CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES COM ......Aos engenheiros e amigos, Andre Cesar, Elvis Neres, Felipe Figueredo, Felipe Rodrigues, Geraldo Francisco, Hudson Rocha, Josiane Maria e Marcelo

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

JOÃO DEODATO BATISTA DOS SANTOS

CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES COM COMPENSAÇÃO DIFUSA APLICADO

A SISTEMAS COM DESCONTINUIDADE

NATAL2013




Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica.

Orientador:Professor Dr. Wallace Moreira Bessa.

NATAL

2013




Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica.

Aprovada em 13 \ 11 \ 2013

BANCA EXAMINADORA

Professor Dr. Wallace Moreira Bessa

Professor Dr João Carlos Arantes Costa Junior

Professor Dr Roberto Silva De Souza

UFRN / Biblioteca Central Zila MamedeCatalogação da Publicação na Fonte

Santos, João Deodato Batista dos. Controle por modos deslizantes com compensação difusa aplicado a

sistemas com descontinuidade / João Deodato Batista dos Santos. – Natal, RN, 2013.

74 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Wallace Moreira Bessa.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.

1. Sistemas de controle não linear – Dissertação. 2. Controle por modos deslizantes – Dissertação. 3. Lógica difusa – Dissertação. 4. Atuador eletro-hidráulico – Dissertação. I. Bessa, Wallace Moreira. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 621

À meus pais, Maria das Neves e Manoel DeodatoAos meus irmãos, Isabel, Emanuel e Ana.

Em memória de minhas avós Onésima e Dulce.

AGRADECIMENTOS

Ao professor Dr. Wallace Moreira Bessa pela orientação, apoio, sugestões e

ensinamentos não só no âmbito técnicos-científicos mas também no que se refere a ética

profissional, moral, cidadania, e principalmente pela paciência.

Aos engenheiros e amigos, Andre Cesar, Elvis Neres, Felipe Figueredo, Felipe

Rodrigues, Geraldo Francisco, Hudson Rocha, Josiane Maria e Marcelo da Costa, por suas

contribuições diretas e indiretas a este trabalho.

E aos companheiros de laboratório Ana Karoline, George Oliveira, Jorge Luis e Letícia

Melão, por suas inestimáveis contribuições.

Ao programa de pós-graduação em Engenharia Mecânica, pela oportunidade de

realização deste trabalho.

À CAPES pelo apoio ao longo do desenvolvimento deste trabalho.

“A persistência é o menor caminho do êxito.” (Charles Chaplin)

SANTOS, J. D. B. CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES COM COMPENSAÇÃO DIFUSA APLICADO A SISTEMAS COM DESCONTINUIDADE. 2013, 75 fls, Dissertação (mestrado)-Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal-RN, 2013.

RESUMO

O desenvolvimento de controladores não lineares ganharam espaço nos âmbitos teórico e de

aplicações práticas no momento que o surgimento de computadores digitais possibilitou a

implementação destas metodologias. Em comparação aos controladores lineares mais

utilizados, os controladores não lineares apresentam a vantagem de não necessitarem da

linearização do sistema para determinar os parâmetros de controle, o que permite um

controle mais eficiente principalmente quando o sistema apresenta elevado grau de não

linearidade. Outra vantagem adicional é a redução dos custos, uma vez que para obter o

controle eficiente através dos controladores lineares é necessária a utilização de sensores e

atuadores mais refinados do que quando se utiliza um controlador não linear. Dentre as

teorias de controle não linear, o método de controle por modos deslizantes se destaca por ser

um método que apresenta maior robustez frente às incertezas. Já é comprovado que a

adoção de técnicas de compensação na região do erro residual permite melhorar ainda mais

o desempenho desses controladores. Assim, neste trabalho é descrito o desenvolvimento de

um controlador não linear que busca a associação da estratégia de controle por modos

deslizantes com a técnica de compensação fuzzy. Mediante a implementação de algumas

estratégias de compensação fuzzy, buscou-se aquela que proporcionasse maior eficiência

frente a um sistema com elevado grau de não linearidades e incertezas. O atuador eletro-

hidráulico foi utilizado como exemplo de estudo, e os resultados apontam para duas

configurações de compensação que permitem uma maior redução do erro residual.

Palavras-chave: Controle não linear; Controle por modos deslizantes; Logica difusa: Atuador eletro-hidráulico.

ABSTRACT

The development of non-linear controllers gained space in the theoretical ambit and of

practical applications on the moment that the arising of digital computers enabled the

implementation of these methodologies. In comparison with the linear controllers more

utilized, the non -linear controllers present the advantage of not requiring the linearity of the

system to determine the parameters of control, which permits a more efficient control

especially when the system presents a high level of non-linearity. Another additional

advantage is the reduction of costs, since to obtain the efficient control through linear

controllers it is necessary the utilization of sensors and more refined actuators than when it is

utilized a non-linear controller. Among the non-linear theories of control, the method of

control by gliding ways is detached for being a method that presents more robustness, before

uncertainties. It is already confirmed that the adoption of compensation on the region of

residual error permits to improve better the performance of these controllers. So, in this work

it is described the development of a non-linear controller that looks for an association of

strategy of control by gliding ways, with the fuzzy compensation technique. Through the

implementation of some strategies of fuzzy compensation, it was searched the one which

provided the biggest efficiency before a system with high level of nonlinearities and

uncertainties. The electrohydraulic actuator was utilized as an example of research, and the

results appoint to two configurations of compensation that permit a bigger reduction of the

residual error.

Key-words: Non-linear; Control by gliding ways; Diffused logic; electro-hydraulic

actuator.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Saída SMC com função sinal..............................................................................26

Figura 2.2: Erro SMC com função sinal................................................................................26

Figura 2.3: Esforço de controle SMC com função sinal........................................................26

Figura 2.4: Espaço de Estado SMC com função sinal...........................................................27

Figura 2.5: Saída SMC saturado............................................................................................30

Figura 2.6: Erro SMC saturado..............................................................................................30

Figura 2.7:Esforço de controle SMC saturado.......................................................................31

Figura 2.8: Espaço de estados SMC saturado........................................................................31

Figura 2.9: Função trapezoidal...............................................................................................33

Figura 2.10: Função triangular...............................................................................................33

Figura 2.11: Distribuição das funções fuzzy..........................................................................34

Figura 2.12: Saída SMC Sat + fuzzy P...................................................................................39

Figura 2.13: Erro SMC Sat + fuzzy P....................................................................................39

Figura 2.14:Esforço de controle SMC Sat + fuzzy P..............................................................39

Figura 2.15: Espaço de Estado SMC Sat + fuzzy P...............................................................40

Figura 2.16: Saída SMC Sat + fuzzy PD...............................................................................41

Figura 2.17: Erro SMC Sat + fuzzy PD.................................................................................42

Figura 2.18:Esforço de controle SMC Sat + fuzzy PD..........................................................42

Figura 2.19: Espaço de estado SMC Sat + fuzzy PD............................................................42

Figura 2.20: Saída SMC Sat+ fuzzy S...................................................................................43

Figura 2.21: Erro SMC Sat + fuzzy S....................................................................................43

Figura 2.22: Esforço de controle SMC Sat + fuzzy S............................................................44

Figura 2.23:Espaço de estado SMC Sat + fuzzy S.................................................................44

Figura 3.1: Sistema eletro-hidráulico.....................................................................................46

Figura 3.2: Não linearidade de zona morta............................................................................48

Figura 3.3: Erro eletro-hidráulico, SMC função sinal............................................................52

Figura 3.4: Esforço eletro-hidráulico, SMC função sinal......................................................52

Figura 3.5: Erro eletro-hidráulico, SMC função saturação....................................................53

Figura 3.6: Esforço eletro-hidráulico, SMC função saturação...............................................53

Figura 3.7: Erro eletro-hidráulico, SMC + fuzzy P.................................................................54

Figura 3.8: Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + fuzzy P.........................................55

Figura 3.9: Erro eletro-hidráulico, SMC + fuzzy PD..............................................................56

Figura 3.10: Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + fuzzy PD....................................56

Figura 3.11: Erro eletro-hidráulico, SMC + fuzzy S 1............................................................57

Figura 3.12: Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + fuzzy S 1...................................57

Figura 3.13: Erro eletro-hidráulico, SMC + fuzzy S 2...........................................................58

Figura 3.14: Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + fuzzy S 2...................................58

Figura 3.15: Erro eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy P.................................................60

Figura 3.16: Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy P.........................60

Figura 3.17: Erro eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy PD..............................................61

Figura 3.18: Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy PD.....................61

Figura 3.19: Erro eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy S.................................................62

Figura 3.20: Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy S.........................62

Figura 3.21 Erro eletro-hidráulico com 25% de incertezas,SMC+ F PD...............................65

Figura 3.22 Erro eletro-hidráulico com 25% de incertezas,SMC+Int F S.............................66

Figura 3.23 Esforço de Controle eletro-hidráulico com 25% de incertezas,SMC+ F PD......66

Figura 3.24 Esforço de Controle eletro-hidráulico com 25% de incertezas,SMC+Int F S....67

Figura 3.25: Espaço de estados eletro-hidráulico com 25% de incertezas ,SMC+ F PD.......67

Figura 3.26: Espaço de estados eletro-hidráulico com 25% de incertezas, SMC+ Int F S....68

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Base de regras de inferência fuzzy P.....................................................................37

Tabela 2.2: Base de regras fuzzy P para o problema do oscilador de Van-der-pol..................38

Tabela 2.3:Base de regras de inferência fuzzy PD...................................................................40

Tabela 2.4:Base de regras fuzzy PD para o problema do oscilador de Van-der-pol................41

Tabela 2.5:Base de regras fuzzy S para o problema do oscilador de Van-der-pol...................43

Tabela 3.1 Parâmetros do sistema eletro-hidráulico sem incertezas.......................................51

Tabela 3.2: Base de regras do fuzzy P, aplicado ao sistema eletro-hidráulico.........................54

Tabela 3.3: Base de regras do fuzzy PD, aplicado ao sistema eletro-hidráulico......................55

Tabela 3.4: Base de regras do fuzzy S primeira configuração.aplicado ao sistema eletro-

hidráulico................................................................................................................................57

Tabela 3.5: Base de regras do fuzzy S segunda configuração, aplicado ao sistema eletro-

hidráulico................................................................................................................................58

Tabela 3.6: Base de regras da função integral fuzzy P, aplicado ao sistema eletro-

hidráulico................................................................................................................................59

Tabela 3.7: Base de regras da função integral fuzzy PD, aplicado ao sistema eletro-

hidráulico................................................................................................................................61

Tabela 3.8: Base de regras da função integral fuzzy S, aplicado ao sistema eletro-

hidráulico................................................................................................................................62

Tabela 3.9:Análise do erro......................................................................................................63

Tabela 3.10 Análise do esforço de controle............................................................................64

Tabela 3.11: Parâmetros para o sistema eletro-hidráulico com 25% de incertezas................65

Tabela 3.12 Análise do esforço de controle para 25% de incertezas......................................68

LISTA SIGLAS.

EDO Equação diferencial ordinária.

Fuzzy P função fuzzy proporcional ao erro.

Fuzzy PD função fuzzy proporcional ao erro e sua derivada.

Fuzzy S função fuzzy proporcional a distancia de deslizamento.

INT Função integral.

NP Negativo pequeno

NM Negativo médio

NG Negativo grande

PG Positivo grande

PM Positivo médio

PP Positivo pequeno

SMC sliding modes control.

SGN Função sinal.

SAT Função saturação.

TSK Takagi-Sugeno-Kang

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO....................................................................................................................14

1.1 POSICIONAMENTO…........................................................................................................14

1.2 METODOLOGIA..................................................................................................................16

1.3 DESENVOLVIMENTO........................................................................................................18

2 SISTEMAS DE CONTROLE NÃO LINEAR...................................................................19

2.1 CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES.......................................................................20

2.2 CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES SUAVIZADO...............................................27

2.3 CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES COM COMPENSAÇÃO DIFUSA …..........32

3 ATUADOR ELETRO-HIDRÁULICO...............................................................................45

3.1 DESCRIÇÃO.........................................................................................................................46

3.2 LEI DE CONTROLE PARA O ATUADOR ELETRO-HIDRÁULICO................................50

3.3 RESULTADOS E DISCUSSÃO............................................................................................51

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS...............................................................................................70

REFERENCIAS....................................................................................................................73

14

Capítulo 1

INTRODUÇÃO

1.1 Posicionamento

Os esforços em desenvolver teorias de controle iniciaram-se à medida que o aumento da

complexidade dos equipamentos impossibilitou a sua utilização eficiente através da

manipulação de um operador humano. Os primeiros sistemas de controle consistiam em

equipamentos mecânicos que utilizavam propriedades físicas, como a dilatação térmica, para

controlar a temperatura, lâminas bimetálicas ou a dinâmica rotacional de uma válvula

centrífuga, a qual foi desenvolvida por James Watt para o controle de velocidade de rotação

de máquinas a vapor.

Durante o século XX, a teoria de controle linear ganhou espaço na indústria, uma vez

que sua utilização em um circuito era de fácil obtenção. Em contrapartida, essa técnica

apresenta a necessidade de linearização dos sistemas para a escolha dos parâmetros de

controle (OGATA, 2011). A maioria das aplicações práticas apresenta não linearidades, e o

processo de linearização do sistema implica em determinar uma faixa de operação na qual

ele é aproximadamente linear. No controle de sistemas que apresentam elevado grau de não

linearidade, esse processo reduz sua faixa de operação, além de comprometer a eficiência do

controlador, caso seja necessário operar longe do ponto de linearização.

A baixa eficiência dos sistemas de controle resulta na diminuição da precisão das

operações, o que dependendo do ramo de aplicação pode significar um maior consumo

energético e consequentemente maior impacto ambiental, aumento dos defeitos de

15

fabricação, ou, como no caso de aeronaves, um maior risco de acidentes.

Os controladores não lineares ganharam espaço a partir do desenvolvimento dos

computadores digitais. Dentre os métodos de controles não linear, os de Linearização por

Realimentação (Feedback Linearization), Controle por Modos Deslizantes (Sliding Mode

Control), e outras estratégias baseadas no Método Direto de Lyapunov permitem o controle

de sistemas sem a necessidade de limitar a faixa de operação a uma região na qual possa ser

feito a aproximação linear. Portanto, esses métodos vêm ganhando espaço em problemas nos

ramos: da engenharia mecânica, mecatrônica, química e aeronáutica.

Uma vantagem adicional na utilização de controladores mais eficientes é a possibilidade

da redução de custo do equipamento, uma vez que sistemas de controle lineares precisam de

sensores e atuadores que apresentem uma faixa de operação linear o maior possível. E para

que essas características sejam atendidas, os processos de fabricação desses equipamentos

exigem maior refinamento, tornando o custo desses equipamentos superior quando

comparado aos sensores e atuadores que apresentam maior grau de não linearidades.

Entretanto, quando os sistemas que se deseja controlar de alguma forma não são

conhecidos perfeitamente, o que é bastante comum, principalmente em plantas que envolvem

muitos parâmetros, ou o modelo matemático não condiz perfeitamente com a realidade, ou

então, quando existem ruídos nas medições, entre outras formas de flutuação de algum

parâmetro do sistema, os controladores não lineares também podem apresentar diminuição

no seu desempenho.

Nas últimas décadas, com o desenvolvimento das técnicas de inteligência artificial

como lógica difusa (fuzzy), redes neurais e algoritmos genéticos, foi possível o

desenvolvimento de sistemas de controle que são capazes de compensar ou modelar os

efeitos das incertezas, ou não linearidades, obtendo controladores que são denominados

inteligentes, podendo ser concebidos a partir da própria técnica de inteligência artificial,

como controladores fuzzy (AL-HADITHI; JIMENEZ e MATÍA, 2012; HE; LIM e CHUA,

2003) e controladores neurais adaptativos (NA, 2013; CHENG, 2009), ou de forma mista,

associando técnicas de controle convencionais, como PID, com métodos de inteligência

artificial (JI et al, 2011; CHEN e HUANG, 2004). E métodos de controle não lineares,

linearização por realimentação e lógica fuzzy (TANAKA, 2011), linearização por

realimentação através de rede neural RBF (FERNANDES, 2012), método de controle por

modos deslizantes com lógica fuzzy (BESSA, 2005; LIN et al, 2009; KHOSRAVI et al,

2012; WANG et al, 2011; CERMAN e HUSEK, 2012; ROOPAEI e JAHROMI, 2009) e

associação do controle por modos deslizantes com ajuste neural (ERTUGRUL e KAYNAK,

16

2000).

Apesar da associação de técnicas de controle não linear com métodos de compensação

fuzzy já apresentarem eficiência comprovada, no entanto uma questão ainda permanece: qual

a forma de compensação fuzzy que melhor reduz os efeitos das incertezas em um controlador

não linear? A utilização do erro e suas derivadas ou uma função combinada do erro como

universo de discurso dos conjuntos fuzzy?

Neste trabalho, busca-se combinar a boa compatibilidade dos controladores não lineares

com sistemas que apresentam elevado grau de incerteza. Para isso, foi escolhido o

controlador por modos deslizantes, por limitar o erro a uma região conhecida (BESSA,

2009), permitindo uma fácil delimitação da região onde a compensação é necessária. Este

controlador será combinado com a técnica de compensação fuzzy, mas adotando uma

estratégia de ajuste baseada em um método heurístico, o que permite a redução do esforço

computacional. Em alguns casos, esta metodologia elimina a necessidade do processo de

ajuste adaptativo, enquanto em outros casos funciona como um pré-ajuste permitindo assim

a redução do tempo necessário para chegar à configuração ideal através de um método

adaptativo. Assim, utilizou-se a simulação numérica de sistemas não lineares, aplicando os

controladores propostos e buscando identificar qual método de compensação é melhor para

qual situação. Qual método reduz mais o erro? A compensação consegue ou não reduzir o

fenômeno de variação brusca de alta frequência do esforço de controle (chattering)? Quais

compensadores apresentam maior esforço computacional e se isso é aceitável?

1.2 Metodologia

Devido à existência de muitas formas possíveis de compensação fuzzy, no presente

trabalho, adotou-se uma estratégia de análise dividida em três etapas, buscando, a cada etapa,

qualificar os melhores métodos para a etapa seguinte e restringindo a gama de opções até a

escolha da estratégia mais apropriada ao problema de estudo.

Na primeira etapa, elegeu-se da literatura as configurações mais promissoras, que

apresentassem menor complexidade e permitissem o funcionamento eficiente do controlador,

mesmo que os parâmetros das funções fuzzy fossem fixos.

A segunda etapa consistiu em ajustar os valores das funções fuzzy, o que será descrito

no capítulo 2, e, posteriormente, selecionar as mais eficientes. Para isso, escolheu-se analisar

o desempenho de cada estratégia proposta mediante um sistema que não apresenta ruídos ou

incertezas severas. Com valor do vetor do erro inicial nulo, foram escolhidas as mesmas

17

características do sistema para todos os modelos de controladores testados.

Utilizando como critério de eliminação as estratégias que apresentarem menor

diminuição do erro quando comparadas ao método de controle por modos deslizantes com

função de saturação suavizada, ou os métodos que não reduzissem o chattering quando

comparadas à configuração com função sinal.

Para analisar o erro, utilizou-se duas funções, o erro máximo, também chamado de

sobrepasso, e uma função média do erro. Neste caso, optou-se pelo desvio padrão do erro

médio quadrático, equação (1.1), visto que a utilização apenas da média do erro faria com

que os valores negativos se cancelem com os positivos, não realizando uma avaliação

coerente. Deste modo, avaliou-se o quanto a adoção da função de compensação reduziu o

erro em comparação com as demais.

Em=√ 1N ∑i=1

i=N

( xi)2 (1.1)

A análise do chattering consiste em observar a função de atuação do sistema e

verificar se essa apresenta descontinuidade. Assim, para que essa análise seja feita de forma

quantitativa, buscou-se uma função semelhante a equação (1.1) adaptada à variação da

função de atuação, equação (1.2). Logo, quanto maior o valor dessa média mais descontínua

será a função.

H=√ 1N ∑i=1

i=N

(Δ u i)2=√ 1

N ∑i=1

i=N

(u i−ui−1)2 (1.2)

A terceira etapa de análise consiste em aplicar as estratégias melhor sucedidas da

segunda etapa a um problema com erro inicial não nulo, com incertezas paramétricas severas

e ruído, e, assim, verificar quais funções tem maior suscetibilidade às variações paramétricas

de incerteza e ruído. As funções que apresentarem o maior aumento do erro com o aumento

da incerteza serão consideradas menos adequadas para a aplicação.

1.3 Desenvolvimento

Para facilitar a compreensão, esta dissertação foi escrita em 4 capítulos.

No primeiro, apresentou-se a motivação inicial do trabalho e os critérios adotados para

analisar a eficiência dos métodos.

18

O capítulo 2 aborda o controle não linear. Mostra-se um dos muitos controladores

contidos na literatura, o controle por modos deslizantes, e como se processa a compensação

difusa e suas variações, com funções ajustadas via método heurístico.

O capítulo 3 descreve um sistema não linear com descontinuidade na atuação, o

atuador eletro-hidráulico, e aplica-se as técnicas descritas no capítulo 2, determinando qual

técnica é mais eficiente para o controle desse sistema.

O capítulo 4 trata das considerações finais, conclusões e sugestões para trabalhos

futuros.

19

Capítulo 2

Sistemas de controle não linear

A adoção das técnicas de controle não linear vem ganhando espaço no âmbito teórico e

de suas aplicações práticas, uma vez que as técnicas de controle tradicionalmente utilizadas

necessitam da linearização do sistema a ser controlado para a determinação dos parâmetros

de controle. No caso específico de sistemas que apresentam elevado grau de não linearidade,

isso limita a operação do sistema a uma faixa em que o mesmo possa ser linearizado. Se o

sistema operar fora dessa faixa, isso pode ocasionar a perda de eficiência do controlador ou

até tornar o sistema instável. Em contrapartida, os sistemas de controle não linear não

apresentam essa limitação, permitindo que o sistema funcione de forma eficiente e estável,

mesmo fora da faixa de operação onde não têm comportamento linear.

Uma vantagem adicional, gerada pelo uso de um sistema de controle não linear, é a

redução do custo de implementação, já que um controlador linear necessita de sensores e

atuadores de qualidade elevada e que apresentem comportamento linear em toda a amplitude

de funcionamento do sistema. Enquanto que ao se utilizar uma estratégia de controle não

linear é possível a utilização de sensores e atuadores menos sofisticados.

Neste capítulo, apresenta-se uma das estratégias de controle não linear contida na

literatura, controle por modos deslizantes, a qual vem sendo bastante utilizada devido à sua

comprovada robustez frente a variações paramétricas e incertezas de modelagem, bem como

sua combinação com a técnica de compensação fuzzy.

20

2.1 Controle por modos deslizantes

A base da teoria de controle por modo deslizantes (sliding mode control-SMC) foi

originalmente proposta pelo matemático russo A. F. Filippov em 1960. Atualmente, esta

estratégia de controle é empregada com sucesso em problemas que apresentam elevado grau

de incertezas paramétricas ou nos casos em que não se conhece completamente a dinâmica

do sistema.

Seja um sistema de ordem n, não linear e controlável descrito pela equação (2.1):

{x(n)= f (x , t)+ b (x , t)u (t)y= x

(2.1)

na qual u é a variável manipulada do sistema, f e b são funções não lineares, representando,

respectivamente, a dinâmica do sistema e o ganho da variável manipulada, y a variável

medida, t é o tempo, x=[ x , x , x ,... , x(n−1)] é o vetor de estados e x(n) é a n-ésima derivada

do sistema.

Com o intuito de realizar o controle do sistema dinâmico (2.1), esse método de

controle, como pode ser encontrado em SLOTINE e LI (1991), BESSA (2005) tem como

ideia principal converter um problema de rastreamento de trajetória de equação de ordem n

em x, em um problema de estabilização de primeira ordem em s, em que se considera S(t)

como uma superfície definida no espaço de estados Rn , podendo ser definida pela

equação (2.2) ou (2.3):

s=( ddt+ λ)

(n−1)

x(2.2)

s=ΛT x (2.3)

na qual o erro de rastreamento das variáveis de estado x é x=x−xd ,

Λ=[λn-1 , cn-1λ

n-2 ,… , c2λ , c1] são coeficientes que fazem do polinômio associado a s um

polinômio de Hurwitz, ou seja, todos os coeficientes têm a parte real positiva, em que os

zeros do polinômio estejam localizados no semiplano esquerdo dos números complexos,

fazendo com que suas raízes tenham a parte real negativa.

Para isso, a lei de controle u deve ser projetada a garantir que o vetor x em um tempo

finito seja atraído à superfície S. Após isso, o vetor de erro dos estados deve seguir

“deslizando” exponencialmente até o equilíbrio estável em x=0 .

21

Tomando como exemplo um sistema de segunda ordem, n=2, se a superfície de

deslizamento for atingida, S=0,

s= ˙x+ λ x=0 (2.4)

Pode-se perceber que a equação 2.4 se torna uma EDO homogênea de ordem 1.

˙x=−λ x

d xdt=−λ x

∫1x

d x=∫ −λ d t

ln( x)=−λ t+ c1

x=c2e−λ t

Para x (0)= x0, tem-se:

x= x0e−λ t

De forma análoga, para um sistema de ordem qualquer, se o polinômio associado a S

for Hurwitz, e a lei de controle conseguir ajustar o sistema para atingir a superfície S=0, o

erro do sistema decairá de forma exponencial (BESSA, 2009).

Considerando o sistema não linear já apresentado anteriormente na equação (2.1), o

método de controle por modos deslizantes se divide em duas etapas: atingir a superfície de

deslizamento e convergir até o erro zero como demonstrado anteriormente. Para isso, é

necessário criar uma função para u de forma a atender essas duas etapas.

Admitindo que o vetor de estados já se encontra sobre a superfície S e para garantir

que o sistema “deslize” sobre essa superfície até o erro nulo, é necessário que os estados

permaneçam sobre a superfície. Neste sentido, o que se busca é o mínimo da função S.

Derivando a expressão (2.3) e igualando a zero temos:

dsdt=0

s= x (n)+ ΛuT x=0 (2.5)

em que Λu=[0,λn-1 , cn-1λn-1 ,⋯ , c2λ ] .

Substituindo (2.5) em (2.1), tem-se.

xd(n)−Λu

T x= f (x ,t)+ b(x , t)u( t)

22

− f (x , t)+ xd(n )−Λ u

T x=b (x , t)u (t)

u (t)=1

b (x , t)(− f (x , t)+ xd

(n )−Λu

T x) (2.6)

Essa configuração de u atende aos requisitos necessários para convergir o sistema

para erro zero desde que o sistema apresente o erro inicial nulo e que as funções f e b sejam

perfeitamente conhecidas.

Assumindo uma situação mais próxima da realidade na qual não se conhece

perfeitamente o sistema e o vetor de estados inicial não está disposto sobre a superfície de

deslizamento, para permitir que o sistema atinja a superfície de deslizamento e siga

deslizando, incorpora-se à equação (2.6) uma função descontínua e substitui-se f e b por

estimativas f e b , da seguinte forma:

u (t)=1

b(x , t)(− f (x , t)+ xd

(n )−Λu

T x−K sgn (s)) (2.7)

em que sgn(s ) é uma função descontínua definida por:

sgn(s )={ 1 se s> 0−1 se s< 0

Os valores b(x , t) e f (x , t) são estimativas, respectivamente, do ganho e da

dinâmica do sistema.

Propõe-se então V como função candidata à função positiva definida de Lyapunov.

V=12

s2 (2.8)

Para analisar a viabilidade da função (2.8), segundo KHALIL (2002), a sua derivada

deve ser uma função negativa definida:

V (s )≤0 (2.9)

Como a função (2.8) é positiva para qualquer valor de S, se sua derivada for sempre

negativa para qualquer valor de S diferente de zero e nula para S igual a zero, isso garantirá

que ao passar do tempo o valor da função (2.8) se atenuará.

Com o intuito de garantir que o vetor de estados convirja para a superfície S, em um

intervalo inferior t alc , pode-se demonstrar da seguinte forma que para isso é necessário

23

adotar um critério mais restritivo, como apresentado na equação (2.10):

12

ds2

dt≤−η∣s∣

(2.10)

s s≤−η∣s∣

Dividindo ambos os lados pelo módulo de s teremos a seguinte expressão:

s s∣s∣

≤−η

∫0

ts s∣s∣

d τ ≤−∫0

t

ηdτ

∣s (t)∣−∣s(0)∣≤−ηt

Para o instante em que a superfície de deslizamento é atingida t=talc e ∣s (t alc)∣=0

∣s (t alc)∣−∣s (0)∣≤−η t alc

talc≤∣s(0)∣η

Dessa forma, pode-se afirmar que se a condição (2.10) for atendida, o tempo

necessário para sair do valor inicial de função |s(0)| e alcançar a superfície de deslizamento

será uma função limitada, garantindo a convergência dentro de um intervalo de tempo

finito.

Assim, tem-se:

12

ddt s2=s s

=s ( x (n)+ ΛuT x)

=s (x (n)−xd(n )+ Λu

T x)

=s ( f + b u− xd(n)+ Λu

T x)

=s ( f +b

b(− f + xd

(n )−Λu

T x−K sgn(s))−(xd(n )−Λu

T x))

(2.11)

Tomando como hipótese que a dinâmica do sistema não é conhecida perfeitamente,

porém, esta é limitada dentro de uma faixa conhecida, tem-se.

∣ f (x , t)− f (x , t)∣=F (x , t )

Tomando também como hipótese que o ganho do sistema não é conhecido

perfeitamente, mas o seu valor máximo e mínimo são conhecidos e neste caso o ganho do

sistema é positivo:

0< bmin< b(x , t)< bmax

24

Utilizando a média geométrica entre o valor máximo e mínimo para a função ganho

aproximado b=√ bmax bmin e dividindo pelo ganho aproximado tem-se;

bmin

b<

bb<

bmax

b

√ bmin3 bmax

bmin2 bmax

2<

b

b< √ bmin bmax

3

bmin2 bmax

2

√ bmin

bmax

<b

b< √ bmax

bmin

substituindo: β=√ bmax

bmin

β−1<

b

b<β

(2.12)

associando as equações (2.10) e (2.11);

s( f + b

b(− f + xd

(n )−Λu

T x−K sgn(s ))−(xd(n )−Λu

T x ))⩽−η∣s∣

substituindo f = f −( f − f ) ;

s( f −( f − f )+b

b(− f + xd

(n)−ΛuT x−K sgn (s))−( xd

(n )−ΛuT x))⩽−η∣s∣

s(−b

bK sgn(s )−( f − f )+

b

b(− f + xd

(n)−ΛuT x)−(− f )−(xd

(n )−ΛuT x ))⩽−η∣s∣

b

bK sgn (s)⩾η

∣s∣s −( f − f )+ ( b

b−1)(− f + xd

(n)−ΛuT x)

e para garantir que o valor de K seja sempre positivo, utiliza-se a função módulo.

Chegando, assim, a uma expressão para K que garante que o sistema irá convergir

para a superfície de deslizamento.

K⩾β(η+ F )+ (β−1)∣− f + xd(n )−Λu

T x∣ (2.13)

Para exemplificar a utilização da lei de controle por modos deslizantes, será utilizado

nesse texto, como exemplo, de sistema dinâmico incerto de segunda ordem, oscilador de Van-

der-Pol.

25

Exemplo 2.1- Controle de um oscilador de Van-der-pol via SMC com função sinal.

Esse sistema se caracteriza por apresentar uma não linearidade no amortecimento e por

convergir a um ciclo limite no caso não controlado. Por sua simplicidade, é muito utilizado

quando se deseja demonstrar o funcionamento de um controlador não linear.

A EDO que descreve o sistema tem a seguinte expressão:

x=−(−μ(1−M x2) x+ N x)+ bu (2.14)

Para definir a lei de controle como descrito na equação (2.7), primeiro é necessário

reorganizar a equação (2.14) na forma (2.1) e definir as faixas de incertezas dos parâmetros.

f =−(−μ(1−x2

) x+ x)

Como esse sistema é de segunda ordem, n=2, a superfície de deslizamento será definida

como s= ˙x+ λ x .

A lei de controle será da seguinte forma:

u=1

b(− f + xd−λ ˙x−K sgn(s ))

Para o sistema descrito, o simulador foi implementado na linguagem C++. A solução

numérica para equação diferencial de segunda ordem foi obtida através do método Runge-

Kutta de quarta ordem para um sistema de duas equações diferencias de primeira ordem,

sendo considerado como parâmetros: μ=0,1 ; M=1,2 ; N=0,7 b=2,2 para o simulador,

e para o modelo do sistema μ=1,0 , M =1,0 , N=1,0 , bmin=1,0 ; bmax=3,0 ,

b=√ (3)=1,73 β=√ (3 /1)=1,73 e F=0,5 , com os seguintes valores para as variáveis

do controlador, λ=0,6 ,η=0,1 . A taxa de amostragem adotada foi de 3 kHz para o

simulador e de 1 kHz para o controlador. Nas Figuras 2.1 a 2.4, são apresentados os resultados

obtidos para o controlador por modos deslizantes com função sinal.

26

Figura 2.1-Saída SMC com a função sinal

Figura 2.2-Erro SMC com função sinal.

Figura 2.3-Esforço de controle SMC com função sinal

27

Figura 2.4-Espaço de Estado SMC com função sinal.

Na figura 2.1 e 2.2, é possível afirmar que o sistema consegue atingir e rastrear a

trajetória desejada a partir do instante 8 segundos. Através da figura 2.4, espaço de estados,

pode se visualizar que o vetor de estados dos erros converge para a superfície de

deslizamento e posteriormente converge até o erro nulo e que devido à função sinal a

transição da fase de aproximação à superfície para a fase de deslizamento ocorre de forma

brusca. Porém, pela figura (2.3), é possível constatar por meio da ampliação que em virtude

da função sinal ser descontínua, no momento que o vetor de estado atinge a superfície de

deslizamento, a função do esforço de controle passa a apresentar uma variação de alta

frequência, fenômeno esse chamado de chattering. Em sistemas mecânicos, o chattering

pode levar à excitação de modos de vibração. Por sua vez, o aumento dos níveis de vibração

leva ao desgaste precoce das juntas do sistema, além de poder causar fadiga nos elementos.

2.2 Controle por modos deslizantes suavizados

Com o intuito de minimizar o efeito do chattering, a literatura, SLOTINE e LI (1991),

propõe a utilização de funções que tenham atuação mais suave do que a função sinal, com,

por exemplo, a função saturação ou a função tangente hiperbólica.

Neste trabalho, será utilizada a função de saturação, uma vez que a função tangente

hiperbólica apresenta maior complexidade computacional.

A função saturação é apresentada na equação 2.15:

28

sat (s /ϕ)={1 se s> ϕ

s /ϕ −ϕ< s< ϕ−1 se s<−ϕ

(2.15)

substituindo a função (2.15) na inequação (2.11), obtém-se a expressão (2.16):

b

bK sat( s

ϕ )⩾η|s|s−( f− f )+( b

b−1)(−f + xd

(n )−Λu

T~x )(2.16)

Aplicando a função módulo na inequação (2.16), esta se divide em duas inequações,

visto que a função (2.15) apresenta dois possíveis valores para o módulo:

∣sat (s /ϕ)∣={ 1 se ∣(s )∣> ϕ∣(s /ϕ)∣ se ∣(s)∣< ϕ

K⩾β(η+ F )+ (β−1)∣− f + xd(n )−Λu

T x∣ se∣s∣> ϕ (2.17)

K⩾ϕ(β(η+ F )+ (β−1)∣− f + xd

(n )−Λu

T x∣)∣s∣ se∣s∣< ϕ

(2.18)

Se a função para K pudesse ser utilizada como descrito nas inequações (2.17) e (2.18),

o sistema convergiria de forma semelhante ao que acontece com a função sinal, porém isso

não eliminaria o chattering, já que no limite quando S tende a zero, a segunda expressão

tende a fazer com que o K tenda a infinito. Adotando apenas expressão (2.17), a lei de

controle permite atrair o vetor de estados para uma região delimitada pelo parâmetro de

suavização, resultando com que a função distância para a superfície de deslizamento passe a

ser descrita da seguinte forma:

−ϕ< s< ϕ (2.19)

Como demonstrado por BESSA (2009), a adoção da função de saturação suavizada

permite confinar o erro residual do sistema a uma região que é função dos parâmetros ϕ, λ

como será apresentado a seguir.

Para um sistema de segunda ordem, tem-se:

s= ˙x+ λ x−ϕ< ˙x+ λ x< ϕ

multiplicando todos os termos por eλ t

−ϕeλ t< ( ˙x+ λ x)eλ t

< ϕeλ t

29

˙x eλ t+ λ eλ t x=d ( x eλt

)

dt

∫0

t

−ϕeλt dt<∫0

td ( x eλ t

)

dtdt<∫

0

t

ϕeλ t dt

−ϕ

λ(eλ t

−eλ 0)< ( x (t )eλ t

− x (0)eλ 0)<

ϕ

λ(eλ t

−eλ0)

−ϕ

λ(1−

1eλ t )+

x(0)

eλ t < x (t)<ϕ

λ(1−

1eλ t )+

x (0)

eλ t

aplicando o limite para todos os termos

limt ⇒∞

−ϕ

λ(1−

1eλt )+

x (0)

eλ t < x ( t)<ϕ

λ(1−

1eλt )+

x (0)

eλ t

−ϕ

λ< x( t)<

ϕ

λ

e substituindo esses limites na equação (2.19) é possível determinar os limites para a

derivada do erro residual.

−ϕ< ˙x+ λ x< ϕ

para x<ϕλ

:

−ϕ< ˙x+ λϕλ< ϕ

−2ϕ< ˙x< 0

e para −ϕλ< x

−ϕ< ˙x−λϕλ< ϕ

0< ˙x< 2ϕ

desta forma, pode-se afirmar que os limites para o erro residual serão:

−ϕ

λ< x ( t)<

ϕ

λ,−2ϕ< ˙x (t )< 2ϕ

Assim, caso o sistema não apresente incertezas, o erro convergirá para zero. E se as

hipóteses 2.1 e 2.2 não forem verdadeiras, não será possível atingir a região delimitada.

Com o intuito de demonstrar o funcionamento do controlador SMC com função de

saturação e compará-lo ao controlador com a função sinal, novamente utilizaremos como

exemplo de sistema o oscilador de Van-der-pol.

30

Exemplo 2.2 - Controle de um oscilador de Van-der-pol via SMC com função saturação.

Neste caso, a nova lei de controle será da seguinte forma:

u=1

b(− f + xd−λ ˙x−K sat (s /ϕ))

Para o mesmo sistema descrito no exemplo 2.1 com as mesmas características e valores

de incerteza, utilizando as mesmas variáveis para o controlador, adotando ϕ=0.1 como

variável de atenuação da função de saturação e as mesmas taxas de amostragem adotadas no

exemplo anterior, obtemos os seguintes resultados: nas figuras 2.5 a 2.8, são apresentados os

resultados para o controlador por modos deslizantes usando a função de saturação em

substituição a função sinal.

Figura 2.5 - Saída SMC saturado.

Figura 2.6 - Erro SMC com saturado.

31

Figura 2.7 - Esforço de controle SMC com saturado.

Figura 2.8 - Espaço de estados SMC com saturado.

Nas figuras 2.5 e 2.6, pode se perceber que não é possível rastrear perfeitamente a

trajetória desejada principalmente na inflexão do movimento. Da figura 2.8 o vetor de estados

do erro se visualiza uma transição mais suave entre as fases de aproximação e deslizamento, e

que a função saturação não consegue manter o vetor de estados sobre a superfície de

deslizamento como no exemplo 2.1, mas dentro de uma região ±ϕ e como era esperado, o

erro residual permanece confinado dentro da região descrita por λ e ϕ enquanto que na

figura 2.7 não é mais visualizado a variação brusca do esforço de controle.

32

2.3 Controle por modos deslizantes com compensação difusa

Em virtude da suavização do controlador fazer com que o erro residual permaneça

contido em uma região conhecida e para garantir que o erro convirja para valores tolerados é

necessário introduzir na lei de controle uma função que tenha a capacidade de compensar as

incertezas do sistema. Entretanto, esta função não é conhecida com exatidão, uma vez que o

sistema apresenta dificuldade de modelagem. Desta forma, a função de compensação pode

ser substituída por qualquer aproximador de funções universais como redes neurais

(FERNANDES, 2012), ou lógica fuzzy (TANAKA, 2011).

A lógica difusa ou do inglês fuzzy consiste na expansão da lógica clássica, que admite

apenas dois possíveis resultados, em que um elemento pode pertencer ou não a um conjunto.

Já a lógica fuzzy permite analisar estados intermediários entre pertencer e não pertencer.

Tomemos o seguinte exemplo: se uma caixa d'água tem um medidor de nível tipo boia

no topo, só e possível avaliar se ela está totalmente cheia ou não. Neste contexto, a análise do

nível da caixa d'água segue a lógica clássica, mas se a boia for substituída por uma régua de

nível, é possível dizer se a caixa está muito cheia, pouco cheia, ou próxima do nível

intermediário.

Se analisarmos este exemplo seguindo a nomenclatura descrita na literatura (JANG,

SUN e MIZUTANI, 1997), o nível da caixa d'água seria chamado de universo de discurso,

que sendo este dividido em subconjuntos associados ao valor medido da régua: vazio, pouca

água, meio cheio, cheio e muito cheio. Contudo, a fronteira entre esses subconjuntos não

seria bem definida pela lógica clássica, visto que esses conjuntos se sobrepõem.

Adotando o conceito de grau de pertinência é possível determinar o quanto cada

elemento pertence a cada subconjunto, agora chamado de conjuntos fuzzy. O conceito de

grau de pertinência associa a forma como os elementos estão distribuídos no universo de

discurso com o quanto cada um pertence a cada conjunto.

Nesse sentido, o grau de pertinência de cada conjunto fuzzy pode ser representado por

uma função. As funções mais comuns para esse fim são do tipo triangular, trapezoidal ou

gaussiana. Neste estudo, serão utilizados as funções do tipo trapezoidal e triangular, descritas

nas equações 2.18 e 2.19, e apresentadas nas figuras 2.9 e 2.10, respectivamente.

As funções trapezoidais são descritas como:

33

μ(x ,a ,b , c , d )={0 se x< ax−ab−a

se a< x< b

1 se b< x< cd− xd−c

se c< x< d

0 se x> d

(2.18)

Figura 2.9 - Função trapezoidal.

E a função triangular :

μ(x ,a ,b , c )={0 se x< ax−ab−a

se a< x< b

c− xc−b

se b< x< c

0 se x> c

(2.19)

Figura 2.10 - Função triangular.

34

O interessante de usar essas duas funções é que a função triangular é um caso

particular da função trapezoidal, uma vez que para b=c na equação (2.18), esta função se

comportara da mesma forma que a função (2.19), sendo necessário implementar somente

uma função, a trapezoidal, e estendê-la mudando o argumento da função para utilizá-la como

triangular.

Uma vantagem adicional em utilizar funções trapezoidais e triangulares é que se pode

associar os conjuntos fuzzy de tal forma a garantir que a soma dos graus de pertinência ao

longo de todo o universo de discurso seja 1, isto é, que a norma do vetor dos graus de

pertinência seja unitária, facilitando os cálculos posteriores. Na figura 2.11, é apresentada a

divisão de um universo de discurso em 6 conjuntos fuzzy, 4 triangulares e 2 trapezoidais, de

forma normalizada.

Figura 2.11 - Distribuição das funções fuzzy.

Esta técnica permite, além criar um classificador, produzir um aproximador de

funções universais, capaz de representar funções lineares ou não lineares.

O método que se segue foi desenvolvido por Takagi-Sugeno-Kang (JANG et al,

1997) e é conhecido por suas iniciais TSK, além de poder ser utilizado para representar

funções, também pode ser usado na modelagem de sistemas (KUKOLJ, 2002), controle de

sistemas dinâmicos (AL-HADITHI; JIMÉNEZ e MATÍA, 2012), ou como compensador das

incertezas do sistema (BESSA; DUTRA e KREUZER, 2010a). Este método consiste em

tornar discreto o universo de discurso associado à função que será aproximada e representar

cada elemento do vetor de grau de pertinência a valor da função, criando um vetor de saída,

como é apresentado nas equações (2.20) e (2.21).

Tomando como exemplo uma função f(x) que seja representada em apenas um

35

universo de discurso A, no qual a função seja descrita pela variável x e ela seja aproximada

por um sistema TSK de ordem 1:

z i=p i x+ ri (2.20)

f (x )≈d=∑i=0

i=n

ziμi( x)

∑i=0

i=n

μi(x )

(2.21)

A ordem do sistema TSK está associada ao grau do polinômio da equação (2.20). O

valor de n no somatório representa o número de conjuntos fuzzy pelo qual o universo de

discurso foi dividido. É interessante ressaltar que a função (2.21) é normalizada pelo

somatório dos elementos do vetor grau de pertinência. Desta forma, para uma função

descrita em um único universo de discurso, se desde o princípio esse universo for dividido

de forma a garantir que o vetor μ tem norma unitária, este processo se torna apenas um

produto interno dos vetores μ e z . Por questão de simplificação, neste trabalho será

utilizado o sistema TSK de ordem 0, desta forma z i=r i .

Para a aproximação de funções descritas em mais de um universo de discurso, uma

das maneiras mais comuns é a utilização de extensões cilíndricas das funções.

Correlacionando-as para produzir uma função com mais de uma dimensão. Esta correlação é

obtida através de um operador capaz de analisar a interseção dos conjuntos fuzzy, a qual é

chamada operador T-norma.

A T-norma ou norma triangular, (*), consiste em uma generalização da operação de

interseção de dois conjuntos e deve obedecer às seguintes propriedades:

Para ∀x , y , z ,w∈[0,1]

Comutatividade : x∗ y= y∗x

Associatividade : (x∗y)∗z= x∗( y∗z )

Monotonicidade: se x< y e w< z então x∗w⩽ y∗z

Condição de contorno: x∗0=0 e x∗1=x

As funções que atendem a esses critérios e são mais utilizadas são o produto

algébrico e operador mínimo.

Agora, tomemos como exemplo uma função definida em dois universos de discurso

para exemplificar o sistema TSK de ordem 0, na aproximação de uma função do tipo

d≈f (x , y) na qual x∈A , y∈B , em que os universos de discurso A e B foram

divididos em um número de conjuntos difusos n e m, respectivamente.

36

Primeiro, utiliza-se a T-norma produto para criar um vetor de dimensão n x m, que

associa cada função de pertinência do primeiro universo de discurso com todas as funções de

pertinência do segundo universo.

μ(i+ m j )=μAi( x)μBj( y) (2.22)

Depois, como o sistema TSK adotado é de ordem 0, então z i=r i . No entanto, como

temos dois universos de discurso, o vetor associado às saídas de cada função tem que ter a

mesma dimensão do vetor criado pela equação (2.22) e considerar qual influência na função

aproximada é produzida na combinação dos vetores de grau de pertinência. Portanto:

z(i+ m j)=r(i+ m j )

Se o universo de discurso for divido de forma a só ativar no máximo dois conjuntos

fuzzy por vez, então os vetores μ só terão dois elementos não nulos cada, e se os dois

vetores apresentarem norma unitária, através da seguinte demonstração, pode-se afirmar que

o vetor resultante da T-norma produto, equação (2.22), conserva a norma unitária.

μa=(a ,1−a )μ b=(b ,1−b)

Aplicando a T-norma produto:

μab=(ab ,b−ab , a−ab ,1−a−b+ ab)

E calculando o somatório dos elementos do vetor grau pertinência combinado:

∑μ=ab+ b−ab+ a−ab+ 1−a−b+ ab=2ab−2 ab+ a−a+ b−b+ 1=1

Desta forma, o sistema TSK de ordem 0 passa a ser:

f (x , y )≈d= ∑k=0

k=n x m

zkμk (x , y) (2.23)

Para a incorporação da função de compensação fuzzy na lei de controle, equação

(2.7), em que já foi substituída a função de sinal por uma função saturação suavizada, deve-

se adicionar a função aproximada de compensação:

37

u (t)=1

b (x , t)(− f (x , t)+ xd

(n )−Λu

T x−K sat(s/ϕ))+ d(2.24)

Mas, para utilizar essa nova função, faz-se necessário recalcular a expressão para K, a

fim de atender o critério (2.10), chegando à seguinte expressão:

bb

K sat( sϕ )⩾η

∣s∣

s−( f−f )+( b

b−1)(−f +xd

(n )−Λu

T x )+b d (2.25)

Aplicando o módulo na expressão (2.25), obtemos a seguinte expressão para K:

K⩾β(η+ F )+ (β−1)∣− f + xd(n )−Λu

T x∣+ b∣d∣ (2.26)

Para garantir a convergência do sistema para o erro próximo de zero, a função

compensação difusa d , é determinada da seguinte forma: o universo de discurso da função

fuzzy será uma função do erro. Neste trabalho, serão utilizados: o erro, que será denominado

fuzzy P, por ser proporcional ao erro; o erro e sua derivada, fuzzy PD; e a distância para a

superfície de deslizamento, fuzzy S.

Como o erro residual estará contido em uma região conhecida é fácil a delimitação

do universo de discurso, que será dividido em conjuntos fuzzy, como: erro grande positivo,

erro médio positivo, erro pequeno positivo, erro pequeno negativo, erro médio negativo, erro

grande negativo.

Partindo do pressuposto que o ganho do sistema seja positivo, a escolha do vetor de

base de regras tem de seguir uma heurística que siga o raciocínio de que se o erro for

positivo a função de compensação tem de ser negativa, e quanto mais distante do o erro nulo,

maior a magnitude da compensação; em contrapartida, se o erro for negativo a compensação

tem de ser positiva, como demonstrado na Tabela 2.1.

Tabela 2.1 - Base de regras de inferência fuzzy P.

x NG NM NP PP PM PG

d PG PM PP NP NM NG

As siglas na Tabela 2.1 significam: NG negativo grande, NM negativo médio, NP negativo

pequeno, PP positivo pequeno, PM positivo médio, PG positivo grande.

A heurística de ajuste para a Tabela 2.1 consiste em fixar um valor de compensação

capaz de reduzir o erro da função ao qual está associado. Através desse método, não é possível

ajustar esses valores de forma precisa, mas permite ter uma noção de como eles devem ser

38

descritos.

Uma vez obtido a primeira configuração da base de regras, simula-se o sistema de forma

a verificar sobre qual conjunto fuzzy está confinado o erro residual. Se o erro for admissível,

não se modifica a configuração da base de regras. Se o erro ainda não estiver na faixa

aceitável, ajusta-se os valores das bases de regras associadas à região onde está confinado o

erro e repete essa operação até atingir o erro mínimo desejado.

Para demonstrar o funcionamento SMC com função de saturação e compensação fuzzy,

novamente utilizaremos como exemplo de sistema o oscilador de Van-der-pol,

Exemplo 2.3: controle de um oscilador de Van-der-pol via SMC com função saturação.

A lei de controle aplicada ao oscilador com a compensação fuzzy se torna:

u=1

b(− f + xd−λ ˙x−K sat (s /ϕ))+ d

Neste exemplo, serão utilizados os mesmos parâmetros para o controlador e para o sistema adotados nos exemplos 2.1 e 2.2.

As regras de ajuste das funções fuzzy serão ajustadas mediante a lógica apresentada na

Tabela 2.1.

Nas figuras 2.12 a 2.15, será apresentado o funcionamento do controlador por modos

deslizantes com compensação fuzzy P.

Conjuntos dos centros adotados para o universo de discurso proporcional ao erro foram:

c={−0,5ϕ/λ ;−0,2ϕ/λ ;−0,05ϕ/λ ; 0,05ϕ/ λ ;0,2ϕ/λ ;0,5ϕ/λ }

E a base de regras adotada seguindo o ajuste, como demonstrado na Tabela 2.1, será:

Tabela 2.2 - Base de regras fuzzy P para o problema do oscilador de Van-der-pol.

x NG NM NP PP PM PG

d 0,9 0,6 0,4 -0,4 -0,6 0,9

39

Figura 2.12 - Saída SMC Sat + fuzzy P.

Figura 2.13 - Erro SMC Sat + fuzzy P.

Figura 2.14 - Esforço de controle SMC Sat + fuzzy P.

40

Figura 2.15 - Espaço de estado SMC Sat + fuzzy P.

Das figuras 2.12 e 2.13 foi possível reduzir o erro em comparação à configuração sem

compensação fuzzy das figuras 2.5 e 2.6. Na figura 2.14, pode-se visualizar o momento em

que a função fuzzy é acionada e se inicia a compensação, este instante é marcado por um

pico na função de esforço de controle e também não se visualiza a variação brusca de alta

frequência no esforço de controle. A figura 2.15 apresenta a redução do erro residual que

apesar de não levar ao erro nulo minimiza o erro a uma faixa tolerável.

Para a configuração fuzzy proporcional ao erro e sua derivada (fuzzy PD), utilizou-se

uma heurística semelhante à apresentada para a configuração fuzzy P, que será explicada

através da Tabela 2.3.

Tabela 2.3-Base de regras de inferência fuzzy PD

x / ˙x NG NM NP PP PM PG

NG PG PG PM PP PP Z

NM PG PM PP PP Z NP

NP PM PP PP Z NP NP

PP PP PP Z NP NP NM

PM PP Z NP NP NM NG

PG Z NP NP NM NG NG

As siglas apresentadas na Tabela 2.3 significam PG positivo grande, PM positivo

médio, PP positivo pequeno, Z próximo de zero, NP negativo pequeno, NM negativo médio

e NG negativo grande.

41

O funcionamento da base de regras para o fuzzy PD considera que se o erro é PG e sua

derivada PG, é necessário utilizar uma compensação de sinal oposto, negativa e com a maior

intensidade possível NG. Porém, se o sistema apresenta o erro NP e sua derivada PP, quer

dizer que naturalmente o sistema irá convergir para a minimização do erro. Desta forma, não

é necessário utilizar uma compensação forte, mas, sim, utilizar uma compensação próxima

do valor nulo.


deslizantes com compensação fuzzy PD.

O vetor de centros adotado para o universo de discurso proporcional ao erro foi o

mesmo adotado para o exemplo anterior, e o universo de discurso proporcional à derivada

do erro foi: c={−0,5ϕ;−0,2ϕ;−0,05ϕ;0,05ϕ;0,2ϕ;0,5ϕ} .

A base de regras adotada seguindo o ajuste, como demonstrado na Tabela 2.3, será:

Tabela 2.4 - Base de regras fuzzy PD para o problema do oscilador de Van-der-pol


NG 2,5 1,5 1,3 1,2 0,9 -0,1

NM 1,5 1,3 1,2 0,9 0 -0,9

NP 1,3 1,2 0,9 0 -0,9 -1,2

PP 1,2 0,9 0 -0,9 -1,2 -1,3

PM 0,9 0 -0,9 -1,2 -1,3 -1,5

PG 0,1 -0,9 -1,2 -1,3 -1,5 -2,5

Figura 2.16 - Saída SMC Sat + fuzzy PD.

42

Figura 2.17 - Erro SMC Sat + fuzzy PD.

Figura 2.18 - Esforço de controle SMC Sat + fuzzy PD

Figura 2.19 - Espaço de Estado SMC Sat + fuzzy PD

Das figuras 2.16 e 2.17 se visualiza que a redução do erro não é muito perceptível em

relação quando comparado à configuração SMC com fuzzy P apresentado nas figuras 2.12 e

2.13. E que o pico de esforço de controle apresentado na figura 2.18 é superior ao

43

apresentado na figura 2.14. Comparando as figuras 2.19 e 2.15, percebe-se que a adoção do

universo de discurso potencial à derivada do erro permite reduzir não só o erro como sua

derivada, o que pode ser observado com uma sutil diminuição da derivada do erro residual.


deslizantes com compensação fuzzy proporcional à distância da superfície de deslizamento.

Os centros adotados para esse compensador serão:

c={−0,7ϕ;−0,3ϕ;−0,05ϕ;0,05ϕ;0,3ϕ;0,7ϕ}

A base de regras adotada foi:

Tabela 2.5 - Base de regras fuzzy S para o problema do oscilador de Van-der-pol

S NG NM NP PP PM PG

d 0,9 0,6 0,4 -0,4 -0,6 -0,9

Figura 2.20 - Saída SMC Sat+ fuzzy S.

Figura 2.21 - Erro SMC Sat + fuzzy S.

44

Figura 2.22 - Esforço de controle SMC Sat + fuzzy S.

Figura 2.23 - Espaço de estado SMC Sat + fuzzy S.

Nas figuras 2.15, 2.19 e 2.23, o erro residual diminui a valores aceitáveis nos três

casos, e na figura 2.21 pode-se perceber que a compensação fuzzy S melhor reduziu o erro.

Em contrapartida, na figura 2.22, no momento que a função de compensação é ativada, o

esforço de controle passa a se tornar levemente ruidoso.

As estratégias de compensação fuzzy aqui discutidas serão aplicadas, em conjunto

com um controlador por modos deslizantes suavizado, a um problema de terceira ordem

(sistema eletro-hidráulico) no próximo capítulo.

45

Capítulo 3

Atuador Eletro-hidráulico

Cada tipo de atuador apresenta suas vantagens e desvantagens. Os atuadores eletro-

hidráulicos têm como vantagens suportar cargas elevadas, ter resposta rápida e apresentar a

capacidade de ser controlado automaticamente. Por isso, é amplamente utilizado em

aplicações industriais, em especial nas indústrias automotivas, aeroespaciais, de automação e

robótica. Entretanto, o controle de um atuador eletro-hidráulico não é de fácil obtenção, uma

vez que esse sistema apresenta elevada não linearidade em virtude da compressibilidade do

fluido e da dinâmica da servo-válvula dificultando o seu controle como em LIU e DALEY

(2000) e WENG; DING e TANG, (2011).

Neste capítulo, é demonstrado como obter o controle de um sistema eletro-hidráulico,

utilizando a técnica de controle por modos deslizantes, a função sinal, função de saturação, e

associando o controle por modos deslizantes suavizado com varias configurações de

compensação fuzzy.

46

3.1 Descrição

Para o desenvolvimento do controlador apresentado no capítulo 2, primeiramente é

necessário definir o modelo matemático adotado para esse sistema.

Modelos dinâmicos para sistemas eletro-hidráulicos podem ser encontrados na literatura,

como em MERRITT (1967), BESSA; DUTRA e KREUZER (2010b), SANTOS (2011),

TANAKA (2011), FERNANDES (2012). O sistema eletro-hidráulico considerado neste

trabalho consiste em uma válvula proporcional de quatro vias e três posições, e um cilindro

hidráulico submetido a um carregamento variável. O carregamento variável pode ser

representado por sistema massa-mola-amortecedor, conforme na figura 3.1.

Figura 3.1 - Sistema eletro-hidráulico.

Desta forma, o somatório das forças externas pode ser expresso por:

F g=A1 P1−A2 P2=M t x+ Bt x+ K s x (3.1)

em que F g , força realizada pelo pistão, representa a diferença das forças realizadas em cada

uma das faces do pistão. A1 e A2 são as áreas de cada face do pistão; P1 e P2 são as

pressões atuantes em cada face; M t é a massa total do sistema, que consiste na soma das

massas do carregamento e do pistão; Bt é o coeficiente de atrito viscoso; K s é a constante e

rigidez da mola; e x representa o deslocamento do pistão.

Tomando como hipótese que as faces do cilindro têm a mesma área, portanto:

A p=A1=A2 .

Substituindo P=P1−P2 , a equação (3.1) se torna:

M t x+ Bt x+ K s x=Ap P (3.2)

47

Pela lei da continuidade, considerando o volume de controle sendo o cilindro hidráulico,

a vazão volumétrica do fluido que é introduzida no cilindro é dada por Ql=(Q1+ Q2)/2 . Esta

será decomposta na vazão volumétrica de fluido que ocupa o interior do cilindro durante o seu

movimento A p x , na porção do fluido que vaza do pistão C tp P e pela variação do volume do

fluido devido à compressão (V t /4βe) P , em que V t é o volume total sob compressão e βe

é o módulo de rigidez volumétrico do fluido. Assim tem-se:

Ql=Ap x+ C tp P+V t

4βe

P (3.3)

Tomando como hipótese que a pressão de retorno possa ser considerada

aproximadamente nula, P0≈0 , visto que essa pressão normalmente é muito menor que as

outras pressões envolvidas no sistema, a equação da vazão do fluido hidráulico pode ser

escrita da seguinte forma:

Ql=C d w xsp √ 1ρ(P s−sgn ( x sp)P) (3.4)

Nesta equação, tem-se a pressão fornecida ao sistema, P s , a densidade do fluido

hidráulico, , o coeficiente de descarga, Cd , o gradiente de área do orifício da válvula, w , o

deslocamento real da válvula, x sp , e o deslocamento efetivo que permite a passagem do fluido

x sp , e a função sinal, sgn . , é definida como:

sgn (z )={−1 se z < 00 se z = 01 se z > 0

(3.5)

Por hipótese, a dinâmica da válvula é rápida o suficiente para que sua influência no

sistema possa ser considerada desprezível. Assim, é possível admitir que o deslocamento do

centro da válvula pode ser considerado proporcional à tensão (u).

Algumas servo-válvulas, utilizadas em sistemas eletro-hidráulicos, apresentam em seu

eixo carretel uma faixa de sobreposição no orifício de passagem do fluido para evitar o

vazamento quando a válvula sofre mudança de posição. Esta sobreposição produz não

linearidade de zona morta no controle da tensão, como pode ser visto na Figura (3.2). Sendo

essa faixa delimitada por δl e δr , a região da zona morta, onde a tensão de alimentação

não produz deslocamento no atuador.

48

Figura 3.2 - Não linearidade de zona morta.

A não linearidade de zona morta apresentada na figura (3.2) pode ser representada

matematicamente por:

x spt ={k v u t −l se u t ≤ l

0 se l u t r

k v u t −r se u t ≥ r

(3.6)

na qual k v é o ganho da válvula e os parâmetros l e r dependem da dimensão da região de

sobreposição.

Para efeito de controle, como mostrado por BESSA et al (2010b), a equação (3.6) pode

ser reescrita de uma forma mais adequada:

x sp( t)=k v [u (t)−m(u )] (3.7)

sendo m(u) obtido a partir das equações (3.6) e (3.7):

m(u)={δl se u (t) ≤ δl

u (t) se δl < u (t) < δr

δ r se u (t) ≥ δr

(3.8)

Derivando a equação (3.2) e considerando que a massa, o amortecimento e a rigidez da

mola não sejam variantes no tempo, obtém-se:

P=M t x+ B t x+ K s x

Ap

(3.9)

Substituindo as equações (3.9) e (3.2) em (3.3), tem-se:

49

Ql=Ap x+ C tp(M t x+ B t x+ K s x

A p

)+V t

4βe

(M t x+ Bt x+ K s x

Ap

) (3.10)

isolando a terceira derivada da posição:

x=4βe

V t M t

(Ql−Ap x−C tp(M t x+ Bt x+ K s x

Ap

)−V t

4βe

B t x+ K s x

Ap

) (3.11)

Através das equações (3.11), (3.7) e (3.8) pode-se reorganizar a equação diferencial de

terceira ordem que representa o comportamento dinâmico do sistema eletro-hidráulico:

x=−(a0 x+ a1 x+ a2 x )+ bu−bm (3.12)

sendo coeficientes da equação anterior :

a0=4βe C tp K s

V t M t,

a1=K s

M t

4 e A p

2

V t M t

4e C tp Bt

V t M t

,

a2=Bt

M t

+4βe C tp

V t,

b=4 e A p

V t M t

Cd wk v 1[P s−sgn uM t xB t xK s x / Ap] .

50

3.2 Lei de controle para o atuador eletro-hidráulico

Para o desenvolvimento da lei de controle, pelo método SMC, de um atuador eletro-

hidráulico, primeiramente será recalculado o ganho da função de saturação pelo fato desse

sistema apresentar não linearidade de zona morta.

Assumindo como hipótese que a amplitude da zona morta não é conhecida

perfeitamente, mas que se conhece as margens máximas e mínimas onde está contida a

região de superposição da válvula, portanto δlmin< δl< δlmax< 0 e 0< δrmin< δr< δrmax .

Assim, o módulo da função da zona morta pode ser limitado da seguinte forma

∣m(u)∣< δ , em que δ=max(−δ lmin ,δ rmax) .

Adotando uma função para o esforço de controle do tipo:

u(t)=−f (x ,t )+xd(n)−Λu

T~x (3.13)

u(t)=1

b(x , t)(u−K sat (s /ϕ))+d

Ajustando a expressão (2.26) ao problema de controle com a zona morta, tem-se a

seguinte expressão para o ganho da função saturação considerando a compensação fuzzy.

K≥β(η+ F )+ (β−1)∣u∣+ b (∣m∣+∣d∣)

K≥β(η+ F )+ (β−1)∣u∣+ b(δ+∣d∣)

E como apresentado em BESSA (2009), o erro residual para um sistema de terceira ordem

será limitado por:

−ϕ

λ2 < x ( t)<ϕ

λ2

2−ϕ

λ< ˙x (t)< 2

ϕ

λ

−6 ϕ< ¨x (t)< 6ϕ

51

3.3 Resultados e discussão

Para a avaliação do desempenho dos controladores, foi realizada a implementação

computacional de um simulador na linguagem C++. Através da solução da equação diferencial

de 3ª ordem do modelo do sistema eletro-hidráulico, a equação (3.12) foi convertida em um

sistema de três equações de 1ª ordem, de modo que pudessem ser simultaneamente resolvidas

pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

Adotando o método de análise descrito no subcapítulo 1.2, foram escolhidos os métodos

de compensação fuzzy descritos na literatura e apresentados no capítulo 2. Esses métodos

seriam testados mediante um sistema no qual o vetor erro inicial fosse nulo e sem a presença

de incertezas severas ou ruídos, qualificando os melhores resultados para um segundo

processo de análise.

Os parâmetros adotados para o sistema eletro-hidráulico estão descritos na Tabela 3.1.

Tabela 3.1 - parâmetros do sistema eletro-hidráulico sem incertezas.

Pressão de alimentação P s=7 MPa

Densidade do fluido hidráulico ρ=850 kg/m³

Coeficiente de descarga Cd=0,6

Gradiente de área do orifício da válvula w=2,5×10−2 m

Área da face do pistão A p=3×10−4 m²

Coeficiente de vazamento C tp=2×10−12 m³/(s Pa)

Módulo de rigidez volumétrico do fluido βe=700 MPa

Volume total sobre compressão V t=6×10−5 m³

Massa total do sistema M t=300 kg

Coeficiente de atrito viscoso Bt=80 Ns/m

Coeficiente de rigidez da mola K s=100 N/m

Margem da zona morta à esquerda δl=−0,9 V

Margem da zona morta à direita δr=0,9 V

Taxa de amostragem do simulador 2,4 kHz

52

Os parâmetros adotados para o modelo aproximado são os mesmos descritos na Tabela

3.1, e o sistema não apresenta nenhuma forma de ruído na atuação e na medição. A taxa de

amostragem adotada para o controlador é de 800 Hz.

Os parâmetros utilizados no controlador foram: λ=8 , η=0,1 .A seguir são apresentados

os gráficos do erro de rastreamento, figura 3.3, e esforço de controle, figura 3.4, para o

controlador por modos deslizantes com função sinal.

Figura 3.3 - Erro eletro-hidráulico, SMC função sinal.

Figura 3.4 - Esforço eletro-hidráulico, SMC função sinal.

Na figura 3.3 pode-se afirmar que através do método SMC com função sinal, aplicado

ao problema de controle de um sistema eletro-hidráulico, foi possível limitar o erro a uma

faixa inferior a 5 milímetros. Entretanto, na figura 3.4, através da ampliação da região do

instante 100 a 100,2 s, é observado que o controlador gera variações de alta frequência na lei

de controle, chattering, o que não é desejado.

53

Para a eliminação do fenômeno de chattering, foi necessária a utilização da função de

saturação suavizada com o coeficiente de suavização ϕ=3,2 . Nas figuras 3.5. e 3.6, são

apresentados os resultados obtidos com a adoção da função de saturação.

Figura 3.5 - Erro eletro-hidráulico, SMC função saturação.

Figura 3.6 - Esforço eletro-hidráulico, SMC função saturação.

Comparando as figuras 3.6 e 3.4, constata-se que a adoção da suavização permite

reduzir o fenômeno de chattering, porém o erro máximo aumenta de 5 mm, figura 3.3, para

4 cm, na figura 3.5.

54

No primeiro compensador testado, compensador fuzzy proporcional ao erro, o universo

de discurso adotado é limitado pela região onde o erro residual estará contido, como

demonstrado anteriormente, de −ϕ/λ2 a ϕ/λ2 . O domínio do erro foi dividido em 6

conjuntos fuzzy e a base de regra utilizada foi ajustada mediante a heurística apresentada na

Tabela 2.1.

Assim, o conjunto dos centros das funções de grau de pertinência utilizadas na

compensação do erro é:

c={−0,2ϕ/λ2 ;−0,1ϕ/λ2 ;−0,05ϕ/λ2 ;0,05ϕ/λ2 ;0,1ϕ/λ2 ; 0,2ϕ/λ2}

e a base de regras adotada para a função fuzzy P é descrita na Tabela 3.2.

Tabela 3.2 - Base de regras do fuzzy P, aplicado ao sistema eletro-hidráulico.

x NG NM NP PP PM PG

d 4 3 1,6 -1.6 -3 -4

Os resultados obtidos são apresentados nas figuras 3.7 e 3.8.

Figura 3.7 - Erro eletro-hidráulico, SMC + fuzzy P.

Comparando as figuras 3.3, 3.5 e 3.7, observa-se que a utilização do compensador

fuzzy P associado ao método SMC com função de saturação reduz o erro de 4 cm para 1

mm, resultando em um desempenho superior ao controlador com função sinal, porém não é

garantido o erro de regime nulo.

55

Figura 3.8 - Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + fuzzy P.

Com a adoção da compensação fuzzy P, observa-se,na figura 3.8, que a função do

esforço de controle se torna mais suave quando comparado ao método SMC com função

saturação, figura 3.6.

Na compensação fuzzy PD, utilizou-se a mesma distribuição dos centros das funções

de pertinência do compensador fuzzy P. Para o universo de discurso proporcional à derivada

do erro, foi utilizada a seguinte configuração:

c2={−0,2ϕ/λ ;−0,1ϕ/λ ;−0,05ϕ/λ ; 0,05ϕ/λ ;0,1ϕ/λ ;0,2ϕ/λ }

Sendo a base de regras ajustada mediante a heurística apresentada na Tabela 2.2 e

apresentada na Tabela 3.3.

Tabela 3.3 - Base de regras para fuzzy PD, aplicado ao sistema eletro-hidráulico.


NG 6 5 4 2 1 0

NM 5 4 3 1 0 -1

NP 4 3 2 0 -1 -2

PP 2 1 0 -2 -3 -4

PM 1 0 -1 -3 -4 -5

PG 0 -1 -2 -4 -5 -6

Nas figuras 3.9 e 3.10 é apresentado o resultado obtido através do controle SMC com compensação fuzzy PD.

56

Figura 3.9 - Erro eletro-hidráulico, SMC + fuzzy PD.

Figura 3.10 - Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + fuzzy PD.

A adoção do universo de discurso proporcional à derivada do erro permite a redução

do erro a valores desprezíveis, como observado na figura 3.9, não havendo oscilações de

alta frequência no esforço de controle, visto na figura 3.10. Isso é possível uma vez que a

compensação fuzzy PD confere ao controlador a capacidade de reduzir o esforço de controle

quando o sistema apresenta a tendência natural de reduzir o seu erro.

Para a compensação proporcional à distância da superfície de deslizamento S, foi

utilizada a heurística apresentada na tabela 2.1 pelo fato dessa configuração tratar apenas de

um universo de discurso.

No entanto, foram testadas duas configurações. A primeira com o seguinte conjunto de

centros e de base de regras:

c3={−0,2ϕ;−0,15ϕ;−0,05ϕ;0,05ϕ;0,15ϕ;0,2ϕ}

57

Tabela 3.4 - Base de regras para o fuzzy S primeira configuração,

aplicado ao sistema eletro-hidráulico.

S NG NM NP PP PM PG

d 3 2 1,8 -1.8 -2 -3

Nas figuras 3.11 e 3.12 é apresentado o resultado associado ao controlador SMC com a

compensação fuzzy S com os centros mais próximos de zero.

Figura 3.11 - Erro eletro-hidráulico, SMC + fuzzy S 1.

Figura 3.12 - Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + fuzzy S 1.

E a segunda configuração mais suave:

c4={−0,4ϕ;−0,2ϕ;−0,06ϕ;0,06ϕ;0,2ϕ;0,4ϕ}

58

Tabela 3.5 - Base de regras para o fuzzy S segunda configuração,


S NG NM NP PP PM PG

d 3 2 1,5 -1.5 -2 -3

Nas figuras 3.13 e 3.14, também é apresentado o resultado associado ao controlador SMC

com a compensação fuzzy S, mas desta vez com uma função mais suave.

Figura 3.13 - Erro eletro-hidráulico, SMC + fuzzy S 2.

Figura 3.14 - Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + fuzzy S 2.

Comparando as figuras 3.7, 3.9, 3.11 e 3.13, visualiza-se que a primeira configuração

para a compensação fuzzy S conseguiu um erro inferior à configuração fuzzy P, porém

superior à configuração fuzzy PD, mesmo apresentando chattering na função do esforço de

controle, figura 3.12, o que pode ser observado na ampliação do instante 100 ao instante

100,2 s, ocorrendo isto devido à função fuzzy S 1 se aproximar da função sinal. Na segunda

59

configuração de compensação fuzzy S, constata-se que a redução do erro residual é da

mesma ordem de grandeza obtida com a compensação fuzzy P, e não apresenta a variação de

alta frequência do esforço de controle, figura 3.14.

Além das configurações já mencionadas, encontrou-se na literatura

(WONOHADIDJOJO, KOTHAPALLI e HASSAN, 2013; HE, LIM e CHUA, 2003) ao

longo das implementações já descritas neste trabalho a possibilidade de outra forma de

obtenção da compensação fuzzy em que é apresentada a utilização de um integrador junto

com controlador fuzzy. Assim, buscou-se adaptar essa técnica para aplicá-la como

compensador fuzzy, nesse texto chamado de compensador integral fuzzy.

Logo, surgiram três novas opções de compensadores fuzzy. A integral da função fuzzy

proporcional ao erro (INT fuzzy P), a integral da função fuzzy proporcional ao erro e a sua

derivada (INT fuzzy PD) e integral da função fuzzy proporcional à distância para a superfície

de deslizamento S (INT fuzzy S).

O método numérico utilizado para a integração foi o método da regra dos retângulos.

Os conjuntos de centros adotados para essas novas configurações foram os mesmos

adotados para as configurações equivalentes anteriores. No entanto, os valores das bases de

regras tiveram de ser reajustados e o valor da compensação teve de ser limitado por uma

função de módulo máximo, evitando sinal da compensação excessivo. O valor máximo da

compensação adotado foi de 1,5 para os três casos.

O conjunto das bases de regras para compensação INT fuzzy P:

Tabela 3.6 - Base de regras para a função integral fuzzy P,


x NG NM NP PP PM PG

d 3 2,3 0,5 -0,5 -2,3 -3

Nas figuras 3.15 e 3.16, é apresentado o desempenho através da associação do controlador

SMC com compensação integral fuzzy P.

60

Figura 3.15 - Erro eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy P.

Figura 3.16 - Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy P.

Na figura 3.15, pode ser visto que a adoção da integral ao compensador fuzzy P

permite atingir o erro de regime desprezível. Contudo, no momento da inflexão do

movimento, surgem picos de erro superiores ao

Observado na configuração fuzzy P sem integrador, devido ao integrador necessitar de

alguns segundos para a mudança de sinal da compensação, não apresentando chattering,

figura 3.16.

Na Tabela 3.7 é apresentada a base de regras adotada para a compensação INT fuzzy PD.

61

Tabela 3.7 - Base de regras para a função integral fuzzy PD, aplicado ao sistema eletro-

hidráulico.


NG 8 6,5 4,8 3,2 1,5 0

NM 6,2 4,7 3,0 1,4 -0,3 -1,8

NP 4,3 2,7 0,5 -0,5 -2,2 -3,7

PP 3,7 2,2 -0,5 -1,2 -2,7 -4,3

PM 1,8 0,3 -1,4 -3,0 -4,7 -6,2

PG 0 -1,5 -3,2 -4,8 -6,5 -8

Nas figuras 3.17e 3.18, são apresentados os resultados obtidos através da associação do

controlador SMC com compensação integral fuzzy PD.

Figura 3.17- Erro eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy PD.

Figura 3.18 - Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy PD.

Comparando as figuras 3.15 e 3.17, percebe-se que a compensação integral fuzzy PD

também reduz o erro de regime a valores desprezíveis, mas ainda produz os picos de erro

62

observados na compensação integral fuzzy P. Entretanto, os picos de erro se tornam menos

frequentes e de menor amplitude, continuando a inobservância do fenômeno de chattering,

figura 3.18.

Para a compensação INT fuzzy S se utilizou o mesmo conjunto de centros adotado para

a primeira configuração da compensação fuzzy S e a base de regras adotada foi apresentada

na Tabela 3.8.

Tabela 3.8 - Base de regras para fuzzy S segunda configuração, aplicado ao sistema eletro-

hidráulico.

S NG NM NP PP PM PG

d 5 4,5 3,5 -3.5 -4,5 -5

Nas figuras 3.19 e 3.20, constam os resultados obtidos pela combinação do controlador SMC

com compensação integral fuzzy S.

Figura 3.19 - Erro eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy S.

Figura 3.20 - Esforço de controle eletro-hidráulico, SMC + integral fuzzy S.

63

Na figura 3.19 observa-se que devido à variação brusca da função fuzzy S a

compensação INT fuzzy S além de manter o erro de regime dentro da faixa considerada

desprezível, produz picos de erro, porém dentro da faixa tolerada, e observando a

conservância, ausência de chattering na função de esforço de controle.

Tabela 3.9 - Análise do erro .

Desvio padrão do erro médio[m]

Média normalizada %

Erro máximo[m] Erro máximo normalizado %

F P 0,000855896 7,59 0,001249960 3,31

F PD 0,000040752 0,36 0,000082524 0,21

F S 1 0,000800867 7,10 0,000905100 2,40

F S 2 0,000971916 8,62 0,001135590 3,01

F Int P 0,000349660 3,10 0,008886200 23,58

F Int PD 0,000086763 0,76 0,003140400 8,33

F Int S 0,000039788 0,35 0,000032231 0,08

SAT 0,011271400 100,0 0,037675000 100,0

SGN 0,002724390 24,17 0,007454110 19,78

Da tabela 3.9 se observa que as configurações de compensação mais bem-sucedidas

quando o critério é o desvio padrão do erro médio quadrático serão as configurações fuzzy

PD, int fuzzy PD e int fuzzy S, por reduzirem o erro a valores inferiores a 1% do observado

na função controle por modos deslizantes com função de saturação suavizada sem atuação

de compensadores. Na análise do erro máximo, a configuração int fuzzy PD passa a ser

desqualificada para a fase posterior de análise por ter superado o critério de 1% do erro

máximo observado na configuração sem compensação em quase oito vezes.

64

Tabela 3.10 - Análise do esforço de controle

Média Δu Normalizada %

F P 0,000744321 0,008

F PD 0,000651471 0,07

F S 1 1,334300000 15,11

F S 2 0,000534791 0,006

F Int P 0,000968890 0,01

F Int PD 0,000707813 0,008

F Int S 0,004096200 0,046

SAT 0,004715460 0,053

SGN 8,827820000 100,0

Analisando a comparação das compensações mediante o critério de eliminação do

chattering, pode-se considerar que a única configuração de compensação que não reduziu as

variações bruscas no esforço de controle foi a configuração fuzzy S 1, apesar de ser muito

parecida com a segunda configuração fuzzy S, diferindo apenas pela posição dos centros das

duas funções de pertinência mais próximas do erro zero, produzindo, assim, uma função mais

descontínua, o que reduz melhor o erro, no entanto, aumenta o chattering.

Associando as duas análises, é possível definir quais funções são melhores qualificadas

para serem testadas mediante um exemplo mais realístico.

Portanto, as configurações mais adequadas para a fase seguinte de análise serão: a

compensação fuzzy proporcional ao erro e sua derivada e a integral da função fuzzy como

universo de discurso da distância da superfície de deslizamento.

Serão analisadas mediante o seguinte sistema eletro-hidráulico, com vetor de erro

inicial não nulo, incertezas severas, ruídos e oscilações que são comuns a uma aplicação real.

Para simular as incertezas paramétricas, optou-se por variar os parâmetros que são mais

difíceis de serem determinados com exatidão. E os parâmetros utilizados para o simulador

serão apresentados na Tabela 3.11.

65

Tabela 3.11 - Parâmetros para o sistema eletro-hidráulico com 25% de incertezas

Pressão de alimentação P s=7±0,3 MPa

Densidade do fluido hidráulico ρ=850 kg/m³

Coeficiente de descarga Cd=0,6

Gradiente de areia do orifício da válvula w=2,5×10−2 m

Área da face do pistão A p=3×10−4 m²

Coeficiente de vazamento C tp=2×10−12 m³/(s Pa)

Módulo de rigidez volumétrico do fluido βe=700 MPa

Volume total sobre compressão V t=6×10−5 m³

Massa total do sistema M t=250 kg

Coeficiente de atrito viscoso Bt=100 Ns/m

Coeficiente de rigidez da mola K s=75 N/m

Margem da zona morta à esquerda δl=−0,6±0,2 V

Margem da zona morta à direita δr=0,2±0,15 V

Taxa de amostragem do simulador 2,4 kHz

Além de 30% de ruído aleatório na atuação.

Os parâmetros adotados para o modelo foram os mesmos descritos na tabela 3.1 e o

efeito da zona morta inferior a δ=1,5 .

Os parâmetros adotados para as funções fuzzy foram os mesmos adotados nas simulações

anteriores, e as taxas de amostragem para o controlador e simulador iguais aos exemplos

anteriores. Os resultados serão apresentados nas figuras 3.21 a 3.26.

Figura 3.21 - Erro eletro-hidráulico com 25% de incertezas,SMC+ F PD.

66

Figura 3.22 - Erro eletro-hidráulico com 25% de incertezas,SMC+Int F S.

Nas figuras 3.21 e 3.22, observa-se que ambos os compensadores associados ao

controle por modos deslizantes reduziram o erro na mesma taxa.

67

Figura 3.23 - Esforço de controle eletro-hidráulico com 25% de incertezas,SMC+ F PD.

Figura 3.24 - Esforço de controle eletro-hidráulico com 25% de incertezas,SMC+Int F S.

Devido aos parâmetros do controlador adotados ao caso mais realístico terem sido

iguais aos das simulações simplificadas, surge um pico no esforço de controle, observado

nas figuras 3.23 e 3.24. Situação a ser contornada pela redução do parâmetro λ. Outro fato

observado é o surgimento de ruído na função de esforço de controle causado pelo ruído na

atuação do sistema. Deve ser analisado o desvio padrão da função de esforço de controle

para verificar se essas configurações atenderam ao critério de 1% do desvio padrão da média

do esforço de controle obtido através do controlador SMC com função sinal.

68

Figura 3.25 - Espaço de estados eletro-hidráulico com 25% de incertezas ,SMC+ F PD.

Figura 3.26 - Espaço de estados eletro-hidráulico com 25% de incertezas, SMC+ Int F S.

Das figuras 3.25 e 3.26 pode-se perceber alguns detalhes desse método de controle. A

fase de aproximação e a fase de deslizamento passam a ter uma transição suave devido à

função de saturação suavizada. Até atingir a região onde estão posicionadas as funções de

compensação fuzzy, ambos os controladores são o mesmo controlador, por isso as funções

coincidem até este ponto. A compensação integral fuzzy S busca a minimização da distância

da superfície de deslizamento, assim sua trajetória no espaço de estados se assemelha a uma

reta. Já a compensação fuzzy PD busca reduzir o erro e sua derivada. Desta forma, visualiza-

se que primeiro a função tenta reduzir o erro e depois reduzir a derivada do erro, mas no

final ambos os métodos chegam praticamente ao mesmo erro residual.

Tabela 3.12 - Análise do esforço de controle para 25% de incertezas.

69

Desvio padrão da média Δ u [v] Desvio padrão normalizada%

F PD 0,0341397 0,4

F Int S 0,0606377 0,7

SGN 8,45133 100

Da análise do desvio padrão da média da variação do esforço de controle é possível

constatar que do primeiro exemplo sem ruídos ou incertezas severas para o segundo exemplo

houve um aumento significativo na média da variação do esforço de controle. Isso pode ser

observado graficamente, mas ainda não chega a 1 % da média registrada para o controlador

com a função sinal. Assim, pode-se afirmar que os dois métodos não são susceptíveis ao

aumento de ruído, pelo menos até 30% de ruído, e apresentam praticamente a mesma

eficácia em todos os quesitos analisados. É necessário acrescentar nesta análise que o

método fuzzy PD necessita de um número de operações matemáticas muito superior ao fuzzy

S para operar, uma vez que o fuzzy PD atua em dois universos de discurso e o fuzzy S em

apenas um. Por isso, o fuzzy PD tem necessidade de operar a cada instante de controle a T-

norma produto, além de necessitar avaliar o dobro de funções de pertinência, fazendo com

que o compensador integral fuzzy em S tenha a vantagem adicional de menor esforço

computacional, uma vez que o método de integração utilizado, método do retângulo, por sua

simplicidade não acrescenta esforço computacional excessivo ao metodo de compensação

fuzzy convencional.

70

Capítulo 4

Considerações finais

Neste trabalho, buscou-se demonstrar o funcionamento, vantagens e desvantagens do

método de controle não linear por modos deslizantes (Sliding Modes Control-SMC)

associado à técnica de inteligência artificial lógica difusa (fuzzy logic) que foi empregada

com o intuito de minimizar o erro residual do sistema que surge a medida que se substitui a

função sinal descontínua por uma função de saturação suavizada. Como demonstrado por

trabalhos anteriores, o método de controle por modos deslizantes permite confinar o erro a

uma região conhecida, o que permite definir o universo de discurso dos compensadores

fuzzy de forma precisa, reduzindo a dificuldade de determinação de suas configurações.

Uma vantagem adicional da utilização da lógica fuzzy é que permite o ajuste das

funções mediante método intuitivo ou heurístico. Tais métodos ajustam de forma

aproximada as funções fuzzy sem a necessidade de métodos adaptativos, ou do

conhecimento prévio da dinâmica do sistema, podendo também ser aplicada para reduzir o

esforço computacional durante o processo de ajuste adaptativo.

O processo de análise sugerido no subcapítulo 1.2 foi aplicado ao problema de

rastreamento de trajetória de um sistema eletro-hidráulico, que foi escolhido para esse

trabalho por se tratar um sistema não linear, com as não linearidades de zona morta, efeitos

da compressibilidade e do vazamento do fluido hidráulico.

Inicialmente, foram selecionadas três configurações de compensação fuzzy da

literatura: compensação fuzzy proporcional ao erro (fuzzy P), proporcional ao erro e à sua

variação (fuzzy PD) e proporcional à distância à superfície de deslizamento (fuzzy S); e

71

posteriormente surgiram mais três possíveis configurações de compensação fuzzy:

compensação integral da função fuzzy proporcional ao erro (INT fuzzy P), compensação

integral da função fuzzy proporcional ao erro e sua derivada (INT fuzzy PD) e compensação

proporcional à distância para a superfície de deslizamento (INT fuzzy S)

Os seis métodos de compensação foram testados através de simulação numérica, a

princípio em uma situação ideal, na qual não ocorressem ruídos, não linearidades severas, ou

erro inicial, para assim avaliar o seus desempenhos e posteriormente apenas os mais bem-

sucedidos passariam a ser testados em situação mais realista.

Na configuração de compensação proporcional ao erro, foi possível reduzir o erro a

uma faixa aceitável para essa aplicação, conseguindo eliminar o fenômeno de chattering,

mas não permitiu anular o erro de regime.

A compensação fuzzy PD foi uma das configurações mais bem-sucedidas minimizando

o erro a uma faixa desprezível, por permitir reduzir além do erro sua variação, resultando

com que, por exemplo, se o erro é grande positivo, mas a sua derivada é negativa indica que

o sistema naturalmente iria convergir para a redução do erro. No caso da configuração P,

ocorreria o aumento da compensação que faria o sistema ultrapassar o ponto desejado,

enquanto que a configuração PD proporciona que, à medida que o sistema se aproxima do

erro mínimo, a compensação seja reduzida resultando na diminuição do sobrepasso.

A compensação fuzzy S apresentou uma peculiaridade em relação às demais,

dependendo de como os parâmetros forem ajustados, eles podem resultar em uma função

que apesar de não ser descontínua se aproxima da função sinal, resultando na não redução

do fenômeno de chattering. Além disso, a escolha de uma configuração mais suave não

garante o erro de regime nulo, sendo necessário avaliar se a adoção de um método de ajuste

adaptativo que modifique os parâmetros da configuração em tempo real permitirá conciliar

as duas características desejadas.

O método de compensação pela integral da função fuzzy P conseguiu obter a redução

do erro de regime a valores desprezíveis. Porém, nos momentos de inflexão do movimento,

o processo de inversão do sinal da função integral não ocorre de forma imediata, resultando

em um pico de erro que em média é 3 vezes maior do que a compensação fuzzy P simples.

A inclusão do universo de discurso derivativo possibilitou reduzir o sobrepasso

quando comparado ao método integral fuzzy P, porém ainda existe a dificuldade de inverter o

sinal da função integral resultando em um pico de erro além do erro mínimo desejado, e

ainda permite o erro de regime nulo.

O método de compensação integral da função fuzzy em S permitiu a redução do erro a

72

para a mesma ordem da mesma forma da configuração PD simples, por permitir uma função

que muda de sinal bruscamente, o que na compensação fuzzy S simples resultaria no

fenômeno de chattering, que permite reduzir o sobrepasso a valores desprezíveis, sem

produzir chattering.

Dessa forma, foram qualificadas apenas as configurações de compensação fuzzy PD e

INT fuzzy S analisadas mediante um sistema mais próximo das condições reais de operação,

sem que ocorresse a variação dos parâmetros dos compensadores.

Através dessa análise foi possível constatar que mesmo com o aumento de incertezas e

ruído, os dois métodos tiveram resultados muito semelhantes. E que o aumento do ruído

levou ao aumento da variação da função de atuação, mas ainda dentro da faixa aceitável para

esse tipo de sistema. E o erro residual em ambos os casos permaneceu praticamente nulo,

indicando que as configurações de compensação apresentam a característica de baixa

suscetibilidade para a variação de parâmetros do sistema.

No entanto, é necessário ressaltar que essas duas configurações apresentam duas

peculiaridades, a configuração fuzzy PD por atuar em dois universos de discurso necessita do

dobro de funções de pertinência que a configuração integral da função fuzzy S, e a função

fuzzy S não necessita utilização da T-norma para o seu cálculo, e por isso apresenta um

esforço computacional muito inferior à configuração PD.

Como sugestão para trabalhos posteriores, recomenda-se a avaliação experimental das

estratégias de controle aqui apresentadas, a prova analiticamente da estabilidade da lei de

controle e realizar a comparação da implementação adaptativa das configurações dos

compensadores que foram propostos neste trabalho. E também realizar a análise

comparativa em termos do tempo de ajuste quando a configuração inicial do compensador é

aleatória ou de uma configuração inicial próxima do mínimo global.

73

REFERÊNCIAS

AL-HADITHI, B M, JIMÉNEZ A, MATÍA F. A new approach to fuzzy estimation of Takagi-Sugeno Model and its applications to optimal control for nonlinear systems, Applied soft computing, v 12 p 280-290, 2012.

BESSA, W. M, Controle por modos Deslizantes de sistemas Dinâmicos com Zona morta Aplicado ao posicionamento de ROV's. Tese(D.Sc), COPPE/UFRJ,Rio de Janeiro, Brasil, 2005.

BESSA,W. M; DUTRA, M. S; KREUZER, E. Adaptive fuzzy dead-zone compensation scheme and its application to electro-hydraulic systems. Journal of Brazilian society of Mechanical sciences and engineering, v 32, n 1, p. 1-7, 2010a.

BESSA,W. M; DUTRA, M. S; KREUZER, E. Slinding mode control with adaptive fuzzy deade-zone compensation of an electro-hydraulic servo-system. Journal of intelligent and robotic systems, v.58, n.1, p. 3-16. 2010b.

BESSA,W. M. Some Remarks on the Boundedness and Convergence properties of smooth sliding mode controllers. International journal of automation and computing, v 6, n 2, p. 154-158, 2009 .

CERMAN, O. HUSEK, P. Adaptive fuzzy sliding mode control for electro-hydraulic servo mechanism, Expert Systems with applications, v 39,p 10269-1027, 2012.

CHEN, J. HUANG, T.C. Applying neural networks to on-line updated PID controllers for nonlinear process control. jornal of process control, v 14,p 211-230. 2004.

CHENG, C. J. Decentralized feedback control of uncertain cellular neural network subject to time-varying delays and dead-zone input. Mathematical and computer modelling ,v 49, p 386-392, 2009.

ERTUGRUL, M. KAYNAK, O. Neuro sliding mode control of robotic manipulators Mechatronics, v 10, p 239-263, 2000.

FERNANDES, J. M. M. Controle Inteligente De Sistemas Eletroidráulicos Utilizando Redes neurais, Dissertação (MS), PPGEM/UFRN, Rio Grande do Norte, Brasil 2012.

HE, Y.B., LIM, G. H., CHUA, P.S.K. Comparison and application of three integral-improved methods on conventional fuzzy control strategy, Engineering Application of Artificial Inteligence v 16, p 723-726. 2003.

JANG, J.-S. R.; SUN, C.-T; MIZUTANI, E. Neuro fuzzy and soft computing: a computational approach to learning and machine intelligence. Prentice Hall, New Jersey, 1997.

JI, W., LI, Q., XU, B. ZHAO, D. FANG, S. Adaptive fuzzy PID composite control with hysteresis-band switching for line of sight stabilization servo system. Aerospace Science and Technology, v 15, p 25-32, 2011.

74

KHALIL, H K. Nonlinear systems.3rd. ed. Upper Saddle River, N.J: Prentice Hall, 2002. KHOSRAVI, S. JAHANGIR, M. AFKHAMI H, Adaptive Fuzzy SMC-Based Formation Design for Swarm of Unknown Time-Delayed Robots, Nonlinear Dynamics, v 69, p 1825-1835, 2012.

KUKOLJ, D. Design of adaptive Takagi–Sugeno–Kang fuzzy models, Applied Soft Computing. v 2, p 89-103, 2002 .

LIU, G.P. DALEY, S. Optimal-tuning nonlinear PID control of hydraulic systems. Control Engineering Practice, v 8, p 1045-1053, 2000.

LIN, J, LIAN,J. R., HUANG, N.C, SIE, W. T. Enhanced fuzzy sliding mode controller for active suspension systems. Mechatronics. v 19, p 1178-1190, 2009.

MERRITT, H.E.Hydraulic control systems". John Wiley & Sons, New York, 1967.

NA, J.Adaptive prescribed performance control of nonlinear systems with unknown dead zone. International journal of adaptive control and signal processing, v. 27, p. 426-446, 2013.

ROOPAEI. M, JAHROMI, M. Z. Chattering-free fuzzy sliding mode control in MIMO uncertain systems. Nonlinear Analysis, v 71, p 4430-4437, 2009.

SANTOS, J.D.B. Utilização de redes neurais artificiais no controle de sistemas mecânico incertos, Monografia (Grd), UFRN, Rio Grande do Norte, Brasil, 2011.

SLOTINE, J.-J.E., LI, W. Applied Nonlinear control, Prentice Hall, New Jersey, USA,1991.

OGATA, K. Modern control engineering. 5th ed Englewood Cliffs, N. J: Prentice-Hall, 2010.

TANAKA, M C. Utilização da Lógica Difusa No Controle Inteligente De Sistemas Eletroidráulico. Dissertação (Msc) - Curso de Engenharia Mecânica, Ppgem, Ufrn, Natal, 2011.

WANG,S., HOU, L., DONG, L. XIAO, H. Adaptive fuzzy sliding mode control of uncertain nonlinear SISO systems. Procedia Engineering, v 24, p 33-37, 2011.

WENG, F.; DING, Y.; TANG, M. LPV Model-based Robust Controller Design of Electrohydraulic Servo Systems, Procedia Engineering, v 15, p 421-425, 2011.

WONOHADIDJOJO, D. M.; KOTHAPALLI, G.; HASSAN, M. Y. Position Control of Electro-hydraulic Actuator System Using Fuzzy Logic Controller Optimized by Particle Swarm Optimization. International Journal of Automation and Computing, v 10,n 3, p 181-193, 2013.

Documents

CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES COM ......Aos engenheiros e amigos, Andre Cesar, Elvis Neres, Felipe Figueredo, Felipe Rodrigues, Geraldo Francisco, Hudson Rocha, Josiane Maria e Marcelo