Controle Multivariável

Controle Multivariavel

Marcio Fantini Miranda

30 de maio de 2005

Sumario

1 Introducao 11

1.1 Objetivo Geral do Curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 O Problema de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Controle Multivariavel: Breve Historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Uma Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Sistemas MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Motivacao I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Configuracoes para um Sistema 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Motivacao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.1 Resultados do Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.2 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 Alguns Processos MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Sistema Multivariaveis: Conceitos Basicos I . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9.2 Abordagem Entrada-Saıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10 Sistema Multivariaveis: Conceitos Basicos II . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10.1 Interacoes e Malhas MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10.2 Representacoes em Malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.3 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.10.4 Malha de Realimentacao Escondida . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.11 Comentarios Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

SUMARIO SUMARIO

2 Introducao a Analise de Sistemas Lineares 30

2.1 Introducao a Analise no Espaco de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Representacao no Espaco de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Representacao Entrada-Saıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Obtendo a Representacao no Espaco de Estados . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Solucao para a Equacao de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Abordagem Entrada Saıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.2 Abordagem no Espaco de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.3 Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.4 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.5 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.6 Solucao da Equacao de Estados Revisitada . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6 Algumas Definicoes de Algebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6.1 Bases, Representacoes e Espacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6.2 Range, Rank, Nulidade e Espaco Nulo . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6.3 Teorema Importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6.4 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6.5 Espacos Invariantes e Complementares . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6.6 Exercıcio: Outras Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7 Algumas Matrizes Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7.1 Matrizes Companheiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7.2 Matriz Diagonal: Autovalores reais distintos . . . . . . . . . . . . 43

2.7.3 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.7.4 Autovalores Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7.5 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7.6 Forma de Jordan: Autovalores nao Todos Distintos . . . . . . . . 45

2.7.7 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7.8 Gerando a Matriz de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7.9 Definicao dos Autovetores Generalizados . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7.10 Transformacao de Similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.8 Representacao no Espaco de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.9 Definicoes Elementares de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2

SUMARIO SUMARIO

2.9.1 Controlabilidade e Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.9.2 Teorema sobre Controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.9.3 Teorema sobre Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.10 Mais Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.10.1 Forma Canonica Controlavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.10.2 Forma Canonica Observavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.10.3 Estabilizabilidade e Detectabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.11 Autovalores e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.12 Realizacao Mınima: observavel e controlavel . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.13 Polos e Zeros (Introducao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.13.1 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.14 Zeros em Sistemas MIMO: Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.14.1 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.15 Decomposicao Canonica (ou de Kalman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.15.1 Teoremas da Decomposicao Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.15.2 Comentarios I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.15.3 Comentarios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.15.4 Comentario III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.16 Introducao a Realimentacao por Variaveis de Estado . . . . . . . . . . . 69

2.17 Realimentacao de Estados: SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.17.1 Alocacao de Polos via Realimentacao de Estados . . . . . . . . . 72

2.18 Adendo: Realizacao Mınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.19 Bases Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.19.1 Bases e Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.19.2 Base Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.19.3 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.20 Transformacao de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.20.1 Transformacao de Similaridade: Matrix Companheira . . . . . . . 78

2.21 Transformacao de Similaridade Revisitada . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.22 Adendo: Observabilidade e Controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.23 Resumo dos Resultados mais Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3 Matrizes Polinomiais e Racionais 84

3.1 Objetivo do Capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3

SUMARIO SUMARIO

3.2 Matrizes Polinomiais - Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.1 Matrizes Polinomiais Multiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3 Fracoes Coprimas de Matrizes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4 Polinomio Caracterıstico e Grau de uma Matriz Racional . . . . . . . . . 88

3.4.1 Denominador Comum de um Sistema MIMO . . . . . . . . . . . . 88

3.5 Realizacao de Um Sistema MIMO: Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.5.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.6 Realizacao Mınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.6.1 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.6.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.7 Polos, Zeros e Forma de McMillan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.8 Transformacoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.8.1 Forma de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.8.2 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.9 Polos em Sistemas MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.9.1 Dois Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.9.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.10 Zeros em Sistema MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.10.1 Zeros a partir da Realizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.10.2 Zeros a partir da Matriz de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . 106

3.10.3 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.10.4 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.10.5 Forma de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.10.6 Forma de Smith-McMillan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.10.7 Polos e Zeros para a Forma Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.11 Descricao Fracional de Matrizes. Alguns Resultados . . . . . . . . . . . . 114

3.12 Resumo dos Resultados e Resultados Adicionais . . . . . . . . . . . . . . 114

3.12.1 Conceitos Basicos (Ja Vistos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.12.2 Definicoes e Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.12.3 Polos e Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.13 Forma de Smith-McMillan e MFD’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.13.1 Forma de Smith-McMillan: Historico e Conceitos . . . . . . . . . 119

3.14 Mais Teoremas e Lemas sobre MFD’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.15 Polos e Zeros no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4

SUMARIO SUMARIO

4 Interacao e Desacoplamento em Sistemas MIMO 122

4.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.2 Analise por meio da MGR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.3 Introducao a MGR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4 Exemplo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.4.1 Selecao das Malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5 Formalizacao dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.5.1 Definicao Matematica da MGR para sistemas n× n . . . . . . . . 129

4.6 Calculo da RGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.7 Exemplo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.8 Exemplo-III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.9 Algumas Propriedades da RGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.9.1 RGA no MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.10 Desacoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.10.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.10.2 Exemplos de Desacopladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.10.3 Desacoplador Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.10.4 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.10.5 Desacoplamento Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.10.6 Desacoplador Estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.11 Desacoplamento por Realimentacao de Estados . . . . . . . . . . . . . . 143

4.12 Decomposicao em Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.12.1 Normas de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.12.2 Normas Induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.12.3 Matrizes de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.12.4 Observacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.12.5 Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.12.6 Resumindo os Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.12.7 Valores Singulares, Raio Espectral e Autovalores . . . . . . . . . . 149

4.12.8 Interpretacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.13 Resumo dos Resultados e Mais uma Interpretacao . . . . . . . . . . . . . 151

4.13.1 Importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.13.2 SVD com G Variando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.14 Adendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5

SUMARIO SUMARIO

4.14.1 Estruturas para Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.14.2 Diagrama para Representacao no Espaco de Estados . . . . . . . 155

4.14.3 Alguns Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5 Alocacao de Polos em Sistemas MIMO 158

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.2 Realimentacao por Variaveis de Estado: Conceitos Correlatos . . . . . . . 158

5.2.1 Consideracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.3 Realimentacao de Estados: SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.3.1 Alocacao de Polos via Realimentacao de Estados . . . . . . . . . 161

5.3.2 Formulas para k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.3.3 Formula de Bass-Gura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.3.4 Realizacao Adequada para Calcular a Realimentacao de Estados . 164

5.3.5 Formula Ackermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.3.6 Formula de Mayne-Murdoch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.3.7 Abordagem da Funcao de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.3.8 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.3.9 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.3.10 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.3.11 Comentarios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.4 Conceitos para a Realimentacao de Estados para Sistemas MIMO . . . . 169

5.4.1 Indices de Controlabilidade e Observabilidade . . . . . . . . . . . 170

5.5 Realimentacao de Estados: MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.5.1 Alguns Metodos de Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.5.2 Metodo de Alocacao MIMO via Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 171

5.6 Exemplo de Utilizacao do Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.6.1 Caso SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.6.2 Expressao para F 5 × 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.6.3 Caso MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.7 Estimadores (Observadores) de Estado: MIMO . . . . . . . . . . . . . . 175

5.7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.7.2 Projeto de Observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.7.3 Teoremas e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.7.4 Estimadores de Ordem Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6

SUMARIO SUMARIO

5.8 Realimentacao de Estados com Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.9 Interpretacao da Funcao de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.9.1 Caso SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.9.2 Caso MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.10 Adendos: Definicoes e Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.11 Controle LQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.11.1 LQG e LQR Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.11.2 Realimentacao Otima de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.11.3 Estimador Otimo de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.11.4 LQG = LQR + Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.11.5 Exemplo do Controlador LQG para um Sistema SISO . . . . . . . 196

5.11.6 LQG para Sistemas com Entrada r(t) . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.11.7 Exemplos e Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6 Analise de Sistemas Multivariaveis Realimentados 200

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.1.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.2 Exemplo para Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.3 A Malha MIMO Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.4 Especificacoes de Desempenho Baseadas nas Funcoes Sensitividade . . . . 206

6.4.1 Definicao das Funcoes Sensitividade . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.5 Estabilidade do Sistema em Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.6 Revisao dos Conceitos sobre Analise de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . 213

6.6.1 Notacao e Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.6.2 Estabilidade do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6.6.3 Criterio de Estabilidade de Nyquist para sistemas MIMO . . . . . 215

6.7 Analise Frequencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.7.1 Analise de Nyquist para Estabilidade de Sistemas MIMO . . . . . 219

6.8 Resposta em Regime Estacionario para Entrada Degrau . . . . . . . . . . 220

6.9 Analise no Domınio da Frequencia - Extensao ao Bode . . . . . . . . . . 221

6.9.1 Rastreamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

6.9.2 Introducao a Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7

SUMARIO SUMARIO

7 Restricoes Fundamentais e Limites para o Desempenho e Compromis-

sos 225

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

7.2 Controlabilidade Entrada-Saıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.3 Regras para Analise da Controlabilidade Entrada-Saıda . . . . . . . . . . 226

7.4 Controlabilidade Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

7.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

7.6 Revisao das Restricoes em Sistemas SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.6.1 Escalonamento (Normalizacao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.7 Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7.8 Controle Perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7.9 Restricoes em S(s) e T (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.10 Analise da Controlabilidade Entrada-Saıda . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

7.11 Exemplos e Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8 Projeto de Controladores MIMO Usando Sıntese Q 237

8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

8.1.1 Linhas de Solucao com a Parametrizacao-Q . . . . . . . . . . . . 238

8.2 Introducao a Parametrizacao-Q e ao IMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.2.1 Equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.3 Revisao da Sıntese-Q para Sistemas SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.3.1 Voltando ao Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.3.2 Compromissos Implıcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.3.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

8.3.4 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8.4 Sıntese-Q: Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

8.5 Parametrizacao de Todos Controladores Estabilizantes . . . . . . . . . . 248

8.5.1 Estabilidade de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8.6 Outras Configuracoes Usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

8.7 Parametrizacao de Todos Controladores Estabilizantes: SISO eG(s) Estavel251

8.8 Revisao dos Conceitos de Fatoracao Coprima . . . . . . . . . . . . . . . . 252

8.8.1 Lema Adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

8.8.2 Revisao Fatoracao Coprima: SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

8.8.3 Revisao Fatoracao Coprima: MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

8

SUMARIO SUMARIO

8.8.4 Fatoracao Coprima Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

8.8.5 Construcao da Fatoracao Coprima Dupla . . . . . . . . . . . . . . 255

8.9 Parametrizacao de Todos Controladores Estabilizantes: SISO eG(s) Generica256

8.10 Parametrizacao de Todos Controladores Estabilizantes: MIMO e G(s)

Generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

8.10.1 Lema Adicional, Caso MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

8.11 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

9 Projeto de Controladores MIMO na Abordagem H∞ 260

9.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

9.2 Revisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

9.3 Conceitos do Loop Shaping Classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.4 Conceitos do Loop Shaping H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.4.1 Especificacoes de Desempenho Baseadas nas Funcoes Sensitividade 270

9.4.2 Caracterısticas da Funcoes S(s) e T (s) . . . . . . . . . . . . . . . 272

9.4.3 Relacoes para S(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

9.4.4 Relacoes para T (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

9.5 Projeto via Sensitividade Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

9.6 Esquema S/KS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

9.6.1 Escolha dos Pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

9.7 Outros Esquemas para Projeto via Sensitividade Composta . . . . . . . . 277

9.7.1 Esquema S/KS/T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

9.7.2 Esquema GS/T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.7.3 Projeto para Controlador com Dois Graus de Liberdade . . . . . . 280

9.8 Projeto H∞ Robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

9.8.1 Filosofia do Projeto H∞ Robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

9.8.2 Relacoes para Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

9.8.3 Incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

9.8.4 Especificacao do Projeto H∞ Robusto . . . . . . . . . . . . . . . 284

9.8.5 Projeto H∞ Robusto com Incerteza Multiplicativa de Entrada . . 285

9.9 Solucao Via Equacoes de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

9.10 Exemplo de Projeto de Controlador H∞ MIMO (via Loop Shaping) . . . 288

9.11 Exemplo de Utilizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

9.11.1 Resposta em Frequencia do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

9

SUMARIO SUMARIO

9.11.2 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

9.12 Como montar a matriz P (s) no MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

9.13 Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

9.13.1 Respostas Temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

9.13.2 Analise de S(s) e W (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

9.13.3 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

9.13.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

10

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Objetivo Geral do Curso

Apresentar as particularidades de sistemas dinamicos que possuem mais de uma entrada

e uma saıda. Estudar e implementar r tecnicas para projeto de controladores para estes

sistemas (os ditos sistemas multivariaveis).

• Nesse capıtulo sao apresentados alguns conceitos genericos que serao aprofundados

no decorrer do curso.

• Considera-se, a menos que dito o contrario, sistemas contınuos, representados por

equacoes dinamicas (diferenciais e integrais) ou no domınio de Laplace.

• Principais topicos abordados no capıtulo:

1. Exemplos classicos de sistemas 2 × 2.

2. Caracterısticas de sistemas MIMO.

1.2 O Problema de Controle

Definicao 1.1 [39] O problema central em Controle e o de encontrar uma maneira

tecnicamente viavel de agir sobre um dado processo de tal forma que o mesmo tenha

um comportamento o mais proximo possıvel do desejado (ou idealizado), a despeito das

incertezas e perturbacoes.

11

Introducao

Algumas colocacoes sao pertinentes em relacao a definicao acima

• Comportamento Desejado: relacionado com a especificacao (seja do Engenheiro,

Gerente, Uusuario). Para cada um deve levar em consideracao um determinado

criterio.

• Viavel tecnicamente: deve-se considerar um “limite”para o que se deseja.

• Incertezas: sempre presentes. Limitam o comportamento. Define um projeto

robusto.

• Perturbacoes: sempre presentes. Se levada em conta no projeto passa a definir um

“projeto robusto”

1.3 Controle Multivariavel: Breve Historico

O motivo de se dar atencao para sistemas de controle que possuem mais de uma variavel

e obvio: a maioria do sistemas reais sao multivariaveis.

Em relacao ao controle de processos industriais usualmente tem-se interesse em con-

trolar as variaveis: temperatura, vazao, pressao (nıvel), PH ou reacoes quımicas e umi-

dade. Em geral estas variaveis nao sao independentes. A existencia do acoplamento

impossibilita, muitas vezes, abordagens multimalhas. Daı a preocupacao do estudo

multivariavel.

Historicamente, as tecnicas multivariaveis de projeto e analise apareceram como uma

extensao das tecnicas SISO. Os metodos existentes ate 1976 podem ser divididos em tres

grupos [20]. Na primeira categoria estao os projetos no domınio da frequencia, como

por exemplo os metodos de Nyquist para sistema MIMO, isto e, as matrizes inversas e

diretas de Nyquist, INA e DNA, respectivamente.

Na segunda categoria estao os metodos baseados na abordagem de espaco de estados,

incluindo controle otimo LQG e funcoes de Lyapunov, por exemplo.

Na terceira categoria estao os metodos que usam a resposta ao impulso do sistema

multivariavel como base para o projeto do sistema de controle. Um exemplo e a abor-

dagem da Matriz de Controle Dinamica, DMC (Dynamic Matrix Control), que na ver-

dade e uma derivacao do IMC [20].

Atualmente, as tecnicas de controle multivariavel incluem a abordagem de controle

com incertezas, Projeto de controladores H∞ e H2, Projeto de Contraladores Otimos,

12

Introducao

Controle Adaptativo Multivariavel, Controle via Modelo Interno, IMC (Internal Model

Control) [58], projetos baseados na Matriz Interactora [90], analise de compromissos

MIMO [75], Teoria da Realimentacao Quantitativa, QFT Quantitative Feedback Theory

[6], Metodos preditivos (MPC, DMC), Projetos no Espaco de Estados, entre outras.

1.3.1 Uma Definicao

Um sistema multivariavel e aquele em que uma entrada afeta nao so a sua saıda cor-

respondente, mas tambem outras saıdas da planta. Nesse caso, diz-se que ha uma

interacao, ou acoplamento entre entradas e saıdas [20].

1.4 Sistemas MIMO

O projeto e a analise de sistemas multivariaveis e inerentemente mais complexo do que

para sistemas monovariaveis. Uma justificativa imediata para essa afirmacao e a de que

sistemas multivariaveis possuem acoplamento entre as variaveis envolvidas. Assim um

sistema multivariavel nao e simplesmente uma superposicao de variaveis, ao contrario,

e um interligacao delas, o que provoca o aumento da complexidade na interpretacao de

seu comportamento.

Durante todo texto Sistemas Multivariaveis serao chamados de sistemas MIMO

(Multi-Input - Muli-Output, muitas entradas-muitas saıdas) e Sistemas Monovariaveis

serao chamados de SISO (Single-Input-Single-Output).

Sistemas MIMO podem ser expressos por matrizes de transferencia, que sao analogas

as funcoes de transferencia com a diferenca de que sao acrescidos os acoplamentos entre

as variaveis.

A partir da matriz de transferencia pode-se fazer diversos estudos: analise em

frequencia, interpretacao geometrica (polos, zeros e direcionalidade), funcoes sensitivi-

dade e sensitividade complementar ou estudos matriciais de reducao a formas canonicas,

que facilitam a interpretacao fısica de seus elementos e de suas relacoes

1.5 Motivacao I

Exemplo 1.1 (Um Sistema MIMO) [37]

Considere um sistema 2× 2 como dado a seguir. y1 e y2 sao as saıdas e u1 e u2 sao as

13

Introducao

entradas.

y1 =2

s+ 1u1 +

3

s+ 2u2 (1.1)

y2 =1

s+ 1u1 +

1

s+ 1u2 (1.2)

Considere o setpoint r1 para y1 e r2 para y2. Para controlar y1, usa-se um PI:

u1 =K1(s+ 1)

s(r1 − y1).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1saida y1 com u2 = 0 e K2 = 0

tempo

y1

Figura 1.1:

Nesse caso a funcao de transferencia entre r1 e y1 (com u2 = 0) sera:

Y1(s)

R1(s)

∣∣∣∣u2=0

=2K1

s+ 2K1.

Para K1, a resposta temporal a entrada degrau e dada na figura 1.1 (com u2 = 0).

Analogamente, considerando o controle de y2 por u2:

u2 =K2(s+ 1)

s(r2 − y2)

tem-se a funcao de transferencia de malha fechada:

Y2(s)

R2(s)

∣∣∣∣u1=0

=K2

s+K2

Nesse caso, se K2 = 0, obtem-se a resposta ao degrau dada na figura 1.1.

Pergunta-se: O que aconteceria se os dois controladores estivessem “ligados”simultaneamente

? Comentarios:

14

Introducao

• O resultado da operacao simultanea desses controladores e dada na figura 1.2(a),

para K1 = 1 e K2 = 2, com r1 = 1 e r2 = 0.

• Repare que, mesmo para r2 = 0, com o controlador K2 “ligado”, havera alteracao

na resposta y1.

• Se os ganhos sao elevados (na tentativa de melhorar a velocidade da resposta), por

exemplo, K1 = 4 e K − 2 = 8, tem-se uma resposta instavel (vide figura 1.2(b)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4saida y1 com u2 = 0 mas K2 dif 0

tempo

y1

y2

y1

(a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5saida y1 com u2 = 0. K2 = 8 K1 = 4

tempo

y1

(b)

Figura 1.2: Respostas para diferentes sintonias de controladores multimalha.

1.5.1 Exercıcio

Considere, no Matlab (Simulink), o sistema do exemplo 1.1. Obtenha as curvas dadas

no exemplo. Simule-o com diferentes condicoes.

• Considere primeiramente o caso com K2 = 0.

• Considere r2 = 0 mas K2 �= 0. Compare.

• Considere r1 �= 0 e r2 �= 0, com K1 e K2 nao nulos. Compare.

1.5.2 Exercıcio

Tente usar u1 para controlar y2 e u2 para controlar y1. Use, por exemplo:

u1 = K1s+ 1

s(r2 − y2) e u2 = K2

s+ 2

s(r1 − y1)

Obtenha a funcao entre R1 e Y1(s) e R2 e Y2(s). Investigue a estabilidade. Simule o

sistema em malha fechada. Analise.

15

Introducao

Alguns Problemas de Sistemas MIMO

• Zeros de malha fechada. Zeros de fase nao-mınima (abordado no capıtulo 3).

• Polos de malha aberta × de malha fechada (abordado no capıtulo 3).

• Acoplamentos (abordado no capıtulo ??).

• Emparelhamento (abordado no capıtulo ??).

16

Introducao

1.6 Configuracoes para um Sistema 2 × 2[C1(s)

C2(s)

]=

[g11(s) g12(s)

g21(s) g22(s)

][M1(s)

M2(s)

]

G�c1�(s)�

G�c2�(s)�+�

-�

-�

+�

+�

G�11�(s)�

G�12�(s)�

G�21�(s)�

G�22�(s)�

+�

+�

m1�

m2�

+�

+�

G�11�(s)�

G�12�(s)�

G�21�(s)�

G�22�(s)�

+�

+�

m1�

m2�

+�

+�

c1�

c2�

c1�

c2�

ou�

ou�

PLANTA�

Figura 1.3: Diagrama esquematico de uma matriz de transferencia 2 × 2. Uma planta 2 × 2

pode ter sua variavel controlada Ci (i = 1 ou i = 2) relacionada a variavel manipulada 1 ou 2.

17

Introducao

1.7 Motivacao 2

Exemplo dado em [56], pg. 448.

Considere o modelo simplificado de planta-piloto de coluna de destilacao:[Xd(s)

XB(s)

]=

[12,8e−s

16,7s+1−18,9e−3s

21s+16,6e−7s

10,9s+1−19,4e−3s

14,4s+1

][R(s)

S(s)

]

• Considere que se deseja projetar um controlador multimalha, consistindo de dois

PI’s. Compare o resultado da malha fechada para os possıveis emparalhamentos

entre as variaveis de entrada e saıda.

• Avalie a resosta quando ha variacao no set-point de uma malha e depois de duas.

• A figura 1.4 apresenta o resultado do controle. Repare os emparelhamentos dados

na tabela.

Figura 1.4:

18

Introducao

1.7.1 Resultados do Matlab

A figura 1.5 apresenta o resultado do controle para as duas malhas controladas com PI

dados por:

Kp1

Tis, com Kp1 = 0.945, Kp2 = −0.196, Ti2 = 9 e Ti1 = 3.26.

A figura 1.6 apresenta o resultado do controle para as malha 1 com PI e a malha 2 em

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2respostas temporais para y1 e y2 com PI para M1 e M2

y1

tempo (s)

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

tempo (s)

y2

Figura 1.5:

aberto, com M2 = 0, 0455

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2respostas temporais para y1 e y2 com M2 = constante

y1

tempo (s)

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

tempo (s)

y2

Figura 1.6:

19

Introducao

1.7.2 Exercıcio

Considere o exemplo da secao 1.7. Pede-se:

a) Obtenha os resultados das figuras 1.5 e 1.6.

b) Faca um controle analogo ao das figuras 1.5 e 1.6, mas trocando os emparelhamentos.

c) Sintonize um PI para cada malha separadamente (use Z/N, sıntese direta ou outro

metodo que tenha domınio) para que a resposta ao degrau unitario para ambas as

malhas seja adequada.

d) Simule o sistema em malha fechada para referencia r = 1 para ambas as malhas.

e) Tente ”criar”um controlador ”cheio”(isto e, uma matriz 2 × 2) que controle ”ade-

quadamente”as duas malhas.

1.8 Alguns Processos MIMO

Coluna de Destilacao (Benchmark definido por Skogestad): Modelo simplificado

Feed (F)�

Bottoms (B)�

Reflux (L)�Distillate (D)�

Reflux�Drum� LT�

Steam�Reboiler�

LT�

Con

dens

er�

LC�

LC�

TT� TC�

FC�

FC�

�

Figura 1.7:

(2 × 2): (um entre varios). (Vide [78] e [56]).

G(s) =1

75s+ 1

[87.8 −86.4

108.2 −109.6

](1.3)

20

Introducao

• Sistema de Mistura de dois Fluidos.

Figura 1.8:

• Tanques Interativos.

BA-01

FV-02

FV-03 FV-04

FV-07

FV-A

QFC

V-0

1

FV-01

FV-08

FV-06

BA-02

TQ-01

TQ-02

AQ

-01

FT-01

TQ-03

LT-01 TT-01

FCV-02FV-0

5

u3

u1

u2

Figura 1.9:

21

Introducao

1.9 Sistema Multivariaveis: Conceitos Basicos I

1.9.1 Definicoes

Um sistema fısico pode ser representado por equacoes de estado da forma:

S :

{x = Ax+Bu

y = Cx+Du(1.4)

que define uma realizacao (A,B,C,D) para o sistema S. Nessa equacao, x(t) e um

vetor n−dimensional dos estados do sistema, u(t) um vetor de entrada l−dimensional

e y(t) o vetor de saıda m−dimensional. Para este sistema define-se a matriz funcao de

transferencia dada por:

G(s) = C(sI − A)−1B +D

Pode-se ainda expressar o sistema pela equacao matricial:[(sI −A) −B

C D

][x(s)

u(s)

]=

[x(0)

y(s)

](1.5)

Define-se ainda uma matriz P dada por:

P (s) =

[(sI − A) −B

C D

]

P e chamada de matriz do sistema (ou matriz de Rosenbrock).

• As equacoes dinamicas descrevem uma realizacao do sistema fısico, dada pelas

matrizes {A,B,C,D}. Se D = 0 o sistema e dito ser proprio, caso contrario ele e

nao proprio.

• A analise de sistemas MIMO e feita a partir do conhecimento de G(s) ou P (s). Di-

versas formas canonicas sao definidas para essas matrizes, sendo que as princıpais

sao as de Hermite [45], e de Smith e McMillan-Smith [52].

• Zeros e polos tambem sao definidos para as matrizes G(s) e P (s), sendo que as

definicoes e interpretacoes sao um pouco diferentes das feitas para sistemas SISO.

22

Introducao

1.9.2 Abordagem Entrada-Saıda

No caso de ser ter multiplas entradas e saıdas, e possıvel expressar este sistema por

matrizes de transferencia, que sao matrizes racionais proprias, cujos elementos sao

razoes de polinomios na variavel s, com o grau do denominador maior ou igual ao do

numerador.

Um conceito anterior ao das Matrizes Racionais e o que define as Matrizes

Polinomiais.

Matriz Polinomial

Uma matriz retangular, A(λ), m × n cujos elementos sao polinomios em λ com coe-

ficientes numericos (numeros pertencentes ao conjunto dos complexos ou reais, depen-

dendo da abordagem) e denominada matriz polinomial.

Se o maior grau entre todos elementos de A(λ) e N , pode-se escrever:

A(λ) = A0λN + A1λ

N−1 + · · ·+ AN ,

sendo Ai matrizes m×n com elementos pertencentes ao conjunto dos numeros complexos

(ou reais, dependendo do caso).

Serao consideradas durante o curso matrizes polimomiais e racionais com polinomios

com coeficientes reais, a menos quando dito ao contrario.

Algumas Definicoes

Rps(s) e o conjunto das funcoes racionais proprias estaveis. O conjunto de matrizes com

elementos em Rps(s) e denotado com Rpxmps (s). Os elementos de Rmxm

ps (s) sao chamados

de matrizes biproprias-biestaveis e sao caracterizadas pela propriedade de que toda

matriz e B(s) e bipropria-biestavel se, e somente se, seu determinante ∈ Rps(s). Uma

martriz K e bi-estavel e bi-propria se K e K−1 sao proprias e estaveis.

A uma dada matriz de transferencia G(s) pode sera associada uma realizacao (A,B,C,D),

geralmente denotada por:

G(s) =

[A B

C D

]. (1.6)

• Associacao funcao de transferencia G(s) (ou g(s)) com MATRIZ de TRANS-

FERENCIA, G(s), ou G(s).

23

Introducao

• Matrizes de transferencias (G(s)) sao tratadas em ambiente proprio, que faz uso

do ‘ferramental matematico”das matrizes polinomiais e racionais. Esse ferra-

mental define um conjunto de lemas e propriedades para manipulacao de matrizes

cujos elementos sao polinomios.

• Essa abordagem, em geral, so e estudada em alguns contextos particulares (como

no caso de controle multivariavel). No dizer de Thomas Kailath, [45], “... it is

necessary to develop the relatively unfamiliar theory of polynomial matrices...’.

• No trato com sistemas polinomiais (sejam funcoes ou matrizes) e importante tra-

balhar a nocao de “formas reduzidas”. Essas formas reduzidas estao diretamente

ligadas as “realizacoes mınimas”, que por sua vez estao associadas aos numeros

maximos de integradores (ou derivadores) da equacao diferencial associada.

• As realizacoes mınimas sao obtidas a partir da fatoracao das funcoes (ou matrizes).

E estao tambem ligadas as questoes de controlabilidade e observabilidade.

• Vide [45], cap. 2, secao 2.4 para as fatoracoes de sistemas SISO e cap 6, para as

fatoracoes de sistemas MIMO.

24

Introducao

1.10 Sistema Multivariaveis: Conceitos Basicos II

1.10.1 Interacoes e Malhas MIMO

C1(s)

M1(s)= Gp11(s) e

C1(s)

M2(s)= Gp12(s)

C2(s)

M1(s)= Gp21(s) e

C2(s)

M2(s)= Gp22(s)

• As equacoes acima podem ser usadas para determinar o efeito, nas saıdas, de

mudancas em M1 ou M2.

• Princıpio da superposicao (sistemas lineares): mudancas simultaneas em M1 e M2

tem o efeito aditivo na saıda:

C1(s) = Gp11M1(s) +Gp12M2(s)

C2(s) = Gp21M1(s) +Gp22M2(s)

ou

C(s) = Gp(s)M(s)

Gp(s) =

[Gp11(s) Gp12(s)

Gp21(s) Gp22(s)

]

25

Introducao

1.10.2 Representacoes em Malha

(a)

(b)

Figura 1.10: Duas representacoes para um sistema MIMO 2 × 2

Emparelhamento 1 − 1/2 − 2

No esquema da figura 1.10(a), C1 e controlado por M1 e C2 or M2. Essa configuracao e

denominada 1 − 1/2 − 2.

Emparelhamento 1 − 2/2 − 1

Uma alternativa a configuracao 1− 1/2− 2 e a denominada 1− 2/2− 1, vista na figura

1.10(a).

26

Introducao

• Como mostrado na figura 1.10 existe uma interacao entre mas malhas.

• Essa interacao e um problema dos sistemas MIMO (mesmo para um 2 × 2).

Por exemplo, para a configuracao 1− 1/2− 2, suponha que C1, ja controlada (isto e C1

= R1) seja alterada. Nesse caso:

a) O controlador da malha-1 Gc1 ajusta M1 para forcar C1 voltar ao valor inicial (R1).

Entretanto M1 afeta C2 via Gp21.

b) Como C2 foi alterada, o controlador da malha-2 altera M2 para regula-la.

1.10.3 Exercıcio

Um sistema MIMO 2 × 2 constituıdo de uma funcao G(s) com todos os elementos

estaveis, e controlado por controladores Gc1 e Gc2 estaveis, pode ter uma malha fechada

instavel ?

Observacao

Pode ser instrutivo perceber o comportamento dinamico como uma sequencia de eventos.

Entretanto na pratica essa interacao ocorre continuamente e simultaneamente.

27

Introducao

1.10.4 Malha de Realimentacao Escondida

Como notado por Shinskey [76], a interacao no sistema 2 × 2 ocorre devido a presenca

de uma malha escondida, definida a partir da interacao. A figura 1.11.

Figura 1.11: Diagrama esquematico destacando a malha “escondida

A “malha escondida”causa alguns problemas potenciais:

• Pode desestabilizar o sistema.

• Dificulta a sintonia da malha fechada.

A Questao da Interacao

• Se M2(s) = 0 (Gc2 esta em manual ou aberto, isto e C2 −M2 aberto) entao:

C1(s)

M1(s)= Gp11(s)

• Entretanto, se Gc2 esta no automatico, M2(s) �= 0, (isto e C2−M2 fechado) tem-se:

C1(s)

M1(s)= Gp11(s) − Gp12Gp21Gc2

1 +Gc2Gp22

• Esse resultado mostra, entre outras coisas, que os controladores nao podem ser

sintonizados independentemente.

28

Introducao

1.11 Comentarios Finais

Nesse capıtulo ojetivou-se apresentar alguns conceitos importantes que serao trabalhados

posterirmente. Por hora, e importante atentar para a questao do acoplamento e da forma

de se representar um sistema MIMO.

A abordagem entrada-saıda em sistemas MIMO remete ao estudo de um ferramental

matematico particular, a saber, o das matrizes racionais e das matrizes polinomiais.

Esse e o assunto do capıtulo 3.

A abordagem no espaco de estados tambem tem algumas particulares para o caso

MIMO. Mas uma questao de suma importancia e como encontrar realizacoes para

matrizes de transferencia.

Uma vez representados os sistemas MIMO no Espaco de Estados, as formas de

projeto e analise sao bastante semelhantes as do sistema SISO.

A importancia da representacao no EE para sistemas MIMO advem do fato de se

obter um ambiente um pouco mais simples para o trato com as questoes multivariaveis.

Ja, na abordagem entrada/saıda, corre-se o risco de se necessitar de uma matematica

mais elaborada.

No capıtulo 2 sera tratada a questao da representacao no EE. Deve-se atentar para

a questao de como encontrar realizacoes.

No capıtilo 3 serao abordadas questoes pertinentes a teoria das matrizes polino-

miais, matrizes racionais e fatoracoes matriciais.

29

Capıtulo 2

Introducao a Analise de Sistemas

Lineares

2.1 Introducao a Analise no Espaco de Estados

• Sistema Linear: obedece o princıpio da superposicao.

• Uma representacao possıvel para um sistema linear: modelo em variaveis de es-

tado.

• Variaveis de estado sao representacoes que formam um conjunto completo no

sentido de que, conhecidos seus valores e possıvel determinar o comportamento

dinamico do sistema.

• Na representacao por variaveis de estado, a qualquer momento t e possıvel saber o

valor da saıda do sistema, desde que conhecidos os valores das variaveis de estado

x(t), no referido tempo, bem como a entrada, u(t).

• Um sistema LTI pode ser escrito por um conjunto de equacoes como o das equacoes

(2.1) e (2.2).

dx(t)

dt= Ax(t) +Bu(t) (2.1)

y(t) = Cx(t) +Du(t) (2.2)

Nessas equacoes as matrizes A, B, C e D possuem dimensoes compatıveis com os vetores

u(t), y(t) e x(t).

30

Introducao a Analise de Sistemas Lineares

2.1.1 Representacao no Espaco de Estados

Considera-se entao um sistema linear representado pela realizacao (A,B,C,D), como

sendo definido no espaco de estados:

S :

{x = Ax+Bu

y = Cx+Du(2.3)

Para denotar a relacao G(s) com a representacao A,B,C,D e comum escrever:

G(s) =

[A B

C D

]

Diz-se que A,B,C,D e uma realizacao de (ou para) G(s).

• A partir da representacao no EE e possıvel analisar a estabilidade e projetar com-

pensadores, de uma forma semelhante tanto para sistemas SISO quanto MIMO.

• E possıvel tambem definir polos e zeros do sistema a partir da realizacao de G(s).

2.2 Representacao Entrada-Saıda

Vide [13] capıtulo 2

Considere um pulso de largura Δ e altura 1/Delta, δΔ(t− t1).Vide figura 2.1. Con-

sidere tambem que toda entrada u(t) possa ser aproximada por uma sequencia desses

pulsos, isto e:

u(t) ≈∑

i

u(ti)δΔ(t− ti)Δ

(lembre-se que a altura do pulso e 1/Delta, logo δΔ(t− ti)Δ tera altura 1).

Seja gΔ(t, ti) a saıda no tempo t, cuja entrada foi um pulso u(t) = δΔ(t− ti) aplicado

no tempo ti. Tem-se:

δΔ(t− ti) → gΔ(t, ti)

δΔ(t− ti)u(ti)Δ → gΔ(t, ti)u(ti)Δ∑i

δΔ(t− ti)u(ti)Δ →∑

i

gΔ(t, ti)u(ti)Δ

31


Figura 2.1: Pulso aplicado em t1

• No desenvolvimento anterior, fez-se uso de duas propriedades dos sistemas lineares:

a homogeneidade e a aditividade.

Assim, a saıda y(t) para uma entrada u(t) pode ser aproximada por:

y(t) ≈∑

i

gΔ(t, ti)u(ti)Δ

No limite:

y(t) =

∫ ∞−∞

g(t, τ)u(τ)dτ

...que e a famosa intregal de convolucao !!! E g(t, τ) e a famosa resposta ao impulso!!

do sistema em questao.

• Uma equacao mais realista:

y(t) =

∫ t

t0

g(t, τ)u(τ)dτ

32


• Seja um sistema MIMO com p entradas e q saıdas, dado por:

G(t, τ) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣g11(t, τ) g11(t, τ) . . . g1p(t, τ)

g21(t, τ) g22(t, τ) . . . g2p(t, τ)...

......

gq1(t, τ) gq2(t, τ) . . . gqp(t, τ)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

, tem-se que

�y(t) =

∫ t

t0

G(t, τ)�u(τ)dτ

• Nao estaremos usando a notacao de vetor durante o curso para representar os

vetores. Nas equacoes estara implıcito se a variavel e vetor ou escalar.

2.3 Obtendo a Representacao no Espaco de Estados

• Em se tratando de sistemas dinamicos, e de se esperar que, para analise e projeto

de controladores, parte-se do conhecimento de algum modelo. Uma representacao

basica de qualquer sistema dinamico e a que faz uso de equacoes diferenciais (lin-

eares ou nao).

• Considerando-se sistemas dinamicos lineares (SISO ou MIMO) tem-se as repre-

sentacoes via funcao (matriz) de transferencia, via espaco de estados ou mesmo

via equacoes diferenciais.

• A representacao no Espaco de Estados (EE) (domınio do tempo) esta diretamente

relacionada com a representacao no domınio de Laplace (domınio da frequencia),

que por sua vez esta relacionada com a representacao em equacoes diferenciais.

• Lembrando que, com um certo abuso de linguagem, podemos associar a variavel

s com o operador derivada e a variavel 1/s ao operador integrador.

• Deve-se lembrar tambem que representacoes em FT (ou MT) consideram condicoes

iniciais nulas. Ja no EE isto nao e condicao necessaria (para haver a representacao).

Exemplo 2.1 (Exemplo de Sistema Linear) Considere o sistema g(s) = 1/(s+ 1)

definindo a relacao entre y(s) e u(s):

y(s) = g(s) ∗ u(s) → (s+ 1)y(s) = u(s) → y(t) + y(t) = u(t)

33


Considerando condicoes iniciais nulas. Escolha por, exemplo, a saıda y(t) como sendo

um estado:

x1(t) = y(t)

Teremos entao:

x1(t) = −x1(t) + u(t)

y(t) = x1(t) + 0u(t)

Que esta na forma

x(t) = Ax(t) +Bu(t) (2.4)

y(t) = Cx(t) +Du(t) (2.5)

2.3.1 Exercıcio

Para os dois circuitos da figura 2.2, obtenha a representacao no espaco de estados e a

funcao de transferencia.

C�

R1�

e�i� L�

R2�

e�o�

b)�

a)� C�

R�

e�i�

e�o�

L�

Figura 2.2: Circuitos para Exercıcio da subsecao 2.3.1

34


2.4 Solucao para a Equacao de Estados

Vide [13] capıtulo 4.

2.4.1 Abordagem Entrada Saıda

y(t) =

∫ t

t0

g(t, τ)u(τ)dτ (2.6)

• Para achar a soucao y(t) pode-se resolver a equacao 2.6.

• Nao existe solucao analitica simples.

• Pode-se calcula-la discreta (passo de integracao dado por Δ):

y(kΔ) =k∑

m=k0

g(kΔ, mΔ)u(mΔ)Δ

• Pode-se resolve-la via Transformada de Laplace. (Fracoes parciais e Laplace In-

versa...)

2.4.2 Abordagem no Espaco de Estados

Dado o sistema dinamico de realizacao (A,B,C,D) (equacao (2.3)), com um estado ini-

cial x(t0) e uma entrada u(t), a resposta dinamica x(t) para t ≥ t0 pode ser determinada

por:

x(t) = eA(t−t0)x(t0) +

∫ t

t0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ (2.7)

sendo a matriz exponencial

eAt = I +∞∑

k=1

(At)k

k!

(existem outras formas de calcula-la). A saıda e dada por

y(t) = Cx(t) +Du(t).

35


2.4.3 Sistemas Discretos

Pode-se ainda fazer uso da presentacao no EE para sistemas discretos (equacoes de

diferenca e funcoes F (z)).

S :

{x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)

y(K) = Cx(k) +Du(k)(2.8)

2.4.4 Exercıcio

• Mostre que a solucao de (2.3) e dada pela equacao (2.7).

• Vide [13], capıtulo 4, pagina 87 a 89.

• Resolva os exemplos 4.1 e 4.2 de [13] pagina 89.

2.4.5 Autovalores e Autovetores

Definicao 2.1 Um numero real λ e chamado autovalor de uma matriz real n× n, A,

se existir um vetor nao nulo x tal que

Ax = λx

♦Importante ainda definir o autovetor.

Definicao 2.2 Qualquer vetor nao nulo x satisfazendo Ax = λx e denominado autove-

tor (a direita) de A, associado ao autovalor λ.

♦Para encontrar os autovalores de A resolve-se a equacao

Ax = λx ou Ax = λIx I e a matriz identidade.

Ou:

(A− λI)x = 0 (2.9)

• Se (A − λI) for nao singular a unica solucao possıvel para a equacao acima e

x = 0. Logo, para que (2.9) tenha solucao (A − λI) deve ser singular, isto e seu

determinante deve ser nulo.

36


• Define-se ainda o polinomio caracterıstico de A.

Definicao 2.3 O polinomio caracterıstico da matriz A, de coeficientes reais e dado por:

Δ(λ) = p(s) = det(λI − A)

• Logo os autovalores de A podem ser encontrados como a solucao de p(s) = 0.

• O polinomio p(s) tera a ordem igual a dimensao de A. Isto e, uma matriz n × n

possui n autovalores e n solucoes para equacao polinomial p(λ) = 0.

• Um polinomio e dito ser monico se seu termo de maior ordem possui o coeficiente

1.

2.4.6 Solucao da Equacao de Estados Revisitada

Dado o sistema dinamico de realizacao (A,B,C,D) (equacao (2.3)) sabe-se que a solucao

pode ser encontrada a partir da matriz exponencial. No caso, em se tendo A diagonal,

tem-se uma solucao particular.

Para uma realizacao onde A e diagonal, Ad = SAS−1, tem-se que:

eAdt = diag{eλi(A)t}

sendo λi(A) o i-esimo autovalor de A. Refere-se ao termo eλi(A)t como o modo

associado ao auto valor λi(A).

Lembre-se que o autovalor λi safistaz

Api = λipi

sendo pi o autovetor correspondente. Veja definicoes 2.1 e 2.2.

2.5 Estabilidade

A estabilidade de um sistema dinamica pode ser avaliada a partir da matriz A de sua

representacao no espaco de estados.

37


Teorema 2.1 ([78], pg. 128)

Um sistema dinamico linear, x = Ax+Bu e estavel se e somente se todos os polos

estao no semi-plano esquerdo aberto (OLHP, open left-half plane), isto e, {λi(A)} <0∀i. Uma matriz A que satisfaca essa condicao e dita ser estavel ou Hurwitz.

�

• λi(A) e o espectro de A

• Existem muitas questoes que envolvem o espectro de A: se todos os autovalores sao

distintos, se existem autovalores repetidos, se sao reais ou complexos, por exemplo.

• Os autovalores da matriz A definem o comportamento dinamico do sistema e

podem ser encontrados com a solucao da equacao (A− λI)x = 0.

2.6 Algumas Definicoes de Algebra Linear

2.6.1 Bases, Representacoes e Espacos

• Espaco real linear n-dimensional denotado por Rn.

• Todo vetor x ∈ Rn e um conjunto de n elementos tais que:

x =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣x1

x2

...

xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

• O conjunto de vetores{ x, x1, x2, xm }(cada um consistindo em um vetor de n

elementos como o dado na equacao acima) e dito ser linearmente dependente

(LD) se existirem escalares reais, αi (i = 1, . . . , m), nao todos nulos, tais que:

α1x1 + α2x2 + · · ·+ αmxm = 0. (2.10)

Caso contrario (isto e, a equacao 2.34 so e satisfeita para todos os α nulos) diz-se

que os vetores sao linearmente independentes (LI).

38


Considere o sistema de equacoes na representacao matricial dado por:

Ax = y (2.11)

sendo A uma matriz m× n, y um vetor m× 1 e x um vetor n× 1. A e y sao dados. x

e a incognita. Assim tem-se m equacoes e n variaveis desconhecidas.

• Sabe-se que, dependendo do problema, o numero de equacoes pode ser maior,

menor ou igual ao numero de incognitas.

2.6.2 Range, Rank, Nulidade e Espaco Nulo

Condicoes para a solucao de (2.11) sao definidas em relacao a “estrutura de A”. A partir

dessa estrutura, definem-se alguns termos.

Range

O range de A (range space) e definido como sendo todas as combinacoes lineares de

todas as colunas de A.

Rank ou Posto

O posto (rank) de A e definido como sendo a dimensao do range (isto e do espaco

definido pelas colunas de A).

Vetor Nulo

Um vetor x e denominado vetor nulo de A se Ax = 0.

Espaco Nulo

O espaco nulo de A consiste de todos os vetores nulos de A.

Nulidade

A nulidade (nullity) e definida como sendo o numero maximo de vetores LI (linearmente

independentes) que sao solucao de Ax = 0.

39


Relacoes Importantes

• Considere A m× n

•Nulidade(A) = numero de colunas de A - rank(A)

• O rank (posto) de A e definido como sendo o numero de colunas LI de A. E

tambem e igual ao numero de linhas LI de A. Sendo assim, para A m × n

tem-se que:

rank(A) ≤ min(m,n) Asendo uma matriz m× n.

• No MATLAB use os comandos orth, null e rank.

• Denota-se ρ para o rank e η para a nulidade.

• No MATLAB a solucao para Ax = y pode se encontrada com o comando A \ y.

2.6.3 Teorema Importante

Teorema 2.2 (Chen, [13], pg. 50)

1. Dada uma matriz (m×n) A, um vetor (m× 1), y e um vetor x (n× 1), a solucao

para Ax = y exisitira se e somente se y estiver no espaco range de A, ou

equivalentemente

ρ(A) = ρ([A y]).

• Nesse caso, [A y] uma matriz (m× (n + 1)) com y acrescentada como uma

coluna adicional de A.

2. Dada A, a solucao x para Ax = y existira para todo y se e somente se A tiver

rank m (rank completo para linha).

40


2.6.4 Exercıcio

Seja A dada por

A =

⎡⎢⎣ 0 1 1 2

1 2 3 4

2 0 2 0

⎤⎥⎦

Pede-se:

1. Quantas colunas LI A possui ? Quais sao elas.

2. Quantas colunas LD A possui ? Quais ?

3. Defina uma base que pode ser usada para o range de A ?

4. Qual a nuliade de A ?

5. Quais os vetores nulos de A ?

6. Veriifque se Ani =0, sendo ni os vetores nulos encontrados no item anterior.

7. Resolva a equacao Ax = y para y = [1 2 3]T e y = [0 0 1]T .

2.6.5 Espacos Invariantes e Complementares

Espaco Invariante

Definicao 2.4 Dada uma matriz A, n×n em um subespaco de ordem n, um subespaco

S e dito ser invariante sobre A, ou simplesmente invariante se:

As ∈ S ∀s ∈ S.

Complemento Ortogonal

Se S e um subespaco, diz-se que S⊥ e o seu complemento ortogonal, definido como:

Definicao 2.5 Dados vetores y e x e um sub-espaco S ⊂ F , tem-se

S⊥ = {y ∈ Fn : y∗x = 0 x ∈ S}

onde F pode ser o conjunto dos complexos, C ou dos reais . Diz-se que S e S⊥ sao

complementares.

41


2.6.6 Exercıcio: Outras Definicoes

Dada uma matriz A n× n

1. Defina seu determinante, seus cofatores e menores.

2. Defina o que e uma matriz singular e uma nao-singular.

3. Defina sua matriz adjunta adj(A).

4. Defina o inverso de A em funcao de sua matriz adjunta e seu determinante. Mostre

como ficaria A−1 para uma matriz generica A 2 × 2 cujos elementos fossem deno-

tados por ai,j (i, j = 1, 2).

2.7 Algumas Matrizes Importantes

2.7.1 Matrizes Companheiras

As matrizes: ⎡⎢⎢⎢⎣

0 0 0 −α4

1 0 0 −α3

0 1 0 −α2

0 0 1 −α1

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

−α1 −α2 −α3 −α4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

⎤⎥⎥⎥⎦

e suas transpostas

⎡⎢⎢⎢⎣

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

−α4 −α3 −α2 −α1

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

−α1 1 0 0

−α2 0 1 0

−α3 0 0 1

−α4 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦

possuem todas o mesmo polinomio caracterıstico

p(λ) = Δ(λ) = λ4 + α1λ3 + α2λ

2 + α3λ+ α4

• (e comum usar p(s) no lugar de p(λ), por razoes obvias...).

• Essas matrizes sao denominadas matrizes companheiras.

42


2.7.2 Matriz Diagonal: Autovalores reais distintos

Se todos os autovalores de A sao distintos pode-se obter uma forma diagonal para A,

denotada por Λ, formada pelo autovalroes na diagonal isto e:

Λ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

λ1 0 0 . . . 0

0 λ2 0 . . . 0

0 0 λ3 . . . 0...

......

...

0 0 0 . . . λn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(2.12)

• Sendo os autovalores distintos tem-se que (qi sao os autovetores associados):

Aqi = λqi

• O conjunto de todos autovetores qi forma uma base linearmente independente (LI)

• Se form definida a matriz Q formada pelos autovetores qi, isto e:

Q = [q1 q2 . . . qn] (2.13)

• entao a matriz Λ sera dada por Λ = Q−1AQ

2.7.3 Exercıcio

Dada a matriz A:

A =

⎡⎢⎣ 0 0 0

1 0 2

0 1 1

⎤⎥⎦

Pede-se:

a) O polinomio caracterıstico.

b) Os autovalores e autovetores associados.

c) A matriz Q como definida em (2.13).

d) Uma equivalente diagonal de A (matriz Λ, como definda em (2.12))

e) Verifique se QΛ = AQ.

f) Verifique os calculos usando eig no matlab (que retorna os autovalores e autovetores).

43


2.7.4 Autovalores Complexos

• E possivel que a matriz A, mesmo tendo todos elementos reais, tenha autovalores

complexos.

• Polos complexos sempre estao em pares conjugados.

• No caso de se admitir autovalores complexos, tem-se que considerar que o espaco

linear, que antes era real, deva ser complexo, no sentido que os escalares que

formam o conjunto LI (base) possam assumir valores complexos.

• Isto e, na equacao (2.34), admte-se αi complexo.

• Por exemplo, considere a equacao Av = 0:

Av =

[1 1 + j

1 − j 2

]v = 0

• Nesse caso os possıveis vetores v forem considerados apenas reais, nao havera

solucao nao-nula para a equacao acima. Nesse caso A tera duas colunas LI.

• Entretanto se v puder assumir valores complexos, entao havera uma solucao nao-

nula para a equacao acima, a saber:

v =

[−2

1 − j

]

• Nesse caso as colunas de A sao LD !. No primeiro caso o rank de A seria 2. No

segundo sera 1.

• Havendo autovalores complexos, considera-se espacos lineares complexos com

escalares e autovetores complexos.

• A matriz conjugada e A passa ser a matriz conjugada complexa de A

2.7.5 Exercıcio

Verifique, no Matlab, o rank de A dada por

A =

[1 1 + j

1 − j 2

]

44


2.7.6 Forma de Jordan: Autovalores nao Todos Distintos

• Quando autovalores sao repetidos, diz-se que ha multiplicidade.

• Ou, define-se um autovalor de multiplicidade 2 ou maior como sendo um autovalor

repetido.

• Autovalores que nao possuem multiplicade sao ditos serem simples.

• Se A possui autovalores repetidos, possivelmente nao havera uma forma diagonal

para A.

• Nesse caso havera uma forma bloco diagonal para A.

Teorema 2.3 (Vide [?])

Seja a matriz Lk(λ) uma matriz k × k da forma:

Lk(λ) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

λ 1 0 . . . 0

0 λ 1 . . . 0...

......

......

λ 1...

...

0 0 . . . λ

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,

com L1(λ) = λ. Entao, existe uma matriz T tal que (considere A n× n):

J = T−1AT =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣Lk1(λ1) 0

0 Lk2(λ2)

0 0. . .

0 0 0 0 Lkr(λr)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ,

com k1 + k2 + · · ·+ kr = n.

Essa representacao J e a forma de Jordan da matriz A.

Os numeros λi sao os autovalores de A, nao necessariamente todos distintos.

�Por exemplo se A e de terceira ordem (3× 3) e possui um autovalor λ1 de multiplicade

3 entao A pode ser escrita como:

A1 =

⎡⎢⎣ λ1 0 0

0 λ1 0

0 0 λ1

⎤⎥⎦

45


ou

A2 =

⎡⎢⎣ λ1 0 0

0 λ1 1

0 0 λ1

⎤⎥⎦

ou ainda.

A3 =

⎡⎢⎣λ1 1 0

0 λ1 1

0 0 λ1

⎤⎥⎦

2.7.7 Comentarios

• A forma bloco-diagonal de Jordan esta associada ao fato da base para matrizes que

possuem autovalores repetidos nao poder ser “montada”com os seus respectivos

autovetores.

• No caso de se ter todos os autovalores distintos, tem-se que a base pode ser dada

pelo conjunto de autovetores, qi, associados aos autovalores λi. Isto e, a partir de

Aqi = λiqi obtem-se a base.

• No caso de haver multiplicidade, tem-se que calcular os autovetores general-

izados. Um autovetor generalizado de ordem n e tal que:

(A− λI)nv = 0

• e ao mesmo tempo:

(A− λI)n−1v �= 0

• Matrizes de Jordan sao bloco diagonais (triangulares) e podem ser usadas para

estabelecer muitas propriedades de matrizes.

2.7.8 Gerando a Matriz de Jordan

Vide [13], pagina 59.

46


Exemplo para Nulidade = 1 (de (A− λ I))

• Considere uma matriz A n× n com um autovalor λ de multiplicade n.

• Ou seja, considere que A tenha apenas um autovalor com multiplicidade igual a

sua dimensao (isto e, λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = λ).

• Para simplicar, considere que n = 4.

• Com essas consideracoes, a matriz (A − λI) tera rank n− 1 = 3, ou equivalente-

mente, tera nulidade 1.

• Estara sendo usada a notacao de vetor, para enfatizar a presenca dos autovetores

nas equacoes que se seguem.

• Nesse caso a equacao A�q = λ �q, isto e:

(A− λI)�q = 0,

• possui apenas uma solucao independente (as outras sao LD dessa).

• Logo A tera apenas um autovetor �q1 associado a λ.

• Como fazer para gerar uma base ? (nao podemos usar os autovetores, ja que eles

nao sao LI).

• Sao necessarios (n− 1) = 3 vetores adicionais (no caso 3 vetores adicionais), para

se formar uma base LI no espaco da matriz (n = 4, logo, R4.

• Os tres vetores que faltam, denotados por �q2, �q3 e �q4 serao escolhidos para satis-

fazerem

(A− λI)2�q2 = 0

(A− λI)3�q3 = 0

(A− λI)4�q4 = 0

47


2.7.9 Definicao dos Autovetores Generalizados

• Como dito anteriromente, um vetor �v e o denominado autovetor generalizado

se satifizer

(A− λI)n�v = 0

• e ao mesmo tempo:

(A− λI)n−1�v �= 0

• Se n = 1, tem-se que (A−λI)�v = 0 e �v �= 0, sendo portanto �v o proprio autovetor

de A.

• Se n = 4, definem-se:

�v4 = �v

�v3 = (A− λI)�v4 = (A− λI)�v

�v2 = (A− λI)�v3 = (A− λI)2�v

�v1 = (A− λI)�v2 = (A− λI)3�v

• Tem-se definido acima uma cadeia de autovetores generalizados de ordem

4.

• Essa cadeia possui a propriedade:

(A− λI)�v1 = 0 (A− λI)2�v2 = 0 (A− λI)3�v3 = 0 (A− λI)4�v4 = 0

• Esses vetores, pela forma que foram gerados, ja sao LI e podem ser

usados como uma base !.

• A partir dessas relacoes tem-se que:

A�v1 = λ�v1

A�v2 = �v1 + λ�v2

A�v3 = �v2 + λ�v3

A�v4 = �v3 + λ�v4

48


• Assim a representacao de Jordan, em relacao a base {�v1, �v2, �v3, �v4} sera:

J =

⎡⎢⎢⎢⎣λ 1 0 0

0 λ 1 0

0 0 λ 1

0 0 0 λ

⎤⎥⎥⎥⎦

Exemplo para Nulidade = 2

Considere agora que (A− λI) possui rank n− 2, isto e, nulidade 2. Entao a equacao

(A− λI)�q = 0

possuira duas solucoes LI.

Logo A possuira dois autovetores LI e sera necessario gerar (n − 2) autovetores

generalizados.

2.7.10 Transformacao de Similaridade

• As representacoes no espaco de estados de um sistema LTI nao sao unicas.

• Se A e diagonalizavel, pode-se considerar uma mudanca de variavel do tipo ξ =

T−1x (ou ξ = Tx) tal que T−1AT seja diagonal (ou TAT−1 seja diagonal):

ξ = Aξ + Bu (2.14)

y = Cξ + Du (2.15)

• Nesse caso, as novas matrizes do sistema sao dadas por:

A = T−1AT B = T−1B C = CT D = D

O sistema dado pelas equacoes (2.14) e (2.15) possui o mesmo comportamento dinamico

do “original”(da representacao “original”).

Exemplo 2.2 (Transformacao de Similaridade [39], pg. 493)

49


Considere o sistema dado pela seguinte representacao A,B,C,D:

A =

⎡⎢⎣

−4 −1 1

0 −3 1

1 1 −3

⎤⎥⎦ B =

⎡⎢⎣

−1

1

0

⎤⎥⎦ C =

[−1 1 0

]D = 0

Se A pode ser diagonalizada por uma transformacao de similaridade:

A = Λ = T−1AT

e se A possui todos os autovalores distintos, entao:

Λ = diag{λ1, λ2, . . . , λn}

No caso acima n = 3 e os autovalores de A sao {λ1, λ2, λ3}, sendo {−5,−3,−2}. Con-

hecidos A e Λ, tem-se que T vale:

T =

⎡⎢⎣ 0, 8018 0, 7071 0

0, 2673 − 0, 7071 0, 7071

−0, 5345 0 0, 7071

⎤⎥⎦

.

As matrizes B , C e D podem ser calculadas conhecida a matriz T .

50


2.8 Representacao no Espaco de Estados

• Estado de um sistema em um tempo t, x(t) representa a “quantidade de in-

formacao”necessaria para determinar o comportamento futuro da saıda desse sis-

tema se as entradas sao conhecidas.

S :

{x = Ax+Bu

y = Cx+Du(2.16)

• Uma das vantagens da representacao no EE e que sistemas SISO e MIMO sao

tratados de forma semelhante.

• Mostra-se que:

G(s) = C(sI − A)−1B +D

• Passar da representacao no EE para entrada-saıda nao e uma tarefa simples (prin-

cipalmente para sistemas MIMO).

G(s) =b1s

n−1 + b2sn−2 + · · ·+ bn−1s+ bn

sn + a1sn−1 + · · · + an−1s+ an

Formas Companheiras

E possıvel obter algumas representacoes no EE que apresentem algumas particulari-

dades, no sentido de oferecerem facilidades para a relacao entrada-saıda com EE. Essas

representacoes “amigaveis”sao uteis tanto na determinacao da realizacao a partir de

G(s), quanto na caracterizacao do sistema a partir da realizacao.

Formas Canonicas

A seguir sao apresentadas algumas formas “companheiras”.

• Sabe-se que, para o SISO, tem-se a representacao canonica de controle (con-

troller cannonical form:

x(t) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−a1 −a2 . . . −an−1 −an

1 0 . . . 0 0

0 1 . . . 0 0...

......

...

0 0 . . . 1 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦x(t) +

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

0

0...

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦u(t)

51


y(t) = [ b1 b2 . . . bn−1 bn ]x(t)

• Compare essa representacao com a dada na secao ??.

• Tem-se tambem a forma canonica do observador:

x(t) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−a1 1 0 . . . 0

−a2 0 1 . . . 0...

......

...

−an−1 0 0 0 1

−an 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦x(t) +

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

b1

b2...

bn−1

bn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦u(t)

y(t) = [ 1 0 0 . . . 0 ]x(t)

• Compare essa representacao com a dada na secao ??.

• Essas representacoes estao relacionadas com duas caracterısticas do sistema de

controle: controlabilidade e observabilidade.

• Essas duas formas (entre outras) sao faceis de serem obtidas a partir de g(s). Daı

a denominacao de companheiras.

• Nem sempre e facil, dada uma g(s), encontrar uma “boa”representacao no EE.

• Para sistemas MIMO os problemas sao maiores...

52


2.9 Definicoes Elementares de Sistemas Lineares

As definicoes aqui apresentadas sao baseadas em Zhou et al [96], Kailath [45] e Skoges-

tad e Postlethwaite [78]. Considera-se um sistema linear representado pela realizacao

(A,B,C,D):

S :

{x = Ax+Bu

y = Cx+Du(2.17)

2.9.1 Controlabilidade e Observabilidade

Definicao 2.6 Um estado x do sistema linear representado pela realizacao (A,B,C,D)

e dito ser controlavel se para um dado valor inicial, x(0) = x0 um dado tempo finito

t1 > 0 e um estado final, x1, existe um entrada u(.) tal que a solucao da equacao (2.17)

satisfaca x(t1) = x1.

Definicao 2.7 Um sistema e dito ser controlavel se todos seus estados sao controlaveis.

Dizer que um sistema e controlavel equivale a dizer que o par (A,B) e controlavel.

Definicao 2.8 Um estado x do sistema linear representado pela realizacao (A,B,C,D)

e dito ser observavel se para todo tempo t1 > 0 finito, pode-se determinar um estado

inicial inicial, x(0) = x0 a partir dos valores de u(t) e y(t) no intervalo [0, t1] (isto e

informacoes passadas de u e y).

Definicao 2.9 Um sistema e dito ser observavel se todos seus estados sao observaveis.

Dizer que um sistema e observavel equivale a dizer que o par (C,A) e observavel.

Teorema 2.4 ([45],pg. 366) (teste PBH dos autovetores)

1. O par {A,B} sera controlavel se e somente se nao existir autovetores de A que

sao ortogonais a todas as colunas de B, isto e, se e somente se:

p′A = λp′ p′B = 0 ⇒ p ≡ 0

2. O par {A,C} sera controlavel se e somente se nao existir autovetores de A que

sao ortogonais a todas as lihas de C, isto e, se e somente se:

Ap = λp Cp = 0 ⇒ p ≡ 0

53


�

Teorema 2.5 ([45],pg. 366) (PBH do posto das matrizes)

1. O par {A,B} sera controlavel se e somente se a matriz: (A ∈ Rn ×Rn)

[sI −A B] possuir posto (rank) n para todo s. (2.18)

2. O par {A,C} sera observavel se e somente se a matriz[C

sI −A

]possuir posto (rank) n para todo s. (2.19)

�

• Na teoria das matrizes polinomiais, matrizes (sI−A) e B que satisfazem a condicao

(2.18) sao ditas serem primas relativas a esquerda (ou coprimas a esquerda), (rel-

atively left prime).

• matrizes C e (sI − A) que satisfazem a condicao (2.19) sao ditas serem primas

relativas a diretia (ou coprimas a direita), (relatively right prime).

2.9.2 Teorema sobre Controlabilidade

O teorema seguinte resume os resultados sobre controlabilidade.

Teorema 2.6 (Vide [96], pg. 47)

As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

i) (A,B) e controlavel.

ii) A matriz Wc abaixo e positiva definida para todo t > 0.

Wc(t) =

∫ t

0

eAτBB�eA�τdτ

iii) A matriz de controlabiliade, C, dada abaixo possui posto (rank) completo para

a linha (full row rank).

C =[B AB A2B . . . An−1B

]

54


iv) A matriz [(A− λI) B] possui posto (rank) completo em linha para todo λ ∈ C.

v) Seja λ um autovalor com o correspondente autovetor x (a esquerda) de A, isto e,

seja x�A = x�λ. Entao x�B �= 0.

vi) Os autovalores de A + BF podem ser alocados sem quaisquer restricoes (exceto a

de que polos complexos devem aparecer em pares conjugados), a partir da escolha

da matriz F .

�

2.9.3 Teorema sobre Observabilidade

O teorema seguinte resume os resultados sobre observabilidade.

Teorema 2.7 (Vide [96], pg. 50)

As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

i) (A,C) e observavel.

ii) A matriz Wo abaixo e positiva definida para todo t > 0.

Wo(t) =

∫ t

0

eA�τC�CeAτ dτ

iii) A matriz de observabilidade, O, dada abaixo possui posto (rank) completo para

a coluna (full column rank).

O =[B AB A2B . . . An−1B

]

iv) A matriz

[(A− λI)

C

]possui posto (rank) completo em coluna para todo λ ∈ C.

v) Seja λ um autovalor com o correspondente autovetor y (a direita) de A, isto e, seja

Ay = λy. Entao Cy �= 0.

vi) Os autovalores de A + LC podem ser alocados sem quaisquer restricoes (exceto a

de que polos complexos devem aparecer em pares conjugados), a partir da escolha

da matriz L.

�

55


2.10 Mais Definicoes

Considere-se o sistema S1 dado na equacao (5.5).

S1 :

⎧⎨⎩x = Ax+ bu

y = cx+ dy(2.20)

A e n× n, b e n× 1, c e 1 × n e d e 1 × 1. Seja o polinomio caracterıstico da matriz A

dado por:

Δ(λ) = det(λ I − A) = λn + α1λn−1 + · · ·+ αn−1λ + αn

2.10.1 Forma Canonica Controlavel

Se o sistema n-dimensional LTI S1, da equacao (5.5) e controlavel, entao ele pode ser

transformado, por uma transformacao de equivalenica, na forma:

CS1 :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

˙x =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 0 . . . 0 0

0 0 1 . . . 0 0

0 0 0 . . . 0 0...

......

......

...

0 0 0 . . . 0 1

−αn −αn−1 −αn−2 . . . −α2 −α1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦x+

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

0

0...

0

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦u

y =[βn βn−1 βn−2 . . . β2 β1

]x+ du

(2.21)

sendo α1, α2, . . . , αn sao os coeficientes do polinomio caracterıstico de A e βi sao calcula-

dos a partir do modelo S1. A equacao dinamica (2.21) e denominada forma canonica

controlavel. A funcao de transferencia de CS1:

g(s) =β1s

n−1 + β2sn−2 + · · ·+ β

sn + α1sn−1 + · · ·+ αn−1 + αn

+ e

Prova: vide [12].

56


Algumas Relacoes Importantes

• Sejam U e U as matrizes de controlabilidade do sistema original e do modificado,

respectivamente:

U = [b Ab . . . An−1b] e U = [b Ab . . . An−1b]

• Entao:

P = UU−1 e Q = UU−1

• Seja

Q ≡ [q1 q2 . . . qn] ≡ P−1

• E sejam as relacoes:

x = Px x = Qx

A = Q−1AQ AQ = QA b = Q−1b c = cQ

• Seja a relacao para βi obtida de:

c = cQ = [βn βn−1 βn−2 . . . β1]

2.10.2 Forma Canonica Observavel

Se o sistema n-dimensional LTI S1, da equacao (5.5) e observavel, entao ele pode ser

transformado, por uma transformacao de equivalenica, na forma:

OS1 :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

˙x =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 0 . . . 0 −αn

1 0 . . . 0 −αn−1

0 1 . . . 0 −αn−2

......

......

...

0 0 . . . 1 −α1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦x+

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

βn

βn−1

βn−2

...

β1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦u

y =[

0 0 . . . 1 −α1

]x+ du

(2.22)

57


sendo α1, α2, . . . , αn sao os coeficientes do polinomio caracterıstico de A e βi sao calcula-

dos a partir do modelo S1. A equacao dinamica (2.21) e denominada forma canonica

observavel. A funcao de transferencia de OS1:

g(s) =β1s

n−1 + β2sn−2 + · · ·+ βn−1s+ βn

sn + α1sn−1 + · · ·+ αn−1 + αn+ d

Prova: vide [12].

Algumas Consideracoes Importantes

• A equivalencia entre 5.5 e 2.22 e dada pela relacao:

x = Px

• que pode ser obtida pela definicao de P

P = V −1V Q = V −1V

V =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

c

cA...

cAn−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

V =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

c

cA...

cAn−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = V P−1 = V Q

2.10.3 Estabilizabilidade e Detectabilidade

Definicao 2.10 Um sistema e dito estavel se todos os autovalores de A estao no semi-

plano esquerdo do plano complexo, isto e Reλ(A) < 0. Neste caso diz-se que a matriz

A e estavel ou Hurwitz.

Definicao 2.11 [78]

1. Um sistema sera estabilizavel se todos os seus modos instaveis sao controlaveis.

2. Um sistema sera detectavel se todos os seus modos instaveis sao observaveis.

58


Os teoremas 2.8 e 2.9 formalizam estas definicoes.

Teorema 2.8 [96]

As seguintes afirmacoes sa equivalentes:

1. (A,B) e estabilizavel.

2. A matriz [A− λI, B] possui posto completo para linha para todo Reλ ≥ 0.

3. Para todo λ e x tal que x∗A = x∗λ e Reλ ≥ 0, tem-se x∗B �= 0.

4. Existe uma matriz F tal que A +BF e Hurwitz.

As definicoes para detectabilidade sao duais a de estabilizabilidade.

Teorema 2.9 [96]

As seguintes afirmacoes sa equivalentes:

1. (C,A) e detectavel.

2. A matriz

[A− λI

C

]possui posto completo para coluna para todo Reλ ≥ 0.

3. Para todo λ e x tal que Ax = λx e Reλ ≥ 0, tem-se Cx �= 0.

4. Existe uma matriz L tal que A+ LC e Hurwitz.

5. (A∗, C∗) e estabilizavel.

Comentario 2.1

• No sistema controlavel assessa-se todos os estados atravese do sinal de entrada.

No sistema observavel mede-se todos os estados na saıda.

• No sistema detectavel os modos instaaveis devem ser observaveis e no sistema

estabilizavel eles devem ser controlaveis.

• A propriedade de se ter A+BF e A+LC Hurwitz esta particularmente relacionada

com o fato se ter um controlador estabilizante para o sistema (A,B,C,D). O con-

trolador H∞, por exemplo assume que (A,B,C) seja estabilizavel e detetectavel.

59


2.11 Autovalores e Estabilidade

• Vide [45], [12], [78], [96].

Dado o sistema dinamico de realizacao (A,B,C,D) (equacao (2.17)), com um es-

tado inicial x(t0) e uma entrada u(t) a resposta dinamica x(t) para t ≥ t0 pode ser

determinada por:

x(t) = eA(t−t0)x(t0) +

∫ t

t0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ

sendo a matriz exponencial

eAt = I +

∞∑k=1

(At)k

k!

(existem outras formas de calcula-la). A saıda e dada por

y(t) = Cx(t) +Du(t).

Para uma realizacao onde A e diagonal, Ad = SAS−1, tem-se que:

eAdt = diag{eλi(A)t}

sendo λi(A) o i-esimo autovalor de A. Refere-se ao termo eλi(A)t como o modo associado

ao auto valor λi(A). Lembre-se que o autovalor λi safistaz

Api = λipi

sendo pi o autovetor correspondente.

Teorema 2.10 ([78], pg. 128)

Um sistema dinamico linear, x = Ax+Bu e estavel se e somente se todos os polos estao

no semi-plano esquerdo aberto (OLHP, open left-half plane), isto e, {λi(A)} < 0∀i.Uma matriz A que satisfaca essa condicao e dita ser estavel ou Hurwitz.

�

60


2.12 Realizacao Mınima: observavel e controlavel

Vide [78], pg. 126.

Definicao 2.12 (Realizacao Mınima)

Uma realizacao (A,B,C,D) de G(s) e dita ser uma “realizacao mınima de G(s) ”se

A possuir a menor dimensao possıvel (isto e o menor numero de estados). A menor

dimensao e denominada “Grau de McMillan de G(s)”(por motivos que ficarao claro

adiante).

Um modo e dito ser um modo escondido (hidden mode) se ele nao e controlavel

(state controllable) ou nao e observavel, de forma que ele nao aparece na realizacao

mınima.

♦Uma vez que apenas estados controlaveis e observaveis contribuem para o compor-

tamento de entrada-saıda do sistema (entre u e y), segue-se que uma realizacao sera

mınima se e somente se (A,B) for controlavel e (A,C) for observavel.

Realizacao

• Encontrar uma realizacao a partir de uma matriz de transferencia, G(s) nao e uma

tarefa facil. Encontra-la na forma mınima e uma tarefa mais difıcil ainda.

• Um caminho usual para encontrar tal representacao e dado a partir dos polos da

matriz G(s).

Exemplo 2.3 Considere o sistema escalar:

A =

[−2 −2

0 −4

], B =

[1

1

], C =

[1 0

]D = 0

A funcao de transferencia e:

G(s) = C(sI − A)−1B =1

(s+ 4)

Enquanto a realizacao possui dois estados, G(s) possui apenas 1. Existe um estado em

(A,B,C,D) que nao e controlavel.

Exercıcio: (Prove que esse estado existe). Interprete o resultado.

�

61


2.13 Polos e Zeros (Introducao)

Tanto em sistemas SISO como MIMO e importante obter os polos e zeros, como forma

de avaliar o comportamento dinamico dos mesmos. Para sistemas MIMO o calculo dos

polos e zeros nem sempre e algo trivial.

• Polos e Zeros: Importante para a caracterizacao do sistema.

• Diferenca entre abordagem SISO e MIMO.

• Vide secao 3.9.

Definicao 2.13 Por polos entenda-se os autovalores (considerando-se suas multiplici-

dades) da matriz A. O polinomio dos polos, (usalmente Δ(s) ou p(s)) e o polinomio

caracterıstico, formado por det[λI − A].

♦Para se definir os polos de G(s) (MIMO) pode-se fazer:

G(s) = C(sI −A)−1 +D1

det[sI −A][c(sI − A)aB +D[det[sI − A]],

sendo (sI −A)a a matriz adjunta de (sI − A) (transposta conjugada).

• Da expressao acima tem-se que todos os polinomios do denominador de G(s) sao

divisores do polinomio dos polos. Ou seja, todos os denominadores dos elementos

de G(s) tem, no mınimo o denominador comum (de todos os denominadores dos

elementos de G(s)).

• Em geral o polo do sistema MIMO pode ser calculado a partir dos menores de

G(s).

• Logo, para se calcular os polos e zeros deve-se antes definir os menores

2.13.1 Exercıcio

1. Diga (sem fazer calculo algum) qual e (ou quais sao) o(s) polo(s) do sistema dado

por G(s)

G(s) =

[2

s+13

s+21

s+11

s+1

]

62


2. Para esse sistema, defina ainda uma realizacao.

3. Para a matriz G(s), encontre todos os menores.

2.14 Zeros em Sistemas MIMO: Introducao

• Definidos a partir da matriz de Rosenbrock.

• Diversos tipos de zeros: Zeros de transmissao, Zeros de sistema, etc.

• Vide secao 3.10.

2.14.1 Exercıcio

1. Para as funcoes de transferencia dadas a seguir, diga quais sao os polos e os zeros.

a)

g1(s) =4

(s+ 1)(s+ 2)

b)

g2(s) =−1

(s+ 1)

c)

g3(s) =2

(s+ 1)

d)

g4(s) =−1

2(s+ 1)(s+ 2)

e)

g5(s) =s+ 1

s2 − 1

2. Dada G(s) a seguir diga quais sao seus polos e zeros:

G(s) =

[4

(s+1)(s+2)−1

(s+1)2

(s+1)−1

2(s+1)(s+2)

]

63


2.15 Decomposicao Canonica (ou de Kalman)

(Vide [39] pg. 513 a 516, [45], pg. 134 ou [96] pg. 53 a 58) Como afirmado em [45], pg.

134, essa decomposicao foi enunciada pela primeira vez por Gilbert [36] e Kalman [66].

Como se sabe, existem inumeras maneiras de se descrever um dado sistema dinamico.

Sabe-se tambem que existem “coordenadas”que sao mais vantajosas para se expressar

um dado sistema.

Genericamente falando, seja uma dada matriz T ∈ R\×\ nao singular. Defina:

x = Tx

Assim o sistema original (dado por exemplo pelas equacoes 5.5) pode ser alterado para

(transformacao de similaridade):

˙x = TAT−1x+ TBu (2.23)

y = CT−1x+Du (2.24)

Essas equacoes representam o mesmo sistema original (para qualquer matriz T nao

singular). Pode-se ver que a G(s) calculada a partir de A,B,C,D sera a mesma se

calculada por A, B, C, D

2.15.1 Teoremas da Decomposicao Canonica

Consridera-se a tranformacao de coordenadas para um sistema que nao e completamente

controlavel e/ou completamente observavel. Sera considerada a seguinte transformacao:[A B

C D

]→[A B

C D

]=

[TAT−1 TB

CT−1 D

]

Considerando-se essa transformacao as matrizes de controlabilidade e de observabil-

idade estao relacionadas por:

C = TC e O = OT−1

Teorema 2.11 ([96], pg. 54)

A controlabilidade (ou estabilizabilidade) e a observabilidade (ou a detectabilidade) sao

invariantes para transformacoes de similaridade.

�

64


Teorema 2.12 ([96], pg. 54)

Se a matriz de controlabilidade C possuir posto k1 < n, entao exisitra uma transformacao

de similaridade dada por:

x =

[xc

xc

]= Tx

tal que: [˙xc

˙xc

]=

[Ac A12

0 Ac

][xc

xc

](2.25)

y =[Cc Cc

] [ xc

xc

]+Du (2.26)

com Ac ∈ Ck1×k1 e (Ac, Bc) controlavel. Alem disso,

G(s) = C(sI − A)−1B +D = Cc(si− Ac)−1Bc +D

�O teorema anterior pode ser colocado de forma compacta no corolario seguinte.

Corolario 2.12.1 Se um sistema e estabilizavel e a matriz de controlabilidade C possuir

posto k1 < n, entao, existe uma transformacao de similaridade T tal que:

[TAT−1 TB

CT−1 D

]=

⎡⎢⎣Ac A12 Bc

0 Ac 0

Cc Cc D

⎤⎥⎦

com Ac ∈ Ck1×k1, (Ac, Bc) controlavel e Ac estavel.

�Por dualidade, tem-se os seguintes resultados para um sistema que nao e completa-

mente observavel.

Teorema 2.13 Se a matriz de observabilidade O possui posto k2 ¡ n, entao existe uma

transformacao de similaridade T tal que:

[TAT−1 TB

CT−1 D

]=

⎡⎢⎣Ao 0 Bo

A21 Ao Bo

Co 0 D

⎤⎥⎦

com Ao ∈ Ck2×k2 e (Co, Ao, ) observavel.

65


�

Corolario 2.13.1 Se o sistema e detectavel e a matriz de observabilidade O possui

posto k2 ¡ n, entao existe uma transformacao de similaridade T tal que:

[TAT−1 TB

CT−1 D

]=

⎡⎢⎣Ao 0 Bo

A21 Ao Bo

Co 0 D

⎤⎥⎦

com Ao ∈ Ck2×k2, (Co, Ao, ) observavel e Ao estavel.

�Pelos dois resultados acima, tem-se ainda que:

G(s) = C(si− A)−1B +D = co(sI − Ao)−1Bo +D

Combinando-se os dois resultados anteriores, tem-se a Decomposicao Canonica

de Kalman.

Teorema 2.14 Seja um sistema LTI descrito pelas equacoes ??. Entao existe um trans-

formacao de coordenadas (de similiaridade) efetuada por uma matriz T nao singular,

do tipo x = Tx, tal que:⎡⎢⎢⎢⎣

˙¯cox

˙xcox

˙xcox

˙xcox

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣Aco 0 A13 0

A21 Aco A23 A24

0 0 Aco 0

0 0 A43 Aco

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣xco

xco

xco

xco

⎤⎥⎥⎥⎦+

⎡⎢⎢⎢⎣Bco

Bco

0

0

⎤⎥⎥⎥⎦u (2.27)

y =[Cco 0 Cco 0

]⎡⎢⎢⎢⎣xco

xco

xco

xco

⎤⎥⎥⎥⎦+Du (2.28)

ou equivalentemente:

[TAT−1 TB

CT−1 D

]=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

Aco 0 A13 0 Bco

A21 Aco A23 A24 Bco

0 0 Aco 0 0

0 0 A43 Aco 0

Cco 0 Cco 0 D

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

66


onde xco e controlavel e observavel, xco e controlavel mas nao e observavel, xco e ob-

servavel mas nao controlavel e xco nao e observavel nem controlavel.

�A partir do teorema acima, tem-se o seguinte corolario

Corolario 2.14.1 (Relacao Matriz de Transferencia com Espaco de Estados)

Considere a matriz de transferencia H(s) que relaciona y(t) com u(t) pela relacao:

Y (s) = H(s)U(s).

Entao:

H = C(si−A)−1B +D = Cco(sI − Aco)−1Bco +D

�

2.15.2 Comentarios I

• O corolario 2.14.1 mostra que as partes (ou os modos) nao controlaveis e nao

observaveis de um sistema linear nao aparecem na funcao (matriz) de transferencia.

• Reciprocamente, dada uma funcao (matriz) de transferencia e possıvel encontrar

uma realizacao que seja completamente observavel e completamente controlavel.

• Essa realizacao (completamente observavel e controlavel) e a realizacao mınima

do sistema (da funcao ou matriz de transferencia).

• Repare que G(s) sendo a mesma, usando-se (A,B,C,D) ou (Aco, Bco, Cco, D), o

comporatamento interno do sistema e completamente diferente.

2.15.3 Comentarios II

Denota-se por Λ[M ] o conjunto de autovalores de uma dada matriz quadrada M . Assim,

considerando-se essa notacao, tem-se o seguinte resultado:

Λ[A] = Λ[Aco] ∪ Λ[Aco] ∪ Λ[Aco] ∪ Λ[Aco]

sendo:

• Λ[A] os autovalores do sistema

67


• Λ[Aco] autovalores do sistema controlavel e observavel

• Λ[Aco] autovalores do sistema controlavel e mas nao observavel

• Λ[Aco] autovalores do sistema observavel mas nao controlavel.

• Λ[Aco] autovalores do sistema nao observavel e nao controlavel.

2.15.4 Comentario III

Considere um sistema que e controlavel mas nao observavel possui dois autovalores, λa

e λb. Dize-se que os modos eλat e eλbt sao controlaveis mas nao observaveis.

68


2.16 Introducao a Realimentacao por Variaveis de

Estado

Considere o modelo no espaco de estados com m entradas e p saıdas:

x(t) = A0x(t) +B0u(t) (2.29)

y(t) = C0u(t) (2.30)

sendo x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm e y(t) ∈ Rp.

• O objetivo da realimentacao de estados e encontrar uma matriz K ∈ Rm×n tal que

A0 − B0K tenha seus autovalores no SPE. Alem disso e comum especificar uma

dada regiao do SPE, relacionada a uma determinada especificacao de desempenho.

• A estrategia usual para achar a matrizK em sistemas SISO nao se aplica a sistemas

MIMO.

• Porem existem procedimentos particulares para o caso MIMO.

• Uma das abordagens MIMO para a escolha de K faz uso da otimizacao quadratica.

Para detalhes vide apendice ??.

• Em linhas gerais, a ideia central desse projeto e encontrar K a partir de um

problema de minimizacao de uma funcao de custo quadratica, da forma:

J =

∫ t−r

0

[x(t)T Ψx(t) + u(t)TΦu(t)

]dt.

• Nessa funcao de custo, Ψ ∈ Rn×n e uma matriz simetrica nao-negativa definida e

Φ ∈ Rm×m e uma matriz simetrica positiva definida.

• Mostra-se (vide apendice ??) que quando tf → ∞ a lei de controle que otimiza

essa funcao de custo possui a seguinte forma:

u(t) = −Kx(t). (2.31)

• Nessa caso, K = Ψ−1BT0 P , com P ∈ Rn×n sendo uma matriz P = P T ≥ 0, solucao

da seguinte Equacao de Riccati (ARE) Contınua:

0 = Φ + AT0 P + PA0 − PBT

0 Ψ−1B0P (2.32)

69


O teorema ?? mostra que, desde que o par (A0, B0) seja estabilizavel e (Ψ1/2, A0) seja

detectavel, entao existe uma solucao (nao-negativa definida) unica para a equacao (5.4)

e que garante que a lei de controle (5.3) estabiliza a malha.

70


2.17 Realimentacao de Estados: SISO

Nessa secao estuda-se o efeito de uma realimentacao do tipo:

u = r +Kx r pode ser nulo,

sobre a equacao dinamica S1 (equacao (5.5)). A variavel r esta associada a referencia

aplicada ao sistema e K e a matriz ganho (ou simplesmente ganho) do sistema em

malha fehcada.

Nas deducoes dessa sessao considera-se que todos os estados estejam disponıveis

para serem realimentados.

A realimentacao de estados dada na figura 5.1. Considere o sistema S1 da equacao

5.5. Considere o ganho k, com k = [k1 k2 . . . kn].

k�

c�

A�

b�

d�

+�

+�r� u� y�x�x�

dt�

d�

int�

+�

+�+�

+�

Figura 2.3: Representacao de uma realimentacao de estaods

A malha fechada do diagrama da figura 5.1 pode ser dada por:

S1mf :

⎧⎨⎩x = (A+ bk)x+ br

y = (c+ dk)x+ dr(2.33)

Teorema 2.15 A equacao dinamica S1mf, (5.6), e controlavel para qualquer vetor k,

1 × n se e somente se a equacao S1, 5.5 for controlavel.

�

Corolario 2.15.1 A controlabilidade de um sistema MIMO, LTI, dado pela equacao ??

e invariante sobre uma realimentacao de estados da forma u(t) = r(t) +K(t)x(t).

71


�

• Embora a realimentacao de estados preserve a controlabilidade, ela quase sempre

altera a propriedade da observabilidade, no sentido de “destruı-la”, isto e o sistema

em malha fechada nao e mais observavel.

2.17.1 Alocacao de Polos via Realimentacao de Estados

Teorema 2.16 Se o sistema dinamico SISO, S1, dado em (5.5) e controlavel entao, a

partir de uma realimentacao de estados, u = r + kx, com k sendo um vetor 1 × n, os

autovalores de (A+bk) podem ser arbitrariamente alocados, considerando-se obviamente,

que os autovetores complexos sejam atribuıdos em pares.

72


2.18 Adendo: Realizacao Mınima

Considere:

H(s) = C(sI −A)−1B =b(s)

a(s)

A realizacao (A,B,C) sera mınima se e somente se

a(s) = det(sI −A) s b(s) = C adj(sI − A)B

forem “primos”, isto e, se nao houver fator comum entre eles. Ou ainda, se nao houver

cancelamento. Diz-se nesse caso que b(s)/a(s) sao irredutıveis.

Exemplo 2.4 Considere:

A =

[−2 −2

0 −4

]B =

[1

1

]C =

[1 0

]D = 0

Assim:

det(sI − A) = det

[s+ 2 2

0 s+ 4

]= (s+ 2)(s+ 4)

e

Cadj(sI −A)B =[

1 0] [ s+ 2 2

0 s+ 4

][1

1

]= (s+ 2)

Logo,

H(s) =(s+ 2)

(s+ 2)(s+ 4)=

1

(s+ 4)

• Caso MIMO, as matrizes devem ser “primas”para se ter a realizacao mınima.

• Passar de (A,B,C,D) para H(s) e mole !!! O inverso, nem sempre.

• Logo H(s) sera sempre mınima.... (a menos que vc. coloque algum polo igual a

um zero).

�

73


2.19 Bases Matriciais

Considere um espaco linear n-dimensional, Rn. Todo vetor em Rn e um conjunto de n

elementos (n-tuple) de numeros reais tais que

x =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣x1

x2

...

xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

O conjunto de vetoresx = [x1, x2, xm]T (cada um consistindo em um vetor de n elementos

como o dado na equacao acima) e dito ser linearmente dependente (LD) se existirem

escalares reais, αi (i = 1, . . . , m), nao todos nulos, tais que:

α1x1 + α2x2 + · · · + αmxm = 0 (2.34)

Se o unico conjunto existente para que 2.34 seja satisfeita e o conjunto:

α1 = 0, α2 = 0, . . . αn = 0,

entao o conjunto de vetores x = [x1, x2, xm]T e dito ser linermente independente (LI).

Se o conjunto (2.34) e LD, entao existe pelo menos um αi (por exemplo o α1, que e

diferente de zero. Entao (2.34) implica em:

x1 = − 1

α1[α2x2 + α3x3 + · · · + αmxm] (2.35)

= β2x2 + β3x3 + · · · + βmxm (2.36)

sendo

βi = −αi/α1

A expressao dada em (2.36) e denominada combinacao linear.

A dimensao do espaco linear pode ser definida como sendo o numero maximo de

vetores LI no espaco. Um espaco Rn tera, no maximo n vetores LI.

2.19.1 Bases e Representacoes

Um conjunto de vetores LI em Rn e chamado de base se todo vetor em Rn pode ser

expresso por uma combinacao linear unica desse conjunto.

74


Em Rn, qualquer conjunto de n vetores LI pode ser usado como base.

Seja {q1, q2, . . . , qn} uma base (qi sao vetores.

Assim todo vetor x pode ser escrito como:

x = α1q1 + α2q2 + · · · + αnqn (2.37)

Defina a matriz quadrada (n× n).

Q ≡ [q1 q2 . . . qn]

Entao (2.37) pode ser escrita como:

x = Q

⎡⎢⎢⎢⎣α1

α2

. . .

αn

⎤⎥⎥⎥⎦ (2.38)

x = Qx (2.39)

O vetor x, dado por x = [α1 α2 . . . αn]′ e a representacao do vetor x na (ou em relacao

a) base [q1, q2 . . . qn].

2.19.2 Base Ortonormal

Todo espaco Rn possui a base ortonormal:

i1 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

0

0

. . .

0

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, i2 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

1

0

. . .

0

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, in−1 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

0

0

. . .

1

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, in =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

0

0

. . .

0

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Em relacao a essa base, tem-se que:

x =

⎡⎢⎢⎢⎣x1

x2

. . .

xn

⎤⎥⎥⎥⎦ = x1i1 + x2i− 2 + · · ·+ xn−1in−1 + xnin = In

⎡⎢⎢⎢⎣x1

x2

. . .

xn

⎤⎥⎥⎥⎦

sendo In uma matriz identidade de ordem n.

Ou seja, a presentacao de qualquer vetor x na base ortonormal e o proprio vetor.

75


Exemplo 2.5 (Representacao em Diferentes Bases. Vide [13] pg. 46)

Vide figura 2.4. Considere um vetor x = [1 3]′ em R2. Os dois vetores q1 = [3 1]′ e q2[2 2]′ sao LI, e portanto podem ser usados como base. Se forem desenhadas a partir de

x duas retas paralelas a q1 e q2, a intersecao delas com os respectivos vetores (q1 e q2)

definira a representacao de x em relacao a base [q1 q2]. Elas interceptam em −q1e q2.

Assim a representacao de x em relacao a [q1 q2] sera [−1 2]′.

Isso pode ser verificado fazendo-se:

x =

[1

3

]= [q1 q2]

[−1

2

]=

[3 2

1 2

][−1

2

].

Outra base: Para encontrar a representacao de x em relacao a base [q2 i2], desenha-

se retas paralelas a i2 e q2. Elas interceptarao os vetores da base em 0, 5q2 e 2i2. A

representacao de x nessa base sera [0, 5 2]′.

x�

q1�

q2�

0� i�1�

i�2�

Figura 2.4: Vide [13] pg. 47. Representacao de um vetor em diferentes bases.

76


2.19.3 Exercıcio

Para o exemplo 2.5, encontre a representacao de x na base [i2, q1] e na base [i1, q1. Faca

por construcao (usando a figura) e por calculo matricial.

2.20 Transformacao de Base

Vide [13].

Considere uma matriz A n×n. Ela mapeia Rn em Rn. Se for definida um base orto-

normal em Rn (vide subsecao 2.19.2), entao a i-esima coluna de A sera a representacao

de Ai, na base ortonormal.

Se for selecionada uma base diferente, {q1, q2, . . . qn}, entao a matriz A tera uma nova

representacao, A.

Para essa nova representacao tambem ha uma relacao entre as colunas de A e a Aqi

(em analogia a Ai).

Isto e, a nova representacao, a i-esima coluna de A e a representacao de Aqi em

relacao a base {q1, q2, . . . qn}.Veja o exemplo a seguir.

Exemplo 2.6 Seja a matriz

A =

⎡⎢⎣ 3 2 −1

−2 1 0

4 3 1

⎤⎥⎦

Seja b = [0 0 1]′. Seja ainda os seguintes produtos:

Ab =

⎡⎢⎣ −1

0

1

⎤⎥⎦ , A2b = A(Ab) =

⎡⎢⎣ −4

2

3

⎤⎥⎦ , A3b = A(A2b) =

⎡⎢⎣ −5

10

−13

⎤⎥⎦

Com essas opcoes, tem-se que:

A3b = 17b− 15Ab+ 5A2b

• Assim, os vetores b, Ab e A2b sao LI.

• Sendo LI eles forma uma base

77


• Para calcular A nessa base, faz-se:

A(b) =[b Ab A2b

]⎡⎢⎣0

1

0

⎤⎥⎦

A(Ab) =[b Ab A2b

]⎡⎢⎣0

0

1

⎤⎥⎦

A(A2b) =[b Ab A2b

]⎡⎢⎣ 17

−15

5

⎤⎥⎦

Assim a representacao de A na base [b, Ab, A2b] sera:

A =

⎡⎢⎣ 0 0 17

1 0 −15

0 1 5

⎤⎥⎦

2.20.1 Transformacao de Similaridade: Matrix Companheira

O exemplo anterior pode ser usado para motivar um procedimento de mudanca de base.

Seja A uma matriz n×n. Se existir um vetor b n×1 tal que os n vetores b, Ab, . . . , An−1b

sejam LI e se:

Anb = β1b+ β2Ab+ · · · + βnAn−1b

entao a representacao de A na base [b, Ab, . . . , An−1b] sera:

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 0 . . . 0 β1

1 0 . . . 0 β2

0 1 . . . 0 β3

......

. . ....

...

0 0 . . . 0 βn−1

0 0 . . . 1 βn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

A matriz acima e uma matriz companheira.

78


2.21 Transformacao de Similaridade Revisitada

Usando a notacao das transformacoes de base acima estudadas, nesta secao apresenta-se

uma revisao da transformacao de similaridade.

Seja a equacao

Ax = y (2.40)

Nessa equacao, a matriz quadrada A mapeia x ∈ Rn em y ∈ Rn. Em relacao a base

{q1, q2, . . . , qn}, a equacao torna-se:

Ax = y, (2.41)

sendo x e y representacoes de x e y em relacao a base {q1, q2, . . . , qn}. Como visto

anteriormente, a relacao entre esses vetores e dada por:

x = Qx y = Qy

com

Q =[q1 q2 . . . qn

](2.42)

sendo Q uma matriz nao-singular n× n.

Levando (2.42) em (2.40) tem-se:

AQx = Qy e Q−1AQx = y (2.43)

Comparando esta equacao com a (2.41), tem-se que:

Essa e a transformacao de similaridade. As matrizes A e A sao similares.

A = Q−1AQ ou A = QAQ−1 (2.44)

A equacao (2.44) pode ser escrita como:

AQ = QA

ou ainda:

A[q1 q2 . . . qn

]=[Aq1 Aq2 . . . Aqn

]=[q1 q2 . . . qn

]A

A relacao acima mostra que a i-esima coluna de A e a representacao de Aqi em

relacao a base[q1 q2 . . . qn

].

79


2.22 Adendo: Observabilidade e Controlabilidade

A figura 2.5 apresenta um sistema que possui um estado nao controlavel. Considere que

o estado x e a tensao no capacitor C. Se x(0) = 0, entao x(t) = 0 para todo t ≥ 0,

independentemente do valor da entrada u aplicada. Isso, naturalmente, ocorre devido

ao equilıbrio da ponte. Assim sendo o estado e nao controlavel (e como so ha esse estado,

o sistem todo e nao controlavel).

R�R�

R�R�

R=�1�Ω®

C�

u�

y�

Figura 2.5: Circuito RC nao controlavel

A figura 2.6 apresenta outro exemplo de um sistema nao controlavel. Considere

definidos os estados x1 e x2, como mostrado na figura. O sinal de entrada u pode alterar

o valor de x1 ou x2 para qualquer valor, mas nao pode alterar x1 e x2 (separadamente)

para qualquer valor.

R=� 1�Ω®

C=1F�

u�

x�2�

C=1F�

R=� 1�Ω®

x�1�

Figura 2.6: Circuito RC nao controlavel

80


A figura 2.7 apresenta um circuito como exemplo de um sistema nao controlavel.

Se a entrada e nula, independentemente do valor da tensao no capacitor, a saıda sera

identicamente nula. Assim, conhece-se a entrada e a saıda (ambas sao zero) mas nao se

pode determinar o valor do estado inicial (x(0)). Assim o circuito, ou melhor, a equacao

de estado que o descreve, e nao observavel.

R�R�

R�R�

R=�1�Ω®

C�

u�y�

x�

Figura 2.7: Circuito RC nao observavel

A figura 2.8 (a) apresenta outro circuito nao observavel (ou melhor, cuja repre-

sentacao e nao observavel). O circuito possui duas variaveis de estado, x1 e x2, sendo,

respectivamente, a corrente no indutor e a tensao no capacitor. A entrada u e uma fonte

de corrente. Se u = 0, o circuito pode ser visto como o da figura (b). Se x1(0) = α,

com α sendo uma constante nao nula e se x2 = 0, entao a saıda sera nula. Qualquer

x(0) = [x1(0) x2(0)]′ = [α x2(0)]′ resultara na mesma saıda, y(t) = 0. Assim, nao ha

como determinar o valor do estado inicial ([α x2(0)]′) unicamente e portanto a equacao

que descreve o sistema e nao observavel.

81


C=1F�

b)�

a)�

R=1�Ω®

L=1H�

u� R=1�Ω®y�

x1�

x2�

C=1F�R=1�Ω®

L=1H�

u� R=1�Ω®y�

x1�

x2�

Figura 2.8: Circuito RC nao observavel

2.23 Resumo dos Resultados mais Importantes

• Representacao entrada e saıda: resposta ao impulso, integral de convolucao.

• Representacao no Espaco de Estados: realizacao A,B,C,D.

• Solucao da equacao de estados: matriz exponencial ou solucao da integral de

convolucao.

• Autovalores e Autovetores.

• Polinomio caraceterıstico.

• Bases, espaco nulo, nulidade, rank, range.

• Estabilidade.

• Matrizes diagonais e de Jordan.

• Matrizes companheiras e canonicas.

• Transformacao de Similaridade.

• Mudando da EE para ES e vice-versa.

• Controlabilidade e Observabilidade.

• Polos e Zeros.

82


• Realizacao Mınima.

• Realimentacao de Estados.

83

Capıtulo 3

Matrizes Polinomiais e Racionais

3.1 Objetivo do Capıtulo

• Apresentar definicoes e teoremas relacionados com a teoria de Matrizes Polinomi-

ais.

• Apresentar metodos para, dada uma matriz racionalG(s) encontrar sua realizacao.

• Apresentar formas para diferenciar realizacao mınima de uma nao mınima.

• Definir fatoracoes e decomposicoes matriciais .

• Definir polinomio caracterıstico, polinomio dos polos, dos zeros e propriedades

correlatas.

• Definir matrizes coprimas e propriedades que as envolvem.

• Formalizar a definicao de Polos e Zeros de sistemas MIMO.

• Definir transformacoes elementares para matrizes polinomiais e racionais.

• Apresentar formas canonicas para matrizes racionais e polinomiais: Hermite, Smith-

McMillan.

• Relacionar essas formas com propriedades dos sistemas.

84


3.2 Matrizes Polinomiais - Introducao

Vide definicoes de matrizes racionais e polinomiais na subsecao 1.9.2.

Nas definicoes que se seguem, supoe-se tratar de um sistema linear, invariante no

tempo, descrito pelas equacoes dinamicas:

x = Ax+Bu (3.1)

y = Cx+Du (3.2)

Sabe-se que G(s) = C(sI −A)−1B +D.

• As “funcoes de transferencia”(na verdade, para sistemas MIMO tem-se matrizes

de transferencia) de sistemas MIMO sao dadas por matrizes racionais (razoes de

polinomios) ou fatoradas em matrizes polinomias (matrizes de polinomios).

• Existem diveros teoremas e definicoes relacionados com matrizes polinomiais e

racionais. A seguir serao apresentados alguns.

Definicao 3.1 (Matriz Polinomial)

Uma matriz Q(s) = [qik(s)] ∈ Rn×m e uma matriz polinomial se seus elementos

qik(s) sao polinomios em s (para todo i, k, i = 1, 2, . . . n e k = 1, 2, . . .m.

Definicao 3.2 (Matriz Unimodular)

Uma matriz polinomial e dita Unimodular se seu determinante e uma constante nao

nula.

Teorema 3.1 Uma matriz polinomial A(s) e unimodular se e somente se sua inversa

e tambem uma matriz polinomial.

3.2.1 Matrizes Polinomiais Multiplas

Considere a igualdade A(s) = B(s)C(s), onde A, B e C sao matrizes polinomiais. A

partir desta igualdade definem-se

1. C(s) e divisor a direita de A(s)

2. A(s) e multiplo a esquerda de C(s)

85


3. B(s) e divisor a esquerda de A(s)

4. A(s) e multiplo a direita de B(s)

Considere, agora duas matrizes polinomiais N(s) e D(s). Uma matriz polinomial

R(s) sera chamada de divisor comum a direita deN(s) eD(s) se existirem as matrizes

N(s) e M(s), polinomiais, tais que:

N(s) = N(s)R(s) e D(s) = D(s)R(s)

(considerando o numero de linhas e colunas apropriados para as multiplicacoes)

Definicao 3.3 O maximo divisor comum a direita (MDCD) (ou GCRD, great-

est commom right divisor) de duas matrizes N(s) e D(s) e uma matriz R(s) com as

seguintes propriedades:

1. R(s) e divisor comum de N(s) e D(s).

2. Se R1(s) e outro divisor comum de N(s) e D(s) , entao R1(s) e divisor comum

de R(s), isto e, existe uma matriz P (s) tal que R(s) = W (s)R1(s) (ou seja R(s)

e multiplo a esquerda de R1(s)).

(A definicao maximo divisor comum a esquerda e analoga, com as devidas alteracoes.)

Comentario 3.1 A partir dessas definicoes desenvolvem-se operacoes para encontrar

o MDCD (ou MDCE) e apresentam-se teoremas a respeito das propriedades de D(s),

N(s). Vide Chen, 1984, [12] - apendice G e Kailath, 1986 - cap. 6, [45].

Definicao 3.4 Duas matrizes polinomiais sao primas relativas ou coprimas (a es-

querda ou direita) se seus MDCD (ou MDCE) sao unimodulares. Esta definicao

afirma que duas matrizes sao coprimas se elas nao possuirem fatores comuns. (Analogo

a numeros primos).

86


3.3 Fracoes Coprimas de Matrizes Racionais

Considere uma matriz racional propria, q × p. A fracao G(s) = N(s)D−1(s) (G(s) =

N−1(s)D(s)) e chamada de fracao coprima a direita (esquerda) se N(s) e D(s) forem

coprimas a direita (esquerda).

Ambas (direita ou esquerda) sao chamadas de fracoes irredutıveis.

Dada uma G(s) e possıvel obter varias fracoes (ou decomposicoes), algumas irre-

dutıveis outras nao. Entretanto, todas sao relaciondas com o seguinte teorema.

Teorema 3.2 Considere uma matriz racional propria q × p com a fracao coprima a

direita . Entao para outra fracao existe uma matriz polinomial p× p, nao singular T (s)

tal que

N(s) = N(s)T (s) e D(s) = D(s)T (s)

Se a fracao for coprima a direita, entao T (s) e unimodular.

Este teorema afirma que todas fracoes irredutıveis sao relacionadas por matrizes

unimodulares.

Comentario 3.2 (Resultado 1.1) Uma matriz polinomial P (s) de rank (posto) em

coluna completo e irredutıvel se suas linhas sao coprimas a direita. Vide [45], pg. 380.

87


3.4 Polinomio Caracterıstico e Grau de uma Matriz

Racional

Teorema 3.3 Seja o seguinte sistema linear SISO invariante no tempo expresso pela

realizacao {A,B,C,D} e pelas equacoes dinamicas:

x = Ax+Bu (3.3)

y = Cx+Du (3.4)

A equacao dinamica sera irredutıvel (controlavel e observavel) se e somente se

dimensao de A = grau de g(s)

Com este teorema e possıvel determinar se um sistema SISO e irredutıvel a partir do

grau de sua funcao de transferencia. Para sistemas multivariaveis e desejavel se ter

um teorema analogo. Antes, entretanto e necessario definir o que e ”denominador”para

sistema MIMO.

3.4.1 Denominador Comum de um Sistema MIMO

Definicao 3.5 (Polinomio Caracterıstico de uma Matriz)

O polinomio caracterıstico, (usualmente denotado por Δ(s), p(s) ou φ(s)) de uma

matriz racional propria G(s) e definido como sendo o mınimo multiplo comum dos

denominadores de todos os menores (nao nulos) de G(s). O grau de G(s), denotado por

G(s), e definido como o grau do polinomio caracterıstico.

Comentario 3.3

• O polinomio caracterıstico definido acima e tambem chamado de “polinomio dos

polos”(pole polynomial.

• Em geral, o polinomio caracterıstico de G(s) e diferente do denominador do deter-

minante de G(s) e do mınimo denominador comum dos elementos (“entradas”)

de G(s)

88


• Ao calcular o polinomio caracterıstico, todo menor da matriz deve ser reduzido a

sua forma irredutıvel

A definicao seguinte e analoga a definicao 3.5

Definicao 3.6 Seja uma matriz G(s) racional propria fatorada como

G(s) = Nr(s)D−1r (s) = D−1

l (s)Nl(s).

Assume-se que Dr(s) e Nr(s) sao coprimas pela direita e Dl(s) e Nl(s) sao coprimas

pela esquerda. Entao o polinomio caracterıstico de G(s) e definido como:

det (Dr(s)) e det (Dl(s))

e o grau de G(s) e definido como:

grau de G(s) = grau de [det (Dr(s))] ou grau de [det (Dr(s))]

(A equivalencia das definicoes e pode ser verificada usando-se as formas canonicas

de Smith-McMillan)

O teorema seguinte e o analogo ao teorema 3.3 para o caso MIMO

Teorema 3.4 Seja a realizacao {A,B,C,D} de matriz de transferencia G(s) de um

sistema MIMO. A realizacao sera irredutıvel (controlavel e observavel) se e somente

se:

dimensao de A = grau de G(s)

89


3.5 Realizacao de Um Sistema MIMO: Exemplo

Seja H(s) dada por:

H(s) =

[1

(s−1)21

(s−1)(s+3)−6

(s−1)(s+3)2(s−2)(s+3)2

]

E possıvel associar diferentes realizacoes a essa matriz, isto e, encontrar diferentes ma-

trizes A,B,C e D tais que:

H(s) = C(sI − A)−1B +D

(vide [45], pg 346 a 348).

Exemplos de Duas Realizacoes

1) Uma realizacao possıvel e obtida a partir de realizacoes individuais para cada gij(s),

isto e:

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 −1

1 0

1 0

−2 3

−5 −3 9

1 0 0

0 1 0

−6 −9

1 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

B =

[1 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0

]T

e C =

[0 1 0 1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 −6 1 −2

]

2) Uma outra realizacao possıvel pode ser obtida a partir de uma fatoracao dos polinomios

de H(s):

Escreva H(s) fatorada:

H(s) =1

(s− 1)2(s+ 3)2

[(s+ 3)2 (s− 1)(s+ 3)

−6(s+ 1) (s− 2)(s− 1)2

]=

1

d(s)

[N1s

3 +N2s2 +N3s+N4

]

90


sendo d(s) = sr + d1sr−1 + · · ·+ dr.

d(s) e o mınimo multiplo comum dos denominadores de todos elementos de

H(s).

Assim, em analogia a realizacao canonica de controle, tem-se uma realizacao (de

ordem 8) dada por:

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

−d1Im −d2Im . . . −drIm

Im 0 . . . 0...

......

...

0 Im 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

B =[Im 0 0 . . . 0

]T

e C =[N − 1 N2 . . . Nr

]• Neste caso, tem-se um sistema com m entradas, Im e uma matriz identidade m×m.

A ordem dessa realizacao e r ×m = 4 × 2 = 8.

• Repare que o denominador possui ordem 4.

• A ordem dessa realizacao (canonica) e rm. Pode-se obter uma dual, de ordem rp.

Pergunta:

E possıvel encontrar uma realizacao de menor ordem ?

• Lembre-se que para o caso escalar, se nao houver cancelamento, a realizacao

mınima tera a ordem do polinomio do denominador (polinomio dos polos), d(s).

E de se esperar que no caso MIMO a menor realizacao tenha ordem de d(s)...

• Vide [45], pg. 348 (e “redondezas”).

3.5.1 Exercıcios

1. Ler paginas 346 a 353 de [45].

2. Fazer exercıcio 6.1.1 (a), pg. 352.

91


3.6 Realizacao Mınima

Uma realizacao mınima e aquela que possui a menor ordem para A que satisfacao G(s) =

C(sI − A)−1B.

Teorema 3.5 Uma realizacao e mınima se e somente se for controlavel e observavel.

�

• A matriz H(s) pode ser representada como:

H(s) =N(s)

d(s)

• Nesse caso d(s) possui grau r. Em geral as realizacoes (mais obvias) possuem

ordem maior que r. Considera-se que a entrada e de ordem m. (existem m

entradas). Considera-se ainda que existam p saıdas.

• Como visto anteriormente, algumas realizacoes (“naturais”) tinham ordem 9 e 8.

• Consideremos agora, outra representacao para H(s).

• Ela pode tambem ser escrita como uma “fracao de matrizes”:

H(s) = NR(s)D−1R (s), DR = d(s)Im, NR(s) = N(s)

• Nesse caso d(s) possui ordem r, como dado no inıcio dessa subsecao. Lembre-se

que a ordem de uma realizacao obtida (canonica do controlador ou observador era,

respectivamente, rm e rp.

• O grau da matriz do denominador e:

deg[Dr(s)] ≡ deg[det[DR(s)]] = rm Pois DR(s) = d(s)Im

• Pode-se ainda escrever:

H(s) = D−1L NL(s), DL = d(s)Ip, NL(s) = N(s)

• O grau da matriz do denominador e:

deg[DL(s)] ≡ deg[det[DL(s)]] = rp

92


• Essas formas sao semelhantes a fatoracao de uma razao de polinomios (caso es-

calar).

• Com a diferenca que no caso matricial deve-se atentar para a ordem da divisao.

Definem-se no caso matricial matrizes para o denominador a esquerda e a direita.

• Esssas representacoes sao as denominadas Descricao Fracional de Matrizes,

MFD, do ingles, Matriz-Fraction Description.

• E possıvel obter varias MFD’s de uma matriz.

Exemplo 3.1

H(s) =

[s

(s+1)2(s+2)2s

(s+2)2

−s(s+2)2

−s(s+2)2

](3.5)

Que pode ser escrita como:

H(s) =

[s s(s+ 1)2

−s(s+ 1)2 −s(s+ 1)2

][(s+ 1)2(s+ 2)2 0

0 (s + 1)2(s+ 2)2

]−1

Ou seja:

H(s) = N1(s)D−1(s)

com grau[det[D1(s)]] = 8.

�

93


Outras Fatoracoes Para o Exemplo 3.1

Podem ser obtidas outras fatoracoes para H(s) dada em (3.5). Vejamos...

1. Multiplique a primeira coluna de H(s) por p1(s), sendo p1(s) o mınimo multiplo

comum (lcm, least common multiple) dos denominadores da primeira coluna.

Faca o mesmo com a segunda coluna. Nesse caso, p1(s) = (s + 1)2(s + 2)2 e

p2(s) = (s+ 2)2. Assim:

H(s)

[p1(s) 0

0 p2(s)

]=

[s s

−s(s + 1)2 −s

]que resulta em:

H(s) = N2(s)Ds(s)−1 repare que grau[det[D2]] = 6

2. Pode-se ainda obter a relacao:

H(s) =

[s 0

−s(s = 1)2 s2

][(s+ 1)2(s+ 2)2 −(s+ 1)2(s+ 2)2

0 s + 2

]−1

ou seja:

H(s) = N3(s)D−13(s) com grau[det[D3]] = 5

3. E possıvel definir uma quarta MFD, com grau[det[D4]] = 6 (na verdade pode-se

definir infinitas):

H(s) =

[s 0

−s s2

][0 −(s+ 1)2(s+ 2)

(s+ 2)2 s+ 2

]−1

= N4(s)D4(s)−1

Pode-se mostrar que o menor grau da matriz denominador de H(s) e cinco, e portanto

a realizacao mınima possıivel e de ordem 5.

94


Algumas Observacoes Importantes

• Dada uma MFD pode-se encontrar outras (infinitas) escolhendo-se matrizes nao-

singulares, W (s) tais que:

N(s) = N(s)W−1(s) e D(s) = D(s)W−1(s)

• (N(s) e D(s) sao matrizes polinomiais).

• Assim,

H(s) = N(s)D−1(s) = N(s)D−1(s)

• Sendo N(s) = N(s)W (s) e D(s) = D(s)W (s), denomina-se W (s) de divisor a

direita de N(s) e de D(s).

• Alem disso

deg[det[D(s)]] = deg[det[D(s)]] + deg[det[W (s)]] (3.6)

• Portanto:

deg[det[D(s)]] ≥ deg[det[D(s)]] (3.7)

• Em outras palavras o grau da MFD (isto e, o grau da matriz denominador),

pode ser reduzido removendo-se os divisores das matrizes do numerador

e denominador.

• Assim, e natural esperar que, se for removido de N(s) e D(s) o maximo divisor

comum (a direita) (GCRD, greatest commom right divisor) entao a MFD tera

a menor ordem possıvel.

3.6.1 Exercıcio

Analise a questao do GCRD a partir das equacoes (3.6) e (3.7). Qual a sera a relacao

entre os graus de deg[det[D(s)]] e deg[det[D(s)]] quando for extraıdo o GCRD ?

• O GCRD sera extraıdo se det[W (s)] for dado por:

det[W (s)] = uma constante, nao nula, (independente de s). Ou seja, grau 0).

• Diz-se que W (s) deve ser unimodular

95


Mais Alguns Comentarios

• Duas matrizes polinomiais N(s) e D(s) com o mesmo numero de colunas sao ditas

coprimas a direita se eles possuirem apenas divisores comuns (a direita) que sejam

unimodulares.

• Uma MFDH(s) = N(s)D−1(s) e dita ser irredutıvel seN(s) eD(s) forem coprimas

a direita.

• MFD’s irredutıveis nao sao unicas, pois pode-se fazer: N(s)W (s)[D(s)W (s)]−1,

com W (s) unimodular.

• Comentarios analogos para MFD’s a esquerda.

• A ordem da realizacao mınima sera igual a ordem da MFD irredutıvel equivalente.

• Dada uma MFD a direita:

H(s) = NR(s)D−1R (s)

• pode-se sempre obter uma realizacao (A,B,C) controlavel de ordem

n = deg{det[DR(s)]} ≡ grau da MFD

• Dada uma MFD a esquerda:

H(s) = D−1L (s)NL(s)

• pode-se sempre obter uma realizacao (A,B,C) observavel de ordem

n = {deg[detDR(s)]} ≡ grau da MFD

• Alem disso sabe-se que a menor ordem dos denominadores das MFD’s (direita e

esquerda) de H(s) sera a ordem da menor realizacao de H(s). (Lembre-se que

MFD’s sao uma extensao das fatoracoes em sistemas escalares).

96


3.6.2 Exercıcios

Sejam:

A =

⎡⎢⎣ 1 0 0

0 −1 0

0 0 −3

⎤⎥⎦ B =

⎡⎢⎣ 0

1

1

⎤⎥⎦ e C ′ =

⎡⎢⎣ 1 0

−1 2

0 1

⎤⎥⎦

a) Essa realizacao e controlavel ? E observavel ?

b) Escreva C(sI−A)−1B como D1L(s)NL(s) e NR(s)D1

R, sendo os determinantes de DR

e DL de grau 3.

c) Repita o item acima sendo os determinantes de DR e DL de grau 2.

97


3.7 Polos, Zeros e Forma de McMillan

• Como comentando na subsecao 2.13, os polos sao definidos como as reaızes da

equacao,

φ(s) ≡ det(sI − A) = 0. Isto e, os polos sao dados por λi(A).

• Importante, entretanto, notar que se A nao e uma representacao mınima, esse

calculo incluira os polos (autovalores) que nao sao controlaveis e/ou observaveis.

Assim, o “menor numero de polos”de uma realizacao esta associado a realizacao

mınima.

• A importancia do conhecimento dos polos e zeros do sistema e obvia: eles de-

terminam o comportamento dinamico do sistema. Mais ainda: conhecendo-se a

estrutura de polos e zeros, determina-se o grau relativo do sistema e seu compor-

tamento para s→ ∞ e para s = 0.

• O conceito de polos e zeros para sistemas MIMO nao e trivial. Dentre as varias

definicoes e interpretacoes para polos e zeros, adotaremos as realizadas via forma

de Smith-McMillan.

• A representacao de McMillan (ou Smith-McMillan) [96, 78] e uma forma de se

expressar uma matriz racional a partir da qual e possıvel definir, de forma direta,

o conjunto de polos e zeros do sistema.

As formas de Smith, Smith-McMillan sao obtidas a partir de transformacoes ele-

mentares, isto e, operacoes de linhas e colunas que transformam as matrizes em outras,

mas simples.

• Matrizes relacionadas por transformacoes elementares sao ditas serem equiva-

lentes.

• Sao consideradas transformacoes equivalentes:

i) Trocar linhas ou colunas.

ii) Adicionar a uma linha (ou coluna) outra linha ou coluna multiplicada por

um fator (nao nulo).

98


iii) Multiplicar ou dividir uma linha ou coluna por um numero real.

• Vide [45], pg 373, 374.

• As operacoes elementares sao realizadas por multiplicacoes (pre ou pos) por ma-

trizes elementares.

• Algumas matrizes elementares:⎡⎢⎣

1 0 0

0 0 1

0 1 0

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

1 0 0

α(s) 1 0

0 1 0

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

1 0 0

0 3 0

0 0 1

⎤⎥⎦

• Pos-multiplicar implica em operacoes sobre colunas e pre-muiltiplicar sobre linhas.

99


3.8 Transformacoes Elementares

Definicao 3.7 (Wolovich, [91], pg. 26 definicao 2.5.3)

Duas matrizes polinomiais P (s) e Q(s) serao chamadas serem (a) equivalentes em linha

(row equivalent); (b) equivalentes em coluna (column equivalent); e (c) equiva-

lentes; se e somente se uma delas pode ser obtida a partir da outra por uma sequencia

de operacoes elementares em (respectivamente): (a) linha; (b) coluna; e (c) linha

e coluna.

♦

Definicao 3.8 (Wolovich, [91], pg. 26 definicao 2.5.3)

Sejam duas matrizes polinomiais P (s) e Q(s). P (s) sera (a) equivalente em linha (row

equivalent); (b) equivalentes em coluna (column equivalent); e (c) equivalentes a

Q(s), respectivamente se e somente se: (a) P (s) = UL(s)Q(s); (b) P (s) = Q(s)UR(s);

e (c) P (s) = UL(s)Q(s)UR(s). As matrizes UL(s) e UR(s) acima devem ser unimodu-

lares.

♦

3.8.1 Forma de Hermite

• Conforme visto acima, atraves de operacoes elementares, pode-se converter ma-

trizes polinomiais genericas para outras que possuem formas particulares.

• A forma de Hermite e uma delas.

• Outras seriam as formas de Smith (ou Mcmillan-Smith para matrizes racionais)

ou a de Popov (vide secao 6.7.2 do livro do Kailath, [45]).

• O teorema 3.6 define a forma de Hermite.

Teorema 3.6 (Forma de Hermite para Coluna - [45], pg. 375)

Qualquer matriz polinomial p ×m de rank (posto) r pode ser reduzida, por operacoes

elementares de linha (isto e atraves de pre-multiplicacao por matrizes unimodulares apro-

priadas) em matrizes quasi-triangular (inferiores ou superiores). Tais matrizes obe-

decem as seguintes condicoes:

1. Se p > r, as ultimas p− r linhas sao identicamente nulas.

100


2. Na coluna j, 1 ≤ j ≤ r, o elemento da diagonal e monico e de grau superior aos

elementos (nao nulos) que estao acima dele.

3. Na coluna j, 1 ≤ j ≤ r, se o elemento da diagonal e o calor 1, entao todos os

elementos acima dele sao zero.

4. Se m > r, nao se pode afirmar nada sobre os elementos das ulitmas m− r colunas

e sobre as primeiras r linhas.

�

Comentarios

• Pode-se definir, analogamente, a forma de Hermite para linha. Para isso, troque no

teorema anterior as ”linhas”por ”colunas”e ”pre”multiplicacao por ”pos”multiplicacao.

• Quando a matriz e quadrada, pode-se definir uma forma de Hermite unica, no

sentido de que P (s) e U(s)P (s) (sendo U(s) unimodular) terao a mesma forma de

Hermite.

• A prova do teorem pode ser encontrada em [45], pgs. 375 e 376.

Exemplo 3.2 Os seguintes passos transformam a matriz G(s) na sua forma de Her-

mite.

G(s) =

⎡⎢⎣ s2 0

0 s2

1 s+ 1

⎤⎥⎦

Passo 1: ⎡⎢⎣s2 0

0 s2

1 s+ 1

⎤⎥⎦ −→

⎡⎢⎣

1 (s+ 1)

0 s2

s2 0

⎤⎥⎦

Passo 2: ⎡⎢⎣ 1 (s+ 1)

0 s2

s2 0

⎤⎥⎦ −→

⎡⎢⎣ 1 (s+ 1)

0 s2

0 −s2(s+ 1)

⎤⎥⎦

Passo 3: ⎡⎢⎣

1 (s+ 1)

0 s2

0 −s2(s+ 1)

⎤⎥⎦ −→

⎡⎢⎣

1 (s+ 1)

0 s2

0 0

⎤⎥⎦

101


3.8.2 Exercıcio

1. Descreva, para as transformacoes acima, quais foram as operacoes realizadas.

2. Obtenha as matrizes unimodulares usadas (U1, U2 e U3, por exemplo).

3. Mostre que, utilizando as tres matrizes acima, obtem-se a matriz de transformacao

dada por:

H(s) =

⎡⎢⎣

0 0 1

0 1 0

1 s+ 1 s2

⎤⎥⎦

4. Mostre que H(s) e unimodular.

102


3.9 Polos em Sistemas MIMO

Os dois teorema abaixo sao complementares e formalizam os resultados apresentados na

subsecao 3.4.1.

Teorema 3.7 (Polos em Sistema MIMO)

O polinomio dos polos, ou polinomio caracterıstico, φ(s) associado a uma realizacao

mınima de um sistema com matriz de transferencia G(s), e o mınimo denominador

comum de todos os menores (nao nulos e de todas as ordens possıveis) de G(s).

�

Teorema 3.8 (Polos em Sistema MIMO)

Os polos de um sistema MIMO sao as raızes (ou zeros) do polinomio caracterıstico (ou

polinomio dos polos).

�

3.9.1 Dois Exemplos

Exemplo 3.3 (Calculando Polos de um sistema MIMO - I)

Considere G(s) dado a seguir. Calcule os polos desse sistema.

G(s) =1

1, 25(s+ 1)(s+ 2)

[(s− 1) s

−6 (s− 2)

](3.8)

1. Menores de ordem 1: sao os proprios elementos. Logo todos tem o mesmo denom-

inador: 1, 25(s+ 1)(s+ 2)

2. Menores de ordem 2 (so ha um): e o proprio determinante:

det(G(s)) =(s− 1)(s− 2) + 6s

1, 25(s+ 1)(s+ 2)=

1

1, 252(s+ 1)(s+ 2)

Assim o mınimo denominador comum de todos os menores sera

φ = (s+ 1)(s+ 2)

Assim os polos da realizacao mınima serao:s = −1 e s = −2.

10)

103


Exemplo 3.4 (Calculando Polos de um sistema MIMO - II)

G(s) =1

(s− 1)(s+ 1)(s+ 2)

[(s− 1)(s+ 2) 0 (s− 1)2

−(s+ 1)(s+ 2) (s− 1)(s+ 1) (s− 1)(s+ 1)

]

(3.9)

1. Menores de ordem 1 (nao nulos):

1

s+ 1,

s− 1

(s+ 1)(s+ 2),

−1

s− 1,

1

s+ 2,

1

s+ 2

2. Menores de ordem 2 (existem 3, pois pode-se deletar coluna 1, 2 ou 3):

(a) M1 = −(s−1)(s+1)(s+2)2

(b) M2 = 2(s+1)(s+2)

(c) M3 = 1(s+1)(s+2)

Assim o mınimo denominador comum de todos os menores sera

φ = (s+ 1)(s+ 2)2(s− 1)

Assim os polos da realizacao mınima serao:s = −1, s = 1 e s = −2, s = −2.

• Repare que os polos dos sistemas MIMO sao os proprios polos dos seus elementos.

A questao e a sua multiplicidade.

• Examinando os elementos nao e possıvel calcular os polos !

3.9.2 Exercıcios

1. Econtre duas relizacoes para as funcoes G(s) dadas nos dois exemplos anteriores.

2. Para essas realizacoes, calcule seus autovalores.

3. Verifique se as realizacoes calculadas sao observaveis e/ou controlaveis.

104


3.10 Zeros em Sistema MIMO

(Vide apendice ??, secao ??.)

• Zeros de sistemas dinamicos sao valores os quais a saıda e nula quando a(s) en-

trada(s) nao o e(sao).

• Essa “efeito”de se ter a saıda nula para entrada nao nula e atribuıdo a uma “com-

peticao interna”ao sistema (ocasionada pela presenca de zeros).

• Para sistemas SISO, zeros zi sao calculados pela solucao de G(zi) = 0. (“perda de

posto: de 1 para 0”)

• Em geral define-se:

Definicao 3.9 (Zeros de Sistemas dinamicos) ([78] e [52])

zi sera um zero de G(s) se o rank (posto) de G(zi) for menor que o rank de G(s). O

polinomio dos zeros, z(s) e dado por:

z(s) = Πnzi=1(s− zi)

sendo nz o numero de zeros finitos de G(s).

♦

• Repare que essa definicao vale tanto para sistemas MIMO quanto para SISO.

• Fala-se Zeros finitos pois existem “zeros no infinito”.

• Essa definicao considera a matriz G(s) associada a uma realizacao mınima. Tais

zeros sao denominados zeros de transmissao.

3.10.1 Zeros a partir da Realizacao

• Os zeros podem ser calculados a partir da representacao no espaco de estados.

Lembrando da relacao dada na equacao (1.5), subseccao 1.9.1, tem-se que (P (s) e

matriz de Rosenbrock):

P (s)

[x

u

]=

[0

y

]lembrando que P (s) e dada por:

105


P (s) =

[(sI − A) −B

C D

]

• Nesse caso os zeros z sao os valores,s = z tais que P (s) perde rank, resultando em

uma saıda nula para alguma entrada nao nula.

• Os zeros podem ser encontrados a partir das solucoes nao triviais para o seguinte

problema:

(zIg −M)

[xz

uz

]= 0

M =

[A B

C D

]e Ig =

[I 0

0 0

]

• Este e o denominado problema do autovalor generalizado.

• Para realizacoes nao-mınimas, serao obtidos zeros adicionais.

3.10.2 Zeros a partir da Matriz de Transferencia

O seguinte teorema apresenta a forma de se calcular os zeros em sistemas MIMO.

Teorema 3.9 (Zeros em Sistemas MIMO) ([78] e [52])

O polinomio dos zeros, z(s), associado a realizacao mınima de um sistema, e o

maximo divisor comum, GCD (Greatest Common Divisot) de todos os numeradores

de todos menores de ordem r de G(s). Nesse caso, r e o rank normal de G(s). Deve-

se considerar ainda que todos os menores foram “ajustados”para que todos tenham o

polinomio dos polos, φ(s) em seus denominadores.

�

• Essa definicao esta associada a definicao de formas canonicas para representacao

de G(s). Vide apendice ??, secao ??.

Exemplo 3.5 ([78], pg. 131)

Considere G(s) dada por:

G(s) =1

s+ 2

[s− 1 4

4, 5 2(s− 1)

]

106


• O rank normal de G(s) e 2 (r = 2).

• O menor de ordem 2 e o proprio determinante de G(s):

M2 = 2s− 4

s− 2

• Pelo teorema 3.7, φ(s) vale

φ(s) = s+ 2

• Logo o polinomio dos zeros vale:

z(s) = s− 4

• Assim o zero de G(s) vale z = 4.

�

• Em geral, os zeros do sistema MIMO nao estao associados ao zeros dos elementos.

• E possıvel ter zeros e polos de sistemas MIMO identicos.

3.10.3 Exercıcio

Obtenha os zeros dos sistemas dados nos exemplos 3.3 e 3.4

3.10.4 Exercıcio

Encontre os polos e zeros da matriz G(s) dada abaixo.

G(s) =

[4

(s+1)(s+2)−1

(s+1)2

(s+1)−1

2(s+1)(s+2)

]

107


3.10.5 Forma de Smith

Teorema 3.10 (Forma de Smith [45], pg. 390)

Dada uma matriz polinomial p ×m, P (s), pode-se encontrar operacoes elementares de

linhas e colunas, ou, dizendo de outra forma, pode-se encontrar matrizes unimodulares

U(s) e V (s) tais que:

U(s)P (s)V (s) = Λ(s)

sendo

Λ(s) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

λ1(s). . .

. . . 0r×(m−r)

λr(s)

0(p−r)×r 0(p−r)×(m−r)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

e

r = rank (posto) normal de P (s)

e os λi sao polinomios (unicos) monicos que satisfazem a propriedade da divisao:

λi(s)|λi+1(s), i = 1, . . . , r − 1

Alem disso, se for definido

Δi(s) = o gcd de todos i × i menores de P (s),

pode-se definir:

λi(s) =Δi(s)

Δi−1(s)Δ0(s) = 1

�

• A matriz Λ(s) e denominada Forma de Smith de P (s).

• Os polinomios Δi sao chamados divisores determinantes (determinantal divi-

sors) de P (s).

• Os polinomios λi(s) sao denominados polinomios invariantes de P (s).

• Veja a prova desse teorema em [45], pg 391.

108


Lema 3.1 (Teste para Verificar se duas Matrizes sao Coprimas)

N(s) e D(s) sao coprimas a direita se e somente se a forma de Smith de [NT DT (s)]T

e igual a [I 0]T .

�

Exemplo 3.6 Seja G(s) dada por:

G(s) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1s2+3s+2

−1s2+3s+2

s2+s−4s2+3s+2

2s2−s−8s2+3s+2

s−2s+1

2s−4s+1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(3.10)

O mınimo denominador comum de Gij(s) e d(s) = s2 + 3s+ 2 e portanto G(s) pode ser

escrita como:

G(s) =1

s2 + 3s+ 2

⎡⎢⎣ 1 −1

s2 + s− 4 2s2 − s− 8

(s− 2)(s+ 2) (2s− 4)(s+ 2)

⎤⎥⎦ (3.11)

=1

d(s)N(s) (3.12)

• Vamos calcular a forma de Smith para a matriz polinomial N(s)

N(s) ∼ S(s) = diag {λ1(s), λ2(s)} (3.13)

sendo que os λi(s) sao determinados pelos “divisores determintantes”Δ(s):

λi(s) =Δi(s)

Δi−1(s), i = 1, 2 (3.14)

Assim:

Δ0(s) = 1 (3.15)

Δ1(s) = gcd{1,−1, s2 + s− 4, 2s2 − s− 8, s2 − 4, 2s2 − 8

}= 1 (3.16)

Δ2(s) = gcd

{∣∣∣∣∣ 1 −1

s2 + s− 4 2s2 − s− 8

∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣ 1 −1

s2 − 4 2s2 − 8

∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣ s

2 + s− 4 2s2 − s− 8

s2 − 4 2s2 − 8

∣∣∣∣∣}

(3.17)

= gcd{3(s2 − 4), 3(s2 − 4), 3s(s2 − 4)

}= s2 − 4 = (s+ 2)(s− 2) (3.18)

109


onde gcd indica o maior divisor comum (greatest common divisor). Assim,

λ1(s) =D1(s)

D0(s)= 1 (3.19)

λ2(s) =D2(s)

D1(s)= (s+ 2)(s− 2) (3.20)

Logo S(s) (a forma de Smith de N(s)) sera:

N(s) ∼ S(s) sendo S(s) =

⎡⎢⎣

1 0

0 (s+ 2)(s− 1)

0 0

⎤⎥⎦ (3.21)

�

110


3.10.6 Forma de Smith-McMillan

• Podem ser feitas definicoes semelhantes as anteriores, para uma forma canonica

de G(s).

Teorema 3.11 [96]: Seja G(s) ∈ Rp uma matriz de transferencia racional real. Entao

existem matrizes unimodulares L(s) e R(s) tais que:

L(s)G(s)R(s) = M(s) :=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

α1(s)β1(s)

0 · · · 0 0

0 αi(s)βi(s)

0 · · · 0...

.... . .

......

0 0 · · · αn(s)βn(s)

0

0 0 · · · 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(3.22)

e αi(s) divide αi+1(s) e βi+1(s) divide βi(s)

A matriz M(s) e denominada forma de Smith-McMillan de G(s). A partir dela

definem-se os polos e zeros para um sistema MIMO.

Definicao 3.10 O polinomio p(s) (ou φ(s)) e denominado polinomio dos polos. (ou

polinomio caracterısito)

p(s) = β1.β2 · · ·βn (3.23)

Definicao 3.11 O polinomio z(s) e denominado polinomio dos zeros.

z(s) = α1.α2 · · ·αn (3.24)

Procedimento para Encontrar a Forma de Smith-McMillan

1. Seja G(s) uma matriz de transferencia (propria ou estritamente propria). Encontre

o mınimo denominador comum d(s) entre todos os elementos de G(s) e reescreva

G(s) como:

G(s) =1

d(s)N(s)

2. Determine a forma de Smith para N(s), isto e, encontre S(s) ∼ N(s) da forma:

N(s) ∼ S(s) = dia{λ1(s), λ2(s), . . . , λr(s), 0, 0, . . . , 0}

111


• Lembre-se que os polinomios λi(s) sao calculados pelos divisores determi-

nantes, isto e:

λi(s) =Δi(s)

Δi−1(s)i = 1, 2, . . . , r

3. Assim a forma de Smith-McMillan de G(s) sera dada por:

G(s) ∼M(s) =1

d(s)S(s)

Exemplo 3.7 Seja G(s) dada por:

G(s) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1s2+3s+2

−1s2+3s+2

s2+s−4s2+3s+2

2s2−s−8s2+3s+2

s−2s+1

2s−4s+1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(3.25)

Como visto no exemplo anterior, G(s) tambem e dada por:

G(s) =1

s2 + 3s+ 2

⎡⎢⎣ 1 −1

s2 + s− 4 2s2 − s− 8

(s− 2)(s+ 2) (2s− 4)(s+ 2)

⎤⎥⎦ (3.26)

=1

d(s)N(s) (3.27)

Como ja temos a forma de Smith de G(s), a forma de Smith-McMillan e dada por:

G(s) ∼M(s) =1

d(s)S(s) =

⎡⎢⎢⎢⎣

1

(s+ 1)(s+ 2)0

0s− 2

s+ 10 0

⎤⎥⎥⎥⎦ (3.28)

Repare que os fatores comuns foram cancelados. Os polinomios dos polos e dos zeros

sao dados por

φ(s) = p(s) = (s+ 1)2(s+ 2) (3.29)

z(s) = s− 2 (3.30)

Assim, G(s) possui os polos s = −1,−1,−2 e o zero (de transmissao) s = 2.

112


3.10.7 Polos e Zeros para a Forma Canonica

A partir desses polinomios definem-se:

Definicao 3.12 As raizes do polinomio p(s) da forma de McMillan-Smith sao denom-

inadas polos de G(s).

Definicao 3.13 As raizes do polinomio z(s) da forma de McMillan-Smith sao denom-

inadas zeros de transmissao de G(s).

113


3.11 Descricao Fracional de Matrizes. Alguns Re-

sultados

Lema 3.2 ([45], pg 379 (Identidade de Bezout)) N(s) e D(s) serao coprimas

a direita se e somente se existirem matrizes polinomiais X(s) e Y (s) tais que:

X(s)N(s) + Y (s)D(s) = I

�

3.12 Resumo dos Resultados e Resultados Adicionais

Essa secao apresenta resultados adicionais e um resumo dos principais resultados sobre

matrizes de transferencia e matrizes polinomiais. Muitos dos resultados aqui apresenta-

dos sao explicados no texto.

3.12.1 Conceitos Basicos (Ja Vistos)

• Matriz Polimomial: matriz cujos elementos sao polinomios.

• Matriz P (s) Unimodular: det[P (s)] �= 0 e e uma constante.

• Fracao Matricial a Direita (MFDR): N(s)D−1(s).

• Fracao Matricial a Esquerda (MFDE): )D−1L (s)NL(s).

• Divisor a direita, a esquerda, divisores comuns.

• Matrizes coprimas:

• Forma de Hermite:

• Forma de Smith:

• Forma de Smith-McMillan (para matrizes racionais):

Exercıcio

Dados os termos acima, defina-os, conforme apresentado nas secoes anteriores. De ex-

emplos.

114


3.12.2 Definicoes e Teoremas

Definicao 3.14 Se G(s) pode ser expressa como G(s) = N(s)D−1(s), diz-se que N(s)D−1(s)

e uma MFD a direita (ou MFDR, Right Matriz Fraction Description) de G(s)

♦

Definicao 3.15 Se G(s) = N(s)D−1(s) e N(s) e D(s) sao coprimas a direita, entao

N(s)D−1(s) e uma MFD-coprima a direita de G(s)

♦Existem definicoes analogas as feitas acima para MFD a esquerda.

Definicao 3.16 Se N(s)D−1(s) e uma MFD-coprima a direita de G(s) entao o grau

de D(s) e chamando de Grau de McMillan de G(s)

♦

Lema 3.3 A dimensao de qualquer realizacao de G(s) (propria) e igual a, no mınimo,

ao Grau de McMillan de G(s).

�

Teorema 3.12 A menor dimensao n possıvel de uma realizacao e igual ao Grau de

McMillan de G(s).

�

Teorema 3.13 ([?],pg. 439) Qualquer realizacao de uma MFD cuja ordem e igual

ao grau do determinante da “matriz denominador”sera mınima (ou, equivalentemente

observavel e controlavel) se e somente se a MFD for irredutıvel.

�

Definicao 3.17 O rank (posto) de uma matriz polinomial e o rank da matriz para

“quase todos os valores de s”

♦

Definicao 3.18 Diz-se que uma matriz polinomial possui rank (normal) igual a r se r

e a maxima ordem entre todos os menores nao nulos.

♦

Definicao 3.19 O rank nominal de uma matriz racional e a ordem do menor nao nulo

de maxima ordem da matriz.

115


Exemplo 3.8 A matriz F (s)

F (s) =

[1

s+10 s−1

(s+1)(s+2)−1s−1

1s+2

1s+2

]

possui rank 2 pois o menor de maior ordem e 2:

det(

[0 s−1

(s+1)(s+2)

frac1s+ 2 1s+2

]= − s− 1

(s + 1)(s+ 2)2

�

Definicao 3.20 Uma matriz polinomial P (s) e dita ser nao-singular se seu determi-

nante e diferente de zero, isto e, se

det[P (s)] �= 0.

Uma matriz polinomial e singular se seu determinante e nulo (para todo valor de s).

♦

Exemplo 3.9 A matriz

Q(s) =

[s+ 1 s+ 3

s2 + 3s+ 2 s2 + 5s+ 4

]

e nao singular, pois:

det[Q(s)] = (s+ 1)(s2 + 5s+ 4) − (s+ 3)(s2 + 3s+ 2) = −2s− 2

A matriz P (s) e dita ser singular, pois seu determinante e nulo:

P (s) =

[s + 1 s+ 3

s2 + 3s+ 2 s2 + 5s+ 6

]

det[P (s)] = (s+ 1)(s2 + 5s+ 6) − (s+ 3)(s2 + 3s+ 2) = 0

�

116


Comentarios

• Porem a matriz Q(s) do exemplo acima e singula para s = 1, isto e, seu determi-

nante e nulo para s = 1.

• Ao contrario a matriz P (s) e singular, por que seu determinante e sempre 0

• A matriz Q(s) possui rank (normal) igual ao 2. Porem ela “perde rank”(isto e,

torna-se singular) para s = 1. Em s = 1 seu rank e dois.

• A matriz P (s) possui rank 1, pois o menor de maior ordem nao nulo e o proprio

elemento (ordem 1).

3.12.3 Polos e Zeros

Definicao 3.21 O polo de uma matriz de transferencia (matriz racional) G(s) com

uma fatoracao (MFD) coprima a direita N(s)D(s)−1 e um numero complexo s0 tal que

det[D(s0)] = 0

♦

Lema 3.4 Seja (A,B,C) uma realizacao mınima de uma matriz de transferencia G(s)

estritamente propria. Entao s0 e um polo de G(s) se e somente se s0 e um autovalor

de A.

�

Teorema 3.14 Seja G(s) uma matriz de transferencia com uma realizacao mınima

(A,B,C). Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

i) s0 e um polo de G(s)

ii) s0 e um autovalor de A

iii) ∃x0, y0 tal que CeAtx0 = y0es0t �= 0 ∀t ≥ 0

�

117


Definicao 3.22 Seja G(s) com uma fatoracao coprima N(s)D−1(s). Entao s0 e um

zero de transmissao de G(s) se:

rank[N(s0)] < maxs∈C

{rank[N(s)]}.

(Isto e, o rank de N(s) e menor que o seu rank normal em s = s0). Diz-se que N(s)

“perde”rank em s = s0.

♦

Lema 3.5 Seja (A,B,C) uma realizacao mınima de G(s). Entao s0 e um zero de

transmissao de G(s) se e somente se:

rank

[s0I −A B

−C 0

]< max

s∈Crank

{[sI − A B

−C 0

]}�

Teorema 3.15 Seja G(s) uma matriz de transferencia com uma realizacao mınima

(A,B,C), sendo B n×m. Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

i)

rank

[s0I −A B

−C 0

]< n+m

ii) ∃u0 �= 0, x0 tal que CeAtx0 +∫ t

0CeA(t−σ)Bu0e

s0σ ≡ 0.

�

Comentario 3.4

• O vetor u0 e algumas vezes denominado vetor de entrada de direcao zero

(input zero-direction)

• Se s0 e um zero de transmissao de G(s) entao (i) e verdadeiro. O contrario nem

sempre e verdade.

118


3.13 Forma de Smith-McMillan e MFD’s

Considere uma matriz racional H(s) = N(s)d(s)

, que pode ser reduzida por uma forma

equivalente de Smith-McMillan:

H(s) = U(s)M(s)V (s) (3.31)

sendo

M(s) =

[diag{εi(s)/ψi(s)} 0

0 0

](3.32)

sendo que

ψi+1(s)|ψi(s) (isto e ψi+1 divide ψi (3.33)

εi(s)|εi+1(s) (3.34)

d(s) = ψ1(s) (3.35)

3.13.1 Forma de Smith-McMillan: Historico e Conceitos

Vide [45], pg. 444.

O resultado da forma de Smith-McMillan foi proposto pela primeira vez por McMil-

lan, em 1952, a partir da forma de Smith para matrizes polinomiais (e claro...).

A matriz M(s) como definida acima e uma forma canonica geral usada em matrizes

racionais e pode inclusive ser definida sem se referir as matrizes polinomiais. Ele e de

grande importancia, tanto do ponto de vista teorico quanto de conceitos e aplicacoes

em sistemas.

Historicamente, a forma de Smith-McMillan foi usada por Kalman para generalizar

a tecnica de Gilbert.1

Kalman usou a forma de Smith-McMillan para construir realizacoes controlaveis e

observaveis (e portanto mınimas) para M(s) usando apenas nmin integradores, sendo

nmin =∑

degψi(s) (3.36)

Esta alternativa para a ”ordem mınima“ que coincide com o grau de McMillan era

interessante do ponto de vista de construcao do modelo, em termo de utilizacao de

capacitores e indutores, necessarios para representar (“realizar”) uma matriz H(s).

1A tecnica de Gilbert e utilizada para encontrar realizacoes a partir de matrizes de transferencia.Ela parte da condicao de que o denominador dos polos, d(s) tenha raızes distintas.

119


O resultado de Kalman, 3.36, mostrou que se H(s) fosse realizada com integradores

(amp. op.’s), entao o grau de McMillan seria a ordem mınima do sistema.

A partir da representacao de Smith-McMillan e possıvel obter uma MFD.

• Considere as equacoes (3.31) e (3.32)

• Pode-se escrever M(s) como uma MFDR (MFD a direita) ou MFDL (MFD a

esquerda):

M(s) = E(s)Ψ−1R (s) = Ψ−1

L (s)E(s) sendo :

E(s) =

[diag{εi} 0

0 0

], p×m

ΨR(s) =

[diag{ψi} 0

0 Im−r

], m×m

ΨL(s) =

[diag{ψi} 0

0 Ip−r

].

• Sendo {εi(s), ψi(s)}, i = 1, . . . , r coprimos implica que as matrizes {E(s),ΨR(s)}serao coprimas e portanto as matrizes N0 e D0 dadas abaixo tambem o sao:

N0(s) ≡ U(s)E(s) D0(s) = V −1(s)ΨR(s)

• Isto e verdade pois {U(s), V (s)} sao matrizes unimodulares. Pode-se agora escr-

ever H(s) como uma MFD irredutıvel:

H(s) = [U(s)E(s)][Ψ−1R (s)V (s)] = N0(s)D

−10 (s)

Nota-se ainda que a equacao (3.36) e resultado direto do teorema 3.13, isto e:

nmin = deg{det[D0(s)]} = deg{det[ΨR(s)]} =∑

degψi(s) =grau de McMillan de H(s)

3.14 Mais Teoremas e Lemas sobre MFD’s

Vide [45] paginas 377 a 384 para alguns resultados uteis. Vide tambem secao 6.5

120


Lema 3.6 (Identidade de Bezout)

N(s) e D(s) serao coprimas a direita se e somente se existirem matrizes polinomiais

X(s) e Y (s) tais que:

X(s)N(s) + Y (s)D(s) = I

�

Lema 3.7 (Identidade de Bezout Generalizada)

Sejam {NR(s), DR(s)} coprimas a direita e {NL(s), DL(s)} coprimas a esquerda, com

DR(s) nao singular. Entao existirao matrizes polinomiais {X(s), Y (s), X�(s), Y �(s)}tais que: [

−X(s) Y (s)

DL(s) NL(s)

][−NR(s) X�(s)

DR(s) Y�(s)

]=

[I 0

0 I

]

e [−NR(s) X�(s)

DR(s) Y �(s)

][−X(s) Y (s)

DL(s) NL(s)

]=

[I 0

0 I

]�

3.15 Polos e Zeros no Infinito

• Vide [45] pg. 448 a 455

• Zeros de sistemas, de transmissao e de bloqueio

• Sinais em sistemas MIMO

121

Capıtulo 4

Interacao e Desacoplamento em

Sistemas MIMO

4.1 Motivacao

• Considere os tres exemplos de sistemas MIMO dados na figura 4.1.

• O processo da figura (a) e um sistema de mistura: duas substancias, A e B, com

vazoes wA e WB, respectivamente, sao misturadas para produzirem a substancia

X, com vazao w e composicao x. As variaveis manipuladas wA e wB afetam, w e

x. Uma questao importante e definir “quem controle o que”.

• O processo em (b) e um exemplo de uma coluna de destilacao. A composicao do

destilado, xD e do fundo xB podem ser afetadas pela vazao de refluxo R ou pela

vazao do vapor da entrada S.

• Para o separador gas-lıquido de (c), a vazao de saıda do gas, G tem um efeito direto

na pressao P e um efeito indireto no nıvel do lıquido, h (pois mudando a pressao

no vaso havera mudanca na vazao do lıquido, L, que afeta h). Ao contrario, a

outra variavel manipulada (L no caso) afeta h diretamente, o que resulta em um

efeito (indireto) em P (ainda que pequeno).

• Quando interacoes estao presentes, e importante saber qual o melhor emparel-

hamento variavel controlada com a variavel manipulada. Nem sempre essa

escolha e obvia.

122

Interacao e Desacoplamento em Sistemas MIMO

4.2 Analise por meio da MGR

• A Matriz de Ganhos Relativos, MGR, ou RGA, Relative Gain Array, foi proposta

inicialmente como uma “medida de interacao para controle multivariavel, desen-

volvida para superar deficiencias praticas e teoricas da representacao matricial [...].

Em Bristol, [11]. (Primeiro artigo sobre a MGR).

• A MGR tornou-se uma ferramenta bastante comum para analise e projeto, prin-

cipalmente no meio industrial [56]. A MGR (original) trata de ganhos estaticos.

• Em sistemas MIMO, os acoplamentos existentes entre entradas e saıdas fazem com

que a funcao de transferencia de malha aberta entre um par (uj, yi) dependa da

forma como as outras malhas interagem entre si e com o par.

• Se um par de entrada e saıda e considerado em particular, o ganho entre es-

tas variaveis pode variar com a abertura ou fechamento de outros pares de en-

trada/saıda.

Figura 4.1:

123


4.3 Introducao a MGR

Figura 4.2: Dois experimentos para calcular a RGA 2 × 2.

Considere um processo com duas entradas e duas saıdas, como mostrado na figura

4.2. Os seguintes experimentos podem ser realizados.

1. Considere m2 constante. Varie m1 segundo um degrau de amplitude Δm1 e ar-

mazene a nova saıda, y1. Seja Δy1 a variacao causada em y1.

• E claro que a variacao em Δy1 so ocorreu devido a variacao de m1

• Assim, o ganho estatico entre y1 e m1 quando m2 e mantido constante

e dado por: [Δy1

Δm1

]m2

2. Considere agora o experimento em que se deseja computar o ganho entre y1 e m1

com m2 variando. Nesse caso, a malha 2 estara fechada, por um controlador, que

objetiva controlar a saıda y2. Assim ao se introduzir uma variacao em m1, (Δm1)

a variacao da saıda sera Δy1. Porem, essa variacao da saıda (Δy1) sera diferente

da obtida no experimento (1) pois a malha (2) estara sendo controlada (no sentido

de manter y2 constante). Assim, o controlador dessa segunda malha faz com que

m2 seja alterado para manter y2 constante na presenca de alguma perturbacao (no

caso Δm1). Assim o ganho estatico entre y1 e m1 sera dado por:[Δy1

Δm1

]y2

124


• Isto e, com y2 constante (mantido gracas ao controle existente na malha 2).

A razao entre os dois ganhos acima e o denominado ganho relativo entre a saıda y1 e

a entrada m1, dado por:

λ11 =

[Δy1

Δm1

]m2[

Δy1

Δm1

]y2

Esse ganho relativo e util para se medir o grau da interacao entre as malhas,

isto e:

1. Se λ11 = 0 entao o ganho de malha aberta (entre m11 e y11) e zero, isto e, y1 nao

responde a variacoes de m1 (com a outra malha aberta). Portanto m1 nao pode

ser usado para controlar y1.

2. Se λ11 = 1 entao m2 nao afeta y1, pois a razao do ganho com m2 constante e m2

variando e igual a 1 (numerador = denominador). Portanto a malha de controle

entre y1 e m1 nao interage com a malha entre y2 e m2. Nesse caso tem-se um

sistema completamente desacoplado.

3. Se 0 < λ11 < 1 entao existe uma interacao e variacoes de m2 (no sentido de manter

y2 constante) afetam o valor em regime de y1. Quanto menor for o valor de

λ11, maior sera a interacao. (denominador maior implica em um ganho para m2

variando maior...).

4. Se λ11 < 0 entao m2 influencia fortemente a saıda y1, em um “sentido inverso”a

variacao provocada por m1. Nesse caso a interacao e “perigosa”. Nesse caso

o ganho de malha aberta e o ganho de malha fechada possuem sinais trocados.

Situacao indesejavel.

125


Analogamente ao exemplo acima, pode-se definir outros ganhos relativos:

λ12 =

[Δy1

Δm2

]m1[

Δy1

Δm2

]y2

ganho relativo entre y1 e m2

λ21 =

[Δy2

Δm1

]m2[

Δy2

Δm1

]y1


λ22 =

[Δy2

Δm2

]m1[

Δy2

Δm2

]y1


• Os valores desse ganhos podem ser usado para medir a interacao entre as re-

spectivas malhas.

• Uma matriz composta de ganhos relativos, λij e denominada Matriz de Ganhos

Relativos, MGR (ou RGA, Relative Gain Array)

4.4 Exemplo I

1) Considere as duas possibilidades para controle do sistema da figura 4.3. Na figura

tem-se duas possibilidades para se controlar as variaveis y1 e y2.

Figura 4.3: Alternativas de controle para uma malha 2 × 2.

126


4.4.1 Selecao das Malhas

• Reportando-se a figura 4.3, pergunta-se qual a melhor forma de controle, do ponto

de vista da minimizacao da interacao entre as malhas.

• Para responder a pergunta, faz-se uso dos ganhos relativos, MGR:

Λ =

[λ11 λ12

λ21 λ22

]

• A partir da definicao de λij , pode-se mostrar que

λ11 + λ12 = 1 e λ11 + λ21 = 1

λ21 + λ22 = 1 e λ12 + λ22 = 1

• Para o caso 2 × 2 e necessario apenas conhecer λ para uma malha. Os outros sao

conhecidos pelas relacoes anteriores.

• Para o caso em questao podem ser relacionados 6 casos:

1. λ11 = 1. Nesse caso a MGR e:

Λ =

[1 0

0 1

]

– Para essa MGR e obvio que as duas malhas nao interagem entre si.

– Portanto, para se escolher o emparelhamento, deve-se ter m1 controlando

y1 e m2, y2.

2. λ11 = 0. Nesse caso a MGR e:

Λ =

[0 1

1 0

]

– Para essa MGR as duas malhas nao interagem entre si.

– Os elementos na diagonal inversa indicam que as malhas tem um empar-

elhamento inverso, isto e: deve-se escolher o emparelhamento, com m1

controlando y2 e m2, y1.

127


3. λ11 = 0, 5. Nesse caso a MGR e:

Λ =

[0, 5 0, 5

0, 5 0, 5

]

– A interacao entre as malhas e a mesma, tanto controlando y1 com m1,

quanto m2 (o mesmo para y2)

– Nesse caso a escolha do emparelhamento e irrelevante para o desempenho

do controlador MIMO.

4. 0 < λ11 < 0, 5 (por exemplo λ11 = 0, 5. Nesse caso a MGR e:

Λ =

[0, 25 0, 75

0, 75 0, 25

]

– Dois valores grandes (0, 75) na anti-diagonal indica a recomendacao de

se controlar y1 com m2 e y2 com m1)

5. 0, 5 < λ11 < 1 (por exemplo λ11 = 0, 8. Nesse caso a MGR e:

Λ =

[0, 8 0, 2

0, 2 0, 8

]

– Dois valores grandes (0, 8) na diagonal indica a recomendacao de se con-

trolar y1 com m1 e y2 com m2)

6. λ11 > 1. Nesse caso λ22 = λ11 > 1 e λ12 = λ21 = 1 − λ11 < 0

– Nesse caso (valores de ganhos relativos maiores que 1), tem-se alguns

problemas:

– Suponha que se controle y1 com m1 e y2 com m2, sendo λ11 e λ22 maiores

que 1. Nese caso,[Δy1

Δm1

]m2

>

[Δy1

Δm1

]y2

e

[Δy2

Δm2

]m1

>

[Δy2

Δm2

]y1

– Fechando a malha 2 havera reducao do ganho da malha 1. Havera,

portanto uma interacao que sera tanto mais forte quanto maior o valor

de λ11.

– No caso, λ12 sera negativo. Um ganho negativo indica uma interaca “no

sentido inverso”, isto e, os ganhos de malha aberta e fechada tem sinais

opostos.

128


– Uma regra importante: nao deve-se emparelhar saıdas e entradas cujos

ganhos relativos sejam negativos. (No caso nao deve-se emparelhar y1

com m2 e m1 com y2)

• Esses resultados podem ser extendidos para casos de matrizes n× n.

Assim, pode-se generalizar para a seguinte regra:

Recomendacao de Bristol para emparelhamento [11]

Recomendacao: Monta-se o emparelhamento das variaveis controladas/manipuladas

tais que o ganho relativo correspondente seja positivo e o mais proximo de 1 possıvel.

4.5 Formalizacao dos Resultados

4.5.1 Definicao Matematica da MGR para sistemas n× n

A variacao no ganho de uma funcao de transferencia devido ao fechamento de outras

malhas pode ser definido pela razao entre o ganho de malha aberta (MA) e ganho

de malha fechada (MF), isto e:

μij =MA

MF=

∂yi

∂uj

∣∣∣uk=cte.;k=1,...,n;k �=j

∂yi

∂uj

∣∣∣yl=0,l=1,...,n;l �=i

μij =

∂Ci

∂Mj

∣∣∣M

∂Ci

∂Mj

∣∣∣C

• O sımbolo (∂Ci/∂Mj)M indica a derivada parcial que e calculada com todas as

variaveis manipuladas, exceto Mj , mantidas constantes. Esse termo e o ganho

de malha aberta entre Ci e Mj .

• Analogamente, o sımbolo (∂Ci/∂Mj)C e calculado com todas as variaveis contro-

ladas constantes, com excecao da Ci. Isto e conseguido ajustando-se todas as

variaveis manipuladas com controladores com acao integral.

• O termo (∂Ci/∂Mj)C pode ser interpretado como o ganho de malha fechada

que relaciona Mj com Ci quando todas as outras malhas sao fechadas.

129


Caso Estatico

E conveniente arrumar a matriz de ganhos relativos, MGR ou RGA (relative gain array),

denotada por Λ, como na equacao dada a seguir.

M1 M2 . . . Mn

Λ =

C1

C2

...

Cn

⎡⎢⎢⎢⎣λ11 λ12 . . . λ1n

λ21 λ22 . . . λ2n

. . . . . . . . . . . .

λn1 λn2 . . . λnn

⎤⎥⎥⎥⎦ (4.1)

M�1�

M�2�

M�n�

C�1�

C�2�

C�n�

processo�

Figura 4.4: Sistema MIMO com n variaveis manipuladas e n variaveis controladas

Duas Propriedades Importantes

• A RGA e normalizada no sentido de que a soma de todas linhas ou colunas dara

sempre 1.

• Os ganhos relativos sao adimensionais.

4.6 Calculo da RGA

Nessa secao formaliza-se o calculo realizado anteriormente, considerando:

λij =(∂Ci/∂Mj)M

(∂Ci/∂Mj)C(4.2)

• Calculo para estado estacionario.

• Exemplos para sistema 2 × 2.

130


Seja o sistema:

C1 = K11M1 +K12M2 (4.3)

C2 = K21M1 +K22M2 (4.4)

sendo Kij o ganho em estado estacionario entre Ci e Mj . Esse sistema pode ser escrito

como:

C = KM (4.5)

O ganho em estado estacionario em (4.5), esta relacionado com a equacao dinamica

(C(s) = Gp(s)M(s)) por:

K = Gp(0) = lims→0

Gp(s) (4.6)

Para se calcular λ11 faz-se: (∂C1

∂M1

)M2

= K11 (4.7)

Antes de calcular ∂C1

∂M1a partir de (4.3), deve-se eliminar M2. Isso e feito resolvendo-se

(4.4) para M2 com C2 = 0

M2 = −K21

K22

M1 (4.8)

levando em (4.3) resulta em

C1 = K − 1

(1 − K12K21

K11K22

)M1 (4.9)

Segue-se que: (∂C1

∂M1

)C2

= K11

(1 − K12K21

K11K22

)(4.10)

Substituindo as equacoes (4.7) e (4.10) em (4.2) tem-se a equacao para o ganho rela-

tivo:

λ11 =1

1 − K12K21

K11K22

(4.11)

Ja que cada o total da soma de cada coluna de Λ em (??) e 1, os outros ganhos sao

calculados facilmente:

λ12 = λ21 = 1 − λ11 λ22 = λ11 (4.12)

Assim a RGA (para um sistema c) e dada por:

Λ =

[λ 1 − λ

1 − λ λ

](4.13)

131


• Note que a RGA para o sistema (2 × 2) e simetrica.

Para matrizes maiores que 2 × 2, tem-se que:

λij = KijHij

sendo:

Kij = o (i, j)−esimo elemento de K dado na equacao 4.5

e

Hij = o (i, j)−esimo elemento de K = (K−1)T

(isto e, H(ij) e o elemento ((i, j)-esimo) da transposta da inversa da matriz de ganhos.

Alguns Comentarios

Comentario 4.1

1. A recomendacao anterior e baseada no ganho em estado estacionario. Pode-se, en-

tretanto, considerar a dinamica na escolha do emparelhamento. Vide, por exemplo

a dissertacao [19]. Vide tambem [78].

2. Se λ = 0 ou λ = 1, o sistema de controle possui malhas que nao interagem ou que

exibem uma interacao em uma unica direcao (isto e uma malha afeta outra, mas

essa utlima nao afeta a primeira). Por exemplo considere:

K =

[K11 K12

0 K22

]

Nesse caso a malha 1 nao afeta a segunda malha (K21 = 0). Entretanto a malha 2

afeta a malha 1.

132


4.7 Exemplo II

Exemplo 4.1 [82], pg. 501]

Considere o processo dado por:

y1 =1

s + 1m1 +

1

0, 1s+ 1m2 (4.14)

y2 =−0, 2

0, 5s+ 1m1 +

0, 8

s + 1m2 (4.15)

(4.16)

Para calcular a MGR, faca:

1. Aplique um degrau em m1 (isto e, m1 = 1/s), mantendo-se m2 constante (isto e,

m2 = 0). Assim a partir de 4.14:

y1 =1

s+ 1

1

s

• Nesse caso, pelo teorema do valor final:

y1(∞) = lims←0

[sy1(s)] = lims←0

(1

s+ 1

)= 1

• Logo: (Δy1

Δm1

)m2

= 1/1 = 1

2. Mantenha y2 constante (controlada), variando-se m2. Introduza uma perturbacao

(degrau) em m1. Como y2 deve ficar constante (y2 = 0), a partir da equacao (4.15)

e possıvel calcular a variacao de m2:

m2 =0, 2

0, 8

1 + s

0, 5s+ 1m1

• Levando esse valor em (4.14), tem-se:

y1 =1

s+ 1m1 +

1

0, 1s+ 1

0, 2

0, 8

s+ 1

0, 5s+ 1m1

• Assim o valor para y1 no estado estacionario sera:

yi(∞) = lims→0

[s

{1

s+ 1

1

s+

1

0, 1s+ 1

0, 2

0, 8

s+ 1

0, 5s+ 1

1

s

}]= 1, 25

133


• Portanto, (Δy1/Δm1)y2 = 1, 25/1 = 1, 25 e

λ11 =(Δy1/Δm1)m2

(Δy1/Δm1)y2

=1

1, 25= 0, 8

• Usando equacoes ??, encontra-se os valores para λij:

λ12 = λ21 = 0, 2 e λ22 = 0, 8

• Conclui-se portanto que o emparelhamento deve ser dado por m1−y1 e m2−y2,

para que as malhas tenham a menor interacao possıvel.

�

4.8 Exemplo-III

As duas possibilidades mencionadas na figura 4.3 podem ser ilustradas no problema de

mistura de duas composicoes, como e mostrado na figura 4.5.

Figura 4.5: Alternativas de controle para uma malha 2 × 2.

Exemplo 4.2 [82], pg. 502]

Considere o sistema dado na figura 4.5. Nela representa-se um sistema de mistura de

dois fluidos com vazao F1 e F2 e composicoes de um determinado produto (em mols)

dadas x1 = 80% e x2 = 20%. Deseja-se saber a melhor configuracao para o controle

da producao, isto e, a melhor forma de regular a variavel x que e a combinacao das

134


composicoes e a vazao F . Sejam F = y1 e x = y2 as variaveis controladas (saıdas).

Sejam F1 = m1 e F2 = m2 as variaveis manipuladas. Qual das duas configuracoes,

apresentadas na figura ?? e a melhor ?

• O balanco das massas, em regime e dado por:

F = F1 + F2 (4.17)

Fx = F1x1 + F2x2 (4.18)

• Suponha que se deseja uma operacao com os valores em estado estacionario dados

por:

F = 200(mol/hr) e x = 60% em moles

• Com esses valores encontre os valores de F1 e F2 em estado estacionario usando

(4.17) e (4.18)

F1 = 133, 4 e F2 = 66, 6

Para calcular a RGA, proceda da seguinte forma:

1. Varie F1 de uma unidade F1 = 134, 4) mantendo F2 constante. Resolva as equacoes

(4.17) e (4.18) para F e x e encontre os novos valores para estado estacionario:

F = 201 e x = 0, 6012 portanto:(ΔF

ΔF1

)F2

=1

1= 1

(Δx

ΔF1

)F2

=0, 0012

1= 0, 0012

2. Varie F1 de uma unidade mantendo x constante. Resolva as equacoes (4.17) e

(4.18) para F e x e encontre os novos valores para estado estacionario:

F = 201, 67 F2 = 67, 27 portanto:(ΔF

ΔF1

)x

=1, 67

1= 1, 67

• Consequentemente, o ganho relativo entre F e F1 sera:

λ11 =(ΔF/ΔF1)F2

(ΔF/ΔF1)x=

1

1, 67= 0, 6

135


• Logo a MGR sera

Λ =

[0, 6 0, 4

0, 4 0, 6

]

Pode-se tirar duas conclusoes:

1. As malhas com menores interacoes sao aquelas definidas quando emparelha-se F

com F1 e x com F2. (figura ??)

2. Apesar da interacao entre as duas malhas definidas como dito acima ser a menor

possıvel, ela ainda e significante. Dessa forma, qualquer acao de controle que

tentar regular F , por exemplo, estara afetando a variavel x (e vice-versa).

�

136


4.9 Algumas Propriedades da RGA

A RGA possui varias propriedades que sao uteis para a analise e projeto de controladores

para sistemas MIMO. A seguir sao apresentadas algumas propriedades. Para mais de-

talhesm veja em [78] ou os artigos de Grosdidier er. al [40], Morari, [57] ou de Hovd e

Skogestad, [?]. Considere dado um sistema MIMO G(S) ou uma matriz constante A.

1. RGA(A) = Λ(A) = A⊗ [A−1]T

2. Λ[A−1] = λ[AT ] = (λ[A])T .

3. Qualquer permutacao de linhas e colunas de A resulta na mesma permuta na

matrix RGA.

4. Λ[A] = I se e somente se A e triangular inferior ou superior. Em particular, a

RGA de uma matriz diagonal e a matriz identidade.

5. Plantas com elementos de valor elavado para a RGA proximo a frequencia de

cruzamento de ganho (cross-over frequency) sao difıcies de controlar devido a sensi-

bilidade (ou sensitividade) a incertezas de entrada. Em particular, desacopladores

ou outros controladores baseado na inversa da planta devem ser evitados.

6. Se o sinal de um elemento de RGA muda quando se troca S = 0 para s = ∞ entao

existe um zero no semi-plano direito (zero de fase nao mınima, RHP-zero) em G.

7. Se a soma dos elementos de uma coluna da RGA e pequena (<< 1) entao pode-se

deletar a entrada correspondente (isto e, pode-se desconsidera-la). Se todos os ele-

mentos de uma linha da RGA sao pequenos (<< 1), entao a saıda correspondente

nao pode ser controlada.

4.9.1 RGA no MATLAB

Para uma matriz constante:

lambda=g.*(pinv(g)).’

Para um matriz G(s):

137


G = pck(A,B,C,D);

omega = logspace(-2,2,41);

Gw = frsp(G,omega);

RGA = veval(’.*’,Gf,vpinv(vtp(Gf)));

Exemplo 4.3 Considere o sistema;

G(s) =

[ −1,31e−2,5s

20s+1−e−4s

3s0,038(182s+1)

(27s+1)(10s+1)(6,5s+1)0,36

s

]

Para calcular a RGA, troque 1/s por I (por exemplo). Calcule a RGA quando I tende

a infinito.

K =

[−1, 318 −I/30, 038 0, 36I

]

Λ =

[0, 97 0, 03

0, 03 0, 97

]�

Exemplo 4.4 (Seborg, [56], pg. 460)

Calcule a RGA estatica e da funcao de transferencia G(s) dada abaixo e interprete o

resultado:

G(s) =

[−2e−s

10s+11,5e−s

s+11,5e−s

s+12e−s

10s+1

]

K =

[−2 1, 5

1, 5 2

]e Λ =

[0, 64 0, 36

0, 36 0, 64

]

• A analise da RGA recomenda o emparelhamento 1-1/2-2.

• Entretanto, as constantes de tempo dos termos fora da diagonal principal sao 10

vezes menores do que os da diagonal/

• Assim C1 respondera dez vezes mais rapidas a M2 do que a entrada M1. O mesmo

para C2 em relacao a M1

• Consequentemente o empareamento 1− 2/2− 1 e mais favoravel, considerando-se

essa relacao temporal.

• Motivacao para a analise via RGA dinamica.

�

138


4.10 Desacoplamento

4.10.1 Introducao

• A MGR indica como as entradas estao acopladas com as saıdas e recomenda como

formar malhas que reduzam essas interacoes.

• Mas algumas vezes, mesmo escolhendo o melhor emparelhamento, a interacao,

mesmo “pequena”, pode persistir ou ainda pode nao ser pequena o suficiente.

Vide exemplo 4.2.

• No caso da interacao ser forte o suficiente para afetar o desempenho do sistema

como um todo, pode-se fazer uso de desacopladores, que sao elementos intro-

duzidos na malha para “canclear”as interacoes

Desacopladores sao projetados para compensar interacoes indesejadas presentes no

processo.

• No controle desacoplado, esta embutido, no objetivo do projeto a obtencao de

um sistema que reduza a interacao entre as malhas, atraves de de controladores

adicionais especıficos, denominados de desacopladores.

• Em linhas gerais, os projetos de desacopladores trazem consigo duas vantagens

importantes:

1. As interacoes entre as malhas e eliminada, e consequentemente a estabilidade

da malha fechada pode ser obtida pela analise da estabilidade das malhas

separadamente.

2. Uma mudanca de set-point em uma variavel controlada nao afeta as outras

variaveis controladas.

• Na praticas essas vantagens (teoricas) nao sao totalmente aplicaveis, devido as

imperfeicoes do modelo.

• Em geral os desacopladores sao projetados a partir de modelos simples.

4.10.2 Exemplos de Desacopladores

• Um tipo de desacoplador e dado na figura 4.6.

139


Figura 4.6:

4.10.3 Desacoplador Ideal

• Na figura 4.6 tem-se um sistema 2× 2, com dois controladores convencionais, Gc1

e Gc2, e dois desacopladores D12 e D21.

• O sinal de entrada para cada desacoplador e a saıda do controlador.

• Sendo os desacopladores projetados para “eliminar interacoes indesejadas”, D21

pode ser projetado, por exemplo, para cancelar o efeito de C21, que aparece devido

a interacao entre M1 e C2.

• Este cancelamento ocorrera em C2 se a saıda do desacoplador D21 (sinal M21)

satisfizer:

Gp21M11 +Gp22M21 = 0 que seria o C2 original (4.19)

• Substituindo M21 = D21M11 tem-se:

(Gp21 +Gp22D21)M11 = 0 (4.20)

• Mas M11 �= 0, ja que M11 e a saıda do controlador. Assim, para satisfazer (4.20),

deve-se ter:

Gp21 +Gp22D21 = 0. (4.21)

• Resolvendo-se apra D21, obtem-se a expressao para o desacoplador ideal:

D21(s) = − Gp21(s)

Gp22(s)(4.22)

140


Da mesma forma, pode-se deduzir uma expressao para D12(s), a partir da condicao de

que M22 nao deve afetar C1, isto e:

D12(s) = − Gp12(s)

Gp11(s)(4.23)

• O desacoplador ideal e semelhante ao controle em avanco [56].

• O desacoplador ideal nao e fisicamente realizavel (por isso chama-se ideal...).

4.10.4 Exemplo

Exemplo 4.5 ([56], pg. 465)

Um dado processo possui a seguinte matriz de transferencia:

Gp(s) =

[5

4s+1e−5s 2

8s+1e−4s

312s+1

e−3s 610s+1

e−3s

]

Projete um desacoplador ideal considerando as simplificacoes necessarias. Usando a

equacao ??, tem-se:

D21(s) = −0, 5(10s+ 1)

12s+ 1

Considerando que o zero esta proximo ao polo, pode-se simplificar D21(s) para 0, 5.

Neste caso pode-se substituir ?? por D21(s) = −0, 5. Usando agora a equacao 4.23,

tem-se:

D12(s) =−0, 25(4s+ 1)es

8s+ 1,

que e um sistema nao realizavel (termo em avanco). Repare que a matriz de trans-

ferencia possui termos em atraso em diferentes tempos. No caso, sendo que Gp11(s)

possui um tempo de atraso maior, M2 ira afetar C1 antes de M1. Sendo o termo em

avanco pequeno em relacao aos termos de atraso do sistema, pode-se aproximar D12(s)

por:

D12(s) =−0, 25(4s+ 1)

8s+ 1,

(caso o termo em avanco fosse significante, essa simplificacao poderia resultar em um

controlador inadequado).

�

141


4.10.5 Desacoplamento Parcial

• Em alguns esquemas 2 × 2 e desejavel utilizar apenas um desacoplador, isto e,

considera-se D21 ou D12 igual a zero. Esse e o desacoplador parcial.

• Desacoplamento parcial e interessante em sistemas em que uma malha predomina

sobre outra.

4.10.6 Desacoplador Estatico

• Uma abordagem “menos ambiciosa”para o desacoplador e a eliminacao da in-

teracao em regime estacionario. A vantagem e que esse tipo de desacoplador sera

sempre realizavel.

• A desvantagem (obvia) e que havera interacao durante o transitorio.

• O Desacoplador Estatico pode ser obtido fazendo-se s = 0 nas equacoes 4.22 e

4.23. Assim:

D21 = −Kp21

Kp22D12 = −Kp12

Kp11(4.24)

• Existem outras possibilidades para lidar com sistemas acoplados do ponto de vista

do desacoplamento. Marlin, [54] apresenta, no capıtulo 21 de [54] mais duas pos-

sibilidades: alterar as variaveis manipuladas ou alterar as variaveis controladas.

Vide tambem Seborg, [56], pg 462.

142


4.11 Desacoplamento por Realimentacao de Estados

Vide [12], pg. 371. Considere o sistema com p entradas e p saıdas:

S1 :

⎧⎨⎩x = Ax+Bu

y = Cx(4.25)

sendo u p× 1, y p× 1, A, n × n, B, n × p e C p × n. Considere p ≤ n. Sabe-se que a

matriz de transferencia, cujos elementos sao dados por gij(s) e dada por:

G(s) = C(sI − A)−1B

Buscar-se a uma forma de tornar G(s) totalmente desacoplada, isto e diagonal (e nao

singular), a partir de uma realimentacao de estados do tipo:

u(t) = Kx+Hr (4.26)

com K sendo uma matriz real constante p × n. H e p × p. Substituindo-se (4.26) em

(4.25) tem-se: ⎧⎨⎩x = (A+BK)x+BHu

y = Cx(4.27)

A funcao (matriz) de malha fechada sera:

Gcl = C(sI −A−BK)−1BH (4.28)

A seguir apresenta-se a condicao na qual G(s) pode ser desacoplada. Antes, define-se di

e Ei como sendo:

Definicao 4.1 di = min{diferenca entre os graus do denominador e numerador de cada

elemento da i-esima linha de G(s) }-1♦

Definicao 4.2 Ei e uma vetor linha, 1 × p dado por:

Ei ≡ lims→∞

sdi+1Gi(s).

sendo que Gi(s) e a i-esima linha de G(s).

♦

143


Exemplo 4.6

G(s) =

[s+2

s2+s+11

s2+s+21

s2+s2+13

s2+s+4

]

As diferencas dos graus da primeira linha e 1 e 2, logo d1 = 0. (min(1, 2) − 1).

E1 = lims→∞

s[

s+2s2+s+1

1s2+s+2

]= [1 0]

Analogamente, d2 = 1 e

E2 = lims→∞

s2[

1s2+2s+1

3s2+s+4

]= [1 3]

�

Teorema 4.1 Um sistema com matriz de transferencia G(s) pode ser desacoplado por

uma realimentacao de estados da forma u = Kx + HR se e somente se a matriz con-

stante:

E =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣E1

E2

...

Ep

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ,

for nao-singular.

�O sistema sera desacoplado se:

K = −E−1F e H = E−1

sendo:

F ≡

⎡⎢⎣C1A

d1+1

C2Ad2+1...

CpAdp+1

⎤⎥⎦ .

Nesse caso, tem-se que Gi(s) e Ci sao e a i-esima linha de de G(s) e de C, respectiva-

mente, sendo que:

Gi(s) = ci(sI −A)−1B

144


4.12 Decomposicao em Valores Singulares

A Decomposicao em Valores Singulares, DVS (ou SVD, Singular Value Decomposition, e

uma importante ferramenta (numerica) da algebra linear moderna usada em aplicacoes

de projeto de sistemas de controle.

A SVD e uma analise que esta relacionada com a resposta em frequencia de um

sistema MIMO. Para sistemas SISO, a resposta em frequencia de uma funcao de trans-

ferencia e definida (de forma direta) a partir do modulo de G(jω) e de seu angulo,

∠G(jω), para 0 ≥ ω ≥ ∞.

• Para sistemas MIMO, G(jω) passa a ser uma matriz complexa, de tal forma que

nao existe uma associacao direta (como no caso SISO) entre ganhos e agulos com

a resposta frequencial (relacionada com entrada de sinais periodicos).

• Existem diferentes medidas de ganho de uma matriz de transferencia, seja na

abordagem frequencial, seja em termos de ganho estatico.

• Entre as definicoes relevantes, estao o autovalor, os raio espectral, os valores sin-

gulares, entre outros.

• Antes de definir esses conceitos e interessante revisar os conceitos de normas,

principalmente nas normas relacionadas com matrizes.

• Importante lembrar que o conceito de norma pode estar relacionado a um vetor,

um sinal, um operador, uma funcao, um numero, uma matriz real ou mesmo uma

matriz polimonial ou racional (em s).

O apendice ?? apresenta alguns conceitos de normas. A seguir resume-se alguns desses

conceitos.

4.12.1 Normas de Vetores

Definicao 4.3 Se x e um vetor complexo ∈ C de dimensao n a norma p de x e definida

como:

||x||p =

(n∑

i=1

|xi|p)1/p

145


♦Em teoria de controle usualmente usa-se a norma 1, 2 e ∞. Em termos de norma de

vetor tem-se as respectivas normas 1, 2 e ∞ dadas por:

||x||1 =n∑

i=1

|xi|

||x||2 =

√√√√ n∑i=1

|xi|2 =√x�x

||x||∞ = maxi

|xi|

4.12.2 Normas Induzidas

Normas-p de matrizes podem ser definidas em relacao as normas de vetores.

Definicao 4.4 Seja uma matriz A ∈ C uma matriz m × n. Entao a norma-p de A e

definida como

|A||p = supx∈Cn,x �=0

||Ax||p|||x||p ∀ A ∈ Cm×n

Importante

• A normal matricial como dada acima e uma norma induzida. Ela e induzida

pelos vetores (de norma-p).

• ||A||p pode ser interpretada como oganho maximo da matriz.

• ||A||p mede a razao entre o vetor de entrada e o de saıda (na norma-p).

• Nao e facil calcular essas normas de matrizes.

• Para p = 1, p = 2 ou p = ∞ entretanto existem “algoritmos”que facilitam a

obtencao desses vaores.

146


Pode-se mostrar que:

||A||i1 = maxj

m∑i=1

|aij| (4.29)

||A||i2 = maxi

√λi(A�A valor singular maximo (4.30)

||A||i∞ = maxi

n∑j=1

|aij| maxima soma das linhas (4.31)

(em geral pode-se tirar o ındice i da definicao da norma).

4.12.3 Matrizes de Transferencia

Para matrizes G(s) o conceito de norma induzida e extendido, para valores de G(jω).

Por exemplo, a norma-2 de G(s) e dada por:

||G(jω)||2 = supu∈C,u �=0

||G(jω)u||2||u||2 = max

i

√λi(G�(jω)G(jω))

4.12.4 Observacao

A norma H∞ (distinta da norma (induzida) infinita) de G(s), esta relacionada com a

maxima norma do vetor de entrada, isto e:

norma H∞ : ||G(jω)| ∞ = maxd(t)

=||y(t)||2||d(t)||2

sendo d(t) a entrada e y(t) a saıda.

4.12.5 Valores Singulares

Assim, como dito acima, pode-se estender o conceito de norma induzida para sistemas

G(s). Seja a relacao:

y = G(jω)u.

Nesse caso o ganho em frequencia de G(s) estara relacionado com a direcao em que e

usada (sua posicao na matriz, por exemplo), que determinara, por sua vez, a relacao

entre y e u. Em outras palavras, o ganho de G(jω) sera descrito como a razao entre a

saıda y e a entrada u, levando-se em conta a norma usada nesses vetores. Nesse caso

147


importante notar que nao havera dependencia apenas no ganho, mas sim da direcao. Se

por exemplo, for calculado uma norma sobre todos os valores de frequencia sobres as

quais procura-se o maximo ganho, tem-se a definicao da norma-2 de G(jω) como dada

acima. Essa norma-2 e definida como sendo o maximo valor singular de G(jω), ou

seja:

σ[G(jω)] = maxi


Esse valor e o valor maximo, em qualquer direcao, que o vetor de saıda pode ter (ele

fornece a maxima amplificacao do sistema).

Definicao 4.5 A morma H∞ sera o maior valor singular percorrida todas as frequencias.

Isto e:

||G(s)| ∞ = maxω

¯σ(M(jω))

Analogamente, o menor valor singular pode ser definido como:

σ[G(jω)] = infu∈C,u �=0

||G(jω)u||2||u||2 = max

i


4.12.6 Resumindo os Resultados

Definicao 4.6 Se o ganho de uma matriz de transferencia G(s) for definido como

razao entre a norna-2 do vetor de saıda pela norma-2 do vetor de entrada, os valores

singular maximo e mınimo, sao, respectivamente, o limite superir e inferior desse ganho.

A analise do ganho de G(s) pode ser feita atraves da denominada Decomposicao em

Valores Singulares, DVS. Para definir a DVS, define-se antes os valores singulares de

uma matriz.

Lema 4.1 Os valoes singulares de uma matriz complexa A ∈ Cm×n, denotados por

σi(A) sao definidos como os k maiores valores (nao negativos) da raiz quadrada dos

autovalores de A�A, onde k = min{n,m}. Assim,

σi =√λi(A�)A) i = 1, 2, . . . , k.

�A razao entre os valores singulares maximo e mınimo e o numero de condicionamento

de uma matriz:

κ(A) ( ou γ(G)) =σ(A)

σ(A)

148


Matrizes com numero de condicao grande sao ditas mal-condicionadas.

A seguir define-se a DVS.

Lema 4.2 Decomposicao em Valores Singulares.

Para toda matriz complexa Q (m × p), existem matrizes unitarias V (m ×m) e U

(p× p) e uma matriz real Σ, tais que:

Q = V

[Σ 0

0 0

]U∗, (4.32)

onde Σ = diag(σ1, σ2 · · ·σr) com σ1 ≥ σ2 ≥ σr ≥ 0 e min(m, p) ≥ r.

Comentario 4.2 • Quando Q e real, V e U podem ser ortogonais. A expressao

4.32 e chamada de decomposicao de valores singulares de Q.

• As grandezas σ1, σ2 · · ·σr sao iguais a raiz quadrada dos autovalores positivos de

Q∗Q ou QQ∗ e sao unicamente determinadas por Q.

4.12.7 Valores Singulares, Raio Espectral e Autovalores

Assim, como dito acima, todas raizes quadradas nao negativas dos autovalores de Q∗Q

sao denominadas de valores singulares de Q:

σ1, σ2 · · ·σr > 0 e σr+1, σr+2 · · ·σp = 0. (4.33)

Os valores singulares maximo e mınimo sao denotados, respectivamente, por σ = σ1 e

σ = σp.

Os autovalores (ou ganhos caracterısticos) de uma matriz quadrada A, n× n sao as

n−esimas solucoes, λi para a equacao caracterıstica,

det(A− λI) = 0 (4.34)

Os autovetores, ti (a direita) ou a esquerda, qi sao satisfazem as relacoes:

Ati = λiti (4.35)

qTi A = λiq

Ti (4.36)

(4.37)

149


Os autovalores estao associados as caracterısticas internas do sistema e definem, por

exemplo, os seus modos internos. O maior valor absoluto do autovalor e o raio espectral,

ρ, isto e

ρ(A) ≡ maxi

|λi(A)|.Tanto os valores singulares quanto os autovalores sao medidas de ganho para o sistema.

Entretanto os autovalores so informam os ganhos na direcao do autovalor, enquanto que

os valores singulares sao uma medida de ganho nas direcoes definidas pelos vetores ui e

vi que sao as colunas das matrizes U e V definidas na DVS, na equacao (4.32).

4.12.8 Interpretacao

A DVS para uma matriz real A pode ser interpretada da seguinte forma. Qualquer

matriz real mapeia um espaco em outro (uma hiper-esfera em um hiper-elisoide). Os

valores singulares de A, σi(A) especificam o comprimento do eixo principal do

elipsoide, que e a superfıcie mapeada. Os vetores singulares ui especificam as direcoes

(ortogonais) desses eixos principais . Os vetores vi sao mapeados nos vetores ui, de

forma que se tem:

Avi = σiui

Exemplo 4.7 Seja A dada por:

A =

[0, 8712 −1.3195

1.5783 −0, 0947

]

A DVS de A e dada por A = UΣV com:

U =1√2

[1 1

1 −1

], Σ =

[2 0

0 1

], V =

1

s

[ √3 −1

−1 −√3

]

150


4.13 Resumo dos Resultados e Mais uma Interpretacao

• Considere uma matriz de transferencia G(s)m×n. Considere uma dada frequencia,

ω0. Neste caso G(jω0) sera uma matriz constante m× n e sera possıvel calcular

sua SVD, que no caso sera a SVD de G(s) na frequencia ω0.

• Assim, tem-se que:

G(jω0) = G = UΣV T

• Nesse caso, como visto anterirmente, Σ e uma matriz com k = min{m,n} val-

ores singulares nao negativos, σi, arranjados em ordem decrescente de valor, na

diagonal principal, e com os outros elementos nulos. Os valores singulares sao as

raizes quadradas dos autovalores de GTG (na verdade GHG, sendo GH o complexo

conjugado de G), isto e:

σi =√λi[GHG]

• Alem disso, U e uma matriz m × m, unitaria, formadas de vetores ui em suas

colunas, denominados vetores singulares de saıda.

• E V e uma matriz n × n cuja colunas sao os vetores vi, vetores singulares de

entrada.

• Uma matriz G real, 2 × 2 pode sempre ser escrita como:

G =

[cos(θ1) −sen(θ1)

sen(θ1) cos(θ1)

][σ1 0

0 σ2

][cos(θ2) ±sen(θ1)

−sen(θ2) ± cos(θ2)

]T

= UΣV T .

• Os angulos θ1 e θ2 dependem de G. Pela equacao acima pode ser visto que U e V

estao relacionadas com rotacoes.

• Os valores singulares sao tambem chamados de ganhos principais e estao associados

a direcoes denominadas principais.

• SVD e calculada numericamente.

151


4.13.1 Importante

Como comentado, pode-se mostrar que o maior ganho, para qualquer direcao e igual

ao valor singular maximo:

σ[G] ≡ σ1[G] = maxd�=0

||Gd||2||d||2 =

||Gv1||2||v1||2

Alem disso, o menor ganho para qualquer direcao e igual ao valor singular mınimo:

σ(G) ≡ σk(G) = mind�=0

||Gd||2||d||2 =

||Gvk||2||vk||2

sendo k = min(l,m) (para uma matriz G l ×m). Para qualquer vetor d, tem-se que:

σ[G] ≤ ||Gd||2||d||2 ≤ σ[G]

Tem-se ainda que:

Gv1 = σu1

e

Gvk = σuk

• Defina v1 = v e u1 = u. vk = v e uk = u.

• O vetor v corresponde a direcao da entrada que possui a maior amplificacao e

u corresponde a direcao da saıda na qual a entrada e mais efitiva.

• As direcoes envolvendo u e v sao geralmente referenciadas como sendo direcoes

fortes, ou mais fortes ou ainda de alto ganho, ou ”mais importante”.

• As direcoes “mais fracas”estao associadas as direcoes uk e vk.

4.13.2 SVD com G Variando

• E possıvel calcular a SVD para uma matriz em uma faixa de frequencia. Isto

equivale a calcular a SVD para diferentes frequencias.

• Em geral, o grafico da SVD para matrizes de transferencia apresenta os ganhos

principais, para varios valores de freqUencia.

152


• No matlab isto pode ser feito usando-se o comando vsvd.

• Os valores singulares das funcoes sensititividade e sensitividade complementar sao

extremamente importantes no contexto de projeto de controladores MIMO.

Exemplo 4.8 Seja G dada por:

G =

[5 4

3 2

]

Tem-se que:

G = UΣV

com:

G =

[0, 872 0, 490

0, 490 −0, 872

][7, 343 0

0 0, 272

][0, 794 −0, 608

0, 608 0, 794

]

O maior ganho e 7,343, para uma entrada na direcao

[0, 794

0, 608

]e o menor ganho e

0, 272 na direcao de entrada v =

[−0, 608

0, 794

].

153


4.14 Adendos

4.14.1 Estruturas para Controladores

F�y�

G�

-�

+�y�u�r�

F�r�G�Fr�

r� u�

Fy�+�

(b)�

Figura 4.7:

• Uma configuracao possıvel para um sistema de controle e o dado na figura 4.7 (a).

• A partir dela tem-se que:

u = Frr − Fyy (4.38)

• O controlador da equacao (4.38) e denominado controlador de dois graus

de liberdade (2-DOF, ou 2 ”degree-of-freedom”). Ele e determinado por duas

funcoes (matrizes) de transferencia, indepentemente, Fr e Fy.

• As caracterısticas da malha fechada ficam determinadas de forma indepentente, a

partir de Fr e Fy. Fy determina as caracterısticas da malha fechada propriamente

dita e Fr afeta a relacao da respota temporal com a entrada r.

• Um caso especial seria Fr = Fy, que resulta em:

u = Fy(r − y)

• Que e o controlador (convecional) de um grau de liberdade (1-DOF).

• Uma forma de se projetar um controlador 2-DOF e definir primeiramente o con-

trolador 1-DOF e depois fazer:

u = fy(Frr − y)

• A relacao anterior e ilustrada na figura 4.7 (b)

154


4.14.2 Diagrama para Representacao no Espaco de Estados

c�

A�

b�

d�

r�u�

y�x�x�

dt�

d�

int�

+�

+�+�

+�

Figura 4.8: Representacao no espaco de estados

Na realimentacao de estados, pode-se fazer:

u(t) = Kx+Hr

K�

C�

A�

B�

D�

+�

+�r� u� y�x�x�

dt�

d�

int�

+�

+�+�

+�H�

Figura 4.9: Representacao de uma realimentacao de estaods

A malha fechada sera:

Gcl = C(sI −A−BK)−1BH

Lembre-se: nem sempre, ESTA FORMA de desacoplamento e possıvel.

155


4.14.3 Alguns Modelos

Sistema de Mistura

• Vide [?], pg 621

• Considere o sistema de mistura da figura ??. Nela tem-se uma substancia A e

um solvente S que sao misturados para gerar o produto com concentracao e vazao

medidos.

• O sistema foi modelado com as seguitnes consideracoes:

– As concentracoes das substancias que entram sao constantes.

– A mistura e perfeita

– As densidades do solvente e do componente sao iguais.

O balanco de massa resulta nas equacoes:

Fm = FA + FS (4.39)

FmXm = FAXA + FSXS (4.40)

sendo:

FS = vazao da mistura (massa/tempo) (4.41)

FA = vazao de A (4.42)

Fm = vazao do solvente (4.43)

XA = fracao massica do componente A em relacao a quantidade de A = 1(4.44)

XS = fracao massica do componente A em relacao a quantidade de A = 0(4.45)

Xm = fracao massica do componente A na mistura (4.46)

(4.47)

Considerando a equacao 4.40, tem-se

X′m =

F′AFm

F 2m

− FAF′m

F 2m

logo:FA + FS

F 2m

F′A − FA(F

′A + fS)

F 2M

156


assim:

X′m(t) =

FAF′A

F 2m

+FSF

′A

F 2m

− FAF′A

F 2m

− FAF′S

F 2m

que resulta em:

X′m(t) =

[FS

(FS + FA)2)

]F

′A(t) +

[− FA

(FS + FA)2)

]F

′S(t)

Considerando-se os sensores da figura ??, tem-se que F1 = FS e F2 = FA.

157

Capıtulo 5

Alocacao de Polos em Sistemas

MIMO

5.1 Introducao

• Nesse capıtulo sao apresentados resultados para o projeto de controladores para a

formulacao no espaco de estados.

• Sao apresentados exemplos de alocacao de polos via realimentacao de estados.

• Sao discutidas formas de implementacao de observadores de estados.

5.2 Realimentacao por Variaveis de Estado: Con-

ceitos Correlatos

Considere o modelo no espaco de estados com m entradas e p saıdas:

x(t) = A0x(t) +B0u(t) (5.1)

y(t) = C0x(t) (5.2)

sendo x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm e y(t) ∈ Rp.

• O objetivo da realimentacao de estados e encontrar uma matriz K ∈ Rm×n tal que

A0 − B0K tenha seus autovalores no SPE. Alem disso e comum especificar uma

158

Alocacao de Polos em Sistemas MIMO

dada regiao do SPE, relacionada a uma determinada especificacao de desempenho.

A estrategia usual para achar a matrizK em sistemas SISO nao se aplica a sistemas

MIMO. Porem existem procedimentos particulares para o caso MIMO.

• Uma das abordagens MIMO para a escolha de K faz uso da otimizacao quadratica.

Para detalhes vide apendice ??. Em linhas gerais, a ideia central desse projeto

e encontrar K a partir de um problema de minimizacao de uma funcao de custo

quadratica, da forma:

J =

∫ t−r

0

[x(t)T Ψx(t) + u(t)TΦu(t)

]dt.

• Nessa funcao de custo, Ψ ∈ Rn×n e uma matriz simetrica nao-negativa definida e

Φ ∈ Rm×m e uma matriz simetrica positiva definida.

• Mostra-se (vide apendice ??) que quando tf → ∞ a lei de controle que otimiza

essa funcao de custo possui a seguinte forma:

u(t) = −Kx(t). (5.3)

• Nessa caso, K = Ψ−1BT0 P , com P ∈ Rn×n sendo uma matriz P = P T ≥ 0, solucao

da seguinte Equacao de Riccati (ARE) Contınua1

:

0 = Φ + AT0 P + PA0 − PBT

0 Ψ−1B0P (5.4)

5.2.1 Consideracoes

Considere-se o sistema S1 dado na equacao (5.5).

S1 :

⎧⎨⎩x = Ax+ bu

y = cx+ dy(5.5)

A e n × n, b e n × 1, c e 1 × n e d e 1 × 1. No caso de sistemas MIMO, troque b por

B, c por C e d por D e considere A e n× n, B e n × p, C e q × n e D e q × p. Seja o

polinomio caracterıstico da matriz A dado por:

Δ(λ) = det(λ I − A) = λn + α1λn−1 + · · ·+ αn−1λ + αn

1O teorema ?? (apendice ??) mostra que, desde que o par (A0, B0) seja estabilizavel e (Ψ1/2, A0) sejadetectavel, entao existe uma solucao (nao-negativa definida) unica para a equacao (5.4) e que garanteque a lei de controle (5.3) estabiliza a malha.

159


5.3 Realimentacao de Estados: SISO

Nessa secao estuda-se o efeito de uma realimentacao do tipo:

u = r −Kx r pode ser nulo,

sobre a equacao dinamica S1 (equacao (5.5)). A variavel r esta associada a referencia

aplicada ao sistema e K e a matriz ganho (ou simplesmente ganho) do sistema em

malha fehcada.

Nas deducoes dessa sessao considera-se que todos os estados estejam disponıveis

para serem realimentados.

A realimentacao de estados dada na figura 5.1. Considere o sistema S1 da equacao

5.5. Considere o ganho k, com k = [k1 k2 . . . kn].

k�

c�

A�

b�

d�

+�

+�r� u� y�x�x�

dt�

d�

int�

+�

+�+�

+�

Figura 5.1: Representacao de uma realimentacao de estados

A malha fechada do diagrama da figura 5.1 pode ser dada por:

S1mf :

⎧⎨⎩x = (A− bk)x+ br

y = (c− dk)x+ dr(5.6)

Teorema 5.1 A equacao dinamica S1mf, (5.6), e controlavel para qualquer vetor k,

1 × n se e somente se a equacao S1, 5.5 for controlavel.

�

Corolario 5.1.1 A controlabilidade de um sistema MIMO, LTI, dado pela equacao ??

e invariante sobre uma realimentacao de estados da forma u(t) = r(t) − k(t)x(t).

160


�

• Embora a realimentacao de estados preserve a controlabilidade, ela quase sempre

altera a propriedade da observabilidade, no sentido de “destruı-la”, isto e o sistema

em malha fechada nao e mais observavel.

5.3.1 Alocacao de Polos via Realimentacao de Estados

Teorema 5.2 Se o sistema dinamico SISO, S1, dado em (5.5) e controlavel entao, a

partir de uma realimentacao de estados, u = r − kx, com k sendo um vetor 1 × n, os

autovalores de (A−bk) podem ser arbitrariamente alocados, considerando-se obviamente,

que os autovetores complexos sejam atribuıdos em pares.

Exemplo 5.1 (Calculando k)

Este exemplo apresenta um metodo para encontrar o vetor k da realimentacao de esta-

dos. A definicao da realmenticao como sendo u = −kx e puramente arbitraria. Poderia

ser = +kx, como pode ser visto nas deducoes a seguir.

Considere o sistema dado a seguir:

x =

⎡⎢⎢⎢⎣

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 1

0 0 5 0

⎤⎥⎥⎥⎦x+

⎡⎢⎢⎢⎣

0

1

0

−2

⎤⎥⎥⎥⎦u (5.7)

y =[

1 0 0 0]x (5.8)

E um sistema controlavel, portanto, e possıvel alocar arbritariamente seus polos. Seja

os autovalores desejados dados por:

−1;−2;−1 ± j

Entao,

Δ(s) = (s+ 1)(s+ 2)(s+ 1 − j)(s+ 1 + j) = s4 + 5s3 + 10s2 + 10s+ 4

Calcule o polinomio caracterıstico de:

A + bk =

⎡⎢⎢⎢⎣

0 1 0 0

k1 k2 k3 − 1 k4

0 0 0 1

−2k1 −2k2 5 − 2k3 −2k4

⎤⎥⎥⎥⎦

161


sendo k = [k1 k2 k3 k4]. Nesse caso:

Δmf (s) = det(sI − A− bk) = s4 + (2k4 − k2)s3 + (2k3 − k1 − 5)s2 + 3k2s+ 3k1

Comparando-se os coeficientes de Δmf (s) com os de Δ(s) tem-se:

k1 =4

3k2 =

10

3k3 =

63

8k4 =

25

6

Assim, a realimentacao de estados:

u(t) = r(t) + [4

3

10

3

63

8

25

6]x

resulta em uma malha fechada com os autovalores nos locais desados.

Para sistemas de maior ordem, o calculo de k como no exemplo anterior e complicado.

Nesse caso deve-se usar um algoritmo ou uma das formulas ja conhecidas para k.

5.3.2 Formulas para k

([45], pg. 197).

Considere a realizacao:

x = Ax(t) + bu(t) y(t) = cx(t)

com o polinomio caracterıstico

a(s) = det(sI −A) = sn + a1sn−1 + · · ·+ an

e com funcao de transferencia:

H(s) =b(s)

a(s)=

b1sn−1 + · · · + bn

sn + a1sn−1 + · · ·+ an.

Considera-se tambem que a realizacao [A, b, c] possui n estados.

Deseja-se, como no exemplo anterior, modificar o sistema para que ele passe a ter

um polinomio caracterıstico dado por:

α(s) = sn + α1sn−1 + · · ·+ αn,

a partir de uma realimentacao de estados dada por:

u(t) = r(t) − kx(t).

162


Naturalmente, o sistema realimentado sera dado por:

x(t) = (A− bk)x(t) + br(t) y(t) = cx(t)

cujo polinomio caracterıstico e dado por:

ak(s) = det(sI −A+ bk)

5.3.3 Formula de Bass-Gura

Considere a seguinte identidade para um determinante de uma matriz:

ak(s) = det(sI − A+ bk) =

= det{(sI − A)[I + (sI − A)−1bk]}= det(sI −A) det[I + (sI − A)−1bk]

= a(s)[1 + k(sI − A)−1b]

Portanto,

ak(s) − a(s) = a(s)k(sI − A)−1b (5.9)

Sendo, ambos os lados da equacao acima polinomios em s, k pode ser determinado

igualando-se os coeficientes das potencias em s de mesma ordem. Para fazer isto, use a

relacao:

(sI − A)−1 =1

a(s)[sn−1I + sn−2(A+ aiI) + sn−3(A2 + a1A+ a2I) + . . . ], (5.10)

que aplicada na equacao (5.9) resulta em:

α1 − a1 = kb, α2 − a2 = kAb+ a1kb, α3 − a3 = kA2b+ a1kAb+ a2kb, . . .

que pode ser agrupada na forma matricial como:

α− a = kCAT−

sendo:

α = [α1 α2 αn] a = [a1 a2 . . . an],

C = [b Ab . . . An−1b] (5.11)

163


e AT− =uma matriz Toeplitz triangular inferior com a primeira coluna sendo:

[1 a1 . . . an−1]T .

Sendo a matriz AT− sempre nao singular, pode-se resolver (5.11) para k, com α e a

arbitrarios, se e somente se, C for nao singular. Assim, provou-se que:A realimentacao de estados pode fornecer uma realocacao arbitraria dos autovalores

da realizacao [A, b, c] se e somente se C, sendo

C = [b Ab . . . An−1b],

for nao singular.

Alem disso, o ganho k pode ser dado por:

k = (α− a)A−T− C−1 (5.12)

sendo

A−T− ≡ [A−1

− ]T

Toeplitz Matrix

(vide [45], pg. 648) Uma mattriz e dita ser uma Matrix Toeplitz se seu elemento (i, j)

depende apenas do valor de i − j. Desta forma a matrix de Toeplitz sera constante ao

longo das diagonais. Note que uma matrix Toeplitz triangular inferior (ou superior) e

completamente especificada pelos elementos da sua primeira coluna (ou linha).

5.3.4 Realizacao Adequada para Calcular a Realimentacao de

Estados

Dada a formula explıcita para encontrar k, e natural perguntar se existe uma realizacao

na qual o calculo e mais facilmente executado. Importante lembrar que tem-se quatro

formas canonicas bastante uteis, nas quais a matriz de controlabilidade e de observabili-

dade sao obrigatoriamente nao singulares (isto e, formas canonicas que sao por definicao

observaveis ou controlaveis).

Em particular sabe-se que que a matriz de controlabilidade C sera igual a identidade

para a forma canonica de controlabilidade. Essa e a forma mais adequada para se efetuar

o calculo de k como dado acima.

164


Pode-se ter um calculo mais simples ainda se a matrix AT− for definida como sendo

a inversa da matrix de controlabilidade Cc da forma canonica de controle, [Ac, bc, cc],

sendo Ac matriz companheira com [−ai] na linha superior e bc tendo 1 no seu primeiro

elemento e zeros nos outros. Assim, considerando o exposto acima, tem-se que:

kc = (α− a)A−T− C−1 = (α− a)A−T

− C−1c = (α− a)

pois AT− = C−1

c .

5.3.5 Formula Ackermann

Ackermann, em um artigo de 1972 mostrou que k poderia ser calculado a partir de:

k = qTnα(A) (5.13)

sendo α(s) o polinomio caracterıstico desejado e

qTn = [0 . . . 0 1]C−1 = [a ulima linha de] C−1

Neste caso, nao se faz necessario o conhecimento do polinomio caracterıstico original,

a(s) = det(sI − A).

Comentarios

• Formula conveniente do ponto de vista teorico.

• O gasto computacional nao e muito vantajoso em relacao a formula de Bass-Gura

Exercıcio

Mostre que a equacao (5.13) esta correta. Para isso use equacao (5.12). Considere que a

realizacao esta na forma canonica do controlador. Voce devera usar tambem o teorema

de Cayley-Hamilton.

5.3.6 Formula de Mayne-Murdoch

• Especificar polos desejados (polinomio caracterıstico desejado) ou autovalores de-

sejados (matriz A desejada) e a mesma coisa do ponto de vista teorico.

165


• Porem, do ponto de vista numerico, em algumas aplicacoes pode ser preferıvel

trabalhar com os autovalores no lugar do polinomio caracterıstico.

Considere A diagonal com autovalores distintos [λ1, . . . , λn] e que os autovalores deseja-

dos sao [μ1, . . . , μn]. Para calcular k, remeta-se a equacao (5.9):

ak(s) − a(s) = a(s)k(sI − A)−1b

e reescreva-a como:ak(s)

a(s)= 1 +

n∑1

kibis− λi

Que e obtida fazendo-se a expansao em fracoes parciais de ak(s)/a(s) e dividindo-se o

coeficiente do termo (s− λi)−1 por bi.

Mais explicitamente, multiplique os dois lados da equacao por (s− λi) e faca s = λi

para obter:

kibi =Πj(λi − μi)

Πj �=i(λi − λj)

Comentarios

• O ganho k aumenta quando a diferenca entre λi e μi aumenta.

• Pode-se obter essa formula para A nao diagonal.

5.3.7 Abordagem da Funcao de Transferencia

Considere o diagrama da figura 5.2. Defina uma variavel (uma saıda fictıcia) z, na saıda

do bloco k. Neste caso, tem-se:

z(t) = kx(t)

Ainda, em relacao a figura 5.2, tem-se:

Z(s)

U(s)= k(sI − A)−1b =

g(s)

a(s)

Como resultado de uma realimentacao unitaria, tem-se:

Z(s)

R(s)=

g(s)

a(s) + g(s)

166


Figura 5.2: Representacao de uma realimentacao de estados

Assim, a nova funcao de transferencia em malha fechada sera:

Y (s)

R(s)=Y (s)

U(s)

U(s)

Z(s)

Z(s)

R(s)=b(s)

a(s)

a(s)

g(s)

g(s)

a(s) + g(s)

Ou,Y (s)

R(s)=

b(s)

a(s) + g(s)(5.14)

Assim, o novo polinomio caracterıstico sera:

a(s) + g(s) = α(s)

5.3.8 Comentarios

• realimentacao de estados possibilita alocar apenas os polos. Os zeros continuam

os mesmos.

167


5.3.9 Algoritmo

O seguinte algoritmo ([12], pg. 337) pode ser usado para se encontrar o vetor k.

1. Encontre o polinomio caracterıstico de A:

Δ(s) = det(s I − A) = sn + α1sn−1 + · · ·+ αn

2. Calcule:

Δ(s) = (s− λ1)(s− λ2) . . . (s− λn) = sn + α1sn−1 + · · ·+ αn

3. Calcule:

k = [αn − αn αn−1 − αn−1 . . . α1 − α1]

4. Calcule

qn−1 = Aqn−i+1 + αiqn para i = 1, 2, . . . , (n− 1), com qn = b

5. Monte a matriz Q:

Q = [q1 q2 . . . qn]

6. Calcule:

P ≡ Q−1

7. Assim:

k = kP.

5.3.10 Exercıcio

Calcule k para o exemplo 5.1 usando o algoritmo.

5.3.11 Comentarios Adicionais

• Atencao para a forma como a realimentacao e apresentada: alguns autores con-

sideram u = r +Kx e outros u = r −Kx.

168


• A habilidade de se alocar arbritariamente os autovalores via realimentacao de

estados e denominada controlabilidade modal modal controllability, sendo que

o termo modal refere-se aos modos definidos pelos autovalores. Vide [45], pg.

199.

• Dada uma formula para se achar K e natural questionar se existem realizacoes

nas quais o calculo e mais simples. De fato, a realizacao mais adequada para se

calcular K e a forma canonica do controlador, controller canonical form.

5.4 Conceitos para a Realimentacao de Estados para

Sistemas MIMO

Seja [A,B,C,D] uma realizacao mınima deG(s) e sejamG(s) = D−1(s)N(s) = N(s)D−1(s)

fatoracoes coprimas. D e reduzida em linha e D(s) e reduzida em coluna.

Entao:

B(sI − A)−1C +D = N(s)D−1(s) = D−1(s)N(s)

que implica em

1

det(sI −A)B[Adj(sI − A)C +D =

1

det(D(s))N(s)[Adj(D(s))]

=1

det(D(s))[Adj(D(s)]N(s)

Pelo fato dos tres polinomios: det(sI − A), det(D(s)) e det(D(s)) terem o mesmo

grau, podemos concluir:

• deg[G(s)] = deg[det(D(s)] = deg[det(D(s)] = dim[A]

• O polinomio caracterıstico de G(s) = k1 det[D(s)] = k2 det[D(s)] = k3 det[sI −A]

para algumas constante nao nulas, ki.

• O conjunto dos graus das colunas de D(s) e igual ao conjunto dos ındices de

controlabilidade de (A,B).

• O conjunto dos graus das colunas de D(s) e igual ao conjunto dos ındices de

observabilidade de (A,B).

169


Pode-se concluir, portanto que:A fatoracao coprima (a direita ou a esquerda) e as realizacoes controlaveis e ob-

servaveis contem essencialmente a mesma informacao.

5.4.1 Indices de Controlabilidade e Observabilidade

O fato da matriz de controlabilidade:

C = [B AB . . .An−1B]

ter rank n significa que existem n colunas LI em C. Pode ocorrer, entretanto, que seja

possıvel encontrar essas n colunas LI, em uma matriz de dimensao menor do que a C,

matriz essa denominada matriz de controlabilidade parcial:

C = [B AB . . .Aq−1B], 1 ≤ q ≤ n.

O menor q que satisfaca tal condicao e denotado por μ (isto e o q tal que C tenha rank

n) sera denominado ındice de controlabilidade de {A,B}. Analogamente, define-se

o ındice de observabilidade de {A,C} como sendo o menot inteiro q, denotado por ν,

tal que

OT = [CT ATCT . . . (AT )q−1CT ], 1 ≤ q ≤ n;

tenha rank n.

170


5.5 Realimentacao de Estados: MIMO

5.5.1 Alguns Metodos de Projeto

• Projeto via matriz cıclica ([13], pg. 256).

• Projeto via Equacao de Lyapunov ([13], pg. 259).

• Projeto da forma canonica ([13], pg. 260).

• Metodo Direto ([45], pg. 503).

Considere o sistema S1M, da equacao (5.15).

S1M :

⎧⎨⎩x = Ax+Bu

y = Cx+Dy(5.15)

Para esse sistema considera-se A e n× n, B e n× p, C e q × n e D e q × p.

No caso de uma realimentacao de estados, u e trocado por:

u = r −Kx

sendo K uma matriz p× n (com elementos reais (constantes)).

A malha realimentada fica:

S1Mmf :

⎧⎨⎩x = (A+BK)x+Br

y = (C +Dk)x+Dr(5.16)

Analogamente ao caso SISO, os autovalores de (A+ BK) podem ser arbritariamente

alocados se S1M e controlavel. Nas subsecoes ?? a 5.5.2 sao discutidos brevemente tres

metodos de alocacao para o sistema MIMO.

5.5.2 Metodo de Alocacao MIMO via Lyapunov

Esse metodo faz uso de uma equacao de Lyapunov do tipo AM +MB = N .

Definicao 5.1 Uma equacao matricial da forma:

AM +MB = N

e denominada equacao de Lyapunov. A,B,M,N sao matrizes complexas n× n.

♦

171


Algoritmo

Considere um sistema com {A,B} controlavel sendo A e B n×n e n×p, respectivamente,

matrizes constantes. Encontre K (p×n) tal que A+BK tenha os autovalores desejados.

1. Escolha uma matriz qualquer F n× n que nao tenha autovalores em comum com

A cujos autovalores sejam os desejados para a malha fechada.

2. Escolha uma matriz qualquer K p× n tal que {F, K} seja observavel.

3. Resolva a equacao de Lyapunov (em T ), isto e, encontre a matriz (unica) T para:

AT − TF = −BK.

4. Se T e nao singular entao tem-se que K = KT−1 e A + BK possui os mesmos

autovalores de F . Se T for singular, escolha outra matriz F ou outra matriz K e

repita o procsso.

Comentarios

• (A−BK) e F sao similares (tem o mesmo conjunto de autovalores (mesmo espec-

tro)).

• O procedimento semelhante, para o caso SISO, sempre resulta em T nao singular.

Para o caso MIMO pode-se te-la singular.

• Assim para o caso MIMO as condicoes (A,B) controlave e (F, K) controlavel sao

condicoes necessarias, mas nao suficientes para se ter T nao singular.

5.6 Exemplo de Utilizacao do Algoritmo

• Os autovalores de A − BK podem ser alocados em qualquer lugar (arbritaria-

mente), exceto nos autovalores de A.

• Observacao: No caso SISO, se A e F nao tiverem autovalores comuns, entao

existira uma solucao unica T para

AT − TF = bK.

172


Teorema 5.3 (Vide [12])

Se A e F nao tiverem autovalores em comum entao a solucao unica, T , para AT−TF =

BK sera nao singular somente se (A,B) for controlavel e (F, K) for observavel.

• Dado um conjunto de autovalores existem infinitas matrizes F com esses autoval-

ores.

• Pode-se obter matrizes diagonais, diagonais em bloco, na forma de Jordan ou nas

formas companheiras.

• Uma forma de obter uma matriz F e a partir do polinomio dos autovalores.

Pode-se obter uma matriz na forma canonica observavel ou controlavel, de ob-

servabilidade ou de controlabilidade, entre outras.

• Para um F montada a partir do polinomio dos autovalores na forma observavel a

escolha de K e facilitada.

5.6.1 Caso SISO

Considere o polinomio dos autovalores dado por:

Δ(s) = s4 + α1s3 + α2s

2 + α3s+ α4.

Neste caso F pode ser dada por:

F =

⎡⎢⎢⎢⎣

−α1 1 0 0

−α2 0 1 0

−α3 0 0 1

−α4 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦

Para essa matriz F , se for dada uma matriz k como sendo:

k = [1 0 0 0]

entao (F, k) sera observavel.

173


5.6.2 Expressao para F 5 × 5

Se n = 5 e for desejavel alocar 5 autovalores dados porλ1, α1 ± jβ1 e α2 ± jβ2 F pode

ser dada por:

F =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

λ1 0 0 0 0

0 α1 β1 0 0

0 −β1 α1 0 0

0 0 0 α2 β2

0 0 0 −β2 α2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(5.17)

5.6.3 Caso MIMO

Analogamente ao caso SISO, se F for expressa como na equacao 5.17 K podera ser

expressa como:

K =

[1 1 0 0 0

0 0 0 1 0

]ou K =

[0 0 1 0 0

1 0 0 1 0

]

Nesse dois casos, F, K sera observavel.

174


5.7 Estimadores (Observadores) de Estado: MIMO

5.7.1 Introducao

• O projeto via realimentacao de estados parte do pressuposto que todos os estados

estao disponıveis.

• Mas isso nem sempre ocorre seja porque nao e possıvel medir diretamente o estado

seja pelo fato do numero de elementos de medida e limitado.

• No caso de um determinado estado nao estar disponıvel, deve-se estima-lo (ou

“observa-lo”).

• O “dispositivo”que obtem o valor aproximado do estado e o denominado estimador

de estados ou observador de estados.

• A forma de projeto do observador e dual ao projeto do realimentador de estados.

• Nessa secao, os estados estimador serao denotados por x.

C�

A�

B�u� x�

x�dt�

d�

int�

+�

+� y�

A�

B�

x�dt�

d�ˆ�

int�

+�

+� x�ˆ�

sistema�

estimador�

Figura 5.3: Representacao de uma Estimacao de Estados em Malha Aberta

175


5.7.2 Projeto de Observadores

Considere o sistema S1M, da equacao (??), repetida a seguir por conveniencia:

S1M :

⎧⎨⎩x = Ax+Bu

y = Cx(5.18)

Para esse sistema considera-se A e n × n, B e n × p, C e q × n e D e q × p. Por

simplicidade e sem perda de generalidade, considera-se D = 0.

u�

A�

B�

x�dt�

d�ˆ�

int�

+�

+� x�ˆ�

estimador�

C�

A�

B�x�

x�dt�

d�

int�

+�

+� y�

sistema�

L�

C�

+�

-�

Figura 5.4: Representacao de uma Estimacao de Estaods em Malha Fechada

176


• Se o sistema original S1M e o estimador possuirem os mesmos estados iniciais e

tiverem a mesma entrada, a saıda x(t) do estimador sera igual ao valor real x(t)

para todo t.

• Se A e B sao conhecidos pode-se usar o Estimador em Malha Aberta:

˙x = Ax+ bu (5.19)

• Se as equacoes 5.19 e (??) possuirem os mesmos estados iniciais entao para qual-

quer entrada, x(t) = x(t).

• O Estimador de Malha Aberta pode ser modificado como mostra a figura 5.4.

• Assim, tem-se˙x = Ax+Bu+ L(y − Cx)

• Que pode ser escrita como

˙x = (A− LC)x+ Ly +Bu

• Defina

e(t) = x(t) = x(t) − x(t)

• e(t) = x(t) e o erro entre o estado real e o estimado. Derivando-se o erro e

efetuando as substituicoes necessarias, tem-se:

˙x = (A− LC)x

• Essa e a equacao que determina a dinamica do estimador. Se todos os autovalores

de A− LC puderem ser alocados arbritariamente, entao pode-se controlar a taxa

de decaimento de e(t)

177


5.7.3 Teoremas e Projetos

Teorema 5.4 Se a equacao dinamica n-dimensional ?? S1m e observavel ((A,C) e

observavel), seus estados podem ser estimados usando o estimador de dimensao n:

˙x = (A− LC)x+ Ly +Bu

sendo que o erro x = x− x obedece a equacao dinamica:

˙x = (A− LC)x

e todos os autovalores de A−LC podem ser arbritariamente alocados (autovalores com-

plexos em pares).

Metodo via Lyapunov

Considere o sistema de dimensao n com q saıdas (??) (A e n×n, B e n×p e C e q×n).

Considere S1M irredutıvel. Considere o projeto de um estimador de ordem-n.

Algoritmo

1. Escolha uma matriz F , (n)×(n) que tenha todos os seus autovalores com as partes

reais negativas, diferentes dos da matriz A.

2. Escolha uma matriz L, (n) × q (q = 1 para SISO) tal que {F, L} seja controlavel.

3. Resolva, em T , a equacao TA − FT = LC, isto e, encontre a solucao unica T ,

(n) × n para a referida equacao de Lyapunov. T sera nao singular.

4. Assim o estimador sera definido pelas relacoes

z = Fz + Ly + Tbu (5.20)

˙x = T−1z (5.21)

Exercıcio

Defina e ≡ z−Tx. Mostre que o estiamador acima definido definira uma dinamica para

e(t) que resultara em e(t) → 0 se t→ ∞.

178


5.7.4 Estimadores de Ordem Reduzida

Algoritmo

1. Escolha uma matriz F , (n− q)× (n− q) que tenha todos os seus autovalores com

as partes reais negativas, diferentes dos da matriz A. Caso SISO q = 1.

2. Escolha uma matriz L, (n− q) × q tal que {F, L} seja controlavel.

3. Resolva, em T , a equacao TA − FT = LC, isto e, encontre a solucao unica T ,

(n− q) × n para a referida equacao de Lyapunov.

4. Se a matriz quadrada P , de ordem n:

P =

[C

T

](5.22)

for nao singular, calcule H = TB. A equacao (??), com as matrizes F , L e H

e um estimador de Tx(t), isto e, x(t) = T−1z(t). Se P for singular, escolha uma

matriz F (e/ou L) diferente e repita o procedimento.

O estimador e dado pelas relacoes:

z = Fz + Ly +Hu (5.23)

˙x =

[C

T

]−1 [y

z

](5.24)

Teorema 5.5 Se A e F nao possuem autovalores em comum, as condicoes necessarias

para que exista uma matriz T nao singular em TA− FT = LC sao:

• {A,C} observavel;

• {F, L} controlavel.

Para o caso SISO (q = 1) essas condicoes sao tambem suficientes.

�Prova: vide [12], pg. 359.

179


5.8 Realimentacao de Estados com Estimadores

• Vide [13], pg. 265.

Considere a equacao de estados n−dimensional:

x = Ax+Bu (5.25)

y = Cx (5.26)

Considere ainda o estimador de ordem (n−q) das equacoes (5.23) e (5.24). Calcula-se

a inversa de matriz P , equacao (5.22) e particiona-se essa inversa em

Q = [Q1 Q2]

sendo Q1 n× q e Q2 n× (n− q), ou seja:

QP = I[Q1 Q2

] [ C

T

]= Q1C +Q2T = I (5.27)

Assim o estimador de ordem (n− q) das equacoes(5.23) e (5.24) pode ser escrito como:

z = Fz + TBu+ Ly (5.28)

x = Q1y +Q2z (5.29)

Assim a realimentacao de estados pode ser dada por:

u = r −Kx = r −KQ1y −KQ2z

Substituindo nas equacoes (5.25), (5.26)e (5.28), tem-se:

x = Ax+B(r −KQ1Cx−KQ2z)

= (A− BKQ1C)x− BKQ2z +Br (5.30)

z = Fz + TB(r −KQ1Cx−KQ2z) + LCX

= (LC − TBKQ1C)x+ (F − TBKQ2)z + TBr (5.31)

180


Que, colocadas na forma matricial:[x

z

]=

[A− BKQ1C −BKQ2

LC − TBKQ1C F − TBKQ2

][x

z

]+

[B

TB

]r (5.32)

y =[C 0

] [ x

z

](5.33)

Estas equacoes descrevem o sistema realimentado da figura 5.5.

K�

planta�

Estimador�

Y�u�

X�^�

+�

-�

Figura 5.5: Configuracao para Realimentacao de Estados com Estimador

Seja a seguinte transformacao de equivalencia:[x

e

]=

[x

z − Tx

]=

[In 0

−T In−q

][x

z

]

Apos algumas manipulacoes e usando TA− FT = LC e (5.27), tem-se:[x

e

]=

[A− BK −BKQ2

0 F

][x

e

]+

[B

0

]r (5.34)

y = [C 0]

[x

e

](5.35)

essas duas equacoes acima mostram que o projeto do estimador e da realimentacao de

estados podem ser efetuados separadamente. Este e o conhecido prıncipio da sep-

aracao.

181


5.9 Interpretacao da Funcao de Transferencia

A duas subsecoes que se seguem apresentam a interpretacao, do ponto de vista da funcao

(matriz) de transferencia para o controlador via estimacao e realimentacao de estados.

5.9.1 Caso SISO

Considere o estimador de ordem n (vide teorema 5.4).

˙x = Ax(t) +Bu(t) + L(y(t) − Cx(t))

A interpretacao para funcao de transferencia e dada pelo seguinte lema.

Lema 5.1 A funcao de transferencia do estimador de estados acima possui as seguintes

propriedades:

1.

X(s) = (sI − A+ LC)−1(Bu(s) + Ly(s)) = T1(s)u(s) + T2y(s)

• Sendo T1 e T2 funcoes de transferencia dadas por:

T1 ≡ (sI − A+ LC)−1B (5.36)

T2 ≡ (sI − A+ LC)−1L (5.37)

(5.38)

• Note que T1 e T2 tem o denominador comum:

E(s) ≡ det(sI −A + LC) (5.39)

2.

X(s) = (sI − A)−1Bu(s) − f0(s)

E(s)

• Sendo f0(s) um vetor polinomial (em s) cujos coeficientes dependem linear-

mente das condicoes iniciais do erro x(t).

3.

T1(s) + T2(s)G0(s) = (sI −A)−1B

• Sendo G0(s) a planta nominal (modelo).

182


�A propriedade 2 do lema acima e conhecida como propriedade da nao-polarizacao

assintotica, uma vez que o termo f0(s)E(s)

vai a zero com uma taxa determinada pelos

polos do observador (raizes de E(s)). A interpretacao para a funcao de transferencia da

realimentacao de estados com estimador e dada pelo lema a seguir:

Lema 5.2 A lei da realimentacao de estados u = r −Kx pode ser escrita na forma de

funcao de transferencia como:

L(s)

E(s)u(s) = −P (s)

E(s)y(s) + r(s) (5.40)

sendo E(s) o polinomio definido em (5.39) e:

L(s)

E(s)= 1 +KT1(s) =

det(sI −A+ LC +BK)

E(s)(5.41)

eP (s)

E(s)= 1 +KT2(s) =

KAdj(sI −A)L

E(s)(5.42)

�A realimentacao de estados nao introduz dinamica adicional na malha, uma vez

que o esquema de realimentacao se baseia em um ganho proporcional de determinadas

variaveis. Pode-se determinar a funcao de transferencia da malha fechada como sendo:

y(s)

r(s)= C(sI − A+BK)−1B =

CAdj(SI − A+BK)B

F (s)(5.43)

com

F (s) ≡ det(sI − A− BK) (5.44)

Resultado da Algebra Linear

Lema 5.3 Dada uma matriz W ∈ n×n e um par de vetores arbitrarios φ1 ∈ n e

φ2 ∈ n, entao, desde que W e W + φ1φT2 sejam nao-singulares:

Adj(W + φ1φT2 )φ1 = Adj(W )φ1 (5.45)

φT2Adj(W + φ1φ

T2 ) = φT

2Adj(W ) (5.46)

�Aplicacao do lema acima na equacao (5.43) resulta em

CAdj(sI − A+BK)B = CAdj(Si−A)B (5.47)

183


O lado direito da expressao acima e o numerador B(s) de uma funcao G(s) = B(s)A(s)

.

Assim, enquanto que a realimentacao de estados aloca os polos na posicao desejada, ela

preserva os zeros da malha aberta.

Um resultado analogo ao do lema 5.2 e dado a seguir.

Lema 5.4 A funcao de transferencia entre r(s) e y(s) e dada por:

y(s)

r(s)=

B(s)

det(sI − A+BK)=B(s)

F (s)

sendo B(s) o numerador da funcao de transferencia (nominal) de malha aberta. P (s)

e L(s) sao ploinomios definidos em 5.41 e 5.42. F (s) e definido em 5.44.

�Prova:

A partir da equacao 5.40 e do modelo da planta G(s) = B(s)/A(s) tem-se que:

y(s)

r(s)=

B(s)E(s)

A(s)L(s) +B(s)P (s)(5.48)

Usando a equacao para o polinomio da malha fechada:

Acl(s) = det(sI − A+BK)det(si−A + LC)

juntamente com (5.48) tem-se que:

Acl(s) = det(sI −A +BK)det(si− A+ LC) (5.49)

= F (s)E(s) = A(s)L(s) +B(s)P (s) (5.50)

O resultado desejado e obtido usando (5.50) para simplificar (5.48). O lema acima

mostra que o problema de alocacao de polos possui uma interpretacao na teoria do

espaco de estados a partir da combinacao das ideias de realimentacao de estados e

estimacao.

Interpretacao

A combinacao do observador com a realimentacao de estados possui um interpretacao

simples do ponto de vista da malha padrao de controle. Da equacao ?? tem-se que:

u(s) =E(s)

L(s)

(r(s) − P (s)

E(s)y(s)

)(5.51)

184


Essa relacao e mostrada na figura 5.6 (a).

Uma segunda interpretacao advem da definicao de um sinal r(s), isto e assume-se

que o sinal r(s) e gerado a partir de r(s):

r(s) =P (s)

E(s)r(s) (5.52)

Assim pode ser escrita como

u(s) =P (s)

L(s)(r(s) − y(s)) (5.53)

A equacao 5.53 corresponde a figura 5.6 (b).

)�(�

)�(�

s�L�

s�P�)�(�s�G�

+�

-�

)�(�s�r� )�(�s�y�

)�(�

)�(�

s�L�

s�E�)�(�s�G�

)�(�

)�(�

s�E�

s�P�

+�

-�

)�(�s�r� )�(�s�y�

a)�

b)�

Figura 5.6: Teorema da separacao na abordagem entrada saıda (malha de controle padrao)

185


5.9.2 Caso MIMO

Para o caso MIMO o lema 5.1 ainda e valido, isto e, x(s) pode ser dado por:

x(s) = (sI − A+ LC)−1(Bu(s) + Ly(s)) = T1(s)u(s) = T2(s)y(s) (5.54)

sendo T1 e T2 duas matrizes de transferencia dadas por:

T1(s) ≡ (sI −A+ LC)−1B (5.55)

T2(s) ≡ (sI − A+ LC)−1L (5.56)

Assim a lei de controle baseada na realimentacao de estados estimados e dada por:

u(s) = r(s) −Kx(s) (5.57)

= −KT1(s)u(s) −KT2(s)y(s) + r(s); (5.58)

que pode ser escrita como:

CD(s)u(s) = −CN (s)y(s) + r(s) (5.59)

sendo CD e CN matrizes estaveis dadas por:

CD(s) = I +K[sI − A+ LC]−1B =NCD(s)

E(s)(5.60)

CN(s) = K[sI −A + LC]−1L =NCN(s)

E(s)(5.61)

com NCD(s) e NCN(s) matrizes polinomias e E(s) o polinomio do observador,

dado por:

E(s) = det(sI −A + LC)

A partir de (5.59) tem-se que [CD(s)]−1CN(s) e uma MFDE (LMFD) para o

controlador.

O controlador definido pelas equacoes (5.59) a (5.61) pode ser implementado via

representacao no espaco de estados (um grau de liberdade). Primeiramente define-se:

(vide equacao 5.52)

R(s) = CN (s)R(s) (5.62)

186


y(s)�

u(s)�)�(�s�r� )�(�s�v�o� )�(�s�w�o�

B�

ob�S� K�L�+�

-�

+�

-�

Figura 5.7: Representacao no espaco de estados de um controlador MIMO

A malha de controle e dada na figura 5.7.

Na figura 5.7 Sob o a matriz de transferencia do observador, definida pela realizacao

(Aob, Bob, Cob, Dob), sendo

Aob = A− LC; Bob = I; Cob = I; Dob = 0

A matriz de transferencia de vo(s) para wo(s) e dada por [sI − A+ LC]−1

A partir da figura 5.7 nota-se que:

u(s) = K[sI − A+ LC]−1(L(r(s) − y(s)) − Bu(s) (5.63)

Assim o controlador pode ser expresso por:

u(s) = [I +K[sI −A−A+ LC]−1B]−1K[sI − A+ LC]−1L(R(s) − y(s)) (5.64)

Que corresponde a LMFD dada por (5.60) e (5.60).

• Essa forma de se expressar o controlador permite a utilizacao dos conceitos de

observador e realimentacao de estados na representacao padrao de controle.

Resultados Adicionais

E possıvel tambem obter uma RMFD para o controlador. A partir do lema 6.3 segue-se

que:

[CD(s)]−1CN(s) = CN(s)[CD(s)]−1 (5.65)

sendo:

CD(s) = I − C(sI − A+BK)−1L =NCD(s)

F (s)(5.66)

CN(s) = K(sI − A+BK)−1L =NCN(s)

F (s)(5.67)

187


com NCD(s) e NCN (s) matrizes polinomiais e F (s):

F (s) = det(sI − A+BK)

Analogamente, usando 6.40 e 6.41, a planta G(s) pode ser expressa como:

G(s) = C[sI −A]−1B

= [GD(s)]−1GN(s) = GN(s)[GD(s)]−1 (5.68)

sendo:

GN(s) = C(sI − A+ LC)−1B (5.69)

GD(s) = I − C(sI − A+ LC)−1L (5.70)

GN(s) = C(sI − A+BK)−1B (5.71)

GD(s) = I −K(sI − A+BK)−1B (5.72)

(5.73)

Tem-se portanto o seguinte resultado.

Lema 5.5 As matrizes sensitividade e sensitividade complementares resultantes da lei

de controle (5.59) sao, respectivamente:

S(s) = CD(s)GD(s) = I −GN(s)CN(s) (5.74)

T (s) = GN(s)CN(s) = I − CD(s)GD(s) (5.75)

�bf Prova:

A partir do lema 6.3 (pagina 211) tem-se que:

GD(s)CD(s) + GN(s)CN(s) = CD(s)GD(s) + CN(s)GN(s) = I (5.76)

A partir do lema 5.5 nota-se que os polos de malha fechada sao alocados nos zeros de

E(s) e F (s), como no caso SISO.

188


5.10 Adendos: Definicoes e Teoremas

Definicao 5.2 Considere A com elementos reais. O polinomio mınimo de A e um

polinomio monico Δmin(s) de menor grau possıvel tal que Δmin(A) = 0

Teorema 5.6 Matrizes similares possuem o mesmo polinomio mınimo.

�

Definicao 5.3 Sejam λ1, λ2, . . . , λm autovalores distintos de A com multiplicidades n1, n2, . . . , nm,

respectivamente. O polinomio caracterıstico de A e dado por:

Δ(λ) ≡ det(λI − A) = Πmi=1(λ− λi)

ni

♦Seja uma matriz A e sua representacao na forma de Jordan:

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣A1 0 . . . 0

0 A2 . . . 0...

......

0 0 . . . Am

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

sendo que a matriz ni × ni Ai representa todos os blocos de Jordan associados a λi.

Definicao 5.4 A maior ordem entre os blocos de Jordan associados com λi em A e

denominada ındice de λi em A.

♦

Definicao 5.5 A multiplicidade de λi e denotada por ni. O ındice de λi e denotado

por ni.

♦

Teorema 5.7 O polinomio mınimo de A e:

Δmin(λ) = Πmi=1(λ− λi)

ni

sendo ni o ındice de λi em A.

�Prova: veja [12], pg. 47.

189


Definicao 5.6 Uma matriz A e dita ser cıclica se seu polinomio caracterıstico e igual

ao seu polinomio mınimo.

♦

Teorema 5.8 Uma matriz A e cıclica se e somente se a forma canonica de Jordan de

A possuir um e somente um bloco de Jordan a associado a cada autovalor distinto.

�

Teorema 5.9 Se {A,B} e controlavel e se A e cıclica entao, para quase todos vetores

reais p× 1 v, o par {A,Bv}, de entrada unica, e controlavel.

�

190


5.11 Controle LQG

Esta secao e baseada em [78], secao 9.2 e [37] Ainda no contexto de projeto de con-

troladores no espaco de estados, apresenta-se nesta secao os fundamentos do Controle

Linea Quadratico.

• Controle otimo, baseado na teoria de filtros de Wiener (1940)

• Filtro de Kalman

• LQG: Linear Quadratic Gaussian

• 1960: problemas voltados para otimizacao de trajetoria e consumo de combustıveis.

• Consideracoes:

1. Necessita do modelo da planta (modelos, em geral, sao incertos).

2. Perturbacoes modeladas como ruıdo branco. (hipotese pouco utilizada em

controle de processos)

3. Pouco roubusto.

4. Relacao com LQR = Linear Quadratic Regulator

• O nome LQG advem das caracterısticas do projeto: considera-se um modelo

linear, uma funcao de custo quadratica, e de uma perturbacao Gaussiana

(ruıdo branco com media zero e variancia dada).

5.11.1 LQG e LQR Padrao

No controle LQG “tradicional”, considera-se a planta linear e conhecida e que as per-

turbacoes presentes sao estocasticas com as propriedades estatısticas conhecidas, isto e,

tem-se o modelo:

x(t) = Ax(t) +Bu(t) + wd (5.77)

y(t) = Cx(t) + wn, (5.78)

191


sendo wd perturbacoes externas ao processo (ruıdo do processo)e wn ruıdo de medicao,

que sao sinais nao correlacionados, de media zero, com matrizes de densidade de potencia

espectral W e V constantes, ou seja wd e wn sao ruıdo branco com covariancias:

E{wd(t)wd(t)T} = Wδ(t− τ)

E{wn(t)wd(n)T} = V δ(t− τ)

e

E{wd(t)wn(t)τ} = 0 E{wn(t)wd(t)τ} = 0

sendo E o operador esperanca (valor esperado) e δ(t− τ) a funcao delta de Dirac.

O problema do controle LQG e encontrar o sinal de controle otimo, u(t), que mini-

miza:

J = E

{lim

T←∞1

T

∫ T

0

[xTQx+ uTRu

]dt

}, (5.79)

sendo Q e R matrizes de dimensoes compatıveis, constantes, com as seguintes carac-

terısticas:

Q = QT ≥ 0 e R = RT > 0

Elas sao as matrizes ponderacao (ou matrizes peso) e sao o grau de liberdade do projeto

(parametros de projeto).

Solucao para o Problema LQG

A solucao para o problema LQG, conhecida como Teorema da Separacao ou Princıpio

da Equivalencia Exata e simples e elegante. Ela (a solucao) e dividida em duas partes:

primeiro resolve-se o problema do LQR, isto e, encontra-se a solucao (isto e, o contro-

lador otimo) para o problema do regulador quadratico linear (determinıstico), LQR, que

e o problema LQG sem as perturbacoes wd e wn. A segunda parte da solucao e econtrar

o estado estimado (otimo), x, que minimiza E{[x− x]T [x− x]}.A solucao para o problema LQR pode ser dada em termos da lei de controle:

u(t) = Krx(t),

sendo Kr uma matriz constante, que nao depende de V e W (obviamente).

A solucao para o segundo problema, isto e, a estimacao otima para x, e dada por

uma “algoritmo”denominado Filtro de Kalman (na verdade e um estimador otimo), e

independe de Q e R.

192


A solucao para o problema LQG sera entao:

u(t) = −Krx(t)

A solucao do problema LQG, portanto, pode ser separada em duas partes distintas

e independentes, como mostra a figura 5.8.

Figura 5.8: Diagrama de blocos mostrando a estrutura do LQG a partir do teorema da

separacao.

.

A seguir apresentam-se as solucoes para Kr e para o Filtro de Kalman.

5.11.2 Realimentacao Otima de Estados

O problema LQR considera os estados conhecidos, isto e, busca-se a realimentacao

u = Kx otima para o sistema x = Ax +Bu, com estado inicial nao nulo x(0). Esse K

otimo e encontrado a partir da minimizacao da funcao de custo:

J =

∫ ∞0

[x(t)TQx(t) + u(t)TRu(t)]dt

Pode-se mostrar que a solucao otima para esse problema sera:

Kr = R−1BTX

193


sendo X = XT ≥ 0 a solucao unica, positiva semi-definida, para a equacao de Riccati:

ATX +XA−XBR−1BTX +Q = 0

A�

B�u�

int�

+�

+�+�

+�x�

dt�

d� ^�

y�^�

C�

+�

K�f�

x�^�

y�u�

x�^�

estimador = filtro de�kalman�

Figura 5.9: Diagrama de blocos mostrando a estrutura do estimador = filtro de Kalman.

5.11.3 Estimador Otimo de Estados

O estimador otimo sera dado pelo filtro de Kalman, cuja estrutura e dada na figura 5.9,

sendo Kf o ganho otimo. A equacao do estimador da figura 5.9 e dada por:

˙x = Ax+Bu+Kf(y − Cx)

O ganho otimo que minimiza

E{[x− x]T [x− x]},

e dado por:

Kf = Y CTV −1

sendo Y = Y T ≥ 0 a solucao unica, positiva semi-definida, para a equacao algebrica de

Riccati:

Y AT + AY − Y CTV −1CY +W = 0.

194


5.11.4 LQG = LQR + Kalman

Combinando as duas solucoes otimas dadas acima, isto e, Kr e Kf (o regulador mais

o filtro) obtem-se a solucao para o problema LQG, cuja funcao de custo, J e dada na

equacao 5.79. A estrutura do controlador (LQG) que satisfaz a otimalidade para J e

dada na figura 5.10. A funcao de transferencia entre y e u (assumindo uma realimentacao

positiva) e dada por:

KLQG(s) ≡[A− BKr −KfC Kf

−Kr 0

]

que por ser escrita como:

KLQG(s) ≡[A−BR−1BTX − Y CTV −1C Y CTV −1

−R−1BTX 0

]

A�

B�u�

int�

+�

+�+�

+�x�

dt�

d� ^�

y�^�

C�

Planta�

+�

K�f�

-K�f�

x�^�

x�^�

Figura 5.10: Diagrama de blocos mostrando a estrutura do estimador = filtro de Kalman

mais a do ”controlador”= LQG.

A funcao de tranferencia do controlador acima possui a mesma ordem da planta

(mesmo numero de polos).

195


5.11.5 Exemplo do Controlador LQG para um Sistema SISO

G(s) =3(−2s+ 1

(5s+ 1)(10s+ 1)

Para a funcao de custo J =∫

(xTQx + uTRu escolha Q = CTC (ponderar a saıda no

lugar dos estados) e R = 1. Considere W = wI, w = 1 (ruıdo do processo, diretamente

nos estados) e V = 1 (ruıdo de medicao). Considere o codigo a seguir:

num = [-2 1];ganho = 3;den = [50 15 1];

G = nd2sys(num,den,ganho); [A,B,C,D] = unpck(G);

q=1; Q = q.C’*C; R=1;

% realmentacao de estados otima

Kx = lqr(A,B,Q,R); Bnoise = eye(size(A));

W = eye(size(A)); V =1;

% estimador otimo (Kalman)

Ke = lqe(A,Bnoise,C,W,V);

[Ac,Bc,Cc,Dc] = reg(A,B,C,D,Kx,Ke); % combina o estimador com a realimentacao

Ks = pck(Ac,Bc,Cc,Dc);

%************************************************************************

% agora colocando um integrador na planta:

%************************************************************************

int = nd2sys(1,[1 0]);

G2 = mmult(G,int);

[A,B,C,D] = unpck(G2);

q=1; Q = q.C’*C; R=1;

% realmentacao de estados otima

Kx = lqr(A,B,Q,R);

Bnoise = eye(size(A));

W = eye(size(A)); V =1;

% estimador otimo (Kalman)

Ke = lqe(A,Bnoise,C,W,V);

[Ac,Bc,Cc,Dc] = reg(A,B,C,D,Kx,Ke); Ks = pck(Ac,Bc,Cc,Dc); Klqg = mmult(Ks,int,-1);

196


Figura 5.11: Diagrama de blocos do controlador com entrada referencia, r(t) para o sistema

5.11.6 LQG para Sistemas com Entrada r(t)

O controlador LQG para o sistema dado na figura 5.11 possui uma estrutura de um

controlador de dois graus de liberdade (2-DOF), isto e,

K(s) = [K1(s) K2(s)]

ou

K(s) = −Kr(sI − A+BKr +KfC)−1[B Kf ] + [I 0]

5.11.7 Exemplos e Exercıcios

Considere o modelo linear de um caca, com as variaveis:

• ϕ = angulo entre o eixo principal do caca (corpo do caca) e o eixo do curso (norte)

• vy = velocidade do caca na direcao y

• φ = roll angle (angulo de rolagem em torno do vetor velocidade)

• δa = aileron deflection

• δr = rudder deflection

Com os estados:

• x1 = vy

• x2 = p = taxa de variacao angular de φ

• x3 = r = taxa de variacao angular de retorno

197


• x4 = φ; x5 = ϕ; x6 = δ6; x7 = δr.

Para este sistema (vide [37], pg. 34 e 35), considere x = Ax+Bu+Naw, com:

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−0.292 8.13 −201 9.77 0 −12.5 17.1

−0.152 −2.54 0.561 −0.0004 0 107 7.68

0.0364 −0.0678 −0.481 0.0012 0 4.67 −7.98

0 1 0.0401 0 0 0 0

0 0 0 0 0 −20 0

0 1 0.0401 0 0 0 −20

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

B =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 −2.15

−31.7 0.0274

0 1.48

0 0

0 0

0 0

20 0

0 20

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Na =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0.292 0.001 0.97 0.0032

0.152 2.54 0.552 0.000043

−0.0364 −0.0688 −0.456 −0.00012

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

e

w =[w1 w2 w3 w4

]Tsendo:

• w1 = velocidade do vento atraves do caca;

• w2 = velocidade angular do vento ao longo do eixo ROLL;

• w3 = velocidade angular do vento ao longo do eixo TURNING;

• w4 = aceleracao do vento atraves do caca.

198


Exercıcio

Considere uma perturbacao com w1 dada pela variacao da figura 5.12. w4 e a derivada

de w1. Considere ainda w2 = w3 = 0.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10funcao w1

t

w1

Figura 5.12: Representacao temporal de w1

1. Obtenha o controlador LQR considerando Q = R = I (de dimensoes compatıveis).

2. Obtenha a resposta temporal para o w dado.

3. Repita os items 1 e 2 para Q e R dados por:

Q =

[1 0

0 10

]R = 0.1I;

4. Repita os items 1 e 2 para Q = I e R = 0.1I dados por:

5. Obtenha o controlador LQG, calculando o estimador, com V = W = I.

6. Simule a resposta temporal para o LQG do item anterior.

199

Capıtulo 6

Analise de Sistemas Multivariaveis

Realimentados

6.1 Introducao

6.1.1 Conceitos

• Sistemas Desacoplados Dinamicamente: malhas independentes.

• Sistemas Desacoplados por Faixa: a matriz de transferencia pode ser considerada

diagonal apenas em uma faixa de frequencia.

• Sistemas Desacoplados Estaticamente: Quando o sistema e diagonal apenas para

ω = 0.

• Sistemas Triangulares: a matriz de transferencia e triangular (superior ou inferior).

Nesse caso existe um acoplamento “hierarquico”.

• Sistemas Diagonalmente Dominantes (vide tambem [53] e [20])

200

Analise de Sistemas Multivariaveis Realimentados

Revisao das Tecnicas Frequenciais

Diversas tecnicas de analise de sistemas MIMO no domınio da frequencia.

• ”Escola Inglesa:”

– Matriz Inversa de Nyquist (INA, Inverse Nyquist Array)

– Lugares Caracterısticos (Characteristic Loci)

• Valores Singulares

– Generalizacao do grafico de Bode para sistemas MIMO.

• Loop Shaping

– Ferramenta de projeto baseada na tecnica SISO similar.

Sistemas Dominantes na Diagonal

Um sistema MIMO sera dominante na diagonal se suasm×m funcoes de transferencia

da matriz de transferencia H(s), m×m sao tais que:

|Hkk(jω)| >m∑

i=1;i�=k

|Hik(jω)| ∀ω ∈ R

201


6.2 Exemplo para Motivacao

y1(s) = g11(s)u1(s) onde g11(s) =2

s2 + 3s+ 2(6.1)

y2(s) = g22(s)u2(s) onde g22(s) =2

s2 + 5s+ 6(6.2)

Considere que para esses dois sistemas (independentes) sejam projetados contradores de

tal forma que seja obtida a mesma funcao sensitividade complementar para ambos, isto

e:

To1(s) = To2(s) =9

s2 + 4s+ 9

Para tanto, os respectivos controladores sao:

c1(s) =4.5

s2 + 3s+ 2s(s+ 4) e c2(s) =

1.5(s2 + 5s+ 6)

s(s+ 4)(6.3)

(Esses controladores foram calculados a partir da funcao sensitividade complementar

desejada). Considere agora que exista acoplamento entre esses sistemas, isto e, que o

sistema dado por (6.1) e (6.2) seja modificado para:

y1(s) = g11(s)u1(s) + g12(s)u2 (6.4)

y2(s) = g21(s)u1(s) + g22(s)u2 (6.5)

(6.6)

sendo as ”funcoes de acoplamento”dadas por:

g12(s) =k12

s+ 1e g21(s) =

k21

s2 + 2s+ 1(6.7)

sendo que k12 e k21 sao parametros usados para variar o grau da interacao. Por exemplo,

para valores pequenos de k12 e k21 (k12 = 0, 1 e k21 = 0, 1, entao os efeitos da interacao

podem ser desprezados. Vide figura 6.1.

202


Figura 6.1: Efeitos de uma interacao fraca, para um projeto SISO

• Os resultados mostrados na figura 6.1 sugerem que, nesse exemplo, (com k12 = 0, 1

e k21 = 0, 1), um projeto SISO sera suficiente para satisfazer os requisitos de

controle.

Considere agora k12 = −1 e k21 = 0, 5. Para examinar os efeitos da interacao (crosstalk),

simula-se o sistema MIMO para uma entrada degrau em t = 1s na malha 1 (r1) e um

degrau (negativo) em t = 10s, na malha 2. Vide figura 6.2.

Figura 6.2: Efeitos de uma interacao forte, para um projeto SISO

203


• A figura 6.2 mostra que uma mudanca na referencia de uma malha afeta signifi-

cantemente outra malha.

• Se k12 = −2 e k21 = −1, o sistema se tornaria instavel.

• A instabilidade advem da interacao entre as malhas.

• Nesse caso, mostra-se quao inadequado e o projeto de sistemas MIMO por tecnicas

SISO.

Para se ter uma ideia melhor da interacao, e interessante obter relacoes que quantificam

o sistema MIMO. [y1(s)

y2(s)

]=[(I + go(s)c(s))

−1go(s)c(s)] [ r1(s)

r2(s)

](6.8)

sendo:

go(s) =

[g11(s)c1(s) g12(s)c2(s)

g21(s)c1(s) g22(s)c2(s)

]

c(s) =

[c1(s) 0

0 c2(s)

]

Se se considera k12 = −2 e k21 = −1, e substituindo (6.1), (6.2) e (6.7) e (6.8), tem-se

que [(I + go(s)c(s))−1go(s)c(s)] e dada por:

1

d(s)

[9s4 + 40, 5s3 + 67s2 − 18s− 81 −3s65 − 30s4 − 105s3 − 150s2 − 72s

−4, 5s4 − 31, 5s3 − 63s62 − 36s 9s4 + 40, 5s3 + 67s2 − 18s− 81

](6.9)

sendo:

d(s) = s6 + 10s5 + 51s4 + 134s3 + 164s2 + 18s− 81

A seguir apresentam-se alguns comentarios a respeito desses resultados:

• O sinal de acomplamento na malha 1 (2), dado por g12(s)u2(s) (respectivamente,

g21u1(s)) aparece como se fosse uma perturbacao de entrada. Entretanto, ela nao

pode ser tratada como tal, ja que ele nao e um sinal independente dos outros sinais

da malha.

• Apesar de projetos de malha independentes garatirem a estabilidade da referida

malha (para a qual foi projetada), quando se introduz a interacao, pode ocorrer

estabilidade no sistema MIMO.

204


• Para se averiguar a establidade (sua existencia ou nao), deve-se utilizar um modelo

MIMO. No exemplo anterior, com k12 = −2 e k21 = −1. observa-se que as quatro

funcoes de malha fechada em (6.9) possuem um denominador comum, d(s) e que

esse e instavel.

• Se k12 = 0 (ou k21 = 0) entao go(s) se torna uma matriz triangular inferior (ou

superior). Nesse caso, em qualquer dessas duas configuracoes, o denominador das

quatro funcoes de transferencia, se torna o numerador de:

det (1 + g11(s)c1(s)) det (1 + g229s)c2(s))

• Assim, se as malhas sao estabilizadas independentemente e os termos de acopla-

mento (nao nulos) sao estaveis, entao o sistema (completo) e estavel. Essa pro-

priedade faz com que a configuracao “triangular”seja de interesse em sistemas

MIMO.

• Se se observa os numeradores do termo da diagonal de 6.9, para k12 = −2 e

k21 = −1, pode-se observar que existem raızes no SPD (Semi-Plano Direito). Isto

significa que o sistema pode exibir comportamento de fase nao mınima, embora

nenhuma das funcoes SISO que o compoe possui zeros no SPD.

205


6.3 A Malha MIMO Padrao

• Serao considerados sistemas quadrados (matrizes n× n), isto e sistemas nos quais

o vetor de entrada possui o mesmo numero de elementos que o vetor de saıda).

• Considera-se tambem que todas as matrizes de transferencia sao nao-singulares

“em quase todos os pontos”, isto e sao matrizes nao-singulares, exceto em um

numero finito de zeros. (lembre-se que zero de uma matriz e o que a faz “perder

rank”).

• Parte-se da denominada big picture.

6.4 Especificacoes de Desempenho Baseadas nas Funcoes

Sensitividade

As funcoes sensitividade podem ser definidas a partir das relacoes entre entradas e saıdas

do sistema de controle da figura 9.7, onde se considera um sistema LTI, G(s), controlado

por K(s) e com as entradas r, de referencia, d, uma perturbacao na saıda da planta, v

uma perturbacao na entrada da planta, ambas de baixa frequencia e η um ruıdo de alta

frequencia.

K�+�

+�

+�-�

G�

d�

y�r�

v�

e� w� u�+�

+�

η®+�

+�

Figura 6.3: Diagrama para Especificacoes das Funcoes Sensitividade

Para esse sistema, as relacoes entrada/saıda podem ser expressas pelas equacoes (9.7)

206


a (9.10), a seguir.

y = (I +GK)−1GKr + (I +GK)−1d+G(I +KG)−1v − (I +GK)−1GKη(6.10)

w = K(I +GK)−1r −K(I +GK)−1d+KG(I +KG)−1v −K(I + GK)−1η(6.11)

u = K(I +GK)−1r −K(I +GK)−1d+ (I +KG)−1v −K(I +GK)−1η (6.12)

e = (I +GK)−1r − (I +GK)−1d+G(I +KG)−1v − (I +GK)−1η (6.13)

• Em geral, as especificacoes de desempenho usuais sao: boa resposta tipo rastrea-

mento (tracking), boa atenuacao das perturbacoes (d e v) e do ruıdo (η), erro em

estado estacionario nulo.

• Essas funcoes de malha fechada serao referenciadas, genericamente como sendo as

funcoes (ou matrizes) sensitividade. A tabela 9.1 apresenta a definicao de algumas

funcoes sensitividade.

Funcao Formula Relacao E/S

entrada saıda

Sensitividade na saıda da planta So(s) = (I +GK)−1 r e

d y

Sensitividade na entrada da planta Si(s) = (I +KG)−1 v u

Sensitividade na entrada do controle Sk(s) = KSo v u

Sensitividade Complementar na saıda da planta To(s) = GKSo = I − So r y

Sensitividade Complementar na entrada da planta Ti(s) = KGSi = I − Si v u

Tabela 6.1: Definicao das funcoes sensitividade em relacao aos sinais de entrada e saıda de

um sistema de controle padrao. No decorrer do texto as funcoes So(s) e To(s) serao tratadas

como S(s) e T (s) (por serem as mais usadas). Em geral, pelo contexto, e possıvel distinguir

entre as funcoes utilizadas.

• Um fato importante quando da utilizacao das funcoes S(s) e T (s) para projetos e a

existencia de compromissos (algebricos e analıticos) entre essas funcoes [31, 75, 78].

Por exemplo, e interessante atentar para os compromissos advindos da relacao

S(s)+T (s) = I. Tal relacao leva a conclusao, por exemplo, de que a especificacao

T (s) = 1, requerida para se ter y = r, equivale a se ter S = 0, ou ainda que

minimizacao de ||S(s)||∞ e conflitante com a minimizacao de ||T ||∞ na mesma

faixa de frequencia, por exemplo.

207


• O conhecimento das relacoes das funcoes sensitividade com o comportamento do

sistema (seja no domınio do tempo ou da frequencia) e de suma importancia no

projeto MIMO

Caracterısticas da Funcoes S(s) e T (s)

10−1

100

101

102

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

frequencia (rad/s)

|L(jw

)| (

dB)

L(jω)

l(ω)

u(ω)

ωl

ωh

baixas frequências

altas frequências

cross

over

Resposta em freqüência típica de L(ω)

Figura 6.4: Diagrama tıpico para L(jω) especificando diferentes regioes de ganho para L(s)

em funcao da frequencia.

Em geral, podem-se definir tres regioes para a especificacao de S(s) e T (s) (vide

figura 9.6).

Na regiao de baixas frequencias deve-se requerer boa rejeicao a perturbacoes de

carga e boa resposta para rastreamento, logo a sensitividade deve ser reduzida. Em

altas frequencias a sensitividade complementar deve ser reduzida para atenuar efeito de

ruıdos de medicao. Na regiao da frequencia de cruzamento de ganho, onde ||L(jω)|| ≈ 1

nada se pode inferir sobre S(s) ou T (s) a nao ser relacoes para a taxa de variacao ou

decaimento (taxa de roll off ). Neste caso, como na especificacao para L(s), deve-se

atentar, na regiao de cruzamento de ganho, para a taxa de variacao de S(s) e T (s)

(variacao em dB’s por decada).

6.4.1 Definicao das Funcoes Sensitividade

• G(s) e a planta (real). G0(s) e o modelo (nominal). Espera-se (caso ideal) que

G0(s) = G(s).

208


S0(s) = [I +G0(s)C(s)]−1 (6.14)

T0(s) = G0(s)C(s)[I +G0(s)C(s)]−1 = [I +G0(s)C(s)]−1G0(s)C(s) (6.15)

= I − S0(s) (6.16)

Su0(s) = C(s)[I +G0(s)C(s)]−1 = C(s)S0(s) = [G0(s)]−1T0(s) (6.17)

Si0(s) = [I +G0(s)C(s)]−1G0(s) = G0(s)[I + C(s)G0(s)]−1 = S0(s)G0(s)(6.18)

As relacoes dessas funcoes na malha sao dadas nas equacoes (9.7) a (9.10) e repetidas a

seguir por conveniencia.

Y (s) = T0(s)R(s) − T0(s)η(s) + S0(s)D(s) + Si0(s)V (s) (6.19)

U(s) = Su0(s)R(s) − Su0(s)η(s) − Su0(s)D(s) − Su0(s)V (s) (6.20)

E(s) = S0(s)R(s) − S0(s)η(s) − S0(s)D(s) − Si0(s)V (s) (6.21)

(6.22)

• As relacoes “ideiais”, a partir do modelo nominal G0(s), podem ser substituıdas

pela real, que faz uso do sistema “real”, G(s).

S(s) = [I +G(s)C(s)]−1 (6.23)

T (s) = G(s)C(s)[I +G(s)C(s)]−1 = [I +G(s)C(s)]−1G(s)C(s) (6.24)

= I − S(s) (6.25)

S(s) = C(s)[I +G(s)C(s)]−1 = C(s)S(s) = [G(s)]−1T (s) (6.26)

S(s) = [I +G(s)C(s)]−1G(s) = G(s)[I + C(s)G(s)]−1 = S(s)G(s) (6.27)

• Repare que as matrizes, em geral, nao comutam.

6.5 Estabilidade do Sistema em Malha Fechada

• Em geral sistemas MIMO sao estaveis se todos seus polos estao em uma regiao

especıfica (de estabilidade), isto e, o cırculo unitario para sistemas discretos e o

SPE (Semi-Plano Esquerdo) para sistemas contınuos.

209


• Porem, conexoes entre sistemas pode resultar em novos sistemas, que podem ser

instaveis. E o caso de haver “modos escondidos”, isto e, instabilidade interna. Isso

ocorre no caso de haver cancelamento de polos e zeros instaveis.

Lema 6.1 ([39]) Considere a malha de controle (nominal) da figura 9.7. Essa malha

sera internamente estavel se e somente se as quatro funcoes sensitividade definidas em

(6.14) a (6.18) forem estaveis.

Prova:

Se todas as entradas, isto e, r(t), d(t), v(t) e η(t) sao limitadas, entao, nota-se que, a

partir de (6.19) e (6.21) que a estabilidade das quatro funcoes sensitividade e necessaria

apra se ter saıdas limitadas (y(t), u(t), e(t)). Nota-se tambem que esta condicao e

suficiente, desde que Su0(s)G0(s) = [G0(s)]−1T0(s)G0(s) e estavel se e somente se T0(s)

e estavel. �

Estabilidade via MFD

A estabilidade tambem pode ser expressa usando-se MFD (matrix fraction description)

(vide capıtulo ??. Considere as descricoes RMFD e LMFD para a planta e o controlador.

G0(s) = G0N(s)[G0D(s)]−1 = [G0D(s)]−1G0N(s) (6.28)

C(s) = CN(s)[CD(s)]−1 = [CD(s)]−1CN(s) (6.29)

Entao, as funcoes de transferencia dadas em (6.19) a (6.21) podem ser reescritas como:

S0(s) = CD(s)[G0D(s)CD(s) + G0N(s)CN(s)]−1G0D(s) (6.30)

T0(s) = G0N (s)[CD(s)G0D(s) + CN(s)G0N (s)]−1CN(s) (6.31)

Su0(s) = CN(s)[G0D(s)CD(s) + G0N(s)]−1G0D(s) (6.32)

Si0(s) = CD(s)[G0D(s)CD(s) + G0N(s)CN(s)]−1G0N (s) (6.33)

Su0(s)G0(s) = CN(s)[G0D(s)CD(s) + G0N(s)CN(s)]G0N (s) (6.34)

• Importante notar que as matrizes G0N (s), G0D(s), CN(s) e CD(s) sao matrizes

polinomiais ou matrizes cujos elementos sao funcoes racionais estaveis.

• Assim o lema 6.1 pode ser apresentado como o lema 6.2, a seguir.

210


Lema 6.2 ([39]) Considere uma malha de realimentacao MIMO um DOF (grau de

liberdade, Degrre of Freedom), como mostrado na figura 9.7. A planta nominal e o

controlador sao expressos em MFD (Matrix Fraction Description) como na equacao

(6.28). Entao a malha nominal sera estavel se e somente se a matriz caracterıstica

da malha fechada, Acl dada por:

Acl(s) ≡ G0D(s)CD(s) + G0N(s)CN(s), (6.35)

tiver todos seus (Smith-McMilan) zeros estritamente no SPE.

�

Comentario 6.1 (Estabilidade MIMO × SISO)

• Note que a funcao da matriz Acl, para sistemas MIMO, e a mesma do polinomio

caracterıstico, em sistemas SISO.

• Considere que a MFD do modelo da planta seja construıda usando um observador

e uma realimentacao de estados. Entao, no lema 6.3 mostra-se que Acl(s) = I e

portanto o sistema de controle em malha fechada e estavel.

O lema seguinte esta relacionado com a Igualdade de Bezout.

Lema 6.3 ([39]) Sempre existira uma RMFD e uma LMFD para um sistema que tenha

a seguinte propriedade da fatoracao coprima:

[CD(s) CN(s)

−GN(s) GD(s)

][GD(s) −CN(s)

GN(s) CD(s)

]=

[GD(s) −CN(s)

GN(s) CD(s)

][CD(s) CN(s)

−GN (s) GD(s)

]= I

sendo

CN = K[sI − A+BK]−1J (6.36)

CD = I + C[sI − A+BK]−1J (6.37)

CN(s) = K[sI − A+ JC]−1J (6.38)

CD(s) = I +K[sI −A+ JC]−1B (6.39)

211


e

GN(s) = C[sI − A+BK]−1B (6.40)

GD = I −K[sI − A+BK]−1B (6.41)

GN(s) = C[sI − A+ JK]−1B (6.42)

GD(s) = I − C[sI − A+ JC]−1J (6.43)

Essas matrizes estao associadas ao sistema:

x(t) = Ax(t) +Bu(t) (6.44)

y(t) = Cx(t), (6.45)

e ao observador

˙x(t) = Ax(t) +Bu(t) + J(y(t) − Cx(t)) (6.46)

y(t) = Cx(t) + v(t), (6.47)

�Um lema importante e dado a seguir:

Lema 6.4 Uma RMFD, G(s) = GN(s)G−1D (s) e irredutıvel se as suas matrizes GN (s)

e GD sao coprimas a direita.

�Quando uma RMFD e irredutıvel tem-se que:

• s = z e um zero de G(s) se e somente se GN(s) perde rank em s = z.

• s = p e um polo de G(s) se e somente se GD(s) e singular em s = p. Isto significa

que o polinomio dos polos de G(s), φ(s) e dado por φ(s) = det[DD(s)].

Uma outra forma de analisar a estabilidade MIMO e atraves da analise de Nyquist

vide capıtulos ?? e ??. Se se assume que podem ocorrer apenas cancelamentos de polos

e zeros estaveis (quando da realimentacao), entao a estabilidade interna da malha

nominal e garantida desde que S0(s) seja estavel.

212


6.6 Revisao dos Conceitos sobre Analise de Nyquist

6.6.1 Notacao e Conceitos

Introducao a Teoria de Estabilidade no Domınio da Frequencia para Sistemas

MIMO

Considera-se um sistema MIMO linear, invariante no tempo com l entradas e m saıdas,

(sera abordardo o caso particular com l = m), mostrado na figura 6.5.

K(s)�+�

-�

R(s)�Y(s)�

G(s)� L(s)�

F�

E(s)� U(s)�

Figura 6.5:

G(s) e uma matriz de transferencia que descreve o sistema nao controlado, K(s),

L(s) e F sao matrizes que nao possuem zeros no semiplano direito. Todas as matrizes

sao m ×m e todos os vetores (r, y, eeu) sao m × 1. A relacao entrada saıda em malha

fechada pode ser dada por:

y = Hr

y = L(s)G(s)K(s)e

= L(s)G(s)K(s)r − L(s)G(s)K(s)Fy

Assim:

(I + L(s)G(s)K(s)F )y = (L(s)G(s)K(s))Fy

logo y pode ser expresso por:

y = (I +Q(s)F )−1Q(s)r (6.48)

213


sendo Q(s) = L(s)G(s)K(s). A partir de 6.48 tem-se que:

y =Adj(I +Q(s)F )

|I +Q(s)F | , (6.49)

sendo que usa-se a notacao |M(s)| para o determinante de M(s).

Assume-se que |Q(s)| �= 0, |L(s)| �= 0, |K(s)| �= 0 e |G(s)| �= 0.

6.6.2 Estabilidade do Sistema

Nessa secao sera estudada a estabilidade do sistema MIMO de forma semelhante a analise

para sistemas SISO: utilizando a matriz de transferencia. A equacao 6.48 apresenta a

relacao em malha fechada de um sistema MIMO, cuja Matriz de Transferencia de

Malha Fechada , H(s), e dada por:

H(s) = (I +Q(s)F )−1Q(s) (6.50)

Tomando-se o determinante em ambos lados da equacao (6.50), obtem-se a relacao:

|H(s)| = |(I +Q(s)F )−1Q(s)| = |(I +Q(s)f)−1||Q(s)| (6.51)

|I +Q(s)F | =|Q(s)||H(s)| (6.52)

• Para as matrizes acima, a notacao | | indica determinante da respectiva matriz.

Usar-se-a essa notacao, juntamente com a forma usual, det[M(s)].

Fazendo-se analogia entre sistemas MIMO e SISO, pode-se observar que a funcao

|I+Q(s)| da equacao 6.52 e semelhante a ao polinomio caracterıstico1, p(s) = (1+q(s)f)

de sistemas SISO.

A estabilidade de sistemas SISO (e analogamente MIMO) e investigada atraves do

comportamento dessa funcao: O sistema em malha fechada e assintoticamente estavel

se todos seus polos estiverem no semiplano esquerdo aberto no plano complexo

Quando q(s)f e estritamente propria, a funcao caracterıstica se torna uma relacao

de polinomios:

1 + q(s)f =Πm

i=1(s− α′i)

Πni=1(s− αi)

=clcp

olcp(6.53)

1tambem chamada de funcao caracterıstica

214


onde α′i sao os polos de malha fechada e αi os polos de malha aberta. O numerador

na equacao (6.53) e o polinomio caracterıstico de malha fechada (clcp, Close

Loop Characteristic Polinomial) ja que suas raizes sao os polos de malha fechada do

sistema. O denominador e o polinomio caracterıstico de malha aberta (olcp, “Open

Loop Characteristic Polinomial”) ja que suas raizes sao as raizes de q(s), a funcao de

transferencia de malha aberta.

Caso MIMO

Para o caso MIMO tem-se uma relacao semelhante, isto e:

|I +Q(s)F | =|Q(s)||H(s)| =

Πmi=1(s− α

′i)

Πni=1(s− αi)

=clcp

olcp(6.54)

onde novamente, α′i sao os polos de malha fechada e αi os polos de malha aberta. Da

mesma forma, o sistema de malha fechada e assintoticamente estavel se todos os polos

estiverem no semiplano esquerdo.

• Ainda, para a equacao 6.54 e possıvel interpretar o significado dos polinomios do

numerador e denominador [20]: analogamente ao caso SISO, o denominador do

determinante da equacao (4.5) e o olcp (open-loop characteristic polynomial) e o

numerador do determinante e o clcp (close-loop characteristic polynomial).

• Essa equacao fornece uma relacao fundamental entre o comportamento de malha

fechada e de malha aberta de um sistema multivariavel. A partir dela e realizado

o teste de estabilidade de Nyquist do sistema.

6.6.3 Criterio de Estabilidade de Nyquist para sistemas MIMO

• A equacao 6.54 fornece uma relacao de polinomios em s, que sera chamada de

R(s).

• Assume-se que os polos de malha aberta, α, sao conhecidos, mas os de malha

fechada, α′nao.

• Note que para sistemas SISO, R(s) e dado pela relacao (1+q(s)f) e para sistemas

MIMO, por det(I +Q(s)F ) . O criterio de Nyquist afirma que:

215


Criterio de Nyquist

Definicao 6.1 (Criterio de Nyquist)

“Seja R(s) uma razao de polinomios em s. Seja p o numero de polos e z o numero

de zeros de R(s) que estao dentro de um contorno fechado no plano s, levando-se em

conta a multiplicidade. Seja um contorno fechado tal que nao passe por nenhum polo

ou zeros de R(s). A funcao complexa R(s) mapeia o contorno fechado D do plano s

para um contorno fechado D′no plano complexo ×�. O numero de envolvimentos no

sentido horario da origem no plano imagem, enquanto um ponto percorre o contorno D

no sentido horario e igual a z − p.”

Para sistemas que nao possuem polos de malha aberta no semiplano direito, o teo-

rema de Nyquist se reduz, tanto para sistemas SISO quanto para sistemas MIMO, a

seguinte afirmacao:

“Seja o contorno de R(s) tracado quando s caminha no sentido horario em torno de

D no plano s. Se o caminho de s envolve a origrm NR vezes entao o sistema de malha

fechada sera estavel se e somente se:

NR = −p (6.55)

• Sendo que R(s) para o caso MIMO e uma razao de polinomios.

• Para o caso MIMO, portanto avalia-se a estabilidade a partir da razao de polinomios

determinada pela equacao 6.54.

• Seja NQ e NH o numero de envolvimentos da origem por det(Q(s)) e det(H(s)),

respectivamente. Sendo NR o numero de envolvimentos da origem pelo polinomio

R(s), pode-se expressar (6.55) como:

NQ −NH = −p (6.56)

NH −NQ = p (6.57)

pois, sendo R uma razao de polinomios complexos (isto e, polinomios em s, com s

complexo) o envolvimento pela origem (ou de outro ponto) pela razao e igual a envolvi-

mento do seu numerador menos os envolvimentos de seu denominador.

• A partir da equacao (6.50), e possıvel encontrar uma relacao entre as funcoes Q e

H que possibilita a definicao do metodo INA.

216


De (6.50) tem-se:

H(s) = (I +Q(s)F )−1Q(s)

H−1(s) = [(I +Q(s)F )−1Q(s)]−1 = Q−1(s)(I +Q(s)F )

H−1(s) = Q−1 + F (6.58)

A equacao (6.58) e uma relacao simplificada entre H(s) e Q(s). Na literatura e

comum denominar as matrizes inversas como:

Q−1(s) = Q e H−1(s) = H

Usando esta notacao, as equacoes (6.52) e (6.54) podem ser re-escritas:

clcp

olcp=

|Q(s)||H(s)| =

|H(s)||Q(s)| (6.59)

Usando (eq:relacaoHQhat) com as matrizes inversas de NQ e NH tem-se que:

NH − NQ = −p0

(6.60)

NQ − NH = p0

Assim, a partir das inversas de Q e H a relacao de estabilidade e tambem estabele-

cida.

A conveniencia de se trabalhar, com Q e H reside no fato de se ter uma equacao

como a (6.60) para se estabelecer o criterio de Nyquist.

217


6.7 Analise Frequencial

∞®®®r�

σ®

j�ω®

Figura 6.6: Contorno de Nyquist

A figura 6.6 esta relacionada com o Teorema de Nyquist, dado a seguir.

Teorema 6.1 Se uma funcao de malha aberta, propria G0(s)C(s) possui P polos no

RHP aberto, e nenhum em cima do eixo imaginario, entao a malha fechada possuira Z

polos no RHP aberto se e somente se o grafico polar de G0(jω)C(jω) envolver o ponto

(−1, 0), no sentido antihorario, N = Z − P vezes.

�Considere agora a funcao F0(s) definida como:

F0(s) = det(I +G0(s))C(s) = Πmi=1(1 + λi(s)) (6.61)

sendo λi(s) (i = 1, 2, . . . , m) os autovalores de G0(s)C(s).

• O grafico (polar) de λi(jω) no plano complexo, e denominado lugares carac-

terısitcos (characteristic loci).

• Comparando-se as equacoes (6.61) e (6.14) nota-se que S0(s) sera estavel se e

somente se todas as raızes de F0(s) estiverem (estritamente) dentro do RHP.

• Se o contorno de Nyquist Cs = Ci ∪ Cr, mostrado na figura 6.6 e utilizado, entao

tem-se o seguinte teorema, que foi adaptado do teorema de Nyquist (teorema 6.1):

218


Teorema 6.2 Se um matriz de transferencia de malha aberta G0(s)C(s) possuir P

polos no RHP (aberto), entao a malha fechada tera Z zeros no RHP se e somente se o

tracado (polar) que descreve a combinacao de todos os lugares caracterısticos (ao longo

de todo o tracado de Nyquist), envolve o ponto (−1, 0), no sentindo horario, N = Z−Pvezes.

�PROVA:

Observa-se primeiramente que, desde que F0(s) e propria, entao Cr (no plano-s) mapeia

s em F0, o que significa que deve-se atentar ao mapeamento no eixo imaginario, Ci.

Sobre essa curva:

∠F0(jω) =

m∑i=1

∠1 + λi(jω)

Assim, qualquer alteracao no angulo de F0(jω) e resultado de combinacoes nas alteracoes

de fase nos temos (1 + λ1(jω)) �

6.7.1 Analise de Nyquist para Estabilidade de Sistemas MIMO

• Analise frequencial: tecnica bastante usada na decada de 70 (Escola Inglesa).

Conceitos de lugar caracterıstico ou lugar dos autovalores.

• Ao inves de se tracar o diagrama de Nyquist para det[G(s)H(s)], traca-se o lugar

caracterısticos dos autovalores de G(s)H(s).

• Isto e:

det[I + kG(s)] = Πi[1 + kλi(s)]

219


6.8 Resposta em Regime Estacionario para Entrada

Degrau

• Se o sistema de malha fechada e estavel, pode-se avaliar o valor da saıda em regime

estacionario (para entradas limitadas).

• Nessa secao, considera-se referencia e perturbacoes como sinais degraus, isto e:

R(s) = Kr1

sDi(s) = Kd1

1

sD0(s) = Kdo

1

s(6.62)

• sendo Kr ∈ Rm, Kdi ∈ Rm e Kdo ∈ Rm vetores constantes.

• Todos esses sinais atingem um valor constante em regime.

• Esses valores podem ser calculados com as equacoes (6.19) - (6.21), usando o

teorema do valor final:

limt→∞

y(t) = To(0)Kr + So(0)Kdo + Sio(0)Kdi (6.63)

limt→∞

u(t) = To(0)Kr + So(0)Kdo + Sio(0)Kdi (6.64)

limt→∞

e(t) = To(0)Kr + So(0)Kdo + Sio(0)Kdi (6.65)

Considerando o Efeito de R(s) em E(s)

Lema 6.5 Considere um malha MIMO estavel, como na figura 9.7. Assume-se que a

referencia R(s) e um vetor como mostrado em (6.62). O erro em estado estacionario no

i−esimo canal, ei(∞), sera zero se a i-esima linha de So(0) for zero. Nessas condicoes,

a i−esima linha de To(0) e o vetor ei = [0 . . . 0 1 0 . . . 0]T .

�

220


6.9 Analise no Domınio da Frequencia - Extensao

ao Bode

• Ferramenta util tambem para sistemas MIMO.

• Faz uso dos valores singulares (vide ??, secoes ?? e ??).

221


6.9.1 Rastreamento

222


6.9.2 Introducao a Robustez

223


6.10 Exercıcios

Exercıcio 1

Considere uma planta nominal G0(s) e um controlador diagonal, C(s) dados por:

G0(s) =

[2

s+11

(s+1)(s+2)1

(s+1)(s+2)2

(s+2)

]C(s) =

[2s

0

0 1s

]

Verifique se o sistema em malha fechada sera estavel.

Exercıcio 2

Considere uma planta nominal cuja Matriz Senstividade Complementar, T0(s) e dada

por:

T0(s) =

[9

(s2+5s+9)−s

(s2+5s+9s)s

(s2+5s+9)3(s+3)

(s2+5s+9s)

]C(s) =

[2s

0

0 1s

]

A malha possui uma entrada de perturbacao do(t) dada por:

do(t) =

[K1sen(ωdt+ α1)

K2sen(ωdt+ α2)

]

Determine a frequencia ωd, a razao K1/K2 e a diferenca α1−α2 para maximizar a norma

Euclidiana do erro estacionario, ||E||2.

224

Capıtulo 7

Restricoes Fundamentais e Limites

para o Desempenho e Compromissos

7.1 Introducao

225

Restricoes Fundamentais e Limites para o Desempenho e Compromissos

7.2 Controlabilidade Entrada-Saıda

Com objetivo de apresentar regras para analise de sistemas lineares, Skogestad [78]

cunhou o termo Controlabilidade Entrada/Saida, (em oposicao ao termo contro-

labilidade, usado na abordagem no espaco de estados e que depende das matrizes A e

B).

A Controlabilidade Entrada-Saıda pode ser assim definida:

Definicao 7.1 ([78])

Controlabilidade Entrada-Saıda e a habilidade de se obter um desempenho aceitavel para

o sistema de controle, ou seja, manter a saıda, y, dentro de limites especificados, em

relacao a referencia, r, mesmo na presenca de perturbacoes d ou variacoes da planta,

usando sinais de entrada adequados, u, e medicoes aceitaveis (ym e dm).

♦

• Assim, uma planta sera controlavel (entrada-saıda) se existir um controlador (alem

e claro de instrumentos de medida e atuadores compativeis) que resulte em um

desempenho razoavel para a malha fechada, a despeito de variacoes e perturbacoes.

• A controlabilidade (entrada-saıda) como definida acima e uma propriedade da

planta e independe do controlador.

• A analise de controlabilidade (entrada-saıda) e aplicada a planta para verificar

qual o desempenho (da malha controlada) pode ser obtido.

• Os metodos para essa analise sao, em sua maioria, quantitativos.

7.3 Regras para Analise da Controlabilidade Entrada-

Saıda

A sguir sao apresentadas algumas regras para avaliar se um dado sistema MIMO e

controlavel no sentido entrada-saıda [78], pg. 246, 247. Considere um sistema MIMO

G(s) l × r.

1. Normalize todas as variaveis (isto e, coloque-as em escalas compatıveis), entradas,

u, saıdas y, perturbacoes, d e referencias, r) para obter um modelo normalizado.

226


2. Obtenha uma realizacao mınima.

3. Verifique a Controlabilidade Funcional. Para que seja possıvel controlar as

saıdas independentemente, e necessario, antes de mais nada, que se tenha, pelo

menos o mesmo numero de entradas e saıdas. Segundo, e necessario que o rank

(posto) de G(s) seja igual ao numero de saıdas, l, isto e, o menor valor singular de

G(s), denotado por σ[G] = σl[G] deve ser nao-nulo, exceto para possıveis zeros no

eixo jω). Se a planta e funcionamente nao-controlavel entao encontre as direcoes

de saıda nas quais a planta nao possui ganho, para obter um maior conhecimento

sobre seu comportamento. (Vide secao 7.4).

4. Encontre seus polos. Para polos instaveis, (RHP-polos, ou [Right Half Plane]-

polos, polos no semi-plano direito), obtenha sua localizacao e direcoes associadas.

“RHP-polos rapidos (longes da origem) nao sao bons”.

5. Encontre seus zeros. Para RHP-zeros (zeros no semi-plano direito) encontre sua

localizacao e direcao associada. RJP-zeros proximos a origem “nao sao bons”.

6. Obtenha a resposta em frequencia de G(jω) e calcule sua RGA. Plantas cuja

RGA possui elementos de valores elevados na regiao de frequencia de cruzamento

de ganho (crossover frequency) sao difıcies de se controlar e devem ser evitadas.

7. Calcule os valores singulares deG(jω) e trace o grafico deles em funcao da frequencia.

Lembre-se que para esse calculo a escala e importante (por isso o modelo deve estar

normalizado). Obtenha tambem os vetores singulares de entrada e saıda.

8. O valor singular mınimo, σ[G(sω], e particularmente util para a medida da con-

trolabilidade entrada-saıda. Em geral, ele deve ter valor elevado em frequencias

nas quais o controle deve ser considerado (faixas de frequencia relvantes: proximo

a frequencia de curzamento de ganho, frequencia de corte, faixa de passagem do

sistema). Se σ[G(sω0] < 1 (normalizado), entao, nao e possıvel, na frequencia ω0

obter uma variacoes (unitarias) independentes da saıda usando entradas unitarias.

9. Para perturbacoes, considere os elementos da matriz Gd. Em valores de frequencia

nos quais os elementos da matriz Gd sao maores que 1, e necessario controle. Em

geral, e possıvel se obter maiores informacoes considerando uma perturbacao de

227


cada vez (colunas gd de Gd). Deve-se ter, para cada pertubacao, que S(s) seja

menor que 1/||gd||2 na direcao da perturbacao, yd, isto e:

||Syd||2 ≤ 1/||gd||2.

• Observacao: assim, pela relacao acima, deve-se ter, no mınimo σ[S] ≤ 1/||gd||2.Alem disso deve-se garantir que σ[S] ≤ 1/||gd||2, sendo σ o valor singular

maximo.

10. Analise das saturacoes das entradas e perturbacoes.

i) Primeiro Passo: Obtenha o valor (amplitude) dos sinais de entrada necessarios

para se ter um controle perfeito, calculando os elementos do produto G−1Gd.1

Se todos os elementos desse produto forem menores que 1, em todas as

frequencias, entao pode-se esperar que nao haja problema devido a saturacao

da entrada. Se alguns elementos de G−1Gd (ou G†Gd, no caso de G nao

quadrada) for maior que 1, em uma dada frequencia, entao o controle perfeito

nao pode ser obtido nessa frequencia. Pode-se entretanto obter um controle

aceitavel (||e||2 < 1). Para tanto faz-se uso do segundo passo.

ii) Segundo Passo: Deve-se verificar a condicao dada na equacao 7.1, isto e,

deve-se considerar os elementos de UTGd2 e certificar-se de que os elementos

de i−esima linha sao menores que σi[G] + 1, para todas as frequencias.

σi(G) ≥ |uTi gd| − 1, nas frequencias onde |uT

i gd| > 1 (7.1)

11. Deve-se verificar se todas as condicoes sao compatıveis: deve-se verificar as per-

turbacoes, os polos e zeros no semi-plano direito e suas localizacoes e direcoes.

12. Incertezas: se o numero de condicao γ(G) for pequeno entao nao ha problemas

com incerteza. Se os elementos da RGA forem elevados, espera-se que haja grande

sensibilidade (sensitivity) com as incertezas.

13. Deve-se verificar se ha possibilidade de se usar controladores multimalhas.

1No caso de matriz G nao quadrada deve-se fazer, G†Gd, sendo G† a pseudo-inversa de G2O autor usa UHGd, sendo UH a Hermitina (transposta conjugada) de U

228


7.4 Controlabilidade Funcional

O termo Controlabilidade Funcional, Functional Controllability, foi cunhado por Rosen-

brock, em 1970, [67], para sistemas MIMO quadrados. A seguir apresenta-se a definicao

como apresentada em [78], para um sistema MIMO l ×m:

Definicao 7.2 (Controlabilidade Funcional) [78]

Um sistema G(s) com m-entradas e l-saıdas e controlavel segundo a controlabilidade

funcional se o posto (rank) normal de G(s), r, for igual a numero de saıdas, isto e

(r = rank(G(s)) = l), isto e, G(s) possui rank completo para linha. Ele sera nao-

controlavel (controlabilidade funcional) se r < l.

Definicao 7.3

Se uma planta MIMO possui a controlabilidade funcional disse-se que ela e funcional-

mente controlavel. Caso contrario disse-se que ela e funcionalmente nao-controlavel.

• O rank normal de G(s) e o rank de G(s) para quase todos os valores s, isto e, para

todos os valores de s exceto nos zeros de G(s).

• Se uma planta e funcionalmente nao-controlavel, isto e, se r < l entao existem l−rdirecoes de saıdas, denotadas por yo que nao podem ser afetadas. Essas direcoes

variam com a frequencia e tem-se:

yTo (jω)G(jω) = 0

• A partir de uma SVD de G(jω), isto e, G(jω) = UΣV , a direcoes de saıda nao-

controlaveis, yo(jω) (do ponto de vista funcional), sao as ultimas l− r colunas de

U(jω).

• Analisando essas direcoes o Engenheiro de Controle pode decidir se e possıvel

manter certas saıdas nao-controladas, ou se serao necessarios novos atuadores na

planta para que o rank de G(s) seja aumentado.

229


7.5 Exercıcios

1) Verifique se a seguinte planta G(s) e funcionalmente controlavel. Caso nao seja

determine uma direcao de saıda que e nao controlavel.

G(s) =

[1

s+12

s+12

s+24

s+2

]

2) Dado o sistema da equacao 7.2, pede-se:

a) Seus polos e zeros.

b) As direcoes (saıda e entrada) de zeros e polos. (sug.: uma forma e usar SVD).

G(s) =1

s+ 2

[s− 1 4

4, 5 2(s− 1)

](7.2)




c) RGA dinamica.

d) Analise a controlabilidade entrada-saıda.

G(s) =

[5000s

(5000s+1)(2s+1))2(−5s+1)100s+1

35s+1

35s+1

](7.3)




c) RGA dinamica.

d) A SVD (dinamica).

e) Um projeto de controlador multimalha que garanta um desempenho razoavel para o

perfil da figura 7.1.

230


f) Simule o sistema controlado para o perfil dado.

g) Para o sistema controlado pelo controlador do item acima, trace o grafico de σ[S],

σ[S], σ[T ], σ[T ], em funcao da frequencia, sendo S(s) e T (s) as funcoes sensitividade

e sensitividade complementar, respectivamente.

G(s) =1

(0, 2s+ 1)(s+ 1)

[1 1

1 + 2s 2

](7.4)

2�1� 12�11�10�9�8�7�6�5�4�3�

entrada 2�

entrada 1�

r�

t�

Figura 7.1: Perfil Tıpico para Teste de um Sistema 2 × 2 controlado

Sobre o perfil, o projetista deve escolher os valores de variacoes (relativas) para as

entradas de acordo com a dimensao do problema. Da mesma forma o valor do degrau

e dos valores relativos para as entradas devem estar relacionadas com a dimensao do

sistema.

231


7.6 Revisao das Restricoes em Sistemas SISO

7.6.1 Escalonamento (Normalizacao)

• Vide [78], pgs. 5 a 8.

• Importancia pratica: torna a analise do modelo e o projeto de controladores mais

simples.

• Seja o sistema original (nao normalizado) com a seguintes variaveis (nao normal-

izadas):

y = Gu+ Gdd e = y − r

• No caso, o “chapeu”e usado para indicar que a variavel nao esta normalizada (isto

e, esta em unidades de engenharia).

• Uma forma pratica de se obter a normalizacao e tornar as variaveis com valor

maximo de 1.

• Isso pode ser feito dividindo-se cada uma pelo seu valor maximo (ou valor maximo

esperado), por exemplo:

d = d/dmax u = u/hatumax

• As variaveis y e e devem estar na mesma unidade (mesmo fator de escala). Elas

podem gerar a variavel normalizada a partir de duas alternativas de divisao:

– dividir por emax;

– dividir por rmax.

• Uma vez que o maior objetivo do controle e minimizar o erro e, usualmente

escalona-se em relacao ao erro maximo, isto e:

y = y/emax, r = r/emax, e = e/emax.

• Assim, para formalizar o procedimento de normalizacao, introduz-se os fatores

de escala:

De = emax, Du = umax, Dd = dmax, Dr = rmax

• Para sistemas MIMO atentar para o fato de que os vetores d, e, r, y, podem ter

diferentes valores maximos. De, Du, Dd, Dr serao matrizes diagonais.

232


7.7 Desempenho

• Considerando que o modelo esta devidamente normalizado, pode-se considerar

como uma condicao adequada de desempenho o seguinte criterio:

– Manter a saıda y(t), na faixa entre r− 1 e r+ 1 (na maioria do tempo) para

qualquer perturbacao d(t) entre −1 e 1 e referencia r(t) entre −R e R, usando

uma entrada na faixa de −1 a 1.

• Ou em frequencia:

– Em cada ponto de frequencia a condicao desempenho e manter o erro den-

tro da faixa,|e(ω)| ≤ 1, para qualquer perturbacao |d(ω)| ≤ 1 e referencia

|r(ω)| ≤ R(ω), usando entradas tais que |u(ω)| ≤ 1.

7.8 Controle Perfeito

• Vide capıtulo introdutorio das notas de aula.

• Seja o sistema dado pela relacao:

y = Gu+Gdd

• Resolvendo para u:

u = G−1r −G−1Gdd

• Para uma realimentacao do tipo u = K(r − y), tem-se:

u = KSr −KSGdd S(s) e a funcao sensitividade

• Considerando-se que T = GKS, tem-se:

u = G−1Tr −G−1TGdd

• Note que em frequencias nas quais a realimentacao e efetiva, T ≈ I.

• Note que o controle perfeito depende da inversa de G.

• Assim, o controle perfeito, nao pode ser usado se:

233


– G contem RHP-zeros.

– G contem atrasos.

– G possui mais polos que zeros.

– G contem incertezas.

– |G−1Gd| e grande.

– |G−1R| e grande.

– G e instavel.

– Gd e grande.

7.9 Restricoes em S(s) e T (s)

• S + T = 1.

• Efeito colchao d’agua (Vide [78], pg. 165). Vide apendice ??

• Restricoes de Interpolacao:

T (p) = 1, S(p) = 0 p e um polo RHP de L(s) = G(s)K(s)

T (z) = 0, S(z) = 1 z e um zero RHP de L(s) = G(s)K(s)

• Maximo (picos, sensitivity peaks) de S(s) e T (s).

• Restricoes impostas pelos atrasos. Vide [78], pgs. 175, 176.

• Limitacoes impostas por zeros RHP.

• Limitacoes impostas por polos RHP.

• Efeitos de combinacoes de zeros RHP e polos RHP.

• Limitacoes causadas pelas perturbacoes e comandos.

• Limitacoes causadas pelas incertezas.

• Limitacoes causadas pelos atrasos de fase.

234


Gd�

K� G�

Gm�

+�

+�+�

-�

y�

d�

r�

Figura 7.2: Esquema de Realimentacao com Perturbacao

7.10 Analise da Controlabilidade Entrada-Saıda

Para as regras de analise da “Controlabilidade Entrada-Saıda”, considera-se:

• Relacao advinda da figura ??

y = G(s)u+Gd(s)d ym = Gm(s)y

• Assume-se que as variaveis d, y, u e r estao normalizadas. Assume-se que Gm(0) =

1.

• ωc e a frequencia de crossover, definida como sendo a frequencia na qual |L(jω)|cruza o ganho 1 (a partir de valores maiores que 1). L(s) = G(s)K(s) (ganho

direto).

• ωd e a frequencia na qual |Gd(jω)| cruza o valor 1.

• ωb e a faixa de passagem do sistema (close loop bandwidth), e e a frequencia na

qual S(jω) cruza na primeira vez o valor 1/√

2 = 0, 707 ≈ −3dB, a partir de

valores inferiores.

Regras

R1 Velocidade de resposta para rejeitar perturbacoes: deseja-se, em geral, que

ωc > wd. Mais especificamente, com a realimentacao, deseja-se que |S(jω)| ≤

235


|1/Gd(jω)|, ∀ω. Veja as relacoes (5.51) e (5.54) de [78], repetidas a seguir por

convenienica.

|SGd(jω)| < 1 ∀ω ⇔ ||SGd||∞ < 1 eq. (5.51) de [78] (7.5)

ωb > ωd eq. (5.54) de [78] (7.6)

R2 Velocidade de resposta para seguir (rastrear) referencias. Deseja-se que

|S(jω)| ≤ 1/R ate a frequencia ωr, na qual o rastreamento e desejado. Veja a

relacao (5.55), repetida a seguir por convenienica.

|S(jω)R| < 1 ∀ ≤ ωrω eq. (5.55) de [78]. (7.7)

R3 Restricoes na Entrada Advindas das Perturbacoes. Para se ter um controle

aceitavel (|e| < 1) deve-se ter |G(jω)| > |Gd(jω)| − 1 em frequencias nas quais

|Gd(jω)| > 1. Para controle perfeito (e = 0), deve-se ter a satisfeita a condicao

|G(jω)| > |Gd(jω)|. Veja as relacoes (5.57) e (5.59) de [78], repetidas a seguir por

convenienica.

|G−1(jω)gd(jω)| < 1 ∀ω eq. (5.57) de [78] (7.8)

|G| > |Gd|−1 ωb > ωd em freq. nas quais |Gd| > 1 eq. (5.59) de [78] (7.9)

7.11 Exemplos e Aplicacoes

236

Capıtulo 8

Projeto de Controladores MIMO

Usando Sıntese Q

8.1 Introducao

• E sabido que em aplicacoes industriais controladores PID sao os mais utilizados.

• Um problema em relacao a utilizacao de PID’s e a necessidade de tecnicas SISO

para sintonia, ou derivacoes de teoria de controladores MIMO para que seja viavel

sua implementacao (utilizacao de desacopladores, por exemplo).

• Do ponto de vista de aplicacao industrial de controladores MIMO os baseado no

IMC, Internal Model Control, Controle de Modelo Interno, ganhou projecao na

decada de 70.

• Na Franca (1978) foi desenvolvido o MAC, Model Algotithmic Control, [?], [20].

Nos EUA (1980) foi desenvolvido o DMC, Dynamic Matrix Control [?].

• O desenvolvimento desses algoritmos, como propostas para controladores MIMO,

foi feito, na epoca, a partir de heurısticas. Eles baseiam-se em rotinas de otimizacao.

• A partir de 1982 (1982 a 1985, basicamente) Garcia e Morari publicaram uma

serie de artigos mostrando que a DMC e o MAC sao variacoes de uma estrutura

mais fundamental, denominada IMC. Vide o livro de Morari, [58].

237

Projeto de Controladores MIMO Usando Sıntese Q

• Existem varias formas de se projetar controladores MIMO via IMC. Todas estao

relacionadas com a parametrizacao de todos os controladores estabilizantes.

8.1.1 Linhas de Solucao com a Parametrizacao-Q

• Solucoes algebricas, baseadas na forma de G(s) e da malha fechada desejada.

– Vide [39].

– Faz uso do conhecimento da estrutura de G(s) (polos e zeros).

– No caso MIMO faz uso da matriz interactora para recuperar a estrutura de

G(s)

• Solucoes via fatoracao coprima. Vide [96], [88], [30].

• Solucoes via problemas H∞. Vide [78], [96], [88], [30], [53].

• Solucoes via IMC. Vide [58] e [20].

238


8.2 Introducao a Parametrizacao-Q e ao IMC

• Parametrizacao de Youla (todos os controladores estabilizantes): relacao com

sıntese-Q, IMC, especificacoes para projetos H∞, ∈∞, otimos, etc.

• IMC: alternativa para a estrutura classica de realimentacao.

• Conceitos importante: funcoes sentividade e estabilidade interna. Fatoracoes Co-

primas.

G~ yr

y

d

uerGQ

K

-

-

+

G~

y

d

uGQ

K

r +

+

+

+

++

Figura 8.1: Configuracao para o Modelo Interno

y

d

uerK G

-�

-�G�~�

K�

-�

+�d�

r� y�G�

G�~�

Q�

Figura 8.2: Configuracao para o Modelo Interno

239


8.2.1 Equacoes

Figura 1

u = r − (y − Gu) = r − y + Gu

Figura 2

u = (r − y) + Gu

u

e= K =

Q

1 −QG

Figura 3

• Estrutura padrao para controle realimentado.

• Associado ao IMC.

Figura 4

Q =K

1 + GK

u = (e− Gu)K

e = r + Gu−Gu

e = r + Gu− y

u = (r + Gu− y − Gu)K

u = (r − y)K

IMC = Estrutura classica. Uma vantagem (dentre varias): faz uso da parametrizacao-Q

para projeto.

240


8.3 Revisao da Sıntese-Q para Sistemas SISO

8.3.1 Voltando ao Exemplo

• T0(s) : malha fechada (sensitividade complementar). Td(s): funcao de malha

fechada desejada.

• Seja G0(s)

G0(s) =6

(s+ 1)(s+ 6)

• Td(s) escolhida: analise frequencial.

Td(s) =10

s+ 10

• Projeto (objetivo: calcuar K(s)):

Q(s) = FQ(s)[G0(s)]−1 K(s) =

Q(s)

1 −Q(s)G0(s)

• Importante:

FQ(s) = Td(s)

• Assim:

Q(s) =10

s+ 10

(s+ 1)(s+ 6)

6

• E, apos os calculos e simplificacoes:

K(s) =10(s+ 1)(s+ 6)

6s

• Preocupar: ordem de K(s). Se K(s) e realizavel. Se tem integrador. Etc.

• Caracterısticas do Projeto:

i) Presenca de zeros instaveis no modelo.

ii) Ordem do modelo e escolha de FQ(s).

iii) Compromissos intrınsecos.

iv) Esforco do Controlador.

v) Robustez.

vi) Modos nao controlaveis e/ou cancelados.

241


Zeros de Fase nao Mınima

G0(s) =B0(s)

A0(s)=B0s(s)B0u(s)

A0(s)

• B0s: parte estavel de B0(s).

• B0u(s): parte “instavel”.

• Considere B0u(0) = 1.

Q(s) = FQ(s)Gi0(s)

Gi0(s) =

[B0s(s)

A0(s)

]−1

=A0(s)

B0s(s)

Ordem Relativa

Para se ter um controlador proprio e necessario que Q(s) tambem o seja. Logo e

necessario que FQ(s) tenha o grau relatico ([grau do denominador] - [grau do numer-

ador]) igual a, no mınimo, o grau de [Gi0(s)]

−1. Em alguns caso, seQ(s) for nao-propria,

deve-se introduzir termos do tipo:

(τs + 1)nd;

no denominador de Q(s). nd e τ sao escolhas do projetista.

8.3.2 Compromissos Implıcitos

Dentre as diversas condicoes desejadas, sempre devera se ter erro estacionario nulo. Se

nao for possıvel em todas as frequencias, pelo menos na faixa de passagem do sistema.

Lema 8.1 Considere um modelo estavel, G0(s). A malha de controle que resulta em

erro de estado estacionario nulo sera estavel se e somente se o controlador K(s) puder

ser expresso na forma:

K(s) =Q(s)

1 −Q(s)G0(s)

com Q(s) sendo dado por:

Q(s) = sQ(s) + [G0(s)]−1Qa(s)

onde Q(s) e qualquer funcao de transferencia estavel e Qa(s) qualquer funcao de trans-

ferencia estavel que satisfaca Qa(0) = 1. (Uma possıvel escolha, Qa(s) = 1)

�

242


Modos nao Controlaveis e Cancelamentos

Os cancelamentos podem ocorrer em

Q(s)G0(s) ou K(s)G0(s)

Teorema 8.1 Os polos cancelados da planta aparecerao na funcao Si0(s), dada por:

Si0(s) =G0(s)

1 +G0(s)K(s)=

B0(s)L(s)

A0(s)L(s) +B0(s)P (s)

sendo:

G0(s) =B0(s)

A0(s)e K(s) =

P (s)

L(s)�

A funcao Sio(s) relaciona a saıda com a perturbacao na entrada da planta. Portanto,

cancelamento de polos lentos da planta resultarao em um sistema com Si0(s) com polos

lentos, e portanto com resposta lenta a perturbacao na entrada da planta.

Teorema 8.2 Para que um dado polo , s = s0 nao seja cancelado, o projeto deve ser

tal que considere:

S(s0) = 0ouT (s0) = 1

�

243


Exemplo 8.1 Considere G0(s):

G0(s) =6

(s+ 1)(s+ 6)

Considere que devido a presenca de ruıdo de medicao a faixa de passagem da malha

fechada tem que ser da ordem de ω = 10rad/s. Uma possıvel escolha para Q(s), con-

siderando o exposto acima, e:

Q(s) = FQ(s)(s+ 1)(s+ 6)

6sendo:FQ(s) = 1000

β1s+ 1

(s2 + 14s+ 100)(s+ 10)

O grau relativo de FQ(s) foi escolhido como sendo 2, para que Q(s) seja propria. Desde

que T0(s) = FQ(s) deve-se ter FQ(s) para s = 0 igual a 1, isto e FQ(0) = 1, para

que garantir que havera inversao exata em ω = 0, isto e, K(s) tera um integrador. O

controlador sera dado por:

K(s) =Q(s)

1 −Q(s)G0(s)=

(β1s + 1)(s+ 1)(s+ 6)

6s(s2 + 24s+ 240 − 1000β1)

Considere que nao se deseja que o polo lento da planta em s = −1 seja cancelado. Para

tanto considere T0(−1) = FQ(−1) = 1, ou:

FQ(−1) =1000

783(1 − β1) ⇒ β1 =

217

1000

Assim:

K(s) =(217s+ 1000)(s+ 6)

6000s(s+ 23)�

8.3.3 Exercıcios

• Simule o sistema para um perfil de degrau.

• Considere perturbacoes na entrada e saıda da planta. Considere a presenca de

ruıdo de medicao.

• Faca o projeto admitindo o cancelamento do polo em s = −1. Simule para entrada

r(t) e d(t), na saıda e na entrada da planta.

244


8.3.4 Exercıcio

Seja o sistema cujo modelo nominal e dado por:

G0(s) =−s+ 2

(s+ 2)(s+ 1)

Considere que existe perturbacao na saıda e na entrada da planta. Considere que ha

ruıdo de medicao na regiao de ω = 5rad/s. Projete um K(s) que:

• Tenha um sinal u(t) com pouco ruıdo.

• Tenha integrador.

• Tenha uma malha fechada o mais rapido possıvel.

Simule o sistema para entrada referencia (perfil de degrau) e perturbacoes na saıda e

entrada da planta.

245


8.4 Sıntese-Q: Conceitos

• Parametrizacao de todos os controladores estabilizantes: caso SISO. Vide secao

??.

C(s) = [I −Q(s)G0(s)]−1Q(s) = Q(s)[I −G0(s)Q(s)]−1 (8.1)

Funcoes Sensitividade em Funcao de Q(s)

A seguintes funcoes (matrizes) sensitividade podem ser parametrizadas em relacao a

Q(s)

T0(s) = G0(s)Q(s) (8.2)

S0(s) = I −G0(s)Q(s) (8.3)

Si0(s) = (I −G0(s)Q(s))G0(s) (8.4)

Su0(s) = Q(s) (8.5)

(8.6)

• Todas as funcoes acima serao estaveis se Q(s) e estavel.

Representacoes LMFD e RMFD para as Funcoes Sensitividade Parame-

trizadas

CD(s) = I −Q(s)G0(s) CN(s) = Q(s) (8.7)

CD(s) = I −G0(s)Q(s) CN(s) = Q(s) (8.8)

G0D(s) = I G0N(s) = G0(s) (8.9)

G0D(s) = I G0N(s) = G0(s) (8.10)

(8.11)

• A escolha acima garante que (5.76) seja satisfeita.

• A equacao (??) e suficiente para que (??) e (??) sejam validas.

• Alem disso (8.7) a (8.10) fornecem uma MFD adequada, que facilitara os desen-

volvimentos a seguir, visando o projeto do controlador MIMO.

246


Nota-se pelas equacoes (8.7) a (8.10) que o projeto de Q(s) se reduz ao problema de

encontrar uma inversa a direita (ou inversa aproximada a direita) de G0(s).

A analise que se segue e semelhante a feita para o caso SISO (vide subsecao ??).

Para o caso SISO, na procura da inversa, deparou-se com as seguintes questoes:

• Presenca (ou nao) de zeros de fase nao-mınima.

• Grau (ordem) relativa do modelo.

• Compromissos com as perturbacoes.

• Questao do esforco de controle.

• Questao da robustez.

• Presenca (ou nao) de modos escondidos.

Essas mesmas questoes surgem no projeto MIMO equivalente (projeto via matriz Q(s)),

porem elas agora passam a ser relacionadas com a questao da direcionalidade, partic-

ularidade de um sistema MIMO. A seguir explora-se, com mais detalhes, as questoes da

ordem relativa do modelo e os zeros de fase nao-mınima.

247


8.5 Parametrizacao de Todos Controladores Estabi-

lizantes

8.5.1 Estabilidade de Sistemas

• Ideia: Analisar a estabilidade (interna) da malha fechada de um

sistema como o da figura 8.3

K(s)� G(s)�

+�

-�

+�

+�

y(t)�r(t)�

d(t)�

e(t)�

Figura 8.3: Configuracao para a Parametrizacao

Teorema 8.3 A matriz de malha fechada da figura 8.3 sera estavel se e

somente se a matriz, P (s), que relaciona as entradas r e d com as saıdas

e e u, em malha fechada for estavel:[r

d

]= P (s)

[e

u

]�

Pode-se considerar um sistema mais generico do que o dado na figura 8.3.

O da figura 8.4 apresenta perturbacao na saıda e na entrada da planta.

Exercıcio

Encontre a expressao para P (s). Mostre que P (s) contem as matrizes

sensitividade.

248


• Importante notar que o sistema da figura 8.4 pode ser representado

pelo equivalente da figura 8.5 (A ou B).

K(s)� G(s)�

+�

-�

+�

+�

y(t)�r(t)�

d�i�(t)�

e(t)�

d�o�(t)�

u(t)�


K(s)�

G(s)�

+�

-�+� +�

v�1�(t)� u�1�(t)�

u�2�(t)�

v�2�(t)�

+�

+�+�

K(s)�

G(s)�

y(t)�

d�i�(t)�

u(t)�

d�o�(t)�

+�

+�


249


8.6 Outras Configuracoes Usuais

K(s)�

+�

-�+� +�

v�1�(t)� u�1�(t)�

u�2�(t)�

v�1�(t)�

G(s) +� Δ®

K(s)�

G(s)�

w�z�

u�y�


K(s)�

G(s)�

w�z�

u�

y�

v�1�(t)�

v�2�(t)�

T�2�Q�

-�

+�w� z�

T�2�

T�1�


250



lizantes: SISO e G(s) Estavel

Teorema 8.4 A famılia de todos os controladores K(s) tais que a malha

fechada dos sitema da figura 8.3 seja estavel e:

K(s) =Q(s)

1 −G(s)Q(s)

sendo Q(s) estavel e Q(∞)G(∞) �= 1.

�

• A prova desse teorema requer alguns conceitos adicionais de fa-

toracao coprima.

251


8.8 Revisao dos Conceitos de Fatoracao Coprima

8.8.1 Lema Adicional

+� -�

+�

+�

y(t)�r(t)�

d(t)�

e(t)�

z�1� z�2�u(t)�

)�(�1� s�M�c�−® )�(�s�N�c� )�(�1� s�M�−® )�(�s�N�


Lema 8.2 Seja G(s) = N(s)/M(s) e K(s) = Nc(s)/Mc(s) fatoracoes

coprimas. Entao, a malha fechada sera estavel (assintoticamente) se e

somente se a funcao de transferencia H(s) entre [r′ d′]′ e [z′1 z′2]′ for

estavel. [r

d

]= H(s)

[z1

z2

]

sendo

H(s) =

[Mc(s) N(s)

−Nc(s) M(s)

]−1

�

252


8.8.2 Revisao Fatoracao Coprima: SISO

• E sempre possıvel escrever uma funcao de transferencia como uma

razao de duas funcoes estaveis que nao possuem divisores comuns

(termos coprimos).

• Por exemplo:

G(s) =(s+ 1)

(s− 1)(s+ 10)(s− 2)= N(s)M−1(s)

• Sendo:

N(s) =1

(s+ 10)(s+ 1)M(s) =

(s− 1)(s− 2)

(s+ 1)2

• Alem disso, tem-se a relacao:

N(s)X(s) +M(s)Y (s)

• Sendo:

x(s) =4(16s− 5)

(s+ 1)Y (s) =

(s+ 15)

(s+ 10)

253


8.8.3 Revisao Fatoracao Coprima: MIMO

• Para o caso MIMO e necessario definir as direcoes das divisoes e

multiplicacoes.

• Dada uma matriz G(s), e possıvel encontrar 4 matrizes proprias e

estaveis tais que:

G(s) = Nd(s)M−1d (s) = M−1

s Ns(s)

• Sendo Md(s) e Nd(s) matrizes coprimas a direita.

• Ainda, existe a relacao:

Xd(s)Nd(s) + YdMd(s) = I

• Sendo Ms(s) e Ns(s) matrizes coprimas a esquerda.

• Ainda, existe a relacao:

Ns(s)Xs +Ms(s)Ys = I

8.8.4 Fatoracao Coprima Dupla

• Definem-se as relacoes:

G(s) = Nd(s)M − d−1(s) = M−1s (s)Ns

• e: [Yd(s) Xd(s)

−Ns(s) Ms(s)

][Md(s) −Xs(s)

Nd(s) Ys(s)

]= I (8.12)

254


8.8.5 Construcao da Fatoracao Coprima Dupla

Seja (A,B,C,D) uma realizacao estabilizavel e detectavel deG(s) (denota-

se por G(s) = (A,B,C,D)).

Teorema 8.5 Sejam F e L duas matrizes tais que A + BF e A + LC

sejam estaveis. Entao existe uma fatoracao coprima dupla dada por 8.12

sendo:

Md = (A+ BF,B, F, I) (8.13)

Nd = (A+ BF,B,C +DF,D) (8.14)

Ys = (A+ BF,L,−C −DF, I) (8.15)

Xs = (A+ BF,L, F, 0) (8.16)

Ms = (A+ LC,L, C, I) (8.17)

Ns = (A+ LC,B + LD,C,D) (8.18)

Yd = (A+ LC,B + LD,−F, I) (8.19)

Xs = (A+ LC,L, F, 0) (8.20)

�

255



lizantes: SISO e G(s) Generica

• Seja G(s) dada por:

G(s) =N(s)

M(s).

• Considera-se N(s) e M(s) funcoes coprimas (racionais) e estaveis.

Nesse caso existem duas funcoes racionais estaveis X(s) e Y (s) tais

que:

N(s)X(s) +M(s)Y (s) = 1

• (equacao Diofantina ou desgigualdade de Bezout).


fechada dos sitema da figura 8.3 seja estavel (e bem posto) e:

K(s) =X(s) +M(s)Q(s)

T (s) −N(s)Q(s)

sendo Q(s) estavel e Q(∞)G(∞) �= 1.

�

256


8.10 Parametrizacao de Todos Controladores Esta-

bilizantes: MIMO e G(s) Generica

Sejam as relacoes:

G(s) = Nd(s)M − d−1(s) = M−1s (s)Ns

e [Yd(s) Xd(s)

−Ns(s) Ms(s)

][Md(s) −Xs(s)

Nd(s) Ys(s)

]= I (8.21)


fechada dos sitema da figura 8.3 seja estavel (e bem posto) e:

K(s) = (Xs(s) +Md(s)Qd(s)) (Ys(s) −Nd(s)Qd(s))−1 (8.22)

= (Yd(s) −QsNs)−1 (Xd(s) +QsMs(s)) (8.23)

sendo Qd(s) (Qs(s)) estavel e Nd(∞))Qd(∞) �= Ys(∞) [Qs(∞)Ns(∞) �=Yd(∞)].

�

257


8.10.1 Lema Adicional, Caso MIMO

(veja caso SISO para comparacao).

Lema 8.3 Seja G(s) = Nd(s)M−1d (s) e K(s) = Nc(s)M

−1c (s) fatoracoes

coprimas a direita (estaveis). Entao, a malha fechada sera estavel (assin-

toticamente) se e somente se a funcao de transferencia H(s) entre [r′ d′]′

e [z′1 z′2]′ for estavel. [

r

d

]= H(s)

[z1

z2

]

sendo

H(s) =

[Mc(s) Nd(s)

−Nc(s) Md(s)

]−1

�

258


8.11 Comentarios

Se, na parametrizacao-Q, tem-se Q(s) = 0 entao o controlador obtido

sera dado por:

Kc(s) = Xs(s)Y−1s (s)

que coincidde com o controlador projetado por alocacao de polos conven-cional. No caso de Q(s) �= 0, o projeto (alocacao) e feito via escolha deQ(s), que esta relacionada com a funcao de malha fechada desejada.

259

Capıtulo 9

Projeto de Controladores MIMO na

Abordagem H∞

9.1 Introducao

• Crıtica ao controle LQR (LQG).

• Normas de Sistemas.

• Controladores H∞ e H2.

• Projeto via loop shaping

9.2 Revisao

Nesta secao sao apresentados alguns conceitos comumente usados no ambiente de pro-

jeto H∞ e μ, definindo mais formalmente alguns termos mencionados nos capıtulos

precedentes.

A sensitividade de um sistema e um dos conceitos principais para a abordagem de

projeto de controladores robustos na formulacao entrada-saıda. Ela esta relacionada

com a sensibilidade do sistema a variacoes parametricas na funcao de malha fechada,

T (s) [7] ou as perturbacoes de carga as quais o sistema esta sujeito.

Por exemplo, para um sistema de controle como o da figura 9.1 onde apresenta-se

um sistema nominal, G0(s), um controlador K(s) e as entradas de referencia r e de

260

Projeto de Controladores MIMO na Abordagem H∞

K�+�

+�

+�-�

G�

d�

y�r�

Figura 9.1: Diagrama de um sistema padrao de controle com uma perturbacao d na saıda da

planta.

perturbacao na saıda da planta, d, a funcao (matriz) sensitividade (de saıda), S(s) e a

funcao (matriz) sensitividade complementar (de saıda), T (s), sao definidas como sendo:

S(s) = (I + L(s))−1 e T (s) = L(s)S(s), (9.1)

sendo L(s) = G0K(s).

A funcao S(s) relaciona r(t) ou d(t) com e(t) e a funcao T (s) relaciona r(t) com

y(t). Em geral, funcoes como S(s) e T (s), que relacionam as diferentes entradas e

saıdas em um sistema de controle, podem ser denominadas de funcoes sensitividade.

Tal denominacao advem do fato dessas funcoes estarem relacionados com a sensibili-

dade de sistemas de controle, o que motivou a utilizacao das mesmas em projetos de

controladores robustos, isto e controladores que, em linhas gerais, objetivam reduzir essa

sensibilidade. No caso das funcoes S(s) e T (s), essa sensibilidade e medida em termos

da “qualidade”das saıdas y(t) e e(t).

A abordagem introduzida por Zames [94] visa justamente quantificar a reducao dessa

sensibilidade, ou da sua norma (ou ainda do maximo valor singular da matriz S(s),

σmax(S(s)). Os conceitos introduzidos por Zames iniciaram um novo tipo de projeto

de controladores, onde busca-se encontrar controladores que reduzam a norma H∞ da

malha fechada, T (s) ou da sensitividade, S(s) ou ainda de combinacoes de funcoes

sensitividade.

Em relacao aos projetos via minimizacao da norma H∞, a formulacao usada ate

meados da decada de 80 baseava-se nas teorias de operadores e analise complexa. Mais

tarde, em 1989, com o trabalho de Doyle e outros [25], passou-se a resolver o problema

H∞ via solucao de equacoes de Riccati, formulando-o diretamente no espaco de estados1.

A abordagem inicial do controle H∞ baseou-se principalmente nos conceitos de

1Trabalhos anteriores (de 1987 e 1988), principalmente de Khargonekar, Petersen e outros tambemabordaram a solucao via Riccati [46, 62].

261


moldagem da resposta em frequencia desejada para as funcoes sensitividade, isto e, a

partir de perfis especificados para as funcoes S(s) e T (s), resolviam-se os problemas de

otimizacao H∞. Esse problema, denominado de loop shaping,2 e a abordagem principal

para os projetos de controladores robustos nesta tese.

Loop Shaping H∞Os trabalhos de Zames [94, 95] proporcionaram o desenvolvimento de um tipo de projeto

semelhante ao ja entao conhecido loop shaping, que pode ser denominado genericamente

como sendo o projeto via sensitividade composta. Nele, sao escolhidos perfis para as

funcoes sensitividade a partir dos quais calcula-se o controlador K(s) mediante um

problema de otimizacao H∞. Esse problema, tambem denominado de loop shaping H∞ou loop shaping robusto proporcionou o surgimento de diversos trabalhos. Dentre eles,

alguns foram fonte de consulta frequente neste trabalho:

• McFarlane e Glover [55], em 1989, introduzem o projeto loop shaping robusto,

baseado nos perfis de funcoes de malha aberta para sistemas com representacao

tipo incerteza aditiva-coprima.

• Postlethwaite e outros [63], em 1991, apresentam um estudo para loop shaping

em sistemas SISO, relacionado com o projeto da sensitividade composta, para

otimizacao H∞.

• Bailey e Hui [2], em 1991 apresentam uma compilacao de alguns resultados e uma

ferramenta para um projeto loop shaping robusto.

• Boyd e Barrat [4], em 1991 apresentam uma formulacao para o loop shaping via

otimizacao convexa.

• Glover e outros [38], em 1992, apresentam um tutorial do projeto criado por Mc-

Farlane e Glover [55].

• Braatz e outros [10], em 1996, apresentam um resumo do loop shaping robusto

a partir de funcoes de malha-fechada (como S(s) e T (s)), ao contrario do loop

shaping de McFarlane e Glover. (Essa tecnica tambem possibilita o projeto a

partir da especificacao da forma para a funcao L).

2No decorrer do texto usar-se-a o termo em ingles para se referir a essa tecnica de projeto viaespecificacao dos perfis (em frequencia) das funcoes de malha fechada.

262


• O livro de Doyle, Francis e Tannenbaum, 1992, [24] que apresenta um capıtulo

sobre a tecnica loop shaping a partir do perfil (shape) das funcoes S(s) e T (s).

• O livro de Skogestad e Postlewaite (1996) que apresenta os principais conceitos

dessa tecnica [78].

• Braatz [9], em 1993, define os conceitos do projeto loop-shaping robusto como uma

extensao do loop-shaping classico.

A solucao do problema da sensitividade composta pode ser encontrada a partir da

solucao de duas equacoes de Riccati, usando-se a formulacao em espaco de estados [25].

Ponderacoes para Projetos H∞No projeto loop shaping faz-se uso de funcoes que moldam as funcoes sensitividade

desejadas. Em geral, as relacoes entre as entradas w e as saıdas z sao ponderadas por

filtros, W (s), que especificam a relevancia das relacoes entradas/saıdas em funcao da

frequencia. Assim, o diagrama da figura 9.1 pode, por exemplo, ser modificado para o

diagrama da figura 9.2. Neste caso, tem-se duas matrizes de ponderacoes, W1 e W2. A

escolha dessas matrizes e de fundamental importancia na solucao do controlador K∞.

K�

W2�

W1�

r� e�

+�-�

z1�

z2�

y�

u�G�0�

Figura 9.2: Diagrama de um sistema padrao de controle com incertezas parametricas no

modelo G0 e duas ponderacoes, uma para o erro W1 e outra para o sinal de controle W2.

Como apresentado a seguir, tanto a representacao da figura 9.1 quanto a da figura 9.2

podem ser representadas numa forma denominada representacao (ou esquema) padrao

da formulacao H∞.

263


Representacao Padrao do Ambiente H∞Os diagramas das figura 9.1 e 9.2 podem ser representados pelo esquema padrao (figura

9.3) usado no ambiente de projeto robusto, onde P (s) e a matriz (ou planta) generalizada

e a relacao entre P e K passa a ser dada pela Transformacao Linear Fracionaria, LFT

(Linear Fractional Transformation) entre P e K, definida como

Fl(P,K) = P11 + P12K(I − P22K)−1P21,

sendo P particionada de forma compatıvel com K:

P =

[P11 P12

P21 P22

].

No caso a LFT definida e a LFT inferior, daı a notacao, Fl. Nessa representacao, w

sao as entradas exogenas (referencias, perturbacoes, ruıdos), u e o sinal de controle, z

sao as saıdas de ponderacao, e y e a entrada do controlador. No caso da figura 9.2, por

exemplo, z sera formado pelas saıdas z1 e z2 e w pela entradas r.

P�

K�

w�z�

y�

u�

Figura 9.3: Configuracao padrao para projetos na formulacao H∞ mostrando o controlador

K(s), a planta generalizada P (s), duas entradas, w e u e duas saıdas z e y. A relacao entre

K e P e dada pela LFT inferior, Fl(P,K).

Representacao em Espaco de Estados

O esquema padrao da figura 9.3 pode ser expresso pela representacao em espaco de

estados dada por:

x = Ax+B1w +B2u (9.2)

z = C1x+D11w +D12u (9.3)

y = C2x+D21w +D22u. (9.4)

264


Tal representacao e util na solucao do projeto de controladores H∞ via equacoes de

Riccati, conforme definido em [25].

Problema de Controle H∞Em linhas gerais, pode-se dizer que o projeto H∞ visa minimizar a norma H∞ da matriz

de malha fechada entre w e z, definidos acima. Ou seja, procura-se um controlador K(s)

tal que a norma H∞ de Tzw seja menor que um dado escalar positivo, γ0, isto e, procura-

se K(s) tal que:

||Tzw = Fl(P,K)||∞ < γ0. (9.5)

Tal controlador sera denotado por K∞ no decorrer do texto.

Sistema Incerto

No caso de se ter um sistema incerto pode-se acrescentar ao sistema nonimal, G0, uma

representacao para a incerteza, usualmente denotada por Δ(s), como mostra o diagrama

da figura 9.4.

K�+�

+�

+�-�

G�

d�

y�r�

Δ®

Figura 9.4: Diagrama de um sistema padrao de controle com incertezas parametricas no

modelo G0.

O sistema da figura 9.4 pode ser representado pelo diagrama da figura 9.5. Para essa

representacao, em se tendo N = Fl(P,K), define-se, M = Fu(N,Δ), sendo Fu a LFT

superior:

Fu(N,Δ) = N22 +N21Δ(I −N11Δ)−1N12.

Representacoes da Incerteza

Em linhas gerais, as incertezas podem ser de tres tipos:

i) sinais incertos. Por exemplo, perturbacoes de carga ou ruıdos;

265


P�

K�

w�

z�

y�u�

u�Δ®y�Δ®

Δ®

Figura 9.5: Diagrama padrao com incertezas parametricas. A relacao entre P e K e dada

pela LFT inferior e entre P e Δ pela LFT superior.

ii) desconhecimento do modelo;

iii) variacoes da planta.

Esses tres tipos podem ser representados no diagrama padrao por uma matriz Δ,

acrescida a planta nominal.

Problema H∞ Frequencial com Solucao via Espaco de Estados

Como comentando, Doyle, Glover, Khargonekar e Francis (em 1989) apresentaram

solucoes para problemas H∞ e H2 na formulacao no espaco de estados via equacoes

de Riccati [25].

Tal trabalho mostrou a relacao entre as solucoes H2 e H∞ e dessas com a teoria

LQG, e que as solucoes podem ser parametrizadas via LFT’s. Ainda, mostrou-se que

resolver problemas de controladores H∞ e H2 equivale a resolver problemas de calculo de

observadores e controladores, isto e, apresentou-se a caracterıstica de separacao presente

nesses problemas. Apresentou-se tambem a caracterıstica do controlador central, que e

o obtido a partir de uma escolha particular para a LFT K(s) = Fl(Kc, Q) onde Kc e

uma matriz relacionada com as solucoes das equacoes de Riccati. 3

Dessa forma, o trabalho de Doyle e outros [25] apresentou uma mudanca da ferra-

menta usada para solucionar problemas H∞, ate entao focalizadas na teoria de variaveis

complexas, teoria de operadores, interpolacao, analise funcional [30], e proporcionou a

solucao a partir de representacoes no espaco de estados.

3No proximo ıtem apresenta-se o conceito da solucao via Riccati.

266


Solucao via Equacoes de Riccati

A solucao do problema 9.5, para o sistema da representacao dada na figura 9.3 pode

ser resolvida por duas equacoes matriciais constituıdas pelas matrizes da representacao

em espaco de estados (equacoes (9.2) a (9.4)) da matriz generalizada P (s). As solucoes

dessas equacoes sao matrizes que formam a matriz do controlador K(s). Uma forma

para equacao de Riccati, com solucao X, e dada a seguir:

ETX +XE −XWX +Q = 0 (9.6)

sendo as matrizes E, W e Q de dimensoes compatıveis, e W = W T e Q = QT .

Para a solucao do problema (9.5), a equacao (9.6) e montada com as matrizes A,

B1 . . .D22 da representacao dada pelas equacoes (9.2) a (9.4). As implicacoes da uti-

lizacao dessa solucao sao discutidas no Capıtulo ?? e no Apendice ??. No Capıtulo ??

sao apresentadas algumas representacoes em espaco de estados (como nas equacoes (9.2)

a (9.4)) para alguns dos esquemas da sensitividade composta estudados .

Analise e Sıntese μ

A introducao do Valor Singular Estruturado, SSV (Structured Singular Value) ou μ

foi feita por Safonov [68] e Doyle [22], sendo que os fundamentos para a sua definicao

ja haviam sido introduzidos no trabalho de Safonov e Athans [70]. A ideia principal

desta tecnica e definir incertezas estruturadas para a analise da robustez, via teorema do

ganho pequeno. Tal “estrutura”possui vantagens em termos de manipulacoes algebricas

no calculo da robustez, tornando-se a analise μ menos conservadora do que a analise

H∞.

Resultados sobre o calculo do μ surgiram em trabalhos de meados da decada de 80.

Dentre eles podem ser citados [22, 23, 60, 93, 41, 42]. Alem desses podem ser destacados

alguns trabalhos sobre aplicacao de controladores μ: [1, 17, 29, 87, 50, 51, 3, 61, 64, 81].

Solucao via Desigualdades Matriciais Lineares

Ate o fim da decada de 80, os problemas de controle H∞ eram resolvidos principalmente

via solucao de duas equacoes de Riccati, seguindo a formulacao de [25]. Entretanto,

a formulacao via Desigualdades Matriciais Lineares (LMI, Linear Matrix Inequalities)

passou a ganhar espaco principalmente devido aos metodos numericos de solucao, basea-

dos nos “algoritmos de pontos interiores”[8]. Em particular, para aplicacao em controle,

267


o desenvolvimento de pacotes, como o pacote para MATLAB, LMI Control Toolbox

[35] ou o programa SCILAB [59] tem motivado a utilizacao das LMI’s para projeto de

controladores para sistemas incertos.

A utilizacao das LMI’s particularmente em projeto de controladores robustos, sejam

H∞, H2 ou mistos, na presenca ou nao de incertezas resultou na publicacao de diversos

trabalhos recentes (principalmente a partir de 1990), entre os quais podem ser citados

(para o caso particular do controlador H∞):

1. O trabalho de Skelton e Iwasaki [44] em que os autores apresentam a solucao para

o calculo do controlador H∞ via LMI’s, sem as restricoes impostas a solucao via

Riccati.

2. O trabalho de Gahinet e Apkarian [34] no qual apresenta-se o calculo de contro-

ladores H∞ dinamicos, usando o chamado “lema da projecao”, (vide secao ??).

3. O trabalho de Gahinet (1996) [33] no qual sao deduzidas formas explıcitas para

controladores H∞ dinamicos (tambem usando o lema da projecao).

4. Os trabalhos de Scherer [71, 72, 73] nos quais sao apresentados resultados que nao

fazem uso do lema da projecao.

268


9.3 Conceitos do Loop Shaping Classico

O projeto loop shaping classico (LSC) e um projeto simples que consiste em encontrar um

controlador K(s) que resulte numa funcao de malha direta, L(s) = G(s)K(s), desejada.

O projeto LSC baseia-se em duas caracterısticas importantes de L(s): i) existe

uma relacao direta entre a forma da funcao L(s) com o controlador K(s); e ii) muitas

caracterizacoes para o comportamento da malha fechada podem ser expressas a partir

de L(s) [21].

10−1

100

101

102

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

frequencia (rad/s)

|L(jw

)| (

dB)

L(jω)

l(ω)

u(ω)

ωl

ωh

baixas frequências

altas frequências

cross

over

Resposta em freqüência típica de L(ω)

Figura 9.6: Diagrama tıpico para L(jω) especificando diferentes regioes de ganho para L(s)

em funcao da frequencia.

As “especificacoes para L(s)”acima referidas sao informacoes que limitam o ganho

(e a fase) de L(s) nas diferentes faixas de frequencia (veja por exemplo [31] ou [78]) que

podem ser divididas, genericamente, em regiao de altas frequencias, de baixas frequencias

e regiao da frequencia de corte (cross over), como mostra a figura 9.6.

Em geral deseja-se que |L| seja grande em baixas frequencias (o que garante bom

rastreamento e baixa sensibilidade a variacoes (lentas) da planta ou a perturbacoes de

carga), e que seja pequeno em altas frequencias (boa rejeicao ao ruıdo). Na regiao de

transicao entre as frequencias altas e baixas (regiao da frequencia de corte) especifica-se

a taxa de variacao de L, em termos de decaimento (dB) por decada [31, 78].

Apesar da simplicidade, projetos baseados na especificacao da funcao L(s) nem sem-

pre sao aplicaveis na pratica. Razoes para sua inadequacao sao, por exemplo, a inca-

pacidade de se quantificar o esforco do sinal de controle ou de se especificar rejeicoes

a perturbacoes na entrada da planta. Ao contrario, projetos H∞ conseguem esse tipo

269


de caracterizacoes na medida em que sao especificados a partir de diferentes funcoes

sensitividade, como S(s), K(s)S(s) e G(s)S(s), por exemplo.

A especificacao dos perfis para as funcoes de malha fechada e a base dos projetos

H∞ no domınio da frequencia, como introduzido por Zames [95] e Doyle e Stein [26].

9.4 Conceitos do Loop Shaping H∞

Loop shaping H∞ sao os projetos baseados nas especificacoes de perfis para as funcoes

sensitividade. A seguir sao apresentados os conceitos relacionados a este projeto.

9.4.1 Especificacoes de Desempenho Baseadas nas Funcoes Sen-

sitividade

As funcoes sensitividade podem ser definidas a partir das relacoes entre entradas e saıdas

do sistema de controle da figura 9.7, onde se considera um sistema LTI, G(s), controlado

por K(s) e com as entradas r, de referencia, d, uma perturbacao na saıda da planta, v

uma perturbacao na entrada da planta, ambas de baixa frequencia e η um ruıdo de alta

frequencia.

K�+�

+�

+�-�

G�

d�

y�r�

v�

e� w� u�+�

+�

η®+�

+�

Figura 9.7: Diagrama para Especificacoes das Funcoes Sensitividade

Para esse sistema, as relacoes entrada/saıda podem ser expressas pelas equacoes (9.7)

a (9.10), a seguir.

y = (I +GK)−1GKr + (I +GK)−1d+G(I +KG)−1v − (I +GK)−1GKη (9.7)

w = K(I +GK)−1r −K(I +GK)−1d+KG(I +KG)−1v −K(I + GK)−1η(9.8)

u = K(I +GK)−1r −K(I +GK)−1d+ (I +KG)−1v −K(I +GK)−1η (9.9)

e = (I +GK)−1r − (I +GK)−1d+G(I +KG)−1v − (I +GK)−1η (9.10)

270


Em geral, as especificacoes de desempenho usuais sao: boa resposta tipo rastrea-

mento (tracking), boa atenuacao das perturbacoes (d e v) e do ruıdo (η), erro em estado

estacionario nulo.

Em se tendo as equacoes (9.7) a (9.10), podem-se expressar essas especificacoes em

termos de minimizacoes da norma H∞ das funcoes de malha fechada, isto e, minimiza-se:

• ||(I +GK)−1||∞ para se ter um boa resposta para rastreamento;

• ||(I +GK)−1||∞ para se ter um boa rejeicao a perturbacao na saıda da planta;

• ||G(I+KG)−1||∞ para se ter um boa rejeicao a perturbacao na entrada da planta;

• ||(I +GK)−1GK||∞ para se ter um boa rejeicao ao ruıdo;

• ||K(I +GK)−1||∞ para se reduzir o esforco da acao de controle;

Desta forma, o projeto loop shaping H∞ parte das especificacoes das funcoes de

malha fechada acima referidas, calculando controladores que atendam uma ou mais

dessas condicoes. Essas funcoes de malha fechada serao referenciadas, genericamente

como sendo as funcoes (ou matrizes) sensitividade. A tabela 9.1 apresenta a definicao

de algumas funcoes sensitividade.

Funcao Formula Relacao E/S

entrada saıda

Sensitividade na saıda da planta So(s) = (I +GK)−1 r e

d y

Sensitividade na entrada da planta Si(s) = (I +KG)−1 v u

Sensitividade na entrada do controle Sk(s) = KSo v u

Sensitividade Complementar na saıda da planta To(s) = GKSo = I − So r y

Sensitividade Complementar na entrada da planta Ti(s) = KGSi = I − Si v u

Tabela 9.1: Definicao das funcoes sensitividade em relacao aos sinais de entrada e saıda de

um sistema de controle padrao. No decorrer do texto as funcoes So(s) e To(s) serao tratadas

como S(s) e T (s) (por serem as mais usadas). Em geral, pelo contexto, e possıvel distinguir

entre as funcoes utilizadas.

Em geral, no projeto H∞, especificam-se funcoes sensitividade ponderadas, isto e,

ao inves de se requerer a minimizacao em toda a faixa de frequencia, definem-se formas

271


para as funcoes que especificam o comportamento desejado em determinada faixa de

frequencia de interesse.

Um fato importante quando da utilizacao das funcoes S(s) e T (s) para projetos e a

existencia de compromissos (algebricos e analıticos) entre essas funcoes [31, 75, 78]. Por

exemplo, e interessante atentar para os compromissos advindos da relacao S(s)+T (s) =

I. Tal relacao leva a conclusao, por exemplo, de que a especificacao T (s) = 1, requerida

para se ter y = r, equivale a se ter S = 0, ou ainda que minimizacao de ||S(s)||∞ e

conflitante com a minimizacao de ||T ||∞ na mesma faixa de frequencia, por exemplo.

O conhecimento das relacoes das funcoes sensitividade com o comportamento do

sistema (seja no domınio do tempo ou da frequencia) e de suma importancia neste tipo

de projeto. A seguir apresentam-se algumas conclusoes sobre as formas para S(s) e T (s)

e as respostas dos sistemas.

9.4.2 Caracterısticas da Funcoes S(s) e T (s)

O entendimento das relacoes para S(s) e T (s) em funcao da frequencia e fundamental no

projeto loop shaping H∞. Em geral, podem-se definir tres regioes para a especificacao

de S(s) e T (s), como feito para o projeto loop shaping classico (vide figura 9.6).

Na regiao de baixas frequencias deve-se requerer boa rejeicao a perturbacoes de

carga e boa resposta para rastreamento, logo a sensitividade deve ser reduzida. Em

altas frequencias a sensitividade complementar deve ser reduzida para atenuar efeito de

ruıdos de medicao. Na regiao da frequencia de cruzamento de ganho, onde ||L(jω)|| ≈ 1

nada se pode inferir sobre S(s) ou T (s) a nao ser relacoes para a taxa de variacao ou

decaimento (taxa de roll off ). Neste caso, como na especificacao para L(s), deve-se

atentar, na regiao de cruzamento de ganho, para a taxa de variacao de S(s) e T (s)

(variacao em dB’s por decada).

Nas analises que se seguem, para simplificar, consideram-se S(s) e T (s) escalares.

9.4.3 Relacoes para S(s)

Em geral, espera-se que a funcao S(s) tenha as seguintes caracterısticas:

1. S(s) deve ter uma faixa de passagem mınima, wb;

2. o modulo de S(s) deve ter um valor maximo numa determinada faixa de frequencia;

272


3. em baixas frequencias (ω → 0), S deve ter um valor nulo, indicando erro zero em

regime.

No projeto loop shaping robusto, deseja-se que o comportamento em frequencia da

funcao S(s) do sistema real se assemelhe ao comportamento da funcao S(s) especificada.

Nesse sentido, a funcao S(s) especificada (ideal), pode ser dada pela expressao:

S(s) =s

(1/M)s+ ω1

(9.11)

onde M e o valor maximo para a sensitividade (pico de S(s)) e ω1 e a faixa de passagem

em malha fechada, definida como sendo a frequencia onde |S(jω)| corta 1/√

(2) = 0, 707

(≈ −3 dB) a partir do seu valor mınimo.

Sendo assim, com a definicao da equacao 9.11 especifica-se um perfil em frequencia

no qual epera-se que o comportamento do sistema real se assemelhe.

Portanto, no projeto H∞ dois fatores serao relevantes na escolha da sensitividade:

M e ω1.

9.4.4 Relacoes para T (s)

Em geral, T (s) tera modulo proximo de 1 em baixas frequencias e tendera a zero em

altas frequencias. Uma expressao tıpica para T (s) pode ser:

T (s) =δs+ ωT

MT s+ ωT,

onde MT e o valor maximo de T (s) e ωT sua faixa de passagem e δ << 1.

9.5 Projeto via Sensitividade Composta

O projeto H∞ via sensitividade composta se fundamenta no trabalho de Zames [94] e

Zames e Francis [95] onde se introduziu o projeto via minimizacao da norma infinita

de S(s) ou de ||W (s)S(s)||∞. A generalizacao desse projeto, com a inclusao de outras

funcoes para serem minimizadas tem sua justificativa nas relacoes existentes entre as

funcoes sensitividade e as especificacoes de desempenho, como apresentado na subsecao

9.4.1.

Dentre as combinacoes possıveis para esse tipo de projeto, algumas se destacam

pela sua larga utilizacao e pela relacao com especificacoes de desempenho comumente

273


usadas. Na literatura podem ser encontradas diversas configuracoes (ou esquemas),

dentre as quais: i) S/KS [61, 74, 47, 65, 63]; ii) S/KS/T [16, 15]; iii) S/T [51, 29, 5];

iv) GS/T [16, 15, 80, 79]. Alem desses esquemas existem projetos H∞ que combinam

diversas dessas funcoes [77, 32, 87, 80].

Em geral, todos os projetos envolvem a funcao sensitividade, S(s), nao so pela

interpretacao fısica da mesma, como tambem pela sua relacao com a robustez do sistema

frente as incertezas de modelo ou as perturbacoes.

Sendo assim, pode-se considerar como o projeto mais importante (ou o mais generico)

o projeto S/KS (ou o S/KS/T [78]).

A secao seguinte e dedicada ao estudo mais detalhado do projeto via esquema S/KS

que e o esquema principal adotado para os projetos de controladores H∞ para o STI.

9.6 Esquema S/KS

Neste esquema calcula-se o controlador a partir do problema definido da seguinte forma:

Encontre K(s) tal que: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ W1(s)S(s)

W2K(s)S(s)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∞

≤ γ, (9.12)

sendo γ um escalar positivo e W1 e W2 as ponderacoes para as funcoes sensitividade

S(s) e K(s)S(s), respectivamente.

A figura 9.8 apresenta o diagrama desse projeto, que possui as seguintes carac-

terısticas:

i) Graus de liberdade para a especificacao do projeto: escolha de W1 e W2.

ii) Parametros de escolha para W1: faixa de passagem da sensitividade S(s) e seu valor

maximo (pico para S(jω)).

iii) Parametros para a escolha de W2: caracterısticas do sinal de controle (por exemplo,

amplitude e frequencia de oscilacao).

iv) Procedimento para escolha: conhecimento das regras para loop shaping [78] e com-

promissos existentes para S(s) e T (s) [31].

274


K� G�

W2�

W1�

r� e�

+�-�

z1�

z2�

y�

u�

Figura 9.8: Esquema S/KS para Projeto H∞

9.6.1 Escolha dos Pesos

A escolha dos pesos (otimos) deve levar em consideracao algumas caracterısticas iner-

entes aos sistemas reais como saturacoes, outros tipos de nao-linearidades, perturbacoes

etc. Desta forma, o projeto deve ser realizado de uma maneira interativa relacionando

a resposta obtida no sistema real com os parametros a escolher.

Peso W1

Preliminarmente, o peso W1 pode ser escolhido a partir da definicao de uma funcao S(s)

“ideal”, que especifica o comportamento da malha fechada desejada. A equacao (9.11)

apresenta uma funcao S(s) padrao e a partir dela define-se o peso W1:

Definicao 9.1 A matriz W1 pode ser escolhida como sendo uma matriz diagonal, W1 =

wii1 I, com os elementos, wii

1 dados por:

wii1 =

s/M ii1 + ωii

1

s(9.13)

onde M ii1 e o pico maximo da sensitividade S(s), ωii

1 e a faixa de passagem esperada

para a malha fechada.

♦Desta forma, relaciona-se W1 com a sensitividade desejada para cada malha, in-

dependentemente, e espera-se que, pelo menos em baixas frequencias, seja satisfeita a

relacao W−11 (s) ≈ S(s). Naturalmente, o projeto resultara em controladores melhores

desde que a escolha de S esteja de acordo com as limitacoes e compromissos existentes

para o sistema [31, 75, 78].

275


O fato de se requerer erro nulo em regime, isto e definir W1 com integradores, faz

com que a solucao via equacoes de Riccati4 seja nao factıvel. Neste caso, pode-se fazer

uso de um artifıcio para viabilizar o calculo, como apresentado na secao ??.

Peso W2

Definicao 9.2 A funcao W2 esta relacionada com a sensitividade de controle, Sk =

K(s)S(s), e fornece o comportamento desejado para o sinal de controle. Tomando-se

esta funcao como uma penalizacao do sinal de controle, a sua forma ideal sera a de um

filtro passa altas. Da mesma forma que para as funcoes anteriores, faz-se W2 = wii2 I,

onde

wii2 (s) = kw2

κiis+ βii

s+ αii=

(κii/βii)s+ 1

s/αii + 1(9.14)

sendo as constantes κii, βii e αii escolhidas de acordo com a cartacterıstica desejada

para o filtro.

♦

Representacao no Espaco de Estados no Esquema S/KS

Como o calculo do controlador H∞ e realizado via representacao no espaco de estados

[25], e interessante obter a representacao em espaco de estados da matriz generalizada

para o esquema da figura 9.8. Tal representacao sera usada para a solucao do problema

9.12 via equacoes de Riccati, como comentado no capıtulo ??, pagina 267, e tera suas

matrizes A, B1 . . .D22 relacionadas com a matriz P (s). Assim sendo a representacao

no espaco de estados da configuracao da figura 9.8 sera dada pelas equacoes 9.2 a 9.4,

repetidas a seguir por conveniencia:

x = Ax+B1w +B2u

z = C1x+D11w +D12u

y = C2x+D21w +D22u.

Para o esquema S/KS, w sera a referencia, z = [z1 z2]T as saıdas de W1 e W2, respec-

tivamente, e y = e. As matrizes A, B1 . . .D22 sao obtidas a partir das representacoes

no espaco de estados das funcoes G0, W1 e W2, dadas por:

4A solucao via Riccati para o problema H∞ e apresentada na secao ?? e no apendice ??.

276


G0 =

[Ag Bg

Cg Dg

], W1 =

[Aw1 Bw1

Cw1 Dw1

]e W2 =

[Aw2 Bw2

Cw2 Dw2

]. (9.15)

Neste caso, para a representacao dada pelas equacoes (9.2) a (9.4), as matrizes A,

B1, . . . , D22 terao os valores:

A =

⎡⎢⎣Aw1 0 −Bw1Cg

0 Aw2 0

0 0 Ag

⎤⎥⎦ , B1 =

⎡⎢⎣Bw1

0

0

⎤⎥⎦ e B2 =

⎡⎢⎣

−Bw1Dg

Bw2

Bg

⎤⎥⎦ . (9.16)

C1 =

[Cw1 0 −Dw1Cg

0 Cw2 0

], C2 =

[0 0 Cg

]. (9.17)

D11 =

[Dw1

0

], D12 =

[−Dw1Dg

Dw2

], D21 = I, D22 = −Dg. (9.18)

A partir dessas equacoes e possıvel relacionar os parametros de projeto com as matrizes

usadas na solucao do problema H∞.

Comentario 9.1 O projeto S/KS possui a desvantagem de resultar em um controlador

que possui zeros iguais aos polos estaveis da planta nominal, G0(s). Do ponto de vista da

robustez frente as incertezas de modelo este projeto pode resultar em sistemas frageis, no

sentido de que variacoes muito pequenas no sistema nominal podem resultar em respostas

indesejaveis [78, 15]. Na literatura existem diversos trabalhos realizados no sentido de

se evitar esse cancelamento [69, 84, 48, 83, 14, 85, 86]. Uma solucao particularmente

facil de ser implementada e a de se fazer o projeto via o esquema GS/T [15, 79, 87],

que considera ponderacoes para KS, S e T , como apresentado na subsecao 9.7.2.

9.7 Outros Esquemas para Projeto via Sensitividade

Composta

Como complemento ao apresentado acima, apresentam-se os estudos de dois esquemas

tambem bastante utilizados em projetos via sensitividade composta: S/KS/T e GS/T.

277


9.7.1 Esquema S/KS/T

O acrescimo da funcao T (s) para o projeto da sensitividade composta faz com que seja

possıvel especificar, alem do limite inferior para a faixa de passagem (especificada a

partir de ω1 de S(s)), um limite superior. Com isso, e possıvel especificar em qual

frequencia a funcao L(s) deve iniciar sua reducao. Como comentado em [78], em geral

especifica-se a funcao T (s) para reduzir a sensibilidade do sistema aos ruıdos de alta

frequencia.

Este esquema, representado na figura 9.9, possui a funcao de transferencia de malha

fechada:

Tzw =

⎡⎢⎣ W1So

W2KSo

W3To

⎤⎥⎦ . (9.19)

Neste caso, ponderam-se S(s) e T (s) via W1 e W3, respectivamente. KS e ponderado

por W2.

Ponderacao W3

Analogamente a especificacao para W1, a matriz W3 pode ser expressa como W3 = wii3 I,

onde

wii3 =

sM ii3 + ωii

3

δs+ ωii3M

ii3

(9.20)

sendo que M ii3 e o valor maximo esperado para σi(T (jω)) e ωii

3 e a faixa de passagem

desejada. δ e um numero real postivo tal que δ << 1.

y�

W1�W2�

K� G�r� e�

z1�z2�

u�

+�-�

W3�

z3�

Figura 9.9: Diagrama do esquema S/KS/T para projeto H∞

278


Representacao no Espaco de Estados

Executando o mesmo procedimento do projeto S/KS, com W3 = [Aw3, Bw3, Cw3, Dw3],

tem-se as seguintes matrizes A, B1 . . .D22 para a representacao no espaco de estados da

representacao S/KS/T da figura 9.9.

A =

⎡⎢⎢⎢⎣Aw1 0 0 −Bw1Cg

0 Aw2 0 0

0 0 Aw3 B3Cg

0 0 0 Ag

⎤⎥⎥⎥⎦ , B1 =

⎡⎢⎢⎢⎣Bw1

0

0

0

⎤⎥⎥⎥⎦ e B2 =

⎡⎢⎢⎢⎣

−Bw1Dg

Bw2

Ww3Dg

Bg

⎤⎥⎥⎥⎦ . (9.21)

C1 =

⎡⎢⎣ Cw1 0 0 −Dw1Cg

0 Cw2 0 0

0 0 Cw3 Dw3Cg

⎤⎥⎦ , C2 =

[0 0 0 −Cg

]. (9.22)

D11 =

⎡⎢⎣Dw1

0

0

⎤⎥⎦ , D12 =

⎡⎢⎣

−Dw1Dg

Dw2

D3Dg

⎤⎥⎦ , D21 = I, D22 = Dg. (9.23)

9.7.2 Esquema GS/T

O diagrama de blocos correspondente a esse projeto e dado na figura 9.10. A funcao de

transferencia correspondente e dada por:

Tzw =

[−W2TiWv W2KSoWr

SoGWv ToWr

]. (9.24)

W2�

Wr�

Wv�

K� G�

r�

v�

u�y�

z1�

z2�

+�

-�+�

+�

Figura 9.10: Diagrama para projeto GS/T.

Para analisar quais funcoes de malha fechada sao ponderadas, considere-se que a

ponderacao W2 possui modulo pequeno na faixa de frequencia de interesse, em relacao

279


as outras ponderacoes, de forma que sua influencia no valor da norma H∞ possa ser

desconsiderado. Neste caso, caberia avaliar a segunda linha da matriz Tzw da equacao

acima. Pode-se concluir, portanto, que o peso Wr deve ponderar To e Wv deve ponderar

GSo.

No presente trabalho este projeto e usado como uma alternativa ao projeto S/KS

(S/KS/T ), com a vantagem de nao resultar em controladores que invertem a planta

nominal, G0(s).


Executando-se o mesmo procedimento do projeto S/KS, com Wv = [Av, Bv, Cv, Dv],

tem-se as seguintes matrizes para a representacao no espaco de estados:

A =

⎡⎢⎢⎢⎣Aw1 0 −Bw1DgCv −Bw1Cg

0 Aw2 0 0

0 0 Av 0

0 0 BgCv Ag

⎤⎥⎥⎥⎦ , B1 =

⎡⎢⎢⎢⎣Bw1 Bw1DgDv

0 0

0 Bv

0 BgDv

⎤⎥⎥⎥⎦ e B2 =

⎡⎢⎢⎢⎣

−Bw1Dg

Bw2

0

Bg

⎤⎥⎥⎥⎦ .

(9.25)

C1 =

[Cw1 0 −Dw1DgCv −Dw1Cg

0 Cw2 0 0

], C2 =

[0 0 −DgCv −Cg

]. (9.26)

D11 =

[Dw1 −Dw1DgDv

0 0

], D12 =

[−Dw1Dg

Dw2

], D21 = [I −DgDv], D22 = −Dg

(9.27)

9.7.3 Projeto para Controlador com Dois Graus de Liberdade

Alem dos esquemas “tradicionais”apresentados, outro de grande interesse e o que define

a matriz generalizada para o controle H∞ com dois graus de liberdade, 2-DOF (2 -

Degree of Freedom).

Controladores com dois graus de liberdade possuem a vantagem de computar, inde-

pendentemente, referencias e variavel controlada, sendo possıvel definir separadamente

as especificacoes para rejeicao a ruıdo ou perturbacoes e as especificacoes para rastrea-

mento [15, 28, 43, 49, 89, 92].

280


z2�

K� G�

W2�

W1�

r�

+�

-�

z1�

y�

+�d�+�

Wr�0�

Figura 9.11: Diagrama para projeto de dois graus de liberdade robusto

A estrutura mostrada na figura 9.11 define o projeto 2-DOF via sensitividade com-

posta. A matriz de malha fechada Tzw para essa configuracao e:

Tzw =

[W1(Wr − Ter) −W1Soe

W2Sie W2KeSoe

], (9.28)

sendo, K = [Kr Ke], Sie = (I +KeG0)−1, Soe = (I +G0Ke)

−1 e Ter = SoeG0Kk.

A equacao (9.28) expressa a relacao usual para o projeto S/KS (segunda coluna de

Tzw), alem da especificacao para rastreamento, dada pelo termo Wr − Ter.

9.8 Projeto H∞ Robusto

Enquanto os esquemas via sensitividade composta sao usados para projetar contro-

ladores H∞ sub-otimos para o sistema nominal, objetivando satisfazer determinadas

condicoes para as funcoes sensitividade, a filosofia do projeto H∞ robusto, apesar de

ser fundamentada nos mesmos princıpios, visa calcular controladores que mantenham

explicitamente o desempenho na presenca de incertezas.

A formulacao da sensitividade composta (sem incertezas) tem sua motivacao em

projetos nos quais deseja-se especificar uma determinada resposta (em frequencia) para

a malha fechada, geralmente advinda de problemas de rejeicao a ruıdos ou sinais de

perturbacoes previamente conhecidos. Neste caso, a robustez e definida pela condicao

de que a norma das funcoes sensitividade deva ser menor ou igual a um determinado

valor.

Ao contrario, o projeto robusto trata de problemas de calculos de controladores para

plantas incertas, sendo que as incertezas sao, de alguma forma, explicitadas (por exem-

plo, plantas que variam no tempo, ou cujos modelos sao incertos).

281


9.8.1 Filosofia do Projeto H∞ Robusto

Por projeto H∞ robusto entende-se o projeto de controladores que visam minimizar a

norma H∞ da malha fechada em sistemas com incertezas (geralmente nao-parametricas,

nao-estruturadas), tendo como fundamento o chamado teorema do ganho pequeno (teo-

rema ?? secao ??, pagina ??).

Pode-se definir esse projeto como uma extensao do problema da sensitividade com-

posta ao qual acrescentam-se informacoes sobre as incertezas do modelo.

9.8.2 Relacoes para Robustez

A consideracao de incertezas no projeto via sensitividade composta possibilita o acrescimo

da condicao de robustez, que e a condicao em que o desempenho e a estabilidade sao

satisfeitas para toda a famılia de plantas definida pelo modelo incerto. Essa condicao de

robustez (de desempenho e estabilidade) e dependente do tipo de incerteza considerada

e das relacoes entre as entradas e saıdas existentes no sistema.

Dada uma famılia de plantas, Gp(s), especificada a partir das possıveis representacoes

para as incertezas presentes em sistemas LTI, do modelo nominal, G0, e de um contro-

lador K(s), o sistema em malha fechada pode ser classificado de acordo com as carac-

terısticas enumeradas a seguir.

Definicao 9.3 [96]

1. Estabilidade Nominal (EN):

Diz-se que um sistema possui estabilidade nominal quando K(s) estabiliza o modelo

nominal G0.

2. Estabilidade Robusta (ER): O sistema possui estabilidade robusta se as es-

pecificacoes de estabilidade sao satisfeitas para toda a famılia de plantas, Gp.

3. Desempenho Nominal (DN): O sistema possuira desempenho nominal se as

especificacoes de desempenho sao garantidas apenas para a planta nominal.

4. Desempenho Robusto (DR): O sistema possuira desempenho robusto se as

especificacoes de desempenho sao satisfeitas para toda a famılia de plantas, Gp.

♦

282


9.8.3 Incertezas

Na secao ?? do Apendice ?? sao apresentadas as principais representacoes de incertezas

usadas para problemas da abordagem H∞.

Algumas delas sao resumidas na tabela 9.2, onde apresentam-se tambem as relacoes

entre os tipos de incertezas e suas ocorrencias [27, 55, 96].

Incerteza Gp Ocorrencia

Aditiva Gp = G0 + Δ zeros no semi-plano direito (RHP) incertos

Multiplicativa na saıda Gp = (I + Δ)G0 Erros (incertezas) na saıda da planta.

Dinamicas nao modeladas.

Multiplicativa na entrada Gp = G0(I + Δ) Erros na entrada da planta.

Mudanca do numero de zeros RHP.

Dinamicas nao modeladas.

Inversa na saıda Gp = (I + Δ)−1G0 Erros parametricos em baixas frequencias.

Polos no RHP incertos.

Inversa na entrada Gp = G0(I + Δ)−1 Erros parametricos em baixas frequencias.


Fatoracao Coprima Gp = (M + ΔM )−1(N + ΔN )−1 Dinamica nao modelada (altas frequencias).

Erros parametricos em baixas frequencias.


Incertezas em polos e zeros no RHP.

Aditiva Inversa Gp = (G−10 −Δ)−1 Erros parametricos em baixas frequencias.


Tabela 9.2: Relacoes entre os tipos de incertezas e a sua ocorrencia.

Relacao Funcoes Sensitividade e Estabilidade Robusta

Para cada tipo de incerteza da tabela 9.2 existe uma funcao sensitividade relacionada,

usada para o teste da robustez do sistema em malha fechada. A tabela 9.3 apresenta a

relacao entre o sistema incerto e a sensitividade (ponderada por uma funcao W ) usada

como teste de robustez.

283


Tipo de Incerteza Teste da Estabilidade Robusta

Aditiva ||WKSo||∞ ≤ 1

Multiplicativa na entrada ||WTi||∞ ≤ 1

Multiplicativa na saıda ||WSo||∞ ≤ 1

Inversa na saıda ||WSo||∞ ≤ 1

Inversa na entrada ||WSi||∞ ≤ 1

aditiva inversa ||WG0So||∞ ≤ 1

Tabela 9.3: Relacao entre representacao das incertezas e a funcao sensitividade usada

para testar a robustez da malha fechada.

9.8.4 Especificacao do Projeto H∞ Robusto

No projeto H∞ robusto, alem da especificacao das relacoes entrada/saıda, isto e, dos

esquemas da sensitividade composta, deve-se atentar para a especificacao das incertezas

(tipo e representacao). A seguir estes dois aspectos sao analisados.

Especificacao dos Esquemas para o Projeto H∞ Robusto

Para esse projeto, podem-se adotar os mesmos esquemas usados para os projetos H∞ loop

shaping, atentando-se para o fato de que a presenca de incertezas modifica a estrutura

final da matriz Tzw usada no calculo de K(s).

Especificacao das Incertezas

Dentre as incertezas possıveis (vide tabela 9.2), a incerteza multiplicativa de entrada e

a que estara sempre presente [78] uma vez que ela traduz a incapacidade de se saber

precisamente o valor da variavel manipulada. Esse tipo de incerteza e chamado na

literatura de incerteza tipo dinamica nao modelada, DNM, ou incerteza tipo dinamica

negligenciada, DN5.

A figura 9.12 apresenta um diagrama de um sistema com uma incerteza multiplicativa

de entrada, que pode ser usada para representar uma dinamica nao modelada.

5Skogestad e Postlethawaite [78], entretanto, diferenciam a DNM da DN, chamando a atencao parao fato de a DNM considerar obrigatoriamente o aumento da incerteza com o aumento da frequencia.

284


K�+� +�

-�+�

Δ®Wi�

G� W3�u� 0�

Figura 9.12: Esquema para projeto H∞ padrao

9.8.5 Projeto H∞ Robusto com Incerteza Multiplicativa de En-

trada

Matriz Generalizada

O esquema da figura 9.12 resulta na matriz generalizada,

Tzw =

[W3To W3G0Ti

WiKSo −WiKSoG0

]. (9.29)

Desta forma, tem-se um problema de otimizacao com as ponderacoes W3, relacionada

com a funcao T (s) e a ponderacao Wi, relacionada com a representacao das incertezas,

que como comentando anteriormente, podera variar, de acordo com o maior ou menor

grau de conhecimento da planta.

Em geral, uma forma de representar Wi e partir da relacao definida em [78], apre-

sentada a seguir.

Definicao 9.4 Analogamente ao problema da definicao dos pesos, a especificacao das

incertezas tipo dinamica nao modelada e feita a partir do conhecimento da planta e

baseia-se em regras heurısticas, simulacoes e analise de experimentos no sistema real.

Entretanto, existem regras genericas que auxiliam na especificacao deste tipo de in-

certeza. Em particular, a equacao (9.30) [78] apresenta uma funcao de transferencia

para a incerteza tipo DNM:

wI =τs+ r0

(τ/r∞)s+ 1, (9.30)

onde r0 e a incerteza relativa em estado estacionario, 1/τ indica (aproximadamente)

a frequencia onde a incerteza relativa atinge 100% (isto e, |wI(jω)| = 1) e r∞ indica

o valor da incerteza em altas frequencias. Em geral, em sistemas MIMO adota-se a

estrutura diagonal, Wi = Iwi, sendo I a matriz identidade de dimensoes compatıveis.

♦

285



Considerando que as matrizes G0, W3 e Wi possuem realizacoes:

G0 =

[Ag Bg

Cg Dg

], W3 =

[Aw3 Bw3

Cw3 Dw3

]e Wi =

[Awi Bwi

Cwi Dwi

], (9.31)

a malha fechada Tzw tera a realizacao (referente as equacoes 9.2 a 9.4) dada por:

A =

⎡⎢⎣Aw3 0 Bw3Cg

0 Awi 0

0 0 Ag

⎤⎥⎦

B1 =

⎡⎢⎣ 0 Bw3Dg

0 0

0 Dg

⎤⎥⎦ e B2 =

⎡⎢⎣ Bw3Dg

Bwi

Dg

⎤⎥⎦

C1 =

[Cw3 0 Dw3Cg

0 Cwi 0

]e C2 =

[0 0 −Cg

]

D11 =

[0 Dg

0 0

]e D12 =

[Dg

Dwi

]e D21 =

[I −Dg

]e D22 = −Dg

9.9 Solucao Via Equacoes de Riccati

Nessa secao objetiva-se refinar os conceitos referentes as solucoes via Equacoes de Ric-

cati apresentados no capıtulo introdutorio. Mostrar-se-ao algumas condicoes para a

utilizacao das solucoes para o problema H∞ restrito via Riccati.

Define-se o problema H∞ restrito como sendo o problema de achar o controlador

K(s) tal que a norma H∞ da malha fechada seja menor que um dado numero positivo,

γ, isto e:

Definicao 9.5 (Problema H∞ restrito) Encontrar K(s) tal que:

||Fl(P (s), K(s))||∞ < γ, (9.32)

sendo γ um escalar positivo, P (s) a matriz generalizada e Fl a TLF entre P e K.

♦Em geral, e comum assumir o escalar γ como sendo o ındice de desempenho desejado

(em termos do valor da norma H∞) [18].

286


Como comentando no Capıtulo ??, a solucao e obtida a partir da representacao em

espaco de estados da matriz generalizada P (s), dada por:

P (s) =

⎡⎢⎣A B1 B2

C1 D11 D12

C2 D21 D22

⎤⎥⎦ . (9.33)

De posse dessas matrizes, e do numero γ, montam-se as equacoes de Riccati (sim-

plificadas)6, cujas solucoes sao as matrizes X∞ e Y∞:

ATX∞ +X∞A+ CT1 C1 +X∞(−γ−2B1B

T1 −B2B

T2 )X∞ = 0 (9.34)

AY∞ + Y∞AT +B1BT1 + Y∞(−γ−2CT

2 C2 − CT2 C2)Y∞ = 0. (9.35)

As equacoes acima terao como solucoes as matrizes que formam o controlador K(s)

desde que sejam satisfeitas as seguintes condicoes7:

A1 (A,B2, C2) e estabilizavel e detectavel.

A2 D12 possui posto cheio para coluna e D21 possui posto cheio para linha.

A3 A matriz: [A− jωI B2

C1 D12

](9.36)

deve ter posto cheio para coluna.

A4 A matriz: [A− jωI B1

C2 D21

](9.37)

deve possuir posto cheio para linha.

A5 D12 =

[0

I

]e D21 = [0 I].

A6 DT12C1 = 0 e B1D

T12 = 0.

A7 (A,B1) e estabilizavel e (A,C1) e detectavel.

6No Apendice ?? e apresentado o desenvolvimento matematico das equacoes completas.7O desenvolvimento matematico do Apendice ?? requer menos restricoes

287


9.10 Exemplo de Projeto de Controlador H∞ MIMO

(via Loop Shaping)

Em linhas gerais, o procedimento para se obter um controlador K(s), baseado na tecnia

de Loop Shaping H∞ pode ser dado pelo seguinte algoritmo.

Procedimento para Projeto H∞ Loop Shaping

1. Determina-se o esquema a ser usado.

2. Escolhem-se as ponderacoes.

3. Monta-se matriz generalizada.

4. Resolve-se o problema de otimizacao H∞.

5. Simula-se o resultado. Apos a analise, alteram-se os pesos, caso necessario.

9.11 Exemplo de Utilizacao

Considere o sistema dado por:

A =

[−3, 5757 × 1−−2 3, 5757 × 1−−2

3, 5757 × 1−−2 −3, 5790 × 1−−2

]; B =

[0, 0114 0

0 0, 0022

]. (9.38)

C =

[0 1, 0

0 0, 0067

]; D =

[0 0

0 −0, 4336

]. (9.39)

Cuja matrix de transferencia e dada por:

G(s) =1

s2 + 0, 07155s+ 1, 18 × 10−6

[4, 07 × 10−4 2, 2 × 10−3s+ 7, 87 × 10−5

2, 73 × 10−6 −0, 4336s2 − 0, 03101s+ 1, 542 × 10−8

]

Vamos projetar um controlador H∞ pelo metodo do loopshaping (sensitividade com-

posta).

288


9.11.1 Resposta em Frequencia do Sistema

10−6

10−4

10−2

100

10−5

100

ampl

itude

G11

(jω)

10−6

10−4

10−2

100

10−5

100

ampl

itude

G12

(jω)

10−6

10−4

10−2

100

10−5

100

tempo (s)

ampl

itude

G21

(jω)

10−6

10−4

10−2

100

10−5

100

tempo (s)

ampl

itude

G22

(jω)

Figura 9.13: .

Valores Singulares

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

10−1

100

101

102

103

ampl

itude

σmax

(jω)

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

10−4

10−3

10−2

10−1

100

tempo (s)

ampl

itude

σmin

(jω)

Figura 9.14: .

289


MGR

10−6

10−4

10−2

100

−0.5

0

0.5

1

ampl

itude

RGA 11

10−6

10−4

10−2

100

−0.5

0

0.5

1

ampl

itude

RGA 12

10−6

10−4

10−2

100

−0.5

0

0.5

1

tempo (s)

ampl

itude

RGA 21

10−6

10−4

10−2

100

−0.5

0

0.5

1

tempo (s)

ampl

itude

RGA 22

Figura 9.15: .

9.11.2 Procedimento

• Escolha o tipo de esquema para o projeto da sensitividade composta: (S/KS),

(GS/T), (S,KS,T), etc.

• Ao escolher o esquema, atente para o tipo de controle que deseja (regulacao ou

rastreamento (tracking)).

• Escolha os pesos (W1, W2, W3, etc.).

• Monte a matriz generalizada (P (s)).

• Resolva o problema de sıntese H∞.

Nesse exemplo, adota-se o projeto S/KS.

290


Escolha das Ponderacoes

• W1 sera uma matriz diagonal, W1 = wii1 I, com os elementos, wii

1 dados por:

wii1 =

s/M ii1 + ωii

1

s(9.40)

• Sendo M ii1 e o pico maximo da sensitividade S(s), ωii

1 e a faixa de passagem

esperada para a malha fechada.

• W2 sera diagonal, com elementos dados por:

wii2 (s) = kw2

κiis+ βii

s+ αii=

(κii/βii)s+ 1

s/αii + 1(9.41)

• Nesse caso, as constantes κii, βii e αii escolhidas de acordo com a cartacterıstica

desejada para o filtro.

Para o exemplo, tem-se:

W1 =

[0,5s+0,02s+4×10−8 0

0 0,5s+0,2s+4×10−7

]

W2 =

[s+1×10−6

s+100

0 s+1×10−3

s+1

]

291


As figuras 9.16 e 9.17 apresentam as respostas em frequencia de W1 e W2.

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

10−6

10−4

10−2

100

102

ampl

itude

σmax

(jω)

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

10−6

10−4

10−2

100

102

tempo (s)

ampl

itude

σmin

(jω)

Figura 9.16: Valores singulares maximo e minimo de W1.

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

10−8

10−6

10−4

10−2

100

tempo (s)

ampl

itude

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

10−8

10−6

10−4

10−2

100

tempo (s)

ampl

itude

Figura 9.17: Resposta em frequencia do elementos 11 e 22 de W2.

292


9.12 Como montar a matriz P (s) no MATLAB

systemnames = ’G W1 W2’;

sysoutname = ’P’;

inputvar = ’[ref2;u2]’;

inputtoG = ’[u]’;

inputtoW1 = ’[ref-G]’;

inputtoW2 = ’[u]’;

outputvar = ’[W1;W2;ref-G]’;

cleanupsysic = ’yes’;

sysic;

Para calcular o controlador use hinfsyn

nmeas = 2;

ncon = 2;

gmin = 0.90;

gmax = 40;

tol = 1e− 1;

ricmethd = 2;

epr = 1e− 10;

epp = 1e− 6;

quiet = 1;

[K1, gw, gfin2, ax2, ay2, hamx2, hamy2] = ∗hinfsyn(P, nmeas, ncon, gmin, gmax, tol, ricmethd

, epr, epp, quiet);

293


9.13 Analise

Pode-se usar o comando sysic para montar a matriz usada na simulacao (resposta ao

perfil):

% MONTA MATRIZ PARA PLOTAR

systemnames = ’G’;

sysoutname = ’Pplot’;

inputvar = ’[ref{2};u{2}]’;

input_to_G = ’[u]’;

outputvar = ’[G;u;ref-G]’;

cleanupsysic = ’yes’;

sysic;

Para criar o perfil use o comando vpck. No comando a seguir e criado o vetor u6000.

te = [0;500;501;1000;1001;1500;1501;2000;2001;3000;3001;3500;3501;4000;...

4001;5000;5001;5500;5501;6000];

u0 = [0;0];

u1 = [0;0];

u2 = [const1*0.5;const2*0];

u3 = [const1*0.5;const2*0];

u4 = [const1*0.5;const2*0.5];

u5 = [const1*0.5;const2*0.5];

u6 = [const1*0.5;const2*0.5];

u7 = [const1*0.5;const2*0.5];

u8 = [-const1*0;const2*0.5];

u9 = u8;

u10 = [-const1*0;-const2*0]; u11 = u10; u12 = [-const1*.5;const2*0];

u13 = [-const1*0.5;-const2*0];

u14 = [const1*0;-const2*0.5]; u15 = u14; u16 = [const1*0.5;0]; u17 = u16;

u18 = u17; u19 = u18;

nu = [u0;u1;u2;u3;u4;u5;u6;u7;u8;u9;u10;u11;u12;u13;u14;u15;u16;u17;u18;u19];

u6000 = vpck(nu,te);

294


9.13.1 Respostas Temporais

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

ampl

itude

Y1 e U1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000−1

−0.5

0

0.5

1

tempo(s)

ampl

itude

sinal de controle

Figura 9.18: Resposta temporal para a malha 1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

ampl

itude

Y2 e U2

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

tempo(s)

ampl

itude

sinal de controle

Figura 9.19: Resposta temporal para a malha 2

295


9.13.2 Analise de S(s) e W (s)

Para que o criterio de robustez seja satisfeito, deve-se ter:

||W1(s)S(s)||∞ ≤ 1

Veja os graficos a dados em 9.20 e 9.21

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

σmax

[S(jω)] (azul) e σmax

[W−11

(jω)] (tracejada)

freq (rad/s)

ampl

itude

Figura 9.20: σmax[S(jω) e σmax[W1(jω)

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

σmin

[S(jω)] (azul) e σmin

[W−11

(jω)] (tracejada)

freq (rad/s)

ampl

itude

Figura 9.21: σmin[S(jω) e σmin[W1(jω)

296


9.13.3 Comentarios

• Cada tipo de esquema e cada planta tera um ponto crıtico para a escolha das

ponderacoes.

• Para se ter integrador deve se ter um sensitividade com zero na origem.

• O projeto S/KS baseia-se na inversao da planta (sıntese-Q).

9.13.4 Exercıcios

1) Faca projetos de controladores H∞ MIMO para o sistema dado no exemplo anterior,

com os esquema GS/T.

2) Repita o projeto para o esquema S/KS/T.

297

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Controle Multivariável