Controle Preditivo Robusto baseado em Desigualdades ... · Controle Preditivo Robusto baseado em Desigualdades Matriciais Lineares aplicado a um Sistema de Tanques Acoplados José

Controle Preditivo Robusto baseado em Desigualdades

Matriciais Lineares aplicado a um Sistema de Tanques

Acoplados

José Soares Batista Lopes

Orientador: Prof. D.Sc. Anderson Luiz de Oliveira Cavalcanti

Natal - RN Fevereiro de 2011

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

i



Acoplados


Orientador: Prof. D.Sc. Anderson Luiz de Oliveira Cavalcanti


UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação – PPGEEC – da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN (área de concentração: Automação e Sistemas) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências.

ii



Acoplados


Dissertação de Mestrado aprovado em 14 de fevereiro de 2011 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:

Prof. D.Sc. Anderson Luiz de Oliveira Cavalcanti – UFRN - Orientador

Prof. Dr. André Laurindo Maitelli – UFRN – Examinador Interno

Prof. Dr. Carlos Eduardo Trabuco Dorea – UFRN – Examinador Externo

Prof. Dr. Oscar Gabriel Filho – UnP – Examinador Externo


iii

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus em primeiro lugar por ter iluminado meu caminho e guiado meus passos, proporcionando a concretização desta etapa tão importante da minha vida. Aos meus pais João Batista Lopes e Maria da Glória Soares Lopes pelo exemplo de amor, honestidade, humildade, dedicação e por sempre acreditarem em mim. Ao meu irmão Gilson Soares Lopes pelo apoio. A minha esposa Ana Cristina da Silva Lopes, pelo amor, paciência, apoio e compreensão nessa jornada. Ao meu amado filho João Vinícius Silva Lopes, pela alegria e paz que transmite em todos os instantes. Ao meu orientador Prof. D.Sc. Anderson Luiz de Oliveira Cavalcanti, pela amizade, competência, compreensão e dedicação com que me conduziu na elaboração deste trabalho. Aos professores André Maitelli, Fabio Meneghetti, Luiz Affonso, Oscar Gabriel pela amizade, apoio e incentivo à pesquisa. Aos demais professores do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de computação da UFRN, pelo aprendizado, solidariedade e amizade. Aos colegas da pós-graduação, pela amizade, incentivo e companheirismo.

iv

SUMÁRIO

AGRADECIMENTOS ......................................................................................... iii

SUMÁRIO ....................................................................................................... viiv

LISTA DE FIGURAS .......................................................................................... iii

LISTA DE ABREVIATURAS .............................................................................. x

LISTA DE SIMBOLOS ....................................................................................... xi

RESUMO.......................................................................................................... xiv

ABSTRACT ....................................................................................................... xv

Capitulo 1 .......................................................................................................... 1

Introdução .......................................................................................................... 1

1.1 Contextualização e Revisão bibliográfica .......................................... 1

1.2 Delimitações e Objetivos do Trabalho ............................................... 4

1.3 Organização do Texto ........................................................................ 5

Capitulo 2 .......................................................................................................... 6

Fundamentos Teóricos ....................................................................................... 6

2.1 Introdução .......................................................................................... 6

2.2 Sistemas Incertos .............................................................................. 6

2.3 Incerteza Politópica............................................................................ 8

2.4 LMIs ................................................................................................... 9

2.5 Estrutura de uma LMI ........................................................................ 9

2.6 Complemento de Schur ................................................................... 10

2.7 Problema de Otimização Associado às LMIs .................................. 11

2.8 Conclusão ........................................................................................ 12

Capitulo 3 ........................................................................................................ 13

Formulação do Controlador Preditivo Robusto baseado nas Desigualdades Matriciais Lineares ........................................................................................... 13

3.1 Introdução ........................................................................................ 13

3.2 Notação adotada ............................................................................. 13

3.3 Formulação do Controlador Preditivo Robusto (RMPC) .................. 13

3.4 Formulação do RMPC baseado em LMI com restrição ................... 19

3.4.1 Restrição no sinal de controle ............................................ 19

3.4.2 Restrição na saída ............................................................. 20

3.5 Conclusão ........................................................................................ 20

Capitulo 4 ........................................................................................................ 22

Resultados Simulados ...................................................................................... 22

v

4.1 Introdução ........................................................................................ 22

4.2 Modelagem da Planta ...................................................................... 22

4.3 Parâmetro incerto ............................................................................ 24

4.4 – Caso 1: Sistema Não-Linear de 1º Ordem .................................... 25

4.4.1 – Resultados simulados do RMPC sem perturbação e sem restrições ..................................................................................... 26

4.4.2 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e sem restrições ..................................................................................... 28

4.4.3 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e com restrições ..................................................................................... 30

4.5 – Caso 2: Sistema Não-Linear de 2º Ordem .................................... 32

4.5.1 - Resultados simulados do RMPC sem perturbação e sem restrições ..................................................................................... 33

4.5.2 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e sem restrições ..................................................................................... 35

4.5.3 - Resultados simulados do controlador RMPC com perturbação e com restrições ...................................................... 37

4.6 Conclusão ........................................................................................ 38

Capitulo 5 ........................................................................................................ 39

Descrição da Planta Fisica ............................................................................... 39

5.1 Introdução ........................................................................................ 39

5.2 Sistema Hidráulico e o módulo de Potência .................................... 40

5.3 Kit de treinamento ZTK 900 ............................................................. 41

5.4 Implementação da Estratégia de Controle ....................................... 43

5.5 Módulo de Comunicação OPC(OLE for Proces Control) ................ 43

5.6 Conclusão ........................................................................................ 44

Capitulo 6 ........................................................................................................ 45

Resultados dos Experimentos na Planta Fisica ............................................... 45

6.1 Introdução ........................................................................................ 45

6.2 Resultados dos Experimentos ......................................................... 46

6.3 Sistema não-linear de 1º ordem ....................................................... 47

6.3.1 Situação 1 - Resultados experimental do RMPC sem perturbação e sem restrições ...................................................... 47

6.3.2 Situação 2 - Resultados experimental do RMPC com perturbação e sem restrições ...................................................... 48

6.3.3 Situação 3 - Resultados experimental do RMPC com perturbação e com restrições ...................................................... 50

6.4 Sistema não-linear de 2º ordem ....................................................... 51

6.4.1 Situação 1: Resultados experimental do RMPC sem perturbação e sem restrições ...................................................... 51

vi

6.4.2 Situação 2: Resultados experimental do RMPC com perturbação e sem restrições ...................................................... 53

6.4.3 Situação 3: Resultados experimental do RMPC sem perturbação e com restrições ...................................................... 57

6.4.3.1 Restrição imposta na código do programa ...................... 57

6.4.3.2 Restrição incorporada na forma de LMI .......................... 57

6.5 Conclusão ........................................................................................ 61

Capitulo 7 ........................................................................................................ 62

Conclusões e Perspectivas .............................................................................. 62

Referências Bibliográficas ................................................................................ 64

vii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Representação Gráfica da incerteza politópica. Fonte: Artigo do

Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M., 1996. ............................................ 8

Figura 4.1 – Sistema de Tanques da Quanser. ................................................ 22

Figura 4.2 – Configuração do Sistema de Tanques . ....................................... 23

Figura 4.3 - Saída do sistema não-linear de 1ª ordem sem perturbação e sem

restrição............................................................................................................ 27

Figura 4.4 - Sinal de controle do RMPC para a incerteza no Km = 4,14 sem

perturbação e sem restrição. ............................................................................ 28

Figura 4.5 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem para a

incerteza no Km=5,06 sem perturbação e sem restrição.. ............................... 28

Figura 4.6 - Sinal de controle do RMPC para a incerteza no Km=5,06 sem


Figura 4.7 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com

perturbação e sem restrição.. ........................................................................... 29

Figura 4.8 - Sinal de controle com incerteza no Km=4,14 e perturbação do tipo

pulso e sem restrição. ...................................................................................... 29

Figura 4.9 – Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com


Figura 4.10 - Sinal de controle com incerteza no Km=5,06 com perturbação do

tipo pulso e sem restrição................................................................................. 30


perturbação e com restrição (Km=4,14). .......................................................... 30

Figura 4.12 - Sinal de controle do RMPC com perturbação e com restrição de

15 volts e km=4,14. .......................................................................................... 31


perturbação e com restrição (Km=5,06) ........................................................... 31

Figura 4.14 – Sinal de controle com perturbação e com restrição de 15 volts. 32

Figura 4.15 - Comportamento do tanque 1 (2ª ordem) sem perturbação e sem

restrição............................................................................................................ 34

Figura 4.16 - Comportamento do tanque 2 (2ª ordem) sem perturbação e sem

restrição............................................................................................................ 34

viii

Figura 4.17 - Gráfico do sinal de controle do RMPC com Km=4,14 sem


Figura 4.18 - Nível do tanque 1 do sistema não-linear de 2ª ordem com uma

perturbação e sem restrição (km=4,14). ........................................................... 35

Figura 4.19 - Nível do tanque 2 do sistema de 2ª ordem com uma perturbação

do tipo pulso e sem restrição.. .......................................................................... 36

Figura 4.20 - Gráfico do sinal de controle do RMPC com perturbação e sem

restrição com Km=4,14. ................................................................................... 36

Figura 4.21 - Nível do tanque 1 do sistema não-linear de 2ª ordem com

perturbação e restrição.. .................................................................................. 37

Figura 4.22 – Nível do tanque 2 do sistema de 2ª ordem com perturbação do

tipo pulso e com restrição................................................................................. 37

Figura 4.23– Gráfico do sinal de controle do RMPC com perturbação e com

restrição de 15 volts. ........................................................................................ 38

Figura 5.1– Estrutura Física. ............................................................................ 39

Figura 5.2 – Sistema de Tanques da Quanser. ................................................ 40

Figura 5.3 – Módulo amplificador UPM 2405-240. ........................................... 40

Figura 5.4 – Painel do kit de treinamento ZTK 900. ......................................... 41

Figura 5.5 – Acoplamento entre o módulo amplificador e o kit de treinamento

ZTK 900.......................................................................................................... 402

Figura 5.6 – Estrutura do padrão OPC. ............................................................ 44

Figura 6.1 – Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear sem perturbação e

sem restrição. ................................................................................................... 47

Figura 6.2 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 1ª ordem não-linear

sem perturbação e sem restrição. .................................................................... 48

Figura 6.3 – Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear com perturbação e

sem restrição. ................................................................................................... 49

Figura 6.4 – Sinal de controle do RMPC para o sistema 1ª ordem com


Figura 6.5 – Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear com perturbação e

com restrição.. .................................................................................................. 50

Figura 6.6 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 1ª ordem não-linear

com perturbação e com restrição de 15 volts. .................................................. 50

ix

Figura 6.7 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear sem



perturbação e sem restrição ............................................................................. 52

Figura 6.9 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem sem

pertrurbação e sem restrição............................................................................ 52

Figura 6.10 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear com




Figura 6.12 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem nõ-linar

com perturbação e sem restrição. .................................................................... 54

Figura 6.13 – Reposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear com


Figura 6.14 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) com perturbação e

sem restrição. ................................................................................................... 56

Figura 6.15 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-

linear com perturbação e sem restrição ........................................................... 56

Figura 6.16 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) com perturbação e

com restrição. ................................................................................................... 57




linear com perturbação e com limitante de 10 volts. ........................................ 58


perturbação e com restrição na forma de LMI. ................................................. 59


perturbação e com restrição na forma de LMI. ................................................. 60


linear com perturbação e com restrição de 10 volts. ........................................ 60

x

LISTA DE ABREVIATURAS

MPC Controlador Preditivo Baseado em Modelo (Model Based

Predictive Controllers)

RMPC Robust Model Based Predictive Control

LMI Linear Matrix Inequalities

IH-MPC Infinite Horizon Model Predictive Control

Max Maximização

Min Minimização

AD/DA Analógico-Digital / Digital-Analógico

CLP Controlador Lógico Programável

SDP Semidefine Programation

Convex Hull

LMITool Ferramenta para resolver LMI

xi

LISTA DE SIMBOLOS

Número de entradas e de saídas da planta

Ordem do sistema

Instante de amostragem atual

Módulo

Norma euclidiana

Função quadrática da variável

Matriz de estado, matriz de entrada, matriz de saída,

matriz de transmissão direta do modelo discreto

Matrizes do modelo discreto variante no tempo

Matriz simétrica positiva definida

Constante escalar definida entre

Função custo minimizado durante um horizonte de

predição infinito

Vetor real de dimensão apropriada do problema de

minimização

Função de custo minimizada durante o horizonte de

predição

Matrizes que representam os vértices do modelo

discreto sujeito a incerteza politópica

Número de vértices de um politopo

Vetor de parâmetros incertos

Ação de controle aplicado no instante

Variável controlada no instante

Sinal de referência no instante

Estado do sistema no instante preditos com base

xii

nas medidas no instante

Saída do sistema no instante preditos com base

nas medidas no instante

Sinal de controle do sistema no instante preditos

com base nas medidas no instante

Limite superior do módulo da j-ésima componente do

vetor de entrada do sistema

Módulo da j-ésima componente do vetor de entrada do

sistema

Limite superior do módulo da j-ésima componente do

vetor de saída do sistema

Módulo da j-ésima componente do vetor de saída do

sistema

Matrizes simétricas de ponderação da função de custo

Politopo convexo

Variável escalar do problema de minimização

Matrizes resultantes da solução de um problema de

minimização

Matriz de realimentação de estados para o elipsóide

Matriz identidade de ordem por ou simplesmente

matriz identidade de ordem

Matriz de zeros de ordem por ou simplesmente

matriz de zeros de ordem

Elipsóide invariante para um sistema incerto

Sinal de controle máximo

Níveis do tanque 1 e tanque 2 respectivamente

Áreas das bases dos tanques 1 e 2

Orifício de saída do tanque pequeno, médio e grande

Ponto de operação para linearização do modelo para o

1 tanque e tanque 2

xiii

Constante da bomba

Tensão máxima admitida

Tensão aplicada na bomba

xiv

RESUMO

Este trabalho tem como objetivo desenvolver uma estratégia de controle on-line

baseado no Controlador Preditivo Robusto (RMPC, acrônimo do inglês Robust

Model Predictive Control) aplicado a um sistema real de tanques acoplados.

Este processo consiste em sistema de dois tanques conectados, cujo liquido é

enviado aos mesmos por uma bomba. O objetivo do controle (problema

regulatório) é deixar os níveis dos tanques no ponto de operação considerado,

mesmo na presença de perturbações. A síntese da técnica RMPC consiste em

incorporar de forma explicita as incertezas da planta na formulação do

problema. O objetivo do projeto, a cada período de amostragem, é encontrar

uma realimentação de estados que minimiza o pior caso de uma função

objetivo com horizonte infinito, sujeita a restrições no sinal de controle. O

problema original, do tipo Min-max, é reduzido em a problema de otimização

convexa expresso em desigualdades matriciais lineares (LMI, Linear Matriz

Inequalities). Mostram-se, neste trabalho, a descrição da incerteza da planta na

forma politópica e as condições de factibilidade do problema de otimização. A

implementação do algoritmo RMPC foi feita utilizando o software Scilab e a sua

comunicação com o sistema de tanques acoplados foi feita através do

protocolo OPC (do inglês OLE for Process Control).

Palavras-Chave: Controlador Preditivo Robusto, Desigualdades Matriciais

Lineares, Incerteza Politópica, Sistema de Tanques Acoplados, Controlador

Lógico Programável

xv

ABSTRACT

This work deals with an on-line control strategy based on Robust Model

Predictive Control (RMPC) technique applied in a real coupled tanks system.

This process consists of two coupled tanks and a pump to feed the liquid to the

system. The control objective (regulator problem) is to keep the tanks levels in

the considered operation point even in the presence of disturbance. The RMPC

is a technique that allows explicit incorporation of the plant uncertainty in the

problem formulation. The goal is to design, at each time step, a state-feedback

control law that minimizes a 'worst-case' infinite horizon objective function,

subject to constraint in the control. The existence of a feedback control law

satisfying the input constraints is reduced to a convex optimization over linear

matrix inequalities (LMIs) problem. It is shown in this work that for the plant

uncertainty described by the polytope, the feasible receding horizon state

feedback control design is robustly stabilizing. The software implementation of

the RMPC is made using Scilab, and its communication with Coupled Tanks

Systems is done through the OLE for Process Control (OPC) industrial protocol.

Keywords: Robust Model Predictive Control, Linear Matrix Inequalities,

Polytopic Uncertainty, Coupled Tanks System, Programmable Logic Controller

1

Capítulo 1 Introdução

1.1 Contextualização e Revisão bibliográfica

A teoria de controle preditivo baseada em modelos (MPC, Model Based

Predictive Controllers) teve origem no final da década de 1970 e desenvolveu-

se de forma considerável desde então (CAMACHO E. F.; BORDONS, C., 1998,

ROSSITER, J. A., 2003). Existem hoje muitas aplicações com sucesso dessa

técnica, não só na indústria química como em outras áreas (SILVA, C. H. F. et

al., 2007).

O MPC é caracterizado pela utilização do modelo do processo, a fim de

prever as saídas do mesmo em um tempo futuro e calcular uma seqüência de

ações de controle que minimizem uma função objetivo, com a aplicação da

primeira ação de controle da seqüência calculada e a atualização das medidas

dos sinais de saídas para a realização de novos cálculos de minimização

(TSANG, T. T. C., CLARK, D. W, 1988; CAMACHO E. F.; BORDONS, C., 1998;

MACIEJOWSKI, J. M., 2002; SILVA, C. H. F. et al., 2007).

Na utilização do controlador MPC, em aplicações industriais, destacam-

se algumas vantagens, dentre as quais citamos: i) as limitações de segurança

que podem ser incorporadas na forma de restrições; ii) a facilidade de

formulação do problema para o caso multivariável; e iii) o fato de poderem ser

aplicáveis a sistemas de fase não-mínima, com atraso de transporte ou

instáveis sem requerer alterações na sua formulação básica. Todas essas

vantagens permitem a redução dos requisitos de manutenção, a melhoria da

flexibilidade e da agilidade nas aplicações industriais, ou seja, o MPC permite

lidar com restrições nas variáveis manipuladas e controladas, de forma

sistemática durante o projeto e a implementação do controlador. (CAMACHO

E. F.; BORDONS, C., 1998; EATON; R., 1992 apud SILVA, C. H. F. da, 2009).

Capítulo 1. Introdução 2

A técnica de controle MPC tem recebido muita atenção devido às suas

muitas vantagens, mas, de acordo com Bemporad, A. e Morari. M. (1999), é

necessário investigar melhor os problemas de i) garantia de factibilidade do

problema de otimização e ii) a garantia de estabilidade e robustez, pois o uso

de restrições terminais na formulação da lei de controle preditivo, forma como

geralmente é garantida a estabilidade, acarreta em problemas nas situações

reais.

As questões de estabilidade e robustez estão fortemente ligadas ao

tratamento de incertezas no modelo da planta, pois a diferença entre a saída

da planta real e do modelo nominal utilizado na predição leva a uma situação

em que a otimização associada ao controlador preditivo não possui solução,

por não ser possível respeitar todas as restrições simultaneamente. Esse

descasamento entre o modelo e a planta devido ao desgaste dos componentes

da planta ou mesmo da ocorrência de falhas, por exemplo, pode degradar o

desempenho do controlador (ROSSITER, J. A. 2003).

Para contornar esses problemas, de acordo com Pascoal, R. M. (2010),

esforços têm sido concentrados para a análise das propriedades de robustez

de algumas técnicas de MPC existentes e no desenvolvimento de mecanismos

para obtenção de garantia de estabilidade robusta. Segundo Weinmann, A.

(1991), o MPC não é um novo método de projeto de controle. Ele

essencialmente resolve problemas de controle ótimo padrão. O que o

diferencia é o fato de que, no MPC, o problema de controle ótimo requerido

possui horizonte finito, em contraste com o horizonte infinito, usualmente

empregado nos controladores ótimos lineares H2 e H∞.

Segundo Maia, M. H. (2008), a partir da década de 1990, diversas

propostas de formulação de leis de controle preditivo robustos começaram a

surgir na literatura, enfocando tanto incertezas de modelo quanto perturbações.

Em geral, as formulações de MPC consideram um simples modelo linear e

invariante no tempo para descrever a planta. Essa formulação gera um sinal de

controle que pode resultar em um desempenho pobre quando implementado

em um sistema físico que não seja exatamente descrito pelo modelo. Esse fato

levou Campo, P. J e Morari, M., (1987) a modificarem a formulação de um

problema de otimização on-line aplicado a uma simples planta em um problema

Min-max sobre um conjunto de modelos. Esse problema de estabilidade


robusta, assim chamado algoritmo Min-max, foi descrito por vários autores (

GARCIA, CE., PRETT, D. M., 1998; CAMPO, P. J., MORARI, M., 1987; LEE, J.

H., YU, Z.H. 1994, WU, F. 1997). Aplicações do problema Min-max podem ser

encontradas em Lee, J. H., Yu, Z.H (1994) e em Alamo, T. et al. (2007).

Nesse método, uma função custo minimiza o pior caso de uma função

de custo que considera as incertezas da planta. Como obstáculos dos

algoritmos de MPC robusto podemos citar o custo computacional e a

aplicabilidade a depender da velocidade e dimensão da planta sobre a qual o

controle atuará. Nesse aspecto, Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M.

(1996) utilizaram a formulação em Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs,

Linear Matrix Inequalities) para resolver o problema de otimização.

A idéia básica das LMIs é interpretar um dado problema de controle

como um problema de programação semidefinida (SDP), ou seja, um problema

de otimização com objetivo linear e restrições positivas semi-definidas

envolvendo matrizes simétricas que são afim nas variáveis de decisão.

Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996) desenvolveram essa técnica

de controle e chamaram de RMPC (Robust Model Predictive Control). O RMPC

incorpora uma ampla classe de incertezas, uma vez que a principal deficiência

no projeto de técnicas de MPC é sua falta de habilidade em lidar explicitamente

com incertezas no modelo da planta.

Segundo Cannon, M. e Kouvaritakis, B. (2005), o esforço computacional

é o fator principal limitante do número de aplicações na indústria. A fim de

superar esse obstáculo, a aplicação das desigualdades lineares (LMI) tem se

mostrado promissor em Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996).

Em Wan, Z; Kothare, M. V. (2003), os autores afirmam que os resultados

obtidos em Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996) podem ser

utilizados para obter uma formulação de MPC robusto que envolve a

determinação off-line (ou seja, antes da implementação do controlador em

tempo real) de uma seqüência de leis de controles lineares. Tais leis são

correspondentes a elipsóides invariantes assintoticamente estáveis construídos

um dentro do outro. Assim, em tempo real, o controlador precisa apenas

verificar a qual elipsóide pertence o estado do sistema a cada instante de

amostragem e aplicar a lei de controle correspondente a esse elipsóide.


Pascoal, R. M. (2010) emprega essa técnica em um helicóptero didático de três

graus de liberdade.

Aplicações práticas, por exemplo, em um reator de polimerização foram

realizadas por Park. M. J. e Rhee, H. K. (2001). Wu, F. (2001) trabalhou com a

classe de sistemas incertos para modelagem de plantas não-lineares e aplicou

a técnica em um tanque reator da indústria.

Em 2002, Cuzzola, F. A., Geromel, J. C., Morari, M. utilizaram funções

de Lyapunov nos vértices do politopo do sistema incerto com o objetivo de

reduzir o conservadorismo. O trabalho de Chang, X. e Liu, H. (2009) utiliza as

funções de Lyapunov em sistemas com realimentação de saída.

Pannocchia, G. (2004) desenvolveu uma técnica para remover o Off-set

de possíveis origens diferentes (set points) para sistemas lineares invariantes

no tempo, através de uma ação integral no projeto do controlador RMPC.

Zhijun, Li et al. (2008) desenvolvram uma estrutura de controle com dois

estados lineares realimentando o controlador do sistema alternativamente para

reduzir o conservadorismo e tornar o problema de otimização tratável. De

acordo com Ding, B. et al. (2008), a lei de controle off-line baseada em estados

garante as restrições de entrada e saída dos estados da planta, pois quando

aplicado no sistema on-line, a cada período de amostragem é escolhida uma

seqüência apropriada para ser aplicado.

1.2 Delimitações e Objetivos do Trabalho

No presente trabalho a formulação proposta em Kothare, M.V.;

Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996), baseada em LMIs, foi aplicada a um

sistema real de tanques acoplados de 2ª ordem da Quanser Consulting. Os

algoritmos foram implementados no Scilab (Scientific Laboratory) e o pacote

LMITool foi utilizado para resolver as LMIs. Com este trabalho foi avaliada, no

que concerne a estabilização e a rejeição de perturbações, a aplicação do

algoritmo on-line RMPC desenvolvido para um sistema real de tanques.

1.3 Organização do Texto

O restante do texto está organizado da seguinte forma:


capítulo 2 apresenta os fundamentos sobre estabilidade, incertezas e

desigualdades matriciais lineares(LMIs);

capítulo 3 descreve a formulação da estratégia de controle preditivo

robusto (RMPC) empregada nesse trabalho e sua formulação com

restrição na variável manipulada;

capítulo 4 descreve alguns resultados preliminares simulados;

capitulo 5 descreve a estrutura física empregada para os experimentos na

planta;

capítulo 6 descreve os resultados dos experimentos na planta física e, por

último,

as conclusões e as perspectivas futuras deste trabalho são apresentadas.

Capítulo 3. RMP 6

Capítulo 2 Fundamentos Teóricos

2.1 Introdução

Este capítulo discorre, de forma sintética, sobre o conceito de sistemas

incertos, incertezas politópicas, desigualdades matriciais lineares e comenta

sobre alguns pacotes computacionais utilizados na resolução de problemas de

otimização numérica. Os fundamentos teóricos mostrados neste capítulo são a

base para o controlador desenvolvido neste trabalho, o Robust Model

Predictive Control (KOTHARE, M.V.; BALAKRISHNAN, V.; MORARI, M. 1996).

2.2 Sistemas Incertos

Segundo Gustafsson, T. K.; Mäkilä, P. M. (2001), a modelagem de

sistemas incertos e a qualidade de modelos estimados para o controle têm sido

tópico de intensa pesquisa durante os últimos anos.

A definição da incerteza exige conhecimento do processo e integração

com a estrutura do controlador que se pretende utilizar. No entanto, todo

modelo matemático é na verdade uma aproximação do sistema físico real e

quanto melhor o modelo matemático utilizado, mais eficiente será o esquema

de controle baseado nesse modelo (WANG, Y. 2002). Contudo, a

complexidade do modelo matemático está diretamente ligada à representação

física real dos processos, o que dificulta sua representação e,

conseqüentemente, gera incertezas no mesmo.

Segundo Trofino, A.; Coutinho, D.; Barbosa, K. C. (2003), o modelo

matemático obtido pode apresentar diferentes tipos de incertezas, como

parâmetros de modelo linear aproximados com erro (decorrentes de

dinâmicas não modeladas);

Capítulo 2. Fundamentos Teóricos 7

parâmetros do modelo linear variando, devido à característica não linear

dos sistemas reais associados com o ponto de operação;

imperfeições na medida ou a existência de ruídos,

escolha indevida de modelos mais simples negligenciando dinâmicas

como incertezas.

De acordo com Skogestad, S; Postlethwaite, I (1997), as incertezas em

muitos sistemas reais não são possíveis e/ou convenientes de serem

modeladas com exatidão, ou seja, considerando todas as dinâmicas do

mesmo. Assim, os modelos matemáticos utilizados para descrever as

dinâmicas de sistemas incertos representam de forma simplificada os

fenômenos que dificilmente poderiam ser representados com exatidão, seja

porque o modelo completo seria muito complexo, ou devido à dificuldade de se

conhecer e obter modelos que representem todos os fenômenos que ocorrem

na prática.

Existem dois tipos de incertezas envolvidas na modelagem de sistemas

dinâmicos: as incertezas estruturadas e as não estruturadas. As incertezas são

consideradas como não estruturadas quando a ordem e outras características

do modelo utilizado para representar o processo podem variar de tal forma que

não há a possibilidade de representá-lo por um único modelo com parâmetros

variáveis. As incertezas estruturadas ocorrem quando a estrutura do modelo é

conhecida e apenas seus parâmetros são incertos. Este trabalho considera

apenas incertezas estruturadas, ou seja, apenas os parâmetros do modelo são

desconhecidos.

Um grande problema ao se trabalhar com sistemas incertos está em

como tratar a incerteza na formulação final do problema, pois, dependendo do

tipo de incerteza, pode-se inserir mais restrições na busca de solução do

problema. Existem diferentes formas de se modelar um sistema incerto. Doyle,

J. C.; Packard, A.; Zhou, K. (1991) apresentam um tutorial sobre Linear

Frational Transformation (LFT) e LMIs para várias aplicações do controle

clássico e moderno envolvendo incertezas.

Apresentaremos, na seção seguinte, a abordagem politópica, visto que o

controlador que tomamos como base para este trabalho é baseado na referida

abordagem.


2.3 Incerteza Politópica

Uma maneira de especificar incertezas é definir regiões nas quais os

parâmetros que definem o modelo estejam contidos. Uma forma usual de se

caracterizar as incertezas é verificar as matrizes A e B do modelo definido

abaixo

(2.1)

em que é o vetor de entradas de controle, é o vetor de

estados da planta e é o vetor de saídas da planta. As notações

e denotam que as matrizes do modelo podem mudar a cada

instante de amostragem, embora não signifique que sua variação com o tempo

seja conhecida (como uma função de ).

Desta forma, tem-se a configuração de um modelo incerto associado

(2.2)

em que representa o politopo convexo obtido através da descrição de

incertezas politópicas. Sabemos que em um conjunto convexo definido por uma

região limitada pelos vértices, Figura 2.1,

Figura 2.1 - Representação Gráfica da incerteza politópica. Fonte: Artigo do Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M., 1996.

teremos:

(2.3)

],[ LL BA],[ 11 BA

],[ 22 BA

],[ ii BA

)](),([ kBkA


Em (2.3) é caracterizado um conjunto de modelos

correspondentes a diferentes condições operacionais do processo,

representados na Figura 2.1. Uma característica importante de um politopo é a

convexidade, isto é, qualquer ponto no interior deste conjunto pode ser

representado pela soma convexa de um número finito de pontos chamados de

vértices do politopo.

2.4 LMIs

Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs, Linear Matrix Inequalities) são

ferramentas matemáticas amplamente aplicadas em teoria de controle. Seu

surgimento provavelmente ocorreu há mais de cem anos com trabalhos de

Lyapunov (SKOGESTAD, S.; POSTLETHWAITE, I., 2005). Segundo Silva, C.

H. F. da; Henrique, H. M.; Lopes, L. C. O.; Gomes, L. R. G. (2007), as técnicas

de LMI surgiram como uma potente ferramenta de análise em várias áreas da

engenharia de controle, identificação de sistemas e projeto estrutural. A partir

de então muitos resultados usuais da teoria de controle e sistemas estão sendo

reescritos como LMIs.

Uma das principais vantagens das LMIs é que elas podem ser usadas

para resolver problemas que envolvem muitas variáveis matriciais e, além

disso, diversas estruturas podem ser impostas a essas variáveis. Outra

vantagem das LMIs é que se constituem em um método flexível para resolver

problemas de controle (DOYLE, J. C.; PACKARD, A.; ZHOU, K., 1996).

Em muitos casos, o uso das LMIs pode eliminar restrições associadas

aos métodos convencionais e ainda auxiliar na generalização de alguns tipos

de problemas. Freqüentemente os métodos associados às LMIs podem ser

aplicados em casos nos quais os métodos convencionais falham ou não

conseguem encontrar solução (CAMPOS, V. A. F. de. 2008).

2.5 Estrutura de uma LMI

Para uma dada matriz , definimos como a matriz transposta de e

( ) significa que a matriz simétrica tem que ser semi-definida

positiva (definida positiva). Para e o vetor nulo de dimensão n, a


desigualdade ¸ significa que cada elemento do vetor é maior ou igual a

zero.

Uma LMI tem a seguinte estrutura:

(2.4)

sendo as variáveis e as matrizes simétricas ,

dadas. Uma das facilidades no uso de LMIs na teoria de controle é a existência

de pacotes computacionais para a sua solução numérica de forma eficiente.

Outro ponto de suma importância é que na abordagem LMI a busca de

soluções para problemas mais complexos, principalmente quando há presença

de elementos incertos, pode ser simplificada devido às propriedades de

convexidade e linearidade.

2.6 Complemento de Schur

Um resultado importante para converter desigualdades convexas não-

lineares em uma formulação LMI é o chamado complemento de Schur. O

complemento de Schur é um resultado da Teoria de Matrizes que ajuda na

transformação de inequações não lineares para a forma de LMI. Muitos dos

resultados já existentes da teoria de controle são colocados na forma LMI pela

aplicação desse resultado.

Lema 1 – Complemento de Schur

Sejam matrizes de dimensões compatíveis, com

simétricas, e afim em , as desigualdades

(2.5)

são equivalentes à LMI (2.6)


(2.6)

A prova desse resultado pode ser vista em Boyd, S. et al. (1994) e

Vanantwerp. J. G.; Braatz, R. T. (2000).

2.7 Problema de Otimização Associado às LMIs

Um problema de otimização com desigualdades matriciais lineares

consiste em achar um factível (ou seja, achar tal que ) que

minimize (ou maximize) uma função convexa .

(2.7)

Com o surgimento de algoritmos de pontos interiores para a solução de

problemas de otimização convexa tornou-se possível solucionar

numericamente LMIs de forma mais rápida e eficiente. Maiores detalhes sobre

esse assunto e outros problemas de otimização baseados em LMI são

encontrados em Boyd, S. et al. (1994). Segundo LEITE, J. S. V. et al. (2004), o

aparecimento dos pacotes computacionais especializados facilitou a resolução

de problemas de controle em termos de desigualdades matriciais lineares.

Desde então muitas pesquisas vêm sendo desenvolvidas para a criação ou

melhora de pacotes computacionais para a solução de problemas de

otimização convexa.

A solução de problemas pode ser caracterizada de duas formas:

– Problema de factibilidade LMI: busca uma solução qualquer que

satisfaça um conjunto de restrições na forma LMI.

– Problema de otimização: determina a solução ótima de uma função

custo sujeita a um conjunto de restrições na forma LMI.

As restrições (desigualdades) na forma LMI são resolvidas

numericamente utilizando pacotes computacionais específicos como, por

exemplo, LMIlab (NEMIROVSKII; GAHINET, P.,1994), SDPT3 (TUTUNCU,R.H,


TOH,K.C.,TODD, M.J., 2003), SeDuMi (STURM, J.F.,1999), o LMITOOL

presente no Scilab e o Matlab que usa o Método Primal-Dual desenvolvido por

Vandenberghe, L. e Boyd, S. (1994).

Os pacotes computacionais apresentam problemas na busca de sua

solução como, por exemplo, mau condicionamento dos dados, capacidade de

memória das máquinas e erros de precisão. Outro grande problema é o esforço

computacional necessário para solucionar as LMIs. Nesta dissertação, adotou-

se o LMITOOL do Scilab (LOPES, L. C. O., 2004) para a resolução numérica

das LMIs.

2.8 Conclusão

As teorias aqui apresentadas são de fundamental importância para o

desenvolvimento deste trabalho. Esses fundamentos ajudarão na seção

seguinte que descreve a formulação do controlador preditivo robusto que,

essencialmente, é um problema de programação semi-definida baseado em

desigualdades lineares matriciais e cujas incertezas são modeladas através de

politopos de matrizes.

13 Capítulo 3. RMPC

Capítulo 3 Formulação do Controlador Preditivo Robusto baseado

nas Desigualdades Matriciais Lineares

3.1 Introdução

Nesta seção introduz-se a formulação do controlador RMPC baseado

nas LMIs sem e com restrições, o qual é a essência deste trabalho. As

restrições no sinal de controle e na saída são expressas na forma de LMIs. São

mostradas neste capítulo também as condições de factibilidade do problema de

otimização que garante a solução de otimização para todos os instantes de

amostragens.

3.2 Notação adotada

Neste trabalho será utilizada a seguinte notação: denota o

estado predito para o instante , com base nas medidas realizadas no

instante ; denota a ação de controle no instante calculada

através da otimização de uma função de custo no instante ; e

referem-se respectivamente a medida do estado e da saída no instante .

3.3 Formulação do Controlador Preditivo Robusto (RMPC)

Considere-se o seguinte modelo representado pelo sistema linear

variante no tempo na forma discreta (KOTHARE, M.V.; BALAKRISHNAN, V.;

MORARI, M., 1996; MACIEJOWSKI, J. M., 2002):

(3.1)

Capítulo 3. RMPC 14

sendo que é o vetor de entradas de controle, é o vetor

de estados da planta e é o vetor de saídas da planta. As notações

e denotam que as matrizes do modelo podem mudar a cada

instante de amostragem, embora não signifique que sua variação com o tempo

seja conhecida (como uma função de ). O conjunto representa o politopo

(3.2)

em que denota o envelope convexo, em que

correspondem aos vértices do referido politopo.

A função custo é definida por

(3.3)

sendo que são matrizes de ponderação simétricas. Em

particular, considera-se o caso para o Controle Preditivo com Horizonte

de Predição Infinito (“IH-MPC – Infinite Horizon MPC”). O objetivo é a resolução

da otimização do problema “Mín-max” da equação (3.3), ou seja

(3.4)

Esse é um problema sujeita à dinâmica em que a maximização é

realizada sobre o conjunto e corresponde à escolha de uma planta variante

no tempo que, se usada como modelo para as

predições, levará ao pior caso do valor da função custo dentre todas as plantas

em .

A minimização é realizada de forma a obter a seqüência de ações de

controle presentes e futuras que minimizam esse valor de

pior caso. No entanto, esse problema não é computacionalmente tratável. Para

contornar essa dificuldade, será obtido um limite superior para a função

objetivo de desempenho robusto. Esse limite superior será então minimizado

considerando uma lei de controle da forma ,

sendo uma matriz de realimentação de estado a ser obtida como


resultado de otimização. Para isso, considera-se a existência de uma função

quadrática , com , tal que o par e

corresponde ao modelo de incerteza da Equação (2.1), para qualquer

, e que satisfaz a inequação (3.5).

(3.5)

Para que o valor da função objetivo de desempenho robusta seja finito,

deve-se ter , e assim .

Somando a inequação (3.5) de a , obtém-se:

(3.6)

Desde que a Inequação (3.5) assuma um conjunto de incertezas para

qualquer modelo, podemos afirmar que

(3.7)

A inequação (3.7) resulta no limite superior da função objetivo robusta.

Logo, o objetivo do algoritmo RMPC é sintetizar a cada período de amostragem

uma lei de controle que minimize superiormente a

função .

Dessa forma, obtida a seqüência futura de controle, apenas o primeiro

sinal é aplicado ao processo, sendo os demais descartados. No instante

seguinte uma nova medida dos estados é feita e todo o processo é repetido

através da otimização e do cálculo da matriz obtendo a nova seqüência de

controle. Observa-se, então, que a função de Lyapunov é um limitante superior

para a função de custo . Conseqüentemente, pode-se substituir o

problema em (3.4) por

(3.8)


de forma que inequação (3.5) seja válida e que . O problema de

otimização mostrado em (3.8) é um problema de otimização convexo, o que

possibilita sua resolução na forma de LMIs (MACIEJOWSKI, J. M. 2002).

Resolver (3.8) é equivalente a solucionar o problema

(3.9)

sujeito a

(3.10)

no qual a solução de depende de Sabendo que então

define-se uma matriz como sendo,

(3.11)

Manipulando (3.11), obtém-se a equação (3.12)

(3.12)

Substituindo a equação (3.12) em (3.10), obtêm-se a equação (3.13)

(3.13)

Observe que a equação (3.13) pode ser escrita na forma de uma LMI

utilizando o complemento de Schur. Quando comparada a inequação (2.6) com

a inequação (3.13), obtêm-se

(3.14)


Substituindo a lei de controle e o sistema em

espaço de estados na representação do modelo em (3.1) na inequação (3.5),

obtêm-se

(3.15)

em que (3.15) é satisfeita para todo se

(3.16)

A inequação (3.16) torna-se uma LMI. Dessa forma, é possível substituir

com pré-multiplicando e pós-multiplicando por na

inequação (3.15). Definindo como e substituindo na inequação obtida,

encontra-se a equação (3.17)

(3.17)

Utilizando o complemento de Schur na inequação (3.17), obtêm-se

(3.18)

Agora suponha que em , o conjunto de

incertezas está contido em um politopo delimitado por . A LMI da inequação

(3.18) deve satisfazer todos os vértices do politopo indicados pelo parâmetro

. Logo a inequação (3.18) deve ser reescrita como


(3.19)

Assim, considerando as LMIs (3.14) e (3.19), verificamos que a cada

período de amostragem o estado de um sistema incerto deve ser medido. O

problema deve ser formulado na forma das Equações (3.20), sujeito as

inequações matriciais (3.21) e (3.22), ou seja

(3.20)

sujeito a

(3.21)

e

(3.22)

A conclusão do problema de minimização na forma de LMI das

inequações em (3.20), (3.21) e (3.22) demonstra o enunciado do Teorema 1 do

artigo do Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996).

Teorema 1. Seja o estado do sistema incerto descrito no

modelo (2.1) medido no instante de amostragem . Suponha que não existem

restrições sobre a entrada de controle e nem sobre a saída da planta. Suponha

também que o conjunto incerto seja definido por um politopo como em (2.2).

Então, a matriz de realimentação de estado da lei de controle

, que minimiza o limite superior da

função objetivo de desempenho robusto no instante de amostragem é dada

por


(3.23)

em que e são matrizes obtidas da solução (caso ela exista) do

problema de minimização de um objetivo (3.20) sujeito a (3.21) e (3.22). As

seções seguintes apresentam a formulação do RMPC com restrição no sinal de

controle e no sinal de saída expressos na forma de LMI.

3.4 Formulação do RMPC baseado em LMI com restrição

Nesta seção mostraremos a formulação do RMPC com restrição na

entrada, na saída e como incorporá-la ao problema de otimização na forma de

uma LMI.

3.4.1 Restrição no sinal de controle

Nesta seção, mostraremos como limitar o sinal de controle )

incorporando essa restrição na forma de uma LMI. Supondo a existência de

restrições simétricas sobre os níveis dos sinais de entrada. Consideraremos

uma restrição na norma euclidiana representada na equação (3.24).

(3.24)

A equação (3.24) garante uma restrição imposta para todo o horizonte

da variável manipulada, mesmo que somente o sinal no

instante seja aplicado no processo sendo descartados todos os demais.

Assim, temos que

(3.25)

Utilizando o complemento de Schur e observando que

, se teremos


, (3.26)

Essa é uma LMI em e . Com a equação (3.26) inserimos a restrição

na forma de LMI no controlador RMPC.

3.4.2 Restrição na saída

Supondo a existência de restrições simétricas na saída

(3.27)

a mesma é garantida se a seguinte LMI for satisfeita

, (3.28)

As demonstrações das restrições no sinal de entrada e de saída podem

ser encontradas em Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996).

Teorema 2 – Factibilidade

Qualquer solução de otimização factível do Teorema 1, no instante de

amostragem é também factível para todo . Deste modo, se o problema

de otimização do Teorema 1 for factível para o instante de amostragem

então ele será factível para todos os instantes de amostragens e o

sistema em malha fechada será assintoticamente estável. A prova desse

teorema pode ser encontrada em Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M.

(1996).

3.5 Conclusão

Esta seção apresentou a formulação do controlador preditivo robusto

baseado nas desigualdades matriciais lineares. Foram apresentadas a


formulação das restrições no sinal de controle e saída na forma de LMIs, bem

como as condições de factibilidade do problema de otimização. As seções

seguintes mostraram os resultados obtidos em condições simuladas e reais.


Capítulo 4 Resultados de Simulações

4.1 Introdução

Nesta seção apresentamos resultados de simulações do RMPC

baseados nos modelos não-lineares dos sistemas de tanques. Foram

simuladas perturbações nos processos para avaliar como o controlador em

questão as rejeita. A implementação do controlador se deu em ambiente Scilab

e os problemas de otimização foram resolvidos utilizando a ferramenta LMITool

do referido ambiente.

4.2 Modelagem da Planta

O sistema utilizado no controle é um sistema de tanques acoplados da

Quanser Innovate Educate, Figura 4.1.

Figura 4.1 - Sistema de Tanques da Quanser.

Capítulo 4. Resultados de Simulações 23

O sistema mostrado na Figura 4.1 pode ser representado pela Figura

4.2, a partir da qual será descrito o funcionamento do sistema de tanques

acoplados da Quanser. O funcionamento ocorre da seguinte maneira: os dois

tanques estão ligados em cascata, ou seja, o tanque 1 recebe água da bomba

e o tanque 2 recebe a água do tanque 1 (LOPES, J. S. B. et al., 2006).

Esse sistema permite trabalhar com duas configurações, a primeira é

simplesmente controlar o nível do tanque 1, sendo que este se comporta como

um sistema de primeira ordem; já a segunda configuração tem como objetivo

controlar o nível do tanque 2, sendo que neste caso o comportamento é de um

sistema de segunda ordem (SOUZA, F. E. C. 2006).

Figura 4.2 - Configuração do Sistema de Tanques.

O modelo matemático da equação (4.1) representa a dinâmica do

sistema de nível para o tanque 1.

(4.1)

Em (4.2) temos o modelo linearizado em torno de um ponto de operação

.

(4.2)


Para controlar o tanque 2 deve-se levar em conta o sistema acoplado,

ou seja, o tanque 2 depende do tanque 1.

A equação (4.3) representa o modelo matemático de segunda ordem.

(4.3)

A equação (4.4) representa o sistema (4.3) linearizado nos pontos de

operação e .

(4.4)

A Tabela 4.1 é utilizada para identificar cada parâmetro das Equações

acima (FERNANDES JUNIOR, F. G. et al., 2005).

Tabela 4.1 – Descrição dos parâmetros

Parâmetros Descrição Valores

Nível dos tanques 1 e 2 Saídas

Áreas das bases dos tanques 1 e 2 15,518 cm2

&

Orifício de saída do tanque – Pequeno Orifício de saída do tanque – Médio Orifício de saída do tanque – Grande

0,07917297670 cm2 0,17813919765 cm2 0,24246724125 cm2

Ponto de operação para linearização do modelo Ponto de operação para linearização do modelo

15 cm 15 cm

Constante da bomba; Tensão máxima admitida

4,6 (cm3/s).V ±22 V

Tensão aplicada na bomba Entrada

Aceleração da gravidade 981 cm/s2

É importante ressaltar que em todos os gráficos apresentados neste

capítulo, não se mostra a tensão na bomba no instante imediatamente anterior

ao fechamento da malha de controle.

4.3 Parâmetro incerto

O manual do Quanser Innovate Educate adota um valor nominal de 4,6

para o parâmetro (Constante da Bomba). Verificou-se que o mesmo sofre


alteração com o tempo desse valor nominal devido ao desgaste natural de

funcionamento (desgaste da bomba).

Foi adotada nas simulações uma variação de ±10% de incerteza na

constante da bomba para os resultados simulados. Os resultados se basearam

nos modelos não lineares representados pelas equações (4.1) e (4.3), pois o

objetivo é aproximar a simulação ao máximo da planta real. Essas simulações

servirão de base para justificar a implementação do controlador RMPC com

restrição no sistema regulatório de nível presente no Laboratório de Engenharia

de Computação e Automação – LECA, da Universidade Federal do Rio Grande

do Norte – UFRN.

4.4 – Caso 1: Sistema Não-Linear de 1ª Ordem

Para a simulação do Sistema Não-Linear de 1ª Ordem é necessário

transformar o modelo (4.1) na forma de Espaço de Estados. As equações (4.5)

e (4.6) representam o sistema em Espaço de Estado discreto para um período

de amostragem T = 0,2s, considerando que os extremos da constante da

bomba valem 4,14 e 5,06 (±10%), respectivamente, e linearizado no ponto

.

(4.5)

(4.6)

O sistema representado pelas equações (4.5) e (4.6) representa os

vértices do politopo, pois só há um parâmetro de incerteza considerado que

corresponde à incerteza da bomba. A formulação do problema de otimização

na forma de LMIs sem restrição consiste em minimizar (4.7) sujeito a (4.8), e

(4.9) e (4.10)

(4.7)

sujeito a

(4.8)

e


(4.9)

(4.10)

em que foi adotado

4.4.1 – Resultados simulados do RMPC sem perturbação e sem restrições

O resultado da Figura 4.3 mostra o comportamento do sistema de

tanques de 1º ordem não-linear como parâmetro incerto com valor de 4,14, ou

seja, um decréscimo de 10% no seu valor nominal, Km = 4,6.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.3 – Saída do sistema não-linear de 1ª ordem sem perturbação e sem restrição.

Observa-se que o estado inicial era 16 cm, Figura 4.3, em seguida foi

para o valor de 15 cm (valor que corresponde à origem do sistema linearizado).

A Figura 4.4 apresenta o sinal de controle do RMPC para o sistema sem

perturbação e sem restrição.

Capítulo 4. Resultados de Simulações 27 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.4 - Sinal de controle do RMPC com incerteza no Km=4.14 sem perturbação e sem

restrição.

A Figura 4.5 apresenta o comportamento do sistema não-linear de 1ª

ordem resultado com o parâmetro incerto alterado para 5,06, ou seja, com um

aumento de 10% no seu valor nominal.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.5 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem para a incerteza no Km=5,06 sem perturbação e sem restrição.

Já o sinal de controle do RMPC para o sistema incerto simulado é o da

Figura 4.6.

Capítulo 4. Resultados de Simulações 28 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.6 - Sinal de controle do RMPC para a incerteza no Km = 5,06 sem perturbação e sem restrição.

4.4.2 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e sem restrições

A situação da Figura 4.7 mostra o comportamento do processo com uma

perturbação do tipo pulso.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.7 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com perturbação e sem restrição.


A Figura 4.8 apresenta o sinal de controle do RMPC. O controlador

RMPC atua no instante em que houve a perturbação. O gráfico da Figura 4.8

apresentou uma grande variação.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.8 - Sinal de controle com incerteza no Km=4.14 e perturbação do tipo pulso e sem restrição.

O sinal de controle da Figura 4.8, na prática, não poderia ser aplicado

devido a bomba estar limitada fisicamente a uma tensão máxima de 22 volts. A

da Figura 4.9 mostra o comportamento do processo com uma perturbação do

tipo degrau quando a constante da bomba tem o valor de 5,06.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

13.5

14.0

14.5

15.0

15.5

16.0

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.9 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com perturbação e sem restrição.


Já o sinal de controle do RMPC apresentou o seguinte comportamento,

Figura 4.10.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

13.5

14.0

14.5

15.0

15.5

16.0

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.10 - Sinal de controle com incerteza no Km=5.06 com perturbação do tipo pulso e sem restrição.

4.4.3 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e com restrições

A resolução do problema com restrição consiste em adicionar mais uma

LMI, equação (3.29) ao problema de otimização (4.7). A Figura 4.11 apresenta

a resposta com uma perturbação do tipo pulso.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.5

15.0

15.5

16.0

16.5

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.11 – Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com perturbação e com restrição e Km=4,14.


. A Figura 4.12 apresenta o comportamento do controlador RMPC com

uma restrição de 15 volts na amplitude do sinal de controle, ou seja, na prática

a bomba atuaria no processo com no máximo uma tensão de 15 volts. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.5

15.0

15.5

16.0

16.5

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.12 - Sinal de controle do RMPC com perturbação e com restrição de 15 volts e Km=4,14.

A Figura 4.13 mostra o resultado do processo com uma perturbação do

tipo degrau.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.5

15.0

15.5

16.0

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.13 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com perturbação e com restrição (Km=5,06).


A Figura 4.14 o comportamento da variável manipulada para a

perturbação do tipo degrau com restrição no sinal de controle. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.5

15.0

15.5

16.0

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.14 - Sinal de controle com perturbação e com restrição de 15 volts.

4.5 – Caso 2: Sistema Não-Linear de 2º Ordem

Para a simulação do Sistema Não-Linear de 2º Ordem é necessário

encontrar o modelo em Espaço de Estados. As equações (4.12) e (4.13)

representam o sistema em Espaço de Estado discreto para um período de

amostragem T = 0,2s, considerando a constante da bomba 4,14 e 5,06,

respectivamente, linearizados para e .

(4.12)

(4.13)

Observa-se que a incerteza altera o vetor coluna B, pois a matriz A não

sofre alteração com a mudança de valor na constante da bomba. Devido ao

fato de só haver um parâmetro incerto, o politopo terá dois vértices. Logo, a

formulação do problema de otimização na forma de LMIs sem restrição

consiste em minimizar (4.14) sujeitas as inequações (4.15), (4.16) e (4.17).


(4.14)

sujeito a

(4.15)

e

(4.16)

(4.17)

em que foi adotado Os resultados a seguir foram

simulados com a alteração no parâmetro da constante da bomba. A constante

sofreu um aumento e uma diminuição de 10% no seu valor nominal, Equações

(4.12) e (4.13).

4.5.1 - Resultados simulados do RMPC sem perturbação e sem restrições

A Figura 4.15 mostra os comportamentos dos tanques na configuração

de 2º ordem não-linear sem perturbação e sem restrição. Observa-se que os

estados iniciais dos tanques eram 14 cm e em seguida foram para o valor 15

cm (valor que corresponde à origem do sistema linearizado).


0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

14.9

15.0

Nivel do Tanque 2

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

5

10

15

20

25

30

35

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.15 - Comportamento do tanque 1 (2ª ordem) sem perturbação e sem restrição.

A Figura 4.16 mostra o comportamento do tanque 2.

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

14.9

15.0

Nivel do Tanque 2

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

5

10

15

20

25

30

35

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.16 - Comportamento do tanque 2 (2ª ordem) sem perturbação e sem restrição.

A Figura 4.17 mostra o comportamento da variável manipulada para o

sistema de tanques de 2º ordem sem perturbação e restrições.

Capítulo 4. Resultados de Simulações 35 0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

14.9

15.0

Nivel do Tanque 2

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

5

10

15

20

25

30

35

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.17 - Gráfico do sinal de controle do RMPC com Km=4,14 sem perturbação e sem restrição.

4.5.2 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e sem restrições

A Figura 4.18 mostra o comportamento do tanque 1 com uma

perturbação do tipo pulso aplicada no tanque 2.

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 2

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

0

5

10

15

20

25

30

35

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.18 - Nível do tanque 1 do sistema não-linear de 2ª ordem com perturbação e sem restrição ( km=4,14).



perturbação do tipo pulso, no mesmo.

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 2

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

0

5

10

15

20

25

30

35

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.19 - Nível do tanque 2 do sistema não-linear de 2ª ordem com uma perturbação do tipo pulso e sem restrição.

A Figura 4.20 mostra o comportamento da variável manipulada do

RMPC utilizando o km = 4,14. 0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 2

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

0

5

10

15

20

25

30

35

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.20 - Gráfico do sinal de controle do RMPC com perturbação e sem restrição com Km=4,14.


4.5.3 - Resultados simulados do controlador RMPC com perturbação e com restrições


perturbação ocasionada do acoplamento do tanque 2.

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 2

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5

10.0

10.5

11.0

11.5

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.21 - Nível do tanque 1 do sistema não-linear de 2ª ordem com perturbação do tipo pulso e com restrição.

Na Figura 4.22 mostra o comportamento do tanque 2 com a perturbação

do tipo pulso.

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 2

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5

10.0

10.5

11.0

11.5

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.22 – Nível do tanque 2 do sistema não-linear de 2ª ordem com perturbação e com restrição.


A Figura 4.23 mostra o comportamento do sinal do controle durante a

perturbação com a restrição imposta pela inequação (3.29).

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

Nivel do Tanque 1

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

16.0

Nivel do Tanque 2

Tempo(s)

Nív

el d

o T

an

qu

e (

cm

)

0 20 40 60 80 100 120

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5

10.0

10.5

11.0

11.5

Sinal de Controle

Tempo(s)

Te

nsã

o n

a B

om

ba

(V

)

Figura 4.23 - Gráfico do sinal de controle do RMPC com perturbação e com restrição de 15 volts.

4.6 Conclusão

Através das simulações mostradas pode-se ter idéia dos resultados

esperados na aplicação no sistema real, os quais serão apresentados no

capítulo 6. As referidas simulações também foram úteis para a compreensão

das características do controlador. Os resultados apresentados mostraram que

o controlador obteve um bom desempenho mesmo na presença de incertezas,

para um sistema não-linear e na presença de perturbações.


Capítulo 5 Detalhamento da Estrutura Física

5.1 Introdução

Depois de uma série de resultados obtidos através de simulações, foram

feitos os ensaios na planta física. Para isso, foi necessário montar a estrutura

física, Figura 5.1, com os equipamentos localizados no Laboratório de

Engenharia de Computação e Automação - LECA, da Universidade Federal do

Rio Grande do Norte UFRN.

Figura 5.1– Estrutura Física.

Os equipamentos e softwares utilizados na estrutura física da Figura 5.1

foram

Processo (Sistema Hidráulico);

Módulo Amplificador de Potência – UPM 2405-240;

Kit de Treinamento ZTK 900 da HI Tecnologia (CLP ZAP 900)

como conversor A/D e D/A;

Módulo de comunicação OPC (Toolbox do Scilab);

Computador com a estratégia de controle RMPC utilizando a

plataforma Scilab (Scientific Laboratory);

OPC A/D - D/A

RMPC PROCESSO

Capítulo 5. Detalhamento da Estrutura Física 40

Os tópicos a seguir apresentarão uma breve descrição dos componentes

da estrutura física.

5.2 Sistema Hidráulico e o módulo de Potência

O sistema hidráulico utilizado é um sistema de tanques acoplados

mostrado na Figura 5.2.

Figura 5.2 – Sistema de Tanques da Quanser.

O sistema de tanques acoplados contém conexões elétricas de entrada

e saída que se comunicam com os sensores. Através do módulo amplificador

de potência, UPM 2405-240, também da Quanser é possível realizar

interligação com o kit de treinamento ZTK 900, Figura 5.3.

Figura 5.3 – Módulo amplificador UPM 2405-240.

O módulo da Figura 5.3 envia os sinais referentes aos níveis dos

tanques, em centímetros, para o CLP através de um sinal de tensão com fator

de escala 1V/6,25 cm. Já o sinal de controle em volts, gerado no CLP, é

transmitido para as bombas amplificado em cinco vezes.


5.3 Kit de treinamento ZTK 900

O kit de treinamento ZTK 900 foi utilizado com o intuito de servir de

interface A/D e D/A para a planta. Como o Scilab não pode estabelecer

comunicação direta com os drivers do fabricante da planta, foi utilizado o CLP

para realizar essa interface. O Scilab, dessa forma, comunica-se com o CLP

via protocolo OLE for Process Control (OPC).

O ZTK 900 é um módulo didático baseado no controlador lógico

programável ZAP 900, da HI Tecnologia, que tem por finalidade criar um

ambiente no qual aplicações desenvolvidas para o CLP (Controlador Lógico

Programável) possam ser testadas através da geração de condições de

processo e observação do tratamento realizado pelo CLP nestas condições. Os

sinais de entrada e saída do kit de treinamento ZTK 900 são conectados ao

módulo amplificador de potência UPM 2405-240 via bornes tipo banana. O

painel do kit de treinamento ZTK 900 disponibiliza os seguintes recursos para

interface com processo, Figura 5.4.

Figura 5.4 – Painel do kit de treinamento ZTK 900.

Descrição do painel do kit de treinamento ZTK 900 da Figura 5.4:

Contém 4 bornes para sinais de entradas digitais do tipo PNP

para pinos tipo banana e um borne vermelho de 24 Vdc de

referência para as entradas digitais;


Contém 4 bornes para sinais de saídas digitais tipo PNP e um

borne preto de 0 V de referência para as cargas utilizadas nas

saídas digitais;

Contém 2 bornes para sinais de entradas analógicas, podendo

operar individualmente na faixa de 0..10 Vdc e um borne preto de

0V para conexão da referência dos sinais analógicos,

e por último 1 par de bornes disponibilizando uma saída analógica

na faixa de 4..20 mA.

Para a comunicação com o módulo amplificador as entradas e saídas

devem trabalhar com tensões. Logo, foi instalado o circuito integrado LM 324N

para converter o sinal de saída de 0..4 mA para -5 a 5 volts adequando o

sistema para comunicar com o módulo de potência UPM 2405-240, Figura 5.5.

Figura 5.5 – Acoplamento entre o módulo amplificador e o kit de treinamento ZTK 900.

Todas as informações adquiridas e processadas pelo controlador são

armazenadas em variáveis. Existem vários tipos de variáveis que podem ser

utilizadas para armazenar as informações necessárias para operação do

equipamento. Cada tipo é identificado por uma letra única seguida de um

número. As variáveis utilizadas nesse processo foram a entrada analógica

identificada pela letra “E” e a saída analógica identificada pela letra “S”.

Os tipos de dados “E” e “S” operam com valores normalizados para

resolução padrão de 12 bits (2 elevado a 12). Com isso ocorreram algumas

normalizações para a implementação dessa configuração


1. A conversão do endereço da memória do CLP [0-4095] referente à

tensão para o valor referente ao nível em [0 – 30] cm, equação 5.1.

(5.1)

2. A conversão do sinal de controle [-3 – +3] volts para o endereço a ser

aplicado no CLP [0 – 4095].

(5.2)

5.4 Implementação da Estratégia de Controle

A estratégia de controle RMPC foi desenvolvida em um computador com

o Software – Scilab (Scientific Laboratory). A implementação da comunicação

com o processo foi feita com o toolbox do Scilab para OLE Process Control

(OPC). O resolvedor utilizado foi o LMITOOL que é um pacote que implementa

uma interface amigável para resolver o problema de otimização na forma das

desigualdades matriciais lineares. O Scilab é um software aberto no qual

usuários podem definir novos tipos de dados e operações. Hoje a utilização do

Scilab dá-se internacionalmente nos ambientes acadêmicos e industriais

(LOPES, 2004).

5.5 Módulo de Comunicação OPC (OLE for Proces Control)

O OLE for Process Control (OPC) é o modo mais comum de se conectar

fontes de dados como equipamentos, banco de dados etc, com aplicações

cliente. Ele otimiza a interface entre aplicações cliente e servidor fornecendo

um mecanismo padrão para comunicar dados de um fonte de dados para

qualquer aplicação cliente (CHISHOLM, A., 1998).

O servidor OPC é um objeto do tipo COM definido pela Microsoft. Entre

suas funções principais ele permite a aplicação cliente: Gerenciar grupos,

incluir e remover itens em um grupo, navegar pelas tags existentes (browser

interface), obter o status de funcionamento do servidor, ser avisada, caso o

servidor saia do ar, dentre outras atividades.


O grupo de dados constitui uma maneira conveniente da aplicação

organizar os dados de que necessita. Cada grupo de dados pode ter uma taxa

de leitura específica, podendo ser lida periodicamente (polling), ou por

exceção. O grupo pode ser ativado ou desativado como um todo.

Cada item é um objeto OPC que proporciona uma conexão com uma

entrada física de dados. Cada item fornece ao cliente informação da qualidade

do dado e tipo de dado, por exemplo. É possível definir um vetor de objetos

como um único item, o que otimiza a comunicação de dados já que apenas um

time stamp e uma palavra de qualidade de dados é utilizada para cada

conjunto de dados. A Figura 5.6 apresenta todos os itens definidos no padrão

OPC.

Figura 5.6 – Estrutura do padrão OPC.

O OPCServer representado na Figura 5.6 neste trabalho foi o HS1

Power Tool da HI Tecnologia e o cliente foi o cliente OPC do pacote do Scilab.

5.6 Conclusão

Essa estrutura física possibilitou a implementação do controlador RMPC

on-line aplicado no sistema de tanques da Quanser. Uma preocupação

inerente a essa estrutura consiste em verificar se o tempo de amostragem, 0,2

segundos, é suficiente para ler os dados da planta via OPC, “rodar” o

otimizador e enviar o sinal de controle para a planta via OPC. A seção seguinte

apresentará a resposta para essa questão, bem como os resultados da

aplicação do RMPC na planta real.


Capítulo 6 Resultados Experimentais na Planta Física

6.1 Introdução

Conforme já mencionado, o controlador RMPC foi implementado em

ambiente Scilab utilizando o resolvedor LMITool e a ferramenta de

comunicação OPC para enviar e receber dados do CLP. Os resultados iniciais

mostraram que o resolvedor LMITool leva, em média, 0,25 segundos para cada

ciclo de otimização. Dessa forma, a discretização de 0,2 segundos utilizada

pelas simulações tornaria impossível a aplicação no sistema real. Assim, uma

nova discretização, com período de amostragem de 0,5 segundos, foi

realizada, fornecendo os modelos discretizados mostrados nas equações (5.1)

e (5.2) para = 3,68(-20%) e (5.3) e (5.4) para = 5,52(+20%).

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

Para a bomba real em questão a partir de experimentos deduziu que o

valor do = 5,2, ou seja, a mesma se encontra dentro da região de incerteza

estabelecida. A cada período de amostragem foi necessário estimar quanto

tempo o resolvedor levaria para encontrar a solução ótima. Assim, o tempo de

Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 46

espera da rotina, para atingir o período de amostragem estabelecido, seria a

diferença entre 500ms e o tempo gasto pelo resolvedor.

Outra questão importante a ser tratada na implementação do sistema

físico é a inicialização dos parâmetros e nas LMIs para o resolvedor.

Dependendo da inicialização, o tempo gasto pelo resolvedor é muito superior

ao período de amostragem. Dessa forma, optou-se por inicializar os

parâmetros num instante com os valores obtidos pelo resolvedor no

instante anterior . O algoritmo empregado na planta real é descrito a seguir.

Passo 1 – Faça e incialize e ;

Passo 2 – Leia os estados da planta e “execute” o resolvedor com

parâmetros iniciais e e obtenha os valores de e ;

Passo 3 – Calcule o sinal de controle atual através da expressão

sendo

Passo 4 – Faça e ;

Passo 5 – Aplique o sinal de controle na planta;

Passo 6 – Calcule ;

Passo 7 – Se ( ) Então ABORTAR EXECUÇÃO Senão

AGUARDAR segundos;

Passo 8 – Faça e volte para o Passo 2.

Os resultados obtidos com o algoritmo acima são mostrados nas seções

seguintes.

6.2 Resultados dos Experimentos

Os resultados das seções seguintes foram realizados no sistema de

tanques da Quanser localizados no Laboratório de Engenharia de Computação

e Automação - LECA, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN.

Esses resultados referem-se a sistemas não lineares de 1º e 2º ordem e

foram realizadas nas seguintes situações:

Situação 1 - sem perturbação e sem restrição;

Situação 2 - com perturbação e sem restrição;


Situação 3 - com perturbação e com restrição.

É importante ressaltar que em todos os gráficos mostrados nesse

capítulo não é mostrada a tensão na bomba no instante imediatamente anterior

ao fechamento da malha de controle.

6.3 Sistema não-linear de 1ª ordem

6.3.1 Situação 1 - Resultado experimental do RMPC sem perturbação e sem restrições

O resultado da Figura 6.1 mostra o comportamento do sistema de

tanques de 1º ordem não-linear.

Figura 6.1 – Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear sem perturbação e sem restrição.

Observa-se que o estado inicial era abaixo de 14 cm, em seguida foi

para um valor próximo de 15 cm (valor que corresponde à origem do sistema).

O resultado da Figura 6.1 apresenta alguns ruídos e variações na

variável de processo decorrentes da imprecisão do sensor pelo seu desgaste

natural e sua calibração. A Figura 6.2 apresenta o sinal de controle do RMPC

aplicado no sistema de tanques não-linear de 1º ordem.


Figura 6.2 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 1ª ordem não-linear sem perturbação e sem restrição.

6.3.2 Situação 2 - Resultado experimental do RMPC com perturbação e sem restrições

A situação da Figura 6.3 mostra o comportamento do processo com uma

perturbação próxima um degrau com tempo limitado. Para inserir esta

perturbação foi utilizado um recipiente com a capacidade de 200 ml.

Em seguida, preencheu-se o recipiente com um volume próximo de 50

ml de água para então despejar no tanque. Esse processo ocorreu no intervalo

de tempo [40s e 50s]. Na exploração e produção de petróleo, por exemplo, o

controle das variaç es abruptas na vazão do produto de entrada em um vaso

separador, composto normalmente de óleo, gua e g s, também denominadas

de “golfadas”, é um problema muito importante. Estas são comuns devido s

características do regime de escoamento dos poços de petróleo até o sistema

de armazenamento. Essas variaç es são transmitidas para a saída do sistema

por meio das oscilaç es na coluna de líquido e são detalhadas na literatura em

Souza, R.A.R et al. (2010), Campos, M.C.M et al. (2007), Filho, A.M.B et al.

(2005), Fontes, A. B. et al. (2009) e John-Morten, G. et al. (2005).


Figura 6.3 – Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear com perturbação e sem restrição.

O sinal de controle decorrente da perturbação inserida no sistema pode

ser visto na Figura 6.4.

Figura 6.4 – Sinal de controle do RMPC para o sistema 1ª ordem com perturbação e sem restrição.


6.3.3 Situação 3 - Resultado experimental do RMPC com perturbação e com restrições

Nessa situação, uma perturbação foi inserida no sistema no intervalo

entre o instante 30s e 40s. Percebe-se que o sinal de controle corrigiu a

perturbação ocorrida no tanque 1 como mostra a Figura 6.5 e o respectivo sinal

de controle na Figura 6.6 com uma restrição de 15 volts na forma de LMI.

Figura 6.5 - Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear com perturbação e com restrição

Figura 6.6 - Sinal de controle do RMPC para o sistema de 1ª ordem não-linear com perturbação e com restrição.


6.4 Sistema não-linear de 2ª ordem

6.4.1 Situação 1: Resultado experimental do RMPC sem perturbação e sem restrições

Neste experimento o nível do tanque 1 comportou-se próximo do ponto

de equilíbrio como mostra a Figura 6.7. Os sensores geraram alguns ruídos

decorrentes aos seus desgastes naturais e a influência de efeitos externos

como a temperatura. A Figura 6.7 mostra a resposta do sistema referente ao

nível do tanque 1. Observa-se que o nível inicial do tanque 1 estava próximo a

15 e permaneceu assim durante a execução do processo, assim como o nivel

do tanque 2 (Figura 6.8).

Figura 6.7 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear sem perturbação e sem restrição.

A Figura 6.8 apresenta o resultado do tanque 2 para o RMPC sem

perturbação e sem restrição.


Figura 6.8– Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear sem perturbação e sem restrição.

A Figura 6.9 apresenta o sinal de controle do RMPC.

Figura 6.9 - Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem sem perturbação e sem restrição.


6.4.2 Situação 2: Resultado experimental do RMPC com perturbação e sem restrições

Neste experimento o nível do tanque 1 é mostrado na Figura 6.10 e

apresenta uma resposta próxima do ponto de equilíbrio, assim como na Figura

6.11. A perturbação neste experimento foi realizada no tanque 1 e no tanque 2,

ambas executadas em instantes distintos e devido ao acoplamento entre os

tanques 1 e 2 ocorreu influência entre as perturbações.

Figura 6.10 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear com perturbação e sem restrição.

A perturbação inserida no tanque 1 é semelhante à descrita na seção

6.3.2. A influência da perturbação ocorrida no intervalo [30s a 40s] no tanque 1

pode ser observada na Figura 6.10 no mesmo intervalo. A influência da

perturbação ocorrida no intervalo [70s a 90s] do tanque 2 pode ser vista na

Figura 6.11.




Figura 6.12 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-linear com perturbação e sem restrição.


O resultado da Figura 6.13 representa a situação 2 com outro tipo de

perturbação. Foi fechado o orifício do tanque 1 em um instante próximo dos 30

segundos até o instante próximo a 40 segundos e no tanque 2 foi realizado o

mesmo procedimento no intervalo, iniciando-se no instante próximo a 80

segundos até um instante próximo ao 90 segundos. Ambos os resultados

apresentaram o acoplamento entre as perturbações.


Observa-se que o nível do tanque 1 chegou próximo ao limite máximo

(30cm), esse efeito de enchimento fez com que o nível do tanque 2 diminuisse,

Figura 6.14. Já o fechamento do orifício do tanque 2 fez o nível do tanque 1

sofrer uma perturbação, ocasionando uma variação no sinal de controle como

mostra a Figura 6.15.




Figura 6.15 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-linear com perturbação e sem restrição.


6.4.3 Situação 3: Resultado experimental do RMPC sem perturbação e com restrições

Para o experimento da situação 3 com o RMPC com perturbação e com

restrição foi necessário iniciar com os tanques vazios para que o sinal de

controle ultrapassasse o limite de saturação, ou seja, para que pudesse ver a

restrição do sinal de controle atuando no sistema.

6.4.3.1 Restrição imposta no código do programa

A restrição no sinal de controle foi realizada no código do programa

atuando como um limitante, ou seja, uma chave para mostrar o resultado sem

perturbação e sem restrição e compará-lo com restrição na forma de LMI visto

na seção 6.4.3.2.

Figura 6.16 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear sem perturbação e com restrição.

A Figura 6.16 mostra o comportamento do tanque 1. Observa-se que a

resposta do tanque 1 apresentou um Sobressinal (Overshoot), o que é

aceitável, visto que o escopo desse trabalho reside no problema regulador. Já


a Figura 6.17 apresenta o comportamento do tanque 2. A Figura 6.18

apresenta o sinal de controle do RMPC.

Figura 6.17 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear sem perturbação e com restrição.


Figura 6.18 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-linear sem perturbação e com limitante de 10 volts.


Percebe-se que no inicio o sinal de controle aplicado ultrapassou o limite

de 10 volts e na seção seguinte descreve a restrição na forma de LMI.

6.4.3.2 Restrição incorporada na forma de LMI

Os resultados seguintes mostram o mesmo comportamento com

restrição na forma de LMI. A Figura 6.19 mostra o comportamento do tanque 1

do sistema de 2ª ordem não-linear.

Figura 6.19 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear sem perturbação e com restrição na forma de LMI.

A Figura 6.20 mostra o comportamento do sistema de 2ª ordem (tanque

2) e a Figura 6.21, o sinal de controle do RMPC com restrição na forma de LMI.

Comparando-se a Figura 6.18 com a Figura 6.21, observa-se que o tempo,

limitante de tensão de 10 volts é maior em relação ao resultado com a restrição

na forma de LMI. Outra observação é que, na primeira situação, limitante de

tensão, o valor da tensão foi igual aos 10 volts. Na restrição na forma de LMI o

valor foi próximo aos 10 volts. Os resultados do controlador atenderam as

especificações e o sistema de tanques acomodou seus estados nos pontos de

equilíbrios pré-determinados.


Figura 6.20 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear sem perturbação e com restrição na forma de LMI.

A Figura 6.21 mostra o sinal de controle com restrição na forma de LMI.

Figura 6.21 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-linear sem perturbação e com restrição na forma de LMI.


6.5 Conclusão

O controlador RMPC foi aplicado a um problema real representativo do

sistema de controle. O controlador RMPC foi implementado na operação em

tempo real e os resultados das respostas apresentaram-se adequados e

satisfatórios. A seguir, no Capitulo 7, são apresentadas as conclusões deste

trabalho, bem como as perspectivas para futuros trabalhos.

.


Capítulo 7 Conclusões e Perspectivas

Neste trabalho foi estudado e implementado o controlador preditivo

robusto RMPC. Essa técnica de controle foi aplicada no sistema real de

tanques da Quanser Consulting. Utilizou-se o software Scilab 4.2 para a

implementação do algoritmo RMPC e para a solução dos problemas de

otimização foi utilizado o pacote LMITool do referido software.

Para obter os resultados experimentais na planta real foi necessário

simular o sistema não-linear de 1ª e 2ª ordem. As simulações ajudaram na

compreensão das características do controlador atuando em diferentes

situações. As situações consideradas com o controlador atuando no sistema

simulado foram: sem perturbação e sem restrição; com perturbação e sem

restrição; e com perturbação e com restrição. Os resultados simulados

apresentaram um bom desempenho, visto que os mesmos operaram com o

sistema incerto e com perturbações.

A partir dos resultados simulados foi necessário montar a estrutura física

com os equipamentos localizados no Laboratório de Engenharia de

Computação e Automação - LECA, da Universidade Federal do Rio Grande do

Norte UFRN. Essa estrutura possibilitou a implementação do controlador

RMPC on-line aplicado no sistema de tanques da Quanser utilizando OPC para

a comunicação dos dados entre o controlador implementado e o Controlador

Lógico Programável.

Os experimentos, na planta real, foram realizados em várias situações

sem e com perturbação, não importando o regime transitório. Os resultados

nesses experimentos mostram que o controlador apresentou bom

desempenho, principalmente no que tange à rejeição de perturbações. Uma

deficiência dessa formulação é o seu conservadorismo, uma vez que a sua

Capítulo 7. Conclusões e Perspectivas 63

formulação resolve o problema de otimização para o pior caso. Esse problema

faz com que a sua lei de controle fique longe de atingir as barreiras de

restrições impostas.

Algumas perspectivas podem decorrer deste trabalho, as quais citamos

A implementação de algoritmos de programação semi-definida em

linguagem C e a comunicação direta com os drivers da placa de

aquisição do sistema de tanques;

O estudo experimental de controladores robustos associados ao controle

tolerante a falhas e utilização de controladores robustos desenvolvidos

em modelos empíricos, como por exemplo, redes neurais.


Referências Bibliográficas

ALAMO, T. et al. Min-max MPC using a tractable QP problem, Automatica, v. 43, p. 693-700, 2007. BEMPORAD A.; MORARI M. Robust model predictive control: a survey. Robustness in Identification and Control. vol. 245, 1999. BOYD, S. et al. Linear matrix inequalities in system and control theory. Pennsylvania, USA: SIAM, 1994. CAMACHO E. F.; BORDONS, C. Model predictive control. New York: Springer-Verlag, 1998. CAMPO, P. J., MORARI, M., Robust model predictive control. Proceedings of the American Control, Minneapolis, p. 1021-1026, 1987. CAMPOS, M. C. M. et al., E. N. Novo controle avançado para plataformas de produção de petróleo. São Paulo, Brasil. In: XI Congresso Internacional e Exposição Sul-Americana de Instrumentação, Sistemas e Automação, ISA Show, 2007. Anais .. [Sl:sn] 2007. CAMPOS, V. A. F. de. Controle robusto de sistemas de potência multimáquinas através de desigualdades matriciais lineares: abordagem por alocação de pólos e ajuste de estabilizadores de sistemas de potência. 2008. (Tese de Doutorado apresentado ao Departamento de Engenharia de Telecomunicações e Controle da Escola Politécnica de Telecomunicações e Controle da Universidade de São Paulo – USP). CANNON, M.; KOUVARITAKIS,B. Optimizing Prediction Dynamics for Robust MPC. IEEE Transaction on Automatic Control, v. 50, n. 11, nov. 2005. CHANG, X.; LIU, H. Output Feedback Control for Constrained Robust Model Predictive Control. Chinese Control and Decision Conference, 2009. CHISHOLM, A., DCOM, OPC and Performance Issues, White Paper, Intellution Inc., 1998. CUZZOLA, F. A. GEROMEL, J. C., MORARI, M. An improved approach for constrained robust model predictive control. Automatica. v.38, p. 1183-1189, 2002. DING, B. et al. A synthesis approach for output feedback robust constrained model predictive control. Automatica, v. 44, p. 258-264, 2008. DOYLE, J. C.; PACKARD, A.; ZHOU, K. Review of LFTs, LMI and µ. In: Proceeding of the Conference on Decision and Control, 30., 1991. Anais… Brighton: [s.n.], 1991.

Referências Bibliográficas 65

FERNANDES JUNIOR, F. G. et al. Implementacao de controladores PID utilizando logica fuzzy e instrumentacao industrial. In: Simposio Brasileiro de Automação Inteligente, 7., 2005, São Luiz. Anais... São Luiz: [s.n], 2005. FILHO, A. M. B. et al. Controle de Nível em Separadores Óleo/Gás. In: ISA – Sociedade de Instrumentação, Sistemas e Automação, São Paulo, Anais... São Paulo:[s.n] 2005. FONTES, A. B. et al. Técnicas de Controle Regulatório Não-Linear Aplicadas ao Controle de Golfadas em Processos de Exploração e Produção de Petróleo. In: Congresso Rio Automação, 5, Rio de Janeiro, Brasil, Anais... Rio de Janeiro :[s.n] 2009. GARCIA, CE., PRETT, D. M., Advances in industrial model predictive control. Chemical Process Control Conference III, Asilomar, CA. 1986. GUSTAFSSON, T. K.; MÄKILÄ, P. M. Modelling of uncertain systems with application to robust process control. Jounal of Process Control, v. 11, p. 251-264, 2001. JOHN-MORTEN, G, et al. New slug control strategies, tuning rules and experimental results, Journal of Process Control, v. 15, Issue n. 5, p. 547-557, 2005. KOTHARE, M.V.; BALAKRISHNAN, V.; MORARI, M. Robust constrained model predictive control using linear matrix inequalities. Automática, v. 32, n. 10, p. 1361-1379, 1996. LEE, J. H., YU, Z.H. Min-max formulation of robust receding horizon control. Proceedings of SYS-ID, Copenhagem, Denmark, 1994. LEITE, J. S. V. et al. Estabilidade Robusta de sistemas lineares através de desigualdades matriciais lineares. Revista de Controle & Automação, vol. 15, mar., 2004. LOPES, J.S.B. et al. Um esquema de controle neural aplicado a um sistema de tanques acoplados utilizando controlador lógico programável. In: Proc. of the CBA, 2006, Salvador. Anais… Salvador: [s.n], 2006. LOPES, L. C. O. Utilizando o SCILAB na Resolução de Problemas da Engenharia Química. In: COBEQ – Congresso Brasileiro de Engenharia Química, 15, 2004. Anais ... Paraná:[s. n.] 2004. MACIEJOWSKI, J. M. Predictive control: with constraints. Harlow: Prentice Hall, 2002. MAIA, M. H.. Controle preditivo robusto de um helicóptero com três graus de liberdade sujeito a perturbações externas. 2008, Dissertação São José dos Campos: ITA. 2008. (Mestrado em Sistema e Controle) - Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos.


NEMIROVSKII; GAHINET, P. The Projective Method for Solving Linear Matrix Inequalities. In: Proceedings of the American Control Conference, Anais… [S.l.:s.n.] ,p 840-844, 1994. PANNOCCHIA, G. Robust model predictive control with garanteed setpoint tracking. Journal of Process Control, v. 14, p. 927-937, 2004. PARK. M. J.; RHEE, H. K. LMI-based robust model predictive control for a contínuos MMA polymerization. Computers and Chemical Engineering, v. 25, p. 1513-1520, 2001. PASCOAL, R. M.. Controle preditivo robusto para um helicóptero com três graus de liberdade. 2010. 96f. Tese de Mestrado – Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos. QUANSER, INOVATION EDUCATE. Manual coupled water tank experiments. [S.l:s.n], [200-]. ROSSITER, J. A. Model-Based Predictive Control: A Practical Approach. BocaRaton: CRC Press, 2003. SILVA, C. H. F. da, Uma contribuição ao estudo de controladores robustos, 2009, 208f. Tese de doutorado – Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química. SILVA, C. H. F. da; HENRIQUE, H. M.; LOPES, L. C. O.; GOMES, L. R. G. Controle preditivo robusto baseado em inequações matriciais lineares aplicado a máquinas síncronas. Revista Ciência Exatas, Taubaté, v. 13, n. 1, p. 121-129, 2007. SKOGESTAD, S.; POSTLETHWAITE, I. Multivariable feedback control: analysis and design. Chichester, England: John Wiley & Sons, 1997. SOUZA, F. E. C. Estudo e implementação em plantas físicas de um controlador preditivo generalizado com restrições. 2006. (Dissertação de Mestrado apresentado ao programa de pós-graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, UFRN). SOUZA, R. A. R et al. Desenvolvimento de uma Plataforma Experimental para Avaliação de Controle de Golfadas em um Vaso Separador, In: Induscon/IEEE, 2010, São Paulo. Anais ... São Paulo:[s. n.]. STURM, J.F. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones, Optimization Methods and Software Special issue on Interior Point Methods., 11-12 625-653. 1999. TROFINO, A.; COUTINHO, D.; BARBOSA, K. C. Sistemas multivariáveis: uma abordagem via LMI’s. Florianópolis, 2003. (Apostila)


TSANG, T. T. C.; CLARKE, D. W. Generealized predictive control with input constraints. IEE Proc. – D, v. 132, n. 3, p. 100-110, 1988. TUTUNCU,R.H, TOH,K.C.,TODD, M.J., Programs Using SDPT3, Mathematical Programming Ser, n. 95, p. 189 – 217, 2003. VANANTWERP. J. G.; BRAATZ, R. T. A tutorial on linear and bilinear matrix inequalities. Journal of Process Control, v. 10, n. 22, p. 363-385, 2000. VANDENBERGHE, L.; BOYD, S. A primal-dual potential reduction method for problems involving matrix inequalities. Mathematical Programming Series, v. 69, p. 205-236, 1995. WAN, Z.; KOTHARE, M. V. An efficient off-line formulation of robust model predictive control using linear matrix inequalities. Automatica, v. 39, p. 837-846, 2003. WANG, Y. Robust model predictive control. Madison: University of Wisconsin, 2002. (Doctor of Philosophy) WEINMANN, A. Uncertain Models and Robust Control. Springer-Verlag, New York, 1991. WU, F. LMI-based robust model predictive control and its application to an industrial CSTR problem. Journal of Process Control. v. 11, p. 649-659, 2001. ZHIJUN, Li et al. An improved constrained robust model predictive control algorithm for linear systems with polytopic uncertainty, Advanced Intelligent Mechatronics, AIM 2008. IEEE/ASME International Conference on, vol., no., p. 1272-177, 2-5 july, 2008.

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