Controle [Modo de Compatibilidade] - ufsj.edu.br · Sistema de controle Sinal de Erro Sensor 23/09/2014 10 1 DEFINIÇÕES Amplifi cador Referência Saída + Planta – Sistema de

23/09/2014

1

CONTROLE

123/09/2014

CONTROLE

1.1. DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES2.2. CONTROLADORES ELETRÔNICOSCONTROLADORES ELETRÔNICOS3.3. PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM44 PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM

223/09/2014

4.4. PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM5.5. EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL6.6. ESTABILIDADEESTABILIDADE7.7. CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO

DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1

DEFINIÇÕESDEFINIÇÕESDEFINIÇÕESDEFINIÇÕES

323/09/2014

DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Referência bibliográfica

23/09/2014 4


• Comparar o valor real na saída com o valor desejado.

• O valor desejado é o valor de referência.

• Este valor também é chamado de Setpoint.

Controle

• O desvio é a diferença entre o valor real e o desejado.

• O sinal de controle reduz o desvio a um valor aceitável.

• A ação de controle proporciona a redução do desvio.

23/09/2014 5


• Ótimo: Uso de índice de desempenho, minimização deerros.

• Robusto: Compensador cujos pólos se ajustam aosdistúrbios.

• Adaptativo: O sistema se acomoda mediante uma

Tipos de controle

• Adaptativo: O sistema se acomoda mediante umaalteração no sistema.

• De estrutura variável: Mudança do ponto de operação.

• Inteligente ou de aprendizado: Inteligência artificial,lógica nebulosa, redes neurais, sistemas especialistas.

23/09/2014 6

23/09/2014

2


• Duas posições, booleano, liga-desliga.

• Proporcional (P).

• Integral (I).

Tipos de controle

• Proporcional e integral (PI).

• Proporcional e derivativo (PD).

• Proporcional, integral e derivativo (PID).

23/09/2014 7


Amplificador

+–

Referência

Controlador automático

Sinal de Erro

23/09/2014 8


Controlador Automático

Referência SaídaAtuador

Processo a

controlar

Sistema de controle

Sinal de Erro

Sensor

23/09/2014 9


Amplificador

Referência SaídaAtuador

Processo a

controlar+

–

Sistema de controle

Sinal de ErroSensor

23/09/2014 10


Amplificador

Referência SaídaPlanta+

–

Sistema de controle

Sinal de ErroSensor

23/09/2014 11


Amplificador

ReferênciaPara o atuador+

–

Sistema de controle

Sensor Da planta

23/09/2014 12

23/09/2014

3


• O controlador automático detecta o erro e o amplifica a umnível útil para o atuador.

• O atuador é um dispositivo de potência que produz um

Sistema de controle

sinal para agir no processo, em função do sinal de controle.

• O sensor converte a saída em um sinal que pode ser comparado com a entrada.

23/09/2014 13


• Controle on-off.

• Controle de duas posições.

• Simples e barato.

• Não requer o uso de PWM.

• O mais usado em sistemas industriais e domésticos.

Controle liga-desliga

• O atuador é operação nas situações limite.

• Controladores proporcionais com ganho muito altopodem ser considerados controladores liga-desliga.

• No caso de motor elétrico, os dois estados podemser ligado/desligado ou horário/anti-horário.

23/09/2014 14


• Geladeira.

• A ideia é manter a temperatura interna baixa econstante.

• Se for preciso esfriar, o compressor é ligado.

• Se não for preciso esfriar, o compressor é desligado.

Controle liga-desliga – Exemplo 1

Se não for preciso esfriar, o compressor é desligado.

• Como o isolamento térmico não é prefeito, há umaquecimento natural interno, provocando a ligaçãodo compressor.

• Como a potência do compressor é grande, oresfriamento atinge o nível máximo, provocando odesligamento do compressor.

• Há uma oscilação em baixa frequência.23/09/2014 15


• Iluminação pública.

• A ideia é manter a rua sempre iluminada.

• Se anoitecer, a lâmpada é ligada.

• Se amanhecer, a lâmpada é desligada.

Controle liga-desliga – Exemplo 2

, p g

• É preciso que haja uma histerese para diminuir asensibilidade do chaveamento, evitando, assim,que outras fontes de luz ou bloqueadores de luzvenham a efetuar um chaveamento.

23/09/2014 16


• Quanto maior for a rapidez da resposta dosistema, maior é a frequência de oscilação.

• Quanto menor for a histerese, maior é afrequência de oscilação

Controle liga-desliga – Oscilação

frequência de oscilação.

• Em sistema de controle liga-desliga, ochaveamento pode provocar estresse mecânicoe desgaste dos elementos de chaveamento.

23/09/2014 17


• u(t): Saída do controlador

• e(t): Erro (entrada do controlador)

• U1: Valor máximo

• U : Valor mínimo


• U2: Valor mínimo

• U1>U2

• Opção 1: U2=0

• Opção 2: U2=–U1

23/09/2014 18

23/09/2014

4

DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Controle liga-desliga

Erro positivoe

u

Açã

o po

sitiv

a

Erro negativoe

Açã

o n

eg

ativ

a

23/09/2014 19


U

• e(t)>0 u(t)=U1

• e(t)<0 u(t)=U2


e+

–

uU1

U2

• A saída u(t) oscila entre U1 e U2.

• Se não houver perdas, a frequência de oscilação é infinita.

23/09/2014 20



–


U1

U2

Sinal de ErroSensor

23/09/2014 21


• Caracteriza uma histerese.

• Atraso na mudança da saída u(t) em função da mudança na entrada e(t).

• Pode ter origem não intencional devido a perdas internas.

• Pode ter origem intencional para evitar operação excessiva

Intervalo diferencial

• Pode ter origem intencional para evitar operação excessiva.

• Quanto menor for a frequência, menor é o desgaste.

e+

–

uU1

U2

23/09/2014 22

DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Intervalo diferencial

e

u

u

• Se e(t) > E1 então u(t) = U1.

• Se e(t) < E2 então u(t) = U2.

• Se e(t) > E2 e u(t) = U1 então u(t) = U1.

• Se e(t) < E1 e u(t) = U2 então u(t) = U2.

U1

U2

E1E2

u

Banda morta

23/09/2014 23


Erro positivo

Intervalo diferencial

Banda morta

Erro negativoErro negativo

Ação positiva

Erro positivo

Ação negativa

23/09/2014 24

23/09/2014

5


• Temporal

• Posicional

• Outros

Tipos de intervalo diferencial

U1

U2 t1 t2

U1

U2 x1 x2

Temporal Posicional

23/09/2014 25

DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Exemplos de intervalo diferencial

• Quanto maior o intervalo diferencial, menor é a frequência.

23/09/2014 26


• u(t): Saída do controlador

• e(t): Erro (entrada do controlador)

• Kp: Constante de proporcionalidade

• Kp: Ganho proporcional

Trata se de um amplificador

Controle proporcional

• Trata-se de um amplificador.

u(t)= Kpe(t)

23/09/2014 27


• Depois do controle liga-desliga, é o mais simples.

• A ação é proporcional ao erro.

• Muito erro, pouca ação.

• Pouco erro, pouca ação.


• Sem erro, sem ação.

• Quanto maior for Kp, mais rápida é a ação.

• Quanto maior for Kp, maior é a oscilação.

• Para Kp muito alto, o sistema pode nunca estabilizar.

23/09/2014 28


s

sps

UK

EKU

pKTF ..


t

tpt

uK

eKu

sp E

K

Kp

E(s)+

–

U(s)

tp e

K

23/09/2014 29


Kp


–


E(s) U(s)

Sinal de ErroSensor

23/09/2014 30

23/09/2014

6


dteKu

eKdt

u

tit

tit

s

KTF i..

Controle integral

s

E

UK

dte

uK

dteKu

s

si

t

ti

tit

Ki/s

E(s)+

–

U(s)

23/09/2014 31


• É um controlador proporcional e integral ao mesmo tempo.

• O resultado é a soma dos efeitos proporcional e integral.

eKu alproporcion

Controle proporcional e integral

dteKeKu

uuu

dteKu

eKu

titpt

ttt

tit

tpt

integralalproporcion

integral

23/09/2014 32


ti

ptpt

titpt

dteT

KeKu

dteKeKu


i

pi

i

pi

K

KT

T

KK


• Ki: Ganho integral

• Ti: Tempo integral

• 1/Ti: Taxa de restabelecimento

23/09/2014 33


dteT

eKu

dteT

KeKu

ti

tpt

ti

ptpt

1

sT

KTFi

p

11..


sTK

E

U

sTEKU

sE

TEKU

ip

s

s

isps

si

sps

11

11

11E(s)

+–

U(s)

sT

Ki

p

11

23/09/2014 34


• É um controlador proporcional e derivativo ao mesmo tempo.

• O resultado é a soma dos efeitos proporcional e derivativo.

tpt eKu alproporcion

Controle proporcional e derivativo

tdtpt

ttt

tdt

edt

dKeKu

uuu

edt

dKu

derivativoalproporcion

derivativo

23/09/2014 35


tdptpt

tdtpt

edt

dTKeKu

edt

dKeKu


p

dd

dpd

K

KT

TKK


• Kd: Ganho derivativo

• Td: Tempo derivativo23/09/2014 36

23/09/2014

7


edt

dTeKu

edt

dTKeKu

tdtpt

tdptpt

sTKTF dp 1..


sTK

E

U

sTEKU

sETEKU

dt

dps

s

dsps

sdsps

1

1

E(s)+

–

U(s) sTK dp 1

23/09/2014 37


• É um controlador proporcional, integral e derivativo ao mesmo tempo.

• Possui as vantagens dos três tipos de controladores.

tpt eKu

alproporcion

Controle proporcional, integral e derivativo

tdtitpt

tttt

tdt

tit

edt

dKdteKeKu

uuuu

edt

dKu

dteKu

derivativointegralalproporcion

derivativo

integral

23/09/2014 38


tdpti

ptpt

tdtitpt

edt

dTKdte

T

KeKu

edt

dKdteKeKu


p

dd

i

pidpd

i

pi K

KT

K

KTTKK

T

KK





• Td: Tempo derivativo23/09/2014 39


edt

dTdte

TeKu

edt

dTKdte

T

KeKu

tdti

tpt

tdpti

ptpt

1

sT

sTKTF d

ip

11..


sTsT

KE

U

sTsT

EKU

sETs

ET

EKU

di

ps

s

di

sps

sdsi

sps

11

11

11

E(s)+

–

U(s)

sT

sTK d

ip

11

23/09/2014 40


sTsTsTKTF

sTsT

KTF

idi

di

p

1

11..

E(s)+

U(s)

sT

sTsTTK idi

p

12


sT

sTsTTKTF

sTKTF

i

idip

ip

1..

..

2

– sTi

23/09/2014 41


TKTF

s

KTF

KTF

ppi

ii

pp

11..

..

..



T T i t l


sTsT

KTF

sTKTF

sT

di

ppid

dppd

ippi

11..

1..



• Td: Tempo derivativo

p

dd

i

pidpd

i

pi K

KT

K

KTTKK

T

KK

23/09/2014 42

23/09/2014

8

CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2

CONTROLADORESCONTROLADORESELETRÔNICOSELETRÔNICOS

4323/09/2014


K: Ganho diferencial

v0=K(v2–v1)

AMP-OP

v1

v2

v0

–

+

23/09/2014 44


Realimentação Negativa

Feed Back

IF RF

R1IIN IB

p.217

Amplificador inversor

vOUT

vIN –

+

vA

23/09/2014 45


F

AOUTFAOUTRF

F

RFF

AININAINR

RIN

FINB

BFIN

R

VVIVVV

R

VI

R

VVIVVV

R

VI

AIII

III

11

1

1

00

1

..R

RTF F

IN

OUTV

R

TFV

VA ..

Amplificador inversor

OUTF

IN

F

OUTINA

F

OUTAAIN

F

AOUTAIN

VR

RV

R

V

R

VVV

R

VV

R

VV

AR

VV

R

VV

1

1

1

1

0

0

• Amplificador inversor

• RF=R1 AV=-1IN

FOUT V

R

RV

1

IN

INF

V

VR

R

TF

1..

23/09/2014 46


Realimentação Negativa

Feed Back

IF RF

R1I1 IB

Amplificador não-inversor

Negativa

VOUTVIN

I1 IB

–

+IIN

v1

v2

23/09/2014 47


AIII

III

VV

VV

VVKV

FINB

BFIN

R

IN

OUT

: tensãodeDivisor

00

11

2

12

INF

IN

OUTV

VRR

TF

TFV

VA

1

1

..

1

1

01

1

RR

RVV

K

K

FOUTIN

Amplificador não-inversor

KRR

RVV

K

V

RR

RVV

RR

RVV

K

V

RR

RVVKV

RR

RVV

FOUTIN

OUT

FOUTIN

FOUTIN

OUT

FOUTINOUT

FOUTR

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

INF

OUT VR

RV

1

1

INVTF 1..

1

1..R

RTF F

• Amplificador não inversor

• RF=0 AV=1

• RF=R1 AV=2

1

1

1

R

RRVV F

INOUT

F

23/09/2014 48

23/09/2014

9


IF ZF

Z1

VIIN IB

Amplificador inversor com impedâncias

VOUT

VIN –

+

vA

23/09/2014 49


F

AOUTFAOUTZF

F

ZFF

AININAINZ

ZIN

FINB

BFIN

Z

VVIVVV

R

VI

Z

VVIVVV

Z

VI

AIII

III

11

1

1

00

IN

OUTV

Z

TFV

VA ..

1

..Z

ZTF F

Amplificador inversor com impedâncias

OUTF

IN

F

OUTINA

F

OUTAAIN

F

AOUTAIN

VZ

ZV

Z

V

Z

VV

Z

VV

Z

VV

AZ

VV

Z

VV

1

1

1

1

0

0

IN

INF

V

VZ

Z

TF

1..

• Amplificador inversor

• ZF=Z1 AV=-1IN

FOUT V

Z

ZV

1

23/09/2014 50


0

00

1

11

11

1

111

VVdt

dC

R

VV

R

VV

AVVdt

dC

R

VV

R

VV

AIIII

IIII

VVdt

dCIVVV

R

VVI

R

VIVVV

R

VVI

R

VIVVV

AOUTFAOUTAIN

AOUTFF

AOUTAIN

CFRFRB

BCFRFR

AOUTFCAOUTC

F

AOUTRF

F

RFRFAOUTRF

AINR

RRAINR

IFC

R

Exemplo 1 – Parte 1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

sCRR

R

V

V

VR

sCR

R

V

R

VsCRV

R

V

VsCR

V

R

V

dt

dVC

R

V

R

V

VV

dtRR

FFFSOUT

SIN

SOUTF

FFSIN

F

SOUTFFSOUTSIN

SOUTFF

SOUTSIN

OUTF

F

OUTIN

A

F

1

1..

1

sCRR

RTF

FF

F

VOUT

IFR1

VIN

IIN IB

–

+

vA

23/09/2014 51


1

//

..

11

sCZ

RZ

ZZZ

RZ

TFV

VA

CF

FRF

CFRFF

IN

OUTV

11

1

1

..

..

1..

..

RTF

RsCRR

RTF

R

sCRR

TF

R

RTF

F

FF

F

FF

F

F

Exemplo 1 – Parte 2

IFC

R

1

11

1//

sCR

RZ

sCR

Z

sCRZ

sC

FF

FF

FF

F

FFF

F11

..RsCRR

TFFF

1

1..

1

sCRR

RTF

FF

F

VOUT

IFR1

VIN

IIN IB

–

+

vA

23/09/2014 52


IF R

C

VIIN IB

Amplificador diferenciador ou derivador

VOUT

VIN –

+

23/09/2014 53


R

VVIVVV

R

VI

VVdt

dCIVVV

dt

dVCI

AIII

III

AOUTFAOUTR

RF

AININAINCC

IN

FINB

BFIN 00

CR

dt

dVV IN

OUT 1

Amplificador diferenciador ou derivador

dtVCRV

dtCR

VV

R

V

dt

dVCV

R

VVVV

dt

dC

AR

VVVV

dt

dC

OUTIN

OUTIN

OUTINA

AOUTAIN

AOUTAIN

0

0

Amplificador inversor derivador

dt

dV

CRV IN

OUT

123/09/2014 54

23/09/2014

10


IF C

R

VIIN IB

Amplificador integrador

VOUT

VIN –

+

23/09/2014 55


ddVR

VVIVVV

R

VI

AIII

III

AININAINR

RIN

FINB

BFIN

00

CR

dtVV INOUT 1

Amplificador integrador

dt

dVCRV

dt

dVC

R

VV

VVdt

dC

R

VV

AVVdt

dC

R

VV

VVdt

dCIVVV

dt

dVCI

OUTIN

OUTINA

AOUTAIN

AOUTAIN

AOUTFAOUTCC

F

0

0

Amplificador inversor integrador

dtVCR

V INOUT

123/09/2014 56

PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3

PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM

5723/09/2014


j

• Pólo:Valor de s que faz F(s) tender a infinito.

• Zero:Valor de s que faz F(s) igualar a zero.

Definição

• Pólo:

• Zero:

A localização dos pólos de uma função de transferência no plano-s afeta diretamente a resposta transiente do sistema.23/09/2014 58


sR s

1degrau j

0

10 s

s

Excitação degrau unitário

F.T.C (S)R(S)

• Pólo de entrada: s=0

• Zero de entrada: s=

0

01

ss

s

Pólo de entrada

23/09/2014 59


s

AR s

j

00 s

s

A

Excitação degrau

F.T.C (S)R(S)


• Zero de entrada: s=

0

0 ss

As

Pólo de entrada

23/09/2014 60

23/09/2014

11


sTF

j

0Bss

00

Resposta de 1ª ordem com zero na origem

F.T.C (S)R(S)

real:

..

BBs

TF

0-B

• Pólo:s=-B

• Zero:s=0

BsBs

s

sBs

00

23/09/2014 61


AsTF

j

ABAsAs

0

Resposta de 1ª ordem com zero fora da origem

F.T.C (S)R(S)

reais:,

..

BABs

TF

-A-B

• Pólo:s=-B

• Zero:s=-A

BsBs

As

AsBs

0

23/09/2014 62


j

AB 0Bs

AsTF

..

Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.

F.T.C (S)R(S)

-A-B


• Zero de entrada: s=• Pólo da F.T: s=-B

• Zero da F.T: s=-A

0

Bss

AsC s

sTFC

sR

RTFC

R

CTF

S

S

SS

S

S

1..

1

..

..

degrau

23/09/2014 63


Bss

AsBABsBAC

Bss

AsBBC

Bss

AsC

s

s

s

5

25352

5

255

5

2

:Exemplo

ss

ssC

ss

sC

ss

sC

s

s

s


Bs

BAB

s

BAC

Bss

sBAB

Bss

BsBAC

Bss

sBABBsBAC

Bss

sBABBBAsBAC

Bss

BBAsBABsBAC

Bss

s

s

s

s

s

5

5352

5

53

5

552

5

53552

5

5355252

5

5525352

5

ssC

ss

s

ss

sC

ss

ssC

ss

ssC

ss

ssC

ss

s

s

s

s

s

23/09/2014 64


B

ABB

ABB

A

s

s

sss

s

C

sC

CCC

BssC

natural

forçado

naturalforçado

F.T.C (S)R(S)

Bss

AsC s


Bs

BAB

s

BAC

sBs

AsC

s

s

1

5

5352

1

5

2

:Exemplo

ssC

ss

sC

s

s

B

BS

S

s

s

As

Bs

AsBs

0

23/09/2014 65


21

1

sC

Bs

As

sC s

BABs

BAC

CCC

Bs

BAB

s

BAC

s

sss

s

forçado

naturalforçado

53

52

5

5352

:Exemplo

forçado

naturalforçado

sC

CCC

ssC

s

sss

s


F.T.C (S)R(S)

5

21

s

s

sC s

Bs

BABC s

natural

5

53natural

sC s

tB

t

ttt

tBt

t

eB

AB

B

AC

CCC

eB

ABC

B

AC

naturalforçado

natural

forçado

t

t

ttt

tBt

t

eC

CCC

eC

C

5

naturalforçado

natural

forçado

5

3

5

2

5

35

2

:Exemplo

23/09/2014 66

23/09/2014

12


j

-B

s s

AF


• O pólo em –B gera uma resposta do tipo e–Bt.

• O pólo na F.T. gera a resposta natural.

• O pólo na função de entrada gera a resposta forçada.

t

t eAf

23/09/2014 67


j

-B

j

0


tempode Constante:

1

B

eAf

Bs

AF

tBt

s

Afs

AF

t

s

0

23/09/2014 68


• Todo pólo sobre o eixo real gera uma resposta do tipo et.

• é a localização do pólo sobre o eixo real.

• é negativo.

• Os pólos e zeros geram as amplitudes para as duas respostas.

Localização

Quanto mais à esquerda, no eixo real negativo, estiver o pólo, mais rápido o decaimento da resposta temporal.

23/09/2014 69


PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM

7023/09/2014


reais:,,

..2

CBACsBs

ATF

2

4

0

2

2

CBBs

CsBs

Resposta de 2ª ordem

F.T.C (S)R(S)

,,

2

4

2

4

2

2

2

1

CBBs

CBBs

21

..ssss

ATF

• Pólo:s=s1

• Pólo:s=s223/09/2014 71


21 sssss

AC s


F.T.C (S)R(S)

sssss

AC

ssss

ATF

s

1

..

21

21


• Pólo da F.T.: s=s1

• Pólo da F.T.: s=s2

sTFC

sR

RTFC

R

CTF

S

S

SS

S

S

1..

1

..

..

degrau

23/09/2014 72

23/09/2014

13


21

..ssss

ATF

• s1 real

• s2 real

• s1 s1

j

0

Resposta de 2ª ordem super amortecida

Overdamped

F.T.C (S)R(S)

21 sssss

AC s

s1 s2 0

natural2natural1forçado

23

natural2

12

natural1

10

1forçado

tttt

tst

tst

tt

cccc

eKc

eKc

KeKc

tsts

t eKeKKc 23

121

sTFC

sR

RTFC

R

CTF

S

S

SS

S

S

1..

1

..

..

degrau

23/09/2014 73


j

0 9

99

9..

2

2

C

ssTF

2

459

2

459

2

36819

2

9499

0

1

2

2

s

s

s

s

CsBs

Exemplo

F.T.C (S)R(S)

s1 s2 0 992 sss

C s

1459,1

8541,72

459

2

1

2

s

s

s

tt

t eKeKKc 8541,73

1459,121


• Pólo da F.T.: s=–7,8541

• Pólo da F.T.: s=–1,1459

8541,71459,1

9

8541,71459,1

9..

sssC

ssTF

s

23/09/2014 74


• A resposta é a soma de duas exponenciais.

• As raízes são o inverso da constante de tempo dasexponenciais.

• Como as raízes são negativas, as exponenciais são de queda.

Análise

• A exponencial de queda mais rápida é a de maior constante detempo.

• A exponencial mais rápida é a mais distante da posição zero.

• Pode-se desprezar a exponencial mais rápida.

23/09/2014 75


ts

t

tst

eKc

eKc

2

3natural2

12

natural1

j21 ss Pode-se desprezar s1.

Análise

s1 s2 0

Le

nta

Rá

pid

a

1

t [s]0

23/09/2014 76


j

s1

0 21

..ssss

ATF

• s1 complexo

• s2 complexo

• s1 e s1: conjugadosUnderdamped

Resposta de 2ª ordem sub-amortecida

F.T.C (S)R(S)

s2

0

1


natural2

natural1

1forçado

KC

CCCC

C

C

KC

t

tttt

t

t

t

21 sssss

AC s

sTFC

sR

RTFC

R

CTF

S

S

SS

S

S

1..

1

..

..

degrau

23/09/2014 77


9

92

9..

2

2

C

ssTF

81

2

822

2

322

2

3642

2

9422

0

2

2

s

s

s

s

CsBs

j

s1

0j8

Exemplo

F.T.C (S)R(S)

922 sssC s

81

81

81

81

2

1

js

js

js

s

s2

0j

–j8

-1


• Pólo da F.T.: s=1–j8

• Pólo da F.T.: s=1+j8

8181

9

8181

9..

jsjssC

jsjsTF

s 1Kc t

23/09/2014 78

23/09/2014

14


j

s1

0 21

..ssss

ATF

• s1 imaginário

• s2 imaginário

• s1 e s1: conjugadosUndamped

Resposta de 2ª ordem não amortecida

F.T.C (S)R(S)

s2

0

21 sssss

AC s

1


natural2

natural1

1forçado

KC

CCCC

C

C

KC

t

tttt

t

t

t

sTFC

sR

RTFC

R

CTF

S

S

SS

S

S

1..

1

..

..

degrau

23/09/2014 79


99

9..

2

sTF

j

s1

0j33

3

9

9

09

2

1

2

2

js

js

s

s

s

Exemplo

F.T.C (S)R(S)

9

92

ss

C s

s2

0j

–j3


• Pólo da F.T.: s=–j3• Pólo da F.T.: s=+j3

33

9

33

9..

jsjssC

jsjsTF

s

1Kc t

23/09/2014 80


j

0 21

..ssss

ATF

• s1 real

• s2 real

• s1 = s1

Critically damped

Resposta de 2ª ordem criticamente amortecida

F.T.C (S)R(S)

0

s1,s2 21 sssss

AC s

sTFC

sR

RTFC

R

CTF

S

S

SS

S

S

1..

1

..

..

degrau

23/09/2014 81


996

9..

2

ssTF

j

006

2

36366

2

9466

0

2

2

s

s

s

CsBs

Exemplo

F.T.C (S)R(S)

96

92

sss

C s 0

–3


• Pólo da F.T.: s=3

• Pólo da F.T.: s=3

2

2

3

9

3

9..

ssC

sTF

s 1Kc t

32

62

2,1

2,1

s

s

s

23/09/2014 82


• A parcela real provoca a atenuação.

• A parcela imaginária provoca a oscilação.

Criticamente Amortecido

Sem oscilação

Super Amortecido

Sem oscilação

j j

Pólo da função de transferência

Não Amortecido

Sem atenuação

Sub Amortecido

Com atenuação e oscilação

j

j

23/09/2014 83


• Pólos à esquerda: Atenuação positiva.

• Pólos ao centro: Sem atenuação.

• Pólos à direita: Atenuação negativa (crescimento)

• Pólos à esquerda: Parcela real negativa.

Pól t P l l l


• Pólos ao centro: Parcela real nula.

• Pólos à direita: Parcela real posivia.

A atenuação tem sinal contrário ao da parcela real do pólo.

js23/09/2014 84

23/09/2014

15


j

Atenuação positiva Atenuação negativa


Atenuação positiva Atenuação negativa

• Pólos de primeira ordem localizam-se no eixo horizontal.

• Pólos de segunda ordem ocorrem em números conjugados.

• A localização dos pólos é simétrica.

23/09/2014 85


• : Freqüência amortecida

• n: Freqüência natural não amortecida

Análise transitória no domínio da frequência

• : Constante de decaimento exponencial (atenuação)

• : Coeficiente de amortecimento

23/09/2014 86


• =0: =0 n

Função de transferência

F.T.C (S)R(S)

: Freqüência amortecida

n: Freqüência natural não amortecida

: Constante de decaimento exponencial (atenuação)

: Coeficiente de amortecimento

22

2

22

2

2..

2..

n

n

nn

n

ssTF

ssTF

js

• =1: =n

n

n

4.19

23/09/2014 87


22

2

22

2

2..

2..

n

n

nn

n

ssTF

ssTF

R S

1degrau ss RTFC ..

C

Rss

C

nS

Sn

nS

1

2

2

22

2

22

2


F.T.C (S)R(S)

22

2

22

2

2

2

n

ns

nn

ns

sssC

sssC

s sss n2 22

4.20

23/09/2014 88


22

2

2 nn

ns sss

C

=0: Sem amortecimento2nC


=1: Criticamente amortecido

22n

ns ss

C

22

ss

C ns 4.23

23/09/2014 89


22

:pólosouRaízes

02

:ticaCaracterís Equação

nss

:pólosouRaízes

02

:ticaCaracterís Equação22 nn ss

22

2

22

2

2..

2..

n

n

nn

n

ssTF

ssTF


22

22

22

22

2

22

2

442

12

1422

:pólosou Raízes

n

n

n

n

s

s

s

s

1

2

122

2

442

12

1422

:pólosou Raízes

2

2

222

22

nn

nn

nnn

nnn

s

s

s

s

23/09/2014 90

23/09/2014

16


2 n

p.122

Amortecimento: Freqüência amortecida




12 nnsSe 1, usar esta fórmula.

2

2

2

2

2

1

11

11

1

1

n

n

n

n

n

jj

j

j

j

j

js

21 nn jsSe 1, usar esta fórmula.

n

n

23/09/2014 91


21

22

21

1

1

ss

s

s

nn

nn

j

s1 s2 0

Amortecimento

22

21

1

1

nn

nn

js

js

j

s1

s2

0

23/09/2014 92


21 n

js

n




: Coeficiente de amortecimentop.123

Amortecimento

21 nn js

=0 0 n

0<<1 0<<n 0<<n

=1 n 0

>1 >n sem

23/09/2014 93


2

2

1

1

n

nn

js

js

n

n

nAmortecimento

• controla a taxa de crescimento ou decaimento da resposta ao degrau unitário.• controla o “amortecimento” do sistema• é chamado de fator de amortecimento ou constante de amortecimento.

2

2

1:1

1:1

nn

nn

js

s

• >1: Super amortecido.

• <1: Outros.

23/09/2014 94


21 nn js

oscilação:1

ntoamortecime:2

n

n

j

Amortecimento

01;0:amortecido sub

01:oamportecid tecriticamen

0:oamportecid não

2

2

nn

n

n

j

j

SimSim:oamportecid sub

Sim:oamportecid tecriticamen

Sim:oamportecid não

OscilaçãontoAmortecime

23/09/2014 95


101sub

01

1

:amortecido

não

21

2

2

2

1

nn

n

n

js

j

j

s

s

Amortecimento

11

1

:amortecido

sobre

1:amortecido

tecriticamen

101:amortecido

22

21

2

1

22

nn

nn

n

n

nn

s

s

s

sjs

23/09/2014 96

23/09/2014

17


j

j

12 nn

n

Criticamente AmortecidoSuper Amortecido

ntoamortecime de eCoeficient:

amortecida não natural Frequência:

n

11

Pólos de 2ª ordem

j

j

nj

nj

21 nj

21 njn

12

nn

nn

Não AmortecidoSub Amortecido010

23/09/2014 97


• >0: Pólos no lado esquerdo do plano s.

• <0: Pólos no lado direito do plano s.

Pólos de 2ª ordem

:Coeficiente de amortecimento

• >0:Amortecimento positivo

• =0:Sem amortecimento (constante)

• <0:Amortecimento negativo (crescimento)

23/09/2014 98


• A atenuação no lado esquerdo do planos leva o sistema à estabilidade.

• Quanto mais distante do eixo vertical,no lado esquerdo mais rapidamente o

Atenuação

no lado esquerdo, mais rapidamente osistema atinge o equilíbrio.

• A atenuação negativa no lado direito doplano s leva o sistema à instabilidade.

23/09/2014 99


..1

.

2..

22

2

TF

TFG

ssTF

s

n

n

G(S)+

C (S)R(S)

s

s

G

GTF

1..Função de transferência

F.T.C (S)R(S)

(S)–

ssG

ssss

ssG

ss

ssG

ns

n

nn

n

n

s

n

n

n

n

s

2

22

2

21

2

2

2

22

222

22

2

22

2

22

2

n

ns

ns

ssG

ssG

2

22

2

Fig. 4.9

23/09/2014 100


2Pól

0:Pólo

:ordem segunda de Zero

2

2

s

s

ssG n

s n

ns

s

s

ssG

2Pól

0:Pólo

:ordem segunda de Zero

2

2

Pólos de 2ª ordem

• =0; =0

• Não há amortecimento nem atenuação, a resposta transitória é constante.

2:Pólo s ns 2:Pólo

23/09/2014 101


22

2 1

:pólosou Raízes

n

nn

s

s

n

n

nPólos de 2ª ordem

simaginária Raízes0

0

complexas Raízes01

iguais reais Raízes01

distintas reais Raízes01

:quadrada raiz da Conteúdo

22

2

22

2

22

2

n

n

n

simaginária Raízes0

0

complexas Raízes0

10

iguais reais Raízes1

distintas reais Raízes1

:quadrada raiz da Conteúdo

n

n

n

23/09/2014 102

23/09/2014

18


• =0: Sem amortecimento

• 0<<1: Sub amortecido

• =1: Criticamente amortecido

Amortecimento

• >1: Sobre amortecido

• =0: =n sem amortecimento

• 0<<1: real oscilação

• =1: =0 sem oscilação

• >1: imaginário sem oscilação

23/09/2014 103


22

2

2

2

1

1

1

n

n

n

10

0

n

Frequência: Freqüência amortecida




2

22 1

n

10

• =n: =0 sem amortecimento

• m>>0 0<<1 oscilação

• =0: =1 sem oscilação

• =j|d| >1 sem oscilação2

2

1n

23/09/2014 104


nn

n

n

2

2

2

1

1

22





n

nn

n

nn

22

2

22

22 n

22

n

n

2n

23/09/2014 105


• =0: =0: d= sem amortecimento

n

n

nFrequência

=0: =0: d=n sem amortecimento

• 0<<n 0<<1: dreal oscilação

• =n =1: d=0 sem oscilação

• >n >1: dimaginário sem oscilação

• Sub amortecido: Pólos de malha fechada complexos

• Criticamente amortecido: Pólos de malha fechada reais iguais

• Sobre amortecido: Pólos de malha fechada negativos distintos23/09/2014 106


222

22

2

2

1

1

n

n

n

nn

n

n

s

js

js

j





n

n

j

ok

1

1

1

22

2222

22222

22

22

nn

nn

nnn

nnn

23/09/2014 107


j

j

cosn

Frequência

n

cos

cos

cos

n

n

n

23/09/2014 108

23/09/2014

19


j

1n

2n

321nnn

Efeito anelar

n

3n

A região formada pelas circunferências possuem o mesmo n.

23/09/2014 109


j

1n2

n3

321

321

321

nnn

321

Efeito radial

n

321 n

321

23/09/2014 110


321

321

321

nnnj

1

2

3

321

Efeito angular

1

2

3

• =90: Sem amortecimento

• 0<<90 : Sub amortecido

• =0: Criticamente amortecido

• =0: Sobre amortecido

321nnn

321

As funções temporais têm o mesmo

sobresinal (overshoot).

23/09/2014 111


321

321

321

nnn

j

1

2

3

Efeito vertical

33

22

11 nnn

321

As funções temporais têm a mesma

envoltória (envelope).

1

2

3

23/09/2014 112


321

321

321

321

321

nnn

j

123

Efeito horizontal

321

As funções temporais têm a mesma frequência.

123

23/09/2014 113


• Alguns pólos possuem efeito dominante na resposta transiente do sistema, denominados pólos dominantes.

• Pólos no semiplano esquerdo próximos ao eixo imaginário possuem pequeno decaimento e atuam de forma mais lenta e duradoura, por isso são dominantes

Pólos dominantes

dominantes.• Pólos no semiplano esquerdo distantes do eixo

imaginário possuem grande decaimento e atuam de forma mais rápida e passageira, por isso são insignificantes.

• A dominância de um pólo depende, apenas, de sua parte real.

23/09/2014 114

23/09/2014

20


• Um pólo é insignificante quanto sua parte real é de 5 a 10 vezes a parte real dos pólos dominantes.

Pólos dominantes

• Pólos insignificantes podem ser eliminados.• Pode-se considerar, apenas, os pólos dominantes.

23/09/2014 115

EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5

EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL

11623/09/2014

EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL


2nC

C(t)

F.T.C (S)R(S)





ttec

te

c

tt

n

t

t

n

n

sin1

cos1

arccos1sin1

1

2

2

2

22 2 nn

ns sss

C

4.21

23/09/2014 117


ttec t

tn

sin

1cos1

2

C(t): Freqüência amortecida




G(S)+–

E(S)R(S) C(S)

1degrau0

t

ttt

sss

c

cre

CRE

p.123

ttee t

tn

sin

1cos

2p.123

23/09/2014 118


çãoEstabiliza101

inicial Instante001110

sin1

cos12

tt

tt

cct

cct

ttec n

Situações

abrupto ntoAmortecime101

ntoamortecime sem Oscilaçãocos10

sin1

cos12

tt

t

tt

cc

tc

ttec n

çãoEstabiliza101 tt cct

t = 0, = indeterminado23/09/2014 119


2

2

101

1arctansin

11

d

t

t

n

t

te

c

110

11

:Envoltória

2

t

t

t

ec

n

Componente Amortecida não Oscilatória

Envoltória

2

2

11

1

11

101

tmáxt

médt

tmínt

tt

n

n

ec

c

ec

cct

A

A

A

A

:Geral

:2 Envoltória

:1 Envoltória

sin

A

A

A

AB

B:Geral

B:2 Envoltória

B:1 Envoltória

sin

11

102

t

t

ct

ct

23/09/2014 120

23/09/2014

21


0

10

:1 Parte00

eeet

eeet

e

nn

nn

n

t

t

t

1

t [s]0

n Partes 1 e 2

01

0

1

1

1

10

1 :2 Parte

22

22

2

t

t

t

n

n

n

et

et

e

t [s]0

21

1

23/09/2014 121


10 11

1:

1

1 1

1 1:0

1 1:3 Parte

2

22

2

t

t

t

n

n

n

et

et

en

21

11

2

Parte 3

1 2

110

110

10

10

1

1 1

2

2

2

2

11

1 1

21

1 1

11

1

2

2

2

t [s]

1

0

21

11

23/09/2014 122

EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5C(t)

23/09/2014 123


sTF

ssTF

n

nn

n

..

0

2..

22

2

22

2

c(t)2

1

=0: Sem amortecimento

ssC

s

n

nS

n

122

2

tc

ttec

t

tt

n

cos1

0

sin1

cos12

dt

sTFC

sR

RTFC

R

CTF

S

S

SS

S

S

1..

1

..

..

degrau

23/09/2014 124


2..

1

2..

22

2

22

2

nn

n

nn

n

ssTF

ssTF

1c(t)

=1: Criticamente amortecido

1

00

11

1

..

2

2

2

2

t

t

nt

t

n

nS

n

n

ct

ct

tec

ssC

sTF

n

t [s]0

sTFC

sR

RTFC

R

CTF

S

S

SS

S

S

1..

1

..

..

degrau

4.24

4.23

23/09/2014 125


1

11

11..

..

22

2

22

2

21

2

sssC

ssTF

ssssTF

nnnn

nS

nnnn

n

n

1

t [s]

c(t)

0

>1: Sobreamortecido

1121121

11

22

1

22

1 22

j

e

j

ec

ss

tjtj

t

nnnn

nnnn

sTFC

sR

RTFC

R

CTF

S

S

SS

S

S

1..

1

..

..

degrau

22

21

1

1

nn

nn

js

jsp.124

n

ts

n

ts

ts

e

s

ec

22

2

12

1

12121

2

2

1

1

2 121

s

e

s

ec

tstsn

t

4.26

22

21

1

1

js

js

n

n

23/09/2014 126

23/09/2014

22


• A resposta é a soma de duas exponenciais.

• Pode-se desprezar a exponencial mais rápida.

• Pode-se desprezar s1.

j

2

2

1

1

2 121

s

e

s

ec

tstsn

t

>1: Sobreamortecido

sTFC

sR

RTFC

R

CTF

S

S

SS

S

S

1..

1

..

..

degrau

21

22

21

1

1

ss

js

js

nn

nn

s1 s2 0

21

sss

sC

ss

sTF

S

1

..

2

2

2

2

23/09/2014 127


11

1

1..

2

2

2

nnS

nn

nn

C

sTF

1

t [s]

c(t)

0

>1: Sobreamortecido

1

00

1

1

1

2

2

t

t

t

t

nn

S

ct

ct

ec

ss

n

sTFC

sR

RTFC

R

CTF

S

S

SS

S

S

1..

1

..

..

degrau

p.125

23/09/2014 128

EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5Casos

23/09/2014 129


sos

Ca

s

23/09/2014 130

EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5Casos

23/09/2014 131


Criticamente AmortecidoNão Amortecido

=0=1 Estável

Oscilatório

Estável

Casos

Super AmortecidoSub Amortecido

0<<1 >1

Estável Estável

23/09/2014 132

23/09/2014

23


0>>-1

Oscilatório Instável

Duas raízes complexas

Casos

0<-1

Instável

Duas raízes reais

23/09/2014 133


j

23

j

3

Casos

12

12

3

1

2

1

2

3

j

123

123

23/09/2014 134

6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO

ESTABILIDADEESTABILIDADE

13523/09/2014

ESTABILIDADEESTABILIDADE


• Se todos os pólos de malha fechada estão no lado esquerdo do plano s, então o sistema é estável.

• Se o sistema é estável, então o módulo dos resíduos determina a importância do pólo.

Pólos e zeros

• Se há um zero de malha fechada perto de um pólo, isto reduz sua importância.

• Pólos e zeros próximos anulam-se mutuamente.

• Os termos com resíduos pequenos podem ser desprezados.

23/09/2014 136


• A resposta de um sistema estável é formada pelasoma de exponenciais e senóides amortecidas.

• Os termos exponenciais e senoidais amortecidostendem a zero quando o tempo tende ao infinito

Pólos e zeros

tendem a zero quando o tempo tende ao infinito.

• O tipo de resposta é determinado pelos pólos demalha fechada.

• A forma é determinada pelos pólos e pelos zeros.

23/09/2014 137


• A dominância do pólo em malha fechada é determinadapela parte real do pólo em malha fechada e pelo resíduo.

• A magnitude do resíduo depende dos pólos e dos zerosem malha fechada

Pólos e zeros

em malha fechada.

• A estabilidade pode ser determinada pela localizaçãodos pólos em malha fechada.

• A estabilidade não depende do sinal de entrada.

23/09/2014 138

23/09/2014

24


• Os pólos do sinal de entrada não afetam a estabilidade.

• Pólos de malha fechada no eixo vertical implicam emoscilação não amortecida.

• O ruído pode fazer a oscilação crescer.

• Para que haja estabilidade, não devem existir pólos de

Pólos e zeros

q j , pmalha fechada sobre o eixo vertical.

• Não basta que haja estabilidade.

• É desejável, também, uma resposta rápida e bemamortecida.

• É necessário ajustar os parâmetros do sistema para oarranjo da localização dos pólos.

23/09/2014 139


• Permite que se saiba se há raízes instáveis sem a necessidade da resolução da equação.

• Os fatores lineares resultam em raízes reais.

• Os fatores quadráticos resultam em raízes complexas.

Critério de estabilidade de Routh

p.193

csbs 2

quadráticofator

as linearfator

23/09/2014 140


• Os fatores lineares resultam em raízes negativas se esomente se a é positivos.

• Os fatores quadráticos resultam em raízes complexascom parte real negativa se e somente se b e c sãoambos positivos.

Critério de estabilidade de Routh

• Para que todas as raízes tenham a parte real positiva, épreciso que a, b e c sejam positivos em todos os fatores.

• O produto de quaisquer fatores lineares e/ou quadráticosque contenham, apenas, coeficientes positivos, resultaem um polinômio com coeficientes apenas positivos.

23/09/2014 141


nnnn

mmmm

s

s

s

ss asasasa

bsbsbsb

A

B

R

CFTF

11

10

11

10..

p.193

:ticaCaracterís Equação

Equação característica

011

00

nnnn asasasa

• Todos os coeficientes devem ser positivos.

• Nenhum coeficiente pode ser nulo.

23/09/2014 142


p.194

44321

34321

27531

16420

dddd

ccccs

bbbbs

aaaas

aaaas

n

n

n

n

n

Arranjo dos coeficientes

10

11

212

43214

gs

fs

ees

ddddsn

23/09/2014 143


p.194

2

43214

43213

43212

75311

6420

ees

dddds

ccccs

bbbbs

aaaas

aaaas

n

n

n

n

n

Arranjo dos coeficientes

10

11

21

gs

fs

ees

1

41513

1

41713

1

70613

1

31312

1

31512

1

50412

1

21211

1

21311

1

30211

c

cbbcd

b

baabc

a

aaaab

c

cbbcd

b

baabc

a

aaaab

c

cbbcd

b

baabc

a

aaaab

23/09/2014 144

23/09/2014

25


• Todos pólos estão no lado esquerdo do plano s.

• Todos termos da primeira coluna do arranjo são positivos.

16420 aaaas

n

n j

Condição de estabilidade

10

11

212

43214

43213

43212

75311

gs

fs

ees

dddds

ccccs

bbbbs

aaaas

n

n

n

n

j

23/09/2014 145


• A quantidade de pólos à direita do eixo vertical é dadapela quantidade de mudanças de sinal dos coeficientesda primeira coluna do arranjo.

• Se todos são positivos, não há nenhuma mudança desinal, não há pólos no lado direito.

O l t d i i l ã ã l t


• Os valores exatos da primeira coluna não são relevantes.

10

11

12

14

13

12

11

0

gs

fs

es

ds

cs

bs

as

as

n

n

n

n

n

23/09/2014 146


• O critério de Routh não sugere comomelhorar a estabilidade nem comoestabilizar um sistema instável


estabilizar um sistema instável.

• Porém, pode-se verificar o efeito davariação de parâmetros.

23/09/2014 147


G(S)+–

C (S)R(S)

G

GTF

s

s

1..

KG

Exemplo – Parte 1

Kssss

KTF

ssss

Kssssssss

K

TF

ssssK

ssssK

TF

21..

21

2121

..

211

21..

2

2

2

2

2

2 212

ssss

KG s

0233

0222

02

021

E.C.

234

23234

23

2

Kssss

Kssssss

Kssss

Kssss

p.197

23/09/2014 148


0233 234 Kssss

4 31 K4

2

3

3

1

4

3

2

1

0

Ka

a

a

a

aExemplo – Parte 2

210

211

212

3

4

023

31

dds

ccs

bbs

s

Ks

210

211

212

5313

4204

dds

ccs

bbs

aaas

aaas05 a

23/09/2014 149


0

2

3

3

1

4

3

2

1

0

a

Ka

a

a

a

a

1

50412

1

30211

a

aaaab

a

aaaab

3

0133

2133

2

1

Kb

b

Kb

b

2

1 3

7

Exemplo – Parte 3

10

791372

3

4

2

023

31

ds

Ks

Ks

s

Ks

05 a

10

11

372

3

4

023

31

ds

cs

Ks

s

Ks

Kb

b

a

Ka

a

a

a

a

2

37

1

5

4

3

2

1

0

0

2

3

3

1

1

21311 b

baabc

37

37

1

32 Kc

Kc 79

1 223/09/2014 150

23/09/2014

26


0791372

3

4

2

023

31

d

Ks

Ks

s

Ks

1

21211 c

cbbcd

K

KKd

79

37

79

1 2

02

Exemplo – Parte 4

10 ds Kd 1

Ks

Ks

Ks

s

Ks

0791372

3

4

2

023

31

23/09/2014 151


Todos os coeficientes da primeira coluna devem ser positivos.

9

79 02 K

Exemplo – Parte 5

Ks

Ks

s

s

s

0791372

3

4

2

3

1

9

14

97

79

2

2

K

K

K

0K

9140 K

23/09/2014 152

7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES

CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO

15323/09/2014


• Nos sistemas de tempo discreto, pelo menos uma dasvariáveis pode mudar, apenas, em instantes discretos detempo.

• O intervalo entre dois instantes discretos é muito pequenocomparado com a taxa de variação das grandezasenvolvidas

Definições

envolvidas.

• Dados para instantes intermediários podem ser obtidos porinterpolação sem que haja grande erro.

• Um sinal obtido em tempo contínuo está na forma contínua.

• Um sinal obtido em tempo discreto está na formaamostrada.

• A discretização ou amostragem pode ser usada parasimplificar um sistema contínuo.23/09/2014 154


Interface com computador de maior hierarquia

Controle, Proteção, Diagnóstico

Microprocessador

Comando Estados de Saída

Controle processado

Gerador de disparo de pulsos

Gerador de disparo de pulsos

Alimentação

Conversor

Máquina

Sensores

Detetor de variáveis

Detetor de variáveis

23/09/2014 155


• O sinal analógico pode assumir uma quantidadeinfinita de valores.

• O sinal digital, com uma quantidade finita de bits,pode assumir uma quantidade finita de valores.

• A aproximação da quantidade infinita de valores

Quantização

para a finita é chamada de quantização.

Tipos de quantização

• De amplitude – Variável vertical

• Do tempo – Variável horizontal

23/09/2014 156

23/09/2014

27


A conversão de sinais consiste de:

• Multiplexação

• Demultiplexação

• Amostragem e retenção (S/H Sample and Hold)

Aquisição de dados

• Amostragem e retenção (S/H – Sample and Hold)

• Quantização – 1ª etapa da Conversão Analógico-Digital (A/D)

• Codificação – 2ª etapa da Conversão Analógico-Digital (A/D)

• Decodificação – Conversão Digital-Analógico (D/A)

23/09/2014 157


Transdutor

Amplificador

Variável Física

Registrador

Controle


Filtro

Mux

S/H

A/D

Controle

Demux

D/A

Atuador

23/09/2014 158


Tipos de conversor A/D

• Aproximação sucessiva

• Integrador

• Contador

• Paralelo

Erros de conversão

• De off-set

• De linearidade

• De ganho


• Paralelo

• A vantagem do uso do computador usado comocontrolador em comparação ao controlador analógico éque, como o computador, uma variação na lei de controlepode ser obtida por mudança no software, enquanto noanalógico é necessário mudança no hardware.

23/09/2014 159


A/D Controle D/A Atuador Processo+–

SaídaEntradaComputador

Digital

Sinal de erro

Controle digital

Clock

Medição

A/De(t) e*(t)

analógico digital

Sinal de erro

23/09/2014 160


x(t) x(t) x(t)

Amostra e retenção (S/H)

t t t

Seguradorx(t) x*(t) xh(t)

amostrador

23/09/2014 161


Amostrador

• Uma chave fecha para fazer a leitura da informação.

• O período de amostragem é T.

• A duração da amostragem é muito pequena.

O t d t i l tí t d l


• O amostrador converte o sinal contínuo em um trem de pulso.

• Entre os instantes da amostragem, a entrada do amostradornão é lida.

• Entre os instantes da amostragem, não há sinal na saída doamostrador.

dtIC

V CC

123/09/2014 162

23/09/2014

28


Segurador ou Retentor

• O tem de pulso é convertido em sinal contínuo.

• Segurador de ordem zero: A saída é constante entreduas amostras.


• O segurador é um filtro passa-baixas.

• O capacitor atua como memória para fazer a retenção.

• O segurador integra o sinal Y*(t).

• A integral do impulso é uma constante.

dtIC

V CC

123/09/2014 163


Saída do amostradorx*(t)


s

eGTF

sT

s

1..

Segurador de ordem zero

Antes do S/H Depois do S/Hx(t) xh(t)

23/09/2014 164


Quantização Codificação Sinal Digital

Sinal Analógico

x(t) x*(t)

Conversor A/D

Digitalg

23/09/2014 165


tTTrem de pulso unitário

x(t) x*(t)

amostrador

ttTt xx *23/09/2014 166


• O amostrador é um modulador.

• A entrada Y(t) é o sinal modulador.

• O trem de pulsos unitário é a portadora.

T(t)

Modulador

Moduladorx(t) x*(t)

amostrador

T(t)

ktT Tkt

T de inteiro Múltiplo:

em unitário Impulso:

Tk

TkTkt

23/09/2014 167


Moduladorx(t) x*(t)

T(t)

Modulador

tkt

ttTt

xTktx

xx

*

*

k tt Tktxx *

23/09/2014 168

23/09/2014

29


T(t)

x(t)

Sinal amostrado

x(t)

x*(t)

23/09/2014 169


A análise de sistemas de tempo discreto pode ser feita por:

• Transformada Z

• Espaço de Estados

• Transformada de Laplace: Tempo contínuo

Métodos

• Transformada de Laplace: Tempo contínuo

• Transformada Z: Tempo discreto

23/09/2014 170


0*

* de T.L. :*

*

k

sTkTks

ts

k Tkt

exX

xX

Tktxx

Transformada Z

sz

sT

XX

ez

*

0k

kTkz zxX

ksTk

ksTsTk

ze

ee

X(z): Transformada z de x*(t)

X(z): Z[x*(t)]23/09/2014 171


• Na transformada Z, considera-se o valorapenas nos instantes de amostragem, porisso a transformada da função original e dafunção amostrada fornece o mesmo resultado

Transformada Z

ztt XxZxZ *

função amostrada fornece o mesmo resultado.

23/09/2014 172


TtxTtxtxx TTt 2* 20

sTT

sTTs exexXX 2

20

Transformada Z

sTez

2

20 z

x

z

xXX TT

Z

X(z): Série de potências de 1/z

23/09/2014 173


0S k

k

z

sTks

t

zX

eX

Tktx

Transformada Z

1

1

:0 Se

z

s

t

X

X

tx

k

T

zs

sTz

ez sT

ln

ln

23/09/2014 174

23/09/2014

30


4

1

3

5

2

1

0

Tt

Tt

Tt

x

x

x

x

Exemplo 1

5

4

4

3

Tt

Tt

x

x

222

54135

zzzzX Z

23/09/2014 175


1tx

1

2*

2*

2

20

eeX

TtTttx

TtxTtxtxx

sTsTs

t

TTt

Exemplo 2

1

111

2

z

zeZX

zzeZX

tbZ

tbZ

az

zaZ

23/09/2014 176


tb

t ex

Tb

T

b

TTt

ex

ex

TtxTtxtxx

0

0

20

1

2*

Exemplo 3

Tb

tbZ

TbTbtb

Z

sTTbsTTbs

TbTbbt

Tb

ez

zeZX

z

e

z

eeZX

eeeeX

TteTtetex

ex

2

2

2

22

20

22

1

1

2*

23/09/2014 177

Documents

Controle [Modo de Compatibilidade] - ufsj.edu.br · Sistema de controle Sinal de Erro Sensor 23/09/2014 10 1 DEFINIÇÕES Amplifi cador Referência Saída + Planta – Sistema de