫f(x)g(x)dx

(nota:é errado escrever∫f(x)g(x)dx =

∫f(x)dx

∫g(x)dx!!). Para começo, sejam u e v

duas funções de x. Sabemos que

(uv)′ = u′v + uv′.

Integrando ambos os membros desta expressão, obtemos∫(uv)′dx =

∫u′vdx+

∫uv′dx,

que pode ainda ser escrita na forma (porquê?)

uv =

∫u′vdx+

∫uv′dx.

Podemos resolver esta igualdade em ordem a cada um dos integrais, o que dá∫u′vdx = uv −

∫uv′dx (2.4)∫

uv′dx = uv −∫u′vdx. (2.5)

Estas duas fórmulas podem ser usadas para resolver integrais do tipo∫f(x)g(x)dx, iden-

ti�cando f e g com u′ e v, ou com u e v′, e usando o segundo membro da igualdadeescolhida para calcular o integral inicial, esperando que o integral no segundo membro sejamais simples que o integral que pretendemos calcular. Este é, em geral, o propósito destemétodo.


5. Técnicas de integração 31

Exemplo 21. Primitivar por partes os integrais

1.∫xexdx

2.∫exsen(x)dx

3.∫ln(x)dx.

Resolução

1.∫xexdx

Seja u = x, v′ = ex. Estamos a escolher a fórmula (2.5) acima. Para escrevermoso segundo membro precisamos de determinar u′ e v. Temos u′ = 1, v = ex, epodemos escrever ∫

xexdx = xex −∫exdx = xex − ex + C.

Veri�cação: derivando o integral xex− ex +C, obtém-se a função integranda xex

(efectuar!).

2. I =∫exsen(x)dx

Seja u′ = ex, v = sen(x). Estamos a escolher a fórmula (2.4) acima. Paraescrevermos o segundo membro precisamos de determinar u e v′. Temos u =ex, v′ = cos(x), e podemos escrever

I =

∫exsen(x)dx = exsen(x)−

∫excos(x)dx.

O integral que aparece no segundo membro não é mais simples que o integral ini-cial. Mas usamos este exemplo para mostrar a versatilidade do método, calculandotambém por partes este segundo integral. Escolhemos novamente a fórmula (2.4).Seja I1 =

∫excos(x)dx e u′ = ex, v = cos(x). Temos u = ex, v′ = −sen(x).

Usando a fórmula (2.4), temos∫excos(x)dx = excos(x) +

∫exsen(x)dx.

Subsituindo o segundo membro desta expressão na expressão da integral I, temos

I =

∫exsen(x)dx = exsen(x)−

(excos(x) +

∫exsen(x)dx

)=exsen(x)− excos(x)−

∫exsen(x)dx.

Passando o integral do segundo para o primeiro membro, �ca∫exsen(x)dx+

∫exsen(x)dx = exsen(x)− excos(x)

⇔ 2

∫exsen(x)dx = exsen(x)− excos(x)

e por �m ∫exsen(x)dx =

1

2

(exsen(x)− excos(x)

)+ C.


32 6. Integrais impróprios

Veri�cação: derivando o integral 12

(exsen(x)− excos(x)

), obtém-se a função in-

tegranda exsen(x) (efectuar!).

3.∫ln(x)dx

Como ln(x) = 1.ln(x), podemos fazer u′ = 1, v = ln(x). Estamos a escolher a fór-mula (2.4) acima. Para escrevermos o segundo membro precisamos de determinaru e v′. Temos u = x, v′ = 1

x , e podemos escrever∫ln(x)dx = x ln(x)−

∫x

1

xdx = x ln(x)−

∫1dx = x ln(x)− x+ C.

Veri�cação: derivando o integral x ln(x) − x + C, obtém-se a função integrandaln(x) (efectuar!).

5.3 Integrais que não são funções elementares

Há funções cujo integral não corresponde a uma função elementar, i.e., não se pode escrevercomo um número �nito de somas, subtracções, multiplicações, ou divisões, sobre funçõespolinomiais, funções exponenciais, funções logarítmicas, ou funções trigonométricas, direc-tas e inversas. Isto signi�ca que não conseguimos integrar funções deste tipo, nem porsubstituição nem por partes, por muito que tentemos fazê-lo com êxito. Alguns exemplosde integrais deste tipo são∫

sen(x2)dx,

∫cos(x2)dx,

∫1

ln(x)dx,

∫e−x

2/2dx,

∫ln(ln(x))dx,

∫ex

xdx.

6 Integrais impróprios

Consideremos o problema de calcular a área da região delimitada pelo grá�co da funçãof(x) = 1/x2 e o eixo das abcissas, no intervalo [1, b], com b ≥ 1 (�gura 36). Obtém-se∫ b

11/x2dx = −1/x

∣∣∣b1

= −1/b+ 1.

Se b = 2, por exemplo, o valor da área é −1/2 + 1 = 1/2, se b = 5 o valor da área é−1/5 + 1 = 4/5 , etc.

Figura 36Figura 37

Tem interesse averiguar como evolui o valor da área se formos aumentando b. Em particu-lar, será �nita ou in�nita a área obtida quando b tende para +∞? A região correspondenteestá sombreada na �gura 37 e o seu valor é dado pelo limite

limb→+∞

∫ b

11/x2dx = lim

b→+∞

(−1/b+ 1

)= 1.


6. Integrais impróprios 33

Este resultado é curioso porque signi�ca que a região de�nida pelo grá�co da função e oeixo dos xx, no intervalo [1,+∞[, apesar de ilimitada, tem área �nita. Podemos expressaro integral e a operação de limite na forma mais compacta∫ +∞

11/x2dx

que signi�ca

limb→+∞

∫ b

11/x2dx.

Este é um exemplo de um integral impróprio de 1a espécie. Vale a seguinte de�nição.

Um integral∫ ba f(x)dx diz-se integral impróprio de 1a

espécie, se b = +∞, ou a = −∞, ou ambas.

Figura 38 Figura 39

Consideremos agora o problema de calcular a área da região delimitada pelo grá�co dafunção f(x) = 1/x2 e o eixo das abcissas, no intervalo [−1, 1] (�gura 38). Se para talusarmos `despreocupadamente' um integral de�nido, como �zemos em exemplos anteriores,obtemos ∫ 1

−11/x2dx = −1/x

∣∣∣1−1

= −1/1− (−1/(−1)) = −1− 1 = −2.

Mas este não é o resultado que esperávamos, uma vez que a região envolvida não tem par-tes abaixo do eixo das abcissas, o que signi�ca que o valor do integral deveria ser positivo.O problema com este resultado, que utiliza o teorema fundamental do cálculo (teorema8, pg. 28), é que este teorema supõe que a função integranda é limitada no intervalo deintegração, o que não acontece com a função 1/x2 no intervalo [−1, 1], dado que esta funçãotem uma assíntota vertical no ponto x = 0.

Como calcular o valor duma área numa situação deste tipo? Uma forma de o fazer estásugerida na �gura 39. Vamos calcular a área respeitante ao intervalo [0, 1] e depois, dado afunção ser par, multiplicar por 2 o valor da área obtido. Como o ponto x = 0 é um pontoem que a função é ilimitada, em vez de calcularmos a integral

∫ 10 1/x2dx, calculamos a

integral∫ 1b 1/x2dx, sendo que b é um valor um pouco maior que zero:∫ 1

b1/x2dx = −1/x

∣∣∣1b

= −1 + 1/b.


34 6. Integrais impróprios

Agora fazemos b tender para zero:

limb→0+

∫ 1

b1/x2dx = lim

b→0+

(−1 + 1/b

)= +∞.

Veri�camos que a área tem um valor in�nito positivo, o que é bem diferente de ter ovalor negativo obtido acima. Um integral em que a função é ilimitada em algum pontodo intervalo de integração, diz-se integral impróprio de 2a espécie. Valem as seguintesde�nições.


espécie, se f(x) é ilimitada em algum ponto do intervalo

[a, b].


espécie, se é simultaneamente de 1a espécie e de 2a

espécie.

Exercício 13. Calcular o integral∫ 1

01√xdx.

ResoluçãoO integral é de 2a espécie, uma vez que 1√

xé ilimitada no ponto x = 0. Temos∫ 1

0

1√xdx = lim

b→0+

∫ 1

bx−1/2dx = lim

b→0+

(2x1/2

) ∣∣∣1b

= limb→0+

(2− 2b1/2

)= 2.


Capítulo 3

Funções reais de duas variáveis reais

1 Introdução

Até agora estudámos funções com uma só variável independente, y = f(x). Neste capítulovamos estudar funções de duas variáveis independentes, z = f(x, y).

Exemplo: função de produção de Cobb-Douglas. Uma função de produção é umafunção de duas variáveis independentes,

Q = f(L,K),

usada como modelo matemático para a quantidade máxima de produto Q obtida numcerto processo produtivo, com os factores de produção L, respeitante à quantidade de mãode obra (trabalho pago no processo de produção) e K, respeitante ao capital (edifícios,ferramentas, maquinaria, etc), usando uma dada tecnologia e respeitante a um período detempo especí�co. Há vários tipos de funções de produção, sendo um deles a função deprodução de Cobb-Douglas, que é da forma

Q = ALαKβ,

sendo A > 0, α > 0 e β > 0 constantes determinadas pela tecnologia utilizada. Se for,por exemplo, Q = 50L0.2K0.5, veri�ca-se que duplicando a quantidade de mão de obrae o capital investido não se duplica a produtividade, dado que Q = 50(2L)0.2(2K)0.5 =(2)0.750L0.2K0.5 < 2 × 50L0.2K0.5. Isto acontece porque temos α + β < 1, caso qem quese diz que a função de produção tem retornos decrescentes de escala (se α + β = 1 diz-seque a função de produção tem retornos constantes de escala, e se α + β > 1 diz-se que afunção de produção tem retornos crescentes de escala).

2 Sequências de pontos no plano

O conjunto de todos os pares ordenados de números reais, (x, y), representa-se por R2:

R2 = {(x; y) : x, y ∈ R}.

Exemplos de elementos de R2, são (√

2, 1), (0, 0) e (−2/3, π). A cada ponto do plano xy,corresponde um par ordenado de números reais (a, b), pertencente a R2, dizendo-se a e b ascoordenadas do ponto. No seguimento, por simplicidade, referimo-nos aos pares ordenadosde números reais por `pontos'.

35

36 3. Limites de funções. Funções contínuas

Uma sequência de pontos no plano corresponde a uma in�nidade ordenada de pares denúmeros reais

(x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn), · · ·

sendo (xn, yn), o termo geral da sequência, um par de expressões na variável n. Substituindon por um número inteiro positivo, k, obtém-se o termo de ordem k da sequência. O conjuntoordenado formado por todos os termos da sequência representa-se por

((xn, yn)

).

Exemplo 22. Na �gura 40 estão representados os primeiros três termos da sequência determo geral (xn, yn) = (1/n, 0):

(1, 0), (1/2, 0), (1/3, 0), · · · .

Figura 40: Alguns pontos da sequência(xn, yn) = (1/n, 0).

Figura 41: Uma sequência de pontos do plano,((xn, yn)

), pode convergir para um ponto segundo va-

riadas trajectórias.

É imediato veri�car que se �zermos n→∞ os pontos marcados se aproximam da origemdo referencial (0, 0), situando-se a uma distância deste que tende para zero. Escrevemos

limn→∞

(1/n, 0) = (0, 0).


O ponto (a, b) é o limite da sequência (xn, yn) quando ntende para infinito, e escreve-se

limn→∞

(xn, yn) = (a, b),

se, e somente se, limn→∞

xn = a e limn→∞

yn = b.

No caso das sequências de números reais convergentes, (un), os seus pontos situam-se sobrea recta real em torno do ponto limite da sequência. Já os termos das sequências conver-gentes de pontos no plano,

((xn, yn)

), podem aproximar-se do ponto do limite segundo

in�nitas direcções (�gura 41).

3 Limites de funções. Funções contínuas

Dada uma função real de variáveis reais f(x, y), de�ne-se o seu domínio natural como oconjunto de todos os pares ordenados de números reais, (x, y), para os quais a função estáde�nida. O conjunto das imagens de todos os pontos do domínio, via f(x, y), designa-sepor imagem da função.

Capítulo 3. Funções reais de duas variáveis reais Mário Abrantes

3. Limites de funções. Funções contínuas 37

Exemplo 23. O domínio natural da função f(x, y) =√x− y é o conjuto de todos os

pontos (x, y), tais que x − y ≥ 0, ou x ≥ y (porquê?). O ponto (−2, 1) não pertence aodomínio da função. A imagem da função é R+

0 (porquê?).

Diz-se que o limite de uma função f(x, y) no ponto (a, b) é L, e escreve-se

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L,

se a sequência de valores da função(f(xn, yn)

)tende para o número real L, qualquer que

seja a sequência de pontos (xn, yn)→ (a, b) considerada.

Na �gura 42 está representada a função

f(x, y) =

{0, x, y > 0

1, noutros casos

Esta função toma o valor 1 em todos os pontos do plano xy, excepto nos pontos do primeirooctante, nos quais toma o valor 0.

Figura 42

Podemos veri�car que não existe o

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

Se este limite existisse, teria que ser independente da sequência de pontos (xn, yn)→ (0, 0)escolhida. Acontece que se escolhermos uma sequência de pontos situados sobre o eixo dosxx, convergente para (0, 0), seja (xn, yn) = (1/n, 0) o seu termo geral, temos

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 1,

já que a função toma o valor 1 para todos os pontos desta sequência. No entanto, seescolhermos uma sequência de pontos situados sobre a recta y = x, convergente para(0, 0), seja (xn, yn) = (1/n, 1/n) o seu termo geral, temos

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0,

já que a função toma o valor 0 em todos os pontos desta sequência. Vale a seguintede�nição.


38 4. Representação gráfica de funções no espaço

Dizemos que uma função f(x, y) é contínua no ponto (a, b) do

seu domínio se, e somente se, para todas as sequências de

pontos do domínio de f(x, y), convergentes para (a, b), se

tem

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = f(a, b).

Esta de�nição implica que, para que uma função f(x, y) seja contínua num ponto (a, b) doseu domíno, não só deve existir o lim

(x,y)→(a,b)f(x, y), como o valor deste limite deve ser igual

a f(a, b).

Figura 43

A função f(x, y) representada na �gura 42, não é contínua no ponto (0, 0) porque, comose viu antes, não existe o lim

(x,y)→(0,0)f(x, y). Já a função f(x, y) representada na �gura 43,

não é contínua no ponto (0, 0) porque, apesar de existir o lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 1, este não é

igual ao valor da função no ponto (0, 0), que é f(0, 0) = 3.

4 Representação grá�ca de funções no espaço

A representação grá�ca de funções de duas variáveis, z = f(x, y), requer um referencialcom três eixos que não estejam contidos no mesmo plano. Como dispomos apenas deuma folha de papel ou de um écran de computador (ambos bidimensionais), o melhor quepodemos fazer é simular profundidade visual nas �guras obtidas (�guras 44, 45). O sistemade referência xyz divide o espaço em 8 partes (�gura 45), sendo cada uma delas designadapor octante. O octante correspondente a x, y, x > 0 costuma designar-se por primeiro

octante, não tendo os restantes octantes designações especiais.

Figura 44

Figura 45


4. Representação gráfica de funções no espaço 39

Seguem-se alguns exemplos de superfícies e curvas no espaço.

1. Representação de um ponto no espaço (de coordenadas (x, y, z) = (1, 1, 2)).

Figura 46: Ponto de coordenadas(x, y, z) = (1, 1, 2).

Figura 47: Projecção do ponto de coordenadas(x, y, z) = (1, 1, 2) no plano xy.

2. Representação de um plano no espaço.

A equação geral do plano é

ax+ by + cz = d,

sendo a, b, c, d constantes.Nas �guras 48 e 49 estão representados os planos de equações x = 3 (resulta daequação geral fazendo a = 1, b = c = 0, d = 3) e z = 3 (resulta da equação geralfazendo a = b = 0, c = 1, d = 3). O plano x = 3 contém todos os pontos doespaço da forma (3, y, z). O plano z = 3 contém todos os pontos do espaço daforma (x, y, 3).

Figura 48: Plano de equação x = 3.

Figura 49: Plano de equação z = 3.

A �gura 50 contém a parte do plano 2x+ y + 2z = 2 que se situa no 1o octante.Podemos determinar os pontos em que o plano intersecta os eixo coordenados.Fazendo na equação x = y = 0 obtemos z = 1, que correspondem às coordenadasdo ponto (x, y, z) = (0, 0, 1) de intersecção do plano com o eixo dos zz. Analoga-mente, fazendo na equação x = z = 0 determina-se o ponto de intersecção do planocom o eixo dos yy, (x, y, z) = (0, 2, 0); fazendo na equação y = z = 0 determina-seo ponto de intersecção do plano com o eixo dos xx, (x, y, z) = (1, 0, 0).


40 4. Representação gráfica de funções no espaço

Figura 50: Plano de equação 2x+ y + 2z = 2.

3. Representação de uma esfera no espaço.

A equação geral de uma esfera no espaço, de centro no ponto (a, b, c) e raio r, é

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2,

sendo a, b, c números reais.

Figura 51: Esfera de equação x2 + y2 + z2 = 4.Figura 52: Esfera de equação x2+y2+z2 = 4 e planode equação z = 1.

Na �gura 51 está representada uma esfera de centro na origem do referencial xyze raio 2. Na �gura 52 representa-se a intersecção da esfera x2 + y2 + z2 = 4com o plano z = 1. Os pontos comuns a estas duas superfícies são aqueles cujascoordenadas x, y, z satisfazem ambas as equações{

x2 + y2 + z2 = 4

z = 1,

e correspondem à circunferência representada na �gura. Substituindo z por 1 naequação da esfera obtemos

x2 + y2 + 12 = 4⇔ x2 + y2 = 3,

que representa a projecção dos pontos da circunferência, de raio√

3, no plano xy.Os pontos da circunferência satisfazem o sistema de equações{

x2 + y2 = 3

z = 1.

4. Representação de um elipsóide no espaço.

A equação geral de um elipsóide de centro na origem é

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1,


4. Representação gráfica de funções no espaço 41

sendo a, b, c números reais positivos (�gura 53).

Figura 53: 1

Uma esfera é um caso particular de elipsóide. Por exemplo, a esfera de centrona origem e raio r é um caso particular do elipsóide em que a = b = c = r. Aequação geral de um elipsóide de centro no ponto (u, v, w) é

(x− u)2

a2+

(y − v)2

b2+

(z − w)2

c2= 1.

5. Representação de um cilindro de secção circular no espaço.

Na �gura 54 está representada a intersecção de um cilindro de secção circularx2 + z2 = r2 com o plano y = 1, de que resulta a circunferência na �gura 55{

x2 + z2 = r2

y = 1.

Figura 54: Cilindro de equação x2 + z2 = r2

e plano de equação y = 1.

Figura 55: Intersecção do cilindro e do plano da �guraanterior.

A equação do cilindro não envolve a variàvel y, o que signi�ca que se variarmos acoordenada y de um ponto sobre o cilindro (deslocação paralela ao eixo dos yy),as coordenadas x, z não alteram os seus valores.

6. Representação de um cone de secção circular no espaço.

Na �gura 56 está representado o cone de secção circular z =√x2 + y2. Apenas

pontos com coordenada z não negativa podem satisfazer a equação, razão pelaqual o grá�co está `acima' do plano xy, à excepção do ponto (0, 0, 0).

1https://brilliant.org/problems/a-charged-ellipsoid/.


42 5. Curvas de nível

Figura 56: Cone de equação z =√

x2 + y2. 2

Figura 57: Duplo cone de equação z2 = x2 + y2.

Na �gura 57 está representado o duplo cone de secção circular z2 = x2 + y2. Notar queesta equação representa implicitamente as duas superfícies z = ±

√x2 + y2.

5 Curvas de nível

Curvas de nível de uma superfície z = f(x, y), são curvas no plano xy, cada uma delascorrespondendo à projecção neste plano de curvas sobre a superfície cujos pontos têm amesma coordenada z.

Figura 58: Esquerda: curvas de nível da semiesfera de equação z =√

4− x2 − y2. Direita: semiesfera deequação z =

√4− x2 − y2.

Como exemplo temos representadas na �gura 58, à esquerda, algumas curvas de nível dasemiesfera z =

√4− x2 − y2, representada na parte direita da �gura. Sobre a semiesfera

encontram-se as circunferências que resultam da sua intersecção com vários planos do tipoz = k. São as projecções destas circunferências no plano xy que correspondem às curvasde nível da semiesfera. Formalmente obtemos estas curvas fazendo z = k na fórmula dasemiesfera

k =√

4− x2 − y2,

2http://www.okclipart.com/Math-Clip-Art-Cone30clxtprwg/


6. Derivadas parciais 43

e veri�cando que se obtém a equação

x2 + y2 = 4− k2,

que representa uma família de circunferências de centro na origem e raio√

4− k2, sendo0 ≤ k ≤ 2 um parâmetro real. As curvas de nível são uma forma de representar umasuperfície z = f(x, y) num referencial bidimensional xy.

6 Derivadas parciais

Na �gura 59 está representada a intersecção do parabolóide circular z = 4− x2 − y2 como plano x = 1.

Figura 59: Parabolóide circular de equação z = 4− x2 − y2 e plano de equação x = 1.

Da intersecção do parabolóide e do plano, resulta a parábola representada nas �guras �gura59 e 60, {

z = 4− x2 − y2

x = 1

Todos os pontos (x, y, z) desta parábola são da forma (1, y, z), uma vez que se encontramno plano x = 1.

Figura 60: Intersecção do parabolóidez = 4− x2 − y2 com o plano x = 1.

Figura 61: Projecção no plano xy da curva da �guraanterior.

Podemos localizar o ponto (1, x, y) no qual a parábola atinge o valor máximo, escrevendoa expressão de z em função de y{

z = 4− x2 − y2

x = 1⇒ z = 4− 12 − y2 ⇔ z = 3− y2,


44 6. Derivadas parciais

e calculando depois o extremo da função. Da derivada

dz

dy= (3− y2)

′y = −2y, (3.1)

obtemos o ponto crítico y = 0, no qual a curva tem ummáximo local de valor z = 3. No casode o plano que intersecta o parabolóide ser x = k, com k diferente de 1, o procedimentopara determinar o máximo da parábola resultante seria o mesmo. Salientamos que nocálculo da derivada apresentado na expressão (3.1), a função z(x, y) é derivada em ordema y, tomando-se x como constante. Uma derivada deste tipo diz-se derivada parcial emordem a y. Vale a seguinte de�nição.

Dada uma função f(x, y), designa-se por derivada parcial de

f(x, y) em ordem a y, e representa-se por

fy ou∂f

∂y,

a função que se obtém derivando f(x, y) em ordem à variável

y, considerando x constante:

∂f

∂y= lim

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h.

De forma análoga se de�ne a derivada parcial de uma função z(x, y) em ordem à variávelx. Neste caso �xa-se a variável y, variando apenas x e z. Vale a seguinte de�nição.

Dada uma função f(x, y), designa-se por derivada parcial de

f(x, y) em ordem a x, e representa-se por

fx ou∂f

∂x,

a função que se obtém derivando a expressão f(x, y) em

ordem à variável x, considerando y constante:

∂f

∂x= lim

h→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h.

Na �gura 62 está representada a intersecção do parabolóide circular z = 4−x2− y2 com oplano y = 1. A parábola resultante está representada também nas �guras 63 e 64, dizendoesta última respeito à projecção da parábola no plano xz.

Figura 62



Todos os pontos (x, y, z) desta parábola são da forma (x, 1, z), uma vez que se encontramno plano y = 1.

Figura 63

Figura 64

As derivadas parciais, por representarem derivadas de curvas, fornecem os declives dasrectas situadas nos planos de intersecção envolvidos e tangentes às curvas nos pontos ondesão calculadas. Dada uma função f(x, y):

1. A derivada parcial em ordem a x, fx, calculada no ponto (x0, y0), também se dizderivada parcial de f(x, y) na direcção do eixo dos xx, no ponto (x0, y0);

2. A derivada parcial em ordem a y, fy, calculada no ponto (x0, y0), também se dizderivada parcial de f(x, y) na direcção do eixo dos yy, no ponto (x0, y0).

As derivadas parciais dão-nos informação sobre a variação das funções f(x, y) nas direcçõescorrespondentes.

Exercício 14. Caracterizar a variação da função z = 4− x2 − y2 no ponto (x, y) = (1, 1),na direcção do eixo dos xx (�gura 62).ResoluçãoCalcula-se a derivada parcial da função em ordem a x:

zx = (4− x2 − y2)′x = −2x.

Depois determina-se o valor desta derivada no ponto (x, y) = (1, 1):

zx(1, 1) = −2 < 0.

Como a derivada é negativa a função é decrescente no ponto (x, y) = (1, 1), na direcção doeixo dos xx. Podemos veri�car que a projecção no plano xz da recta tangente à curva queresulta da intersecção do parabolóide e do plano y = 1 (�gura 62) tem declive negativo.


46 6. Derivadas parciais

Exemplo 24. Cálculo de algumas derivadas parciais.

1. z = 2xy − 3x+ 4y + 5x2y zx = (2xy − 3x+ 4y + 5x2y)′x

= (2xy)′x − (3x)

′x + (4y)

′x + (5x2y)

′x = 2y − 3 + 0 + 10xy

= 2y − 3 + 10xy

2. z = 2e3x+4y zy = (2e3x+4y)′y = 2(3x+ 4y)

′ye

3x+4y = 8e3x+4y

3. z = ln(3x+ 4y) zy = (ln(3x+ 4y))′y =

(3x+ 4y)′y

3x+ 4y=

4

3x+ 4y

4. z =2x

y + y2zx =

(2x

y + y2

)′x

=1

y + y2(2x)

′x =

2

y + y2

5. z = sen(xy) zx = (sen(xy))′x = (xy)

′xcos(xy) = ycos(xy)

6. z = y 3√

2x− 6y zy =(y 3√

2x− 6y)′y

= (y)′

y3√

2x− 6y + y(

3√

2x− 6y)′y

= 3√

2x− 6y + y1

3(2x− 6y)

′y(2x− 6y)−2/3

= 3√

2x− 6y − 2y(2x− 6y)−2/3

6.1 Derivadas parciais de segunda ordem

As derivadas parciais de segunda ordem de uma função f(x, y), representam-se por:

fxx ou ∂2f/∂x2 derivada parcial de segunda ordem, em ordem à variável x;

fyy ou ∂2f/∂y2 derivada parcial de segunda ordem, em ordem à variável y;

fxy ou ∂2f/∂y∂x

e

fyx ou ∂2f/∂x∂y derivadas de segunda ordem cruzadas, ou mistas.

Exemplo 25. Determinar as derivadas de segunda ordem da função z = 2xy2 − 3x2y.Resolução

Derivadas de 1a ordem

zx = (2xy2 − 3x2y)′x = 2y2 − 6xy zy = (2xy2 − 3x2y)

′y = 4xy − 3x2

Derivadas de 2a ordem

zxx = (zx)′x = (2y2 − 6xy)

′x = −6y zyy = (zy)

′y = (4xy − 3x2)

′y = 4x

zxy = (zx)′y = (2y2 − 6xy)

′y = 4y − 6x zyx = (zy)

′x = (4xy − 3x2)

′x = 4y − 6x

Neste exemplo veri�ca-se zxy = zyx. Esta igualdade não acontece por acaso, como indicao seguinte resultado.

Teorema 9. (de Schwarz) Dada uma função f(x, y), se fxy e fyx são contínuas numaregião aberta3 do plano, então fxy = fyx em todos os pontos dessa região.

3Todo o ponto de uma região G do plano, pertencente a um círculo contido nessa região, se diz ponto

interior de G. Região aberta do plano, é uma porção do plano tal que todos os seus pontos são pontosinteriores � por exemplo, um círculo ao qual é retirada a circunferência, que é a sua fronteira.



6.2 Derivação da função composta (regra da cadeia)

Dada uma função f(x, y), consideremos o caso em que as variáveis x e y representam duasfunções da variável t, por exemplo

f(x, y) = 2x+ 3y

x = 5t

y = 4t2 + 1

.

Querendo conhecer df/dt, podemos substituir as expressões em t para x e y na expressãode f(x, y), obtendo uma expressão em t para f(x, y), e em seguida derivar em ordem a t aexpressão resultante. No caso do exemplo acima obtemos

f(x, y) = 2(5t) + 3(4t2 + 1) = 12t2 + 10t+ 3

df/dt = (12t2 + 10t+ 3)′ = 24t+ 10.

Pode porém calcular-se esta derivada sem a obtenção prévia da expressão em t para afunção f(x, y), usando a regra de derivação da função composta, enunciada a seguir.

Teorema 10. Se x(t) e y(t) são funções deriváveis e se f(x, y) tem derivadas de 1a ordemcontínuas no ponto (x(t), y(t)), então

df

dt=dx

dt

∂f

∂x+dy

dt

∂f

∂y. (3.2)

Apliquemos este resultado às funções apresentadas acima. Começamos por calcular asderivadas do segundo membro da fórmula (3.2).

dx/dt = 5; dy/dt = 8t; ∂f/∂x = 2; ∂f/∂y = 3.

Substituindo estas expressões na fórmula (3.2), con�rmamos o resultado obtido acima paradf/dt

df

dt=dx

dt

∂f

∂x+dy

dt

∂f

∂y⇔ df

dt= 5× 2 + 8t× 3 = 24t+ 10.

A regra da cadeia pode ser estendida ao caso em que x e y dependem de várias variáveis.Por exemplo, se x e y dependem das variáveis u, v,

f(x, y)

x(u, v)

y(u, v)

,

temos

∂f

∂u=∂x

∂u

∂f

∂x+∂y

du

∂f

∂y(3.3)

∂f

∂v=∂x

∂v

∂f

∂x+∂y

∂v

∂f

∂y(3.4)

Exemplo 26. Utilizar a regra da cadeia para obter a derivada parcial de 1a ordem ∂f/∂v,sendo

f = ln(xy)

x = 2u− 3v

y = uv

.


48 7. Problemas de optimização

ResoluçãoComeçamos por determinar as derivadas do segundo membro da fórmula (3.4),

∂x/∂v = −3 ∂y/∂v = u ∂f/∂x =1

x∂f/∂y =

1

y.

Substituindo estas derivadas na fórmula (3.4) obtemos

∂f

∂v=∂x

∂v

∂f

∂x+∂y

∂v

∂f

∂y⇔ ∂f

∂v=−3

x+u

y.

Como queremos determinar ∂f/∂v, estamos interessados numa expressão nas variáveis u, v.Para a obtermos basta substituir x, y pelas correspondentes expressões em u, v

∂f

∂v=−3

x+u

y=

−3

2u− 3v+

u

uv=

−3

2u− 3v+

1

v.

7 Problemas de optimização

O cálculo de extremos relativos de funções reais de duas variáveis, f(x, y), faz-se por umprocesso semelhante ao que vimos para o caso de funções reais de uma variável, f(x). Nográ�co da �gura 65 estão indicados alguns pontos (x, y, z) de extremo da função respectiva.

Figura 65

Valem as seguintes de�nições.

Uma função f(x, y) tem um máximo relativo [mínimo relativo]

no ponto (a, b) do seu domínio, sse existe um círculo

centrado em (a, b) tal que, para todos os pontos interiores

(x, y) do círculo se tem

f(a, b) ≥ f(x, y)[f(a, b) ≤ f(x, y)

].


7. Problemas de optimização 49

Uma função f(x, y) tem um máximo absoluto [mínimo absoluto]

no ponto (a, b) do seu domínio, sse para todos os pontos

(x, y) do domínio da função se tem

f(a, b) ≥ f(x, y)[f(a, b) ≤ f(x, y)

].

Basta uma função ser contínua num conjunto fechado (i.e., um conjunto que contém todosos seus pontos de fronteira) e limitado, para ter aí extremos absolutos.

Teorema 11. Se f(x, y) é contínua no conjunto fechado e limitado S ⊂ R2, então f(x, y)tem máximo e mínimo absolutos em S.

Na �gura 65 estão representadas duas rectas tangentes à função f(x, y) em dois dos seuspontos de extremo. Para cada caso, uma das rectas tem os seus pontos com coordenada xconstante (é paralela ao plano zy) e a outra tem os seus pontos com coordenada y constante(é paralela ao plano zx). Ambas são paralelas ao plano xy. O declive da primeira representaa derivada parcial fy, sendo fx o declive da segunda. Sendo as rectas paralelas ao planoxy, ambas as derivadas parciais são nulas. Vale o seguinte teorema.

Teorema 12. Se f(x, y) tiver um extremo relativo no ponto (x, y) = (a, b) e se as derivadasparciais de primeira ordem fx, fy existirem nesse ponto, então fx(a, b) = fy(a, b).

De�ne-se ponto crítico de uma função f(x, y) da seguinte forma.

O ponto (a, b) do domínio de f(x, y) diz-se ponto crítico da

função f(x, y), sse fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0, ou se alguma

das derivadas parciais fx(a, b), fy(a, b) não existe.

Os pontos críticos são pontos onde a função contínua pode ter, eventualmente, extremos.

Exemplo 27. Cálculo dos pontos críticos do parabolóide z = 4− x2 − y2 (�g 62, pg. 44).∂z∂x = 0

∂z∂y = 0

⇔

(4− x2 − y2

)′x

= 0(4− x2 − y2

)′y

= 0

⇔

−2x = 0

−2y = 0⇔

x = 0

y = 0

Obtemos o ponto crítico (x, y) = (0, 0).

Exemplo 28. Cálculo dos pontos críticos do cone z =√x2 + y2 (�g 56, pg. 42).

∂z∂x = 0

∂z∂y = 0

⇔

(√

x2 + y2)′x

= 0(√x2 + y2

)′y

= 0

⇔

x√x2+y2

= 0

y√x2+y2

= 0

Para que se veri�quem as duas equações, deve ser x = y = 0. Mas no ponto (x, y) = (0, 0)nenhuma das duas derivadas parciais está de�nida (porquê?). Obtemos o ponto crítico(x, y) = (0, 0).

7.1 Classi�cação dos pontos críticos

Uma vez determinados os pontos críticos de uma função f(x, y), devemos classi�cá-los,i.e., veri�car se são pontos de máximo ou mínimo relativos, ou se são pontos de sela �pontos em que ambas as derivadas parciais são nulas, mas que não são pontos de extremoda função (�gura 66).


50 7. Problemas de optimização

Figura 66: O ponto (a, b) marcado na �gura não é ponto de extremo da função, apesar de se ter fx(a, b) =fy(a, b) = 0.

A classi�cação dos pontos críticos, no caso em que as derivadas de primeira e segundaordem no ponto existem e são contínuas, é feita usando o seguinte resultado.

Teorema 13. Se f(x, y) tiver derivadas de segunda ordem contínuas nos pontos de umcírculo centrado no ponto crítico (a, b), considerando o discriminante

D(x, y) = fxxfyy − f2xy,

veri�ca-se que:

1. Se D(a, b) > 0 e fxx < 0, então (a, b) é ponto de máximo relativo da função;

2. Se D(a, b) > 0 e fxx > 0, então (a, b) é ponto de mínimo relativo da função;

3. Se D(a, b) < 0, então (a, b) é ponto de sela da função;

4. Se D(a, b) = 0, nada se pode concluir.

Exemplo 29. Vamos classi�car o ponto crítico obtido no exemplo 27, pg. 49. Temos

zxx = (−2x)x = −2 zyy = (−2y)y = −2 zxy = (−2x)y = 0,

e

D(x, y) = (−2)(−2)− 0 = 4 D(0, 0) = 4 > 0 zxx(0, 0) = −2 < 0.

Por ser D(0, 0) > 0 e zxx(0, 0) < 0, o ponto é um ponto de máximo local, o que con�rmaa informação que se retira da �gura 62, pg. 44.


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Conteúdo - ipb.ptmar/MatematicaIIGestao2017.18/ApontamentosMatII2018.pdf · 4.1Limite do quociente - regra de L'Hôpital O resultado seguinte, conhecido por grera de l'Hôpital 1,