Sistemas de controle digital SINTONIZAÇÃO DO CONTROLADOR PID NO DOMÍNIO Z

Gabriel Goulart Cintra 090950106

São João Del Rei

Junho de 2014

1. Introdução

O PID (Proporcional-Integral-Derivativo) é o algoritmo de controle mais usado

nas indústrias e nos estudos acadêmicos devido a sua simplicidade de ajustes e seu

bom desempenho. O PID possuí um desempenho robusto o que o torna mais popular

nos ambientes de controle e automação. (Explicando a Teoria PID, 2011)

O PID é constituído de três componentes, como o nome já sugere: controle

proporcional, integral e derivativo. O controle pode ser aplicado com apenas um ou

dois componentes descritos, eventualmente usa-se controlador Proporcional (P),

controlador proporcional-integral (PI), proporcional-derivativo (PD), mas, usualmente

usam-se as três ações em comum, pois cada uma delas interfere diretamente em um

parâmetro específico da planta controlada.

A maioria dos sistemas de controle atual são projetados e implantados através

de computadores e microcontroladores, sendo de grande importância o conhecimento

dos sistemas digitais, ou seja, o conhecimento e domínio das ferramentas

matemáticas que descrevem os sistemas digitais. A transformada Z é uma dessas

ferramentas que nos auxiliam na implantação de controladores no domínio discreto

(digital).

Este trabalho propõe a aplicação do controlador PID em uma planta cujos

parâmetros não são satisfatórios. O controlador PID e a planta são modelados no

domínio discreto (domínio Z).

2. Revisão Bibliográfica

2.1 Entradas

Os controladores, PID ou outros, sempre são utilizados para melhorar os

parâmetros do sistema original, segundo critérios pré-estabelecidos pelo operador que

deseja controlar sua planta. As plantas são testadas através de entradas já

conhecidas matematicamente e seus parâmetros são calculados devido à sua saída

em função da sua entrada (já conhecida). As entradas utilizadas para testar e extrair

os parâmetros de uma planta são:

Degrau unitário: Devido a ser um sinal com variação brusca de

amplitude, este sinal é vastamente utilizado para representar a

mudança mais brusca que uma planta real pode sofrer. Se o sistema

estabilizar devido a essa entrada, todos os sinais aplicados não

afetarão a estabilidade do sistema.

Rampa unitária: É um sinal que melhor descreve as alterações físicas

que um sistema real sofrerá, tais como temperatura, pressão,

velocidade e etc, pois ela cresce linearmente com o tempo.

Outras entradas também são utilizadas, por serem padrões de muitos

sinais já conhecidos: Senoides, Parábola e etc.

2.2 Parâmetros

Os parâmetros estudados para ser melhorados em um processo de controle

são analisados em regime permanente e em regime transitório, e eles são descritos

abaixo:

Erro em regime permanente: É o erro devido à entrada degrau (erro de

posição), erro devido à rampa (erro de velocidade) e o erro devido à

entrada parábola (erro de aceleração). O objetivo do controlador PID é

evitar esses erros, levando a saída até o setup estabelecido.

Erro em regime transitório (Martins, 2014):

o Tempo de atraso (td): tempo necessário para que o sistema atinja 50%

do seu valor final

o Tempo de pico (tp): tempo necessário para que o sistema atinja o

máximo valor de pico.

o Máximo valor de pico(Mp): é definido em porcentagem e é quantos por

cento o sinal passou na sua referência (set point):

o Tempo de acomodação: tempo necessário para que a resposta d

controle atinja 98% de seu valor final.

2.3 Transformada Z (Martins, 2014)

É uma ferramenta matemática comumente utilizada para análise de sistema de

tempo discreto. Análogo à transformada de Laplace no tempo contínuo, a resposta de

um sistema discreto linear pode ser obtida utilizando a transformada Z.

E.D.O Laplace Equações algébricas em S

E.D Z Equações algébricas em Z

A transformada Z de X[k] é definida como:

O resultado da transformada Z é uma série de potências que frequentemente pode ser

reescrita por uma forma fechada em alguma região de convergência.

2.4 Hold de ordem zero (Martins, 2014)

Sistemas de controle de tempo discreto geralmente operam parcialmente em

tempo discreto e parcialmente em tempo contínuo. Seguradores geram um sinal

contínuo x(t) de um sinal discreto x(kt), que reproduz aproximadamente o sinal

amostrado.

Hold de ordem zero (ZOH) é um circuito que segura as amplitudes das

amostras em um instante de tempo até o próximo múltiplo inteiro de Ts (período de

amostragem).

Figura 1 – Hold de ordem zero – sinal amostrado Sinal com Hold zero Sinal contínuo

Matematicamente:

0≤ t ≤ Ts

Assumindo x(t) = 0 para t<0, o sinal obtido pelo hold de ordem zerto pode ser escrito

por:

Sendo u(t) o degrau unitário. Aplicando a transformada de Laplace:

Portanto, a função de transferência de um hold de ordem zero é:

3. Metodologia

O controlador PID foi aplicado a uma planta Gp (Ogata, 1995) com diferentes

valores de kp, ki e kd (ganhos proporcional, integral e derivativos, respectivamente) e

os dados foram analisados ao final. A planta pode ser representada pelo diagrama de

blocos mostrado abaixo:

Figura 2 – Planta sem o controlador PID

Onde:

Para transformar Gp(s) para o domínio Z é utilizado o hold de ordem zero em cascata

com a planta e o tempo de amostragem de Ts=1s. A função de transferência de malha

aberta para este sistema no domínio Z é dada por:

Manipulando a equação, chegou-se na seguinte função de transferência em malha

aberta:

A função de transferência de malha fechada é dada por:

Para testar os parâmetros de desempenho na planta, aplica-se o degrau unitário a

função de transferência de malha fechada através da função stepz do programa

MATLAB e é obtida a seguinte figura:

Figura 3 – Resposta ao degrau unitário da planta sem o controlador PID

Observa-se que a planta possui um sobressinal elevado e um tempo de

acomodação muito grande, o que não é desejável para processos de controle em

plantas reais, com isso, é necessário o uso do controlador PID.

Inserindo o controlador PID em cascata com a planta, temos a seguinte

representação em diagramas de blocos:

Figura 4 – Planta com o controlador PID

O controlador PID no domínio Z é representado por:

4. Resultados

Foram aplicados 4 combinações diferentes das constantes do PID(Z) para

melhorar a resposta ao impulso unitário da planta proposta através da metodologia de

tentativa e erro.Os resultados obtidos são mostrado a seguir, nas figuras de 5 à 8.

Figura 5 – Resposta ao impulso unitário para kp=0.8, kd=0.5 e ki=0

Figura 6 - Resposta ao impulso unitário para kp=0.8, kd=0.5 e ki=0.2

Figura 7 - Resposta ao impulso unitário para kp=0.5, kd=0.5 e ki=0

Figura 8 - Resposta ao impulso unitário para kp=0.5, kd=0.5 e ki=0.2

Comparando as figuras de 5 a 8 observa-se que para diferentes ganhos de kp,

ki e kd a planta teve uma melhora principalmente no requisito de sobressinal e tempo

de acomodação.

É observado que as figuras 5 e 7 obtiveram uma melhor resposta ao degrau

unitário, e isto é devido à sintonização de seus parâmetros que, neste caso, mudou-se

apenas o ganho proporcional (kp). Comparando as duas figuras, observa-se que a

figura 7 não possuí sobressinal, já a figura 5 possuí, mas o tempo de acomodação da

figura 5 é melhor que o tempo de acomodação da figura 7. Este fato ocorre, pois a

maior influência do ganho proporcional (kp) é acelerar a resposta que em

consequência, gera sobressinais. Já o ganho derivativo, kd, influência diretamente no

erro de regime transitório, muitas vezes os eliminando,como mostrado na f igura 7, a

desvantagem de um ganho kd é deixar o sistema mais lento, se for usando de forma

incorreta. O ki influência diretamente no erro em regime permanente, que no caso

desta planta, o erro de regime permanente devido a uma entrada degrau unitário é

zero, por ser uma planta de ordem 1. A implantação do controlador integral não

influenciou na melhora da resposta ao degrau unitário, mas sim, gerou um aumento do

sobressinal da planta já controlada pela ação PD, como mostrado nas figuras 6 e 8, de

forma que ela não deveria ser utilizada nesta planta.

5. Conclusão

Os trabalho propôs a utilização do controlador PID em uma planta no domínio Z

para melhorar a resposta ao degrau unitário e através dos resultados obtidos, com os

diferentes ganhos de kp, ki, kd, o controlador melhorou a saída da planta para uma

saída mais aceitável.

Como os ganhos kp, ki e kd do PID foram sintonizados a partir da tentativa

erro, não é possível afirmar que a planta foi otimizada de forma a encontrar os

melhores parâmetros de desempenho do sistema. Para sintonizar os ganhos de forma

otimizada, utiliza-se os métodos clássicos de sintonização dos ganhos do PID, tal

como o método de Ziegler Nichols.

Através das figuras 5 e 7 é observado que a aplicação da ação Proporcional-

Derivativa (PD) é suficiente para melhorar o sistema, sendo que o uso adicional da

ação Integral (PID), figura 6 e 8, piorou o sistema no regime transitório. Isso ocorreu

devido à ação Integral melhorar o regime permanente e piorar o regime transitório.

Neste caso não foi necessário melhorar a resposta em regime permanente, pois a

planta não controlada já era de ordem um, na qual possuí erro de regime permanente

devido à entrada degrau igual à zero.

6. Referências

Explicando a Teoria PID. (13 de Dezembri de 2011). Acesso em 10 de Janeiro de

2014, disponível em Site da Nacional Instruments: http://www.ni.com/white-

paper/3782/pt/

Martins, S. (Março - Julho de 2014). Aulas ministradas no curso de sistemas de

controle digital. São João Del Rei, Minas Gerais, Brasil.

Ogata, K. (1995). DISCRETE-TIME CONTROL SYSTEMS. Englewood Cliffs: Prentice-

Hall,Inc.