CONTROLE DE

PROCESSOS Unidade 2

Modelagem Matemática – Parte 2

Prof.: Naísses Zoia Lima

Tópicos

• Modelagem Caixa Preta

• Estrutura do Modelo

• Nomenclatura e Diagrama de Malha

• Métodos em Malha Aberta

Modelagem Caixa Preta

• Aplica-se a processos onde não se tem informação a

respeito do processo.

• A modelagem caixa preta se propõe a obter um modelo

matemático que explique, pelo menos em parte ou de

forma aproximada, a relação de causa e efeito presente

nos dados relativos às variáveis de entrada e saída do

processo.

• Por isso, é também chamada de modelagem por relação

entrada-saída ou empírica.

Modelagem Caixa Preta

• Os modelos teóricos possuem vantagens sobre os

empíricos: eles frequentemente podem ser extrapolados

sobre uma faixa maior de condições operacionais, além

de permitir inferir o valor de variáveis de processo não-

medidas ou incomensuráveis.

• Os modelos empíricos, por outro lado, são mais fáceis de

gerar e normalmente são satisfatórios durante o projeto

de controladores em plantas industriais. Por isso serão

amplamente adotados no curso.

Estrutura do Modelo

• O primeiro passo é determinar uma estrutura básica para

o modelo, por exemplo, funções de transferência:

• primeira ordem

• segunda ordem

• terceira ordem

• acréscimo de um polo na origem

• acréscimo de um zero de fase não-mínima

• Os coeficientes deste modelo base são, em seguida,

determinados a partir de ensaios realizados no processo.

Estrutura do Modelo

• A correta escolha da estrutura do modelo depende de

uma noção sobre quais são os elementos dinâmicos

característicos do processo.

• A grande maioria da dinâmica de processos industriais

pode ser representada, de forma aproximada, como uma

combinação dos quatro elementos básicos:

• Ganho

• Atraso de transporte

• Atraso de Transferência

• Integrador

Estrutura do Modelo

Nomenclatura e Diagrama de Malha

• PV = Temperatura medida no forno (oC)

• SP = Temperatura desejada (oC)

• CO = Saída do controlador

• MV = Abertura da válvula de combustível (0-100%)

• Chave M/A = chave seletora de modo (manual-automático)

SP + Controlador

Planta

(Válvula+Forno)

PV

CO

erro

PV medida

Sensor +

transmissor

MV

Ação manual Chave

M/A

Métodos em Malha Aberta

• Na modelagem “caixa-preta”, testes devem ser realizados sobre o processo para identificar a relação dinâmica entre entrada e saída.

• Estes testes devem “perturbar” o processo, para que ele “revele” o seu comportamento dinâmico.

• No teste em malha aberta (MA), o controlador é colocado em modo manual (chave seletora na posição “M”) e uma variação na MV é gerada manualmente.

• Durante o teste, os sinais de entrada (MV) e de saída (PV) devem ser registrados para que um modelo matemático do processo possa ser obtido.

Planta

(Válvula+Forno)

PV

PV medida

Sensor +

transmissor

MV

Ação manual Chave

M/A

Processo

Sinal de Teste Resposta

Dinâmica

Métodos em Malha Aberta

• O objetivo da modelagem é obter uma função de transferência G(s) que represente o comportamento dinâmico do processo.

• A primeira etapa é determinar a estrutura do modelo (contínuo ou discreto, linear ou não-linear, 1ª ordem ou 2ª ordem, etc). Neste curso, trabalharemos sempre com modelos lineares contínuos. Assim, é necessário apenas determinar a ordem do modelo. Isso pode ser feito inspecionando visualmente o perfil da resposta da PV, conforme ilustrado nos exemplos abaixo:

Modelo de 1ª ordem

Modelo de 2ª ordem

Sobreamortecido

Modelo de 2ª ordem

Subamortecido

Modelo integrador

Métodos em Malha Aberta Modelo de 1ª Ordem – Método Gráfico •

Métodos em Malha Aberta Modelo de 1ª Ordem – Método Gráfico • Ganho estático: obtido pela razão entre a variação total

da PV e a variação na MV (amplitude do teste).

• Obs: Para obtenção do ganho adimensional, a escada da PV deve estar na faixa de 0-100%, igual da MV.

Métodos em Malha Aberta Modelo de 1ª Ordem – Método Gráfico • Tempo morto: intervalo de tempo entre o instante do teste

(degrau na MV) e o instante em que a PV começa a

manifestar o início da resposta a esse degrau.

Instante do

teste

Instante em

que a PV

começa a

manifestar

Métodos em Malha Aberta Modelo de 1ª Ordem – Método Gráfico • Constante de tempo: pode ser obtida calculando-se o tempo gasto pela PV, após

início do teste, para atingir 63,2% de sua variação total (método do 63,2%).

• Uma forma alternativa é traçando-se uma tangente ao início da curva e marcando o instante em que esta tangente intercepta o valor final da PV (método da tangente).

Métodos em Malha Aberta Modelo de 1ª Ordem – Método das Áreas • Uma desvantagem dos métodos gráficos é a dificuldade

de se extrair com precisão os parâmetros das curvas,

principalmente quando os sinais apresentam ruídos de

medição.

• Uma alternativa é a utilização do método das áreas.

Neste método, os parâmetros da função de transferência

são obtidos pelo cálculo de áreas acima e abaixo da

curva da PV.

• O fato de se utilizar uma área no lugar de pontos de

interseção ou tangentes praticamente anula a incerteza

causada pelo ruído.

Métodos em Malha Aberta Modelo de 1ª Ordem – Método das Áreas • O método: 1) Normalização dos dados: O vetor de dados de saída y (PV) deve estar

sem offset (o patamar inicial deve ser nulo) e sua amplitude deve estar

normalizada para resposta a degrau unitário (y deve ser dividido pela

amplitude do degrau).

2) Em seguida o parâmetro Tar é calculado a partir da razão entre a área

acima da curva (A0) é o valor do ganho K.

K

0

y (PV)

0

))()((0 dttyyA

K

ATar

0

Métodos em Malha Aberta Modelo de 1ª Ordem – Método das Áreas • O método: 3) O valor de Tar é então utilizado como limite final de integração para o

cálculo da área abaixo da curva (A1).

4) Por último, os parâmetros e são calculados conforme mostrado nas

equações abaixo

K

0

y (PV)

Tar

dttyA0

)(1

K

Ae 1

Tar

Métodos em Malha Aberta Modelo de 1ª Ordem – Método das Áreas • Um exemplo de aplicação do método é mostrado abaixo:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5

0

0.5

1

1.5

2

114,13

32,1)(

84,5

s

esG

s

Métodos em Malha Aberta Modelo de 2ª Ordem Sobreamortecido – Método Gráfico

•

Métodos em Malha Aberta Modelo de 2ª Ordem Sobreamortecido – Método Gráfico

•

Métodos em Malha Aberta Modelo de 2ª Ordem Sobreamortecido – Método Gráfico

• Resposta ao degrau de sistemas de 2ª ordem

sobreamortecidos.

Métodos em Malha Aberta Modelo de 2ª Ordem Sobreamortecido – Método Gráfico

Métodos em Malha Aberta Modelo de 2ª Ordem Sobreamortecido – Método Gráfico

Métodos em Malha Aberta Modelo de 2ª Ordem Subamortecido – Método Gráfico

•

Métodos em Malha Aberta Modelo de 2ª Ordem Subamortecido – Método Gráfico

•

Métodos em Malha Aberta Modelo de 2ª Ordem Subamortecido – Método Gráfico • A figura abaixo mostra a resposta de um sistema a um degrau unitário

na MV. Trata-se de um sistema de 2ª ordem subamortecido, com ganho K unitário e tempo morto desprezível.

• É possível observar 4 ciclos e meio de oscilação, sendo que os quatro primeiros ocorrem nos primeiros 25 segundos, assim temos:

Métodos em Malha Aberta Modelo Integrador – Método Gráfico • Em processos integradores, a saída (PV) é proporcional a

integral da entrada (MV).

• O ritmo de integração é dado pela constante K, chamada

de ganho integrador.

• Considera-se também a existência de possíveis atrasos

de transporte (tempo morto).

• Assim temos a seguinte função de transferência:

Métodos em Malha Aberta Modelo Integrador – Método Gráfico

Métodos em Malha Aberta Modelo Integrador – Método Gráfico