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Conversão de Bases Numéricas Prof. a Dra. Carolina Davanzzo Gomes dos Santos Email: [email protected] Página: profcarolinadgs.webnode.com.br Disciplina: Circuitos Digitais

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Conversão de Bases Numéricas

Prof.a Dra. Carolina Davanzzo Gomes dos Santos

Email: [email protected]

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Disciplina: Circuitos Digitais

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Unip / Profa Dra. Carolina 2

� O sistema de numeração é formado por um conjunto de símbolos

utilizados para representação de quantidades e de regras que definem a

forma de representação de quantidades / valores. Cada sistema de

numeração possui um método diferente de representar quantidades.

�Atualmente,o sistema de numeração decimal é o sistema mais

importante e mais utilizado por nós, seres humanos, para a

representação de quantidades em geral, sendo este reconhecido

universalmente.

� No mundo da computação, os sistemas digitais operam com mais de

um sistema de numeração ao mesmo tempo, onde o mais utilizado é o

sistema binário.

Sistemas de NumeraSistemas de Numeraççãoão

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Bases de NumeraBases de Numeraççãoão

Objetivos da aula

1. Tipos de bases de numeração

2. Conversão de bases

3. Aritmética computacional

Unip / Profa Dra. Carolina 3

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NotaNotaçção Nãoão Não--PosicionalPosicional

� O valor atribuído a um símbolo é inalterável - independe da posição em que se encontre no conjunto de símbolos que representam uma quantidade.

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NotaNotaçção Posicionalão Posicional

� O valor atribuído a um símbolo dependente da posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos que representa uma quantidade.

� O valor total do número é a soma dos valores relativos de cada algarismo (decimal, binário, octal).

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Bases de NumeraBases de Numeraççãoão• Base Decimal (Notação Posicional)

– Desde os primórdios, o Homem vem adotando formas e métodos para representar números (operações aritméticas: soma, subtração, etc);

– Mais utilizada e utiliza DEZ símbolos para representar quantidades;

– Assumem valores diferentes dependendo da posição;

– Sistema decimal, ou seja, base 10, devido a quantidade de algarismos disponíveis;

– Os números podem ser escritos:

• 1303 130310

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–Tem-se 4 algarismos: 1, 3, 0 e 3

–E cada algarismo possui um valor correspondente à sua posiçãono número

1303

Base decimalBase decimal

1000 300 0 3

= 130310

1 x 103 3 x 102 0 x 101 3 x 100+ + +

+ + +

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Base decimalBase decimal

� Generalizando, num sistema qualquer de numeração posicional, um número N é expresso da seguinte forma:

( )bnnn

dddddN01321

...−−−=Onde:

d indica cada algarismo do número;

n – 1, n – 2, 1, 0 (índice) indicam a posição de cada algarismo;

b indica a base de numeração

n indica o número de dígitos inteiros

� O valor do número pode ser obtido do seguinte somatório:

0

0

1

1

2

2

1

1... bdbdbdbdN n

n

n

n×+×++×+×= −

−−

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Exemplo Exemplo �������� N = 3748N = 3748

Onde:

n = 4 (quatro dígitos inteiros)

Utilizando a equação:

0

0

1

1

2

2

1

1... bdbdbdbdN n

n

n

n×+×++×+×= −

−−

( )bnnn

dddddN01321

...−−−=

dn-1= 3 ou d3 = 3; d2 = 7; d1 = 4; d0 = 8

0123108104107103 ×+×+×+×=N

= 3000 + 700 + 40 + 8 = 374810

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Outras bases de numeraOutras bases de numeraççãoão

Utiliza DOIS símbolos para representar quantidades:

Regras do sistema decimal:Válidos os conceitos de peso e posição. Posições não têm nome específico.Cada algarismo é chamado de bit.

Exemplo:

Sistema Binário

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Outras bases de numeraOutras bases de numeraççãoãoSistema Octal

Utiliza OITO símbolos para representar quantidades:

Expressão oral é semelhante ao sistema decimal.

Exemplo:

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Outras bases de numeraOutras bases de numeraççãoãoSistema Hexadecimal

Utiliza DEZESSEIS símbolos para representar quantidades:

A = 1010, B = 1110, C = 1210, D = 1310, E = 1410, F = 1510

Uso das letras para facilidade de manuseio. Expressão oral é similar ao sistema binário.

Exemplo:

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ComparaComparaçção entre basesão entre bases

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(1010011111)2 = ( )8(1010011111)2 = ( )8

Conversão de base 2 para 8Conversão de base 2 para 8

Octadecimal = 23

� Divide-se o número binário inteiro, da direita para a esquerda em grupos de 3 bits, e preenche-se o resto com zeros.

� Para cada grupo acha-se o algarismo octal equivalente da tabela.

Exemplo:

(111)2(011)2(010)2(001)2

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(1010011111)2 = ( )8(1010011111)2 = ( )8

Conversão de base 2 para 8Conversão de base 2 para 8

Octadecimal = 23

� Divide-se o número binário inteiro, da direita para a esquerda em grupos de 3 bits, e preenche-se o resto com zeros.

� Para cada grupo acha-se o algarismo octal equivalente da tabela.

Exemplo:

(111)2(011)2(010)2(001)2

(7)8(3)8(2)8(1)8

(1237)8

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(1011011011)2 = ( )16(1011011011)2 = ( )16

Hexadecimal = 24

Divide-se o número binário inteiro, da direita para a esquerda em grupos de 4 bits, e preenche-se o resto com zeros.

Para cada grupo acha-se o algarismo hexadecimal equivalente da tabela.

Exemplo:

Conversão de base 2 para 16Conversão de base 2 para 16

(1011)2(1101)2(0010)2

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(1011011011)2 = ( )16(1011011011)2 = ( )16

Hexadecimal = 24

Divide-se o número binário inteiro, da direita para a esquerda em grupos de 4 bits, e preenche-se o resto com zeros.

Para cada grupo acha-se o algarismo hexadecimal equivalente da tabela.

Exemplo:

Conversão de base 2 para 16Conversão de base 2 para 16

(1011)2(1101)2(0010)2

(B)16(D)16(2)16

(2DB)16

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Base 2 é utilizada como intermediária.

Converte-se o número para a base 2 e depois para a base 16.

O mesmo ocorre se for converter da base 16 para a base 8

Exemplo:

Conversão de base 8 para 16Conversão de base 8 para 16

(3174)8= ( )16

(011)2 (001)2 (111)2 (100)2

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Base 2 é utilizada como intermediária.

Converte-se o número para a base 2 e depois para a base 16.

O mesmo ocorre se for converter da base 16 para a base 8

Exemplo:

Conversão de base 8 para 16Conversão de base 8 para 16

(3174)8= ( )16

(011)2 (001)2 (111)2 (100)2

(011001111100)2

(0110)2 (0111)2 (1100)2

(C)16(7)16(6)16

(67C)16

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� Base B significa uma base qualquer.� Utiliza-se a equação para converter de qualquer base para decimal.

Exemplo:

Conversão de uma base B Conversão de uma base B

para base 10para base 10

0

0

1

1

2

2

1

1... bdbdbdbdN n

n

n

n×+×++×+×= −

−−

d indica cada algarismo do número;

n – 1, n – 2, 1, 0 (índice) indicam a posição de cada algarismo;

b indica a base de numeração

n indica o número de dígitos inteiros

(101101)2= ( )10 b = 2 n = 6

1 x 200 x 211 x 221 x 230 x 241 x 25

1048032 + + + + + =Unip / Profa Dra. Carolina 20

(45)10

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Conversão de uma base B Conversão de uma base B

para base 10para base 10

(27)8= ( )10 b = 8 n = 2

7 x 802 x 81

716 + = (23)10

0

0

1

1

2

2

1

1... bdbdbdbdN n

n

n

n×+×++×+×= −

−−

Exemplo:

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Conversão de uma base B Conversão de uma base B

para base 10para base 10

0

0

1

1

2

2

1

1... bdbdbdbdN n

n

n

n×+×++×+×= −

−−

(2A5)16= ( )10 b = 16 n = 3

5 x 16010 x 1612 x 162

5160512 + +

= (677)10

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Conversão de uma base B Conversão de uma base B

para base 10para base 10

0

0

1

1

2

2

1

1... bdbdbdbdN n

n

n

n×+×++×+×= −

−−

(457)9= ( )10 b = 9 n = 3

7 x 905 x 914 x 92

745324 + +

= (376)10

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Conversão da base 10 Conversão da base 10

para uma base Bpara uma base B

� Divide-se o número decimal pelo valor da base desejada (B).

� O resto encontrado é o algarismo menos significativo do valor na base B (mais à direita).

� Divide-se o quociente encontrado pela base B.

� O resto é o algarismo seguinte (à esquerda).

� E assim sucessivamente até obter o quociente igual a zero.

� Em cada divisão, o resto encontrado é um algarismo significativo do número na nova base.

� O primeiro resto encontrado é o valor do algarismo menos significativo (mais à direita).

� O último resto é o algarismo mais significativo (mais à esquerda).

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Conversão da base 10 Conversão da base 10

para uma base Bpara uma base B

Enquanto o quociente for diferente de zero:- Dividir dividendo por divisor- Extrair resto como algarismo e colocá-lo à esquerda do anterior- Repetir- Quando o quociente for igual a zero, parar

Enquanto o dividendo for maior que o divisor:- Dividir dividendo por divisor- Extrair resto como algarismo e colocá-lo à esquerda do anterior- Repetir

Usar o dividendo como último algarismo à esquerda

10 20 5

quocienteresto

divisordividendo

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Exemplo:

Conversão da base 10 Conversão da base 10

para uma base Bpara uma base B

(3964)10= ( )8

3964 8

4954 8

8

8

75

7

61

7

0

(7574)8=

7

57

4

0

0 7 5 7 4

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Exemplo:

Conversão da base 10 Conversão da base 10

para uma base Bpara uma base B

(45)10= ( )2

45 2

221 2

2

2

01

1

11

52

(101101)2=

1

10

1

0

10110

2

10 1

1

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Exemplo: (2754)10= ( )16

2754 16

1722 16

1612

10 0

10

(0AC2)16=

010

12

2

212100

Conversão da base 10 Conversão da base 10

para uma base Bpara uma base B

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SimplificaSimplificaçção de base 2 para ão de base 2 para

base 10 e vicebase 10 e vice--versa versa

0

0

1

1

2

2

1

1... bdbdbdbdN n

n

n

n×+×++×+×= −

−−

Base 2 � só pode ser 0 ou 1

Exemplo: 101 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

4 + 0 + 1 � 5

As potências de 2, da direita para esquerda, crescem da seguinte forma:

... 6 5 4 3 2 1 0 posição

... 26 25 24 23 22 21 20 potência

... 64 32 16 8 4 2 1 valor

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5 4 3 2 1 0 posição

1 1 0 0 1 1 algarismo

25 24 - - 21 20 potência

32 16 - - 2 1 valor

Exemplo: (110011)2 = ( )10

( )10 = 32 + 16 + 2 + 1

(51)10=

SimplificaSimplificaçção de base 2 para ão de base 2 para

base 10 e vicebase 10 e vice--versa versa

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SimplificaSimplificaçção de base 2 para ão de base 2 para

base 10 e vicebase 10 e vice--versa versa

Exemplo: (109)10 = ( )2109 – 64 = 4545 – 32 = 1313 – 8 = 55 – 4 = 1

... 6 5 4 3 2 1 0 posição

... 26 25 24 23 22 21 20 potência

... 64 32 16 8 4 2 1 valor

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SimplificaSimplificaçção de base 2 para ão de base 2 para

base 10 e vicebase 10 e vice--versa versa

Exemplo: (109)10 = ( )2

(1101101)2=

6 5 4 3 2 1 0 posição

26 25 24 23 22 21 20 potência

64 32 16 8 4 2 1 valor

1 1 0 1 1 0 1 algarismo

109 – 64 = 4545 – 32 = 1313 – 8 = 55 – 4 = 1

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ExercExercíícios cios

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ExercExercíícios cios

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ExercExercíícios cios

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