Controle Digital

Prof. Adolfo Bauchspiess

ENE/FT/UnB

1CDig-ENE/UnB

1. Introdução - Sistema de Controle Digital

2CDig-ENE/UnB

Conversor A/D - Quantização

3CDig-ENE/UnB

Sistema de Controle Digital - Sinais

Obs: Referência e detetor de erro podem também ser implementados em software.(Ogata, Discrete Control)

4CDig-ENE/UnB

3.2 Efeito da Amostragem

• Hold Atraso no sistema realimentado prejudica a estabilidade e o amortecimento

Eq. A e(kT) u(kT) u(t)Eq. A diferenças

D/A Holde(kT) u(kT) u(t)

Atraso médio T/2 → análise do sistema contínuo com Hold

Ts

TsGh /2

/2)(

+= (Padé)

5CDig-ENE/UnB

Análise no domínio ω

• T →= exp(-jωT)

• Atraso T/2→redução de fase δϕ = - ωT/2T →= exp(-jωT)

6CDig-ENE/UnB

Exemplo 3.3

Redução da Margem de Ts

TsG

s

ssD

sssG

h +=

++=

+=

/2

/2)(

10

270)(

)1(

1)(

Margem de Fase

ML

TjDGfeedbackssys

GhDGfeedbackssys

DGfeedbackssys

→

−===

)1),2/exp(**()(2

)1,**()(1

)1,*()(0

ω

7CDig-ENE/UnB

Exemplo 3.3

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

sys0

sys1

sys2

)1),2/exp(**()(2

)1,**()(1

)1,*()(0

/2

/2)(;

10

270)(;

)1(

1)(

TjDGfeedbackssys

GhDGfeedbackssys

DGfeedbackssys

Ts

TsG

s

ssD

sssG h

ω−===

+=

++=

+=

-80

-60

100

101

102

-720

-540

-360

-180

Pha

se (

deg)

Frequency (rad/sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

8CDig-ENE/UnB

Controle PID por emulação (CDigPrj1)

T

kxkxxEulerdemétodopeloçãoDigitaliza

)()1( −+=&

)()1()()()(:

)()()()(:

0

+−= →=

=→=

∫ keT

Kkukude

T

KtuI

kKekutKetuP

i

tEuler

i

ηη

[ ])1()()()()(:

0

−−= →= kekeT

KTkute

T

KtuD dEuler

d

&

−+−+−

+++−= )2()1()21()(1)1()( ke

T

Tke

T

Tke

T

T

T

TKkuku ddd

i

)()1

1()(

)()( eT

T

eeKusT

sTK

se

susD d

id

i

&&&& ++=⇒++==

Projeto Contínuo→discreto: ~30BW, quase-contínuoPID discreto

9CDig-ENE/UnB

4 - Análise de Sistemas Discretos

Computador como controlador Dinâmico:

Caso Linear, finito: eq. de recorrência

Origem do nome:

eq. a diferenças (b0=b2=0)

10CDig-ENE/UnB

A Função de Transferência Discreta

Transformada Z de e0, e1,... ek,....

Exemplo:

11CDig-ENE/UnB

A Função de Transferência Discreta

)(

)(ˆ)(

zE

zUzH =

H(z)E(z) U(z)

12CDig-ENE/UnB

Pólos e Zeros

MatLab: >> H = tf([b0 b1 ... bm],[1 a1 a2 ... an],T)

>> H2 = zpk(z, p, k, T)>> H2 = zpk(z, p, k, T)

>> H2 = zpk(H)

>> H= tf(H2)

Ex: degrau unitário H(z) = z-1 → uk=ek-1 z-1

E(z) U(z)

T13CDig-ENE/UnB

Diagramas de Blocos

14CDig-ENE/UnB

Formas Canônicas

Forma Canônica Controlável (Franklin)15CDig-ENE/UnB

Forma canônica observável (Franklin)

16CDig-ENE/UnB

Resposta ao Pulso Unitário

Transformada da respostaTransformada da respostaao pulso unitário

17CDig-ENE/UnB

Exemplo:

18CDig-ENE/UnB

Convolução

Produto no domínioda frequência:

Convolução no domíniodo tempo discretodo tempo discreto

19CDig-ENE/UnB

BIBO Estabilidade

Entrada limitada:

Saída limitada se:

20CDig-ENE/UnB

Exemplo - BIBO Estabilidade

Sistema discreto:

Resposta a umPulso unitário:

Estabilidade:

21CDig-ENE/UnB

Modelo Discreto de Sistemas Amostrados

Pulso unitário

D/A A/DG(s)u(kT) u(t) y(t) y(kT)

Modelo discreto equivalente de G(s)22CDig-ENE/UnB

Exemplo:

Modelo discreto equivalente com ZOH

as

asG

+=)(

23CDig-ENE/UnB

4.4 Resposta Dinâmica

Procedimento:

1. H(z)

2. E(z)

3. U(z)=E(z) H(z)

4. u(kT)

H(z)E(z) U(z)

24CDig-ENE/UnB

Pulso Unitário

U(z)=1.H(z) Função de transferência discreta é a resposta ao pulso unitário.

25CDig-ENE/UnB

Degrau Unitário

26CDig-ENE/UnB

Exponencial

27CDig-ENE/UnB

Senóide GenéricaDecompondo em parcelas:

28CDig-ENE/UnB

Mapeamento de pólos – ζ e ωn ctes

29CDig-ENE/UnB

Correspondência com sinais contínuos

Com T=1 seg.

30CDig-ENE/UnB

Sequências temporais associadas às posições dos pólos dos pólos no plano Z

31CDig-ENE/UnB

Mapeamento de Linhas Características

NT

jssπ2

12 +=Mapeamento não unívoco:

32CDig-ENE/UnB

Resposta em Frequência

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

entrada

saída

Considerando

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.8

-0.6

33CDig-ENE/UnB

Propriedades da Transformada Z

1. Linearidade

2. Convolução de sequências temporais

CDig-ENE/UnB 34

Propriedades da Transformada Z...

3. Deslocamento no tempo

4. Escalonamento em z

Ex:

CDig-ENE/UnB 35

Propriedades da Transformada Z...

6. a) Inversão por divisão longa

Ex:

CDig-ENE/UnB 36

Propriedades da Transformada Z...6.a) Inversão por divisão longa Ex:...

Por comparação direta:

CDig-ENE/UnB 37

Propriedades da Transformada Z...

6.b) Inversão por expansão em frações parciais

Ex:

CDig-ENE/UnB 38

5-Sistemas Amostrados

1. Sample & Hold

CDig-ENE/UnB 39

S&H – Análise Matemática

Separar Sample de Hold

Amostragem => modulação por impulsos

Propriedade*

CDig-ENE/UnB 40

T. Laplace de um sinal amostrado

Para o impulso

CDig-ENE/UnB 41

Segurador de Ordem Zero

CDig-ENE/UnB 42

Segurador de Ordem Zero

CDig-ENE/UnB 43

Espectro de um Sinal Amostrado

Representação da série de impulsos por Fourier

CDig-ENE/UnB 44’

Espectro de um Sinal Amostrado...

Tsπω 2= Freq. De amostragem (rad/s)

CDig-ENE/UnB 45

Espectro de um Sinal Amostrado...

Espectro de Amplitude

CDig-ENE/UnB 46

Espectro do sinal Amostrado → aliasing

2π

])2

([

)(

0

1

1

43421ω

πω

ω

TjR

dealiasjR

−

Exemplo – Alias

Sinais de 1/8 Hz e 7/8Hz amostrados a 1Hz

0.2

0.4

0.6

0.8

1

snT

n ωωπω +=+ 112

CDig-ENE/UnB 47

f0=1/8 -1 = -7/8 →senoide invertida0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

w1=2*pi*1/8; w2=2*pi*7/8; t=0:0.01:10; T=0:10,plot(t,sin(-w1*t),t,sin(w2*t),T,sin(-w1*T),'*')

Alias

Componentes de alta frequência geram erros quando amostrados

preceder S&H por filtro passa-baixas anti-alias

Remover componentes e espectrais acima de π/T

CDig-ENE/UnB 48

π/T → frequência de Nyquist

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Teorema da Amostragem

• π/T → frequência de Nyquist

Sinais sem componentes acima da freq. de Nyquist

CDig-ENE/UnB 49

são representados/recuperados de forma única

de suas amostras

A frequência de amostragem, ωs=2π/T deve ser pelo

menos duas vezes a maior frequência (π/T) do sinal.

Interpolação de Sinais Amostrados

• Filtro Passa-Baixas Ideal→reconstrução de r(t) a partir de suas amostras

T L(jω)

-π/T π/T ω

CDig-ENE/UnB 50

Resposta ao Impulso acausal

Interpolação de Sinais Amostrados ...

• Recuperação do sinal analógico

Propriedade de amostragem

T L(jω)

-π/T π/T ω

Propriedade de amostragem

Filtro ideal:

Acausal → Não é realizável!!

→adicionar atraso(ZOH)

CDig-ENE/UnB 51

Recuperação do sinal analógico, via ZOH do conversor A/D(Aceitar um atraso de T/2)

CDig-ENE/UnB 52

Atraso T/2

Senóideamostrada

CDig-ENE/UnB 53

Harmônica Fundamental:

ZOH)sin()( 0tAtv ω=

Alteração de amplitude e fase

Senóideamostrada

CDig-ENE/UnB 54

Harmônica Fundamental:

)sin()( 0tAtv ω= ZOH

Análise de Diagramas de Blocos

Funções de transferência discretas equivalentes?

CDig-ENE/UnB 55

Definição: Transformada de Laplacedo sinal amostrado

sTez =

Propriedade da Amostragem (E(s)*G(s))*= E(s)*G(s)*

Propriedade básica para Simplificar diagramas de blocos

CDig-ENE/UnB 56

*)()(*)(*

*))()(()(*

)()()(

:Importante

sGsEsU

sGsEsU

sGsEsU

≠=

=

zesTsUzU == )(*)(

notação

Exemplo

CDig-ENE/UnB 57

Retirando os sinais periódicos:

Denominando

Exemplo

Controlador:

Solução:

CDig-ENE/UnB 58

Modelo equivalente(Transf. Inv. Ao degrau)

Outro exemplo

Eq. do sistema:

Amostrando:

CDig-ENE/UnB 59

Não existe função de transferência (Y*/R*)

Sistema variante no tempo!!

≠

Obtenção Experimental do Ganho de Malha Aberta: sinal w, r = 0

1) Sinais w genéricos

CDig-ENE/UnB 60

função de transferência MA (E2*/E1*)

(sinal W fica misturado)

2) Sinal senoidal (uma exponencial por vez)

ω0 < π/T → sem sobreposição do espectro

CDig-ENE/UnB 61

G* = G p/ |ω| < π/T

F.T. MA!

3) F.T. MA: G com filtropassa-baixas anti-alias

|G| = 0 p/ |ω| > π/T

4) w aplicado via Sample & Hold

F.T. MA discreta

CDig-ENE/UnB 62

Transformada Z modificada

Permite calcular valores entre os instantes de amostragem

Verificar oscilações escondidas

→ escolher outra taxa de amostragem!!

1.4

→ escolher outra taxa de amostragem!!

→ Simulink

CDig-ENE/UnB 630 5 10 15 20 25 30 35 40

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zero-OrderHold

StepScope

80

(s+3)(s+.5+25j)(s+.5-25j)

Processo

15(z-.9)

(z-1)(z-0.7)

ControladorDiscreto Ta=1seg

6. Sistemas Discretos EquivalentesExemplo:

(Eq. Diferencial)

CDig-ENE/UnB 64

u(kT) = u(kT-T) + Área

Alguns métodos de integração simples

1) Regra Retangular em Avanço (Euler)

2) Regra Retangular em Atraso

CDig-ENE/UnB 65

2) Regra Retangular em Atraso

3) Regra Trapezoidal

CDig-ENE/UnB 66

Alguns métodos de discretização

CDig-ENE/UnB 67

Mapeamento da Região de EstabilidadeRetangular em avanço Retangular em atraso Trapezoidal

CDig-ENE/UnB 68

z = 1 + Ts

a)

Filtro estável em s (SPE)pode ser mapeado em umfiltro discreto instável (pólos |zi|>1)

Equivalente Prewarp – Pré-Compensação

• Corrige a distorção que ocorre na frequênciadevido ao atraso T/2 do sistema discreto.

• Em geral, o ajuste do ganho é feito na frequência de corte do sistema → Neste ponto, ω1 , os sistema contínuo e discreto passam a ter o mesmo ganho.

CDig-ENE/UnB 69

Equivalente discreto via casamento Pólo-Zero (Pole-Zero Matching)

Regras heurísticas p/ zeros tb. z=esT

>> sd=c2d(sys,T,’matched’)

1. Pólos z=esT

2. Zeros finitos mapeados tb. por z=esT2. Zeros finitos mapeados tb. por z=esT

3. a) Zeros de H(s) em s = ∞ mapeados em HZP(z) em -1z = ej0 = 1 → z = ejπ = -1 (maior freq. possível em z)b) se se deseja um delay: mapear um zero em ∞ e os demais em -1

4. GanhoH(s)|s=0 = Hzp(z)|z=1

CDig-ENE/UnB 70

Exemplo: pole-zero matching

Solução:

Pólo em s = -a → pólo de H(z) em e-aT

Zero s = ∞ → zero de H(z) em z = -1

Ganho de H(s) em s = 0 é 1 → para casar

CDig-ENE/UnB 71

H(z) em z = 1 deve ter ganho (1 – e-aT)/2

3.a)

3.b)

Equivalentes “Hold” (Segurador)

CDig-ENE/UnB 72

>> sd = c2d (sys,T,’zoh’)

ou >> sd = c2d(sys,T)

Equivalente segurador de ordem zero

Exemplo: equivalente ZOH

CDig-ENE/UnB 73

Equivalente “Hold” de 1ª ordem (Segurador triangular)

h(t)

Resposta ao impulso:

Não-causal!!

CDig-ENE/UnB 74

O sistema contínuo é não causal, porém seu discreto equivalente é realizável (causal)!!

Equivalente segurador de 1ª ordem

Exemplo: equivalente discreto FOH

H(s) = 1/s2

Processo:

Signal

1s

Integrator1

1s

Integrator

1

Gain

CDig-ENE/UnB 75

Zero-OrderHold

SignalGenerator Scope

1s

Integrator3

1s

Integrator2

Integrator1Integrator

1

Gain2

1

Gain1

Gain

z -2z+12

T*T/6*[1 4 1](z)

DiscreteTransfer Fcn

Exemplo: equivalente discreto FOH

2

4

6

8

ref

yC

yZOH

yFOH

CDig-ENE/UnB 76

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-6

-4

-2

0

Exemplo: equivalente discreto FOH

2

3

4

ref

yC

yZOH

yFOH

CDig-ENE/UnB 77

10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5

-2

-1

0

1

10.8 10.9 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

-0.5

0

0.5

1

ref

yC

yZOH

yFOH

Cuidado com a extrapolação !!

2

4

6

8

440 450 460 470

-2

-1

0

1

2

ref

yC

yZOH

yFOH

CDig-ENE/UnB 78

100 150 200 250 300 350 400 450 500-8

-6

-4

-2

0

440 450 460 470

440 441 442 443 444

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

ref

yC

yZOH

yFOH

Reconstrução a partir das amostras

0 1 2 3 4 5 6 7-10

-5

0

5

10

5

10

>> reconstr(n);

y = A1*sin(w1*t+a1)+A2*sin(w2*t+a2)

n=4A1=4; A2=1;w1=2; w2=10;a1=pi/5; a2=pi/16;a1=0; a2=0;ws=15;

CDig-ENE/UnB 79

0 1 2 3 4 5 6 7-10

-5

0

0 1 2 3 4 5 6 7-5

0

5

for i=1:4:n-1y = A1*cos(a1)*sinc((w(i)*T/2)/pi)*sin(w(i)*t-w(i)*T/2)...

+ A1*sin(a1)*sinc((w(i)*T/2)/pi)*cos(w(i)*t-w(i)*T/2)... + A1*cos(a1)*sinc((w(i+2)*T/2)/pi)*sin(w(i+2)*t-w(i+2)*T/2-pi)...+ A1*sin(a1)*sinc((w(i+2)*T/2)/pi)*cos(w(i+2)*t-w(i+2)*T/2)...+ A2*cos(a2)*sinc((w(i+1)*T/2)/pi)*sin(w(i+1)*t-w(i+1)*T/2)...+ A2*sin(a2)*sinc((w(i+1)*T/2)/pi)*cos(w(i+1)*t-w(i+1)*T/2)...+ A2*cos(a2)*sinc((w(i+3)*T/2)/pi)*sin(w(i+3)*t-w(i+3)*T/2-pi)...+ A2*sin(a2)*sinc((w(i+3)*T/2)/pi)*cos(w(i+3)*t-w(i+3)*T/2);

...end

n =10

n = 5000

Especificação de projeto em Z(Dinâmica dominante de 2ª ordem sem zeros)

0.6

0.8

1

0.30.20.10.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

0.6

0.8

1

0.30.20.10.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

spec_z(zeta, tr, ts, T) - Mostra no plano z a regiao que atende a especificaçao

zeta - fator de amortecimento (%UP = exp-(pi*zeta)/sqrt(1-zeta^2))tr - tempo de subida 10 - 90% (wn >= 1.8/tr)ts - tempo de acomodaçao 1% (sigma >= 4.6/ts)T - taxa de amostragem

CDig-ENE/UnB 80

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.90.80.70.60.50.40.3

π/T

0.9π/T

0.8π/T

0.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.1π/T

π/T

0.9π/T

0.8π/T 0.2π/T

0.1π/T

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.90.80.70.60.50.40.3

π/T

0.9π/T

0.8π/T

0.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.1π/T

π/T

0.9π/T

0.8π/T 0.2π/T

0.1π/T

spec_z(.8, .5,1,.1)spec_z(.2, 1,10,.1)

7. Projeto utilizando Transformadas

• Controle Clássico – Transformada de Laplace

– Transformada Z

1

• Controle Moderno – Espaço de Estados

CDig-ENE/UnB 81

11 1 z-1z-1 z-1 y

11 1 z-1

z-1

y

1

-1 -0,008

0,04

r 1

-0,28

0,4

-1

x2

x1x2

x1

1,8

1,8

0,8

1

^^

-1

1

Processo

Canal PI

Observador

1

0,89

-0,8

-0,8

7. Projeto utilizando Transformadas

• Especificações (aprox. de 2ª ordem, sem zeros)

– Tempo de subida ↔ frequência natural

– Tempo de acomodação

– Sobressinal ↔ Fator de amortecimento

– Coeficiente de Erro de Velocidade

CDig-ENE/UnB 82

21 ζ

πζ

−

−

= eM p

Escolha da Taxa de AmostragemT deve levar, em Malha Fechada, a 6 amostras entre 0 e tr

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1

1.2

1.4

Inadequado

CDig-ENE/UnB 83

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

t/seg

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T=1s; 3 amostras (0 e tr)

T=0,5 s; 6 amostras (0 e tr)

T=0,3 s; 10 amostras (0 e tr)22

22 ++ ss

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t/seg

r,y

Resposta “suave”

Adequado

Inadequado

Exemplo: Escolha da Taxa de Amostragem

Relação entre a frequência de amostragem e a frequência natural para N=10 (0 e tr) ?

A taxa de amostragem deve ser35 vezes a frequência natural !

CDig-ENE/UnB 84

35 vezes a frequência natural !

(aprox. de 2ª ordem, sem zeros)

Exemplo – Projeto Antena – rastreador angular

Especificações-Sobrepasso, degrau de entrada: 16%- Tempo de acomodação (1%) < 10 seg- ess rastreamento rampa de inclinação 0,01 rad/seg menor que 0,01 rad-10 amostras dentro de tr

CDig-ENE/UnB 85

)110(

1)(

+=

sssG

inquiry@anticyclone.co.uk

Antena

-0.01

0

0.01

0.02

0.03Root Locus

Imag

inar

y A

xis

)110(

1)(

+=

sssG

Malha Aberta

Projeto contínuo (em s)Proposta:

Compensador em AvançoCancelar polo em 0,1

1

110)(

++=

s

ssD

Root Locus

0.6

0.8

1

System: gGain: 0.998

CDig-ENE/UnB 86

-0.1 -0.05 0-0.03

-0.02

Real Axis

Malha Aberta

Solução

101,0

01,0

46,010

6,4

5,0%16

≥→≥

≥→≥

=→=

vv

p

KK

M

σσ

ζ

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6Pole: -0.5 + 0.865iDamping: 0.5Overshoot (%): 16.3Frequency (rad/sec): 0.999

Antena )110(

1)(

+=

sssG

Implementação discreta por emulação: Pole-Zero Matcing

1

110)(

++=

s

ssD

.2,018,010/

8,1

1.

segTsegtT

segt

naturalFreq

r

r

n

=→===

=ω

)( 1−= zzKzD

CDig-ENE/UnB 87

8187,0

9802,0

)(

2,0.11

2,0.1,01

1

1

==

==

−−=

−

−

ep

ez

pz

zzKzD

Ganho DC: 15,98187,01

9802,011)(lim)(lim

01=⇒

−−===

→→KKsDzD

sz

8187,0

9802,015,9)(

−−=

z

zzD

Implementação do Controlador8187,0

9802,015,9)(

−−=

z

zzD

CDig-ENE/UnB 88

Equação de recorrência:

Projeto Completo

CDig-ENE/UnB 89

Projeto Completo

CDig-ENE/UnB 90

Simulação do Projeto por emulaçãoStep Response

Am

plitu

de

0.8

1

1.2

1.4

System: ContínuoTime (sec): 3.58Amplitude: 1.16

System: Discreto T=0,2Time (sec): 3.6Amplitude: 1.21 Discreto T=0,2

Contínuo

110)(

ssD

+=

T=0,2 seg

CDig-ENE/UnB 91

Time (sec)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8187)-(

0.9802)-( 9.15 )(

0.9802)-( 1)-(

0.9934)+( 0.00199)(

1)(

z

zzD

zz

zzG

ssD

=

=

+=

21% de sobresinal em vez dos 16% especificados !

Simulação do Projeto por emulação

110)(

+= ssD

T=1 seg

1

1.5

System: discreto T=1Time (sec): 5Amplitude: 1.41

Step Response

Am

plitu

de

discreto T=1

contínuo

CDig-ENE/UnB 92

0.3679)-(z

0.9368)-(z 64.6 )(

0.9048)-(z 1)-(z

0.9672)+(z 0.048374)(

1)(

=

=

+=

zD

zG

ssD

41% de sobresinal em vez dos 16% especificados !

0 5 10 15 20 25 30 350

0.5

Time (sec)

Am

plitu

de

Projeto direto LGR no plano Z

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.9

0.80.70.60.50.40.3

0.2

0.1

0.9π/T

0.8π/T

0.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.1π/T

contínuosistM pn ζω ).(,,

CDig-ENE/UnB 93

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0π/T

0.9π/T

0.8π/T

0.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.1π/T

π/T

zgrid

er Tn

σζωσ −=⇒=

Projeto Aastreamento Antena

101,0

01,0

46,010

6,4

5,0%16

≥→≥

≥→≥

=→=

vv

p

KK

M

σσ

ζ

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.9

0.80.70.60.50.40.3

0.2

0.1

0.9π/T

0.8π/T

0.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.1π/T

CDig-ENE/UnB 94

9048,0

64,0/2/10

10/

5,0 ==

====

− T

n

n

er

TN

TN

ππωπω

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.9

π/T

0.9π/T

0.8π/T

0.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.1π/T

π/T

Coeficientes de Erro

z

zGzDz

z

zGzD

zRzE

s

sGZzzG

tipo

+−=

+=

−= −

1

)()(1

1

1)()(1

)()(

)()1()(

0

1

Tzzte

zGzDz

TzzE

zempolotemDGtipo

1)1lim()(

)()(1

1

)1()(

)1(1

2

−=∞→

+−=

=

CDig-ENE/UnB 95

p

z

Kte

GD

zGzDz

zzte

+=∞→

+=

+−−=∞→

→

1

1)(

)1()1(1

1

)()(1

1

1)1lim()(

1

vz

z

KzGzDz

Tz

zGzDzzte

1

))()(1)(1(lim

)()(1)1()1lim()(

1

21

∆

→

→

=+−

=

+−−=∞→

Tz

zGzDzK

zv

)()()1(lim

1

−=→

LGR Discreto 0)()(1 =+ zGzD

0.9048)-(z 1)-(z

0.9672)+(z0.048374)( KzG =

3

Root Locus

0.6

0.8

Root Locus

Controle Proporcional: muito lento e/ou oscilatório!

CDig-ENE/UnB 96

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Controle Proporcional

• O raio dos pólos é sempre menor que 0,95

92,019

9048,05,0

=→=== −

v

T

KK

er → necessário compensador dinâmico

→ instável

CDig-ENE/UnB 97

v

)9048.0(

)9672.0(0484.0)1(lim

)()()1(lim

11 −+−=−=

→→ zTz

zz

Tz

zGzDzK

zzv

→ instável

Compensador em Avanço

)3679.0(

)9048.0()(

−−=

z

zzD → Emulação do Compensador em Avanço, T=1 seg, K=6,64

0.5

1

1.5

System: untitled1

Root Locus

1.5

System: dicreto T=1Time (sec): 5Amplitude: 1.47

Step Response

dicreto T=1

contínuo

CDig-ENE/UnB 98

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5 System: untitled1Gain: 6.7Pole: 0.522 + 0.639iDamping: 0.212Overshoot (%): 50.7Frequency (rad/sec): 0.907

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0 5 10 15 20 25 30 350

0.5

1

Time (sec)

Am

plitu

de

Especificações no plano Z• Trazer os pólos mais para a esquerda→ aumentar o avanço.

5,05,0

61,010

)()()1(lim1

1.5,0

1

=→≥=→≤

−=→≥

−→

ζζ deespiral

rst

Tz

zGzDzKK

s

zvv

)05.0(

)8.0(6)(

−−=

z

zzD

1.4Step Response

Kv=1,26

Root Locus

CDig-ENE/UnB 99

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec)

Am

plitu

de

-1

-0.5

0

0.5

1

0.1π/T

0.2π/T

0.3π/T

0.4π/T0.5π/T

0.6π/T

0.7π/T

0.8π/T

0.9π/T

π/T

0.1π/T

0.2π/T

0.3π/T

0.4π/T0.5π/T

0.6π/T

0.7π/T

0.8π/T

0.9π/T

π/T

0.1

0.2

0.30.40.50.60.70.80.9

Pólo em z=0,74 e zero em z=0,8degradam a respostade sistema de 2ª ordem

Mp=29%, ts = 15 seg

Ajuste Fino )5.0(

)88.0(13)(

+−=

z

zzD

0.4

0.6

0.8

Root Locus

1

1.2

1.4Step Response

Kv=1,04

CDig-ENE/UnB 100

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

Time (sec)

Am

plitu

de

Cuidado!!Oscilações Escondidas

)8.0(

)8.0(9)(

+−=

z

zzD

0.8

1Root Locus

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Am

plitu

de

1.4

CDig-ENE/UnB 101

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Time (sec)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Latência PrópriateEstritamenFunçãozz

zzD

)5.0(

)88.0(13)(

+−=

1.4

1.6

1.8

2Step Response

CDig-ENE/UnB 102

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec)

Am

plitu

de

Projeto com pólo na origem

0.5

1

Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)

Am

plitu

de

1

1.2

1.4

)9.0(

)83.0(6)(

+−=zz

zzD

CDig-ENE/UnB 103

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

Real Axis

Imag

Axi

s

Time (sec)

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8