Controle de Processos Eletricos

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  • 8/17/2019 Controle de Processos Eletricos

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    Especialidade de Eletrônica

    Asig. Controle de processos .

    PRINCÍPIOS DA CORRENTE ALTERNADA

    GENERACION DE UMA VOLTAGEM ALTERNADA

    Uma voltagem de ca muda continuamente em magnitude e periodicamente investe suapolaridad (Fig. 11-1). O eixo do zero é uma linha horizontal que passa pelo Centro. As variaçõesverticais da onda de voltagem mostram os cambios com sua magnitude. As voltagens poracima do eixo horizontal têm polaridad positiva (+), enquanto as voltagens por abaixo do eixotêm polaridad negativa (-).

    Fig. 11-1 Forma de onda de voltagem de ca Fig. 11-2 A rotação de uma espira em um campomagnético produz uma voltagem de ca.

    Uma voltagem de ca pode ser produzido por um gerador chamado alternador (Fis. 11-2). Nogerador simplificado que se mostra, a espira condutora gira no campo magnético e corta aslinhas de força para gerar uma voltagem induzida de ca entre seus terminais. Uma revoluçãocompleta da espira é um Ciclo. Considere-se a posição da espira à cada quarto devolvida

    durante um ciclo (Fig. 11-3). Na posição A, a espira move-se paralela ao fluxo magnético eportanto não curta linhas de força; a voltagem induzida é zero. Na posição Adela parlesoube

     

    rior do circulo, a espira curta o campo a 90º para produzir uma voltagem máxima. Quandochega a C, o motorista se move outra vez paralelo ao campo e não corta ao fluxo. A onda de cadesde A até C é médio ciclo da revolução e chama-se alternación. Em D A espira corta outra vezao fluxo para produzir voltagem máximo, mas agora o fluxo se corta na direção oposta (deesquerda a direita) que em B (de direita a esquerda); portanto, a polaridad em D é negativa. Aespira completa a última quarta parte da volta no ciclo ao regressar à posição A, cl ponto departida. O ciclo dos valores da voltagem repete-se nas posições A'B'C'D'A'' ao continuar girandoa espira (Fig. 11-3). Um ciclo inclui as variações entre dois pontos sucessivos que têm o mesmovalor e que variam na mesma direção. Por exemplo, pode ser considerado também um cicloentre B e B'. (Fig. 11-3).

    MEDIDAS ANGULARES

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    Como os ciclos da voltagem correspondem a uma rotação da espira descrevendo um círculo, aspartes do circulo se expressam como ângulos. Ele circulo completo é 360º, Médio ciclo, ou umaalternación, é 180º. Um quarto de volta é 90º Os ângulos expressam-se também em radianos(rad). Um radiano tanto faz a 57,3º, Um circulo completo tem 2 rad; portanto,

    360º = 2 rad Então 1º = / 180 rad ou bem 1 rad = 180º / 

    Em um gerador de dois pólos (fig. 11-2), a rotação da bobina da armadura em 360 grausgeométricos (1 revolução) sempre gerará um ciclo (360º) de voltagem de ca. Mas em um geradorde 4 pólos, a rotação da armadura em 180 graus geométricos unicamente gerará 1 ciclo de caou bem 360 graus elétricos. Em consequência, a escala dos graus ao longo do eixo horizontalda voltagem ou da corrente de ca refere-se aos graus elétricos e não a graus geométricos.

    Fig. 11-3 Dois ciclos de uma voltagem alternada gerado pela espira giratória.Exemplo 11.1 Quantos radianos há em 30º?

    Usese a equação (11-1) para converter graus em radianos.

    30º = (30º x equivalente em rad) / 1º = (30º x ( / 180 rad) / 1º = / 6 rad.

    Exemplo 11.2 Quantos graus há em / 3 radianos?

    Usese a equação (11-2) para converter radianos em graus.

    Resposta

     / 3 rad = ( / 3) rad x (equivalente em º / 1 rad.) = ( / 3 ) rad x ((180/ ) / 1 rad ) = 60º

    A maioria das calculadoras têm um seletor para selecionar os ângulos em graus ou em radianos(DEG ou RAD); é que normalmente não há necessidade de converter os ângulos. No entanto, éútil saber como se fazem as conversões angulares.

    ONDA SENOIDAL

    A forma de onda da voltagem (Fig. 11-3) chama-se onda senoidal. O valor instantâneo davoltagem em qualquer ponto da onda senoidal expressa-se pela equação:

    v  = Vmáx x sen (11-3)

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    em onde v = valor instantâneo da voltagem em V

    Vmáx = valor máximo da voltagem em V

    = ângulo de rotação em graus ( é a letra grega theta minúscula)

    Exemplo 11.3.- Uma voltagem de onda senoidal fluctúa entre zero e um máximo de 10 v. Qual éo valor da voltagem no instante no que o ciclo está em 30º, 45º, 60º, 90º, 180º e 270º?

    Substitua-se Vmáx M por 10 na equação (11-3),'

    v  = 10 * sen

    A 30º: v  = 10 sen 30º = 10 (0,5) = 5V Resposta

    A 45º: v  = 10 sen 45º = 10 (0,707) = 7,07V Resposta

    A 60º: v  = 10 sen 60º = 10 (0,866) = 8,66V Resposta

    A 90º v  = 10 sen 90º = 10 (1) = 10 V Resposta

    A 180º: v  = 10 sen 180º = 10 ( 0) = 0 V Resposta

    A 270º: v  = 10 sen 270º = 10 ( - 1) = - 10 V Resposta

    CORRENTE ALTERNADA

    Quando se liga uma onda senoidal de voltagem alternado a uma resistência de carga, a correnteque flui pelo circuito é também uma onda senoidal (fig. 11-4)

    Fig. 11-4 Ciclo de corrente alternadaExemplo 11.4 A onda senoida] de voltagem de ca (Fig. 11 - 5a), aplica-se a uma resistência decarga de 10 (Fig. 11 - 5b ). Mostre-se a onda senoidal de corrente alternada decorrente.

    O valor instantâneo da corrente é i = v  / R, Em um circuito puramente resistivo, a forma de ondada corrente segue a polaridad da forma de onda da voltagem. O valor máximo da corrente é

    Imáx = Vmáx / R = 10 / 10 = 1 A

    Em forma de equação,i 

     = I máx sen . (Veja-se a figura 11-6.>

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    fig. 11 - 5 Fonte de voltagem dc ca aplicada a um circuito singelo com resistência fig. 11 - 6.

    FREQUÊNCIA E PERÍODO

    O número de ciclos por segundo chama-se frequência, indica-se com o símbolo f e expressa-seem hertz (Hz). Um ciclo por segundo tanto faz a um hertz. Por tanto, 60 ciclos por segundo(abreviado às vezes cps) tanto faz a 60Hz. Uma frequência de 2 Hz (Fig. 11-7b) é o duplo dafrequência de 1 Hz (Fig. 11-7a).

    Fig. 11-7 Comparação das frequências

    O tempo que se requer para completar um ciclo se chama período. Indica-se pelo símbolo T (portempo) e expressa-se em segundos (s). A frequência e o período são recíprocos.

    f = 1 / T (11-4)

    T = 1 / f (11-5)

    Quanto maior seja a frequência, menor será o período.

    O ângulo de 360º representa o tempo de 1 ciclo, ou seja, o período T. Portanto, podemos indicarno eixo horizontal da onda senoidal unidades de graus elétricos ou de segundos (Fig. 11-8).

    Fig. 11 - 8 Relacionamento entre os graus elétricos e o tempo Fig. 11-9

    Exemplo 11.5 Uma corrente de ca vária em um ciclo completo em 1 / 100 séc. Qual é seuperíodo e sua frequência? Se a corrente tem um valor máximo de 5 A, mostre-se a forma de

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    onda da corrente em unidades de graus e em milisegundos.

    T = 1 / 100 s ou bem 0,01 s ou bem 10 ms Resposta

    f = 1 / T = 1 / (1 / 100 ) = 100Hz Resposta

    Veja-se a figura 11-9 para a forma de onda.

    A longitude de onda (lambda grega minúscula) é a longitude de uma onda completam ciclocompleto. Depende da frequência da variação periódica e da velocidade de propagación outransmissão. Em fórmula,

    = velocidade / frequência (11 - 6)

    Para as ondas electromagnéticas de rádio, a velocidade no ar ou no vazio é 186.000 meu / s, ouseja 3 x 108 m / s, que é a velocidade da luz. A equação (11-6) escreve-se da maneira maisfamiliar

    = c / f (11 - 7)

    em onde = longitude de onda em m

    c = velocidade da luz, 3 x 108 m/s, uma constante

    f = frequência das ondas de rádio em Hz

    Exemplo 11.6 O canal 2 de TV tem uma frequência de 60 MHz. Qual é sua longitude de onda?Converta-se f = 60 MHz a f = 60 x 106 Hz e substitua na equação (11-7).

    = c / f = 3 x 108 / 60 x 106 = 5 m.

    RELACIONAMENTOS DE FASE

    EI ângulo de fase entre duas formas de onda da mesma frequência é a diferença angular emqualquer instante. Por exemplo, o ângulo de fase entre as ondas B já (Fig. 11-10a) é 90º. Tome-se o instante correspondente a 90º. O eixo horizontal está indicado em unidades de tempoangulares. A onda B começa com valor máximo e reduz-se a zero a 90º, enquanto a onda Acomeça em zero e aumenta ao valor máximo a 90º, A onda B atinge seu valor máximo 900 antes

    que a onda A, de modo que a onda B se adianta à onda A por 90º, Este ângulo de fase de 90ºentre as ondas B e A se conserva durante todo o ciclo e todos os ciclos sucessivos. Emqualquer instante, a onda B tem o valor que terá a onda A 90º mais tarde. A onda B é uma ondacosenoidal porque está deslocada 90º da onda A, que é uma senoidal. Ambas formas de ondase chamam senoides ou senoidales.

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    Fig. 11 - 10 A onda B adianta à onda A em um ângulo de fase de 90º

    FASORES

    Para comparar os ângulos de fase ou as fases de voltagens ou correntes alternadas, é

    conveniente usar diagramas de fasores correspondentes às formas de onda da voltagem e dacorrente. Um fasor é uma quantidade que tem magnitude e direção. Os termos fasor e vetorutilizam-se com as quantidades que têm direção. No entanto. Uma quantidade fasorial vária como tempo, enquanto uma quantidade vetorial tem sua direção (fixa) no espaço. A longitude daseta em um diagrama de fasores indica a magnitude da voltagem alternada. O ângulo da setacom respeito ao eixo horizontal indica o ângulo de fase. Uma forma de onda escolhe-se comoreferência e a outra forma de onda se compara com a referência mediante o ângulo entre assetas dos fasores. Por exemplo, o fasor VAI representa à onda de voltagem A com um ângulo defase de0º (Fig. 11 - 10b). O fasor VB é vertical (Fig. 11 - 10b) para indicar o ângulo de fase de90º com respeito ao fasor VAI, que é a referência. Como os ângulos de progresso se mostram nadireção contrária às manecillas do relógio desde o fasor de referência, VB; adianta a VAI por 90º(Fig. 11 - 10b).

    Pelo geral, o fasor de referência é horizontal, correspondente a 0º. Se mostrasse-se VB como areferência (Fig. 11 - 10b). VAI teria de estar a 90º no sentido das manecillas do relógio para ter omesmo ângulo de fase. Neste caso, VAI atrasa-se com respeito a VB por 90º Não há nenhumadiferença fundamental se VB adianta a VAI por 90º (Fig. 11 - 10a) ou se VAI atrasa-se comrespeito a VB por 90º (Fig. 11 - 11b).

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    Fig. 11 - 11 Ângulos de fase de progresso e atraso

    Quando duas ondas estão em fase (Fig. 11 -12a), o ângulo de fase é zero; as amplitudessomam-se (Fig. 11 - 12b). Quando duas ondas estão fora de fase (Fig. 11 - 13a), o ângulo defase é 180º. Suas ampli tudes opõem-se (Fig. 11 - 13b). Valores iguais com fase opostacancelam-se.

    Fig. 11-12 Duas ondas em fase com um ângulo de 0º

    Fig. 11 - 13 Duas ondas opostas em fase com um ângulo de 180º

    Exemplo 11.7 Qual é o ângulo de fase entre as ondas A e B (Fig. 11 - 14)? Desenhe-se odiagrama de fasores primeiro com a onda A como referência e depois com a onda B comoreferência.

    flg. 11-14 Obtenção do ângulo de fase entre a onda A e a onda B

    O ângulo de fase é a distância angular entre pontos correspondentes de tas ondas A e B. Algunspontos correspondentes convenientes são o máximo, mínimo e o cruzamento com o eixo zero dacada onda. Com os zeros (sobre o eixo horizontal) (Fig. 11-14), o ângulo de fase = 30º. Como aonda A atinge o zero antes que a onda B, A adianta a B.

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    Onda A como referência: VB atrasa-se a VAI por 30º

    Onda B como referência: VAI adianta a VB por 30º

    Embora os fasores não se desenharam a escala, VAI está traçado mais curto que VB porque ovalor máximo da onda A é menor que o da onda B.

    VALORES CARACTERÍSTICOS DA VOLTAGEM E A CORRENTE

    Como uma sinusoide de voltagem ou de corrente alternada tem muitos valores instantâneos ao

    longo do ciclo, é conveniente especificar as magnitudes com as que possa ser comparado umaonda com outra. Podem ser especificado os valores pico, média ou raiz quadrática média (rms)(Fig. 11 - 15). Estes valores aplicam-se à corrente ou à voltagem.

    Fig. 11-15 Valores da amplitude de uma onda de ca senoidal

    EI valor pico é o valor máximo Vmáx ou Imáx. Aplica-se tanto ao bico positivo como ao negativo.

    Pode ser especificado o valor pico a bico (p-p), que é o duplo do valor pico quando os bicospositivos e os negativos são simétricos.

    EI valor média é a média aritmética de todos os valores de uma onda senoidal durante médiociclo. O médio ciclo utiliza-se para obter a média porque o valor média durante um ciclocompleto é zero.

    Valor média = 0,636 x valor pico (11-8)

    ou bem VAV = 0,637 * Vmáx

    lAV = 0,637 * Imáx

    A raiz quadrática média (rms) ou valor efetivo é 0,707 vezes o valor pico.

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    Valor rms = 0,707 x valor pico (11 - 9)

    ou bem Vrms = 0,707 * Vmáx

    Irms = 0.,707 * Imáx

    EI valor rms de uma onda senoidal alternada corresponde à mesma quantidade de corrente ouvoltagem contínuos em potencial de aquecimento. Por exemplo, uma voltagem alternada com

    um valor rms de 115V é igualmente efetivo para esquentar o filamento de um foco que 115 V deuma fonte estacionária ou estável de voltagem de cc. Por esta razão, o valor rms chama-setambém o valor efetivo.

    A não ser que indique-se o contrário, todas as medições de ondas de ca senoidales estão dadasem valor rms.

    as letras V e l usam-se para indicar a voltagem e a corrente rms. Por exemplo, V = 220V (umavoltagem de linha de alimentação de ca) entende-se que significa 220 V rms.

    Use-se a tabela 11 - 1 como uma maneira conveniente para converter um valor característico emoutro.

    Tabela 11 -1 Tabela de conversão da voltagem e a corrente alternados com onda senoidal

    Multiplique-se o valor: Por Para obter o valor

    Bico 2 Bico a bico

    Bico a bico 0,5 Bico

    Bico 0,636 MédiaMédia 1,570 Bico

    Bico 0,707 Efetivo ou rms

    Efetivo ou rms 1,414 Bico

    Média 1,110 Efetivo ou rms

    Efetivo ou rms 0,901 Média

    Exemplo 11.8 Se a voltagem pico de uma onda de ca é 60 V, quais são seus valores média e

    (rms)?

    Valor média = 0.636 x valor pico (11-8)

    = 0.636 * (60) = 38.2V Resposta

    Valor rms = 0,707 x valor Pico (11-9)

    = 0,707 * (60) = 42.4V Resposta

    Exemplo 11.9 Com frequência é necessário converter o valor rms bico. Obtenha-se a fórmula.Comece-se com

    Valor rms = 0,707 x valor pico. (11-9)

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    Depois invista-se ou aclare-se:

    Valor pico = (1 / 0,707) x valor rms = 1,414 x valor rms

    ou seja Vmáx = 1,414 x Vrms

    Imáx = 1,414 x Irms.

    Verifique-se este relacionamento consultando a tabela 11-1. -

    Exemplo 11.10 A voltagem de uma linha comercial de alimentação é 240 V. Quais são asvoltagens pico e bico a bico?. A não ser que indique-se o contrário, as medidas em ca estãodadas em valores rms. Da tabela 11-1,

    Vmáx = 1,414 x Vrms = 1,414 x 240 = 339,4V Resposta

    V p-p = 2 x Vmáx = 2 x 339,4 = 678,1V Resposta

    RESISTÊNCIA NOS CIRCUITOS DE CORIRIENTE ALTERNADA

    Em um circuito resistivo de ca as variações de corrente estão em fase com a voltagem aplicada(Fig. 11-16). Este relacionamento de fase entre V e l significa que dito circuito de ca pode seranalisado com os mesmos métodos que se usaram para os circuitos de cc. Portanto, a lei deOhm dos circuitos de cc é também aplicável aos circuitos resistivos de ca. Os cálculos noscircuitos de ca são geralmente em valores rms, a não ser que especifique-se outra coisa. Com ocircuito em série (Fig. 11-10a), I = V / R = 110 / 10 = 11 A. A dissipação rms de potência é: P = I2x R - 112 x (10) = 1.210 w.

    Fig. 11-16 Circuito de ca só com resistência

    Exemplo 11.11 Uma voltagem de 110 V de ca aplica-se a resistências enserie de 5 e 15 (Fig.11-17a). Encontrem-se a corrente e a queda de voltagem na cada resistência. Desenhe-se odiagrama de fasores.

    Use-se a lei de Ohm.

    RT = R1 + R2 = 5 + 15 = 20

    I = VT / RT = 110 / 20 = 5,5 A Resposta

    V1 = I x R1 = 5,5 x 5 = 27,5V Resposta

    V2 = I x R2 = 5,5 x 15 = 82,5 V Resposta

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    Como as voltagens de ca V1 e V2, estão em fase, os fasores V1 e V2 se somam para obter ofasor VT. Veja-se a figura 11 - 17b. a longitude da cada fasor é proporcional a sua magnitude. Iestá em fase com V.

    Fig. 11-17

    PROBLEMAS RESOLVIDOS

    11.1 Encontre-se a corrente instantanea quando = 30º e 225º na onda de Corrente alternada(Fig. 11-18), e localizem-se estes pontos na forma de onda.

    Vê-se que VM = 100 mA. A onda de corrente é

    i = IM * sem = 100 * sem

    Em = 30 º: i = 100 * sem 30 º = 100 * (0,5) = 50 mA

    Em = 225 º: i = 100 sem 225 º = 100 * (-0,707) = -70,7 mA

    Veja-se a figura 11-19.

    Fig. 11-18 Forma de onda de corrente alternada Fig. 11-19

    11.2 Com um aparelho chamado gerador de sinais podem ser produzido muitas ondas de ca(p.ex., ondas senoidales, ondas quadradas). Este aparelho pode gerar uma voltagem de ca comuma frequência de mal 20 Hz ou tão alta como 200 MHz. Três perillas de controles básicos sãoa de função, a de frequência e a de amplitude. O operador elege que os controles produzamuma onda senoídal (função) a 100 Khz. (frequência), com amplitude 5 V (valor máximo).Desenhem-se 2 ciclos da voltagem de ca que se gera. Indiquem-se tanto graus como unidadesde tempo no eixo horizontal.

    Para obter as unidades de tempo, resolva para o período T usando a equação (11-5).

    T = 1 / f = 1 / (100x103 = 10 x 10-6 s = 10 séc. Desenhe-se a onda senoidal de voltagem (Fig. 11-20).

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    Fig. 11-20 Onda de voltagem de ca

    11.3 Calcule-se o tempo de atraso para um ângulo de fase de 45 º a uma frequência de 500 Hz.

    Encontre-se o período que corresponde ao tempo para um ciclo de 360 º, e depois se encontre aparte proporcional do período que corresponde a 45 º

    T = 1 / f = 1 / 500 = 2 x 10-3 = 2 ms

    A = 45 º t = (45 º / 360 º) * (2 ms) = 0.25 ms

    11.4 A onda senoidal de uma corrente alternada tem um valor máximo de 80 A. Que valor decorrente contínua produzirá o mesmo efeito de aquecimento?

    Se uma onda de ca produz tanto calor como 1 A de corrente contínua, podemos dizer que aonda de ca é igualmente efetiva que 1 A de cc. Portanto,

    Idc = Irms = = 0,707 * IM = 0,707 * (80) = 56,6 A

    11.5 Se uma voltagem de ca tem um valor pico de 155,6V, qual é o ângulo de fase quando avoltagem instantânea é 110V?

    Escreva-se v = VM x sem

    Resolva-se pára : sen = v / VM

    = arc sem (v / VM) = arc sem (110 / 155,6) = 0.707 = 45 º

    11.6 Limite-os da frequência de áudio estendem-se desde 20 Hz até 20 KHz. Encontrem-selimite-os do período e a longitude desta onda de som no intervalo das frequências de áudio.

    Intervalo de T :1 T = 1 / f

    A 20 Hz: T = 1 / 20 = 0,05 s = 50 ms

    A 20 kHz: T = 1 / (20 x 10-3) = 0, 05 ma.

    De modo que T vai desde 0.05 até 50 ma

    Intervalo de : = c / f

    na qual c = velocidade da luz, 3 x 108 m / séc

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    A 20Hz: = (3 x 108 ) / 20 = 15 x 106 m

    A 20kHz: = (3 x 108 ) / (20 x 103) = 15 x 103 m

    De modo que vai desde 15 x 103 até 15 x 106m

    11.7 Encontre-se o ângulo de fase das seguintes ondas de ca (Fig. 11-21) e desenhem-se seusdiagramas de fasores.

    Fig. 11-21 Obtenção do ângulo de fase entre as formas de onda da voltagem e a corrente

    Para determinar o ângulo de fase, eleja-se na cada onda um ponto correspondente. Os pontosdo máximo e do cruzamento com o eixo são convenientes. A diferença angular dos dois pontosé o ângulo de fase. Depois comparem-se os dois pontos para identificar se a onda está em fase,adianta-se ou atrasa-se com respeito à outra onda.

    Na figura 11 - 21 a, o curvas v e i atingem seus valores máximos ao mesmo instante, de modo

    que estão em fase (o diagrama de fasores é como se indica).

    Na figura 11 - 21 b o curvo v atinge o valor zero em a, 45 º antes que a curva i seja zero no pontocorrespondente b, de modo que v adianta a i em 45 º (o diagrama de fasores é como se indica).

    Na figura 11 - 21 c, a curva i atinge seu máximo em b antes que a curva v alcance seu máximoem a, de modo que i adianta a e em 45 º (o diagrama de fasores é o seguinte).

    11.8 A, B e C são três formas de onda de voltagem dc ca senoidal da mesma frequência. A ondasenoidal A adianta à onda senoidal B um ângulo de fase de 60 º e atrasa-se à onda senoidal C

    por 130 º. Qual é o ângulo de fase entre a onda B e a onda C? Qual das duas ondas vaiadiante?

    Desenhem-se as ondas senoidales com os ângulos de fase dados. Uma maneira apropriada

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    para medir ou desenhar o ângulo de fase entre duas ondas senoidales é mediante acomparação de suas cruzes com o zero. A onda A desenha-se como referência, começando apartir de 0 º (Fig. 11-22). A onda B desenha-se começando em 60 º para indicar que a onda Aadianta ao B por 60 º. A onda C mostra-se começando em - 130 º para indicar que A se atrasa aC em dito ângulo. Comparem-se as cruzes com zero sobre o eixo horizontal dc as ondas B e Cao mover para o ciclo positivo. B cruza o eixo com movimento ascendente em 60 º, enquanto Cfá-lo a 230 º. O ângulo de fase é a diferença entre 230 º e 60 º, ou seja, 170 º. Como B cruza ao

    eixo antes que a onda C, B adianta a C.

    Fig. 11-22 Medição do ângulo de fase entre ondas senoidales

    11.9 Os medidores dc corrente e voltagem alternados sempre estão calibrados para queindiquem valores efetivos. Um voltímetro de ca indica que a voltagem aplicada a uma cargaresistiva é 40 V. Qual é a voltagem pico aplicado a dita carga?

    Da tabela 11-1,

    VM = 1,414 * V (Interpreta-se V como o valor efetivo ou rms)

    = 1,414 * (40) = 56,6 V

    11.10 A corrente que circula por um foco incandescente se mede com um amperímetro e seencontra que é 0,95 A. Qual é o valor média dc a corrente?

    Da tabela 11-1,

    = 0.901 * I (interpreta-se I como o valor efetivo ou rms)

    = 0.901 * (0,95) = 0.86 A

    11.11 Encontrem-se o V, o período T, a frequência f e a voltagem pico a bico da forma de ondade voltagem (Fig. 11-23).

    Use-se a equação (11-9).

    V = 0,707 * VM = 0,707 * (48 V) = 33,9 V.

    A duração de um ciclo é 5 séc. Portanto,

    T = 5 s = 5 x 10 -6séc

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    f = 1 /T = 1 / (5 x 10-6) = 200 x 103 Hz = 200 KHz

    A onda de ca é simétrica com respeito ao eixo horizontal, de modo que

    Vptp = 2 * VM = 2 * (48) = 96 V

    Fig. 11-23 Obtenção das caraterísticas de uma onda senoidal

    Fig. 11 24 Formas de onda não senoidales

    11.12 Qualquer forma de onda diferente de uma onda senoidal ou cosenoidal é uma onda nãosenoidal. Exemplos singelos são a onda retangular e a onda dente de serra (Fig. 11-24). Quaissão as voltagens pico a bico destas?

    Geralmente usam-se amplitudes pico a bico, medidas entre os valores pico máximo e mínimo,

    como medida caraterística das formas de onda não senoidales, já que é frequente que estastenham bicos asimétricos. Por inspeção da figura 11-24,

    Onda retangular: Vptp = 5 + 2 = 7 V

    Onda dente de serra: Vptp = 10 + 5 = 15 V

    Calcule-se a frequência das formas de onda não senoidales mostradas na figura 11-24. Operíodo T de um ciclo completo é 4 s (Fig. 11-24 a) e 2 s (Fig. 11-24 b).

    f = 1 / T também para ondas periódicas não senoidales

    Onda retangular: f = 1 / 4 s = 0,25 MHz

    Onda dente de serra: f = 1 / 2 s = 0,5 MHz

    11.14 A ursa carga resistiva de 20 aplica-se-lhe uma voltagem de ca de 120V (Fig. 11-25).Encontrem-se os valores de VM, Vptp, Vprom, IM, Iptp, Iprom e P

    Pela lei de Ohm,

    I = V/ RL= 120 / 20 = 6 A

    Use-se a tabela 11-1 para calcular os valores da voltagem e da corrente.

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    VM = 1,414 * V = 1,414 * (120) = 169,7V

    Vptp = 2 * VM = 2 * (169,7) = 339,4V

    Vprom = 0,637 * VM = 0,637 * (169,7) = 108,3V

    IM = 1,414 * I = 1,414 * (6) = 8,5ª

    Iptpt = 2 * IM = 2 * (8,5) = 17,0 A

    Iprom = 0,637 * IM = 0,637 * (8,5) = 5,4 A

    P = I2 * RL = 62 * (20) = 720 W

    Ou bem P = V2 / RL= 1202 / 20 = 720 W ou bem, P = V * I = 120 * (6) = 720 W

    Fig. 11-25 Fonte de ca com uma só resistência de carga

    Fig. 11-26 Fonte de ca em um circuito paralelo

    1115 Em uma linha de 120 V, 60 Hz de ca estão ligados em paralelo um ferro de 20 e um focode 100 (Fig. 11-26). Encontrem-se a corrente total, a resistência total e a potência totalconsumida pelo circuito. Desenhe-se o diagrama de fasores.

    Em um circuito em paralelo, VT = V1 = V2 = 120 V.

    I1 = V1 / R1 = 120 / 20 = 6 A. I2 = V2 / R2 = 120 / 100 = 1,2 A

    Então IT = I1 + I2 = 6 + 1,2 = 7,2A

    RT =VT / IT =120 / 7,2 = 16,7

    Em um grupo de correntes ramales totalmente resistivas, a corrente total IT está em fase com avoltagem total VT. Portanto, o ângulo de fase tanto faz a 0 º

    P = VT * IT * cos = 120 * (7,2) * (cos ) = 120 * (7,2) * (1) = 864 W

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    Como a voltagem em um circuito em paralelo é constante, usamos à voltagem como fasor dereferência. As correntes I1 e I2 desenham-se com a mesma direção que a voltagem porque acorrente que passa por resistências puras está em fase com a voltagem. O fasor I1 mostra-semais longo que I2 porque o valor da corrente I1 é maior (se veja o diagrama de fasores).

    Diagrama de fasores

    11.16 Um circuito de ca em série-paralelo tem dois ramos entre a linha de alimentação de 60Hz,120V (Fig. 11 - 27). Encontrem-se I1, I2, I3, V1, V2, V3. (Em ocasiões, usam-se setas com duascabeças para indicar a direção da corrente alternada.)

    Fig. 11-27 Fonte de ca em um circuito série-paralelo

    Proceda-se a resolver o circuito de ca puramente resistivo, da mesma maneira que um circuitode cc.

    Passo 1 Simpli fíquese o circuito a uma só resistência RT.

    Ra = (R2 x R3) / (R2 +R3) = (20 * 30) / (20 + 30) = 600 / 50 = 12

    RT = R1 + Ra = 12 + 28 = 40

    Passo 2: Resolva para a corrente total IT

    IT = VT / RT = 120 / 40 = 3 APasso 3: Resolva para as correntes de ramo I2 e I3

    I2 = (R3 / (R2 + R3)) * IT = (30 / 50) * 3 = 1,8 A

    I3 = IT - I2 = 3 - 1,8 = 1,2 A

    Passo 4: Resolva para as voltagens V1 e V2.

    V1 = IT * R1 = 3 * (28) = 84 V

    V2 = V3 = I2 *R2 = 1,2 * (20) = 36 V

    Passo 5: Verifique-se a resposta por divisão da voltagem.

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    VT = V1 + V2 = 120 = 84 + 36 = 120V = 120V Comprovação

    PROBLEMAS COMPLEMENTARES

    A voltagem pico de uma onda senoidal de ca é 100 V. Encontrem-se as voltagens instantâneasa 0, 30, 60, 90, 135 e 245 º. Grafíquense estes pontos e desenhe-se a onda senoidal devoltagem

    Resposta Veja-se a figura 11-20

    Fig. 11-28

    11.18 Se uma onda de voltagem de ca tem um valor instantâneo de 90 V a 30 º, encontre-se ovalor pico. Resposta VM = 180V

    11.19 Uma onda de ca tem um valor efetivo de 50 mA. Encontrem-se o valor máximo e o valor

    instantâneo a 60 º. Resposta IM = 70,7 mA; i = 61,2 mA

    11.20 Uma estufa elétrica consome 7,5 A de uma fonte de 120 V de cc. Qual é o valor máximode uma corrente alternada que produza a mesma quantidade de calor? Encontre-se a potênciaque se consome da linha de ca. Resposta IM = 10,6 A; P = 900 W

    11.21 Calculem-se V, Vptp, T e f da onda senoidal de voltagem mostrada na figura 11-29.Resposta V = 38,2 V; Vptp = 108 V; T = 2 s; f = 0,5 MHz

    Fig. 11 - 29 Fig. 11 - 30

    11.22 Qual é a voltagem pico a bico e a frequência da onda retangular asimétrica da figura 11-30? Resposta V = 25 V; f = 0,1 MHz

    p-p

    11.23 Encontre-se a voltagem instantânea a 45 º de uma onda cujo valor pico é 175 V. RespostaV = 123,7 V

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    11.24 Encontre-se o valor pico de uma onda de ca se a corrente instantânea a 30 º é de 35 A.Resposta IM = 70 A

    11.25 Encontre-se o ângulo de fase para o qual aparece uma voltagem instantânea de 36,5 Vem uma onda cujo valor pico é de 125 V. Resposta = 17 º

    11.26 Qual é o período de uma voltagem de ca que tem uma frequência de (a) 50 Hz, (b) 95 KHze (c) 106 KHz?. Resposta (a) T = 0,02 s; (b) T = 0,0105 ms; (c) T = 0,00943 ms ou 9,43 séc

    11.27 Encontre-se a frequência de uma corrente alternada se seu período é (a) 0,01 5, (b) 0,03ms e (c) 0,006 ms. Resposta (a) f = 100 Hz; (b) f = 33.3 KHz; (c) f = 166,7 KHz

    11.28 Qual é a longitude de onda da estação de rádio WMAL que transmite em FM (frequênciamodulada) com uma frequência de 107,3 KHz? Resposta = 2.796 m

    11.29 Qual é a longitude de onda de uma onda de ca cuja frequência é (a) 60 Hz, (b) 1 KHz, (c)30 KHz e(a) 800 KHz? Resposta (a) = 5 x 106 m; (b) = 3 x 105 m; (c) = 10.000 m; (d) = 375 m

    11.30 Encontre-se a frequência de uma onda de rádio cuja longitude de onda é (a) 600 m; (b)2.000 m; (c) 3.000 m e (d) 6.000 m. Resposta (a) f = 500 KHz; (b) f = 150 KHz; (c) f = 100 KHz; (d)f = 50 KHz

    11.31 Determine-se o ângulo de fase entre a cada par de ondas de ca que se indicam (Fig. 11-31) e desenhem-se seus fasores. Para a cada onda mostra-se um ciclo. Tome-se I como o fasorde referência.

    Fig. 11-31

    Resposta (a) v e i estão em fase Diagrama de fásores.

    (b) v adianta a i por 180 º ou bem, i se atrasa a v em 180 º

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    ( c ) i adianta a v em 90 º ou bem, v se atrasa a i em 90 º

    (d) i adianta a v em 90 º ou bem, v' se atrasa a i em 90 º

    (e) v adianta a i em 130 º ou bem, i se atrasa a v em 130 º

    11.32 A linha de energia elétrica de ca doméstica fornece 120V. Este é a voltagem que medeum voltímetro de ca. Qual é o valor pico desta voltagem? Resposta VM = 169,7 V

    11.33 Um forno industrial consome 8,5 A de uma fonte de cc de 120V. Qual é o valor máximo deuma corrente alternada que quente com a mesma rapidez? Resposta IM= 12,0 A

    Encontrem-se os valores que se indicam.

    Valor pico Valor rmsValormédia

    Ângulo defase

    Valorinstantâneo

    (a) 45 A ? ? 45 º ?

    (b) ? 220 V ? 60 º ?(e) ? ? 10 A 30 º ?

    (d) 200 V ? ? 60 º ?

    (e) ? 110 V ? 75 º ?

    (!) ? ? ? 15 º 75,1 V

    (g) 100 V ? ? ? 86,6 V

    (it) ? ? 20 A ? 15,7 A

    (i) ? 30 A ? ? 30 A(j) ? ? 100,1 V ? 136,1 V

    RespostaValorpico

    Valor rmsValormédia

    Ângulode fase

    Valorinstantâneo

    (a) .... 31,8 A 28,7 A .... 31,8 A

    (b) 311,1 V .... 198,2 V .... 269,4 V

    (c) 15,7 A 11.1 A ... .... 7,85 A

    (d) ... 141,4 V 127,4 V .... 173,2 V

    (e) 155,6 V .... 99,1 V .... 150,3 V

    (f) 290,2 V 205, 2 V 184,9 V . .. . ....

    (g) ... 141,4 V 63,7 V 60 º ....

    (h) 31,4 V 22,2 A . . . 30 º ....

    (i) 42,4 A .... 27,0 A 45 º ....

    (j) 157,1 V 111,1 V .... 60 º ....

    11.35 Um amperímetro de ca indica uma corrente de 22 A que passa por uma carga resistiva eum voltímetro indica uma queda de voltagem de 385 V rms na carga. Quais são os valores picoe os valorize média da corrente e a voltagem alternados? Resposta IM = 31,1 A; VM = 545 V;

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    21/21

    Iprom = 19,9 A Vprom = 347 V

    11.36 Uma linha de energia elétrica de ca fornece 240 V a um cabo calefactor de aço que temuma resistência total de 5 . Encontrem-se I, VM, Vptp, IM, Iptpt, Iprom e P. Resposta I = 48 A; VM= 339 V; Vptp = 678 V; Vprom = 216 V;

    IM = 67,9 A;Iptp = 135,8 A;Iprom = 43,3 A e P = 11.520 W

    11.37 Um cautín elétrico para soldar consome 0,8 A de uma linha de alimentação de 120V,60Hz. Qual é sua resistência? Quanta potência consumirá? Desenhe-se o diagrama de fasores.

    Resposta R = 150 ; P = 96 W

    11.38 Encontrem-se a corrente e a potência consumidas de uma linha de 110 V e 60 Hz, por umfoco de tungsteno cuja resistência é 275 . Desenhe-se o diagrama de fasores. Resposta I = 0,4

    A; P = 44 W

    11.39 Um circuito tem um resistor R1 de 5 M em série com um resistor R2 de 15 M conectados auma fonte de 200 V de ca. Calculem-se I, V1, V2, P1 e P2. Resposta I = 10 A; V1 = 50 V; V2 =150 V; P = 0,5 mW; P2 = 1,5 mW

    11.40 No circuito série-paralelo (Fig. 11-32), encontrem-se a corrente total, a Corrente que passa

    pela cada resistência e a voltagem entre os extremos da cada resistência. Resposta IT= I1 = 24A;I2 = 12 A; I3 = 12 A; V1 = 96 V; V2 = V3 = 24 V

    Fig. 11.32

    11.41 Um circuito de ca série-paralelo tem dois ramos conectados à linha de energia elétrica de120 V, 60 Hz. Um ramo tem uma resistência R1 de 20 , enserie com um R2 de 10 . O outro ramotem um R3 de 30 M em série com um R4 de 10 M. Calculem-se V1, V2, V3 e V4. Resposta V1 =80 V; V2 = 40 V; V3 = 90 V; V4 = 30 V

    11.42 Um circuito de ca tem um resistor de 5 M, R1, em paralelo com um resistor R2 de 10 Mconectados a uma fonte de 200 V. Encontrem-se I1, I2 V1, V2, P1 e P2 Resposta I1 = 40 A; I2

    =20 A; V1 = V2 = 200 V; P1 =8 mW; P2 = 4 mW