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CONTROLE DE SISTEMAS COM ATRASO APLICANDO

TECNICAS CLASSICAS E MODERNAS

Rafael Rodrigues de Carvalho

Projeto de Graduacao apresentado ao Curso

de Engenharia Eletronica e de Computacao

da Escola Politecnica, Universidade Federal

do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessarios a obtencao do ttulo de Enge-

nheiro.

Orientador: Eduardo Vieira Leao Nunes

Rio de Janeiro

Setembro 2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Escola Politecnica - Departamento de Eletronica e de Computacao

Centro de Tecnologia, bloco H, sala H-217, Cidade Universitaria

Rio de Janeiro - RJ CEP 21949-900

Este exemplar e de propriedade da Universidade Federal do Rio de Janeiro, que

podera inclu-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar

qualquer forma de arquivamento.

E permitida a mencao, reproducao parcial ou integral e a transmissao entre bibli-

otecas deste trabalho, sem modificacao de seu texto, em qualquer meio que esteja

ou venha a ser fixado, para pesquisa academica, comentarios e citacoes, desde que

sem finalidade comercial e que seja feita a referencia bibliografica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho sao de responsabilidade do(s) autor(es).

iv

DEDICATORIA

Dedico este trabalho a minha famlia e amigos.

v

AGRADECIMENTO

Agradeco a todos aqueles que me apoiaram ao longo da minha trajetoria. Agradeco

em especial aos meus pais Jaime e Marta e as minhas irmas Debora e Ana Carolina

que permitiram me desenvolver ainda mais. Agradeco tambem ao meu orientador e

aos membros da banca avaliadora, pois sao parte integrante desta realizacao.

vi

RESUMO

Tendo em vista que muitos sistemas de interesse apresentam atrasos, e muito im-

portante explorar tecnicas de analise e projeto para poder lidar com esses sistemas

de forma eficiente. Nesse sentido, este trabalho apresenta um estudo sobre algumas

das principais caractersticas de sistemas com atraso, bem como possveis estrategias

para o seu controle. Primeiramente, considera-se o Preditor de Smith que e uma das

abordagens mais conhecidas para o controle de sistemas com atraso. Em seguida,

outra abordagem mais moderna que utiliza realimentacao de estados estimados por

um preditor baseado em uma cadeia de observadores e considerada. Essa estrategia,

proposta recentemente, permite o controle de sistemas com atrasos longos e varian-

tes no tempo. Alem disso, a funcao que descreve o atraso pode ate nao ser contnua,

desde que seja conhecida. As estrategias de controle consideradas sao aplicadas para

o controle de velocidade de um motor cujo sistema de comunicacao apresenta uma

latencia consideravel. O desempenho das estrategias e ilustrado e comparado por

meio de simulacoes numericas.

Palavras-Chave: sistemas com atraso, controle, estabilidade, preditor, realimentacao

de estados.

vii

ABSTRACT

Since time-delay appears in many systems of interest, it is important to explore

analysis and design techniques to be able to deal with these systems efficiently. In

this sense, this work presents a study of the main characteristics of time delay sys-

tems, as well as possible strategies for their control. First, we consider the Smith

Predictor, one of the most known approaches to control time-delay systems. Then,

we consider a modern approach which uses feedback of states estimated by a predic-

tor based on chained observers. This strategy, proposed recently, allows the control

of systems with a large and time variant delay. Besides, the function that describes

the delay may even be discontinuous since it is known. The control strategies are ap-

plied to control the velocity of a DC motor whose communication system presents a

considerable latency. Numerical simulations illustrate and compare the performance

of the considered strategies.

Key-words: time delay systems, control, stability, predictor, state feedback

viii

SIGLAS

DDE - Delayed Differential Equation - Equacao diferencial atrasada

EDO - Equacao diferencial ordinaria

FTMA - Funcao de transferencia de malha aberta

KVL - Kirchhoffs Voltage Law - Lei das Tensoes de Kirchhoff

LDF - Lossless Delay Function - Funcao de atraso sem perdas

LTI - Linear Time-invariant - Linear e invariante no tempo

MIMO - Multiple-Input and Multiple-Output - Multiplas entradas e multiplas

sadas

PI - Proporcional e integral

PID - Proporcional, integral e derivativo

RDE - Retarded type differential equation - Equacao diferencial retardada

SISO - Single-Input and Single-Output - Unica entrada e unica sada

SLIT - Sistema Linear e Invariante no Tempo

SP - Smith Predictor - Preditor de Smith

SPLD - Semi-plano lateral direito

SPLE - Semi-plano lateral esquerdo

ix

Sumario

1 Introducao 1

1.1 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Delimitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.6 Descricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Sistema com atraso 5

2.1 Aplicacao e modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Aproximacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Aproximacao de Pade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Solucoes 13

3.1 Metodo dos passos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Formula da variacao de constantes para sistemas LTI e a Matriz fun-

damental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Comparacao entre o Metodo dos passos e a Formula da variacao de

constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Estabilidade 23

4.1 Criterio de estabilidade de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.1 Mapeamento de contornos e o Princpio do argumento . . . . 23

4.1.2 Analise da estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.3 Aplicacao em sistemas com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Analise a partir da matriz caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . 28

x

4.3 Lyapunov-Krasovskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Controle 34

5.1 Controle classico: Preditor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.1 Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.2 Casos de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1.3 Avaliacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Controle moderno: Realimentacao de estados e observador de medicoes

com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.1 Definicao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.2 Observador para medicoes com atraso . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.3 Esquema de predicao encadeado . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Aplicacao 51

6.1 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2 Controle classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3 Controle moderno: realimentacao de estados e observador de medicoes

com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3.1 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.3.2 Resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.4 Resultado para atraso variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.4.1 Controle Classico: Preditor de Smith . . . . . . . . . . . . . . 58

6.4.2 Controle Moderno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.5 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Conclusoes 62

A Validade do criterio de Nyquist para sistemas com atraso 66

B Diagramas de blocos 69

xi

Lista de Figuras

2.1 Diagrama de um sistema de controle de um motor a distancia. . . . . 6

2.2 Diagrama equivalente de um sistema de um controle a distancia. . . . 6

2.3 Diagrama equivalente com atraso na sada. . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Diagrama de Bode do sistema com atraso sem aproximacao. . . . . . 11

2.5 Diagramas de Bode para aproximacoes de Pade de ordens 0 e 1. . . . 11

2.6 Diagramas de Bode para aproximacoes de Pade de ordens 2 e 50. . . 12

3.1 Grafico da solucao da Equacao 3.5, para t (0, 10]. . . . . . . . . . . 15

3.2 Grafico da solucao da Equacao 3.15, para t (0, 10]. . . . . . . . . . . 17

3.3 Grafico de x(t) utilizando a formula da variacao de constantes. . . . . 22

4.1 Mapeamento da curva pela funcao F (s). . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Sistema de controle em malha fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Curvas utilizadas para o mapeamento do SLPD e criacao do dia-

grama de Nyquist