Controle da pressao de uma maquina a vapor viaestabilidade assintotica∗

Rodrigo Mendes Alves †

Orientador: Jean Venato Santos ‡

6 de dezembro de 2012

Resumo

O trabalho proposto trata-se de uma manipulacao matematica baseada em con-ceitos fısicos, com o objetivo de descrever o problema de estabilidade de um contro-lador automatico de uma maquina a vapor.

Palavras Chave: Equacoes diferenciais, Campos de vetores, Retrato de fase eEstabilidade assintotica

Introducao

A maquina a vapor tem o intuito de transformar energia termica em energia mecanica,sendo largamente utilizada no perıodo da Revolucao Industrial, a partir do finaldo seculo XVIII. Entre outros mecanismos da mesma destaca-se o “controladorcentrıfugo de Watt”, responsavel por manter a estabilidade da maquina contro-lando a saıda de vapor e, por consequencia, as forcas envolvidas no trabalho damaquina.

Atraves do estudo da classificacao das equacoes diferenciais lineares no plano,de campos de vetores para a analise dos retratos de fases das equacoes diferenciaisque regem o problema e da estabilidade assintotica em pontos de equilıbrio; pode-seconcluir o trabalho matematico sobre a maquina e chegar numa desigualdade quefornece informacoes suficientes para controlar a estabilidade da maquina a vapor.

A princıpio este mecanismo funcionava bem, fazendo com que a maquina man-tivesse a velocidade de rotacao desejada. O estado ideal da maquina pode ser vistocomo um ponto de equilıbrio do sistema. Como os controladores faziam o sistemavoltar ao estado ideal quando houvesse pequenas perturbacoes, tal estado podia servisto como um ponto de equilıbrio estavel.

Com o avanco da tecnologia houve uma melhoria nos materiais utilizados noscontroladores. Paradoxalmente, esta melhoria acarretou no mau funcionamentodos mesmos. Maxwell em [7] e Vichegnadski em [9], apresentaram explicacoes econsequentemente solucoes para tal perda de estabilidade.

A seguir descrevemos a explicacao dada por Vichegnadski em [9], recompiladapor Doering e Lopes em [4].

A figura abaixo esquematiza a maquina a vapor utilizada no seculo XVIII.

∗Trabalho de Iniciacao cientıfica†Email: rodrigo-mendes-alves@hotmail.com. Curso de Engenharia Mecanica, Universidade Federal de

Uberlandia‡Email: jvenatos@famat.ufu.br. Faculdade de Matematica, Universidade Federal de Uberlandia

1

l1 l2

m m

φ

φ φ

φ

θ

ωCaldeira

Liberadorde

Pressão

Controlador

Centrífugo

Figura 1: Maquina a vapor

A producao de energia da maquina a vapor comeca com o aquecimento de agua,que forma o vapor d’agua que exerce pressao sobre um mecanismo de transmissaoque, por sua vez, poe um eixo em movimento. A rotacao desse eixo servia a variosfins industriais e tinha sua velocidade controlada pela quantidade de vapor que eraaplicada ao mecanismo. O eixo e dotado de um disco de inercia J o qual, posto emmovimento pela forca do vapor realiza um trabalho util de acordo com a SegundaLei de Newton para os momentos:

P1 − F = Jω′.

O momento P1 refere-se ao momento produzido pela forca de vapor no disco, eo momento F refere-se ao momento da forca de resistencia a rotacao. O objetivo efazer o sistema atingir rapidamente uma velocidade estacionaria ω0, mas ao mesmotempo conseguir manter essa velocidade, com mais entrada de vapor, sempre que aforca de resistencia aumentar.

Na secao 2 descrevemos o mecanismo de controle da pressao na maquina, assimcomo sua modelagem matematica a partir de um sistema de equacoes nao linearesproposto por Vichegnadski em [9]. Na secao 2 apresentamos os principais conceitos eresultados da teoria qualitativa de equacoes diferenciais que sao aplicados no sistemado controlador. Na secao 4 aplicaremos a teoria descrita na secao 3 para estudar aestabilidade do controlador. Por fim, na ultima secao e apresentada uma discussaodos possıveis motivos causadores da perda de estabilidade do sistema.

1 Modelagem do controlador de Watt

O foco deste trabalho esta na modelagem matematica do regulador e na solucao doproblema de estabilidade do mesmo. Analisando as forcas que atuam no regulador,encontra-se o diagrama:

2

l1 l2

m

φ

φ

φ mθ2 senφ

mθ2 sen

φ cosφ

mg

−mgsen

φ

Figura 2: Diagrama de forcas do controlador de Watt

Verticalmente, a unica variavel e o angulo φ entre o eixo vertical e as hastes,conforme Figura 2. Supondo unitario, para simplificar, o comprimento das hastes,vemos que, como no caso de um pendulo, a forca mg da gravidade impoe umacomponente tangencial −mg senφ. Tambem temos uma forca de atrito no sistema,principalmente nas hastes; supondo pequenas variacoes, podemos considerar o atritoproporcional a velocidade vertical das esferas, ou seja, dado por −bφ′. Finalmente,temos o movimento horizontal circular das esferas do regulador, de velocidade angu-lar θ, imposto pela rotacao do eixo vertical. A forca centrıfuga da rotacao horizontale dada por Fcent = mω2r, sendo r a distancia da bola ate a haste, considerando quer e a projecao l senφ, onde l e unitario, temos que Fcent = mθ2 senφ, com compo-nente tangencial mθ2 senφ cosφ. Sabe-se que a forca tangencial muda o modulo davelocidade do corpo, portanto e necessario a analise das forcas nesta direcao dadapela segunda Lei de Newton:

mφ′′ = mθ2 senφ cosφ−mg senφ− bφ′.Vejamos a equacao diferencial do disco de inercia J . Para cada angulo φ de

abertura das hastes do regulador temos uma posicao do mancal, que varia comcosφ, produzindo um momento de forca de acao do vapor proporcional, dado porP1 = k cosφ. Assim, a equacao diferencial do eixo de inercia e

Jω′ = k cosφ− F,

onde F e a forca de resistencia a rotacao.Introduzindo a variavel ψ = φ′ e usando a relacao θ = nω entre o regulador e a

maquina a vapor, onde n e o coeficiente de transmissao da engrenagem, resulta osistema

φ′ = ψ

ψ′ = n2ω2 senφ cosφ− g senφ− bmψ,

ω′ = kJ cosφ− F

J

(1.0.1)

3

associado ao campo vetorial

X(φ, ψ, ω) = (ψ, n2ω2 senφ cosφ− g senφ− b

mψ,k

Jcosφ− F

J)

definido em R3.Pelas caracterısticas do sistema, basta considerar X definido no aberto Ω =

(0, π/2)×R× (0,∞), onde cosφ > 0, senφ > 0 e ω > 0, de modo que (φ, ψ, ω) e umponto de equilıbrio do campo vetorial X, isto e, X(φ, ψ, ω) = (0, 0, 0) se, e somentese,

k cosφ = Fψ = 0,

n2ω2 cosφ = g(1.0.2)

Denotando por (φ0, 0, ω0) a unica solucao deste sistema, temos que tal solucaoe o unico ponto de equilıbrio do campo X no aberto Ω, ou seja, o estado ideal dosistema. A partir das equacoes (1.0.2) temos que Fn2ω2

0 = kg =constante. Assim,para cada forca de resistencia F dada, existe uma solucao estacionaria do sistema(1.0.1), com angulo φ0 estacionario (φ′ = ψ = 0) e velocidade angular ω0 > 0.

Na proxima secao e apresentada a teoria necessaria para o estudo da estabilidadedo estado ideal.

2 Base teorica

Um campo vetorialX de classe C1 num subconjunto Ω aberto do Rn, e uma aplicacaode classe C1 que a cada ponto p de Ω associa um vetor X(p) em Rn. Ao campovetorial X esta associada a equacao diferencial

x′ = X(x), (2.0.3)

e vice-versa.Seja I um intervalo aberto da reta R contendo o zero. Dizemos que uma funcao

γ : I → Ω, de classe C1, e uma solucao ou trajetoria do campo vetorial X seγ′(t) = X(γ(t)), para todo t ∈ I. Para simplificar a notacao, identificamos asolucao γ com sua imagem orientada, a qual denominamos orbita de X, definidaem I(γ). Uma funcao γ : I → U chama-se solucao maxima se para toda trajetoriaη : J → U tal que I j J e γ = η|I entao J = I e consequentemente γ = η. Nestecaso I chama-se intervalo maximal. O conjunto aberto Ω, munido da decomposicaoem orbitas (imagens orientadas das solucoes maximais) de X e chamado retrato defase de X.

O seguinte teorema da teoria classica de equacoes diferencias estabelece, alemda existencia e unicidade de solucoes da equacao (2.0.3), a existencia de um fluxode classe C1 associado ao campo X : Ω→ Rn:

Teorema 1 Seja X : Ω→ Rn.

1. Para cada p ∈ Ω existe um intervalo maximal I(γp) onde esta definida a unicasolucao γp da equacao (2.0.3) tal que γp(0) = p.

2. Se q = γp(t) para algum t ∈ I(γp), entao I(γq) = I(γp)− t = r− t; r ∈ I(γp)e γq(s) = γp(t+ s) para todo s ∈ I(γq).

3. O conjunto ∆ = (t, p); p ∈ Ω, t ∈ I(γp) e aberto em Rn+1 e a aplicacaoϕ : ∆→ U dada por ϕ(t, p) = γp(t) e de classe C1.

4

Dem.: Veja [4, 6, 10].

A aplicacao ϕ : ∆→ Ω e chamada fluxo gerado por X.Dizemos que p ∈ Ω e um ponto singular ou ponto de equilıbrio de X se X(p) = O,

caso contrario dizemos que p e um ponto regular de X. Uma trajetoria γ e ditaperiodica se esta definida em R e existe um real τ > 0 tal que γ(t+ τ) = γ(t) paratodo t ∈ R.

Um ponto singular p de um campo vetorial X : Ω → Rn e hiperbolico se osautovalores (complexos) da derivada DXp tem parte real nao nula. Neste caso, onumero de autovalores de DXp que tem parte real negativa sera chamado de ındicede estabilidade de X em p. Um ponto singular p e do tipo sela hiperbolica se seuındice de estabilidade e maior do que zero e menor que n. Denotando por ϕt o fluxoassociado ao campo vetorial X, dizemos que um ponto de equilıbrio p de X e estavelse, para qualquer vizinhanca U ⊂ Rn de p, existe uma vizinhanca W ⊂ Rn de p talque W ⊂ Ω ∩ U e ϕt(q) ∈ U , para todo q ∈ W e t > 0. Um ponto de equilıbriop e dito assintoticamente estavel se ele for estavel e lim

t→∞ϕt(q) = p, para qualquer

q ∈W .Dados dois campos vetoriais X1 e X2 definidos nos abertos Ω1 e Ω2. Dizemos que

X1 e topologicamente equivalente a X2 se existir um homeomorfismo h : Ω1 → Ω2

que leva orbita de X1 em orbita de X2 preservando orientacao. Mais precisamente,sejam p ∈ Ω1 e γ1(p) a orbita orientada de X1 passando por p, entao h(γ1(p)) ea orbita orientada γ2(h(p)) de X2 passando por h(p). Tal nocao estabelece umarelacao de equivalencia entre campos vetoriais definidos em abertos de Rn.

O proximo resultado estabelece a equivalencia topologica local entre dois camposem vizinhancas de pontos singulares hiperbolicos com o mesmo ındice de estabili-dade:

Teorema 2 (Hartman-Grobman) Seja Ω um aberto de Rn, dado um campo ve-torial X : Ω→ Rn com um ponto singular hiperbolico p. Existem vizinhancas V dep e W de O em Rn tais que X|V e topologicamente equivalente a DXp|W .

Dem.: Veja [10, 6].

Este resultado aliado a classificacao dos sistemas de equacoes ordinarias linearesfornece um entendimento local em torno de pontos de equilıbrio hiperbolicos, emparticular permite estudar a estabilidade e estabilidade assintotica de tais pontos.Com efeito, dado um ponto de equilıbrio p do campo vetorial X : Ω → Rn, a fimde que ele seja assıntoticamente estavel basta garantir que a aplicacao linear DXp

tenha todos autovalores com parte real negativa.Uma ferramenta pratica e eficaz no estudo do sinal da parte real das raızes de um

polinomio e dada pelo criterio de Hurwitz ([5]), o qual passamos a descrever sucinta-mente. Uma apresentacao mais completa deste criterio inclusive sua demonstracaoe algumas aplicacoes em estabilidade de sistemas dinamicos podem ser encontradasem [7] e [11].

Seja p(λ) = anλn + . . .+ a1λ+ a0 um polinomio com coeficientes reais positivos.

Para k = 1, . . . , n, considere os seguintes determinantes cujas matrizes associadassao conhecidas como matrizes de Hurwitz:

∆1 = |an−1|, ∆2 =

∣∣∣∣ an−1 anan−3 an−2

∣∣∣∣ , . . . , ∆k =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣an−1 an 0 . . . 0an−3 an−2 an−1 . . . 0

......

... . . ....

a1−n a2−n a3−n . . . an−k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

5

onde estamos supondo que aj = 0 para j < 0.

Teorema 3 (Criterio de Hurwitz [5]) Sejam ai ∈ R, ai > 0 para i = 0, 1, 2, . . . , n,e o polinomio

p(λ) = anλn + . . .+ a1λ+ a0.

Entao, todas as raızes de p(λ) tem parte real negativa se, e somente se, ∆k > 0 parak = 1, 2, . . . , n.

Dem.: Veja [5, 7, 11].

Exemplo 4 Considere o polinomio

x4 + 5x3 + 8x2 + 7x+ 3.

Note que todos os coeficientes sao positivos. Verifiquemos se ∆k > 0 para k =1, 2, 3, 4:

∆1 = |5| = 5, ∆2 =

∣∣∣∣ 5 17 8

∣∣∣∣ = 33, ∆3 =

∣∣∣∣∣∣5 1 07 8 50 3 7

∣∣∣∣∣∣ = 156 e

∆4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣5 1 0 07 8 5 10 3 7 80 0 0 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 468.

Logo, pelo Criterio de Hurwitz, todas as raızes do polinomio acima tem parte realnegativa. O que esta de acordo com o esperado, uma vez que o polinomio em questao

foi obtido a partir da fatoracao (x+ 1)(x+ 3)(x+ 12 +

√32 i)(x+ 1

2 −√32 i) e portanto

suas raızes −1, −3, −12 ±

√32 i tem todas parte real negativa.

3 Aplicacao

Voltamos agora ao estudo do sistema (1.0.1), mais especificamente do seu ponto deequilıbrio (φ0, 0, ω0) calculado em (3.0.4).

Por um lado, o Teorema de Hartman-Grobman, identifica o comportamento docampo nao linear X, numa vizinhanca do ponto de equilıbrio (φ0, 0, ω0), com ocomportamento do campo linear definido pela aplicacao derivada:

DX(φ0, 0, ω0) =

0 1 0n2ω2

0 cos 2φ0 − g cosφ0 −b/m 2n2ω0 senφ0 cosφ0kJ senφ0 0 0

.

(3.0.4)

Observacao 5 Para garantir a estabilidade assintotica de (φ0, 0, ω0), e portanto aestabilidade do sistema maquina-regulador, basta analisar os parametros ajustaveisda maquina e do regulador para que induzam autovalores de DX(φ0, 0, ω0) com partereal negativa.

Para isto, considere o polinomio caracterıstico de (3.0.4):

p(λ) = det(λI−DX) =

∣∣∣∣∣∣λ −1 0

−n2ω20 cos 2φ0 + g cosφ0 λ+ b/m −2n2ω0 senφ0 cosφ0

kJ senφ0 0 λ

∣∣∣∣∣∣ ,6

ou seja,

p(λ) = λ3 + (b/m)λ2 + (−n2ω20 cos 2φ0 +g cosφ0)λ+ 2

k

Jn2ω0 sen2 φ0 cosφ0. (3.0.5)

Para estudar o sinal da parte real das raızes deste polinomio vamos aplicar aseguinte proposicao que e uma consequencia do Criterio de Hurwitz enunciado noTeorema 3:

Proposicao 6 Se a2 > 0, a1 > 0, a0 > 0, entao as raızes de p(λ)=λ3 + a2λ2 +

a1λ+ a0 tem todas parte real negativa se, e somente se, a2a1 > a0.

Dem.: Sendo a2 > 0, a1 > 0 e a0 > 0. Calculando os determinantes ∆k parak = 1, 2, 3, associados a polinomio p(λ) obtemos:

∆1 = |a2| = a2, ∆2 =

∣∣∣∣ a2 1a0 a1

∣∣∣∣ = a2a1 − a0,

∆3 =

∣∣∣∣∣∣a2 1 0a0 a1 a20 0 a0

∣∣∣∣∣∣ = a0(a2a1 − a0).

Assim, fica claro que ∆k > 0 para k = 1, 2, 3 se, e somente se, a2a1 > a0. Por-tanto, pelo Teorema 3 [Criterio de Hurwitz], todas as raızes de p(λ) tem parte realnegativa se, e somente se, a2a1 > a0. 2

No intuito de aplicar a Proposicao 6 no polinomio caracterıstico (3.0.5) seraverificado, inicialmente, se seus coeficientes

a2 = b/m, a1 = (−n2ω20 cos 2φ0 + g cosφ0) e a0 = 2

k

Jn2ω0 sen2 φ0 cosφ0,

sao positivos:b > 0,m > 0⇒ a2 > 0 e

a1 = (−n2ω20 cos 2φ0 + g cosφ0) > 0⇔ g cosφ0 > n2ω2

0 cos 2φ0.

Sabendo quen2ω2

0 = g/cosφ0 (3.0.6)

temos,

a1 > 0⇔ cos2φ0 > cos2φ0 ⇔ cos2φ0 > cos2φ0 − sen2φ0 ⇔ sen2 φ0 > 0,

o que e satisfeito, pois 0 < φ0 < π/2. Tal restricao no argumento φ0 e o fato dasconstantes ω0, k, J e n serem positivos fornecem tambem:

a0 = 2k

Jn2ω0 sen2 φ0 cosφ0 > 0.

Finalmente, aplicando a condicao a2a1 > a0, da Proposicao 6, nos coeficientes dopolinomio caracterıstico (3.0.5) sera obtida uma condicao equivalente relacionadaaos parametros do sistema (1.0.1):

(b/m)(−n2ω20 cos 2φ0 + g cosφ0) > 2

k

Jn2ω0 sen2 φ0 cosφ0

−n2ω20 cos 2φ0 + g cosφ0 > 2

km

bJn2ω0 sen2 φ0 cosφ0

7

Aplicando novamente a igualdade (3.0.6) segue que:

−n2ω20 cos 2φ0 + g cosφ0 > 2

kmg

Jbω0sen2 φ0

−n2ω20 cos 2φ0 + g cosφ0 > 2

kmg

Jbω0

(− cos 2φ0 + cos2 φ0

)−n2ω2

0 cos 2φ0 +g2

n2ω20

> 2kmg

Jbω0

(− cos 2φ0 +

g2

n4ω40

)1

n2ω20

(−n4ω4

0 cos 2φ0 + g2)> 2

kmg

Jbω0

1

n4ω40

(−n4ω40 cos 2φ0 + g2)

n2ω20 > 2

kmg

Jbω0

bJ

m>

2kg

n2ω30

. (3.0.7)

Da Proposicao 6 e do raciocınio acima, as raızes de (3.0.5) tem todas partereal negativa se, e somente se, (3.0.7) for satisfeita. Assim, pela Observacao 5,esta desigualdade e condicao necessaria e suficiente para que o ponto de equilıbrio(φ0, 0, ω0) seja assintoticamente estavel e portanto para que a maquina a vaporpermaneca estavel.

4 Conclusao

Para garantir a estabilidade do sistema maquina-regulador, ajustes dos materiaisutilizados na construcao da maquina e nas dimensoes das partes que a compoemsao essenciais. Naquela epoca, meados do seculo XIX, em plena revolucao industrialnao eram raras as seguintes acoes:

• Reducao do atrito b entre as hastes devida ao aperfeicoamento tecnologico demateriais.

• Aumento da massa m das bolas a fim de obter maior potencia da maquina avapor.

• Diminuicao do momento angular para aumentar a velocidade angular ω doeixo da maquina.

Note que estas medidas diminuem o membro esquerdo da desigualdade (3.0.7) oque acarretava muitas vezes na perda de estabilidade da maquina a vapor naquelaepoca. A partir de um desenvolvimento matematico analogo ao apresentado nestetrabalho, o engenheiro russo Vichegnadski propos as seguintes medidas para que amaquina funcionasse perfeitamente:

• Aumentar o coeficiente de atrito das hastes.

• Aumentar o coeficiente de transmissao n.

• Diminuir o fator de proporcionalidade k da ligacao do regulador com a valvula.

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Referencias

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[5] A. Hurwitz. Uber die bedingungen unter welchen eine gleichung nur wurzelnmit negativen reelen besitzt. Mathematische Annalen, 46, 273-280, 1895.

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[11] G. R. Souza. Criterio de Hurwitz e estabilidade de equilıbrio. Dissertacao deMestrado, UFMG, 2005.

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