Controle de Processos - ene.unb.br .ou por equações diferenciais lineares ou não lineares, solúveis

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  • Controle de Processos: Soluo analtica de sistemas

    lineares dinmicos

    Prof. Eduardo Stockler Tognetti & David Fiorillo

    Laboratrio de Automao e Robtica (LARA)

    Dept. Engenharia Eltrica - UnB

  • Contedo

    1. Introduo 2. Formas de solues de equaes diferenciais ordinrias 3. Caractersticas bsicas dos sistemas lineares de 1 e 2 ordem 4. Caractersticas da resposta temporal de sistemas lineares 5. Resposta natural dos sistemas de 1 ordem 6. Reposta total ao degrau de sistemas de 1 ordem 7. Reposta total exponencial de sistemas de 1 ordem 8. Reposta total ao impulso de sistemas de 1 ordem 9. Reposta total senoidal de sistemas de 1 ordem 10. Exemplos de resposta temporal de sistema de 1 ordem 11. Resposta natural dos sistemas de 2 ordem 12. Resposta forada dos sistemas de 2 ordem 13. Resposta total de sistemas de 2 ordem 14. Exemplos de resposta temporal de sistemas de 2 ordem

  • Introduo

    Conforme j mencionado h trs estgios bsicos que caracterizam o estudo da dinmica de sistemas:

    Obteno de equaes de movimento para diversos tipos de sistemas fsicos, j vista;

    A representao de modelos, j vista;

    A simulao do modelo matemtico obtido, visando analisar seu comportamento temporal que ser vista nesta aula.

  • Formas de soluo de equaes diferenciais ordinrias

    Conforme j mencionado, h duas alternativas para se efetuar a simulao de um modelo: Encontrar soluo analtica apenas de equaes de movimento

    lineares, na prtica s utilizada para sistemas com poucas equaes. Isto porque h uma pequena classe de equaes passveis de solues analticas (conforme a tabela). Os processos reais gera modelos compostos por equaes diferenciais isoladas ou por equaes diferenciais lineares ou no lineares, solveis apenas por mtodos numricos em computadores. Portanto, apenas casos muito simples so passveis de soluo analtica

  • Formas de soluo de equaes diferenciais ordinrias

    Os mtodos de soluo analtica s funcionam com equaes lineares, sendo necessrio linearizar as equaes no lineares. A segunda opo bem mais geral, sendo empregada para

    sistemas com qualquer nmero de equaes diferenciais ordinrias, lineares ou no, necessitando, no entanto de um computador.

    Alm disso, dentro do campo de solues analticas em equaes diferenciais lineares estaremos restritos as de 1 e 2 ordem. Para isso sero abordadas duas tcnicas:

    Obter a resposta temporal do sistema atravs de sua funo de transferncia via transformada de Laplace e soluo via transformada inversa de Laplace.

    Obter a resposta temporal atravs da soma das respostas natural e forada do sistema.

  • Caractersticas bsicas dos sistemas lineares de 1 e 2 ordem

    Um sistema descrito por meio de equaes diferenciais ordinrias com derivadas de ordem n;

    Os coeficientes ai so constantes e f(t) a excitao ou perturbao;

    Os tipos de perturbaes de maior interesse so: degrau, rampa, exponencial, impulso e senoidal.

  • Caractersticas bsicas dos sistemas lineares de 1 e 2 ordem

    Os sistemas de 1 ordem so sistemas que armazenam energia em apenas uma forma e lugar e que possuem um elemento para dissip-lo.

    Sua equao matemtica descritiva utiliza uma nica varivel e sua 1 derivada. So exemplos: Massa movendo-se com atrito; Capacitncia com resistores; Mola com atrito; Indutncia com resistores; Capacitncia trmicas com resistncias trmicas, etc.

    Em cada caso, as resistncias ou atrito dissipam energia e o sistema retorna sozinho a uma posio de equilbrio esttico aps uma perturbao externa. Deseja-se descobrir o x(t), ou seja, o comportamento temporal.

  • Caractersticas bsicas dos sistemas lineares de 1 e 2 ordem

    O sistemas de 2 ordem contm dois elementos distintos de armazenamento de energia e mais um mecanismo de dissipao.

  • Caractersticas da resposta temporal de sistemas lineares

    As mais importante funes de excitao podem ser representadas na forma,

    A superposio de respostas temporais vlida. A resposta total consiste na soma de duas partes distintas:

    forada e natural, A resposta forada semelhante excitao (entrada do

    sistema ou perturbao). Sua magnitude proporcional magnitude da excitao,

    A resposta natural sempre na forma, A equao caracterstica do sistema uma expresso

    algbrica em s, obtida pela substituio da resposta natural na equao deferencial homognea (no excitada)

  • Caractersticas da resposta temporal de sistemas lineares

    Funes de perturbao ou excitao mais empregadas:

    Constante;

    Exponencial;

    Senoidal;

    Senoidal amortecida.

  • Resposta natural dos sistemas de 1 ordem

    Resposta (movimento) natural de sistemas de 1 ordem;

    Desenvolvimento para resposta natural a excitao f(t)=0;

    A soluo x deve ser uma resposta cuja derivada seja sempre proporcional prpria resposta. A funo est tem essa propriedade. Essa soluo introduzida na equao de movimento para verificar quais valores das constantes X e s satisfazem.

    A equao satisfeita para X=0 (ausncia de movimento) e para X diferente de 0 resultando em b.s + k = 0 (equao caracterstica cujo soluo s = k/b)

    A raiz da equao determina completamente o comportamento dinmico dos movimentos naturais do sistema. Esses movimentos tem sempre a mesma forma, independente do tipo de excitao que aplicada.

    O valor da constante X pode ser estabelecido a partir da posio do sistema em t=0 (X=x(0)=x0).

    Se o autovalor for real positivo (s>0), resulta uma exponencial crescente que denota uma resposta natural ilimitada (instabilidade).

  • Reposta total ao degrau de sistemas de 1 ordem

    H(t) o degrau unitrio em t=0;

    Soluo proposta a superposio das respostas natural e forada;

    Assumiu-se que x(0+)=x(0), seno haveria velocidade infinita em um sistema fsico excitado por uma perturbao finita.

  • Reposta total exponencial de sistemas de 1 ordem

    Aplicao da excitao exponencial;

    Separao das solues natural e forada;

    Respostas total.

  • Reposta total ao impulso de sistemas de 1 ordem

    A resposta ao impulso no possui componentes natural e forada separadas;

    H apenas a resposta total; A magnitude de um impulso

    definida por sua rea; A largura do impulso deve ser muito

    pequena quando comparada com a constante de tempo do sistema;

    A resposta de um sistema de 1 ordem citado a um impulso de magnitude f0 idntica ao movimento natural a partir de uma posio inicial de magnitude x(0+)=f0;

    Pode-se considerar que o impulso gera a condio inicial em to curto tempo, que ele no tem nenhum outro efeito no sistema.

  • Reposta total senoidal de sistemas de 1 ordem

    Aplicao da funo senoidal;

    Verificao de sua defasagem;

    Resposta total de um sistema de 1 ordem a uma excitao senoidal

  • Exemplos de resposta temporal de sistema de 1 ordem

    O circuito conectado bateria por um longo perodo;

    A chave repentinamente comutada para terra;

    Determinar as correntes de malhas e tenses nos ns.

  • Exemplos de resposta temporal de sistema de 1 ordem

    A obteno da equao que descreve V3(t) feita de duas formas: atravs da resposta total do sistema e via transformada de Laplace.

  • Exemplos de resposta temporal de sistema de 1 ordem

    O problema mostra uma capacitncia termal C revestida por uma isolao, que tem uma resistncia trmica equivalente R;

    A temperatura dentro do vaso, assumida uniforme, T(t);

    O calor adicionado no interior do sistema taxa qe(t);

    A temperatura ambiente Ta ao redor da isolao constante;

    Encontrar a equao que define a resposta temporal para uma entrada degrau de amplitude A em qe(t).

    Deseja-se obter a resposta temporal desta equao diferencial ordinria linear de 1 ordem, utilizando dois mtodos: transformada de Laplace e resposta temporal direta pela soma de solues natural e forada.

  • Exemplos de resposta temporal de sistema de 1 ordem

    Soluo usando-se a transformada de Laplace e entrada degrau.

  • Exemplos de resposta temporal de sistema de 1 ordem

    Obteno da soluo no tempo de forma direta.

    Sem trabalhar com variveis incrementais.

  • Exemplos de resposta temporal de sistema de 1 ordem

    Resposta ao impulso possui apenas a parte natural, pois idntica ao movimento natural a partir da posio inicial.

    Resposta a entrada senoidal.

  • Resposta natural dos sistemas de 2 ordem

  • Resposta natural dos sistemas de 2 ordem

  • Resposta natural dos sistemas de 2 ordem

    Sob o ponto de vista dos autovalores da equao caracterstica.

  • Resposta natural dos sistemas de 2 ordem

  • Resposta forada dos sistemas de 2 ordem

    As funes de excitao possuem um forma f(t), onde F uma constante complexa.

  • Resposta forada dos sistemas de 2 ordem

    Com a entrada senoidal e senoidal amortecida, a frequncia e a constante de tempo de decaimento (atenuao) da resposta so as mesmas da funo de excitao;

    A magnitude da resposta proporcional da funo de excitao e h uma defasagem entre a excitao e a resposta.

  • Resposta total de sistemas de 2 ordem

  • Resposta total de sistemas de 2 ordem

    Caso se assuma funo de transferncia, tem-se:

    A oscilao e sobressinal ocorrem somente para 0

  • Resposta total de sistemas de 2 ordem

    Resposta ao impulso (t) unitrio.

  • Exemplos de resposta temporal de sistemas de 2 ordem

    Sistema massa-mola com amortecedor;

    O sistema est inicialmente em equilbrio es